2019版一轮文数练习：第七章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系含解析

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高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第7章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系Word版含解析

第三节空间点、直线、平面之间的位置关系[考纲传真 ] 1.理解空间直线、平面地点关系的定义 .2.认识能够作为推理依据的公义和定理 .3.能运用公义、定理和已获取的结论证明一些空间地点关系的简单命题．1．平面的基天性质(1)公义 1：假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．(2)公义 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公义 3：假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的地点关系3.平行公义 (公义 4)和等角定理平行公义：平行于同一条直线的两条直线相互平行．等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．4．异面直线所成的角(1)定义：设 a ，b 是两条异面直线，经过空间中任一点 O 作直线 a ′∥ a ，b ′ ∥ b ，把 a ′与 b ′所成的锐角 (或直角 )叫做异面直线 a 与 b 所成的角．π(2)范围： 0，2 .1．(思虑辨析 )判断以下结论的正误． (正确的打“√”，错误的打“×” )(1)两个平面 α，β有一个公共点 A ，就说 α， β订交于过 A 点的随意一条直线．()(2)两两订交的三条直线最多能够确立三个平面．() (3)假如两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．()(4)若直线 a 不平行于平面 α，且 a?α，则 α内的全部直线与 a 异面． ()[答案 ](1)× (2)√ (3)× (4)× ．教材改编 )如图 7-3-1 所示，在正方体 1 1 1 1 中，E ，F 分别是2 ( ABCD-A B C DAB ，AD 的中点，则异面直线 B C 与 EF 所成的角的大小为 ( )1图 7-3-1A．30° B.45 °C．60° D.90 °C[连结B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C 为所求的角，又 B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝ 60°.]3．在以下命题中，不是公义的是()A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．假如一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上全部的点都在此平面内D．假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线A[A不是公义，是个常用的结论，需经过推理论证；B，C，D是平面的基天性质公义．]线4．(2016 ·东高考山 )已知直线 a， b 分别在两个不一样的平面a 和直线b 订交”是“平面α和平面β订交”的()α，β内，则“直A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件A[由题意知a?α，b?β，若a，b订交，则a，b有公共点，进而α，β有公共点，可得出α，β订交；反之，若α，β订交，则 a，b 的地点关系可能为平行、订交或异面．所以“直线 a 和直线 b 订交”是“平面α和平面β订交”的充足不必需条件．应选 A.]5．若直线 a⊥b，且直线 a∥平面α，则直线 b 与平面α的地点关系是 ________．b 与α订交或 b? α或 b∥α平面的基天性质如图 7-3-2，正方体 ABCD -A1B1C1D1中，E，F 分别是 AB 和 AA1的中点．求证：图 7-3-2(1)E， C， D1，F 四点共面；(2)CE，D1 F，DA 三线共点．【导学号： 01772249】[证明 ](1)如图，连结 EF， CD1，A1B.∵E， F 分别是 AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.2 分又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F 四点共面 .5 分(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE 与 D1F 必订交，设交点为P，则由 P∈直线CE，CE? 平面 ABCD，得 P∈平面ABCD.8 分同理 P∈平面ADD 1A1 .又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝ DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA 三线共点 .12 分[规律方法 ] 1.证明线共面或点共面的常用方法：(1)直接法：证明直线平行或订交，进而证明线共面．(2)归入平面法：先确立一个平面，再证明相关点、线在此平面内．(3)协助平面法：先证明相关的点、线确立平面α，再证明其他元素确立平面β，最后证明平面α，β重合．2．证明点共线问题的常用方法：(1)基天性质法：一般转变为证明这些点是某两个平面的公共点，再依据基天性质 3 证明这些点都在这两个平面的交线上．(2)归入直线法：选择此中两点确立一条直线，而后证明其他点也在该直线上．[变式训练 1]如图 7-3-3 所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形， BC 綊1，BE綊1，2AD2FAG， H 分别为 FA，FD 的中点．图 7-3-3(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C， D，F，E 四点能否共面？为何？1[解](1)证明：由已知 FG＝GA，FH＝HD，得 GH 綊2AD.2 分1又 BC 綊2AD，∴GH 綊 BC，∴四边形 BCHG 是平行四边形 .5 分(2)C， D，F，E 四点共面，原因以下：1由 BE 綊2AF，G 为 FA 的中点知 BE 綊 GF，∴四边形 BEFG 为平行四边形，∴ EF∥ BG.8 分由(1)知 BG∥CH，∴EF∥CH，∴EF 与 CH 共面．又 D∈FH，∴C，D，F，E 四点共面 .12 分空间直线的地点关系(1)(2015 广·东高考 )若直线 l1和 l 2是异面直线， l1在平面α内，l2在平面β内， l 是平面α与平面β的交线，则以下命题正确的选项是 ()【导学号： 01772250】A．l 与 l1， l2都不订交B．l 与 l 1， l2都订交C．l 至多与 l1，l 2中的一条订交D．l 起码与 l 1，l 2中的一条订交(2)(2017 郑·州模拟 )在图 7-3-4 中，G，H，M ，N 分别是正三棱柱的极点或所在棱的中点，则表示直线 GH，MN 是异面直线的图形有 ________(填上全部正确答案的序号 )．①②③④图 7-3-4(1)D(2)②④ [(1) 由直线 l 1和 l2是异面直线可知l1与 l 2不平行，故 l1，l 2中起码有一条与 l 订交．(2)图①中，直线GH∥MN ；图②中， G，H，N 三点共面，但M?平面 GHN，所以直线 GH 与 MN 异面；图③中，连结MG，GM ∥HN，所以 GH 与 MN 共面；图④中， G， M，N 共面，但 H?平面 GMN，所以 GH 与 MN 异面，所以在图②④中， GH 与 MN 异面． ][规律方法 ] 1.异面直线的判断方法：(1)反证法：先假定两条直线不是异面直线，即两条直线平行或订交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，进而否认假定，一定两条直线异面．(2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线．2．点、线、面地点关系的判断，要注意几何模型的选用，常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的地点关系．[变式训练 2] (2017 ·烟台质检 )a， b， c 表示不一样的直线， M 表示平面，给出四个命题：①若 a∥M，b∥M，则 a∥b 或 a，b 订交或 a，b 异面；②若 b? M，a∥b，则 a∥M；③若 a⊥c，b⊥c，则 a∥ b；④若 a⊥ M，b⊥M，则 a∥b.此中正确的为 ()A．①④C．③④B.②③D.①②A[关于①，当a∥M，b∥M时，则a与b平行、订交或异面，①为真命题．②中， b? M，a∥b，则 a∥M 或 a? M，②为假命题．命题③中， a 与 b 订交、平行或异面，③为假命题．由线面垂直的性质，命题④为真命题，所以①④为真命题． ]异面直线所成的角(1)如图 7-3-5，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中， AA1＝ 2AB＝2，则异面直线A1B 与 AD1所成角的余弦值为()图 7-3-512A.5B.534C.5D.5(2)(2016 全·国卷Ⅰ )平面α过正方体1 1 1 1 的极点A，α∥平面ABCD-A B C D1 1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB11＝n，则m，n所成角的正弦值为()CB D A32A. 2B. 231C. 3D.3(1)D (2)A[(1) 连结 BC1，易证 BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角．111连结 A C ，由 AB＝1，AA ＝2，则 A1C1＝ 2，A1B＝BC1＝ 5，在△A1BC1中，由余弦定理得5＋5－24cos∠A1BC1＝＝.2×5×55(2)设平面 CB1D1∩平面 ABCD＝m1 .∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.又平面 ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面 CB1D1∩平面 A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m.∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面 CB1D1∩平面 DCC1D1＝ CD1，同理可证 CD1∥n.所以直线 m 与 n 所成的角与直线 B1D1与 CD1所成的角相等，即∠CD1B1为 m，n所成的角．在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，3故直线 B1D1与 CD1所成角为 60°，其正弦值为 2 .][规律方法 ] 1.求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移方法一般有三种种类：利用图中已有的平行线平移；利用特别点(线段的端点或中点 )作平行线平移；补形平移．2．求异面直线所成角的三个步骤：(1)作：经过作平行线，获取订交直线的夹角．(2)证：证明订交直线夹角为异面直线所成的角．(3)求：解三角形，求出作出的角，假如求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，假如求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．[变式训练 3]如图 7-3-6，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形， C 是圆柱下底面弧 AB 的中点， C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与 BC 所成角的正切值为 ________．图 7-3-62[取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连结C1D，AD，则由于 C 是圆柱下底面弧AB 的中点，所以 AD∥BC，所以直线 AC1与 AD 所成角等于异面直线AC1与 BC 所成角，由于 C1是圆柱上底面弧 A1B1的中点，所以 C1D⊥圆柱下底面，所以 C1 D⊥AD.由于圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以 C1D＝2AD，所以直线 AC1与 AD 所成角的正切值为2，高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第7章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系Word版含解析所以异面直线 AC1与 BC 所成角的正切值为 2.][思想与方法 ]1．主要题型的解题方法(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确立一个平面，再证其他直线或点也在这个平面内(即“归入法”)．(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只需证明这些点都是这两个平面的公共点，依据公义 3 可知这些点在交线上．2．判断空间两条直线是异面直线的方法(1)判断定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线．(2)反证法：证明两线不行能平行、订交或证明两线不行能共面，进而可得两线异面．3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是经过平行挪动直线，把异面问题转变为订交直线的夹角，表现了转变与化归思想．[易错与防备 ]1．异面直线不一样在任何一个平面内，不可以错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线．2．直线与平面的地点关系在判断时最易忽略“线在面内”．3．两异面直线所成的角归纳到一个三角形的内角时，简单忽略这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．。

高考数学一轮复习第七章第三节空间点直线平面之间的位置关系文湘教

解析：不相交的直线 a，b 的位置有两种：平行或异面．当
a，b 异面时，不存在平面 α 满足 A，C；又只有当
a⊥b 时，D 才可能成立．
答案：C
12/11/2021
2．如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是( ) A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面
[答案] D
12/11/2021
在本例条件下，若点P在平面A1C1内且不在对角线 B1D1上，过点P在平面A1C1内作一直线m，使m与直线 BD成α角，且α∈0，π2.这样的直线可作几条？解：在平面A1C1内作m，使m与B1D1相交成α角．∵BD∥ B1D1，∴直线m与BD也成α角．即m为所求．且m与BD是异面直线，当α＝π2时，m只有一条，当α≠π2时，这样的直线有两条．
是
()
A．b⊂α
B．b∥α
C．b⊂α或b∥α
D．b与α相交或b⊂α或b∥α
解析： b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α 都可以．
答案：D
12/11/2021
1．求异面直线所成角的方法 (1)平移法：即选点平移其中一条或两条直线使其转化为平面角问题，这是求异面直线所成角的常用方法． (2)补形法：即采用补形法作出平面角． 2．证明共面问题的两种途径 (1)首先由条件中的部分线(或点)确定一个平面，再证其他线(或点)在此平面内； (2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证明这两个平面重合．
12/11/2021
4．设a，b，c是空间的三条直线，下面给出四个命题： ①若a⊥b，b⊥c，则a∥c； ②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线； ③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交； ④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是________．

高考数学大一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系理

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4．公理 2 的三个推论推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
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公理中“有且只有”一个平面的含义是什么？提示：平面存在且唯一，“有且只有”有时说成“确定”．
3 连接 AO，在 Rt△AOD 中，cos∠ADO＝DADO＝22＝34.
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求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行．
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(2014·大纲全国卷)已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的
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3．定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
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(1)不相交的两条直线是异面直线吗？ (2)不在同一平面内的直线是异面直线吗？提示：(1)不一定，不相交的两条直线可能平行，也可能异面． (2)不一定，不在同一平面内的直线可能异面，也可能平行．
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(2)∵EF 綊12CD1，
∴直线 D1F 和 CE 必相交．设 D1F∩CE＝P.延长 D1F、CE 交于点 P. ∵P∈D1F 且 D1F⊂平面 AA1D1D，∴P∈平面 AA1D1D. 又 P∈EC 且 CE⊂平面 ABCD，∴P∈平面 ABCD，即 P 是平面 ABCD 与平面 AA1D1D 的公共点，而平面 ABCD∩ 平面 AA1D1D＝AD，∴P∈AD. ∴CE、D1F、DA 三线共点．
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(2)已知空间四边形 ABCD 中，E，H 分别是边 AB，AD 的中点，F，G 分别是边 BC，CD 的中点．

[精品课件]2019届高考数学一轮复习第七章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系课件文新

[解析] ①显然是正确的，可用反证法证明；②中若 A、B、C 三点共线，则 A、B、C、D、E 五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然 b、c 异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面．故只有①正确．
[答案] B
2．(2018·安顺模拟)如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点，求证：
题型占 5～8 分
[知识梳理] 1．平面的基本性质及推论 (1)平面的基本性质：基本性质 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内．基本性质 2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．基本性质 3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．
方法感悟 1．点线共面问题证明的 2 种方法 (1)纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内； (2)辅助平面法：先证有关点、线确定平面 α，再证其余点、线确定平面 β，最后证明平面 α，β 重合． 2．证明多线共点问题的 2 个步骤 (1)先证其中两条直线交于一点； (2)再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理 3 证明．
[答案] C
5．(2018·河北省唐山市二模)正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 6， E 点在棱 BC 上，且 BE＝2EC，过 E 点的直线 l 与直线 AA1，C1D1 分别交于 M，N 两点，则 MN 等于( )
A．3 13
B．9 5
C．14
D．21
[解析] 根据题意作图，由图可知：AC11DF1＝NNDC11＝13， NC1＝3，∴FN＝ 13，
[答案] ①③

2019版一轮文数(人教A版)课件：第七章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系

2．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点则这四个点不共面的一个图是(
D
)
解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．
3．以下四个命题中， ①不共面的四点中，其中任意三点不共线； ②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B， C，D，E共面； ③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是( A． 0 C． 2 ) B．1 D． 3
解析：①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A，B， C，但是若A，B，C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
答案：B
(1)E，C，D1，F 四点共面； (2)CE，D1F，DA 三线共点．
证明：(1)连接EF，CD1，A1B. ∵E，F分别是AB，AA1的中点， ∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C， ∴EF∥CD1， ∴E，C，D1，F四点共面． (2)∵EF∥CD1，EF＜CD1， ∴CE与D1F必相交，设交点为P，
第七章立体几何第三节空间点、直线、平面之间的位置关系
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1．理解空间直线、平面位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的公理和定理． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题．
平行共面直线相交异面直线：不同在
任何
一个平面内

2019届高三文数一轮复习第3节空间点、直线、平面之间的位置关系

在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有
答案的序号)
.(填上所有正确
解析:(2)在图①中,直线GH∥MN; 在图②中,G,H,N三点共面,但M∉面GHN,N∉GH,因此直线GH与MN异面; 在图③中,连接GM,GM∥HN,因此GH与MN共面; 在图④中,G,M,N共面,但H∉面GMN,G∉MN, 因此GH与MN异面,所以在图②④中GH与MN异面. 答案:(2)②④
︱高中总复习︱一轮·文数
(2)(2017·南昌一模)已知a,b,c是相异直线,α ,β ,γ 是相异平面,则下列命
题中正确的是(
)
(A)a与b异面,b与c异面⇒a与c异面 (B)a与b相交,b与c相交⇒a与c相交
(C)α ∥β ,β ∥γ ⇒α ∥γ
(D)a⊂α ,b⊂β ,α 与β 相交⇒a与b相交解析:(2)A中,a与c关系不确定;B中,a与c关系不确定;C中,平行平面间的关系具有传递性,C正确;D中,a与b关系不确定.故选C.
︱高中总复习︱一轮·文数
反思归纳
判定空间直线位置关系的方法
空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、平行和垂直的判定,对于异面
直线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线
面垂直的性质来解决.
︱高中总复习︱一轮·文数
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(2)如图所示,平面α ∩平面β =l,点A∈α ,点B∈α ,点C∈β ,点C∉l,又AB∩l=
R,设A,B,C三点确定的平面为γ ,则β ∩γ 是(
(A)直线AC (B)直线BC (C)直线CR (D)以上均错解析:(2)因为AB∩l=R,所以R∈l,R∈AB, 又因为l⊂β,所以R∈β, 又因为AB⊂γ,所以R∈γ,

2019届高考数学一轮第七篇第3节空间点、直线、平面之间的位置关系

第3节空间点、直线、平面之间的位置关系【选题明细表】基础巩固(时间:30分钟)1.已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则( D )(A)m与n异面(B)m与n相交(C)m与n平行(D)m与n异面、相交、平行均有可能解析:在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是m∥n1,所以A,B 错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.2.如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( D )解析: 在A图中分别连接PS,QR,易证PS∥QR,所以P,Q,R,S共面;在C图中分别连接PQ,RS,易证PQ∥RS,所以P,Q,R,S共面;在B图中过P,Q,R,S可作一正六边形,故四点共面;D图中PS与QR为异面直线,所以四点不共面,故选D.3.如图是某个正方体的侧面展开图,l1,l2是两条侧面对角线,则在正方体中,l1与l2( D )(A)互相平行(B)异面且互相垂直(C)异面且夹角为(D)相交且夹角为解析:将侧面展开图还原成正方体如图所示,则B,C两点重合.故l1与l2相交,连接AD,△ABD为正三角形,所以l1与l2的夹角为.故选D.ABCD中,M,N分别为AB,CD的中点,则下列判断:①MN≥(AC+BD);②MN>(AC+BD);③MN=(AC+BD);④MN<(AC+BD).其中正确的是( D )(A)①③(B)②④(C)② (D)④解析:如图,取BC的中点O,连接MO,NO,则OM=AC,ON=BD.在△MON中,MN<OM+ON=(AC+BD),所以④正确.5.在正方体ABCD A1B1C1D1中,P,Q,R分别是AB,AD,B1C1的中点,那么正方体过P,Q,R的截面图形是( D )(A)三角形(B)四边形(C)五边形(D)六边形解析:如图所示,作RG∥PQ交C1D1于G,连接QP并延长与CB延长线交于M,且QP反向延长线与CD延长线交于N,连接MR交BB1于E,连接PE,则PE,RE为截面与正方体的交线,同理连接NG交DD1于F,连接QF,FG,则QF,FG为截面与正方体的交线,所以截面为六边形PQFGRE.D ABC的三视图,点O在三个视图中都是所在边的中点,则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于( A )(A) (B)(C) (D)解析:由题意得如图的直观图,从A出发的三条线段AB,AC,AD两两垂直且AB=AC=2,AD=1,O是BC中点,取AC中点E,连接DE,DO,OE,则OE=1.又可知AE=1,由于OE∥AB,故∠DOE或其补角即为所求两异面直线所成的角.在直角三角形DAE中,DE=,由于O是中点,在直角三角形ABC 中可以求得AO=.在直角三角形DAO中可以求得DO=,又EO=1,所以△DOE为直角三角形,cos∠DOE==,故所求余弦值为,故选A.7.如图所示,在三棱锥A BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.解析:易知EH∥BD∥FG,且EH=BD=FG,同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF=EH,即AC=BD;要使平行四边形EFGH为正方形需满足EF=EH且EF ⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.答案:AC=BD AC=BD且AC⊥BD·安庆市二模)正四面体ABDC中,E,F分别为边AB,BD的中点,则异面直线AF,CE所成角的余弦值为. 解析:如图,连接CF,取BF的中点M,连接CM,EM,则ME∥AF,故∠CEM(或其补角)即为所求的异面直线所成的角.设这个正四面体的棱长为2,在△ABD中,AF==CE=CF,EM=,CM=.所以cos∠CEM==.答案:能力提升(时间:15分钟)9.如图,ABCD A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( A )(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1不共面(C)A,M,C,O不共面(D)B,B1,O,M共面解析:连接A1C1,AC,则A1C1∥AC,所以A1,C1,C,A四点共面,所以A1C⊂平面ACC1A1,因为M∈A1C,所以M∈平面ACC1A1,又M∈平面AB1D1,所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上,又A在平面ACC1A1和平面AB1D1的交线上.所以A,M,O三点共线.B,C 不正确,BB1与AO异面,所以D不正确.故选A.10.长方体ABCD A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上,E为AB的中点,CE=3,异面直线A1C1与CE所成角的余弦值为,且四边形ABB1A1为正方形,则球O的直径为( C )(A)4 (B)(C)4或(D)4或5解析:设AE=x,则BC=,AC=.因为A1C1∥AC,所以∠ACE为异面直线A1C1与CE所成的角,由余弦定理得=,所以x4-7x2+6=0,所以x2=1或6,所以x=1或.设球O的半径为R,则2R===4或.故选C.11.如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,M,N分别是棱C1D1,C1C的中点,给出以下四个结论:①直线AM与直线C1C相交;②直线AM与直线BN 平行;③直线AM与直线DD1异面;④直线BN与直线MB1异面.其中正确结论的序号为.(把你认为正确的结论的序号都填上)解析:AM与C1C异面,故①错;AM与BN异面,故②错.易知③④正确. 答案:③④12.在正三棱柱ABC A1B1C1中,D是AC的中点,AA1∶AB=∶1,则异面直线AB1与BD所成的角为.解析:如图,取A1C1的中点D1,连接B1D1,因为D是AC的中点,所以B1D1∥BD,所以∠AB1D1即为异面直线AB1与BD所成的角.连接AD1,设AB=a,则AA1=a,所以AB1=a,B1D1=a,AD1==a.所以,在△AB1D1中,由余弦定理得cos∠AB1D1===,所以∠AB1D1=60°.答案:60°,在体积为的正三棱锥A BCD中,BD长为2,E为棱BC的中点,求:(1)异面直线AE与CD所成角的余弦值;(2)正三棱锥A BCD的表面积.解:(1)过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,则O为△BCD的中心,由××22×3×AO=,得AO=1.又在正三角形BCD中得OE=1,所以AE=.取BD中点F,连接AF,EF,故EF∥CD,所以∠AEF就是异面直线AE与CD所成的角.在△AEF 中,AE=AF=,EF=.所以cos∠AEF==.所以,异面直线AE与CD所成的角的余弦值为.(2)由AE=可得正三棱锥A BCD的侧面积为S=3··BC·AE=×2×=3,所以正三棱锥A BCD的表面积为S=3+·BC2=3+3.。

2019届高考数学一轮必备考情分析学案：8.3《空间点、直线、平面之间的位置关系》(含解析)

8.3空间点、直线、平面之间的位置关系考情分析1．本讲以考查点、线、面的位置关系为主，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力． 2．有时考查应用公理、定理证明点共线、线共点、线共面的问题． 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单基础知识1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内． (2)公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 2．直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类⎩⎨⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a′∥a ，b′∥b ，把a′与b′所成的锐角或直角叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎥⎤0，π2.3．直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5．平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．6．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．注意事项1异面直线的判定方法：[:(1)判定定理：平面外一点A 与平面内一点B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线． (2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．2. (1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内． (2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法． (3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．题型一平面的基本性质【例1】正方体ABCDA1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点，那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是( )．A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形解析如图所示，作RG∥PQ交C1D1于G，连接QP并延长与CB交于M，连接MR交BB1于E，连接PE、RE为截面的部分外形．同理连PQ并延长交CD于N，连接NG交DD1于F，连接QF，FG.∴截面为六边形PQFGRE.答案 D【变式1】下列如图所示是正方体和正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则四个点共面的图形是________．解析在④图中，可证Q点所在棱与面PRS平行，因此，P、Q、R、S四点不共面．可证①中四边形PQRS为梯形；③中可证四边形PQRS为平行四边形；②中如图所示取A1A与BC的中点为M、N可证明PMQNRS为平面图形，且PMQNRS 为正六边形．答案①②③题型二异面直线【例2】4．已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )A．与a，b都相交B．只能与a，b中的一条相交C．至少与a，b中的一条相交D．与a，b都平行解析：若c与a、b都不相交，则c与a、b都平行．根据公理4，则a∥b.与a、b异面矛盾．答案：C【训练2】在下图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．解析如题干图(1)中，直线GH ∥MN ；图(2)中，G 、H 、N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图(3)中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图(4)中，G 、M 、N 共面，但H ∉面GMN ，∴GH 与MN 异面．所以图(2)、(4)中GH 与MN 异面．答案 (2)(4)题型三异面直线所成的角【例3】如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，将△ABD 沿对角线BD 折起到△A′BD的位置，使点A′在平面BCD 内的射影点O 恰好落在BC 边上，则异面直线A′B 与CD 所成角的大小为________．解析：如题图所示，由A′O⊥平面ABCD ，[: 可得平面A′BC⊥平面ABCD ，又由DC ⊥BC 可得DC ⊥平面A′BC，DC ⊥A′B，即得异面直线A′B 与CD 所成角的大小为90°.【变式3】 A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点． (1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线． (2)解如图，取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.题型四点共线、点共面、线共点的证明【例4】►正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 和AA 1的中点．求证： (1)E 、C 、D 1、F 四点共面； (2)CE 、D 1F 、DA 三线共点．证明 (1)如图，连接EF ，CD 1，A 1B.∵E 、F 分别是AB 、AA 1的中点， ∴EF ∥BA 1.又A 1B ∥D 1C ，∴EF ∥C D 1， ∴E 、C 、D1、F 四点共面． (2)∵EF ∥CD 1，EF ＜CD 1， ∴CE 与D 1F 必相交，设交点为P ，则由P ∈CE ，CE ⊂平面ABCD ，得P ∈平面ABCD. 同理P ∈平面ADD 1A 1.又平面ABCD∩平面ADD 1A 1＝DA ，∴P ∈直线DA ，∴CE 、D 1F 、DA 三线共点．【变式4】如图所示，已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分别是边BC 、CD 上的点，且CF CB ＝CG CD ＝23，求证：三条直线EF 、GH 、AC 交于一点．证明 ∵E 、H 分别为边AB 、AD 的中点， ∴EH 綉12BD ，而CF CB ＝CG CD ＝23，∴FG BD ＝23，且FG ∥BD. ∴四边形EFGH 为梯形，从而两腰EF 、GH 必相交于一点P. ∵P ∈直线EF ，EF ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC. 同理，P ∈平面ADC.∴P 在平面ABC 和平面ADC 的交线AC 上，故EF 、GH 、AC 三直线交于一点．【例5】l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列( )．A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面解析在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．答案 B巩固提高[:1．设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列( ) A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC解析：A中，若AC与BD共面，则A、B、C、D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A、B、C、D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.答案：C2．已知a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，b⊥c，a⊥d，b⊥d，那么( )A．a∥b且c∥dB．a、b、c、d中任意两条可能都不平行C．a∥b或c∥dD．a、b、c、d中至多有一对直线互相平行解析：若a与b不平行，则存在平面β，使得a⊂β且b⊂β，由a⊥c，b⊥c，知c⊥β，同理d⊥β，所以c∥d.若a∥b，则c与d可能平行，也可能不平行．结合各选项知选C.答案：C3．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得( )A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥α D．a⊂α，b⊥α[:解析：不相交的直线a，b的位置有两种：平行或异面．当a，b异面时，不存在平面α满足A、C；又只有当a⊥b时，D才可能成立．答案：B4．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BC D，那么直线AB与CD的位置关系是( )A．AB∥CDB． AB与CD异面C．AB与CD相交[:D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交解：若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.答案：D5．a，b，c是空间中的三条直线，下面给出三个①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；③若a，b与c成等角，则a∥b.上述解析：由基本性知①正确；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故②不正确；当a，b与c成等角时，a与b可以相交、平行，也可以异面，故③不正确．答案：①答案：90°。

2019-2020年高考数学一轮总复习第七章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系练习

2019-2020年高考数学一轮总复习第七章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系练习一、选择题1. 下列命题正确的个数为()①经过三点确定一个平面；②梯形可以确定一个平面；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．A．0B．1C．2D．3[解析]经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．[答案]C2．(xx·台州模拟)以下四个命题中：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[解析]①中显然是正确的；②中若A、B、C三点共线则A、B、C、D、E五点不一定共面．③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面故不正确．④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确．[答案]B3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是()①P∈a，P∈α⇒aα；②a∩b＝P，bβ⇒aβ；③a∥b，aα，P∈b，P∈α⇒bα；④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b.A．①②B．②③C．①④D．③④[解析]当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但aα，∴①错；a∩β＝P时，②错；如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，∴由直线a与点P确定唯一平面α，又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，∴β与α重合，∴bα，故③正确；两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．[答案]D4．(xx·东城模拟)设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是() A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC[解析]A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.[答案]C5．如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∈l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M[解析]∵ABγ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．[答案]D6．如图是一正方体的表面展开图，MN和PB是两条面对角线，则在正方体中，直线MN与直线PB的位置关系为()A．相交B．平行C．异面D．重合[解析]将表面展开图折起还原为正方体，如图，故MN与PB异面．[答案]C7．已知空间中有三条线段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是()A．AB∥CDB．AB与CD异面C．AB与CD相交D．AB∥CD或AB与CD异面或AB与CD相交[解析]若三条线段共面，如果AB、BC、CD构成等腰三角形，则直线AB与CD相交，否则直线AB与CD平行；若不共面，则直线AB与CD是异面直线，故选D.[答案]D8．以下四个命题中，正确命题的个数是()①有三个角是直角的四边形一定是矩形；②不共面的四点可以确定四个面；③空间四点不共面的充要条件是其中任意三点不共线；④若点A、B、C∈平面M，且点A、B、C∈平面N，则平面M与平面N重合．A．0 B．1C．2 D．3[解析]如图(1)，平面α内∠ABC为直角，P∉α，过P作PD⊥AB，PE⊥BC，则四边形PDBE有三个直角，故①错误；在图(2)的平面α内，四边形ABCD中任意三点不共线，知③错误；图(3)中，M∩N＝l，A、B、C都在l上，知④错误，只有②正确．[答案] B9．(xx·天津和平模拟)已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 是AA 1的中点，则异面直线D 1C 与BE 所成角的余弦值为( )A.15B.31010C.1010D.35[解析] 如图连结A 1B .由题意知A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形，故D 1C ∥A 1B .所以∠A 1BE 为异面直线D 1C 与BE 所成的角．不妨设AA 1＝2AB ＝2，则A 1E ＝1，BE ＝2，A 1B ＝5，在△A 1BE 中，cos ∠A 1BE ＝A 1B 2＋EB 2－A 1E 22A 1B ·EB ＝5＋2－12×5×2＝31010，故选B.[答案] B10．已知空间四边形ABCD 中，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列判断：①MN ≥12(AC＋BD )；②MN ＞12(AC ＋BD )；③MN ＝12(AC ＋BD )；④MN ＜12(AC ＋BD )．其中正确的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②D ．④[解析] 如图，取BC 的中点O ，连接MO ，NO ，则OM ＝12AC ，ON ＝12BD .在△MON 中，MN ＜OM ＋ON ＝12(AC ＋BD )，∴④正确．[答案]D11．如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面[解析]连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．故选A.[答案]A12．(xx·惠州模拟)如图是三棱锥D－ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于()A.33 B.12C. 3D.2 2[解析]由题意得如图的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD 两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1.又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE 中，DE ＝2，由于O 是中点，在直角三角形ABC 中可以求得 AO ＝ 2. 在直角三角形DAO 中可以求得在三角形DOE 中，由余弦定理得cos ∠DOE ＝1＋3－22×1×3＝33，故所求余弦值为故选A.[答案] A 二、填空题13．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、B 1C 1的中点．那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是________边形．[解析] 延长PQ 或(QP )分别交BC 延长线于E ，交CD 延长线于F ，取C 1D 1中点M ，连接RM ，连接RE 交BB 1于S ，连接MF 交DD 1于N ，连接NQ ，PS ，则六边形PQNMRS 即为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的过P 、Q 、R 三点的截面图形．[答案] 六14．(xx·景德镇质检) 如图所示，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点，给出以下四个结论：①直线AM 与直线C 1C 相交；②直线AM 与直线BN 平行；③直线AM 与直线DD 1异面；④直线BN 与直线MB 1异面．其中正确结论的序号为________．(把你认为正确的结论的序号都填上)[解析] AM 与C 1C 异面，故①错；AM 与BN 异面，故②错．易知③④正确． [答案] ③④15．在图中，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH 、MN 是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)[解析] 图①中，直线GH ∥MN ；图②中，G 、H 、N 三点共面，但M ∉面GHN ，因此直线GH 与MN 异面；图③中，连接MG ，GM ∥HN ，因此GH 与MN 共面；图④中，G 、M 、N 共面，但H ∉面GMN ，因此GH与MN异面．所以图②、④中GH与MN异面．[答案]②④16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．[解析]如图：连接DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝52a，D1F＝52a，∴cos∠D1FD＝⎝⎛⎭⎫52a2＋⎝⎛⎭⎫52a2－a2 2·52a·52a＝3 5.[答案]3 5.。

高考数学一轮复习专题训练—空间点、直线、平面之间的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系考纲要求1.理解空间直线、平面位置关系的定义；2.了解可以作为推理依据的公理和定理；3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．知识梳理1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．2．空间点、直线、平面之间的位置关系直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a∥b a∥αα∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝A a∩α＝A α∩β＝l6独有关系图形语言符号语言a，b是异面直线a⊂α3.平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 4．异面直线所成的角(1)定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)． (2)范围：⎝⎛⎦⎤0，π2.1．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．2．异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．3．两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角．诊断自测1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个平面α，β有一个公共点A ，就说α，β相交于过A 点的任意一条直线．( ) (2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面．( ) (3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．( )(4)若直线a 不平行于平面α，且a ⊄α，则α内的所有直线与a 异面．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×解析 (1)如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线，故错误．(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，故错误．(4)由于a 不平行于平面α，且a ⊄α，则a 与平面α相交，故平面α内有与a 相交的直线，故错误．2．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线B 1C 与EF 所成角的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°答案 C解析连接B 1D 1，D 1C ，则B 1D 1∥EF ，故∠D 1B 1C 或其补角为所求的角．又B 1D 1＝B 1C ＝D 1C ，∴∠D 1B 1C ＝60°.3.如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F ，G ，H 分别是棱AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则(1)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为菱形； (2)当AC ，BD 满足条件________时，四边形EFGH 为正方形．答案 (1)AC ＝BD (2)AC ＝BD 且AC ⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH 为菱形，∴EF ＝EH ，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD .(2)∵四边形EFGH 为正方形，∴EF ＝EH 且EF ⊥EH ，∵EF 綉12AC ，EH 綉12BD ，∴AC ＝BD 且AC ⊥BD .4．(2020·东北三省三校质检)已知直线a 和平面α，β，α∩β＝l ，a ⊄α，a ⊄β，且a 在α，β内的射影分别为直线b 和c ，则直线b 和c 的位置关系是( ) A ．相交或平行 B ．相交或异面 C ．平行或异面 D ．相交、平行或异面答案 D解析依题意，直线b 和c 的位置关系可能是相交、平行或异面．5．(2021·日照调研)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是( ) A ．l 与l 1，l 2都不相交 B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交答案 D解析由于l 与直线l 1，l 2分别共面，故直线l 与l 1，l 2要么都不相交，要么至少与l 1，l 2中的一条相交．若l ∥l 1，l ∥l 2，则l 1∥l 2，这与l 1，l 2是异面直线矛盾．故l 至少与l 1，l 2中的一条相交．6．(2021·郑州质检)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3，AD ＝4，AA 1＝2，则异面直线AC 和BC 1所成角的余弦值是( ) A.8525 B ．455C ．855D ．4525答案 A解析如图，连接AD 1，CD 1，则∠D 1AC (或其补角)就是异面直线AC 和BC 1所成的角，易知AC ＝5，AD 1＝25，CD 1＝13，由余弦定理得cos ∠D 1AC ＝AD 21＋AC 2－CD 212AD 1·AC ＝8525.考点一平面的基本性质及应用1．如图是正方体或四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是( )答案 D解析对于A ，PS ∥QR ，故P ，Q ，R ，S 四点共面；同理，B ，C 图中四点也共面；D 中四点不共面．2.如图所示，平面α∩平面β＝l ，A ∈α，B ∈α，AB ∩l ＝D ，C ∈β，C ∉l ，则平面ABC 与平面β的交线是( )A ．直线ACB ．直线ABC ．直线CD D ．直线BC答案 C解析由题意知，D ∈l ，l ⊂β，所以D ∈β，又因为D ∈AB ，所以D ∈平面ABC ，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.3．在三棱锥A－BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF∩HG ＝P，则点P()A．一定在直线BD上B．一定在直线AC上C．在直线AC或BD上D．不在直线AC上，也不在直线BD上答案 B解析如图所示，因为EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，所以P∈平面ABC，P∈平面ACD.又因为平面ABC∩平面ACD＝AC，所以P∈AC.感悟升华 1.证明点或线共面问题的两种方法：(1)首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；(2)将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．2．证明点共线问题的两种方法：(1)先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；(2)直接证明这些点都在同一条特定直线(如某两个平面的交线)上．3．证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．考点二空间两直线的位置关系【例1】(1)(2021·广州六校联考)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，有下列四个结论：①AP与CM是异面直线；②AP，CM，DD1相交于一点；③MN∥BD1；④MN∥平面BB1D1D.其中所有正确结论的序号是()A．①④B．②④C．①③④D．②③④(2)(2019·全国Ⅲ卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线答案(1)B(2)B解析(1)连接MP，AC(图略)，因为MP∥AC，MP≠AC，所以AP与CM是相交直线，又面A1ADD1∩面C1CDD1＝DD1，所以AP，CM，DD1相交于一点，则①不正确，②正确．③令AC∩BD＝O，连接OD1，ON.因为M，N分别是C1D1，BC的中点，所以ON ∥D 1M ∥CD ，ON ＝D 1M ＝12CD ，则四边形MNOD 1为平行四边形，所以MN ∥OD 1，因为MN ⊄平面BD 1D ，OD 1⊂平面BD 1D ，所以MN ∥平面BD 1D ，③不正确，④正确．综上所述，②④正确．(2)取CD 的中点O ，连接ON ，EO ，因为△ECD 为正三角形，所以EO ⊥CD ，又平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，EO ⊂平面ECD ，所以EO ⊥平面ABCD .设正方形ABCD 的边长为2，则EO ＝3，ON ＝1，所以EN 2＝EO 2＋ON 2＝4，得EN ＝2.过M 作CD 的垂线，交CD 于点P ，连接BP ，则MP ＝32，CP ＝32，所以BM 2＝MP 2＋BP 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＋22＝7，得BM ＝7，所以BM ≠EN .连接BD ，BE ，因为四边形ABCD 为正方形，所以N 为BD 的中点，即EN ，MB 均在平面BDE 内，所以直线BM ，EN 是相交直线，故选B.感悟升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面，平行和垂直的判定．异面直线的判定可采用直接法或反证法；平行直线的判定可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系的判定往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．【训练】 (1)(2021·河南名校联考)已知空间三条直线l ，m ，n ，若l 与m 垂直，l 与n 垂直，则( ) A ．m 与n 异面 B ．m 与n 相交 C ．m 与n 平行D ．m 与n 平行、相交、异面均有可能(2)(2021·宜宾质检)四棱锥P －ABCD 的所有棱长都相等，M ，N 分别为P A ，CD 的中点，下列说法错误的是( )A ．MN 与PD 是异面直线B ．MN ∥平面PBC C ．MN ∥ACD ．MN ⊥PB答案 (1)D (2)C解析 (1)因为m ⊥l ，n ⊥l ，结合长方体模型可知m 与n 可以相交，也可以异面，还可以平行．(2)如图所示，取PB 的中点H ，连接MH ，HC ，由题意知，四边形MHCN 为平行四边形，且MN ∥HC ，所以MN ∥平面PBC ，设四边形MHCN 确定平面α，又D ∈α，故M ，N ，D 共面，但P ∉平面α，D ∉MN ，因此MN 与PD 是异面直线；故A ，B 说法均正确．若MN ∥AC ，由于CH ∥MN ，则CH ∥AC ，事实上AC ∩CH ＝C ， C 说法不正确；因为PC ＝BC ，H 为PB 的中点，所以CH ⊥PB ，又CH ∥MN ，所以MN ⊥PB ，D 说法正确．考点三异面直线所成的角【例2】 (1)(经典母题)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( ) A.15B ．56C ．55D ．22(2) (2021·衡水检测)如图，在圆锥SO 中，AB ，CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝3，SE ＝14SB ，则异面直线SC 与OE 所成角的正切值为( )A.222B ．53C ．1316D ．113答案 (1)C (2)D解析 (1)如图，连接BD 1，交DB 1于O ，取AB 的中点M ，连接DM ，OM .易知O 为BD 1的中点，所以AD 1∥OM ，则∠MOD 为异面直线AD 1与DB 1所成角或其补角．因为在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，AD 1＝AD 2＋DD 21＝2， DM ＝AD 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝52， DB 1＝AB 2＋AD 2＋DD 21＝ 5.所以OM ＝12AD 1＝1，OD ＝12DB 1＝52，于是在△DMO 中，由余弦定理，得cos ∠MOD ＝12＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫5222×1×52＝55.故异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55.(2)如图，过点S 作SF ∥OE ，交AB 于点F ，连接CF ，则∠CSF (或其补角)为异面直线SC 与OE 所成的角．∵SE ＝14SB ，∴SE ＝13BE .又OB ＝3，∴OF ＝13OB ＝1.∵SO ⊥OC ，SO ＝OC ＝3，∴SC ＝3 2. ∵SO ⊥OF ，∴SF ＝SO 2＋OF 2＝10. ∵OC ⊥OF ，∴CF ＝10. ∴在等腰△SCF 中，tan ∠CSF ＝102－⎝⎛⎭⎫3222322＝113. 【迁移1】若将例2中(1)条件“AA 1＝3”变为“AA 1＝2”，其它条件不变，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为________．答案 45解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1(或其补角)为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212A 1B ·BC 1＝45.故异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.【迁移2】若将例2中(1)题条件“AA 1＝3”变为“异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”．试求AA 1的值．解设AA 1＝t ，∵AB ＝BC ＝1， ∴A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝t 2＋1.∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910. 解之得t ＝3，则AA 1＝3.感悟升华综合法求异面直线所成角的步骤： (1)作：通过作平行线得到相交直线．(2)证：证明所作角为异面直线所成的角(或其补角)．(3)求：解三角形，求出所作的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．立体几何中的截面问题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题．立体几何中截面问题涉及线、面位置关系，点线共面、线共点等问题，综合性较强，培养学生直观想象和逻辑推理等数学核心素养．【典例】 (2018·全国Ⅰ卷)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A.334B ．233C ．324D ．32答案 A解析如图，依题意，平面α与棱BA ，BC ，BB 1所在直线所成角都相等，容易得到平面AB 1C 符合题意，进而所有平行于平面AB 1C 的平面均符合题意．由对称性，知过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中心的截面面积应取最大值，此时截面为正六边形EFGHIJ .易知正六边形EFGHIJ 的边长为22，将该正六边形分成6个边长为22的正三角形．故其面积为6×34×⎝⎛⎭⎫222＝334.思维升华作出截面的关键是找到截线，作出截线的主要根据有：(1)确定平面的条件；(2)三线共点的条件；(3)面面平行的性质定理．【训练】 (2021·雅礼中学检测)我国古代的数学著作《九章算术·商功》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．在如图所示的“堑堵”ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，M 、N 分别是BB 1和A 1C 1的中点，则平面AMN 截“堑堵”ABC －A 1B 1C 1所得截面图形的面积为( )A.2213B ．4213C.273 D ．473答案 A解析延长AN ，与CC 1的延长线交于点P ，则P ∈平面BB 1C 1C ，连接PM ，与B 1C 1交于点E ，连接NE ，得到的四边形AMEN 是平面AMN 截“堑堵”ABC －A 1B 1C 1所得截面图形，由题意解三角形可得NE ＝ME ＝173，AM ＝AN ＝5，MN ＝ 6. ∴△AMN 中MN 边上的高h 1＝52－⎝⎛⎭⎫622＝142，△EMN 中MN 边上的高h 2＝⎝⎛⎭⎫1732－⎝⎛⎭⎫622＝146.∴AMN 截“堑堵”ABC －A 1B 1C 1所得截面图形的面积S ＝S △AMN ＋S △EMN ＝12MN ·(h 1＋h 2)＝12×6⎝⎛⎭⎫142＋146＝2213.A 级基础巩固一、选择题1．给出下列说法：①梯形的四个顶点共面；②三条平行直线共面；③有三个公共点的两个平面重合；④三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面．其中正确的序号是( ) A ．① B ．①④C ．②③D ．③④答案 B解析显然命题①正确．由于三棱柱的三条平行棱不共面，②错．命题③中，两个平面重合或相交，③错．三条直线两两相交，可确定1个或3个平面，则命题④正确．2. (2020·重庆一中月考)如图，α∩β＝l ，A ，B ∈α，C ∈β，且C ∉l ，直线AB ∩l ＝M ，过A ，B ，C 三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过( )A．点A B．点BC．点C但不过点M D．点C和点M答案 D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．3．a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案 C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是()A．A，M，O三点共线B ．A ，M ，O ，A 1不共面C ．A ，M ，C ，O 不共面D ．B ，B 1，O ，M 共面答案 A解析连接A 1C 1，AC (图略)，则A 1C 1∥AC ， ∴A 1，C 1，A ，C 四点共面， ∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上． ∴A ，M ，O 三点共线．5．在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是( ) A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面答案 B解析如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM 为△SAB 的中线，且SG 1＝23SM ，SN 为△SAC 的中线，且SG 2＝23SN ，∴在△SMN 中，SG 1SM ＝SG 2SN ，∴G 1G 2∥MN ，易知MN 是△ABC 的中位线，∴MN ∥BC ， ∴G 1G 2∥BC .6．在各棱长均相等的四面体ABCD 中，已知M 是棱AD 的中点，则异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为( ) A.23B ．25C ．36D ．26答案 C解析设四面体ABCD 的棱长为2，取CD 的中点N ，连接MN ，BN ，∵M 是棱AD 的中点， ∴MN ∥AC ，∴∠BMN (或其补角)是异面直线BM 与AC 所成的角． ∵BM ＝BN ＝22－12＝3， MN ＝12AC ＝1，∴在△BMN 中，cos ∠BMN ＝BM 2＋MN 2－BN 22BM ·MN ＝3＋1－32×3×1＝36，∴异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为36. 二、填空题7．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，则直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．答案 4解析因为AB∥CD，由图可以看出EF平行于正方体左右两个侧面，与另外四个侧面相交．8.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案 2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角．因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为 2.9.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．易知GH与EF异面，BD与MN异面．又△GMH为等边三角形，∴GH与MN成60°角，易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.因此正确的序号是②③④.三、解答题10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求异面直线AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求异面直线A1C1与EF所成角的大小．解(1)如图，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C 与AC所成的角就是异面直线AC与A1D所成的角．在△AB1C中，AB1＝AC＝B1C，所以∠B1CA＝60°.故异面直线A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)连接BD ，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以EF ∥BD ，所以EF ⊥AC . 所以EF ⊥A 1C 1.故异面直线A 1C 1与EF 所成的角为90°.11．(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.证明：(1)当AB ＝BC 时，EF ⊥AC ； (2)点C 1在平面AEF 内．证明 (1)如图，连接BD ，B 1D 1.因为AB ＝BC ，所以四边形ABCD 为正方形，故AC ⊥BD .又因为BB 1⊥平面ABCD ，于是AC ⊥BB 1.又BD ∩BB 1＝B ，所以AC ⊥平面BB 1D 1D .由于EF ⊂平面BB 1D 1D ，所以EF ⊥AC .(2)如图，在棱AA 1上取点G ，使得AG ＝2GA 1，连接GD 1，FC 1，FG .因为ED 1＝23DD 1，AG ＝23AA 1，DD 1綉AA 1，所以ED 1綉AG ，于是四边形ED 1GA 为平行四边形，故AE ∥GD 1.因为B 1F ＝13BB 1，A 1G ＝13AA 1，BB 1綉AA 1，所以B 1FGA 1是平行四边形，所以FG 綉A 1B 1，所以FG 綉C 1D 1，四边形FGD 1C 1为平行四边形，故GD 1∥FC 1.于是AE ∥FC 1.所以A ，E ，F ，C 1四点共面，即点C 1在平面AEF 内．B 级能力提升12．(2021·昆明诊断)如图，已知二面角A -BD -C 的大小为π3，G ，H 分别是BC ，CD 的中点，E ，F 分别在AD ，AB 上，AE AD ＝AF AB ＝13，且AC ⊥平面BCD ，则以下说法不正确的是( )A ．E ，F ，G ，H 四点共面B ．FG ∥平面ADCC ．若直线FG ，HE 交于点P ，则P ，A ，C 三点共线D ．若△ABD 的面积为6，则△BCD 的面积为3答案 B解析由AE AD ＝AF AB ＝13知EF 綉13BD . 又GH 綉12BD ，∴EF ∥GH ，因此E ，F ，G ，H 共面，A 项正确；假设FG ∥平面ADC 成立，因为平面ABC ∩平面DAC ＝AC ，所以FG ∥AC ，又G 是BC 的中点，所以F 是AB 的中点，与AF AB ＝13矛盾，B 项不正确；因为FG ⊂平面ABC ，P ∈FG ，所以P ∈平面ABC ，同理P ∈平面ADC ，因为平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，所以P ∈AC ，所以P ，A ，C 三点共线，因此C 正确；易知S △BCD ＝cos π3·S △ABD ＝12×6＝3，D 正确． 13．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 是底面ABCD 的中心，过O 点作一条直线l 与A 1D 平行，设直线l 与直线OC 1的夹角为θ，则cos θ＝________.答案 36 解析如图所示，设正方体的表面ABB 1A 1的中心为P ，容易证明OP ∥A 1D ，所以直线l 即为直线OP ，角θ即∠POC 1.设正方体的棱长为2，则OP ＝12A 1D ＝2，OC 1＝6，PC 1＝6，则cos ∠POC 1＝2＋6－62×2×6＝123＝36. 14.如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点．(1)求四棱锥O －ABCD 的体积；(2)求异面直线OC 与MD 所成角的正切值．解 (1)由已知可求得正方形ABCD 的面积S ＝4，所以四棱锥O －ABCD 的体积V ＝13×4×2＝83. (2)如图，连接AC ，设线段AC 的中点为E ，连接ME ，DE ，又M 为OA 中点，∴ME ∥OC ，则∠EMD (或其补角)为异面直线OC 与MD 所成的角，由已知可得DE ＝2，EM ＝3，MD ＝5，∵(2)2＋(3)2＝(5)2，即DE2＋EM2＝MD2，∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，∴tan∠EMD＝DEEM＝23＝63.∴异面直线OC与MD所成角的正切值为6 3.。

2019版一轮文数练习：第七章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系含解析

高考数学(人教A版理)一轮复习教师用书第7章第3节空间点、直线、平面之间的位置关系Word版含解析

高考数学一轮复习 第七章第三节 空间点 直线 平面之间的位置关系 文 湘教

高考数学大一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系 理

[精品课件]2019届高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系课件 文 新

2019版一轮文数(人教A版)课件：第七章 第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系

2019届高三文数一轮复习第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系

2019届高考数学一轮第七篇 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系