浙江省绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册 第2章 一元二次
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程2
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程（解析版）2.4一元二次方程根与系数的关系【知识重点】 一、一元二次方程根与系数关系：如果x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根，那么x 1+x 2= ，x 1·x 2= .二、一元二次方程根与系数关系的应用，概括有下面几种：1．题目中告诉方程的一个根，求另一个根以及确定方程某个参数的值；2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值或求作方程；3．把两个实数作为方程的两个根，求作方程；4．不解方程判断两个根的符号.【经典例题】【例1】若一元二次方程x 2−(2m +3)x +m 2=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是（ ）A ．-1B ．3C ．2或-1D ．-3或1【答案】B【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2−(2m +3)x +m 2=0有两个不相等的实数根，∴Δ=(2m +3)2−4m 2=4m 2+12m +9−4m 2=12m +9>0， ∴m >−34，根据一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=2m +3，x 1⋅x 2=m 2，∵x 1+x 2=x 1⋅x 2，∴2m +3=m 2，即m 2−2m −3=0，∴(m −3)(m +1)=0，解得：m =−1或m =3，∵m >−34，∴m =3，故答案为：B ．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x 1+x 2=2m +3，x 1⋅x 2=m 2，再将其代入x 1+x 2=x 1x 2可得2m +3=m 2，即m 2−2m −3=0，再求出m 的值即可。
【例2】若x 1，x 2是方程x 2−6x +8=0的两根，则 x 1+x 2−x 1x 2的值 ．【答案】−2【解析】∵x 1，x 2是方程x 2−6x +8=0的两根， ∴x 1+x 2=−b a =6，x 1x 2=c a =8，∴x 1+x 2−x 1x 2=6−8=−2，故答案为：-2.【分析】根据根与系数的关系可得x 1+x 2=6，x 1x 2=8，然后代入计算即可. 【例3】设 α,β 是方程x 2+2x-9＝0的两个实数根，求 1α+1β 和 α2β+αβ2 的值.【答案】解：由韦达定理，得 α+β=−2,αβ=−9∴1α+1β=α+βαβ = −2−9=29α2β+αβ2=αβ(α+β)=−9×(−2)=18故答案为 29 ，18 【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系得到 α+β=−2,αβ=−9 ，根据 1α+1β=α+βαβ ， α2β+αβ2=αβ(α+β) ，代入即可求代数式的值.【例4】已知关于x 的一元二次方程x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3=0，当Rt △ABC 的斜边a= √31 ，且两直角边b 和c 恰好是这个方程的两个根时，求△ABC 的周长.【答案】解：∵b,c 是x 2－(2k ＋1)x ＋4k －3=0的两个根,∴b+c=2k+1,bc=4k-3,在Rt △ABC 中,b 2+c 2=31,∴(b+c)2-2bc=31,即(2k+1)2-2(4k-3)=31,整理,得k 2-k-6=0,解得k 1=-2,k 2=3,当k=-2时,b+c=-3<0,舍去,当k=3时,b+c=7,符合题意.∴△ABC 的周长= √31 +7【解析】【分析】先利用韦达定理得到b 与c 的关系,再利用勾股定理构造关于k 的一元二次方程,根据b,c 是三角形的两条边这一隐藏条件对k 的值进行排除,即可求出周长.【基础训练】1．若x =1是方程x 2+mx +3=0的一个根，则方程的另一个根是（ ） A ．3 B ．4 C ．﹣3 D ．－4【答案】A【解析】∵x =1是方程x 2+mx +3=0的一个根，设另一根为x 1，∴1×x 1=3，∴x 1=3，即方程的另一个根是x =3.故答案为：A2．一元二次方程x 2−5x +2=0的两个根为x 1，x 2，则x 1+x 2等于（ ）. A ．−2 B ．2 C ．−5 D ．5【答案】D【解析】∵一元二次方程x 2−5x +2=0的两个根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=5，故答案为：D ．.3．若α、β是方程x 2+2x ﹣2017＝0的两个实数根，则α•β的值为（ ） A ．2017 B ．2 C ．﹣2 D ．﹣2017【答案】D【解析】∵α、β是方程x 2+2x ﹣2017＝0的两个实数根，∴α•β＝﹣2017.故答案为：D.4．已知 x 1，x 2 是一元二次方程 x 2+2ax +b =0 的两个根，且 x 1+x 2=3，x 1⋅x 2=1 ，则a ，b 的值分别是（ ）A ．a =−3，b =1B ．a =3，b =1C ．a =−32，b =−1D ．a =−32，b =1 【答案】D【解析】∵x 2+2ax +b =0 ，∴x 1+x 2=−2a =3，x 1⋅x 2=b =1 ，解得a=-32，b=1. 故答案为：D.5．若一元二次方程x 2−x −2=0的两根为x 1，x 2，则(1+x 1)+x 2(1−x 1)的值是（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．﹣2【答案】A【解析】根据题意得x 1+x 2=1，x 1x 2=−2，所以(1+x 1)+x 2(1−x 1)=1+x 1+x 2−x 1x 2=1+1−(−2)=4． 故答案为：A ．6．如果关于x 的一元二次方程x 2+(2−3m)x +6=0的一个根为3，那么此方程的另一个根为 ．【答案】2【解析】设方程的另一根为t ，根据根与系数的关系得3t =6，解得t =2，即方程的另一个根为2.故答案为：2.7．若关于x 的一元二次方程x 2−(m 2−4)x +m −1=0的两根互为相反数，则m = ．【答案】-2【解析】设x 1，x 2是一元二次方程x 2−(m 2−4)x +m −1=0的两根， ∴x 1+x 2=m 2−4，∵方程的两根互为相反数，∴m 2−4=0，解得：m =±2，当m =2时，原方程为x 2+2−1=0，此时方程无解；当m =−2时，原方程为x 2−2−1=0，解得：x =±√3；∴m =−2．故答案为：-28．若一元二次方程x 2−(2m +3)x +m 2=0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1+x 2=x 1x 2，则m 的值是 ．【答案】3【解析】根据题意得，x 1+x 2=2m +3，x 1x 2=m 2，∴2m +3=m 2，即m 2−2m −3=0，解方程得，m 1=−1，m 2=3， 当m =−1时，原方程为x 2−x +1=0，Δ=(−1)2−4×1×1=1−4=−3<0，原方程无实数根； 当m =3时，原方程为x 2−9x +9=0，Δ=(−9)2−4×1×9=81−36=45>0，原方程有两个不相等的实根，符号题意，∴m 的值是3．故答案为：3. 9．已知实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，求b a +a b 的值． 【答案】解：∵实数a ，b 是方程x 2﹣x ﹣1=0的两根，∴a+b=1，ab=﹣1，∴b a +a b =b 2+a 2ab =(a+b )2−2ab ab =﹣3． 【解析】根据根与系数的关系得到a+b=1，ab=﹣1，再利用完全平方公式变形得到b a +a b =b 2+a 2ab =(a+b )2−2ab ab ，然后利用整体代入的方法进行计算． 10．设x 1、x 2是方程2x 2+4x ﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： （1）（x 1﹣x 2）2；（2）(x 1+1x 2)(x 2+1x 1)． 【答案】解：根据根与系数的关系可得：x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=−32．（1）（x 1﹣x 2）2=x 12+x 22﹣2x 1x 2=x 12+x 22+2x 1x 2﹣4x 1x 2=（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2=(−2)2−4(−32)=10．（2）(x 1+1x 2)(x 2+1x 1)=x 1x 2+1+1+1x 1x 2=(−32)+2+1(−32)=−16． 【解析】欲求（x 1﹣x 2）2与(x 1+1x 2)(x 2+1x 1)的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．【培优训练】11．关于x 的一元二次方程x 2+4x +2=0的两实数根x 1，x 2，则(x 12+2)(x 22+2)的值是（ ） A ．8 B ．32 C ．8或32 D ．16或40【答案】B【解析】由题意得：x 1+x 2=−4，x 1x 2=2，∴(x 12+2)(x 22+2)=(x 1x 2)2+2(x 12+x 22)+4，=(x 1x 2)2+2[(x 1+x 2)2−2x 1x 2]+4，=(2)2+2[(−4)2−2×2]+4，=4+24+4，=32；故答案为：B.12．已知a ，b 是一元二次方程x 2+3x −2=0的两根，则a 2+5a +2b 的值是（ ） A ．-5 B ．-4 C ．1 D ．0【答案】B【解析】把x=a 代入方程得：a 2+3a-2=0，即a 2+3a=2，由根与系数的关系得：a+b=-3，则原式=（a 2+3a ）+2（a+b ）=2-6=-4．故答案为：B ．【分析】根据一元二次方程的根及根与系数的关系可得a 2+3a-2=0，a+b=-3，然后将原式变形为（a 2+3a ）+2（a+b ），再整体代入计算即可.13．已知关于x 的一元二次方程x 2−6x −k =0（k 为常数）．设α，β为方程的两个实数根，且α+2β=14，试求出方程的两个实数根和k 的值．【答案】解：∵α，β为方程x 2−6x −k =0的两个实数根，∴α+β=6，∵α+2β=14，解得：α=−2，β=8．将α=−2代入x 2−6x −k =0中，得：4−(−12)−k =0，解得：k =16．14．设a 、b 为x 2+x ﹣2011=0的两个实根，则a 3+a 2+3a+2014b=（ ） A ．2014 B ．﹣2014 C ．2011 D ．﹣2011【答案】B【解析】∵a 为x 2+x-2011=0的根，∴a 2+a-2011=0，∴a 2+a=2011，∴a 3+a 2+3a+2014b=a （a 2+a ）+3a+2014b=2011a+3a+2014b=2014（a+b ），∵a 、b 为x 2+x-2011=0的两个实根，∴a+b=-1，∴a 3+a 2+3a+2014b=-2014．故答案为：B, 15．已知mn≠1，且5m 2+2010m+9=0，9n 2+2010n+5=0，则 m n 的值为（ ）A ．﹣402B ．59C ．95D ．6703 【答案】C【解析】将9n 2+2010n+5=0变形得：5×（ 1n ） 2+2010× 1n +9=0， 又5m 2+2010m+9=0，∴m 与 1n 为方程5x 2+2010x+9=0的两个解， 则m• 1n = m n = 95．故答案为：C16．已知α，β是方程x 2+2014x+1=0的两个根，则（1+2016α+α2）（1+2016β+β2）的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】∵α，β是方程x 2+2014x+1=0的两个根， ∴α+β=﹣b a =﹣2014，α•β=c a =1， （1+2016α+α2）（1+2016β+β2）=（αβ+2016α+α2）（αβ+2016β+β2）=α（β+2016+α）•β（α+2016+β）=αβ•（2016﹣2014）（2016﹣2014）=4．故选D ．17．设α、β是方程x 2+2x ﹣2021＝0的两根，则α2+3α+β的值为 ．【答案】2019【解析】根据题意知，α2+2α﹣2021＝0，即α2+2α＝2021．又∵α+β＝﹣2．所以α2+3α+β＝α2+2α+（α+β）＝2021﹣2＝2019．故答案为：2019．18．已知a 、b 是一元二次方程x 2+4x −1=0的两个实数根，求a 2+ab +4a 的值 ．【答案】0【解析】根据根与系数的关系得到a +b =−4，∴a 2+ab +4a =a(a +b)+4a =−4a +4a =0．故答案为：0．19．已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2−2(m +1)x +m 2+5=0的两个实数根，等腰△ABC 的一边长为7，若x 1，x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，则△ABC 的周长为 .【答案】17【解析】若等腰△ABC 的腰长为7，把x =7代入方程x 2−2(m +1)x +m 2+5=0得：49−14(m +1)+m 2+5=0，解得：m 1=4，m 2=10，若m 1=4，则原方程为：x 2−10x +21=0，解得：x 1=7，x 2=3，△ABC 三边为7，7，3（符合题意）， 若m 2=10，则原方程为：x 2−22x +105=0，解得：x 1=7，x 2=15，△ABC 三边为7，7，15（不合题意，舍去）， 若等腰△ABC 底长为7，则△=[−2(m +1)]2−4(m 2+5)=8m −16=0，解得：m =2，原方程为：x 2−6x +9=0，解得：x 1=x 2=3，△ABC 三边为3，3，7（不合题意，舍去）， 综上可知：△ABC 三边为7，7，3，周长为：7+7+3=17， 即这个三角形的周长为17．故答案为：17．20．关于x 的一元二次方程x 2−4x +m =0的两实数根分别为x 1、x 2，且x 1+3x 2=5，则m 的值为 【答案】74 【解析】∵x 1＋x 2＝4，∴x 1＋3x 2＝x 1＋x 2＋2x 2＝4＋2x 2＝5，∴x 2＝12， 把x 2＝12代入x 2−4x +m =0得：（12）2－4×12＋m ＝0， 解得：m ＝74． 故答案为：74． 21．若a≠b ，且 a 2−4a +1=0,b 2−4b +1=0 则 11+a 2+11+b 2的值为 【答案】1【解析】由题意知：a 、b 是方程， x 2−4x +1=0 的两个不相等的实数根， ∴a+b=4，ab=1，∵a 2−4a +1=0,b 2−4b +1=0 ，∴a 2+1=4a,b 2+1=4b ， ∴11+a 2+11+b 2 = 14a +14b =b+a 4ab =44=1 . 故填：1.22．若方程 x 2−3x +1=0 的根也是方程 x 4+ax 2+bx +c =0 的根，则 a +b +2c = .【答案】-5【解析】∵ x 2-3x+1=0, ∴x 2=3x-1,∴x 4+ax 2+bx+c=(3x-1)2+ax 2+bx+c=0,∴9x 2-6x+1+ax 2+bx+c=0,∴(9+a)x 2+(b-6)x+c+1=0,∵ x 2-3x+1=0,∵x 1+x 2=6−b 9+a =3 , ∴3a+b=-21, ∵x 1x 2=c+19+a =1, ∴a=c-8, ∴3a+b=a+b+2a=a+b+2(c-8)=a+b+2c-16=-21,∴a+b+2c=-21+16=-5.故答案为：-5.23．关于x 的方程x 2+（2k+1）x+k 2+2=0有两个实数根x 1、x 2（1）求实数k 的取值范围；（2）若x 1、x 2满足|x 1|+|x 2|=|x 1x 2|﹣1，求k 的值．【答案】解：（1）根据题意得△=（2k+1）2﹣4（k 2+2）≥0， 解得k≥74； （2）根据题意得x 1+x 2=﹣（2k+1）＜0，x 1x 2=k 2+2＞0，∴x 1＜0，x 2＜0，∵|x 1|+|x 2|=|x 1x 2|﹣1，∴﹣（x 1+x 2）=x 1x 2﹣1，∴2k+1=k 2+2﹣1，整理得k 2﹣2k=0，解得k 1=0，k 2=2， ∵k≥74， ∴k=2．【解析】（1）根据判别式的意义得到△=（2k+1）2﹣4（k 2+2）≥0，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x 1+x 2=﹣（2k+1）＜0，x 1x 2=k 2+2＞0，则利用有理数的乘法性质可判断x 1＜0，x 2＜0，然后去绝对值得到﹣（x 1+x 2）=x 1x 2﹣1，则2k+1=k 2+2﹣1，整理得到k 2﹣2k=0，再解关于k 的方程即可得到满足条件的k 的值．24．一元二次方程mx 2﹣2mx+m ﹣2=0．（1）若方程有两实数根，求m 的范围．（2）设方程两实根为x 1，x 2，且|x 1﹣x 2|=1，求m ．【答案】解：（1）∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣2mx+m ﹣2=0有两个实数根，∴m≠0且△≥0，即（﹣2m ）2﹣4•m•（m ﹣2）≥0，解得m≠0且m≥0，∴m 的取值范围为m ＞0．（2）∵方程两实根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=2，x 1•x 2=m−2m ， ∵|x 1﹣x 2|=1，∴（x 1﹣x 2）2=1，∴（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2=1， ∴22﹣4×m−2m =1， 解得：m=8；经检验m=8是原方程的解．【解析】（1）根据关于x 的一元二次方程mx 2﹣2mx+m ﹣2=0有两个实数根，得出m≠0且（﹣2m ）2﹣4•m•（m ﹣2）≥0，求出m 的取值范围即可；（2）根据方程两实根为x 1，x 2，求出x 1+x 2和x 1•x 2的值，再根据|x 1﹣x 2|=1，得出（x 1+x 2）2﹣4x 1x 2=1，再把x 1+x 2和x 1•x 2的值代入计算即可．。
浙江省绍兴市绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册《2.2一元二次方程的解法(第1课时)》课件1(新版)浙教版
练习1：用因式分解的方法解下列方程：
(1)7x2 21x; (2)(x 2)2 2x 4; (3)4(x 3)2 x(x 3) 0; (4)(7x 1)2 4x2
解一元二次方程 x2 44x
解：移项，得 x24x40 x22•2x220 (x2)2 0
x20
x1 x2 2
完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2
(1)x(x2)0 x10,x22
(2 )y ( 2 )y ( 3 ) 0y12,y23
(3 )3 ( x 2 )2 ( x 1 ) 0x1 32,x2
1 2
(4)x2 x
x10,x21
小明 方 程 x2 两边同 得x3 x3
时
由
x 3即x 约于
方 程 x 2由 方3 x 程, 得x 2 3 x
a2－b2=(a+b)(a－b)
a2±2ab+b2=(a±b)2
请利用因式分解法解下列方程：
（1）x2－3x＝0; (2) 25x2=16
解：（1）x（x-3）=0 （2）移项，得 25x2-16=0
∴ x=0或x-3=0 ∴ x1=0， x2=3
（5x+4）（5x-4）=0 ∴ （5x+4）=0或（5x-4）=0 ∴x1=-0.8， x2=0.8
（1）将方程变形，使方程的右边为零；
（2）将方程的左边因式分解；
（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一 元二次方程转化为解两个一元一次方程.
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1、一元二次方程的定义
①方程两边都是整式 ②只含有一个未知数 ③未知数的最高次数是2次
2、一元二次方程的一般式：
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程2
【经典例题】【例1】解方程：（1）(x+8)2=36；【答案】（1）解：(x+8)2=36，∴x+8=±6，解得：x1=−2，x2=−14；【解析】此题左边是一个式子的完全平方，右边是一个正数，故直接利用开平方法进行计算即可；（2）(x−1)2=121；【答案】（1）解：(x−1)2=121开平方，得x−1=±11，∴x1=12，x2=−10；【解析】两边同时开平方可得x-1=±11，求解即可；（3）（3x﹣1）2=（x+1）2【答案】解：方程两边直接开方得：3x﹣1=x+1，或3x﹣1=﹣（x+1），∴2x=2，或4x=0，解得：x1=1，x2=0．【解析】方程两边直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．（4）（2x+3）2=x2﹣6x+9【答案】解：由原方程，得（2x+3）2=（x﹣3）2，直接开平方，得2x+3=±（x﹣3），则3x=0，或x+6=0，解得，x1=0，x2=﹣6．【解析】先把原方程的右边转化为完全平方形式，然后直接开平方．【例2】如果正方形的边长为x，它的面积与长为12、宽为8的矩形面积相等，求x的值.【答案】解：依题意得：x2=12×8∴x2=96∴x=4√6(x>0)答：x的值为4√6.【解析】根据正方形的面积等于矩形的面积，列出方程，再开平方即可求出x的值，注意x代表的实际意义.【例3】配方法解方程x 2+4x −5=0解：∵x 2+4x −5=0，∴542=+x x ∴x 2+4x +4=9，∴(x +2)2=9，∴x +2=±3，∴x 1=−5，x 2=1；观察方程特点：二次项系数是1，一次项系数为偶数，因此利用配方法解方程，先移项（常数项移到方程的右边），再配方（方程的两边同时加上一次项系数一半的平方），左边利用完全平方公式分解因式，后边合并同类项，进而利用直接开平方法求解即可；【基础训练】1．一元二次方程x 2-9=0的解是（ ）A ．x=3B ．x=-3C ．x=±3D ．x=9【答案】C【解析】 x 2-9=0，∴ x 2=9，∴x=±3. 故答案为：C.2．用直接开平方法解方程(2x −3)2=4时，可以将其转化为2x −3=2或2x −3=−2，其依据的数学知识是（ ）A ．完全平方公式B ．平方根的意义C ．等式的性质D ．一元二次方程的求根公式【答案】B【解析】用直接开平方法解方程(2x −3)2=4时，可以将其转化为2x −3=2或2x −3=−2，其依据的数学知识是平方根的意义．故答案为：B ．3．用配方法解方程x 2+2x=1，应在方程两边同时加上（ ）A ．4B ．2C ．-2D ．1【答案】D【解析】 x 2+2x=1，x 2+2x+1=1+1，（x+1）2=2，x+1=√2或-√2，∴x=-1+√2或-1-√2.故答案为：D.4．用配方法解方程x 2﹣6x+5＝0，配方后可得（ ）A ．（x ﹣3）2＝5B ．（x ﹣3）2＝4C ．（x ﹣6）2＝5D ．（x ﹣6）2＝31【答案】B【解析】x 2﹣6x+5＝0，x 2﹣6x ＝﹣5，x 2﹣6x+9＝﹣5+9，（x ﹣3）2＝4，故答案为：B ．5．把方程x 2−4x −3=0化成(x +a)2=b （a ，b 为常数）的形式，a ，b 的值分别是（ ） A ．2，7 B ．2，5 C ．−2，7 D ．−2，5【答案】C【解析】x 2−4x −3=0，x 2−4x +4=4+3，(x −2)2−7=0，(x −2)2=7，∴a =−2，b =7，故答案为：C.6．方程4（x ﹣1）2＝1的根是 ．【答案】x 1=32，x 2=12 【解析】(x −1)2=14， x −1=±12，x 1=32，x 2=12．故答案为：x 1=32，x 2=12. 7．一元二次方程4x 2−81=0的解是 . 【答案】x 1=92，x 2=−92 【解析】4x 2−81=0， x 2=814，∴x 1=92，x 2=−92.故答案为：x 1=92，x 2=−92. 8．若将方程x 2+mx+8＝0用配方法化为（x ﹣3）2＝n ，则m+n 的值是 .【答案】-5【解析】x 2+mx +8＝0 ，移项： x 2+mx =−8 ，配方得： x 2+mx +14m 2=14m 2−8 ， ∴(x +12m)2=14m 2−8 ， ∵方程 x 2+mx +8＝0 利用配方法可化成 (x −3)2=n ，∴{12m =−314m 2−8=n ， ∴{m =−6n =1 ∴m +n =−6+1=−5 .故答案为：-5.9．若一元二次方程（x-3）2=1的两根为Rt △ABC 的两直角边的长，则Rt △ABC 的面积是【答案】4【解析】∵（x-3）2=1，∴x-3=1或x-3=-1，∴x 1=4，x 2=2，∴Rt △ABC 的两条直角边为4和2，∴Rt △ABC 的面积=12×4×2=4. 故答案为：4.10．解下列方程：（1）4(1+x)2=9（直接开平方法）（2）x 2+4x +2=0（配方法）（3）(2x +1)2=−3(2x +1)（因式分解法）【答案】（1）解：4(1+x)2=9，(1+x)2=94，1+x=±32，解得：x1=−52，x2=12；（2）解：x2+4x+2=0，x2+4x+4=2，(x+2)2=2，x+2=±√2，解得：x1=−2+√2，x2=−2−√2；（3）解：(2x+1)2=−3(2x+1)，(2x+1)2+3(2x+1)=0，(2x+1)(2x+1+3)=0，解得：x1=−12，x2=−2．【解析】（1）给方程两边同时除以4，然后利用直接开平方法进行计算；（2）首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解可得(x+2)2=2，接下来利用直接开平方法进行计算；（3）将右边的式子移至左边，提取公因式(2x+1)可得(2x+1)(2x+1+3)=0，据此求解.【培优训练】11．已知一元二次方程式(x−2)2=3的两根为a、b，且a>b，求2a+b之值为何？（）A．9B．-3C．6+√3D．−6+√3【答案】C【解析】(x−2)2=3，x−2=√3或x−2=−√3，所以x1=2+√3，x2=2−√3，即a=2+√3，b=2−√3，所以2a+b=4+2√3+2−√3=6+√3.故答案为：C.12．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（）A．﹣3B．0C．3D．9【答案】C【解析】x2+6x+c＝0，移项得：x2+6x=−c，配方得：(x+3)2=9−c，而（x+3）2＝2c，∴9−c=2c，解得：c=3，故答案为：C.13．对于任意的实数x，代数式x2−5x+10的值是一个（）A．正数B．负数C．非负数D．无法确定【答案】A【解析】x2−5x+10=x2−5x+254−254+10=(x−52)2+154，∵(x−52)2≥0，∴(x−52)2+154≥154>0．故答案为：A.14．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2，x2=1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x+m+2)2+b=0的解是（）A．x1=0，x2=3B．x1=−4，x2=−1C．x1=−4，x2=2D．x1=4，x2=1【答案】B【解析】∵ 关于 x 的方程 a(x +m)2+b =0 的解是 x 1=−2 ， x 2=1 ， (a ，m ，b 均为常数，a ≠0) ，∴ 把 x +2 当做第一个方程中的 x ，则方程 a(x +2+m)2+b =0 可变形为 a[(x +2)+m]2+b =0则 x +2=−2 或 x +2=1 ，解得 x 1=−2−2=−4 ， x 2=1−2=−1 .∴ 方程 a(x +2+m)2+b =0 的解是 x 1=−4 ， x 2=−1 ，故答案为：B.15．一元二次方程（x+5）2=（1-3x ）2的根是 .【答案】x 1=-1，x 2=3【解析】∵ （x+5）2=（1-3x ）2，∴x+5=±（1-3x ），∴x+5=1-3x 或x+5=-1+3x ，解之：x 1=-1，x 2=3.故答案为：x 1=-1，x 2=3.16．若一元二次方程ax 2=b ，当ab>0时的两个根分别是m+1与2m-4，则m= ；当ab 0时，一元二次方程ax 2=b 没有实数解.【答案】1；<【解析】 ax 2=b ，x 2=b a， ∵ab>0，∴b a>0， ∴x=±√b a， ∴ （m+1）+（2m-4）=0，解得m=1，当ab<0，b a <0， ∴x 2=b a <0， ∴原方程没有实数解.故答案为：1，＜.17．在 Rt △ABC 中， ∠C =90° ， a:b =3:4 ， c =15 ，则a 的值是 ．【答案】9【解析】∵a:b =3:4 ，∴设 a =3k ， b =4k ，由勾股定理得：(3k)2+(4k)2=152 ，解得： k =3 (负值已舍)，∴a =9 ．故答案为： 9 ．18．若 (a 2+b 2)2=9 ，则 a 2+b 2 = .【答案】3【解析】∵(a 2+b 2)2=9 ，∴a 2+b 2=3 ，或 a 2+b 2=−3 ，∵a 2≥0 ， b 2≥0 ，∴a 2+b 2≠−3 ，即 a 2+b 2=3 .故答案为：3.19．已知关于x 的方程a （x+m ）2+b=0（a ，b ，m 均为常数，且a≠0）的两个解是x 1=3，x 2=7，则方程 4a(x +12m)2+b =0 的解是 . 【答案】32 或 72 【解析】∵方程 a(x +m)2+b =0 的解为：x 1=3，x 2=7，∴{a(3+m)2+b =0a(7+m)2+b =0 ， 解得： {m =−5b a =−4 ， ∵4a(x +12m)2+b =0 ， a ≠0 ， ∴4(x +12m)2+b a =0 ， ∴4(x −52)2−4=0 ， ∴x =32 或 72 ， 故答案为： 32 或 72 . 20．阅读下列材料，并回答后面的问题：数学课上，李老师在求代数式x 2+4x −3的最小值时，利用公式(a +b)2=a 2+2ab +b 2，对式子作如下变形：解：x 2+4x −3=x 2+4x +4−4−3=(x 2+4x +4)−7=(x +2)2−7∵(x +2)2≥0∴(x +2)2−7≥−7∴当x =−2时，代数式x 2+4x −3的最小值是－7通过阅读，求代数式x 2−6x +7的最小值．【答案】解：x 2－6x+7=x 2－6x+9－2=（x 2－6x+9）－2=（x －3）2－2，∵（x －3）2≥0，∴（x －3）2－2≥－2，当x=3时，代数式x 2－6x+7的最小值为－2．【解析】先求出 x 2－6x+7=（x －3）2－2， 再根据 （x －3）2≥0， 求解即可。
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程2
浙教版2022-2023学年数学八年级下册第2章 一元二次方程（解析版）2.1一元二次方程【知识重点】一、一元二次方程定义：像方程3x 2+4x 6=0的等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程.二、一元二次方程的解(或根)：能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根). 三、一元二次方程的一般形式：1.任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为ax 2+bx +c =0的形式.2.ax 2+bx +c =0(a ，b ，c 为已知数，a ≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax 2，bx ，c 分别称为二次项、一次项和常数项，a ，b 分别称为二次项系数和一次项系数.【经典例题】【例1】将一元二次方程5x 2﹣1＝4x 化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．【答案】解：5x 2﹣1＝4x 化成一元二次方程一般形式是5x 2﹣4x ﹣1＝0，它的二次项系数是5，一次项系数是﹣4，常数项是﹣1．【解析】一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c=0（a ，b ，c 是常数且a≠0），其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可.【例2】若关于x 的一元二次方程(m-1) x 2+2x+m 2-1=0的常数项为0，求m 的值是多少？【答案】解∶由题意得，{m 2−1=0m −1≠0时， 即m =−1时，一元二次方程(m −1)x 2+2x +m 2−1=0的常数项为0．【解析】根据一元二次方程的定义“含有一个未知数且未知数的最高次数是2的整式方程叫作一元二次方程”可得关于m 的方程和不等式，解之可求解.【例3】若关于x 的方程 (m +1)x |m|+1+x −3=0 是一元二次方程，求m 的值．【答案】解：∵关于x 的方程 (m +1)x |m|+1+x −3=0 是一元二次方程，∴m+1≠0，且|m|+1=2，解得m+1≠0，且m=1或m=-1，∴m=1，故答案为：m=1．【解析】根据一元二次方程二次项系数不为0，x 的最高次数为2列关系式即可求解。
浙江省绍兴市绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册《2.2一元二次方程的解法(第1课时)》同步练习浙教版
2.2 一元二次方程的解法（第1课时）课堂笔记利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
这种方法把解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程.课时训练A组基础训练1。
已知AB=0,那么下列结论正确的是( ）A. A=0 B。
A=B=0C。
B=0 D. A=0或B=02. 一元二次方程x2—2x=0的根是（ )A。
x1=0，x2=—2 B。
x1=1，x2=2C. x1=1，x2=-2D. x1=0，x2=23。
方程(x—2)（x+3）=-6的两根分别为( ）A. x=2 B。
x=—3C。
x1=2，x2=－3 D。
x1=0，x2=—14. 方程x-2=x（x—2）的解是( D ）A。
x=0 B. x1=0，x2=2C. x=2 D 。
x1=1,x2=25。
已知等腰三角形的三边满足方程（x—3）（x-6）=0，则它的周长为（ )A. 9 B。
18C. 9或18 D。
9或15或186。
若关于x的方程x2+2x+k=0的一个根是0,则另一个根是 .7。
请写出一个两根分别是1,—2的一元二次方程 .8。
解方程：（1）x2-6x=0；（2）4y2—16=0；（3)9（x+1）2—16（x-2）2=0;（4）3（4x2-9）=2（2x-3）；（5）2x2-42x+4=0。
9. 文文给明明出了一道解一元二次方程的题目如下：解方程（x-1）2=2(x-1）. 明明的求解过程为：解:方程两边同除以x—1，得x—1=2第1步移项，得x=3第2步∴方程的解是x1=x2=3第3步文文说:你的求解过程的第1步就错了…（1）文文的说法对吗？请说明理由；(2）你会如何解这个方程？给出过程.10. 在实数范围内定义一种新运算“※”，其规则为a※b=（a—1）2—b2. 根据这个规则，求方程（x+3)※5=0的解.11。
若n(n ≠0）是关于x 的方程x 2+mx-9n=0的根，求n m 的值。
B 组 自主提高12。
浙教版初中八年级下册数学精品教学课件 第二章 一元二次方程2.1 一元二次方程
一般形式
（,,为已知数，）.
项及项的系数
二次项为；二次项系数为.
一次项为;一次项系数为.
常数项为.
特点
方程左边是关于未知数的二次整式，方程右边为0.
注意（1）一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成一般形式；（2）在写一元二次方程的一般形式时，方程右边为0，左边通常按照未知数的降幂排列.
第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
学习目标
1.理解一元二次方程的相关概念，会判断一个方程是不是一元二次方程.2.认识一元二次方程的一般形式，会辨别一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.3.理解一元二次方程解（或根）的概念，会判断一个数是不是一元二次方程的解（或根），会应用解（或根）的概念解决问题.4.会根据实际问题中的数量关系列一元二次方程.
典例2下列哪些数是一元二次方程的解？,，,.
解：当时，左边，把未知数的值代入方程时，∵左边≠右边，不是方程的解;当时,左边,∵左边≠右边,不是方程的解;当时,左边,∵左边=右边,是方程的解;当时,左边,∵左边=右边,是方程的解.综上可知，1和3是一元二次方程的解.
知识点3 一元二次方程的一般形式 重点
（3）；
（3）方程左边多项式相乘，得，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为；
（4）．
（4）方程左右两边多项式相乘，得，移项、整理，得，二次项系数ห้องสมุดไป่ตู้1，一次项系数为，常数项为5．
本节知识归纳
中考常考考点
难度
常考题型
考点1：一元二次方程解的概念的应用，主要考查将解代入方程求代数式的值.
选择题、填空题
（或）
[解析]根据题意和题图，得纸盒底面的长是，宽为，根据长方形的面积＝长×宽，列出方程为，整理得．
浙江省绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册第2章一元二次方程检测卷新版浙教版
第2章 一元二次方程检测卷一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 方程x 2=3x 的根是（ ）A. x=3B. x=0C. x 1=－3，x 2=0D. x 1=3，x 2=0 2. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A ． x+2y=1 B ． x=2x 3-3 C ． x 2-2=0D ． 3x+x1=4 3. 一元二次方程x 2-2x-1=0的根的情况为（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根4. 方程x 2+6x-5=0的左边配成完全平方后所得方程为（ ）A. （x+3）2=14 B. （x-3）2=14 C. （x+6）2=21 D. （x+3）2=4 5. 解方程（x-2）2=3（x-2）最适当的方法应是（ ）A ． 因式分解法B ． 配方法C ． 直接开方法D ． 公式法6. 关于x 的一元二次方程（a ＋2）x 2+x+a 2-4=0的一个根为0，则a 的值为（ ）A ． 2B ． －2C ． ±2D ． 07. 六一儿童节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1035份小礼品，如果全班有x 名同学，根据题意，列出方程为（ ）A. x （x ＋1）＝1035B. x （x －1）＝1035×2C. x （x －1）＝1035D. 2x （x ＋1）＝10358. （温州中考）我们知道方程x 2+2x-3=0的解是x 1=1，x 2=-3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）-3=0，它的解是（ ）A ． x 1=1，x 2=3 B. x 1=1，x 2=-3 C. x 1=-1，x 2=3 D. x 1=-1，x 2=-39. 三角形两边的长分别是8和4，第三边的长是方程x 2-11x+24=0的一个实数根，则三角形的周长是（ ）A. 15B. 20C. 23D. 15或2010. 如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（ ）A.2537+ B.253+ C. 215+D. （1+2）2二、填空题（每小题3分，共24分）11． 关于x 的方程（m+1）x 2+2mx-3=0是一元二次方程，则m 的取值范围是 ． 12． 把一元二次方程（x-3）2=4化为一般形式为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 13. 若a-b+c=0，则方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）必有一根是 ．14. 某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年购买实验器材的投资的年平均增长率为x ，则可列方程 ．15． 已知x=1是方程x 2＋mx-n=0的一个根，则m 2-2mn ＋n 2= ．16． 已知a ，b 为实数，且满足（a 2+b 2）2+2（a 2+b 2）-15=0，则代数式a 2+b 2的值为 . 17. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 个图形有94个小圆.18. 用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板． 随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的k 倍（0＜k ＜1）． 已知一个钉子受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的74，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的关于k 的一个方程是 . 三、解答题（共46分） 19. （12分）解方程： （1）x 2+3x-4=0； （2）（x+1）2=4x ；（3）x （x+4）=-5（x+4）；（4）（兰州中考）解方程：2x 2-4x-1=0.20. （6分）已知关于x的方程2x2+kx-1=0.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是－1，求另一根及k的值.21．（6分）已知a，b，c为三角形三边长，且方程b（x2-1）-2ax+c（x2+1）=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形的形状，说明理由.22．（6分）学校课外生物小组的试验园地是长32m、宽20m的矩形，为便于管理，现要在试验园地开辟水平宽度均为xm的小道（图中阴影部分）.（1）如图1，在试验园地开辟一条水平宽度相等的小道，则剩余部分面积为m2（用含x的代数式表示）；（2）如图2，在试验园地开辟水平宽度相等的三条小道，其中有两条道路相互平行. 若使剩余部分面积为570m2，试求小道的水平宽度x.23．（8分）（孝感中考）为满足社区居民健身的需要，市政府准备采购若干套健身器材免费提供给社区，经考察，劲松公司有A ，B 两种型号的健身器可供选择.（1）劲松公司2015年每套A 型健身器的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2017年每套售价为1.6万元，求每套A 型健身器年平均下降率n ；（2）2017年市政府经过招标，决定年内采购并安装劲松公司A ，B 两种型号的健身器材共80套，采购专项费总计不超过112万元，采购合同规定：每套A 型健身器售价为1.6万元，每套B 型健身器售价为1.5（1-n ）万元. ①A 型健身器最多可购买多少套？②安装完成后，若每套A 型和B 型健身器一年的养护费分别是购买价的5%和15%. 市政府计划支出10万元进行养护. 问该计划支出能否满足一年的养护需要？24． （8分）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m+3）x+m+1=0． （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x 1，x 2是原方程的两根，且21x x =22，求m 的值，并求出此时方程的两根．参考答案第2章 一元二次方程检测卷一、选择题1—5. DCBAA 6—10. ACDBA 二、填空题 11. m ≠-112. x 2-6x+5=0 -6 5 13. -114. 2（1+x ）+2（1+x ）2=8 15. 1 16. 3 17. 9 18.74+74k+74k 2=1 三、解答题19. （1）x 1=1，x 2=-4. （2）x 1=x 2=1.（3）x 1=-5，x 2=-4.（4）x 1=262-，x 2=262+. 20. （1）Δ＝k 2+8>0，∴方程有两个不相等的实数根； （2）设另一根为b ，则－1×b=-21，∴另一根b=21，－1＋b=-2k ＝－0.5，∴k=1. 21. ∵（b+c ）x 2-2ax+c-b=0，∵方程有两个相等的实数根. ∴4a 2-4c 2+4b 2=0，∴a 2+b 2=c 2，∴△ABC 是直角三角形.22. （1）20（32-x ） （2）依题意，得（32-2x ）·（20-x ）=570，解得x 1=1，x 2=35（不合题意，舍去），答：小道宽为1米.23. （1）依题意得2.5（1-n ）2=1.6，∴（1-n ）2=0.64，∴1-n=±0.8. ∴n 1=0.2=20%，n 2=1.8（不合题意，舍去）.答：每套A 型健身器材年平均下降率n 为20%.（2）①设A 型健身器材购买m 套，则B 型健身器材购买（80-m ）套，则1.6m+1.5×（1-20%）×（80-m ）≤112，∴1.6m+96-1.2m ≤112，∴m ≤40. 即A 型健身器材最多可购买40套.②设总的养护费用为y 元，则y=1.6×5%m+1.5×（1-20%）×15%×（80-m ），∴y=-0.1m+14.4. ∵-0.1＜0，y 随m 的增大而增小，∴m=40时，y 最小. ∵m=40时，y 最小值=-0.1×40+14.4=10.4（万元）. 又∵10万元＜10.4万元，∴该计划支出不能满足一年的养护需要.24. （1）证明：∵∆=（m+3）2-4（m+1）=（m+1）2+4. ∵无论m 取何值，（m+1）2+4恒大于0，∴原方程总有两个不相等的实数根.（2）∵x1，x2是原方程的两根，∴x1+x2=-（m+3），x1·x2=m+1. ∵x1-x2=22，∴（x1-x2）2=（22）2，∴（x1+x2）2-4x1x2=8，∴[-（m+3）]2-4（m+1）=8，∴m2+2m-3=0，解得：m1=-3，m2=1. 当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得：x1=2，x2=-2. 当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：x1=-2+2，x2=-2-2.。
浙江省绍兴市绍兴县杨汛桥镇八年级数学下册《2.2一元二次方程的解法(第2课时)》课件21(新版)浙教版
x2 bx c 0
复习回顾
一元二次方程开平方法和配方法（a=1）解法的 区别与联系.
开平方法：形如x2=b（b≥0）;（x+a）2=b（b≥0）。
配方法:①先把方程x2+bx+c=0移项得x2+bx=-c.
②方程两边同时加一次项系数一半的平方，得
x2+bx+
b 2a
)2 ，得
x2+
b a
x+(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱba
)2=
b2-4ac 4a2
4.用开平方法，解得答案。
(
b 2
)2
= -c + ( b )2
2
即： (x+
b 2
)2=
b2-4c 4
③当 b2-4c>0 时，就可以通过开平方法求出
方程的根.
做一做
解下列一元二次方程: 1.x2- 6x=- 8 2.x2=10x - 30 3.- x2+5x+6=0
试一试
解方程 5x2=10x+1
遇到二次项系数不是1的一元二次方程，只要将方程的 两边都除以二次项系数，转化为我们能用配方法解二 次项系数是1的一元二次方法。
解：方程两边同除以3，得
x2-8/3x-1=0 移项，得 x2-8/3x=1 方程两边都加上16/9，得
x2-8/3x+16/9=25/9 即：（x-4/3)2=25/9
∴x- 4/3= 5/3 或x- 4/3=- 5/3
5 ∴x1= 3 或x2= -1/3
用配方法解一元二次方程的基本步骤：
ax2+bx+c=0
浙教版数学八年级下册 第2章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法.docx
浙教版八年级下册第2章一元二次方程2．2 一元二次方程的解法因式分解法专题练习题1．用因式分解法解方程3x(2x－1)＝4x－2，则原方程应变为( )A．6x2－7x＋2＝0 B．(2x－1)(3x＋2)＝0C．(2x－1)(3x－2)＝0 D．3x＝22．一元二次方程x2－2x＝0的根是( )A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝23．一元二次方程x2＝－6x－9的根是( )A．x1＝x2＝3 B．x1＝x2＝－3C．x1＝3，x2＝－3 D．x1＝－3，x2＝14．方程(x－2)2＝3(x－2)的根是( )A．5 B．2 C．－2或5 D．2和55．下列方程，不适合用因式分解法解方程的是( )A．x2＝3x B．3(x－3)2＝x2－9C．(2x＋1)2＝(x－1)2 D．x(x＋4)＝26．方程x2＝x的解是，方程x(x－3)＝x的根是；方程(x－2)2＝6－3x的根是；方程(2x－3)2＝(2－3x)2的根是．7．当x＝时，代数式x2＋5的值与－25x的值相等．8．一元二次方程x2－7x＋12＝面积是．9．解下列方程：(1)16x2＝(x－2)2；(2)3x(x－1)＝2－2x；(3)y2＝43(y－3)．10．关于x的方程ax(x－b)＋(b－x)＝0的根是( )A．x1＝b，x2＝a B．x1＝b，x2＝1aC．x1＝a，x2＝1bD．x1＝a2，x2＝b211．已知关于x的方程x2－ax＋b＝0的两个根是x1＝－3，x2＝4，那么二次三项式x2－ax＋b可分解为( )A．(x＋3)(x－4) B．(x－3)(x＋4) C．(x－3)(x－4) D．(x＋3)(x＋4) 12．已知实数x，y满足(x2＋y2＋2)(x2＋y2－1)＝0，则x2＋y2的值是( )A．1 B．－2 C．2或－1 D．－2或113．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是( )A．12 B．9 C．13 D．12或914．根据图中的程序，当输入一元二次方程x2－2x＝0的解x时，输出的结果y ＝．15. 阅读下面的解题过程，请判断是否正确，若有错误，请写出正确的解题过程．解方程x 2＋2x ＝3x ＋6，解：x(x ＋2)＝3(x ＋2)，两边都除以x ＋2，得x ＝3.16. 定义一种运算“※”，规则为a ※b ＝(a －1)2－b 2，根据这个规则，求方程(x ＋3)※5＝0的解．17. 已知a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，若x ＝－1为关于x 的一元二次方程(c －b)x 2－2(b －a)x ＋(a －b)＝0的根．(1)△ABC 是等腰三角形吗？△ABC 是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；(2)若代数式子a －2＋2－a 有意义，且b 为方程y 2－8y ＋15＝0的根，求△ABC 的周长． 答案：1---5 CDBDD6. x 1＝0，x 2＝1x 1＝0，x 2＝4x 1＝2，x 2＝－1x 1＝－1，x 2＝17. － 58. 6或3729. (1) 解：x 1＝－23，x 2＝25(2) 解：x 1＝1，x 2＝－23(3) 解：y 1＝y 2＝2 310---13 BAAA14. －4或215. 解：不正确．正确解法如下：x(x ＋2)＝3(x ＋2)，x(x ＋2)－3(x ＋2)＝0，(x ＋2)(x －3)＝0，x ＋2＝0或x －3＝0，∴x 1＝－2，x 2＝316. 解：由题意，可知(x ＋3－1)2－52＝0，即(x ＋2)2－52＝0，(x ＋7)(x －3)＝0，故x ＋7＝0或x －3＝0，解得x 1＝－7，x 2＝317. 解：(1) △ABC 是等腰三角形，△ABC 不是等边三角形；理由如下：∵x ＝－1为方程(c －b)x 2－2(b －a)x ＋(a －b)＝0的根，∴(c －b)＋2(b －a)＋(a －b)＝0，∴c ＝a ，∵a ，b ，c 是△ABC 的三条边长∴△ABC 为等腰三角形，∵c －b ≠0，∴c ≠b ，∴△ABC 不是等边三角形(2) 依题意，得⎩⎨⎧a －2≥0，2－a ≥0，∴a ＝2，∴c ＝a ＝2， 解方程y 2－8y ＋15＝0得y 1＝3，y 2＝5；∵b 为方程y 2－8y ＋16＝0的根，且b ＜a ＋c ，∴b 的值为3，∴△ABC 的周长为7初中数学试卷。
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学八年级数学下册 2
You made my day!
我们，还在路上……
x25x 6 25 225 . 3 36 3 36
x
5
2
49 .
6
36
开平方，得: x 5 49.
6
36
x1
2,
x2
1. 3
③配方
(配上一次项系数一半的 平方)
④写成（x+m）2 =k(k≥0) 的形式 ⑤开平方
⑥写出方程的两个解
用公式法解
x b b2 4ac 2a
3x25x2
解题步骤
解:移项,得 3x25x20
解一元二次方程的方法
①因式分 解法 ②直接开 平方法 ③公式法 ④配方法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解） （ (x+m)2=k k≥0 ）
(化方程为一般式） （二次项系数为1，而一次项系数为偶数）
用三种不同的方法 解方程3x2 5x 2
方法1
方法2
方法3
用因式分解法解
3x25x2
解:移项,得 3x25x20
能不能用整 体
思想？
2(x-2)2+5x-10-3=0
2(x-2)2+5(x-2)-3=0
比一比谁最快：
2
2
① (y+ 3 )(y- )=2(2y-3)
② 3t(t+2)=2(t+2)
③ x2=4 x-11
④ (x+101)2-10(x+101)+9=0
y1=y2=2 t1=-2,t2=2/3
x1=2 3 1, x2= 2 3 1
•③
9(2m 3)24(2m 5)20
先考虑开平方法, 再用因式分解法; 最后才用公式法和配方法.
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2.2 一元二次方程的解法（第4课时）
课堂笔记
1. 当≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式是 . 利用求根公式，我们可以由一元二次方程的系数a，b，c的值，直接求得方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
2. 叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，b2-4ac＞0↔
；b2-4ac 0↔方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；b2-4ac 0↔方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
分层训练
A组基础训练
1．一元二次方程x2-3x=1中，b2-4ac的值为（）
A． 5 B． 13 C． -13 D． -5
2. （扬州中考）一元二次方程x2-7x-2=0的实数根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
3. 在解方程（2y-1）2=3（2y-1）时，最简便的方法是（）
A. 开平方法
B. 配方法
C. 公式法
D. 因式分解法
4．当4c>b2时，方程x2-bx+c=0的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5. （苏州中考）关于x的一元二次方程x2-2x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为（）
A． 1 B. -1 C. 2 D. -2
6. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程a（1＋x2）＋2bx－c（1－x2）＝0的两根相等，则△ABC为（）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．任意三角形
7. 在方程2x2+1=52x中，a= ，b= ，c= ，b2-4ac= .
8. 用公式法求得方程x2+x-1=0的根为 .
9．（本溪中考）关于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值
范围是 .
10. 用公式法解下列方程：
（1）x 2-9x+7=0；
（2）2x 2-6x-1=0；
（3）25x 2+10x+1=0.
11. 用适当的方法解方程：
（1）916
x 2=1；
（2）x 2+2x=99；
（3）3x 2+1=4x.
（4）（x+1）（x-2）=2-x.
12. 已知关于x的方程（2a-1）x2-8x+6=0无实数根，求a的最小整数值．
13. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为x1，x2，根据一元二次方程的解的概念知：ax2+bx+c=a （x-x1）（x-x2）=0. 即ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2），这样我们可以在实数范围内分解因式.
例：分解因式2x2+2x-1
解：∵2x2+2x-1的根为x=
412
2±
-
即x1=
23
1+
-
，x2=
23
1--
∴2x2+2x-1=2（x-
23
1+
-
）（x-
23
1-
-
）
=2（x-
21
3-
）（x+
21
3+
）
试仿照上例在实数范围内分解因式：3x2-5x+1.
B组自主提高
14．等腰△ABC的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2-6x+n-1=0的两根，则n的值为（）
A． 9 B． 10 C． 9或10 D． 8或10
15. 已知关于x的方程x2-（m+2）x+（2m-1）=0.
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求出以此两根为边长的直角三角形的周长.
参考答案
2.2 一元二次方程的解法（第4课时）
【课堂笔记】
1. b 2-4ac x=a ac b b 242-±-
2. b 2-4ac 方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不相等的实数根 = ＜
【分层训练】
1—5. BADCA 6. C 7. 2 -52 1 42 8. x=2
51±- 9. k<2且k ≠1 10. （1）x=2539± （2）x=2113± （3）x 1=x 2=-5
1 11. （1）x=±43 （2）x 1=-11，x 2=9 （3）x 1=1，x 2=3
1 （4）x 1=-2，x 2=
2 12. a 的最小整数值为2.
13. ∵3x 2-5x+1=0的根为x=
6135± ∴3x 2-5x+1=3（x-6135+）（x-6135-） 14. B
15. （1）证明：∵∆=（m+2）2-4（2m-1）=（m-2）2+4，∴在实数范围内，m 无论取何值，（m-2）2+4≥4，即∆＞0，∴关于x 的方程x 2-（m+2）x+（2m-1）=0恒有两个不相等的实数根； （2）根据题意，得12-1×（m+2）+（2m-1）=0，解得m=2. 将m=2代入原方程，得x 2-4x+3=0. 解得x 1=1，x 2=3. ∴方程的另一根为3. ①当该直角三角形的两直角边长分别是1，3时，由勾股定理得斜边的长度为2231+=10，此时该直角三角形的周长为1+3+10=4+10；②当该直角三角形的一条直角边和斜边长分别是1，3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边长为2213-=22，此时该直角三角形的周长为1+3+22=4+22.。