解直角三角形复习课件

10 D X-10 F
拓展应用
A市气象台测得台风中心在A市正东方向300千米 的B处，以 10 7 千米/小时的速度向北偏西 600BF方向移动，距台风中心200千米范围内受 台风影响，如图 F 北 （1）A市是否受台 风影响，并说明； （2）若A市受影响， B A 东 受影响的时间为多长？
F N
1、锐角三角函数的定义
⑴、正弦；
⑵、余弦； ⑶、正切。
锐 角 三 角 函 数
2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。
⑴、互余关系；
3、各锐角三角函数间的函数关系式 ⑵、平方关系；
⑴、定义； ⑶、相除关系。
①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
⑵、直角三角形的性质
4、解直角三角形
⑶、解直角三角形在实际问题中的应用。
A
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3 160 3
答：这栋楼高为 160 3 m。
C
例2:如图甲乙两人分别在相距20米C 、 B两处测得古塔 顶A的仰角分别为60°和 30°，二人身高都是1.5m， 且B 、 C 、 D在一条直线上 ，计算古塔的高度（精确到 1米）．
第4章
锐角三角函数
中考要求
1）基本概念：包括直角三角形的基本元素， 边角关系，锐角三角函数等 2）基本计算：包括对角的计算，对边的 计算，应用某种关系计算等。 3）基本应用：主要题型是：测量，航海，坡面 改造，光学，修筑公路等其主要思想方法是： 方程思想，数形结合，化归转化，数学建模等。
一、本章知识结构梳理
30° X 60°
解：∵PQ∥AC ∠QPA=30 °∠QPB=60 °
450 ∴ ∠ PAC=30 ° ∠PBC=60 °
A
B
C
在Rt⊿PBC中 PC ∵sin60 °= ∴
BP 3 = 450 BP 2
∴BP= 300 3 经检验，该值是 原方程的解。 又∠ PAC=30 ° ∠PBC=60 ° ∴∠BPA=30 °（三角形外角定理） ∴AB=BP= 300 3 （等角对等边）
例三、计算
1
sin 60 1
0
2
1 tan60
0
1 (2)、cos , 求： 的值 2
Байду номын сангаас(3)、3 tan 4 tan 3 0, 则 ?
2
例题分析：
(1)当锐角Ａ>30０时，cosA的值是（
1 ( A). 小于 2 3 C .小于 2 1 B .大于 2 3 D .大于 2
1 4、若 3 4cos 2 无意义，则 为（ A ）

（a为锐角）
A.30°
B.45°
C.60° D.75°
例1: 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部 的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气 球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果 仰角 保留根号）
B 水平线 30° D
A
60° 俯角
C
解：如图，∠BAD = 30°, ∠CAD= 60°， AD＝120．
在Rt⊿ABD和Rt⊿ACD中
tan 30 0
BD CD , tan 60 0 AD AD

B 30° D 60°
BD 120 tan30 3 120 40 3 3
CD 120 tan60
200
北
E M X
200 60° 300
A
B
东
分层检测
1. 某省将地处A、B两地的两所大学合并成一所综合性 大学，为了A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千 米的A、B两地之间修建一条笔直公路（即图中AB段）， 经测量，在A地的北偏东60°方向、B地的北偏西45° 方向的C处有一个半径为0.7千米的公园,问计划修建的 这条公路会不会穿过公园?为什么?
c os A A的 邻 边 AC b 斜边 AB c
tanA
A的对边 BC a A的邻边 AC b
知识
概要 （七）应用问题中的几个重要概念
1）仰角和俯角
在进行测量时，从下向上看，视线 与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看， 视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线
仰角
C
60°
A●
45°
●B
2、直升飞机在高为200米的大楼AB左侧 P点处，测得大楼的顶部俯角为30°,测得 大楼底部俯角为45°，求飞机与大楼之间 的水平距离.
例、如图,在等腰直角三角形ABC中，
∠C=90°，AC=6，D是
AC上一点， 若tan∠DBA＝1/ 5，
D
C
求AD的长。
A
E
B
点拨：解三角函数题目最关键的是要构造合适的直角三角形，把已知 1 角放在所构造的直角三角形中。本题已知tan∠DBA＝ 5 ，所以可 以过点D作DE⊥AB于E，把∠ DBA放于Rt△DBE中，然后根据正切函数的 定义，即可弄清DE与BE的长度关系，再结合等腰Rt△的性质，此题 就不难解答了。
（二）同角三角函数之间的关系
sin² A+cos² A=1 tanA=sinA/cosA tanAtanB=1 （三）互余两角三角函数之间的关系 sin A= cos（90- A）
知识
概要
（四）三角函数值的变化规律
1）当角度在0---90之间变化时，正弦值（正切值） 随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 2）当角度在0---90之间变化时，余弦值（余切值） 随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
知识
概要
A的对边 斜边
（一）锐角三角函数的概念
sin A=
A的对边 tan A= A的邻边
A的邻边 cos A= 斜边
A的邻边 cot A= A的对边 0＜sin A＜1，0＜cos A＜1
分别叫做锐角 这些函数值之间 ∠A的正弦、 有什么关系？ 余弦、正切、 余切，统称为 锐角∠A的三 角函数.
A
X
B 10
60° 45°
D
10
C
变式四:海中有一个小岛A，它的周围20海里范围内有 暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A 在北偏东45°方向上，航行10海里到达D点，这时测得 小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续 向东航行，有没有触礁的危险？
A
X 45° 30°
60°
B
1 2
3 2
3 3
2 2
2 2
3 2 1 2
0
不存在
1 1
3
3 3
cotα
3
0
知识
概要
填空：比较大小
(1) tan3517
（2） 9 cos
tan 1735
cos 10
sin （3） 68 °
sin 82
知识
概要 （六）解直角三角形
由直角三角形中，除直角外的已知元素，求出所有 未知元素的过程，叫做解直角三角形。 只要知道其中2个元素
（至少要有一个是边）就 若直角三角形ABC中，∠C=90，那么∠A， 可求出其余3个未知数
∠ B， ∠ C，
a,b,c中除∠C=90°外，其余5个元素之间有如下关系：
1）a² =c² +b²
2）∠A+∠B=90
B c A b a C
A的 对 边 BC a s inA 3） 斜边 AB c
)
（2）下列判断中正确的是（）
（A）sin30 °+cos30 °=1 ( C )cos46 °>sin43 °
(B)sin30 °+sin60 °=1 (D)tan40 °<tan50 °
3、在△ABC中，∠C＝90°，则sinA+cosA 的值（ B ）
A.等于1 B.大于1 C.小于1 D.不一定
例题二、“三角函数的特殊公式” 的考查：
(1)、在Rt△ABC中∠C=90 °，下列式子中不 一定成立的是（） （A）cosA=cosB; (B)cosA=sinB (C)sinA=cosB; (D)sin(A+B)=sinC (2) 、利用互为余角的两个角的正弦和余弦
的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大 小． sin10、cos30、sin 50 、cos 70
知识
概要
角度 逐渐 增大
值 1 也 余弦 增 值逐 大 渐减 0 小 正切 值也 随之 余切 增大 不存在 值逐 渐减 小
（五）特殊的三角函数值
角 度
三角函数
0 0 1
正弦值 如何变 化? sinα 余弦值 如何变 化? 正切值 cosα 如何变 化? 余切值 tanα 如何变 化?
正 3 0° 45 ° 6 0° 90 弦
水平线 俯角
视线
2）方向角 • 以正南或正北方向为准，正南或正北方向 线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方 向角.如图所示：
北 30° 东 A 西北 45° 西 O 45° B 南 西 O 45° 西南 南 东南 东 北 东北
3）坡度（坡比）,坡角的概念
在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜 坡的倾斜程度. 如图:坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
A 30° 20 60° B
x
20
C
D
变式一：汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P点，测得A 村的俯角为30°，B村的俯角为60。求A、B两个村庄间 的距离（结果用根号表示）．
Q 60 ° 30 ° X 30° X
图7
P 450
60° B C
A
30 ° 60 ° X