大连市开发区2016届九年级上第一次月考数学试卷含答案

2015-2016学年辽宁省大连市开发区九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）．1．一元二次方程（x﹣4）2=2x﹣3化为一般式是（）A．x2﹣10x+13=0 B．x2﹣10x+19=0 C．x2﹣6x+13=0 D．x2﹣6x+19=0 2．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定3．方程x（x+3）=x+3的解为（）A．x1=0，x2=﹣3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=0，x2=3 D．x1=1，x2=34．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣7=0，则方程变形为（）A．2=43 C．2=165．将抛物线y=x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线是（）A．y=（x+1）2﹣2 B．y=（x﹣1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2+2 6．若二次函数y=ax2+bx+a2﹣2（a，b为常数）的图象如下，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣C．1 D．7．抛物线y=x2﹣6x+5的顶点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．如图，抛物线y=﹣x2﹣4x+c（c＜0）与x轴交于点A和点B（n，0），点A在点B的左侧，则AB的长是（）A．4﹣2n B．4+2n C．8﹣2n D．8+2n二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是．10．已知一元二次方程x2+px+3=0的一个根为﹣3，则p=．11．已知三角形的两边长分别是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55=0的根，则第三边长是．12．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为．13．抛物线y=2x2﹣5x+1与x轴的公共点的个数是．14．二次函数y=x2﹣2x的图象上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，若1＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是．15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为．16．如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x2+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ 时，a的值是．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．解方程：2x2﹣4x﹣5=0（用公式法）18．一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积为24cm2，求两条直角边的长．19．某工厂在两年内机床年产量由400台提高到900台，求机床产量的年平均增长率．20．一个二次函数的图象经过（﹣2，5），（2，﹣3），（4，5）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）写出这个二次函数图象的与坐标轴的交点坐标．四、解答题（本题共6小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）22．商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利=售价﹣进价）23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．24．某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率增加1.6%，这样加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克，问技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？25．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．26．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC的顶点A（，0），C（0，1），∠AOC=30°，将△AOC沿AC翻折得△APC．（1）求点P的坐标；（2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过P、A两点，试判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）设（2）中的抛物线与矩形0ABC的边BC交于点D，与x交于另一点E，点M在x轴上运动，N在y轴上运动，若以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标．2015-2016学年辽宁省大连市开发区九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）．1．一元二次方程（x﹣4）2=2x﹣3化为一般式是（）A．x2﹣10x+13=0 B．x2﹣10x+19=0 C．x2﹣6x+13=0 D．x2﹣6x+19=0 【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），首先把方程左边的相乘，再移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．【解答】解：（x﹣4）2=2x﹣3，移项去括号得：x2﹣8x+16﹣2x+3=0，整理可得：x2﹣10x+19=0，故一元二次方程（x﹣4）2=2x﹣3化为一般式是：x2﹣10x+19=0．故选B．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确合并同类项是解题关键．2．已知1是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A．1 B．﹣1 C．0 D．无法确定【考点】一元二次方程的解；一元二次方程的定义．【分析】把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．【解答】解：根据题意得：（m﹣1）+1+1=0，解得：m=﹣1．故选B．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．3．方程x（x+3）=x+3的解为（）A．x1=0，x2=﹣3 B．x1=1，x2=﹣3 C．x1=0，x2=3 D．x1=1，x2=3【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】计算题．【分析】方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程x（x+3）=x+3，变形得：x（x+3）﹣（x+3）=0，即（x﹣1）（x+3）=0，解得：x1=1，x2=﹣3．故选B【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．4．用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣7=0，则方程变形为（）A．2=43 C．2=16【考点】解一元二次方程-配方法．【专题】配方法．【分析】首先进行移项变形成x2﹣6x=7，两边同时加上9，则左边是一个完全平方式，右边是一个常数，即可完成配方．【解答】解：∵x2﹣6x﹣7=0，∴x2﹣6x=7，∴x2﹣6x+9=7+9，∴（x﹣3）2=16．故选C．【点评】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．5．将抛物线y=x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线是（）A．y=（x+1）2﹣2 B．y=（x﹣1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2+2 【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减，上加下减”平移规律写出平移后抛物线的解析式即可．【解答】解：抛物线y=x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线是：y=（x+1）2﹣2．故选：A．【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．6．若二次函数y=ax2+bx+a2﹣2（a，b为常数）的图象如下，则a的值为（）A．﹣2 B．﹣C．1 D．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而得出a2﹣2的值，然后求出a值，再根据开口方向选择正确答案．【解答】解：由图象可知：抛物线与y轴的交于原点，所以，a2﹣2=0，解得a=±，由抛物线的开口向上所以a＞0，∴a=﹣舍去，即a=．故选D．【点评】二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．7．抛物线y=x2﹣6x+5的顶点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】二次函数的性质．【分析】利用配方法把抛物线的一般式写成顶点式，求顶点坐标；或者用顶点坐标公式求解．【解答】解：∵y=x2﹣6x+5=x2﹣6x+9﹣9+5=（x﹣3）2﹣4，∴抛物线y=x2﹣6x+5的顶点坐标是（3，﹣4），在第四象限．故选：D．【点评】此题考查了二次函数的性质，利用配方法求顶点坐标是常用的一种方法．8．如图，抛物线y=﹣x2﹣4x+c（c＜0）与x轴交于点A和点B（n，0），点A在点B的左侧，则AB的长是（）A．4﹣2n B．4+2n C．8﹣2n D．8+2n【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】利用根与系数的关系可得：x1+x2=﹣4，x1x2=﹣c，所以（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=16+4c，AB的长度即两个根的差的绝对值，利用以上条件代入化简即可得到AB的长．【解答】解：设方程0=﹣x2﹣4x+c的两个根为x1和x2，∴x1+x2=﹣4，x1x2=﹣c，∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=16+4c，∵AB的长度即两个根的差的绝对值，即：，又∵x2=n，∴把x2=n代入方程有：c=n2+4n，∴16+4c=16+16n+4n2=4（n+2）2，∴=2n+4，故选B．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系以及二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是m≤1．【考点】根的判别式．【专题】探究型．【分析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：由一元二次方程x2+2x+m=0可知a=1，b=2，c=m，∵方程有实数根，∴△=22﹣4m≥0，解得m≤1．故答案为：m≤1．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意列出关于m的不等式是解答此题的关键．10．已知一元二次方程x2+px+3=0的一个根为﹣3，则p=4．【考点】一元二次方程的解．【分析】已知一元二次方程x2+px+3=0的一个根为﹣3，因而把x=﹣3代入方程即可求得p 的值．【解答】解：把x=﹣3代入方程可得：（﹣3）2﹣3p+3=0，解得p=4故填：4．【点评】本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．11．已知三角形的两边长分别是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55=0的根，则第三边长是5．【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【专题】计算题．【分析】利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=11，然后利用三角形三边的关系即可得到第三边为5．【解答】解：x2﹣16x+55=0，（x﹣5）（x﹣11）=0，所以x1=5，x2=11，又因为三角形的两边长分别是4和7，所以第三边为5．故答案为5．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了三角形三边的关系．12．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为x（x﹣1）=4×7．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）=4×7．故答案为：x（x﹣1）=4×7．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．13．抛物线y=2x2﹣5x+1与x轴的公共点的个数是两个．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】抛物线与x的交点个数，即为抛物线y=2x2﹣5x+1与x轴的公共点的个数，因此只要算出b2﹣4ac的值就可以判断出与x轴的交点个数．【解答】解：∵y=2x2﹣5x+1，∴b2﹣4ac=（﹣5）2﹣4×2×1=17＞0．∴抛物线y=2x2﹣5x+1与x轴有两个交点．即：抛物线y=2x2﹣5x+1与x轴的公共点的个数是两个．故答案为：两个．【点评】本题考查二次函数与x轴的交点问题，关键是算出二次函数中b2﹣4ac的值．14．二次函数y=x2﹣2x的图象上有A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，若1＜x1＜x2，则y1与y2的大小关系是y1＜y2．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=1，再根据二次函数的增减性，x＜1时，y随x的增大而减小解答．【解答】解：∵y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，∵1＜x1＜x2，∴y1＜y2．故答案为：y1＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．15．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=1，且经过点P（3，0），则a﹣b+c的值为0．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0），由此求出a﹣b+c的值．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x=1，∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c=0．故答案为：0．【点评】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的另一交点为（﹣1，0）是解题的关键．16．如图，已知直线y=﹣x+3分别交x轴、y轴于点A、B，P是抛物线y=﹣x2+2x+5上的一个动点，其横坐标为a，过点P且平行于y轴的直线交直线y=﹣x+3于点Q，则当PQ=BQ 时，a的值是4+2或4﹣2或4或﹣1．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】先利用一次函数解析式求出B（0，3），再根据二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征，设P（a，﹣a2+2a+5），Q（a，﹣a+3），则可利用两点间的距离公式得到PQ=|a2﹣a﹣2|，BQ=|a|，然后利用PQ=BQ得到|a2﹣a﹣2|=|a|，讨论：a2﹣a﹣2=或a2﹣a﹣2=﹣a，然后分别解一元二次方程即可得到a的值．【解答】解：当x=0时，y=﹣x+3=3，则B（0，3），∵点P的横坐标为a，PQ∥y轴，∴P（a，﹣a2+2a+5），Q（a，﹣a+3），∴PQ=|﹣a2+2a+5﹣（﹣a+3|=|﹣a2+a+2|=|a2﹣a﹣2|，BQ==|a|，∵PQ=BQ，∴|a2﹣a﹣2|=|a|，当a2﹣a﹣2=a，整理得a2﹣8a﹣4=0，解得a1=4+2，a2=4﹣2，当a2﹣a﹣2=﹣a，整理得a2﹣3a﹣4=0，解得a1=4，a2=﹣1，综上所述，a的值为4+2或4﹣2或4或﹣1．故答案为4+2或4﹣2或4或﹣1．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征；理解坐标与图形的性质，记住两点间的距离公式；会解一元二次方程．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．解方程：2x2﹣4x﹣5=0（用公式法）【考点】解一元二次方程-公式法．【分析】求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．【解答】解：2x2﹣4x﹣5=0，b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2×（﹣5）=56，x=，x1=，x2=．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，主要考查学生的解一元二次方程的能力，难度适中．18．一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积为24cm2，求两条直角边的长．【考点】一元二次方程的应用；勾股定理．【分析】设其中一条直角边长为未知数，表示出另一直角边长，根据面积为24列式求值即可．【解答】解：设其中一条直角边长为xcm，则另一直角边长为（14﹣x）cm，×x（14﹣x）=24，解得x1=6，x2=8，当x1=6时，14﹣x=8；当x2=8时，14﹣x=6；答：两条直角边的长分别为6，8．【点评】考查一元二次方程的应用；用到的知识点为：直角三角形的面积=两直角边积的一半．19．某工厂在两年内机床年产量由400台提高到900台，求机床产量的年平均增长率．【考点】一元二次方程的应用．【专题】增长率问题．【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设机床产量的年平均增长率为x，根据“某工厂在两年内机床年产量由400台提高到900台”，即可得出方程．【解答】解：设机床产量的年平均增长率为x，依题意有400（1+x）2=900，解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）．答：机床产量的年平均增长率为50%．【点评】此题考查一元二次方程的实际运用，掌握复利公式：“a（1+x%）n=b”是解决本题的关键．20．一个二次函数的图象经过（﹣2，5），（2，﹣3），（4，5）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）写出这个二次函数图象的与坐标轴的交点坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】（1）设一般式y=ax2+bx+c，然后把三个点的坐标代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组即可；（2）先把（1）中解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解；（3）分别计算函数值为0所对应的自变量的值和自变量为0时所对应的函数值，即可得到二次函数图象的与坐标轴的交点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，根据题意得，解得．所以抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）y=（x﹣1）2﹣4，这个二次函数图象的开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，﹣4）；（3）当x=0时，y=x2﹣2x﹣3=﹣3，则二次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣3）；当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3．则二次函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0）和（3，0）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．四、解答题（本题共6小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．如图，直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2）．（1）求m的值和抛物线的解析式；（2）求不等式x2+bx+c＞x+m的解集．（直接写出答案）【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）分别把点A（1，0），B（3，2）代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c，利用待定系数法解得y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）根据题意列出不等式，直接解二元一次不等式即可，或者根据图象可知，x2﹣3x+2＞x ﹣1的图象上x的范围是x＜1或x＞3．【解答】解：（1）把点A（1，0），B（3，2）分别代入直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c 得：0=1+m，，∴m=﹣1，b=﹣3，c=2，所以y=x﹣1，y=x2﹣3x+2；（2）x2﹣3x+2＞x﹣1，解得：x＜1或x＞3．【点评】主要考查了用待定系数法求函数解析式和二次函数的图象的性质．要具备读图的能力．22．商场某种新商品每件进价是120元，在试销期间发现，当每件商品售价为130元时，每天可销售70件，当每件商品售价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件．据此规律，请回答：（1）当每件商品售价定为170元时，每天可销售多少件商品商场获得的日盈利是多少？（2）在上述条件不变，商品销售正常的情况下，每件商品的销售价定为多少元时，商场日盈利可达到1600元？（提示：盈利=售价﹣进价）【考点】一元二次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）首先求出每天可销售商品数量，然后可求出日盈利．（2）设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为x元，根据每件商品的盈利×销售的件数=商场的日盈利，列方程求解即可．【解答】解：（1）当每件商品售价为170元时，比每件商品售价130元高出40元，即170﹣130=40（元），（1分）则每天可销售商品30件，即70﹣40=30（件），（2分）商场可获日盈利为（170﹣120）×30=1500（元）．设商场日盈利达到1600元时，每件商品售价为x元，则每件商品比130元高出（x﹣130）元，每件可盈利（x﹣120）元（4分）每日销售商品为70﹣（x﹣130）=200﹣x（件）（5分）依题意得方程（200﹣x）（x﹣120）=1600（6分）整理，得x2﹣320x+25600=0，即（x﹣160）2=0（7分）解得x=160（9分）答：每件商品售价为160元时，商场日盈利达到1600元．注意变化率所依据的变化规律，找出所含明显或隐含的等量关系；（2）可直接套公式：原有量×（1+增长率）n=现有量，n表示增长的次数．23．如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称．【专题】压轴题．【分析】（1）由于抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，利用待定系数法即可确定抛物线的解析式；（2）由于点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，把D的坐标代入（1）中的解析式即可求出m，然后利用对称就可以求出关于直线BC对称的点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，∴，解之得：a=﹣1，b=3，∴y=﹣x2+3x+4；（2）∵点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，∴把D的坐标代入（1）中的解析式得m+1=﹣m2+3m+4，∴m=3或m=﹣1，∴m=3，∴D（3，4），∵y=﹣x2+3x+4=0，x=﹣1或x=4，∴B（4，0），∴OB=OC，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠CBA=45°设点D关于直线BC的对称点为点E∵C（0，4）∴CD∥AB，且CD=3∴∠ECB=∠DCB=45°∴E点在y轴上，且CE=CD=3∴OE=1∴E（0，1）即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）；【点评】此题考查传统的待定系数求函数解析式，第二问考查点的对称问题，作合适的辅助线，根据垂直和三角形全等来求P点坐标24．某企业加工一台大型机械设备润滑用油90千克，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克．通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现润滑用油量每减少1千克，用油量的重复利用率增加1.6%，这样加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克，问技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，由“实际耗油量下降到12千克”列方程得x×[1﹣（90﹣x）×1.6%﹣60%]=12，解方程求解即可．【解答】解：设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，由题意得：x×[1﹣（90﹣x）×1.6%﹣60%]=12，整理得：x2﹣65x﹣750=0，因式分解得：（x﹣75）（x+10）=0，解得x1=75，x2=﹣10（舍去）∴用油的重复利用率：（90﹣75）×1.6%+60%=84%．答：技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．【点评】此题考查了列一元二次方程在实际中的应用；同时考查了学生分析问题、解决问题的能力．分析数量关系、探究等量关系是列方程解应用题的关键．25．如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b的值，即可得出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；（2）根据直角三角形的性质，推出AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，即AC2+BC2=25=AB2，即可确定△ABC是直角三角形；（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'=2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y=x2+bx﹣2上，∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2．y=x2﹣x﹣2=（x2﹣3x﹣4 ）=（x﹣）2﹣，∴顶点D的坐标为（，﹣）．（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．当y=0时，x2﹣x﹣2=0，∴x1=﹣1，x2=4，∴B （4，0）∴OA=1，OB=4，AB=5．∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，∴AC2+BC2=AB2．∴△ABC是直角三角形．（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．∵ED∥y轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM∴△C′OM∽△DEM．∴∴，∴m=．解法二：设直线C′D的解析式为y=kx+n，则，解得：．∴．∴当y=0时，，．∴．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质以及相似三角形的性质，关键在于求出函数表达式，作出辅助线，找对相似三角形．26．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC的顶点A（，0），C（0，1），∠AOC=30°，将△AOC沿AC翻折得△APC．（1）求点P的坐标；（2）若抛物线y=﹣x2+bx+c经过P、A两点，试判断点C是否在该抛物线上，并说明理由；（3）设（2）中的抛物线与矩形0ABC的边BC交于点D，与x交于另一点E，点M在x轴上运动，N在y轴上运动，若以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形，试求点M、N的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用翻折变换的性质得出OA=AP=，∠PAC=∠OAC=30°，则∠PAO=60°．过P作PQ⊥OA于Q，解Rt△PAQ，求出AQ、PQ的长，进而可得到点P的坐标；（2）将P、A两点的坐标代入抛物线的解析式中，得到b、c的值，从而确定抛物线的解析式，然后将C点坐标代入抛物线的解析式中进行验证即可；（3）根据抛物线的解析式易求得D、E点的坐标，然后分两种情况考虑：①DE是平行四边形的对角线，由于CD∥x轴，且C在y轴上，若过D作直线CE的平行线，那么此直线与x轴的交点即为M点，而N点即为C点，D、E的坐标已经求得，结合平行四边形以及平移的性质即可得到点M的坐标，而C点坐标已知，即可得到N点的坐标；②DE是平行四边形的边，由于A在x轴上，过A作DE的平行线，与y轴的交点即为N 点，而M点即为A点；根据平行四边形以及平移的性质即可得到N点的坐标；同理，由于C在y轴上，且CD∥x轴，过C作DE的平行线，也可找到符合条件的M、N 点，解法同上．【解答】解：（1）∵矩形OABC的顶点A（，0），C（0，1），∴OA=，OC=1，∠AOC=90°，∴∠OAC=30°．∵将△AOC沿AC翻折得△APC，∴OA=AP=，∠PAC=∠OAC=30°，∴∠PAO=60°．过P作PQ⊥OA于Q．∵在Rt△PAQ中，∠PAQ=60°，AP=，∴AQ=AP=，PQ=AQ=，∴OQ=OA﹣AQ=﹣=，∴P（，）；（2）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过P（，），A（，0），∴，解得；即y=﹣x2+x+1；∵当x=0时，y=1，∴C（0，1）在该抛物线的图象上；（3）①若DE是平行四边形的对角线，点C在y轴上，CD∥x轴，过点D作DM∥CE交x轴于M，则四边形EMDC为平行四边形，EM=CD．把y=1代入抛物线解析式得点D的坐标为（，1），把y=0代入抛物线解析式得点E的坐标为（﹣，0），∵EM=CD=，∴M（，0）；N点即为C点，坐标是（0，1）；②若DE是平行四边形的边，过点A作AN∥DE交y轴于N，四边形DANE是平行四边形，AN∥DE，AN=DE．∵D（，1），E（﹣，0），∴D点向左平移个单位，再向下平移1个单位得到点E，∴点A（，0）向左平移个单位，再向下平移1个单位得到点N，∴N（0，﹣1），M点即为A点，M（，0）；同理过点C作CM∥DE交y轴于N，四边形CMED是平行四边形，∴M（﹣，0），N（0，1）．【点评】此题是二次函数综合题，其中涉及到矩形的性质、图形的翻折变换、解直角三角形、二次函数解析式的确定、平行四边形的判定和性质、平移的性质等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．。