材料力学课件第12章
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材料力学课件 第十二章
1.受力分析：沿圆环直径将它分成两部分，研究其上半部分；由已 知条件可知, 环内各点的向心加速度 ：
D 2 a n r 2 2
沿环轴线均匀分布的惯性力集度为：
A AD 2 qd an g 2g
方向与 a n相反。
2.平衡条件： 由：
y 0 2 N a q d sin
例如：把气缸盖螺栓由短螺栓变成长螺栓就是这个原故。
注意：上面的论述是对等截面杆而言的，不能用于变截面杆的 情况。
三、变截面杆同等截面杆的比较：
如图所示：一变截面杆，一等截面杆，同样受到重量 为Q，速度为v的重物的冲击，试比较它们的动应力。
A1 A2 A1
v
Q
s
L
A2
v
Q
L
根据机械能守恒定律，可求得两杆的冲击载荷分别为：
目录
§12-2 构件作匀加速直线运动 或匀速 转动时的应力计算
一、起重机匀加速吊杆问题（或：杆件匀加速运动问题）
a L m X n
原始数据：杆件的长度：L 横截面面积：A 材料的比重： 加 速 度 ：a
解：采用动静法（理论力学中的达朗伯原理）
1.受力分析：如图所示，在距下端为x的横截面mn处 将杆件分成两部分，并研究截面以下的 部分。
0
D d q d D 2
q d D AD 2 2 Na 2 4g N a 2 D 2 2 v 2 a A 4g g
(12-1)
式中： 讨论：
D v 2
——圆环轴线上的点的线速度
1． d 即：
d
v 2
g
(12-2)
(a)
(b)
(2) 由于冲击物体的初速度和最终速度都等于零，所以没有 动能变化。
材料力学课件(哈工大)第12章杆件的强度与刚度计算
12-1 强度计算与刚度计算1）构件的失效模式若载荷过大，超出了构件的承载能力，构件将失去某些功能而不能正常工作，称为构件失效。
工程中，构件的失效模式主要有：•强度失效——构件的材料断裂或屈服。
•刚度失效——构件的弹性变形过大，超出规定范围。
•疲劳失效——构件在交变应力作用下的强度失效。
•稳定失效——构件丧失了原有的平衡形态。
本章只研究杆件强度失效与刚度失效的计算问题。
12-1 强度计算与刚度计算首先根据内力分析方法，对受力杆件进行内力分析（画出内力图），确定可能最先发生强度失效的横截面（危险截面）。
[]()4 , 3 , 2 , 1 之一=≤i ri σσ根据强度条件，即上面不等式，强度计算可解决三类问题：•校核强度•设计截面•计算许可载荷1）构件的失效模式2）杆件的强度计算其次根据杆件横截面上应力分析方法，确定危险截面上可能最先发生强度失效的点（危险点），并确定出危险点的应力状态。
最后根据材料性能（脆性或塑性）和应力状态，判断危险点的强度失效形式（断裂或屈服），选择相应的强度理论，建立强度条件：12-1 强度计算与刚度计算3）杆件的刚度计算除了要求满足强度条件之外，对其刚度也要有一定要求。
即要求工作时杆件的变形或某一截面的位移（最大位移或指定截面处的位移）不能超过规定的数值，即∆为计算得到的变形或位移；[∆]为许用（即人为规定的）变形或位移。
对轴向拉压杆，∆是指轴向变形或位移u ；对受扭的杆件，∆是指两指定截面的相对扭转角φ或单位长度扭转角ϕ；对于梁，∆是指挠度v 或转角θ。
根据刚度条件，即上面不等式，刚度计算可解决三类问题：•校核刚度•设计截面•计算许可载荷][ΔΔ≤刚度条件1）构件的失效模式2）杆件的强度计算12-2 轴向拉压杆件的强度计算轴向拉压杆横截面上正应力是均匀分布的，各点均处于单向应力状态。
因此，无论选用哪个强度理论，强度条件表达式均演化为][m axσσ≤例1螺旋压力机的立柱如图所示。
材料力学第十二章
A
i
写成
r Ai Ai
i
（12-10）
例 12-1 设曲杆的截面为梯形（见图 12-6），尺寸 b1 40 mm ，b2 60 mm ， h 140 mm ， R1 260 mm ， R2 120 mm 。试确定曲杆中性层的曲率半径 r ， 并计算截面对中性轴的静矩 S 。若截面上的弯矩 M 18.53 kN m ，试求最大
与 M 对应的弯曲正应力已于例 12-1 中算出。将弯曲正应力与均布的正应
力 FN 叠加，得出截面内侧边缘处的最大拉应力为 A
l
M (R2 r) SR2
FN A
143.5
100 103 7 000 106
MPa
158 MPa
截面外侧边缘处的最大压应力为
y
M (R1 r) SR1
FN A
第四节 曲杆的强度计算
图 12-12（a）所示曲杆的纵向对称面内作用载荷时，将在其横截面上引起内 力，这些内力包括弯矩、轴力和剪力。用截面 m m 将曲杆截开，取出右半部分来
研究，如图 12-12（b）所示，把截 面 m m 上的内力和曲杆右半部 分上的外力分别向 m m 截面的 法线方向和切线方向投影。再对截 面的形心取矩，由平衡条件不难求 得
设 R0 为轴线的曲率半径，e 为截面形心到中性轴的距离，由图 12-2 可 知
e R0 r 将式（12-1）代入式（d），得
M y
E (d) d
yz dA 0
A
由于 y 轴是横截面的对称轴，有
（12-3）
yz
A dA 0
所以式（d）便自动满足了。
将式（12-1）代入式（e），得
M
A
图12-9
材料力学 (12)
π EI Fcr 2 ( 2l )
2
π EI Fcr 2 (0.7l )
C— 挠曲 线拐点 2
π 2 EI Fcr 2 (0.5l )
其它约束情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI Fcr 2 ( l )
上式称为细长压杆临界压力的一般形式
欧拉公式
—长度系数（或约束系数）。 l —相当长度
记
2E 2 p 或写成
2E p p
2E p
p
则 欧拉公式的适用范围：
满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆
对A3钢，当取E=206GPa，σp=200MPa,则
2 2E 206 10 9 p 100 6 p 200 10
M w EI
F w w EI
w
F
w
F w w0 EI F 2 2 w k w0 令k , EI
（3）微分方程的解：w
Asin kx B cos kx
（4）确定积分常数：由边界条件 x=0，w=0；x=l，w=0 确定
由x 0, w 0,得B 0,
2 EImin Fcr ( l )2
(2 500) 2 76.8 103 (N) 76.8(kN)
l i
i I A
≤ 2，粗短杆
2E 1 P
a s 2 b
Fcr cr A
例 F
已知：压杆为Q235钢，l=0.5m，E=200GPa，求细长 压杆的临界压力。
解：I min I y 3.89cm 4 3.89104 mm 4
y0 x x1 x0 z0 x0 x x1 y0
所以，只有压杆的长细比λ≥100时，才能应用欧拉公式计算其 临界压力。
材料力学12
max m min
r
min 0 max
max
2
a m
a
t
3）静循环
m max min
min r 1 max
t
a 0
m max min
§12-2 循环特性、平均应力和应力幅度 二、几种特殊循环应力 1）对称循环应力
max1 max 2
r
N0—循环基数
S-N曲线
r—材料持久限
r—循环特性 1 —对称循环持久极限应力
N
N0 107
—钢材的循环基数
N1 N2
N0
钢材达到 N0 107 而未疲劳的 最大应力值为钢材的疲劳极限
§12-3 疲劳极限
二、疲劳极限(材料持久极限) 3）“条件”持久极限 有色金属没有明显趋于水平直线部分，通常规定循 环基数为 N0 108 对应且不引起疲劳的最大应力。
1）对称循环应力
max
min
M y Iz
max
M Wz
§12-2 循环特性、平均应力和应力幅度 二、几种特殊循环应力
1）对称循环应力
min r 1 max
max m min
a max
m 0
t
a
T
§12-2 循环特性、平均应力和应力幅度 二、几种特殊循环应力 2）脉动循环应力
max2 b 60%
. . . .
N1
N2
. . . .
. .
. .
max n
. .
Nn
第n根试件
§12-3 疲劳极限
一、疲劳试验 光滑小试件的弯曲疲劳试验 max1 max 2 2）疲劳试件 3）疲劳试验 一组光滑小试件（6~10根） 第一根试件 第二根试件
第十二章-力法及正则方程(材料力学课件)
a2 2
2a
3
2a 3 3EI
1P
1 EI
2 3
qa 2 8
a
a
2
qa 4 24 EI
由 11 X1
1P
0得
X1
qa 16
XB
qa 16
,
YB
9qa 16
X
A
qa 16
,
YA
7qa 16
等截面梁的受力情况如图所示。试求Ａ、 Ｂ、Ｃ三处的约束力。
CL12TU85
M10 图
CL12TU83
11
1 EI
l 1
l EI
M10 图
1P
1 EI
Pl 2 8
1
Pl 2 8EI
由 11 X1
1P
0得X 1
Pl 8
MP图
vC
Pl 3 48EI
Pl l 2 2 8
16EI
Pl 3 192EI
求图示刚架的支反力。
CL12TU84
M10 图
MP图
11
2 EI
CL12TU86
解：载荷关于对角线AC 和BD反对称。
由平衡条件可得：
Q P cos45 2 P 2
M max
Pa 2
M max 发生在外载荷P作用点处
0 j
实际载荷引起的弯矩为M P
则： ii
l
M
0 i
M
0 i
EI
dx，
i j
l
M
0 i
M
0 j
EI
dx
i P
l
M
0 i
MP
EI
dx
平面刚架受力如图，各杆 EI=常数。试求 C处的约束力、支座反力。
压杆稳定《材料力学》ch-12课件
实验设备与步骤
实验设备：压杆实验装置、压力表、砝码、各 种不同材料和截面形状的细长杆。
01
1. 准备不同材料和截面形状的细长杆，将 其固定在压杆实验装置上；
03
02
实验步骤
04
2. 在杆的一端施加砝码，逐渐增加压力， 观察压杆在不同压力下的失稳现象；
3. 记录不同条件下（如不同材料、截面形 状、长度、直径等）压杆的失稳载荷；
析。
欧拉公式与临界应力
欧拉公式是计算细长压杆临界应力的公式，其形式为： Pcr = π²EI/L²。
输标02入题
其中，Pcr是临界力，E是弹性模量，I是压杆横截面的 惯性矩，L是压杆长度。
01
03
临界应力是衡量压杆稳定性的重要指标，当压杆所受 应力小于临界应力时，压杆处于稳定状态；当所受应
力大于临界应力时，压杆将发生屈曲失稳。
04
通过欧拉公式可以计算出不同长度和形状的细长压杆 的临界应力。
不同长度压杆的稳定性分析
对于不同长度的压杆，其稳定性分析方法有所不同。
对于细长压杆，可以采用欧拉公式进行计算；对于短粗杆，需要考虑剪切变形和弯 曲变形的影响，可以采用能量法或有限元法进行分析。
在进行稳定性分析时，需要考虑压杆的实际工作条件和载荷情况，以确定合理的分 析方法和参数。
起重机的吊臂、支腿等部位需要承受 较大的压力和弯矩，压杆稳定问题直 接关系到设备的安全性和稳定性。
发动机支架
发动机支架需要承受较大的振动和压 力，压杆稳定问题对于保证发动机的 正常运行至关重要。
其他领域的压杆稳定问题
航空航天
飞机和火箭的结构需要承受较大的气动压力和加速度，压杆稳定问题直接关系到飞行器的安全性和稳定性。
材料力学 第12章
集中质量势能
由静态量与冲击动态量之关系 得杆件变形能为 由能量守恒 于是冲击应力为
静载Q作用于C端，可求得C点的静位移 最大静应力发生在B截面，其表达式为 综合以上结果，可求出B截面处的最大冲击应力为
P=5kN
1m
6m
已知
木柱：E＝10GPa 橡皮：E＝8MPa
计算： 1. 木柱最大正应力？ 2. 在木柱上端垫20mm的橡皮 300mm ，木柱最大正应力为多少？
§12-3 构件受冲击载荷作用时的动应力计算
1. 工程中的冲击问题 锻锤与锻件的撞击，重锤打桩，用铆钉枪进行铆接，高速转 动的飞轮突然刹车等均为冲击问题，其特点是冲击物在极短 瞬间速度剧变为零，被冲击物在此瞬间经受很大的 和
2. 求解冲击问题的能量法
基本假定 ① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，二者合为一个运动系统； ③ 构件的质量（惯性）与冲击物相比很小，可略去不计，冲击应力 瞬时传遍整个构件； ④ 材料服从虎克定律； ⑤ 冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去不计。
【解】以叶根为起始点建坐标x。设处横截面的面积为A(x) ，由 于横截面面积沿轴线按线性规律变化，故有：
这个表达式满足 处任取一微段 ，有
该点向心加速度为 惯性力为
截面以上部分杆件的惯性力是
设作用在截面上的轴力为 Nx，由平衡方程
最大轴力发生在叶根横截面上
处任取一微段 ，有 积分可求出叶片的总伸长
解得 从而可求得钢索横截面上的动应力为
其中
是P作为静载荷作用时钢索横 截面上的应力
是动荷系数
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 等角速转动构件内的动应力分析
【例13-2】 图中一平均直径为D，壁厚为t的薄壁圆环，绕通过 其圆心且垂直于环平面的轴作均速转动。已知环的角速度 ， 环的横截面积A和材料的容重 ，求此环横截面上的正应力
由静态量与冲击动态量之关系 得杆件变形能为 由能量守恒 于是冲击应力为
静载Q作用于C端，可求得C点的静位移 最大静应力发生在B截面，其表达式为 综合以上结果，可求出B截面处的最大冲击应力为
P=5kN
1m
6m
已知
木柱：E＝10GPa 橡皮：E＝8MPa
计算： 1. 木柱最大正应力？ 2. 在木柱上端垫20mm的橡皮 300mm ，木柱最大正应力为多少？
§12-3 构件受冲击载荷作用时的动应力计算
1. 工程中的冲击问题 锻锤与锻件的撞击，重锤打桩，用铆钉枪进行铆接，高速转 动的飞轮突然刹车等均为冲击问题，其特点是冲击物在极短 瞬间速度剧变为零，被冲击物在此瞬间经受很大的 和
2. 求解冲击问题的能量法
基本假定 ① 不计冲击物的变形；
② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回弹，二者合为一个运动系统； ③ 构件的质量（惯性）与冲击物相比很小，可略去不计，冲击应力 瞬时传遍整个构件； ④ 材料服从虎克定律； ⑤ 冲击过程中，声、热等能量损耗很小，可略去不计。
【解】以叶根为起始点建坐标x。设处横截面的面积为A(x) ，由 于横截面面积沿轴线按线性规律变化，故有：
这个表达式满足 处任取一微段 ，有
该点向心加速度为 惯性力为
截面以上部分杆件的惯性力是
设作用在截面上的轴力为 Nx，由平衡方程
最大轴力发生在叶根横截面上
处任取一微段 ，有 积分可求出叶片的总伸长
解得 从而可求得钢索横截面上的动应力为
其中
是P作为静载荷作用时钢索横 截面上的应力
是动荷系数
ห้องสมุดไป่ตู้
3. 等角速转动构件内的动应力分析
【例13-2】 图中一平均直径为D，壁厚为t的薄壁圆环，绕通过 其圆心且垂直于环平面的轴作均速转动。已知环的角速度 ， 环的横截面积A和材料的容重 ，求此环横截面上的正应力
材料力学第12章
A 3qa 7
q 4qa 7
1 qa
B 3 qa2 28
1
28 qa
14
28
§12–3 对称及对称性质的应用 一、对称结构的对称变形与反对称变形
结构几何尺寸、形状，构件材料及约束条件均对称于某一 轴，则称此结构为对称结构。当对称结构受力也对称于结构对 称轴，则此结构将产生对称变形。若外力反对称于结构对称轴， 则结构将产生反对称变形。
a
②选取并去除多余约束，代以多
q
余约束反力。
③建立力法正则方程
11X112 X 21P 0 21X1 22 X 22P 0
④计算系数 ij和自由项 iP
用莫尔定理求得
B q
B
A X1 X2
12
q B B
B
x2
x2
x2
A x1
A x1 1
A x1 1
1P
1 EI
A
P
C
B
l 2
P
C
B
X1
6
B 1X1 1P 0 变形协调方程
③用能量法计算 1P 和 1X1
由莫尔定理可得(图c、d、e)
(c) A
1P
1 EI
l
l P(
2
x
l 2
)xdx
5Pl3
48EI
1
1X1 EI
l 0
X
1xxdx
X1l 3 3EI
(d) A
a 0
(
12qx22 ) a
dx2
qa4 6EI
2P
1 EI
a 0
(
12qx22 )
材料力学 第十二章 能量法精品PPT课件
应变能只与外力的最终值有关与加载过程和加载次序无关。
13
注意：
1、注意常力做功与变力做功的区别；
2、多个外力引起的同种变形能不能简单叠加而是要算出合 内力后，再用变形能公式计算；如果各外力相互独立，即引 起的变形互不相同，此时不同的变形能可以叠加。
3、功能原理只能计算构件只作 用一个力，力的作用点沿力作用 F 线方向的位移。
纯弯曲
U M e2l 2EI
T 2(x)
U
dx
l 2GIp (x)
横力弯曲
U Me2(x)dx l 2EI(x)
变形能等于内力的平方乘以构件的长度再除以2倍的刚 度，若内力或刚度为变量时，将长度取为微量再积分
5
4、组合变形的变形能
截面上存在几种内力，力独立作用原理成立，各个内 力只对其相应的位移做功。
端B的挠度。
F
解：
A
B
M(x) F x
x l
U
M 2(x )
dx
l ( Fx)2 dx
F 2l3
2EI
0 2EI
6EI
1 W 2 F wB
Fl3 由U=W 得： w B 3 E I
7
例12-2、试求图示梁的变形能，并利用功能原理求C截面的挠度。
解：
F
U
M 2(x )
2EI
dx
A
W3
F1δB2
F 1F 2a EA
所以应变能为：
U 1 W W1W2W3 F12aF22(ab)F1F2a 2EA 2Eb C
W1
F
2 1
a
2EA
F2
W2
F22(a b) 2EA
12
(精品)材料力学(全套752页PPT课件)
Page46
§1-5 应变
构件受外力时单 元体(微体)会产 生变形
棱边长度改变
棱边夹角改变
b’ b
a
b b’
a
用正应变(normal strain)和切应变(shearing strain) 来描述微体的变形
Page47
棱边长度改变
ab ab ab ab线段的平均正应变
ab ab
lim ab a点沿ab方向的正应变
高压电线塔
毁坏的高压电线塔
Page14
码头吊塔
Page15
单梁式导弹翼面 1－辅助梁；2－翼肋；3－桁条；4－蒙皮；5－副翼；6－后墙； 7－翼梁；8－主接头；9－辅助接头
Page16
➢ 材料力学的基本假设 材料力学研究材料的宏观力学行为 材料力学主要研究钢材等金属材料
关于材料的基本假设： 连续性假设：认为材料无空隙地充满于整个构件。
ab0 ab
a
b b’
棱边夹角改变
c’ c
直角bac的改变量——直角bac的切应变
tan
a
b
Page48
§1-6 胡克定律
应力：正应力，切应力 应变：正应变，切应变
➢ 胡克定律(Hooke’s law) 单向受力
纯剪切
b’ b
切变模量
E
G
弹性(杨氏)模量 a
Page49
思考题：求a, b, c面上的切应力，并标明方向。 a b c
胡克的弹性实验装置
1678年：
发现“胡克定律”
雅各布.伯努利，马略特：
得出了有关梁、柱性能的 基础知识，并研究了材料的 强度性能与其它力学性能。
库伦：
修正了伽利略、马略特关 于梁理论中的错误，得到了 梁的弯曲正应力和圆杆扭转 切应力的正确结果
材料力学 第十二章 压杆稳定
P ≤ Pcr
(1) P ≤ Pcr
干扰力去掉后， 干扰力去掉后，杆件由微小弯曲回到 直线位置，恢复原有的平衡状态，称压杆 直线位置，恢复原有的平衡状态， 稳定平衡。 直线状态的平衡是稳定平衡 直线状态的平衡是稳定平衡。
干扰力
P ≥ Pcr
P = Pcr
干扰力
干扰力
干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置， (2) P ≥ Pcr ; 干扰力去掉后，杆件不能回到直线位置，而继 续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡 不稳定平衡。 续弯曲失去承载能力，称压杆直线状态的平衡是不稳定平衡。 干扰力去掉后， (3) P = Pcr ; 干扰力去掉后，杆件在干扰力作用下的微弯位 置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡 随遇平衡。 置保持平衡，不再回到直线位置，称压杆是随遇平衡。
40 1.5 1.5m 100 z y
【解】
Iy
I = I min = I y
100 × 403 20 i= = = mm A 12 × 100 × 40 3 µ l 0.7 ×1.5 ×103 × 3 λ= = = 90.9 i 20
λP = π
E
σP
70 ×103 =π × = 62.8 175
σP=200MPa。试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。 试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度 试求可用欧拉公式计算临界力时杆的长度。
P 【解】 λ P = π
µl
E
σP
200 ×103 =π × = 99.3 200
A π d 2 / 4 4l = µl =l = λ= i I π d 4 / 64 d
l
l
长度系数
µ =1
µ=2
材料力学第12章
第12章 动载荷与疲劳强度概述
旋转构件的受力分析与动应力计算
TSINGHUA UNIVERSITY
考察以等角速度旋转的飞轮。飞轮材料密 度为，轮缘平均半径为R，轮缘部分的横截面 积为A。 设计轮缘部分的截面尺寸时，为简 单起见，可以不考虑轮辐的影响，从而 将飞轮简化为平均半径等于R的圆环。 由于飞轮作等角速度转动，其上各点均只 有向心加速度，故惯性力均沿着半径方向、背 向旋转中心，且为沿圆周方向连续均匀分布力。
弹性杆件上的冲击载荷与冲击应力计算
由于冲击过程中，构件上的应力和变形分布比较复杂，因 此，精确地计算冲击载荷，以及被冲击构件中由冲击载荷引起 的应力和变形，是很困难的。工程中大都采用简化计算方法， 它以如下假设为前提：
假设冲击物的变形可以忽略不计；从开始冲击到冲击产 生最大位移时，冲击物与被冲击构件一起运动，而不发生回弹。 忽略被冲击构件的质量，认为冲击载荷引起的应力和变 形，在冲击瞬时遍及被冲击构件；并假设被冲击构件仍处在弹 性范围内。 假设冲击过程中没有其它形式的能量转换，机械能守恒 定律仍成立。
TSINGHUA UNIVERSITY
具有一定速度的运动物体，向着静止的构件冲击时，冲 击物的速度在很短的时间内发生了很大变化，即：冲击物得 到了很大的负值加速度。这表明，冲击物受到与其运动方向 相反的很大的力作用。同时，冲击物也将很大的力施加于被 冲击的构件上，这种力工程上称为 “冲击力”或“冲击载 荷”（impact load）。
第12章 动载荷与疲劳强度概述
旋转构件的受力分析与动应力计算
TSINGHUA UNIVERSITY
T st I
FN FT v2 A A
设计时必须使总应力满足设计准则
材料力学第十二章压杆的稳定
Pcr
=
π 2 EI (µL)2
= π 2EI
L2e
- - - - Euler formula
where : Le = µ L - - effective length;
µ - - coefficient of length concerned with boundary conditions
12-2 Limitation of the Euler Formulas and Slenderness
3. Stability
n=Pcr/Pmax=406/42=9.7 >nallow=8
Being in stable
12-3 提高压杆稳定性的措施
●尽量减小压杆长度 对于细长杆,其临界载荷与杆长平方成反比。因此,减小杆长可以显著
地提高压杆承载能力。在某些情况下,通过改变结构或增加支点可以达到 减小杆长、提高压杆承载能力的目的。例如,图a、b所示的两种桁架,不难 分析,两种桁架中的杆①、④均为压杆,但图b中的压杆承载能力要远远高 于图a中的压干杆。
Find the shortest length L for a steel
column with pinned ends having a cross-sectional area of 60
by 100 mm, for which the elastic Euler formula applies. Let
●合理选用材料
在其它条件均相同的情形下,选用弹性模量E数值大的材料,可以提高大 柔度压杆的承载能力,例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界 载荷。但是,普通碳素钢、合金钢以及高强度钢的弹性模量数值相差不 大。因此,对于细长杆,若选用高强度钢对压杆临界载荷影响甚微,意义不大, 反而造成材料的浪费。但对于粗短杆或中长杆,其临界载荷与材料的比例 极限σP,和屈服强度σYP有关,这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高。
材料力学1-12章 吉林大学 全套课件
1. 引入很多力学概念和分析方法,便于进一步的学 习更深的力学知识. 2. 得到的一般是解析解, 便于分析和应用于工程 设计。 3. 大多数工程构件都具有典型结构特征, 作为一 阶近似,可以只用考虑弹性变形或者简单的塑性 变形。 4. 基于简单实验的材料破坏准则仍然具有广泛的 实用价值。
入门
数学
物理学
桁 架
工程 实例
自行车
工程实例
汽车的传动轴
工程 实例
大桥结构中的桥面板和拉索
杆件
Байду номын сангаас
桥面板
桥墩立柱
杆件变形的基本形式
工程中的杆件受载往往都是比较复 杂的,其杆件的变形也有多种形式。但 通过对杆件的变形进行分析,就不难将 其归纳为四种基本变形。即：
1. 轴向拉伸或压缩； 2.剪切；3.扭转； 4.弯曲。
x
说 明:
F
0, FN F
1、 FN为一种内力,因过轴线,称轴力 2、轴力FN的符号规定:拉为正、压为负
“正向假定内力‛的方法
即总设所求截面上的内力为正 设对 + 受拉 结果得 设错 — 受压
由于‚代‛是任意方向的，所以可能设 错方向，由平衡方程得到的负号只能说 明力的方向设错，而不能说明其受拉还 是受压，为了不发生符号的混乱，引入 方
三．研究的内容和方法
１．外力 变形的规律
破坏的规律 内容 ２．材料的力学性质 ３．截面形状和尺寸与承载关系 １．实验手段 方法 几何方面 ２．理论分析 物理方面 静力方面
外力及其分类
F1 F2 外力：某一物体受到的其它物体对它的作用力，
包括载荷以及由于约束而产生的约束反力。 外力的分类： 按作用方式分：
塑性变形
构件的承载能力
入门
数学
物理学
桁 架
工程 实例
自行车
工程实例
汽车的传动轴
工程 实例
大桥结构中的桥面板和拉索
杆件
Байду номын сангаас
桥面板
桥墩立柱
杆件变形的基本形式
工程中的杆件受载往往都是比较复 杂的,其杆件的变形也有多种形式。但 通过对杆件的变形进行分析,就不难将 其归纳为四种基本变形。即：
1. 轴向拉伸或压缩； 2.剪切；3.扭转； 4.弯曲。
x
说 明:
F
0, FN F
1、 FN为一种内力,因过轴线,称轴力 2、轴力FN的符号规定:拉为正、压为负
“正向假定内力‛的方法
即总设所求截面上的内力为正 设对 + 受拉 结果得 设错 — 受压
由于‚代‛是任意方向的，所以可能设 错方向，由平衡方程得到的负号只能说 明力的方向设错，而不能说明其受拉还 是受压，为了不发生符号的混乱，引入 方
三．研究的内容和方法
１．外力 变形的规律
破坏的规律 内容 ２．材料的力学性质 ３．截面形状和尺寸与承载关系 １．实验手段 方法 几何方面 ２．理论分析 物理方面 静力方面
外力及其分类
F1 F2 外力：某一物体受到的其它物体对它的作用力，
包括载荷以及由于约束而产生的约束反力。 外力的分类： 按作用方式分：
塑性变形
构件的承载能力
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则动载下该点的应力为 按静载求出某点的挠度为
则动载下该点的挠度为
j d Kd j vj vd Kdv j
强度条件
d Kd j [ ]
2 匀角速度转动构件中的动应力分析
设圆环以均角速度转动，
厚度 t 远小于直径D， 截面积为A，比重为 。
ω
qd
D 2 an R 2 A D 2 A qd an 2g g
2
A D 2 qd 2g
ω
qd
取半圆，求内力
2 N d qd D 2 qd D A D 2 N d Nd 2 4g 2 2 2 D v N d 动应力 d 4g g A
D v 2
是线速度。
Nd
强度条件
v d [ ] g
3
Q / 2 4/ 2 2.5mm B 0.8 c
B
A
B c
h
A
Q B / 2
B c
y
D j y B / 2 0.29 2.5/ 2 1.54mm
2H 2 100 1 1 Kd 1 1 12.4 1.54 Dj
j max
Ql / 4 4 10 2 / 4 10.4MPa 2 6 Wz 8 12 10 / 6
2 d
2h D d D j 1 1 D j
2h D d D j 1 1 D j
记: 则:
Pd D d d Q Dj j
—— 冲击动载荷系数
Dd 2h Kd 1 1 Dj Dj
Dd Kd D j
第12章 动 载 荷
§12.1 概述
1. 动载荷
静载荷
载荷从零开始缓慢地增加到最终值。 可认为构件始终处于平衡状态。
动载荷
随时间明显变化的载荷，即具有较大 加载速率的载荷。
实验表明：
在动载荷作用下，只要应力不超过比例极限， 胡克定律仍成立，且弹性模量与静载时相同。
2. 动载荷问题分类
1) 构件有加速度时的应力计算;
用能量守恒定律进行计算。（见例12-6） 2) △ j 是结构上被冲击点的静位移。
例12-3-1 图示悬臂梁， EI， l， Q， h已知。求：B 点的挠度△B和梁内的最大正应力 dmax。 Q
解：
Ql B点静位移 D j 3EI
3
A
h l
B
6hEI 2h 1 1 Kd 1 1 Ql 3 Dj
2) 冲击问题； 3) 振动问题； 4) 交变载荷。
§12.2 简单惯性力问题
动静法 即为理论力学中介绍的达朗伯原理。 1. 匀加速平动构件中的动应力分析
例子
b
R
a
R
设杆以匀加速度a作平动， 截面积为A，比重为 。 分布载荷中，包括自重
和惯性力。 则：
qd
l
a A a A (1 ) qd A g g
V Ud
1 Q(h D d ) Pd D d 2
1 Q(h D d ) Pd D d 2 Pd D d d Dd Pd Q Q Dj j Dj 1 Dd Q( h D d ) Q D d 2 Dj
D 2D j D d 2hD j 0
a qd A (1 ) g
b
R
a
R
qd
l
加速度为零时： 加速度为a时： 记：
q j A
a qd q j (1 ) g a Kd 1 g
动荷系数
动载荷问题的求解 1) 求出动荷系数； 2) 按静载荷求解应力、应变、变形等；
3) 将所得结果乘以动荷系数 Kd 即可。 例如： 按静载求出某点的应力为
2 2 v 1 v v 1 Q Q Pd Q g Dj gD j g Ql EA
2
即:
Kd
v gD j
2
冲击问题的一般解题步骤
1) 判断是垂直冲击还是水平冲击； 2) 求 △j ；
3) 求 Kd ； 4) 计算静响应 j ；
5) 计算动响应 △d = Kd△j 、Pd = Kd Q、d = Kd j 。 注意 1) 对于不是垂直冲击或水平冲击问题，则需要应
例12-3-2 已知Q=4kN、H=10cm、b=8cm、h=12cm、
E=200GPa、c =0.8kN/mm，求梁的最大正应力。
Q
H
1m
1m
b
y
解：
Ql 4 103 23 y 0.29mm 9 3 8 48 EI 48 200 10 8 12 10 /12
§12.3 构件受冲击时的应力和变形计算
工程中的冲击问题
撞击，打桩，铆接，突然刹车等。 特点：冲击物在极短瞬间速度发生剧变，被冲 击物在此瞬间受到很大冲击力的作用。
例如：
锤重 W=4.45 N，碰撞力的峰值 Fmax=1491 N。 是重力的335倍。
求解冲击问题的基本假设
① 不计冲击物的变形（即为刚体）； ② 冲击物与构件（被冲击物）接触后无回跳， 二者合为一个运动系统；
B点动位移（挠度）
6hEI 1 1 D B Kd D j 3 Ql
Ql 3 3EI
Q
6hEI Kd 1 1 3 Ql
A
h l
B
最大静应力
最大动应力
j max
Ql W
d max K d j max
6hEI 1 1 3 Ql Ql W
3
d max Kd j max 12.4 10.4 129.4MPa
思考：若无弹簧，则梁内的最大正应力是多少？
B
A
Q B / 2
B c
y 0.29mm B 2.5mm
第12章作业
2, 3, 6, 9, 10, 11
0.5π M d I x 0.5( ) kN m 3 3
0.5 π Md kN m 3
y 刹车离合器 Mf A
M f Md
x B ω0
Md
0.5π Mn Md kN m 3 0.5 3 10 Mn 3 max 2 . 67 MPa Wn (100 103 )3 16
y 刹车离合器
Mf
x B ω0
Md
A
n=100r/min，Ix=0.5kN· m· s2，d=100mm。 y 解： 角速度 刹车离合器 Mf n π 100 π x 0 30 30 A
B ω0
Md
10 π rad/s 3
角加速度 惯性力矩
10 0 0 0 3 π 料服从虎克定律；
④ 不计冲击过程中的声、热、塑性功等能量损耗（能 量守恒）； (保守计算)
1. 自由落体冲击
设开始时冲击物的初速度为零。
Q
被冲击物的最大变形为 △d 初位置的势能
Dd
h
V Q(h D d )
Q 设达到最大变形时，被冲击物所受的
动载荷为Pd，则变形能为:
1 U d W Pd D d 2
2
可看出：要保证圆环的强度，只能限制圆环的
转速，增大截面积A并不能提高圆环的强度。
例 12-2-1 图示 AB 轴， B 端有一个质量很大的飞轮，与 飞轮相比，轴的质量可以忽略不计，A端装有刹车离合 器，飞轮的转速n=100r/min，转动惯量为Ix=0.5kN· m· s2 ， 轴的直径d=100mm。刹车时使轴在10s内按匀减速停止 转动。求轴内最大动应力。
Pd K d Q
d K d j
特别地:
h 0, K d 2
2. 水平冲击
v
Q
2 d
1Q 2 T v 2g
1 Pl U d Pd D d 2 2 EA
T Ud
Pl 1Q 2 v 2g 2 EA
2
2
2 d
Q 2 EA Q 2 EA Q v 1 Pd v v g Ql g l g Ql EA