2019-2020学年高中数学 2.2函数的单调性与最值提能训练 理 新人教A版.doc
2019版高考数学复习函数导数及其应用2.2函数的单调性与最值课后作业理
2.2 函数的单调性与最值[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．(2017·衡阳四中月考)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1) D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 答案 B解析 因为函数f (x ＋2)是偶函数，所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，即函数f (x )的图象关于x ＝2对称，又函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增，所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减．因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52.故选B.2．(2017·武汉调研)若函数f (x )＝ax ＋1在R 上递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)答案 B解析 ∵f (x )＝ax ＋1在R 上递减，∴a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a . ∵a <0，∴在(－∞，2)上g (x )递增．故选B.3．若函数y ＝log a (x 2＋2x －3)，当x ＝2时，y >0，则此函数的单调递减区间是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1，＋∞)答案 A解析 当x ＝2时，y ＝log a (22＋2×2－3)＝log a 5，∴y ＝log a 5>0，∴a >1.由复合函数单调性知，单调递减区间需满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x <－1，解之得x <－3.故选A.4．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(0，＋∞)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(0，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数答案 A解析 ∵f (x )＝x 2－2ax ＋a 在(0，＋∞)上有最小值， ∴a >0.∴g (x )＝f x x ＝x ＋ax－2a 在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． ∴g (x )在(0，＋∞)上一定有最小值．故选A.5．(2018·太原模拟)已知f (x )＝x 2－cos x ，则f (0.6)，f (0)，f (－0.5)的大小关系是( )A ．f (0)<f (0.6)<f (－0.5)B ．f (0)<f (－0.5)<f (0.6)C ．f (0.6)<f (－0.5)<f (0)D ．f (－0.5)<f (0)<f (0.6) 答案 B解析 ∵f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数．∴f (－0.5)＝f (0.5)．又∵f ′(x )＝2x ＋sin x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0.∴f (x )在(0,1)上是增函数，∴f (0)<f (0.5)<f (0.6)，即f (0)<f (－0.5)<f (0.6)．故选B.6．(2018·贵阳模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －2⊕x ，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12 答案 C解析 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.故选C.7．(2018·天津质检)已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1>f (1)的实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(1,2)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)答案 D解析 ∵f (x )为R 上的减函数， ∴由f ⎝⎛⎭⎪⎫1x －1>f (1)得1x －1<1.解得x <1或x >2.∴x 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．故选D.8．已知a >0，设函数f (x )＝2018x ＋1＋20102018x＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2018B ．2019C ．4028D ．4027 答案 C解析 由题意得f (x )＝2018x ＋1＋20102018x＋1 ＝2018－82018x＋1. ∵y ＝2018x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的， ∴f (x )＝2018－82018x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的， ∴M ＝f (a )，N ＝f (－a )，∴M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4036－82018a ＋1－82018－a＋1＝4028.故选C.9．(2017·集宁期末)函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(－2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 答案 B解析 ∵当a ＝0时，f (x )＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减，故a ＝0舍去， ∴a ≠0，此时f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a x ＋＋1－2a x ＋2＝a ＋1－2ax ＋2， 又因为y ＝1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递减， 而函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增， ∴1－2a <0，即a >12.故选B.10．(2018·山西联考)若函数f (x )＝log 0.2(5＋4x －x 2)在区间(a －1，a ＋1)上递减，且b ＝lg 0.2，c ＝20.2，则( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．a <b <cD ．b <a <c 答案 D解析 f (x )定义域为{x |－1<x <5}，令u ＝5＋4x －x 2，y ＝log 0.2u ，u (x )在(－1,2)上单调增，且y ＝log 0.2u 为单调减函数，由复合函数单调性知f (x )在(－1,2)上为减函数，(a －1，a ＋1)⊆(－1,2)即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≤2，a －1≥－1⇒0≤a ≤1，又由于b ＝lg 0.2<0，所以a >b ，c ＝20.2>20＝1，c >a >b .故选D.二、填空题11．(2017·山东济宁模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －2a ，x <2，log a x ，x ≥2(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析 因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x －2a ，x <2，log a x ，x ≥2(a >0且a ≠1)在R 上单调递减，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0，0<a <1，log aa －－2a⇒22≤a <1，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1. 12．已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝－x ＋m ＋e x 的保值区间为[0，＋∞)，则m 的值为________．答案 －1解析 由定义知，g (x )＝－x ＋m ＋e x 保值区间为[0，＋∞)，又∵g ′(x )＝－1＋e x≥0，∴g (x )为在[0，＋∞)上的增函数．∴当x ＝0时，g (0)＝0，即m ＋1＝0，∴m ＝－1.13．(2017·济南期中)已知函数f (x )＝x 2＋ax，若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调递增的，则实数a 的取值范围为________．答案 (－∞，16]解析 ∵函数f (x )＝x 2＋a x在x ∈[2，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－ax2≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立， ∴a ≤2×23＝16.∴实数a 的取值范围为(－∞，16]．14．(2018·濮阳模拟)函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．给出下列命题：①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数； ②指数函数f (x )＝2x(x ∈R )是单函数；③若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． 答案 ②③④解析 对于①，若f (x )＝x 2，则f (x 1)＝f (x 2)时x 1＝x 2，或x 1＝－x 2，故①错误；对于②，f (x )＝2x 是R 上的增函数，当f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，故②正确；对于③，由单函数的定义，可知其逆否命题：f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且若x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)为真命题，故③正确；对于④，假若f (x 1)＝f (x 2)时，有x 1≠x 2，这与单调函数矛盾，故④正确．三、解答题15．(2017·衡阳联考)已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值． 解 (1)证明：设x 1>x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1－x 2＋x 2)－f (x 2) ＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)． 又∵x >0时，f (x )<0，而x 1－x 2>0， ∴f (x 1－x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴f (x )在R 上为减函数． (2)∵f (x )在R 上是减函数， ∴f (x )在[－3,3]上也是减函数，∴f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f (－3)与f (3)．而f (3)＝3f (1)＝－2，且f (0)＋f (0)＝f (0)， ∴f (0)＝0，又f (－3)＋f (3)＝f (－3＋3)＝0， ∴f (－3)＝－f (3)＝2.∴f (x )在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2. 16．已知函数f (x )＝a －1|x |. (1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x，设0<x 1<x 2，则x 1x 2>0，x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由题意，a －1x<2x 在(1，＋∞)上恒成立，设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1<x 2，h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1x 1x 2.∵1<x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1， ∴2－1x 1x 2>0，∴h (x 1)<h (x 2)，∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．故a ≤h (1)，即a ≤3，∴a 的取值范围是(－∞，3].。
2020届高三理数一轮讲义：2.2-函数的单调性与最值(练习版)
第2节函数的单调性与最值最新考纲 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值[微点提醒]1.函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝1f（x）的单调性相反.2.“对勾函数”y＝x＋ax(a>0)的单调增区间为(－∞，－a)，(a，＋∞)；单调减区间是[－a，0)，(0，a].1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()2.(必修1P39B3改编)下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A.y＝1x－x B.y＝x2－xC.y＝ln x－xD.y＝e x3.(必修1P31例4改编)函数y＝2x－1在区间[2，3]上的最大值是________.4.(2018·广东省际名校联考)设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论一定正确的是()A.y＝1f（x）在R上为减函数B.y＝|f(x)|在R上为增函数C.y＝－1f（x）在R上为增函数D.y＝－f(x)在R上为减函数5.(2019·石家庄调研)若函数f(x)＝(m－1)x＋b在R上是增函数，则f(m)与f(1)的大小关系是()A. f(m)>f(1)B. f(m)<f(1)C. f(m)≥f(1)D. f(m)≤f(1)6.(2017·全国Ⅱ卷)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(4，＋∞)【例1】(1)(2019·东北三省四校质检)若函数y＝log12(x2－ax＋3a)在区间(2，＋∞)上是减函数，则a的取值范围为()A.(－∞，－4)∪[2，＋∞)B.(－4，4]C.[－4，4)D.[－4，4](2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋1x(其中1<a<3)在x∈[1，2]上的单调性.规律方法 1.(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1).(2)单调区间不能用集合或不等式表达，且图象不连续的单调区间要用“和”“，”连接.2.(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.(2)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.【训练1】(一题多解)试讨论函数f(x)＝axx－1(a≠0)在(－1，1)上的单调性.考点二求函数的最值＋6，则a 的值为( ) A.12B.14C.2D.4(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg(x 2＋1)，x <1，则f [f (－3)]＝________，f (x )的最小值是________.规律方法 求函数最值的四种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值. 【训练2】 (1)(2019·郑州调研)函数f (x )＝x －1x 2在x ∈[1，4]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值是( ) A.3116B.2C.94D.114(2)(2018·邵阳质检)定义max{a ，b ，c ，}为a ，b ，c 中的最大值，设M ＝max{2x ，2x －3，6－x }，则M 的最小值是( ) A.2 B.3C.4D.6考点三 函数单调性的应用 多维探究角度1 利用单调性比较大小【例3－1】 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.c >a >bB.c >b >aC.a >c >bD.b >a >c角度2 求解函数不等式【例3－2】 (2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，1，x >0.则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(0，＋∞) C.(－1，0)D.(－∞，0)角度3 求参数的值或取值范围【例3－3】 已知f (x )＝⎩⎨⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么实数a 的取值范围是________.规律方法 1.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.2.(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.(2)求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f ”.【训练3】 (1)已知奇函数f (x )在R 上是增函数，若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 2 4.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a <b <c B.b <a <c C.c <b <aD.c <a <b(2)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是( ) A.(－1，0)∪(0，1) B.(－1，0)∪(0，1] C.(0，1)D.(0，1][思维升华]1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤：(1)取值；(2)作差；(3)定号；(4)判断.2.确定函数单调性有四种常用方法：定义法、导数法、复合函数法、图象法，也可利用单调函数的和差确定单调性.3.求函数最值的常用求法：单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时，最值一定在端点处取到；开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).[易错防范]1.区分两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集.2.函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”或“和”连接，不要用“∪”.例如，函数f(x)在区间(－1，0)上是减函数，在(0 ，1)上是减函数，但在(－1，0)∪(0，1)上却不一定是减函数，如函数f(x)＝1 x.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.函数f (x )＝－x ＋1x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－13上的最大值是( )A.32B.－83C.－2D.22.(2019·广州模拟)下列函数f (x )中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝2x B.f (x )＝|x －1| C.f (x )＝1x －xD.f (x )＝ln(x ＋1)3.(2019·兰州一模)已知函数f (x )＝log a (－x 2－2x ＋3)(a >0且a ≠1)，若f (0)<0，则此函数的单调递增区间是( ) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1)D.(－3，－1]4.函数y ＝2－x x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A.(1，2)B.(－1，2)C.[1，2)D.[－1，2)5.(2019·蚌埠模拟)已知单调函数f (x )，对任意的x ∈R 都有f [f (x )－2x ]＝6，则f (2)＝( ) A.2 B.4C.6D.8二、填空题6.设函数f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________.7.设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________.8.(一题多解)(2019·成都诊断)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是______.三、解答题9.已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0). (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数； (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值.10.函数f (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋3)(0<a <1). (1)求方程f (x )＝0的解.(2)若函数f (x )的最小值为－1，求a 的值.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.(2017·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数.若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4]D.[1，3]12.已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定( ) A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数D.是增函数13.已知f (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x <0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________.14.已知函数f (x )＝a －22x ＋1. (1)求f (0)；(2)探究f (x )的单调性，并证明你的结论； (3)若f (x )为奇函数，求满足f (ax )<f (2)的x 的范围.。
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§2.2函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值知识拓展函数单调性的常用结论(1)对∀x 1，x 2∈D (x1≠x 2)，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在D 上是减函数．(2)对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(3)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (4)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( × ) (3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( × )(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( √ ) 题组二 教材改编2．[P39B 组T1]函数f (x )＝x 2－2x 的单调递增区间是____________． 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3．[P31例4]函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案 24．[P44A 组T9]若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________． 答案 (－∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2.题组三 易错自纠5．函数y ＝212log (4)x -的单调递减区间为________．答案 (2，＋∞)6．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是[3，＋∞)，则a 的值为________． 答案 －6解析 由图象(图略)易知函数f (x )＝|2x ＋a |的单调增区间是⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞， 令－a2＝3，得a ＝－6.7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x ＜1的最大值为________．答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x＜1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.题型一 确定函数的单调性(区间)命题点1 给出具体解析式的函数的单调性典例 (1)函数y ＝212log (231)x x －＋的单调递减区间为( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞ 答案 A解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞)． 令t ＝2x 2－3x ＋1，则y ＝12log t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18，∴t ＝2x 2－3x ＋1的单调递增区间为(1，＋∞)． 又y ＝12log t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝212log (231)x x －＋的单调递减区间为(1，＋∞)．(2)函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间是__________________． 答案 [－1,0]，[1，＋∞)解析 由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4， 二次函数的图象如图．由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的单调递减区间为[－1,0]，[1，＋∞)． 命题点2 解析式含参数的函数的单调性典例 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在[1,2]上的单调性．解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上单调递增．证明：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0,2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又因为1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)， 故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上单调递增． 引申探究如何用导数法求解本例？解 因为f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，∴1≤x 3≤8，又1＜a ＜3，所以2ax 3－1＞0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1＜a ＜3)在[1,2]上是增函数．思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接．跟踪训练 (1)(2017·郑州模拟)函数y ＝22311()3x x -+的单调递增区间为( )A ．(1，＋∞) B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞答案 B解析 易知函数y ＝⎝⎛⎭⎫13t 为减函数，t ＝2x 2－3x ＋1的单调递减区间为⎝⎛⎦⎤－∞，34. ∴函数y ＝22311()3xx -+的单调递增区间是⎝⎛⎦⎤－∞，34. (2)函数y ＝－(x －3)|x |的单调递增区间是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤0，32 解析 y ＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x >0，x 2－3x ，x ≤0. 作出该函数的图象，观察图象知单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，32.题型二 函数的最值1．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________． 答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x －6，x ＞1，则f (x )的最小值是________．答案 26－6解析 当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x ＞1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6＜0，所以f (x )min ＝26－6.3．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)，若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________. 答案 25解析 由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上单调递增， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2， 即⎩⎨⎧1a －2＝12，1a －12＝2，解得a ＝25.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．题型三 函数单调性的应用命题点1 比较大小典例 已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c 答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式典例 已知函数f (x )为(0，＋∞)上的增函数，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则实数a 的取值范围为____________．答案 (－3，－1)∪(3，＋∞) 解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，a ＋3>0，a 2－a >a ＋3，解得－3<a <－1或a >3，所以实数a 的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)． 命题点3 求参数范围典例 (1)(2018·郑州模拟)函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．a ＝－3B ．a ＜3C ．a ≤－3D ．a ≥－3(2)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3a －1)x ＋4a ，x ＜1，log ax ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫0，13 C.⎣⎡⎭⎫17，13 D.⎣⎡⎭⎫17，1答案 (1)C (2)C解析 (1)y ＝x －a －2＋a －3x －a －2＝1＋a －3x －a －2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，a ＋2≤－1，得a ≤－3.∴a 的取值范围是a ≤－3.(2)由f (x )是减函数，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －1＜0，0＜a ＜1.(3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13， ∴a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫17，13.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．(2)解不等式．利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0.所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数． 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)(2017·珠海模拟)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式f (19log x )>0的解集为________________．答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也单调递增．∴f (19log x )＞f ⎝⎛⎭⎫12或f (19log x )＞f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴19log x ＞12或－12＜19log x ＜0，解得0＜x ＜13或1＜x ＜3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x ＜3.1．函数y ＝x 2－6x ＋10在区间(2,4)上是( )A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．先递增再递减答案 C解析 作出函数y ＝x 2－6x ＋10的图象(图略)，根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增的． 2．(2017·河南中原名校第一次质检)函数y ＝212log (6)x x -++的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 A解析 由－x 2＋x ＋6＞0，得－2＜x ＜3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的单调递减区间．利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A.3．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝11－xB ．y ＝cos xC ．y ＝ln(x ＋1)D ．y ＝2－x答案 D解析 y ＝11－x与y ＝ln(x ＋1)在区间(－1,1)上为增函数；y ＝cos x 在区间(－1,1)上不是单调函数；y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－1,1)上为减函数． 4．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上是增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 C解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上是增函数，则a >0且a －1≥0，即a ≥1.5．(2017·天津)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f ()log 24.1，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <a D ．c <a <b答案 C解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25)． 又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c . 故选C.6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值， 需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2， ∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________． 答案 [3，＋∞)解析 设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0， 解得x ≤－1或x ≥3.所以函数的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t 在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增．所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是________．答案 [0,1) 解析 由题意知 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，函数g (x )的图象如图所示，其单调递减区间为[0,1)．9．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是______________． 答案 [1，＋∞)解析 f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a， ∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2－1>0，－2a ≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1>0，a ≥1，即a ≥1. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.11．已知函数f (x )＝－2x ＋1，x ∈[0,2]，求函数的最大值和最小值． 解 设x 1，x 2是区间[0,2]上的任意两个实数，且x 1<x 2，且f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1＋1－⎝⎛⎭⎫－2x 2＋1 ＝－2(x 2＋1－x 1－1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝－2(x 2－x 1)(x 1＋1)(x 2＋1). 由0≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0，(x 1＋1)(x 2＋1)>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在区间[0,2]上是增函数．因此，函数f (x )＝－2x ＋1在区间[0,2]的左端点取得最小值，右端点取得最大值，即最小值是f (0)＝－2，最大值是f (2)＝－23. 12．函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值．解 f (x )＝4⎝⎛⎭⎫x －a 22－2a ＋2，①当a 2≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数． ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2.由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1±2.∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.②当0<a 2<2，即0<a <4时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫a 2＝－2a ＋2.由－2a ＋2＝3，得a ＝－12∉(0,4)，舍去． ③当a 2≥2，即a ≥4时，函数f (x )在[0,2]上是减函数， f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18.由a 2－10a ＋18＝3，得a ＝5±10.∵a ≥4，∴a ＝5＋10.综上所述，a ＝1－2或a ＝5＋10.13．已知函数f (x )＝x |2x －a |(a ＞0)在区间[2,4]上单调递减，则实数a 的值是________． 答案 8解析 f (x )＝x |2x －a |＝⎩⎨⎧ x (2x －a )，x ＞a 2，－x (2x －a )，x ≤a 2(a ＞0)，作出函数图象(图略)可得该函数的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤a 4，a 2，所以⎩⎨⎧ a 4≤2，a 2≥4，解得a ＝8.14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2，∴该函数在(－∞，0]上单调递减，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上单调递减，∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上单调递减，∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ，即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立，∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2)．15．函数f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1<x 2时，都有f (x 1)≤f (x 2)，则称函数f (x )在D 上为非减函数，设函数f (x )在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f (0)＝0；②f ⎝⎛⎭⎫x 3＝12f (x )；③f (1－x )＝1－f (x )．则f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 答案 34解析 由①③，令x ＝0，可得f (1)＝1.由②，令x ＝1，可得f ⎝⎛⎭⎫13＝12f (1)＝12. 令x ＝13，可得f ⎝⎛⎭⎫19＝12f ⎝⎛⎭⎫13＝14. 由③结合f ⎝⎛⎭⎫13＝12，可知f ⎝⎛⎭⎫23＝12， 令x ＝23，可得f ⎝⎛⎭⎫29＝12f ⎝⎛⎭⎫23＝14， 因为19<18<29且函数f (x )在[0,1]上为非减函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫18＝14，所以f ⎝⎛⎭⎫13＋f ⎝⎛⎭⎫18＝34.16．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)． (1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值； (2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2， 任取1≤x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫12x 1－12x 2 ＝(x 1－x 2)(2x 1x 2－1)2x 1x 2， ∵1≤x 1<x 2，∴x 1x 2>1，∴2x 1x 2－1>0.又x 1－x 2<0，∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72. (2)在区间[1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋a x>0恒成立， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋a >0，x ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧a >－(x 2＋2x )，x ≥1，等价于a 大于函数φ(x )＝－(x 2＋2x )在[1，＋∞)上的最大值．φ(x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， ∴当x ＝1时，φ(x )取得最大值φ(1)＝－3.∴a >－3，故实数a 的取值范围是(－3，＋∞)．。
高考数学一轮总复习 2.2 函数的单调性与最值课件(含高考真题)文 新人教版
高中数学 2.2函数的单调性与最值课时训练 文 新人教A
课时提升作业(五)一、选择题1.函数f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的递增区间依次是()(A)(-∞,0],(-∞,1] (B)(-∞,0], (D)(D)在(1,+∞)上单调递减4.(2013·佛山模拟)若函数y=ax与y=bx-在(0,+∞)上都是减函数,则y=ax2+bx在(0,+∞)上是()(A)增函数(B)减函数(C)先增后减(D)先减后增5.已知函数f(x)=22x4x,x0,4x x,x0,⎧+≥⎪⎨-<⎪⎩错误!未找到引用源。
若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是()(A)(-∞,-1)∪(2,+∞)(B)(-1,2)(C)(-2,1)(D)(-∞,-2)∪(1,+∞)6.已知函数f(x)=x3a2x6a1x1,a x1-+-⎧⎨≥⎩（）（＜）（）错误!未找到引用源。
单调递减,那么实数a的取值范围是()(A)(0,1) (B)(0,错误!未找到引用源。
) (C)[错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)(D)[错误!未找到引用源。
,1)7.(2013·十堰模拟)函数f(x)=loga(6-ax)在［0,2］上为减函数，则a的取值范围是( )(A)(0，1) (B)(1，3)(C)(1，3］(D)［3，+∞)8.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时,f(x)>0,则函数f(x)在上有()(A)最小值f(a) (B)最大值f(b)(C)最小值f(b) (D)最大值f(错误!未找到引用源。
)9. (能力挑战题)设函数f(x)=x22a,x2,x a,x 2.⎧+⎪⎨+≤⎪⎩＞错误!未找到引用源。
若f(x)的值域为R,则常数a的取值范围是()(A)(-∞,-1]∪(C)(-∞,-2]∪10. (2013·孝感模拟)定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=2f(x),当x∈［0,2)时，()()2x 1.5x x,x0,1)f x0.5,x1,2).-⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩［，［若x∈［-4,-2)时，f(x)≥t142t-恒成立，则实数t的取值范围是( )(A)［-2,0)∪(0,1) (B)［-2,0)∪［1,+∞)(C)［-2,1］(D)(-∞,-2］∪(0,1］二、填空题11.函数y=-(x-3)|x|的递增区间是.12.(2013·广州模拟)对于任意实数a,b,定义min{a,b}=a a bb a b.≤⎧⎨⎩，，，＞错误!未找到引用源。
2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版必修第一册
3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。
2019届高考数学一轮复习第二篇函数导数及其应用第2节函数的单调性与最值训练理新人教版
第2节函数的单调性与最值基础巩固(时间:30分钟)1.(2016·北京卷)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( D )(A)y= (B)y=cos x(C)y=ln(x+1) (D)y=2-x解析:函数y=2-x=()x在(-1,1)上为减函数.故选D.2.若函数f(x)=x2-2x+m在[3,+∞)上的最小值为1,则实数m的值为( B )(A)-3 (B)-2 (C)-1 (D)1解析:因为f(x)=(x-1)2+m-1在[3,+∞)上为增函数,且f(x)在[3,+∞)上的最小值为1,所以f(3)=1,即22+m-1=1,m=-2.故选B.3.(2017·西宁二模)若偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,a=f(log23),b=f(log45),c=f(),则a,b,c满足( B )(A)a<b<c (B)b<a<c(C)c<a<b (D)c<b<a解析:因为偶函数f(x)在(-∞,0]上单调递减,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,因为2>log23=log49>log45,>2,所以f(log45)<f(log23)<f(),所以b<a<c.故选B.4.函数f(x)=的单调增区间是( C )(A)(-∞,1) (B)(1,+∞)(C)(-∞,1),(1,+∞) (D)(-∞,-1),(1,+∞)解析:f(x)==-1+,所以f(x)的图象是由y=-的图象沿x轴向右平移1个单位,然后沿y轴向下平移一个单位得到,而y=-的单调增区间为(-∞,0),(0,+∞);所以f(x)的单调增区间是(-∞,1),(1,+∞).故选C.5.(2017·河北唐山二模)函数y=,x∈(m,n]最小值为0,则m的取值范围是( D )(A)(1,2) (B)(-1,2)(C)[1,2) (D)[-1,2)解析:函数y===-1,且在x∈(-1,+∞)时单调递减,在x=2时,y=0;根据题意x∈(m,n]时y的最小值为0,所以-1≤m<2.故选D.6.(2017·四川南充三模)已知f(x)=是(-∞,+∞)上的增函数,那么实数a的取值范围是( D )(A)(0,3) (B)(1,3)(C)(1,+∞) (D)[,3]解析:由题意得解得≤a<3.故选D.7.(2017·江西上饶二模)函数y=lo(-x2+2x+3)的单调增区间是( C )(A)(-1,1] (B)(-∞,1)(C)[1,3) (D)(1,+∞)解析:令t=-x2+2x+3,由-x2+2x+3>0,得-1<x<3.函数t=-x2+2x+3的对称轴方程为x=1,二次函数t=-x2+2x+3在[1,3)上为减函数,而函数y=lo t为定义域内的减函数,所以函数y=lo(-x2+2x+3)的单调增区间是[1,3).故选C.·北京石景山区一模)已知函数f(x)=若f(a)>f(2-a),则a的取值范围是.解析:函数f(x)=在R上单调递增,因为f(a)>f(2-a),所以a>2-a,所以a>1.答案:(1,+∞)能力提升(时间:15分钟)9.已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间(1,+∞)上一定( D )(A)有最小值(B)有最大值(C)是减函数 (D)是增函数解析:由题意知a<1,又函数g(x)=x+-2a在[,+∞)上为增函数.故选D.·福建龙岩一模)已知f(x)=x3,若x∈[1,2]时,f(x2-ax)+f(1-x)≤0,则a的取值范围是( C )(A)(-∞,1] (B)[1,+∞)(C)[,+∞) (D)(-∞,]解析:f(-x)=-f(x),且f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.所以由f(x2-ax)+f(1-x)≤0得:f(x2-ax)≤f(x-1),所以x2-ax≤x-1,即x2-(a+1)x+1≤0;设g(x)=x2-(a+1)x+1,则所以a≥.故选C.11.函数f(x)=()x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为.解析:由于y=()x在R上递减,y=log2(x+2)在[-1,1]上递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.答案:312.(2017·北京朝阳区二模)设函数f(x)=则f(1)=;若f(x)在其定义域内为单调递增函数,则实数a的取值范围是.解析:因为函数f(x)=则f(1)=1+1=2;若f(x)在其定义域内为单调递增函数,则a≤1,即实数a的取值范围是(-∞,1].答案:2 (-∞,1]13.对于任意实数a,b,定义min{a,b}=设函数f(x)=-x+3,g(x)=log2x,则函数h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是.解析:依题意,h(x)=当0<x≤2时,h(x)=log2x是增函数,当x>2时,h(x)=3-x是减函数,所以h(x)在x=2时,取得最大值h(2)=1.答案:114.已知函数f(x)= - (a>0,x>0).(1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(2)若f(x)在[,2]上的值域是[,2],求a的值. (1)证明:设x2>x1>0,则x2-x1>0,x1x2>0,因为f(x2)-f(x1)=( -)-(-)=-=>0,所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.(2)解:因为f(x)在[,2]上的值域是[,2],又由(1)得f(x)在[,2]上是单调增函数,所以f()=,f(2)=2,解得a=.。
2020届高考高中理科数学一轮专题复习第二章 2.2函数的单调性与最值
§2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间A 上是增加的或是减少的，那么就称A 为单调区间. 2.函数的最值概念方法微思考1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示 对任意x 1，x 2∈D ，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数，减函数类似.2.写出对勾函数y ＝x ＋ax (a >0)的递增区间.提示 (－∞，－a ]和[a ，＋∞).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数.( × ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的递增区间是[1，＋∞).( × ) (3)函数y ＝1x的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).( × )(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.( × )(5)所有的单调函数都有最值.( × ) 题组二 教材改编2.函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是 . 答案 [1，＋∞)(或(1，＋∞))3.函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是 .答案 24.若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是 . 答案 (－∞，2]解析 由题意知，[2，＋∞)⊆[m ，＋∞)，∴m ≤2. 题组三 易错自纠5.函数y ＝12log (x 2－4)的递减区间为 .答案 (2，＋∞)6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为 .答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，138 解析 由题意知函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，(a －2)×2≤⎝⎛⎭⎫122－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，138. 7.函数y ＝f (x )是定义在[－2,2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是 . 答案 [－1,1)解析 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，解得－1≤a <1.8.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为 .答案 2解析 当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2. 故函数f (x )的最大值为2.题型一 确定函数的单调性命题点1 求函数的单调区间例1 (1)函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的递减区间为( )A.(1，＋∞)B.⎝⎛⎦⎤－∞，34 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫34，＋∞答案 A解析 由2x 2－3x ＋1>0，得函数的定义域为⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞). 令t ＝2x 2－3x ＋1，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，12∪(1，＋∞). 则y ＝12log t ，∵t ＝2x 2－3x ＋1＝2⎝⎛⎭⎫x －342－18， ∴t ＝2x 2－3x ＋1的递增区间为(1，＋∞). 又y ＝12log t 在(1，＋∞)上是减函数，∴函数y ＝12log (2x 2－3x ＋1)的递减区间为(1，＋∞).(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是 .答案 [0,1)解析 由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1，该函数图像如图所示，其递减区间是[0,1).命题点2 讨论函数的单调性例2 判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1<a <3)在[1,2]上的单调性.解 函数f (x )＝ax 2＋1x (1<a <3)在[1,2]上是增加的.证明：设1≤x 1<x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－ax 21－1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a (x 1＋x 2)－1x 1x 2，由1≤x 1<x 2≤2，得x 2－x 1>0,2<x 1＋x 2<4， 1<x 1x 2<4，－1<－1x 1x 2<－14.又因为1<a <3， 所以2<a (x 1＋x 2)<12， 得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2>0，从而f (x 2)－f (x 1)>0， 即f (x 2)>f (x 1)，故当a ∈(1,3)时，f (x )在[1,2]上是增加的. 引申探究如何用导数法求解本例？解 f ′(x )＝2ax －1x 2＝2ax 3－1x 2，因为1≤x ≤2，所以1≤x 3≤8，又1<a <3， 所以2ax 3－1>0，所以f ′(x )>0，所以函数f (x )＝ax 2＋1x(其中1<a <3)在[1,2]上是增加的.思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图像法，图像不连续的单调区间不能用“∪”连接.(4)具有单调性函数的加减.跟踪训练1 (1)下列函数中，满足“任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A.f (x )＝2x B.f (x )＝|x －1| C.f (x )＝1x －xD.f (x )＝ln(x ＋1)答案 C解析 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A ，D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上是减少的，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数.(2)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上是增加的，则函数g (x )＝a |x －2|的递减区间是 .答案 (－∞，2]解析 因为f (x )在R 上是增加的，所以a －1>0，即a >1，因此g (x )的递减区间就是y ＝|x －2|的递减区间(－∞，2].(3)函数f (x )＝|x －2|x 的递减区间是 . 答案 [1,2]解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.画出f (x )图像，由图知f (x )的递减区间是[1,2]. 题型二 函数的最值1.函数y ＝x 2－1x 2＋1的值域为 .答案 [－1,1)解析 由y ＝x 2－1x 2＋1，可得x 2＝1＋y1－y .由x 2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y <1，故所求函数的值域为[－1,1).2.函数y ＝x ＋1－x 2的最大值为 . 答案2解析 由1－x 2≥0，可得－1≤x ≤1. 可令x ＝cos θ，θ∈[0，π]，则y ＝cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，θ∈[0，π]， 所以－1≤y ≤2，故原函数的最大值为 2.3.函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为 . 答案 [3，＋∞)解析 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图像如图所示.根据图像可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞). 4.当－3≤x ≤－1时，函数y ＝5x －14x ＋2的最小值为 .答案 85解析 由y ＝5x －14x ＋2，可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3.∴所求函数的最小值为85. 5.函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x －log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为 . 答案 3解析 由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在[－1,1]上是减少的，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上是增加的，所以f (x )在[－1,1]上是减少的，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.6.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A.与a 有关，且与b 有关 B.与a 有关，但与b 无关 C.与a 无关，且与b 无关 D.与a 无关，但与b 有关 答案 B解析 方法一 设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b . ∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关. 故选B.方法二 由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图像的形状一定.随着b 的变动，相当于图像上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关.随着a 的变动，相当于图像左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关，故选B.思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. (4)分离常数法：形如求y ＝cx ＋dax ＋b(ac ≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.题型三 函数单调性的应用命题点1 比较函数值的大小例3 已知函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c >a >b B.c >b >a C.a >c >b D.b >a >c答案 D解析 根据已知可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52，且2<52<3，所以b >a >c . 命题点2 解函数不等式例4 已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是 . 答案 (－5，－2)∪(2，5)解析 因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域上是增加的，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5. 命题点3 求参数的取值范围例5 (1)(2018·全国Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π答案 C解析 ∵f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴当x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4时， y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是增加的， f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4是减少的， ∴⎣⎡⎦⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的递减区间， 结合条件得[0，a ]⊆⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， ∴a ≤3π4，即a max ＝3π4.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1，a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上是增加的，则实数a 的取值范围为 . 答案 (1,2]解析 由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上是增加的，则实数a 的取值范围为 . 答案 ⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ 解析 若函数f (x )＝ln(ax 2＋x )在区间(0,1)上是增加的，则函数g (x )＝ax 2＋x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0恒成立.当a ＝0时，g (x )＝x 在(0,1)上是增加的且g (x )>0，符合题意；当a >0时，g (x )图像的对称轴为x ＝－12a <0，且有g (x )>0，所以g (x )在(0,1)上是增加的，符合题意；当a <0时，需满足g (x )图像的对称轴x ＝－12a ≥1，且有g (x )>0，解得a ≥－12，则－12≤a <0.综上，a ≥－12.思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图像或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较； ②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.跟踪训练2 (1)如果函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎭⎫32，2解析 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.(2)定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增加的，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则不等式19(log )f x >0的解集为 . 答案 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3 解析 由题意知，f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， f (x )在(－∞，0)上也是增加的.∴19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫12或19(log )f x >f ⎝⎛⎭⎫－12， ∴19log x >12或－12<19log x <0，解得0<x <13或1<x <3.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫0<x <13或1<x <3.1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A.y ＝ln(x ＋2) B.y ＝－x ＋1 C.y ＝⎝⎛⎭⎫12xD.y ＝x ＋1x答案 A解析 函数y ＝ln(x ＋2)的递增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数. 2.函数y ＝12log (－x 2＋x ＋6)的递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫12，3B.⎝⎛⎭⎫－2，12 C.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 答案 A解析 由－x 2＋x ＋6>0，得－2<x <3，故函数的定义域为(－2,3)，令t ＝－x 2＋x ＋6，则y ＝12log t ，易知其为减函数，由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t ＝－x 2＋x ＋6在(－2,3)上的递减区间.利用二次函数的性质可得t ＝－x 2＋x ＋6在定义域(－2，3)上的递减区间为⎝⎛⎭⎫12，3，故选A. 3.设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A.f (π)>f (－3)>f (－2) B.f (π)>f (－2)>f (－3) C.f (π)<f (－3)<f (－2) D.f (π)<f (－2)<f (－3)答案 A解析 因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2).又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)>f (3)>f (2)， 即f (π)>f (－3)>f (－2).4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤13，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎦⎤14，13答案 A解析 当x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0，∴f (x )是R 上的减函数.∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x，x ≤1，log a x ＋13，x >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<1－2a <1，0<a <1，1－2a ≥13，∴0<a ≤13.5.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[－1,2]B.[－1,0]C.[1,2]D.[0,2]答案 D解析 ∵当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，∴a ≥0.当x >0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”.要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2.∴a 的取值范围是0≤a ≤2.故选D.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )在[0，＋∞)上是减少的，若f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，134 B.(－∞，－3) C.(－3，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫134，＋∞ 答案 D解析 依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立.设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝134，因此a >134，故选D. 7.已知奇函数f (x )在R 上是增函数.若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为 . 答案 a >b >c解析 ∵f (x )在R 上是奇函数， ∴a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25). 又f (x )在R 上是增函数， 且log 25>log 24.1>log 24＝2>20.8， ∴f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，∴a >b >c .8.如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是增加的，则实数a 的取值范围是 . 答案 ⎣⎡⎦⎤－14，0 解析 当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是增加的，故在(－∞，4)上是增加的；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上是增加的，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，0. 9.记min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，若f (x )＝min{x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 .答案 6解析 由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，0≤x ≤4，10－x ，x >4，易知f (x )max ＝f (4)＝6.10.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a 的取值范围是 . 答案 (－∞，1]∪[4，＋∞) 解析 作函数f (x )的图像如图所示，由图像可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2， 即a ≤1或a ≥4. 11.已知f (x )＝xx －a(x ≠a ).(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围. (1)证明 当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的. (2)解 设1<x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).因为a >0，x 2－x 1>0， 所以要使f (x 1)－f (x 2)>0， 只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0<a ≤1.12.(2018·河南南阳一中月考)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.(1)若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立，求F (x )的解析式；(2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求实数k 的取值范围. 解 (1)∵f (－1)＝0，∴b ＝a ＋1.由f (x )≥0恒成立，知a >0且方程ax 2＋bx ＋1＝0中Δ＝b 2－4a ＝(a ＋1)2－4a ＝(a －1)2≤0，∴a ＝1.从而f (x )＝x 2＋2x ＋1.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.(2)由(1)可知f (x )＝x 2＋2x ＋1，∴g (x )＝f (x )－kx ＝x 2＋(2－k )x ＋1， 由g (x )在[－2,2]上是单调函数， 知－2－k 2≤－2或－2－k 2≥2，得k ≤－2或k ≥6.即实数k 的取值范围为(－∞，－2]∪[6，＋∞).13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1,2)D.(－2,1) 答案 D解析 ∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图像是一条连续的曲线.又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1.14.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，不等式f (x ＋a )>f (2a －x )在[a ，a ＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是 . 答案 (－∞，－2)解析 二次函数y 1＝x 2－4x ＋3的对称轴是x ＝2， ∴该函数在(－∞，0]上是减少的，∴x 2－4x ＋3≥3，同样可知函数y 2＝－x 2－2x ＋3在(0，＋∞)上是减少的， ∴－x 2－2x ＋3<3，∴f (x )在R 上是减少的， ∴由f (x ＋a )>f (2a －x )得到x ＋a <2a －x ， 即2x <a ，∴2x <a 在[a ，a ＋1]上恒成立， ∴2(a ＋1)<a ，∴a <－2，∴实数a 的取值范围是(－∞，－2).15.已知函数f (x )＝2 020x ＋ln(x 2＋1＋x )－2 020－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为 . 答案 ⎝⎛⎭⎫14，＋∞ 解析 由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上是增加的，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫14，＋∞. 16.已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )是增函数，f (1)＝0，f (3)＝1. (1)解不等式0<f (x 2－1)<1；(2)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1>0，1<x 2－1<3，得2<x <2或－2<x <－ 2.∴原不等式的解集为(－2，－2)∪(2，2). (2)∵函数f (x )在(0,3]上是增函数， ∴f (x )在(0,3]上的最大值为f (3)＝1，∴不等式f (x )≤m 2－2am ＋1对所有x ∈(0,3]，a ∈[－1，1]恒成立转化为1≤m 2－2am ＋1对所有a ∈[－1,1]恒成立，即m 2－2am ≥0对所有a ∈[－1,1]恒成立. 设g (a )＝－2ma ＋m 2，a ∈[－1,1]，∴需满足⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)≥0，g (1)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋m 2≥0，－2m ＋m 2≥0，解该不等式组，得m ≤－2或m ≥2或m ＝0， 即实数m 的取值范围为(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞).。
高中数学 2.2函数的单调性与最值课时提能训练 理 新人教B版
【全程复习方略】（山东专用）2013版高中数学 2.2函数的单调性与最值课时提能训练 理 新人教B 版(45分钟 100分)一、选择题(每小题6分，共36分)1.关于函数y ＝－3x的单调性的叙述正确的是( ) (A)在(－∞，0)上是递增的，在(0，＋∞)上是递减的(B)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递增(C)在[0，＋∞)上递增(D)在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的2.函数f(x)＝2x 2－mx ＋2当x∈[－2，＋∞)时是增函数，则m 的取值范围是( )(A)(－∞，＋∞)(B)[8，＋∞) (C)(－∞，－8] (D)(－∞，8]3.(2012·烟台模拟)函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 2－8ax ＋3(x<1)log a x(x≥1)在x∈R 内单调递减，则a 的范围是( )(A)(0，12] (B)[12，58] (C)[12，1) (D)[58，1) 4.(2012·济南模拟)已知a 是函数f(x )＝2x －12log x 的零点，若0<x 0<a ，则f(x 0)的值满足( )(A)f(x 0)＝0(B)f(x 0)>0 (C)f(x 0)<0 (D)f(x 0)的符号不能确定5.(预测题)已知f(x)为定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是( )(A)f(－π)<f(3)<f(－2)(B)f(－π)<f(－2)<f(3)(C)f(－2)<f(3)<f(－π)(D)f(3)<f(－2)<f(－π)6.(2012·威海模拟)设f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x 1＋x 2>0，则f(x 1)＋f(x 2)的值( )(A)恒为负值 (B)恒等于零(C)恒为正值(D)无法确定正负 二、填空题(每小题6分，共18分)7.(2012·锦州模拟)已知函数f(x)＝x －a x，g(x)＝a ，若对任意x∈(0，＋∞)都有f(x)≤g(x)成立，则实数a 的取值范围是 .8.若函数f(x)＝12x 2－x ＋32的定义域和值域都是[1，b](b>1)，则b 的值是 . 9.(2012·天津模拟)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x (x≥0)4x －x 2 (x<0)，若f(2－a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是 .三、解答题(每小题15分，共30分)10.(易错题)已知函数f(x)＝|x|x ＋2， (1)判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性并加以证明；(2)求函数f(x)的值域.11.函数f(x)＝x 2＋x －14. (1)若定义域为[0,3]，求f(x)的值域；(2)若f(x)的值域为[－12，116]，且定义域为[a ，b]，求b －a 的最大值. 【探究创新】(16分)定义：已知函数f(x)在[m ，n](m<n)上的最小值为t ，若t≤m 恒成立，则称函数f(x)在[m ，n](m<n)上具有“DK”性质.(1)判断函数f(x)＝x 2－2x ＋2在[1,2]上是否具有“DK”性质，说明理由.(2)若f(x)＝x 2－ax ＋2在[a ，a ＋1]上具有“DK”性质，求a 的取值范围.答案解析1.【解析】选D.由于函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上是递减的，且－3<0，因此函数y ＝－3x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是递增的，这里特别注意两区间之间只能用“和”或“，”，一定不能用“∪”.2.【解析】选C.由已知得m 4≤－2，解得：m ≤－8. 3.【解析】选B.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≥10<a<12×12－8a ＋3≥log a 1解得12≤a ≤58. 4.【解析】选C.由指数函数、对数函数的单调性可知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，又a 是f(x)的零点，∴f(a)＝0，又0<x 0<a ，∴f(x 0)＜0，故选C.5.【解析】选C.由已知f(－π)＝f(π)，f(－2)＝f(2)，又f(x)在[0，＋∞)上递增，则f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).【方法技巧】比较函数值大小常用的方法(1)利用函数的单调性，但需将待比较函数值调节到同一个单调区间上.(2)利用数形结合法比较.(3)对于选择、填空题可用排除法、特值法等比较.6.【解析】选A.因f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f(x)单调递减，所以f(x)是R 上的减函数，又x 1＋x 2>0，∴x 1>－x 2，∴f(x 1)<f(－x 2)＝－f(x 2)，∴f(x 1)＋f(x 2)<0，故选A.7.【解析】当a>0时，f(x)＝1－a x<1，则a ≥1， 当a<0时，f(x)＝1－a x>1，不满足题意.故a ≥1. 答案：[1，＋∞)8.【解析】f(x)＝12(x －1)2＋1在[1，b]上单调递增， ∴f(b)＝b ，∴b ＝3.答案：39.【解析】f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4，x ≥04x －x 2＝－(x －2)2＋4，x<0，由f(x)的解析式可知，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，所以再由f(2－a 2)>f(a)得2－a 2>a ，即a 2＋a －2<0，解得－2<a<1. 答案：－2<a<110.【解析】(1)当x>0时，f(x)＝|x|x ＋2＝x ＋2－2x ＋2＝1－2x ＋2. 设0<x 1<x 2，f(x 1)－f(x 2)＝(1－2x 1＋2)－(1－2x 2＋2)＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2)， 由0<x 1<x 2可得f(x 1)－f (x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)，因此f(x)在(0，＋∞)上递增.(2)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2x ＋2 x ≥0－1＋2x ＋2 x<0且x ≠－2.可以证明f(x)在(－∞，－2)上递减，且f(x)在(－2,0)上递减，由反比例函数y ＝2x通过平移、对称变换得f(x)的图象如图所示，因此f(x)的值域为：(－∞，－1)∪[0，＋∞).11.【解析】∵f(x)＝(x ＋12)2－12， ∴对称轴为x ＝－12. (1)∵3≥x ≥0>－12， ∴f(x)的值域为[f(0)，f(3)]，即[－14，474]； (2)∵x ＝－12时，f(x)＝－12是f(x)的最小值，∴x ＝－12∈[a ，b]，令x 2＋x －14＝116， 得x 1＝－54，x 2＝14， 根据f(x)的图象知b －a 的最大值是14－(－54)＝32.【探究创新】【解析】(1)∵f(x)＝x 2－2x ＋2，x ∈[1,2]，∴f(x)min ＝1≤1，∴函数f(x)在[1,2]上具有“DK ”性质.(2)f(x)＝x 2－ax ＋2，x ∈[a ，a ＋1]，其对称轴为x ＝a 2. ①当a 2≤a ，即a ≥0时，函数f(x)min ＝f(a)＝a 2－a 2＋2＝2. 若函数f(x)具有“DK ”性质，则有2≤a 总成立，即a ≥2.②当a<a 2<a ＋1， 即－2<a<0时，f(x)min ＝f(a 2)＝－a 24＋2. 若函数f(x)具有“DK ”性质，则有－a 24＋2≤a 总成立，解得a ∈∅. ③当a 2≥a ＋1，即a ≤－2时，函数f(x)的最小值为f(a ＋1)＝a ＋3. 若函数f(x)具有“DK ”性质，则有a ＋3≤a ，解得a ∈∅.综上所述，若f(x)在[a ，a ＋1]上具有“DK ”性质，则a 的取值范围为[2，＋∞).。
2019-2020学年高考数学二轮复习 函数 1.函数、单调性及最值学案 理.doc
2019-2020学年高考数学二轮复习 函数 1.函数、单调性及最值学案理【学习目标】1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，简单的分段函数,并能简单应用.3.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.4.会运用函数图像理解和研究函数的单调性.【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：函数的定义及函数的单调性。
【高考方向】1.函数的定义。
2.函数的单调性及最值。
【课前预习】：一、知识网络构建1.函数与映射的概念？2. 如何求函数的定义域和值域？3.单调函数的定义？函数的最值与值域有何关系?二、高考真题再现[2014·江西卷] 函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( )A ．(0，1]B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)三、基本概念检测1、 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 2.已知函数f （x ）在区间［a ，b ］上单调，且f （a ）·f （b ）＜0，则下列对方程f （x ）=0在区间［a ，b ］上根的分布情况的判断有误的是 （填序号）.①至少有一实根 ②至多有一实根③没有实根 ④必有惟一的实根3.若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x ＞0，y ＞0满足f(xy)=f(x)+f(y)，则不等式f(x+6)+f(x)＜2f(4)的解集为 .4.函数f(x)(x ∈R)的图象如下图所示，则函数g(x)=f(logax) (0＜a ＜1)的单调减区间是 .【课中研讨】：例1、设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ．例2、设0a >，()xx e af x a e =+是R 上的偶函数。
2019年人教版A版高三数学(理)高考一轮复习2.2 函数的单调性与最值教学设计及答案
第二节函的单调性与最值1．函的单调性解函的单调性及其几何意义．2．函的最值解函的最大值、最小值及其几何意义．知识点一函的单调性1．单调函的定义2.单调区间的定义如果函y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．易误提醒求函单调区间的两个注意点：(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．必记结论1．单调函的定义有以下若干等价形式：设x1，x2∈[a，b]，那么①f x1 －f x2x1－x2>0⇔f(x)在[a，b]上是增函；f x1 －f x2x1－x2<0⇔f(x)在[a，b]上是减函．②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函．2．复合函y＝f[g(x)]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y＝f(u)与u＝g(x)若具有相同的单调性，则y＝f[g(x)]为增函，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函．[自测练习]1．下列函中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：根据函的图象知，函f (x )＝1x在(0，＋∞)上单调递减，故选A.答案：A2．函f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．解析：要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x >－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函，故原函的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞3．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，ax，x >1在R 上为增函，则a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．[－3，－2]C ．(－∞，－2]D ．(－∞，0)解析：要使函在R 上是增函，则有⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－1－a －5≤a ，解得－3≤a ≤－2，即a 的取值范围是[－3，－2]．答案：B知识点二 函的最值易误提醒 在求函的值域或最值时，易忽视定义域的限制性． 必备方法 求函最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函可通过换元转为熟悉的函，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．[自测练习]4．函f (x )＝11＋x 2(x ∈R )的值域是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[0,1)D ．[0,1]解析：因为1＋x 2≥1,0<11＋x 2≤1，所以函值域是(0,1]，选B.答案：B5．已知函f (x )＝x 2＋2x (－2≤x ≤1且x ∈Z )，则f (x )的值域是( )A ．[0,3]B ．[－1,3]C ．{0,1,3}D ．{－1,0,3}解析：依题意，f (－2)＝f (0)＝0，f (－1)＝－1，f (1)＝3，因此f (x )的值域是{－1,0,3}，选D.答案：D考点一 函单调性的判断|1．下列四个函中，在(0，＋∞)上为增函的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：当x >0时，f (x )＝3－x 为减函；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函．故选C. 答案：C2．判断函g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．解：法一：定义法任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2 x 1－x 2x 1－1 x 2－1 ，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函． 法二：导法∵g ′(x )＝－2 x －1 ＋2x x －1 2＝2x －1 2>0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函．给出解析式函单调性的两种判定方法1．定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)． 2．导法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)．考点二 函的单调区间的求法|求下列函的单调区间：(1)y ＝－x 2＋2|x |＋1；(2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．[解] (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－ x －1 2＋2，x ≥0，－ x ＋1 2＋2，x <0.画出函图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函，在(2，＋∞)上是单调增函．而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．函单调区间的四种求法(1)利用已知函的单调性，即转为已知函的和、差或复合函，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导法：利用导取值的正负确定函的单调区间．函y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函，那么区间A 是( )A ．(－∞，0) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12C ．[0，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x x ≥0 ，－x 1－x x <0 ＝错误! ＝错误!画出函的草图，如图．由图易知原函在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上单调递增．答案：B考点三 函单调性的应用|函单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起，常见的命题探究角度有：1．求函的值域或最值．2．比较两个函值或两个自变量的大小．3．解函不等式． 4．求参的取值范围或值． 探究一 求函的值域或最值1．(2015·高考浙江卷)已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg x 2＋1 ，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．解析：由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.答案：0 22－3探究二 比较两个函值或两自变量的大小2．已知函f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：∵函f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 答案：B探究三 解函不等式3．(2015·西安一模)已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln x ＋1 ，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函值都为零，∴函的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函f (x )＝x 3为增函，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函，且当x 1<0，x 2>0时，f (x 1)<f (x 2)，∴函f (x )是定义在R 上的增函．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，故选D.答案：D探究四 利用单调性求参的取值范围4．(2015·江西新余期末质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋1 x <1 ，a xx ≥1 满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1 －f x 2x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 B.⎝⎛⎦⎥⎤1，32C ．(1,2)D ．(1，＋∞)解析：依题意，f (x )是在R 上的增函，于是有⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1， 2－a ×1＋1≤a 1.解得32≤a <2，故选A.答案：A函单调性应用问题的四种类型及解题策略(1)比较大小．比较函值的大小，应将自变量转到同一个单调区间内，然后利用函的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函有关的不等式时，往往是利用函的单调性将“f”符号脱掉，使其转为具体的不等式求解．此时应特别注意函的定义域．(3)利用单调性求参．①视参为已知，依据函的图象或单调性定义，确定函的单调区间，与已知单调区间比较求参；②需注意若函在区间[a，b]上是单调的，则该函在此区间的任意子集上也是单调的．(4)利用单调性求最值．应先确定函的单调性，然后再由单调性求出最值．1.确定抽象函的单调性以及解含“f”的不等式【典例】(12分)函f(x)对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，有f(x)>1.(1)求证：f(x)是R上的增函；(2)若f(4)＝5，解不等式f(2t－1)－f(1＋t)<2.[思路点拨] (1)用单调性的定义证明抽象函的单调性；(2)结合题意，将含“f”的不等式f(2t－1)－f(1＋t)<2转为f(m)<f(n)的形式，再依据单调性转为常规不等式求解．[规范解答] (1)证明：设x1，x2∈R且x1<x2，则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1.(2分)根据条件等式有f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1＋x1)－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)是R上的增函．(6分)(2)由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，得f(a＋b)－f(a)＝f(b)－1，∴f(2t－1)－f(1＋t)＝f(t－2)－1，(8分)∴f(2t－1)－f(1＋t)<2，即f(t－2)－1<2，∴f(t－2)<3.又f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，∴f(2)＝3，∴f(t－2)<3＝f(2)．(10分)∵f(x)是R上的增函，∴t－2<2，∴t<4，故不等式的解集为(－∞，4)．(12分)[模板形成]A组考点能力演练1．(2015·吉林二模)下列函中，定义域是R 且为增函的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |解析：因为定义域是R ，排除C ，又是增函，排除A 、D ，所以选B.答案：B2．(2015·河南信阳期末调研)下列四个函： ①y ＝3－x ；②y ＝1x 2＋1；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x x ≤0 ，－1xx >0 .其中值域为R 的函有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：依题意，注意到y ＝3－x 与函y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x x ≤0 ，－1xx >0 的值域均是R ，函y ＝1x 2＋1的值域是(0,1]，函y ＝x 2＋2x －10＝(x ＋1)2－11的值域是[－11，＋∞)，因此选B.答案：B3．若函f (x )＝－x 2＋2ax 与函g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函，则实a 的取值范围为( )A ．(0,1)∪(0,1)B ．(0,1)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]解析：注意到f (x )＝－(x －a )2＋a 2；依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a >0，即0<a ≤1，故选D.答案：D4．已知函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)解析：作出函f (x )的图象，如图所示，则函f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：B5．(2016·浦东一模)如果函y ＝f (x )在区间I 上是增函，且函y＝f xx在区间I 上是减函，那么称函y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函”，区间I 叫作“缓增区间”．若函f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函”，则“缓增区间”I 为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]解析：因为函f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函，又当x ≥1时，f x x ＝12x －1＋32x，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函f x x ＝12x －1＋32x在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．答案：D6．已知f (x )是定义在R 上的偶函，若对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2 －f x 1x 2－x 1<0，则f (3)，f (－2)，f (1)的大小关系为________．解析：由x 1，x 2∈(0，＋∞)时，f x 2 － x 1x 2－x 1<0，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函． 又f (－2)＝f (2)，1<2<3， ∴f (1)>f (－2)>f (3)． 即f (1)>f (2)>f (3)． 答案：f (1)>f (－2)>f (3)7．设函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函g (x )的递减区间是________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)8．(2015·长春二模)已知函f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函，则a 的取值范围是________．解析：因为函f (x )在(－∞，－a )上是单调函，所以－a ≥－1，解得a ≤1.答案：(－∞，1] 9．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2 x 1－x 2 x 1＋2 x 2＋2 . ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增．(2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a >0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函， 又f (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴0<a ≤1，故实a 的取值范围为(0,1]． 10．已知函g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常且a >0，令函f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函f (x )的值域．解：(1)∵f (x )＝g (x )·h (x )＝(x ＋1)1x ＋3＝x ＋1x ＋3，∴f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)．(2)函f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，14，令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，f (x )＝F (t )＝tt 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2.∵t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，又t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增，∴F (t )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.即函f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，613.B 组 高考题型专练1．(2014·高考北京卷)下列函中，在区间(0，＋∞)上为增函的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)解析：y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函，排除B ；y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函，排除C ；因为y ＝log 0.5t 为减函，t ＝x ＋1为增函，所以y＝log 0.5(x ＋1)为减函，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函，所以y ＝x ＋1为增函，故选A.答案：A2．(2013·高考安徽卷)“a ≤0”是“函f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由二次函的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增，只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a<0，整得a ≤0，而当a ≤0时，结合图象(图略)可知f (x )在(0，＋∞)上为增函．故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.答案：C3．(2015·高考福建卷)若函f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a 2≥4.解得1<a ≤2，所以实a 的取值范围为(1,2]．答案：(1,2]4．(2015·高考湖北卷)a 为实，函f (x )＝|x 2－ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a )．当a ＝________时，g (a )的值最小．解析：f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a 24，其在区间[0,1]上的最大值必在x ＝0，x ＝1，x ＝a2处产生，即g (a )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f 0 ，f 1 ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，|1－a |，a 24＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫|1－a |，a 24，在同一坐标系中分别画出y＝|1－a |，y ＝a 24的图象可知(图略)，在两图象的交点处，g (a )取得最小值，此时1－a ＝a 24，则a ＝22－2(－2－22舍去)．答案：22－2。
(湖北专用)2020届高考数学一轮复习 第二章函数2.2函数的单调性与最值练习 理 新人教A版
课时作业5 函数的单调性与最值一、选择题1．(2012天津高考)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )．A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x 2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R 2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2x ≤1是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为( )．A ．(1，＋∞)B ．[4,8)C ．(4,8)D ．(1,8)3．若函数y ＝ax 与y ＝－b x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上( )．A ．单调递增B ．单调递减C ．先增后减D ．先减后增4．“函数f (x )在[0,1]上单调”是“函数f (x )在[0,1]上有最大值”的( )．A ．必要非充分条件B ．充分非必要条件C ．充分且必要条件D ．既非充分也非必要条件5．函数f (x )＝xx ＋1的最大值为( )．A.25B.12C.22D ．1 6．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )．A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)7．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( )．A ．[－5，－1]B ．[－2,0]C ．[－6，－2]D ．[1,3]二、填空题8．如果函数f (x )＝ax 2－3x ＋4在区间(－∞，6)上单调递减，则实数a 的取值范围是__________．9．(2012湖北八校第一次联考)已知函数f (x )是定义在(－∞，1]上的减函数，且对一切x ∈R ，不等式f (k －sin x )≥f (k 2－sin 2x )恒成立，则k 的值为__________．10．若函数f (x )＝4x x 2＋1在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，则m 的取值范围是__________．三、解答题11．函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a 的取值范围． 12．讨论函数f (x )＝x ＋ax(a ＞0)的单调区间．参考答案一、选择题1．B 解析：对于A ，y ＝cos 2x 是偶函数，但在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2内是减函数，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2内是增函数，不满足题意．对于B ，log 2|－x |＝log 2|x |，是偶函数，当x ∈(1,2)时，y ＝log 2x 是增函数，满足题意．对于C ，f (－x )＝e －x －e －(－x )2＝e －x －e x 2＝－f (x )， ∴y ＝e x －e －x 2是奇函数，不满足题意． 对于D ，y ＝x 3＋1是非奇非偶函数，不满足题意．2．B 解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，4－a 2>0，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2×1＋2≤a ，即4≤a ＜8，故选B. 3．B 解析：∵函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数， ∴a ＜0，b ＜0，∴y ＝ax 2＋bx 的对称轴方程x ＝－b 2a＜0.∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数，选B.4．B 解析：函数f (x )在[0,1]上单调，则函数f (x )在[0,1]上有最大值，而函数f (x )在[0,1]上有最大值，f (x )在[0,1]上不一定单调，故选B.5．B 解析：当x ＝0时，y ＝0；当x ≠0时，f (x )＝1x ＋1x， ∵x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时等号成立，故0＜f (x )≤12，∴0≤f (x )≤12. 故f (x )的最大值为12.故选B. 6．D 解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，故函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)＞f (0)＝0.所以－f (1)＜0，即f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D.7．A 解析：∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3，－6≤－2f (x ＋3)≤－2，－5≤1－2f (x ＋3)≤－1.∴－5≤F (x )≤－1，即函数F (x )的值域是[－5，－1]．二、填空题8．0≤a ≤14 解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋4，函数在定义域R 上单调递减，故在区间(－∞，6)上单调递减．(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝32a. 因为f (x )在区间(－∞，6)上单调递减，所以a ＞0，且32a ≥6，解得0＜a ≤14. 综上所述0≤a ≤14. 9．－1 解析：由题意得，对一切x ∈R ，不等式f (k －sin x )≥f (k 2－s in 2x )恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k －sin x ≤k 2－sin 2x ，k 2－sin 2x ≤1， 即对一切x ∈R ，⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－k ≥sin 2x －sin x ，k 2≤1＋sin 2x 恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ k 2－k ≥2，k 2≤1，解得k ＝－1.10．(－1,0] 解析：∵f ′(x )＝4(1－x 2)(x 2＋1)2， 令f ′(x )＞0，得－1＜x ＜1，∴f (x )的增区间为(－1,1)．又∵f (x )在区间(m,2m ＋1)上是单调递增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－1，2m ＋1≤1，∴－1≤m ≤0. ∵区间(m,2m ＋1)中2m ＋1＞m ，∴m ＞－1.综上，－1＜m ≤0.三、解答题11．解：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a (x ＋2)＋1－2a x ＋2＝1－2a x ＋2＋a . 任取x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2a x 1＋2－1－2a x 2＋2＝(1－2a )(x 2－x 1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是递增的， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0.∵x 2－x 1＞0，x 1＋2＞0，x 2＋2＞0，∴1－2a ＜0，a ＞12，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 12．解：方法一：(定义法)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＜x 2，则x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝(x 2－x 1)·x 1x 2－a x 1x 2. 当0＜x 1＜x 2≤a 时，有0＜x 1x 2＜a ，∴x 1x 2－a ＜0.∴f (x 2)－f (x 1)＜0，即f (x )在(0，a ]上是减函数．当a ≤x 1＜x 2时，有x 1x 2＞a ，∴x 1x 2－a ＞0.∴f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．∵函数f (x )是奇函数，∴函数f (x )在(－∞，－a ]上是增函数，在[－a ，0)上是减函数．综上所述，f(x)在区间(－∞，－a]，[a，＋∞)上为增函数，在[－a，0)，(0，a]上为减函数．方法二：(导数法)f′(x)＝1－ax2，令f′(x)＞0，得x＜－a，或x＞a，又函数f(x)在x＝±a处有定义，且连续，∴f(x)在(－∞，－a]，[a，＋∞)上为增函数．令f′(x)＜0，得－a＜x＜0，或0＜x＜a，又函数f(x)在x＝±a处有定义，且连续，∴f(x)在[－a，0)，(0，a]上为减函数．。
新高考数学理一轮总复习知能演练2.2函数的单调性与最值(含答案详析)
一、选择题1．(2011 高·考课标全国卷)以下函数中， 既是偶函数又在(0，＋∞ )上单一递加的函数是()A ． y ＝ x 3 2＋ 1B ． y ＝ |x|＋ 1C ． y ＝－ xD ．y ＝ 2 |x|－分析：选 B. ∵y ＝x 3 在定义域 R 上是奇函数， ∴A 不对． y ＝－ x 2＋ 1 在定义域 R 上是偶函|x|1 |x| 数，但在(0，＋ ∞ )上是减函数， 故 C 不对．D 中 y ＝ 2－＝2 虽是偶函数， 但在 (0，＋ ∞ )上是减函数，只有 B 对．2．函数 y ＝ 16－ 4x的值域是 ( )A ． [0，＋∞ )B ． [0,4]C ． [0,4)D ．(0,4)分析： 选 C.要使函数存心义， 则 16－ 4x ≥0. 又因为 4x >0， ∴0≤16－ 4x <16 ， 即函数 y ＝16－ 4x 的值域为 [0,4) ．3．(2011 高·考辽宁卷 )函数 f(x)的定义域为 R ，f(－ 1)＝ 2，对随意 x ∈ R ，f ′(x)>2，则 f(x)>2x＋4 的解集为 ()A ． (－ 1,1)B ． (－1，＋∞ )C ． ( －∞，－ 1)D ．(－∞，＋∞ )分析： 选 B.设 g(x)＝ f(x)－ 2x － 4，则 g(－ 1)＝ f(－ 1)－ 2× (－1) －4＝ 0， g ′ (x) ＝ f ′ (x)－ 2＞ 0， g( x)在 R 上为增函数．由 g(x)＞ 0，即 g(x)＞ g(－ 1)．∴x ＞－ 1，选 B.11(x ＋ 1)，③ y ＝ |x － 1|，④ y ＝ 2 x ＋1，此中在区间 (0,1) 上单4．给定函数① y ＝ x，② y ＝ log22调递减的函数的序号是 ()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④分析： 选 B. ①函数 y ＝ x112在(0 ，＋ ∞) 上为增函数，② y ＝ log 2(x ＋ 1)在 (－ 1，＋ ∞ )上为减函数，故在 (0,1)上也为减函数，③ y ＝|x － 1|在 (0,1)上为减函数，④ y ＝ 2x ＋1 在 (－ ∞ ，＋ ∞ )上为增函数，应选B.5．已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则知足 f(|x|)<f(1) 的实数 x 的取值范围是 () A ． (－ 1,1) B ． (0,1) C ． ( －1,0)∪ (0,1)D ．(－∞，－ 1)∪ (1，＋∞ )分析： 选 D. ∵f(x)为 R 上的减函数，且 f(|x|)<f(1) ，∴|x|>1，∴x<－ 1 或 x>1.二、填空题6．函数 y ＝ x － x(x ≥ 0)的值域为 ________．分析： y ＝ x － x ＝－ (x)21 2 1＋ x ＝－ ( x － 2) ＋ 4，∴y max ＝ 114.故值域为 (－ ∞， 4]． 答案：－∞，147．(2012 高·考安徽卷 )若函数 f(x) ＝ |2x ＋ a|的单一递加区间是 [3，＋∞ )，则 a ＝ ________.－ 2x －a ， x ＜－ a2－ a，＋ ∞ ，分析： 由 f(x)＝a ，可得函数 f(x)的单一递加区间为22x ＋ a ， x ≥ － 2a故 3＝－ 2，解得 a ＝－ 6.答案： －6f(2－ m)＜ f(m 2)的实数 m 的取值范围是 ________．8．若 f(x)为 R 上的增函数，则知足 分析： ∵f(x)在 R 上为增函数， ∴2－m ＜m 2， ∴m 2＋ m － 2＞ 0， ∴m ＞ 1 或 m ＜－ 2.答案： (－∞，－ 2) ∪(1，＋∞ ) 三、解答题x ＋ a9．议论函数 f(x)＝ x ＋ b (a ＞ b ＞0)的单一性． 解： 定义域为 (－∞ ，－ b)∪(－ b ，＋ ∞ )． 在定义域内任取 x 1＜ x 2，x 1＋a x 2＋ a∴f(x 1)－ f(x 2)＝ －x 1＋ b x 2＋ bx 1＋ a x 2＋ b － x 1＋ b x 2＋ a ＝x 1＋b x 2＋ bb － a x 1－ x 2 ＝ .x 1＋ b x 2＋ b∵a ＞b ＞ 0，∴b － a ＜ 0， x 1－x 2＜ 0，只有当 x 1＜ x 2 ＜－ b 或－ b ＜ x 1＜ x 2 时，函数才单一．当 x 1＜ x 2＜－ b 或－ b ＜x 1＜x 2 时， f(x 1)－ f(x 2) ＞ 0.∴f(x)在 (－b ，＋ ∞ )上是减函数，在 (－ ∞ ，－ b) 上是减函数． 10．已知函数 f(x)＝ x 2＋ 2x ＋ a ，x ∈ [1，＋∞ )．(1)当 a ＝ 12时，求函数f(x)的最小值；(2)若对随意 x ∈ [1，＋∞ )，f(x)＞ 0 恒建立，试务实数a 的取值范围．解： (1)当 a ＝ 12时， f(x) ＝x 2＋ 2x ＋ 12，其图象是张口向上的抛物线，对称轴为x ＝－ 1，又∵x ∈[1，＋ ∞ )，∴f(x)的最小值是7f(1)＝ 2.(2)由 (1)知 f(x)在 [1，＋ ∞ )上的最小值是 ∵f(x)＞ 0 在 [1，＋ ∞ )上恒建立，故只要 a ＋ 3＞0 即可，解得a ＞－ 3.∴实数 a 的取值范围是 a ＞－ 3.f(1) ＝a ＋ 3.一、选择题 (x )＝ |ln2－ x |在其上为增函数的是 ()．(2011高·考重庆卷 )以下区间中，函数1f( )A. (－∞， 1]B. －1， 433C. 0，D.[1， 2)2分析：选 D.法一：当 2－ x ≥ 1，即 x ≤1 时，f(x)＝ |ln(2 － x)|＝ ln(2 － x)，此时函数 f(x)在 (－∞ ，1]上单一递减． 当 0<2－ x ≤ 1，即 1≤ x<2 时， f(x)＝ |ln(2－ x)|＝－ ln(2 －x)，此时函数 f(x) 在 [1,2) 上单一递加，应选 D.法二： f(x)＝ |ln(2－ x)|的图象如下图．由图象可得，函数 f( x)在区间 [1,2) 上为增函数，应选 D.a x x ≥ 12．若 f(x)＝ a是 R 上的单一递加函数， 则实数 a 的取值范围为 ()4－2 x ＋ 2 x ＜ 1A ． (1，＋∞ )B ． [4,8)C ． (4,8)D ．(1,8)分析： 选 B.函数 f(x) 在(－ ∞ ， 1)和 [1，＋ ∞ )上都为增函数，且 f(x)在 (－∞ ，1)上的最高a ＞ 1a点不高于其在 [1，＋ ∞ )上的最低点，即4－2＞0，解得 a ∈[4,8) ，应选 B.aa ≥ 4－ 2＋ 2二、填空题)函数 f(x)＝ ln(4＋ 3x － x 2)的单一递减区间是 ________．3． (2013 ·照质检日23 2 25 分析： 函数 f(x) 的定义域是 ( － 1,4)， u(x)＝－ x ＋ 3x ＋ 4＝－ x － 2 ＋ 4的递减区间为3， 4 .23∵e ＞ 1，∴函数 f(x)的单一递减区间为 2， 4 .34．若函数f(x)＝ |log a x|(0<a<1) 在区间 (a,3a － 1) 上单一递减，则实数a 的取值范围是________ ．1分析： 因为 f(x)＝ |log a x|在 (0,1] 上递减，在 (1，＋ ∞ )上递加，所以 0<a<3a － 1≤ 1，解得2 2<a ≤ 3，此即为 a 的取值范围．1 2答案： 2， 3三、解答题5．已知函数 f(x) 关于随意 x ，y ∈ R ，总有 f(x)＋ f(y)＝ f(x ＋ y)，且当 x ＞ 0 时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证： f(x)在 R 上是减函数；(2)求 f(x)在 [－ 3,3]上的最大值和最小值．解： (1)证明： 法一： ∵函数 f(x)关于随意 x ， y ∈R 总有 f(x) ＋f(y)＝ f(x ＋y)，∴令x ＝ y ＝ 0，得 f(0) ＝ 0.再令 y ＝－ x ，得 f(－ x)＝－ f(x)．在 R 上任取 x 1＞ x 2，则 x 1－ x 2＞ 0，f(x 1)－ f(x 2) ＝ f(x 1) ＋f(－ x 2)＝ f( x 1－ x 2)．又∵x ＞0 时， f(x) ＜0，而 x 1－ x 2＞ 0，∴f(x 1－ x 2)＜ 0，即 f(x 1)＜ f(x 2)．所以 f(x)在 R 上是减函数．法二： 设 x 1＞ x 2，则 f(x 1)－f(x 2)＝ f(x 1－ x 2＋ x 2)－ f(x 2)＝ f(x 1－ x 2)＋ f(x 2) －f(x 2)＝ f(x 1－ x 2)． 又∵x ＞0 时， f(x) ＜0，而 x 1－ x 2＞ 0， ∴f(x 1－ x 2 )＜ 0，即 f(x 1)＜ f(x 2)，∴f(x)在 R 上为减函数．(2)∵f(x)在 R 上是减函数，∴f(x)在 [ －3,3] 上也是减函数，∴f(x)在 [ －3,3] 上的最大值和最小值分别为 f(－ 3)与 f(3)．而 f(3) ＝ 3f(1) ＝－ 2， f( －3)＝－ f(3) ＝2.∴f(x)在 [ －3,3] 上的最大值为 2，最小值为－ 2.。
2020-2021学年人教版 高三数学复习《2.2 函数的单调性与最值》练习及解析答案
第二节 函数的单调性与最值(答案)一、基础知识考点一 确定函数的单调性(区间) [典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．(2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． [题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)3．判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 考点二 求函数的值域(最值) [典例] (1)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－a x＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________． [题组训练] 1．函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________． 2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________． 3．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小 [典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2] C ．[2,6] D ．[2，＋∞)考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] 已知函数f (x )＝x －a x ＋a 2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______．[题组训练] 1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1 [课时跟踪检测] 1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．125．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－2] C ．[－3，－2] D ．(－∞，0)7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为_______．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________． 9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 10．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．第二节 函数的单调性与最值一、基础知识 1．增函数、减函数 定义：设函数f (x )的定义域为I ：(1)增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数．增(减)函数定义中的x 1，x 2的三个特征 一是任意性；二是有大小，即x 1<x 2(x 1>x 2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间 若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间.有关单调区间的两个防范 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M 或f (x )≥M .(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M . 那么，我们称M 是函数y ＝f (x )的最大值或最小值． 函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论 在公共定义域内：(1)函数f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )＋g (x )是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数；(3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数；(4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反；(6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间)[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．(2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性． [解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1， 则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1). 由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．法二：导数法 f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a (x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数． 考点二 求函数的值域(最值)[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－a x＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示． 根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)．(2)单调性法 ∵f (x )＝－a x ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2. 即⎩⎨⎧ －2a ＋b ＝12，－a 2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52. (3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4. [答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52(3)4 [提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练] 1．函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________． 解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4，即f (x )＝x ＋4x≤－4，当且仅当x ＝－2取等号， 所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________． 解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减， 所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9.答案：6 －9 3．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减，∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1.答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)．又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)．[答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2] C ．[2,6] D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]．[答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路 先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a 2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是______． [解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1.∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a 2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋a x 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1.∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．[答案] [－1，＋∞)[解题技法] 利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >b D ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1 解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a 1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测] 1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数． 2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0.而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a . 因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23 D.⎣⎡⎭⎫12，23 解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13.所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23. 4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( ) A ．－1 B ．1 C ．6 D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－2] C ．[－3，－2] D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)， ∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4.答案：4 10．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2， ∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25. 12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x x ＋2. 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1所以0＜a ≤1.a 的范围为(0,1]．。
高考数学(人教版)总复习“提高分”课时作业：2.2函数的单调性与最值(含答案解析)
第2章 第2节学科王 课时作业1．(2013·山东省实验中学模拟)下列函数中，在其定义域内，既是奇函数又是减函数的是( )A ．f(x)＝1x B ．f(x)＝－xC ．f(x)＝2－x －2xD ．f(x)＝tan x【解析】 f(x)＝1x 是奇函数，但在定义域上不单调，f(x)＝－x 为非奇非偶函数．f(x)＝－tanx 在定义域上是奇函数，但不单调，故A 、B 、D 均不正确． 【答案】 C2．若函数y ＝f(x)的值域是⎣⎡⎦⎤12，3，则函数F(x)＝f(x)＋1f x的值域是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，3 B.⎣⎡⎦⎤2，103 C.⎣⎡⎦⎤52，103 D.⎣⎡⎦⎤3，103学科王 【解析】 令t ＝f(x)，则12≤t≤3，则函数g(t)＝t ＋1t 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数，则g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g(1)＝2，g(3)＝103，故值域为⎣⎡⎦⎤2，103. 【答案】 B 3．函数y ＝13＋2x －x2的单调递增区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(1,3)【解析】 依题意3＋2x －x2＞0，即－1＜x ＜3. ∴函数的定义域为(－1,3)．又函数y ＝－x2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4在(1,3)上单调递减，所以原函数的单调递增区间是(1,3)．【答案】 D4．(2013·海淀模拟)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23 【解析】 f(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴f(2x －1)＝f(|2x －1|)．又f(x)在[0，＋∞)上递增， ∴f(2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13⇔|2x －1|＜13⇔13＜x ＜23. 【答案】 A5．已知函数f(x)＝x2－2ax ＋a ，在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝f x x 在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【解析】 f(x)在(－∞，1)上有最小值，对称轴x ＝a≤1.学科王又g′(x)＝xf ′ x －f x x2＝x2－a x2＝1－ax2，当x>1时，g′(x)>0，∴g(x)在(1，＋∞)上是增函数，故选D.【答案】 D6．用min{a ，b ，c}表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x≥0)，则f(x)的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【解析】由f(x)＝min{2x ，x ＋2,10－x}(x≥0)画出图象，最大值在A 处取到．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，y ＝10－x ， 得y ＝6.【答案】 C 二、填空题7.函数y ＝f(x)(x ∈R)的图象如图所示，则函数g(x)＝f(log 12x)是单调增区间是________．【解析】 设g(x)＝f(u)，u ＝log 12x ，∵u ＝log 12x 在(0，＋∞)上是减函数，且g(x)＝f(log 12x)是单调增函数，则g ＝f(x)应为减函数，则－12≤log 12x≤0，∴1≤x≤ 2.∴单调增区间为[1，2]．【答案】 [1，2]8．已知y ＝f(x)是定义在(－2,2)上的增函数，若f(m －1)＜f(1－2m)，则m 的取值范围是________．【解析】 依题意，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧－2＜m －1＜2－2＜1－2m ＜2m －1＜1－2m⇔⎩⎪⎨⎪⎧－1＜m ＜3－12＜m ＜32m ＜23⇔－12＜m ＜23.【答案】 ⎝⎛⎭⎫－12，23学科王 9．已知函数f(x)＝1－1－x2，x ∈[0,1]，对于满足0＜x1＜x2＜1的任意x1、x2，给出下列结论：①(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＜0；②x2f(x1)＜x1f(x2)； ③f(x2)－f(x1)＞x2－x1；④f x1 ＋f x2 2＞f⎝⎛⎭⎫x1＋x22.其中正确结论的序号是________．【解析】 函数f(x)＝1－1－x2，x ∈[0,1]的图象如图所示，命题①可等价为⎩⎪⎨⎪⎧x2－x1＞0f x2 ＜f x1 ，即f(x)在x ∈[0,1]上是单调递减函数，命题①错误；对于命题②，作差即可知其正确；命题③可变形为f x2 －f x1x2－x1＞1，不等式左端的几何意义是图象上任意两点连线的斜率，由图象知斜率不都大于1，命题③错误；对于命题④，因为图象是凹函数，满足f x1 ＋f x2 2＞f⎝⎛⎭⎫x1＋x22，所以命题④正确． 【答案】 ②④三、解答题10．判断函数f(x)＝axx ＋1在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．【证明】 当a ＞0时，函数y ＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 当a ＜0时，函数y ＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减． 设任意的－1＜x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝ax1x1＋1－ax2x2＋1＝ax1 x2＋1 －ax2 x1＋1 x1＋1 x2＋1＝a x1－x2 x1＋1 x2＋1. ∵－1＜x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0.∴当a ＞0时，f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， ∴函数y ＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．同理当a ＜0时，f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，学科王 ∴函数y ＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．11．已知函数f(x)＝log3mx2＋8x ＋nx2＋1的定义域为R ，值域为[0,2]，求m 与n 的值．【解】 若m ＝0时，则f(x)＝log38x ＋n x2＋1的定义域为⎝⎛⎭⎫－n8，＋∞，与题设矛盾，故m≠0. 于是由f(x)的定义域为R ，有mx2＋8x ＋n ＞0恒成立，故m ＞0且Δ＝64－4mn ＜0. 令y ＝mx2＋8x ＋nx2＋1，①则应有1≤y≤9，即题设条件转化为x ∈R 时，y ＝mx2＋8x ＋nx2＋1的值域为[1,9]．由①式变形得(m－y)x2＋8x ＋(n －y)＝0.当m≠y 时，∵x ∈R ，∴Δ＝64－4(m －y)(n －y)≥0，整理得y2－(m ＋n)y ＋mn －16≤0，由题意⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝1＋9，mn －16＝1×9，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝5.当m ＝y 时，②式可化为8x ＋n －m ＝0，这时m ＝n ＝5满足条件．∴m ＝5，n ＝5. 12．已知函数f(x)＝x2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求f(x)的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围． 【解】 (1)当a ＝12时，f(x)＝x ＋12x ＋2，设1≤x1＜x2，Δx ＝x2－x1＞0，则Δy ＝f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)(1－12x1x2)．∵1≤x1＜x2，∴1－12x1x2＞0，∴Δy ＞0，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数， ∴f(x)的最小值为f(1)＝72.(2)在区间[1，＋∞)上f(x)＞0恒成立， 即x2＋2x ＋a ＞0恒成立，学科王 设g(x)＝x2＋2x ＋a ，x ∈[1，＋∞)，则g(x)＝(x ＋1)2＋a －1在区间[1，＋∞)上是增函数， ∴当x ＝1时，g(x)min ＝3＋a ，故当3＋a ＞0即a ＞－3时，f(x)＞0恒成立． 故a 的取值范围为a ＞－3. 四、选做题13．已知函数f(x)＝a·2x ＋b·3x ，其中常数a ，b 满足a·b ＞0. (1)若a·b ＞0，判断函数f(x)的单调性； (2)若a·b ＜0，求f(x ＋1)＞f(x)时的x 的取值范围．【解】 (1)当a ＞0，b ＞0时，任意x1，x2∈R ，x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2) ∵2x1＜2x2，a ＞0⇒a(2x1－2x2)＜0， 3x1＜3x2，b ＞0⇒b(3x1－3x2)＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0，函数f(x)在R 上是增函数． 当a ＜0，b ＜0时，同理函数f(x)在R 上是减函数．(2)f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x ＞0，当a ＜0，b ＞0时，⎝⎛⎭⎫32x ＞－a 2b ，则x ＞log1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b ； 当a ＞0，b ＜0时，⎝⎛⎭⎫32x ＜－a 2b ，则x ＜log1.5⎝⎛⎭⎫－a 2b .。
浙江2020版高考数学大一轮复习《2.2函数的单调性与最值》提能作业含答案
2.2 函数的单调性与最值A 组 基础题组1.(教材习题改编)函数y=(2m-1)x+b 在R 上是减函数,则( ) A.m>B.m<C.m>-D.m<-答案 B ∵y=( m -1)x+b 在R 上是减函数,∴ m -1<0,解得m<.2.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) A.y=- B.y=cosxC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案 D 选项A 中,y=- =-( -的图象是将y=- 的图象向右平移1个单位得到的,故y=-在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B 中,y=cosx 在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C 中,y=ln(x+1)的图象是将y=lnx 的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D 符合题意. 3.(2018浙江金华质量检测)已知函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,则a 的取值范围是( ) A.(-∞, ] B.(-∞,-1] C.[- ,+∞ D.[ ,+∞答案 A 因为函数f(x)在(-∞,-1)上是单调函数,所以-a ≥-1,即a ≤1,故选A. 4.(2018台州高三模拟)下列函数y=f(x)的图象中,满足f>f(3)>f(2)的只可能是( )答案 D 因为f>f(3)>f(2),所以函数y=f(x)有增有减,排除A,B.在C 中,f<f(0),f(3)>f(0),即f<f(3),排除C,故选D.5.(2018瑞安四校联考)已知函数y=f(x)在R 上是减函数,则y=f(|x-3|)的单调递减区间是( ) A.(-∞,+∞ B.[3,+∞C.[-3,+∞D.(-∞,3]答案 B 因为函数y=f(|x-3|)是由y=f(μ),μ=|x-3|复合而成的,而函数y=f(x)在R上是减函数,y=f(|x-3|)的单调递减区间即μ=|x-3|的单调递增区间,结合函数μ=|x-3|的图象可得x-3≥0,解得x≥3,所以函数y=f(|x-3|)的单调递减区间是[3,+∞ ,故选B.6.(2019衢州质检)已知函数f(x)=x3-3x,若在△ABC中,角C是钝角,则( )A.f(sinA)>f(cosB)B.f(sinA)<f(cosB)C.f(sinA)>f(sinB)D.f(sinA)<f(sinB)答案 A ∵f(x =x3-3x,∴f'(x =3x2-3=3(x+1)(x-1),故函数f(x)在区间(-1,1)上是减函数,又角C是钝角,∴角A、B都是锐角,且A+B<,∴0<A<-B<,∴sinA<sin-B=cosB,故f(sinA)>f(cosB),选A.7.若函数f(x)=2x+(a∈R)在[ ,+∞ 上是增函数,则实数a的取值范围是( )A.[0,2]B.[0,4]C.(-∞, ]D.(-∞, ]答案 C 由题意得f'(x)=2-≥0在[ ,+∞ 上恒成立,则a≤(2x2)min,又在[ ,+∞ 上,(2x2 min= ,∴a≤2,故选C.8.(2018衢州高三联考)函数y=x-|1-x|的单调递增区间为.答案(-∞, ]解析y=x-|1-x|= , , - ,.作出该函数的图象如图所示.由图象可知,该函数的单调递增区间是(-∞, ].9.已知函数f(x)=-3,x ,( ,x,则f(f(-3))= ,f(x)的最小值是.答案0;2-3解析因为f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg10=1,所以f(f(-3))=f(1)=1+2-3=0.当x≥1时,x+-3≥2·-3=2-3,当且仅当x=,即x=时等号成立,此时f(x)min=2-3<0;当x<1时,lg(x2+1)≥lg(02+1)=0,此时f(x)min=0.所以f(x)的最小值为2-3.10.(2018杭州学军中学高三模拟)已知函数f(x)=-,x∈[3,5].(1)判断函数f(x)的单调性,并证明;(2)求函数f(x)的最大值和最小值.解析(1)f(x)在[3,5]上为增函数.,证明如下:任取x1,x2∈[3,5]且x1<x2,f(x1)-f(x2)=---=3(-( (因为3≤x1<x2≤5,所以x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在[3,5]上为增函数.(2)由(1)知f(x)在[3,5]上为增函数,则f(x)max=f(5)=,f(x)min=f(3)=.11.(2018金丽衢十二校联考)已知函数f(x)=a-.(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞ 上是增函数;(2)若f(x)<2x在( ,+∞ 上恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)证明:当x∈(0,+∞ 时,f(x)=a-,设0<x1<x2,则x1x2>0,x2-x1>0,f(x2)-f(x1)=---=-=->0,所以f(x)在(0,+∞ 上是增函数.(2)由题意知a-<2x在( ,+∞ 上恒成立,设h(x)=2x+,则a<h(x)在( ,+∞ 上恒成立.任取x1,x2∈( ,+∞ 且x1<x2,h(x1)-h(x2)=(x1-x2)-.因为1<x1<x2,所以x1-x2<0,x1x2>1,所以2->0,所以h(x1)<h(x2),所以h(x)在( ,+∞ 上单调递增.故a≤h(1),即a≤3,所以实数a的取值范围是(-∞,3].B组提升题组1.设函数f(x)=|sinx|+cos2x,x∈-,,则函数f(x)的最小值是( )A.-1B.0C.D.答案 B ①当xÎ-,0时,f(x)=-sinx+cos2x=-2sin2x-sinx+1=-2sin+,此时sinxÎ[-1,0),当sinx=-1时,f(x)min=0;②当xÎ0,时,f(x)=sinx+cos2x=-2sin2x+sinx+1=-2sin-+,此时sinxÎ[0, ],当sinx=1时,f(x)min=0.由①②知函数f(x)的最小值是0.2.(2018宁波五校联考)已知f(x)=2x-1,g(x)=1-x2,规定:当|f(x)|≥g(x)时,h(x)=|f(x)|;当|f(x)|<g(x)时,h(x)=-g(x),则h(x)( )A.有最小值-1,最大值1B.有最大值1,无最小值C.有最小值-1,无最大值D.有最大值-1,无最小值答案 C 由题意得,利用平移变换的知识画出函数|f(x)|,g(x)的图象如图,而h(x)=( , ((, -(, ((,故h(x)有最小值-1,无最大值.3.已知函数f(x)=-ax-(a,b∈R),当x∈, 时,设f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为.答案解析设g(x)=x+-ax-b,x∈, ,则g'(x)=1--a,当a≥3或a≤-3时,g(x)在区间, 上单调,所以M(a,b)=max, f( =max-a-b,-2a-b≥--- a-≥3|a|.因为|a|≥3,所以M(a,b)≥.当-3<a<3时,g(x)在区间-上单调递减,在区间-上单调递增.若a≥0,则g≥g(2),所以M(a,b)=max, f-=max-a-,--≥|4-+a-5|=( --≥,当a=0,b=时取等号;若a<0,则g<g(2),则M(a,b)=max( ,-=max- a-,--≥|4-+4a-5|=( -->.综上可知,M(a,b)的最小值为.4.已知函数f(x)=ax2-x-3.(1)求a的范围,使y=f(x)在[-2,2]上不具有单调性;(2)当a=时,函数f(x)在闭区间[t,t+1]上的最小值记为g(t),求g(t)的函数表达式;(3)第(2)问的函数g(t)是否有最值?若有,请求出;若没有,请说明理由.解析(1)由题知a≠0且-2<--<2,解得a>或a<-.(2)当a=时,f(x)=x2-x-3=(x-1)2-,g(t)=--3( , -(0 , -( 0 .(3)当t≥1时,g(t)≥-;当0<t<1时,g(t)=-;当t≤0时,g(t)≥-.综上,g(t)有最小值-,无最大值.5.(2019绍兴一中月考)已知函数f(x)=x2-ax-4(a∈R)的两个零点分别为x1,x2,设x1<x2.(1)当a>0时,求证:-2<x1<0;(2)若函数g(x)=x2-|f(x)|在区间(-∞,-2)和( ,+∞ 上均单调递增,求a的取值范围.解析(1)证明:由x 1x2=-4<0且x1<x2知x1<0.因为f(x)在区间-∞,上单调递减,在区间,∞上单调递增,所以,当a>0时,f(x)在区间(-2,0)上单调递减.又因为f(-2)·f(0)=2a·(-4)<0,所以-2<x1<0.(2)g(x)=,,-ax- ,x, ,.易知当a≤0时,g(x)在区间(-∞,-2)上不可能单调递增,于是只有a>0.当a>0时,由(1)知-2<x1<0,于是,g(x)在(-∞,-2)上是单调递增的.又因为g(x)在,和(x2,+∞ 上均单调递增,结合函数图象可知,g(x)在,∞上单调递增,于是,欲使g(x)在( ,+∞ 上单调递增,只需2≥,亦即a≤8.综上所述,a的取值范围是(0,8].。
高考数学一轮复习学案：2.2 函数的单调性与最值(含答案)
高考数学一轮复习学案：2.2 函数的单调性与最值（含答案）2.2函数的单调性与最值函数的单调性与最值最新考纲考情考向分析1.理解函数的单调性.最大值.最小值及其几何意义2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.以基本初等函数为载体，考查函数的单调性.单调区间及函数最值的确定与应用；强化对函数与方程思想.转化与化归思想.分类讨论思想的考查，题型既有选择.填空题，又有解答题.1函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数fx的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x10fx在D上是增函数，fx1fx2x1x20的增区间为，a和a，，减区间为a，0和0，a3在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数4函数fgx的单调性与函数yfu和ugx 的单调性的关系是“同增异减”题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1若定义在R上的函数fx，有f11时，fx2fx1x2x1abBcbaCacbDbac答案D解析根据已知可得函数fx的图象关于直线x1对称，且在1，上是减函数，因为af12f52，且2c.命题点2解函数不等式典例若fx是定义在0，上的单调增函数，且满足fxyfxfy，f31，则当fxfx82时，x的取值范围是A8，B8,9C8,9D0,8答案B解析211f3f3f9，由fxfx82，可得fxx8f9，因为fx是定义在0，上的单调增函数，所以有x0，x80，xx89，解得80在区间2,4上单调递减，则实数a的值是________答案8解析fxx|2xa|x2xa，xa2，x2xa，xa2a0，作出函数图象图略可得该函数的单调递减区间是a4，a2，所以a42，a24，解得a8.2xx珠海模拟定义在R上的奇函数yfx在0，上单调递增，且f120，则不等式f19logx0的解集为________________答案x0x13或1x3解析由题意知，f12f120，fx在，0上也单调递增f19logxf12或f19logxf12，19logx12或1219logx0，解得0x13或1x3.原不等式的解集为x0x13或1x3.。
高中 函数的单调性与最值知识点+例题+练习 含答案
教学内容函数的单调性与最值教学目标掌握求函数的单调性与最值的方法重点单调性与最值难点单调性与最值教学准备教学过程第2讲函数的单调性与最值知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量x1，x2当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义若函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值一般地，设y＝f(x)的定义域为A.如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为y max＝f(x0)；如果存在x0∈A，使得对于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为y min＝f(x0)．教学效果分析教学过程【训练3】已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－23.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．1．求函数的单调区间：首先应注意函数的单调区间是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．求函数单调区间的常用方法：根据定义、利用图象、单调函数的性质及利用导数的性质．2．复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]，若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或者(g(b)，g(a))上是单调函数，若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同(同时为增或减)，则y＝f[g(x)]为增函数；若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称：同增异减．3．函数的值域常常化归为求函数的最值问题，要重视函数的单调性在确定函数最值过程中的应用教学效果分析课堂巩固一、填空题1．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是________．3．(2013·南通月考)已知函数f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是________．4．(2014·广州模拟)已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．5．设a >1，函数f (x )＝log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________.6．函数f (x )＝2x －18－3x 的最大值是________．7．(2012·安徽卷)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.8．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x ，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为______．。
2019-2020学年度最新人教版高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解Word版
2019-2020学年度最新人教版高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解Word 版(附参考答案)一、选择题1．已知f (x )＝－x －x 3，x ∈[a ，b ]，且f (a )·f (b )<0，则f (x )＝0在[a ，b ]内( )A ．至少有一实数根B ．至多有一实数根C ．没有实数根D ．有唯一实数根 [答案] D[解析] ∵函数f (x )在[a ，b ]上是单调减函数，又f (a )，f (b )异号．∴f (x )在[a ，b ]内有且仅有一个零点，故选D.2．(2010·文)给定函数①y ＝x 12，②y ＝log 12(x ＋1)，③y ＝|x －1|，④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④ [答案] B[解析] 易知y ＝x 12在(0,1)递增，故排除A 、D 选项；又y ＝log 12(x ＋1)的图象是由y ＝log 12x 的图象向左平移一个单位得到的，其单调性与y ＝log 12x 相同为递减的，所以②符合题意，故选B.3．(2010·模拟)设y 1＝0.413，y 2＝0.513，y 3＝0.514，则( ) A ．y 3<y 2<y 1B ．y 1<y 2<y 3C ．y 2<y 3<y 1D ．y 1<y 3<y 2[答案] B[解析] ∵y ＝0.5x为减函数，∴0.513<0.514， ∵y ＝x 13在第一象限内是增函数，∴0.413<0.513，∴y 1<y 2<y 3，故选B.4．(2010·)已知函数⎩⎪⎨⎪⎧(a －2)x －1 x ≤1log a x x >1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(2，＋∞)[答案] C[解析] ∵f (x )在R 上单调增，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1a －2>0(a －2)×1－1≤log a 1，∴2<a ≤3，故选C.5．(文)(2010·山东济宁)若函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a ≤0C ．a ≥－4D ．a ≤－4 [答案] D[解析] ∵函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x 在(0,1)上单调递减，∴当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝2x ＋2＋a x ＝2x 2＋2x ＋a x≤0，∴g (x )＝2x 2＋2x ＋a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立， ∴g (0)≤0，g (1)≤0，即a ≤－4.(理)已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则ω的取值范围是( ) A ．0<ω≤1B ．－1≤ω<0C ．ω≥1D ．ω≤－1 [答案] B[解析] ∵tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是减函数， ∴ω<0.当－π2<x <π2时，有 －π2≤πω2<ωx <－πω2≤π2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ π2ω≥－π2－π2ω≤π2ω<0，∴－1≤ω<0.6．(2010·天津文)设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( )A ．a ＜c ＜bB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c[答案] D[解析] ∵1>log 54>log 53>0，∴log 53>(log 53)2>0，而log 45>1，∴c >a >b .7．若f (x )＝x 3－6ax 的单调递减区间是(－2,2)，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[－2,2]C ．{2}D ．[2，＋∞)[答案] C [解析] f ′(x )＝3x 2－6a ，若a ≤0，则f ′(x )≥0，∴f (x )单调增，排除A ；若a >0，则由f ′(x )＝0得x ＝±2a ，当x <－2a 和x >2a 时，f ′(x )>0，f (x )单调增，当－2a <x <2a 时，f (x )单调减，∴f (x )的单调减区间为(－2a ，2a )，从而2a ＝2，∴a ＝2.[点评] f (x )的单调递减区间是(－2,2)和f (x )在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．8．(文)定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，若f (13)＝0，则适合不等式f (log 127x )>0的x 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(0，13)C ．(0，＋∞)D ．(0，13)∪(3，＋∞) [答案] D[解析] ∵定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (13)＝0，则由f (log 127x )>0，得|log 127x |>13，即log 127x >13或log 127x <－13.选D. (理)(2010·)已知函数f (x )图象的两条对称轴x ＝0和x ＝1，且在x ∈[－1,0]上f (x )单调递增，设a ＝f (3)，b ＝f (2)，c ＝f (2)，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >c >aD ．c >b >a [答案] D[解析] ∵f (x )在[－1,0]上单调增，f (x )的图象关于直线x ＝0对称，∴f (x )在[0,1]上单调减；又f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )在[1,2]上单调增，在[2,3]上单调减．由对称性f (3)＝f (－1)＝f (1)<f (2)<f (2)，即a <b <c .9．(2009·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，x ≥0，4x －x 2，x ＜0.若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[答案] C[解析] ∵x ≥0时，f (x )＝x 2＋4x ＝(x ＋2)2－4单调递增，且f (x )≥0；当x <0时，f (x )＝4x －x 2＝－(x －2)2＋4单调递增，且f (x )<0，∴f (x )在R 上单调递增，由f (2－a 2)>f (a )得2－a 2>a ，∴－2<a <1.10．(2010·泉州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )A ．最小值f (a )B ．最大值f (b )C ．最小值f (b )D ．最大值f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2[答案] C[解析] 令x ＝y ＝0得，f (0)＝0，令y ＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )，∴f (－x )＝－f (x )．对任意x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，，f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f (x 1－x 2)>0，∴f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在R 上是减函数，∴f (x )在[a ，b ]上最小值为f (b )．二、填空题11．(2010·重庆中学)已知函数f (x )＝ax ＋b x －4(a ，b 为常数)，f (lg2)＝0，则f (lg 12)＝________. [答案] －8[解析] 令φ(x )＝ax ＋b x，则φ(x )为奇函数，f (x )＝φ(x )－4， ∵f (lg2)＝φ(lg2)－4＝0，∴φ(lg2)＝4，∴f (lg 12)＝f (－lg2)＝φ(－lg2)－4 ＝－φ(lg2)－4＝－8.12．偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，且f (x )在[－2，k ]上的最大值点与最小值点横坐标之差为3，则k ＝________.[答案] 3[解析] ∵偶函数f (x )在(－∞，0]上单调递减，∴f (x )在[0，＋∞)上单调递增．因此，若k ≤0，则k －(－2)＝k ＋2<3，若k >0，∵f (x )在[－2,0]上单调减在[0，－k ]上单调增，∴最小值为f (0)，又在[－2，k ]上最大值点与最小值点横坐标之差为3，∴k －0＝3，即k ＝3.13．函数f (x )＝ax －1x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，则a 的取值范围是________． [答案] ⎝⎛⎭⎫－∞，－13 [解析] ∵f (x )＝a －3a ＋1x ＋3在(－∞，－3)上是减函数，∴3a ＋1<0，∴a <－13. 14．(2010·江苏调研)设a (0<a <1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f ⎝⎛⎭⎫12＝0，f (log a t )>0，则t 的取值范围是______．[答案] (1，1a )∪(0，a ) [解析] f (log a t )>0，即f (log a t )>f ⎝⎛⎭⎫12，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，∴log a t >12， ∵0<a <1，∴0<t <a .又f (x )为奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝0， ∴f (log a t )>0又可化为f (log a t )>f ⎝⎛⎭⎫－12， ∵奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴f (x )在(－∞，0)上为增函数，∴0>log a t >－12， ∵0<a <1，∴1<t <1a， 综上知，0<t <a 或1<t <1a . 三、解答题15．(2010·东)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1.(1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的取值集合．[解析] (1)要使f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>01－x >0，解得－1<x <1. 故所求定义域为{x |－1<x <1}．(2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域{x |－1<x <1}内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1. 解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值集合是{x |0<x <1}．16．(2010·东)已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1是奇函数(a >0，a ≠1)． (1)求m 的值；(2)求函数f (x )的单调区间；(3)若当x ∈(1，a －2)时，f (x )的值域为(1，＋∞)，求实数a 的值．[解析] (1)依题意，f (－x )＝－f (x )，即f (x )＋f (－x )＝0，即log a 1－mx x －1＋log a 1＋mx －x －1＝0， ∴1－mx x －1·1＋mx －x －1＝1，∴(1－m 2)x 2＝0恒成立， ∴1－m 2＝0，∴m ＝－1或m ＝1(不合题意，舍去)当m ＝－1时，由1＋x x －1>0得，x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，此即函数f (x )的定义域， 又有f (－x )＝－f (x )，∴m ＝－1是符合题意的解．(2)∵f (x )＝log a 1＋x x －1， ∴f ′(x )＝x －1x ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x －1′log a e ＝x －1x ＋1·(x －1)－(x ＋1)(x －1)2log a e ＝2log a e 1－x 2①若a >1，则log a e >0当x ∈(1，＋∞)时，1－x 2<0，∴f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，即(1，＋∞)是f (x )的单调递减区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f (x )的单调递减区间．②若0<a <1，则log a e <0当x ∈(1，＋∞)时，1－x 2<0，∴f ′(x )>0，∴(1，＋∞)是f (x )的单调递增区间；由奇函数的性质知，(－∞，－1)是f (x )的单调递增区间．(3)令t ＝1＋x x －1＝1＋2x －1，则t 为x 的减函数 ∵x ∈(1，a －2)，∴t ∈⎝⎛⎭⎫1＋2a －3，＋∞且a >3，要使f (x )的值域为(1，＋∞)，需log a ⎝⎛⎭⎫1＋2a －3＝1，解得a ＝2＋ 3.17．(2010·山东文)已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R)．(1)当a ＝－1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)当a ≤12时，讨论f (x )的单调性．[解析] (1)a ＝－1时，f (x )＝ln x ＋x ＋2x －1，x ∈(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2＋x －2x 2，x ∈(0，＋∞)，因此f ′(2)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为1.又f (2)＝ln2＋2，所以y ＝f (x )在(2，f (2))处的切线方程为y －(ln2＋2)＝x －2，即x －y ＋ln2＝0.(2)因为f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1，所以f ′(x )＝1x －a ＋a －1x 2＝－ax 2－x ＋1－ax 2 x ∈(0，＋∞)．令g (x )＝ax 2－x ＋1－a ，①当a ＝0时，g (x )＝1－x ，x ∈(0，＋∞)，当x ∈(0,1)时，g (x )>0，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )单调递增；②当a ≠0时，f ′(x )＝a (x －1)[x －(1a －1)]，(ⅰ)当a ＝12时，g (x )≥0恒成立，f ′(x )≤0，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；(ⅱ)当0<a <12时，1a －1>1>0，x ∈(0,1)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )单调递减；x ∈(1，1a－1)时，g (x )<0，此时f ′(x )>0，f (x )单调递增； x ∈(1a－1，＋∞)时，g (x )>0，此时f ′(x )<0，f (x )单调递减； ③当a <0时，1a－1<0， x ∈(0,1)时，g (x )>0，有f ′(x )<0，f (x )单调递减x ∈(1，＋∞)时，g (x )<0，有f ′(x )>0，f (x )单调递增．综上所述：当a ≤0时，函数f (x )在(0,1)上单调递减，(1，＋∞)上单调递增；当a ＝12时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当0<a <12时，f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，1a －1)上单调递增，在(1a－1，＋∞)上单调递减．注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚．。
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2019-2020学年高中数学 2.2函数的单调性与最值提能训练 理 新人教A 版
一、选择题(每小题6分，共36分)
1.关于函数y=3x
-的单调性的叙述正确的是( ) (A)在(-∞,0)上是递增的，在(0，+∞)上是递减的
(B)在(-∞,0)∪(0,+∞)上递增
(C)在［0,+∞)上递增
(D)在(-∞,0)和(0，+∞)上都是递增的
2.(2012·厦门模拟)函数f(x)=2x 2-mx+2当x ∈［-2,+∞)时是增函数，则m 的取值范围是( )
(A)(-∞,+∞) (B)［8,+∞)
(C)(-∞,-8］ (D)(-∞,8］
3.若函数f(x)=log a (x+1)(a>0,a ≠1)的定义域和值域都是［0,1］，则a 等于
( )
(A)132
(D)2 4.(2012·长沙模拟)函数f(x)＝a x +log a (x+1)在[0，1]上的最大值与最小值的和为a ，则a 的值为( ) (A)14 (B)12 (C)2 (D)4
5.(2012·杭州模拟)定义在R 上的函数f(x)在区间(-∞,2)上是增函数，且f(x+2)的图象关于x=0对称，则( )
(A)f(-1)<f(3) (B)f(0)>f(3)
(C)f(-1)=f(3) (D)f(0)=f(3)
6.定义在R 上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),当x<0时，f(x)>0,则函数f(x)在［a,b ］上有( )
(A)最小值f(a) (B)最大值f(b)
(C)最小值f(b) (D)最大值f(
a b 2+) 二、填空题(每小题6分，共18分)
7.(2012·株洲模拟)函数y=x x a
+在(-2，+∞)上为增函数，则a 的取值范围是_______.
8.函数y=x
的最大值是_______.
9.(易错题)f(x)= ()()x a x 0a 3x 4a (x 0⎧<⎪⎨-+≥⎪⎩）
满足对任意x 1≠x 2,都有()()1212f x f x 0x x -<-成立，则a 的取值范围是________.
三、解答题(每小题15分，共30分)
10.(2012·青岛模拟)已知函数f(x)=x x 2
+, (1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并加以证明;
(2)求函数f(x)的值域.
11.(预测题)函数f(x)=x 2+x-14
. (1)若定义域为［0,3］，求f(x)的值域；
(2)若f(x)的值域为［-
12,116］，且定义域为［a,b ］，求b-a 的最大值.
【探究创新】
(16分)定义：已知函数f(x)在［m,n ］(m<n)上的最小值为t,若t ≤m 恒成立，则称函数f(x)在［m,n ］(m<n)上具有“DK ”性质.
(1)判断函数f(x)=x 2-2x+2在［1,2］上是否具有“DK ”性质，说明理由.
(2)若f(x)=x 2-ax+2在［a,a+1］上具有“DK ”性质，求a 的取值范围.
答案解析
1.【解析】选D.由于函数y=1x 在(-∞,0)和(0，+∞)上是递减的，且-3<0,因此函数y=3x
-在(-∞,0)和(0，+∞)上都是递增的，这里特别注意两区间之间只能用“和”或“，”，一定不能用“∪”.
2.【解析】选C.由已知得m 4
≤-2,解得:m ≤-8. 3.【解析】选D.当0<a<1时，f(x)在［0,1］上为减函数，则其值域不可能为［0,1］;
当a>1时，f(x)在［0，1］上为增函数，由已知有a a
log 10log 21=⎧⎨=⎩,得a=2,综上知a=2. 4. 【解析】选B.f(x)在[0,1]上是增函数或减函数，故f(0)+f(1)＝a,即1+a+log a 2=a ⇒log a 2=-1⇒a=12
. 5.【解析】选A.因为f(x+2)的图象关于x=0对称，所以f(x)的图象关于x=2对称，又f(x)在区间(-∞,2)
上是增函数，则其在(2，+∞)上为减函数，作出其图象大致形状如图所示
.
由图象知，f(-1)<f(3)，故选A.
【方法技巧】比较函数值大小常用的方法
(1)利用函数的单调性，但需将待比较函数值调节到同一个单调区间上.
(2)利用数形结合法比较.
(3)对于选择、填空题可用排除法、特值法等比较.
6.【解题指南】先探究f(x)在［a,b ］上的单调性，再判断最值情况.
【解析】选C.设x 1<x 2,
由已知得f(x 1)=f ［(x 1-x 2)+x 2］
=f(x 1-x 2)+f(x 2).
又x 1-x 2<0,∴f(x 1-x 2)>0.
∴f(x 1)>f(x 2).
即f(x)在R 上为减函数.
∴f(x)在［a,b ］上亦为减函数.
∴f(x)min =f(b),f(x)max =f(a),故选C.
7. 【解析】x a y 1x a x a
==-++. 依题意，得函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),
要使y 在(-2，+∞)上为增函数，只要-2≥-a.
即a ≥2即可.
答案：[2,+∞)
8.【解析】∵5x-2≥0,∴x ≥25
,∴y ≥0. 又
4
=≤(当且仅当x=45时取等号).
答案：4
9.【解析】由已知x 1≠x 2,都有()()1212f x f x x x --<0，知f(x)在R 上为减函数，则需()00a 1a a 304a ,a 30<<⎧⎪≥-⋅+⎨⎪-⎩
＜
解得0<a ≤
14
. 答案：(0, 14］ 10.【解析】(1)当x>0时，f(x)=x x 2221x 2x 2x 2
+-==-+++. 设0<x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)=(1-12x 2+)-(1-22x 2+)=()()()12122x x x 2x 2-++, 由0<x 1<x 2可得f(x 1)-f(x 2)<0,
即f(x 1)<f(x 2)，
因此f(x)在(0,+∞)上递增.
(2)()f -⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩21-x ≥0x+2x =.2-1+ x <0且x ≠2x+2
可以证明f(x)在(-∞,-2)上递减，且f(x)在(-2，0)上递减，由反比例函数2y x =通过平移、对称变换得f(x)的图象如图所示，因此f(x)的值域为:(-∞,-1)∪［0,+∞).
11.【解析】∵f(x)=(x+ 12)2- 12
, ∴对称轴为x=-
12
. (1)∵3≥x ≥0>- 12, ∴f(x)的值域为［f(0),f(3)］，即［-
14，474］； (2)∵x=-12时，f(x)=-12
是f(x)的最小值,
∴x=-1
2
∈［a,b］，令x2+x-
1
4
=
1
16
,
得x1=-5
4
，x2=
1
4
,
根据f(x)的图象知b-a的最大值是1
4
-(-
5
4
)=
3
2
.
【探究创新】
【解析】(1)∵f(x)=x2-2x+2,x∈［1,2］, ∴f(x)min=1≤1,
∴函数f(x)在［1,2］上具有“DK”性质.
(2)f(x)=x2-ax+2,x∈［a,a+1］，
其对称轴为x= a
2
.
①当a
2
≤a，即a≥0时，函数f(x)min=f(a)=a2-a2+2=2.
若函数f(x)具有“DK”性质，则有2≤a总成立，即a≥2.
②当a<a
2
<a+1，即-2<a<0时，f(x)min=f(
a
2
)=-
2
a
4
+2.
若函数f(x)具有“DK”性质，则有-
2
a
4
+2≤a总成立，解得a∈Ø.
③当a
2
≥a+1,即a≤-2时，函数f(x)的最小值为f(a+1)=a+3.
若函数f(x)具有“DK”性质，则有a+3≤a,解得a∈Ø.
综上所述，若f(x)在［a,a+1］上具有“DK”性质，则a的取值范围为［2,+∞).。