__初等方法建模共38页文档
初等数学建模方法示例
第2章初等数学建模方法示例2.1公平的席位分配问题席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。
通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。
目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。
这种分配方法公平吗？下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题：某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。
它的最初学生人数及学生代表席位为系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200学生人数比例100/200 60/200 40/200席位分配10 6 4 20后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为：系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200学生人数比例103/200 63/200 34/200按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20按惯例席位分配10 6 4 20由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。
为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。
重新按惯例分配席位,有系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 11 7 3 21这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。
这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。
模型构成先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设单位 人数 席位数 每席代表人数单位A 1p 1n 1n单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。
数学建模第二章初等方法建模
第二章 初等方法建模
2.1 比例分析模型
2.2
2.3
代数模型
简单优化模型
节水洗衣机
2.4
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
2.1
比例分析模型
2.1.1
包装成本问题
2.1.2
划艇比赛成绩
Department of Mathematics
d hW kS m
其中 S 是表面积， h 0, k 0, m 0 均为常数，
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎
与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，
即v l , s l
3
2
所以S l 2/3. 由于v W , 有S W 2/3
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。
a W , b fW g ( f 0, g 0) c W , d hW kS m 于是每克的批发成本是
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
第一节初等模型
第一节初等模型解决实际问题，应尽可能用简单而且初等的方法建模，方法简单而初等，容易被更多的人理解接受和采用，就更有价值。
下面举的例子，虽然不是很复杂，但告诉我们，只要仔细地观察生活，你就会发现，在我们周围处处存在着可用数学解决的问题。
一、代数法建模[例8.1.1] 椅子问题在我们周围的日常生活中，到处都会遇到数学问题，就看我们是否留心观察和善于联想，比如有这样一个问题（你或许认为这个问题与数学毫不相干）：4条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否一定同时着地？模型假设：（1）椅子的四条腿一样长，4脚的连线是正方形。
（2）地面是数学上的光滑曲面，即沿任意方向，切面能连续移动。
建模的关键在于恰当地寻找表示椅子位置的变量，并把要证明的“着地”这个结论归结为某个简单的数学关系。
假定椅子中心不动，4条腿着地点视为几何学上的点，用A、B、C、D表示，将AC、BD连线看作x轴、y轴，建立如图8.1.1所示的坐标系。
引入坐标系后，将几何问题代数化，即用代数方法去研究这个几何问题。
图8.1.1人们习惯于，当一次放不平稳椅子时，总是转动一下椅子（这里假定椅子中心不动），因而将转动椅子联想到坐标轴的旋转。
设为对角线AC转动后与初始位置x轴夹角，如果定义距离为椅脚到地面的竖直长度。
则“着地”就是椅脚与地面的距离等于零，由于椅子位于不同位置，椅脚与地面距离不同，因而这个距离为的函数，设──A、C两脚与地面距离之和；──B、D两脚与地面距离之和。
因地面光滑，显然，连续，而椅子在任何位置总有三只脚可同时“着地”，即对任意的，，总有一个为零，有。
不失一般性，设于是椅子问题抽象成如下数学问题：假设：，是的连续函数，且对任意，。
求证：存在，使得。
证明：令，则将椅子转动，对角线互换，由和，有，，从而。
而在上连续，由介值定理，必存在使得。
即。
又因对任意，从而。
即在方向上椅子四条腿能同时“着地”。
椅子问题的解决是学习运用类比法的一个很好实例，从中可受到一定启发，学习到一些建模技巧：转动椅子与坐标轴旋转联系起来；用一元变量表示转动位置；巧妙地将“距离”用的函数表示，而且只设两个函数，（注意椅子有4只脚！）；由三点定一平面得到；利用转动并采用了介值定理使得问题解决得非常巧妙而简单。
数学建模之初等模型
情形3
p1 p2 ， 说明当对A 不公平时，给B 单 n1 n2 1 位增加1席，对A 不公平。
计算对A 的相对不公平值
r A (n 1 ,n 2 1 ) p 1n p 1 2 ( p n 2 2 (n 1 2 ) 1 ) p 1 (p n 2 2 n 11 ) 1
若 r B (n 1 1 ,n 2 ) r A (n 1 ,n 2 1 ),
取 r 4 参 m /s ,I 3 数 6 2 c/0 s , m p 1 0 .3 1 9 60
C 6 .9 5 1 4 0 (0 .8 sin 6c o 1 s.5 v)
v
可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。
问题转化为给定 ，如何选择 v使得 C最小。
情形1 90
C6.95 1 04(0.81.5) v
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
C 1.3 1 1 4 0 m 31.1升 3
情形2 60
C 6 .9 1 5 4 [ 0 1 .5 (0 .43 3 )/v ]
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
你在雨中行度 走 v的 6米 /每 最秒 大， 速则计算 你在雨中 16行 秒 7 走 ， 2分 了 即 47 秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。 经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了 2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。
C t (I/36 ) 0 .0 S 1 0 (米 3 ) 1(D 0 /v ) I/36 S （ 00升
数学建模：初等分析建模法
3.写出量纲矩阵
(f) (l) (h) (v) (ρ) (μ) (g)
1 1 1 1 3 1 1 (L)
A37
1
00
0
1
1
0
(
M
)
2 0 0 1 0 1 2 (T )
4.求解齐次线性方程组 AY=0,因Rank (A)=r=3
方程有m－r=7－3=4个基本解, 可取为
Y1 (0 Y2 (0 Y3 (0
下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量 之间的关系.
1.航船问题中涉及物理量满足的物理关系记为
Ф(f, l, h, v,ρ,μ, g)=0
(8)
2.这是力学问题,基本量纲选为L、M、T, 各物理量的量纲表示为
[ f ] LMT 2 , [t] L, h L v LT 1, L3M , L1MT 1, g LT 2 ,
2. 合理选择基本量纲 一般，在力学中选取L、M、T即可, 热学问题 加上温度量纲Θ，电学问题加上电量量纲Q).
3. 应根据特定的建模目的恰当地构造基本解.
量纲分析建模方法有如下优缺点:
1.不需要专门的物理知识和高深的数学方法， 可以得到用其他复杂方法难以得到的结果.
2. 可将无关的物理量去掉. 3.可由原始物理量组合成一些有用的无量纲量. 4. 方法有局限性，PI定理中的等价方程F(·)=0, 仍然包含着一些未定函数、参数或无量纲量.
L3M 1T 2
部分物理量是无量纲的,称之为纯数字,如
［角度］=LL—1=L0
尽管角度是无量纲量,但它有单位(弧度).
量纲独立于单位
三. 量纲齐次性（Dimensional Homogeneity）
量纲齐次原则: 任一有意义的物理方程必定是量 纲一致的,即有
数学建模初等模型
数学建模初等模型
数学建模是将现实世界的问题抽象化为数学模型，并利用数学方法和技巧来分析和解决这些问题的过程。
在数学建模中，初等模型是指使用基本的数学概念和方法来描述和解决问题的模型。
常见的初等模型包括线性模型、指数模型、对数模型、多项式模型等。
线性模型是最简单的初等模型之一，它假设变量之间的关系是线性的，可以用直线来表示。
指数模型描述的是变量之间的指数关系，对数模型则描述的是变量之间的对数关系。
多项式模型可以用多项式函数来描述变量之间的关系。
使用初等模型进行数学建模时，我们需要确定问题中的关键变量和它们之间的关系，然后建立数学方程或函数来表示这些关系。
通过对这些方程或函数进行求解和分析，我们可以得到问题的解答或结论。
初等模型的优点是简单易懂，容易理解和应用。
它适用于一些简单的实际问题，例如人口增长、物体运动、投资收益等。
但初等模型也有一些限制，它对问题的描述和解决方法有一定的限制性，不能很好地处理复杂的问题。
总之，初等模型是数学建模中的一种简单模型，通过使用基本的数学
概念和方法来描述和解决问题。
它易于理解和应用，适用于一些简单的实际问题。
但在处理复杂问题时，可能需要借助更高级的数学模型和技巧来进行建模和分析。
2 初等方法建模(二)
2）幼苗的经济价值为p1=0，第k类的经济价值为 pk , k=2, 3,…,n ；
3）每年对森林中的树木砍伐一次，且只砍伐部分 树木，每砍伐一棵树木就补种一棵幼苗.
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题 模型假设
Mathematical Modeling
4）补种的幼苗和未被砍伐的树木经过一年的生长 期后，与砍伐前树木的高度状态相同；
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
直观解释
购买预先包装好看产品时，把小型包装的包装规格 (体积)增大一倍，每克所节省的钱，倾向于比大型的 这里说“倾向于”是因为模 型是粗糙的。然而在定性预 包装规格增大一倍所节省的钱多。 测中往往很可靠。而验证上
只须计算的
2.1.2 划艇比赛成绩
问 题
赛艇 种类 单人 双人 四人 八人
对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试 建立数学模型揭示这种关系。 2000米成绩 t (分) 艇长l 1 2 3 4 平均 (米) 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 7.93 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 9.76 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 11.75 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 艇宽b (米) 0.293 0.356 0.574 0.610 空艇重w0(kg) 浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
Department of Mathematics
数学建模之初等模型-精品文档
因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。 分两部分计算淋雨量。
•顶部的淋雨量
C ( D / v ) w ( pr d sin ) 1
rsin 表示雨滴垂直下落的速 度。
•前表面淋雨量
D /v 表示在雨中行走的时间 ,wd 表示顶部面积
结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时 淋雨量达到最小。 假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得
4 3 C 14 . 7 10 m 1 . 47 升 180 情形3 90
此时，雨滴将从后面向你身上落下。
4
C 6 . 95 10 [( 0 . 8 sin 6 cos ) / v 1 . 5 ]
2 升的雨水，大约有4 酒瓶的水量。这是不可思议的。 表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。 原因：不考虑降雨的方向的假设， 使问题过于简化。
2）考虑降雨方向。 若记雨滴下落速度为 r （米/秒）
, p 1 雨滴的密度为 p
表示在一定的时刻 在单位体积的空间
雨滴下落 的反方向
w
d
内，由雨滴所占的
2 h 1 . 50 米 , w 0 . 50 米 , d 0 . 20 米 , 即 S 2 . 2 米 。
你在雨中行走的最大速 度 v 6 米 / 每秒，则计算 你在雨中行走了 167 秒，即 2 分 47 秒。
从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。
经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47 秒，但被淋了
若雨滴是以120 的角度落下，即雨滴以 30 的角
v 4 sin 30 2 m /s 的速度行走 从背后落下，你应该以
2.1 初等数学方法建模实例(一)
模型构成：
CLV(恒定线速度)光盘
数据容量 C CLV LCLV ρ：线密度, LCLV ：信道总长度 R1：光盘环形区域内圆半径, R2 ：外圆半径, d ：信道 间距
LCLV
(xt, yt) Rt (xl, yl) Rl Rr (x , y ) r r
• 连接三根圆杆的中心获 得一个三角形，用a,b,c 表示对应的三条边 • a = Rl + Rt • b = Rr + Rt
xt = xl + acos(+) = xl + a(coscos - sinsin) yt = yl + asin(+) = yl + a(sincos + cossin) • cos = d/c • sin=e/c • c = (d 2 + e 2)1/2 • d = xr – xl
• 则可以调用如上三杆问题的算法先由1，2号杆 算出4号杆坐标，接着再用2，3号杆算出5号杆 坐标，最后用4，5号杆算出6号杆坐标
2.1.2. 光盘的数据容量
• 问题: CD的数据容量: 单层 650MB (兆字节)
DVD的数据容量: 单层 4.7GB (千兆字节) 从数学建模的角度研究 : 光盘的数据容量是怎样确 定的？在一定条件下怎样使其最大化？
k1 k2
16,
Q Q
1 8h 1
,h
L d
若取最保守的估计,有
k1 k2
16,
Q Q
1 8h 1
,h
L d
• Q/Q’ 是仅与h有关的函数. 可以从图形来考察它的取值情况！
初等方法建模1双层玻璃窗的功效--数学建模案例分析
第一章 初等方法建模如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面介绍的若干例子能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有兴味的实际问题。
需要强调的是，如果对于某个实际问题可以用初等的方法解决，就不要用更高等的方法。
§1 双层玻璃窗的功效背景 将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层窗的热传导进行对比，对双层窗能减少多少热量损失给出定量分析结果。
模型假设1、热量的传播只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃间的空气是不流动的。
2、室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
模型构成与求解记 a T —内层玻璃的外侧温度b T —外层玻璃的内侧温度1K —玻璃的热传导系数2K —空气的热传导系数空气Q —单位时间通过双层窗单位面积的热量'Q —单位时间通过单层窗单位面积的热量 由热传导过程的物理定律：dT K Q ∆=，得到 dT T K l T T K d T T K Q b b a a 21211-=-=-= （1） d T T K Q 2211'-= （2） 从（1）中消去b a T T ,，可得dl h K K h S S d T T K Q ==+-=,,)2()(21211 （3） 22+='S Q Q （4） 显然Q Q '<，且S 越大，比例越悬殊，331108~104--⨯⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），42105.2-⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），于是31~1621=K K ,做最保守的估计，即取1621=K K ，由(3)、(4)即有 dl h h Q Q =+=',181 （5） 模型分析 比值Q Q '反映了双层玻璃窗在减少热量损失上的功效，它只与d l h =有关，h 不宜选择过大，通常建筑要求是4≈h ，按此模型，%3≈'Q Q ，即使用同样材料制成的双层窗较单层窗节约热量97%左右。
初等方法建模1双层玻璃窗的功效--数学建模案例分析
第一章 初等方法建模如果研究对象的机理比较简单，一般用静态、线性、确定性模型描述就能达到建模目的时，我们基本上可以用初等数学的方法来构造和求解模型。
通过下面介绍的若干例子能够看到，用很简单的数学方法已经可以解决一些饶有兴味的实际问题。
需要强调的是，如果对于某个实际问题可以用初等的方法解决，就不要用更高等的方法。
§1 双层玻璃窗的功效背景 将双层玻璃窗与用同样多材料做成的单层窗的热传导进行对比，对双层窗能减少多少热量损失给出定量分析结果。
模型假设1、热量的传播只有传导，没有对流，即假定窗户的密封性能很好，两层玻璃间的空气是不流动的。
2、室内温度1T 和室外温度2T 保持不变，热传导过程已处于稳定状态，即沿热传导方向，单位时间通过单位面积的热量是常数。
3、玻璃材料均匀，热传导系数是常数。
模型构成与求解记 a T —内层玻璃的外侧温度b T —外层玻璃的内侧温度1K —玻璃的热传导系数2K —空气的热传导系数空气Q —单位时间通过双层窗单位面积的热量'Q —单位时间通过单层窗单位面积的热量 由热传导过程的物理定律：dT K Q ∆=，得到 dT T K l T T K d T T K Q b b a a 21211-=-=-= （1） d T T K Q 2211'-= （2） 从（1）中消去b a T T ,，可得dl h K K h S S d T T K Q ==+-=,,)2()(21211 （3） 22+='S Q Q （4） 显然Q Q '<，且S 越大，比例越悬殊，331108~104--⨯⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），42105.2-⨯=K （焦耳/CM ·秒·度），于是31~1621=K K ,做最保守的估计，即取1621=K K ，由(3)、(4)即有 dl h h Q Q =+=',181 （5）下面是经典古文名句赏析！！不需要的朋友，可以下载后编辑删除！！谢谢经典古文名篇（一）；1.陋室铭刘禹锡（唐）字梦得《刘梦得文集》；山不在高，有仙则名；2．马说韩愈（唐）字退之《昌黎先生集》；世有伯乐，然后有千里马；马之千里者，一食(shí)或尽粟一石（dàn）；策之不以其道，食(sì)之不能尽其材（才），鸣之；3．师说韩愈（唐）；古之学者必有师；嗟乎！师道之不传也久矣！欲人之无惑也难矣！古之圣；圣人无常师；李氏子蟠，年十七经典古文名篇（一）1. 陋室铭刘禹锡（唐）字梦得《刘梦得文集》山不在高，有仙则名。
2(初等模型)
~状态转移律
dk D, S k S 按照以上规 使状态 问题: 求决策 ,0 ) 律由初始状态 S1 ( 3,3)经过有限步到达状态 S n 1 ( 0 ．
当然n 越小越好．
(3,2) (0,1) (3,1) (0,2) • 穷举法 S1 (3,3) d1 (1,0) S 2 ( 2,3) ( 2,2) (1,1) (1,3) ( 2,0) (3,3)循环 (0,1) (0,2) (3,4) S2 (3,2) d 2 (1,0) S 3 ( 4,2) ( 4,3) (1,1) ( 2,0) (5,2)
室 内 T1
Ta T b d l d
室 外 T2
Q1
墙
k2~空气的热传导系数
T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q1 k1 k2 k1 d l d
T1 T2 k1 l Q1 k1 , sh , h d ( s 2) k2 d
建模 记单层玻璃窗传导的热量Q2
T1 T2 T1 T2 Q1 k1 Q2 k1 d ( s 2) 2d
2 2 3
4
结论 动物的体重与躯干长度的4次方成正 比．当然，比例系数与动物的种类有关．
评注 (1)类比法是建模中常用的一种方法．在 这个模型中将动物躯干类比作弹性梁实属一个大 胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细 检验. 但是这种充分发挥想象力，把动物躯干长度 与体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转 化为已经有确切研究成果的弹性梁在自重下挠曲 问题的作法，是值得借鉴的． (2)使用该模型时，要注意其条件．在建立此 模型时，我们是把四足动物的躯干视为圆柱体 的，也就是说，对于躯干太不近似圆柱体的四 足动物，该模型就不适用了，比如乌龟．
第五讲 初等方法建模
数必须是整数，一个自然的想法就是“四舍五入”，即“去掉
尾数取整”.而这样的话，常常导致名额多余或不够分配，更 严重的是，这种似乎公平的分配方法有时会出现不公平的结果
.表2-1和表2-2分别是学生会成员为20个名额和21个名额时的分
2
2.1 比例与函数
本节给出利用比例和函数建立数学模型的例子.我们将会 看到，在日常生活中，到处都会遇到应用数学方法来解决的问 题.
3
2.1.1 四足动物的身长和体重关系问题 四足动物躯干(不包括头尾)的长度和它的体重有什么关系 ？这个问题有一定的实际意义.比如，生猪收购站的人员或养 猪专业户如果能从生猪的身长估计它的重量，则可以给他们带 来很大的方便. 四足动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入生物学对 复杂的生理结构的研究，将很难得到什么有价值的模型.为此 ，我们可以在较粗浅的假设的基础上，建立动物的身长和体重
分析
•
此类智力问题当然可以通过一番思考，拼凑出一 个可行方案来。 但是，我们现在希望能找到求解这类问题的规律性、建
立数学模型，用以解决更为广泛的问题。
模型建立
•
此问题可视为一个多步决策问题，每一步就是一次 渡河，每次渡河就是一次状态转移。 用三维变量(x,y,z)表示状态： x ------商人数， y ------随从数 x,y的取值范围：{0，1，2，3} z ------船 z的取值范围：{0,1} 那么安全状态可表示为 x=0,3, y=0,1,2,3 或 x=1,2, y=x
存在，只有可能性存在才谈得上用什么方法铺设的问题.为此
，在图2-4上黑、白相间染色，我们发现共有19个白格和21个 黑格，一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两格，所以铺上19块长
数学建模培训初等模型
人口增长模型
总结词
人口增长模型是用来描述人口随时间变化的 规律和趋势的数学模型。
详细描述
该模型通常由一组微分方程组成，表示人口 在不同年龄和性别的增长率。通过求解这组 微分方程，可以预测未来人口数量和结构的 变化，为政策制定提供依据。
经济增长模型
总结词
经济增长模型是用来描述一个国家或地区经 济随时间变化的规律和趋势的数学模型。
幂函数模型
总结词
幂函数模型描述一个变量与另一 个变量的幂之间的关系。
详细描述
幂函数模型的一般形式为 y = x^r， 其中 r 是常数。这种模型适用于描 述一些自然现象，如地球上的人口 分布、城市规模等。
幂函数模型
总结词
幂函数模型描述一个变量与另一 个变量的幂之间的关系。
详细描述
幂函数模型的一般形式为 y = x^r， 其中 r 是常数。这种模型适用于描 述一些自然现象，如地球上的人口 分布、城市规模等。
求解模型
运用数学方法和计算工具对建 立的模型进行求解。
明确问题
首先需要明确建模的目标和问 题，理解实际问题的背景和需 求。
建立模型
根据问题的特点和收集的数据， 选择合适的数学模型进行建模。
验证与优化
对求解结果进行验证，并根据 实际情况对模型进行优化和改 进。
建立数学模型的步骤
收集数据
根据问题收集相关数据，包括 实验数据、观测数据、统计数 据等。
02
它能将现实世界中的问题转化为 数学问题，并运用数学方法进行 求解，进而对现实世界的问题作 出预测和决策。
什么是数学建模
01
数学建模是运用数学语言和方法 ，通过抽象、简化建立能近似刻 画并解决实际问题的一种强有力 的数学手段。
初等数学建模方法
• 为此.在图2. 2上白、黑相间地染色.然后仔细观察.发现共有19个白 格和21个黑格.一块长方形瓷砖可盖住一白一黑两格.所以铺上19块长 方形瓷砖.(无论用什么方法).总要剩下2个黑格没有铺.而一块长方形瓷 砖是无法盖住2个黑格的.唯一的办法是把最后一块瓷砖一断为二.
上一页 下一页 返回
2.1有关自然数的几个模型
• 数学中许多著名的不可能的证明都要用到奇偶校验.
上一页 下一页 返回
2.1有关自然数的几个模型
• 例如欧几里得证明厄是无理数.就是用的奇偶性(读者不妨自己动手做 一下).奇偶校验在粒子物理学也宁宙守恒定理”.由此获得了诺贝尔奖.其中就是 运用了奇偶校验方法.
• 间题3能否在8X8的方格表ABCD的各个空格中.分别填写1 .2 .3这3个 数中的任一个.使得每行、每列及对角线AC. BD的各个数的和都不相 同?为什么?
上一页 下一页 返回
2.1有关自然数的几个模型
• 思想和启发若从考虑填法的种类人手.情况太复杂;这里我们注意到. 方格表中行、列及对角线的总数为18个;而用1.2.3填人表格.每行、列 及对角线都是8个数.8个数的和最小为8.最大为22.共有22-8十1=17种; 利用鸽笼原理.18个“鸽”放入17个“鸽笼”.必有两个在一个“鸽 笼”.也即必有两个和相同.所以题目中的要求无法实现.
初等数学方法建模
初等数学方法建模现实世界中有很多问题，它的机理较简单，用静态,线性或逻辑的方法即可建立模型，使用初等的数学方法，即可求解，我们称之为初等数学模型。
本章主要介绍有关自然数，比例关系，状态转移，及量刚分析等建模例子，这些问题的巧妙的分析处理方法，可使读者达到举一反三,开拓思路，提高分析, 解决实际问题的能力。
第一节有关自然数的几个模型1.1鸽笼原理鸽笼原理又称为抽屉原理，把N个苹果放入)n<个抽屉里，则必有一个n(N抽屉中至少有2个苹果。
问题1：如果有N个人，其中每个人至多认识这群人中的)n<个人（不包n(N括自己），则至少有两个人所认识的人数相等。
分析：我们按认识人的个数，将N个人分为n,k≤≤类，0(nk2,1,0 类，其中)表示认识k个人，这样形成1+n，则N个人分成不超n个“鸽笼”。
若1-<N过1-=Nn，N类，必有两人属于一类，也即有两个人所认识的人数相等；若1-此时注意到0类和N类必有一个为空集，所以不空的“鸽笼”至多为1-N个，也有结论成立问题2：在一个边长为1的正三角形内最多能找到几个点，而使这些点彼此间的距离大于5.0.分析：边长为1的正三角形ABC∆，分别以C,为中心，5.0为半径圆弧，BA,将三角形分为四个部分（如图1-1 ），则四部分中任一部分内两点距离都小于5.0，由鸽笼原理知道，在三角形内最多能找四个点，使彼此间距离大于5.0，且确实可找到如C,及三角形中心四个点。
A,B图1—1问题3：能否在88⨯的方格表ABCD的各个空格中，分别填写3,2,1这三个数中的任一个，使得每行，每列及对角线BDAC,的各个数的和都不相同？为什么？分析：若从考虑填法的种类入手，情况太复杂；这里我们注意到，方格表中行,列及对角线的总数为18个；而用3,2,1填入表格，每行,列及对角线都是8个数，+24=-种；利用鸽笼原理，18个“鸽”188个数的和最小为8，最大为24，共有17放入17个“鸽笼”，必有两个在一个“鸽笼”，也即必有两个和相同。