2015_2016高中数学3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)素材新人教A版必修5
高中数学3.2第二课时一元二次不等式及其解法(习题课)课件新人教A版必修5
1．如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方 程之间的关系？
略 2．判别式 Δ 的值对一元二次不等式的解集有何影响？ 略
简单的分式不等式
[例 1] 解下列不等式： (1)x1＋－2x<0；(2)xx＋－12≤2. [解] (1)由x1＋－)(x－1)>0， ∴原不等式的解集为{x|x<－2 或 x>1}．
不等式中的恒成立问题 [例 2] 关于 x 的不等式(1＋m)x2＋mx＋m＜x2＋1 对 x∈R 恒成
立，求实数 m 的取值范围． [解] 原不等式等价于 mx2＋mx＋m－1＜0， 对 x∈R 恒成立， 当 m＝0 时，0·x2＋0·x－1＜0 对 x∈R 恒成立． 当 m≠0 时，由题意，得
1．若集合 A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝xx－x 2
≤0，则 A∩B
等于
()
A．{x|－1≤x＜0}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．
答案：B
(1)写出税收 y(万元)与 x 的函数关系式； (2)要使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的 83.2%， 试确定 x 的取值范围．
5.探究不等式恒成立的问题
[典例] 已知 f(x)＝x2＋2(a－2)x＋4，如果对一切 x∈R，f(x) ＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
[随堂即时演练]
m＜0， Δ＝m2－4mm－1＜0
⇔m3m＜2－0，4m＞0
m＜0， ⇔m＜0，或m＞43
⇔m＜0. 综上，m 的取值范围为 m≤0.
高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法(第2课时)教案 新人教A版必修5
一元二次不等式及其解法（第二课时）教学目标：1、知识与技能目标：（1）理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系. （2）熟练掌握一元二次不等式的解法.（3）掌握含参数的一元二次不等式的解法及简单的不等式中的恒成立问题的解题方法. （4）培养学生数形结合的能力，分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；2、过程与方法目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.3、情感态度价值观目标：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
教学重难点：1、一元二次不等式的解法.2、含参数的一元二次不等式以及不等式中的恒成立问题. 教学方法：情景教学法、问题教学法、引探式教学法。
教学过程：一、复习回顾，引入新课1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系是什么？2、解一元二次不等式的基本步骤是什么？acb 42-=∆0>∆0=∆0<∆)0(2>++=a c bx ax y 的图象)0(02>=++a c bx ax 的根不相等的两实根1x )212x x x <（、相等的两实根ab x x 221-==无实根)0(02>>++a c bx ax 的解集{}21x x x x x ><或⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≠a b x x 2R)0(02><++a c bx ax 的解集ØØ（1）化不等式为标准形式：)0(02>>++a c bx ax 或)0(02><++a c bx ax 。
（2）求方程)0(02>=++a c bx ax 的根。
（3）画出函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像。
（4）由图像找出不等式的解集。
即：转化、求根、画图、找解。
二、讲授新课：例题1. 一元二次不等式的解法： 解不等式：10732≤-x x教师展示做题步骤：解：原不等式可化为：010732≤--x x因为010732=--x x 的两根分别为11-=x 、3102=x 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-3101x x 变式训练：解下列不等式：（1）04422<-+-x x （2）322-<+-x x 学生演板：（1） 解：原不等式可化为：0222>+-x x 因为0424)2(2<-=⨯--=∆ 所以原不等式的解集为Ø 学生复述做题过程：（2）解：原不等式可化为：0322>+-x x因为0322=--x x 的两根分别为11-=x 、232=x 所以原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3101x x x 或 例题2. 已知解集，求参数的取值或取值范围。
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法第2课时含参数的一元二次不等式的解法课件新人教A版必
5．若不等式 x2＋mx＋1≥0 的解集为 R，则实数 m
的取值范围是( )
A．m≥2
B．m≤－2
C．m≤－2 或 m≥2 D．－2≤m≤2
答案：D
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类型 1 含参数一元二次不等式的解法 [典例 1] 解关于 x 的不等式：x(x－a－1)≥－a. 解：原不等式化为(x－1)(x－a)≥0， 相应方程的两根为 1，a，故应比较 1 与 a 的大小． ①当 a＞1 时，原不等式的解集为{x|x≤1 或 x≥a}．
第四页，共32页。
2．解含参数的一元二次不等式时，先求相应的二次 方程的根，比较根的大小后，再根据相应二次函数的图象 写出不等式的解集．
当 a＞0 时，关于 x 不等式 x2－ax＞0 的解是_x_＜__0__ 或_x_＞__a__；当 a＜0 时，关于 x 不等式 x2－ax＞0 的解是 _x_＜__a__或_x_＞__0__.
第七页，共32页。
3．若 a＜0，则关于 x 的不等式 x2－4ax－5a2＞0 的
解是( )
A．x＞5a 或 x＜－a B．x＞－a 或 x＜5a
C．5a＜x＜－a
D．－a＜x＜5a
解析：由题可得(x－5a)(x＋a)＞0，
因为 a＜0，所以 5a＜－a，
所以 x＞－a 或 x＜5a.
答案：B
第八页，共32页。
第三十一页，共32页。
2．分类标准如何确定？看后面的结果不唯一的原因 是什么．一般来讲，先讨论二次项的系数，再对判别式 进行讨论，最后对根的大小进行讨论．
第三十二页，共32页。
第二十五页，共32页。
又－13，2 为方程 ax2＋bx＋c＝0 的两个根， 所以－ba＝53，所以ba＝－53. 又ac＝－23，所以 b＝－53a，c＝－23a.所以不等式变为 －23ax2＋－53ax＋a＜0， 即 2ax2＋5ax－3a＞0，
高中数学课件 3.2一元二次不等式及其解法(2)
b {x|x≠ } 2a
R Φ
Φ
求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:
△≥0
b x 2a
x< x1或x> x2
例1.解不等式 2x2－3x－2 > 0 .
解:因为△ =(-3)2-4×2×(-2)>0, 先求方程的根
方程的解2x2－3x－2 =0的解 是 1 x1 , x2 2. 2
画出函数y=x2+9x-7110的图 象,由图象得不等式的解集为 {x|x <-88.94, 或 x>79.94 } 在这个实际问题中,x>0,所以这辆 汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.
例4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条 流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值 y(元)之间有如下的 关系: y = -2 x2 + 220x. 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6000元以上, 那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车?
利用二次函数图象能解一元二次不等式！ 问：y= ax2＋bx＋c（a>0）的图象与x轴的交点情 况有哪几种？ 2 一元二次方程ax bx c 0 (a 0)
一元二次不等式 ax2 bx c 0(a 0)
x x 1 或x x 2 x 1 x x 2
y
一元二次函数
3.2一元二次不等式 及其解法
一元二次不等式及其解法
[考纲要求]
1.会从实际情境中抽象出一元二次 不等式模型； 2.通过函数图像了解一元二次不等 式与相应的二次函数、一元二次方程的 关系. 3.会解一元二次不等式;对给定的一 元二次不等式，会设计求解的程序框图.
高中数学 3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)素材 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学素
教学设计说明课题：一元二次不等式及其解法〔第二课时〕一、本节数学内容的本质、地位、作用分析：这一节课是《一元二次不等式及其解法》的第二课时，在本节课之前，学生已学习了二次函数，对一元二次不等式的解法有了初步的了解，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
一元二次不等式解法是解不等式的基础和核心，它在高中代数中起着广泛应用的工具作用，蕴藏着“数与形结合〞的重要思想方法，它已成为代数、三角、解析几何交汇综合的重要部分。
许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法，如函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容都密切相关。
概括地讲，本节课的地位表达在它的基础性，作用表达在它的工具性。
二、教学目标分析：根据学生已有的认知基础，结合素质教育的要求，依据新课程标准，我确定了本节课的教学目标：1、知识与技能目标：〔1〕理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系；〔2〕熟练掌握一元二次不等式的解法；〔3〕掌握含参数的一元二次不等式的解法及简单的不等式中的恒成立问题的解题方法；〔4〕培养学生数形结合的能力，分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
2、过程与方法目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力。
3、情感态度价值观目标：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
三、教学问题诊断：学生已经学习过二次函数、一元二次方程，并在上一节课上初步学习了一元二次不等式的解法，已经了解到上述三者之间的关系，在此基础上确定本节课学生在新知识学习过程中可能出现的问题或者存在的困难:〔一〕、对二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系的认识不够深刻，从而出现解题过程的错误，针对此本人设计了复习提问：1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系是什么？2、解一元二次不等式的基本步骤是什么？加深学生对知识的理解，并设计例题：解不等式：10732≤-x x ，教师解题并分析，考虑到此题的重要性，我又设计了对应的学生演板〔1〕04422<-+-x x 和学生做题后进行提问，由此能解决这个问题。
高中数学 第三章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法(二)课件 新人教A版必修5.pptx
ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ Δ＜0.
(2) 分 离 参 数 ， 将 恒 成 立 问 题 转 化 为 求 最 值 问 题 ， 即 ： k≥f(x) 恒 成 立 ⇔ k≥f(x)max ；k≤f(x)恒成立⇔ k≤f(x)min .
8
答案
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题型探究
题型一 分式不等式的解法 例1 解下列不等式：
14
解析答案
题型二 解一元高次不等式 例2 解下列不等式： (1)x4－2x3－3x2＜0； 解 原不等式可化为x2(x－3)(x＋1)＜0， 当x≠0时，x2＞0， 由(x－3)(x＋1)＜0，得－1＜x＜3； 当x＝0时，原不等式为0＜0，无解. ∴原不等式的解集为{x|－1＜x＜3，且x≠0}.
5
知识点二 简单的一元高次不等式的解法 一元高次不等式f(x)＞0常用数轴穿根法(或称根轴法、区间法)求解，其 步骤是： (1)将f(x)最高次项的系数化为正数； (2)将f(x)分解为若干个一次因式或二次不可分解因式的积； (3)将每一个根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线(注意重根 情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿又过)； (4)根据曲线显现出的f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集.
x＋4 (1)3－x＜0；
x＋4
x＋4
解 由3－x＜0，得x－3＞0，
此不等式等价于(x＋4)(x－3)＞0，
∴原不等式的解集为{x|x＜－4或x＞3}.
重点突破
9
解析答案
(2)xx＋－12≤2.
反思与感悟
10
解析答案
A
解析 ∵x2＋x＋1＝x＋122＋34＞0， ∴原不等式⇔x2－2x－2<2x2＋2x＋2⇔x2＋4x＋4>0⇔(x＋2)2>0， ∴x≠－2.∴不等式的解集为{x|x≠－2}.
高中数学 3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)课件 新人教A版必修5
因为 2x2 x 3 0
的两根分别为：x1
1, x2
3 2
所以原不等式的解集为
x
x
1或x
3
2
题型2.已知解集，求参数的取值或取值范围
_______ 例题.关于 x 的不等式 x2 ax b 0 的
解集为 x1 x 2 ,则 a b
即：转化——求根——画图——找解。
[典型例题] 题型1. 一元二次不等式的解法
例题：3x2 7x 10
练习：(1) 2x2 4x 4 0
(2) 2x2 x 3
[典型例题] 题型1. 一元二次不等式的解法
例题： 3x2 7x 10
解：原不等式可化为：3x2 7x 10 0
无实根 R
知识回顾：2.解一元二次不等式的基本步骤:
(1)化不等式为标准形式: ax2 bx c 0(a 0)
或ax2 bx c （0 a 0)
(2)求方程ax2 bx c 0a 0的根;
(3)画出对应函数 y ax2 bx c(a 0)的图象;
(4)由图象得出不等式的解集.
2、解一元二次不等式的一般步骤； 3、一元二次不等式的解与一元二次方程的 根的关系的应用；
4、与一元二次不等式有关的恒成立问题的 解法。
课后思考与作业：
1.必做题
2解（.选下1做）列题不x等2式：3x 4 0（2） x2 2x 3
（3.创1）做若题函数 y mx2 对一4x切1 都有意义x ，求R
因为 3x2 7x 10 0
的两根分别为：
x1
1, x2
10 3
所以原不等式的解集为x
1
x
10
高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法素材 新人教A版必修5
一元二次不等式及其解法一．引言：本讲学习要求：掌握二次函数的概念、图象及性质；理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力．学习重点为：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化；学习难点为：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系．本讲考纲要求为：会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．本讲命题方向为：主要考查以一元二次不等式为基础的不等式解法，综合题多以与其他章节（如函数、数列等）交汇．从题型上来看，多以比较大小，解简单不等式等，解答题主要考查含参数的不等式的求解以及它在函数、导数、数列中的应用． 二．考点梳理1．二次函数的图象及性质:二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a bx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，． 2．二次函数的解析式的三种形式： 2()f x ax bx c =++（一般式）； 12()()()f x a x x x x =-⋅-（零点式）；n m x a x f +-=2)()(（顶点式）． 3．一元二次不等式的解法一元二次不等式20ax bx c ++>()200ax bx c a ++<≠或的解集：设相应的一元二次方程20a x b xc ++=()0a ≠的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42-=∆，则不等式的解的各种情况如下表：c4．解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为“+”：A=c bx ax ++2>0(或<0)(a >0)； (2)计算判别式∆，分析不等式的解的情况； (3)写出解集．5．讨论二次函数()02≠++=a c bx ax y 在指定区间[]q p ,上的最值问题：(1)注意对称轴abx 2-=与区间[]q p ,的相对位置．一般分为三种情况讨论，即：①对称轴2b a -在区间左边，函数在此区间上具有单调性；②对称轴2b a -在区间之内；③对称轴2b a-在区间右边． （2）函数()02≠++=a c bx ax y 在区间[]q p ,上的单调性．要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响．6．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置． 三、典型例题选讲题型1：考查一元二次函数的性质例1 函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件是（ ）A ．0b ≥B ．0b ≤C ．0b >D ．0b < 解：∵函数2 ([0,))y x bx c x =++∈+∞的对称轴为2b x =-， ∴函数2([0,)y x bx c x =++∈+∞）是单调函数⇔ -(0,)2b ∉+∞⇔02b-≤，⇔0b ≥． 故选A ．归纳小结：二次函数的单调区间是(,]2b a -∞-和[,)2ba-+∞，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出b 的范围．例 2已知二次函数的对称轴为x =x 轴上的弦长为4，且过点(0,1)-，求函数的解析．解：∵二次函数的对称轴为x =可设所求函数为2()(f x a x b =+， ∵()f x 截x 轴上的弦长为4，∴()f x过点(2,0)和(2,0)，()f x 又过点(0,1)-，∴4021a b a b +=⎧⎨+=-⎩，解之得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴21()(22f x x =+-． 归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化．题型2：简单不等式的求解问题 例3 求下列不等式的解集．（1）01442>+-x x ；（2）0322>-+-x x解法一：因为210144,0212===+-=∆x x x x 的解是方程． 所以，原不等式的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠21x x ． 解法二：整理，得0322<+-x x ．因为032,02=+-<∆x x 方程无实数解，所以不等式0322<+-x x 的解集是∅．从而，原不等式的解集是∅．归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察．例4 不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值． 解法一：设022=-+bx ax 的两根为1x 、2x ，由韦达定理得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=+a x x ab x x 22121 由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯-=-+-=-21221aa b∴1=a ，1-=b ，此时满足0>a ，0)2(42>-⨯-=∆a b ． 解法二：构造解集为{}21<<-x x 的一元二次不等式：0)2)(1(<-+x x ，即022<--x x ，此不等式与原不等式022<-+bx ax 应为同解不等式，故1=a ，1-=b ．归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为{}21<<-x x ，不等式022<-+bx ax 需满足条件0>a ，0>∆，022=-+bx ax 的两根为11-=x ，22=x ．在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系． 题型3：含参不等式的求解问题例5 解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ． 证：分以下情况讨论(1)当0=a 时，原不等式变为：01<+-x ，∴1>x 即不等式的解集为{|1}x x >(2)当0≠a 时，原不等式变为：0)1)(1(<--x ax ①①当0<a 时，①式变为0)1)(1(>--x a x ，∴不等式的解为1>x 或ax 1<． 即不等式的解集为1{|1}x x x a><或；②当0>a 时，①式变为0)1)(1(<--x ax ． ② ∵aaa -=-111， ∴当10<<a 时，11>a ，此时②的解为ax 11<<． 即不等式的解集为1{|1}x x a<<； 当1=a 时，11=a，此时②的解为∅． 当1a >时，11a <，即不等式的解集为1{|1}x x a<<．归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧>=<<><≠=∈11100000a a a a a a a R a 分类应做到使所给参数a 的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏．另外，解本题还要注意在讨论0<a 时，解一元二次不等式01)1(2<++-x a ax 应首选做到将二次项系数变为正数再求解．题型4：一元二次不等式的应用例6 （1）已知函数()⎩⎨⎧≥-<+-=011x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ）A ．{}121|-≤≤-x xB ．{}1|≤x xC ．{}12|-≤x xD ．{}1212|-≤≤--x x解：依题意得11010(1)()(1)1x x x x x x x x +<+⎧⎧⎨⎨++-++⎩≥≤⎩≤或所以1111R x x x x ≥-∈⎧<-⎧⎪⎨⎪≤⎨⎩≤⎩或1111x x x ≤≤<-⇒⇒≤-或， 选C ．（2）（2007重庆理）若函数f (x ) =1222--+aax x 的定义域为R ，则a 的取值范围为_______．解：函数()f x =R ，∴对一切x R ∈都有2221xax a+-≥恒成立，即220x ax a +-≥恒成立，0∴∆≤成立，即2440a a +≤，10a ∴-≤≤，故选A ．归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一．例7 已知函数21sin sin 42a y x a x =-+-+的最大值为2，求a 的值． 解：令sin t x =，[1,1]t ∈-，∴221()(2)24a y t a a =--+-+，对称轴为2a t =，当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）．当12a >，即2a >时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-上单调递增， 由max 111242y a a =-+-+=，得103a =；当12a <-，即2a <-时，函数221()(2)24a y t a a =--+-+在[1,1]-上单调递减， 由max 111242y a a =---+=，得2a =-（舍去）．综上可得，a 的值为2a =-或103a =．归纳小结：令sin t x =，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间[1,1]-的三种位置关系的讨论就可求得a 的值．此题中要注意0a <的条件．例8 设不等式2220x ax a -++≤的解集为M ，如果M ⊆[1,4]，求实数a 的取值范围？分析：该题实质上是二次函数的区间根问题，充分考虑二次方程、二次不等式、二次函数之间的内在联系是关键所在；数形结合的思想使题目更加明朗．解：M ⊆[1,4]有两种情况：其一是M =∅，此时∆＜0；其二是M ≠∅，此时∆=0或∆＞0，分三种情况计算a 的取值范围． 设2()22f x x ax a =-++，有∆=2(2)4(2)a a --+=24(2)a a --， 当∆＜0时，－1＜a ＜2，M =∅⊆[1,4]； 当∆=0时，a =－1或2； 当a =－1时M ={1}-⊄[1,4]； 当a =2时，m ={2}⊆[1,4] 当∆＞0时，a ＜－1或a ＞2．设方程()0f x =的两根1x ，2x ，且1x ＜2x ，那么M =［1x ，2x ］，M ⊆[1,4]⇔1≤x 1＜x 2≤4⎩⎨⎧>∆≤≤>>⇔0,410)4(,0)1(且且a f f ，即30 1870 0 12a a a a a -+>⎧⎪->⎪⎨>⎪⎪<->⎩，，，或，解得2＜a ＜718，∴M ⊆［1，4］时，a 的取值范围是(－1，718)． 归纳小结：此题考查二次不等式的解与系数的关系及集合与集合之间的关系．本题主要涉及一元二次不等式根与系数的关系及集合与集合之间的关系，以及分类讨论的数学思想．M =∅是符合题设条件的情况之一，出发点是集合之间的关系考虑是否全面，易遗漏；构造关于a 的不等式要全面、合理，易出错． 四、本专题总结在复习一元二次不等式的解法时，要加强数形结合及等价转化思想的训练与复习．在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论．复习时，要学会分析引起分类讨论的原因，合理的分类，做到不重不漏．。
高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式的解法(第2课时)课件新人教A版必修5
(2)由(1)知，ax2＋bx－1＞0 可变为－2x2＋3x－1＞0， 即 2x2－3x＋1＜0，解得12＜x＜1. ∴不等式 ax2＋bx－1＞0 的解集为{x|12＜x＜1}．
第十七页，共27页。
5.有关三个“二次”关系的不等式的解法 [典例] 已知关于 x 的不等式 ax2＋bx＋c＜0 的解集是 x|x＜－2或x＞－12，求 ax2－bx＋c＞0 的解集．
当 a＝－1 时，原不等式解集为∅； 当 a＞－1 时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．
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[类题通法] 解含参数的一元二次不等式时：
(1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于 0 与小 于 0 进行讨论；
(2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式 Δ 进行讨论；
答案：－2 3
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4．若函数 f(x)＝log2(x2－2ax－a)的定义域为 R，则 a 的取值范围为 ________． 解析：已知函数定义域为R，即x2－2ax－a＞0对任意x∈R恒 成立．∴Δ＝(－2a)2＋4a＜0.解得－1＜a＜0.
答案：(－1,0)
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[活学活用]
1．解下列不等式：
(1)3x－ ＋x2≥0；
2x－1 (2)3－4x>1.
解：(1)原不等式等价于3x－＋x2≠30－ ，x≥0， 即xx≠＋32x－3≤0， ⇒－2≤x<3. ∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}．
第七页，共27页。
(2)原不等式可化为32－x－4x1－1>0，即34xx－ －23<0. 等价于(3x－2)(4x－3)<0. ∴23<x<34. ∴原不等式的解集为{x|23<x<34}.
高中数学：3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)
第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法3.2一元二次不等式及其解法(第2课时)学习目标1.巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,进一步熟悉一元二次不等式的解法.2.会解含参数的一元二次不等式.3.能应用一元二次不等式解决简单问题.合作学习一、设计问题,创设情境题组一:再现型题组解答下列各题:(1)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0的解是;一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是.(2)若关于x的不等式x2+2x+m>0的解集为R,则实数m的取值范围是.(3)已知a<0,则关于x的不等式(x-a)(x+a)<0的解集为.(4)若关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},则a+b=.二、信息交流,揭示规律问题1:二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)之间有怎样的关系?问题2:通过前面的学习思考:确定一元二次不等式的解集的因素有哪些?三、运用规律,解决问题题组二:提高型题组【例1】已知关于x的不等式ax2+x+2>0.(1)若该不等式对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)若该不等式的解集为{x|-1<x<t},求实数t的值.【例2】已知a>0,解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0.【例3】某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离s m和汽车的速度x km/h有如下的关系:s=x+x2.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于39.5m,那么这辆汽车刹车前的速度是多少?(精确到0.01km/h)四、变式训练,深化提高题组三:反馈型题组变式训练1:若不等式ax2+x+2>0对任意的x∈(-1,2)恒成立,求实数a的取值范围.变式训练2:若将例2中的条件“a>0”换为“a∈R”,再去求解.五、反思小结,观点提炼问题3:本节课主要学习了哪些知识?主要涉及哪些数学思想?参考★答案★一、设计问题,创设情境题组一:再现型题组(1)0,4{x|0<x<4}(2)(1,+∞)(3)(a,-a)(4)-1二、信息交流,揭示规律问题1:规律一:一元二次方程和一元二次不等式都可以看做是相应二次函数的特殊情形.一元二次方程的解是相应二次函数的函数值等于零时,自变量的取值.也就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.而一元二次不等式的解集是相应的二次函数的函数值大于零时,自变量的取值集合,也就是函数图象在x轴上方的部分对应的横坐标的取值集合.一元二次不等式解集的情形与一元二次不等式的根的个数的情形相对应.当一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x<x1或x>x2}时,可以得到a>0,且x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解;当一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为{x|x1<x<x2}时,可以得到a<0,且x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解.问题2:规律二:首先是二次项系数a的符号;其次是相应一元二次方程的根的判别式Δ=b2-4ac的符号;最后是相应一元二次方程的根.总之,一元二次不等式的系数a,b,c决定了它的解集.因此,当系数a,b,c不确定时,往往按照上述三个方面的情形分类讨论.三、运用规律,解决问题题组二:提高型题组【例1】解:(1)由题意,得解得a>.(2)由题意,-1,t是关于x的方程ax2+x+2=0的两根,所以解得a=-1,t=2.【例2】解:不等式可化为a(x-1)<0,①当<1,即a>1时,不等式的解集为;②当=1,即a=1时,不等式的解集为⌀;③当>1,即0<a<1时,不等式的解集为.综上所述,当a>1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为⌀;当0<a<1时,不等式的解集为.【例3】解:设这辆汽车刹车前的速度至少为x km/h,根据题意,我们得到x+x2>39.5.移项整理得:x2+9x-7110>0,显然Δ>0,方程x2+9x-7110=0有两个实数根,即x1≈-88.94,x2≈79.94.所以不等式的解集为{x|x<-88.94,或x>79.94}.在这个实际问题中x>0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94km/h.四、变式训练,深化提高题组三:反馈型题组变式训练1:解:方法一:设f(x)=ax2+x+2,①当a≥0时,因为-1<x<2,所以x+2>0,故f(x)>0显然成立;②当a<0时,由二次函数图象知,只需即解得a≥-1,所以-1≤a<0.综上可知,实数a的取值范围是a≥-1.方法二:①当x=0时,不等式ax2+x+2>0显然成立,此时a∈R;②当x≠0时,不等式ax2+x+2>0可以化为a>-2,令t=,则t∈(-∞,-1)∪.由题意,不等式a>-2t2-t在t∈(-∞,-1)∪时恒成立,所以,a≥-1.综上可知,实数a的取值范围是[-1,+∞).变式训练2:解:①当a=0时,不等式的解集为(1,+∞);②当a>0时,同例2;③当a<0时,因为<1,所以,不等式的解集为∪(1,+∞).综上所述,当a>1时,不等式的解集为;当a=1时,不等式的解集为⌀;当0<a<1时,不等式的解集为;当a=0时,不等式的解集为(1,+∞);当a<0时,不等式的解集为∪(1,+∞).五、反思小结,观点提炼问题3:利用三个“二次”之间的关系,解答有关一元二次不等式问题和解含参数的一元二次不等式;函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想.。
高中数学 第3章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 含参数一元二次不等式的解法课件
解法：穿根法 ①将f(x)最高次项系数化为正数； ②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积； ③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每 一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)； ④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
『规律总结』 解含参数的一元二次不等式时： (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论． (2)若求对应一元二次方程的根，需对判别式Δ进行讨论． (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
〔跟踪练习3〕 解关于x的不等式：56x2－ax－a2>0.
[解析] 56x2－ax－a2＞0 可化为 (7x－a)(8x＋a)＞0. ①当 a＞0 时，－a8＜a7，∴x＞a7或 x＜－a8； ②当 a＜0 时，－a8＞a7， ∴x＞－a8或 x＜a7；
所以原不等式的解集为{x|－3<x<－12}．
方法二：原不等式可化为2－xx＋－3x＋3>0， 化简得－x2＋x－3 1>0， 即2xx＋＋31<0，所以(2x＋1)(x＋3)<0， 解得－3<x<－12. 所以原不等式的解集为{x|－3<x<－12}．
『规律总结』 1.对于不等号一端为0的分式不等式，可直接转化为一元 二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．
____________________. [解析] 原不等式可化为(x－m)(x－m－1)<0. ∵m<m＋1，∴m<x<m＋1. ∴不等式x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0的解集为{x|m<x<m＋1}．
互动探究学案
命题方向1 ⇨简单的分式不等式
(新课标)高中数学 第3章 不等式 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时 含参数一元二次不等式的
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时含参数一元二次不等式的解法课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．(2015·全国Ⅱ理，1)已知集合A＝{－2，－1，0，1,2},B＝｛x|(x－1）(x＋2）＜0｝，则A∩B＝错误!( A )A．{－1,0} B．{0，1}C．｛－1,0,1} D．{0，1,2}[分析］本题考查集合的运算;先解不等式求出集合B，再按交集定义选择；也可以将A 中元素依次代入B中不等式看不等式是否成立，作出判断．［解析］由已知得B＝{x|－2<x〈1}，故A∩B＝｛－1，0}，故选A．2．（2016·贵州贵阳一中月考)若a＜0,则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的解是错误! ( B ）A．x＞5a或x＜－a B．x＞－a或x＜5aC．5a＜x＜－a D．－a＜x＜5a［解析］化为：（x＋a)（x－5a）＞0，相应方程的两根x1＝－a，x2＝5a，∵a＜0，∴x1＞x2。
∴不等式解为x＜5a或x＞－a。
3．(2016·江苏淮阳中学月考)不等式x－22x－3x＋1<0的解集为错误!（ A ）A．｛x|－1〈x<2或2〈x〈3｝B．｛x|1〈x<3｝C．{x|2〈x〈3｝D．｛x｜－1<x<3}[解析]原不等式等价于错误!解得－1〈x<3，且x≠2,故选A．4．若{x｜2<x〈3｝为x2＋ax＋b〈0的解集，则bx2＋ax＋1〉0的解集为错误!( D ）A．{x|x<2或x〉3｝B．{x|2<x<3｝C．{x｜错误!〈x〈错误!｝D．｛x|x<错误!或x〉错误!}［解析］由x2＋ax＋b〈0的解集为{x|2<x〈3｝，知方程x2＋ax＋b＝0的根分别为x1＝2，x＝3.2由韦达定理，得x1＋x2＝－a，x1·x2＝b,即a＝－5，b＝6。
高中数学 3.2 一元二次不等式及其解法 第2课时课件 新人教A版必修5
2x＋1 2x＋1 解不等式 > . x－3 3x－2
(2x＋1)2 2x＋1 2x＋1 [解] 移项得 － >0， 通分整理得 >0， x－3 3x－2 (x－3)(3x－2)
x≠－1， 2x＋1≠0， 2 ∴ ⇒ (x－3)(3x－2)>0 x>3或x<2， 3
1 1 2 ∴原不等式的解集为(－∞，－ )∪(－ ， )∪(3，＋∞)． 2 2 3
.
(2)不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集是全体实数(或恒成立)的条 件是当 a＝0 时，b＝0，c<0； 当
a<0 a≠0 时， ∆<0
.类似地，还有 f(x)≤a 恒成立⇔
[f(x)]max≤a；f(x)≥a 恒成立⇔[f(x)]min≥a.
迁移变式1
若x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1恒成立，则a的取
值范围是________．
解：原不等式可化为(a＋2)x2＋4x＋a－1≥0， 当 a＋2＝0，即 a＝－2 时， 4x－3≥0 不恒成立， 当 a＋2≠0，即 a≠－2 时，
a＋2>0 ∆＝16－4(a＋2)(a－1)≤0
，
解得 a≥2. ∴a 的取值范围是[2，＋∞)．
[例 2]
迁移变式 2 1 A．[－3， ] 2
x＋5 (1)不等式 2≥2 的解集是 (x－1) 1 B．[－ ，3] 2
(
)
1 C．[ ，1)∪(1,3] 2
2
1 D．[－ ，1)∪(1,3] 2
1 (2)不等式 2x ＋2x－4≤ 的解集为________． 2
解：(1)首先 x≠1，在此条件下(x－1)2>0，根据不等式性质， 1 原不等式可化为 x＋5≥2(x－1) ，即 2x －5x－3≤0，解得－ 2
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教学设计说明
课题：一元二次不等式及其解法（第二课时）
一、本节数学内容的本质、地位、作用分析：
这一节课是《一元二次不等式及其解法》的第二课时，在本节课之前，学生已学习了二次函数，对一元二次不等式的解法有了初步的了解，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。
一元二次不等式解法是解不等式的基础和核心，它在高中代数中起着广泛应用的工具作用，蕴藏着“数与形结合”的重要思想方法，它已成为代数、三角、解析几何交汇综合的重要部分。
许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法，如函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等内容都密切相关。
概括地讲，本节课的地位体现在它的基础性，作用体现在它的工具性。
二、教学目标分析：
根据学生已有的认知基础，结合素质教育的要求，依据新课程标准，我确定了本节课的教学目标：
1、知识与技能目标：
（1）理解二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系；
（2）熟练掌握一元二次不等式的解法；
（3）掌握含参数的一元二次不等式的解法及简单的不等式中的恒成立问题的解题方法；
（4）培养学生数形结合的能力，分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。
2、过程与方法目标：
培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力。
3、情感态度价值观目标：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。
三、教学问题诊断：
学生已经学习过二次函数、一元二次方程，并在上一节课上初步学习了一元二次不等式的解法，已经了解到上述三者之间的关系，在此基础上确定本节课学生在新知识学习过程中可能出现的问题或者存在的困难:
（一）、对二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系的认识不够深刻，从而出现解题过程的错误，针对此本人设计了复习提问：
1、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系是什么？
2、解一元二次不等式的基本步骤是什么？
加深学生对知识的理解，并设计例题：解不等式：10732
≤-x x ，教师解题并分析，考虑到本题的重要性，我又设计了对应的学生演板（1）04422<-+-x x 和学生做题后进行提问，由此能解决这个问题。
（二）、关于含参数的一元二次不等式，已知解集求参数的值的问题。
这一类问题属于逆向思维，学习思维能力需一步提高，并涉及到一元二次方程根与系数
的关系，对此本人设计了例题：关于x 的不等式02<++b ax x 的解集为 {}21<<x x ，则=+b a ------- 。
引导学生共同参与，找到解决问题的方法，并设计学生练习：关于x 的
不等式 0232>+-x ax 的解集为 {}
b x x x ><或1 ，求a 、b 的值，进行巩固。
（三）、最困难的问题可能是：不等式中的恒成立问题。
这一类问题属于综合能力提高型的问题，学生需要在熟练掌握一元二次不等式的解题方法的基础上，数形结合，还要考虑到非一元二次不等式的情况，针对这一问题，本人设计了例题：如果关于x 的不等式：04)2(2)2(2<--+-x a x a 的解集为R ，求实数 a 的取值范围；师生共同参与，分析讨论，深入诱导，解决问题，并在此基础上设计练习：不等式0142>+-x mx 的解集为R,求m 的取值范围 ；要求学生演板，其他同学进行讨论分析，对演板结果进行评价，最终顺利解决这一问题。
本节课的教法特点以及预期效果分析
（一）教法分析：
引导：教师利用利用学生已有的知识引出问题，一方面使知识不断的深入；一方面激发学生学习的动机。
思考：遵循认知规律，设置有层次的问题让学生独立思考。
启发：在教学中，教师不断地启发学生思考问题的方向，有助于调动学生认识活动的积极性。
探究：分组探讨，把课堂主人的位置交给学生，数学规律应该由学生在探讨中发现。
（二）学法指导：
新课标理念倡导“以人为本”，强调“以学生发展为核心” ，本节主要要是教给学生“动手做，动眼看，动脑想，善提炼，勤钻研”的研讨式学习方法，这样做增加了学生自主参与，合作交流的机会，教给了学生获取知识的途径，思考问题的方法，使学生真正成为了教学的主体；这样做也能使学生“学”有新“思”，“思”有新“得”，“练”有新“获”。
（三）预期效果分析：
1、学生在复习回顾环节通过教师的提问引导，能够顺利解决问题。
2、学生在例题1中，例题能够顺利解决，通过学生演板练习（1）、讨论、评价，并复述练习（2）从而顺利解决问题；
3、学生在例题2中，例题通过教师引导、分析、学生讨论能够顺利解决，学生练习在学生讨论，教师指导的基础上，通过学生复述做题过程，其他学生补充完善，从而解决问题。
4、学生在例题3中，例题通过教师引导、分析、学生讨论能够顺利解决，学生练习在学生讨论，教师指导的基础上，通过学生复述做题过程，其他学生补充完善，从而解决问题。
5、课堂小结
总结本节课的学习的主要知识，由学生从知识、思想方法、解决问题的办法、经验等方面进行小结，老师适时补充提炼，以达到学生形成良好的认知结构。