专题一 整式及其加减
《整式》整式及其加减PPT
1.几个单项式的和叫做多项式 2.在多项式中,每个单项式叫做多项式的项 3.不含字母的项叫做常数项 4.多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数
次数
多项式: 3x3 5x 8
单项式与多项式统称为整式.
常数项
例3 下列整式中哪些是单项式?哪些是多项式?是 单项式的指出系数和次数,是多项式的指出项和次数:
思考: 6a2,a3,2.5x,vt,2πr
以上各式中运算有什么共同特点?
概念学习 上面各式的运算中数字和字母之间,字母与字母之间
的运算都是乘法运算(都是表示字母与数字、字母与字母
的积). 这样的式子叫做单项式,单独的一个数或一个字母
也是单项式.
例如:像-2,a,-b,
1 3
等是单项式.
注意:像
1
cm时,求圆环的面积(
取
3.14
).
解:外圆的面积减去内圆的面积就是圆环
(πR2 πr 2 )cm2
的面积,所以圆环的面积是
.
当 R 15cm ,r 10 cm 时,
圆环的πR面2积 (πr单2 位3:.14cm12)52是 3.14102
392.5.
这个圆环的面积是 392.5 cm2 .
项(系3)数-为x-1y-,z是常三数次项三为项7式,.则(这个)二次三项式为4_x2_+x_+7.
4.如图,某居民小区有一块宽为2a米,长为b米的长方形 空地,为了美化环境,准备在此空地的四个顶点处各修建 一个半径为a米的扇形花台,在花台内种花,其余种草.如果 建造花台及种花费用每平方米为100元,种草费用每平方米 为50元.那么美化这块空地共需多少元?
- 1 a 2b, m4n2 , x 2 y 2 1, x, 32t 3 ,
专题一 整式及其加减
专题一【1 】整式的加减一.基本常识:1.单项式:由与的乘积构成的叫做单项式.单独的一个或一个也是单项式.单项式中的叫做这个单项式的系数.一个单项式中,所有字母的叫做这个单项式的次数.2.多项式:叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做这个多项式的,个中不含字母的项叫做.一个多项式中,项的次数叫做这个多项式的次数.3.整式:和统称整式.4.同类项及其归并:雷同,并且雷同字母的也雷同的项叫做同类项.把多项式中的归并成一项,叫做归并同类项.归并同类项的轨则:把同类项的相加,所得的成果作为系数,保持不变.5.去括号轨则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去失落后,原括号里各项的符号都;括号前是“—”号,把括号和它前面的“—”号去失落后,原括号里各项的符号都.6.整式的加减:一般地,整式的加减运算第一步是,第二步是.二.考点剖析1.应用同类项的概念求字母的值例1 假如2x3y n+1与-3x m-2y2是同类项,则2m+3n=.2.整式的加减运算例2 盘算6a2-2ab-2(3a2+12ab)所得的成果是().A.-3ab B.-ab C.3a2 D.9a23.应用整式求值例3 若3a2-a-2=0,则5+2a-6a2=.4.应用整式摸索纪律例4 不雅察下列图形:它们是按必定例律分列的,按照此纪律,第16个图形共有个★.三.易错点剖析误区1 整式书写不规范例1 用含有字母的式子填空:(1)a与b的143倍的差是.(2)某商品原价为a元,进步了20%后的价钱.误区2 疏忽1和π致错例2 (1)4π2r2的系数是;(2)单项式54a2b3c的次数是.误区3 去括号时出错例3 盘算:(x-2x2+2)-3(x2-2+x).误区4 列式未加括号而出错例4 已知一个多项式与3x2+9x的和等于3x2+4x-1,则这个多项式是().A.-5x-1 B.5x+1 C.-13x-1 D.13x-1四.例题解析(一)单项式与多项式【例1】下列说法准确的是( )A .单项式23x -的系数是3-B .单项式3242π2ab -的指数是7 C .1x是单项式 D .单项式可能不含有字母【例2】多项式2332320.53x y x y y x ---是次项式,关于字母y 的最高次数项是,关于字母x 的最高次项的系数,把多项式按x 的降幂分列. 【例3】已知单项式4312x y -的次数与多项式21228m a a b a b +++的次数雷同,求m 的值.【例4】若A 和B 都是五次多项式,则( )A .AB +必定是多项式 B .A B -必定是单项式C .A B -是次数不高于5的整式D .A B +是次数不低于5的整式【例5】若m .n 都是天然数,多项式222m n m n a b ++-的次数是( )A .mB .2nC .2m n +D .m .2n 中较大的数【例6】同时都含有字母a .b .c ,且系数为1的7次单项式共有( )个.A .1B .3C .9D .15(二)整式的加减【例7】若2222m a b +与3334m n a b +--是同类项,则m n +=.【例8】单项式21412n a b --与283m m a b 是同类项,则100102(1)(1)n m +⋅-=( )A .无法盘算B .14 C .4 D .1【例9】若5233m n x y x y -与的和是单项式,则n m =.【例10】下列各式中去括号准确的是( )A.()222222a a b b a a b b --+=--+B. ()()222222x y x y x y x y -+--+=-++-C.()22235235x x x x --=-+D.()3232413413a a a a a a ⎡⎤---+-=-+-+⎣⎦【例11】已知222223223A x xy y B x xy y =-+=+-,,求(2)A B A --【例12】若a 是绝对值等于4的有理数,b 是倒数等于2-的有理数.求代数式()22223224a b a b ab a a ab ⎡⎤-----⎣⎦的值.【例13】已知a .b .c 知足:⑴()253220a b ++-=;⑵2113a b c x y -++是7次单项式;求多项式()22222234a b a b abc a c a b a c abc ⎡⎤------⎣⎦的值.【例14】已知三角形的第一边长是2a b +,第二边比第一边长(2)b -,第三边比第二边小5.则三角形的周长为.【例15】李明在盘算一个多项式减去2245x x -+时,误以为加上此式,盘算出错误成果为221x x -+-,试求出准确答案.【例16】有如许一道题“当22a b ==-,时,求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的值”,马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时,王小明没抄错题,但他们做出的成果却都一样,你知道这是怎么回事吗?解释来由.(三)整体思惟【例17】把()a b +当作一个整体,归并22()5a b +-2()b a ++2()a b +的成果是( )A .2()a b +B .2()a b -+C .22()a b -+D . 22()a b +【例18】盘算5()2()3()a b b a a b -+---=.【例19】化简:22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-=.【例20】已知32c a b =-,求代数式22523c a b a b c ----的值.【例21】假如225a ab +=,222ab b +=-,则224a b -=,22252a ab b ++=.【例22】己知:2a b -=,3b c -=-,5c d -=;求()()()a c b d c b -⨯-÷-的值.【例23】当2x =时,代数式31ax bx -+的值等于17-,那么当1x =-时,求代数式31235ax bx --的值.【例24】若代数式2237x y ++的值为8,求代数式2698x y ++的值.【例25】已知3xy x y =+,求代数式3533x xy y x xy y-+-+-的值.追踪演习:1.单项式243ab c -的系数是, 次数是,多项式222389x y x y --的最高次项为. 2.把多项式34432252353x y xy x y x y y --+-按x 的降幂分列为 3.2232a b -与222a b -的差是 .4.已知313125m n m t t s n m s n a b x y a b x y ---+-++-+的化简成果是单项式,那么mnst =( )A .0B .30C .60D .905.已知单项式23b c x y 与单项式22112m n x y +-的差是31n m ax y ++,则abc =.6.已知3a b a b -=+,代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值为. 7.当1x =,时 5313ax bx cx +++=,当1x =-,时 531ax bx cx +++=.8.已知当2x =-时,代数式31ax bx ++的值为6,那么当2x =时,代数式 31ax bx ++的值是若干?9.下列图案是晋商大院窗格的一部分,个中“○”代表窗纸上所贴的剪纸,则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为.10、一辆公共汽车以每小时30 km 的速度行驶于各站之间,若在x km 的行程内 (x >30),它曾泊车b 次,每次泊车a 分钟,则行完整程共需小时.11.已知2m 2-3m =-1,求12m -8m 2+2 006的值.12.某同窗在运算时误将“A +B ”算作“A -B ”,求出的成果是-7x 2+9x +18,个中B 为5x 2-4x +8. 求A +B 的准确成果.。
整式及其加减知识点梳理
七年级整式的加减1、单项式的概念:数与字母的积的代数式叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式。
(1)单项式的系数 单项式中的数字因数叫做单项式的系数。
(2)单项式的次数 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这 个单项式的次数。
2、多项式的概念:几个单项式的和叫做多项式(1)多项式的项:在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不会字母的项叫做常数项。
(2)多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数。
3、整式的意义:单项式和多项式统称为整式。
4、同类项:所含字母相同,相同字母的指数也相同的项,叫做同类项。
合并同类项:把同类项合并成一项叫做合并同类项。
5、应注意的问题:(1)系数(单项式或多项式的某项)包括前面的符号,特别地,π在单项式中作为系数,如a π2-的系数为π2-。
(2)单项式只允许含有乘法以及数字为除数运算;多项中必须会有加法或减法运算,但不能有以字母为除式的除法运算。
(3)多项式重新排列时,各项要连同它前面的符号一起移动。
(4)多项式不含某一字母次数的项,表示此项的系数为0,如x 2+1不含x 的一次项,说明这样的一次项x 的系数为0。
基本法则1、整式加减法法则:几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加减号连接,然后去括号,合并同类项.2、合并同类项法则:合并同类项时,把系数相加,字母和字母指数不变. 注意:a 、系数相加时,一定要带上各项前面的符号。
b 、合并同类项一定要完全、彻底,不能有漏项。
c 、只有是同类项才能合并。
d 、合并同类项的结果可能是单项式也可能是多项式。
重点难点解析1、本节的重点是整式的有关概念;难点是正确识别多项式的项和项的系数.2、关于单项式的系数,学习中要注意:① 系数要包括前面的符号;② 系数是1或-1时,通常省略不写.3、关于单项式的次数:①当字母的指数是1时,“1”通常省略不写;②对于不含字母的非0数,如-2,0.5等,叫“零次单项式”.4、关于多项式的项,每项必须包括它前面的符号.5、多项式的次数的概念要正确理解,是指最高次项的次数,而不是指多项式中所有字母指数的和,要与求单项式的次数区分开. 练习:1多项式222332y y x x +-是一个 次 项式,它的项是2 若y x 57 与21+--m n y x是同类项,则 m = ,n = . 3、在 中,次数 。
《代数式》整式及其加减
整式的运算,通过整式的计算可以得出实际问题的解决方案。
03也经常需要用到整式。例如,计算两
地之间的行程时间,或者根据速度和时间求解距离,都需要运用整式进
行运算。
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感谢观看
整式的化简
去括号法
通过去括号的方式将整式 化简,使其更为简洁易算 。
合并同类项法
将同类项合并,达到整式 化简的效果,简化计算过 程。
分式分解法
将复杂的分式整式通过分 解分式的方法化简为更简 单的形式。
整式的求值方法
直接代入法
将给定的变量值直接代入整式中 ,进行计算求出整式的值。
公式法
应用已知的代数公式,简化整式的 求值过程。
同类项的合并
01
02
03
定义
同类项是指字母部分完全 相同,并且相同字母的次 数也相同的项。
合并方法
直接将同类项的系数进行 相加或相减,字母及其次 数保持不变。
示例
$3x^2y$ 与 $-2x^2y$ 是同类项,合并后为 $x^2y$。
整式加减法的应用举例
多项式加减法
多项式中的每一项都可以视为一个整式,因此可以直接应 用整式的加减法法则进行运算。例如:$(3x^2 + 2xy y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 2x^2 + 4xy - 2y^2$。
分类
整式可分为单项式和多项式两大类。单项式是由数 或字母的积组成的整式,而多项式则是由若干个单 项式的和组成的整式。
整式的次数与项数
次数
整式的次数是指该整式中最高次项的次数,即该整式中所有字母的指数之和的 最大值。例如,多项式 3x^2y + 2xy + y 的次数为 3。
专题1 整式的加减(8个常考点+9种重难点题型+4个易错)七年级数学上学期期中考点(沪教版2024)
考点六: 去括号
【例6】下列变形中,正确的是( D )
A.a+b+c-d=a+(b+c+d)
B.a-(b-c+d)=a-b+c+d
C.a-b-c-d=a-b-(c-d)
D.a+b-(-c-d)=a+b+c+d
【解析】解:A.a+b+c-d=a+(b+c-d),故本选项错误;
=2×3+21=6+21=27;
(2)∵a+2b=6,
-3a+2(a+2b)-6b-3=2(a+2b)-3(a+2b)-3
=2×6-3×6-3=12-18-3=-6-3=-9;
2
2
2
2
(3)∵a +2ab=20,b +2ab=8,∴a +2b +6ab
2
2
=a +2ab+2b +4ab
2
2
=a +2ab+2(b +2ab)
当 =
= -
=-2.
− ,
2
= 时,原式=(- ) + ×(- )×3
− )2
+ | +
1
|
2
=0
【变式8-1】先化简,再求值:2mn-[3mn -2(mn +mn)]+mn ,其中m=-3, =
2
2
2
2
《整式的加减》整式及其加减
实质就是去括号、添括号,合并同类项。
03
整式的混合运算
乘法与除法运算规则
乘法运算规则 系数相乘:将系数相乘得到新的系数。
相同字母的幂相加:相同字母的幂相加,作为新的幂。
乘法与除法运算规则
• 不同字母的幂相乘:不同字母的幂相乘,作为新 的幂。
乘法与除法运算规则
01
除法运算规则
幂的运算规则
同底数幂相乘:同底数幂相乘,底数不 变,指数相加。
整式的混合运算应用
多项式乘以多项式
将一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的 积相加。
多项式除以多项式
用多项式中的多项式去除另一个多项式,得到商和余数。
整式的混合运算顺序
先算乘方和乘除,再02
括号在不同的情况下会影响运算的次序,这也是一个容易出错
的地方。
公式的记忆和使用
03
对于一些基本的公式,如平方差公式、完全平方公式等,学生
可能会出现记忆混乱或使用不当的情况。
难点解析与突破
1 2
符号问题的解决
在处理符号问题时,要时刻注意保持符号的一致 性,例如在合并同类项时,要确保每一项的符号 都是正确的。
多项式
定义
多项式是由几个单项式的 和组成的代数式。
特点
多项式的次数是最高次项 的次数。
例子
如3x^2y + 4x - 5, 2x^3 + 3x^2y + 4y^2等都是 多项式。
整式的加减法
定义
整式的加减法是对同类项进行合 并的过程。
方法
通过去括号、合并同类项,将整 式化简到最简形式。
例子
如(3x + 4x) - (5x + 3y) = 2x 3y。
《整式的加减》整式及其加减PPT课件
课堂检测
拓广探索题
解:由以上四个式子括号的变化情况可知,添括号时,若括号外的符号是“-”,则括号 内各项的符号与原来的符号相反;若括号外的符号是“+”,则括号内各项的符号与原来 的符号相同.
因为a2+b2=5,1-b=-2,
所以-1+a2+b+b2
=(a2+b2)-1+b
=(a2+b2)-(1-b)
北师大版 数学 七年级 上册
3.4 整式的加减 第2课时
导入新知
同学们还记得用火柴棒搭正方形时,怎样计算所需要的火柴棒的根数吗?拿出准备 好的火柴自己搭一下,然后再按如下做法搭.
第一个正方形用4根,每增加一个正方形增加3根,那么搭x个正方形就需要火
柴棒
根. [4+3(x-1)]
导入新知
把每一个正方形都看成是用4根火柴棒搭成的,然后再减多算的根数,得到的代数
=5-(-2)
=7.
课堂小结
法 则
去 括 号
注 意 事 项
1. 括号前面是“+”号,去“+”号和括号,括号里 的各项不变号;
2. 括号前面是“-”号,去掉“-”号和括号,括号 里的各项都变号. 1.若括号前是数字因数时,应利用乘法对加法的分配律先将 该数与括号内的各项分别相乘再去括号;
2.括号内原有几项,去括号后仍有几项,不要丢项.
巩固练习
变式训练
去括号: (1) a+(-b+c)=________________a_-__b_+__c___; (2) 3a-2(b+2c)=_____________3_a_-__2_b_-__4_c___; (3) 2(x-3)-5(y-3z)=______________2_x_-__6_-__5_y_+_1_5; z
(4)-a+b=-(a+b).
整式及其加减
第 1 页 共 1 页 金牌数学专题系列专题一:整式的加减导入经典一笑:-----《知识点及题型精选》-----►►►类型一:单项式一.知识点:1、单项式:由 数或字母 的乘积组成的式子称为单项式。
补充,单独一个 数 或一个 字母 也是单项式,如a ,π,5 。
2、单项式系数:单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的,其中的数字因数叫做单项式的系数。
3、单项式次数:单项式中所有 字母 的指数的 和 叫做单项式的次数。
注意:π是数字而不是字母。
二、典型例题判断下列各式子哪些是单项式?(1) πab ; (2)35a b -; (3) 1y x +。
指出各单项式的系数:(1) 31a 2h , ;(2) 322r , ;(3) 223ab π- , 。
注意:π是数字而不是字母。
指出各单项式的次数:(1)31a 2h , ;(2)3232r h , ;(3)423ab π-, ; 三、《过手训练》(1)y 9的系数是____ 次数是 ; 单项式2125R π-的系数是 _____ ,次数是____。
(2)232a b 的系数是 ___ 次数是 ;单项式-652y x 的系数是 ,次数是 . (3) 如果32(1)m x y +是关于x,y 的单项式,且系数是2,求m 的值;(4) 如果2k xy +-是关于x,y 一个5次单项式,求k 的值;(5) 如果3(1)k m xy +-是关于x,y 的一个5次单项式,且系数是2, 求m k +的值; (6) 如果32(2)m x y +是关于x,y 的单项式,且系数是3,则m= 。
古时有一位新上任的县令,让手下的管家买一根竹竿。
由于县令是外地人,口音与当地不同,管家将竹竿听成了猪肝,于是到集市上买了猪肝,顺便敲诈了两只猪耳朵,放在自己兜里。
回来后,县令大怒,说:“谁叫你买猪肝,你两只耳朵哪里去了?!”管家一听,吓坏了,忙从兜里掏出两只猪耳朵献上,说:“两只耳朵在这里。
整式及其加减(一)
第六讲 整式及其加减(一) 字母表示数 知识点:用字母可以表示:○1数及数量关系;○2图形的周长、面积;○3数字、图形的变化规律;○4列等量关系。
【典型例题】1、用字母a ,b 表示两个数,则:(1)a 与b 的平方和是 ;(2)a 与b 的平方差是 ;(3)a 与b 的和的平方是 ;(4)a 与b 的差的平方是 ;(5)a 与b 的积的2倍的相反数是 ;(6)a 的倒数与b 的绝对值的31的和是 。
2、若一个圆的半径为8-r ,则圆的面积=S 。
3、(1)每台电脑售价为x 元,降价0010后每台电脑的售价为 。
(2)a kg 商品的售价为p 元,则6 kg 商品的售价为 元。
(3)三个连续自然数,中间的一个为n ,则另外两个分别为 和 。
4、在一次考试中,某班28名男生的总分是m 分,26名女生的平均分是n 分,这个班的平均分是( )A 、542628n m + 分B 、5426n m + 分C 、54nm + 分 D 、54)(28n m + 分5、按一定规律排列的一列数:2,4,6,8,10…第)1(+n 个数是 。
6、如图,阴影部分面积可以表示为( )A 、bc ab +B 、)(d b c ad -+C 、)()(c a d d b c -+-D 、cd ab +7、若一个三位数的百位数字是a ,十位数字是b ,个位数字是c ,则这个三位数可表示为 。
代数式知识点: 1、定义:用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意:○1代数式中除了含有数、字母和运算符号外,还可以有括号;○2代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。
○3代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义,是实际问题的要符合实际问题的意义。
※2、代数式的书写格式:○1代数式中出现乘号,通常省略不写,如vt ; ○2数字与字母相乘时,数字应写在字母前面,如a 4; ○3带分数与字母相乘时,应先把带分数化成假分数,如a ⨯312应写作a 37; ○4数字与数字相乘,一般仍用“×”号,即“×”号不省略; ○5在代数式中出现除法运算时,一般写成分数的形式,如)4(4-÷a 应写作44-a ; 注意:分数线具有“÷”号和括号的双重作用。
整式及其加减
整式及其加减(一)一、字母表示数:1、基本定义:字母可以表示任意的数,也可以表示特定意义的公式,还可以表示符合条件的某一个数,甚至可以表示具有某些规律的数,总之字母可以简明的将数量关系表示出来.2、注意事项:1).用字母表示数时,数字与字母,字母与字母相乘,中间的乘号可以省略不写;或用“·”(点)表示。
2).字母和数字相乘时,省略乘号,并把数字放到字母前。
3).出现除式时,用分数表示。
4).结果含加减运算的,单位前加“()”。
5).系数是带分数时,带分数要化成假分数。
二、代数式:1、基本定义:由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子,或含有字母的数学表达式称为代数式。
2、列代数式:1)、把问题中与数量有关的词语,用含有数字、字母和运算符号的式子表示出来,就是列代数式。
2)、分析数量关系,掌握语言文字和、差、积、商、倍、分、大、小、多、少等在数学语言中的含义。
3、求代数式的值:1)、概念:一般地,用数值代替代数式里的字母,按照代数式中指定的运算顺序计算出的结果,结果叫做求代数式的值;2)、步骤:按照定义求代数式的值有“代入”和“计算”两个步骤:A、“代入”指用数值代替代数式里的字母;B、“计算”指按代数式指明的运算,计算得出结果;C、常见的基本方法有直接代入和整体代入以及化简后代入。
例1、在下列表述中,不能表示代数式“4a”的意义的是()A.4的a倍B.a的4倍C.4个a相加D.4个a相乘例2、下列四个叙述,哪一个是正确的()A.3x表示3+x B.x2表示x+x C.3x2表示3x•3x D.3x+5表示x+x+x+5 例3、“x与3的差的2倍”用代数式表示为()A.2x-3 B.2(x-3)C.3(x-2)D.3x-2例4、若原产量为n吨,增产30%后的产量为()A.30%n吨B.(1-30%)n吨C.(1+30%)n吨D.(n+30%)吨1、“x的2倍与5的和”用代数式表示为______________________.2、购买单价为a元的笔记本3本和单价为b元的铅笔5支应付款___________元.3、比x的一半少3的数,列代数式为:__________.4、若某种药品原单价为a元,则降价20%后的单价为_________________元.5、已知梯形的上底为a-b,下底为a+b,高为a+2b,试用含a、b的代数式表示梯形的面积S,并求出当a=3,b=2时梯形的面积.6、已知,一列火车上原有(6a-6b)人,中途下车一半人,又上车若干人,使车上共有乘客(10a-6b).(1)问上车的乘客是多少人?(2)当a=200,b=100时,上车的乘客是多少人?整式及其加减(二)整式、单项式、多项式的概念:整式:整式是有理式的一部分,在有理式中可以包含加,减,乘,除四种运算,但在整式中除数不能含有字母。
整式及其加减的运算的知识结构
《整式及其加减的运算》知识结构一、整式1、单项式:只含有数字与字母的乘积的代数式叫做单项式.注意:①定义中的“积”是对数与字母而言的,只能是乘法或乘方运算,而不能是加、减、除等其他运算. 如22+ab ,32y x -,m n 2等都不是单项式.②单独的一个数或一个字母也是单项式.(1) 单项数的次数:一个单项数中,所有字母的指数的和叫做这个单项数的次数.注意:①计算单项数的次数时,不要漏掉字母的指数为1的指数. 如单项数532bc a 的次数是字母c b a 、、的指数和,即9513=++,而不是字母c a 、的指数和853=+②切勿加上系数中的指数. 如单项数4233y x -的次数是6,而不是9.(2) 单项式的系数:单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.注意:①单项式的系数包括其前面的符号;②只含有字母因数的单项式,其的系数是1或 1-.也就是说,系数是1或 1-时,常省略不写.2、多项式:几个单项式的和叫做多项式.其含义有:①必须由单项式组成;②体现和的运算法则.(1)多项式的次数:一个多项式中,次数最高的项的次数,叫做这个多项式的次数.注意:不要与单项式的次数混淆,而误认为多项式的次数是各项次数之和,如多项式12324++y x 的次数是4,而不是624=+.(2)多项式的项:是指在多项式中,每个单项式叫做多项式的项.其中不含字母的项叫做常数项.注意: 多项式的项包括它前面的性质符号.3、整式:单项式与多项式统称为整式.注意:分母中含有字母的代数式是分式二、幂的运算性质对于幂的运算性质,(一)、要弄清运算性质的由来,(二)、要熟悉推导过程,明确各个性质的条件和结论;(三)、要学会公式的逆运用。
性 质条件 结 论 说明 n m n m a a a +=⋅ 幂的乘法,底数相同,指数为正整数 底数不变,指数相加 由乘法运算降为加法运算(指数相加)()m n n m a a = 幂的乘方,指数为正整数 底数不变,指数相乘 由乘方运算降为乘法 运算(指数相乘) ()n n n b a ab = 积的乘方,指数为正整数 分别乘方, 将幂相乘 由乘方运算降为乘法运算(幂相乘)nmnm aaa-=÷幂的除法底数相同,指数为正整数,且nm>底数不变,指数相减由除法运算降为减法运算(指数相减)01a=(0a≠)a-n=na1( a≠0,n为正整数)任何非零数的0次幂都等于零任何不为零的-n(n为正整数)次幂等于这个数n次幂的倒数在学习和运用这些性质时,一要注意符号问题,二要与整式的有关概念及整式的加碱运算相联系,三要注意各个性质的逆向运用及综合运用。
《整式》整式及其加减
2023-11-05
contents
目录
• 整式概述 • 整式的加减法运算 • 整式的混合运算 • 整式的简化 • 整式的应用 • 复习与总结
01
整式概述
什么是整式
定义
整式是由整数或整式乘除得到的代数式,例如:x^2,3y,2x+3,4b^23b+2等。
特点
整式中不含分母,也不含根号。
删除系数1的例子
$- 3y + 2y = (-3 + 2)y = -y$。
去掉分母的例子
$\frac{2x}{3} + \frac{5x}{3} = \frac{(2 + 5)x}{3} = \frac{7x}{3}$。
05
整式的应用
整式在生活中的应用
建筑学
在建筑设计中,整式可以用于 计算面积、体积和周长等。
检验答案
在得到答案后,要检验其是否符合 实际情况和数学逻辑。
06
复习与总结
本章重点回顾
整式的概念
整式是单项式与多项式的统称,其加减运算不改变代数式的次数 。
整式的加减法
整式的加减法主要涉及去括号、合并同类项等基本运算,是代数 式的基础。
整式的乘除法
整式的乘除法是建立在加减法基础上的,需要灵活运用单项式乘 单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式等运算法则。
本章难点解析
括号前是负号时去括号
括号前有负号时,去括号后各项都要变号 ,这是整式加减法中的难点之一。
VS
合并同类项
合并同类项时,系数相加,字母及其指数 不变,这是整式加减法中的另一个难点。
整式加减法在中考中的考点分析
整式的加减运算
整式及其加减教案
整式及其加减教案教学目标:1. 理解整式的概念及其性质。
2. 掌握整式的加减运算法则。
3. 能够运用整式的加减法解决实际问题。
教学内容:第一章:整式的概念与性质1.1 整式的定义1.2 整式的基本性质第二章:整式的加减法法则2.1 同类项的概念2.2 整式加减法的法则第三章:整式的加减实例解析3.1 简单整式的加减法3.2 复杂整式的加减法第四章:整式加减法的应用4.1 实际问题转化为整式加减问题4.2 整式加减法在实际问题中的应用第五章:整式加减法的练习与拓展5.1 巩固整式加减法的练习题5.2 拓展整式加减法的应用领域教学方法:1. 采用讲授法,讲解整式的概念、性质和加减法法则。
2. 利用实例分析,让学生通过观察、思考、讨论,掌握整式加减法的应用。
3. 布置练习题,巩固所学知识,提高学生的实际应用能力。
教学评估:1. 课堂问答,检查学生对整式概念和性质的理解。
2. 课后作业,评估学生对整式加减法的掌握程度。
3. 实践项目,评价学生在实际问题中运用整式加减法的能力。
教学资源:1. 教学PPT,展示整式的概念、性质和加减法实例。
2. 练习题库,提供丰富的整式加减练习题。
3. 实际问题案例,用于引导学生将整式加减法应用于实际问题。
教学安排:1. 第一章:2课时2. 第二章:2课时3. 第三章:1课时4. 第四章:1课时5. 第五章:1课时教学步骤:第一章:整式的概念与性质1.1 整式的定义1.1.1 引入整式的概念,解释整式是由数字、变量和运算符组成的代数表达式。
1.1.2 强调整式中的变量指数必须是非负整数。
1.2 整式的基本性质1.2.1 介绍整式的加减法、乘除法等基本运算。
1.2.2 讲解整式的系数、次数等基本概念。
第二章:整式的加减法法则2.1 同类项的概念2.1.1 解释同类项的定义,即具有相同变量和相同指数的项。
2.2 整式加减法的法则2.2.1 介绍整式加减法的法则,包括合并同类项、去括号等。
整式的加减专题知识点 常考(典型)题型 重难点题型(含详细答案)
整式的加减专题知识点常考(典型)题型重难点题型(含详细答案)一、目录二、知识点1.整式的加减定义2.整式的加减原则3.整式的加减步骤三、常考题型1.基础练题2.提高练题四、重难点题型1.含有分式的整式加减2.含有根式的整式加减3.含有绝对值的整式加减五、详细答案二、知识点1.整式的加减定义整式加减是指将同类项合并,最终得到一个简化的整式的过程。
整式是由各种数的积和和式构成,包括常数项、一次项、二次项等。
2.整式的加减原则在整式加减中,只有同类项才能相加减。
同类项是指变量的指数相同的项,例如2x^2和5x^2就是同类项,但2x^2和5x^3不是同类项。
3.整式的加减步骤整式加减的步骤如下:1.将同类项放在一起。
2.对同类项的系数进行加减运算。
3.将结果合并,得到简化后的整式。
三、常考题型1.基础练题例题:将3x^2+5x-2和2x^2-3x+1相加。
解题思路:将同类项放在一起,得到5x^2+2x-1,即为答案。
答案:5x^2+2x-12.提高练题例题:将4x^2+3x-1和2x^2-5x+3相减。
解题思路:将同类项放在一起,得到2x^2+8x-4,即为答案。
答案:2x^2+8x-4四、重难点题型1.含有分式的整式加减例题:将(2x^2+3)/(x+1)和(3x-1)/(x+1)相加。
解题思路:先将分式化简为同分母,得到(2x^2+3+3x-1)/(x+1),化简后得到(2x^2+3x+2)/(x+1),即为答案。
答案:(2x^2+3x+2)/(x+1)2.含有根式的整式加减例题:将3√2x+5和5√2x-2相减。
解题思路:将同类项放在一起,得到(3-5)√2x+7,化简后得到-2√2x+7,即为答案。
答案:-2√2x+73.含有绝对值的整式加减例题:将|2x+1|+|3x-2|和|4x-3|相减。
解题思路:考虑绝对值的取值范围,将式子拆分为两部分,得到(2x+1+3x-2)-(4x-3)和(4x-3)-(2x+1+3x-2),化简后得到5x-1和-x,即为答案。
《整式的加减》整式及其加减PPT课件
巩固练习
变式训练
(2)(3a2-ab+7)-(-4a2+2ab+7); 解:(3a2-ab+7)-(-4a2+2ab+7)
=3a2-ab+7+4a2-2ab-7 =7a2-3ab;
巩固练习
变式训练
(3)2n-(2-n)+(3n-2); 解:2n-(2-n)+(3n-2)
=2n-2+n+3n-2 =6n-4;
连接中考 已知A=2x2+3xy-2x-1,B=-x2+xy-1. (1)求3A+6B; (2)若3A+6B的值与x无关,求y的值. 解:(1)3A+6B=3(2x2+3xy-2x-1)+6(-x2+xy-1)
=6x2+9xy-6x-3-6x2+6xy-6 =15xy-6x-9; (2)原式=15xy-6x-9=(15y-6)x-9 要使原式的值与x无关,则15y-6=0,
=-16-12+10+5 =-13.
课堂小结
整式加减的步骤 整 式 的 加 减
整式加减的应用
去括号 合并同类项
=2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca =(8ab+10bc+8ca)(cm2 ).
巩固练习 (2)做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米?
小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ca)cm2 大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ca)cm2
解:做大纸盒比做小纸盒多用料
(6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca) =6ab+8bc+6ca-2ab-2bc-2ca =(4ab+6bc+4ca)(cm2)
整式及其加减知识点
整式及其加减一、字母表示数字母可以表示任何数,用字母表示数的运算律和公式法则; ○1加法交换律a +b =b +a 加法结合律a +b +c =a +(b +c ) ○2乘法交换律ab =ba 乘法结合律(ab )c =a (bc ) 乘法分配律a (b +c )=ab +ac 用字母表示计算公式: ○1长方形的周长2(a +b ),面积ab (a 、b 分别为长、宽) ○2正方形的周长4a ,面积a2(a 表示边长) ○3长方体的体积abc ,表面积2ab +2bc +2ac (a 、b 、c 分别为长、宽、高) ○4正方体的体积a3,表面积6a2(a 表示棱长) ○5圆的周长2πr,面积πr2(r 为半径)○6三角形的面积21×ah (a 表示底边长,h 表示底边上的高)在同一问题中,同一字母只能表示同一数量,不同的数量要用不同的字母表示。
用字母表示实际问题中某一数量时,字母的取值必须使这个问题有意义,并且符合实际。
4、注意书写格式的规范:(1) 表示数与字母或字母与字母相乘时乘号,乘号可以写成“·”,但通常省略不写;数字与数字相乘必须写乘号;(2) 数和字母相乘时,数字应写在字母前面;(3) 带分数与字母相乘时,应把带分数化成假分数;(4) 除法运算写成分数形式 ,分数线具 “÷ ”号和“括号”的双重作用。
(5)在代数式的运算结果中,如有单位时,结果是积或商直接写单位;结果是和差加括号后再写单位。
练习1.有一大捆粗细均匀的钢筋,现要确定其长度,先称出这捆钢筋的总质量为m 千克,再从中截取5米长的钢筋,称出它的质量为n 千克,那么这捆钢筋的总长度为( )米 A 、m nB 、mn5C 、n m 5D 、(5mn-5)2.用代数式表示“ 2a 与3的差”为( )A .2a -3B .3-2aC .2(a -3)D .2(3-a )3.如图1―3―1,轴上点A 所表示的是实数a ,则到原点的距离是( ) A 、a B .-a C .±a D .-|a|二、代数式 1、代数式:用基本运算符号把数和字母连接而成的式子叫代数式。
《代数式》整式及其加减
与不等式结合
整式加减法也常常与不等式结合使用,通过不等式的 研究和分析,可以更好地掌握整式的加减法技能。
感谢您的观看
THANKS
整式的乘法运算
3. 多项式与多项式的乘法运算
将每个多项式分别展开,然后根据乘法分配律进行计算。
公式示例
$(2x^2 + 3x) \times (x + 2) = 2x^3 + 4x^2 + 3x^2 + 6x = 2x^3 + 7x^2 + 6x$。
整式的除法运算
• 总结词:整式的除法运算主要涉及单项式与单项式、单项式与 多项式、多项式与多项式的除法运算。
要点二
解决物理问题
整式加减法在解决物理问题中也有很多应用,例如牛 顿第二定律$F=ma$,其中$F$表示力,$m$表示质量 ,$a$表示加速度,通过整式加减法可以方便地求解加 速度。
在日常生活中的应用
计算购物优惠
在日常生活中,整式加减法可以用来计算购物优惠。例 如,如果一件商品的原价为$x$元,折扣为$y$元,那么 实际支付的金额为$(x-y)$元,这个可以通过整式加减法 来计算。
合并同类项
将相同项合并,简化表达式。
平方差公式
利用平方差公式简化表达式。
提取公因数
将公因数提取出来,简化表达式。
完全平方公式
利用完全平方公式简化表达式。
整式的约分技巧
找分子分母的最大公约数
约分的关键是找到分子分母的最大公约数。
将公约数约简
将分子分母同时除以它们的最大公约数。
化简分数
将分子分母化为互质的整数。
去括号、移项等基本技能。
02
提高解题速度
多做习题能够提高解题速度,因为熟能生巧。在面对考试时,能够更加
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专题一整式的加减
一、基础知识:
1.单项式:由与的乘积组成的叫做单项式.单独的一个或一个也是单项式.单项式中的叫做这个单项式的系数.一个单项式中,所有字母的叫做这个单项式的次数.
2.多项式:叫做多项式.在多项式中,每个单项式叫做这个多项式的,其中不含字母的项叫做.一个多项式中,项的次数叫做这个多项式的次数.
3.整式:和统称整式.
4.同类项及其合并:相同,并且相同字母的也相同的项叫做同类项.把多项式中的合并成一项,叫做合并同类项.合并同类项的法则:把同类项的相加,所得的结果作为系数,保持不变.5.去括号法则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉后,原括号里各项的符号都;括号前是“—”号,把括号和它前面的“—”号去掉后,原括号里各项的符号都.
6.整式的加减:一般地,整式的加减运算第一步是,第二步是.
二、考点分析
1.利用同类项的概念求字母的值
例1 如果2x3y n+1与-3x m-2y2是同类项,则2m+3n= .
2.整式的加减运算
例2 计算6a2-2ab-2(3a2+1
2
ab)所得的结果是().
A.-3ab B.-ab C.3a2D.9a2 3.利用整式求值
例3 若3a2-a-2=0,则5+2a-6a2= .
4.利用整式探索规律
例4 观察下列图形:
它们是按一定规律排列的,依照此规律,第16个图形共有个★.三、易错点分析
误区1 整式书写不规范
例1 用含有字母的式子填空:(1)a与b的
1
4
3
倍的差是.
(2)某商品原价为a元,提高了20%后的价格.误区2 忽略1和π致错
例2 (1)4π2r2的系数是;(2)单项式
5
4
a2b3c的次数是.
误区3 去括号时出错
例3 计算:(x -2x 2+2)-3(x 2-2+x ).
误区4 列式未加括号而出错
例4 已知一个多项式与3x 2+9x 的和等于3x 2+4x -1,则这个多项式是( ).
A .-5x -1
B .5x +1
C .-13x -1
D .13x -1
四、例题解析
(一)单项式与多项式
【例1】下列说法正确的是( )
A .单项式23x -的系数是3-
B .单项式3242π2
ab -的指数是7 C .1x
是单项式 D .单项式可能不含有字母 【例2】多项式2332320.53x y x y y x ---是 次 项式,关于字母y 的最高
次数项是 ,关于字母x 的最高次项的系数 ,把多项式按x 的降幂排列 。
【例3】已知单项式4312x y -的次数与多项式21228m a a b a b +++的次数相同,求m 的值。
【例4】若A 和B 都是五次多项式,则( )
A .A
B +一定是多项式 B .A B -一定是单项式
C .A B -是次数不高于5的整式
D .A B +是次数不低于5的整式
【例5】若m 、n 都是自然数,多项式222m n m n a b ++-的次数是( )
A .m
B .2n
C .2m n +
D .m 、2n 中较大的数
【例6】同时都含有字母a 、b 、c ,且系数为1的7次单项式共有( )个。
A .1
B .3
C .9
D .15
(二)整式的加减
【例7】若2222m a b +与3334m n a b +--是同类项,则m n += 。
【例8】单项式21412n a b --与283m m a b 是同类项,则100102(1)(1)n m +⋅-=( )
A .无法计算
B .14
C .4
D .1
【例9】若5233m n x y x y -与的和是单项式,则n m = 。
【例10】下列各式中去括号正确的是( )
A.()222222a a b b a a b b --+=--+
B.
()()222222x y x y x y x y -+--+=-++- C. ()22235235x x x x --=-+ D. ()3232413413a a a a a a ⎡⎤---+-=-+-+⎣⎦
【例11】已知222223223A x xy y B x xy y =-+=+-,,求(2)A B A --
【例12】若a 是绝对值等于4的有理数,b 是倒数等于2-的有理数。
求代数式
()22223224a b a b ab a a ab ⎡⎤-----⎣⎦的值。
【例13】已知a 、b 、c 满足:⑴()253220a b ++-=;⑵2113
a b c x y -++是7次单项式;
求多项式()22222234a b a b abc a c a b a c abc ⎡⎤------⎣⎦的值。
【例14】已知三角形的第一边长是2a b +,第二边比第一边长(2)b -,第三边比第二边
小5。
则三角形的周长为 。
【例15】李明在计算一个多项式减去2245x x -+时,误认为加上此式,计算出错误结
果为221x x -+-,试求出正确答案。
【例16】有这样一道题“当22a b ==-,时,求多项式()()22233322a ab b a ab b -----+的
值”,马小虎做题时把2a =错抄成2a =-时,王小明没抄错题,但他们做出的结果却都一样,你知道这是怎么回事吗?说明理由。
(三)整体思想
【例17】把()a b +当作一个整体,合并22()5a b +-2()b a ++2()a b +的结果是( )
A .2()a b +
B .2()a b -+
C .22()a b -+
D . 22()a b +
【例18】计算5()2()3()a b b a a b -+---= 。
【例19】化简:22233(2)(2)(1)(1)x x x x x +---+-+-= 。
【例20】已知32c a b =-,求代数式22523
c a b a b c ----的值。
【例21】如果225a ab +=,222ab b +=-,则224a b -= ,22252a ab b ++= 。
【例22】己知:2a b -=,3b c -=-,5c d -=;求()()()a c b d c b -⨯-÷-的值。
【例23】当2x =时,代数式31ax bx -+的值等于17-,那么当1x =-时,求代数式
31235ax bx --的值。
【例24】若代数式2237x y ++的值为8,求代数式2698x y ++的值。
【例25】已知
3xy x y =+,求代数式3533x xy y x xy y
-+-+-的值。
追踪练习:
1、单项式243ab c -的系数是 , 次数是 ,多项式222389x y x y --的最高次项为 。
2、把多项式34432252353x y xy x y x y y --+-按x 的降幂排列为
3、 2232a b -与222a b -的差是 。
4、已知313125m n m t t s n m s n a b x y a b x y ---+-++-+的化简结果是单项式,那么mnst =( )
A .0
B .30
C .60
D .90
5、已知单项式23b c x y 与单项式2211
2
m n x y +-的差是31n m ax y ++,则abc = 。
6、已知3a b a b -=+,代数式2()4()3()a b a b a b a b +---+的值为 。
7、当1x =,时 5313ax bx cx +++=,当1x =-,时 531ax bx cx +++= 。
8、已知当2x =-时,代数式31ax bx ++的值为6,那么当2x =时,代数式 31ax bx ++的值是多少?
9、下列图案是晋商大院窗格的一部分,其中“○”代表窗纸上所贴的剪纸,则第n 个图中所贴剪纸“○”的个数为 .
10、一辆公共汽车以每小时30 km 的速度行驶于各站之间,若在x km 的行程内 (x >30),它曾停车b 次,每次停车a 分钟,则行完全程共需 小时.
11.已知2m 2-3m =-1,求12m -8m 2+2 006的值.
12.某同学在运算时误将“A +B ”看成“A -B ”,求出的结果是-7x 2+9x +18,其中B 为5x 2-4x +8. 求A +B 的正确结果.。