2013-2017高考真题按知识点分类汇编(WORD版含解析)第八章第4节直线、平面平行的判定与性质

第四节 直线、平面平行的判定与性质题型95 证明空间中直线、平面的平行关系2013年1．（2013广东文8）设l 为直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是A ．若//l α，//l β，则//αβB ．若l α⊥，l β⊥，则//αβC ．若l α⊥，//l β，则//αβD ．若αβ⊥，//l α，则l β⊥ 2. （2013浙江文4）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面， A.若m α∥，n α∥，则m n ∥ B.若m α∥，m β∥，则αβ∥ C.若m n ∥，m α⊥，则n α⊥ D.若m α∥，αβ⊥，则m β⊥3. （2013山东文19） 如图，四棱锥P -ABCD 中，AB AC ⊥，AB PA ⊥，AB CD ∥， AB CD ＝2，E F G M N ，，，，分别为PB AB BC PD PC ，，，，的中点．（1）求证：CE ∥平面PAD ；（2）求证：平面EFG ⊥平面EMN ．4. （2013江苏16）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.求证：（1）平面//EFG 平面ABC ；（2）SA BC ⊥.5.（2013辽宁文18）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点.（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）设Q 为PA 的中点，G 为AOC △的重心，求证：QG ∥平面PBC .P M D C GE F B A NABS G F E1AQACB6. (2013陕西文18）如图，四棱柱1111-ABCD ABC D的底面ABCD是正方形，O为底面中心，1AO⊥平面ABCD，1AB AA==（1）证明：平面1A BD∥平面11CD B；（2）求三棱柱111-ABD A B D的体积.2014年1.（2014山东文18）如图所示，四棱锥P ABCD-中1,//,,,2AP PCD AD BC AB BC AD E F⊥==平面分别为线段,AD PC的中点.（1）求证：//AP BEF平面；（2）求证：BE PAC⊥平面.2.（2014安徽文19）如图所示，四棱锥ABCDP-的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为172.点HFEG,,,分别是棱PCCDABPB,,,上共面的四点，平面⊥GEFH平面ABCD，BC∥平面GEFH.（1）求证：;//EFGH（2）若2=EB，求四边形GEFH的面积.PFEDCBAA E BPD CFHG2015年1.（2015广东文18）如图所示， PDC △所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，4PD PC ==，6AB =，3BC =．(1)求证：//BC 平面PDA ； (2)求证：BC PD ⊥；(3)求点C 到平面PDA 的距离．1. 解析 （1）因为四边形ABCD 是长方形，所以//BC AD . 因为BC ⊄平面PDA ，AD ⊂平面PDA ，所以//BC 平面PDA . （2）因为四边形ABCD 是长方形，所以BC CD ⊥.因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面ABCD CD =，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面PDC .因为PD ⊂平面PDC ，所以BC PD ⊥. （3）解法一：取CD 的中点E ，连接AC 和PE ，如图所示. 因为4P D P C ==，所以P E C ⊥.在Rt PDE△中，PE==因为平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PDC 平面ABCD CD =，PE ⊂平面PDC ，所以PE ⊥平面ABCD .由（2）知BC ⊥平面PDC ，由（1）知//BC AD ，所以AD ⊥平面PDC .因为PD ⊂平面PDC ，所以AD PD ⊥.设点C 到平面PDA 的距离为h ，因为C PDA P ACD V V --=三棱锥三棱锥，所以1133PDA ACD S h S PE ⋅=⋅△△，即136212342ACD PDA S PE h S ⨯⨯⋅===⨯⨯△△， 所以点C 到平面PDA的距离是2.PD CBAEABC D PEHBCDP解法二：过点C 作CH DP ⊥交DP 的延长线于点H ，取CD 的中点E ，连接PE ，如图所示.由（2）知BC ⊥平面PDC ，由（1）知//BC AD ，所以AD ⊥平面PDC .又HC ⊂平面PDC ，所以AD HC ⊥. 因为PD AD D = ，所以HC ⊥平面PAD . 则CH 的长度即为点C 到平面PDA 的距离. 因为4PD PC ==，所以PE CD ⊥. 在PDE △与CDH △中，PDE CDH PED CHD ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，所以PDE CDH △∽△，所以PD PEDC CH =. 在Rt PDE △中，PE ==则46=CH =.故点C 到平面PDA.2.（2015江苏16）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知AC BC ⊥，1BC CC =． 设1AB 的中点为D ，11B C BC E =I ．求证：（1）DE ∥平面11AAC C ；（2）11BC AB ⊥．2.解析 （1）因为四边形11BCC B 是矩形，所以E 是1B C 的中点. 又D 是1AB 的中点， 因此DE 是1B CA △的中位线，故DE AC ∥.又DE ⊄平面11AAC C ，AC ⊂平面11AAC C ，所以DE ∥平面11AAC C ．（2）因为1CC ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以1AC CC ⊥，又AC BC ⊥，1BC CC C = ，从而AC ⊥平面11BCC B .因为1BC ⊂平面11BCC B ，所以1BC AC ⊥．ED A 1B 1C 1CBA因为1BC CC =，E 为1BC 的中点，所以11BC CB ⊥. 因为1AC CB C = ，所以1BC ⊥平面1AB C . 又因为1AB ⊂平面1AB C ，所以11BC AB ⊥．2016年1.(2016浙江文2)已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足//m α，n β⊥，则（ ）.A. //m lB. //m nC. n l ⊥D. m n ⊥1.C 解析 对于选项A ，因为l αβ= ，所以l α⊂.又因为//m α，所以m 与l 平行或异面.故选项A 不正确；对于选项B 和D ，因为αβ⊥，n β⊥，所以n α⊂或//n α.又因为//m α，所以m 与n 的关系平行、相交或异面都有可能.故选项B 和D 不正确；对于选项C ，因为,l αβ= 所以,l β⊂因为,n β⊥所以n l ⊥，故选项C 正确，故选C.2.(2016上海文16)如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为1BC BB ,的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（ ）. A.直线1AAB.直线11A BC.直线11A DD.直线11B C2.D 解析 易知EF 与1AA 在两个平行平面内，故不可能相交；EF ∥平面11A B C ，11A B ⊂平面11A B C ，故不可能相交；同理与11A D 也不可能相交；EF与11B C 均在平面11BCC B 内，且EF 与11B C 不平行，故相交，其交点G 如图所示.故选D.1A BBA 13.（2016江苏16）如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别为,AB BC 的中点，点F 在侧棱1B B 上，且11B D A F ⊥，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线//DE 平面11AC F ； （2）平面1B DE ⊥平面11AC F .3.解析 （1）因为,D E 分别为,AB BC 的中点，所以DE 为ABC △的中位线，所以//DE AC ，又因为三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，故11//AC AC ，所以11//DE AC ，又因为11AC ⊂平面11AC F ，且11DE AC F ⊄，故//DE 平面11AC F .（2）三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，所以1AA ⊥平面111A B C .又11AC ⊂平面111A B C ， 故111AA AC ⊥.又1111AC A B ⊥，且1111AA A B A = ，111,AA A B ⊂平面11AA B B ， 所以11AC ⊥平面11AA B B .又因为1B D ⊂平面11AA B B ，所以111AC B D ⊥. 又因为11A F B D ⊥，1111AC A F A = ，且111,AC A F ⊂平面11AC F ， 所以1B D ⊥平面11AC F .又因为1B D ⊂平面1B DE ，所以平面1B DE ⊥平面11ACF .4.（2016天津文17）如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，AB EF ∥，2AB ＝，1BC EF ==，AE =，3DE =，60BAD ∠= ，G 为BC 的中点.（1）求证：FG ∥平面BED ；（2）求证：平面BED ⊥平面AED ；（3）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.4.解析 （1）如图所示，取BD 的中点为O ，联结OE ，OG . 在BCD △中，因为G 是BC 的中点，所以DC OG ∥且112OG DC ==. 又因为AB EF ∥，DC AB ∥，所以OG EF ∥且EF OG =，即四边形OGFE 是平行四边形，所以OE FG ∥.又FG ⊄平面BED ，OE ⊂平面BED ，所以FG ∥平面.BEDOABCDEFG（2）在ABD △中，1AD=，2AB =，60BAD ∠= .由余弦定理可得3=BD ，进而可得90ADB ∠= ，即AD BD ⊥.又因为平面⊥AED 平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面 AED 平面AD ABCD =，所AC DEFA 1B 1C 1GF EDCBA以⊥BD 平面AED .又因为⊂BD 平面BED ，所以平面⊥BED 平面AED .（3）因为AB EF //，所以直线EF 与平面BED 所成角即为直线AB 与平面BED 所成角. 过点A 作DE AH ⊥于点H ，连接BH ，如图所示.H ABCDEFG又因为平面 BED 平面ED AED =，由（2）知⊥AH 平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成角即为ABH ∠. 在ADE △中，6,3,1===AE DE AD .由余弦定理可得32cos =∠ADE ，所以35sin =∠ADE ， 因此35sin =∠⋅=ADE AD AH . 在Rt AHB △中，65sin ==∠AB AH ABH ， 所以直线AB 与平面BED 所成角的正弦值为65.5（2016山东文18）在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，EF DB . （1）已知AB BC =，AE EC =. 求证：AC FB ⊥；（2）已知,G H 分别是EC 和FB 的中点.求证：GH 平面ABC .5. 解析 （1）因为EF BD ，所以EF 与BD 确定一个平面BDEF ，连接DE ，如图（1）所示. 因为,AE EC D =为AC 的中点，所以AC DE ⊥；同理可得AC BD ⊥. 又因为D DE BD = ，所以⊥AC 平面BDEF ，因为⊂FB 平面BDEF ，所以FB AC ⊥.（2）设FC 的中点为I ，连接HI GI ,，如图（2）所示.在CEF △中，G 是CE 的中点，所以GI EF .又EF DB ，所以GI DB ；在CF B △HFEGDC A中，H 是FB 的中点，所以HI BC .又I HI GI = ，DB BC B = ，所以平面GHI 平面ABC .因为⊂GH 平面GHI ，所以GH 平面ABC .（1） (2)6.（2016全国丙文19）如图所示，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点. （1）证明//MN 平面PAB ； （2）求四面体N BCM -的体积.6.解析（1）取PB 中点Q ，连接AQ 、NQ ，因为N 是PC 中点，//NQ BC ，且12NQ B C =，又22313342AM AD BC BC ==⨯=，且//AM BC ，所以//QN AM ，且QN AM =，所以四边形AQNM 是平行四边形.所以//MN AQ . 又MN ⊄平面PAB ，AQ ⊂平面PAB ，所以//MN 平面PAB .PN MDCBAIACDG EFHAC DGEFHPQNMDCBA(2)由(1) //QN 平面ABCD . 所以1122N BCM Q BCM P BCM P BCA V V V V ----===.所以1114236N BCM ABC V PA S -=⨯⋅=⨯⨯△2017年1.（2017全国1文6）如图所示，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（ ）.1.解析 由选项B ，//AB MQ ，则直线//AB 平面MNQ ；由选项C ，//AB MQ ，则直线//AB 平面MNQ ；由选项D ，//AB NQ ，则直线//AB 平面MNQ .故选项A 不满足.故选A.2.（2017全国2文18）如图所示，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，12AB BC AD ==，o 90BAD ABC ∠=∠=. （1）证明：直线//BC 平面PAD ；（2）若PCD △面积为P ABCD -的体积.PABCD解析 （1）在平面ABCD 内，因为90BAD ABC ∠=∠= ，所以//BC AD . 又BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，故//BC 平面PAD .B.AM NQBA.M NQ BA C.AM QNBD.BANQM（2）取AD 的中点M ，联结PM ，CM . 由12AB BC AD ==，及//BC AD ，90ABC ∠=，得四边形ABCM 为正方形，则CM AD ⊥. 因为侧面PAD 是等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，所以PM AD ⊥，因为PM ⊂平面PAD ，所以PM ⊥平面ABCD .因为CM ⊂平面ABCD ，所以PM CM ⊥.设BC x =，则CM x =，CD =，PM =，2PC PD x ==.取CD 的中点N ，联结PN ，则PN CD ⊥，所以PN =.因为PCD △的面积为12x =，解得2x =-（舍去），2x =，于是2AB BC ==，4AD =，PM =.所以四棱锥P A B C -的体积()22413332V ⨯+=⨯⨯=3.（2017山东文18）由四棱柱1111ABCD A BC D -截去三棱锥111C B CD -后得到的几何体如图所示，四边形ABCD 为正方形，O 为AC 与BD 的交点，E 为AD 的中点，1A E ⊥平面ABCD .（1）证明：1//AO 平面11B CD ；（2）设M 是OD 的中点，证明：平面1A EM ⊥平面11B CD .解析（1）如图所示，取11B D 中点F ，联结1,CF A F ，由于1111ABCD A BC D -为四棱柱， 所以1//A F CO ，1=A F CO ，因此四边形1AOCF 为平行四边形，所以1//AO FC . 又FC ⊂平面11B CD ，1AO ⊄平面11B CD ，所以1//AO 平面11B CD .（2）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，E ，M 分别为AD 和OD 的中点，所以EM BD ⊥.又 1A E ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A E BD ⊥.因为 11//B D BD ，所以11111EM B D A E B D ⊥⊥，. 又1,A E EM⊂平面1A EM ，1A E EM E = ，所以11B D ⊥平面1A EM ，又11B D ⊂平面11B CD ，所以平面1A EM ⊥平面11B CD .解析（1）如图所示，取11B D 中点F ，联结1,CF A F ，由于1111ABCD A BC D -为四棱柱， 所以1//A F CO ，1=A F CO ，因此四边形1AOCF 为平行四边形，所以1//AO FC . 又FC ⊂平面11B CD ，1AO ⊄平面11B CD ，所以1//AO 平面11B CD .（2）因为四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，E ，M 分别为AD 和OD 的中点，所以EM BD ⊥.又 1A E ⊥面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1A E BD ⊥. 因为 11//B D BD ，所以11111EM B D A E B D ⊥⊥，. 又1,A E EM⊂平面1A EM ，1A E EM E = ，所以11B D ⊥平面1A EM ，又11B D ⊂平面11B CD ，所以平面1A EM ⊥平面11B CD .4.（2017江苏15）如图所示，在三棱锥A BCD -中，AB AD ⊥，BC BD ⊥， 平面ABD ⊥平面BCD ， 点,E F （E 与,A D 不重合）分别在棱,AD BD 上，且EF AD ⊥． 求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD AC ⊥．ABDCEF解析 （1）在平面ABD 内，因为AB AD ⊥，EF AD ⊥，且点E 与点A 不重合，所以//EF AB .又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以//EF 平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，所以BC ⊥平面ABD .因为AD ⊂平面ABD ，所以BC AD ⊥.又AB AD ⊥，BC AB B = ，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC .又因为AC ⊂平面ABC ，所以AD AC ⊥.题型96 与平行有关的开放性、探究性问题2014年27.（2014四川文18）在如图所示的多面体中，四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形. （1）若AC BC ⊥，求证：直线BC ⊥平面11ACC A ； （2）设D ，E 分别是线段BC ，1CC 的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线//DE 平面1A MC ？请证明你的结论.2015年1A1.（2015陕西文18）如图1所示，在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，π2BAD ∠=， 12AB BC AD a ===，E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE △沿BE 折起 到图2中1A BE △的位置，得到四棱锥1A BCDE ﹣时，四棱锥1A BCDE ﹣的体积为， 求a 的值.1.解析 (1)在图1中，因为12AB BC AD a ===，E 是AD 的中点，π2BAD ∠=，且//AD BC 所以四边形ABCE 是正方形，故BE AC ⊥.又在图2中，1BE AO ⊥，BE OC ⊥，从而BE ⊥平面1AOC . 又 //DE BC 且DE BC =，所以//CD BE ，即可证得CD ⊥平面1AOC ； (2)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE 平面BCDE BE =.又由(1)知，1AO BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ，即1AO 是四棱锥1A BCDE ﹣的高，且122AO AO AB a ===.平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=， 从而四棱锥1A BCDE ﹣的体积31136V S AO =⨯⨯=， 3=6a =. 2016年1.（2016四川文17）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，BC AD ∥，90ADC PAB ∠=∠=o ，12BC CD AD ==. （1）在平面PAD 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PAB ，并说明理由；（2）证明：平面PAB ⊥平面.PBDO EDCBA A 1A ()BCDEOPABCD1.解析（1）取棱AD 的中点M (M ∈平面)PAD ，点M 即为所求的一个点. 证明如下：因为12AD BC BC AD =∥，，所以BC AM ∥，且.BC AM = 所以四边形AMCB 是平行四边形，从而.CM AB ∥ 又AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以CM ∥平面.PAB(说明：取棱PD 的中点N ，则所找的点可以是直线MN 上任意一点).（2）由已知， PA AB PA CD ⊥⊥，，因为12BC BC AD AD =∥，，所以直线AB 与CD 相交，所以PA ⊥平面.ABCD 从而.PA BD ⊥因为12BC BC AD AD =∥，，所以MD BC ∥，且.BC MD = 所以四边形BCDM 是平行四边形.所以12BM CD AD ==，所以.BD AB ⊥又AB AP A =I ，所以BD ⊥平面.PAB 又BD ⊂平面PBD ，所以平面PAB ⊥平面.PBD2.（2016北京文18）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥平面ABCD ，,AB DC DC AC ⊥ . （1）求证：DC ⊥平面PAC ； （2）求证：平面PAB ⊥平面PAC ；（3）设点E 为AB 的中点，在棱PB 上是否存在点F ，使得PA 平面CEF ?说明理由.2.解析 （1）因为PC ⊥平面ABCD ，所以PC DC ⊥.MDCBAPMDCBAP又因为DC AC ⊥，AC PC C = .所以DC ⊥平面PAC .（2）由（1）知，DC ⊥平面PAC ，又//AB DC ，所以AB ⊥平面PAC . 又AB ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PAC（3）棱PB 上存在点F ，使得PA 平面CEF .证明如下.取PB 中点F ，联结,,EF CE CF .又因为E 为AB 的中点，所以EF PA . 又因为PA ⊄平面CEF ，所以PA 平面CEF .FBC DPE本资源由免费免注册的资源站备课吧 搜集,若喜欢该资源请向作者购买!。