整式的乘除--寒假辅导讲义

＞n).
4、本章中介绍了两种（三个）乘法公式： （1） 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2； （2） 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.
公式：
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
（*）.
这个公式对于解此类多项式乘法的计算题，是非常有效的. 2、根据同底数幂除法的运算性质am÷an=am-n(a≠0, m,n为正整数，并 且m＞n)，当指数相同时，则有an÷an=an-n =a0=1，从而诠释了“任何不等
例1. 计算： 精析与解答： 设，则
例2. 已知：（b、c为整数）是及的公因式，求b、c的值。 分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求
b、c，但比较麻烦。注意到是及的因式。因而也是的因式，所求问题即 可转化为求这个多项式的二次因式。
解：是及的公因式 也是多项式的二次因式 而 b、c为整数 得：
【用分组分解法进行因式分解】
【知识精读】
分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公 式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。 能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多 项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。
【分类解析】
1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（ ）
（3）．已知x2＋x－1＝0，求x3＋2x2＋3的值．
一、选择题：（每小题3分，共18分）
1、下列运算中，正确的是(
)
A.x2·x3=x6 ²= x5
B.(ab)3=a3b3 C.3a式分解的是（
（A）
D.（x³）
）
（B）
（C）
（D）
3、下列各式是完全平方式的是（
整式的乘除法
一、基础知识
1、幂的运算性质包括： （1） 同底数幂的乘法：am·an=am+n(m,n为正整数)； （2） 幂的乘方：(am)n=amn(m,n为正整数)； （3） 积的乘方：(ab)n=an·bn(n为正整数)； （4） 同底数幂的除法：am÷an=am-n(a≠0, m,n为正整数，并且m
于0的数的0次幂都等于1”的道理，同时，又将同底数幂除法的运算性质 中m＞n的条件扩大为m≥n；而当m＜n时，仍然使用am÷an=am-n，则m-n ＜0，便出现了负指数幂a-p= ( a≠0, p为正整数)；至此，同底数幂除法的 运算性质am÷an=am-n的适用范围中，已不必在过分的强调m、n之间的大
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 ⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。 如： 11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所 得的积相加， 即(都是单项式) 注意： ①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。 ②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 ③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 如： 12、多项式与多项式相乘的法则； 多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一 项，再把所的的积相加。 如： 13、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项 公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相 同，另一项互为相反数。右边是相同项的平方减去相反项的平方。如： 14、完全平方公式： 公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是 左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2 倍。 注意：
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。 15、三项式的完全平方公式： 16、单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被 除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果 只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式 如： 17、多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所 的的商相加。 即： 18、因式分解：
例题2.利用平方差公式计算：．
a－2b＋3c－d）（a＋2b－3c－d）
变式练习
2、（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－．
3、已知 ，求xy的值
4、如果a＋b－2a ＋4b ＋5＝0 ，求a、b的值
4.单项式、多项式的乘除运算
（1）（a－b）（2a＋b）（3a2＋b2）；
（2）[（a－b）（a＋b）]2÷（a2－2ab＋b2）－2ab．
2. 已知： 3. 已知：，试求A的表达式。
【用十字相乘法把二次三项式分解因式】
【知识精读】
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数，即把常 数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项（a、b、c都是整数，且）来说，如果存在四个整数 满足，并且，那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数，分 析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉 线的办法来确定。
【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2）（n为正整数）
（3）
【运用公式法进行因式分解】
【知识精读】 把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。 主要有：平方差公式 完全平方公式 立方和、立方差公式 补充：欧拉公式：
特别地：（1）当时，有 （2）当时，欧拉公式变为两数立方和公式。 运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地 掌握公式。但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。 【分类解析】 1. 把分解因式的结果是（ ） A. B. C. D. 分析：。 再利用平方差公式进行分解，最后得到。 2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的 应用 例：已知多项式有一个因式是，求的值。 分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再 用待定系数法即可求出的值。 3. 在几何题中的应用。 例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。 分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以 两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。 题型展示： 例1. 已知：， 求的值。 例2. 已知，求证： 例3. 若，求的值。 【实战模拟】 1. 分解因式： （1） （2）（3） 3. 若是三角形的三条边，求证：
（1） （2） （3）
2. 在多项式，哪些是多项式的因式？
3. 已知多项式有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。 4. 分解因式：
三、例题分析：
1.同底数幂、幂的运算：
例题1.若，则a=
；若，则n=
.
例题2.若，求的值。 例题3.计算
2.积的乘方
例题1. 计算：
3.乘法公式
例题1. 利用平方差公式计算：2009×2007－20082
【分类解析】
1. 在方程、不等式中的应用 例1. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把 这个多项式分解因式。
分析：应当把分成，而对于常数项-2，可能分解成，或者分解成，
由此分为两种情况进行讨论。 2. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为x、y，周长为16cm，且满足，求长方形
的面积。 题型展示 例1. 若能分解为两个一次因式的积，则m的值为（ ）
A. 1 B. -1 C. D. 2 说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解
成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方 法。 例2. 已知：a、b、c为互不相等的数，且满足。求证： 【实战模拟】 1. 分解因式：
此即差的完全平方公式. 在这些变形中，我们能很好的认识到事物在特定条件下可以相互转 化的辩证关系，从而把不同的知识内容统一起来.
二、知识点总结：
1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独 的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系 数，字母指数和叫单项式的次数。 如：的 系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项 式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 如：，项有、、、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分 别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、多项式按字母的升（降）幂排列： 如： 5、同底数幂的乘法法则：（都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项 式。如： 6、幂的乘方法则：（都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如： 幂的乘方法则可以逆用：即如： 7、积的乘方法则：（是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。如：（= 8、同底数幂的除法法则：（都是正整数，且 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如： 9、零指数和负指数； ，即任何不等于零的数的零次方等于1。 （是正整数），即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。 如： 10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字 母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为 积的一个因式。 注意： ①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。 ②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。 ③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
）
A、
B、 C、
D、
4、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（
【用提公因式法把多项式进行因式分解】
【知识精读】 如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个