天津市南开区2017届高三四模数学(理科)试卷及答案(扫描版)
天津市南开区2016-2017学年高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
天津市南开区2016-2017学年高三上学期期末试卷（理科数学）一、选择题：只有选项是正确的．1．复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．已知全集U=R，集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{﹣3，﹣1，1，3，5} C．{﹣1，1，3} D．{﹣1，1，3，5}3．等差数列{an }的前n项和为Sn，a5=11，S12=186，则a8=（）A．18 B．20 C．21 D．224．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．75．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），如果k+与﹣3垂直，那么实数k的值为（）A．﹣19 B．﹣C．D．196．一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．D．7．已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=x C．D．8．下列四个条件中，p是q的充要条件的是（）A．p：a＞b，q：a2＞b2B．p：ax2+by2=c为双曲线，q：ab＜0C．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞0D．p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点二、填空题每题5分，共30分9．某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为．10．设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B= ．12．若tanα=2，则= ．13．已知函数f （x ）=a x （a ＞0且a≠1），其关于y=x 对称的函数为g （x ）．若f （2）=9，则g （）+f （3）的值是 ．14．已知点C 在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于点F ，DC 是∠ACB 的平分线交AE 于点F ，交AB 于点D ，则∠ADF 的度数为 ．三、解答题，本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止．已知一个投手的投篮命中概率为， （Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望．16．函数y=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y 取最大值1，当x=时，y 取最小值﹣1．（Ⅰ）求函数的解析式y=f （x ）（Ⅱ）函数y=sinx 的图象经过怎样的变换可得到y=f （x ）的图象？（Ⅲ）求函数f （x ）的单调递减区间．17．已知数列{a n }满足a 1=9，其前n 项和为S n ，对n ∈N *，n≥2，都有S n =3（S n ﹣1﹣2）（Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）求证：数列{S n +}是等比数列；（Ⅲ）若b n =﹣2log 3a n +20，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．18．已知长方体AC 1中，棱AB=BC=1，棱BB 1=2，连接B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于E ，交B 1C 于F （1）求证：A1C⊥平面EBD ； （2）求点A 到平面A 1B 1C 的距离；（3）求平面A 1B 1C 与直线DE 所成角的正弦值．19．已知圆C ：x 2+y 2=4．（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 相切，求直线l 的方程；（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量=+，求动点Q 的轨迹方程．（Ⅲ） 若点R （1，0），在（Ⅱ）的条件下，求||的最小值．20．已知函数f （x ）=（a+1）lnx+ax 2+1．（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处切线的斜率k=﹣，求实数a 的值；（Ⅱ）讨论函数f （x ）的单调性；（Ⅲ）若xf′（x ）≥x 2+x+1，求a 的取值范围．天津市南开区2016-2017学年高三上学期期末试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：只有选项是正确的．1．复数=（）A．1﹣2i B．1+2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母都进行复数的乘法运算，得到最简结果．【解答】解： =故选B．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，本题解题的关键是正确进行复数的乘除运算，注意运算法则，本题是一个基础题．2．已知全集U=R，集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合为（）A．{x|﹣1≤x≤3}B．{﹣3，﹣1，1，3，5} C．{﹣1，1，3} D．{﹣1，1，3，5} 【分析】根据Venn图表达集合的交集运算，再根据两个集合的交集的意义求解．【解答】解：由Venn图可知，阴影部分所示的集合为M∩N，∵集合M={x|﹣1≤x≤3}和集合N={x|x=2k﹣1，k∈N}，∴M∩N={﹣1，1，3}，故选：C．【点评】本题主要考查了Venn图表达集合的关系及运算，以及集合交集的运算，属于基础题．3．等差数列{an }的前n项和为Sn，a5=11，S12=186，则a8=（）A．18 B．20 C．21 D．22【分析】由数列的性质得a 1+a 12=a 5+a 8又因为×（a 1+a 12）=186所以a 1+a 12=a 5+a 8=31所以a 8=20【解答】解：由数列的性质得a 1+a 12=a 5+a 8 又因为×（a 1+a 12）=186所以a 1+a 12=a 5+a 8=31 因为a 5=11所以a 8=20 故选B ．【点评】本题主要考查数列的性质即若m+n=l+k 则a m +a n =a l +a k ．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1； 当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2； 当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3； 当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k 值为4， 故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5．已知向量=（1，2），=（﹣3，2），如果k+与﹣3垂直，那么实数k的值为（）A．﹣19 B．﹣C．D．19【分析】先求出两个向量的坐标，根据向量垂直的充要条件及数量积公式列出方程解得．【解答】解：，∵k+与﹣3垂直∴=0∴10（k﹣3）﹣4（2k+2）=0解得k=19故选项为D【点评】本题考查两向量垂直的充要条件是：数量积为0．6．一个俯视图为正方形的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．C．D．【分析】几何体为四棱锥，底面正方形的对角线为2，棱锥的高为1，带入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的高为1，棱锥底面正方形的对角线为2，∴棱锥底面正方形的边长为．∴V==．故选C．【点评】本题考查了棱锥的三视图即体积计算，是基础题．7．已知双曲线﹣=1的一个焦点在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．y=x C．D．【分析】确定双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，求出m的值，即可求得双曲线的渐近线方程．【解答】解：由题意，双曲线﹣=1的右焦点为（，0）在圆x2+y2﹣4x﹣5=0上，∴（）2﹣4﹣5=0∴=5∴m=16∴双曲线方程为=1∴双曲线的渐近线方程为故选B．【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．8．下列四个条件中，p是q的充要条件的是（）A．p：a＞b，q：a2＞b2B．p：ax2+by2=c为双曲线，q：ab＜0C．p：ax2+bx+c＞0，q：﹣+a＞0D．p：m＜﹣2或m＞6；q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点【分析】A．a＞b与a2＞b2相互推不出，即可判断出正误；B．p：ax2+by2=c为双曲线，则＜0，可得：ab＜0，反之不一定成立，即可判断出正误；C．p与q相互推不出，即可判断出正误；D．q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，可得△＞0，解出m即可判断出结论．【解答】解：A．a＞b与a2＞b2相互推不出，因此不满足条件；B．p：ax2+by2=c为双曲线，则＜0，可得：ab＜0，⇒q：ab＜0，反之不一定成立，不满足条件；C．p与q相互推不出，因此不满足条件；D．q：y=x2+mx+m+3有两个不同的零点，可得△=m2﹣4（m+3）＞0，解得m＞6或m＜﹣2．∴p是q的充要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的性质、圆锥曲线的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题每题5分，共30分9．某高中共有学生900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样抽取容量为45的样本，那么高二年级抽取的人数为10 ．【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数．【解答】解：根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为=，则在高二年级抽取的人数是200×=10人，故答案为：10．【点评】本题的考点是分层抽样方法，根据样本结构和总体结构保持一致，求出抽样比，再求出在各层中抽取的个体数目．10．设变量x、y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为18 ．【分析】本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然后求出目标函数的最大值．【解答】解：画出可行域，得在直线2x﹣y=2与直线x﹣y=﹣1的交点A（3，4）处，目标函数z最大值为18故答案为18．【点评】本题只是直接考查线性规划问题，是一道较为简单的送分题．近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一，是连接代数和几何的重要方法．随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高，线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视．11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，，则B= ．【分析】根据余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出B即可．【解答】解：由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，且a=1，b=，c=，所以cosB===﹣，得到B为钝角即B∈（，π），所以B=故答案为【点评】考查学生灵活运用余弦定理化简求值的能力，以及会根据特殊角的三角函数值求角的能力．12．若tanα=2，则= ．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，∴==，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．13．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．若f（2）=9，则g（）+f （3）的值是25 ．【分析】根据题意可知f（x）与g（x）化为反函数，再依据f（2）=9求得a值，代值计算即可．【解答】解：函数f（x）=a x（a＞0且a≠1），其关于y=x对称的函数为g（x）．x，则函数f（x）=a x反函数为：y=loga∴g（x）=logx，a又f（2）=9，∴a2=9，∴a=3，x，∴g（x）=log3+33=25，∴g（）+f（3）=）=log3故答案为：25．【点评】本小题主要考查反函数的应用、反函数等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．14．已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于点F，DC是∠AC B的平分线交AE于点F，交AB于点D，则∠ADF的度数为45°．【分析】根据直径上的圆周角是直角、弦切角定理以及三角形内内角和定理等通过角的关系求解．【解答】解：设∠EAC=α，根据弦切角定理，∠ABE=α．根据三角形外角定理，∠AEC=90°+α．根据三角形内角和定理，∠ACE=90°﹣2α．由于CD是∠ACB的内角平分线，所以FCE=45°﹣α．再根据三角形内角和定理，∠CFE=180°﹣（90°+α）﹣（45°﹣α）=45°．根据对顶角定理，∠AFD=45°．由于∠DAF=90°，所以∠ADF=45°．故答案为：45°．【点评】本题的涉及很独到，试题涉及成动态的，即点C是可变的，在这个动态中求解其中的一个不变量．解决这类试题要善于抓住主要的变化关系，如本题中主要的变量就是∠AEC，抓住这个变量后，其余的角可以使用这个变量进行表达，通过各个角的关系证明求解的目标与这个变量没有关系．三、解答题，本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．某篮球队规定，在一轮训练中，每人最多可投篮4次，一旦投中即停止该轮训练，否则一直试投到第四次为止．已知一个投手的投篮命中概率为，（Ⅰ）求该选手投篮3次停止该轮训练的概率；（Ⅱ）求一轮训练中，该选手的实际投篮次数ξ的概率分布和数学期望．【分析】（Ⅰ）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，由相互独立事件乘法概率公式能求出该选手投篮3次停止该轮训练的概率．（Ⅱ）由题意ξ的可能取值为1、2、3、4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（Ⅰ）该选手投篮3次停止该轮训练即第三次投中事件为A，概率为P（A）=（1﹣）2=．由题意ξ的可能取值为1、2、3、4，（5分）P（ξ=1）=，P（ξ=2）=（1﹣）=，P（ξ=3）=（1﹣）2=，P（ξ=4）=（1﹣）3+（1﹣）4=，（11分）∴ξ的分布列为ξ 1 2 3 4PE（ξ）=1×+2×+3×+4×=．（13分）【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．16．函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在同一个周期内，当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．（Ⅰ）求函数的解析式y=f（x）（Ⅱ）函数y=sinx的图象经过怎样的变换可得到y=f（x）的图象？（Ⅲ）求函数f（x）的单调递减区间．【分析】（Ⅰ）通过当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．求出函数的周期，利用最值求出φ，即可求函数的解析式y=f（x）．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律即可得解．（Ⅲ）根据正弦函数的单调区间，即可得到函数的单调区间．【解答】解：（Ⅰ）∵当x=时y取最大值1，当x=时，y取最小值﹣1．∴T==，∴ω=3．﹣﹣﹣﹣（4分）∵sin（π+φ）=1，∴π+φ=2kπ+（k∈Z），即φ=2kπ﹣，又∵|φ|＜，∴可得φ=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴函数 f（x）=sin（3x﹣）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）（Ⅱ）y=sinx的图象向右平移个单位得y=sin（x﹣）的图象再由y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标变为原来的．纵坐标不变，得到y=sin （3x ﹣）的图象，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）令2k≤3x﹣≤2k，（k ∈Z ），求得函数f （x ）的单调递减区间为：[，]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）【点评】本题主要考查了函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了数形结合思想，属于中档题．17．已知数列{a n }满足a 1=9，其前n 项和为S n ，对n ∈N *，n≥2，都有S n =3（S n ﹣1﹣2）（Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）求证：数列{S n +}是等比数列；（Ⅲ）若b n =﹣2log 3a n +20，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．【分析】（Ⅰ）由S n =3（S n ﹣1﹣3），S n+1=3（S n ﹣3），相减可得a n+1=3a n ．利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）利用等比数列的前n 项和公式可得S n ，变形即可得出．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知b n =﹣2log 3a n +20=﹣2n+18，利用等差数列的前n 项和公式，二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）∵S n =3（S n ﹣1﹣3），S n+1=3（S n ﹣3），∴a n+1=3a n ．故{a n }是公比为3，首项为9的等比数列，，（Ⅱ）∵，∴，∴，．故数列是为首项，公比为3的等比数列． （Ⅲ）由（Ⅰ）可知b n =﹣2log 3a n +20=﹣2n+18，∴{b n }是公差为﹣2．首项为16的等差数列．∴，∵b 8＞0，b 9=0，b 10＜0， ∴T 8或T 9最大，最大值为72．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、二次函数的单调性、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．已知长方体AC 1中，棱AB=BC=1，棱BB 1=2，连接B 1C ，过B 点作B 1C 的垂线交CC 1于E ，交B 1C 于F ．（1）求证：A 1C⊥平面EBD ； （2）求点A 到平面A 1B 1C 的距离；（3）求平面A 1B 1C 与直线DE 所成角的正弦值．【分析】（1）以A 为原点，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，然后求出与，然后根据向量的数量积判定垂直关系，A 1C⊥BD，A 1C⊥BE，又BD∩BE=B 满足线面垂直的判定定理所需条件；（2）连接AE 1，A 到平面A 1B 1C 的距离，即三棱锥A ﹣A 1B 1C 的高，根据等体积法可知，求出高即可；（3）连接DF ，根据BE⊥平面A 1B 1C ，可知DF 是DE 在平面A 1B 1C 上的射影，从而∠EDF 是DE 与平面A 1B 1C 所成的角，最后在Rt△FDE 中，求出此角的正弦值即可．【解答】解：（1）证明：以A 为原点，分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，那么A （0，0，0）、B （1，0，0）、C （1，1，0）、D （0，1，0）、A 1（0，0，2）、B 1（1，0，2）、C 1（1，1，2）、D 1（0，1，2），，，…（2分）设E （1，1，z ），则：，，∵BE⊥B 1C∴，，∴，，∵，，∴A 1C⊥BD，A 1C⊥BE，…（4分）又BD∩BE=B∴A 1C⊥平面EBD ．…（5分）（2）连接AE 1，A 到平面A 1B 1C 的距离，即三棱锥A ﹣A 1B 1C 的高，设为h ，…（6分），，由得：，，…（8分）∴点A 到平面A 1B 1C 的距离是．…（9分）（3）连接DF ，∵A 1C⊥BE，B 1C⊥BE，A 1C∩B 1C=C ，∴BE⊥平面A 1B 1C ，∴DF 是DE 在平面A 1B 1C 上的射影，∠EDF 是DE 与平面A 1B 1C 所成的角，…（11分）设F （1，y ，z ），那么，∵∴y﹣2z=0①∵，∴z=2﹣2y②由①、②得，，…（12分）在Rt△FDE 中，．∴，因此，DE 与平面A 1B 1C 所成的角的正弦值是．…（14分）【点评】本题主要考查了用空间向量求直线与平面的夹角，以及点面间的距离计算，属于中档题．19．已知圆C ：x 2+y 2=4．（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 相切，求直线l 的方程；（Ⅱ）过圆C 上一动点M 作平行于y 轴的直线m ，设m 与x 轴的交点为N ，若向量=+，求动点Q 的轨迹方程．（Ⅲ） 若点R （1，0），在（Ⅱ）的条件下，求||的最小值．【分析】（Ⅰ）直线l 过点P （1，2），且与圆C 相切，圆心到此直线的距离=半径，即可求直线l 的方程；（Ⅱ）设出M 及Q 的坐标，根据题意表示出N 的坐标，利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式，用x 与y 分别表示出x 0及y 0，将表示出的x 0及y 0代入圆C 的方程，得到x 与y 的关系式，再根据由已知，直线m∥y 轴，得到x≠0，即可得出Q 的轨迹方程；（Ⅲ）由Q 及R 的坐标，表示出，利用平面向量模的计算法则表示出||2，由圆C 的方程表示出y 2，将y 2代入表示出的||2中，得到关于x 的二次三项式，配方后根据二次函数的性质，可得出||2的最小值，开方即可得出||的最小值，以及此时x 的值．【解答】解：（Ⅰ）显然直线l 不垂直于x 轴，设其方程为y ﹣2=k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k+2=0…（2分）设圆心到此直线的距离为d ，则d==2，得k=0或k=﹣ …（4分） 故所求直线方程为y=2或4x+3y ﹣10=0．…（5分） （Ⅱ）设点M 的坐标为（x 0，y 0），Q 点坐标为（x ，y ），则N 点坐标是（x 0，0），∵=+，∴（x ，y ）=（2x 0，y 0），即x 0=，y 0=y ，又∵x 02+y 02=4，∴+y 2=4，（8分）由已知，直线m∥y 轴，得到x≠0，∴Q 点的轨迹方程是+y 2=4（x≠0）；（9分）（Ⅲ）设Q 坐标为（x ，y ），R （1，0），∴=（x ﹣1，y ），∴||2=（x ﹣1）2+y 2，（10分）又+y 2=4（x≠0），∴||2=（x ﹣1）2+y 2=（x ﹣1）2+4﹣=≥，（12分）∵x∈[﹣4，0）∪（0，4]，∴x=时，||取到最小值．（14分）【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，直线的点斜式方程，动点的轨迹方程，平面向量的数量积运算法则，以及二次函数的性质，利用了数形结合及转化的思想，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处切线的斜率k=﹣，求实数a的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若xf′（x）≥x2+x+1，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（1）=﹣，求出a的值即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，从而求出函数的单调区间；（Ⅲ）分离参数得到a≥，令g（x）=，求出其最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=，f′（1）==﹣，解得：a=﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（Ⅱ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）当a≤﹣1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当﹣1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=，当x∈（0，）时，f′（x）＞0；单调增，x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，单调减﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（Ⅲ）xf′（x）≥x2+x+1，得：a≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）令g（x）=，则g′（x）=，当0＜x＜时，g（x）单调递增，当x＞时，g（x）单调递减，=g=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）所以，g（x）max故a≥﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．。
【天津市南开区】2017年高考模拟数学试卷(附答案与解析)
U AB ð等于（{0,1,2}．已知(3,1)a =，(2,5)b =-，则32a b -=（ ）B ．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）答 案一、选择题.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1~5．ABCBD 6~10．ABABA 11~15．CADDB 16~20．BBACD 21~25．CCBCD 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上. 26．③． 27．36，24． 28．2． 29．1．30．30x +=或34150x y ++=．解析一、选择题.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先由补集的定义求出C U B再利用交集的定义求A∩C U B【解答】解：∵U={0，1，2，3}，B={0，2，3}，∴C U B═{1}，∴A∩C U B={1}，故选A．2．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用函数y=Acos（ωx+φ）的周期为，求得结果．【解答】解：∵y=cos（2x﹣），∴函数y=cos（2x﹣）的最小正周期T==π．故选：B．3．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】由=（3，1），=（﹣2，5），利用平面向量坐标运算法则能求出3﹣2．【解答】解：∵=（3，1），=（﹣2，5），∴3﹣2=（9，3）﹣（﹣4，10）=（13，﹣7）．故选：C．4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用分式的分母平方，复数分母实数化，运算求得结果．【解答】解：====﹣1+i．故选B．5．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据对数函数、指数函数、幂函数和反比例函数的单调性，便可找出在区间（0，+∞）上是减函数的选项．【解答】解：函数在区间（0，+∞）上都是增函数；函数y=x﹣1在（0，+∞）上为减函数．故选D．6．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由题意求出cosα的值，然后求出正切值．【解答】解：∵sinα=，且α为锐角，∴cosα===，∴tanα===．故选：A．7．【考点】程序框图．【分析】通过框图的要求；将第一次循环的结果写出，通过判断框；再将第二次循环的结果写出，通过判断框；输出结果．【解答】解；经过第一次循环得到a=12+2=3经过第一次循环得到a=32+2=11不满足判断框的条件，执行输出11故选B8．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+2y过点O（0，0）时，z最大值即可．【解答】解：作出可行域如图，由z=x+2y知，y=﹣x+z，所以动直线y=﹣x+z的纵截距z取得最小值时，目标函数取得最小值．由得O（0，0）．结合可行域可知当动直线经过点O（0，0）时，目标函数取得最小值z=0+2×0=0．故选：A．9．【考点】二倍角的余弦．【分析】利用二倍角公式把要求的式子化为cos45°，从而可得结果．【解答】解：由二倍角公式可得1﹣2sin222.5°=cos（2×22.5°）=cos45°=，故选B．10．【考点】椭圆的标准方程．【分析】根据椭圆=1的长轴在x轴上，焦距为4，可得10﹣m﹣m+2=4，即可求出m的值．【解答】解：∵椭圆=1的长轴在x轴上，焦距为4，∴10﹣m﹣m+2=4，解得m=4，满足题意．故选：A．11．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的准线方程求解即可．【解答】解：抛物线y=ax2的准线方程为y=1，∴﹣=1，解得a=﹣4，故选：C12．【考点】等比数列的性质．【分析】根据等比数列的性质得到a8等于a5的与q3的积，把已知的a5和a8的值代入即可求出q3的值，然后再利用等比数列的性质得到a11为a8与q3的积，将a8及求出的q3的值代入即可求出值．【解答】解：根据等比数列的性质得：a8=a5q3，由a5=﹣16，a8=8，得到q3==﹣，则a11=a8q3=8×（﹣）=﹣4．故选A13．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用离心率公式，再由双曲线的a，b，c的关系，可得a，b的关系，再由渐近线方程即可得到．【解答】解：由双曲线的离心率为，则e==，即c=a，b===a，由双曲线的渐近线方程为y=x，即有y=x．故选D．14．【考点】等差数列的前n项和．【分析】结合已知条件，利用等差数列的前n项和公式列出关于d的方程，解出d，代入公式，即可求得s6．【解答】解：∵，S4=20，∴S4=2+6d=20，∴d=3，∴S6=3+15d=48．故选D．15．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】首先计算出所以基本事件总数为：C52=10，再计算出这两个数字之和为奇数的取法，进而计算出事件发生的概率．【解答】解：由题意可得：从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字共有不同的取法有：C52=10．则这两个数字之和为奇数的取法有：（1，2），（1，4）．（2，3），（2，5），（3，4），4，5）；共有6中取法．所以这两个数字之和为奇数的概率为：．故选B．16．【考点】斜率的计算公式．【分析】因为过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，所以，两直线的斜率相等．【解答】解：∵直线2x+y﹣1=0的斜率等于﹣2，∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，∴=﹣2，解得，故选B．17．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】先管仔细观察给出几何体的主视图和侧视图便可知该几何体为圆锥，根据圆锥表面积公式的求法便可求出该几何体的全面积．【解答】解：仔细观察几何体的主视图侧视图可知该几何体为圆锥，由图象可知：圆锥的圆心角为60°，圆锥的母线L长为2，半径为1．根据圆锥表面积公式的求法：S=πRL+πRR=π×1×2+π×1×1=3π，故选B．18．【考点】充要条件．【分析】利用不等式的性质得到a＞b+1⇒a＞b；反之，通过举反例判断出a＞b推不出a＞b+1；利用条件的定义判断出选项．【解答】解：a＞b+1⇒a＞b；反之，例如a=2，b=1满足a＞b，但a=b+1即a＞b推不出a＞b+1，故a＞b+1是a＞b成立的充分而不必要的条件．故选：A．19．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，得到的新函数的解析式要在x上减去平移的大小，再用诱导公式得到结果．【解答】解：∵将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，∴解析式为y=cos2（x﹣）=cos（）=sin2x故选C．20．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】A，B，C，写出所有可能，对于D，根据线面垂直的性质，可得a∥b．【解答】解：若a∥b、a∥α，则b∥α或b⊂α，故A错误；如果a⊥l，b⊥l，则a∥b或a，b相交、异面，故B错误；如果a∥α，b⊥a，则b⊥α、相交、平行，都有可能，故C错误；如果a⊥α，b⊥α，根据线面垂直的性质，可得a∥b，故D正确．故选：D．21．【考点】对数的运算性质．【分析】利用对数的运算法则、对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵b=（）﹣0.2=20.2＜21.2=a，∴a＞b＞1．∵c=2log52=log54＜1，∴a＞b＞c．故选：C．22．【考点】几何概型．【分析】本题是几何概型问题，欲求点M在球O内的概率，先由正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的内切球O，求出其体积，再根据几何概型概率公式结合正方体的体积的方法易求解．【解答】解：本题是几何概型问题，设正方体的棱长为：2．正方体ABCD﹣A1B1C1D1内的内切球O的半径是其棱长的一倍，其体积为：V1=π×13=，则点M在球O内的概率是=故选：C．23．【考点】圆的一般方程．【分析】设出圆的圆心与半径，利用已知条件，求出圆的圆心与半径，即可写出圆的方程．【解答】解：圆心在y轴上且过点（3，1）的圆与x轴相切，设圆的圆心（0，r），半径为r．则：=r．解得r=5．所求圆的方程为：x2+（y﹣5）2=25．即x2+y2﹣10y=0．故选：B．24．【考点】直线与平面所成的角．【分析】要求线面角，先寻找斜线在平面上的射影，因此，要寻找平面的垂线，利用已知条件可得．【解答】解：由题意，连接A1C1，交B1D1于点O∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4∴C1O⊥B1D1∴C1O⊥平面DBB1D1在Rt△BOC1中，∴直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为故选C．25．【考点】函数的图象；二次函数的性质．【分析】若函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则函数有正数零点，结合一次函数和二次函数的图象和性质，分类讨论，可得答案．【解答】解：当k=0时，函数f（x）=﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点满足条件；当k≠0时，若函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则函数有正数零点，当k＜0时，函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象开口朝下，且过（0，1）点，此时必有正数零点，当k＞0时，函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象开口朝上，且过（0，1）点，对称轴在y轴右侧，若函数有正数零点，则，解得：a∈（0，]，综上可得：实数k的取值范围为（﹣∞，]，故选：D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上.26．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】根据所给的线性回归方程，当x增加1时，y要增加90元，当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，这里的值是平均增加90元．【解答】解：∵回归直线方程为=60+90x，∴当x增加1时，y要增加90元，∴当劳动效率增加1000元时，工资提高90元，故答案为：③．27．【考点】基本不等式．【分析】利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值即可得出．【解答】解：f′（x）=4﹣==，（x＞0，a＞0）．可知：x=时，函数f（x）取得最小值，∴3=，解得a=36．f（3）=12+=24．故答案为：36，24．28．【考点】余弦定理．【分析】由题设条件知，直接利用余弦定理建立方程求出b即可．【解答】解：由余弦定理可知b2=a2+c2﹣2accosB=22+﹣2×2×2×=4．因为b是三角形的边长，所以b=2．故答案为：2．29．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】通过对函数f（x）求导，根据函数在x=1处有极值，可知f'（1）=0，解得m的值，再验证可得结论．【解答】解：求导函数可得f'（x）=3x2﹣4mx+m2，∴f'（1）=3﹣4m+m2=0，解得m=1，或m=3，当m=1时，f'（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），函数在x=1处取到极小值，符合题意；当m=3时，f'（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3），函数在x=1处取得极大值，不符合题意，∴m=1，故答案为：1．30．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程找出圆心的坐标及半径，由直线被圆截得的弦长，利用垂径定理得到弦的一半，弦心距及圆的半径构成直角三角形，再根据勾股定理求出弦心距，一下分两种情况考虑：若此弦所在直线方程的斜率不存在，显然x=﹣3满足题意；若斜率存在，设出斜率为k，由直线过P点，由P的坐标及设出的k 表示出直线的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线的距离d，让d等于求出的弦心距列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，进而得到所求直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线方程．【解答】解：由圆的方程，得到圆心坐标为（0，0），半径r=5，∵直线被圆截得的弦长为8，∴弦心距==3，若此弦所在的直线方程斜率不存在时，显然x=﹣3满足题意；若此弦所在的直线方程斜率存在，设斜率为k，∴所求直线的方程为y+=k（x+3），∴圆心到所设直线的距离d==3，解得：k=﹣，此时所求方程为y+=﹣（x+3），即3x+4y+15=0，综上，此弦所在直线的方程为x+3=0或3x+4y+15=0．故答案为：x+3=0或3x+4y+15=0。
2017年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)
2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）参考公式：• 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ； • 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；• 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；• 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2017年天津，理1，5分】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =U I （ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,4,6 （D ）{}|15x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】{}[]{}()1,2,4,61,51,2,4A B C =-=U I I ，故选B ．（2）【2017年天津，理2，5分】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（ ）（A ）23 （B ）1 （C ）32（D ）3【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B时取最大值3，故选D ．（3）【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ，7,6,2N N N ===，输出2N =，故选C ．（4）【2017年天津，理4，5分】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】10sin 121262πππθθθ-<⇔<<⇒<，0θ=，1sin 2θ<，不满足1212ππθ-<，所以 是充分不必要条件，故选A ．（5）【2017年天津，理5，5分】已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，离心率为2．若经过F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ）（A ）22144x y -= （B ）22188x y -= （C ）22148x y -= （D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,22188x y a b c a b c ==-⇒===⇒-=-，故选B ．（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）（A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a << 【答案】C 【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，()()5.1 5.122log log a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<， 5.122log 3<<，所以即0.8 5.1202log 3<<<，()()()0.8 5.122log 3g g g <<，所以b a c <<，故选C ． （7）【2017年天津，理7，5分】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=- （D ）13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，理8，5分】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616- （C）[- （D）39[]16-【答案】A【解析】不等式()2x f x a ≥+为()()()*2x f x a f x -≤+≤，当1x ≤时，()*式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又2214732416x x x ⎛⎫-+-=---⎪⎝⎭（14x =时取等号）， 223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤，当1x >，()*式为222x x a x x x --≤+≤+，322222x x x a x x --≤+≤+，又323222x x x x ⎛⎫--=-+≤- ⎪⎝⎭x =号），222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤，综上47216a -≤≤，故选A ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．（9）【2017年天津，理9，5分】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i2ia -+为实数，则a 的值为 ．【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则20,25a a +==-．（10）【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】92π【解析】设正方体边长为a ，则226183a a =⇒=，外接球直径为34427923,πππ3382R V R ====⨯=．（11）【2017年天津，理11，5分】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 ． 【答案】2【解析】直线为210y ++= ，圆为22(1)1x y +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点．（12）【2017年天津，理12，5分】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ．【答案】4【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥ ，当且仅当2,1a b ==时取等号．（13）【2017年天津，理13，5分】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为 ． 【答案】311【解析】32cos603AB AC ⋅=⨯⨯︒=u u u r u u u r ，1233AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则()1233AD AE AB AC AC AB λ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r212334934333311λλλ=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=． （14）【2017年天津，理14，5分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答） 【答案】1080【解析】413454541080A C C A +=． 三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2017年天津，理15，13分】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin(2)4A +的值．解：（1）在ABC △中，a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理，2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin a B A b =所以b sin A ．（2）由（1）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-．故πππsin(2)sin 2cos cos2sin 444A A A +=+=．（16）【2017年天津，理16，13分】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234．（1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=， 1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=． 所以，随机变量X 的分布列为X1 2 3 P141124 14 124随机变量X 的数学期望()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=． 所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148．（17）【2017年天津，理17，13分】如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D E N ，，分别为棱PA PC BC ，，的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =． （1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值；（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7，求线段AH 的长．解：如图，以A 为原点，分别以AB u u u r ，AC u u u r，AP u u u r 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,4,0C ，()0,0,4P ，()0,0,2D ，()0,2,2E ，()0,0,1M ，()1,2,0N ．（1）()0,2,0DE =u u u r ，()2,0,2DB =-u u u r ．设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rn n ， 即20220y x z =⎧⎨-=⎩．不妨设1z =，可得(1,0,1)=n ．又()1,2,1MN =-u u u u r ，可得0MN ⋅=u u u u r n ．因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ．（2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量．设2(,,)x y z =n 为平面EMN 的法向量，则220EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u rn n ， 因为(0,2,1)EM =--u u u u r ，(1,2,1)MN =-u u u u r ，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩．不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n ．因此有121212cos ,|||21⋅<>==-n n n n |n n ，于是12105sin ,<>=n n ．二面角C EM N --的正弦值为105． （3）依题意，设AH h =（04h ≤≤），则()0,0,H h ，进而可得(1,2,)NH h =--u u u u r ，(2,2,2)BE =-u u u r．由已知，得2||7|cos ,|||||523NH BE NH BE NH BE h ⋅<>===+⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r ，整理得2102180h h -+=，解得85h =，或12h =．所以，线段AH 的长为85或12．（18）【2017年天津，理18，13分】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和()n *∈N ．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =．所以，2n n b =．由3412b a a =-，可得138d a -=①． 由114=11S b ，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-． 所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2n n b =．（2）设数列{}221n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，1214n n b --=，有221(31)4n n n a b n -=-⨯，故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23414245484(31)4n n T n +=⨯+⨯+⨯++-⨯L ，上述两式相减，得231324343434(31)4nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L 112(14)4(31)414n n n +⨯-=---⨯-1(32)48n n +=--⨯-得1328433n n n T +-=⨯+．所以，数列{}221n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+．（19）【2017年天津，理19，14分】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12．（1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆AP 的方程； 解：（1）设F 的坐标为(),0c -．依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，22234b a c =-=．所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24y x =．（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-．将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60m y my ++=，解得0y =，或2634m y m -=+． 由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭．由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为 22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+．所以2222236||13232m m AD m m -=-=++．又因为APD ∆，故221622||32m m m ⨯⨯=+23|20m m -+=，||m =，m =AP 的方程为330x +-=，或330x --=．（20）【2017年天津，理20，14分】设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间()1,2内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数．（1）求()g x 的单调区间；（2）设00[1,)(,2]m x x ∈U ，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <； （3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q ∈U 满足041||p x q Aq-≥． 解：（1）由432()2336f x x x x x a =+--+，可得32()()8966g x f x x x x '==+--，可得2()24186g x x x '=+-．令()0g x '=，解得1x =-，或1x =．当x 变化时，()(),g x g x '的变化情况如下表：所以，()g x 的单调递增区间是(),1-∞-，1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，000()()()()h x g x m x f m =--．令函数10()()()()H x g x x x f x =--，则10()()()H x g x x x ''=-．由（1）知，当[1,2]x ∈时，()0g x '>，故当0[1,)x x ∈时，1()0H x '<，1()H x 单调递减；当0(,2]x x ∈时，1()0H x '>，1()H x 单调递增． 因此，当00[1,)(,2]x x x ∈U 时，1100()()()0H x H x f x >=-=，可得1()0H m >，()0h m >．令函数200()()()()H x g x x x f x =--，则20()()()H x g x g x ''=-．由（1）知，()g x 在[1,2]上单调递增， 故当0[1,)x x ∈时，2()0H x '>，2()H x 单调递增；当0(,2]x x ∈时，2()0H x '<，2()H x 单调递减． 因此，当00[1,)(,2]x x x ∈U 时，220()()0H x H x <=，可得2()0H m <，0()0h x <． 所以，0()()0h m h x <．（3）对于任意的正整数p ，q ，且00[1)(,],2p x x q ∈U ，令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--．由（2）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点；当0(,2]m x ∈时()h x 在区间0(),x m 内有零点．所以()h x 在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为1x ，则110()()()()0p ph g x f q x qx =--=．由（1）知()g x 在[1,2]上单调递增，故10()()12()g x g g <<<，于是432234041()|()||2336|||||()()(2)2p p f f p p p q p q pq aq q q x q g x g g q +--+-=≥=．因为当[12],x ∈时，()0g x >， 故()f x 在[1,2]上单调递增，所以()f x 在区间[1,2]上除0x 外没有其他的零点，而0p x q ≠，故()0pf q≠．又因为p ，q ，a 均为整数，所以432234|2336|p p q p q pq aq +--+是正整数，从而432234|2336|1p p q p q pq aq +--+≥．041|2|()p x q g q -≥．只要取()2A g =，就有041||p x q Aq -≥．。
2017年高三天津市南开中学数学(理)试卷
天津市南开中学2018届高三第一次月考数学试卷（理科） 1-5 7.8 15-19一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知全集}5,4,3,2,1,0{=U ，集合}5,3,2,1{=A ，}4,2{=B 则B A C U ⋃)(为（ ）.A.}4,2,1{B.}4{C.}4,2,0{D.}4,32,0{，2. 设R x ∈，则”“12<-x 是”“022>-+x x 的（ ）条件. A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要3. 设π2log =a ，π21log =b ，2-=πc ，则（ ）.A.c a b >>B.c b a >>C.b c a >>D.a b c >> 4. 在下列区间中34)(-+=x e x f x 的零点所在区间为（ ）.A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,41 B.⎪⎭⎫ ⎝⎛410， C.⎪⎭⎫ ⎝⎛2141， D.⎪⎭⎫⎝⎛4321， 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=,则)(x f 是（ ）.A.奇函数，且在()10，上是增函数 B.奇函数，且在()10，上是减函数 C.偶函数，且在()10，上是增函数 D.偶函数，且在()10，上是减函数 6. 已知函数x x x f 2ln )(+=，若2)4(2<-x f ,则实数x 的取值范围是（ ）.A.)2,2(-B.)5,2(C.)2,5(--D.)2,5(--)52(，⋃ 7. 若)53(log 231+-=ax x y 在[)+∞-,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）.A.)6,(--∞B.)0,6(-C.]6,8(--D.[]6,8--8.已知)(x f 为偶函数，当0≥x 时，)0)(12()(>--=m x m x f ，若函数))((x f f 恰有4个零点，则m 的取值范围是（ ）.A.)3,1(B.)1,0(C.],1(+∞D.[]∞+，3二、填空题（每小题5分，共30分）9. 已知复数i z -=1，则=-22z z .10. 不等式2)1(52≥-+x x 的解集是 . 11. 已知曲线x x y ln 342-=的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为 . 12. 函数2x y =与函数x y 2=的图象所谓封闭图形的面积是 . 13. 函数3()12f x x x =-在区间[]3,3-的最小值是 .14. 若函数a x a x x x f --+=)2(2)(2在区间[)1,3-上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（共80分）15. 在锐角△ABC 中，c b a 、、分别为角C B A 、、所对应的边，且A c a sin 23= （1）确定角C 的大小； （2）若7=c ，且△ABC 的面积为233，求b a +的值.16. 某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为525354，，，且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在选拔中回答问题的个数记为X ,求随机变量X 的分布列与数学期望.17. 某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.（1）设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”求事件A 发生的概率. （2）设X 为事件“选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值”求事件X 发生的概率.18. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 底面ABC ,1=AB ,31==AA AC ,︒=∠60ABC . （1）证明C A AB 1⊥;（2）求异面直线1AB 和1BC 所成角的余弦值; （3）求二面角B C A A --1的平面角的余弦值.19. 已知3=x 是函数x x x a x f 10)1ln()(2-++=的一个极值点. （1）求a ；（2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若直线b y =与函数)(x f y =的图象有3个交点，求b 的取值范围.20. 设函数.21ln )(2bx ax x x f --= （1）当2,3==b a 时，求函数)(x f 的单调区间； （2）令),30(21)()(2≤<+++=x xabx ax x f x F 其图象上任意一点),(00y x P 处切线的斜率81≤k 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0==b a 时，令,)(,1)()(mx x G xx f x H =-=若)(x H 与)(x G 的图象有两个交点),(11y x A ,),(22y x B ,求证：.2221e x x >AC1C 1A 1B B参考答案1-4 CACC 5-8 ADCB 9.i +1 10.]3,1()1,21[ - 11.2 12.3413.16- 14.)2,6(-15.解：（1）根据正弦定理，2sin c A =2sin sin A C A =，于是sin 2C =，由于是锐角三角形，故3C p =（2）()22222cos 3c a b ab C a bab =+-=+-，()262sin 737373725sin sin s ab C a b ab C C +=+=+=+==，故5a b +=。
2017届天津市南开中学高三第四次月考理科数学试题及答案
天津市南开中学2017届高三第四次月考数学（理）试题I 卷一、选择题（每小题有且只有1个选项符合题意，将正确的选项涂在答题卡上，每小题5分，共40分．）1. 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25731v t t t=-++（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是( ).A. 125ln5+B. 11825ln 3+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+2. 若921x ax ⎛⎫- ⎪⎝⎭()a R ∈的展开式中9x 的系数是212-，则0sin a xdx ⎰的值为 ( ). A. 1cos 2-B. 2cos1-C. cos 21-D. 1cos 2+3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项123a =-，且满足12n n nS a S ++=()2n ≥，则2015S 等于 ( ). A. 20132014- B. 20142015- C. 20152016- D. 20162017-4. 若[]0,απ∈，,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，R λ∈，且3cos 202πααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，34sin cos 0βββλ++=，则cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为 ( ).A. 0B. 12C.25. 关于x 的方程320x ax bx c +++=的三个实数根可作为一个椭圆、一个双曲线、一个抛物线的离心率，则11b a -+的取值范围是 ( ).A. ()2,0-B. ()0,2C. ()1,0-D.()0,16. 如图，在ABC ∆中，2CM MB =，过点M的直线分别交射线,AB AC 于不同的两点,P Q ，若AP mAB = ，AQ nAC =，则()1m n +的最小值为( ).A.C.6 D. 27. 函数()[]()()1|1|,0,212,2,2x x f x f x x ⎧--∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则下列命题中正确命题的个数是 ( ).①函数()()ln 1y f x x =-+有3个零点；②若0x >时，函数()k f x x≤恒成立，则实数k 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭； ③函数()f x 的极大值中一定存在最小值； ④()()22k f x f x k =+ ()k N ∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立.A. 1B. 2C. 3D.4 8. 已知不等式()2227a b m m ++>-对任意正数,a b 都成立，则实数m 的取值范围是 ( ). A.()3,2- B. ()2,3- C. ()1,2- D. ()1,4-II 卷( 将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效．) 二、 填空题：(每小题5分，共30分．) 9. 已知复数2i z =+（i 是虚数单位），则13i z+的虚部为__________.10. 在平面直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C ：2sin 8cos ρθθ=与直线l：12,2,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）相交于,P Q 两点，则||PQ = __________. 11. 如图，已知PA 与O 相切，A 为切点，过点P 的割线交O于,B C 两点，弦//CD AP ，,AD BC 相交于点E ，点F 为CE 上一点，且P EDF ∠=∠，若:3:2CE BE =，3DE =，2EF =， 则PA = __________. 12.已知实数,x y 满足1,1,5,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，x yz a b =+()0a b ≥>的最大值为1，则a b +的最小值为 __________.13. 已知定义域是R 的偶函数()f x 在[)0,+∞上单调递增，若1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()()271log 7log 2f x a f x +⋅≤-恒成立，则实数a 的取值范围是 __________. 14. 已知函数()2,01,02x kx x f x x +≥⎧⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩，若函数()32y f f x =-⎡⎤⎣⎦有且只有3个零点，则实数k 的取值范围是 __________.三、解答题：(15—18每小题13分，19—20每小题14分，共80分．)15. 设()4sin sin cos 63f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； (Ⅱ)若锐角ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()f A =，2a =，b =C 及边c .16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观.在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A 区，3个场馆分布在B 区，3个场馆分布在C 区．已知A 区的每个场馆的排队时间为2小时，B 区和C 区的每个场馆的排队时间为1小时. 参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观.(Ⅰ)求小红每个区都参观1个场馆的概率；(Ⅱ) 设小红排队时间总和为X （小时），求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．17. 如图:已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N 垂直,直角梯形1ABB N 中AN //1BB ,AB AN ⊥，2CB BA AN ===,14BB =.（Ⅰ）求证：BN11C B N ⊥平面；（Ⅱ）求二面角11C C N B --的正弦值；（Ⅲ）在BC 边上找一点P ，使1B P CN 与,并求线段1B P 的长.18. 已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且110a =，215a =． (Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅲ)设n S =11a +21a +…+na 1，如果对任意的正整数n ，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围．19.已知抛物线2y =的焦点为椭圆22221x y a b+=()0a b >>的右焦点,且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A ，B . 经过椭圆左焦点的直线l 与椭圆交于C 、D 两点. （Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，且12||2SS -=，求直线l 的方程；（Ⅲ）若()()1122,,,M x y N x y 是椭圆上的两动点，且满足022121=+y y x x ，动点P 满足2OP OM ON =+（其中O 为坐标原点），求动点P 的轨迹方程.20. 设函数()1e x f x -=-． （Ⅰ）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+； （Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求实数a 的取值范围．天津南开中学2017届高三理科数学第四次月考试卷参考答案 一、选择题：二、填空题：三、解答题：21. 15. 设()4sin sin cos63f x xx x ππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； (Ⅱ)若锐角ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,,a b c 且()f A =2a =，b =C 及边c .解：(Ⅰ)()4sin sin cos 6311sin sin cos cos sin 22sin cos 4f x x x x x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎛⎫=++--+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ∴()f x 的最小正周期2T π=. 由322242k xk πππππ+≤+≤+()k Z ∈解得52244k x k ππππ+≤≤+()k Z ∈，故()f x 的单调递减区间是52,244k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈.(Ⅱ) ∵在锐角ABC ∆中，()f A =，∴4A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 14A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.由02A π≤≤，得4A π=.∵2a =，b =sin sin a bA B =，得sin sin b A B a ==.由02B π≤≤，得3B π=.故54312C A B πππππ=--=--=.由余弦定理，22252cos 4622cos104124c a b ab C π=+-=+-⋅=-=+ 故1c =.22. 16. 在上海世博会期间，小红计划对事先选定的10个场馆进行参观.在她选定的10个场馆中，有4个场馆分布在A 区，3个场馆分布在B 区，3个场馆分布在C 区．已知A 区的每个场馆的排队时间为2小时，B 区和C 区的每个场馆的排队时间为1小时. 参观前小红因事只能从这10个场馆中随机选定3个场馆进行参观.(Ⅰ)求小红每个区都参观1个场馆的概率；(Ⅱ) 设小红排队时间总和为X （小时），求随机变量X 的分布列和数学期望()E X ．解：(Ⅰ)从10个场馆中选三个，基本事件的总数为310120C =个，小红每个区都参观一个场馆的事件包含的基本事件数为11143336C C C =，故小红每个区都参观1个场馆的概率为36312010=. （Ⅱ）X 的取值可能是3,4,5,6，分别对应没有事件参观A 区场馆，参观一个A 区场馆，参观两个A 区场馆，参观三个A 区场馆，3123333102C 21(3)C 6C C P X +===， 1246310C C 1(4)C 2P X ===， 2146310C C 3(5)C 10P X ===， 34310C 1(6)C 30P X ===．所以X 的分布列为：()34566210305E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．23. 17. 如图:已知矩形11BB C C 所在平面与底面1ABB N 垂直,直角梯形1ABB N 中 24. AN //1BB ,AB AN⊥，25.2CB BA AN ===,14BB =.（Ⅰ）求证：BN11C B N ⊥平面；26. （Ⅱ）求二面角11C C N B --的正弦值；27. （Ⅲ）在BC 边上找一点P ，使1B P CN 与所成角的余弦值为51,并求线段1B P 的长. （Ⅰ）证明 矩形11BBCC 所在平面与底面1ABB N垂直，则1CB ABB N ⊥底面AN //1BB ,AB AN⊥，则1AB BB ⊥()()()()112,2,00,4,20,4,00,0,2N C B C ，，,1440B N BN ⋅=-=,则11B N BN BN ⊥⊥，且1111B N B C B = ，则11BN C B N ⊥平面.（Ⅱ）()11,,C B N m x y z =设平面法向量为，(2,2,0)BN = ∴设2BN m = ,则求得(1,1,0)m = .设二面角11C C N B --的平面角为θ，()1,,C CN n x y z =设平面法向量为，则1CC 0,C 0n n N ⋅=⋅= ，由00y x z =⎧⎨-=⎩.得(1,0,1)n =||1cos 2||||m n m n θ⋅==，sin θ∴=.（Ⅲ）设),0,0(a P 为BC 上一点，则1(0,4,)B P a =- ，(2,2,2)CN =-11B P CN B P CN⋅=⋅ ，则217160a a -+=,解得1a =. ∴(0,0,1)P ，则线段1B P的长度为.28. 18. 已知正项数列{}n a ，{}n b 满足：对任意正整数n ，都有n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列，且110a =，215a =．(Ⅰ)求证：数列是等差数列；(Ⅱ)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (Ⅲ)设n S =11a +21a +…+na 1，如果对任意的正整数n ，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实数a 的取值范围．解：（Ⅰ）由已知得11121122+-+++⋅+⋅=⇒⎩⎨⎧⋅=+=n n n n n n n n n n n b b b b b b b a a a b ，即112+-+=n n n b b b ，由2b 1=a 1+a 2=25，得b 1=252， 由a 22=b 1b 2，得b 2=18，∴{nb }是以225为首项，22为公差的等差数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知()422+=n b n ， ∴()242n n b +=，()()243++=n n a n ．（Ⅲ）由（Ⅱ）知()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=413124321n n n n a n ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=41412n S n 原式化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 即f (n )=()()086312<--+-n a n a 恒成立， 当a –1＞0即a ＞1时，不合题意； 当a –1=0即a=1时，满足题意；当a –1＜0即a ＜1时，f (n )的对称轴为()()01223<---=a a x ，f (n )单调递减，∴只需f (1)=4a –15＜0Þ a ＜415，∴a ＜1；综上，a ≤1． 29.19.已知抛物线2y =的焦点为椭圆22221x y a b+=()0a b >>的右焦点,且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A ，B . 经过椭圆左焦点的直线l 与椭圆交于C 、D 两点. （Ⅰ）求椭圆标准方程；（Ⅱ）记ABD ∆与ABC ∆的面积分别为1S 和2S ，且12||2SS -=，求直线l 的方程；（Ⅲ）若()()1122,,,M x y N x y 是椭圆上的两动点，且满足022121=+y y x x ，动点P 满足2OP OM ON =+（其中O 为坐标原点），求动点P 的轨迹方程.解：（Ⅰ）由题设可知：因为抛物线2y =的焦点为，所以椭圆中的c =又由椭圆的长轴为4得2,a = 故2222b a c =-=故椭圆的标准方程为：22142x y +=（Ⅱ） 方法一：设直线:l 2-=my x ，代入椭圆方程得()0222222=--+my y m，设()()2211,,y x D y x C ，()()0,20,2B A -222221+=+m my y 于是2121212421y y y y S S +⨯=-⨯⨯=-=222222=+⨯m m所以2±=m故直线l 的方程为022=+±y x方法二：当直线l 斜率不存在时,直线方程为2-=x ，此时,ABD ABC ∆∆面积相等，12||0S S -=当直线l 斜率存在（显然0k ≠）时,设直线方程为)0)(2(≠+=k x k y设1122(,),(,)C x y D x y和椭圆方程联立得到⎪⎩⎪⎨⎧+==+)2(12422x k y y x ,消掉y 得 04424)21(2222=-+++k x k x k显然0∆>，方程有根，且22212124k k x x +-=+此时122121|||2||||||2||S S y y y y -=-=+=|)2()2(|221+++x k x k=22121||22|22)(|2kk k x x k +=++ 因为0k ≠,上式221||222=+k k ， 解得22±=k ， 所以直线方程为022=+±y x .（Ⅲ）设1122(,),(,),(,)p P P x y M x y N x y ，由2OP OM ON =+可得： 12122.............2P P x x x y y y =+⎧⎨=+⎩①022121=+y y x x ②,M N 是椭圆上的点，故2222112224,24x y x y +=+=由①②可得：222212122(2)2((2)p p x y x x y y +=+++22221122(2)4(2)x y x y =+++故22220P Px y +=，即点P 的轨迹方程是2212010P Px y +=.30. 20. 设函数()1e x f x -=-． 31. （Ⅰ）证明：当1x >-时，()1xf x x ≥+；（Ⅱ）设当0x ≥时，()1xf x ax ≤+，求实数a 的取值范围． （Ⅰ）证明：注意到1x >-时，10x +>， 于是有()1x f x x ≥+，即11e 1e e e 1111x x x x x x x x x x ----≥⇔-≥⇔≥⇔≥++++. 令()()e 1x g x x =-+，()1 x ∈-+∞，．()e 1x g x '=-，令()0g x '=，得0x =． 当x 变化时，()()g x g x '，的变化情况如下表：可见()g x 在(]1 0-，上单调递减，在[)0 +∞，上单调递增，所以当1x >-时，()()0min 0e 100g g ==-+=，故当1x >-时，()()00g x g ≥=，即e 1x x ≥+，从而()1xf x x ≥+，且当且仅当0x =时等号成立． 32. （Ⅱ）解：由0x ≥时，011x xe ax -≥-≤+恒成立，故0a ≥. 设()+e 11x xh x ax -=-+，[)0 x ∈+∞，，则()()()2211ee 11xxax axh x ax ax --+-'=-=-++()()22e e 11xx ax ax -⎡⎤=-+⎣⎦+． 设()()2e 1x k x ax =-+，[)0 x ∈+∞，，则()()2e 21e 22x x k x a ax a x a '=-+=--.()012k a '=- 当120a -≥，即102a ≤≤时，()22x k x e a ''=-，0x ≥时，1xe≥，2122a ≤，故()0k x ''≥.所以()k x '单调递增，()()00k x k ''≥=，故()k x 单调递增，()()00k x k ≥=恒成立，符合题意.当120a -<，即12a >时，存在0δ>，()0,x δ∈时，()0k x '<，()k x 单调递减， ()()00k x k <=，与()0k x ≥恒成立矛盾.综合上述得实数a 的取值范围是10 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．。
天津市南开区2017届高三毕业班联考数学(理)试题Word版含答案 (2)
天津市南开区2017届高三毕业班联考数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷 选择题 (共40分)注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目填涂在答题卡规定的位置上． 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；参考公式：·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+∙柱体的体积公式Sh V=. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1.已知集合{}24M x x =|>,{}3N x x =|1<<，则R N C M = （ ）A. {}1x x |-2≤<B.{}2x x |-2≤≤C. {}2x x |1<≤D.{}2x x |<2.设变量,x y 满足线性约束条件50,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则目标函数24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．2-C ．4D ．63.阅读右边程序框图，当输入x 的值为2时，运行相应程序，则输出x 的值为（ ） A ．5 B ．11 C ．23 D ． 474.下列命题中真命题的个数是（ ） ①若q p ∧是假命题，则,p q 都是假命题；②命题“01,23≤+-∈∀x x R x ”的否定是“32000,10x R x x ∃∈-+>”； ③若,11:,1:<≤xq x p 则p ⌝是q 的充分不必要条件. A ．0B ．1C ．2D ．35. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足1590a a +=.若(1)mx -展开式中2x 项的系数等于数列{}n a 的第三项，则m 的值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．106.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c .若sin 2sinB A =，4,3c C π==，则ABC ∆的面积为（ ）A ．83B ．163C ．3D ．37.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈，()()22log 22f a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[2,)+∞8．已知函数()1,0,,0,x e m x f x ax b x ⎧+-≥=⎨+<⎩其中1m <-，对于任意1x R ∈且10x ≠，均存在唯一实数2x ，使得()()21f x f x =，且12x x ≠，若()()f x f m =有4个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ． ()1,0-C ．()()2,11,0---D ． ()2,1--第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上. 9．i 为虚数单位，则复数243ii--的模为 . 10. 向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为 .11. 已知直线l 的参数方程为4x ty t=⎧⎨=+⎩ （t 为参数），圆C的极坐标方程为)4πρθ=+ ，则圆上的点到直线l 的最大距离为 .12. 一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为 3m .13. 设抛物线22y px = （0p >）的焦点为F ，准线为l .过焦点的直线分别交抛物线于,A B 两点，分别过,A B 作l正视图的垂线，垂足C,D .若2AF BF =，且三角形CDFp 的值为 . 14.如图，直角梯形ABCD 中，AB ∥,CD AB AD ⊥，222AB CD AD ===.在等腰直角三角形CDE 中，090C ∠=，点,N M 分别为线段,BC CE 上的动点，若52AM AN ⋅= ，则MD DN ⋅的取值范围是 .三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在区间[]0π-，上的最值.16．（本小题满分13分）某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为12．现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品． （Ⅰ）随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A ，求事件A 的概率； （Ⅱ）随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列及数学期望EX .ACBDE17．（本小题满分13分）如图，已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE AF ∥ ，AB AF ⊥，122AB BE AF ===，3CBA π∠=，P 为DF 的中点.（Ⅰ）求证：PE ∥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角D EF A －－的余弦值；（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点，AG AD λ= ， 若直线FG 与平面ABEFAG的长.18．（本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比1q >，且2031=+a a ，82=a ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设nn a n b =，n S 是数列{}n b 的前n 项和，对任意正整数n 不等式a n S nn n ⋅->++)1(21恒成立，求实数a 的取值范围.19．（本小题满分14分）已知椭圆:E 22221x y a b+=的焦点在x 轴上，椭圆E 的左顶点为A ，斜率为(0)k k >的直线交椭圆E 于,A B 两点，点C 在椭圆E 上，AB AC ⊥，直线AC 交y 轴于点D ． （Ⅰ）当点B 为椭圆的上顶点，ABD ∆的面积为2ab 时，求椭圆的离心率；（Ⅱ）当b AB AC ==时，求k 的取值范围．EP EDEC DB AA C20．（本小题满分14分）设函数()2ln f x x a x =-，()g x =()2a x -.（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点12,x x .(1)求满足条件的最小正整数a 的值；(2)天津市南开区2017届高三毕业班联考数学（理）试题参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分二、填空题: 每小题5分，共30分.10.18；11.12.1；13.3 ；14. 512⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，. 三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）………2分………4分得()f x 的定义域为(){}|24x x k k Z ππ≠+∈ ………6分 （k Z ∈占1分 ）故()f x 的最小正周期为……7分 （Ⅱ）0x π-≤≤ 23266x πππ∴-≤-≤- ……8分2,,()26326x x f x πππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈--∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即，单调递减……9分 0,()26266x x f x ππππ⎡⎤⎡⎤∴-∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，-,即，单调递增……10分min ()()6f x f π∴=-=……11分而3(0)()2f f π∴=-=- ……12分max ()(0)f x f ∴==……13分 （注：结果正确，但没写单调区间扣2分）16．（本小题满分13分）解：(Ⅰ) 3343101239(A)1()2240C P C =-⋅=所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为239240. ……5分 （Ⅱ）由题可知X 可能取值为0,1,2,3. w 。
2017-2018年天津市南开中学高三(下)第四次月考数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题（共8小题；共40分）1．（5分）集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，+∞）B．{﹣2，﹣1，1，2}C．{﹣2，﹣1}D．{1，2}2．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14B．15C．16D．173．（5分）已知p，q是简单命题，那么“p∧q是真命题”是“￢p是真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，则△ABC的面积为（）A．3B．C．D．35．（5分）设变量x，y满足不等式，则x2+y2的最小值是（）A．B．C．D．26．（5分）设实数a，b，c分别满足2a3+a＝2，b log2b＝1，c log5c＝1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b7．（5分）已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：＝1（b＞a＞0）上有的一点P（，m），（m＞0），点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形P AOB的面积为1，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．8．（5分）定义在（﹣1，1]上的函数f（x）满足f（x）+1＝，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m+1在（﹣1，1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，）C．（，）D．（，）二、填空题（共6小题；共30分）9．（5分）设复数z＝，则z的虚部是．10．（5分）（x﹣）（2x+）5的展开式中，常数项为．11．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的极坐标方程为ρ＝2 sin（θ+），则圆上的点到直线l的最大距离为．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．13．（5分）已知圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝9的圆心在第一象限，直线l：x+2y+2＝0与圆C相交的弦长为4，则的最小值为．14．（5分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD＝2，＝，动点E 和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为．三、解答题（共6小题；共80分）15．（13分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛．种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（1）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？（2）求M获胜场数X的分布列和数学期望．16．（13分）已知函数f（x）＝cos sin（+）﹣+（1）求f（x）在区间[0，π]内的单调区间；（2）若f（x0）＝，x0∈[0，]，求sin x0的值．17．（13分）如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝AF＝2，∠CBA＝，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求二面角D﹣EF﹣A的余弦值；（3）设G为线段AD上一点，＝λ，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，＝6S n+9n+1，n∈N*，各项均为正数的等比数列{b n}满足b1＝a1，b3＝a2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若∁n＝（3n﹣2）•b n，数列{∁n}的前n项和T n；①求T n；②若对任意n≥2，n∈N*，均有（T n﹣5）m≥6n2﹣31n+35恒成立，求实数m的取值范围．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y＝1与椭圆C的两交点间的距离为8．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设R（x0，y0）是椭圆C上的一动点，由原点O向圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝4引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为k1，k2，求证：k1•k2为定值；（3）在（2）的条件下，试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2+b，g（x）＝alnx．（1）若f（x）在x∈[﹣]上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）＝，对任意给定的正实数a，曲线y＝F（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．2017-2018学年天津市南开中学高三（下）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题；共40分）1．（5分）集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则（∁R A）∩B＝（）A．（0，+∞）B．{﹣2，﹣1，1，2}C．{﹣2，﹣1}D．{1，2}【解答】解：集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣2，﹣1，1，2}，则∁R A＝{x|x≤0}，所以（∁R A）∩B＝{﹣2，﹣1}．故选：C．2．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（）A．14B．15C．16D．17【解答】解：第一次循环：，n＝2；第二次循环：，n＝3；第三次循环：，n＝4；…第n次循环：＝，n＝n+1令解得n＞15∴输出的结果是n+1＝16故选：C．3．（5分）已知p，q是简单命题，那么“p∧q是真命题”是“￢p是真命题”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：p，q是简单命题，那么“p∧q是真命题”说明p．q都是真命题，推不出￢p 是真命题，反之￢p是真命题则p是假命题，则p∧q是假命题，所以“p∧q是真命题”是“￢p是真命题”既不充分也不必要条件．故选：D．4．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c2＝（a﹣b）2+6，C＝，则△ABC的面积为（）A．3B．C．D．3【解答】解：∵c2＝（a﹣b）2+6，∴c2＝a2﹣2ab+b2+6，即a2+b2﹣c2＝2ab﹣6，∵C＝，∴cos＝＝＝，解得ab＝6，则三角形的面积S＝ab sin C＝＝，故选：C．5．（5分）设变量x，y满足不等式，则x2+y2的最小值是（）A．B．C．D．2【解答】解：由变量x，y满足不等式作出可行域如图，x2+y2的几何意义为可行域内的动点与坐标原点距离的平方，则其最小值为（）2＝．故选：B．6．（5分）设实数a，b，c分别满足2a3+a＝2，b log2b＝1，c log5c＝1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【解答】解：∵2a3+a＝2，b log2b＝1，c log5c＝1，如图所示：则a∈（0，1），1＜b＜c．∴c＞b＞a．故选：C．7．（5分）已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：＝1（b＞a＞0）上有的一点P（，m），（m＞0），点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形P AOB的面积为1，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知：在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，即c＝，由双曲线方程可得渐近线方程bx±ay＝0，由（m＞0），设过P平行于bx+ay＝0的直线为l，则l的方程为：bx+ay﹣b﹣am＝0，l与渐近线bx﹣ay＝0交点为A，则A（，），|OA|＝||，P点到OA的距离是：d＝，∵|OA|•d＝1，∴||•＝1，5b2﹣a2m2＝2ab，由P在双曲线上，5b2﹣a2m2＝a2b2，且a2+b2＝5，∴b＝2，a＝1，∴双曲线的方程为，故选：A．8．（5分）定义在（﹣1，1]上的函数f（x）满足f（x）+1＝，当x∈[0，1]时，f（x）＝x，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m+1在（﹣1，1]内恰有3个零点，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（，）C．（，）D．（，）【解答】解：当x∈（﹣1，0）时，x+1∈（0，1），f（x）＝﹣1＝﹣1，若函数g（x）＝|f（x）﹣|﹣mx﹣m+1在（﹣1，1]内恰有3个零点，即方程|f（x）﹣|﹣mx﹣m+1＝0在（﹣1，1]内恰有3个根，也就是函数y＝|f（x）﹣|与y＝mx+m﹣1的图象有三个不同交点．作出函数图形如图：由图可知，过点（﹣1，﹣1）与点（，0）的直线的斜率为；过点（﹣1，1），且与曲线y＝＝相切的切点为（x0，y0），则＝，切线方程为y+（x﹣x0），则切点为（）．∴切线的斜率为k＝，由对称性可知，过点（﹣1，﹣1）与曲线|f（x）﹣|在（﹣1，0）上相切的切线的斜率为．∴使函数y＝|f（x）﹣|与y＝mx+m﹣1的图象有三个不同交点的m的取值范围为（，）．故选：C．二、填空题（共6小题；共30分）9．（5分）设复数z＝，则z的虚部是．【解答】解：∵z＝＝，∴z的虚部是．故答案为：．10．（5分）（x﹣）（2x+）5的展开式中，常数项为﹣40．【解答】解：（x﹣）（2x+）5展开式中常数项是（2x+）5展开式中的项与x的乘积，加上含x项与﹣的乘积；由（2x+）5展开式的通项公式为T r+1＝•（2x）5﹣r•＝25﹣r••x5﹣2r，令5﹣2r＝﹣1，解得r＝3，∴T4＝22••＝；令5﹣2r＝1，解得r＝2，∴T3＝23••x＝80x；所求展开式的常数项为•x+80x•（﹣）＝40﹣80＝﹣40．故答案为：﹣40．11．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则圆C的极坐标方程为ρ＝2sin（θ+），则圆上的点到直线l的最大距离为．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），化为：x﹣y+4＝0．圆C的极坐标方程为，即ρ2＝2ρ（sinθ+cosθ），可得直角坐标方程：x2+y2＝2x+2y．配方为：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．∴圆心（1，1）到直线的距离d＝＝2则圆上的点到直线l的最大距离为d+r＝3．故答案为：．12．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为+1．【解答】解：由三视图可知该几何体为圆锥与三棱柱的组合体．圆锥的底面直径为1，高为1，三棱柱的底面是边长直角边为1的等腰直角三角形，棱柱高为2，∴V＝×π×12×1+×1×1×2＝+1．故答案为+1．13．（5分）已知圆C：（x﹣m）2+（y﹣n）2＝9的圆心在第一象限，直线l：x+2y+2＝0与圆C相交的弦长为4，则的最小值为．【解答】解：圆心C（m，n），半径R＝3，∵圆心在第一象限，∴m＞0，n＞0．∵直线l：x+2y+2＝0与圆C相交的弦长为4，∴圆心到直线的距离d＝＝，即，即m+2n+2＝5，则m+2n＝3，即+＝1，则＝（+）×（+）＝+++≥+2＝＝，当且仅当＝，即m＝2n时取等号，故答案为：．14．（5分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD＝2，＝，动点E和F分别在线段CD和BC上，且的最大值为，则的取值范围为[，]．【解答】解：由＝，得∠DAC＝60°．根据数量积的几何意义，可知，当点E在D处时，最大，过D、C分别作AB的垂线，垂足为M、N则的最大值为BA•BM＝，∴BM＝，⇒AM＝，BN＝以A为原点，ADF方向为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A（0，0），B（2，0），C（），D（）根据数量积的几何意义，可知，当点F在C处时，最小，此时＝．当点F在B处时，最大，此时＝．∴则的取值范围为[]故答案为：[]三、解答题（共6小题；共80分）15．（13分）中国乒乓球队备战里约奥运会热身赛暨选拔赛于2016年7月14日在山东威海开赛．种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．（1）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选征战里约奥运会的最终大名单，否则不予入选，问M是否会入选最终的大名单？（2）求M获胜场数X的分布列和数学期望．【解答】解：（1）M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则，由于事件A，B，C相互独立，所以，由于，所以M会入选最终的名单．（2）M获胜场数X的可能取值为0，1，2，3，则，，，．数学期望．16．（13分）已知函数f（x）＝cos sin（+）﹣+（1）求f（x）在区间[0，π]内的单调区间；（2）若f（x0）＝，x0∈[0，]，求sin x0的值．【解答】解：（1）函数f（x）＝cos sin（+）﹣+化简可得：f（x）＝cos sin cos+cos2sin﹣（cos x）+＝sin x+（cos x）﹣cos x＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣），令，可得．∵x∈[0，π]，∴f（x）在区间[0，π]内的单调递增区间为[0，]，令，可得．∵x∈[0，π]，∴f（x）在区间[0，π]内的单调递增区间为[，π]，（2）由f（x0）＝，即sin（x0﹣）＝∵x0∈[0，]，∴x0[，]，∴cos（x0﹣）＝那么：sin x0＝sin[（x0）]＝sin（x0﹣）cos+sin cos（x0﹣）＝．17．（13分）如图，已知菱形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB＝BE＝AF＝2，∠CBA＝，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求二面角D﹣EF﹣A的余弦值；（3）设G为线段AD上一点，＝λ，若直线FG与平面ABEF所成角的正弦值为，求AG的长．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）取AD的中点Q，连接PQ，BQ，则PQ∥AF∥BE，且，所以四边形BEPQ为平行四边形，…（2分）所以PE∥BQ，又BQ⊂平面ABCD，PE⊄平面ABCD，则PE∥平面ABCD．…（3分）（Ⅱ）取AB中点O，连接CO，则CO⊥AB，因为平面ABCD⊥平面ABEF，交线为AB，则CO⊥平面ABEF…（4分）作OM∥AF，分别以OB，OM，OC所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则…（5分）于是，设平面DEF的法向量，则令x＝1，则…（6分）平面AEF的法向量…（7分）所以…（8分）又因为二面角D﹣EF﹣A为锐角，所以其余弦值为．…（9分）（Ⅲ），则，，而平面ABEF的法向量为，设直线FG与平面ABEF所成角为θ，于是…（11分）于是，．…（13分）18．（13分）已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且满足a2＝4，＝6S n+9n+1，n∈N*，各项均为正数的等比数列{b n}满足b1＝a1，b3＝a2．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）若∁n＝（3n﹣2）•b n，数列{∁n}的前n项和T n；①求T n；②若对任意n≥2，n∈N*，均有（T n﹣5）m≥6n2﹣31n+35恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为＝6S n+9n+1，所以＝6S n﹣1+9（n﹣1）+1（n≥2），两式相减得：﹣＝6a n+9，即＝（n≥2），又因为数列{a n}的各项均为正数，所以a n+1＝a n+3（n≥2），又因为a2＝4，42＝6a1+9+1，即a1＝1，所以当n＝1时上式成立，即数列{a n}是首项为1、公差为3的等差数列，所以a n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2；因为b1＝a1＝1，b3＝a2＝4，所以b n＝2n﹣1；（Ⅱ）由（I）可知∁n＝（3n﹣2）•b n＝（3n﹣2）•2n﹣1．①T n＝1•20+4•21+…+（3n﹣2）•2n﹣1，2T n＝1•21+4•22+…+（3n﹣5）•2n﹣1+（3n﹣2）•2n，两式相减，得：﹣T n＝1+3（21+22+…+2n﹣1）﹣（3n﹣2）•2n＝1+6（2n﹣1﹣1）﹣（3n﹣2）•2n，所以T n＝（3n﹣5）•2n+5；②由①可知若对任意n≥2，n∈N*，均有（T n﹣5）m≥6n2﹣31n+35恒成立，等价于（3n﹣5）•2n•m≥6n2﹣31n+35恒成立，所以m≥＝＝，即m≥恒成立，设k n＝，则k n+1﹣k n＝﹣＝，所以当n≤4时k n+1＞k n，当n＞4时k n+1＜k n，所以当k n的最大值为k5＝，故m≥，即实数m的取值范围是：[，+∞）．19．（14分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y＝1与椭圆C的两交点间的距离为8．（1）求椭圆C的方程；（2）如图，设R（x0，y0）是椭圆C上的一动点，由原点O向圆（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝4引两条切线，分别交椭圆C于点P，Q，若直线OP，OQ的斜率均存在，并分别记为k1，k2，求证：k1•k2为定值；（3）在（2）的条件下，试问|OP|2+|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的离心率e＝＝＝，则a2＝4b2，由直线过点（4，1），代入，解得：b2＝5，则a2＝20，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）证明：由直线OP：y＝k1x，直线OQ：y＝k2x，由直线OP为圆R的切线，＝2，（x02﹣4）k12﹣2x0y0k1+（y02﹣4）＝0，同理可得：（x02﹣4）k22﹣2x0y0k2+（y02﹣4）＝0，∴k1，k2是方程（x02﹣4）k2﹣2x0y0k+（y02﹣4）＝0的两个不相等的实根，由x02﹣4≠0，△＞0，则k1•k2＝，由R（x0，y0）在椭圆上，即y02＝5﹣x02，∴k1•k2＝＝＝﹣，∴k1•k2为定值﹣；（Ⅲ）经判断|OP|2+|OQ|2为定值，（i）由直线OP，OQ不落在坐标轴上时，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，解得，∴x12+y12＝，同理，得x22+y22＝，…13分由k1•k2＝﹣，得|OP|2+|OQ|2＝x12+y12+x22+y22＝+，＝+，＝+，＝＝25，∴丨OP丨2+丨OQ丨2为定值，定值为25．20．（14分）已知函数f（x）＝﹣x3+x2+b，g（x）＝alnx．（1）若f（x）在x∈[﹣]上的最大值为，求实数b的值；（2）若对任意x∈[1，e]，都有g（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求实数a的取值范围；（3）在（1）的条件下，设F（x）＝，对任意给定的正实数a，曲线y＝F （x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形（O为坐标原点），且此三角形斜边中点在y轴上？请说明理由．【解答】解：（1）由f（x）＝﹣x3+x2+b，得f′（x）＝﹣3x2+2x＝﹣x（3x﹣2），令f′（x）＝0，得x＝0或．列表如下：∵，，∴，即最大值为，∴b＝0．…（4分）（2）由g（x）≥﹣x2+（a+2）x，得（x﹣lnx）a≤x2﹣2x．∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x，且等号不能同时取，∴lnx＜x，即x﹣lnx＞0，∴恒成立，即．令，求导得，，当x∈[1，e]时，x﹣1≥0，lnx≤1，x+1﹣2lnx＞0，从而t′（x）≥0，∴t（x）在[1，e]上为增函数，∴t min（x）＝t（1）＝﹣1，∴a≤﹣1．…（8分）（3）由条件，，假设曲线y＝F（x）上存在两点P，Q满足题意，则P，Q只能在y轴两侧，不妨设P（t，F（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），且t≠1．∵△POQ是以O（O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，∴，∴﹣t2+F（t）（t3+t2）＝0…（*），…（10分）是否存在P，Q等价于方程（*）在t＞0且t≠1时是否有解．①若0＜t＜1时，方程（*）为﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）＝0，化简得t4﹣t2+1＝0，此方程无解；…（11分）②若t＞1时，（*）方程为﹣t2+alnt•（t3+t2）＝0，即，设h（t）＝（t+1）lnt（t＞1），则，显然，当t＞1时，h′（t）＞0，即h（t）在（1，+∞）上为增函数，∴h（t）的值域为（h （1），+∞），即（0，+∞），∴当a＞0时，方程（*）总有解．∴对任意给定的正实数a，曲线y＝F（x）上总存在两点P，Q，使得△POQ是以O（O为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．…（14分）第21页（共21页）。
2017年天津市部分区高考数学一模试卷(理科) --有答案
2017年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．（0，1）2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．23．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4 B．6 C．8 D．104．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（）A．3 B．2C．4D．125．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=17．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b=．10．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是．（用数字填写答案）11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为．13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：（Ⅱ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．18．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．2017年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x|0＜x≤3，x∈N}，B={x|y=}，则集合A∩（∁R B）=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．（0，1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A和B，从而得到C R A，由此能求出集合A∩（∁R B）．【解答】解：∵集合A={x|0＜x≤3，x∈N}={1，2，3}，B={x|y=}={x|x≤﹣3或x≥3}，∴C R A={x|﹣3＜x＜3}，集合A∩（∁R B）={1，2}．故选：A．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x﹣y的最大值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（3，3），化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z．由图可知，当直线y=x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为0．故选：B．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为（）A．4 B．6 C．8 D．10【考点】程序框图．【分析】利用循环结构可知道需要循环4次，根据条件求出i的值即可．【解答】解：第一次循环，s=﹣2＜5，s=﹣1，i=2，第二次循环，s=﹣1＜7，s=1，i=4，第三次循环，s=1＜9，s=5，i=6，第四次循环，s=5＜11，s=13，i=8，第五次循环，s=13≥13，此时输出i=8，故选：C．4．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若B=，b=6，sinA﹣2sinC=0，则a=（）A．3 B．2C．4D．12【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得：c=，进而利用余弦定理即可求得a的值．【解答】解：∵sinA﹣2sinC=0，∴由正弦定理可得：c=，∵B=，b=6，∴由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，可得：62=a2+（a）2﹣2a，整理可得：a=4，或﹣4（舍去）．故选：C．5．已知p：x2﹣4x+3≤0，q：f（x）=存在最大值和最小值，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．充要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解不等式，求出关于p的x的范围，根据函数的性质求出关于q的x的范围，根据集合的包含关系判断充分必要条件即可．【解答】解：由x2﹣4x+3≤0，解得：1≤x≤3，故命题p：1≤x≤3；f（x）==x+，x＞0时，f（x）有最小值2，x＜0时，f（x）有最大值﹣2，故命题q：x≠0，故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A．6．已知抛物线y2=20x的焦点F恰好为双曲线﹣=1（a＞b＞0）的一个焦点，且点F到双曲线的渐近线的距离是4，则双曲线的方程为（）A．=1 B．=1C．=1 D．=1【考点】圆锥曲线的综合．【分析】确定抛物线y2=20x的焦点坐标、双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程，利用抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，求出b，a，即可求出双曲线的方程．【解答】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的方程为bx+ay=0，∵抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为4，∴=4，即b=4，∵c=5，∴a=3，∴双曲线方程为：=1．故选：D．7．在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则的值是（）A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用已知条件，建立直角坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的数量积．【解答】解：建立如图所示的直角坐标系：在△ABC中，AC=2AB=2，∠BAC=120°，O是BC的中点，M是AO上一点，且=3，则A（0，0），B（1，0），C（﹣1，），O（0，），M（0，），=（1，﹣），=（﹣1，）=﹣1﹣=﹣．故选：D．8．已知函数f（x）=，若函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）C．（﹣∞，﹣3）D．（0，﹣3）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得需使指数函数部分与x轴有一个交点，抛物线部分与x轴有两个交点，判断x≤0，与x＞0交点的情况，列出关于a的不等式，解之可得答案．【解答】解：g（x）=f（x）+2x﹣a=，函数g（x）=f（x）+2x﹣a有三个零点，可知：函数图象的左半部分为单调递增指数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣a﹣1，最多两个零点，如上图，要满足题意，函数y=2x+2x是增函数，x≤0一定与x相交，过（0，1），g（x）=2x+2x ﹣a，与x轴相交，1﹣a≥0，可得a≤1．还需保证x＞0时，抛物线与x轴由两个交点，可得：﹣a﹣1＞0，△=4（a+1）2﹣4（1﹣a）＞0，解得a＜﹣3，综合可得a＜﹣3，故选：C．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若复数=ai，则a+b=4．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，再根据两个复数相等的充要条件求得a、b的值，可得a+b的值．【解答】解：=ai，则===ai，∴2﹣b=0，2+b=2a，∴b=2，a=2，∴a+b=4，故答案为：410．（﹣）7的展开式中，x﹣1的系数是﹣280．（用数字填写答案）【考点】二项式定理的应用．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于﹣1，求出r的值，即可求得x﹣1的系数．=•（﹣2）r•，令=﹣1，求【解答】解：∵（﹣）7的展开式的通项公式为T r+1得r=3，可得x﹣1的系数为•（﹣8）=﹣280，故答案为：﹣280．11．某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为2．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥，结合图中数据，求出它的体积．【解答】解：根据三棱锥的三视图知，该三棱锥是底面为等腰直角三角形，高为3的三棱锥，结合图中数据，计算三棱锥的体积为V=××2×2×3=2．故答案为：2．12．直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为1．【考点】定积分．【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】1解：先根据题意画出图形，得到积分上限为1，积分下限为0，曲线y=4x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫01（4x﹣4x3）dx，而∫01（4x﹣4x3）dx=（2x2﹣x4）|01=2×1﹣1=1∴曲边梯形的面积是1，故答案为：1．13．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），曲线C的参数方程为（α为参数），设直线l与曲线C交于A、B两点，当弦长|AB|最短时，直线l的普通方程为x+y﹣4=0．【考点】直线的参数方程．【分析】普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1），当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，求出CP的斜率，可得AB的斜率，即可得出结论．【解答】解：直线l的参数方程为，普通方程为y﹣1=a（x﹣3），过定点P（3，1）曲线C的参数方程为（α为参数），普通方程为（x﹣2）2+y2=4，当弦长|AB|最短时，CP⊥AB，∵k CP==1，k AB=﹣1∴直线l的普通方程为x+y﹣4=0，故答案为：x+y﹣4=0．14．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若实数x满足f（log|x+1|）＜f（﹣1），则x的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】利用函数是偶函数得到不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f（|log2|x+1||）＜f（1），然后利用函数在区间[0，+∞）上单调递增即可得到不等式的解集．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增．∴不等式f（log|x+1|）＜f（﹣1），等价为f（|log2|x+1||）＜f（1），即|log2|x+1||＜1∴﹣1＜log2|x+1|＜1，解得x的取值范围是．故答案为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=sin（x﹣）cosx+1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）当x∈[，]时，求函数f（x）的最大值和最小值．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（Ⅰ）利用和与差公式打开，根据二倍角公式和辅助角公式化解为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（Ⅱ）当x∈[，]时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可求出f （x）的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）==，∴函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∵，∴，∴，故当时，函数f（x）的最大值为．当时，函数f（x）的最小值为．16．某校高三年级准备举行一次座谈会，其中三个班被邀请的学生数如表所示：（Ⅱ）若从这10名学生中随机选出3名学生发言，设X为来自高三（1）班的学生人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为，由此能求出这2名学生不属于同一班级的概率．（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）从10名学生随机选出2名的方法数为，选出2人中不属于同一班级的方法数为…设2名学生不属于同一班级的事件为A所以．…（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2，3，，，，．…所以X的分布列为所以．…17．如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，CF，证明BE∥CF即可；（Ⅱ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（Ⅲ）建系同（II）利用向量求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PD的中点F，连接EF，CF∵E，F分别是PA，PD的中点，∴EF∥AD且；…∵，BC∥AD，∴EF∥BC且EF=BC；∴BE∥CF．…又BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD，∴BE∥平面PCD．…（Ⅱ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，，．…设平面PAB的一个法向量为n=（x，y，z），则从而令x=2，得n=（2，0，﹣1）．…同理可求平面ABD的一个法向量为．…．平面ABD和平面ABC为同一个平面，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，C（0，0，1），B（1，0，1），，…设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），则，，令，得x=z=1，即．…易求平面ABC的一个法向量为．…．所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（Ⅲ）（方法一）建系同（II）（方法一），设Q（0，x，0），由（II）知平面ABCD的一个法向量为，；…若BQ与平面ABCD所成的角为，则==sin解得，所以Q（0，，0），，．…（方法二）建系同（II）（方法二），设，则，，由（II）知平面ABCD的一个法向量为．…若BQ与平面ABCD所成的角为，则．解得，则，从而…18．已知正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），且a6=11，前9项和为81．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{lgb n}的前n项和为lg（2n+1），记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，可得{a n}为等差数列．再利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1），lgb1+lgb2+…+lgb n ﹣1=lg（2n﹣1），作差可得b n=，（n≥2）．c n==，再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由正项数列{a n}满足+=﹣2（n≥2，n∈N*），得，整理得a n+1+a n﹣1=2a n，所以{a n}为等差数列．由a6=11，前9项和为81，得a1+5d=11，d=81，解得a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（II）当n=1时，lgb1=lg3，即b1=3．当n≥2时，lgb1+lgb2+…+lgb n=lg（2n+1）…①，lgb1+lgb2+…+lgb n﹣1=lg（2n﹣1）…②①﹣②，得，∴b n=，（n≥2）．b1=3满足上式，因此b n=，（n≥2）．c n==，∴数列{c n}的前n项和T n=+…++，又2T n=+…+，以上两式作差，得T n=+2﹣，，因此，T n=﹣．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0），且椭圆上的点到一个焦点的最短距离为b．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）若点M（，）在椭圆C上，不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求△OAB面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由题意，得，然后求解离心率即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．求出椭圆方程，直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y，设A（x1，y1），B（x2，y），利用韦达定理求出AB的中点，推出﹣，且m≠0，利2用弦长公式以及三角形的面积，推出结果即可．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意，得，…则，结合b2=a2﹣c2，得，即2c2﹣3ac+a2=0，…亦即2e2﹣3e+1=0，结合0＜e＜1，解得．所以椭圆C的离心率为．…（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=2c，则b2=3c2．将代入椭圆方程，解得c=1．所以椭圆方程为．…易得直线OM的方程为．当直线l的斜率不存在时，AB的中点不在直线上，故直线l的斜率存在．设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），与联立消y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，所以△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（3+4k2﹣m2）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．…由，得AB的中点，因为N在直线上，所以，解得k=﹣．…所以△=48（12﹣m2）＞0，得﹣，且m≠0，|AB|=|x2﹣x1|===．又原点O到直线l的距离d=，…所以．当且仅当12﹣m2=m2，m=时等号成立，符合﹣，且m≠0．所以△OAB面积的最大值为：．…20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），求证：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性即可；（Ⅲ）根据函数的极值的个数求出a的范围，求出4f（x1）﹣2f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=﹣x2+x﹣lnx，f′（x）=﹣x+1﹣，则f（1）=，f'（1）=﹣1，所以所求切线方程为y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣3=0．（Ⅱ）由f（x）=﹣x2+ax﹣lnx，得f′（x）=﹣x+a﹣=﹣．令g（x）=x2﹣ax+1，则f′（x）=﹣，①当△=a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2时，g（x）＞0恒成立，则f′（x）＜0，所以f）x）在（0，+∞）上是减函数．②当△=0，即a=±2时，g（x）=x2±2x+1=（x±1）2≥0，则f′（x）≤0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．③当△=a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2．（i）当a＜﹣2时，g（x）=x2﹣ax+1是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＜﹣1），则g（x）＞0恒成立，从而f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）上是减函数．（ii）当a＞2时，g（x）是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=（＞1），则函数g（x）有两个零点：，列表如下：当a＞2时，f（x）的增区间是，减区间是，．（Ⅲ）证明：根据（Ⅱ），当a＞2时，f（x）有两个极值点x1，x2，（x1＜x2），则x1，x2是方程g（x）=0的两个根，从而．由韦达定理，得x1x2=1，x1+x2=a．又a﹣2＞0，所以0＜x1＜1＜x2====．令，h（t）=﹣t+3lnt+2，（t＞1），则．当1＜t＜2时，h'（t）＞0；当t＞2时，h′（t）＜0，则h（t）在（1，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数，从而h（t）max=h（2）=3ln2+1，于是4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．。
天津市南开区2017届高三毕业班联考数学(理)试题Word版含解析
天津市南开区2017届高三毕业班联考数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设复数z满足（z+2i）（2+i）=5，则z=（）A． 3﹣2i B． 3+2i C． 2﹣3i D． 2+3i【考点】：复数代数形式的乘除运算．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的运算法则即可得出．【解析】：解：∵复数z满足（z+2i）（2+i）=5，∴（z+2i）（2+i）（2﹣i）=5（2﹣i），化为z+2i=2﹣i，∴z=2﹣3i，故选；C．【点评】：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值为（） A．﹣2 B．﹣1 C． 1 D． 2【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：先画出满足条件的平面区域，将z=x+2y转化为：y=﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，求出即可．【解析】：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=x+2y转化为：y=﹣x+，通过图象得出函数过（0，1）时，z取到最大值，z max=2，故选：D．【点评】：本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．3．（5分）若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值可以等于（）A． 4 B． 5 C． 6 D． 7【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的K，S的值，由题意，当K=5，S=时应该不满足条件K＜N，退出循环，输出S的值为，即可得解．【解析】：解：模拟执行程序框图，可得K=1，S=0，第1次循环，S=，满足条件K＜N，K=2，S=，满足条件K＜N，K=3，S=，满足条件K＜N，K=4，S=，满足条件K＜N，K=5，S=，由题意，此时应该不满足条件K＜N，退出循环，输出S的值为，故输入的N的值可以等于5．故选：B．【点评】：本题主要考察了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的K，S的值判断循环退出的条件是解题的关键，属于基本知识的考查．4．（5分）一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形．则该四棱锥的体积等于（）A． B． C． D．【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解析】：解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面为上底2，下底四，高为4的梯形，锥体的高为=2，故锥体的体积V==×[×（2+4）×4]×2=8，故选：A【点评】：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2），则双曲线的焦距为（）A． B． C． D．【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：根据题意，点（﹣1，﹣2）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=2，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣1，﹣2）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解析】：解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2），即点（﹣1，﹣2）在抛物线的准线上，则p=2，则抛物线的焦点为（1，0）；则双曲线的左顶点为（﹣3，0），即a=3；点（﹣1，﹣2）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±2x，由双曲线的性质，可得b=6；则c==3，则焦距为2c=6故选：A．【点评】：本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣1，﹣2）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．6．（5分）数列{a n}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，则等于（）A． B． C． D．【考点】：数列的求和．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】： a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，可得a n+1﹣a n=n+1，利用“累加求和”可得：a n=，，再利用“裂项求和”即可得出．【解析】：解：∵a1=1，且对于任意的n∈N*都有a n+1=a1+a n+n，∴a n+1﹣a n=n+1，∴当n≥2时，a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=n+（n﹣1）+…+2+1=，当n=1时也成立，∴a n=，∴，∴数列的前n项和S n=2+…+=2=．∴==．故选：C．【点评】：本题考查了数列的“累加求和”、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）已知以下4个命题：①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②若p：∀x∈R，x2﹣3x﹣2＜0，则￢q：∃x∈R，x2﹣3x﹣2≥0；③设a，b∈R，则a＞b是（a﹣1）|a|＞（b﹣1）|b|成立的充分不必要条件；④若关于实数x的不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，则实数a的取值范围是（﹣∞，5]．其中正确命题的个数是（）A． 1 B． 2 C． 3 D． 4【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：阅读型；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】：运用复合命题的真假和真值表，即可判断①；由全称性命题的否定为存在性命题，即可判断②；由充分必要条件的定义和特殊值比如a=，b=，即可判断③；对x讨论，x=0．x≠0，运用分离参数，结合绝对值不等式的性质，求得最小值，即可判断④．【解析】：解：对于①，若p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，则p∧q不一定为真命题，则①错误；对于②，若p：∀x∈R，x2﹣3x﹣2＜0，则￢q：∃x∈R，x2﹣3x﹣2≥0，则②正确；对于③，设a，b∈R，当a＞b，比如a=，b=，则（a﹣1）|a|=﹣，（b﹣1）|b|=﹣，推出（a﹣1）|a|＜（b﹣1）|b|，则③错误；对于④，若关于实数x的不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，当x=0，2＜0无解，成立；当x≠0时，即有a＞|﹣2|+|+3|，由|﹣2|+|+3|≥|（+3）﹣（﹣2）|=5，当a≤5时，不等式|1﹣2x|+|1+3x|＜a|x|无解，则④正确．综上可得，②④正确．故选：B．【点评】：本题考查简易逻辑的基础知识，主要考查复合命题的真假和命题的否定及充分必要条件的判断，同时考查不等式的性质和绝对值不等式的基本性质，属于基础题和易错题．8．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）﹣2，当x∈（0，2]时，f（x）=，若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（）A． [1，2] B． [2，] C． [1，] D． [2，+∞）【考点】：分段函数的应用；函数恒成立问题．【专题】：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】：由f（x+2）=2f（x）﹣2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]，的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t2﹣≤f（x）恒成立即为由t2﹣≤f（x）min，解不等式即可得到所求范围．【解析】：解：当x∈（2，3），则x﹣2∈（0，1），则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=2（x﹣2）2﹣2（x﹣2）﹣2，即为f（x）=2x2﹣10x+10，当x∈[3，4]，则x﹣2∈[1，2]，则f（x）=2f（x﹣2）﹣2=﹣2．当x∈（0，1）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为；当x∈（2，3）时，当x=时，f（x）取得最小值，且为﹣；当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为﹣1．综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为﹣．若x∈（0，4]时，t2﹣≤f（x）恒成立，则有t2﹣≤﹣．解得1≤t≤．故选：C．【点评】：本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，若从初中生中抽取了30人，则n的值等于100 ．【考点】：分层抽样方法．【专题】：概率与统计．【分析】：根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解析】：解：由分层抽样的定义得n==100，故答案为：100【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．比较基础．10．（5分）已知a=dx，在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x的项的系数为﹣10 ．【考点】：二项式系数的性质；定积分．【专题】：二项式定理．【分析】：求定积分求得a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1求出r的值，即可求得含x的项的系数．【解析】：解：a=dx=（2x﹣x2）=2﹣1=1，二项式（x2﹣）5 =（ x2﹣）5，∴二项式（x2﹣）5的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x10﹣3r，令10﹣3r=1，求得r=3，含x的项的系数为﹣=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】：本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于基础题．11．（5分）已知△ABC中，AB=1，sinA+sinB=sinC，S△ABC=sinC，则cosC= ．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】： sinA+sinB=sinC，利用正弦定理可得：a+b=c，利用三角形面积计算公式可得：sinC，ab=，再利用余弦定理即可得出．【解析】：解：∵sinA+sinB=sinC，由正弦定理可得：a+b=c，∵S△ABC=sinC，∴sinC，sinC≠0，化为ab=，由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=（a+b）2﹣2ab﹣2abcosC，∴1=﹣2×（1+cosC），解得cosC=．故答案为：．【点评】：本题查克拉正弦定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．（5分）如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，且PD=2，BD=6，则AC= 6 ．【考点】：与圆有关的比例线段．【专题】：选作题；立体几何．【分析】：由PDB为圆O的割线，PA为圆的切线，由切割线定理，结合PD=2，BD=6易得PA长，由∠ABC=60°结合弦切角定理易得△PAE为等边三角形，进而根据PE长求出AE长及ED，DB长，再根据相交弦定理可求出CE，进而得到答案．【解析】：解：∵PD=2，BD=6，∴PB=PD+BD=8由切割线定理得PA2=PD•PB=16∴PA=4又∵PE=PA，∴PE=4又∠PAC=∠ABC=60°∴AE=4又由DE=PE﹣PD=2BE=BD﹣DE=4由相交弦定理可得：AE•CE=BE•ED=8，即CE=2∴AC=AE+CE=6故答案为：6．【点评】：本题考查的知识点是与圆相关的比例线段，根据已知条件求出与圆相关线段的长是解答的关键．13．（5分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为，曲线N的参数方程为（t为参数）．若曲线M与N相交于A，B 两点，则线段AB的长等于8 ．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：坐标系和参数方程．【分析】：把极坐标方程与参数方程分别化为直角坐标方程、普通方程，把方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式即可得出．【解析】：解：曲线M的极坐标方程为，展开为（ρcosθ﹣ρsinθ）=1，∴x﹣y=1．曲线N的参数方程为（t为参数），消去参数t可得：y2=4x．设A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，化为y2﹣4y﹣4=0，∴y1+y2=﹣4，y1y2=﹣4．∴|AB|===8．故答案为：8．【点评】：本题考查了直线与抛物线的极坐标方程与参数方程分别化为直角坐标方程、普通方程、直线与抛物线成绩问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．（5分）已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则3x+6y的最小值为．【考点】：平面向量的基本定理及其意义．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据几何图形求解出O点的坐标，先求出，的坐标，再由=x+y，运用向量的坐标相等求解出x，y的值，得出3x+6y=，运用基本不等式求解即可得出最小值．【解析】：解：根据题意，建立坐标系如图，过O作AB的垂直平分线，垂足为E，则A（0，0），C（，0），B（﹣a，），E（，），O（，m），∵∠BAC=120°，∴，化简得，∴O（，），∴，，，∵=x+y，∴解得，，∴3x+6y=3（）=≥+6=6+，故答案为：．【点评】：本题考查了平面向量的坐标运算，结合基本不等式求解，属于中档题，关键是准确求解向量的坐标．三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调递减区间；（Ⅱ）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．【考点】：三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（Ⅰ）由三角函数化简可得f（x）=2sin（2x+）+3，由周期公式可得，解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得单调递减区间；（Ⅱ）由x∈结合三角函数的性质逐步计算可得2sin（2x+）+3∈[2，5]，可得最值．【解析】：解：（Ⅰ）化简可得=•2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin（2x+）+3，∴函数f（x）的最小正周期T==π，由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函数的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）；（Ⅱ）∵x∈，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[，1]，∴2sin（2x+）∈[﹣1，2]，∴2sin（2x+）+3∈[2，5]，∴函数的最大值和最小值分别为5，2．【点评】：本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的周期性和单调性及最值，属中档题．16．（13分）某银行招聘，设置了A、B、C三组测试题供竞聘人员选择．现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试．若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为；丙通过B组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功．假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题．（Ⅰ）求丁、戊都竞聘成功的概率．（Ⅱ）记A、B两组通过测试的总人数为ξ，求ξ的分布列和期望．【考点】：离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】：概率与统计．【分析】：（I）设丁竞聘成功为M事件，戊竞聘成功为N事件，则事件的总数，而事件M竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，再利用概率计算公式即可得出．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．ξ=0表示甲乙丙三人都没有通过；ξ=1表示三人中只有一人通过；ξ=3表示由3人都通过，利用分类讨论和独立事件的概率计算公式及其互斥事件的概率计算公式及其对立事件的概率，列出分布列，求出期望．【解析】：解：（I）设“丁竞聘成功”为M事件，戊竞聘成功为N事件，而事件M竞聘成功分为两种情况：一种是戊会其中4题都选上，另一种是选上会其中4题的其中3道题和另一道题，基本事件的总数为．∴P（M）==．P（N）==．丁、戊都竞聘成功的概率：P（MN）=P（M）P（N）==．（Ⅱ）ξ可取0，1，2，3．可得P（ξ=0）=（1﹣）2（1﹣）2=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．列表如下：∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．【点评】：本题中考查了超几何分布、互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望、分类讨论等基础知识与基本方法，属于中档题．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得CP⊥面BDC1？并证明你的结论．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD，我们由三角形的中位线定理，易得OD∥AB1，进而由线面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）假设侧棱AA1上存在点P，使得CP⊥面BDC1，我们可以设出P点坐标，进而构造方程组，若方程组有解说明存在，若方程组无解，说明满足条件的P点不存在．【解析】：证明：（I）连接B1C，与BC1相交于O，连接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中点．又D是AC的中点，∴OD∥AB1．（2分）∵AB1⊄面BDC1，OD⊂面BDC1，∴AB1∥面BDC1．（4分）解：（II）如图，建立空间直角坐标系，则C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）（5分）设=（x，y，z）是面BDC1的一个法向量，则即，令x=1则=（1，，）．（6分）易知=（0，3，0）是面ABC的一个法向量．∴cos＜，＞=．（8分）∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值为．（9分）（III）假设侧棱AA1上存在一点P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．则，即∴方程组无解．∴假设不成立．∴侧棱AA1上不存在点P，使CP⊥面BDC1．（14分）【点评】：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中（I）的关键是证得OD∥AB1，（II）（III）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题和线面垂直问题转化为空间向量夹角问题．18．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F（c，0），直线l是椭圆C在点B处的切线．设点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP与直线l的交点为D，且当|BD|=2c 时，△AFD是等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）设椭圆C的长轴长等于4，当点P运动时，试判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．【考点】：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（Ⅰ）首先，结合给定的条件，得到a=2c，然后，确定其离心率即可；（Ⅱ）分情况进行讨论，然后，结合直线与圆相切的条件进行判断即可．【解析】：解：（Ⅰ）根据题意，得直线l与x轴垂直，∵当|BD|=2c时，有△AFD是等腰三角形．∴AF=DF，∴（a+c）2=（a﹣c）2+（2）2，∴a=2c，∴e=．（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF的位置关系是相切，证明如下：∵椭圆C的长轴长等于4，∴a=2，A（﹣2，0），B（2，0），根据（Ⅰ），得椭圆的标准方程为：，设直线l的方程为：y=k（x+2），则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），联立方程组，消去y，并整理，得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0=，∴x0=，y0=k（x0+2）=，因为点F（1，0），（1）当k=±时，点P坐标为（1，±），直线PF的方程为x=1，点D的坐标为（2，±2），此时，以BD为直径的圆与直线PF相切；（2）当k≠±时，直线PF的斜率为=，直线PF的方程为：y=，∴x﹣，∴点E到直线PF的距离为d==2|k|，∵|BD|=2R=4|k|，∴以BD为直径的圆与直线PF相切．【点评】：本题重点考查了椭圆的简单的几何性质、直线与椭圆的位置关系等知识．19．（14分）设数列{b n}，{c n}，已知b1=3，c1=5，b n+1=，c n+1=（n∈N*）（Ⅰ）设a n=c n﹣b n，求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求证：对任意n∈N*，b n+c n为定值（Ⅲ）设S n为数列{c n}的前n项和，若对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，求实数p的取值范围．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（I）由b n+1=，c n+1=（n∈N*），可得c n+1﹣b n+1=﹣，可得，利用等比数列的通项公式即可得出；（II）由b n+1=，c n+1=（n∈N*），相加可得b n+1+c n+1=，由于b1+c1=8，即可证明；（III）由（II）可得：b n=8﹣c n，得到，变形为，利用等比数列的通项公式可得：，可得S n=4n+，由于对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，可得，对n分类讨论即可得出．【解析】：（I）解：∵b n+1=，c n+1=（n∈N*），∴c n+1﹣b n+1=﹣，∴，a1=c1﹣b1=5﹣3=2，∴数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为﹣．∴．（II）证明：∵b n+1=，c n+1=（n∈N*），∴b n+1+c n+1=，∵b1+c1=8，∴b2+c2==8，依此类推可得：b n+c n=8为定值．（III）解：由（II）可得：b n=8﹣c n，∴，变形为，∴数列{c n﹣4}为等比数列，首项为1，公比为，∴c n﹣4=，∴，∴S n=4n+=4n+，∴S n﹣4n=，∵对任意n∈N*，都有p•（S n﹣4n）∈[1，3]，∴，∴≤p≤，当n为奇数时，p≤，∴．当n为偶数时，≤p≤，∴3≤．∴p=3．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质，考查了恒成立问题的等价转化方法、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点为M，f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行．（Ⅰ）求函数T（x）=xf（x）的单调区间；（Ⅱ）已知实数t∈R，求函数y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值；（Ⅲ）令F（x）=g（x）+g′（x），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，对于两个大于1的正数α，β，存在实数m满足：α=mx1+（1+m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，并且使得不等式|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F （x2）|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【专题】：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．【分析】：（1）利用导数的几何意义，求函数f（x）在与x轴的交点处的切线斜率，由两直线平行的条件即可得a值，求出T（x）的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（2）令u=xlnx，再研究二次函数u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象是对称轴u=，开口向上的抛物线，结合其性质求出最值；（3）先由题意得到F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，再利用导数工具研究所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，得到当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，下面对m进行分类讨论：①当m∈（0，1）时，②当m≤0时，③当m≥1时，结合不等式的性质即可求出m的取值范围．【解析】：解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，f（x）在M处的切线斜率为k=2a﹣a=a，由f（x）在M处的切线与直线x﹣y+1=0平行，则a=1，∴f（x）=x2﹣x，T（x）=xf（x）=x3﹣x2，T′（x）=3x2﹣2x，T′（x）＞0，可得x＞或x＜0，T′（x）＜0，可得0＜x＜，则有T（x）的增区间为（﹣∞，0），（，+∞），减区间为（0，）；（2）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]2﹣（xlnx+t）=（xlnx）2+（2t﹣1）（xlnx）+t2﹣t，令u=xlnx，在x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，0≤u≤eu2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，①当u=≤0即t≥时，y最小，且为t2﹣t；②当u=≥e即t≤时，y最小，且为e2+（2t﹣1）e+t2﹣t；③当0＜＜e即＜t＜时，y最小且为y|=﹣．（3）F（x）=g（x）+g′（x）=lnx+，F′（x）=，所以F（x）在区间（1，+∞）上单调递增，∴当x≥1时，F（x）≥F（1）＞0，①当m∈（0，1）时，有α=mx1+（1﹣m）x2＞mx1+（1﹣m）x1=x1，α=mx1+（1﹣m）x2＜mx2+（1﹣m）x2=x2，得α∈（x1，x2），同理β∈（x1，x2），∴由f（x）的单调性知 0＜F（x1）＜F（α）、f（β）＜f（x2）从而有|F（α）﹣F（β）|＜|F（x1）﹣F（x2）|，符合题设．②当m≤0时，α=mx1+（1﹣m）x2≥mx2+（1﹣m）x2=x2，β=mx2+（1﹣m）x1≤mx1+（1﹣m）x1=x1，由f（x）的单调性知，F（β）≤F（x1）＜f（x2）≤F（α），∴|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符；③当m≥1时，同理可得α≤x1，β≥x2，得|F（α）﹣F（β）|≥|F（x1）﹣F（x2）|，与题设不符．∴综合①、②、③得 m∈（0，1）．【点评】：本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．。
天津市部分区2017届高三质量调查理科数学试题(一)含答案(1)
数学试题（文科）
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每个小题给出的四个选项中，有 且只有一项符合题目要求 .
1. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , 则“ a b ”是“ sin A sin B ”的
.
17. （本题满分 12 分）
已知函数 f x
3 sin 2x
cos2 x
1 ,x
R.
2
2
（ 1 ）求函数 f x 的最小值和最小正周期； （ 2 ）设 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，且满足 c 3, f C 0,sin B 2sin A ，求 a,b 的值 .
18. （本题满分 12 分） 山西某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（本科学历）的
直线 y
5 上找到一点 P, 在椭圆 C 上找到一点 Q, 满足 PM
NQ ？若存在，求出直线 l 的
3
方程；若不存在，说明理由 .
21. （本题满分 12 分）
已知函数 f x ln x ax2 bx （其中 a, b 为常数，且 a 0）在 x 1 处取得极值 . （ 1 ）当 a 1时，求 f x 的单调区间； （ 2 ）若 f x 在 0,e 上的最大值为 1，求 a 的值 .
5 的概率为 ，求 x, y 的值 .
39
19. （本题满分 12 分） 如图，已知多面体 EABCDF 的底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， EA
1 且 FD EA 1.
2
（ 1 ）求多面体 EABCDF 的体积； （ 2 ）求直线 EB 与平面 ECF 所成角的正弦值； （ 3 ）记线段 BC 的中点为 K, 在平面 ABCD 内过点 K 作一 条直线与平面 ECF 平行，要求保留作图的痕迹， 但不要求证明 .
(优辅资源)天津市南开区高考数学模拟试卷 Word版含解析
2017年天津市南开区高考数学模拟试卷一、选择题。
每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={0，1，2，3}，集合A={0，1，2}，B={0，2，3}，则A∩∁U B 等于（）A．{1} B．{2，3}C．{0，1，2}D．∅2．函数y=cos（2x﹣）的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π3．已知=（3，1），=（﹣2，5），则3﹣2=（）A．（2，7）B．（2，﹣7）C．（13，﹣7） D．（13，13）4．=（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．1﹣i5．下列四个函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（）A．y=log3x B．y=3x C．y=x D．y=x﹣16．若sinα=，且α为锐角，则tanα的值等于（）A．B．﹣C．D．﹣7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）A．3 B．11 C．38 D．1238．设变量x，y满足约束条件，则z=x+2y的最小值为（）A．0 B．0.5 C．2 D．99．计算1﹣2sin222.5°的结果等于（）A．B．C．D．10．已知椭圆=1长轴在x轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．811．已知抛物线y=ax2的准线方程为y=1，则a的值为（）A．4 B．C．﹣4 D．﹣12．在等比数列{a n}中，a5=﹣16，a8=8，则a11=（）A．﹣4 B．±4 C．﹣2 D．±213．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A．y=±2x B．y=±x C．y=±x D．y=±x14．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1=，S4=20，则S6=（）A．16 B．24 C．36 D．4815．从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字（不允许重复），则这两个数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．16．已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m 的值为（）A．0 B．﹣8 C．2 D．1017．如图，一个空几何体的正视图（或称主视图）与侧视图（或称左视图）为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（）A．πB．3πC．2πD．18．下面四个条件中，使a＞b成立的充分而不必要的条件是（）A．a＞b+1 B．a＞b﹣1 C．a2＞b2D．a3＞b319．将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，所得图象的函数解析式为（）A．B．C．y=sin2x D．y=﹣sin2x20．对于直线a，b，l，以及平面α，下列说法中正确的是（）A．如果a∥b，a∥α，则b∥αB．如果a⊥l，b⊥l，则a∥bC．如果a∥α，b⊥a，则b⊥αD．如果a⊥α，b⊥α，则a∥b21．已知a=21.2，b=（）﹣0.2，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a22．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCD﹣A1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是（）A．B．C．D．23．圆心在y轴上，且过点（3，1）的圆与x轴相切，则该圆的方程是（）A．x2+y2+10y=0 B．x2+y2﹣10y=0 C．x2+y2+10x=0 D．x2+y2﹣10x=024．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，CC1=2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为（）A． B．C．D．25．已知函数f（x）=kx2﹣3x+1的图象与x轴在原点的右侧有公共点，则实数k 的取值范围为（）A．（0，）B．[0，] C．（﹣∞，）D．（﹣∞，]二、填空题:本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请将答案填在题中横线上.26．若工人月工资（元）依劳动产值（万元）变化的回归直线方程为=60+90x，则下列说法正确的是（填序号）．①劳动产值为10000元时，工资为50元；②劳动产值提高10000元时，工资提高150元；③劳动产值提高10000元时，工资提高90元；④劳动产值为10000元时，工资为90元．27．已知函数f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3时取得最小值，则a=；f （x）的最小值为．28．在三角形ABC中，角A，B，C所对应的长分别为a，b，c，若a=2，B=，c=2，则b=．29．函数f（x）=x（x﹣m）2在x=1处取得极小值，则m=．30．过点M（﹣3，﹣）且被圆x2+y2=25截得弦长为8的直线的方程为．2017年天津市南开区高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题。
天津市南开区2017-2018年高三第一学期期末考试理科数学试卷(无答案)
天津市南开区2017-2018年高三第一学期期末考试理科数学试卷一、选择题1. 已知集合{}()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-+-=-==0111,1x x x xB x y x A ，则B A =（ ）A. {}11<<-x xB.{}1>x xC.{}11≤<-x xD.{}1≥x x 2. 设复数z 满足i i iz 22++=（i 是虚数单位），则=z （ ） A.5 B.5- C.i 5 D. i 5-3. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧+≥≤-≥1132x y y x x ，则下列不等式恒成立的是（ ）A.3≥xB.4≤yC.082≥-+y xD. 012≥+-y x 4.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A.632+π B.632+ C.311π D. 611π5.下列说法正确的是（ ）A.“若1>a ，则12>a ”的否命题是“若1>a ，则12≤a ” B.()0032,0,0xxx <∞-∈∃成立C.“若1tan ≠α，则4πα≠”是真命题D.{}n a 为等比数列，则“321a a a <<”是“54a a <”的既不充分也不必要条件 6.已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为F ，准线23:-=x l ，点M 在抛物线C 上，点A 在准线l 上，若l MA ⊥，且直线AF 的斜率3-=AF k ，则AFM ∆的面积为（ ）A.33B.36C.39D. 3127.已知()x f y =是奇函数，当()2,0∈x 时，()⎪⎭⎫⎝⎛>-=21ln a ax x x f ，当()0,2-∈x 时，()x f 的最小值为1，则a =（ ）A.-1B.1C.21eD. 2e 8.已知定义在R 上的函数()xf 满足：①()()02=-+x f x f ；②()()x f x f -=-2；③当[]1,1-∈x 时，()[](]⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-=1,02co s 0,112x x x x x f π，则函数()xx f y ⎪⎭⎫⎝⎛-=21在区间[]3,3-上的零点个数为（ ）A.5B.6C.7D. 8二、填空题9. 甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温（单位：C）用茎叶图记录如下，根据茎叶图可知，两城市中平均温度较高的城市是__________.10.执行如图的程序框图，若输入的N 是4，则输出p 的值是________.11.设P 是双曲线1201622=-y x 上一点，21,F F 分别是双曲线左右两个焦点，若91=PF ，则2PF 等于________.12. 直线3+=kx y 与圆()()43222=-+-y x 相交于N M ,两点，32≥MN ,则k 的取值范围是_______.13. 在直角三角形ABC 中，2,90===∠BC AC ACB,点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则._____=⋅+⋅CA CP CB CP14. 已知y x ,均为正实数，且16=+y x ，则yx xy+9的最大值为________.三、解答题15. 已知函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=2sin sin 32sin 22πx x x x f（1）求()x f 的最小正周期；（2）若把函数()x f y =的图像向左平移6π个单位，再向上平移2个单位，得函数()x g 的图像，求函数()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡127,0π上的取值范围. 16. 在ABC ∆，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且()1cos 32cos ++=C B A （1）求角A 的大小；（2）若B C a sin 2sin ,3==，求c b ,的值.17. 如图，在三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 面90,2,1=∠==ABC BB BC AB ABC ，D 为BC 的中点. （1）求证：//1B A 平面1ADC ； （2）求二面角1C AD C --的余弦值；（3）若E 为11B A 的中点，求AE 与1DC 所成的角.18. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()12-=n n a S ，数列{}n b 满足：对任意*∈N n 有 ++2211b a b a()2211+⋅-=++n n n n b a .（1）求数列{}n a 与数列{}n b 的通项公式； （2）记nnn a b c =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，证明：当6≥n 时，12<-n T n19. 已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 过点()1,1--P ，c 为椭圆的半焦距，且b c 2=，过点P 做两条相互垂直的直线21,l l 与椭圆C 分别交于另两点N M , （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线1l 的斜率为-1，求PMN ∆的面积； （3）若线段MN 的中点在x 轴上，求直线MN 的方程.20. 设函数()()R a x a x x x f ∈+-=ln 22（1）当2=a 时，求函数()x f 在点()()1.1f 处的切线方程； （2）若函数()x f 存在两个极值点()2121,x x x x <①求实数a 的范围； ②证明：()2ln 2321-->x x f .21.。
2017年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)
2017年高考天津理科数学试题及答案(word解析版)2017年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理科）参考公式：• 如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ； • 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =；• 柱体的体积公式V Sh =，其中S 表示柱体的底面面积，h 表示柱体的高；• 锥体体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面面积，h 表示锥体的高．第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2017年天津，理1，5分】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =U I （ ）（A ）{}2 （B ）{}1,2,4 （C ）{}1,2,4,6 （D ）{}|15x x ∈-≤≤R 【答案】B【解析】{}[]{}()1,2,4,61,51,2,4A B C =-=U I I ，故选B ． （2）【2017年天津，理2，5分】设变量,x y 满足约束条件20,220,0,3,x y x y x y +≥⎧⎪+-≥⎪⎨≤⎪⎪≤⎩则目标函数z x y =+的最大值为（ ）（A ）23（B ）1 （C ）32（D ）3【答案】D【解析】目标函数为四边形ABCD 及其内部，其中324(0,1),(0,3),(,3),(,)233A B C D --，所以直线z x y =+过点B 时取最大值3，故选D ．（3）【2017年天津，理3，5分】阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为24，则输出N 的值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 【答案】C【解析】依次为8N = ，7,6,2N N N ===，输出2N =，故选C ．（4）【2017年天津，理4，5分】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】10sin 121262πππθθθ-<⇔<<⇒<，0θ=，1sin 2θ<，不满足1212ππθ-<，所以是充分不必要条件，故选A ．（5）【2017年天津，理5，5分】已知双曲线22221(0,0)xy a b ab-=>>的左焦点为F 2F 和(0,4)P 两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） （A ）22144x y -= （B ）22188x y -= （C ）22148x y -=（D ）22184x y -=【答案】B【解析】由题意得224,14,22188x y a b c a b c ==-⇒===-=-，故选B ．（6）【2017年天津，理6，5分】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a << （C ）b a c << （D ）b c a << 【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >，从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是增函数，()()5.15.122log log a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<， 5.122log 3<<，所以即0.85.1202log 3<<<，()()()0.85.122log 3g g g <<，所以b a c <<，故选C ．（7）【2017年天津，理7，5分】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）（A ）23ω=，12ϕπ= （B ）23ω=，12ϕ11π=- （C ）13ω=，24ϕ11π=-（D ）13ω=，24ϕ7π= 【答案】A 【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33kk ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕππ=+，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ．（8）【2017年天津，理8，5分】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）47[,2]16- （B ）4739[,]1616- （C ）[3,2]-（D ）39[23,]16-【答案】A【解析】不等式()2x f x a ≥+为()()()*2xf x a f x -≤+≤，当1x ≤时，()*式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又2214732416x x x ⎛⎫-+-=---⎪⎝⎭（14x =时取等号）， 223339393241616x x x ⎛⎫-+=-+≥⎪⎝⎭（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤，当1x >，()*式为222x x a x x x--≤+≤+，322222x x x a x x --≤+≤+，又32322322x x x x ⎛⎫--=-+≤- ⎪⎝⎭（当23x =时取等号），222222x x xx+≥⨯（当2x =时取等号），所以232a -≤，综上47216a -≤≤，故选A ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）【2017年天津，理9，5分】已知a ∈R ，i 为虚数单位，若i 2i a -+为实数，则a 的值为 ． 【答案】2-【解析】()(2)(21)(2)2122(2)(2)555a i a i i a a i a a i i i i -----+-+===-++-为实数，则20,25a a +==-． （10）【2017年天津，理10，5分】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 ． 【答案】92π【解析】设正方体边长为a ，则226183aa =⇒=，外接球直径为344279233,πππ3382R a V R ===⨯=．（11）【2017年天津，理11，5分】在极坐标系中，直线4cos()106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为 ． 【答案】2【解析】直线为23210x y ++= ，圆为22(1)1xy +-= ，因为314d =< ，所以有两个交点．（12）【2017年天津，理12，5分】若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab++的最小值为 ． 【答案】4【解析】442241414a b a b ab ab+++≥≥ ，当且仅当2,1a b ==时取等号． （13）【2017年天津，理13，5分】在ABC △中，60A =︒∠，3AB =，2AC =．若2BD DC =u u u r u u u r ，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r ，则λ的值为 ． 【答案】311 【解析】32cos603AB AC ⋅=⨯⨯︒=u u u r u u u r，1233AD AB AC=+u u u r u u u r u u u r ，则()1233AD AE AB AC AC ABλ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r212334934333311λλλ=⨯+⨯-⨯-⨯=-⇒=．（14）【2017年天津，理14，5分】用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 个．（用数字作答）【答案】1080【解析】413454541080A C C A +=．三、解答题：本大题共6题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）【2017年天津，理15，13分】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =．（1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin(2)4A +的值． 解：（1）在ABC △中，a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =．由已知及余弦定理，2222cos 13b a c ac B =+-=，所以13b =sin sin a bA B=，得sin 313sin a B A b ==．所以b 13，sin A 313．（2）由（1）及a c <，得213cos A ，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos212sin 13A A =-=-．故πππ72sin(2)sin 2cos cos2sin 444A A A +=+． （16）【2017年天津，理16，13分】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为111,,234． （1）设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解：（1）随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3．1111(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=， 11111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=，1111111111(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=，1111(3)23424P X ==⨯⨯=． 所以，随机变量X 的分布列为X0 1 2 3P 14 112414 124随机变量X 的数学期望1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==1111111142424448=⨯+⨯=．所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148． （17）【2017年天津，理17，13分】如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D E N ，，分别为棱PA PC BC ，，的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =． （1）求证：//MN 平面BDE ；（2）求二面角C EM N --的正弦值； （3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为7，求线段AH 的长． 解：如图，以A 为原点，分别以AB u u u r ，AC u u u r ，APu u u r 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系．依题意可得()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,4,0C ，()0,0,4P ，()0,0,2D ，()0,2,2E ，()0,0,1M ，()1,2,0N ．（1）()0,2,0DE =uu u r ，()2,0,2DB =-u u u r．设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，则00DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u ur n n ， 即20220y x z =⎧⎨-=⎩．不妨设1z =，可得(1,0,1)=n ．又()1,2,1MN =-u u u u r，可得MN ⋅=u u u u rn ．因为MN ⊄平面BDE ，所以//MN 平面BDE ． （2）易知1(1,0,0)=n 为平面CEM 的一个法向量．设2(,,)x y z =n为平面EMN 的法向量，则220EM MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u ur n n ，因为(0,2,1)EM =--u u u u r ，(1,2,1)MN =-u u u u r ，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩．不妨设1y =，可得2(4,1,2)=--n．因此有121212cos ,|||21⋅<>==n n n n|n n 12105sin ,<>=n n．二面角C EM N--105（3）依题意，设AH h =（04h ≤≤），则()0,0,H h ，进而可得(1,2,)NH h =--u u u u r，(2,2,2)BE =-u u u r．由已知， 得2||7|cos ,|||||523NH BE NH BE NH BE h ⋅<>===+⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r u u u u r u u u r ，整理得2102180hh -+=，解得85h =，或12h =． 所以，线段AH 的长为85或12． （18）【2017年天津，理18，13分】已知{}na 为等差数列，前n 项和为()nS n *∈N ，{}nb 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}nb 的通项公式；（2）求数列{}221n n a b -的前n 项和()n *∈N ． 解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}nb 的公比为q ．由2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=．又因为0q >，解得2q =．所以，2nnb =．由3412b a a =-，可得138d a -=①．由114=11S b ，可得1516a d +=②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32na n =-．所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}nb 的通项公式为2nnb =．（2）设数列{}221n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，1214n n b --=，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯L ，23414245484(31)4n nT n +=⨯+⨯+⨯++-⨯L ，上述两式相减，得231324343434(31)4nn n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯L 112(14)4(31)414n n n +⨯-=---⨯-1(32)48n n +=--⨯-得1328433n nn T +-=⨯+．所以，数列{}221n n a b-的前n 项和为1328433n n +-⨯+．（19）【2017年天津，理19，14分】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12．已知A 是抛物线22(0)ypx p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12． （1）求椭圆的方程和抛物线的方程；（2）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ．若APD ∆6，求直线AP 的方程； 解：（1）设F 的坐标为(),0c -．依题意，12c a =，2p a =，12a c -=，解得1a =，12c =，2p =，22234ba c =-=．所以，椭圆的方程为22413y x +=，抛物线的方程为24yx=．（2）设直线AP 的方程为1(0)x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点2(1,)P m --，故2(1,)Q m-． 将1x my =+与22413y x +=联立，消去x ，整理得22(34)60my my ++=，解得0y =，或2634my m -=+． 由点B 异于点A ，可得点222346,3434m m B m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭．由21,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得直线BQ 的方程为22262342()(1)(1)()03434m m x y m m m m --+-+-+-=++，令0y =，解得222332m x m -=+，故2223(,0)32m D m -+． 所以2222236||13232m m AD m m -=-=++．又因为APD ∆的面积为6，故2216262||32m m m ⨯⨯=+，整理得 2326|20m m -+=，6||m ，6m =．直线AP的方程为3630x +-=，或3630x -=．（20）【2017年天津，理20，14分】设a ∈Z ，已知定义在R上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间()1,2 内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （1）求()g x 的单调区间；（2）设00[1,)(,2]m x x ∈U ，函数()()()()0h x g x m x f m =--，求证：()()00h m h x <；（3）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且00[1,)(,2],px x q ∈U 满足041||p x q Aq-≥． 解：（1）由432()2336f x xx x x a=+--+，可得32()()8966g x f x xx x '==+--，可得2()24186g x x x '=+-．令()0g x '=，解得1x =-，或14x =．当x 变化时，()(),g x g x '的变化情况如下表：x (),1-∞- 11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g x ' + - + ()g x ↗ ↘ ↗所以，()g x 的单调递增区间是(),1-∞-，1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭． （2）由0()()()()h x g x m x f m =--，得0()()()()h m g m m x f m =--，0()()()()h x g x m x f m =--．令函数10()()()()H x g x x x f x =--，则10()()()H x g x x x ''=-．由（1）知，当[1,2]x ∈时，()0g x '>，故当0[1,)x x ∈时，1()0H x '<，1()H x 单调递减；当0(,2]x x ∈时，1()0H x '>，1()H x 单调递增．因此，当00[1,)(,2]x x x ∈U 时，1100()()()0H x H x f x >=-=，可得1()0H m >，()0h m >．令函数2()()()()H x g x x x f x =--，则2()()()H x g x g x ''=-．由（1）知，()g x 在[1,2]上单调递增，故当0[1,)x x ∈时，2()0H x '>，2()H x 单调递增；当0(,2]x x ∈时，2()0H x '<，2()H x 单调递减．因此，当00[1,)(,2]x x x ∈U 时，220()()0H x H x <=，可得2()0H m <，0()0h x <． 所以，0()()0h m h x <．（3）对于任意的正整数p ，q ，且00[1)(,],2p x x q ∈U ，令pm q=，函数0()()()()h g m x x x m f =--．由（2）知，当0[1),m x ∈时，()h x 在区间0(,)m x 内有零点；当0(,2]m x ∈时()h x 在区间0(),x m 内有零点．所以()h x 在(1,2)内至少有一个零点，不妨设为1x ，则110()()()()0p ph g x f q x qx =--=． 由（1）知()g x 在[1,2]上单调递增，故10()()12()g x g g <<<，于是432234041()|()||2336|||||()()(2)2p pf f p p p q p q pq aq q q x qg x g g q +--+-=≥=．因为当[12],x ∈时，()0g x >，故()f x 在[1,2]上单调递增，所以()f x 在区间[1,2]上除0x 外没有其他的零点，而0p x q ≠，故()0pf q≠． 又因为p ，q ，a 均为整数，所以432234|2336|p p q p q pq aq +--+是正整数，从而432234|2336|1p p q p q pq aq +--+≥．041|2|()p x q g q-≥．只要取()2A g =，就有041||p x q Aq-≥．。