人教版八年级上册数学辅导 (第12次)

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人教版八年级数学上册第十二章全等三角形复习教案

（4）直角三角形：HL SSS SAS ASA AAS提醒：AAA,SSA不能判定三角形全等3.重点讲评解答题的15、19、21题15．王师傅常用角尺平分一个角，如图（1）；学生小明可用三角尺平分一个角，如图（2）；他们在∠AOB两边上分别取OM＝ON，前者使角尺两边相同刻度分别与M，N重合，角尺顶点为P；后者分别过M，N作OA，OB的垂线，交点为P，则射线OP平分∠AOB，均可由△OMP≌△ONP得知，其依据分别是．小组或个人。

提出问题，在学生回答后出示性质和判定学生分小组充分讨论各种情况，并回答自己的错误原因并正确讲解。

让学生做好知识储备通过对错题的再次解答，让学生熟练掌握三角形全等的几种判定方法，学会寻找证明三角形全等的隐含条件，（第15题）学生1答案：HL 学生2答案：SSS学生3答案：在角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上。

学生4答案：SSS，ASA常见的隐含条件：公共边，公共角，对顶角，边的加减，角的加减20..如图（1），在△AOB和△COD 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°．求证：①AC=BD；②∠APB=60°．投影15题，注意引导学生挖掘隐含条件。

学生分小组充分讨突出本节课重点难点.让学生发现问题，解决问在，找出一对加以证明；若不存在，请说明理由．移动△ABC进行变式练习：若把△ABC向左移动使点F与点B 重合，结论还成立吗？向右呢?多媒体出示变式练习的图形三.思路归纳判定两个三角形全等时，如果给出的条件不全面，就要根据已知的条件结合相应的判定方法进行分析。

三角形全等的判定思路：点评。

对于学生5的错误，让学生分析错误原因后，指定一生回答学生讨论时，老师巡视，并及时学生分小组充分讨论，并回答自己的错误原因并正确讲解。

让学生发现问题，解决问题。

从而掌握知识，形成能力，继续突出本节课重点难点。

通过变式训练，使学生由五.巩固应用：（1）自我完善考卷（写出正确答案，分析自己的错误原因）（2）针对性练习 1、如图，在△AEB 和△AFC 中，有下列论断：①∠EAC=∠FAB ；②AB=AC ；③BE=CF ；④AE=AF.请以其中三个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题.2、（1）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线AF 交BC 于F ，BD ⊥AF 于D ，CE ⊥AF 于E .求证：DE=BD-EC（2）对于（1）中的条件改为：直线AF 在△ABC 形外，与BC 的延长线相交于F ，其他条件不变，老师提出四个类型，鼓励学生积极讨论，最后归纳融合。

2024年人教版八年级上册数学第十二章全等三角形专题四全等三角形中的动点问题

人教版八年级上
第十二章全等三角形
专题四全等三角形中的动点问题
专题四
全等三角形中的动点问题
类型1 以 U 型框为背景的动点问题
1. [2024雅安月考]如图，做一个“U”字形框架
PABQ ，其中 AB ＝42 cm， AP ， BQ 足够长， PA ⊥
AB ， QB ⊥ AB ，点 M 从点 B 出发，向点 A 运动，
10厘米， BC ＝8厘米， CD ＝12厘米，∠ B ＝∠ C ，点 E
为 AB 的中点.如果点 P 在线段 BC 上以3厘米/秒的速度由
B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段 CD 上由 C 点向 D 点
运动.(1)ຫໍສະໝຸດ 点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过1秒
后，△ BPE 与△ CQP 是否全等？请说明理由.
∴ BE ＝5厘米，∴ BE ＝ PC ，
＝，
在△ BPE 和△ CQP 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ BPE ≌△ CQP (SAS).
1
2
3
4
专题四
全等三角形中的动点问题
(2)当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△ BPE 与△ CQP
全等？
【解】∵△ BPE 与△ CQP 全等，
∵∠ A ＝∠ B ＝90°，
∴使△ ACM 与△ BMN 全等，可分两种情况：
情况一：当 BM ＝ AC ， BN ＝ AM 时，
∵ BN ＝ AM ， AB ＝42 cm，
∴4 t ＋3 t ＝42，解得 t ＝6，
∴ AC ＝ BM ＝3×6＝18(cm)；
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专题四
全等三角形中的动点问题

八年级数学上册 12 全等三角形复习课教案 (新版)新人教版

第十二章全等三角形复习与交流教学内容本节课主要进行系统的复习，让学生建构出完整的知识体系．教学目标1．知识与技能理解全等三角形的性质与判定定理，以及角的平分线性质，会应用在实际的问题中． 2．过程与方法经历探究全等三角形有关性质和判定等概念，掌握几何的分析思想，能应用“综合法”表达问题．3．情感、态度与价值观发展学生的逻辑思维，提高合情推理能力，体会几何学的实际应用价值．重、难点与关键1．重点：应用全等三角形性质与判定定理解决实际问题．2．难点：分析思路的形成．3．关键：明确全等三角形的应用思想，养成说理有据的意识．教具准备投影仪、幻灯片．教学方法采用“精讲─精练”的教学方法，让学生自主构筑知识体系．教学过程一、回顾交流，系统跃进【交流讨论】教学形式：分四人小组，回顾小结．然后，教师请三位同学谈谈他是怎么总结的．【知识结构图】见课本，用投影显示．教师提问：1．举一些全等形的实例，全等三角形的对应边有什么关系？对应角呢？【学生活动】踊跃举手，发言：全等三角形对应角相等，对应边相等．【媒体使用】投影显示一些生活中的全等图形，配合学生的认知．【教师提问】一个三角形有三条边，三个角，从中任选三个来判定两个三角形全等，哪些是能够判定的？哪些是不能够判定的？【学生活动】小组讨论，互动交流．形成共识：（1）边边边；（2）边角边；（3）角边角；（4）角角边；（5）斜边、直角边（证Rt△）等能够判定两个三角形全等．（1）SSA，（2）AAA，是不能够判定两个三角形全等的．【教师提问】1．你对角的平分线有了哪些新的认识？•你能用全等三角形证明角的平分线性质吗？ 2．你能结合本章的有关问题，说一说证明一个结论的过程吗？【学生活动】小组讨论，形成共识．二、课堂演练，巩固学习【演练题1】如图1，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DA于F，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，求∠DFB和∠DGB的度数．（85°，60°）(1) (2) (3)【演练题2】如图2，点A，B，C，D在一条直线上，△ACE≌△BDF.求证：（1）AE∥BF；（2）AB=CD．[（1）∵△ACE≌△BDF，∴∠A=∠DBF，∴AE∥BF；（2）∵△ACE≌△BDF，•∴AC=BD，∴AB=CD]【演练题3】若△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A°，∠B=∠B′，且∠C=50°，∠B′=75°，AC=4cm；求∠A，∠B的度数及A′C′的长．（∠A=55°，∠B=75°，A′C′=4cm）【教师活动】操作投影仪，巡视、关注学生的思维，请三位学生上台演示．【学生活动】书面练习，与同伴交流，踊跃上台演示．【媒体使用】投影显示“演练题”，和学生的练习（实物投影）．【教学形式】自主、合作、交流．【教师活动】和学生一起总结，认识，提高．【评析】上述演练题主要是复习全等三角形性质．【演练题4】已知如图3，AD与CB交于O，AO=OD，CO=OB，EF过O与AB、CD•分别交于E、F，求证：∠AEO=∠DFO．【思路点拨】观察图形，分析已知条件和结论，欲证∠AEO=∠BFO，•只需证AB•∥DC，由已知条件易知△AOB≌△DOC，必有∠A=∠D，这样就可解得AB∥CD，•从而证明∠AEO=∠DFO．三、随堂练习，巩固深化课本P26复习题第4、7、10题．四、布置作业，专题突破1．课本P55--56复习题第2，3，5，6，9，11题．2．选用课时作业设计．五、板书设计把黑板分成两份，左边部分板书例题，右边部分板书学习练习题，重复使用六、疑难解析如图4，在△ABC中，∠1=∠2，∠3=∠4，∠A=60°，求证：CD+BE=BC．证明：在BC上截取BF=BE，连接IF．∵BI=BI，∠1=∠2，BF=BE，∴△BFI≌△BEI，∴∠5=∠6．∵∠1=∠2．∠3=∠4，∠A=60°，∴∠BIC=120°，∴∠5=60°．∴∠7=∠5=60°，∠6=∠5=60°，∠8=120°-60°=60°，∴∠7=∠8．∵∠3=∠4，CI=CI，∠7=∠8，∴△IDC≌△IFC，∴CD=CF．∴CD+BE=CF+BF，即CD+BE=BC．从上述例子可以归纳：证明m=b+c时，常用两种方法，（1）截长法，即在m•上截取一段等于b（或c），证明剩下一段等于c（或b）；（2）补短法：延长b（或c），•证明它们的和等于a，上述例子由于∠1=∠2，因此，在BC上截取BF=BE，连接HTY3IF是较为常用的方法．七、教学反思。

八年级数学上册教材培训(第12章数的开方第13章整式的乘除第14章勾股定理)

三、探究拓展：
已知有理数a满足
3 a a 4 a
，求a的值。
四、巩固提高
1、 9 的平方根是； 6.25 = 。 x 2 0.64 0，则x= 2.若 ; 若 2x 12 18 0 , 则x= . 4 3.将下列各数开平方：（1） 9 （2）0.36 （3） 2 16
问题4：求一个非负数的算术平方根与“开平方”有区别吗？求289的算术平方根。 (用数学符号语言表达)
问题5：求下列各式的值：(1)
400 （2） 1.96 （3） 1
40 81
自探（二）：阅读课本P4例3学习实践用计算器求非负数的算术平方根。
用计算器计算下列各式：（1） 676 = （2） 27.8784 = （3） 4.225 = （4 ） 16.89= ；（精确到0.01）；（精确到0.01）。；
52 122 （2） 4.求下列各式的值：（1）（3） 144 361 （4） 3 27
32
（2） 44 33 ; ;…仔细观察上面几道。
2 2
5.借助计算器可以求出：（1）42 32 (3) 4442 3332 ;(4) 4444 3333 L L 题的计算结果，试猜想 1444424443 133424343 4 4
4、 a（a≥0）是。 A.正数 B.零 C.负数 D.非负数
二、合作交流：
1、下列说法：（1）4是8的算术平方根；（2）-8是64的负的平方根；（3）一个数的算术平方根一定是正数；（4）100的算术平方根是10，记作 100 10 其中不正确的有个。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2、一个数的平方根是它本身，这个数是，一个数的算术平方根是它本身，这个数是。 3、一个正数的平方根是2m-1与-m+2,求m的值及这个正数。

人教版八年级数学上册课外辅导专题讲义：第12章全等三角形(添加辅助线)

点评_________________________________________________________________________
5、已知：如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，F为CD上一点，AF平分∠EAD。
求证：AE=BE+DF.
点评_________________________________________________________________________
探索新知识
一：找全等三角形的方法
1.可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等
的三角形中；
2.可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；
3.可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；
4.若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
二：三角形中常见辅助线的作法
二、全等的性质和判定
（1）全等三角形的判定方法：
（2）全等三角形的图形变换形式：
平移、对称、旋转
（3）由全等可得到的相关定理：
角平分线定理
等腰、等边三角形性质和判定
垂直平分线定理
学生根据老师的叙述提取相关知识_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
全等三角形（添加辅助线）

八年级数学上册第十二章知识点

八年级数学上册第十二章知识点篇1：八年级数学上册第十二章知识点八年级数学上册第十二章知识点全等三角形一、知识框架：二、知识概念：1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。

⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点。

⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边。

⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角。

2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性。

⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

3.全等三角形的判定定理：⑴边边边：三边对应相等的两个三角形全等。

⑵边角边()：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

⑶角边角()：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

⑷角角边()：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

⑸斜边、直角边()：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

4.角平分线：⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.(包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系)⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证。

⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

数学不能只依靠上课听得懂很多初中生认为自己只要上数学课听得懂就够了，但是一做到综合题就蒙了，基础题会做，但是会马虎。

这类问题都是学生在课堂上都以为自己听得懂就够了。

初中同学要首先对数学做一个认知，听得懂≠会做，会做≠拿的到分。

听得懂只占你数学成绩的20%，仅仅听得懂只说明你理解能力还可以，不说明你能拿到很高的数学成绩。

只有听的懂理解了加上练，再加上多练，达到最后又快又准的做出来，这时候的数学成绩才会有长足的进步。

八年级数学人教版上册第12章全等三角形12.3角平分线的性质(图文详解)

条件是：_______________，并给予证明.
A
E F
B
D
c
八年级数学上册第12章全等三角形
解法一：添加条件：AE＝AF，在△AED与△AFD中，
∵AE＝AF，∠EAD＝∠FAD，AD＝AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）. 解法二：添加条件：∠EDA＝∠FDA，
在△AED与△AFD中， ∵∠EAD＝∠FAD，AD＝AD，∠EDA＝∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）.
八年级数学上册第12章全等三角形
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 2.角平分线的判定：到角的两边的距离相等的点在角平分线上.
A
为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
3.作射线OC．
M
C
射线OC即为所求．
O
N
B
八年级数学上册第12章全等三角形
为什么OC是∠ＡＯＢ的角平分线?
证明:连结MC,NC由作法知: 在△OMC和△ONC中
OM=ON MC=NC OC=OC
O ∵△OMC≌△ONC(SSS) ∴∠AOC=∠BOC 即OC 是∠ＡＯＢ的角平分线.
将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC
画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.你能说明它的道
理吗？
B
E
C
A D
八年级数学上册第12章全等三角形
【证明】在△ACD和△ACB中
B
E
C
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
A D
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等）

人教版数学八年级上册期中复习串讲之课件精讲第十二章全等三角形课件

∠B=∠B′ ，
∴△ABC≌△A′B′C′ （ASA）.
三、三角形全等的判定方法 “角角边”判定方法: ◆文字语言：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
(可以简写成“角角边”或“AAS”). 几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，
∠A=∠A′ ，
∠B=∠B′ ，
BC=B′C′ ， ∴△ABC≌△A′B′C′ （ASA）.
三、三角形全等的判定方法直角三角形“HL”判定方法文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”). 几何语言：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
AB=A′B′
BC=B′C′ ∴Rt△ABC≌Rt△ A′B′C′ （HL）.
四、角平分线的性质与判定 1.角平分线的性质文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
3
典题自测迎战中考
1. 已知：如图， △AEF 与△ABC中，∠E =∠B, EF=BC.请你添加一个条件_____________________使 △AEF ≌ △ABC.
AE=AB
E
∠EAB=∠CAF
A ∠EFA=∠BCA ∠EAF=∠BAC
B
F
C
A 2.如图所示,△ABC为等边三角形,
DC=BE且DE⊥BE
D
A
图1
B
E C
图2
谢谢欣赏
且AD=DF.
试判断AC与BF有什么关系？并说明理由
思考BD=AD+CF吗？
C
E
F
A
D
B
4. 两个大小不同的等腰直角三角板摆放成如图1所示位置，
图2是由它抽象出的几何图形，B、C、E在同一条直线上，

2020年秋人教版八年级数学上册第12章《二次全等》(讲义、随堂测试、习题及答案)

人教版八年级数学上册第12章二次全等（讲义）➢课前预习1.回顾七年级学习的几何初步填空：遇到与角有关的计算和证明时，常见的思考角度：由平行想到_____________，____________，____________；由垂直想到__________________，_____________________；由外角想到_________________________________________．2.已知：如图，AB，CD相交于点O，AO=BO，CO=DO，过点O作EF交AC于点E，交BD于点F．求证：△BOF≌△AOE．➢精讲精练FCBOEDA1.已知：如图，点C为线段AB上一点，在△ACM，△CBN中，AC=CM，BC=CN，∠ACM=∠BCN=60°，连接AN交CM于点E，连接BM交CN于点F．求证：①△CAN≌△CMB；②△CEN≌△CFB．NMC FEBA2.已知：如图，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABC=∠BAD=90°，E，F分别为CD，BC边上的点，且∠EAF=45°，延长CB到点G，使BG=DE，连接EF，AG．求证：①△ADE≌△ABG；②EF=DE+BF．3.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC，BD相交于点E，BE=CE．求证：△ABC≌△DCB．GAB CEDFEDA4. 已知：如图，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE =CF ，过点E ，F 分别作ED ⊥AC 于点E ，FB ⊥AC 于点F ，连接AB ，CD ，BD ，BD 交AC 于点G ，AB =CD ．求证：△DEG ≌△BFG ．FCBGEDA5. 已知：如图，AB =AC ，BD =CD ，AD 与BC 交于点O ．求证：AD ⊥BC ．CA6. 已知：如图，在Rt △ABE 和Rt △ACF 中，∠E =∠F =90°，BE =CF ．BE 与AC 相交于点M ，与CF 相交于点D ，AB 与CF 相交于点N ，∠EAC =∠FAB ．求证：AM =AN ．NCBM EDA7. 已知：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，点D 是BC 的中点，DF ⊥AB 于F ，DE ⊥AC 于E ．试猜想AB 和AC 的数量关系，并证明你的猜想．F EA【参考答案】➢ 课前预习1. 同位角，内错角，同旁内角；直角三角形两锐角互余，同角或等角的余角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 2. 证明：如图，在△BOD 和△AOC 中，BO AOBOD AOCDO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△BOD ≌△AOC （SAS ）∴∠B =∠A （全等三角形对应角相等）在△BOF 和△AOE 中，B A BO AOBOF AOE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（对顶角相等） ∴△BOF ≌△AOE （ASA ） ➢ 精讲精练 1. 证明：如图，①∵∠ACM =∠BCN =60° ∴∠MCN =60° ∴∠ACN =∠MCB =120° 在△CAN 和△CMB 中，AC MC ACN MCB CN CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△CAN ≌△CMB （SAS ） ②∵△CAN ≌△CMB∴∠ANC =∠MBC （全等三角形对应角相等） ∵∠ECN =60°，∠FCB =60° ∴∠ECN =∠FCB 在△CEN 和△CFB 中，ECN FCB CN CB ENC FBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已证）（已知）（已证） ∴△CEN ≌△CFB （ASA ）①∵∠D =∠ABC =90° ∴∠ABG =90° ∴∠D =∠ABG在△ADE 和△ABG 中，AD AB D ABG DE BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ADE ≌△ABG （SAS ） ②∵△ADE ≌△ABG （已证） ∴AE =AG （全等三角形对应边相等） ∠EAD =∠GAB （全等三角形对应角相等） ∵∠EAF =45°，∠BAD =90° ∴∠BAF +∠EAD =45° ∴∠BAF +∠GAB =45° 即∠GAF =∠45° ∴∠GAF =∠EAF 在△AFE 和△AFG 中，AE AGEAF GAFAF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△AFE ≌△AFG （SAS ）∴EF =GF （全等三角形对应边相等） ∵GF =BG +BF ∴EF =DE +BF 3. 证明：如图，在△AEB 和△DEC 中，A D AEB DECBE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（对顶角相等）（已知） ∴△AEB ≌△DEC （AAS ）∴AB =DC （全等三角形对应边相等）在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，BC CBAB DC =⎧⎨=⎩（公共边）（已证） ∴△ABC ≌△DCB （HL ）∵AE =CF ∴AE+EF =CF+EF 即AF =CE∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ∴∠AFB =∠CED =90° 在Rt △ABF 和Rt △CDE 中，AB CDAF CE =⎧⎨=⎩（已知）（已证） ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE （HL ） ∴BF =DE （全等三角形对应边相等）在△DEG 和△BFG 中，DEG BFG EGD FGBDE BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（对顶角相等）（已证） ∴△DEG ≌△BFG （AAS ） 5. 证明：如图，在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CDAD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩（已知）（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠BAD =∠CAD （全等三角形对应角相等）在△BAO 和△CAO 中，AB AC BAO CAOAO AO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△BAO ≌△CAO （SAS ）∴∠AOB =∠AOC （全等三角形对应角相等） ∵∠AOB +∠AOC =180° ∴∠AOB =90° ∴AD ⊥BC 6. 证明：如图，∵∠EAC =∠FAB∴∠EAC +∠BAC =∠FAB +∠BAC 即∠BAE =∠CAF在△ABE 和△ACF 中，BAE CAFE FBE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已知）（已知） ∴△ABE ≌△ACF （AAS ）∴AE =AF （全等三角形对应边相等）在△AEM 和△AFN 中，E F AE AFEAM FAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已知）（已知） ∴△AEM ≌△AFN （ASA ）∴AM = AN （全等三角形对应边相等） 7. AB =AC ，理由如下：证明：如图， ∵DF ⊥AB ，DE ⊥AC∴∠AFD =∠AED =∠BFD =∠CED =90° ∵AD 平分∠BAC ∴∠FAD =∠EAD 在△AFD 和△AED 中，AFD AED FAD EADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△AFD ≌△AED （AAS ）∴DF =DE ，AF =AE （全等三角形对应边相等） ∵点D 是BC 的中点 ∴BD =CD在Rt △BFD 和Rt △CED 中，BD CDDF DE =⎧⎨=⎩（已证）（已证） ∴Rt △BFD ≌Rt △CED （HL ） ∴BF =CE （全等三角形对应边相等） ∴AF +BF =AE +CE 即AB =AC二次全等（随堂测试）1. 已知：如图，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且BD =CD ．求证：BE =CF ．F E DCB证明：如图，1.证明：如图，∵AD平分∠BAC∴∠EAD =∠F AD ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ∴∠AED =∠AFD =∠CFD =90° 在△AED 和△AFD 中，∴△AED ≌△AFD （AAS ）∴DE =DF （全等三角形对应边相等）在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ） ∴BE =CF （全等三角形对应边相等）二次全等（习题）➢ 例题示范例1：已知：如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，且BD =CE ，BE 交CD 于点O ．求证：AO 平分∠BAC ．【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：要证AO 平分∠BAC ，则需证明∠DAO =∠EAO ．要证∠DAO =∠EAO ，则需证明△AOD ≌△AOE ．要证△AOD ≌△AOE ，需找三组条件，其中必须有一组边．分析发现，AO =AO ，∠ADO =∠AEO =90°，已经有了两组条件，还需要一组条件．从已知条件出发，发现BD =CE ，∠BDO =∠CEO =90°，又因为∠1=∠2，可证明△BOD ≌△COE ．AED AFD EAD FADAD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边）BD CDDE DF =⎧⎨=⎩（已知）（已证）21O EDCBAA B CDEO由△BOD ≌△COE ，可为上面的全等准备一组条件OD =OE ．至此，在△AOD 和△AOE 中三组条件找全，利用HL结论．【过程书写】证明：如图 ∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC∴∠ADO =∠AEO =∠BDO =∠CEO =90° 在△BOD 和△COE 中12BDO CEO BD CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等）（已证）（已知） ∴△BOD ≌△COE （AAS ）∴OD =OE （全等三角形对应边相等）在Rt △AOD 和Rt △AOE 中AO AO OD OE=⎧⎨=⎩（公共边）（已证）∴Rt △AOD ≌Rt △AOE （HL ）∴∠DAO =∠EAO （全等三角形对应角相等） ∴AO 平分∠BAC➢ 巩固练习1. 已知：如图，△ABC 是等边三角形，AB =BC =AC ，∠ABC =∠ACB =60°，点E ，F 分别在AB ，AC 边上，∠EDF =60°，BD =CD ，∠DBC =∠DCB =30°，∠BDC =120°，延长AC 到点G ，使CG =BE ．求证：①△EBD ≌△GCD ；②△EFD ≌△GFD ．GFED C BA2.已知：如图，AB=AC，BD=CD，E是线段AD延长线上一点．求证：△ABE≌△ACE．3.已知：如图，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BC，CE⊥AB于点E，DF⊥证：CE=DF．EDCBAFEDCB A4. 已知：如图，点C ，D 在线段BE 上，BD =EC ，CA ⊥AB 于点A ，DF ⊥EF 于点F ，且AB =EF ．求证：CF =DA ．5. 已知：如图，在△PBC 中，D 为PB 上一点，PD =PC ，延长PC到点A ，使得PA =PB ，连接AD ，交BC 于点O ，连接PO ．求证：OD =OC ．FEDCBAOBDCA【参考答案】1. 证明：如图，①∵∠ABC =∠ACB =60°，∠DBC =∠DCB =30° ∴∠DBE =∠ABC+∠DBC =90° ∠DCG =180°-∠ACB -∠DCB =90° ∴∠DBE =∠DCG在△EBD 和△GCD 中，B DBE DCD CDGBE CG ∠=∠=⎧⎪⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△EBD ≌△GCD （SAS ） ②∵△EBD ≌△GCD （已证）∴DE =DG （全等三角形对应边相等）∠EDB =∠GDC （全等三角形对应角相等） ∵∠BDC =120°，∠EDF =60° ∴∠EDB +∠CDF =60° ∴∠GDC +∠CDF =60° 即∠GDF =60° ∴∠EDF =∠GDF在△EFD 和△GFD 中，D DE DGEDF GDFF DF =∠=∠⎧⎪⎨⎪=⎩（已证）（已证）（公共边） ∴△EFD ≌△GFD （SAS ） 2. 证明：如图，在△ABD 和△ACD 中，BD CDAD AD ⎪⎨⎪=⎩=（已知）（公共边） ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）∴∠BAD =∠CAD （全等三角形对应角相等）在△ABE 和△ACE 中，A AB ACBAE CAEE AE =∠=∠⎧⎪⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△ABE ≌△ACE （SAS ） 3. 证明：如图，在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，BC B BAADA ==⎧⎨⎩（公共边）（已知） ∴Rt △ACB ≌Rt △BDA （HL ） ∴AC =BD （全等三角形对应边相等） ∠CAB =∠DBA （全等三角形对应角相等） ∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ∴∠CEA =∠DFB =90° 在△ACE 和△BDF 中，CEA DFBCAE DBFAC BD ⎧⎪⎨∠=∠∠=⎪∠⎩=（已证）（已证）（已证） ∴△ACE ≌△BDF （AAS ）∴CE =DF （全等三角形对应边相等） 4. 证明：如图，∵CA ⊥AB ，DF ⊥EF ∴∠CAB =∠DFE =90° ∵BD =EC ∴BD +DC =EC +DC 即BC =ED在Rt △ABC 和Rt △FED 中，BC EDAB FE =⎧⎨=⎩（已证）（已知） ∴Rt △ABC ≌Rt △FED （HL ）∴∠B =∠E （全等三角形对应角相等）在△ABD 和△FEC 中，B EBD EC ⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已知） ∴△ABD ≌△FEC （SAS ）∴CF =DA （全等三角形对应边相等） 5. 证明：如图，在△ADP 和△BCP 中，PD PCAPD BPCPA PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（公共角）（已知） ∴△ADP ≌△BCP （SAS ）∴∠A =∠B （全等三角形对应角相等） ∵PD =PC ，PB =PA ∴PD -PB =PA -PC 即BD =AC在△BOD 和△AOC 中，BOD AOCB ABD AC ⎧⎪∠=∠⎪=∠⎩=⎨∠（对顶角相等）（已证）（已证） ∴△BOD ≌△AOC （AAS ）∴OD =OC （全等三角形对应边相等）。

人教版八年级上册数学辅导 (第12次)

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