概率简易逻辑复习试题

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事件的概率试题及答案

事件的概率试题及答案1. 单选题：如果一个骰子被公平地掷出，那么掷出偶数的概率是多少？A. 1/2B. 1/3C. 3/8D. 1/6答案：A2. 多选题：以下哪些事件是互斥的？A. 掷一枚硬币得到正面或反面B. 掷骰子得到1或得到6C. 掷骰子得到奇数或得到偶数D. 掷骰子得到3或得到5答案：B, D3. 判断题：如果一个事件的概率是0，那么这个事件不可能发生。

答案：正确4. 填空题：如果一个事件的概率是0.5，那么它的补事件的概率是______。

答案：0.55. 计算题：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。

答案：5/86. 简答题：解释什么是条件概率，并给出一个例子。

答案：条件概率是指在某个条件或事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。

例如，如果已知一个班级里有50%的学生是女生，那么在随机挑选一个学生是女生的条件下，这个学生是左撇子的概率，就是条件概率。

7. 应用题：一个工厂生产两种类型的零件，A型和B型。

A型零件的合格率为90%，B型零件的合格率为80%。

如果从生产线上随机抽取一个零件，发现它是合格的，那么这个零件是A型的概率是多少？答案：设事件A为零件是A型，事件B为零件合格。

根据贝叶斯定理，P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。

已知P(A) = 0.5，P(B|A) = 0.9，P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A') * P(A') = 0.9 * 0.5 + 0.8 * 0.5 = 0.85。

所以P(A|B) = 0.9 * 0.5 / 0.85 ≈ 0.529。

8. 论述题：描述概率论在现实生活中的应用，并举例说明。

答案：概率论在现实生活中有广泛的应用，例如在风险评估、保险计算、医学研究、天气预报等领域。

例如，在医学研究中，研究人员可能会使用概率论来评估某种治疗方法对特定疾病的效果，通过分析治疗组和对照组的治愈率差异，来确定治疗方法的有效性。

十大经典逻辑题

十大经典逻辑题标题：十大经典逻辑题正文:1. 两个硬币有一个硬币，正面朝上的概率是 0.5，反面朝上的概率也是 0.5。

现在有另外两个硬币，都是正面朝上的概率为 0.5，反面朝上的概率也是 0.5。

请问，使用这三只硬币，能否得到每次抛出都正面朝上的结果？2. 飞行员与手表一名飞行员戴着一只机械手表，这只手表停了，但是他并不知道。

在飞行途中，他需要对一个信号灯进行指示。

他注意到，如果手表指针指向数字“8”,那么信号灯就会亮。

但是，他不知道手表是否准确，也不知道信号灯是否会亮。

他需要做出判断，是否对信号灯进行指示。

请问，他应该如何做出决策？3. 三个硬币有三只硬币，都是正面朝上的概率为 0.5，反面朝上的概率也是0.5。

请问，使用这三只硬币，能否得到每次抛出都正面朝上的结果？4. 两个事件有两个事件 A 和 B，它们的概率分别为 0.5 和 0.3。

请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 50% 的概率赢得比赛？5. 三个事件有三个事件 A、B、C，它们的概率分别为 0.4、0.3、0.3。

请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 40% 的概率赢得比赛？6. 两个等概率事件有两个事件 A 和 B，它们的概率分别为 0.5 和 0.5。

请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 50% 的概率赢得比赛？7. 硬币问题有一枚硬币，正面朝上的概率为 0.5，反面朝上的概率也是 0.5。

请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 50% 的概率赢得比赛？8. 两个等概率事件有两个事件 A 和 B，它们的概率分别为 0.5 和 0.5。

请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 50% 的概率赢得比赛？9. 三个事件有三个事件 A、B、C，它们的概率分别为 0.4、0.3、0.3。

请问，是否存在一种策略，使得在每次决策时，都有 40% 的概率赢得比赛？10. 硬币问题有一枚硬币，正面朝上的概率为 0.5，反面朝上的概率也是 0.5。

数学概率复习题

数学概率复习题一、选择题1. 设事件A、B独立，且P(A)=0.6，P(B)=0.4，则P(A交B)等于（）。

A. 0.24B. 0.36C. 0.16D. 0.482. 一袋中有5个红球，3个蓝球，从袋中取出2个球，不放回，则两球颜色相同的概率是（）。

A. 2/3B. 7/48C. 5/24D. 4/213. 已知事件A、B互不相容，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A并B)等于（）。

A. 0.15B. 0.35C. 0.8D. 0.7二、填空题1. 设事件A、B独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A交B)等于_________。

2. 一副卡牌中，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，从中随机取出2张，则两张牌颜色不同的概率是_________。

3. 一次抛掷两枚骰子，两枚骰子点数和为奇数的概率是_________。

三、计算题1. 某班级有40人，其中有20人喜欢打篮球，30人喜欢踢足球，其中10人既喜欢打篮球又喜欢踢足球。

从这些学生中随机选择一个人，问他喜欢打篮球或踢足球的概率是多少？2. 某工厂生产的合格产品占总产量的80%，次品率为3%，现从产品中随机抽取一件，问它不合格的概率是多少？3. 一批电视机有100台，其中有5台有质量问题。

现从中随机挑选5台进行检验，问其中恰好有2台有质量问题的概率是多少？四、解答题1. 从26个字母中任意选取5个字母，问其中至少有一个元音字母的概率是多少？2. 设A、B为两个事件，且P(A)=0.3，P(B)=0.7，已知P(A并B)=0.2，求P(A交B的补集)。

3. 一枪手在射击时，命中靶的概率为0.8。

如果进行5次射击，问他至少命中一次的概率是多少？以上为数学概率复习题，请根据题目要求进行计算和填空。

相信通过这些练习，你能更好地掌握概率知识，提高解题能力。

祝你成功！。

简单逻辑练习题

简单逻辑练习题逻辑推理是思维能力的重要组成部分，通过练习逻辑推理题可以提升我们的思维敏捷度和解决问题的能力。

本文将为您提供一些简单逻辑练习题，帮助您锻炼逻辑思维。

一、命题题1. 命题：“如果明天下雨，我就不去郊游。

”今天是郊游的日子，请问今天会不会下雨？答案：不一定。

明天下雨与郊游日子是否下雨无关。

2. 命题：“只有运动员吃肉。

”请问以下属于运动员的是？a) 小明b) 李华c) 张三d) 王五答案：d) 王五。

因为只有运动员才吃肉。

二、推理题3. 一个篮子里有三个苹果和四个梨。

如果从篮子里随机拿出一个水果，那么它是苹果的概率是多少？答案：3/7。

因为篮子里总共有7个水果。

4. 假设有两个箱子，一个箱子里装有两个金币，另一个箱子里装有一个金币。

现在你从两个箱子中随机选择一个箱子，并从里面随机取出一个金币。

请问你取到的金币是一个金币的概率是多少？答案：1/2。

因为你从两个箱子中随机选择一个箱子的概率是1/2，而在选定的箱子中取到一个金币的概率也是1/2，所以取到的金币是一个金币的概率为(1/2) * (1/2) = 1/4。

三、关系题5. A、B、C、D四个人恰好分别穿红、黄、蓝、绿四色的衣服。

已知以下条件：i) A不穿红色。

ii) B穿黄色。

iii) C穿蓝色。

请问D穿绿色的衣服吗？答案：是的。

根据i) A不穿红色和ii) B穿黄色可推断出D穿绿色。

6. 有五个人：A、B、C、D、E。

已知以下条件：i) A和C至少有一个人说谎。

ii) B和D至少有一个人说谎。

iii) E说的是真话。

请问谁是说真话的人？答案：A。

根据i) A和C至少有一个人说谎和iii) E说的是真话可推断出A说的是真话。

四、推理题7. 一个城市有三个电视台：A、B、C。

根据观众调查结果，以下是每个电视台播放的节目百分比：i) 在B台看电视的人中，有80%的人在A台也看电视。

ii) 在C台看电视的人中，有60%的人在B台也看电视。

专题1-2 简易逻辑(讲+练)-2023年高考数学二轮复习讲练测(全国通用)(解析版)

专题1-2简易逻辑目录讲高考 (1)题型全归纳 (3)【题型一】全称与特称 ................................................................................................................... 3 【题型二】全称与特称命题真假判断 ........................................................................................ 5 【题型三】全称特称命题求参数 ................................................................................................. 7 【题型四】充分与必要条件判断 ................................................................................................. 8 【题型五】充分不必要条件求参数 ......................................................................................... 10 【题型六】必要不充分条件求参数 ......................................................................................... 12 【题型七】充要条件应用：文字辨析 ..................................................................................... 14 【题型八】充要条件应用：电路图 ......................................................................................... 15 专题训练 .. (17)讲高考1．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B 【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 2．（2019·浙江·高考真题）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 3．（全国·高考真题（理））设命题甲：ABC 的一个内角为60°．命题乙：ABC 的三内角的度数成等差数列．那么（）A ．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【答案】C【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】ABC 的一个内角为60°，则另两内角的和为120°，因此ABC 的三内角的度数成等差数列，反之，ABC 的三内角的度数成等差数列，由三角形内角和定理知，ABC 必有一个内角为60°，所以甲是乙的充要条件. 故选：C 4．（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为22sin cos 1x x +=可得：当sin 1x =时，cos 0x =，充分性成立；当cos 0x =时，sin 1x =±，必要性不成立；所以当x ∈R ，sin 1x =是cos 0x =的充分不必要条件. 故选：A. 5．（2022·北京·高考真题）设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，记[]x 为不超过x 的最大整数. 若{}n a 为单调递增数列，则0d >，若10a ≥，则当2n ≥时，10n a a >≥；若10a <，则()11n a a n d +-=，由()110n a a n d =+->可得11a n d >-，取1011a N d ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，则当0n N >时，0n a >，所以，“{}n a 是递增数列”⇒“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”；若存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >，取N k *∈且0k N >，0k a >，假设0d <，令()0n k a a n k d =+-<可得k a n k d >-，且k ak k d->，当1k a n k d ⎡⎤>-+⎢⎥⎣⎦时，0n a <，与题设矛盾，假设不成立，则0d >，即数列{}n a 是递增数列.所以，“{}n a 是递增数列”⇐“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”.所以，“{}n a 是递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的充分必要条件. 故选：C.6．（·湖南·高考真题（文））命题“若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是 A ．若α≠4π，则tanα≠1 B ．若α=4π，则tanα≠1C ．若tanα≠1，则α≠4πD ．若tanα≠1，则α=4π【答案】C【分析】因为“若p ，则q ”的逆否命题为“若q ⌝，则p ⌝”，所以 “若α=4π，则tanα=1”的逆否命题是 “若tanα≠1，则α≠4π”. 7.（江西·高考真题）在ABC 中，设命题:sin sin sin a b cp B C A==，命题q ：ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【分析】先当p 成立时，利用正弦定理把等式中的边转化成角的正弦，化简整理求得A B C ==判断出△ABC 是等边三角形．推断出p 是q 的充分条件；反之利用正弦定理可分别求得2sin a R B =，2sin b R C =，2sin cR A=，三者相等，进而可推断出p 是q 的必要条件，【详解】解：sin sin sin a b c B C A ==，即22sin 2sin ,sin sin sin sin sin R A R BA CB B C==①； 22sin 2sin ,sin sin sin sin sin R B R CA B C C A==①， ①-①，得(sin sin )(sin sin sin )0C B A B C -++=，则sin sin C A =， C A ∴=．同理得C B =，A B C ∴==，则△ABC 是等边三角形．当A B C ==时，2sin 2sin sin a R A R B B ==，2sin 2sin sin b R B R C C ==，2sin 2sin sin c R CR A A== ∴sin sin sin a b c B C A ==成立，p ∴命题是q 命题的充分必要条件．故选：A ．题型全归纳【题型一】全称与特称【讲题型】例题1.命题“30R 0,x Q x Q ∃∈∉”的否定是（） A ．30R 0,x Q x Q ∃∉∈B ．3R ,x Q x Q ∀∈∈C ．3R ,x Q x Q ∀∉∈ D ．30R 0,x Q x Q ∀∈∉ 【答案】B【分析】存在性命题的否定是将“∃”改为“∀”,并对结论进行否定即可得出结果. 【详解】根据题意,存在性命题的否定是将“∃”改为“∀”,并对结论进行否定, ∴已知命题的否定为:3R ,x Q x Q ∀∈∈.故选:B.例题2.命题“a ∃，0b >，12a b +≥和12b a+≥都不成立”的否定为（） A ．a ∀，0b >，12a b +<和12b a +<至少有一个成立B ．a ∀，0b >，12a b +≥和12b a+≥都不成立C ．a ∃，0b >，12a b +>和12b a +>都不成立D ．a ∀，0b >，12a b +≥和12b a+≥至少有一个成立【答案】D【分析】由特称命题的否定形式，分析即得解.【详解】由特称命题的否定形式，“a ∃，0b >，12a b +≥和12b a+≥都不成立”的否定为：a ∀，0b >，12a b +≥和12b a+≥至少有一个成立.故选：D1.设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是（）A ．对任意0m >，方程20x x m +-=无实根；B ．对任意0m ≤，方程20x x m +-=无实根；C ．对任意0m >，方程20x x m +-=有实根；D ．对任意0m ≤，方程20x x m +-=有实根．【答案】A【分析】根据存在量词命题否定的概念判断即可.【详解】命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是“对任意0m >，方程20x x m +-=无实根”. 故选：A.2.已知命题:(1,)p x ∃∈+∞，使315x +>，则（） A ．命题p 的否定为“(1,)∃∈+∞x ，使315x +≤” B ．命题p 的否定为“(,1]x ∃∈-∞，使315x +≤” C ．命题p 的否定为“(1,)x ∀∈+∞，使315x +≤” D ．命题p 的否定为“(,1]x ∀∈-∞，使315x +≤” 【答案】C【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可得到答案.【详解】由题意知命题:(1,)p x ∃∈+∞，使315x +>为存在量词命题，其否定为全称量词命题，即“(1,)x ∀∈+∞，使315x +≤”，故选：C.3.关于命题:p x ∃∈R ，2320x x ++<的叙述正确的是（）.A ．p 的否定：x ∀∈R ，2320x x ++<B ．p 的否定：x ∃∈R ，2320x x ++≥C ．p 是真命题，p 的否定是假命题D ．p 是假命题，p 的否定是真命题【答案】C【分析】写出命题p 的否定可判断AB ，当32x =-时，213204x x ++=-<，然后可判断CD.【详解】因为命题:p x ∃∈R ，2320x x ++<，所以p 的否定：x ∀∈R ，2320x x ++≥，故AB 错误，当32x =-时，213204x x ++=-<，故p 是真命题，p 的否定是假命题，故C 正确D 错误，故选：C【题型二】全称与特称命题真假判断【讲题型】例题1.已知命题p ：在ABC 中，若π4A >，则sin A >，命题:1q x ∀>-，ln(1)x x ≥+.下列复合命题正确的是（）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∧⌝ 【答案】C【分析】命题p 可举出反例，得到命题p 为假命题，构造函数证明出:1q x ∀>-，ln(1)x x ≥+成立，从而判断出四个选项中的真命题.【详解】在ABC 中，若5π6A =，此时满足π4A >，但1sin 2A =<p 错误；令()()ln 1,1f x x x x =-+>-，则()1111x f x x x '=-=++，当0x >时，0f x ，当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在0x >上单调递增，在10x -<<上单调递减，所以()f x 在0x =处取得极小值，也是最小值，()()00ln 010f =-+=，所以:1q x ∀>-，ln(1)x x ≥+成立，为真命题；故p q ∧为假命题，()()p q ⌝∧⌝为假命题，()p q ⌝∧为真命题，()p q ∧⌝为假命题. 故选：C例题2.已知命题p ：x ∃∈R ，210x x -+≥；命题q ：若22a b <，则.a b <下列命题为真命题的是（） A ．p q ∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧ D ．p q ⌝∧⌝ 【答案】B【分析】先判断出命题,p q 的真假，然后逐项判断含有逻辑联结词的复合命题的真假. 【详解】解：命题:0p x ∃=，使210x x -+≥成立，故命题p 为真命题；当1a =，2b =-时，22a b <成立，但a b <不成立，故命题q 为假命题； p q ∧p q ⌝∧p q ⌝∧⌝p q ∧⌝1.命题p ：“x ∀∈R ，210x +<”，则下列表述正确的是（） A ．命题p 是真命题B ．命题“p ⌝：x ∃∈R ，210x +≥”是真命题C ．命题“p ⌝：x ∃∈R ，210x +<”是假命题D ．命题“p ⌝：x ∀∈R ，210x +≥”是真命题【答案】B 【分析】判断命题p 的真假可判断A ；命题的真假判断和含有一个量词的命题否定可判断B ，C ，D.【详解】因为211x +≥，所以命题p 是假命题，故A 不正确；命题“p ⌝：x ∃∈R ，210x +≥”是真命题，故B 正确，C 、D 不正确. 故选：B.2.命题“[]2,5x ∀∈，20x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是（）． A ．4a ≤ B ．3a ≤ C ．5a < D ．4a > 【答案】C【分析】求出命题“[]2,5x ∀∈，20x a -≥”为真命题的充要条件即可选出答案. 【详解】由20x a -≥可得2a x ≤，因为2y x 在[]2,5上单调递增，所以2min 24y ==，所以命题“[]2,5x ∀∈，20x a -≥”为真命题的充要条件为4a ≤.所以命题“[]2,5x ∀∈，20x a -≥”为真命题的一个必要不充分条件是选项C ，故选：C ．3.下列命题中是真命题的个数是（）（1）2,230.x x x ∀∈-->R（2）2,240.x x x ∃∈-+>R（3）若2[1,3],20x x x a ∀∈--+≥为真命题，则1a ≥（4）4(,0),0x x a x∃∈-∞+-≥为真命题，则 4.a ≤-A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【分析】对（1）（2），由二次函数图象即可判断；对（3），()22y f x x x a ==-+对称轴为1x =，图象开口向上，命题为真等价于()10f ≥，求解即可；对（4），44(,0),0x x a a x x x ⎛⎫∈-∞+-≥⇔≤--- ⎪⎝⎭，由均值不等式得44x x ⎛⎫---≤- ⎪⎝⎭，故命题为真等价于 4.a ≤- 【详解】对（1），由412160∆=+=>得2=23y x x --与x 轴有两个交点，故命题（1）为假命题；对（2），图象开口向上，故命题（2）为真命题；对（3），()22y f x x x a ==-+对称轴为1x =，图象开口向上，故2[1,3],20x x x a ∀∈--+≥为真命题等价于()11201f a a =-+≥⇒≥，故命题（3）为真命题；对（4），44(,0),0x x a a x x x ⎛⎫∈-∞+-≥⇔≤--- ⎪⎝⎭，①44x x ⎛⎫---≤-=- ⎪⎝⎭，故命题（4）为真命题；故选：C【题型三】全称特称命题求参数【讲题型】例题1.若命题“(0,3),20ax x x ∃∈--≤”为真命题，则实数a 可取的最小整数值是（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．3【答案】A【分析】由题意可得只需2min (2),(0,3)a x x x ≥-∈即可,再由二次函数的性质求出2()2,(0,3)f x x x x =-∈的最小值即可得a 的取值范围，从而得答案.【详解】解：因为(0,3),20ax x x∃∈--≤为真命题，所以2(0,3),2x a x x ∃∈≥-为真命题，只需2min (2),(0,3)a x x x ≥-∈即可,由二次函数的性质的可知2()2,(0,3)f x x x x =-∈的最小值为(1)1f =-，所以1a ≥-，所以a 可取的最小整数值是-1. 故选：A.例题2.．若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦”是真命题，则实数m 的最小值为_____________.【答案】1【详解】若“0,,tan 4x x m π⎡⎤∀∈≤⎢⎥⎣⎦ ”是真命题，则m 大于或等于函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值因为函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，所以，函数tan y x =在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，所以，1m ≥ ，即实数m 的最小值为1.1.命题p ：“[]2,3x ∃∈，30x a ->”，若命题p 是假命题，则a 的最小值为（） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 【答案】D【分析】依题意可得命题p ⌝：“[]2,3∀∈x ，30x a -≤”为真命题，参变分离可得3≥a x 对[]2,3∀∈x 恒成立，则()max 3a x ≥，求出参数的取值范围，即可得解.【详解】解：因为命题p ：“[]2,3x ∃∈，30x a ->”为假命题，则命题p ⌝：“[]2,3∀∈x ，30x a -≤”为真命题，所以3≥a x 对[]2,3∀∈x 恒成立，所以()max 39a x ≥=，即[)9,a ∈+∞，所以a 的最小值为9. 故选：D2.已知命题:R p x ∀∈，2360ax x --≤为真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．38a a ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭B ．38a a ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭C ．38a a ⎧⎫≥-⎨⎬⎩⎭ D ．308a a ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭【答案】B【分析】由题可知2360ax x --≤恒成立，根据二次函数的性质即得. 【详解】由题可知2360ax x --≤恒成立，当0a =时，360x --≤不合题意，当0a ≠时，则()2Δ3460a a <⎧⎪⎨=-+⨯≤⎪⎩，解得38a ≤-.故选：B. 3.已知命题“R x ∃∈，使()222(1)10a a x a x +-+-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．()[),31,-∞-+∞ B ．()3,1-C ．()3,-+∞D ．()(),31,-∞-⋃+∞【答案】A【分析】依题意可得命题“x ∀∈R ，使()222(1)10a a x a x +-+-+>”是真命题，再分220a a +-=和220a a +-≠两种情况讨论，分别计算可得.【详解】解：因为命题“R x ∃∈，使()222(1)10a a x a x +-+-+≤”是假命题，所以命题“x ∀∈R ，使()222(1)10a a x a x +-+-+>”是真命题，当220a a +-=，解得=1a 或2a =-，若=1a 时原不等式即10>，满足条件；若2a =-时原不等式即310x -+>，即13x <，不符合题意；当220a a +-≠，则()()222+2>014+2<0a a a a a ----⎧⎪⎨⎪⎩，解得1a >或3a <-，综上可得()[),31,a ∈-∞-+∞；故选：A【题型四】充分与必要条件判断【讲题型】例题1.若:p a ∈R 且11a -<<，q ：二次函数()212y x a x a =+++-有两个零点，且一个零点大于零，另一个零点小于零；则p ⌝是q ⌝的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据互逆命题的性质，结合一元二次方程根的判别式和根与系数关系、充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】设2(1)20x a x a +++-=的一个根1x 大于零，另一根2x 小于零，则1220x x a =-<，解得2a <，因为命题：若p ⌝，则q ⌝的逆否命题为：若q ，则p ，由{}11a a -<<是{}2a a <的真子集，因此q 是p 的必要不充分条件．故选：B ．例题2.已知ABC 中，π26B AC ∠==，，则π6A ∠=的充要条件是（）A ．ABC 是等腰三角形 B．AB =C ．4BC = D．ABC S BC BA <【答案】D【分析】根据正余弦定理即可结合选项逐一求解.【详解】由于π6B ∠=，故当ABC 是等腰三角形时，π6A ∠=或5π12A ∠=或2π3A ∠=；当π6A ∠=时，ABC 是等腰三角形，所以ABC 是等腰三角形是π6A ∠=的必要不充分条件，所以选项A 不正确；当AB =时，sin sin AB AC C B =，2,sin πsin 6C ==所以π3C ∠=或2π3C ∠=，则π2A ∠=或π6A ∠=；当π6A ∠=时，2π3C ∠=，根据正弦定理可得AB =AB =π6A ∠=的必要不充分条件，所以选项B 不正确；当4BC =时，sin sin BC ACA B =，即42πsin sin 6A=，解得πsin 1,2A A =∠=，所以4BC =不是π6A ∠=的充分条件，所以选项C 不正确；当π6A ∠=时，ABC S；当ABC S1sin 2BC BA B BC BA ⋅⋅⋅=∴⋅=余弦定理222cos 4BC BA BC BA B +-⋅⋅=，解得2216,,2,BC BA BC BA BC BA +=<∴==，则π6A ∠=，所以ABCS BC BA =<是π6A ∠=的充要条件，故选：D ．1.使12x +>成立的一个必要不充分条件是（） A ．3x <- B ．0x > C ．3x <-或1x > D ．3x <-或0x > 3【答案】D【分析】解绝对值不等式可得1x >或3x <-，根据充分、必要性定义判断各项与条件间的关系即可.【详解】由12x +>，可得1x >或3x <-，所以3x <-是12x +>的充分不必要条件，0x >是12x +>的既不充分也不必要条件，3x <-或1x >是12x +>的充要条件，3x <-或0x >是12x +>的必要不充分条件. 故选：D2.若A 、B 是全集I 的真子集，则下列五个命题：①A B A =；①A B A ⋃=；①()A B ⋂=∅；①A B I ⋂=；①x B ∈是x A ∈的必要不充分条件.其中与命题A B ⊆等价的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】B【分析】根据韦恩图和集合的交、并、补运算的定义逐一判断可得选项. 【详解】解：由A B ⊆得韦恩图：或对于①，A B A =等价于A B ⊆，故①正确；对于①，A B A ⋃=等价于B A ⊆，故①不正确；对于①，()A B ⋂=∅等价于A B ⊆，故①正确；对于①，A B I ⋂=与A 、B 是全集I 的真子集相矛盾，故①不正确；对于①，x B ∈是x A ∈的必要不充分条件等价于B A ，故①不正确，所以与命题A B ⊆等价的有①①，共2个，故选：B.3.若集合(){}2|10A x x m x m =-++=，{}1,0,1B =-，则“1m =-”是“A B ⊆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分不必要条件的定义再结合子集关系即可得到答案.【详解】当1m =-时，{}{}2|101,1A x x B =-==-⊆，满足充分性. ()210x m x m -++=，()()221410m m m ∆=+-=-≥，所以A ≠∅.当0∆>时，(){}{}2|10,1A x x m x m m =-++==，因为A B ⊆，所以0m =或1m =-.当Δ0=时，1m =，此时{}1A =，满足A B ⊆.所以A B ⊆，0m =或1m =-或1m =，不满足必要性. 所以“1m =-”是“A B ⊆”的充分不必要条件. 故选：A【题型五】充分不必要条件求参数【讲题型】例题1.．若“2340x x +-<”是“()()30x k x k --+>⎡⎤⎣⎦"的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是（）A ．()[),71,∞∞--⋃+B ．(](),71,∞∞--⋃+C ．()(),71,-∞-+∞D ．][(),71,∞∞--⋃+ 【答案】D【分析】求出一元二次不等式的解集，再利用充分不必要条件的意义列式，求解作答.【详解】解不等式2340x x +-<得：41x -<<，即不等式2340x x +-<的解集为(4,1)-，由()()30x k x k --+>⎡⎤⎣⎦得x k <或3x k >+，即此不等式的解集为()(),3,k k -∞++∞，依题意，(4,1)- ()(),3,k k ∞∞⎡⎤-⋃++⎣⎦，则有34k +≤-或1k ≥，解得7k ≤-或1k ≥，所以实数k 的取值范围是][(),71,∞∞--⋃+.故选：D例题2.设:x a α>，1:0x x β->，若α是β的充分条件，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,+∞B ．(],1-∞C ．[)1,+∞D ．(],0-∞ 【答案】C【分析】解分式不等式10x x->得β，由α是β的充分条件等价于β包含α，根据包含关系列不等式求解即可【详解】()1010x x x x->⇔->，解得1x >或0x <，由α是β的充分条件，则有1a ≥. 故选：C1.已知2:,:01x p x k q x -≥<+，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是（） A ．[)2,∞B ．()2,+∞C ．[)1,+∞D ．(],1-∞- 【答案】B【分析】求出不等式201x x -<+的解集，由p 是q 的充分不必要条件确定k 的取值范围. 【详解】由201x x -<+得 (2)(1)0x x -+<，解得1x <-或2x >，因为p 是q 的充分不必要条件，所以由xk 能推出 1x <-或2x >，得2k >；当2k >时由q 得不到p . 综上：2k >。

简单概率练习题及答案

简单概率练习题及答案一、选择题1．如图1,将五张分别印有北京2008年奥运会吉祥物“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”的卡片放入盒中，从中随机地抽取一张卡片印有“欢欢”的概率为A．1111 B．C． D．354图1 图图32．有5张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中翻开任意一张是数字2的概率A．1221B． C．D．532111 C．D．343．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A．1 B．4．在抛掷一枚硬币的实验中，某小组做了1000?次实验，?最后出现正面的频率为49.6%，此时出现正面的频数为 A．496B．500 C．51 D．不能确定5．下列说法错误的是．．A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 B．不可能事件发生机会为0C．买一张彩票会中奖是可能事件D．一件事发生机会为0.1%，这件事就有可能发生 1 6．某校九年级班50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加义乌市“文明劝导活动”．根据要求，该班从团员中随机抽取1名参加，则该班团员京京被抽到的概率是A．150B.12C.25D.107．现有4种物质：①HCl；②NaOH；③HO；④NaCl．?任取两种混合能发生化学变化的概率为A．1111B． C．D．3648．一个均匀的立方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，如图3是这个立方体的表面展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面的数恰好等于朝下一面的数的的概率是 A．111B．C． D．3239．小王的衣柜里有两件上衣，一件红色，一件黄色；还有三条裤子，分别是：白色，蓝色和黄色，任意取出一件上衣和一条裤子，正好都是黄色的概率为A．5111 B．C． D．6353211 B． C． D．32410．随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是 A．二、填空题11．一个口袋中有4个白球，5个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是_______．12．小明与父母从广州乘火车回梅州参加叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是______．13．一个小组里有4名女同学，6名男同学，从中任选两人去参加一个晚会，选出的两人恰好是一男一女的概率是________．14．一张正方形纸片与两张正三角形纸片的边长相同，放在盒子里搅匀后，?任取两张出来能拼成菱形概率是______．15．若质量抽检时得出任抽一件西服成品为合格品的概率为0.9，?那么销售1200件西服时约需多准备______件合格品供顾客调换．16．袋中同样大小的4个小球，其中3个红色，1个白色．?从袋中任意地同时摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是_______．17．如图4，有以下6张牌，从中任意抽取两张，点数之和是奇数的概率是______．图图518．某班准备同时在A，B两地开展数学活动，?每位同学由抽签确定去其中一个地方，则甲，乙，丙三位同学中恰好有两位同学抽到去B地的概率是______．19．如图5，电路图上有编号为①②③④⑤⑥共6个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②，③或同时闭合开关④⑤⑥都可使一个小灯泡发光，问任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为______．20．共有4条线段，长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm，任取其中的3条，?恰能构成三角形的概率为________．三、解答题21．如图，某公司租下了一层写字楼，由于刚刚装修，还未来得及挂牌，此时，一客户来到该层写字楼，问他进入哪个部门的概率最大？为什么？22．如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘等分成3个扇形，?乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字，小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，?小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率；你认为该游戏规则是否公平？若游戏规则公平，请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．23．一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．24．在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，?就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色，黄色，绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元，30元，20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物奖？说明理由．25．已知：如图所示，某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：?顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：计算并完成表格；请估计，当n很大时，频率将会接近多少？假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少度？简单事件的概率一、选择题1．如图1,将五张分别印有北京2008年奥运会吉祥物“贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮”的卡片放入盒中，从中随机地抽取一张卡片印有“欢欢”的概率为A．1111 B．C． D．354图1 图图32．有5张写有数字的卡片，它们的背面都相同，现将它们背面朝上，从中翻开任意一张是数字2的概率A．1221B． C．D．532111 C．D．343．随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A．1 B．4．在抛掷一枚硬币的实验中，某小组做了1000?次实验，?最后出现正面的频率为49.6%，此时出现正面的频数为 A．496B．500 C．51 D．不能确定5．下列说法错误的是．．A．同时抛两枚普通正方体骰子，点数都是4的概率为 B．不可能事件发生机会为0C．买一张彩票会中奖是可能事件D．一件事发生机会为0.1%，这件事就有可能发生 1 6．某校九年级班50名学生中有20名团员，他们都积极报名参加义乌市“文明劝导活动”．根据要求，该班从团员中随机抽取1名参加，则该班团员京京被抽到的概率是A．150B.12C.25D.107．现有4种物质：①HCl；②NaOH；③HO；④NaCl．?任取两种混合能发生化学变化的概率为A．1111B． C．D．3648．一个均匀的立方体的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，如图3是这个立方体的表面展开图．抛掷这个立方体，则朝上一面的数恰好等于朝下一面的数的的概率是 A．111B．C． D．3239．小王的衣柜里有两件上衣，一件红色，一件黄色；还有三条裤子，分别是：白色，蓝色和黄色，任意取出一件上衣和一条裤子，正好都是黄色的概率为A．5111 B．C． D．6353211 B． C． D．32410．随机掷一枚均匀的硬币两次，落地后至少有一次正面朝上的概率是 A．二、填空题11．一个口袋中有4个白球，5个红球，6个黄球，每个球除颜色外都相同，搅匀后随机从袋中摸出一个球，这个球是白球的概率是_______． 12．小明与父母从广州乘火车回梅州参加叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是______．13．一个小组里有4名女同学，6名男同学，从中任选两人去参加一个晚会，选出的两人恰好是一男一女的概率是________．14．一张正方形纸片与两张正三角形纸片的边长相同，放在盒子里搅匀后，?任取两张出来能拼成菱形概率是______．15．若质量抽检时得出任抽一件西服成品为合格品的概率为0.9，?那么销售1200件西服时约需多准备______件合格品供顾客调换．16．袋中同样大小的4个小球，其中3个红色，1个白色．?从袋中任意地同时摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是_______．17．如图4，有以下6张牌，从中任意抽取两张，点数之和是奇数的概率是______．图图518．某班准备同时在A，B两地开展数学活动，?每位同学由抽签确定去其中一个地方，则甲，乙，丙三位同学中恰好有两位同学抽到去B地的概率是______．19．如图5，电路图上有编号为①②③④⑤⑥共6个开关和一个小灯泡，闭合开关①或同时闭合开关②，③或同时闭合开关④⑤⑥都可使一个小灯泡发光，问任意闭合电路上其中的两个开关，小灯泡发光的概率为______．20．共有4条线段，长度分别为1cm，2cm，3cm，4cm，任取其中的3条，?恰能构成三角形的概率为________．三、解答题21．如图，某公司租下了一层写字楼，由于刚刚装修，还未来得及挂牌，此时，一客户来到该层写字楼，问他进入哪个部门的概率最大？为什么？22．如图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘等分成3个扇形，?乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字，小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则是：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所指区域内的数字之和小于10，?小颖获胜；指针所指区域内的数字之和等于10，为平局；指针所指区域内的数字之和大于10，小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．请你通过画树状图的方法求小颖获胜的概率；你认为该游戏规则是否公平？若游戏规则公平，请说明理由；若游戏规则不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．23．一只箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．从箱子中任意摸出一个球是白球的概率是多少？从箱子中任意摸出一个球，不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．24．在一次促销活动中，某商场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客每购买100元的商品，?就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色，黄色，绿色区域，那么顾客就可以分别获得50元，30元，20元的购物券，凭购物券可以在该商场继续购物．如果顾客不愿意转转盘，那么可以直接获得购物券10元．求每转动一次转盘所获购物券金额的平均数；如果你在该商场消费125元，你会选择转转盘还是直接获得购物奖？说明理由．25．已知：如图所示，某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：?顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：计算并完成表格；请估计，当n很大时，频率将会接近多少？假如你去转动该转盘一次，你获得铅笔的概率约是多少？在该转盘中，表示“铅笔”区域的扇形的圆心角大约是多少度？第五章数理统计的基础知识5.1 数理统计的基本概念习题一已知总体X服从[0,λ]上的均匀分布, X1,X2,?,Xn为X的样本，则.1n∑i=1nXi-λ2是一个统计量；1n∑i=1nXi-E是一个统计量；X1+X2是一个统计量；1n∑i=1nXi2-D是一个统计量.解答：应选.由统计量的定义：样本的任一不含总体分布未知参数的函数称为该样本的统计量.中均含未知参数.习题2观察一个连续型随机变量，抽到100株“豫农一号”玉米的穗位, 得到如下表中所列的数据. 按区间[70,80),[80,90),?,[150,160), 将100个数据分成9个组，列出分组数据计表, 并画出频率累积的直方图.解答：分组数据统计表分别表示样本均值和样本二阶中心矩，试求E,E.解答：由X～B, 得E=10×3100=310,D=10×3100×97100=2911000,所以E=E=310,E=n-1nD=2911000n.习题6设某商店100天销售电视机的情况有如下统计资料f=2Ff={2λe-λx,x>00,其它,又X的概率密度为f=2[1-F]f={2λe-2λx,x>00,其它.习题9设电子元件的寿命时间X服从参数λ=0.0015的指数分布，今独立测试n=6元件，记录它们的失效时间，求：没有元件在800h之前失效的概率；没有元件最后超过3000h的概率.解答：总体X的概率密度f={e-0.0015x,x>00,其它,分布函数F={1-e-0.0015x,x>00,其它,{没有元件在800h前失效}={最小顺序统计量X>800},有P{X>800}=[P{X>800}]6=[1-F]6=ex p=exp≈0.000747.{没有元件最后超过3000h}={最大顺序统计量X P{X =[1-exp{-0.0015×3000}]6=[1-exp{-4.5}]6≈0.93517.习题10设总体X任意，期望为μ,方差为σ2, 若至少要以95%的概率保证∣Xˉ-μ∣ 解答：因当n很大时，Xˉ-N, 于是P{∣Xˉ-μ∣ ≈Φ-Φ=2Φ-1≥0.95,则Φ≥0.975, 查表得Φ=0.975, 因Φ非减，故0.1n≥1.96,n≥384.16, 故样本容量至少取385才能满足要求.5.常用统计分布习题1对于给定的正数a, 设za,χa2,ta,Fa分别是标准正态分布，χ2,t, F分布的上a分位点，则下面的结论中不正确的是.z1-a=-za;χ1-a2=-χa2;t1-a=-ta;F1-a=1Fa.解答：应选.因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的，而χ2分布的密度大于等于零，所以和是对的.是错的. 对于F分布，若F～F, 则1-a=P{F>F1-a}=P{1F1F1-a由于1F～F, 所以P{1F>1F1-a=P{1F>Fa=a,即F1-a=1Fa. 故也是对的.习题22.设总体X～N,X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?X1-X2X32+X42;解答：因为Xi～N,i=1,2,?,n, 所以：X1-X2～N, X1-X22～N, X32+X42～χ2,故X1-X2X32+X42=/2X32+X422～t.习题22.设总体X～N,X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?n-1X1X22+X32+?+Xn2;解答：因为Xi～N,∑i=2nXi2～χ2, 所以n-1X1X22+X32+?+Xn2=X1∑i=2nXi2/～t.习题22.设总体X～N,X1,X2,?,Xn为简单随机样本，问下列各统计量服从什么分布?∑i=13Xi2/∑i=4nXi2.解答：因为∑i=13Xi2～χ2,∑i=4nXi2～χ2, 所以：∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/～F.习题3。

概率测试题及答案

概率测试题及答案一、选择题1. 一个骰子掷出6点的概率是：A. 1/3B. 1/6C. 1/2D. 1答案：B2. 抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率相等，这个概率是：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 2/3答案：A3. 如果一个事件的发生不影响另一个事件的发生，这两个事件被称为：A. 互斥事件B. 独立事件C. 必然事件D. 不可能事件答案：B二、填空题1. 概率的基本性质是：概率的值介于________和1之间。

答案：02. 如果事件A和事件B是互斥的，那么P(A∪B) = P(A) + P(B) -P(A∩B)，其中P(A∩B) = ________。

答案：0三、简答题1. 什么是条件概率？请给出条件概率的公式。

答案：条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率的公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，其中P(B)≠ 0。

四、计算题1. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。

答案：抽到红球的概率为P(红球) = 5/(5+3) = 5/8。

2. 有3个独立事件A、B、C，它们各自发生的概率分别为P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，P(C) = 0.5。

求事件A和事件B同时发生的概率。

答案：事件A和事件B同时发生的概率为P(A∩B) = P(A) × P(B) = 0.3 × 0.4 = 0.12。

五、论述题1. 论述什么是大数定律，并给出一个实际生活中的例子。

答案：大数定律是概率论中的一个概念，它指出随着试验次数的增加，事件发生的相对频率趋近于其概率。

例如，在抛硬币的实验中，随着抛硬币次数的增加，正面朝上的频率会趋近于1/2，即硬币正面朝上的概率。

小学一年级简单概率练习题

小学一年级简单概率练习题题目一：请你从一个有10个红球和20个蓝球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。

题目二：小明有一副扑克牌，共有52张牌，其中有4种花色（红桃、黑桃、方块、草花），每种花色有13张牌。

现在小明从中随机抽取一张牌，请你求取到红桃的概率。

题目三：一个骰子有6个面，分别标有1、2、3、4、5、6。

小刚和小明同时投掷一次骰子，他们想知道投掷出的点数之和是偶数的概率。

请你计算这个概率。

题目四：小华从一个有20支铅笔中随机选取一支，从一个有10只黑色铅笔和5只红色铅笔中随机选取一支，他想知道他所选取的铅笔颜色相同的概率。

请你计算这个概率。

题目五：小明要从一个有12个苹果和8个橙子的篮子中随机拿出两个水果，他想知道他拿到两个苹果的概率。

请你计算这个概率。

题目六：小明要从一个有36张牌的扑克牌中随机抽取两张牌，他想知道他抽到两张相同花色的概率。

请你计算这个概率。

题目七：在一盒子里有10张卡片，卡片上写着1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

小明从盒子中随机抽取一张卡片，他想知道他抽到的数字是偶数的概率。

请你计算这个概率。

题目八：小刚和小明按顺序轮流抛一枚硬币。

小刚抛出正面的概率是0.6，小明抛出正面的概率是0.4。

他们想知道按照这个规则进行两次抛硬币后，出现正面的次数是偶数的概率。

请你计算这个概率。

题目九：小红和小蓝各自有一副扑克牌，共有52张牌，他们同时从各自的扑克牌中随机抽取一张牌，他们想知道他们抽到的两张牌花色相同的概率。

请你计算这个概率。

题目十：在一个包包中有6条裙子和4条裤子，小明随机选择两条，他想知道他选择的两条裤子的概率。

请你计算这个概率。

概率初步试题及答案

概率初步试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 某事件的概率为0.5，那么它的对立事件的概率是（）。

A. 0.5B. 0C. 1D. 0.3答案：C2. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是（）。

A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 1答案：A3. 随机变量X服从二项分布B(n,p)，其中n=10，p=0.3，那么P(X=3)是（）。

A. 0.3B. 0.03C. 0.09D. 0.33答案：C4. 某次考试，甲、乙、丙三人的成绩独立，甲通过的概率为0.7，乙通过的概率为0.6，丙通过的概率为0.5，那么三人都通过的概率是（）。

A. 0.21B. 0.35C. 0.105D. 0.05答案：C5. 已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，其中μ=0，σ^2=1，那么P(-1<X<1)是（）。

A. 0.6826B. 0.95C. 0.8413D. 0.9772答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 概率的取值范围是（）。

答案：[0,1]2. 随机变量X服从泊松分布，其参数λ=4，则P(X=2)=（）。

答案：0.33. 某次实验中，事件A和事件B是互斥的，且P(A)=0.4，P(B)=0.3，则P(A∪B)=（）。

答案：0.44. 已知随机变量X服从均匀分布U(0,3)，则E(X)=（）。

答案：1.5三、计算题（每题10分，共20分）1. 已知随机变量X服从二项分布B(5,0.2)，求P(X≥3)。

答案：P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=C_5^3*0.2^3*0.8^2+C_5^4*0.2^4*0.8+0.2^5=0.0512+0.0128+0.00032=0.064322. 已知随机变量X服从正态分布N(2,4)，求P(1<X<3)。

答案：P(1<X<3)=Φ((3-2)/2)-Φ((1-2)/2)=Φ(0.5)-Φ(-0.5)=0.6915-0.3585=0.333四、解答题（共40分）1. 某班有50名学生，其中有20名女生，30名男生。

(完整版)简易逻辑练习题(包含详细答案)

1．“|a|>0”是“a>0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析因为|a|>0⇔a>0或a<0，所以a>0⇒|a|>0，但|a|>0a>0.2．(2012·陕西)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋b i为纯虚数”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析由a＋bi为纯虚数可知a＝0，b≠0，所以ab＝0.而ab＝0a＝0，且b≠0.故选B项．3．“a>1”是“1a<1”的( )A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既非充分也非必要条件答案 B4．(2013·湖北)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q答案 A解析綈p：甲没有降落在指定范围；綈q：乙没有降落在指定范围，至少有一位学员没有降落在指定范围，即綈p或綈q发生．故选A.5．命题“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1D．若x≥1或x≤－1，则x2≥1答案 D解析原命题的逆否命题是把条件和结论都否定后，再交换位置，注意“－1<x<1”的否定是“x≥1或x≤－1”．6．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝74，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件，故选择A.7．已知p：a≠0，q：ab≠0，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析ab＝0a＝0，但a＝0⇒ab＝0，因此，p是q的必要不充分条件，故选B.8．设M、N是两个集合，则“M∪N≠∅”是“M∩N≠∅”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件答案 B解析M∪N≠∅，不能保证M，N有公共元素，但M∩N≠∅，说明M，N 中至少有一元素，∴M∪N≠∅.故选B.9．若x ，y ∈R ，则下列命题中，甲是乙的充分不必要条件的是( ) A ．甲：xy ＝0 乙：x 2＋y 2＝0B ．甲：xy ＝0 乙：|x |＋|y |＝|x ＋y |C ．甲：xy ＝0 乙：x 、y 至少有一个为零D ．甲：x <y 乙：xy <1答案 B解析选项A ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0，乙：x 2＋y 2＝0即x 与y 都为0.甲乙，乙⇒甲．选项B ：甲：xy ＝0即x ，y 至少有一个为0，乙：|x |＋|y |＝|x ＋y |即x 、y 至少有一个为0或同号．故甲⇒乙且乙甲．选项C ：甲⇔乙，选项D ，由甲x <y 知当y ＝0，x <0时，乙不成立，故甲乙．10．在△ABC 中，设p ：a sin B ＝b sin C ＝csin A ；q ：△ABC 是正三角形，那么p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析若p 成立，即a sin B ＝b sin C ＝c sin A ，由正弦定理，可得a b ＝b c ＝ca ＝k .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝kb ，b ＝kc ，c ＝ka ，∴a ＝b ＝c .则q ：△ABC 是正三角形成立．反之，若a ＝b ＝c ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，则a sin B ＝b sin C ＝csin A. 因此p ⇒q 且q ⇒p ，即p 是q 的充要条件．故选C.11．“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增”的( )A．充分不必要条件B．充分必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析∵当a＝1时，f(x)＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，∴a＝1⇒f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增，而f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增可得a>0，∴“a＝1”是“函数f(x)＝lg(ax)在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件，故选A.12．“x>y>0”是“1x<1y”的________条件．答案充分不必要解析1x<1y⇒xy·(y－x)<0，即x>y>0或y<x<0或x<0<y.13．“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．答案充分不必要解析题目即判断θ＝π4是tanθ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．14．如果对于任意实数x，〈x〉表示不小于x的最小整数，例如〈1.1〉＝2，〈－1.1〉＝－1，那么“|x－y|<1”是“〈x〉＝〈y〉”的________条件．答案必要不充分解析可举例子，比如x＝－0.5，y＝－1.4，可得〈x〉＝0，〈y〉＝－1；比如x＝1.1，y＝1.5，〈x〉＝〈y〉＝2，|x－y|<1成立．因此“|x－y|<1”是〈x〉＝〈y〉的必要不充分条件．15．已知A为xOy平面内的一个区域．命题甲：点(a，b)∈{(x，y)|⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋2≤0，x≥0，3x＋y－6≤0}；命题乙：点(a，b)∈A.如果甲是乙的充分条件，那么区域A的面积的最小值是________．答案 2解析设⎩⎪⎨⎪⎧x－y＋2≤0，x≥0，3x＋y－6≤0所对应的区域如右图所示的阴影部分PMN为集合B.由题意，甲是乙的充分条件，则B⊆A，所以区域A面积的最小值为S△PMN ＝12×4×1＝2.16．“a＝14”是“对任意的正数x，均有x＋ax≥1”的________条件．答案充分不必要解析当a＝14时，对任意的正数x，x＋ax＝x＋14x≥2x·14x＝1，而对任意的正数x，要使x＋ax≥1，只需f(x)＝x＋ax的最小值大于或等于1即可，而在a为正数的情况下，f(x)＝x＋ax的最小值为f(a)＝2a≥1，得a≥14，故充分不必要．17．已知命题p：|x－2|<a(a>0)，命题q：|x2－4|<1，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．答案0<a≤5－2解析由题意p：|x－2|<a⇔2－a<x<2＋a，q：|x2－4|<1⇔－1<x2－4<1⇔3<x2<5⇔－5<x<－3或3<x< 5.又由题意知p是q的充分不必要条件，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－5≤2－a，2＋a≤－3，a>0，①或⎩⎪⎨⎪⎧3≤2－a，2＋a≤5，a>0，②.由①得a无解；由②解得0<a≤5－2.18．已知集合M＝{x|x<－3或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个充分但不必要条件；(3)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<x≤8}的一个必要但不充分条件．答案(1){a|－3≤a≤5} (2)在{a|－3≤a≤5}中可任取一个值a＝0 (3){a|a<－3}解析由题意知，a≤8.(1)M∩P＝{x|5<x≤8}的充要条件－3≤a≤5.(2)M∩P＝{x|5<x≤8}的充分但不必要条件，显然，a在[－3,5]中任取一个值都可．(3)若a＝－5，显然M∩P＝[－5，－3)∪(5,8]是M∩P＝{x|5<x≤8}的必要但不充分条件．结合①②知a<－3时为必要不充分．。

经典概率思维题

1. 生日悖论（Birthday Paradox）：
如果一个房间里有23个人，那么至少有两个人生日相同的概率是多少？
2. 三门问题（Monty Hall Problem）：
在一个游戏节目中，参赛者面前有三扇门，其中一扇门后是奖品，另外两扇门后是空的。

参赛者选择一扇门后，主持人会打开另外一扇门，露出空门。

然后参赛者可以选择是否坚持原来的选择，或者改变选择。

改变选择后获奖的概率会增加吗？
3. 抛硬币问题（Coin Flipping Problem）：
连续抛掷一枚公正的硬币，抛到正面朝上的次数恰好比反面朝上的次数多一次的概率是多大？
4. 盒子问题（Box Problem）：
有两个盒子，一个盒子里有两个金币，另一个盒子里有一个金币。

随机选择一个盒子，并从里面随机拿出一个金币，发现是金头金币。

在另一个盒子里剩下的金币是金头金币的概率是多少？。

概率考试试题

概率考试试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪项是概率的定义？A. 事件发生的次数与总次数的比值B. 事件发生的可能性大小C. 事件的必然性D. 事件的不可能性2. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？A. 0B. 0.5C. 1D. 不确定3. 以下哪个事件是必然事件？A. 明天会下雨B. 太阳从东方升起C. 某人活到200岁D. 以上都不是4. 以下哪个事件是不可能事件？A. 掷骰子得到1点B. 掷骰子得到7点C. 掷骰子得到6点D. 掷骰子得到任何点数5. 一袋中有3个红球和2个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是多少？B. 2/5C. 3/5D. 5/76. 如果事件A的概率为0.3，事件B的概率为0.4，且A和B互斥，那么A和B至少有一个发生的概率是多少？A. 0.1B. 0.7C. 0.5D. 0.87. 以下哪个选项正确描述了独立事件？A. 事件A和B的结果相互影响B. 事件A发生会影响事件B发生的概率C. 事件A不发生会影响事件B发生的概率D. 事件A发生与否不影响事件B发生的概率8. 以下哪个选项是条件概率的定义？A. P(A|B) = P(A)P(B)B. P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)C. P(A|B) = P(A) / P(B)D. P(A|B) = P(A ∪ B)9. 一枚均匀的骰子连续投掷两次，向上的点数之和为5的概率是多少？A. 1/6B. 1/9C. 1/12D. 1/1810. 如果一个事件的概率为0.05，那么它的对立事件的概率是多少？B. 0.95C. 0.9D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个事件的概率为P(A)，那么它的补事件的概率为______。

12. 两个独立事件同时发生的概率等于各自发生概率的______。

13. 在一次随机抽样中，如果一个事件的发生不受其他事件的影响，那么这个事件被称为______事件。

概率复习题和答案

概率复习题和答案1. 某随机事件A发生的概率为0.3，求事件A不发生的概率是多少？答案：事件A不发生的概率为1减去事件A发生的概率，即1 - 0.3 = 0.7。

2. 如果两个独立事件B和C同时发生的概率为0.2，事件B发生的概率为0.5，求事件C发生的概率。

答案：由于事件B和C是独立的，所以事件B和C同时发生的概率等于它们各自发生概率的乘积。

设事件C发生的概率为P(C)，则有0.5* P(C) = 0.2，解得P(C) = 0.2 / 0.5 = 0.4。

3. 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求X=0的概率。

答案：泊松分布的概率质量函数为P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k!，当k=0时，P(X=0) = e^(-λ)。

4. 一组数据的样本均值为10，样本方差为4，求这组数据的标准差。

答案：标准差是方差的平方根，所以这组数据的标准差为√4 = 2。

5. 从一副52张的扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是多少？答案：一副扑克牌中有13张红桃，所以抽到红桃的概率为13/52 =1/4。

6. 已知随机变量Y服从正态分布N(μ, σ^2)，求Y的期望值和方差。

答案：对于正态分布N(μ, σ^2)，其期望值E(Y)等于参数μ，方差Var(Y)等于参数σ^2。

7. 某工厂生产的零件合格率为95%，求抽取100个零件中有90个合格的概率。

答案：这是一个二项分布问题，其中n=100，p=0.95，求的是恰好有k=90个合格的概率。

使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)是组合数，计算得到P(X=90)。

8. 一个骰子连续投掷两次，求两次投掷结果之和为7的概率。

答案：骰子投掷两次，共有36种可能的结果组合。

其中和为7的组合有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共6种，所以两次投掷结果之和为7的概率为6/36 = 1/6。

概率的练习题

概率的练习题一、选择题1. 某事件的概率P(A)为0.4，那么P(A的补集)等于多少？A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 12. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？A. 0.5B. 0.75C. 0.25D. 13. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，是红球的概率是多少？A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.34. 如果事件A和事件B是互斥的，并且P(A)=0.3，P(B)=0.2，那么P(A或B)等于多少？A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.25. 某次考试，一个学生通过的概率是0.7，不通过的概率是多少？A. 0.3B. 0.7C. 0.6D. 0.5二、填空题6. 如果一个事件的概率是0.8，那么它的对立事件的概率是________。

7. 某次抽奖活动中，共有1000张奖券，其中10张是一等奖，那么抽到一等奖的概率是________。

8. 一个骰子有6个面，每个面出现的概率是________。

9. 如果事件A和事件B是相互独立的，P(A)=0.4，P(B)=0.6，那么P(A和B同时发生)等于________。

10. 某次实验中，事件A发生的概率是0.2，事件B发生的概率是0.3，且P(A和B同时发生)=0.1，那么P(A或B)等于________。

三、计算题11. 一个盒子里有3个白球和2个黑球，从中随机取出2个球。

求以下概率：(1) 取出的2个球都是白球的概率。

(2) 取出的2个球中至少有一个是黑球的概率。

12. 某工厂生产的产品中有5%是次品。

如果随机抽取10件产品，求以下概率：(1) 没有次品的概率。

(2) 恰好有1件次品的概率。

13. 假设有3个独立事件A、B、C，它们发生的概率分别是P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(C)=0.7。

求以下概率：(1) 事件A和事件B同时发生的概率。

(2) 事件A发生，而事件B和事件C不发生的概率。

概率复习题答案

概率复习题答案1. 随机事件的概率范围是多少？答案：随机事件的概率范围是0到1，即0≤P(A)≤1。

2. 互斥事件的概率和如何计算？答案：如果事件A和事件B是互斥的，那么它们的概率和等于各自概率的和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。

3. 独立事件的概率乘积如何计算？答案：如果事件A和事件B是独立的，那么它们同时发生的概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B)=P(A)×P(B)。

4. 条件概率的公式是什么？答案：条件概率的公式是P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。

5. 贝叶斯定理如何表述？答案：贝叶斯定理表述为P(A|B)=P(B|A)×P(A)/P(B)，其中P(A|B)是在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率。

6. 什么是大数定律？答案：大数定律表明，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于其概率。

7. 中心极限定理的条件是什么？答案：中心极限定理的条件是样本量足够大，且样本数据是相互独立的。

8. 如何计算二项分布的概率？答案：二项分布的概率可以通过公式P(X=k)=C(n,k)×p^k×(1-p)^(n-k)计算，其中n是试验次数，k是成功次数，p是单次试验成功的概率。

9. 正态分布的概率密度函数是什么？答案：正态分布的概率密度函数是f(x)=1/(σ√(2π))×e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，其中μ是均值，σ是标准差。

10. 泊松分布的期望值和方差的关系是什么？答案：泊松分布的期望值和方差相等，即E(X)=Var(X)=λ，其中λ是事件发生的平均次数。

条件概率练习题

条件概率练习题一、基本概念题1. 设事件A和事件B相互独立，P(A) = 0.4，P(B) = 0.6，求P(A|B)。

2. 已知P(A) = 0.5，P(B) = 0.7，P(A ∩ B) = 0.3，求P(A|B)和P(B|A)。

3. 在一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求取出红球的条件下，取出第二个球也是红球的概率。

4. 某班级有50名学生，其中30名喜欢篮球，20名喜欢足球，10名既喜欢篮球又喜欢足球。

随机选取一名学生，求该学生喜欢篮球的条件下，也喜欢足球的概率。

二、应用题1. 一批产品中有10%的次品，现随机抽取10件产品，求恰好有2件次品的概率。

3. 抛掷一枚硬币3次，求恰好出现2次正面的概率。

4. 从一副52张的扑克牌中随机抽取4张，求抽到的都是红桃的概率。

三、综合题1. 甲、乙、丙三人独立解同一道数学题，甲解出的概率为0.4，乙解出的概率为0.5，丙解出的概率为0.3。

求至少有两人解出这道题的概率。

2. 一批产品中有20%的次品，现随机抽取5件产品，求恰好有1件次品且第2件是正品的概率。

3. 抛掷一枚均匀的骰子，求出现偶数点数的条件下，再次抛掷出现奇数点数的概率。

4. 从一副52张的扑克牌中随机抽取5张，求抽到的牌中至少有一张是红桃的概率。

四、拓展题1. 设事件A和事件B互斥，P(A) = 0.3，P(B) = 0.4，求P(A|B)。

2. 已知P(A) = 0.6，P(B|A) = 0.8，P(B|非A) = 0.4，求P(A∩ B)。

3. 某班级有60名学生，其中40名喜欢数学，30名喜欢英语，20名既喜欢数学又喜欢英语。

随机选取一名学生，求该学生喜欢数学的条件下，也喜欢英语的概率。

4. 抛掷一枚硬币和一枚骰子，求硬币出现正面且骰子出现6点的概率。

五、逻辑推理题1. 在一个家庭中，有两个孩子，已知至少有一个是女孩，求两个孩子都是女孩的概率。

2. 有三个箱子，分别装有苹果、橘子和苹果橘子混合。

条件概率推理练习

条件概率推理练习
本文档将为您提供一些条件概率推理练，帮助您更好地理解和应用条件概率的概念。

练一
假设有一批电子产品，其中有200部手机和300部平板电脑。

这些产品被分为两个仓库，仓库A和仓库B。

根据记录，仓库A 中有150部手机和50部平板电脑，仓库B中有50部手机和250部平板电脑。

现在，请根据以上信息回答以下问题：
1. 如果我们从仓库A中随机选择一部设备，那么它是手机的概率是多少？
2. 如果我们从仓库B中随机选择一部设备，那么它是平板电脑的概率是多少？
练二
假设有一批学生，其中有60%是女生，40%是男生。

我们还知道，在所有女生中，有30%是年龄小于18岁的，而在所有男生中，有20%是年龄小于18岁的。

现在，请根据以上信息回答以下问题：
1. 如果我们随机选择一个学生，那么他/她是女生且年龄小于
18岁的概率是多少？
2. 如果我们随机选择一个学生，那么他/她是男生且年龄小于
18岁的概率是多少？
练三
假设某城市的天气有三种状态：晴朗、多云和雨天。

根据历史
数据，我们知道在一年365天中，晴朗的天数占比40%，多云的天
数占比30%，雨天的天数占比30%。

现在，请根据以上信息回答以下问题：
1. 如果今天是雨天，那么明天是多云天气的概率是多少？
2. 如果今天是晴朗天气，那么明天是雨天的概率是多少？
这些练可以帮助您巩固条件概率的概念和运用，希望能对您有所帮助！。

概率的复习题及答案

概率的复习题及答案1. 事件A和事件B是互斥事件，且P(A)=0.5，求P(B)。

答案：由于事件A和事件B是互斥事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)。

又因为P(A)=0.5，所以P(B)=1-P(A)=1-0.5=0.5。

2. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。

答案：袋子里总共有8个球，其中5个是红球。

因此，抽到红球的概率为P(红球)=5/8。

3. 已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，求P(X>3)。

答案：指数分布的概率密度函数为f(x)=λe^(-λx)，其中x≥0。

因此，P(X>3)=∫(3, +∞)λe^(-λx)dx=e^(-3λ)。

4. 抛一枚公平硬币两次，求至少一次正面朝上的概率。

答案：抛硬币两次，所有可能的结果有HH、HT、TH、TT四种。

至少一次正面朝上的结果有HH、HT、TH三种。

因此，至少一次正面朝上的概率为P(至少一次正面)=3/4。

5. 一个工厂生产的零件，合格率为90%，求连续生产3个零件，至少有2个合格的概率。

答案：设合格事件为A，不合格事件为B，则P(A)=0.9，P(B)=0.1。

连续生产3个零件，至少有2个合格的情况包括2个合格1个不合格和3个都合格两种情况。

因此，至少有2个合格的概率为P(至少2个合格)=P(2个合格)+P(3个合格)=C_3^2(0.9)^2(0.1)+(0.9)^3=0.9^3+3×0.9^2×0.1=0.729+0.243=0.972。

6. 一个随机变量X服从正态分布N(μ, σ^2)，求P(|X-μ|<σ)。

答案：对于正态分布，P(|X-μ|<σ)表示随机变量X落在均值μ的一个标准差σ范围内的概率。

根据正态分布的性质，这个概率约为0.6827。

7. 一个袋子里有7个红球和3个绿球，随机抽取一个球，不放回，再抽取第二个球，求第二次抽到绿球的概率。

答案：第一次抽取后，袋子里剩下9个球。