{高中试卷}北大附中高一级下学期数学期中考试[仅供参考]
{高中试卷}北京市师大附中下学期高一数学期中考试[仅供参考]
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20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：北京市师大附中20XX-20XX 学年下学期高一年级期中考试数学试卷第Ⅰ卷（模块卷）本试卷分第Ⅰ卷（模块卷，100分）和第Ⅱ卷（综合卷，50分）两部分，共150分，考试时间120分钟。
一、选择题（4＇×10=40分）：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 不等式0)21(>-x x 的解集（ ）A. }210|{<<x xB. }21|{<x xC. }021|{<>x x x 或 D. }2100|{<<<x x x 或 2. 若等差数列}{n a 的前3项和93=S 且11=a ，则2a 等于（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 3. 已知数列}{n a 是等比数列，且811=a ，14-=a ，则数列}{n a 的公比q 为（ ） A. 2 B. 21- C. -2 D.21 4. 在ABC ∆中，︒=60A ，34=a ，24=b ，则B 等于（ ） A. ︒45或︒135 B. ︒135C. ︒45D. 以上答案都不对5. 已知01,0<<-<b a ，则下列不等式中正确的是（ ）A. 2ab ab a >>B. 2ab ab a <<C. 2ab a ab >> C. a ab ab >>26. 若ABC ∆的三个内角满足13:12:5sin :sin :sin =C B A ，则ABC ∆（ ）A. 一定是锐角三角形B. 一定是直角三角形C. 一定是钝角三角形D. 可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形 7. 某工厂第一年年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，则这两年的年平均增长率记为x ，则（ ）A. 2b a x +=B. 2ba x +≤ C. 2b a x +> D.2ba x +≥8. 下列命题中，不正确的是（ ）A. 若a ，b ，c 成等差数列，则n ma +，n mb +，n mc +也成等差数列；B. 若a ，b ，c 成等比数列，则2ka ，2kb ，2kc （k 为不等于0的常数）也成等比数列；C. 若常数0>m ，a ，b ，c 成等差数列，则am ，bm ，cm 成等比数列；D. 若常数0>m 且1≠m ，a ，b ，c 成等比数列，则a m log ，b m log ，c m log 成等差数列。
北京大学附属中学(行知、未名学院)2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含简单答案)
北京大学附属中学（行知、未名学院）2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷考生须知：1.本试卷共4页，分为两部分：第一部分为选择题，共40分；第二部分为非选择题，共60分.2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分必须用2B 铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答.3.考试结束后，考生应将答题卡放在桌面上，待监考员收回.第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知等差数列通项公式为，则公差为（）A 5B. 4C. 2D. 32. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的函数是（ ）A. B. C. D.3. 已知函数，下面说法正确的是（ ）A. 在上的平均变化率为1B. C. 是的一个极大值点 D. 在处的瞬时变化率为24. 在数列中，，且，则其前项的和为（）A. 841B. 421C. 840D. 4205. 已知函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则下列结论中错误的是（ ）的.{}n a 32n a n =+()0,∞+ln y x x=+3y x x =+1y x x=+2sin y x x=+()sin2f x x =()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦()cos2f x x'=π3x =()f x ()f x 0x ={}n a 11a =()*12N n n a a n n ++=∈41()y f x =R ()y f x ='A. 2是的极大值点B. 在处的切线斜率大于0C.D. 在上一定存在最小值6. 设等比数列的前项和为，则“” 是“数列为递增数列”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知为等差数列，是其前项和，若，且，则当取得最大值时，（ ）A. 3B. 6C. 7D. 88. 若函数在上单调，则实数的取值范围是（ ）A B. C. D. 9. 给出以下值：①，②，③，④，其中使得函数有且仅有一个零点的是（ ）A. ①④B. ②④C. ①②③D. ①②④10. 李华学了“斐波那契数列”后对它十分感兴趣，于是模仿构造了一个数列：，，，. 给出下列结论：①；②；③设，则；④设，则有最大值，但没有最小值.其中所有正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4第二部分（非选择题 共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.11. 已知等比数列中，，，则该数列的前项和为______.12. 设，使存在极值的一个的值可以是______.13. 设，若的单调减区间为，则______，______..()f x ()f x ()()0,0f ()()34f f <()f x ()3,5-{}n a n n S 321a a a >>{}n S {}n a n S n 83S S >130S <n S n =()2ln 2x f x x =-(),m +∞m [)1,+∞()1,+∞()0,1(]0,1k e k =-1e k =-0k =1k =()e xk f x x=-{}n a 11a =22a =33a =312n n n n a a a a +++=+-20232023a =20242020a =-123n n S a a a a =++++ 20235056S =123n n T a a a a =⋅⋅⋅⋅ n T {}n a 28a =-34a =4()3231f x x ax x =+++()f x a ()2ln f x ax bx x =++()f x ()1,2=a b =14. 函数的定义如下表：1234551234已知，且数列满足对任意的，均有.若，则正整数的值为______.15. 牛顿和拉弗森在17世纪提出了“牛顿迭代法”，相比二分法可以更快速给出近似值，至今仍在计算机等学科中被广泛应用. 如图，设是方程的根，选取作为初始近似值.过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴的交点的横坐标是的1次近似值；过点作曲线在处的切线，切线方程为，当时，称与轴的交点的横坐标是的2次近似值；重复以上过程，得到的近似值序列. 这就是所谓的“牛顿迭代法”.（1）当，时，的次近似值与次近似值可建立等式关系：______；（2）若取作为2次近似值为______（用分数表示）.三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数.（1）求曲线在处切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）求函数在区间上的最小值.17. 已知数列为等差数列，，，数列满足，.的的()f x x ()f x 04a ={}n a *n ∈N ()1n n a f a -=123180105m m m a a a a +++++++= m r ()0f x =0x r ()()00,x f x ()y f x =()()00,x f x 1l ()00f x '≠1l x 1x r ()()11,x f x ()y f x =()()11,x f x 2l ()10f x '≠2l x 2x r r {}n x ()0n f x '≠*n ∈N r 1n +1n x +n n x 1n x +=02x =r ()3211233f x x x x =+-+()y f x =0x =()f x ()f x []1,4-{}n a 11a =2410a a +={}n b 11b =121n n b b +=+（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列；（3）设，求数列的前项和.18. 设函数.（1）求的单调区间；（2）若，设，求证：不存在极大值.19. 已知数列是无穷数列，.（1）若，，写出，的值；（2）已知数列中，求证：数列中有无穷项为；（3）已知数列中任何一项都不等于，且，记，其中为，中较大的数. 求证：数列是递减数列.{}n a {}1n b +n n n c a b =+{}n c n n S ()2e axf x x =()f x 1a =()()g x f x x =-()g x {}n a 11111,0,0n n n n n n n n na a a a a a a a a --+----≥⎧=⎨--<⎩11a =22a =4a 5a {}n a 0k a ={}n a 0{}n a 0120a a >>{}()*212max ,n n n b a a n -=∈N{}max ,m n m n {}n b北京大学附属中学（行知、未名学院）2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷简要答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】B【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】B【10题答案】【答案】C第二部分（非选择题共60分）二、填空题共5小题，每小题4分，共20分.【11题答案】【答案】10【12题答案】【答案】（答案不唯一）.【13题答案】【答案】①.## ②. 【14题答案】【答案】145【15题答案】【答案】 ①. ②. 三、解答题共4小题，共40分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1）（2）增区间，减区间 （3）【17题答案】【答案】（1） （2）证明略 （3）【18题答案】【答案】（1）答案略 （2）证明略【19题答案】【答案】（1）， （2）证明略（3）证明略4140.2532-()()n n n f x x f x '-975631y x =+()(),1,3,-∞+∞()1,3133-21n a n =-1222n n n ++--41a =50a =。
北京师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
C． tanq > 0
D．以上都不对
A． f ( x) = 1+ cos x
B． f ( x) = x + sin x
C． f ( x) = x + cos x
D． f ( x) = 1+ sin x
3．已知角
α
的终边上一点
P(m, m
+ 1)
，且
cosa
=
3 5
，则
m
等于（
）
A．
-
3 7
B．3
C．-3
D． 3 7
4．为了得到函数
y
=
sin
æ çè
3x
-
π 4
ö ÷ø
的图象，只需把函数
y
=
sin
3x
的图象上所有的点
（）
A．向左平移 π 个单位长度 4
B．向右平移 π 个单位长度 4
C．向左平移 π 个单位长度 12
D．向右平移 π 个单位长度 12
5．下列函数中，周期为
π
且在区间
é êë
π 2
,π
正确；
∴
f
(x)
=
sin
æ çè
2x
+
π 3
ö ÷ø
，则
f (1132π1)3=πsπi5nπæçèπ2 ´
12
+
3
ö ÷ø
=
sin
2
= sin 2 = 1为最大值
∴
f
(x)
的图象关于直线
x
=
13π 12
对称，C
正确；
f
(x) 的图象向右平移
北京市北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学试卷(含简单答案)
北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 是（ ）A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角2. 已知向量，在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则（ ）A B. C. 2 D. 43. 下列函数中，最小正周期为且是奇函数的是（ ）A. B. C. D.4. 已知向量，满足，，，则（ ）A.B.C.D.5. 已知函数的图象与直线的相邻两个交点间的距离等于，则的图象的一条对称轴是（ ）A. B. C. D. 6. 已知满足，，则（ ）A.B. C.D. 7. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，要得到函数.240︒a b a b ⋅=4-2-πsin y x=cos y x=tan2y x=sin cos y x x=a b()0,1a = 1b = a b -=r r ,a b 〈〉= π6π3π22π3()()sin 0f x x x ωωω=>2y =π()f x π12x =π6x =5π12x =5π6x =ABC V AB AC =tan 2B =tan A =4343-4545-()()sin f x A x ωϕ=+0A >0ω>π2ϕ<的图象，只需将函数的图象（ ）A向左平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向右平移个单位8. 若，则（ ）A.B. C.D. 9. 已知函数．则“”是“为奇函数”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 如图，是轮子外边沿上一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m 时，下列选项中，关于点的描述正确的是（参考数据：）（ ）A. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.56mB. 点在轮子的右上位置，距离地面约为0.45mC. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mD. 点在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 函数的定义域为__________________ .12. 已知向量，，使和的夹角为钝角的的一个取值为________..的2sin 2y x =()f x π3π6π3π6π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin2α=725725-925925-()()cos f x x ϕ=+()()11f f -=-()f x A A 7π21.991≈A A A A tan(4y x π=+(a = ()cos ,sin b θθ= a bθ13. 若函数（）和的图象的对称轴完全重合，则_________，__________.14. 在矩形中，若，，且，则的值为______，的值为______.15. 已知，给出下列四个结论：①对任意的，函数是偶函数；②存在，函数的最大值与最小值的差为4；③当时，对任意的非零实数，；④当时，存在实数，，使得对任意的，都有.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16. 在平面直角坐标系中，锐角，均以为始边，终边分别与单位圆交于点，，已知点的纵坐标为，点的横坐标为.（1）直接写出和的值，并求的值；（2）求的值；（3）将点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标.17. 已知函数.（1）求的单调区间；（2）若函数，求的图象的对称中心.18. 在平面直角坐标系中，原点，，，，，，为线段上一点，且.为π()sin()6f x x ω=+0ω>22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+-+ω=π()6g =ABCD 1AB =13BE BC = AB AE AD AE ⋅=⋅AD AE AC⋅ ()2cos f x x m =+m ∈R ()f x m ∈R ()f x 0m ≠x 22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0m =()0,T π∈0x ∈R n ∈Z ()()00f x f x nT =+αβOx A B A 35B 513tan αsin βtan()αβ-π2sin(π)sin()23πcos()cos(3π)2αααα-++--+A O π4C C ()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x ()()cos g x f x x =()g x O ()2,2A ()3,B m (),4C n AB AC ⊥ //BC OAP BC PC BC λ=（1）求，的值；（2）当时，求；（3）求的取值范围.19. 已知函数，其中.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题.（1）求的值；（2）若函数在区间上的取值范围是，求的取值范围.条件①；条件②是的一个零点；条件③.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.20. 如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心，在同一竖直线上，且，标记初始位置点为下齿轮的最右端，点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中，两点的纵坐标分别为，、转动时间为秒（）.（1）当时，求点绕转动的弧度数；（2）分别写出，关于转动时间的函数表达式，并求当满足什么条件时，；（3）求的最小值.21. 对于定义在上的函数，如果存在一组常数，，…，（为正整数，且），使得，，则称函数为“阶零m n 35λ=cos APC ∠PA PC ⋅()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++π||2ϕ<()f x ϕ()f x []0,m 1[,1]2m π(16f =-π12-()f x (0)3π(f f =2O 1O 125O O =A B 1O xOy A B 1y 2y t 0t ≥1t =B 2O 1y 2y t t 2 5.5y ≥21y y -R ()y f x =1t 2t k t k 120k t t t =<<< x ∀∈R 12((0))()k f x t f x t f x t ++++++= ()f x k和函数”.（1）若函数，，请直接写出，是否为“2阶零和函数”；（2）判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.，.的11()x f x =+2()sin f x x =1()f x 2()f x ()f x ()f x 3cos 2cos5cos8()f x x x x =++4cos 2cos3cos 4()f x x x x =++北京师范大学附属实验中学2023-2024学年高一下学期期中测验数学 简要答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】A 【3题答案】【答案】D 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】A 【6题答案】【答案】A 【7题答案】【答案】D 【8题答案】【答案】B 【9题答案】【答案】C 【10题答案】【答案】B第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.【11题答案】【答案】|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【12题答案】【答案】（答案不唯一）【13题答案】【答案】①. 2②.或1【14题答案】【答案】①.②. 【15题答案】【答案】①②④三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.【16题答案】【答案】（1），； （2）10； （3）.【17题答案】【答案】（1）单调增区间为；单调减区间为 （2）【18题答案】【答案】（1）；（2）（3）.【19题答案】【答案】（1）条件选择略，；（2）.【20题答案】π2-1-2312tan ,sin 413αβ==33tan )6(5αβ-=-π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈1,8m n =-=[8,10]-π6ϕ=-ππ63m ≤≤【答案】（1）2（2），，满足 （3）【21题答案】【答案】（1）不是，是； （2）充分不必要条件，证明略； （3）是，不是，理由略.12sin y t =2π5sin 22y t ⎛⎫=+-⎪⎝⎭t π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭721()f x 2()f x 3()f x 4()f x。
北京市首都师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中练习数学试题
北京市首都师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期
期中练习数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．5
B ．10
C ．13
D ．26
三、双空题
16．声音是由物体振动而产生的声波通过介质(空气、固体或液体)传播并能被人的听觉器官所感知的波动现象.在现实生活中经常需要把两个不同的声波进行合成，这种技术被广泛运用在乐器的调音和耳机的主动降噪技术方面.
（1）若甲声波的数学模型为()1
sin 200f t t p =，乙声波的数学模型为
()()()2sin 2000f t t p j j =+＞，甲、乙声波合成后的数学模型为()()()12f t f t f t =+.要
使()0f t =恒成立，则j 的最小值为____________；
（2）技术人员获取某种声波，其数学模型记为()H t ，其部分图像如图所示，对该声波进行逆向分析，发现它是由S 1，S 2两种不同的声波合成得到的，S 1，S 2的数学模型分
（ⅱ）记()()()()()()s P M PA M PB M PC M PD M PE =++++uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r
.求()s P 的最小值及相应的
点P 的坐标.。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
北京2023—2024学年第二学期期中练习高一数学（答案在最后）2024.04说明：本试卷共4页，共120分.考试时长90分钟.一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.sin120︒的值等于（）A.12-B.12C.2D.2【答案】D 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值得到2，从而可求解.【详解】由题意可得sin1202︒=，故D 正确.故选：D.2.若角α的终边过点()4,3，则πsin 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.45B.45-C.35D.35-【答案】A 【解析】【分析】根据余弦函数定义结合诱导公式计算求解即可.【详解】因为角α的终边过点()4,3，所以4cos 5α==，所以π4sin cos 25αα⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故选：A3.已知扇形的弧长为4cm ，圆心角为2rad ，则此扇形的面积是（）A.22cmB.24cm C.26cm D.28cm 【答案】B【解析】【分析】由条件结合弧长公式l R α=求出圆的半径，然后结合扇形的面积公式12S lR =可得答案．【详解】因为扇形的圆心角2rad α=，它所对的弧长4cm l =，所以根据弧长公式l R α=可得，圆的半径2R =，所以扇形的面积211424cm 22S lR ==⨯⨯=；故选：B ．4.向量a ，b ，c在正方形网格中的位置如图所示，若向量c a b λ=+，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】将3个向量的起点归于原点，根据题设得到它们的坐标，从而可求λ的值.【详解】如图，将,,a b c的起点平移到原点，则()()()1,1,0,1,2,1a b c ==-= ，由c a b λ=+可得()()()2,11,10,1λ=+-，解得2λ=，故选：D.5.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是（）A.()cos2f x x =B.()tan2x f x =C.()()tan f x x =- D.()sin f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数的周期性和奇偶性对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A ，函数()cos2f x x =的最小正周期为π，因为()()()cos 2cos 2f x x x f x -=-==，所以()cos2f x x =为偶函数，A 错误，对于B ，函数()tan 2xf x =的最小正周期为2π，因为()()tan tan 22x x f x f x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，所以函数()tan 2x f x =为奇函数，B 错误，对于C ，函数()()tan f x x =-的最小正周期为π，因为()()()tan tan f x x x f x -==--=-，所以函数()()tan f x x =-为奇函数，C 正确，对于D ，函数()sin f x x =的图象如下：所以函数()sin f x x =不是周期函数，且函数()sin f x x =为偶函数，D 错误，6.在ABC 中，4AB =，3AC =，且AB AC AB AC +=- ，则AB BC ⋅= （）A.16B.16- C.20D.20-【答案】B 【解析】【分析】将AB AC AB AC +=- 两边平方，即可得到0AB AC ⋅=，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为AB AC AB AC +=- ，所以()()22AB ACAB AC +=-，即222222AB AB AC AC AB AB AC AC +⋅+=-⋅+uu u r uu u r uuu r uuu r uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以0AB AC ⋅= ，即AB AC ⊥ ，所以()220416AB BC AB AC AB AB AC AB ⋅=⋅-=⋅-=-=- .故选：B7.函数cos tan y x x =⋅在区间3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的图像为（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】分别讨论x 在3,,[,)22ππππ⎛⎫⎪⎝⎭上tan x 的符号，然后切化弦将函数化简，作出图像即可.【详解】因为3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin ,,23sin ,.2x x y x x πππ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩故选：C.8.已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】【分析】首先求出()f x α+、()f x α-的解析式，再根据正弦函数的性质求出使()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数时α的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】因为()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则()sin 224f x x ααπ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，()sin 224f x x ααπ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，若()f x α-是奇函数，则112π,Z 4k k απ-+=∈，解得11π,Z 82k k απ=-∈，若()f x α+是偶函数，则222π,Z 42k k αππ+=+∈，解得22π,Z 82k k απ=+∈，所以若()f x α+是偶函数且()f x α-是奇函数，则π,Z 82k k απ=+∈，所以由()ππ8k k α=+∈Z 推得出()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数，故充分性成立；由()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数推不出()ππ8k k α=+∈Z ，故必要性不成立，所以“()ππ8k k α=+∈Z ”是“()f x α+是偶函数，且()f x α-是奇函数”的充分不必要条件.故选：A9.已知向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，则a b c ++ 的最大值是（）A.1+ B.C.D.1-【答案】A 【解析】【分析】根据题意，可设出向量,,a b c 的坐标，由于这三个向量都是单位向量，则向量,,a b c的终点都落在以坐标原点为圆心的单位圆上，作出示意图，由向量的性质可知，只有当c 与a b +同向时，a b c ++ 有最大值，求解即可.【详解】因为向量,,a b c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅= ，可设()1,0a =，()0,1b = ，(),c x y = ，如图，所以2a b += ，当c 与a b +同向时，此时a b c ++ 有最大值，为21+.故选：A .10.窗花是贴在窗户玻璃上的贴纸，它是中国古老的传统民间艺术之一在2022年虎年新春来临之际，人们设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如图1）．已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，四个半圆的圆心均为正方形ABCD 各边的中点（如图2），若P 为 BC 的中点，则()PO PA PB ⋅+=（）A .4B.6C.8D.10【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的线性运算将()PO PA PB ⋅+ 化为OA 、OB 、OP表示，再根据平面向量数量积的运算律可求出结果.【详解】依题意得||||2OA OB ==，||2OP =，3π4AOP =Ð，π4BOP =Ð，所以3π2||||cos 22(242OA OP OA OP ⋅=⋅=⨯-=- ，π2||||cos 22242OB OP OB OP ⋅=⋅=⨯= ，所以()PO PA PB ⋅+= ()OP OA OP OB OP -⋅-+- 22||OA OP OB OP OP =-⋅-⋅+ 222228=-+⨯=.故选：C二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11.写出一个与向量()3,4a =-共线的单位向量_____________.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）【解析】【分析】先求出a r ，则aa±即为所求.【详解】5a ==所以与向量()3,4a =- 共线的单位向量为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭（答案不唯一）12.已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭的部分图象如图，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【解析】【分析】根据图象可得函数()f x 的最大值，最小值，周期，由此可求,A ω，再由5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭求ϕ，由此求得的解析式，然后求得π3f ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图可知，函数()f x 的最大值为2，最小值为2-，35ππ3π41234T =+=，当5π12x =时，函数()f x 取最大值2，又()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭所以2A =，32π3π44ω⨯=，所以2ω=，所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又5π212f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以5π5π2sin 2126f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π4π,22363ϕϕ-<<<+<，所以5πππ,623ϕϕ+==-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ2sin 33f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.13.已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ϕ=__________.，若将函数()f x 图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则ω的最小值为__________.【答案】①.π6##1π6②.83##223【解析】【分析】由条件列方程求ϕ，再利用平移变换分别得到变换后的函数解析式，并根据相位差为2π,Z k k ∈求解；【详解】因为函数()()sin f x x ωϕ=+的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1sin 2ϕ=，又π2ϕ<，所以π6ϕ=，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向左平移π4个单位长度得到函数ππππsin sin 4646y x x ωωω⎡⎛⎫⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎦⎝⎭⎣的图象，函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+⎪⎝⎭（0ω>）的图象仅向右平移π2个单位长度得到ππππsin sin 2626y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，则ππππ2π4626k ωω⎛⎫⎛⎫+--+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Z k ∈），化简得3π2π4k ω=（Z k ∈），解得83k ω=（Z k ∈），由于0ω>，所以当1k =时，ω取得最小值83，故答案为：π8,63．14.已知边长为2的菱形ABCD 中，π3DAB ∠=，点E 满足3BE EC = ，点F 为线段BD 上一动点，则AF BE ⋅的最大值为______.【答案】3【解析】【分析】建立如图平面直角坐标系，设BF BD λ= ，利用平面向量线性运算与数量积的坐标表示可得AF BE⋅关于λ的表达式，从而得解.【详解】如图，以A为原点建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),A B C D ，因为3BE EC =，所以(33333,4444BE BC ⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭，由题意，设()01BF BD λλ=≤≤，则(()BF λλ=-=- ，则()()()2,02,AF AB BF λλ=+=+-=-，所以()3333324422AF BE λλ⋅=-+=+，因为01λ≤≤，所以当1λ=时，AF BE ⋅的最大值为3.故答案为：3.15.声音是由物体振动产生的声波.我们听到的每个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数sin y A t ω=.音有四要素，音调､响度､音长和音色.它们都与函数sin y A t ω=及其参数有关，比如：响度与振幅有关，振幅越大响度越大，振幅越小响度越小；音调与频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖锐.我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多音的结合，称为复合音.我们听到的声音对应的函数是111sin sin 2sin 3sin 4234y x x x x =++++⋯..给出下列四个结论：①函数1111sin sin 2sin 3sin 4sin1023410y x x x x x =++++⋯+不具有奇偶性；②函数()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③若某声音甲对应的函数近似为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，则声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度小；④若某声音乙对应的函数近似为()1sin sin 22x x x ϕ=+，则声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】②④【解析】【分析】对①，结合奇偶性的定义判断即可；对②，利用正弦型函数的单调性作出判断；对③，分别判断()(),g x h x 的振幅大小可得；对④，求出周期，可得频率，即可得出结论.【详解】对于①，令()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x =++++⋯+，所以()()()()()()1111sin sin 2sin 3sin 4sin 1023410F x x x x x x -=-+-+-+-+⋯+-，所以()1111sin sin2sin3sin4sin1023410F x x x x x x -=-----⋅⋅⋅-，所以()()F x F x -=-，所以()F x 是奇函数，①错误；对于②，由ππ88x -≤≤可得，ππ244x -≤≤，3π3π388x -≤≤，ππ422x -≤≤，所以111sin ,sin2,sin3,234x x x x 都在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()111sin sin2sin3sin4234f x x x x x =+++在ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()f x 在区间ππ,88⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，②正确；对于③．因为()11sin sin 2sin 323g x x x x =++，所以π223g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()max 23g x ≥，即()g x 的振幅比()1sin22h x x =的振幅大，所以声音甲的响度一定比纯音()1sin22h x x =的响度大，所以③错误；对于④，因为()()()()112πsin 2πsin 24πsin sin 222x x x x x x ϕϕ+=+++=+=，所以函数()x ϕ为周期函数，2π为其周期，若存在02πα<<，使()()x x ϕϕα=+恒成立，则必有()()0ϕϕα=，()()110sin 0sin 00sin sin 222ϕϕααα∴=+===+，()sin 1cos 0αα∴+=，因为02πα<<，πα∴=，又()()()11πsin πsin 2πsin sin 222x x x x x ϕ+=+++=-+与()1sin sin 22x x x ϕ=+不恒相等，所以函数()1sin sin22x x x ϕ=+的最小正周期是2π，所以频率1112πf T ==而()h x 的周期为π，频率21πf =，12f f <，所以声音乙一定比纯音()1sin22h x x =更低沉，所以④正确．故答案为：②④.三､解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.如图，在ABC 中，2BD DC = ，E 是AD 的中点，设AB a = ，AC b = .（1）试用a ，b 表示AD ，BE ；（2）若1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，求AD BE ⋅ .【答案】（1）1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ （2）518-【解析】【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解；（2）根据（1）的结论，利用向量的数量积运算法则即可求解.【小问1详解】因为2BD DC = ，所以23BD BC = ，所以221)212(333333AB AC AB AB AC a b AD AB BD AB BC +-=+=+=+=+= .因为E 是AD 的中点，所以()11211()22323BE BA BD AB BC AB AC AB ⎛⎫=+=-+=-+- ⎪⎝⎭ 51516363AB AC a b =-+=-+ .【小问2详解】因为1a b == ，a 与b 的夹角为60︒，所以11cos ,1122a b a b a b ⋅==⨯⨯= ，由（1）知，1233AD a b =+ ，5163BE a b =-+ ，所以22125154233631899AD BE a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=--⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭541251892918=--⨯+=-.17.已知函数()π3sin 24f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 的单调递增区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,a 内只有一个零点，直接写出实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的最小正周期为π，（2）函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（3）a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【解析】【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式求解即可；（2）利用正弦函数的单调区间结论求解；（3）求出()0f x =的解后可得a 的范围．【小问1详解】因为()π3sin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；【小问2详解】由πππ2π22π242k x k -≤+≤+，Z k ∈，可得3ππππ88k x k -≤≤+，Z k ∈，所以函数()f x 的单调递增区间是3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问3详解】由π()3sin(204f x x =+=可得，π2π4x k +=，Z k ∈所以ππ28k x =-，Z k ∈，因为函数()f x 在区间[]0,a 上有且只有一个零点，所以3π7π88a ≤<，所以实数a 的取值范围为3π7π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭.18.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<.（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求sin cos αα-的值.【答案】（1）OB 与OC 的夹角为π6，（2）sin cos 4αα-=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解.【小问1详解】因为()()()4,0,0,4,cos ,sin A B C αα，所以()()()4,0,0,4,cos ,sin OA OB OC αα=== ，所以()4cos ,sin OA OC αα+=+ ，由OA OC += ()224+cos sin 21αα+=，所以1cos 2α=，又0πα<<，，所以π3α=，13,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角为π6，【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅= ，又()cos 4,sin AC αα=- ，()cos ,sin 4BC αα=- ，所以()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，所以1sin cos 4αα+=，所以152sin cos 016αα-=<，又0πα<<，所以ππ2α<<,所以()21531sin cos 11616αα--=-=，所以sin cos 4αα-=.19.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭，且()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①､条件②､条件③中选择两个作为一组已知条件.（1）确定()f x 的解析式；（2）设函数()π24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则是否存在实数m ，使得对于任意1π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立？若存在，求实数m 的取值范围：若不存在，请说明理由.条件①：()f x 的最小值为2-；条件②：()f x 图像的一个对称中心为5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭；条件③：()f x 的图像经过点5π,16⎛⎫- ⎪⎝⎭.注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）选①②，②③，①③答案都为()2sin(2)6f x x π=+，（2）存在m 满足条件，m 的取值范围为2,0⎤⎦.【解析】【分析】（1）先根据已知求出()f x 的最小正周期，即可求解ω，选条件①②：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据对称中心可求ϕ，即可得解函数解析式；选条件①③：可得()f x 的最小值为A -，可求A ．根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求ϕ，可得函数解析式；选条件②③：根据对称中心可求ϕ，再根据函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫⎪⎝⎭，可求A 的值，即可得解函数解析式．（2）求出函数()f x ，()g x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.【小问1详解】由于函数()f x 图像上两相邻对称轴之间的距离为π2，所以()f x 的最小正周期π2π2T =⨯=，所以2π2T ω==，此时()()sin 2f x A x ϕ=+.选条件①②：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为()f x 图象的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以56k ϕπ=π-，()k ∈Z ，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件①③：因为()f x 的最小值为A -，所以2A =．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，则5π()16f =-，所以5π2sin()13ϕ+=-，即5π1sin()32ϕ+=-．因为||2ϕπ<，所以7π5π13π636ϕ<+<，所以5π11π36ϕ+=，所以π6ϕ=，所以()2sin(2)6f x x π=+．选条件②③：因为函数()f x 的一个对称中心为5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，所以5π2π(Z)12k k ϕ⨯+=∈，所以5ππ(Z)6k k ϕ=-∈．因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=，此时1k =．所以π()sin(26f x A x =+．因为函数()f x 的图象过点5π,16⎛⎫-⎪⎝⎭，所以5π(16f =-，所以5ππsin 136A ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，11πsin 16A =-，所以2A =，所以()2sin(2)6f x x π=+．综上，不论选哪两个条件，()2sin(2)6f x x π=+.【小问2详解】由（1）知，()2sin(2)6f x x π=+，由20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，2π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，因此[]2()1,2f x ∈-，由10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得：1ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1πsin 2,142x ⎡⎤⎛⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此1()g x ⎡∈-⎣，从而1()1,g x m m m ⎡-∈---+⎣，由()()12m g x f x =-得：()()21f x g x m =-，假定存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，即存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()21f x g x m =-成立，则[]1,1,2m m ⎡---+⊆-⎣，于是得112m m --≥-⎧⎪⎨-+≤⎪⎩，解得20m -≤≤，因此存在实数m ，使得对1π0,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2π0,2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()()12m g x f x =-成立，所以实数m的取值范围是2,0⎤⎦.20.对于定义在R 上的函数()f x 和正实数T 若对任意x ∈R ，有()()f x T f x T +-=，则()f x 为T -阶梯函数.（1）分别判断下列函数是否为1-阶梯函数（直接写出结论）：①()2f x x =；②()1f x x =+.（2）若()sin f x x x =+为T -阶梯函数，求T 的所有可能取值；（3）已知()f x 为T -阶梯函数，满足：()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且对任意x ∈R ，有()()2f T x f x T x --=-.若函数()()F x f x ax b =--有无穷多个零点，记其中正的零点从小到大依次为123,,,x x x ⋅⋅⋅；若1a =时，证明：存在b ∈R ，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且213240464045x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-.【答案】（1）①否；②是（2）2πT k =，*k ∈N （3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用T -阶梯函数的定义进行检验即可判断；（2）利用T -阶梯函数的定义，结合正弦函数的性质即可得解；（3）根据题意得到()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，从而取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，结合零点存在定理可知()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +，从而得解.【小问1详解】()2f x x =，则22(1)()(1)211f x f x x x x +-=+-=+≠；()1f x x =+，则(1)()11f x f x x x +-=+-=，故①否；②是.【小问2详解】因为()f x 为T -阶梯函数，所以对任意x ∈R 有：()()()()()sin sin sin sin f x T f x x T x T x x x T x T T +-=+++-+=+-+=⎡⎤⎣⎦.所以对任意x ∈R ，()sin sin x T x +=，因为sin y x =是最小正周期为2π的周期函数，又因为0T >，所以2πT k =，*k ∈N .【小问3详解】因为1a =，所以函数()()F x f x x b =--，则()()()()()()()F x T f x T x T b f x T x T b f x x b F x +=+-+-=+-+-=--=，()()()()()()()2F T x f T x T x b f x T x T x b f x x b F x -=----=+----=--=.取3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则有3330444TT T F f b ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，30444T T T F F T F ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由于()f x 在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()()F x f x x b =--在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，结合()()F T x F x -=，则有()F x 在0,2T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点4T ，在,2T T ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有唯一零点34T .又由于()()F x T F x +=，则对任意k ∈Ζ，有044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33044T T F kT F ⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，对任意m ∈Z ，()F x 在(),1mT m T +⎡⎤⎣⎦上有且仅有两个零点：4T mT +，34T mT +.综上所述，存在3344TT b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，使得()F x 在[]0,2023T 上有4046个零点，且14T x =，234T x =，354T x =，474T x =，L ，404580894T x =，404680914T x =，其中，2132404640452T x x x x x x -=-=⋅⋅⋅=-=.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解新定义T -阶梯函数，从而在第3小问推得()()F x T F x +=，()()F T x F x -=，由此得解.。
北京市2023-2024学年高一下学期期中检测数学试卷含答案
北京2023—2024学年度第二学期期中检测高一数学测试卷（答案在最后）班级：______姓名：______注意事项：1.本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan α的值为（）A.2- B.2C.12-D.12【答案】A 【解析】【分析】直接由三角函数定义求解即可.【详解】由三角函数定义可知2tan 21y x α-===-.故选：A.2.sin300︒的值为（）A.12B.12-C.32D.【答案】D 【解析】【分析】根据诱导公式二将sin 300︒化简为sin120︒-，计算即可.【详解】由诱导公式二，得sin 300sin(180120)sin1202︒︒︒︒=+=-=-.故选：D.3.在ABC 中，若2a =，b =，30A =︒，则B 等于（）A.30︒B.30︒或150︒C.60︒D.60︒或120︒【答案】D 【解析】【分析】由正弦定理，求得sin sin bB A a=，再由a b <，且0180B ︒<<︒，即可求解，得到答案.【详解】由题意，在ABC 中，由正弦定理可得sin sin a bA B=，即233sin sin sin 3022b B A a ==⋅︒=，又由a b <，且0180B ︒<<︒，所以60B =︒或120B =︒，故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- ，则22||||a b -= （）A.2- B.1- C.0D.1【答案】B 【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量,a b满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-，所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B5.将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（）A.()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.()sin 26g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D.()sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度，可得()sin 2(sin(2)63g x x x ππ=-=-.故选C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.6.在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 为A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形【答案】A 【解析】【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到tan tan A B =，由此得到A B =，进而判断出正确选项.【详解】由正弦定理得sin cos sin cos A B B A =，所以tan tan A B =，所以A B =，故三角形为等腰三角形，故选A.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理判断三角形的形状，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.7.已知向量m 和n都是非零向量，则“0m n > ”是“,m n 为锐角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先由0m n >及向量夹角范围[]0,π推断充分性，再由数量积定义以及“,m n为锐角”即可推断必要性.【详解】因为0m n > ，向量m 和n都是非零向量，则由·cos ,m n m n m n = 得cos ,0m n >，所以由向量夹角范围为[]0,π，得“,0m n = ”或“,m n为锐角”；反之，若,m n 为锐角，则·cos ,0m n m n m n m n ==>，故“0m n >”是“,m n为锐角”的必要不充分条件.故选：B .8.函数()cos cos 2f x x x =-是A.奇函数，且最大值为2 B.偶函数，且最大值为2C.奇函数，且最大值为98 D.偶函数，且最大值为98【答案】D 【解析】【分析】由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.【详解】由题意，()()()()cos cos 2cos cos 2f x x x x x f x -=---=-=，所以该函数为偶函数，又2219()cos cos 22cos cos 12cos 48f x x x x x x ⎛⎫=-=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当1cos 4x =时，()f x 取最大值98.故选：D.9.底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为36°的黄金三角形被认为是最美的三角形．据此可得cos 216︒的值是（）A.458+B. C.358+-D.1254-【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件求出cos 72︒，再根据二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得出答案.【详解】解：如图，ABC 为一个黄金三角形，其中,36AB AC BAC =∠=︒，D 为BC 的中点，根据题意可知12BC AB -=，则112cos 4BCBD B AB AB-===，即1cos 724︒=，又2cos 722cos 361︒=︒-，则212cos 3614-︒-=，解得1cos364+︒=，所以()1cos 216cos 18036cos364︒=︒+︒=-︒=-.故选：B.10.已知ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是()A.2-B.32-C.43-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，则()PA x y =-- ，(1,)PB x y =--- ，(1,)PC x y =--，则22223()222[(]4PA PB PC x y x y +=-+=+--∴当0x =，2y =时，取得最小值332(42⨯-=-，故选：B ．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分.11.若一个扇形的圆心角为2弧度，半径为2cm ，则这个扇形的弧长是______cm.【答案】4【解析】【分析】由扇形弧长公式l R α=即可求解.【详解】由扇形弧长公式得这个扇形的弧长是224l R α==⨯=.故答案为：4.12.正方形ABCD 的边长为2，点P 为BC 边中点，则PB PD=______.【答案】1-【解析】【分析】先由题意读出PB PC =- ，PB CD ⊥ ，且1PB PC == 即可求解PB PD.【详解】由题可得PB PC =- ，PB CD ⊥，且1PB PC == ，所以()2····1PB PD PB PC CD PB PC PB CD PB =+=+=-=- .故答案为：1-.13.若点(cos ,sin )A θθ关于y 轴对称点为(cos(),sin(66B ππθθ++，写出θ的一个取值为___．【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）【解析】【分析】根据,A B 在单位圆上，可得,6πθθ+关于y 轴对称，得出2,6k k Z πθθππ++=+∈求解.【详解】 (cos ,sin )A θθ与cos ,sin 66B ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称，即,6πθθ+关于y 轴对称，2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈，当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）.14.已知()πsin cos 3f ⎛⎫α=α+α ⎪⎝⎭，则π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭______；若()2f α=且[]0,πα∈，则α的取值为______.【答案】①.4②.0，π6，π【解析】【分析】先化简()f α，接着将π3x =代入()f α即可求解；令()32f α=结合[]0,πα∈即可求出α的取值.【详解】由题()2π1sin cos sin cos 322f αααααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()1313sin 21cos 2244234πααα⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，故π1sin 2323344f ππ⎛⎫⎛⎫=⨯++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()2f α=，即1sin 22342πα⎛⎫++=⎪⎝⎭，sin 232πα⎛⎫⇒+=⎪⎝⎭，2233k ππ⇒α+=+π或()222Z 33k k ππαπ+=+∈，即k απ=或()Z 6k k παπ=+∈，又[]0,πα∈，所以π0,,π6α=.故答案为：4；π0π6α=，15.已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，设()()g x f x =，给出以下四个结论：①函数()g x 的最小正周期是3π；②函数()g x 在区间75,189ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；③函数()g x 的图象过点0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；④直线1318x π=为函数()g x 的图象的一条对称轴．其中所有正确结论的序号是____________．【答案】①②④【解析】【分析】根据函数()f x 图象求出()sin(3)6f x x π=-，结合三角函数的性质进而求出函数()sin(3)6g x x π=-的零点，作出()g x 图象，利用数形结合的思想依次判断结论即可.【详解】由图象得，2223491863T T T πππππω=-=⇒=⇒==，又函数()f x 图象过点2(1)9π，，所以2322926k k πππϕπϕπ⨯+=+⇒=-，由2πϕ<，得6πϕ=-，所以()sin(3)6f x x π=-，所以()()sin(3)6g x f x x π==-，令36183k x k x ππππ-=⇒=+，所以函数()g x 的零点有571318181818ππππ-，，，，作出图象，如图，由图象可得，()g x 的最小正周期为3π，故①正确；函数()g x 在710[]1818ππ，上单调递增，即()g x 在75(189ππ，上单调递增，故②正确；令0x =，得1()sin()62g x π=-=，即函数图象过点1()20，，故③错误；由函数图象知直线1318x π=是()g x 图象的一条对称轴，故④正确.故答案为：①②④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 5α=.（1）求sin 4πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值；（2）求2costan 24απα⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）210-；（2）7910.【解析】【分析】（1）根据同角的三角函数的关系，以及两角差的正弦公式即可求出，（2）根据二倍角公式和两角和的正切公式即可求出.【详解】（1）因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3sin 5α=，所以4cos 5α==.所以sin cos )4210πααα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.（2）因为3sin 5α=，4cos 5α=，所以sin 3tan cos 4ααα==.所以21cos 1tan 79costan 2421tan 10απαααα++⎛⎫++=+= ⎪-⎝⎭.17.已知平面向量a ，b满足4a = ，8b = ，2π,3a b = .（1）求a b；（2）求2a b -；（3）当实数k 为何值时，()()a kb ka b +⊥-.【答案】（1）16-（2）（3）32-±【解析】【分析】（1）由数量积定义即可求解.（2）根据模长公式结合数量积运算律即可求解.（3）根据向量的运算律以及垂直关系的向量表示即可求解.【小问1详解】由题2π1··cos481632a b a b ⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）16a b =-，所以28a b -==.【小问3详解】因为()()a kb ka b +⊥-，所以()()()()2222·1·16161640a kb ka b ka k a b kb k k k +-=+--=---= ，整理得2310k k +-=，解得32k -±=.18.在ABC 中，sin 2C C =．（1）求C ∠；（2）若6b =，且ABC 的面积为ABC 的周长．【答案】（1）6π（2）6+【解析】【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得cos C 的值，结合角C 的取值范围可求得角C 的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a 的值，由余弦定理可求得c 的值，即可求得ABC 的周长.【小问1详解】解：因为()0,C π∈，则sin 0C >，由已知可得2sin cos C C C =，可得3cos 2C =，因此，6C π=.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得13sin 22ABC S ab C a === ，解得a =.由余弦定理可得22232cos 483626122c a b ab C =+-=+-⨯⨯=，c ∴=，所以，ABC 的周长为6a b c ++=+.19.如图，在平面直角坐标系xOy 中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点.（1）若点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，求()cos αβ+的值；（2）若32AB =，求·OAOB 的值.【答案】（1）6365-（2）18-【解析】【分析】（1）先由题意求出点A 、B 的坐标，进而由三角函数定义以及两角和余弦公式即可求解.（2）根据已知用余弦定理求出向量夹角，再结合数量积定义公式即可求解.【小问1详解】由题点A 、B 在单位圆上，且分别在第一象限和第二象限.故由点A 的横坐标是35，点B 的纵坐标是1213，得34,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，512,1313B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以3sin ,cos ,si 43125551n s 3co 1,α=α=β=β=-，所以()3541263cos cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】因为32AB =，所以222114cos 228OA OB AB AOB OA OB -+-∠===-⋅，所以1·cos 8OA OB OA OB AOB =∠=- .20.设函数()πsin cos cos sin 0,2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭.（1）若()02f =-，求ϕ的值；（2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求ω，ϕ的值.条件①：π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭；条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减.【答案】（1）π3ϕ=-（2）答案见解析【解析】【分析】（1）直接用两角和的正弦公式化简，然后代入0x =计算即可；（2）选择①，函数()f x 不存在；选择②，根据π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2π=13f ⎛⎫⎪⎝⎭计算即可；选择③，根据π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2π=13f ⎛⎫⎪⎝⎭计算即可.【小问1详解】因为()sin cos cos sin f x x x ωϕωϕ=+，所以()()sin f x x ωϕ=+.由()302f =-，得3sin 2ϕ=-.又因为π2ϕ<，所以π3ϕ=-；【小问2详解】选择条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭，因为()()sin f x x ωϕ=+，所以ππsin 33f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不可能；选择条件②：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()()sin f x x ωϕ=+，所以()f x 的最小值为1-，最大值为1，又因为()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2π=13f ⎛⎫⎪⎝⎭，所以由三角函数的性质得2πππ233T =+=，故2πT =.因为0ω>，所以2π1Tω==，()()sin f x x ϕ=+.由πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得()π=2π6k k ϕ-∈Z .又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-.选择条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，且在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，因为()()sin f x x ωϕ=+，所以()f x 的最小值为1-，最大值为1.由题意得π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，又因为()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以由三角函数的性质得2πππ233T =+=，故2πT =.因为0ω>，所以2π1Tω==，()()sin f x x ϕ=+.由πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得()π=2π6k k ϕ-∈Z .又因为π2ϕ<，所以π6ϕ=-.21.若点()00,x y 在函数()f x 的图象上，且满足()000y f y ⋅≥，则称0x 是()f x 的ζ点．函数()f x 的所有ζ点构成的集合称为()f x 的ζ集．（1）判断43π是否是函数()tan f x x =的ζ点，并说明理由；（2）若函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的ζ集为R ，求ω的最大值；（3）若定义域为R 的连续函数()f x 的ζ集D 满足D R Ü，求证：(){}0x f x =≠∅．【答案】（1）不是，理由见解析；（2）π；（3）见解析【解析】【分析】（1）直接求出0y =()00f y <，即可得到()000y f y ⋅<，即可得到结论；（2）先说明ωπ≤，若ωπ>，则2T <，由题设得到2T ≥，推出矛盾即可证得；再说明ω的值可以等于π，令0ϕ=，利用三角函数的值域加以证明即可；（3）由题设知，必存在0x ∈R ，使得()()000f x f y ⋅<，结合零点存在定理说明函数()f x 必存在零点，即可证明.【小问1详解】43π不是函数()tan f x x =的ζ点，理由如下：设043x π=，则04tan3y π==，()0f y =，因为2ππ<<，所以()0tan 0f y =<，所以()000y f y ⋅<，所以43π不是函数()tan f x x =的ζ点；【小问2详解】先证明ωπ≤，若ωπ>，则函数()f x 的最小正周期22T πω=<，因为函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的ζ集为R ，所以对0x ∀∈R ，0x 是()f x 的ζ点，令()00y f x =，则()000y f y ⋅≥，因为函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的值域为[]1,1-，所以当[]00,1y ∈时，必有()00f y ≥，即()()sin 0f x x ωϕ=+≥对于[]0,1x ∈恒成立，所以102T≥-，即()f x 的最小正周期2T ≥，与2T <矛盾；再证明ω的值可以等于π，令()sin f x x π=，对0x ∀∈R ，当()[]000,1y f x =∈时，()[]00,1f y ∈，()000y f y ⋅≥；当()[]001,0y f x =∈-时，()[]01,0f y ∈-，()000y f y ⋅≥，所以0x 是()f x 的ζ点，即函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>的ζ集为R ；综上所述，ω的最大值是π；【小问3详解】因为函数()f x 的ζ集D 满足D R Ü，所以存在0x ∈R ，使得()00y f x =且()000y f y ⋅<，即()()000f x f y ⋅<，因为若00x y =，则()()()()20000f x f y f y ⋅=≥，所以00x y ≠，因为函数()f x 的图象是连续不断的，不妨设00x y <，由零点存在定理知，必存在()100,x x y ∈使得()10f x =，所以()f x 存在零点，即(){}0x f x =≠∅.【点睛】本题的第二小问关键点在于先假设ωπ>，利用周期推出矛盾，进而证得ωπ≤，再利用三角函数的值域说明ω的值可以等于π即可；第三小问的关键点在于得到存在0x ∈R ，使得()()000f x f y ⋅<，结合零点存在定理即可证明.。
北京市首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题(含简单答案)
首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1. 下列函数中，既是偶函数又是周期为函数为（ ）．A. B. C. D.2. 已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（ ）．A. B. C.D. 3. 角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于周角的，即弧度密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数．且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为（ ）A.B.C.D.4. 已知点A （1，2），B （3，7），向量，则A. ，且与方向相同B. ，且与方向相同C. ，且与方向相反D. ，且与方向相反5. 关于函数，则下列结论中：①为该函数的一个周期；②该函数的图象关于直线对称；③将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象：④该函数在区间上单调递减.所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ③④C. ①②④D. ①③④的πsin y x=cos y x=tan2y x=cos2y x=α(),6P x 3sin 5α=x =4-4±8-8±160002π3606000=︒=003-123-1000-π6π4π3π2(,1),//a x AB a =-25x =AB a25x =-AB a25x =AB a 25x =-AB a π3cos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭π-π3x =π63cos 2y x =ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦6. 设，是两个不共线向量，则“与的夹角为钝角”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数，，其图象如下图所示.为得到函数图象，只需先将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位8. 若P 是内部或边上的一个动点，且，则的最大值是（ ）A.B.C. 1D. 29. 如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（ ）A. B. C. D. 10. 如图，圆M 为的外接圆，，，N 为边BC 的中点，则（ ）的a b a b()a ab ⊥+ 111()sin()f x A x ωϕ=+222()sin()g x A x ωϕ=+()g x ()f x 12π6π12π6π3ABC V AP xAB y AC =+xy 1412P O P 2rad /s 0P ()0y x x =-≥O e 012t ≤≤P y t s π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦7π11π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦11π15π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π11π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABC V 4AB =6AC =AN AM ⋅=A. 5B. 10C. 13D. 26第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共5小题，敏小题5分，共25分）11 _________.12. 已知是第四象限角，且，则______，______．13. 在正方形网格中的位置如图所示，则______，向量在向量上的投影的数量为______．14. 已知函数的图象关于直线对称，且在上单调，则的最大值为_____.15 已知函数，给出下列四个结论：①存在无数个零点；②在上有最大值；③若，则；④区间是的单调递减区间．其中所有正确结论的序号为__________．三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）16. 如图，在平行四边形ABCD 中，，．设，．..sin 330︒=α5tan 12α=-cos α=πcos()2α+=,a b ,a b 〈〉=a b ()()cos 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭1110x π=()f x ,6m π⎡⎤⎢⎥⎣⎦m ()2sin πxf x x x=-()f x ()f x ()1,+∞()2023.7f a =()2022.7f a -=1,12⎛⎫⎪⎝⎭()f x 2AE AB = 13DF DE = AB a =AD b =（1）用，表示，；（2）用向量的方法证明：A ，F ，C 三点共线．17. 已知函数，其中，且的图象过点．（1）求的值；（2）求的单调减区间和对称中心的坐标；（3）若，函数在区间上最小值为，求实数的取值范围．18. 在平面直角坐标系中，已知点，点是直线上的一个动点．（1）求的值；（2）若四边形是平行四边形，求点的坐标；（3）求的最小值．19. 在条件①对任意的，都有；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知，若______，则唯一确定．（1）求的解析式；（2）设函数，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．20. 设（为正整数），对任意的，，定义（1）当时，，，求；a b AC DE()sin(2)f x x ϕ=-π||2ϕ<()y f x =π(,0)12ϕ()f x 0m >()f x []0,m 12-m xOy ()()()3,3,5,1,2,1A B P M OP PA PB -APBQ Q MA MB ⋅x ∈R ()π6f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭()f x π()f x 5ππ,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()sin ,0,02πf x x ωϕωϕ=+>≤<,ωϕ()f x ()π216g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,612x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()210g x mg x --≤m (){}{}12,,,0,1,1,2,,n niS x x x x i n =⋯∈=⋯n ()12,,,nx x x α=⋅⋅⋅()12,,,n y y y β=⋅⋅⋅1122n nx y x y x y αβ⋅=++⋅⋅⋅+3n =()1,1,0α=()1,0,1β=αβ⋅（2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A 中元素个数的最大值；（3）集合，对于任意，，，均有，求A 中元素个数的最大值．3n =n A S ⊆αA β∈αβ⋅n A S ⊆αA β∈αβ≠0αβ⋅≠首都师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学 简要答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）【1题答案】【答案】D 【2题答案】【答案】C 【3题答案】【答案】C 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】C 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】A 【8题答案】【答案】A 【9题答案】【答案】B 【10题答案】【答案】C第Ⅱ卷（共80分）二、填空题（本大题共5小题，敏小题5分，共25分）【11题答案】【答案】【12题答案】12【答案】 ①.②.【13题答案】【答案】①②.【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①②③三、解答题（本大题共5小题，共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）【16题答案】【答案】（1），；（2）略【17题答案】【答案】（1）； （2），； （3）.【18题答案】【答案】（1）（2）； （3）.【19题答案】【答案】（1） （2）【20题答案】【答案】（1）1 （2）4（3）.12135133π43π5A C a b =+2DE a b =- π6ϕ=π5π[π,π](Z)36k k k ++∈()ππ,0Z 122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭2π(0,3(6,3)2-()π()sin 32f x x +=8[,)3+∞12n -。
北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试题
人大附中2023～2024学年度第二学期高一年级数学期中练习2024年4月23日制卷人：宁少华王鼎审卷人：吴中才说明：本试卷共六道大题，共7页，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1.在平行四边形ABCD 中，BA DA += （）A.CAB.ACC.BDD.DB【答案】A 【解析】【分析】利用向量加法的平行四边形法则求解即得.【详解】在ABCD Y 中，,BA CD DA CB ==，所以BA DA CD CB CA +=+=.故选：A2.已知角α终边上一点(1,)P y ，若cos 5α=，则y 的值为（）A.B.2C.D.2±【答案】D 【解析】【分析】利用余弦函数的定义列式计算即得.【详解】由角α终边上一点(1,)P y ，得r =，因此5cos 5α==，解得2y =±，所以y 的值为2±.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增的是（）A.tan y x= B.sin y x= C.cos y x= D.sin y x x=【答案】D 【解析】【分析】根据奇偶性的定义判断排除AB ，再由单调性排除C 的可得．【详解】由三角函数性质知选项AB 中函数都是奇函数，C 中函数是偶函数，但它在π(0,)2上是减函数，也排除，只有D 可选，实际上，记()sin f x x x =，则()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，它是偶函数，又设12π02x x <<<，则120sin sin x x <<，因此1122sin sin x x x x <，即12()()f x f x <，()f x 在π(0,)2上是增函数，满足题意．故选：D ．4.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uuu r uur，则（）A .1322AP AB AC =-+uuu r uuur uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC =-uuu r uuu r uuu r D.2133AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r 【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+-1322AB AC =-+，故选：A.5.把函数()sin 2f x x =的图象按向量π(,1)6m =- 平移后，得到新函数的解析式为（）A.πsin(2)16y x =++B.πsin(2)16y x =-+C.πsin(2)13y x =++ D.πsin(213y x =-+【答案】C 【解析】【分析】把函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，写出解析式即可.【详解】把函数()sin 2f x x =的图象按向量π(,1)6m =- 平移，即把函数()f x 的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度，所以得到新函数的解析式为ππsin 2()1sin(2)163y x x =++=++.故选：C6.在人大附中π节活动的入场券中有如下图形，单位圆M 与x 轴相切于原点O ，该圆沿x 轴向右滚动，当小猫头鹰位于最上方时，其对应x 轴的位置正好是π，若在整个运动过程中当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时（此时记圆心为N ），此时小猫头鹰位于A 处，圆N 与x 轴相切于B ，则劣弧AB 所对应的扇形面积是（）A.1B.2C.π3D.π4【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得.【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M 、圆N 与x 轴分别相切于原点O 和B ，则2OB MN ==，依题意，圆M 沿x 轴向右无滑动地滚动，因此劣弧AB 长等于OB 长2，所以劣弧AB 所对应的扇形面积是11212⨯⨯=.故选：A7.已知函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>≠，则“π2π,Z 2k k ϕ=+∈”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用正余弦函数性质，充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】当π2π,Z 2k k ϕ=+∈时，π()si 2n()os π2c f x A x A x k ωω=+=+，()f x 为偶函数；反之，()f x 为偶函数，则π2π,Z 2k k ϕ=+∈或π2π,Z 2k k ϕ=-∈，所以“π2π,Z 2k k ϕ=+∈”是“()f x 为偶函数”的充分不必要条件.故选：A8.已知O 为坐标原点，P 是α终边上一点，其中4cos ,||45OP α==，非零向量a的方向与x 轴正方向相同，若,[0,5]||OQ a a λλ=∈ ，则OP OQ -取值范围是（）A.16,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.12,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.16,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.12,45⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】根据向量模的坐标表示写出模的表达式，然后由函数性质得结论．【详解】由已知1612(,55P 或1612(,)55-，1612(,)55OP = 或1612(,)55-，(1,0)(,0)OQ a a λλλ=== ，1612(,55OP OQ λ-=-±，OP OQ -= ，又05λ≤≤，所以165λ=时，OP OQ - 取最小值125，0λ=时，OP OQ - 取最大值4，故选：D ．9.函数sin 3sin 5()sin 35x xf x x =++图像可能是（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象的对称性排除AC ，再结合函数值π()2f 大小排除B ，从而得正确结论．【详解】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项，但是sin(3π3)sin()sin 3sin 5sin (35π5)(π)sin(π)355x x f x x xx x x f ---=-++=+=+，因此()f x 的图象关于直线π2x =对称，可排除AC ，又3π5πsinsin ππ111322()sin 1122353515f =++=-+=<，排除B ，故选：D ．10.已知函数sin ()xf x x=，下列结论错误的是（）A.()f x 的图像有对称轴B.当(π,0)(0,π)x ∈-⋃时，cos ()1x f x <<C.sin ()xf x x=有最小值 D.方程()cos ln f x x x =-在(1,)π上无解【答案】D 【解析】【分析】选项A ，根据条件可得sin ()xf x x=为偶函数，即可判断选项A 的正误，选项B ，利用偶函数的性质，先判断π()0,x ∈时，cos ()1x f x <<成立，分π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭和π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭两种情况，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，利用三角函数的符号即可判断成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，利用三角函数的定义及弧长公式，即可判断成立；选项C ，利用sin y x =的周期性及sin ()x f x x=的奇偶性，当0x >，得到sin ()xf x x=存在最小值，则最小值只会在区间()π,2π内取到，再利用导数与函数单调性间的关系，即可判断出选项C 的正误；选项D ，利用零点存在性原理，即可判断出选项D 的正误，从而得出结果.【详解】对于选项A ，易知sin ()xf x x=的定义域为{}|0x x ≠，关于原点对称，又sin()sin ()()x x f x f x x x--===-，所以sin ()xf x x =为偶函数，关于y 轴对称，所以选项A 结论正确，对于选项B ，当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos 0x ≤，又0sin 1x <≤，π12x ≥>，所以sin 0()1x f x x <=<，即当π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，cos ()1x f x <<成立，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图，在单位圆中，设OP 是角x 的终边，过A 作x 轴的垂线交OP 于T ，过P 作x 轴的垂线交x 轴于H ，易知 AP x =，由三角函数的定义知，sin ,tan PH x AT x ==，由图易知OPA OAT POA S S S << 扇形，即111222PH x AT <<，得到 PH APAT <<，所以sin tan <<x x x ，即有sin cos 1xx x<<，。
北京市高一下学期期中考试数学试卷(解析版)
高一（下）期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 给出下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，，则 a b = a b = a b = b c = a c =C. 若且，则D. 若，，则a b = a b ∥ a b = a b ∥ b c ∥ a c ∥【答案】B 【解析】【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可.【详解】对于A ，当与方向不同时，不成立，∴A 错误，a b a b =对于B ，若，，则，∴B 正确， a b = b c = a c =对于C ，当与方向相反时，不成立，∴C 错误，a b a b =对于D ，当时，满足，，但不一定成立．所以D 错误.0b = a b ∥ b c ∥ a c ∥故选：B ．2. 在中，为钝角，则点（ ） ABC A A ()tan ,cos P B A A. 在第一象限 B. 在第二象限C. 在第三象限D. 在第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据题意，得到为钝角，所以为锐角，可得，，即可求解. A B tan 0B >cos 0A <【详解】因为中，为钝角，所以为锐角，可得，， ABC A A B tan 0B >cos 0A <所以点在第四象限. ()tan ,cos P B A 故选：D ．3. 要得到函数y ＝cos 的图象，只需将函数y ＝cos2的图象（ ） 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭x A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 3π6πC. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度6π3π【答案】B【解析】【分析】直接利用三角函数的平移变换求解.【详解】因为函数y ＝cos ， 2cos 236x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以要得到函数y ＝cos 的图象，只需将函数y ＝cos2的图象向左平移个单位长度，23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭x 6π故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象的平移变换，属于基础题. 4. 函数的最小正周期是（ ）()22cos 2sin 2f x x x =-A.B.C.D.2ππ2π4π【答案】A 【解析】【分析】利用二倍角公式化简解析式，由此求得其最小正周期. ()f x 【详解】依题意， ()cos 4f x x =所以的最小正周期为. ()f x 242T ππ==故选：A5. 已知，，则 tan 2α=tan 3β=()tan αβ+=A. B.C.D. 11-1717-【答案】B 【解析】【详解】，故选B.()tan tan 23tan 11tan tan 123αβαβαβ+++===--⋅-⨯6. 设，，是非零向量，则“”是“”的（ ）a b c a b a c ⋅=⋅ b c =A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】分别判断充分性和必要性成立情况得出结论.【详解】若，则，；a b a c ⋅=⋅ ()0a b c ⋅-= ()a b c ∴⊥- ¿b c =若，则，即.b c = 0b c -= 00a ∴⋅=()0a b c ⋅-= ⇒a b a c ⋅=⋅ “”是“”的必要而不充分条件； a b a c ⋅=⋅ b c =故选：B. 7. 已知，则（ ） 4cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2α=A.B.C.D. 1515-725725-【答案】C 【解析】 【分析】方法一：因为，所以根据余弦的二倍角公式求解即可； sin 2sin 2cos 2244πππααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦方法二：将条件式打开，然后观察其与目标式的关系然后求解. 【详解】法一：因为， 4cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭所以.27sin 2sin 2cos 22cos 1244425ππππαααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦故选：C .法二：因为， 4cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭)4cos sin 5αα+=所以，平方得，得. cos sin αα+=321sin 225α+=7sin 225α=故选：C .【点睛】本题考查三角恒等变换，考查给值求值问题，难度一般. 通常求解给值求值问题，要先将目标式化简，观察其与条件式的关系，然后再运用公式求解.8. 已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则下列结论错误的()sin cos (0)f x x x ωωω=->2π是（ ）A. 的图象关于点对称 ()f x 3,08⎛⎫-⎪⎝⎭πB. 在上单调递增 ()f x ,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 在上的值域为()f x 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,1-D. 将的图象向右平移个单位长度，得到的函数图象关于轴对称()f x 8πy 【答案】C 【解析】【分析】利用辅助角公式将函数化简，再根据函数的最小正周期求出，即可得到函数的解析式，由正ω弦函数的对称性可判断A ；根据正弦函数单调性通过解不等式可判断B ；根据的范围和正弦函数的性质x 直接求解可判断C ；由函数图象的平移变换，结合余弦函数的性质可判断D【详解】解：，()()sin cos 04f x x x x πωωωω⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，()f x 2π函数的最小正周期是，∴，∴π22π⨯=2T ππω==∴，，2ω=()24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴关于对称，故A 正确； ()3π3π=sin =sin =0844f ππ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x 3,08⎛⎫- ⎪⎝⎭π由，解得， Z 242π2π,22x k k k πππ-++-≤≤∈3ππ,Z 88k x k k ππ-+≤≤+∈所以的一个单调增区间为，而， ()f x 3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3,,12488ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴在上单调递增，故B 正确； ()f x ,124ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦当时，有，则，所以， 02x π≤≤02x ≤≤π32444x πππ-≤-≤sin 214x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭∴，故C 错误；()f x ∈-⎡⎣将的图象向右平移个单位长度得到()f x 8π关于轴对称，故D 正确.π222842y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦y故选：C9. 已知的外接圆的圆心为O ，，为钝角，M 是线段BC 的中点，ABC A AB =AC =BAC ∠则（ ）AM AO ⋅=A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】C 【解析】【分析】将表示出来，代入运算即可，的夹角用半径表示出来即可．1()2AM AB AC =+ AB AO 与u u u r u u u r【详解】∵M 为BC 的中点，∴，设外接圆的半径为R ，∠C 与∠BAO 互余，1()2AM AB AC =+故cos∠BAO=sin∠C，.11113252222AM AO AB AO AC AO R R ⋅=⋅+⋅=⨯⨯=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 【点睛】此题考查基本向量运算，关键的在与半径形成的两向量的夹角余弦值用半径和边长表示出来即可，属于较易题目．10. 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一36︒种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，根据这些信息，可得（ ） ABC A BC AC =sin 234︒=A.B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】先求出，再根据二倍角余弦公式求出，然后根据诱导公式求出cos ACB ∠=cos144 .sin 234o 【详解】由题意可得：，且， 72ACB ︒∠=12cos BCACB AC ∠==所以，22cos1442cos 72121︒︒=-=⨯-=所以， ()sin 234sin 14490cos144︒︒︒︒=+==故选：C【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11. 已知，则__________．tan 2α=2sin cos sin cos αααα-=+【答案】 1【解析】【详解】2sin cos 2tan 12211.sin cos tan 121αααααα--⨯-===+++12. 已知向量，，若，则__________. ()2a λ=- ，()13b = ，a b ⊥ += a b 【答案】【解析】【分析】由可得，的坐标表示，后由向量模的坐标表示可得答案. a b ⊥ 6λ=a b +【详解】因，则，，则a b ⊥ 606λλ-=⇒=()71，a b += a b +==故答案为：13. 已知都为锐角，则的值为_______. ,αβ35sin ,cos(),513ααβ=+=cos β【答案】5665【解析】【分析】首先利用角的变换得，再结合两角差的余弦公式，以及同角三角函()cos cos βαβα=+-⎡⎤⎣⎦数基本关系式，即可求解.【详解】因为都是锐角，所以，,αβ0αβ<+<π，， 4cos 5α==()12sin 13αβ+==所以. ()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦541235613513565=⨯+⨯=故答案为：566514. 求值：___________. tan 55tan 65tan 55tan 65︒+︒︒︒=【答案】. 【解析】【分析】利用两角和的正切公式展开变形后可以求值【详解】因为 tan 55tan 65tan120tan(5565)1tan 55tan 65︒︒︒+︒︒=︒+︒==-即： 55tan 65tan 55tan 65︒︒=︒+︒故： tan 55tan 6555tan 65︒+︒︒︒=故答案为：15. 如图所示，点P 是单位圆上的一个动点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角0(1,0)P 到达点，然后继续沿单位圆逆时针方向运动到达点，若点的横坐标为，则02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭1P 3π2P 2P 4-5的值为______.cos α【解析】【分析】由在单位圆上，得出的坐标，再根据三角函数的定义得出的值，从而求出2P 2P cos 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值，再运用两角差的余弦公式求解.sin 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【详解】由题意得，, 4cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭5336πππα<+< ∴， 3sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭143255⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查三角函数的定义、同角三角函数的平方关系和两角差的余弦公式的应用，本题运用了角的配凑思想：用已知角表示待求的角，此配凑思想是解决此类问题的常用方法，如果本题用两角差的余弦公式将展开来求的值，运算比较复杂，此题属于中档cos cos cos sin sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭cos α题.16. “勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角为，现已知阴影部分与大正方形的面积α之比为，则锐角________．58α=【答案】π12【解析】【分析】先设大正方形的边长为a,再表示小正方形边长,利用几何图形面积比找到a,与α的关系，最后应用同角三角函数关系结合二倍角公式即可求解【详解】如图所示：设，大正方形边长为，ADN α∠=a则，，， cos DN a α=sin AN a α=cos sin MN a a αα=-则， ()()()21cos sin cos sin 2S a a a a αααα=-+⨯阴 ， ()()()22ABCD1cos sin cos sin 528a a a a S S a αααα-+⨯==阴，2215sin cos 2sin cos sin cos 28αααααα+-+=化为，则，33sin248α=1sin22α=由题意，则， π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π20,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故，解得．π26α=π12α=故答案为：. π12三、解答题（本大题共6小题，共72.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. 已知平面向量，，向量与的夹角为．1a = 2b = a b60︒（1）求与；a b ⋅ 3a b +r r（2）求证：．()a b a -⊥【答案】（1）；1a b ⋅=3a b += （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）代入向量数量积，以及模的计算公式，即可求解；（2）要证明向量垂直，转化为证明.()0a a b -⋅=【小问1详解】由题意，，1cos 601212a b a b ⋅=⋅︒=⨯⨯=；3a b +==== 【小问2详解】证明：由（1）得，1a b ⋅=所以，()2110a b a a a b -⋅=-⋅=-=故．()a b a -⊥ 18. 如图，已知：正方形ABCD 边长为1，P 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，四边形PFAE 为矩形．建立坐标系用向量法证明：（1）； PC EF =（2）． PC EF ⊥【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】【分析】直接建系，设，则每个点的坐标都可以表示，用向量的坐标运算证明即可.DP r = 【小问1详解】证明：以点为原点，DA所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图：D设，，，()0,1C ()1,0A ()1,1B 设，则， DP r =P ⎫⎪⎪⎭∴，,1PC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭∵点为，，E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,0F ⎫⎪⎪⎭∴，1,EF ⎫=-⎪⎪⎭∴，，PC =EF=∴； PC EF =【小问2详解】由（1）得，11PC EF r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=-+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2211022r r =-++=所以，即．PC EF ⊥ PC EF ⊥19. 已知，为锐角，． αβπsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭()11cos 14αβ+=-（1）求的值； cos α（2）求角．β【答案】（1）17（2） π3【解析】【分析】（1）一方面由题设条件可解得，另一方面，利用和π13cos 314α⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππcos =cos +33αα⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦角公式展开即得所求（2）要求角，可以先求，而利用差角公式展开即可，结合的范围βsin β()sin sin βαβα=+-⎡⎤⎣⎦β即得所求【小问1详解】因为，所以，又 π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ336πα⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭-，πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以 π13cos 314α⎛⎫-=== ⎪⎝⎭所以 ππcos =cos +33αα⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ππππ1cos cos sin sin =33337αα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】因为，为锐角，所以，则，αβ0αβ<+<π()sin 0αβ+>因为，所以 ()11cos 14αβ+=-()sin αβ+==又为锐角，，所以， α1cos 7α=sin α==故()()()sin sin sin cos cos sin βαβααβααβα=+-=+-+⎡⎤⎣⎦， 111714=+=因为为锐角，所以． βπ3β=20. 已知函数的部分图像如图所示. ππ()sin()0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭（1）求函数的解析式；()f x （2）若，求函数的最值.[]0,πx ∈()f x 【答案】（1） 1π()sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭（2）最小值为，最大值为112【解析】【分析】（1）最值求，周期求，特殊点求求；（2）先求出的范围，再求最大和最A ωϕx ωϕ+()f x 小值即可.【小问1详解】由图像知，的最小正周期，∴. ()f x 224433T ω⎛⎫=+== ⎪⎝⎭ππππ12ω=又函数过点， ()f x 2π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭∴. 12sin 123ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭π∴，，，∴. ππ2π32k ϕ+=+k ∈Z ππ22ϕ-<<π6ϕ=∴. 1π()sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭【小问2详解】∵，∴. []0,πx ∈126263x ≤+≤πππ∵函数在上单调递增，在上单调递减， sin y x =ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦又∵，，， π1sin 62=πsin 12=2sin 3π=∴函数在上的最小值为，最大值为1. sin y x =π2,6π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦12∴函数的最小值为，最大值为1.()f x 1221. 已知函数. ()12cos sin 62f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（1）求的最小正周期；()f x （2）求的单调递减区间以及在区间上的最值. ()f x 7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】（1）；（2）递减区间是（），最小值是，最大值是0. T π=2[,63k k ππππ++Z k ∈1-【解析】【分析】 （1）先利用三角恒等变换化简函数解析式，再求最小值； （2）将代入正弦函数的单调区间求解单调区间，通过计算的范围求值域.x ωϕ+x ωϕ+【详解】（1） ()12cos sin 62f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭112cos sin cos 22x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭21cos cos 2x x x =+-1cos 21222x x +=+-12cos 22x x =+ sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以的最小正周期. ()f x 22T ππ==（2）由（）， 3222262k x k πππππ+≤+≤+Z k ∈得（）， 263k x k ππππ+≤≤+Z k ∈所以的单调递减区间是（）. ()f x 2[,63k k ππππ++Z k ∈当时，， 7,124x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦2,63x πππ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦则. []sin(2)1,06x π+∈-故在区间上的最小值是，最大值是0. ()f x 7,124ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦1-【点睛】本题考查利用恒等变换化简三角函数解析式，求解函数性质；涉及单调区间、最小正周期以及值域的求解，属三角函数综合基础题.22. 某游乐场的摩天轮示意图如图．已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为24T =1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系基本符合正弦函数模型，现从图示位置，即1号座舱位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t 分钟．（1）求1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系的解析式；()h t （2）在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t 的值；（3）记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H 米，求当H 取得最大值时t 的值．【答案】（1） ()π30sin32012()h t t t =+≥（2）或14t =22t =（3）()812N t k k =+∈【解析】【分析】（1）设1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为，h t ()sin()(0h t A t b A ωϕ=++>，根据所给条件求出、、、，即可得到函数解析式；0)ω>A b ωϕ（2）由（1）中的解析式，结合正弦函数的性质计算可得；()17h t =（3）依题意可得，，从而得到高度差函数，利用1h 5h ()30sin 3230sin 2128123H t t ππ⎛⎫⎡⎤=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣++⎦+两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时的值，即可得解；t 【小问1详解】设1号座舱与地面的距离h 与时间t 的函数关系的解析式为 ()sin 0,0,0()()h t A t b A t ωϕω=++>>≥则，30,32A b ==∴，()30sin 320()()h t t ωϕω=++>依题意，∴， 24min T =()2ππrad/min 12T ω==当时，∴，0=t ()32h t =0ϕ=∴． ()π30sin 32012()h t t t =+≥【小问2详解】令，即， ()17h t =π30sin 321712t +=∴， π1sin 122t =-∵，∴， 024t ≤≤π02π12t ≤≤∴或， π7π126t =π11π126t =解得或，14t =22t =∴或时，1号座舱与地面的距离为17米．14t =22t =【小问3详解】依题意， ()15ππ30sin 32,30sin 8321212h t h t =+=++∴ ()ππ30sin 3230sin 8321212H t t ⎛⎫⎡⎤=+-++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ππ2π30sin 30sin 12123t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭3ππ30sin 21212t t =ππ126t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，解得， ππππ,Z 1262t k k -=+∈()812N t k k =+∈所以当时，H 取得最大值 ()812N t k k =+∈。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷含答案
北京市2023-2024学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共50分）（答案在最后）1.若复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B 【解析】【分析】运用复数的几何意义求解即可.【详解】复数2i z =-+，则复数z 在复平面内对应的点(2,1)-位于第二象限．故选：B .2.已知向量(2,1)a = ，(4,)b x = ，且a b∥，则x 的值为（）A.-2B.2C.-8D.8【答案】B 【解析】【分析】运用平面向量共线的坐标公式计算即可.【详解】(2,1)a =rQ ，(4,)b x =，且a b∥，240x ∴-=，即2x =．故选：B ．3.在三角形ABC 中，角,,A B C 对应的边分别为,,a b c ，若0120A ∠=，2a =，3b =，则B ＝（）A.3πB.56π C.566ππ或 D.6π【答案】D 【解析】【详解】试题分析：由于0120A ∠=为钝角，所以只有一解.由正弦定理得：21sin sin1203sin 2B B =⇒=，选D.考点：解三角形.4.已知圆锥的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的体积为（）A.B.πC.D.2π【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，即可求解.【详解】由题知，如图，PAB 为圆锥的轴截面，边长均为2，则圆锥的高322PO =⨯=底面半径1212r =⨯=，故圆锥体积2211ππ1π333V r PO =⋅=⨯=.故选：A5.已知P 为ABC 所在平面内一点，2BC CP =uu u r uur，则（）A.1322AP AB AC =-+uu u r uu u r uuu r B.1233AP AB AC=+C.3122AP AB AC=-uu u r uu u r uuu r D.2133AP AB AC=+uu u r uu u r uuu r【答案】A 【解析】【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.【详解】由题意作出图形,如图,则11()22AP AC CP AC BC AC AC AB =+=+=+- 1322AB AC =-+，故选：A.6.已知非零向量a ，b，则“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合向量的模的定义，数量积的性质和运算律判断.【详解】若20a b -= ，则a b b -=，a b b -= ，所以“a b b -= ”是“20a b -=”成立的必要条件，若a b b -= ，则220a a b -⋅=，()20a a b ⋅-= ，当()1,0a = ，11,22b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭时，()20,1a b -= ，()20a a b ⋅-= 成立，但20a b -≠.所以，“a b b -= ”不是“20a b -=”成立的充分条件，所以“a b b -= ”是“20a b -= ”成立的必要不充分条件，故选：B.7.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且2cos a B c =，则ABC 的形状一定是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形【答案】B 【解析】【分析】由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，再由()C A B π=-+，可得2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，从而可得in 0()s A B -=，进而可得结论【详解】解：因为2cos a B c =，所以由正弦定理可得2sin cos sin A B C =，因为A B C π++=，所以()C A B π=-+，所以()()sin sin sin C A B A B π⎡⎤=-+=+⎣⎦，所以2sin cos sin()sin cos cos sin A B A B A B A B =+=+，所以sin cos cos sin 0A B A B -=，所以in 0()s A B -=，因为A B ππ-<-<，所以0A B -=，所以A B =，所以ABC 为等腰三角形，故选：B8.对于非零向量,m n ，定义运算“⨯”：sin m n m n θ⨯=，其中θ为,m n 的夹角.设,,a b c 为非零向量，则下列说法错误．．的是A.a b b a⨯=⨯ B.()a b c a c b c+⨯=⨯+⨯C.若0a b ⨯=，则//a bD.()a b a b⨯=-⨯【答案】B 【解析】【详解】由运算定义，sin ,sin a b a b b a b a θθ⨯=⨯=，所以a b b a⨯=⨯正确；()sin ,sin sin a b c a b c a c b c a c b c θαβ+⨯=+⨯+⨯=+ ，所以()a b c a c b c +⨯≠⨯+⨯，故B错误；C 、sin 0a b a b θ⨯== ，则0,θπ=，所以//a b 正确；D 、()()sin ,sin sin a b a b a b a b a b θπθθ⨯=-⨯=--= ，所以()a b a b ⨯=-⨯正确．故选B ．点睛：本题考查向量的新定义运算，关键就是理解新定义．本题采取排除法，通过逐个验证，我们可以发现A 、C 、D 都是正确的，所以错误的就是B ．9.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，1,,AB BC AA AB P ⊥=为棱11A B 的中点，Q 为线段1AC 上的动点．以下结论中正确的是（）A.存在点Q ，使BQ AC ∥B.不存在点Q ，使11BQ B C ⊥C.对任意点Q ，都有1BQ AB ⊥D.存在点Q ，使BQ 平面1PCC 【答案】C 【解析】【分析】A 选项，根据异面直线的定义可以判断；B 选项，容易发现1,A Q 重合时符合题意；C 选项，利用线面垂直得到线面垂直；D 选项，先找出平面1PCC 的一条垂线，问题转化为判断这条垂线是否和BQ 垂直的问题.【详解】A 选项，由于BQ ⋂平面ABCB =，B AC ∉，AC ⊂平面ABC ，则,BQ AC 一定异面，A 选项错误；B 选项，根据直三棱柱性质，1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，故1BB BC ⊥，又AB BC ⊥，1AB BB B Ç=，1,AB BB ⊂平面11ABB A ，故BC ⊥平面11ABB A ，又1BA ⊂平面11ABB A ，故1BC BA ⊥，显然11BC B C ∥，即111B C BA ⊥，故1,A Q 重合时，11BQ B C ⊥，B 选项错误；C 选项，直棱柱的侧面11ABB A 必是矩形，而1AA AB =，故矩形11ABB A 成为正方形，则11AB BA ⊥，B 选项已经分析过，BC ⊥平面11ABB A ，由1AB ⊂平面11ABB A ，故1AB BC ⊥，又1BC BA B ⋂=，1,BC BA ⊂平面1BCA ，故1AB ⊥平面1BCA ，又BQ ⊂平面1BCA ，则1BQ AB ⊥必然成立，C 选项正确；D 选项，取AB 中点M ，连接,CM PM ，根据棱柱性质可知，CM 和1C P 平行且相等，故平面1PCC 可扩展成平面1CMPC ，过B 作BN CM ⊥，垂足为N ，根据1BB ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，故1BB BN ⊥，显然11BB CC ∥，故1BN CC ⊥，由BN CM ⊥，1CC CM C = ，1,CC CM ⊂平面1CMPC ，故BN ⊥平面1CMPC ，若BQ 平面1PCC ，则BQ BN ⊥，过Q 作QO //1BB ，交11A C 于O ，连接1B O ，于是1BQOB 共面，又1BQ BB B = ，1,BQ BB ⊂平面1BQOB ，故BN ⊥平面1BQOB ，由于1B O ⊂平面1BQOB ，故1BN B O ⊥，延长OQ 交AC 于J ，易得1B O //BJ ，则BJ BN ⊥，而J 在线段AC 上，这是不可能的，D 选项错误.故选：C10.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即ABC ∠）为26.5 ，夏至正午太阳高度角（即ADC ∠）为73.5 ，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB 的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（）A.sin532sin 47a ︒︒B.2sin 47sin53a ︒︒C.tan 26.5tan 73.5tan 47a ︒︒︒D.sin 26.5sin 73.5sin 47a ︒︒︒【答案】D 【解析】【分析】先求BAD ∠，在BAD 中利用正弦定理求AD ，在Rt ACD 中即可求AC .【详解】73.526.547BAD ∠=-= ，在BAD 中由正弦定理得：sin sin BD AD BAD ABD=∠∠，即sin 47sin 26.5a AD= ，所以sin 26.5sin 47a AD =，又因为在Rt ACD 中，sin sin 73.5ACADC AD=∠= ，所以sin 26.5sin 73.5sin 73.5sin 47a AC AD =⨯=,故选：D【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.二、填空题（每题5分，共30分）11.已知复数i(1i)z =+，则z =________；||z =________．【答案】①.1i--②.【解析】【分析】运用共轭复数、复数乘法及复数的模的公式计算即可.【详解】因为i(1i)1i z =+=-+，则1i z =--，||z ==.故答案为：1i --.12.已知向量(1,1)a =-r ，(2,1)b =- ，则2a b += ________；向量a 在b上的投影向量的坐标为________．【答案】①.(0,1)-②.63(,)55-【解析】【分析】运用平面向量加法、向量数量积、向量的模、投影向量公式计算即可.【详解】解：(1,1)a =-r，(2,1)b =-，则2(2,2)(2,1)(0,1)a b +=-+-=-；()()12113a b ⋅=⨯-+-⨯=-，||b == 故向量a 在b上的投影向量的坐标为：363,555a b b b b b⋅⎛⎫⨯=-=- ⎪⎝⎭ .故答案为：(0,1)-；63(,55-.13.在正四面体A -BCD 中，二面角A -BC -D 的余弦值是_______.【答案】13【解析】【分析】根据二面角平面角的定义，结合正四面体的性质，找出该角，由余弦定理，可得答案.【详解】如图，取BC 的中点F ，连接AF，DF，则AF BC ⊥，DF BC ⊥，即AFD ∠为二面角A BC D --的平面角，设正四面体D ABC -的棱长为6，在正ABC中，sin 60AF AB ==sin 60DF BD ==由余弦定理2221cos 23FD FA AD AFD FD FA +-∠===⋅⋅.故答案为：13.14.已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，则cos ,OA OB <>=___________；若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则m =___________.【答案】①.②.5【解析】【分析】①根据向量的夹角公式，直接求解即可；②根据已知可得0OA AB ⋅=，求出相应的坐标代入即可求出m 的值.【详解】①因为(0,0)O ，(1,2)A ，(,0)(0)B m m >，所以(1,2)OA = ，(,0)OB m =，所以5cos ,5||||OA OB OA OB OA OB ⋅<>===；②(1,2)AB m =-- ，若B 是以OA 为边的矩形的顶点，则0OA AB ⋅=,即140OA AB m ⋅=--=，所以5m =.故答案为：5；515.若ABC 的面积为2223()4a cb +-,且∠C 为钝角，则∠B =_________；c a 的取值范围是_________.【答案】①.60②.(2,)+∞【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得tan B =，可求得3B π∠=；再利用()sin sin C A B =+，将问题转化为求函数()f A 的取值范围问题.【详解】()2221sin 42ABC S a c b ac B ∆=+-=，2222a c b ac +-∴=，即cos B =，sin cos 3B B B π∴=∠=，则21sin cos sin sin 11322sin sin sin 2tan 2A A Ac C a A A A A π⎛⎫⎛⎫-⋅--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====⋅+，C ∴∠为钝角，,036B A ππ∠=∴<∠<，)1tan 0,,3tan A A ⎛∴∈∈+∞ ⎝⎭，故()2,ca∈+∞.故答案为3π，()2,∞+.【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角A B C π++=的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含A ∠的表达式的最值问题是解题的第二个关键.16.如图矩形ABCD 中，22AB BC ==，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻转成1A DE △．若M 为线段1AC 的中点，则在ADE V 翻转过程中，下列叙述正确的有________（写出所有序号）．①BM 是定值；②一定存在某个位置，使1CE DA ⊥；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使1MB A DE 平面∥．【答案】①②④【解析】【分析】运用等角定理及余弦定理可判断①；运用勾股定理证得1A E CE ⊥、DE EC ⊥，结合线面垂直的判定定理及性质可判断②；运用反证法证及线面垂直判定定理证得DE ⊥平面1A EC ，结合线面垂直性质可得1DE A E ⊥得出矛盾可判断③；运用面面平行判定定理证得平面//MBF 平面1A DE ，结合面面平行性质可判断④.【详解】对于①，取CD 中点F ，连接MF ，BF ，如图所示，则1MF DA ∥，BF DE ，11122MF A D ==，FB DE ==由等角定理知，1π4A DE MFB ∠=∠=，所以由余弦定理可得22252cos 4MB MF FB MF FB MFB =+-⋅⋅∠=，所以52MB =是定值，故①正确；对于④，由①知，1MF DA ∥，BF DE ，又FB 、MF ⊄平面1A DE ，1DA 、DE ⊂平面1A DE ，所以//FB 平面1A DE ，//MF 平面1A DE ，又FB MF F = ，FB 、MF ⊂平面MBF ，所以平面//MBF 平面1A DE ，又因为MB ⊂平面MBF ，所以//MB 平面1A DE ，故④正确，对于②，连接EC ，如图所示，当1A C =时，因为11A E =，CE =22211A C A E CE =+，所以1A E CE ⊥，因为矩形ABCD 中，D E C E ==，2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A E DE E ⋂=，1A E 、DE ⊂平面1A DE ，所以CE ⊥平面1A DE ，又1A D ⊂平面1A DE ，所以1CE DA ⊥，故②正确；对于③，假设③正确，即在某个位置，使1DE A C ⊥，又因为矩形ABCD 中，D E C E ==2DC =，所以222DE CE DC +=，即DE EC ⊥，又因为1A C EC C ⋂=，1AC 、EC ⊂平面1A EC ，所以DE ⊥平面1A EC ，又1A E ⊂平面1A EC ，所以1DE A E ⊥，这与1π4DEA ∠=矛盾，所以不存在某个位置，使1DE A C ⊥，故③错误．故答案为：①②④.三、解答题（每题14分，共70分）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：EF CD ⊥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由三角形中位线证得EF PA ∥，结合线面平行的判定定理证明即可.（2）由线面垂直性质可得PD CD ⊥，结合线面垂直判定定理可得CD ⊥平面PAD ，再结合线面垂直性质、线线垂直性质证明即可.【小问1详解】因为E ，F 分别是AB ，PB 的中点，所以EF PA ∥，又EF ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//EF 平面PAD ；【小问2详解】因为PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PD CD ⊥，又因为底面ABCD 为正方形，CD AD ⊥，=PD AD D ⋂，PD 、AD ⊂平面PAD ，所以CD ⊥平面PAD ，又PA ⊂平面PAD ，所以CD PA ⊥，由（1）知，EF PA ∥，所以EF CD ⊥．18.已知2()22cos f x x x =+．（1）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】（1）π，π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈（2）max ()3f x =，min ()0f x =【解析】【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式化简函数()f x ，结合sin y t =图象与性质求解即可.（2）先求出π26x +的范围，结合sin y t =图象与性质即可求得最值.【小问1详解】因为2π()22cos 2cos 212sin(216f x x x x x x =+=++=++，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==，令ππ3π2π22π262k x k +≤+≤，Z k ∈，解得π2πππ63k x k +≤≤+，Z k ∈，所以()f x 单调递减区间为π2π[π,π]63k k ++，Z k ∈．【小问2详解】因为π[0,]2x ∈，所以ππ7π2[,]666x +∈，所以由函数图象性质知，当ππ262x +=，即π6x =时，max ()3f x =；当π7π266x +=，即π2x =时，min ()0f x =．19.如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，//AF DE ，3DE AF =．（1）求证：平面//BAF 平面CDE ；（2）求证：平面EAC ⊥平面EBD ；（3）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）13BM BD =，证明见解析【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到//AF 平面CDE ，//AB 平面CDE ，再利用面面平行的判定定理，即可证明结果；（2）根据条件得到AC ⊥平面EBD ，再由面面垂直的判定定理，即可证明结果；（3）构造平行四边形，利用线面平行的判定定理，即可证明结果.【小问1详解】因为//AF DE ，AF ⊄面CDE ，DE ⊂面CDE ，所以//AF 平面CDE ，同理，//AB 平面CDE ，又AF AB A ⋂=，,AF AB ⊂面BAF ,所以平面//BAF 平面CDE .【小问2详解】因为四边形ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥，DE ⊥ 平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，AC DE ∴⊥，BD DE D = ，,BD DE ⊂平面EBD ，AC ∴⊥平面EBD ，AC ⊂ 平面EAC ，所以平面EAC ⊥平面EBD .【小问3详解】当13BM BD =时，//AM 平面BEF ，理由如下：作MN ED ∥，则MN 平行且等于13BD ，//AF DE ，3DE AF =，∴AF 平行且等于MN ，∴AMNF 是平行四边形，//AM FN ∴，AM ⊄ 平面BEF ，FN ⊂平面BEF ，//AM ∴平面BEF .20.在ABC ∆中，2sin sin sin A B C =.（Ⅰ）若π3A ∠=，求B ∠的大小；（Ⅱ）若1bc =，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）π3B ∠=，（2）．【解析】【详解】【分析】试题分析：（Ⅰ）因为2sin sin sin ,A B C =由正弦定理可得2a bc =，再利用余弦定理得所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-即b c =，所以为等边三角形．所以π3B ∠=（注：当然也可用化角来处理）；（Ⅱ）由已知可得21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=，又sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤试题解析：（Ⅰ）方法一：因为2sin sin sin ,A B C =且，所以2a bc =．又因为π3A ∠=，所以22222122a b c bc b c bc =+-⨯=+-．所以2()0b c -=．所以b c =．因为π3A ∠=，所以为等边三角形．所以π3B ∠=．方法二：因为πA BC ++=，所以sin sin()C A B =+．因为2sin sin sin B C A =，π3A ∠=，所以2ππsin sin()sin 33B B +=．所以13sin cos sin )224B B B +=．所以11cos 23sin 24224B B -+⨯=．所以12cos 2122B B -=．所以πsin(2)16B -=．因为(0,π)B ∈，所以ππ112(,π)666B -∈-．所以ππ262B -=，即π3B ∠=．（Ⅱ）因为2sin sin sin ,A B C =1bc =，且，所以21a bc ==．所以222221cos 22b c a b c A bc +-+-==21122bc -≥=（当且仅当时，等号成立）．因为(0,π)A ∈，所以π(0,]3A ∈．所以sin (0,]2A ∈．所以11sin sin 224ABC S bc A A ∆==≤．所以当是边长为1的等边三角形时，其面积取得最大值．考点：三角函数的性质与解三角形21.对于数集{}12,,1,n X x x x =- ，其中120n x x x <<<⋅⋅⋅<，2n ≥，定义向量集(){},,,Y a a s t s X t X ==∈∈ ，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，则称X 具有性质P ．（1）判断{}1,1,2-是否具有性质P ；（2）若2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，求x 的值；（3）若X 具有性质P ，求证：1X ∈且当1n x >时，11x =．【答案】（1）具有性质P（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据集合新定义判断即可；（2）在Y 中取()1,2a x = ，根据数量积的坐标表示，求出可能的2a ，再根据2x >求出符合条件的值即可；（3）取()111,a x x Y =∈ ，()2,a s t Y =∈ ，由120a a ⋅= ，化简可得0s t +=，所以,s t 异号，而1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，从而得到1X ∈，最后通过反证法得出1n x >时，11x =.【小问1详解】{}1,1,2-具有性质P .因为{}1,1,2X =-，所以()()()()()()()()(){}1,1,1,1,1,2,1,1,1,1,1,2,2,1,2,1,2,2Y =------，若对任意1a Y ∈ ，存在2a Y ∈ 使得120a a ⋅= ，所以X 具有性质P .【小问2详解】因为2x >，且{}1,1,2,X x =-具有性质P ，所以可取()1,2a x = ，又Y 中与()1,2a x = 垂直的元素必有形式()()()1,1,1,2,1,x ---中的一个，当()21,1a =- 时，由120a a ⋅= ，可得202x x -+=Þ=，不符合题意；当()21,2a =- 时，由120a a ⋅= ，可得404x x -+=Þ=，符合题意；当()21,a x =- 时，由120a a ⋅= ，可得200x x x -+=Þ=，不符合题意；所以4x =.【小问3详解】证明：取()111,a x x Y =∈ ，设()2,a s t Y =∈ ，满足120a a ⋅= ，所以()100s t x s t +=⇒+=，所以,s t 异号，因为1-是X 中的唯一的负数，所以,s t 中之一为1-，另一个为1，所以1X ∈，假设1k x =，其中1k n <<，则101n x x <<<，选取()11,n b x x = ，并设()2,b p q = ，满足120b b ⋅= ，所以10n px qx +=，则,p q 异号，从而,p q 之中恰有一个为1-，若1p =-，则1n x qx =，显然矛盾；若1q =-，则1n n x px p x =<<，矛盾，所以当1n x >时，11x =，综上，得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于理解集合的新定义，并用向量的数量积为零时坐标表示出所求的参数值.。
北京大学附属中学石景山学校2023-2024学年高一“13”班下学期期中数学试题
北京大学附属中学石景山学校2023-2024学年高一“1 3”班下学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =I （ ）．A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1,1,2}-D ．{1,2}2．函数1()2f x x =- ） A ．[0,2)B ．(0,2)(2,)⋃+∞C ．[0,2)(2,)+∞UD ．(,0)(2,)-∞+∞U3．若12,x x 是一元二次方程22630x x -+=的两个根，则12x x -的值为（ ）AB C ．3 D 4．不等式11x >成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．102x << B ．1x >C ．01x <<D ．0x < 5．红蜡块能在玻璃管的水中匀速上升，若红蜡块在A 点匀速上升的同时，使玻璃管水平向右做匀加速直线运动，则红蜡块实际运动的轨迹是图中的（ ）A ．曲线AQDB ．直线APDC ．曲线ARD D ．无法确定 6．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》被称为中国古典小说四大名著．学校读书社共有100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的人数为90，阅读过《红楼梦》的人数为80，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的人数为60，则这100名学生中，阅读过《西游记》的学生人数为（ ）A ．80B ．70C ．60D ．507．两个工厂生产同一种产品，其产量分别为(),0a b a b <<.为便于调控生产，分别将1x a b x -=-、x a a b x x -=-、x a a b x b-=-中()0x x >的值记为,,A G H 并进行分析.则,,A G H 的大小关系为（ ） A ．H G A <<B ．G H A <<C ．A G H <<D ．A H G <<8．已知集合{N121}M x x =∈≤≤|，集合1A ，2A ，3A 满足：①每个集合都恰有7个元素；②123A A A M ⋃⋃=．集合i A 中元素的最大值与最小值之和称为集合i A 的特征数，记为()1,2,3i X i =，则123X X X ++的最大值与最小值的和为（ ）A ．132B ．134C ．135D ．137二、填空题9．命题“()0,1x ∀∈，20x x -<”的否定是．10．已知:31p x -≤≤，:q x a £（a 为实数）．若q 的一个充分不必要条件是p ，则实数a 的取值范围是.11．为提高生产效率，某公司引进新的生产线投入生产，投入生产后，除去成本，每条生产线生产的产品可获得的利润s （单位：万元）与生产线运转时间t （单位：年，*N t ∈）满足二次函数关系：223098s t t =-+-，现在要使年平均利润最大，则每条生产线运行的时间t 为年．12．方程()2250a x x a --++=的一根大于1，一根小于1，则实数a 的取值范围是.13．不等式22150x x -->的解集是．14．已知不等式12x x a -+-≥恒成立，则实数a 的取值范围是.15．设函数()22,226,2x x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，关于x 的方程()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，则123x x x ++的取值范围是．16．对于函数()f x ，x ∈R ，若()f x x =则称x 为()f x 的“不动点”，若()()f f x x =，则称x 为()f x 的“稳定点”，函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ．若()()21R f x ax a =-∈，且A B =≠∅，则实数a 的取值范围是．三、解答题17．求下列关于x 的不等式的解集： (1)4101x +≤-； (2)()222R ax x ax a ≥-∈-18．已知集合{}{}121,24A xa x a B x x =-≤≤+=-≤≤∣∣.在①A B B =U ；②“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件；③A B =∅I 这三个条件中任选一个，补充到本题第②问的横线处，求解下列问题.(1)当3a =时，求()R A B ⋂ð；(2)若______，求实数a 的取值范围.19．已知a ，b 是正实数，设m n ==求证： (1)mn ab ≥；(2)m n a b +≤+.20．设()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为m ．(1)求m ；(2)若,,(0,)a b c ∈+∞，2222a b c m ++=，求ab bc +的最大值．21．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,3在抛物线()230y ax bx a =++≠.(1)求抛物线的对称轴；(2)若点()1,5x ，()2,3x -在抛物线上，求a 的取值范围；(3)若点()1,m y ，()21,m y +在抛物线上，对于任意的3m ≥，都有213y y -≥，直接写出a 的取值范围.22．计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为x 米，两个养殖池的总面积为y 平方米，如图所示：(1)将y 表示为x 的函数，并写出定义域；(2)当x 取何值时，y 取最大值？最大值是多少？(3)若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度x 的取值范围.23．设函数()22f x x mx m =++，函数()22g x x =+，x ∀∈R ，用()M x 表示()f x ，()g x 中的较大者，记为()()(){}max ,M x f x g x =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.条件①：()()31f f -=；条件②：x ∀∈R ，()()1f x f ≥-恒成立.(1)求不等式()()f x g x >的解集；(2)当[]1,4x ∈时，关于x 的不等式()()()2M x a g x >-恒成立，求实数a 的取值范围. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.24．对非空整数集合M 及N k ∈，定义{}|,,1,,M k m t m M t k k k ⊕=+∈=--+L ，对于非空整数集合A ，B ，定义(){},min N|,d A B k A B k B A k =∈⊆⊕⊆⊕.(1)设{}2,4,6M =，请直接写出集合1M ⊕；(2)设{}1,2,3,4,,100A =L ，(),1d A B =，求出非空整数集合B 的元素个数的最小值；(3)对三个非空整数集合A ，B ，C ，若(),4d A B =且(),1d B C =，求(),d A C 所有可能取值．。
北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学说明：本试卷共六道大题，26道小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 已知数列的通项公式是，则是该数列的（）A. 第9项B. 第10项C. 第11项D. 第12项2. 若函数，则（ ）A. B. C. D. 3. 等差数列中，若，，则其公差等于（ ）A. 2B. 3C. 6D. 184. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）A. 是区间上的增函数B. 是区间上的减函数C. 1是的极大值点D. 4是的极小值点5. 若是等差数列的前项和，，则（）A. B. C. D. 6. 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.D. {}n a 21n a n =+1222()f x x =0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆1234{}n a 1233a a a ++=45621a a a ++=()y f x =()f x '()f x []3,1-()f x []1,2()f x ()f x n S {}n a n ()*88,N n S S n n >≠∈890,0a a ≥<890,0a a ><890,0=<a a 890,0a a >=()3213f x x x ax =-+a (],1-∞(),1-∞()1,+∞[)1,+∞7. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）A. B. C. 4D. 8. 已知在处可导，在附近x 的函数值，可以用“以直代曲”的方法求其近似代替值：．对于函数的近似代替值（ ）A. 大于m B. 小于mC. 等于mD. 与m 的大小关系无法确定9. 设为无穷等比数列前n 项和，则“有最大值”是“有最大值”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10. 设函数定义域为D ，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11. 函数，则_____.12. 用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式______．13. 已知函数，若在区间上是增函数，则实数a 的取值范围是 ________．14. 小杰想测量一个卷纸展开后的总长度，卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱，测得小圆柱底面的直径为5厘米，大圆柱底而的直径为11厘米．由于单层纸的厚度不易测量，小杰利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米．试估算这个卷纸的总长度（单位：米）为______．（结果精确到个位，取）15. 与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线．关于曲线的法线有下列四种说法：①存在一类曲线，其法线恒过定点；的.{}n a 124,,a a a 2a =10-6-4-()f x 0x x =0x ()f x ()()()()000f x f x f x x x '≈+-()f x =()4.001m f =n S {}n a {}n a {}n S ()f x ()f x c D ∈,a b D ∈()()()f a f b f c a b-'=-()f x ΓΓ2()f x x =3()f x x =()xf x e =()ln f x x=()sin 2f x x =()f x '=*n ∀∈N ()()()()1221321nn n n n n ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-n k =1n k =+21()2ln 2f x x ax x =+-()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π 3.14=②若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为；③存在两条直线既是曲线的法线，也是曲线的法线；④曲线的任意法线与该曲线的公共点个数均为1．其中所有说法正确的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16. 已知函数，在处取得极值．（1）求在区间上的平均变化率；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）求曲线过点的切线方程．17. 设等差数列的前项和为，，．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．18. 已知函数，其中．（1）当时，求的极值；（2）讨论当时函数的单调性；（3）若函数有两个不同的零点、，求实数a 的取值范围.第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19. 已知函数满足：对任意，由递推关系得到的数列是单调递增的，则该函数的图象可以是（ ）A. B.4y x =34e x y =ln y x =sin y x =()2f x x ax =-()f x 0x =()f x []2023,2024()y f x =()()22f ,()y f x =()2,0{}n a n n S 53a =535S ={}n a {}n a n n T 10T ()()22ln f x ax a x x =-++R a ∈1a =-()f x 0a >()y f x =2()()g x f x ax =-1x 2x ()y f x =()10,1a ∈()1n n a f a +={}n aC. D.20. 设数列的前n 项和，若，则（ ）A. 数列满足B. 数列为递增数列C.的最小值为D. ，，不成等差数列21. 已知正项数列满足为前项和，则“是等差数列”是”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件22. 已知无穷数列，．性质，，，性质，，，，给出下列四个结论：①若，则具有性质；②若，则具有性质；③若具有性质，则；④若等比数列既满足性质又满足性质，则其公比的取值范围为．则所有正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23. 写出一个满足的函数______．24. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若，，均不相等，且，则___.25. 若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列曲的.{}n a n S 23n S n n =++{}n a ()1122n n n a a a n -+=+≥{}n a nn S a n+17242S S -64S S -86S S -{}n a 213,n a a S ={}n a n {}n a {}n a 11a =:s m ∀*n ∈N m n m n a a a +>+:t m ∀*n ∈N 2m n ≤<11m n m n a a a a -++>+32n a n =-{}n a s 2n a n ={}n a t {}n a s n a n ≥{}n a s t ()2,+∞()221f x x '=+()f x =()()()()()1230f x a x x x x x x a =--->()y f x =()(),i i x f x ()1,2,3i k i =1x 2x 3x 22k =-1311k k +=()y f x =()y f x =线中，所有存在“自公切线”的序号为______．①；②；③；④．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26. 已知无穷数列满足：①；②．设为所能取到的最大值，并记数列．（1）若数列为等差数列且，直接写出其公差的值；（2）若，求值；（3）若，，求数列的前100项和．的()y f x =22y x x =-3sin 4cos y x x =+13y x x=+y ={}n a ()*1,2,i a i ∈=⋅⋅⋅N ()11,2,,1,2,,3i j i j i j a a a a a i j i j ++≤≤++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+≥*i a ()1,2,i a i =⋅⋅⋅{}*n a {}n a 11a =d 121a a ==*4a 11a =22a ={}*n a中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学 简要答案第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】A 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】B 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】C 【8题答案】【答案】A 【9题答案】【答案】D 【10题答案】【答案】B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】2cos 2x 42k【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①②④三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）【16题答案】【答案】（1）4047 （2） （3）或【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）的极大值为，无极小值. （2）答案略（3）．第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）【19题答案】【答案】C 【20题答案】【答案】C 【21题答案】【答案】C3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2544y x =-0y =816y x =-132n a n =-52()f x 3ln24--12,2e⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）【23题答案】【答案】（答案不唯一）【24题答案】【答案】##【25题答案】【答案】①②④三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）【26题答案】【答案】（1）或 （2） （3）()ln 21x +120.51237500。
北京市2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题含答案
2023—2024学年度第二学期北京市高一数学期中考试试卷（答案在最后）一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.11πsin3的值为（）A.2B.2-C.2D.2【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算可得.【详解】11πππsin sin 4πsin 3332⎛⎫=-=-=-⎪⎝⎭.故选：A2.下列函数中，最小正周期为π且是偶函数的是（）A.πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.tan y x =C.cos 2y x =D.sin 2y x=【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案.【详解】对于A ，πsin 4y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为：2π2π1T ==，故A 不正确；对于B ，tan y x =的最小正周期为：ππ1T ==，tan y x =的定义域为ππ,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，关于原点对称，令()tan f x x =，则()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，所以tan y x =为奇函数，故B 不正确；对于C ，cos 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，令()cos 2g x x =的定义域为R 关于原点对称，则()()()cos 2cos 2g x x x g x -=-==，所以cos 2y x =为偶函数，故C 正确；对于D ，sin 2y x =的最小正周期为：2ππ2T ==，sin 2y x =的定义域为R ，关于原点对称，令()sin 2h x x =，则()()()sin 2sin 2h x x x h x -=-=-=-，所以sin 2y x =为奇函数，故D 不正确.故选：C .3.设向量()()3,4,1,2a b ==- ，则cos ,a b 〈〉=（）A.5-B.5C.5-D.5【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用向量夹角的坐标表示求解即得.【详解】向量()()3,4,1,2a b ==-，则cos ,5||||a b a b a b ⋅〈〉==.故选：D4.在△ABC 中，已知1cos 3A =，a =，3b =，则c =（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】直接利用余弦定理求解即可【详解】因为在△ABC 中，1cos 3A =，a =，3b =，所以由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，2112963c c =+-⨯，得2230c c --=，解得3c =，或1c =-（舍去），故选：D5.函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0A >，0ω>，0ϕπ<<)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（）A.()3sin 42f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭ B.3()3sin 44f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭C.()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.3()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可.【详解】由函数图象可知函数的最大值为3，所以3A =，由函数图象可知函数的最小正周期为4(62)16⨯-=，因为0ω>，所以24(62)168ππωω⨯-==⇒=，所以()3sin 8f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：(2)3f =，即3sin 32()2()4424k k Z k k Z ππππϕϕπϕπ⎛⎫+=⇒+=+∈⇒=+∈ ⎪⎝⎭，因为0ϕπ<<，所以令0k =，所以4πϕ=，因此()3sin 84f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选：C6.函数ππ()sin(2),[0,]62f x x x =+∈的最大值和最小值分别为（）A.11,2-B.31,2-C.1,12- D.1,1-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即得.【详解】由π[0,2x ∈，得ππ7π2[,666x +∈，则当ππ262x +=，即π6x =时，max ()1f x =，当π7π266x +=，即π2x =时，min 1()2f x =-，所以所求最大值、最小值分别为11,2-.故选：A7.已知向量,,a b c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则()a b c +⋅= （）A.2B.2- C.1 D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据给定信息，利用向量数量的运算律，结合数量积的定义计算得解.【详解】依题意，π3π|||2,||2,,,,,44a b c a b b c a c ===〈〉=⊥〈〉= ，因此3π||||cos2(242a c a c ⋅==⨯-=-，0b c ⋅= ，所以()2a b c a c b c +⋅=⋅+⋅=-.故选：B8.在ABC 中，已知cos cos 2cos a B b A c A +=，则A =（）A.π6B.π4C.π3 D.π2【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，再逆用和角的正弦求出即得.【详解】在ABC 中，由cos cos 2cos a B b A c A +=及正弦定理，得sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，则sin()2sin cos A B C A +=，即sin 2sin cos C C A =，而sin 0C >，因此1cos 2A =，而0πA <<，所以π3A =.故选：C9.已知函数()()π2sin 03⎛⎫=+> ⎪⎝⎭f x x ωω，则“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】以π3x ω+为整体结合正弦函数的性质可得12ω>，进而根据充分、必要条件分析判断.【详解】因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦且0ω>，则ππππ,3333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎣⎦上既不是增函数也不是减函数，则2πππ33ω+>，解得12ω>，又因为()1,+∞1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，所以“()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上既不是增函数也不是减函数”是“1ω>”的必要不充分条件.故选：B.10.如图，正方形ABCD 的边长为2，P 为正方形ABCD 四条边上的一个动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A.[]1,2-B.[]0,2 C.[]0,4 D.[]1,4-【答案】D 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，分点P 在CD 上，点P 在BC 上，点P 在AB 上，点P 在AD 上，利用数量积的坐标运算求解.【详解】解：建立如图所示平面直角坐标系：则()()0,2,2,2A B ，当点P 在CD 上时，设()(),002Px x ≤≤，则()(),2,2,2PA x PB x =-=--，所以()()224133,4PA PB x x x ⎡⎤⋅=-+=-+∈⎣⎦ ；当点P 在BC 上时，设()()2,02P yy ≤≤，则()()2,2,0,2PA y PB y =-=-，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；当点P 在AB 上时，设()(),202Px x ≤≤，则()(),0,2,0PA x PB x ==-，所以()()22111,0PA PB x x x ⎡⎤⋅=-=--∈-⎣⎦ ；当点P 在AD 上时，设()()0,02P y y ≤≤，则()()0,2,2,2PA y PB y=-=--，所以()220,4PA PB y ⎡⎤⋅=-∈⎣⎦ ；综上：PA PB ⋅的取值范围是[]1,4-.故选：D二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.已知圆的半径为2，则60 的圆心角的弧度数为__________；所对的弧长为__________.【答案】①.π3##1π3②.2π3##2π3【解析】【分析】利用度与弧度的互化关系，弧长计算公式求解即可.【详解】60 的圆心角的弧度数为ππ601803⨯=；所对的弧长为π2π233⨯=.故答案为：π3；2π312.已知向量()2,3a =- ，(),6b x =- .若//a b ，则a =r __________，x =__________.【答案】①.②.4【解析】【分析】利用坐标法求出向量的模，再根据向量共线的坐标表示求出x .【详解】因为向量()2,3a =- ，所以a == ，又(),6b x =- 且//a b ，所以()326x =-⨯-，解得4x =.；4.13.若函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，则A =__________；将函数()f x 的图象向左至少平移__________个单位，得到函数2sin y x =的图象.【答案】①.1②.π3##1π3【解析】【分析】利用零点的意义求出A ；利用辅助角公式化简函数()f x ，再借助平移变换求解即得.【详解】函数()sin f x A x x =的一个零点为π3，得ππsin 033A =，解得1A =；则π()sin 2sin()3f x x x x =-=-，显然πππ(2sin[()]2sin 333f x x x +=+-=，所以()f x 的图象向左至少平移π3个单位，得到函数2sin y x =的图象.故答案为：1；π314.设平面向量,,a b c 为非零向量，且(1,0)a = .能够说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题的一组向量,b c的坐标依次为__________.【答案】(0,1),(0,1)-（答案不唯一）【解析】【分析】令向量,b c 与向量a 都垂直，且b c ≠即可得解.【详解】令(0,1),(0,1)b c ==- ，显然0a b a c ⋅==⋅，而b c ≠ ，因此(0,1),(0,1)b c ==- 能说明“若a b a c ⋅=⋅ ，则b c = ”是假命题，所以向量,b c的坐标依次为(0,1),(0,1)-.故答案为：(0,1),(0,1)-15.已知函数()2cosπ1xf x x =+，给出下列四个结论：①函数()f x 是奇函数；②函数()f x 有无数个零点；③函数()f x 的最大值为1；④函数()f x 没有最小值.其中，所有正确结论的序号为__________.【答案】②③【解析】【分析】根据偶函数的定义判断①，令()0f x =求出函数的零点，即可判断②，求出函数的最大值即可判断③，根据函数值的特征判断④.【详解】函数()2cosπ1xf x x =+的定义域为R ，又22cos(π)cos π()()()11x x f x f x x x --===-++，所以()2cosπ1xf x x =+为偶函数，故①错误；令2cos ππ1()0cos π0ππ(Z)(Z)122x f x x x k k x k k x ==⇒=⇒=+∈⇒=+∈+，所以函数()f x 有无数个零点，故②正确；因为cos π1x ≤，当ππ(Z)x k k =∈，即(Z)x k k =∈时取等号，又因为211x +≥，当且仅当0x =时取等号，所以有21011x <≤+，当且仅当0x =时取等号，所以有2cos π11x x ≤+，当且仅当0x =时取等号，因此有()2cos π11xf x x =≤+，即()()max 01f x f ==，故③正确；因为()2cosπ1xf x x =+为偶函数，函数图象关于y 轴对称，只需研究函数在()0,∞+上的情况即可，当x →+∞时2101x →+，又1cosπ1x -≤≤，所以当x →+∞时()0f x →，又()()max 01f x f ==，当102x <<时cos π0x >，210x +>，所以()0f x >，当1322x <<时1cos π0x -≤<，210x +>，所以()0f x <，当1x >时212x +>，0cos π1x ≤≤，所以()12f x <，又()112f =-，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，302f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 为连续函数，所以()f x 存在最小值，事实上()f x 的图象如下所示：由图可知()f x 存在最小值，故④错误.故答案为：②③三､解答题（本大题共6小题，共85分）16.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--.（1）求tan θ，tan2θ的值；（2）求πsin ,cos ,cos 4θθθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【答案】（1）tan 2θ=，4tan 23θ=-（2）sin 5θ-=，cos 5θ=，π10cos 410θ⎛⎫+=⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由三角函数的定义求出tan θ，再由二倍角正切公式求出tan 2θ；（2）由三角函数的定义求出sin θ，cos θ，再由两角和的余弦公式计算可得.【小问1详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以2tan 21θ-==-，则222tan 224tan 21tan 123θθθ⨯===---.【小问2详解】因为角θ以Ox 为始边，终边经过点()1,2--，所以sin 5θ-==，cos 5θ==，所以πππcos cos cos sin sin 444θθθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭2520555210221⎛⎫- =⨯-⨯=⎪ ⎪⎝⎭.17.已知平面向量,,2,3,a b a b a == 与b的夹角为60 ，（1）求22,,a b a b ⋅；（2）求(2)(3)a b a b -⋅+的值：（3）当x 为何值时，xa b -与3a b +rr 垂直.【答案】（1）4，9，3；（2）4-；（3）3013x =.【解析】【分析】（1）利用数量积的定义计算即得.（2）利用数量积的运算律计算即得.（3）利用垂直关系的向量表示，数量积的运算律求解即得.【小问1详解】向量,,2,3,a b a b a == 与b 的夹角为60 ，所以2222|4,|9,3||||c |os 0|6a a b b a b a b ===⋅=== .【小问2详解】依题意，2222(2)(3)2352233534a b a b a b a b -⋅+=-+⋅=⨯-⨯+⨯=- .【小问3详解】由()(3)0xa b a b -⋅+= ，得223(31)4273(31)13300xa b x a b x x x -+-⋅=-+-=-= ，解得3013x =，所以当3013x =时，xa b - 与3a b +r r 垂直.18.已知函数()sin2cos2f x x x =+.（1）求(0)f ；（2）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（3）求函数()f x 的单调递增区间.【答案】（1）1；（2）π，ππ,Z 82k x k =+∈；（3）()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.【解析】【分析】（1）代入计算求出函数值.（2）（3）利用辅助角公式化简函数()f x ，再结合正弦函数的图象与性质求解即得.【小问1详解】函数()sin2cos2f x x x =+，所以(0)sin0cos01f =+=.【小问2详解】函数π())4f x x =+，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，解得ππ,Z 82k x k =+∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为ππ,Z 82k x k =+∈.【小问3详解】由πππ2π22π,Z 242k x k k -+≤+≤+∈，得3ππππ,Z 88k x k k -+≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是()3πππ,πZ 88k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.19.在△ABC 中，7a =，8b =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（1）求A ∠；（2）求ABC 的面积．条件①：3c =；条件②：1cos 7B =-．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）选①②答案相同，3A π∠=；（2）选①②答案相同，ABC 的面积为【解析】【分析】（1）选①，用余弦定理得到cos A ，从而得到答案；选②：先用余弦定理求出3c =，再用余弦定理求出cos A ，得到答案；（2）选①，先求出sin 2A =，使用面积公式即可；选②：先用sin sin()C A B =+求出sin C ，再使用面积公式即可.【小问1详解】选条件①：3c =．在△ABC 中，因为7a =，8b =，3c =，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；选条件②：1cos 7B =-由余弦定理得：222249641cos 2147a cbc B ac c +-+-===-，解得：3c =或5-（舍去）由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=64949283+-=⨯⨯12=．因为()0,πA ∈，所以π3A ∠=；【小问2详解】选条件①：3c =由（1）可得sin 2A =．所以ABC 的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=选条件②：1cos 7B =-．由（1）可得1cos 2A =．因为sin sin[()]C A B =π-+sin()A B =+sin cos cos sin A B A B=+11()72=-+⨯3314=，所以ABC 的面积11sin 7822S ab C ==⨯⨯=．．20.已知函数()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭.（1）求π6f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的在[]0,π上单调递减区间；（3）若函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，求m 的取值范围.【答案】（1）32（2）π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦（3）3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再代入计算可得；（2）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到ππ3π2232x ≤+≤，解得即可；（3）由x 的取值范围求出π23x +的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【小问1详解】因为()2π2cos cos 213f x x x ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ππcos2cos2cossin 2sin 33x x x =++3cos2sin 222x x =+1cos2sin 222x x ⎫=+⎪⎪⎭π23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2π3266332f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】当[]0,πx ∈时ππ7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令ππ3π2232x ≤+≤，解得π7π1212x ≤≤，所以函数()f x 的在[]0,π上的单调递减区间为π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问3详解】当[]0,x m ∈时，πππ2,2333x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又函数()f x 在区间[]0,m 上有且只有两个零点，所以π2π23π3m ≤<+，解得5π4π63m ≤<，即m 的取值范围为3564π,π⎡⎫⎪⎢⎣⎭.21.某地进行老旧小区改造，有半径为60米，圆心角为π3的一块扇形空置地（如图），现欲从中规划出一块三角形绿地PQR ，其中P 在 BC 上，PQ AB ⊥，垂足为Q ，PR AC ⊥，垂足为R ，设π0,3PAB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭；（1）求PQ ，PR （用α表示）；（2）当P 在BC 上运动时，这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时α的值.【答案】（1）60sin PQ α=，π60sin 3PR α⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）三角形绿地的最大面积是平方米，此时π6α=【解析】【分析】（1）利用锐角三角函数表示出PQ 、PR ；（2）依题意可得2π3QPR ∠=，则1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠ ，利用三角恒等变换公式化简，再结合正弦函数的性质求出最大值.【小问1详解】在Rt PAQ 中，π0,3PAB ∠α⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，60AP =，∴sin 60sin PQ AP αα==（米），又π3BAC ∠=，所以π3PAR α∠=-，在Rt PAR 中，可得πsin 60sin 3PR PAR AP α⎛⎫==-⎪⎝⎭∠（米）.【小问2详解】由题可知2π3QPR ∠=，∴PQR 的面积1sin 2PQR S PQ PR QPR =⋅⋅⋅∠1π2π60sin 60sin sin 233αα⎛⎫=⨯⨯-⨯ ⎪⎝⎭πsin3αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππsin cos cos sin 33ααα⎛⎫=- ⎪⎝⎭112cos 222αα⎫=+-⎪⎪⎭π1sin 262α⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，526πππ,66α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴当ππ262α+=，即π6α=时，PQR 的面积有最大值即三角形绿地的最大面积是π6α=.。
北大附中高一年级下学期数学期中考试.doc
北大附中高一年级下学期数学期中考试班级：______ 姓名：______ 成绩：_______一、选择题：在下列各题的四个被选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案前的字母添在答题卡中。
（每题3分，共36分） 1.求值=-⋅-+-⋅-)617()49sin()5sec()314(ππππctg tg （ ） (A) 66332--(B) 2632+-(C) 2632--(D)66332+-2．把曲线y=sinx 向右平移4π个单位，再把各点横坐标缩短到原来的31，所得的图像的函数式是（ ） （A ）)43sin(π-=x y（B ）)433sin(π-=x y（C ） )43sin(π+=x y （D ）)433sin(π+=x y3.函数y=Asin (ωx+φ)在同一周期内，当12π=x 时，有最大值23，当127π=x 时，有最小值-23，则函数的解析式为（ ）。
（A ）)32sin(32π+=x y（B ）)3sin(32π+=x y （C ）)32sin(23π+=x y（D ）)3sin(23π+=x y4. 当ππ≤≤-x 时，使函数)42cos(21π-=x y 取得最大值的x 的集合是（ ） （A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧8π（B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-8,87ππ （C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-2,2ππ （D ）以上答案都不正确 5. 已知3101lg)180sin(=+︒α，则)270(︒-αtg 的值是（ ）（A ）22-和 22（B ） 42-和42 （C ）22-（D ）42-6.如果35cos log 611cos log ππa a <成立，则a 的取值范围是（ ） （A ）a=10 （B ） a>1（C ）0<a<1 （D ）a>27. 如图，是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（ ）。
（A ）sin (1-x) （B ）cos (1-x) （C ）sin (x-1) （D ）cos (x-1)8.已知正四棱柱1111D C B A ABCD -底面边长为1，侧棱长为2，E 为1BB 的中点，则异面直线1AD 与E A 1所成角的余弦值为 （ ）（A ）52 （B ） 1010 （C ）510（D ）0 9.正四棱台的上底面面积为2，中截面面积为4，则下底边长为（ ） （Ａ）6 （Ｂ） 22-（Ｃ）24- （Ｄ）23１０. 正四棱台的两个相邻侧面所成的二面角的平面角一定是（ ） （Ａ）锐角 （Ｂ）直角（Ｃ）钝角 （Ｄ）不能确定11.正六棱柱底面边长为2，最长的一条对角线长为52，则它的全面积为（ ） （A ）)433(4+ （B ）)23(12+ （C ）)132(12+ （D ）)83(3+12 . 正四面体ABCD 的棱长为a, E 、F 、G 分别是棱AB 、AC 、CD 的中点，截面EFG 交棱BD 于H ，则点A 到截面EFGH 的距离是（ ） （A ）a 21（B ）a 22 （Ｃ）a 41（Ｄ）a 42二、填空题（每空３分，共１２分）１３.一个正六棱台的斜高为cm 33，两底面边长差为10cm ，它的全面积为23480cm ，那么它的两底面边长分别为_________。
北京市2023-2024学年高一下学期期中测验数学试卷含答案
2023-2024学年第二学期期中测验高一数学高一数学（答案在最后）本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.240︒是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】C 【解析】【分析】根据240︒所在区域及象限角的定义判断得解.【详解】显然180240270<︒°°<，所以240︒是第三象限角.故选：C2.已知向量a ，b 在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则a b ⋅=（）A.4-B.2- C.2 D.4【答案】A 【解析】【分析】根据给定的图形，求出||,||,,a b a b 〈〉，再利用数量积的定义求解即得.【详解】观察图形知，3π|||2,,4a b a b ==〈〉= ，所以2()42a b ⋅=⨯-=- .故选：A3.下列函数中，最小正周期为π且是奇函数的是（）A.sin y x =B.cos y x= C.tan2y x= D.sin cos y x x=【答案】D【解析】【分析】由题意，利用三角函数的奇偶性和周期性，得出结论.【详解】由于sin y x =是最小正周期为2π的奇函数，则A 错误；由于cos y x =为偶函数，则B 错误；由于tan2y x =是最小正周期为π2的奇函数，则C 错误；由于1sin cos sin22y x x x ==，则sin cos y x x =是最小正周期为π的奇函数；即D 正确；故选：D4.已知向量a ，b满足()0,1a = ，1b = ，a b -=r r ，则,a b 〈〉= （）A.π6B.π3C.π2 D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用数量积的运算律结合已知求出a b ⋅，再利用夹角公式计算即得.【详解】由()0,1a = ，得||1a =r，由a b -=r r ，1b = ，得2()3a b -= ，即2223a b a b +-⋅=，即1123a b +-⋅= ，解得12a b ⋅=- ，于是1cos ,2||||a b a b a b ⋅〈〉==-，而,[0,π]a b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选：D5.已知函数()()sin 0f x x x ωωω=+>的图象与直线2y =的相邻两个交点间的距离等于π，则()f x 的图象的一条对称轴是（）A.π12x =B.π6x =C.5π12x =D.5π6x =【答案】A 【解析】【分析】先求出()y f x =的图象和直线2y =的全部交点，然后根据已知条件得到2ω=，再确定()f x 的表达式，最后确定()f x 图象的全部对称轴，即可选出答案.【详解】由于()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫=+=+⎪⎝⎭，故方程()2f x =等价于()ππ2π32x k k ω+=+∈Z ，即()π2π6k x k ωω=+∈Z .故()y f x =的图象和直线2y =的全部交点为()π2π,26k k ωω⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ，由于相邻两个交点间的距离等于π，故2ππω=，即2ω=.所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，其图象的全部最值点x 满足()ππ2π32x k k +=+∈Z ，即()ππ122k x k =+∈Z .所以()f x 的图象的全部对称轴为()ππ122k x k =+∈Z ，取0k =即知A 正确.而ππ5πππ5ππ2π126121226122<<<+<<+，故B ，C ，D 错误.故选：A.6.已知ABC 满足AB AC =，tan 2B =，则tan A =（）A.43B.43-C.45 D.45-【答案】A 【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角的正切公式计算即得.【详解】在ABC 中，AB AC =，tan 2B =，则π2A B =-，所以222tan 224tan tan 21tan 123B A B B ⨯=-=-=-=--.故选：A7.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，要得到函数2sin 2y x =的图象，只需将函数()f x 的图象（）A.向左平移π3个单位 B.向左平移π6个单位C.向右平移π3个单位 D.向右平移π6个单位【答案】D 【解析】【分析】根据图象求出函数()()sin f x A x =+ωϕ的解析式，由()()sin f x A x =+ωϕ的图象变换规律，得出结论.【详解】根据函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象，可得2A =，12π7ππ44123T ω=⋅=-，解得2ω=，再根据五点法作图可得π2π3ϕ⨯+=，解得π3ϕ=，故()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故将函数()f x 的图象向右平移π6个单位，可得ππ2sin 2()2sin263y x x ⎡⎤=-+=⎢⎥⎣⎦的图象，经检验，其他选项都不正确.故选：D8.若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin2α=（）A.725B.725-C.925D.925-【答案】B 【解析】【分析】由2ππ224αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合诱导公式和二倍角的余弦公式，计算即可得到所求值.【详解】由于2ππ224αα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以2ππππ97sin2sin 2cos22cos 12144425252αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：B9.已知函数()()cos f x x ϕ=+．则“()()11f f -=-”是“()f x 为奇函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】若()()11f f -=-，利用和差角公式求出ϕ，即可判断()f x 的奇偶性，从而判断充分性，再由奇函数的定义判断必要性.【详解】因为()()cos f x x ϕ=+，若()()11f f -=-，即()()cos 1cos 1ϕϕ-+=-+，即cos cos1sin sin1cos cos1sin sin1ϕϕϕϕ+=-+，所以cos cos10ϕ=，又cos10≠，所以cos 0ϕ=，所以ππ,Z 2k k ϕ=+∈，当k 为偶数时()()s s 2i πco n s co f x x x x ϕ=++⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则()f x 为奇函数；当k 为奇数时()()s s πcos co πi 2n x f x x x ϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭=+++，则()f x 为奇函数；综上可得由()()11f f -=-可得()f x 为奇函数，故充分性成立；由()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，显然满足()()11f f -=-，故必要性成立；所以“()()11f f -=-”是“()f x 为奇函数”的充要条件.故选：C10.如图，A 是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为22m 时，下列选项中，关于点A 的描述正确的是（参考数据：7π21.991≈）（）A.点A 在轮子的右上位置，距离地面约为0.56mB.点A 在轮子的右上位置，距离地面约为0.45mC.点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.15mD.点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.04m 【答案】B 【解析】【分析】计算出车轮转动的周期数即可得确定位置和距地面的距离.【详解】车轮的周长为2π0.30.6π m ⨯=，当滚动的水平距离为7π22m ≈时，7π2110.6π3=+，即车轮转动2113+个周期，即点A在轮子的右上位置，如图所示，距离地面约为π0.30.3cos 0.45m 3+⨯=，故选：B.第二部分（非选择题，共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数tan()4y x π=+的定义域为__________________.【答案】|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】试题分析：由,42x k k Z πππ+≠+∈，解得,4x k k Z ππ≠+∈，所以定义域为|,4x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭考点：本题考查定义域点评：解决本题的关键熟练掌握正切函数的定义域12.已知向量(a = ，()cos ,sin b θθ= ，使a 和b 的夹角为钝角的θ的一个取值为________.【答案】π2-（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，利用0a b ⋅<且a 和b不共线，求出θ的值的范围即可.【详解】由a 和b 的夹角为钝角，得0a b ⋅< 且a 和b不共线，则cos 0sin θθθθ⎧+<⎪⎨≠⎪⎩，由cos 0θθ+<，得π2sin()06θ+<，解得ππ2π2π,Z 6k k k θ-+<+<∈，整理得7ππ2π2π,Z 66k k k θ-+<<-+∈，当sin θθ=时，tan θ=，ππ,Z 3k k θ=+∈，而sin θθ≠，则ππ,Z 3k k θ≠+∈，因此当a 和b 的夹角为钝角时，7ππ2π2π,Z 66k k k θ-+<<-+∈且ππ,Z 3k k θ≠+∈，所以a 和b 的夹角为钝角的θ的一个取值为π2-.故答案为：π2-（答案不唯一）.13.若函数π()sin()6f x x ω=+（0ω>）和22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+-+的图象的对称轴完全重合，则ω=_________，π()6g =__________.【答案】①.2②.1-或1【解析】【分析】化简函数()g x 并求出其周期，由两个函数周期相同求出ω，再求出对称轴进而确定ϕ即可求出π()6g .【详解】依题意，()cos(22)g x x ϕ=+，函数()g x 的周期为π，由函数()f x 和()g x 的图象对称轴完全重合，得()f x 的周期2ππT ω==，所以2ω=；函数π()sin(26f x x =+，由11ππ2π,Z 62x k k +=+∈，得11ππ,Z 62k x k =+∈，函数()g x 中，由2222π,Z x k k ϕ+=∈，得22π,Z 2k x k ϕ=-+∈，依题意，1221π,Z ππ,Z 622k k k k ϕ-++∈∈=，1212Z ),(ππZ 62,k k k k ϕ-∈-=∈+则当12Z,Z k k ∈∈时，12π()cos[2(])3πg x x k k =-+-，当21k k -为奇数时，π()cos(2)3g x x =--，π(16g =-，当21k k -为偶数时，π()cos(23g x x =-，π()16g =，所以π(16g =-或π()16g =.故答案为：2；1-或114.在矩形ABCD 中，若1AB =，13BE BC = ，且AB AE AD AE ⋅=⋅，则AD 的值为______，AE AC⋅ 的值为______.【答案】①.②.2【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设AD a =，利用坐标法求出AB AE ⋅ 、AD AE ⋅，即可求出a 的值，最后利用坐标法求出平面向量数量积.【详解】如图建立平面直角坐标系，设AD a =，则()0,0A ，()10B ,，()0,D a ，()1,C a ，因为13BE BC = ，所以1,3a E ⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1,0AB =，1,3a AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,AD a = ，所以1AB AE ⋅=，23a AE AD ⋅= ，因为AB AE AD AE ⋅=⋅ ，所以213a =，解得a =a =，所以(AC =，1,3AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以1123AC AE ⋅=⨯= .215.已知()2cos f x x m =+，给出下列四个结论：①对任意的m ∈R ，函数()f x 是偶函数；②存在m ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为4；③当0m ≠时，对任意的非零实数x ，22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-≠+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④当0m =时，存在实数()0,T π∈，0x ∈R ，使得对任意的n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】①②④【解析】【分析】对于①，使用奇偶函数的定义判断即可；对于②，取m 的值，求出函数最大值、最小值，即可；对于③，先化解方程，再取πx =即可；对于④，取0ππ,24T x ==即可判断.【详解】对于①，函数()f x 的定义域为R ，且()|2cos()||2cos |()f x x m x m f x -=-+=+=，所以函数()f x 为偶函数，故①正确；对于②，取3m =，则()2cos 32cos 3f x x x =+=+所以()()max min 5,1f x f x ==，即最大值与最小值的差为4，故②正确.对于③，ππ()|2cos()||2sin |22f x x m x m -=-+=+，ππ()|2cos()||2sin |22f x x m x m +=++=-+，当πx =时，ππ()()||22f x f x m -=+=，故③错误；对于④，当0m =时，()|2cos |f x x =，取0ππ,24T x ==，使得对任意的n ∈Z ，都有00()()f x f x nT =+，故④正确；故答案为：①②④.三、解答题共6小题，共85分.解答题应写出文字说明，验算步骤或证明过程.16.在平面直角坐标系中，锐角α，β均以Ox 为始边，终边分别与单位圆交于点A ，B ，已知点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513.（1）直接写出tan α和sin β的值，并求tan()αβ-的值；（2）求π2sin(π)sin()23πcos()cos(3π)2αααα-++--+的值；（3）将点A 绕点O 逆时针旋转π4得到点C ，求点C 的坐标.【答案】（1）312tan ,sin 413αβ==，33tan )6(5αβ-=-；（2）10；（3）1010.【解析】【分析】（1）利用三角函数定义求出tan α和sin β，再利用差角的正切计算得解.（2）利用诱导公式及正余弦的齐次式法计算即得.（3）求出点C 所在终边的角，再利用三角函数定义及和角的正余弦计算即可.【小问1详解】由锐角α，β，得点A ，B 都在第一象限，而点A 的纵坐标为35，点B 的横坐标为513，则点A 的横坐标为45，点B 的纵坐标为1213，因此31212tan ,tan ,sin 4513αββ===；312tan tan 3345tan )3121tan tan 565(14αβαβαβ---===-++⋅.【小问2详解】由（1）知3tan 4α=，π32sin(π)sin()212sin cos 2tan 124103π3sin cos 1tan cos()cos(3π)124αααααααααα-++⨯+++====-+---+-.【小问3详解】依题意，点C 在角π4α+的终边上，且||1OC =，由（1）知34sin ,cos 55αα==，则点C的横坐标为πππ43cos()cos cos sin sin (44425510ααα+=-=-=，点C的纵坐标为πππ43sin()sin cos cos sin ()44425510ααα+=+=+=，所以点C的坐标为,)1010.17.已知函数()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()()cos g x f x x =，求()g x 的图象的对称中心.【答案】（1）单调增区间为π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈；单调减区间为5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈（2）ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈【解析】【分析】（1）由正弦函数的单调区间即可得到答案；（2）化简π()2sin(2)3g x x =--，由正弦函数的对称中心可得答案.【小问1详解】由于函数()π4sin 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π2223πk x k -+≤-≤+()Z k ∈，解得π5π2π2π66k x k -+≤≤+()Z k ∈，所以()f x 的单调增区间为π5π2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈，令ππ3π2π2π232k x k +≤-≤+()Z k ∈，解得5π11π2π2π66k x k +≤≤+()Z k ∈，所以()f x 的单调减区间为5π11π2π,2π66k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()Z k ∈，【小问2详解】由()π4sin 2sin 3f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，可得()()()cos 2sin cos g x f x x x x x ==-，即2π()2sin cos sin 222sin(2)3g x x x x x x x =-==--，令π2π3x k -=，解得：ππ26k x =+()Z k ∈，所以()g x 的图象的对称中心为ππ,26k ⎛+⎝()Z k ∈.18.在平面直角坐标系中，O 为原点，()2,2A ，()3,B m ，(),4C n ，AB AC ⊥ ，//BC OA ，P 为线段BC 上一点，且PC BC λ= .（1）求m ，n 的值；（2）当35λ=时，求cos APC ∠；（3）求PA PC ⋅ 的取值范围.【答案】（1）1,8m n =-=；（2）5-；（3）[8,10]-.【解析】【分析】（1）利用向量的坐标表示，再结合向量垂直的坐标表示、向量共线的坐标表示，列出方程组求解即得.（2）由（1）求出,PA PC的坐标，利用向量夹角公式计算即得.（3）用λ表示,PA PC 的坐标，利用数量积的坐标表示建立函数关系，求出函数值域即得.【小问1详解】依题意，(1,2),(2,2),(3,4)AB m AC n BC n m =-=-=-- ，(2,2)OA = ，由AB AC ⊥ ，得22(2)0n m -+-=，即26m n +=，由//BC OA，得2(3)2(4)n m -=-，即7m n +=，联立解得1,8m n =-=，所以1,8m n =-=.【小问2详解】由（1）知，(3,1),(8,4),(5,5)B C BC -= ，由PC BC λ= ，35λ=，得(3,3)PC = ，(6,2)CA =-- ，(3,3)(6,2)(3,1)PA PC CA =+=+--=- ，所以cos cos ,||||PA PC APC PA PC PA PC ⋅∠=〈〉==- 【小问3详解】由（2）知，(5,5)PC BC λλλ== ，(5,5)(6,2)(56,52)PA PC CA λλλλ=+=+--=-- ，则225(56)5(52)2(5)852(52)8PA PC λλλλλλλ⋅=-+-=-⋅=-- ，由P 为线段BC 上一点，且PC BC λ=，得01λ≤≤，当2=5λ时，min ()8PA PC ⋅=- ，当1λ=时，max ()10PA PC ⋅= ，所以PA PC ⋅ 的取值范围[8,10]-.19.已知函数()sin(2)cos 2f x x x ϕ=++，其中π||2ϕ<.再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使()f x 存在，并完成下列两个问题.（1）求ϕ的值；（2）若函数()f x 在区间[]0,m 上的取值范围是1[,1]2，求m 的取值范围.条件①π(16f =-；条件②π12-是()f x 的一个零点；条件③(0)3π(f f =.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，π6ϕ=-；（2）ππ63m ≤≤.【解析】【分析】（1）根据选择的条件代入计算，结合角的范围即可利用特殊角的三角函数值求解π6ϕ=-.（2）由（1）求出并化简函数()f x ，再求出相位的取值范围，结合已知及正弦函数的性质，列出不等式求解即得.【小问1详解】选条件①，ππππ3(sin()cos 1sin()63332f ϕϕ=++=-⇒+=-无意义，即此时()f x 不存在，则不能选①.选条件②，πππ()sin()cos()01266f ϕ-=-++-=，则πsin()62ϕ-=-，而ππ22ϕ-<<，即2πππ363ϕ-<-<，则ππ63ϕ-=-，所以π6ϕ=-.选条件③，2π2πsin cos0sin()cos 33ϕϕ+=++，即11sin 1sin 22ϕϕϕ+=--，整理得33sin cos 222ϕϕ-=-，即πsin()62ϕ-=-，而ππ22ϕ-<<，即2πππ363ϕ-<-<，则ππ63ϕ-=-，所以π6ϕ=-.【小问2详解】由（1）知，1()sin(2cos 2sin 2cos 2sin(2π622π6f x x x x x x =-+=+=+，当[0,]x m ∈时，πππ2[,2666x m +∈+，由()f x 在[]0,m 上的取值范围是1[,1]2，得ππ5π2662m +≤≤，解得ππ63m ≤≤，所以m 的取值范围是ππ63m ≤≤.20.如图是两个齿轮传动的示意图，已知上、下两个齿轮的半径分别为1和2，两齿轮中心2O ，1O 在同一竖直线上，且125O O =，标记初始位置A 点为下齿轮的最右端，B 点为上齿轮的最下端，以下齿轮中心1O 为坐标原点，如图建立平面直角坐标系xOy ，已知下齿轮以每秒1弧度的速度逆时针旋转，并同时带动上齿轮转动，转动过程中A ，B 两点的纵坐标分别为1y ，2y 、转动时间为t 秒（0t ≥）.（1）当1t =时，求点B 绕2O 转动的弧度数；（2）分别写出1y ，2y 关于转动时间t 的函数表达式，并求当t 满足什么条件时，2 5.5y ≥；（3）求21y y -的最小值.【答案】（1）2（2）12sin y t =，2π5sin 22y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，t 满足π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭（3）72【解析】【分析】（1）由点A 与点B 处转过的弧长相等，求点B 绕2O 转动的弧度数；（2）由分别点A 与点B 处转过的圆心角，结合正弦函数，写出1y ，2y 关于转动时间t 的函数表达式，并解不等式2 5.5y ≥；（3）利用诱导公式和倍角公式化简21y y -，结合二次函数的性质求最小值.【小问1详解】当1t =时，点A 绕1O 转动1弧度，点A 与点B 处转过的弧长相等，则点B 绕2O 转动的弧度数为1221⨯=.【小问2详解】转动时间为t 秒，点A 绕1O 转动t 弧度，点B 绕2O 转动2t 弧度，12sin y t =，2π5sin 22y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当2π5sin 2 5.52y t ⎛⎫=+-≥ ⎪⎝⎭，ππ5π2π22π626k t k +≤-≤+，由0t ≥解得π2πππ33k t k +≤≤+，N k ∈.则满足条件的t 的集合为π2πππ,N 33t k t k k ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】2221π175sin 22sin 5cos 22sin 2sin 2sin 42sin 222y y t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--=--=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当1sin 2t =时，21y y -有最小值72.21.对于定义在R 上的函数()y f x =，如果存在一组常数1t ，2t ，…，k t （k 为正整数，且120k t t t =<<< ），使得x ∀∈R ，12((0))()k f x t f x t f x t ++++++= ，则称函数()f x 为“k 阶零和函数”.（1）若函数11()x f x =+，2()sin f x x =，请直接写出1()f x ，2()f x 是否为“2阶零和函数”；（2）判断“()f x 为2阶零和函数”是“()f x 为周期函数”的什么条件（用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答），并证明你的结论；（3）判断下列函数是否为“3阶零和函数”，并说明理由.3cos 2cos5cos8()f x x x x =++，4cos 2cos3cos 4()f x x x x =++.【答案】（1）1()f x 不是，2()f x 是；（2）充分不必要条件，证明见解析；（3）3()f x 是，4()f x 不是，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用恒等式判断1()f x ，取120,πt t ==计算，结合定义判断2()f x .（2）利用定义求出周期说明充分性，举例说明必要性不成立推理即得.（3）取1232π4π0,,33t t t ===计算，结合定义判断3()f x ；利用反证法推理导出矛盾判断4()f x .【小问1详解】函数11()x f x =+，()()1112121211220f x t f x t x t x t x t t +++=+++++=+++=对一切实数不成立，所以函数11()x f x =+不是“2阶零和函数”；取120,πt t ==，x ∀∈R ，2212sin sin(π)sin sin 0()()x x f t x t x x x f ++=-++=+=，所以2()sin f x x =是“2阶零和函数”.【小问2详解】“()f x 为2阶零和函数”是“()f x 为周期函数”的充分不必要条件.证明如下：若()f x 为2阶零和函数，则存在常数20t >，使得x ∀∈R ，2()()0x f x t f ++=，即2()()f x t x f +=-，因此22(2)()()f x t x t f x f +=-+=，即函数()f x 为周期函数；反之函数()f x 为周期函数，如()|sin |1f x x =+，对x ∀∈R ，(π)|sin(π)|1|sin |1()x f x x f x +=++=+=，()f x 为周期函数，对任意正常数2t ，222()()|sin |1|sin()|1|sin ||sin()|22x f x t x x t f x x t ++=++++=+++≥，因此函数()f x 不是2阶零和函数，所以“()f x 为2阶零和函数”是“()f x 为周期函数”的充分不必要条件.【小问3详解】函数3()f x 是“3阶零和函数”，取1232π4π0,,33t t t ===，x ∀∈R ，313233cos 2c )os5cos ()()(8f xx t f x t x f x t x +++++++=2π2π2π4π4π4π)))c 333333x x x x x x ++++++++++++2π2π2πcos 2cos5cos8cos(2)cos(5)cos(8)333x x x x x x =+++-+-+-2π2π2πcos(2)cos(5)cos(80333x x x ++++++=，所以函数3()f x 是“3阶零和函数”；函数4()f x 不是“3阶零和函数”，假定函数4()f x 是“3阶零和函数”，则存在常数1230t t t =<<，x ∀∈R ，414243()()()0f x t f x t f x t +++++=，即222)c (22)(33)(4os 2cos3cos 44cos cos cos x x t x x t x t x ++++++++333(22)(33)(44)0cos cos cos x t x t x t +++++=+对x ∀∈R 成立，则232323cos 2cos(22)cos(22)0cos3cos(33)cos(33)0cos 4cos(44)cos(44)0x x t x t x x t x t x x t x t ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩恒成立，由23(22)(22)0cos 2cos cos x t x t x +++=+，得2323(cos 2cos 21)cos 2(sin 2sin 2)sin 20t t x t t x ++-+=，因此2323cos 2cos 21sin 2sin 20t t t t +=-⎧⎨+=⎩，平方相加整理得321cos 2()2t t -=-，则3211ππ,N 3t t k k -=+∈或32112ππ,N 3t t k k -=+∈，由23(33)(33)0cos3cos cos x t x t x ++++=，同理得321cos3()2t t -=-，于是23222π2π,N 93k t t k -=+∈或23222π4π,N 93k t t k -=+∈，则12,N k k ∈，212ππ2ππ393k k +=+或212π2π2ππ393k k +=+或212ππ4ππ393k k +=+或212π2π4ππ393k k +=+，即12,N k k ∈，211233k k -=或214233k k -=或121323k k -=或212233k k -=，显然不成立，因此不存在常数1230t t t =<<，使得x ∀∈R ，414243()()()0f x t f x t f x t +++++=，所以函数4()f x 不是“3阶零和函数”.【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.。
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20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：北大附中高一年级下学期数学期中考试班级：______ 姓名：______ 成绩：_______一、选择题：在下列各题的四个被选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案前的字母添在答题卡中。
（每题3分，共36分）1.求值=-⋅-+-⋅-)617()49sin()5sec()314(ππππctg tg （ ）(A) 66332--(B) 2632+-(C)2632--(D)66332+-2．把曲线y=sinx 向右平移4π个单位，再把各点横坐标缩短到原来的31，所得的图像的函数式是（ ）（A ）)43sin(π-=x y （B ）)433sin(π-=x y（C ） )43sin(π+=x y （D ）)433sin(π+=x y3.函数y=Asin (ωx+φ)在同一周期内， 当12π=x 时，有最大值23， 当127π=x 时，有最小值-23，则函数的解析式为（ ）。
（A ）)32sin(32π+=x y（B ）)3sin(32π+=x y（C ）)32sin(23π+=x y（D ）)3sin(23π+=x y4. 当ππ≤≤-x 时，使函数)42cos(21π-=x y 取得最大值的x 的集合是（）（A ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧8π（B ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-8,87ππ（C ）⎭⎬⎫⎩⎨⎧-2,2ππ（D ）以上答案都不正确5. 已知3101lg )180sin(=+︒α，则)270(︒-αtg 的值是（ ）（A ）22-和 22（B ） 42- 和42（C ）22-（D ）42-6.如果35cos log 611cos log ππa a <成立，则a 的取值范围是（ ）（A ）a=10 （B ） a>1 （C ）0<a<1 （D ）a>27. 如图，是周期为2π的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成（ ）。
（A ）sin (1-x) （B ）cos (1-x)（C ）sin (x-1) （D ）cos (x-1)8.已知正四棱柱1111D C B A ABCD -底面边长为1，侧棱长为2，E 为1BB 的中点，则异面直线1AD 与E A 1所成角的余弦值为 （ ）（A ）52（B ） 1010（C ）510（D ）09.正四棱台的上底面面积为2，中截面面积为4，则下底边长为（ ）（Ａ）6 （Ｂ） 22-（Ｃ）24- （Ｄ）23１０. 正四棱台的两个相邻侧面所成的二面角的平面角一定是（ ）（Ａ）锐角 （Ｂ）直角（Ｃ）钝角 （Ｄ）不能确定11.正六棱柱底面边长为2，最长的一条对角线长为52，则它的全面积为（ ）（A ）)433(4+（B ）)23(12+（C ）)132(12+（D ）)83(3+12 . 正四面体ABCD 的棱长为a,E 、F 、G 分别是棱AB 、AC 、CD 的中点，截面EFG 交棱BD 于H ，则点A 到截面EFGH 的距离是（ ）（A ）a21 （B ）a 22（Ｃ）a 41 （Ｄ）a 42二、填空题（每空３分，共１２分）１３.一个正六棱台的斜高为cm 33，两底面边长差为10cm ，它的全面积为23480cm ，那么它的两底面边长分别为_________。
14．若函数f(x)是周期为５的偶数，且f(2)=-3，则]3)7(cos[ππ+-f 的值是_________,]4)12(3sin[ππ-f 的值是_________. 15.函数ctgx tgx x x x x y ⋅++=2cos 2cos sin sin 的定义域是_______,值域是__________。
１６. 如图所示的几何体，是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么截得的图形可能是图①②③④中的________(把可能的图的序号都填号)三、解答题：17.已知33)6cos(=-a π，求)6(sin )65cos(2ππ--+a a 的值。
18.求证：ααααααcsc sec cos sin 44⋅=--ctg tg19 . 已知1sec cos sin sin 2222=⋅+⋅C A B A ， 求证:C tg B A tg 222cos =⋅ 20.平行四边形ABCD 中，∠A=60°，AD=a ，AB=2a,，M 、N 分别是CD 、AB 的中点，以MN 为轴，将四边形ADMN 沿MN 翻折，当二面角A —MN —B 为60°时，求三棱柱ABN —CDM 的侧面积。
21.作出函数21)32sin(23+-=πx y 的简图，并说明它是由正弦曲线y=sinx 经过怎样的变化而得到的。
22.已知关于x 的方程0)13(22=++-m x x 的两根为θsin 和θcos ，)2,0(πθ∈。
求（1）θθθθtg ctg -+-1cos 1sin 的值；（2）m 的值；（3）方程的两个根及此时的θ值。
23.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AC=BC=1，∠ACB=90°，21=AA ，D 是11B A 中点，过D 作B A DE 1⊥，垂足为E 。
（1）求证：B A E C 11⊥；（2）平面ABC 与平面11BC A 所成二面角的正切值；（3）求点1B 到平面11BC A 的距离。
北大附中高一年级下学期数学期中考试参考答案一、1.B2.A3.C4.B5.A6.C7.A8.C9.C 10.C 11.B 12.D二、 13．4，1414．21-，22。
15．⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈≠z k R x k x x ,,41|π{}3,3,1,1-- 16．①、③、④三、17．解∵παπαπ=++-656 ∴)6(65αππαπ--=+ ∴原式)6(sin )]6(cos[2απαππ----=)]6(cos 1[)6cos(2απαπ-----=)6(cos 1)6cos(2απαπ-+---=33231133+-=+--=18．证：左边)cos )(sin cos (sin sin cos cos sin 2222αααααααα-+-= 右边===--=ααααααααααcsc sec cos sin 1cos sin sin cos cos sin 2222∴原等式成立19．证：由1sec cos sin sin 2222=⋅+⋅C A B A得1)1(cos sin sin 2222=++C tg A B A 两边同除以A 2cos （0cos 2≠A ，0cos 2=A 时此题不考虑）得A A C tgB A A 222222sec cos 11sin cos sin ==++⋅，∴1sec sin 2222-=+A C tg B A tg A tg C tg B A tg 2222sin =+，∴B A tg A tgC tg 2222sin -=∴BAtgBAtgCtg22222cos)sin1(=-=原等式成立。
20．解：在平行四边形ABCD中，连结BD交MN于O。
连接DN，BM，∵AB=2AD,∴AD=AN。
又∠A=60°∴△AND为正三角形∴DN=AD=BN,∴BNDM为菱形。
∴BD⊥MN，折叠后，必有BO⊥MN，DO⊥MN，∴∠DOB为二面角A-MN-B的平面角，∴∠BOD=60°在△ODM中∠DOM=90°，DM=a，∠DMO=60°∴OBaDO==23。
∴在正三角形OBD中，a BO23=又MN⊥平面OBD，∴MN⊥BD，而MNBC//，∴BC⊥BD，∠DBC=90°。
BC=a ∴24321aBCBDSDBC=⋅=∆，∴2232aSSBDCABCD==∆∆。
∴2360sin aABADSSSABCDBMNCANMD=⋅==+◊◊◊∴222233233aaaS=+=侧x6π125π128ππ1211π121432π-x2ππ23π2πy21 221-121把曲线y=sinx上各点的横坐标压缩到原来的21，然后把曲线向右平移6π，再把各点的纵坐标扩大到原来的23倍，最后把曲线向上平移21个单位，得21)32sin(23+-=πxy图象22．解：由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2cossin213cossinmθθθθ(1)原式θθθθθθsincoscoscossinsin22-+-=213cossincossincossin22+=+=--=θθθθθθ(2)∵4324)sin(cos2+=+θθ，∴232cos sin 21+=+θθ 即232221+=⋅+m ∴23=m 。
（3）当23=m 时，原方程为023)13(22=++-x x 即03)13(242=++-x x ，即211=x 或232=x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==21cos 23sin θθ 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==23cos 21sin θθ ∵θ∈（0，2π） ∴3πθ=或6πθ=23．（1）证：在直棱柱111C B A ABC -中，∵AC=BC ， ∴C B C A 111=，连D C 1，∵D 是11B A 中点。
∴111B A D C ⊥，又∵平面⊥111C B A 平面B B AA 11， ∴⊥D C 1平面B B AA 11，于是DE 是E C 1在平面B B AA 11上的射影， 又∵B A DE 1⊥，∴B A E C 11⊥。
（2）∵上、下底面平行，∴平面ABC 与平面11BC A 所成的二面角就是二面角111B C A B -- ∵⊥1BB 底面111C B A ，1111C A C B ⊥。
∴111C A BC ⊥，于是11B BC ∠即为所求二面角的平面角。
在C BB Rt 1∆中，211111==∠C B BB B BC tg 。
（3）作11BC F B ⊥垂足为F ，∵⊥11C A 平面C C BB 11，∴F B C A 111⊥。
又∵11BC F B ⊥，∴⊥F B 1平面11BC A∴F B 1的长，即为点1B 到平面11BC A 的距离。
在C BB Rt 1∆中，51=BC ，∴5521=F B ， ∴点1B 到平面11BC A 的距离为552。