2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：14.2圆的方程含解析

14.2圆的方程挖命题【考情探究】分析解读圆的方程是江苏高考的必考内容之一,最近几年很少有单独的试题考查圆的方程,通常和向量、直线、椭圆相结合,综合性比较强,以中档题的形式出现,不拘泥于填空题,有时候会出现在第17、18题,在复习中,也要注意以圆为背景的实际应用题.破考点【考点集训】考点圆的方程1.(2018江苏天一中学月考)已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为__________.答案(x-1)2+(y+1)2=22.(2018江苏金陵中学周考)圆C的圆心在x轴上,并且经过点A(-1,1),B(1,3),若M(m,)在圆C内,则m的取值范围为.答案(0,4)3.(2018江苏金沙高级中学期中)设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+(a-1)2=0,若0<a<1,则原点与圆的位置关系是____________.答案原点在圆外炼技法【方法集训】方法一求圆的方程的方法1.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.答案(x-2)2+y2=9恰好被面积最小的圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2及其内部所覆盖,则圆C的方程为.2.已知平面区域-答案(x-2)2+(y-1)2=5方法二与圆有关的最值问题的求解方法1.已知圆O:x2+y2=8,点A(2,0),动点M在圆上,则∠OMA的最大值为.答案2.已知M(m,n)为圆C:x2+y2-4x-14y+45=0上任意一点.(1)求m+2n的最大值;(2)求-的最大值和最小值.解析(1)由题意可知x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C的坐标为(2,7),半径r=2.设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程,因为该直线与圆有公共点,所以圆心到直线的距离d=≤2,解得16-2≤t≤16+2,所以所求的最大值为16+2.(2)记点Q(-2,3).因为-表示直线MQ的斜率k,所以直线MQ的方程为y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0.由直线MQ与圆C有公共点,得-≤2.解得2-≤k≤2+,所以-的最大值为2+,最小值为2-.过专题【五年高考】A组自主命题·江苏卷题组1.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=22.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得+=,求实数t的取值范围.解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.=2.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为--设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d==.因为BC=OA==2,而MC2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)解法一:+=,即=-=,即||=||,因为||=-,又0<||≤10,所以0<-≤10,解得t∈[2-2,2+2].对于任意t∈[2-2,2+2],欲使=,此时0<||≤10,只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距离为-,必然与圆交于P,Q两点,此时||=||,即=,因此对于任意t∈[2-2,2+2],均满足题意.故t∈[2-2,2+2].解法二:设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),+=,所以-①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤--≤5+5,解得2-2≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].解后反思 1.根据已知条件求圆的方程,一般地,可采用两种不同的方法:一是待定系数法,即先根据条件用圆的标准式或一般式设出方程,再根据条件来确定参数的值;二是通过几何图形的性质来确定圆心的位置或坐标及半径,进而求得圆的方程.2.已知直线与圆相交来确定弦长的问题,通常要利用圆心到直线的距离d,圆的半径r以及弦长l之间的关系l=2-来进行求解.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点圆的方程1.(2018北京理改编,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为.答案 32.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.答案x2+y2-2x=03.(2015课标Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.答案-+y2=4.(2016北京改编,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为.答案5.(2016课标全国Ⅱ改编,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=.答案-6.(2015课标Ⅱ改编,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=.答案47.(2014课标全国Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.答案[-1,1]8.(2018课标全国Ⅱ理,19,12分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程;(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解析(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由-得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.由题设知=8,解得k=-1(舍去),或k=1,因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则--解得或-因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.方法总结有关抛物线的焦点弦问题,常用抛物线的定义进行转化求解,在求解过程中应注重利用根与系数的关系进行整体运算.一般地,求直线和圆的方程时,利用待定系数法求解.9.(2017课标全国Ⅲ,20,12分)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·=-=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此·=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10. 当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为-,圆M的半径为,圆M的方程为-+=.解后反思直线与圆锥曲线相交问题,常联立方程,消元得到一个一元二次方程,然后利用根与系数的关系处理.以某线段为直径的圆的方程,也可以用该线段的两端点坐标(x1,y1)、(x2,y2)表示:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.C组教师专用题组1.(2010课标理,15,5分)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1),则圆C的方程为. 答案(x-3)2+y2=22.(2014陕西,12,5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.答案x2+(y-1)2=13.(2015课标Ⅱ改编,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为.答案4.(2014湖北文,17,5分)已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则(1)b=;(2)λ=.答案(1)-(2)5.(2009江苏,18,14分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.解析(1)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d=-=1,由点到直线的距离公式,得---=1,-化简得24k2+7k=0,解得k=0或k=-,故直线l的方程为y=0或y=-(x-4),即y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P坐标为(m,n),直线l1、l2的方程分别为y-n=k(x-m),y-n=-(x-m),即kx-y+n-km=0,-x-y+n+m=0.因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,两圆半径相等.由垂径定理,得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等.故有----=--,化简得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5,由题意得----或--解得-或-故点P的坐标为-或-.【三年模拟】一、填空题(每小题5分,共40分)1.(2019届江苏启东中学月考)若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴都相切,则该圆的标准方程为.答案(x-2)2+(y-1)2=12.(2019届江苏淮阴中学期初)已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C 的方程是.答案(x+1)2+y2=23.(2019届江苏清江中学质检)设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为.答案 44.(2018江苏南京期中)过点P(1,1)的直线,将区域{(x,y)|x2+y2≤4}分为两部分,使得这两部分的面积之差最大,则该直线的方程为.答案x+y-2=05.(2018江苏苏州中学月考)设A(-3,0),B(3,0)为两定点,动点P到A点的距离与到B点的距离之比为1∶2,则点P 的轨迹所围成的面积是.答案16π6.(2019届江苏常州五中周考)直线l1:y=x+a,l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=.答案 27.(2018江苏南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)在平面直角坐标系xOy中,若动圆C上的点都在不等式组-表示的平面区域内,则面积最大的圆C的标准方程为.答案(x-1)2+y2=48.(2019届江苏南通中学质检)在△ABC中,|BC|=6,|AB|=2|AC|,则△ABC面积的最大值为.答案12二、解答题(共30分)9.(2019届江苏平潮中学月考)已知方程x2+y2-2x-4y+m=0.(1)若此方程表示圆,求实数m的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线x+2y-4=0相交于M,N两点,且OM⊥ON(O为坐标原点),求m的值;(3)在(2)的条件下,求以MN为直径的圆的方程.解析(1)由D2+E2-4F>0得(-2)2+(-4)2-4m>0,解得m<5.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由x+2y-4=0得x=4-2y.将x=4-2y代入x2+y2-2x-4y+m=0得5y2-16y+8+m=0,所以y1+y2=,y1y2=.因为OM⊥ON,所以·=-1,即x1x2+y1y2=0.因为x1x2=(4-2y1)(4-2y2)=16-8(y1+y2)+4y1y2,所以x1x2+y1y2=16-8(y1+y2)+5y1y2=0,即(8+m)-8×+16=0,解得m=.(3)设圆心C的坐标为(a,b),则a=(x1+x2)=,b=(y1+y2)=,半径r=|OC|=,所以所求圆的方程为-+-=.10.(2019届江苏白蒲中学期中)如图,已知圆O的直径AB=4,定直线l到圆心的距离为4,且直线l垂直于直线AB.点P是圆O上异于A,B的任意一点,直线PA,PB分别交l于M,N两点.(1)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆的方程;(2)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点.解析易得A(-2,0),B(2,0),☉O的方程为x2+y2=4,直线l的方程为x=4.(1)当点P在x轴上方时,因为∠PAB=30°,所以点P的坐标为(1,),所以l AP:y=(x+2),l BP:y=-(x-2).将x=4分别代入得M(4,2),N(4,-2),所以线段MN的中点坐标为(4,0),|MN|=4.所以以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.同理,当点P在x轴下方时,所求圆的方程仍是(x-4)2+y2=12.综上,以MN为直径的圆的方程为(x-4)2+y2=12.(2)证明:设点P的坐标为(x0,y0),则y0≠0,所以+=4(y0≠0),所以=4-.易知l PA:y=(x+2),(x-2),l PB:y=-将x=4分别代入得y M=,y N=,-所以M,N,-所以|MN|=-=-,-线段MN的中点坐标为--.以MN为直径的圆O'截x轴所得的线段长为2---=-=-=4.则圆O'与x轴的两交点坐标分别为(4-2,0),(4+2,0). 又(4-2)2=28-16<4,(4+2)2=28+16>4,所以圆O'必过圆O内定点(4-2,0).。