“数形结合”在中学常见函数中的应用

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数形结合在高中函数的应用

数形结合在高中函数的应用
简单点说，数可以理解为数字，数学表达式，形即图形，包括函数图象，简图等等
数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题：
一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。

二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。

函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。

三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。

四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。

五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。

从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。

六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以
及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。

用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。

七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。

八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。

数形结合在函数与方程中的应用

２０２４年３月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀数形结合在函数与方程中的应用◉江苏省常熟市浒浦高级中学㊀李宝香㊀㊀函数与方程是高中数学的重要组成部分,也是高考的核心考点,二者既相互联系又相互区别．它们与其他知识点也有着密切的联系,学好这部分知识点对学生提高数学水平㊁提升数学能力都有着非常重要的意义．方程与函数相结合的题目比较灵活,学生解题时常常因为找不到合适的切入点而望而却步．数形结合作为一种重要的思想方法,其在解决函数与方程问题中有着重要的应用．日常教学中,教师应让学生充分体会函数与方程的转化关系,重视启发学生借助图象的直观来解决一些抽象的方程㊁不等式㊁函数单调性等问题,以此提高解题效率．下面笔者结合实例谈谈自己在这部分知识教学时的一些心得体会,若有不足,请指正．１利用数形结合思想研究一元二次方程的根的分布问题㊀㊀方程的根与函数的零点既是高中数学的重点,也是难点．在这部分知识教学中,教师应重视基础知识的讲解,让学生理解并掌握二者之间的等价关系,并学会用数形结合思想方法解决问题,感悟数形结合思想方法在解决此类问题中的价值,发展数学素养．１．１探寻基础,沟通联系在函数与方程的教学中,教师应重视引导学生将方程中的相关结论用函数图象来表达,以此将方程的根与函数的零点建立联系,通过数形结合,让学生深刻理解二者的等价关系,从而为后期的应用奠基．设一元二次方程a x ２＋b x ＋c ＝０(a ʂ０)的两个实数根分别为x １,x ２,且x １ɤx ２,有以下重要结论．结论１:x １＞０,x ２＞０{⇔Δȡ０,a ＞０,f (０)＞０,b ＜０ìîíïïïï或Δȡ０,a ＜０,f (０)＞０,b ＞０．ìîíïïïï根据结论１,结合二次函数图象得到函数零点的分布情况,如图１．图１结论２:x １＜０,x ２＜０{⇔Δȡ０,a ＞０,f (０)＞０,b ＞０ìîíïïïï或Δȡ０,a ＜０,f (０)＞０,b ＜０．ìîíïïïï同理,结合结论１的研究经验,根据结论２可以得到对应的二次函数图象,如图２．图２结论３:x １＜０＜x ２⇔ca ＜０．结论４:x １＝０,x ２＞０⇔c ＝０且ba＜０;x １＜０,x ２＝０⇔c ＝０且ba＞０．(对应图象如图３㊁图４)图３图４数与形建立联系,为研究方程的根的分布情况带来了便利,促进了学生高阶思维能力的发展．１．２灵活应用,深化认知例１㊀假设x ２－２(m －１)x ＋２m ＋６＝０．(１)如果方程有两个根均大于０,求实数m 的取值范围;(２)如果方程的两个根一个比１大,一个比１小,３４学习指导２０２４年３月上半月㊀㊀㊀求实数m 的取值范围;(３)如果方程的两个根均大于１,求实数m 的取值范围．问题给出后,教师让学生独立完成．教师巡视,发现大多学生选择运用初中所学的方程知识来求解．有的因为运算复杂而望而却步,有的因为漏解最终导致结果错误,解题效果一般．在解决此类问题时,教师要引导学生运用数形结合思想,借助图形的直观去研究已知,探寻未知,有效避免错误的发生．教学中,教师选择了一些典型性解答过程进行展示,以下是学生给出的解问题(３)的解答过程．生１:根据Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,(x １－１)(x ２－１)＞０,{可得m ȡ５或m ɤ－１．生２:由Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,x １＋x ２＞２,x １x ２＞１,ìîíïïïï得m ȡ５．生１按照解决问题(１)的思路求解,解得m ȡ５或m ɤ－１;而生２按照解决问题(２)的思路求解,解得m ȡ５．可以看出,大多学生习惯性地利用根的判别式和韦达定理来求解此类问题．对于简单的问题,此种方法确实一个好的解题策略,该方法虽然运算上略显复杂,但是学生易于理解和接受．不过,对于复杂的问题,若依然采用该方法求解可能会陷入误区．教学中,教师让学生思考: 上述问题(３)的两种解法正确吗?你能否举例验证呢在问题的引导下,学生积极思考,很快就发现了问题．对于生１给出的(x １－１)(x ２－１)＞０这一条件,学生给出这样一个反例:若x １＝－３,x ２＝－１,虽满足(x １－１)(x ２－１)＞０,但却不满足方程两根均大于１这一条件．对于生２给的条件,同样也给出了反例:若x １＝４,x １＝１２,同样满足x １＋x ２＞２,x １x ２＞１,{但却不满足方程两根均大于１这一条件．显然利用解决问题(１)和问题(２)的策略来研究问题(３)是行不通的．此时,教师不妨引导学生分析函数的零点,借助函数图象寻找解决问题的突破口．由y ＝x ２－２(m －１)x ＋２m ＋６的图象(此处略),可得Δ＝４(m ２－４m －５)ȡ０,２(m －１)２＞１,f (１)＞０,ìîíïïïï所以m ȡ５．在此基础上,教师可以引导学生运用函数零点分布的知识重新思考问题(１)和问题(２),以此通过对比分析发现不同解法的优缺点．以上问题求解后,教师还应引导学生向一般转化,思考这样几个问题:已知方程a x ２＋b x ＋c ＝０(a ＞０)有两个根．若方程有两个正根,此时应满足什么条件?若方程两根都比m 大,又应满足什么条件呢?若方程一个根比m 大,另一个根比m 小呢?由此通过由特殊到一般的转化,帮助学生总结二次函数零点分布的解法,提高学生解题技能．在数学教学中,不应仅将目光聚焦于问题解决上,还应思考问题解决过程中涉及的数学思想方法,让学生学会从整体㊁全局的角度去思考问题,通过深入探究提高学生分析和解决问题的能力．２利用数形结合思想解方程和不等式函数是方程与不等式的扩展,三者相互沟通㊁相互转化．谈起解方程,大家脑海中大多浮现的是解一元一次方程㊁一元二次方程(组),其实方程的类型远不止于此,有些方程直接求解可能很难找到合理的切入点,需要将其转化为函数,利用函数思想求解往往可以事半功倍．其实,在研究幂函数㊁指数函数㊁对数函数㊁三角函数等一些特殊形式的函数时,都会要求学生画出这些函数的图象,然后运用一些特殊方程与函数的交点问题来研究方程的根．３利用数形结合思想研究函数的单调性函数单调性是高中数学教学的一个难点内容．之所以难是因为函数单调性的概念比较抽象,部分学生直接应用定义法研究函数单调性时容易遇到障碍,从而影响解题效果．其实我们在学习新函数时,都会研究其图象,然后根据函数图象研究函数的相关性质．因此,在研究初等函数或者由初等函数复合而来的函数的单调性问题时,可以结合函数图象来分析,以此借助形的直观让问题更加形象,消除学生的畏难情绪,提高解题信心．例２㊀求函数y ＝x |x |－２|x |的单调区间．分析:在解决此类含绝对值的函数问题时,首先要引导学生去掉绝对值符号,然后结合函数图象研究其性质．根据绝对值的定义去掉绝对值,可得y ＝x ２－２x ,x ȡ０－x ２＋２x ,x ＜０,{然分别画出y ＝x ２－２x (x ȡ０)和y ＝－x ２＋２x (x ＜０)的函数图象,问题即可迎刃而解．数形结合在研究函数与方程问题中有着重要的应用,若在教学中合理加以利用可以淡化数学的抽象性,帮助学生更好地理解知识㊁解决问题,提高解题信心．因此,在课堂教学中,教师不仅要讲授知识,还要渗透思想与方法,以此提高教学质量和学生数学素养．Z４４。

数形结合思想在中学函数教学中应用

数形结合思想在中学函数教学中应用中学函数教学是中学数学教育中重要的内容，它涉及到函数的概念、特征和应用，以及函数的建立方法。

数形结合思想是近年来的一种流行的教学理念，它强调将数学和艺术、科学等课程进行有机的结合，以培养学生的独立思考能力和创新能力。

由于数形结合思的重要性和学生的学习需要，在中学函数教学中引入数形结合思想获得了广泛关注。

首先，数形结合思想可以帮助学生加深对函数基本概念的理解。

函数是数学领域中一个重要概念，由若干规律关系构成，一般来说，学生很难直接理解以及把握它的基本概念，而数形结合思想则可以帮助学生在实际的基础上较好的理解函数的概念，这样才能够建立起函数的概念。

其次，数形结合思想可以有效培养学生的观察能力。

函数解析的过程就是一个观察的过程，数形结合思想可以帮助学生获得一种视角，让学生能够从实际的现象中观察到函数的特征和建立方法，从而使学生能够更好的利用函数解决实际问题。

此外，数形结合思想还可以帮助学生培养逻辑思维能力。

函数可以用图形、表格、解析式等形式来表示，学生要学会运用多种表示方法，这需要积累大量的知识点，并熟练掌握运用，而数形结合思想可以帮助学生快速获得思维方式，有助于学生掌握函数表示方法以及推导，学生可以藉此思路来解决实际问题。

最后，数形结合思想可以增强学生学习数学的兴趣。

数学是一门理科课程，因其特殊性，使学生容易陷入兴趣低落、学习效率低下的境地，但数形结合思想却可以帮助学生把数学和其他艺术、科学等课程的内容相结合，使学生能够在趣味性的学习当中激发学习兴趣，培养学生独立思考的能力，进而发挥函数在实际中的应用价值。

综上所述，数形结合思想对于中学函数教学的意义重大，它可以帮助学生加深对函数概念的理解，增强学生的观察能力、逻辑思维能力，激发学生学习数学的兴趣，使学生掌握函数的建立方法和解决实际问题的能力。

因此，中学函数教学中应当以数形结合法为理念，将学生的观察、理解和应用能力紧密结合起来，有助于提高学生的数学水平，有利于学生的自主学习能力的发展。

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想在初中数学解题中的应用数形结合思想是指在解决数学问题时，通过将数学概念与几何图形相互结合，相互转化和应用的思考方法。

在初中数学的教学中，数形结合思想被广泛地应用。

本文将从初中数学的各个章节对其应用进行探讨。

1. 直线与圆在初中数学的直线与圆章节中，学生需要掌握直线与圆之间的基本关系，如切线、割线等，并学习如何运用这些关系解决问题。

数形结合思想在这一章节的应用体现在，通过将直线与圆相互结合，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而帮助学生更好地理解题意和解决问题。

例如，解决“过圆O外一点P作切线，过点P作另一条直线割圆于A、B两点，连接OP 并延长交圆于C点，求证：∠OAC=∠OBC”的问题时，我们可以通过画图，在圆上标出切线和割线，将几何图形与数学概念相互联系来解决问题。

2. 三角函数在初中数学的三角函数章节中，学生需要学习正弦、余弦、正切等三角函数的基本概念和运用。

例如，在解决“证明：sin2A+cos2A=1”的问题时，我们可以画出一个以A为顶点的直角三角形，将正弦、余弦与三角形的边相互对应，从而帮助学生理解三角函数的定义和性质。

3. 平面向量例如，在解决“ABCD为平行四边形，设向量AB=a，向量AD=b，求向量AC的坐标表示”的问题时，我们可以画出平行四边形ABCD的几何图形，并通过图形将向量的定义和运算法则转化为数学表示式。

4. 二次函数例如，在解决“已知二次函数y=x²+px+q的图像过点(1，3)，且在x轴上的零点为-2和3，求p、q”的问题时，我们可以通过画出二次函数的图像，并通过图像求出零点和顶点，进而求出p、q的值。

结语数形结合思想在初中数学的教学中具有重要的应用价值，可以帮助学生更好地理解数学知识，提高解题能力和思维能力。

教师在教学中应该注重将数学概念与几何图形相互联系，设计具体、形象的教学案例，引导学生积极思考、用图解题，从而达到提高教学质量和学生学习水平的目的。

高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用

高中数学中数形结合思想在函数解题中的运用（一）数形结合在求函数定义域方面的应用例1：求函数y =的定义域. 解析：若要解决该函数的定义域，则有23200x x x ⎧-+≥⎨≠⎩，要解决此类不等式的解集，需要借助图像，如右图：由图像可以看出，若要2320x x -+≥，只需1,x ≤或2x ≥，再由0x ≠，得出该函数的定义域即为：()(][),00,12,-∞+∞. 小结：随着学生做题熟练程度的增强，二次不等式的求解已不用再画图。

因此在求函数定义域方面，多见于画数轴选择出取值范围。

（二）数形结合在求函数值域方面的应用例2：求函数(]223,1,2y x x x =--∈-的值域. 解析：看到所求函数为二次函数，由于函数是非单调的，所以并不能代端点值去求出值域，因此需要借助图像来观察，如右图：借助图像的直观表达可知道，具有区间范围的该二次函数的图像应为黄色区域部分，此函数的最小值是在对称轴处取得，即当1x =时，4y =-。

从而该函数的值域为：(]0,4-。

小结：对于此类问题是学生的常见出错点，学生们习惯于直接带入端点值得出其值域，因此对于给定区间上的二次函数值域问题，培养学生数形结合的思想是非常重要的。

（三）数形结合在函数单调性方面的应用例3：已知2()2(1)2f x x a x =+-+在(],4-∞上是减函数，求实数a 的取值范围。

解析：函数解析式中含有字母，因此函数在坐标系内的具体位置不能固定，需要画图分析，看何种情况才能满足题干要求：通过图像分析可知：若要满足函数在给定区间上为单调函数，只能是后两种情况，也就是函数图像的对称轴不能出现在所给区间内，从而解题找到突破口。

所给函数对称轴方程：1x a =- ,由图像分析可知，需有a 14-≥，从而a 5≥。

小结：该类问题常见于二次函数中，因其单调性与对称轴的位置有关，故通常画图分析更能直观得出题目所需情况，从而快速得出结论。

（四）数形结合在函数奇偶性方面的应用例4：已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()(1)f x x x =+.试求当0x <时，函数()f x 的解析式。

数形结合在中学函数中的应用

数形结合在中学函数中的应用一、数学思想方法的含义数学家和数学教育工作者从不同的角度论述了数学思想方法，其中最有影响力的是基于哲学的角度。

所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识。

数学思想比一般的数学概念具有更高的抽象和概括水平，后者比前者更具体、丰富，而前者比后者更本质、深刻。

数学方法则是指在从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等。

数学思想、观点、方法三者相互关联、密不可分：如果人们站在某个位置，从某个角度运用数学去观察和思考问题，那么数学思想也就成了一种观点；而对于数学方法来说，思想是其相应方法的精神实质和理论基础，方法则是践行某种思想的技术手段。

运用数学方法来解决问题都包含了数学思想，数学思想则通过方法来体现。

二、中学数学中常用的数学思想方法在中学数学教学体系中，一些重要、典型的数学思想方法较为常见，常用的有如下几种：转换化归的思想方法、函数与方程的思想方法、数形结合思想方法、极限思想方法。

其中，数形结合思想方法最为常用，下面将对数形结合思想方法进行简要说明。

三、数形结合思想方法1. 数形结合思想方法的涵义数形结合思想方法中的“数”可以广义地理解为数学文字表征，即数字、文字、式子、数学概念、数学结构、数学性质、数学定理等概念和命题；相应地，“形”可以理解为图形表征，即实物、图象、图形、符号等。

数学问题中常常出现“数”和“形”的形态，两者为研究对象的不同侧面，通过数形结合可以将数学问题简单化、具体化，可以通过数量关系和图形性质之间的彼此转化或者综合起来分析、解决问题。

数形结合思想方法不仅对其所含的数学意义进行了分析，还揭示了其所蕴含的几何直观，实现了空间形式直观形象与数量关系精确刻画的有机结合。

2. 采用数形结合思想方法的意义“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括，如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。

数形结合思想在函数中的应用

数形结合思想在函数中的应用所谓数形结合思想就是在研究问题时把数和形结合起来考虑，或者把问题的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化．本文以一次函数为例，说明它的几个应用．一、“形”到“数”的思想应用例1 小明同学骑自行车去效外春游，图1表示他离家的距离y （千米）与所用时间x （小时）之间的关系图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需几小时？此时离家多远？（2）求小明出发两个半小时时离家多远？（3）求小明出发多少时间距家12千米？解：（1）由图象知离家最远30千米需要3小时．（2）线段CD 的函数关系式为y =15x -15（2≤x ≤3），当x =2.5时，y =15×2.5－15＝22.5（千米）．所以小明出发2.5小时时，离家22.5千米．（3）小明距家12千米时应在OB 线段或EF 线段，线段OB 函数关系式为y =15x （0≤x ≤1），线段EF 函数关系式为y =-15x +90（4≤x ≤6）．当y =12时，有15x =12，-15x +90=12．解得45x =或265．所以小明出发45小时，或265小时，离家12千米．二、“数”到“形”的思想应用例2 某游客为爬上3千米高的山顶看日出，先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶，游客爬山所用时间t （小时）与山高h （千米）之间函数关系用图象表示是（）解：（B ）、（C ）显然不符合，比较（A ）和（D ），发现（A ）爬山高度超过3千米，所以选（D ）．三、数形结合思想应用例3 如图2，表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中路程y （千米）随时间x （分）的变化图象（全程），根据图象回答下列问题．（1）求比赛开始多少分钟两人第一次相遇；（2）求这次比赛全程是多少千米？（3）求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇；解：（1）由图象知第一次相遇在AB 段且距出发地6千米．线段AB 的一次函数关系式为110(1533)93y x x =+≤≤．当110693x=+时，x=24（分）．第一次相遇时间为24分钟．（2）由（1）知，线段OD过点（24，6），所以OD的一次函数关系式为1(048)4y x x=≤≤．当x=48时，148124y=⨯=（千米）．所以比赛全程为12千米．（3）由图象知第二次相遇在BC段，线段BC的一次函数关系式为119(3343) 22y x x=-≤≤．线段BC与OD交点为方程组1411922y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，的解．解得3819.2xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，．所以第二次相遇在第38分钟．数学家华罗庚说过：数形结合千般好，数形分离万事休．数形结合思想是一种重要思想方法，请同学们一定留意它在数学中的应用．。

数形结合在初中数学教学中的运用例谈

数形结合在初中数学教学中的运用例谈数形结合是指在数学教学中，通过运用几何图形来帮助学生理解和解决数学问题。

它能够提升学生的动手实践能力和直观的几何感，使抽象的数学概念变得具体可见，从而提高学生对数学知识的理解和记忆。

下面将通过几个例子，详细介绍数形结合在初中数学教学中的运用。

例1：分数的乘法在初中数学中，学生需要学习分数的乘法运算。

通常，教师会通过十分十分相乘的方法来解释分数的乘法规则，但是这种方法抽象且难以理解。

为了帮助学生更好地理解分数的乘法，教师可以利用几何图形进行数形结合的教学。

教师可以在黑板上绘制一个矩形，并将其分成若干个小矩形，其中一部分为横向分割，一部分为纵向分割。

然后，教师可以用不同颜色的粉笔标注出各个小矩形的面积，并引导学生寻找分数乘法的规律。

通过这种方法，学生可以直观地看到矩形面积的分割和组合过程，从而更好地理解分数乘法的概念和规则。

例2：代数式的图形展示在初中代数学中，学生需要学习代数式的理解和运算。

通常，学生对于代数式的抽象性特点难以理解和掌握。

为了帮助学生更好地理解代数式，教师可以利用数形结合的方法进行教学。

教师可以让学生绘制一个具体几何图形，如长方形、正方形等，并引导学生根据图形的特点构造相应的代数式。

通过观察几何图形和代数式的对应关系，学生可以更直观地理解代数式的含义和运算法则。

例3：三角形的相似性质在初中几何学中，学生需要学习三角形的相似性质。

相似三角形的判定是一个抽象且复杂的过程，学生容易混淆和理解困难。

为了帮助学生更好地理解三角形的相似性质，教师可以利用数形结合的方法进行教学。

教师可以设计一些具有相似关系的三角形，并通过投影仪将其投影到黑板上，让学生观察各个角度和边长的变化。

通过比较观察和思考，学生可以从图形中找到相似三角形的一些共同特征，从而更好地理解相似三角形的判定条件和性质。

数形结合在初中数学教学中的应用

数形结合在初中数学教学中的应用数形结合是指在数学教学中将数学知识与几何形状相结合，以便更好地理解和应用数学知识。

它运用了数学的抽象思维和几何的直观形象，帮助学生深入理解数学概念，提高学生的数学思维能力和问题解决能力。

下面将介绍数形结合在初中数学教学中的应用。

在代数运算中，数形结合可以帮助学生理解抽象变量和代数表达式的含义。

在解一元一次方程时，可将未知数表示为一个几何图形，如一个未知长度的线段或一个未知面积的矩形。

通过改变图形中的其它量，让学生观察和分析图形的变化与方程的解之间的关系，从而帮助学生理解方程的含义和求解方程的方法。

在几何形状的性质和关系中，数形结合可以帮助学生理解和应用几何定理和定律。

在研究直角三角形的性质和勾股定理时，可通过绘制不同的直角三角形，让学生观察和测量各边的长度，从而验证勾股定理的成立。

数形结合还可以帮助学生理解和应用相似三角形的性质和比例定理，通过绘制和测量不同大小的相似三角形，让学生观察和计算各边的比值，进而理解和应用比例定理。

在统计与概率中，数形结合可以帮助学生进行数据的收集和分析。

在统计调查中，可用表格或统计图表示收集到的数据，让学生观察和分析数据的特征和规律，从而得出结论和进行预测。

在概率计算中，数形结合可以通过绘制概率模型或树状图，让学生直观地理解事件之间的相互关系和概率的计算过程，提高学生解决概率问题的能力。

数形结合还可以帮助学生进行问题的建模和解决。

在解决实际问题时，可以将问题中的抽象概念用几何图形表示出来，通过观察和分析图形的性质和关系来解决问题。

在解决复杂问题时，可以利用数形结合的方法进行逻辑推理和分析，将问题转化为数学方程或几何关系，从而帮助学生更好地理解和解决问题。

数形结合是初中数学教学中的一种有效方法，它可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高学生的数学思维能力和问题解决能力。

在实际教学中，教师可以灵活运用数形结合的方法，结合具体的教学内容和学生的实际需求，提供丰富的教学资源和活动，激发学生的学习兴趣和学习动力，促进学生全面发展。

数形结合思想在中学数学中的应用

数形结合思想是指在学习和处理数学问题时，需要结合数的性质和形式，同时关注问题的实际意义，来更好地理解和解决问题。

在中学数学中，数形结合思想的应用很广泛，下面列举几个典型的例子：
1.分类讨论：在解决某些问题时，可能需要根据数的形式或性质来将它们
分类讨论，比如奇数偶数、正数负数、有理数无理数等。

2.用规律：在数学中，许多规律是通过对数的形式或性质进行推理得出的，
例如数列的求和公式、平方数的规律等。

3.图形转换：在解决几何问题时，常常需要通过对图形的转换来求解，例
如将平行四边形拆分成若干个三角形、将圆拆分成若干个扇形等。

4.表格法：在解决一些复杂的问题时，可以使用表格法来形象地表示数据，
从而方便解决问题。

5.建模：在解决实际问题时，常常需要使用数学模型来描述问题，并通过
对模型的分析和推导。

数形结合思想在中学函数教学中应用

数形结合思想在中学函数教学中应用近年来，许多国家在发展中学适度数学课程时，函数的概念和应用都受到了很高的重视。

函数的概念和应用不仅是当今高等教育的重要素养，也是将来解决复杂科学问题的基础。

正是由于函数教学的重要性，提出了数形结合思想在中学教学中应用的课题，希望能够更好地把握函数教学方法，引导学生探索函数本质。

数形结合思想是一种数学思维方式，其本质是以素材为主线，将数学的数学概念、函数的定义、函数的性质和性质推导、函数的应用等总结起来，并且以形象、数学、图形化的方式进行综合展示，把理解函数过程变成理解概念思考过程。

它把计算与思维联系起来，通过计算形式解决实际问题，通过思维形式来把握函数的本质。

函数教学要实现数形结合思想，必须从学科的基础知识结构入手，以函数三大概念函数的定义、函数的性质与推导、函数的应用三大模块为基础，让学生深深体会函数的本质。

（1）以函数的定义为主线。

通过讲授函数的特性和性质，让学生充分掌握函数的定义，了解函数的定义范围，明确函数取值和实际意义，以函数的定义为基础，落实数形结合思想。

（2）以函数的性质及推导为主线。

教学中要引导学生熟悉函数的性质及推导，例如函数的奇偶性、凹凸性、最大最小值等，把握函数的性质及推导，以展示函数的特征，实现数形结合的思维。

（3）以函数的应用为主线。

教学中要注重函数的应用，引导学生从实际问题出发，把握函数的特点，把函数描述和解决实际问题联系起来，以形象、数学、图形化的方式全面展示函数的应用，实现数形结合思想。

在教学过程中，应注意不同学生在不同学习水平上所处的情况。

面对落后班，可通过回顾和强化训练把握函数的定义，强化数形结合思想的熟练运用；而面对较强的班级，可以在理解之后，要求学生运用数形结合思想来解决实际问题，提高函数的应用水平，深化函数的理解。

本文结合实践教育的实际，结合数形结合思想的实践要求，探讨了函数教学中数形结合思想的应用，从理论和实践两方面探讨了函数教学如何运用数形结合思想，使学生更好地把握函数本质。

数形结合思想在初中数学中的应用

数形结合思想在初中数学中的应用数形结合思想是指通过对数学问题进行图形化的表示和解释，从而提供直观的解决问题的思路和方法。

在初中数学中，数形结合思想的应用主要包括以下几个方面。

一、图形与几何问题的解决数形结合思想在解决几何问题时起到了至关重要的作用。

通过将几何问题转化为图形问题，可以直观地理解问题的本质，并通过观察和推理得到解决问题的方法。

当求解一个三角形的面积时，可以通过将三角形划分成若干个简单的图形，计算它们的面积然后相加来得到整个三角形的面积。

这种数形结合思想的应用，帮助学生理解并解决了许多几何问题。

二、函数与图像的分析在初中数学中，我们接触到的函数种类较为简单，但是通过对函数图像的观察，可以对函数进行初步的分析和判断。

通过观察一元一次函数（y = kx + b）的图像，可以看出当 k>0 时函数是递增的，而当 k<0 时函数是递减的。

通过对图像的观察和比较，可以得到一些函数的性质和规律。

图形化的表示和解释使得函数的学习更加直观和有趣。

三、统计与数据分析数形结合思想在统计和数据分析中也有重要的应用。

在分析一个统计数据时，可以通过绘制柱状图、折线图等图形来直观地展示和比较数据的特征。

通过观察图形，我们可以得出一些有关数据的结论和推断。

图形化的表达也使得数据的理解和分析更加简单和直观。

四、证明与推理在初中数学中，我们也经常需要进行一些证明和推理的工作。

数形结合思想通过图形的表示和解释，可以帮助学生更好地理解和掌握证明和推理的方法。

在证明两个三角形全等时，可以通过绘制它们的图形表示，并观察图形的对应部分是否相等来进行验证。

这种数形结合的思考方式，帮助学生更好地理解和运用证明和推理的方法。

数形结合思想在初中数学中的应用十分广泛。

通过将抽象的概念和问题进行图形化的表示和解释，数形结合思想可以帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高解决问题的能力和思维方式。

数形结合思想在初中数学的教学中起到了重要的作用，同时也培养了学生的创造力和想象力，使学习数学变得更加有趣和实用。

数形结合法在高中数学教学中的应用

数形结合法在高中数学教学中的应用
极限，也称无穷小和无穷大，是高中数学教学的一个重要部分。

极限有很多应用。

极限可以用来求函数的不变性，即函数在某点（称
为无穷接近点）处发生切点（在函数图像上以点表示）。

举例来说，
当求一函数的最低点（最低值）时，可以求解无穷极限，处理函数图
形上某点无穷接近，比较函数在此点处无穷限值，从而求出函数的最
低点。

极限函数也可以用来求极限的和或者积分的值。

例如，有一个函
数y=f（x），其中x的值从-∞到+∞，如果想求f（x）的极限和或积分，可以将函数进行无穷极限，找出函数在x=0无穷极限处的值，从而求
出f（x）的极限值。

另外，极限函数也可以用来研究函数的其他性质。

例如，利用极
限的原理，可以求出函数的导数、连续性、单调性等等。

特别是在求
解一元微积分时，用极限的方法计算积分的值是常用的方法之一。

总之，极限的函数在高中数学教学中有着重要的应用，为基础的
概念和方法服务，它可以帮助学生理解数学问题，掌握数学知识和解
决数学问题。

数形结合在数学中的应用

数形结合在数学中的应用数形结合是指将数学中的符号、公式、运算与几何中的图形、形状、空间相结合，以增强对于数学概念和原理的理解和应用。

数形结合在数学中的应用非常广泛，以下是一些具体例子。

1. 三角函数中的图像三角函数是数学中非常重要的概念，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。

通过将这些函数与图像相结合，我们可以更好地理解它们的性质和特点。

例如，正弦函数的图像是一个周期性的波形，可以被看作是在单位圆上旋转的一个点的纵坐标。

余弦函数的图像与正弦函数非常相似，只是起始位置不同。

通过观察这些图像，我们可以推导出一些数学公式，例如正弦函数的周期为2π、余弦函数的最大值为1等。

同时，通过研究这些图形的对称性、周期性，我们也能够更深刻地理解三角函数的性质。

2. 空间几何中的向量向量是空间几何中的重要概念，它可以表示任意一个有大小和方向的量。

通过将向量与图形相结合，我们可以更好地理解向量的性质和应用。

例如，在二维平面中，我们可以用箭头表示一个向量，箭头的长度表示向量的长度，箭头的方向表示向量的方向。

在三维空间中，向量变成了一个有长度和方向的线段。

通过观察这些图像，我们可以推导出一些数学公式，例如两个向量的点积、向量的模长等。

3. 几何中的圆与数学中的弧度圆是几何中的重要概念，它有着许多特殊的性质。

通过将圆与数学中的弧度相结合，我们可以更好地理解圆的性质和应用。

弧度是一个角度的度量单位，它可以用弧长除以半径来计算。

通过将弧度与圆相结合，我们可以得到圆的周长公式，而圆的面积公式也可以通过数学推导得到。

4. 数学中的图形变换图形变换是数学中非常重要的概念，它包括平移、旋转、缩放、翻转等。

通过将图形变换与几何中的图形相结合，我们可以更好地理解图形变换的性质和应用。

例如，在平面几何中，我们可以用矩阵来表示一个图形的平移、旋转和缩放。

通过观察这些矩阵的特点，我们可以得到一些图形变换的性质，例如平移变换不改变图形的大小和形状、旋转变换不改变图形的面积等。

数形结合思想在初中函数解题中的应用

２０２３年１１月下半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀数形结合思想在初中函数解题中的应用◉吉林师范大学数学与计算机学院㊀姜静怡㊀㊀摘要:函数部分是中考考查的热点,也是初中数学教学的重难点．根据«义务教育数学课程标准(２０２２年版)»,中考关于函数考查的题目比例有所增加,其中应用数形结合思想解决的问题较多,给学生带来了一定的难度．本文中以此作为研究视角,立足初中函数解题教学,科学融入数形结合思想,借助图形的辅助,将抽象思维和形象思维结合起来,最终将复杂的函数问题简单化,帮助学生顺利解决相关函数问题．关键词:初中数学;函数;数形结合思想１利用数形结合思想解决函数概念问题学习函数,首先要明确函数的概念．这就要求学生能识别简单实际问题中的常量㊁变量及其意义;能根据函数图象分析出实际问题中变量的信息,发现变量间的变化规律;能结合函数图象分析简单实际问题中的函数关系,进而能初步推测变量的变化趋势．图１例１㊀最近长春市连降雨雪,某水库水位上涨．图１表示某一天的水位变化情况,０时的水位为警戒水位．结合图象判断下列叙述不正确的是(㊀㊀)．A．８时水位最高B ．P 点表示１２时水位为０．６mC ．８时到１６时水位都在下降D．这一天水位均高于警戒水位解析:本题是一道典型的运用数形结合思想解决函数概念的问题．解题时要在具体情景的基础上认真审题,结合题目给出的图象分析得出答案．对于A 选项,通过观察图象可知,在８时图象纵坐标最大为１．０．所以A 选项正确．对于B 选项,在图象中可以观察到,P 点对应的横坐标为１２,纵坐标为０．６．所以B 选项正确．在C 选项中,提到了从８时到１６时的水位问题．通过观察图象可以发现,从８时到１２时水位确实在不断下降,但从１２时到１６时水位没有发生变化．所以C 选项错误．D 选项中提到这一天水位均高于警戒水位,即高于０时水位,观察图象可知D 选项正确．在解决本题时,教师要提醒学生运用数形结合的思想将图象与题干对应的信息联系起来,进而轻松解决问题．２利用数形结合思想解决一次函数问题在学习一次函数的过程中,要十分注意数形结合思想的运用．要会画一次函数的图象,能根据图象和表达式y ＝k x ＋b (k ʂ０)探索并理解k ＞０和k ＜０时图象的变化情况,并且能够根据已知条件结合以往学过的知识解决实际问题．例２㊀已知正比例函数y ＝２x 的图象上有一点B (m ＋２,m ２－４),且点B 在第一象限．(１)求点B 的坐标;(２)过点B 作B C 垂直于x 轴,C 为垂足,点P 为此函数图象上异于点B 的点,S әB P C ＝１２S әO B C ,求此时点P 的坐标．解析:(１)通过数形结合思想,利用待定系数法将点B 的坐标代入正比例函数解析式,解方程即可求得m 的值．将点B (m ＋２,m ２－４)代入正比例函数解析式y ＝２x ,得到２(m ＋２)＝m ２－４,解得m ＝４或－２．又因为点B 在第一象限,所以m ＝４．故点B 的坐标为B (６,１２)．(２)算出әO B C 的面积为３６,结合正比例函数解析式设点P (a ,２a ),分两种情况讨论．图２当点P 在线段O B 上时,过点P 作P D ʅB C 于点D ,如图２,则P D ＝６－a ．因为S әB P C ＝１２S әO B C ＝１８,所以１２ˑB C ˑP D ＝１８,则１２ˑ(６－a )＝３６,解得a ＝３．故P (３,６)．１６学习指导２０２３年１１月下半月㊀㊀㊀图３当点P在射线B A上时,过点P作P DʅB C交B C的延长线于点D,如图３,则P D＝a－６．因为SәB P C＝１２SәO B C＝１８,所以１２ˑB CˑP D＝１８,于是１２ˑ(a－６)＝３６,解得a＝９．故P(９,１８)．综上,点P的坐标为(３,６)或(９,１８)．３利用数形结合思想解决二次函数问题在初中函数的学习中,二次函数既是重点也是难点,更是中考的热点．中考对于二次函数考查的难度也在不断增加,在解题中,要不断融入数形结合思想才可以更加顺利地解决相关问题[１]．关于二次函数,主要考查其图象问题,包括图象的开口方向㊁对称轴以及二次函数的最大值和最小值并确定相应的自变量的值,在此基础上还要能够解决简单的实际问题．学生在学习时要更加关注二次函数解析式中各个字母代表的含义．图４例３㊀已知二次函数y＝a x２＋b x＋c(aʂ０)的图象如图４所示,有下列结论:①a b c＞０;②a＋b＋c＝２;③a＞１２;④b＜１．其中正确的结论是(㊀㊀)．A．①②㊀㊀B．②③㊀㊀C．②④㊀㊀D．③④解析:通过观察可以发现,图象开口向上,即a＞０;对称轴－b２a＜０,所以b＞０;当x＝０时,函数图象交x轴于负半轴,即c＜０．所以a b c＜０,故①错误．当x＝１时,由图象知y＝２,代入解析式得a＋b＋c＝２,所以②正确．当x＝－１时,y＝a－b＋c＜０;由(a＋b＋c)－(a－b＋c)＞２,得b＞１,所以④错误．由－b２a＞－１,a＞０,得２a＞b＞１,于是a＞１２,所以③正确．综上所述,B选项正确．４利用数形结合思想解决反比例函数问题反比例函数作为初中函数的重要组成部分,主要考查其函数解析式及函数图象的应用,明确当k＜０和k＞０时反比例函数图象的整体特征,并能基于此解决实际问题．反比例函数知识点经常与一次函数和二次函数相结合,并且解题方法也相对比较特殊．经常借助交点求解三角形的面积．图５例４㊀如图５,在平面直角坐标系中,反比例函数y＝kx(x＞０)的图象经过点A(２,６),将点A向右平移２个单位,再向下平移a个单位得到点B,点B恰好落在反比例函数y＝kx(x＞０)的图象上,过A,B两点的直线与y轴交于点C．(１)求k的值及点C的坐标;(２)在y轴上有一点D(０,５),连接A D,B D,求әA B D的面积．解析:(１)由点A(２,６)求出k＝１２,可得反比例函数的解析式为y＝１２x,进而求得B(４,３)．由待定系数法求出直线A B的解析式为y＝－３２x＋９,即可求出点C的坐标为(０,９)．(２)在本题中,观察图象可知,直接求SәA B D比较困难,所以需要运用转化思想利用SәB C D－SәA C D计算SәA B D．由(１)可知C D＝９－５＝４,所以SәA B D＝SәB C D－SәA C D＝１２C D |x B|－１２C D |x A|＝１２ˑ４ˑ４－１２ˑ４ˑ２＝４．总而言之,函数是初中数学学习的一个难点,它也是考试的重点．对于学生在解决函数问题的过程中经常出现的一些错误,要给予他们足够的引导和启发,在解答问题的时候,将数形结合思想与问题直观融合起来,利用图形的帮助,将抽象㊁复杂的函数问题形象地展示出来,以便让学生能够更好地理清解题思路,从而更好地完成问题的解答．与此同时,在数形结合思想的帮助下,学生也实现了对数学知识的内化,推动了数学思维的发展,从而数学综合素质也得到了提高．总之,数形结合思想的合理应用,对于初中数学函数解题具有很大帮助．因此,具体教学中,教师应根据实际情况,引导学生通过合理的数学思维进行解题．这样才可以获得更好的教学效果,促进初中生数学学科的良好学习与发展[２]．参考文献:[１]杨远鸿．数形结合思想在初中数学解题中的应用以初中函数问题为例[J]．数理天地(初中版),２０２３(１):５２Ｇ５３．[２]曹峰．初中数学解题中的函数思想应用策略[J]．数理天地(初中版),２０２３(９):２６Ｇ２７．Z２６。

数形结合思想在初中数学解题中的应用

数形结合思想在初中数学解题中的应用数学是一门抽象而又具体的科学，数形结合思想是数学中的一种重要解题方法。

在初中数学中，数形结合思想的应用非常广泛，能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题。

下面将从几何、代数和应用题三个方面来探讨数形结合思想在初中数学解题中的应用。

一、几何问题在初中数学中，几何问题是学生们比较容易遇到的难题，而数形结合思想可以帮助学生更好地理解和解决几何问题。

在计算多边形的面积时，可以利用数形结合思想将多边形分解为若干个简单的几何形状，然后计算每个几何形状的面积再相加即可。

又在计算三角形的面积时，可以利用数形结合思想将三角形划分为两个简单的图形，然后计算每个简单图形的面积再相加即可。

这种数形结合的思想不仅能够帮助学生更好地理解几何问题，还能够使计算更加简便和直观。

二、代数问题在代数问题中，数形结合思想也能够派上用场。

在解决一元二次方程时，可以利用图形的对称性来帮助理解和解决问题。

当一元二次方程的图像是抛物线时，通过观察抛物线的对称轴和顶点，可以很容易地找到一元二次方程的解。

又在解决函数图像的性质问题时，可以利用图形的变化来推导函数的变化规律。

通过将函数的图像与数学公式相结合，可以更加清晰地理解函数的性质和规律。

三、应用题在应用题中，数形结合思想也能够帮助学生更好地理解和解决问题。

在解决速度、时间、距离之间的关系问题时，可以利用图形表示速度、时间和距离的关系，从而更加直观地理解三者之间的关系。

通过将问题抽象成图形，再结合数学方法来解决问题，能够使学生更快地找到解题的方法和规律。

又在解决物体的测量问题时，可以利用图形来帮助理解和解决问题。

通过将物体的形状抽象成图形，再结合几何和代数的方法来解决问题，能够使学生更好地掌握物体测量的方法和技巧。

数形结合在中学数学中的应用

数形结合是指在数学学习中，将数学概念与图形相结合，使学生能够用图像理解数学概念。

在中学数学中，数形结合可以应用在以下几个方面：
1、图形描述数学概念：在数学学习过程中，可以使用图形来帮助学生理解数学概念，如使用图像来表示函数的变化规律。

2、图形描述数学问题：在解决数学问题时，可以使用图形来表示问题的实际意义，如用图像来描述圆的面积和周长。

3、图形描述数学结论：在得出数学结论时，可以使用图形来帮助学生理解结论的意义，如用图像来说明勾股定理的正确性。

4、图形描述数学方法：在数学方法中使用图形：在使用数学方法解决问题时，
可以使用图形来帮助学生理解方法的步骤和过程，如使用图像来说明分数的加减法规则。

通过数形结合的应用，可以使学生在学习数学时更加直观地理解数学概念和方法，提高学习效率。

数形结合在初中函数的应用-文档资料

数形结合在初中函数的应用初中数学中的函数部分主要包括一次函数、反比例函数和二次函数，教学中一般通过变量之间的关系引入函数概念，要求学生使用恰当的形式表示各种函数。

在教学过程中重视运用数形结合的方法，借助图形的形象、直观，研究函数问题，不仅为学生提供了一种简单的解题方法，而且也有助于学生加深对函数问题的认识。

一、数形结合概论数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致分为两种情形：借助形的生动和直观来阐明数之间的联系，即以形为手段，数为目的，比如应用图像来形象的说明函数的性质；借助数的精确和规范严密来阐明形的属性，即以数为手段，形为目的，比如应用曲线的方程来精确阐明曲线的几何性质。

二、发挥学生的形象思维人们认识客观世界时，面对抽象事物，总是寻找具体形象的认识途径，以达到洞悉抽象事物的目的，形象和抽象是矛盾的两个方面。

教学中，注意引导学生把抽象问题同题目联系起来，给予具体、直观、形象的数学模型，并通过分析研究，巧妙地将问题解决。

这种数形结合的思想，对发展学生的形象思维是极其有利的。

三、形到数的思想应用很多函数问题以图形式出现，图形中包含了大量的代数知识，仔细观察图形，把握其特点，在图形中获取信息，建立适当的代数模型是解决问题的关键。

例1.小光骑车外出，下图表示他离家的距离y（千米）与所用时间x（小时）之间的关系图象。

（1）根据图象回答：小光到达离家最远的地方需要多长时间？此时离家多远？（2）小光出发2.5个小时时离家多远？（3）小光出发多长时间距家12千米？解：（1）由图象可知离家最远30千米，需要3小时。

（2）线段CD的函数关系式为y=15x-15（2≤x≤3），当x=2.5时，y=15×2.5-15=22.5（千米）.所以小光出发2.5小时时，离家22.5千米。

四、数到形的思想应用用代数的方法求一元二次方程的解是机械的方法，利用图形的直观性，代数的问题图形化，学生在动手建立图形的过程中经历“观察、实验、发现、猜想、归纳、验证”，使学生的能力和水平得到提高，数形结合的思想也能得到渗透。

数形结合思想在初中函数教学中的应用——以人教版数学八年级下册“一次函数”教学为例

数形结合思想在初中函数教学中的应用——以人教版数学八年级下册“一次函数”教学为例覃仕山（南宁市五一路学校）摘要：运用数形结合思想实施初中数学教学，有利于培养学生的直观想象、数学建模和数学抽象能力。

以“一次函数”教学为例，探讨数形结合思想在教学中的应用路径如下：借助数形结合，分析数量关系；感知坐标模型，实现以数定形；分析模型信息，实现以形探数等。

构建初中函数教学中数与形之间的转化思维，有效提升学生数学实际问题的解决能力。

关键词：初中数学；函数教学；一次函数；数形结合；以数定形；以形探数中图分类号：G63文献标识码：A文章编号：0450-9889（2024）01-0058-04数与形可直观反映同一问题的两方面属性。

“数”指的是运用代数的知识解决问题，“形”指的是利用图形的性质研究数量关系，数形结合则是指利用数与形之间的联动、转化快速解决问题的一种思想。

图形与数字之间存在着紧密的对应关系，以形助数可帮助学生深刻理解抽象的公式概念，以数解形则可促进学生对实际问题的有效解决。

数形结合思想构建起数学逻辑与外部世界的联系桥梁，使其呈现出可视化的应用状态，容易为学生理解与接受。

数学教学中数与形的紧密结合和灵活运用，能够充分培养学生的直观想象、数学建模和数学抽象能力，发展学生的数学核心素养。

下面，笔者以人教版数学八年级下册第十九章“一次函数”教学为例，从教学实际出发，通过分析数量关系、建立坐标模型及借助函数图像解决实际问题三个教学步骤，阐释数形结合思想在初中函数教学中的应用。

一、借助数形结合，分析数量关系函数中数与形的转化，本质上源于数值的规律性变化。

一次函数作为发生在集合之间的一种严格的对应关系，呈现出独有的变化规律。

用直观的图形帮助学生理解抽象的集合关系与变化规律是一种较好的学习方式［1］。

一次函数中数形结合的初步应用，则落实在一次函数的函数与自变量之间，即通过函数模型的构建，进行两个变量间的数量关系分析，以此探寻函数的基本性质。