奥数初级上第19讲
四年级上册奥数第19讲 解决问题(二)
第19周解决问题（二）专题简析：解答复合应用题时一般有以下四个步骤：1、弄清题意，找出已知条件和所求问题。
2、分析已知条件和所求问题之间的关系，找出解题的途径。
3、拟定解答计划，列出算式，算出得数。
4、检查解答方法是否合理，结果是否合理，最后写出答案。
例1:某电冰箱厂要生产1560台电冰箱，已经生产了8天，每天生产120台，剩下的每天生产150台，还需要多少天才能完成任务？练习：1、自行车厂计划生产9900辆自行车，前10天平均每天生产460辆，由于改进技术，后来每天生产530辆，完成这批任务还要多少天？2、某工厂计划生产20900个零件，前5天平均每天生产2100个，后来改进操作方法，每天生产2600个，这样完成这批任务还要多少天？3、某发电厂运来一批煤，计划每天烧300吨，20天用完，后来改进技术，每天少烧60吨，这批煤实际可以烧多少天？例2:师傅和徒弟同时开始分别加工200个零件，师傅每小时加工25个，师傅完成任务时，徒弟还要做2小时才能完成任务。
徒弟每小时加工多少个？练习：1、张师傅和李师傅同时开始分别做90个玩具，张师傅每天做10个，张师傅完成任务时，李师傅还要做1天才能完成任务。
李师傅每天做多少个？2、小华和小明同时开始写大字，各写了192个，小华每天写24个，小华完成任务时，小明还要写4天才能完成。
小明每天写多少个字？3、同学们折纸鹤，计划20天折2400个，实际每天多折30个，这样可提前几天完成任务？例3:甲、乙两地相距200千米，汽车行驶完全程要5小时，步行要40小时。
张强从甲地出发，先步行8小后改乘汽车，还需要几小时到达乙地？练习：1、玩具厂一车间要生产900个玩具，如果用手工做要20小时才能完成，用机器做只需要4小时。
一车间工人先用手工做了5个小时，后改用机器生产，还需要几小时才能完成任务？2、甲、乙两地相距200千米，汽车行驶完全程要5小时，步行要40小时。
张强从甲地出发，先乘汽车4小时后改为步行，他从甲地到乙地共用了多少小时？3、A、B两城相距300千米，骑摩托车行驶完全程要5小时，自行车要25小时。
小学数学奥数基础教程(三年级)--19.doc
小学数学奥数基础教程(三年级)本教程共30讲第19讲能被3整除的数的特征上一讲我们讲了能被2, 5整除的数的特征，根据这些特征，很容易就能判别出一个数是否能被2或5整除。
同学们自然会问，有没有类似的简便方法，直接判断一个数能否被3整除？我们先具体观察一些能被3整除的整数：18, 345, 4737, 2567418能被3整除，1+8=9也能被3整除；345能被3整除,3+4+5=9也能被3整除;4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除；25674能被3整除,2+5+6+7+4=24也能被3整除。
怎么这么巧？我们再试一个:7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45 也能被3整除。
好了，不用再试了，同学们可能己经在想：“是不是所有能被3整除的数的各位数字的和都能被3整除？”结论是肯定的。
它的一般性证明这里无法介绍，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
由99和9都能被3整除，推知(7X99+4X9)能被3整除。
再由741 能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之,由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。
因此，判断一个整数能否被3整除的简便方法是：如果整数的各位数字之和能被3整除，那么此整数能被3整除。
如果整数的各位数字之和不能被3整除，那么此整数不能被3整除。
例1判断下列各数是否能被3整除：2574, 38974, 587931。
解：因为2+5+7+4=18, 18能被3整除，所以2574能被3整除；因为3+8+9+7+4=31, 31不能被3整除,所以38974不能被3整除;因为5+8+7+9+3+1=33, 33能被3整除,所以587931能被3整除。
为了今后使用方便，我们介绍一个表示多位数的方法。
半一•个多位数中有一个或儿个数字用字母来表示时，为防止理解错误，就在这个多位数的上面划一线段来表示这个多位数。
例如，疝表示这个三位数的百、十、个位依次是3, a, 5；又如，布布■表示这个四位数的千、百、十、个位依次是a, b, c, do例2六位数商豌能被3整除，数字a二?解：2+5+7+a+3+8=25+s要使25+a能被3整除，数字d只能是2, 5或8。
四年级奥数教程第19讲--数码问题
第一课 基础部分
例1、一个两位数，十位数字是个位数字的2倍，如果这个数加上4， 所得的两位数的两个数字就相同。求这个两位数。
【分析】所求的两位数受到两个条件限制。 符合条件“十位数字是个位数字的2倍”的两位数比较少，并且比较容易获得，
（2）几百年前，哥伦布发现了美洲新大陆，那年年份的四个数字
各不相同，它们的和等于16.如果十位数字加1后的十位数字恰好等
于个位数字的5倍，那么哥伦布发现美洲新大陆是在公元
年
例3、4个连续自然数的和是206，求这四个连续自然数各是多少？
206
第一个数
第二个数
第三个数
第四个数
【分析】连续自然数相邻两数相差1，所以我们可以跟根据题目画出以上示意图
解：这样的数有1+2+3+……+9=45（个）
例4、一个数减去120，小芳计算时错把百位数与个位数上的数字互换了， 结果得117。正确的得数是多少？
百位与个位对换
？
？
-120
117
【分析】因看错而得到一个错误的答案，且从错误答案找出正确答案。这里存在这还原 问题，即从错误的结果还原出正确的结果。我们用图示的方式来分析下。
例6、一本辞典共有500页，编印页码1，2，3，4，5，……，499，500。 问：数字1在页码中共出现了多少次？
【分析】要知道这题的答案非常简单，我们可以把1-500写出来，再一个个的数出来。我 想这个方法很多小朋友都会。如果是1-50的话，估计很多小朋友就会这样去做。
观察也是做数学题目的基本技能，通过观察去发现规律，这可以让我们做得又快又好。 显然，在1-500中，1-99，100-199，200-299，300-399，400-499，数码是在有规律的 出现。因此，我们可以进行分类讨论。
三年级奥数第19讲等量代换(学生版)
三年级奥数第19讲等量代换（学生版）利用生活的相等关系进行推理,并进行等量代换通过等量代换思想学习图文算式,培养学生的逆向思维和发散思维在代换中锻炼学生的分析问题能力和推理判断能力等量代换问题主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量,从而帮助我们找到解题方法的一类典型应用题。
“鸡兔同笼”问题就属于一种比较典型的等量代换问题,其中,历史上的“曹冲称象”就是运用了等量代换的方法解决了问题。
解决等量代换问题的基本方法是：在某些问题中,存在着两个相等的量,根据题目所给出的已知条件与未知数量之间的关系,用一个未知量代替另一个未知数量,从而找出解题的方法。
解决等量代换问题应注意下面两点：①根据数量关系把两种数量转换成一种数量,从而找出解题方法；②把两种数量假设为一种数量,从而找出解题方法。
例1、看下图,右边要站几只小鸟跷跷板才能平衡.例2、水果兄弟们也组成了各种不同的图文算式,它们各代表一个数,你能猜出它们各代表几吗?学习目标知识梳理典例分析例3、下面的符号各代表一个数,相同的符号代表相同的数,它们各代表几呢?例4、根据下面算式,算出△、○、□各表示几?例5、1头大象的重量等于4头牛的重量,l头牛的重量等于3匹马的重量,则1头大象的重量等于多少匹马的重量?例6、巳知＝60克,求＝?克．例7、下面的天平是不平衡的,但除了天平上的砝码,周围已找不到别的砝码了．你能通过移动天平上的砝码,使天平平衡吗?例8、3只小花猫的重量等于1只狗的重量,1只小花猫等于3只鸭的重量,1只狗重9千克,1只猫与1只鸭各重多少千克?➢课堂狙击1、下图中第三个盘子应放几个小方块才能保持平衡?2、下面的图形各表示什么数?3、根据下面的算式,你知道、、各代表数字几?实战演练4、1头猪的重量等于8只兔的重量,而1只兔的重量又等于2只公鸡的重量,那么1只猪的重量是几只公鸡的重量?5、你能通过移动天平上的砝码,使下面的天平平衡吗?6、如果1个笔记本的价钱等于5块橡皮的价钱,4个文具盒的价钱等于40块橡皮的价钱．已知1个笔记本的价钱是3元,那么1个文具盒的价钱是多少?➢课后反击1、第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡．2、求下面图形所表示的数.3、第三个盘子应放几个玻璃球才能保持平衡?4、已知买1个汉堡包的钱可以买2个冰激凌,买1个冰激凌的钱可以买3杯牛奶：求：（1）买60杯牛奶的钱可以买几个汉堡包?（2）买60个汉堡包的钱可以买多少杯牛奶?5、你能通过移动天平上的砝码,使下面的天平平衡吗?6、1串葡萄的重量等于3个梨的重量,2个梨的重量等于80克,1串葡萄重多少克?解答此类应用题时要根据题目中所给的条件,找出相等的量,然后再进行等量代换。
小学三年级奥数第19讲 重叠问题(含答案分析)
第19讲重叠问题一、知识要点三（1）班准备给参加班级绘画比赛的16位同学和参加朗读比赛的12位同学每人发一份纪念品，当中队长玲玲将28份纪念品发下去时，却多出5份，这是怎么回事？对了，因为有5位同学既参加了绘画比赛，又参加了朗读比赛，所以奖品就多出了5份。
数学中，我们将这样的问题称为重叠问题。
解答重叠问题要用到数学中的一个重要原理——包含与排除原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
解答重叠问题的应用题，必须从条件入手进行认真的分析，有时还要画出图示，借助图形进行思考，找出哪些是重复的，重复了几次？明确求的是哪一部分，从而找出解答方法。
二、精讲精练【例题1】六一儿童节，学校门口挂了一行彩旗。
小张从前数起，红旗是第8面；从后数起，红旗是第10面。
这行彩旗共多少面？练习1：1、小朋友排队做操，小明从前数起排在第4个，从后数起排在第7个。
这队小朋友共有多少人？2、学校组织看文艺演出，冬冬的座位从左数起是第12个，从右数起是第21个。
这一行座位有多少个？【例题2】同学们排队做操，每行人数同样多。
小明的位置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是第5个，从后数起是第6个。
做操的同学共有多少个？练习2：1、同学们排队跳舞，每行、每列人数同样多。
小红的位置无论从前数从后数，从左数还是从右数起都是第4个。
跳舞的共有多少人？2、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。
鲜花队共多少人？【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。
如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？练习3：1、把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。
这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？2、把两块一样长的木板钉在一起，钉成一块长35厘米的木板。
【七年级奥数】第19讲 整除（例题练习）
第19讲整除——例题一、第19讲整除1.在100以内同时被2、3、5整除的正整数有多少个?【答案】解：由于2与3互质，3与5互质，5与2互质(这种特性我们也称为2、3、5两两互质)，根据性质5，同时被2、3、5整除的整数必然被2×3×5=30整除；另一方面，由性质1，被30整除的整数必然可同时被2、3、5整除；因此，在100以内同时被2、3、5整除的正整数就是在100以内被30整除的正整数，显然只有30、60、90三个.【解析】【分析】两两互质，则同时被整除的正整数就是被整除的正整数，这也是一个非常有用的结论.一般地，在以，不一定两两互质时，有下面的结论：同时被整除的正整数就是被的最小公倍数整除的整数.另外，在求100以内被30整除的正整数的个数时，并不一定要把30、60、90全部列出，只要用100除以30，则商3便是所求的个数.2.求1000以内同时被3、4、5、6整除的正整数的个数.【答案】解：∵3、4、5、6的最小公倍数为60，∴1000以内同时被3、4、5、6整除的正整数就是被60整除的正整数；∵1000÷60=16……40，∴这样的正整数共有16个.【解析】【分析】一般地，在a1，a2，...，a m，不一定两两互质时，有下面的结论：同时被a1，a2，...，a m整除的正整数就是被a1，a2，...，a m的最小公倍数整除的整数.用1000除以60，商就要求得正整数的个数.3.证明：形如的六位数一定被7、11、13整除.【答案】证明: =×1001=×7×11×13.由此可见，被7、11、13整除.【解析】【分析】a1，a2， ..，a m两两互质，则同时被a1，a2，...，a m整除的正整数就是被a1⋅a2⋅...⋅a m整除的正整数；根据题意可知这个六位数中有因数1001=7×11×13，从而得证.4.设五位数被72整除，求数字x与y.【答案】解：∵72=8×9，∴被8与9整除. 、一个数被8整除时，它最后三位组成的数一定被8整除；所以能被8整除；通过除法运算，不难得到y=2.一个数被9整除时，它的数字和被9整除，所以x+6+7+9+2=x+24被9整除；注意到0<x≤9，因此，x只能为3，∴x=3，y=2.【解析】【分析】本题利用被8与9整除的整数的一些特征，顺利地解决了问题。
第19讲-表面积和体积(习题导学案教案)(奥数实战演练习题)
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：
课后反击
1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？
2、有一个长方体如下图18-10所示，它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？
3、一包香烟的形状是长方体，它的长是9厘米，宽是5厘米，高是2厘米。把10包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算需要多少包装纸（包转念能够纸的重叠部分忽略不计）。你认为哪一种包装比较合理？
7、如右图18-9所示，由三个正方体木块粘合而成的模型，它们的棱长分别为1米、2米、4米，要在表面涂刷油漆，如果大正方体的下面不涂油漆，则模型涂刷油漆的面积是多少平方米？
8、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的厂房体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？
（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。
（3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。
（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。
本节课我学到了
我需要努力的地方是
解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：
（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降部分的体积等干物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。
四年级奥数第19讲-巧算年龄(教)
学科教师辅导讲义学员编号：年级：四年级课时数：3学员姓名：辅导科目：奥数学科教师：授课主题第19讲-巧算年龄授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①学习了解年龄问题的常见类型；②利用这些和，差，倍来解决一些较简单的问题；③通过学生解决问题的过程，激发学生的创新思维，培养学生学习的主动性和坚韧不拔、勇于探索的意志品质。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂1、认识年龄问题年龄问题是一类与计算有关的问题，它通常以和倍、差倍或和差等问题的形式出现。
有些年龄问题往往是和、差、倍数等问题的综合，需要灵活地加以解决。
2、解决年龄问题的三条规律（1）无论是哪一年，两人的年龄差总是不变的；（2）随着时间的向前或向后推移，几个人的年龄总是在减少或增加相等的数量；（3）随着时间的变化，两人的年龄之间的倍数关系也会发生变化。
知识梳理典例分析考点一：差倍年龄问题例1、三年前爸爸年龄是女儿的4倍，爸爸今年43岁，女儿今年多少岁？【解析】由题意可知爸爸今年43岁，则三年前爸爸的年龄是43－3=40岁，40岁正好是女儿年龄的4倍，女儿三年前的年龄是40÷4=10岁，今年女儿的年龄是10＋3=13岁。
例2 、明明4岁时，妈妈年龄是明明的8倍。
今年明明12岁，妈妈今年多少岁？【解析】妈妈的年龄是明明的8倍，那么妈妈与明明的年龄相差4×8－4=28岁。
妈妈与明明的年龄差是不变的，今年明明12岁，那么妈妈的年龄是12＋28=40岁。
例3、爸爸今年43岁，儿子今年11岁。
几年后爸爸的年龄是儿子的3倍？【解析】儿子出生后，无论在哪一年，爸爸和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是43－11=32岁。
所以，当爸爸的年龄是儿子3倍时，儿子是32÷（3－1）=16岁，因此16－11=5年后，爸爸的年龄是儿子的3倍。
例4、妈妈今年36岁，儿子今年12岁。
几年后妈妈年龄是儿子的2倍？【解析】儿子出生后，无论在哪一年，妈妈和儿子的年龄差总是不变的，这个年龄差是36－12=24岁。
高斯小学奥数含答案三年级(上)第19讲分组法进阶
通过上一讲的学习，同学们对于假设法有了更为深入的了解，这一讲我们就来深入学习解决鸡兔同 笼问题的另一种重要方法一一分组法.题目中的倍数关系往往是分组的依据，像例题1那样，条件说：“兔子数量是鸡的3倍”于是就把3只兔子和1只鸡分为1组. 例题1鸡兔同笼，兔子数量是鸡的 3倍，且兔子腿数比鸡腿数多 90条•求鸡和兔子各有几只？分析：兔子的数量是鸡的 3倍，则一组中应为什么样子？注意一组中兔子腿比鸡腿多几条？月專於 ----------------- 第十九讲分组法进阶 /77 话芒 0 看采起作用了厂说了好蚤了, 可驼鸟们木生气了 .完全不理我！ *能不能 让斑马们帮 .帮忙和？ 班马溝帮忙，保 护我们一下.过一会儿 Ji 法失效就好了. 厂还好斑马数、 量挹駝鸟的3倍.不 、然我们今犬就轄了. 飞们快疔r 观其他区域吧！ - _____________ •"■ I 跟鸵鸟说说好 個持了几分钟后，卡莉娅的雇诜渐斯失效了，鸵 刍怕又恢复了原状，也不再发怒了. 7 777\例题2独角兽数量比九角怪的3倍多5只，且九角怪比独角兽的角数多91个.求九角怪有几只？分析：一组中应为什么样子？注意将多余的5只独角兽对应的角减去，这时两种动物的角数差几个呢?练习2三脚猫数量比五脚蛇的3倍多2只，且三脚猫脚数比五脚蛇脚数多94只•求三脚猫有几只？前面几道例题都采用了分组的方法•要特别指出的是我们要从题目条件出发，选择适当的分组方式.如果知道的是两种动物的数量差，那么每组中就各有一个；如果知道两种动物的倍数关系，那么就按照倍数关系分组；如果两种动物的关系是几倍多几或者几倍少几，则可以通过“减多余”或“补不足”来凑成整倍数，然后求解.例题3中秋节前夕，公司给员工发购物券.市场部每人得到2张月饼券和3张水果券，技术部每人得到2张月饼券和4张水果券.已知技术部得到的月饼券比市场部得到的多10张，且技术部得到的水果券比市场部得到的多64张，问：市场部和技术部各有多少人？分析：根据技术部得到的月饼券比市场部得到的多10张且市场部和技术部每人都有2张月饼券能否分析出两个部门之间的人数差？再根据这个人数差画出水果券的分组图？练习3儿童节前夕，老师给学生们发礼品. 男生每人得到1支铅笔和3张电影券，女生每人得到1支铅笔和4张电影券•已知男生得到的铅笔数量与女生得到的铅笔数量一样，一共发了56张电影券，问：男生和女生各有多少人？例题3中涉及的关系比较多，一定要注意找出其中的不变量是什么？上节课在学习假设法进阶时提到过有时的不变量是某个单一元素，有时是和不变，有时是差不变.本题的核心在于不管是市场部还技术部每人所得的月饼券都是2张，这就是不变量，也是本题的突破口，从而可以弄清市场部和技术部“头和”的方法.人数上的差，从而得出“头差”，这就是解决隐藏“头差”的方法寻找不变量，同时也是寻找隐藏例题4鸡兔同笼，鸡的腿数和兔的腿数一样多，而鸡比兔子多了15只，那么笼子里有多少只兔子?分析：几只鸡和1只兔子的腿数一样多？练习4鸡兔同笼，鸡的腿数和兔的腿数一样多，而鸡比兔子多了20只，那么一共有多少只鸡？例题4中没有明确给出倍数关系，但通过“腿数一样多”提示了2倍的关系•其实例题4也可以通过“鸡比兔子多了15只”来分组，因为这句话换个说法就是“鸡比兔子的1倍多15只”，因此也可以把1只鸡与1只兔子分为一组来解决.例题5高思地下停车库停了很多车，其中三轮车的轮子数是自行车轮子数的3倍，且三轮车比自行车多18辆，那么三轮车和自行车各有多少辆？（提示“三轮车有三个轮子，自行车有两个轮子”）分析：三轮车的轮子数是自行车轮子数的3倍，那么几辆三轮车几辆自行车在一组中？本堂的核心在于“头倍腿差”的题型以及“腿倍”的题型，其中“头倍腿和”与“头倍腿差”非常类似，都是要先“分组”，若是腿和则要找出每组所对应的“腿和”，若是腿差则要找出每组所对应的“腿差”.若遇到非整倍的题目，一定要注意“减多余，补不足”的原则•接下来是关于“腿倍”的题型，可以根据“腿倍”转化为“头倍”，再进行求解•其中会有一些稍难的题型，如涉及到不变量的题型，一定要注意寻找隐藏的不变量.鸡兔同笼，鸡和兔共有46条腿.如果将鸡与兔的数量互换，那么总腿数变为38条，请问原来鸡和兔各有几只？分析：如果开始和互换后总腿数相加代表什么？课堂内外作业1. 某班男生一顿可以吃10个包子，女生一顿可以吃7个包子.全班男生是女生的2倍，一顿一共可以吃297个包子，那么全班一共有多少名学生？126人，请问有多少把红凳子?4.圣诞节前夕，圣诞老人发小礼品.男生每人得到3张玩具券和3张礼品券，女生每人得到3张玩具券和4张礼品券•已知男生得到的玩具券比女生得到的玩具券多15张，一共发了155张礼品券，问男生和女生各有多少人？5.兔的腿数是鸡的腿数的2倍，且鸡兔共有30只，请问有多少只鸡?答案：鸡有9只；兔有27只详解：把3只兔子1只鸡分成1组•现兔腿比鸡腿多 90条，每组兔腿比鸡腿多 4 3 2 10条，所 以共有90 10 9组，那么有鸡9 19只，兔子9 3 27只.2. 例题2答案：九角怪有16只；独角兽有53只 详解：把3只独角兽1只九角怪分成1组•现在独角兽比九角怪的3倍多5只，所以如果去掉 5 只独角兽，那么正好能够分成若干组后独角兽和九角怪都没有多余•现九角怪比独角兽的角数多 91个，去掉5只独角兽后九角怪比独角兽的角数多91+5=96个，每组九角怪比独角兽的角数多 9 13 6个，所以共有96 6 16组，那么有九角怪16 1 16只，独角兽16 3 5 53只. 3. 例题3答案：市场部有44人；技术部有49人详解：发现不管是技术部还是市场部每人都是 2张月饼券，且技术部比市场部多 10张，则技术部 人多，且比市场部多10 2 5人，这时进行分组，相当于一个市场部和一个技术部为一组，会多 出5个技术部的人，也就是多出 5 4 20张水果券，将这20张水果券去掉，就会变为技术部得到的水果券比市场部多 64 20 44张，每组技术部比市场部多 1张水果券，则会有44 3 2 44组, 则有44个市场部的人，49个技术部的人.4. 例题4答案：15只详解：鸡和兔子的腿数一样多，就按照腿数一样多分组， 2只鸡和1只兔子的腿数一样多，所以每 2只鸡和1只兔子分成一组，每组鸡比兔子多了： 2 1 1只，所以共有15 1 15组，兔子15 1 15 只.5. 例题5答案：三轮车有 36辆；自行车有18辆详解：三轮车是自行车轮子数的 3倍，则说明一组中应该有 2辆三轮车和1辆自行车，这样就可以 保证一组的轮子数是三倍关系，且三轮车比自行车多18辆，变为一道差倍问题，则自行车： 182 1 18辆，三轮车有 36辆. 6. 例题6答案：鸡有5只；兔有9只详解：把1只鸡和1只兔子分成一组，多出来的动物单方在一边•现在鸡、兔互换，在同一组内部 鸡、兔互换没有任何变化，有变化的应该是多出来无法分组的动物.现在腿数变少了，应该是兔子 变成了鸡，因此原来兔子比鸡多. 1只兔子变成1只鸡会少2条腿，所以多出来 46 38 2 4只兔子，即原来兔子比鸡多 4只•由此进行进一步分析，马上就有原来鸡7. 练习1答案：鸡有14只；兔有28只简答：把2只兔子1只鸡分成1组•现兔腿比鸡腿多 84条，每组兔腿比鸡腿多 4 2 2 6条，所 以共有84 6 14组，那么有鸡14 1 14只，兔子14 2 28只.8. 练习2答案：三脚猫有68只简答：把3只三脚猫1只五脚蛇分成1组•现在三脚猫比五脚蛇的 3倍多2只，所以如果去掉 2只三脚猫，那么正好能够分成若干组后三脚猫和五脚蛇都没有多余•现三脚猫比五脚蛇的脚数多 第十九讲分组法进阶5只，兔子9只.94 只，去掉2 只三脚猫后三脚猫比五脚蛇的脚数多94 6 88只，每组三脚猫比五脚蛇的脚数多3 3 1 5 4只，所以共有88 4 22组，那么有五脚蛇22 1 22只，三脚猫22 3 2 68只．9. 练习3答案：男生有8 人；女生有8人简答：发现不管是男生还是女生每人都是 1 支铅笔，且男生得到的铅笔数量和女生的铅笔数量一样，则男生和女生人数相同，一共有56张电影券，则一男一女分为一组，一组中有3 4 7张电影券，则一共有56 7 8组，则男生有8 人，女生有8 人．10. 练习4 答案：40 只简答：鸡和兔子的腿数一样多，就按照腿数一样多分组，2只鸡和 1 只兔子的腿数一样多，所以每2只鸡和1 只兔子分成一组，每组鸡比兔子多了：2 1 1只，所以共有20 1 20组，鸡20 2 40 只．11. 作业1 答案：33 人简答：2男 1 女为一组，有11 组，学生共33人．12. 作业2 答案：80 只简答：5鸡1 兔为一组，每组中鸡腿比兔腿多6条，共多96条，则共有16组，有80只鸡．13. 作业3 答案：56 把简答：去掉14把红凳子，则小孩会少 3 14 42人，则小孩比大人多126 42 84人，现在2红1绿为一组，那么相当于6小孩2大人为一组，则一组中小孩比大人多4人，这时共有84 4 21组，那么有21 把绿凳子，有21 2 14 56 把红凳子．14. 作业4答案：男生有25 人；女生有20 人简答：对于男生和女生而言，发现都有3张玩具券，且男生的玩具券比女生的玩具券多15张，则男生比女生多15 3 5人，这时可以将一男一女放在一组，最后还多出 5 个男生，每组的礼品券共有 3 4 7张，先将多出的 5 人刨掉，则会刨掉 5 3 15张礼品券，那么共有155 15 140张礼品券，则一共有140 7 20组，那么男生有20 5 25人，女生有20人．15. 作业5 答案：15 只简答：因为兔腿是鸡腿的2倍，则一组中 1 只兔子配上 1 只鸡，所以兔子和鸡的数量一样多，且鸡兔共有30只，则鸡有30 2 15只．12。
【七年级奥数】第19讲 整除（例题练习）
第19讲整除——练习题一、第19讲整除（练习题部分）1.求在200以内同时被3、4、5整除的正整数个数.2.求在1000以内，同时被2、4、6、8整除的正整数的个数.3.一个六位数被88整除，求a与b的值.4.求被11与13同时整除的最大的四位数.5.x与y是什么数字时，四位数同时被2、3、4、5、6、9整除.6.在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能被2、3、5、11整除.求这样的七位数中最小的一个.7.写出17个都是合数的连续的自然数.8.小明买了三支钢笔、五支圆珠笔、八支铅笔、十二块橡皮，共花去二十元一角钱；若钢笔四元一支，圆珠笔八角一支，橡皮五分一块，问售货员有没有算错?9.有个三位数，如果减去7，就被7整除.如果它减去8，就被8整除；如果它减去9，就被9整除；求这个三位数。
10.有个两位数，被3除余1，被4除余1，被5除也余1.求这个两位数.11.求100以内既不被3整除，又不被4整除的正整数的个数.12.从5、6、7、8、9这五个数字中，选出四个数字组成一个四位数，被3、5、7整除.在所有符合条件的四位数中，最大的一个是多少?13.如果92、118、157被正整数n(n≠1)除，所得的余数都相同，那么n应为多少?14.试说明，将和写成—个最简分数时，m一定不是5的倍数.答案解析部分一、第19讲整除（练习题部分）1.【答案】解：∵3、4、5两两互质，∴同时被3、4、5整除的正整数必然被3×4×5=60整除，∴200÷60=3……20.∴在200以内同时被3、4、5整除的正整数个数为3个.【解析】【分析】a1，a2， ..，a m两两互质，则同时被a1，a2，...，a m整除的正整数就是被a1⋅a2⋅...⋅a m整除的正整数；用200÷它们的乘积，商即是正整数个数.2.【答案】解：∵2、4、6、8的最小公倍数为24，∴1000以内同时被2、4、6、8整除的正整数就是被24整除的正整数；∴1000÷24=41……16，,∴这样的正整数共有41个.【解析】【分析】一般地，在a1，a2，...，a m，不一定两两互质时，有下面的结论：同时被a1，a2，...，a m整除的正整数就是被a1，a2，...，a m的最小公倍数整除的整数.用1000除以60，商即为要求的正整数个数.3.【答案】解：∵88=8×11，∴被8和11整除，∵一个数被8整除时，它最后三位组成的数一定被8整除；∴能被8整除，∴b=2；又∵一个数被11整除时，它的奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除，∴a+b+2-7=a+b-5=a-3能被11整除，又∵0≤a≤9，∴a=3，∴a=3，b=2.【解析】【分析】一个数被8整除时，它最后三位组成的数一定被8整除；一个数被11整除时，它的奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除，根据这些特征求即可.4.【答案】解：∵最大的四位数为9999，∴9999÷（11×13）=69……132，∴69×11×13=9867，∴被11与13同时整除的最大的四位数是9867.【解析】【分析】11和13互质，则同时被11和13整除的正整数就是被11×13整除的正整数；根据题意即可求得.5.【答案】解：∵被2整除的数：个位数字是偶数；被5整除的数：个位数字是0或5；∴y=0，又∵被3整除的数：数字和被3整除；∴7+2+x+y=9+x能被3整除，∵被4整除的数：末两位组成的数被4整除；∴能被4整除，∴x=0，∴x=y=0【解析】【分析】根据被2整除的数：个位数字是偶数；被5整除的数：个位数字是0或5；可知y=0；再由被3整除的数：数字和被3整除；被4整除的数：末两位组成的数被4整除；可知x=0.6.【答案】解：设这个七位数是，∵被2整除的数：个位数字是偶数；被5整除的数：个位数字是0或5；∴c=0，∵被3整除的数：数字和被3整除；∴1+9+9+2+a+b+c=21+a+b能被3整除，∵被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除，∴（c+a+9+1）-（b+2+9）=a-b-1能被11整除，∴a=2，b=1，∴这样的七位数中最小的一个是1992210.【解析】【分析】设这个七位数是，根据被2整除的数：个位数字是偶数；被5整除的数：个位数字是0或5；可知c=0；能被3整除的数：数字和被3整除；被11整除的数：奇数位数字和与偶数位数字和的差被11整除；据此分析，找出最小的七位数.7.【答案】解：若一个自然数a是2的倍数，则a+2也是2的倍数；若a是3的倍数，则a+3也是3的倍数……若a是18的倍数，则a+18也是18的倍数，∴只要取a为2，3，…，18的倍数，则a+2，a+3，…a+18分别为2，3，…，18的倍数，∴取a=2×3×4×...×17×18，∴17个连续的自然数a+2，a+3，…，a+18都是合数.【解析】【分析】若一个自然数a是2的倍数，则a+2也是2的倍数；若a是3的倍数，则a+3也是3的倍数……若a是18的倍数，则a+18也是18的倍数；从而取a=2×3×4×...×18，由此可得出答案.8.【答案】解：依题可得：3×4+5×0.8+12×0.05=16.6，∵共花去二十元一角钱，∴20.1-16.6=3.5，又∵买了八支铅笔，但是3.5不能被8整除，∴售货员算错了.【解析】【分析】总价=单价×数量，算出三支钢笔、五支圆珠笔、十二块橡皮的价钱，再用花去的钱减去，得出铅笔的总价，由于不是8的倍数，从而可知算出了.9.【答案】解：∵有个三位数，如果减去7，就被7整除，∴这个三位数是7的倍数；∵如果它减去8，就被8整除；∴这个三位数是8的倍数；∵如果它减去9，就被9整除；∴这个三位数是9的倍数；∴7×8×9=504.∴这个三位数是504.【解析】【分析】根据题意可知这个三位数是7的倍数；也是8的倍数；更是9的倍数；所以这个三位数为7×8×9=504.10.【答案】解：设这个两位数为，∵一个数被5除，与这个数的个位数字被2或5除，所得余数相同，∴b=1或6，又∵被3除余1，被4除余1，∴b=1，∴10a能被3、4、5整除，∵3、4、5的最小公倍数为：3×4×5=60，∴10a能被60整除，∴a=6，∴这个两位数为61.【解析】【分析】设这个两位数为，一个数被5除，与这个数的个位数字被2或5除，所得余数相同，结合题意可知b=1，根据被3、4、5互质，可知10a能被3、4、5整除，即能被3、4、5的最小公倍数60整除，从而得出a值，即可得出答案11.【答案】解：∵被3整除的数：数字和被3整除；∴100÷3=33……1，∴100以内有33个正整数能被3整除，∵被4整除的数：末两位组成的数被4整除；∴100÷4=25，∴100以内有25个正整数能被3整除，∵100÷12=8……4；∴100以内有8个正整数被12整除，∴100以内能被3整除或被4整除的正整数个数有：33+25-8=50，∴100以内既不被3整除，又不被4整除的正整数的个数为：100-50=50.【解析】【分析】分别求出被3整除的和被4整除的正整数个数，再求出被12整除的正整数个数，从而可得100以内能被3整除或被4整除的正整数个数，反之即可得出100以内既不被3整除，又不被4整除的正整数的个数.12.【答案】解：设这个四位数是，∵从5、6、7、8、9这五个数字中找出最大的四位数，∴a=9，∵这个数字被5整除，∴个数数字为0或5，∴d=5，∵这个数字被3整除，∴9+b+c+5被3整除，∴b=7，c=6，∴最大的四位数是9765.【解析】【分析】设这个四位数是，因为是最大的四位数，则a=9；由这个数字被5整除可知d=5，再由这个数字被3整除则14+b+c被3整除，分析可得b=7，c=6，从而可得这个最大的四位数.13.【答案】解：∵157-118=39，118-92=26，∴39、26的最大公因数是13，∴92÷13=7……1，118÷13=9……1，157÷13=12……1，∴n=13.【解析】【分析】先将三个数字两两作差，得出差值的最大公因数，再用每个数去除以这个公因数可得余数相同，从而可得n即为最大公因数.14.【答案】解：令1×2×3……×40=A，∴原式=观察分析可知：分母中有9个5的乘积（5，10，15，20，25，30，35，40），即分母中有因数59；分子中，40个数有32个数是59的倍数（除以的那个数不是5的倍数）；7个数是58的倍数（除以的那个数是5的倍数但不是25）；1个数是57的倍数（除以的数是25）；∴分子可以写成57（52a+5b+c），∴约分之后分子是52a+5b+c，不是5的倍数，即m一定不是5的倍数.【解析】【分析】令1×2×3……×40=A，所以通分之后原式为，分别分析分子分母中含有因数5的个数，约分之后可得m一定不是5的倍数.。
四年级奥数专题第19讲 周期问题
四年级奥数专题第19讲周期问题例1 你能找出下面每组图形的排列规律吗？根据发现的规律，算出每组第20个图形分别是什么？①□△□△□△□△□△……②□△△□△△□△△□……例2有一列数，5、6、2、4、5、6、2、4……①第129个数是多少?②这129个数相加的和是多少?例3 假设所有的自然数排列起来,如下图所示,39应该排在哪个字母下面?88应该排在哪个字母下面?例4 1991年1月1日是星期二，⑴该月的22号是星期几?该月23号是星期几?⑵1994年1月1日是星期几?例5 我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号，例如，第一年如果属鼠年，第二年就属牛年，第三年就属虎年。
如果公元1年属鸡年，那么公元2001年属什么年？习题1.下面图形的第28个数是什么？□□△△□□△△□□△△……2.盼望祖国早日统一盼望祖国早日统一……依次排列，第2001个字是什么？3.公元门口挂了一拍彩色灯泡按“二红三黄四蓝”重复排列，第63只灯泡是什么颜色？第73只、第112只呢？4.有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7……①第58个数是多少?②这58个数相加的和是多少?5.小青把积存下来的硬币按先四个1分,再三个2分,最后两个5分这样的顺序一直往下排。
①他排到第111个是几分硬币？②这111个硬币合起来是多少元钱？6.河岸上种了100棵桃树,第一课时红桃、再后面两棵是水蜜桃，再后面三棵是大青桃。
接下去总是一颗红桃、2棵水蜜桃、3棵大青桃这样种下去。
问第100棵是什么桃树？三种树各有多少棵？7.假设所有的自然数排列起来，如下图所示，36，43，78，2000应分别排在哪个字母下面？8.2001按下列方法排成五列：问最后一个学生应该在第几列？9.1990年9月22日是星期六,1991年元旦是星期几?10.1989年12月5日是星期二，那么再过10年的12月5日是星期几？11.1996年8月1日是星期四，1996年的元旦是星期几？12.我国农历用鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪12种动物按顺序轮流代表年号。
第19讲追及问题文库
第19讲追及问题【探究必备】追及问题是行程问题的一种，是指两个运动物体作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度要慢些，在一定时间之内，后面运动物体追上前面的物体。
这类应用题叫做追及问题应用题。
追及问题应用题基本的数量关系有：速度差×追及时间=追及路程甲行路程（快的）-乙行路程=追及路程追及路程÷速度差=追及时间速度差=追及路程÷追及时间解决追及问题的关键是正确的找出速度差与追及路程（路程差）。
【王牌例题】例1、甲、乙两人分别从相距24千米的南城和北城向北而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行6千米，几小时后甲可以追上乙？南城北城24千米这是一道典型的追及问题，从线段图上容易看出，甲、乙两人的路程差（追及路程）是24千米，也就是甲必须比乙在相同时间内多走24千米；由于甲每小时行14千米，乙每小时行6千米，那么甲每小时比乙多行14-6=8（千米）（速度差），也就是说把24千米抵消完了，甲就追上了乙，再根据追及路程÷速度差=追及时间，求出甲追上乙的时间，即24÷8=3（小时）后甲可以追上乙。
例2、红红和明明分别从西村和东村同时向西而行，明明骑自行车每小时行16千米，红红步行每小时行5千米，2小时后明明追上红红。
求东、西两村相距多少千米？分析与解答：根据题意画出线段图：从线段图上容易看出，东村与西村相距的距离等于甲2小时走的路程减去乙2小时行的路程，即甲追上乙时行了16×2=32（千米），乙2小时走了5×2=10（千米），所以东村与西村相距32-10=22（千米）；这道题也可以这样思考，明明1小时比红红多行16-5=11（千米），2小时追上红红时，明明多行了11×2=22（千米），即东、西两村相距22千米。
例3、小利以每分钟80米的速度从家去超市买东西，5分钟后，小军去追小利，结果在离家800米的地方追上小利。
一年级奥数第19讲：分组与组式
第十九讲分组与组式一、内容概要课本上的算题，多数是已经列好算式要求计算出结果。
但在这一讲里，往往是知道结果或要达到的目标，请你回答如何才能得出这种结果或达到目标值。
为此就要求同学们在掌握好以前学数学知识中的基础上，还要进一步做到仔细地观察，发现题中给出的一些数中存在的规律，并且大胆地进行尝试，培养思维的灵活性和敏捷性。
二、范例分析与解答例1 下图所示：把1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字分成两部分，再组成两个数，填入下面的两个方框里，使两个数的和等于99999：□＋□=99999例2 把1、2、3、4、26、27、28、29这八个数填入下面算式，使等式成立。
□＋□－□=□□＋□－□=□例3 给你1、2、3、4、16、17、18、19、这八个数，要求：①把它们分成四组，使每组的两个数相加和相等。
②再用这八个数组成如下的两个数。
□＋□－□=□□＋□－□=□例4 用15、16、17、18这四个数编成两道加减混合算式，要求符合下面的形式。
（1）□＋□－□=□（2）□－□＋□=□例5 把2、6、7、8、9和14分别填在下面的括号里（每个数只许用1次）使两个算式都成立。
（1）（）+（）=（）（2）（）-（）=（）例6 在1、2、3、4、5、6、7之间放几个“+”号，使它们的和等于100，试试看。
1 2 3 4 5 6 7 =100例7 在4个5之间，添上“+”、“—”或“（）”，使下面的算式成立。
5 5 5 5 =0例8 某公园里有三棵树，它们的树龄分别由1、2、3、4、5、6这六个数字中的不同的两个数字组成，而且其中一棵的树龄正好是其他两棵树龄和的一半，你知道这三棵树各是多少岁吗？三、习题1、把3、4、5、6、32、33、34、35这八个数填入下面的两个算式中（每个数只能用一次）。
（1）□＋□－□=□（2）□＋□－□=□2、用20、21、22、23这四个数编两道加、减混合算式（如下式）。
（1）□＋□－□=□（2）□－□＋□=□3、把1、3、6、7、8、9分别填在下面的括号里（每个数只许用1次），使两个算式都成立。
小学奥数第19讲 牛吃草问题
第十九讲牛吃草问题一、课程引入主要类型：1、求时间2、求头数二、基本理论理论点1基本思路：①在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量÷每天实际减少的草量(即头数与每日生长量的差)”求出天数。
②已知天数求只数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。
③根据(“原有草量”+若干天里新生草量)÷天数”，求出只数。
理论点2基本公式：解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是∶(1)草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度三、例题精析【例题1】【题干】有一牧场，已知养牛27头，6天把草吃尽;养牛23头，9天把草吃尽。
如果养牛21头，那么几天能把牧场上的草吃尽呢?并且牧场上的草是不断生长的。
【答案】12【解析】一般解法：把一头牛一天所吃的牧草看作1，那么就有：(1)27头牛6天所吃的牧草为：27×6=162 (这162包括牧场原有的草和6天新长的草。
)(2)23头牛9天所吃的牧草为：23×9=207 (这207包括牧场原有的草和9天新长的草。
)(3)1天新长的草为：(207-162)÷(9-6)=15(4)牧场上原有的草为：27×6-15×6=72(5)每天新长的草足够15头牛吃，21头牛减去15头，剩下6头吃原牧场的草：72÷(21-15)=72÷6=12(天)所以养21头牛，12天才能把牧场上的草吃尽。
【例题2】【题干】有一片牧场，草每天都匀速生长(草每天增长量相等)，如果放牧24头牛，则6天吃完牧草，如果放牧21头牛，则8天吃完牧草，假设每头牛吃草的量是相等的。
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课后作业
▪ 1.接着再画出5个珠子。
2．右面的图形是用6颗扣子摆成的。 请你只移动2颗扣子,使它变成一个
三角形。
祝大家学习愉快！
【例题4】移动3个球,使右图整个图 Nhomakorabea形颠倒过来。
▪ 【例题5】右图是用1O枚1元硬币摆成 的三角形,左面是正放。试问:最少需 要移动几枚硬币,才能把正放的三角形 变成右面倒放的三角形?
▪ 【例题6】用9枚1元硬币可以摆成一个 平行四边形,我们称它“头朝右”,请 你移动其中的2枚,使它左、右调个头。
同学们 ，你们好！
第十九讲 有趣的串珠 图形的移动 【例题1】下图中的珠子是按一定规律排列的。 现在有一部分珠子被遮住了,请你仔细看看,
被遮住的几个是什么颜色的珠子?
（1）
【例题2】画出盒子里所串的珠子
【例题3】下面各题中的一串珠子有白有黑, 是按照一定规律排成的。请你先找出珠子
的排列规律,然后接下去涂上颜色。