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石大《初等数论》课件
考虑方程组
因为
是两两互素的，故由中国剩余
定理知，上述同余方程组有正整数解，于是，连
续的
二进制转为十进制
• 任意一个二进制表示的数
其中
或1（0≤j≤n），等于转换为
十进制为：
十进制转为二进制
• 以11为例，按照下面的方法转换：
2 11
余数
2 5 ………1＝a0
低位
2
2 ………1＝a1
高位
2
1 ………0＝a2
0 ………1＝a3
11=
同一数值的不同进制表示
对于任何一个数，可以用不同 的进位制来表示。比如：十进制数 57，可以用二进制表示为111001， 也可以用八进制表示为71、用十六 进制表示为39，它们所代表的数值 都是一样的。
并写出思考过程。
2 一张数学试卷只有25道选择题，做对1道 题得4分，做错1道题扣1分，如果不做，不 得分也不扣分。若某位同学得了78分，那 么他做对 道题，做错 道题，不做 道题。
参考解答：
1 46 92346 92346 92346 92346 92346 8517
这一31位数的所有数码之和为
任一大于1的整数a能表成素数的乘积：
（1）
其中
是素数。且在不计次序的
意义下，表示式（1）是惟一的。
算术基本定理的证明
第三篇 不定方程
所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程 个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、
整数或正整数等等）的方程或方程组。不定方程 也称为丢番图方程，是数论的重要分支学科，也 是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内 容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论 等等都有较为密切的联系。不定方程的重要性在 数学竞赛中也得到了充分的体现，每年世界各地 的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地；另外 它也是培养学生思维能力的好材料，数学竞赛中 的不定方程问题，不仅要求学生对初等数论的一 般理论、方法有一定的了解，而且更需要讲究思 想、方法与技巧，创造性的解决问题。
19初等数论PPT课件
个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立.令a-qb=r,则 a=bq+r,而0≤r<b
证明：存在性
严格地表述：
考虑整数a-bt构成的集合S，其中t∈Z。因为S中有 非负元(a为正时是a,a为负时,根据阿基米德公理,存 在整数n,使得nb>-a,则a+nb>0)，由最小整数原理， 我们知道S有一个最小的非负元，把它叫做r，并 设q是相应的t值，则a-bq=r,且r≥0.为了完成证明， 尚需证r<b.假若不然，则有r=b+r1,且r1 ≥0.因此， r1=r-b=a-bq-b=a-b(q+1).这说明r1在集合S中.但0≤ r1=r-b<r,这与r是S中的最小非负元矛盾
初等数论
§1 整数
整数、数论
整数是这样一些数：...，-2，-1，0，1， 2，…
一般把整数作为一种自明的概念来接受， 若想深究其哲学与逻辑意义可以参看弗雷 格的《算术基础》
数论的很大一部分内容就是研究整数的性 质。数论基本就是都整数本身性质的研究
除非另有说明，小写字母总表示整数
最小整数原理
一个下有界的非空整数集合总包含有它的 最小元。
同样，把最小整数原理作为自明的公理来 接受。
最小整数原理与数学归纳法是等价的方法： 如果把数学归纳法作为公理，可推出最小 整数原理，如果把最小整数原理作为公理， 可推出数学归纳法。
整除的概念
定义 设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如 果存在一个整数q使得等式
故(a,b)=(b,a , int b) { return (b == 0 ? a : gcd(b , a % b)); } Function gcd(a , b : longint) : Longint; Begin if (b = 0) then gcd := a else gcd := gcd(b , a mod b); End;
证明：存在性
严格地表述：
考虑整数a-bt构成的集合S，其中t∈Z。因为S中有 非负元(a为正时是a,a为负时,根据阿基米德公理,存 在整数n,使得nb>-a,则a+nb>0)，由最小整数原理， 我们知道S有一个最小的非负元，把它叫做r，并 设q是相应的t值，则a-bq=r,且r≥0.为了完成证明， 尚需证r<b.假若不然，则有r=b+r1,且r1 ≥0.因此， r1=r-b=a-bq-b=a-b(q+1).这说明r1在集合S中.但0≤ r1=r-b<r,这与r是S中的最小非负元矛盾
初等数论
§1 整数
整数、数论
整数是这样一些数：...，-2，-1，0，1， 2，…
一般把整数作为一种自明的概念来接受， 若想深究其哲学与逻辑意义可以参看弗雷 格的《算术基础》
数论的很大一部分内容就是研究整数的性 质。数论基本就是都整数本身性质的研究
除非另有说明，小写字母总表示整数
最小整数原理
一个下有界的非空整数集合总包含有它的 最小元。
同样，把最小整数原理作为自明的公理来 接受。
最小整数原理与数学归纳法是等价的方法： 如果把数学归纳法作为公理，可推出最小 整数原理，如果把最小整数原理作为公理， 可推出数学归纳法。
整除的概念
定义 设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如 果存在一个整数q使得等式
故(a,b)=(b,a , int b) { return (b == 0 ? a : gcd(b , a % b)); } Function gcd(a , b : longint) : Longint; Begin if (b = 0) then gcd := a else gcd := gcd(b , a mod b); End;
初等数论一-夏子厚精品PPT课件
• A = { y|y =a1x1 a2x2 anxn，xiZ，1 i n } • 中的最小正数，则对于任何yA，y0y；特别地，
y0ai，1 i n。（证明留给学生自己） • （2）此类题目的证明方法具有一般性，通常是针
对所给的“最小正数”的概念进行反证法。
第一节 整除与带余数除法
《初等数论》课程内容
• 第二章 不定方程
• 第一节 二元一次不定方程 • 第二节 多元一次不定方程 • 第三节 勾股数x2 y2 = z2
《初等数论》课程内容
• 第三章 同余性质
• 第一节 同余的概念及其基本性质 • 第二节 完全剩余系 • 第三节 欧拉函数与简化剩余系 • 第四节 欧拉定理与费马定理
•
a = bq
• 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a 是b的倍数，b是a的因数（约数或除数 ），并且记作：ba；如果不存在整数q 使得a = bq成立，则称b不能整除a或a不 被b整除，记作：b a。|
第一节 整除与带余数除法
• 定理1 下面的结论成立： • (1) ab，bc ac；（传递性） • (2) ma，mb m(a±b) • (3) mai，i = 1, 2, , n • ma1q1 a2q2 anqn， • 此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。
初等数论(一)
Number Theory （Chap1）
修改：贾祥雪
为什么学数论
• 有用 • 在研究函数，尤其是周期函数的时候经
常性要用到。 • 大学学习抽象代数及其后续课程的基础 • 计算机专业的必修课！尤其应用到算法
和密码两大领域 • 好玩，简单，美 • 自主招生、竞赛中考数论
为什么要这样学？
第一节 整除与带余数除法
y0ai，1 i n。（证明留给学生自己） • （2）此类题目的证明方法具有一般性，通常是针
对所给的“最小正数”的概念进行反证法。
第一节 整除与带余数除法
《初等数论》课程内容
• 第二章 不定方程
• 第一节 二元一次不定方程 • 第二节 多元一次不定方程 • 第三节 勾股数x2 y2 = z2
《初等数论》课程内容
• 第三章 同余性质
• 第一节 同余的概念及其基本性质 • 第二节 完全剩余系 • 第三节 欧拉函数与简化剩余系 • 第四节 欧拉定理与费马定理
•
a = bq
• 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a 是b的倍数，b是a的因数（约数或除数 ），并且记作：ba；如果不存在整数q 使得a = bq成立，则称b不能整除a或a不 被b整除，记作：b a。|
第一节 整除与带余数除法
• 定理1 下面的结论成立： • (1) ab，bc ac；（传递性） • (2) ma，mb m(a±b) • (3) mai，i = 1, 2, , n • ma1q1 a2q2 anqn， • 此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。
初等数论(一)
Number Theory （Chap1）
修改：贾祥雪
为什么学数论
• 有用 • 在研究函数，尤其是周期函数的时候经
常性要用到。 • 大学学习抽象代数及其后续课程的基础 • 计算机专业的必修课！尤其应用到算法
和密码两大领域 • 好玩，简单，美 • 自主招生、竞赛中考数论
为什么要这样学？
第一节 整除与带余数除法
初等数论(闵嗣鹤版课件
因而a个余数r0, r1, , ra1仅可能取a 1个值， 因此其中必有两个相等。
设为ri，rk，不妨设0 i k a，因而有 a(qk qi ) 2k 2i 2i (2ki 1)
因而a个余数r0, r1, , ra1仅可能取a 1个值， 因此其中必有两个相等。
• 我国近代：在解析数论、丢番图方程，一致分布 等方面有过重要贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤等 一流的数论专家，其中华罗庚在三角和估值、堆 砌素数论方面的研究享有盛名。
• 特别是在“篩法”、歌德巴赫猜想方面的研究， 已取得世界领先的优异成绩。陈景潤在1966年证 明歌德巴赫猜想方面证明了”1+2”(一个大偶数可 以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积 之和)
m|aq
3、带余数除法
带余数除法的第二种表示 定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0 r b 成立，而且q及r是唯一的。
证明分析：作整数序列 ，-3 b ,-2 b ,- b ,0,b ,2 b ,3 b ,
则a必满足q b a<(q+1) b , 其中q Z , 令a q b r可得到a b q r,分b 0和 b 0来讨论q, 进一步证明q, r的唯一性。
(i)若在r1, , r5中数0，1，2都出现，不妨设
r1 0, r2 1, r3 2，
此时
a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3
可以被3整除。
(ii)若在r1, , r5中数0，1，2至少有一个不出现，
这样至少有3个ri要取相同的值，不妨设
r1 r2 r3 r(r 0,1或2），
近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、 勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集 中前人的大成，写了一本书叫做《算术探究》，开始了 现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王， 数论是数学之王”。
设为ri，rk，不妨设0 i k a，因而有 a(qk qi ) 2k 2i 2i (2ki 1)
因而a个余数r0, r1, , ra1仅可能取a 1个值， 因此其中必有两个相等。
• 我国近代：在解析数论、丢番图方程，一致分布 等方面有过重要贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤等 一流的数论专家，其中华罗庚在三角和估值、堆 砌素数论方面的研究享有盛名。
• 特别是在“篩法”、歌德巴赫猜想方面的研究， 已取得世界领先的优异成绩。陈景潤在1966年证 明歌德巴赫猜想方面证明了”1+2”(一个大偶数可 以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积 之和)
m|aq
3、带余数除法
带余数除法的第二种表示 定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0 r b 成立，而且q及r是唯一的。
证明分析：作整数序列 ，-3 b ,-2 b ,- b ,0,b ,2 b ,3 b ,
则a必满足q b a<(q+1) b , 其中q Z , 令a q b r可得到a b q r,分b 0和 b 0来讨论q, 进一步证明q, r的唯一性。
(i)若在r1, , r5中数0，1，2都出现，不妨设
r1 0, r2 1, r3 2，
此时
a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3
可以被3整除。
(ii)若在r1, , r5中数0，1，2至少有一个不出现，
这样至少有3个ri要取相同的值，不妨设
r1 r2 r3 r(r 0,1或2），
近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、 勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集 中前人的大成，写了一本书叫做《算术探究》，开始了 现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王， 数论是数学之王”。
初等数论绪论课件
数的表示与转换
总结词
数的表示与转换是数论中一个重要的概念， 它涉及到数的不同表示方法和不同进制之间 的转换。
详细描述
数的表示方法有多种，包括十进制、二进制 、八进制和十六进制等。不同进制之间可以 进行转换，例如将十进制数转换为二进制数 或八进制数。此外，数的表示方法也涉及到 数的符号表示，如正数、负数和零的表示方 法。
整数的运算性质包括加法、减法、乘法和除法的性质。
详细描述
整数的运算性质是数论中的重要概念。加法和减法是可交换的，即a+b=b+a和a-b=b-a。加法和乘法满足结合 律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。除法在整数的范围内不 满足交换律和结合律，但满足分配律。
THANKS
感谢观看
有着重要的应用。
06
数的分解与表示
数的质因数分解
总结词
质因数分解是数论中一个基础概念， 它是指将一个合数表示为其质因数的 乘积。
详细描述
质因数分解是将一个合数表示为若干 个质数的乘积。例如，将数28进行质 因数分解得到2^2 * 7^1。质因数分 解是数论中一个重要的工具，它在解 决许多数学问题中都有应用。
近代数论
费马、欧拉、高斯等数学 家对数论的深入研究和突 破。
数论的应用领域
01
02
03
04
密码学
数论在加密算法和数字签名中 有着广泛的应用，如RSA算法
。
计算机科学
数论在计算机科学中用于实现 数据加密、网络安全和算法优
化。
物理科学
数论在物理科学中用于描述量 子力学和统计力学的数学结构
初等数论(闵嗣鹤版)课件
偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘
积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍 是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理： 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学 许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多
年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥
2、整除的基本定理
思考：逆命题是否成立？ 1、m|(a±b) →m|a,m|b 2、m|(a±b) ，m|a→m|b
定理2’
m | a, m | (a b) m | b
特例：m||a
m|aq
3、带余数除法
带余数除法的第二种表示 定理4 若a, b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0r b 成立，而且q及r是唯一的。
例1 求当b=15时, a取下列数值时的不完全 商和余数. 1、a=81; 2、a=-81;
• 例2(1)一个数除以2,余数可能为 , 所有的整数按被2除所得的余数分类可分 为 . • (2)一个数除以3,余数可能为 ,所有 的整数按被3除所得的余数分类可分为 . • (3) 一 个 数 除 以 正 整 数 b, 余 数 可 能 为 ,所有的整数按被b除所得的余 数分类可分为 .
这样至少有3个ri要取相同的值，不妨设 r1 r2 r3 r(r 0,1或2）， a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3r 可以被3整除。
例3、设a 1为奇数，证明： 存在正整数d a 1, 使得a 2 1
d
证：考虑下面的a个数： 20 , 21 , , 2a 1，显然a不整除2 j (0 j a)，
初等数论第一章课件
(i)m是任一正整数，则
(am, bm) (a, b)m
(ii)若
是a,
b的任一公因数，则
a
,
b
a, b
，
特别
a (a, b)
,
b (a, b)
1
对于两个以上整数的最大公因数问题，不妨设
a1, a2 , , an是任意n个正整数，令 (a1, a2 ) d2 , (d2 , a3 ) d3, , (dn1, an ) dn.
q及r，使得
a bq r，
b r
2
成立，而且当b是奇数时，q及r是唯一的；当b是偶数时，q及r
有可能是不唯一的。
例
当a 5, b 2时，可有
5 （ 2）（ 3）（1），即q 3, r 1;
或5 （ 2）（ 2）1，即q 2, r 1
证明分析：作序列
，- 3 b ,- 2 b ,- b ,0, b ,2 b ,3 b , 2 2 2 22 2
2、整除的基本定理
定理1（传递性）：ab，bc ac
定理2：若a，b都是m的倍数，则ab都是m的倍数
定理3 若a1 , a2, , an都是m的倍数，q1, q2, , qn 是任意n个整数，则a1q1 a2q2 anqn是m的倍数
3、带余数除法
定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0 r b () 成立，而且q及r是唯一的。 ()式中的q及r分别叫a被b除所得的不完全商和余数。
[a1, a2 ] m2 ,[m2 , a3 ] m3, ,[mn1, an ] mn. 于是我们有
定理5 a1, a2, , an是n个正整数，则 [a1, a2 , , an ] mn.
初等数论1 整除理论.ppt
Fermat曾猜测是素数：F0,F1,F2,F3,F4是素数，F5=641*6700417是合数。
5)、形如4n 3的素数有无限多个。 6)、越往后越稀疏：在正整数序列中, 有任意长的区间中不含有素数。
对于大于等于2的整数n，连续n-1个整数n!＋2, n!＋3, …, n!＋n都不是素数。
素数分布
定理 (算术基本定理) 任何大于1的整数n可以唯一地表示成(标准分解式)
其中p1 , p2,
n
p1 1
p2 2
pk k
, pk 是素数，p1 < p2 < < pk，1, 2, , k是正整数。
哥德巴赫猜想：“每个大于2的偶数均可表成为两个素数之和” 陈景润： “每一个充分大的偶数都可表为一个素数及一个不超过两个素数乘积之和”
GCD和LCM
n的标准分解式： n
p1 1
p2 2
pk k
n的正因数： n的正倍数 ：
d
p1 1
p2 2
p k k
i Z, 0 i i,1 i k
m
p 1 1
p2 2
pk k
M
M N, i N, i i,1 i k
a
p1 1
p2 2
pk k
,
b
p 1 1
p2 2
pk k
,
i
,
i
0, 1 i k
《自然》(2013.5.14)：新罕布什尔大学（Lecturer）（University of New Hampshire，UNH）张益唐（《数学年刊》（Annals of Mathematics））——存在无穷多对素数，其差小于7000万。
素数分布
1)、任意两个相邻的正整数n和n＋l (n＞3)中必有一个不是素数。
5)、形如4n 3的素数有无限多个。 6)、越往后越稀疏：在正整数序列中, 有任意长的区间中不含有素数。
对于大于等于2的整数n，连续n-1个整数n!＋2, n!＋3, …, n!＋n都不是素数。
素数分布
定理 (算术基本定理) 任何大于1的整数n可以唯一地表示成(标准分解式)
其中p1 , p2,
n
p1 1
p2 2
pk k
, pk 是素数，p1 < p2 < < pk，1, 2, , k是正整数。
哥德巴赫猜想：“每个大于2的偶数均可表成为两个素数之和” 陈景润： “每一个充分大的偶数都可表为一个素数及一个不超过两个素数乘积之和”
GCD和LCM
n的标准分解式： n
p1 1
p2 2
pk k
n的正因数： n的正倍数 ：
d
p1 1
p2 2
p k k
i Z, 0 i i,1 i k
m
p 1 1
p2 2
pk k
M
M N, i N, i i,1 i k
a
p1 1
p2 2
pk k
,
b
p 1 1
p2 2
pk k
,
i
,
i
0, 1 i k
《自然》(2013.5.14)：新罕布什尔大学（Lecturer）（University of New Hampshire，UNH）张益唐（《数学年刊》（Annals of Mathematics））——存在无穷多对素数，其差小于7000万。
素数分布
1)、任意两个相邻的正整数n和n＋l (n＞3)中必有一个不是素数。
初等数论ppt
二
几个著名数论难题 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想 ；
费尔马大定理 ；孪生素数问题 ；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家 李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一 部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题 大都是已知 勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问 题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用 以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。 李冶在《测圆海镜》中系统而概栝地总结了天元术，使文 词代数开始演变成符号代数。 所谓天元术，就是设“天元 一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项 式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与 现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了16世纪以 后才完全作到这一点。
第一章 整数的整除性
第一节 整除的概念
• 一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数
• 一个性质：
整数+整数=整数 整数-整数=整数 整数*整数=整数
关于奇数和偶数性质： 1.奇数+奇数=偶数； 奇数+偶数=奇数； 偶数+偶数=偶数； 2.两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的 奇偶性相反（同）。 3.若干个整数之和为奇数，则这些数中必有 奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整 数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇 数的个数必为偶数个。
离散数学初等数论PPT课件
10!=28×34×52×7, 故10!的二进制表示中从最低位数起有8个连续的0.
8
素数的分布
定理11.2 有无穷多个素数. 证 用反证法. 假设只有有穷多个素数, 设为p1,p2,…,pn, 令m=p1p2…pn+1. 显然, pi m, 1≤i≤n. 因此, 要么m本身 是素数，要么存在大于pn的素数整除m, 矛盾.
成立.
12
实例
例3 判断157和161是否是素数. 解 157 , 161都小于13, 小于13的素数有: 2, 3, 5, 7, 11. 检查结果如下:
2 157, 3 157, 5 157, 7 157, 11 157 结论: 157是素数.
2 161, 3 161, 5 161, 7|161（161=7×23） 结论：161是合数.
14
11.2 最大公约数与最小公倍数
• 公约数、最大公约数 • 公倍数、最小公倍数 • 辗转相除法 • 互素
15
最大公约数与最小公倍数
d是a与b的公因子(公约数): d |a且d |b m是a与b的公倍数: a | m且b| m 定义11.3 设a和b是两个不全为0的整数, 称a与b的公因子中 最大的为a与b的最大公因子, 或最大公约数, 记作gcd(a,b). 设a和b是两个非零整数, 称a与b最小的正公倍数为a与b的 最小公倍数, 记作lcm(a,b). 例如 gcd(12,18)=6, lcm(12,18)=36. 对任意的正整数a, gcd(0,a)=a, gcd(1,a)=1, lcm(1,a)=a.
1
2
k
p p p lcm(a,b)=
mr 1 a ,s1)xm ( r 2 a ,s2)x( mr k a ,sk)x(
8
素数的分布
定理11.2 有无穷多个素数. 证 用反证法. 假设只有有穷多个素数, 设为p1,p2,…,pn, 令m=p1p2…pn+1. 显然, pi m, 1≤i≤n. 因此, 要么m本身 是素数，要么存在大于pn的素数整除m, 矛盾.
成立.
12
实例
例3 判断157和161是否是素数. 解 157 , 161都小于13, 小于13的素数有: 2, 3, 5, 7, 11. 检查结果如下:
2 157, 3 157, 5 157, 7 157, 11 157 结论: 157是素数.
2 161, 3 161, 5 161, 7|161（161=7×23） 结论：161是合数.
14
11.2 最大公约数与最小公倍数
• 公约数、最大公约数 • 公倍数、最小公倍数 • 辗转相除法 • 互素
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最大公约数与最小公倍数
d是a与b的公因子(公约数): d |a且d |b m是a与b的公倍数: a | m且b| m 定义11.3 设a和b是两个不全为0的整数, 称a与b的公因子中 最大的为a与b的最大公因子, 或最大公约数, 记作gcd(a,b). 设a和b是两个非零整数, 称a与b最小的正公倍数为a与b的 最小公倍数, 记作lcm(a,b). 例如 gcd(12,18)=6, lcm(12,18)=36. 对任意的正整数a, gcd(0,a)=a, gcd(1,a)=1, lcm(1,a)=a.
1
2
k
p p p lcm(a,b)=
mr 1 a ,s1)xm ( r 2 a ,s2)x( mr k a ,sk)x(
初等数论(闵嗣鹤版课件
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大 偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘 积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍 是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理： 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学 许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
1、a=81; 2、a=-81;
• 例2(1)一个数除以2,余数可能为
,
所有的整数按被2除所得的余数分类可分
为
.
• (2)一个数除以3,余数可能为
,所有
的整数按被3除所得的余数分类可分为
.
• (3) 一 个 数 除 以 正 整 数 b, 余 数 可 能
为
,所有的整数按被b除所得的余
数分类可分为
.
带余数除法的应用举例
4、最完美的数——完全数问题
完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的 信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于 它自己的因子(不包括它自身)的和， 如： 6=1+2+3.
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
设为ri，rk，不妨设0 i k a，因而有 a(qk qi ) 2k 2i 2i (2ki 1)
则有 a 2ki 1，取d k i a 1，则d就满足要求。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大 偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘 积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍 是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
2、费尔马大定理： 费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学 许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的 律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多 年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥 芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处， 写下一个看起来很简单的定理。
1、a=81; 2、a=-81;
• 例2(1)一个数除以2,余数可能为
,
所有的整数按被2除所得的余数分类可分
为
.
• (2)一个数除以3,余数可能为
,所有
的整数按被3除所得的余数分类可分为
.
• (3) 一 个 数 除 以 正 整 数 b, 余 数 可 能
为
,所有的整数按被b除所得的余
数分类可分为
.
带余数除法的应用举例
4、最完美的数——完全数问题
完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的 信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于 它自己的因子(不包括它自身)的和， 如： 6=1+2+3.
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
设为ri，rk，不妨设0 i k a，因而有 a(qk qi ) 2k 2i 2i (2ki 1)
则有 a 2ki 1，取d k i a 1，则d就满足要求。
初等数论ppt(12)第六章 - 指数与原根
* [ m (a), m ( a)].另 一 方 面 , 显 然 有 a * 1 (mod m j ),
1 2
j 1,2.由 此 及 (m1 , m2 ) 1 推 出 a * 1 (mod m1m2 ).因 而 由 性 质2推 出 m1m2 (a ) . 所 以 ( 4 ) 式 成 立 .
k
此外,在模 m的一个既约剩余系中,至少有 （ m (a )） 个 数 对 模 m 的 指 数 等 于 m (a ). 证 记 m (a ), ' / ( , k ), * m ( a k ).由 定 义 知 a
k *
1 (mod m), a
'
k '
性 质 9 (i) 若 n m ,则 n (a) m ( a); (i i) 若( m1 , m2 ) 1,则 有 m1m2 ( a) [ m1 ( a), m2 ( a)] . (4) 证 (i)可 由 性 质2直 接 推 出 . 由 ( i ) 即 得 * m1m2 (a) , 这 里
定 理 3 设 p 为 奇 素 数 . 那 么 , 对 任 意 的 1 , 模 p 必 有 原 根 . 事 实 上 , 存 在 g 使 得 对 所 有 的 1, g 是 模 p , 模 2 p 的公共的原根. ( i ) 若 g 是 模 p 1( 1 ) 的 原 根 , 则 g一 定 是 模 p的 原 根 . ( i i ) 若 g 是 模 p的 原 根 , 则 必 有 p 1 ( g ) ( p )或 ( p 1 ). ( i i i ) 当 p 是 奇 素 数 , 若 g 是 模 p 的 原 根 , 且 有 g p 1 1 rp p | r ,则 g 是 所 有 模 p ( 1 ) 的 原 根 . (iv) 当p 是奇素数,若g '是模p的原根且为奇数(若g '是 偶 数 , 则 以 g ' p代 g ' ) , 那 么 有 g g ' t p, t 0,1, , p 1.
《初等数论-第一章》课件
(ii)若在r1, , r5中数0，1，2至少有一个不出现，
这样至少有3个ri要取相同的值，不妨设
r1 r2 r3 r(r 0,1或2），
此时
a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3r
可以被3整除。
例 3：当m 1,则有下面的： 2m 1不整除2n 1。
证明：不妨设 n mq r,0 r m. 于是
b的因数，反之， b的因数也就是0与b的公因数。 (ii)(0,b)=|b|
推论2.1 若b是任一非零整数，则(0,b) b
4、定理3 设a,b,c是三个不全为零的整数，且 a=bq+c
其中q是非零整数，则a,b与b,c有相同的公因数， 因而(a,b)=(b,c)
定理 下面的等式成立：
(ⅰ) （a1 , a2)=(a2 , a1)=(-a1 , a2) ；一般地 (a1 , a2 , , ai , , ak) = (ai , a2 , , a1 , , ak) = (-a1 , a2 , , ak)=(|a1| , |a2| , , |ak|)； (ⅱ) 若a1|aj , j = 2, , k,则（a1 , a2)=(a1 , a2, , ak)
《初等数论》
数论的基本内容
按照研究的对象以及研究方法的不 同，数论一般可分为：
初等数论；解析数论； 代 数数论；几何数论；组合 数论；代数数数论；超越 数数论等
参考书目
1、冯克勤、余红兵主编《初等数论》，中 国科学技术大学出版社. 2、柯召、孙琦编著《数论讲义》，高等教 育出版社. 3、潘承洞、潘承彪著《初等数论》，北京 大学出版社. 4、陈景润主编《初等数论》，科学出版社。
2、任意整数的最大公因数可转化为正整数来讨论
定理1 若a1, a2, , an是任意n个不全为零的整数， 则（i) a1, a2, , an 与 a1 , a2 , , an 的公因数相同； (ii)(a1, a2, , an ) ( a1 , a2 , , an ).
初等数论课件
初等数论课件《初等数论》课件⼗堰⼴播电视⼤学-------任鹏第⼀部分⼤纲说明⼀、课程的作⽤与任务“初等数论”课程是中央⼴播电视⼤学数学与应⽤数学专业的⼀门限选课。
数学与应⽤数学专业的学⽣学习⼀些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的⼀些课程。
通过这门课的学习，使学⽣获得关于整数的整除性、不定⽅程、同余式、原根与指标及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常⽤的⽅法，加强他们的理解和解决数学问题的能⼒，为今后的学习奠定必要的基础。
⼆、课程的⽬的与要求初等数论是研究整数性质的⼀门学科，历史上遗留下来没有解决的⼤多数数论难题其问题本⾝容易搞懂，容易引起⼈的兴趣，但是解决它们却⾮常困难。
本课程的⽬的是简单介绍在初等数论研究中经常⽤到的若⼲基础知识、基本概念、⽅法和技巧。
通过本课程的学习，使学⽣加深对整数的性质的了解，更深⼊地理解初等数论与其它邻近学科的关系。
三、教学要求有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等⽅法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。
第⼆部分学时按排⼀、学时和学分1、本课程共54学时，学时分配为：2、学分本课程共3学分。
⼆、教材1、⽂字教材是学⽣学习的主要⽤书，它是教和学的主要依据。
根据远程开放教育要求和电⼤学⽣⼊学时⽔平参差不齐的实际情况，⽂字教材除主教材外，并配辅助教材。
⽂字教材是学⽣获得知识和能⼒的重要媒体，教材中对概念的叙述要直观⽆误，论证要清楚，要适合成⼈开放教育、以业余学习为主的特点，要便于学⽣⾃学。
2、本课程要积极探索基于⽹络环境的远程开放教育的教学模式、学习模式，充分利⽤IP课程的卫星、⽹络传播的优势，充分发挥IP 课程的教学内容可选和交互性，为学⽣⾃主学习本课程提供更⽅便的教学资源。
三、教学环节1、⾃学⾃学是电⼤学⽣获得知识的重要⽅式，⾃学能⼒的培养也是远程开放⾼等教育的⽬的之⼀，本课程的教学要注意对学⽣⾃学能⼒的培养。
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