第12单元第71讲 随机抽样、正态分布
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课题：随机抽样17页PPT
假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的 质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检 验，利用随机数表抽取样本。 第一步，先将800袋牛奶编号，可以编为000，
001，…，799
第二步，在随机数表中任选一个数 第三步，从选定的数开始向右读 ．例题： 例1．下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为 什么？ （1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。 （2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件 进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个 零件进行质量检验后，再把它放回箱子。 ．例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解 这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下 测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限 的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。 （3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。 （4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。 （5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。
（二）简单随机抽样实施的方法：
1）抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的N个 个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…， 100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上 这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅 拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个 号签对应的轴的直径。
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00， 01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如 取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30， 13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所 要抽取的样本。
（1）——简单随机抽样
教学目标 （1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一 般步骤； （2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从 总体中抽取样本； （3）感受抽样统计的重要性和必要性． 教学重点、难点
001，…，799
第二步，在随机数表中任选一个数 第三步，从选定的数开始向右读 ．例题： 例1．下列抽样的方式是否属于简单随机抽样？为 什么？ （1）从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。 （2）箱子里共有100个零件，从中选出10个零件 进行质量检验，在抽样操作中，从中任意取出一个 零件进行质量检验后，再把它放回箱子。 ．例2：某车间工人加工一种轴100件，为了了解 这种轴的直径，要从中抽取10件轴在同一条件下 测量，如何采用简单随机抽样的方法抽取样本？
（1）简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数N是有限 的。
（2）简单随机样本数n小于等于样本总体的个数N。 （3）简单随机样本是从总体中逐个抽取的。 （4）简单随机抽样是一种不放回的抽样。 （5）简单随机抽样的每个个体入样的可能性均为n/N。
（二）简单随机抽样实施的方法：
1）抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的N个 个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容
解法1：（抽签法）将100件轴编号为1，2，…， 100，并做好大小、形状相同的号签，分别写上 这100个数，将这些号签放在一起，进行均匀搅 拌，接着连续抽取10个号签，然后测量这个10个 号签对应的轴的直径。
解法2：（随机数表法）将100件轴编号为00， 01，…99，在随机数表中选定一个起始位置，如 取第21行第1个数开始，选取10个为68，34，30， 13，70，55，74，77，40，44，这10件即为所 要抽取的样本。
（1）——简单随机抽样
教学目标 （1）正确理解随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数表法的一 般步骤； （2）在解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样的方法从 总体中抽取样本； （3）感受抽样统计的重要性和必要性． 教学重点、难点
正态分布ppt课件统计学
详细描述
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
人类的身高和体重分布情况符合正态分布的特征。这是因为个体的生长发育受到多种因 素的影响，导致身高和体重的差异。根据正态分布规律，大部分人的身高和体重值会集 中在平均值附近，而偏离平均值越远的人数逐渐减少。这种分布形态有助于评估个体的
生长发育状况，并识别出异常身高和体重的个体。
股票价格波动
总结词
卡方检验
总结词
卡方检验是一种非参数检验方法，用于比较实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。
详细描述
卡方检验通过计算卡方值和对应的P值来判断实际观测频数与 期望频数是否有显著性差异。卡方值越大，P值越小，说明差 异越显著。
05
正态分布的实例分析
考试分数分布
总结词
考试分数分布通常呈现正态分布的特点，即大部分考生成绩集中在平均分附近，高分和低分均呈下降趋势。
03
正态分布的性质
钟形曲线
钟形曲线
正态分布的图形呈现钟形 ，中间高，两侧逐渐降低 ，对称轴为均值所在直线 。
概率密度函数
描述正态分布中取任意值 的概率大小，函数曲线下 的面积代表概率。
曲线下面积
正态分布曲线下的面积为1 ，表示随机变量取值在一 定范围内的概率。
平均数与标准差
平均数
正态分布的均值，表示数据的中 心位置，所有数据值加起来除以 数据个数得到。
概率密度函数
正态分布的概率密度函数公式为： $f(x) = frac{1}{sqrt{2pisigma^2}} e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$
其中，$mu$表示平均值，$sigma$ 表示标准差，该公式描述了正态分布 曲线的形状和高度。
02
正态分布的应用
自然现象
随机抽样、用样本估计总体、正态分布培训课件(共53张PPT)
31
学海导航
理数
解析：(1)由题可知，第 2 组的频数为 0.35×100＝35， 30 第 3 组的频率为 ＝0.300. 100 频率分布直方图如下：
32
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理数
(2)因为第 3、4、5 组共有 60 名学生，所以利用分层抽 样在 60 名学生中抽取 6 名学生，每组抽取的学生分别为： 30 第 3 组： ×6＝3 人， 60 20 第 4 组： ×6＝2 人， 60 10 第 5 组： ×6＝1 人， 60 所以第 3、4、5 组分别抽取 3 人、2 人、1 人．
11
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理数
解析： 因为正态分布曲线关于 μ＝1 对称， 所以 ξ 在(0,1) 与(1,2)内的概率相等，即为 0.4，故选 B.
12
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理数
13
总体
【例 1】在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分．用 xn 表示编号为 n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩， 且前 5 位同学的成绩如下：
24
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理数
【拓展演练 2】 随机抽取某中学甲、乙两班各 10 名同学，测量他们的 身高(单位：cm)，获得身高数据如下： 甲班：182,158,162,170,179,163,168,179,171,168 乙班：159,168,162,170,173,165,181,176,178,179 (1)根据甲、乙两班身高的数据画出对应的茎叶图，并 依据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差； (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173 cm 的同学，求身高为 176 cm 的同学被抽中的概率．
18
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理数
解析：(1)由茎叶图可知乙的平均高度比甲的大，但甲 的稳定性(方差)比乙的小． 1 － (2)由题设， x ＝ (10＋5×20＋3×40＋9＋9＋5＋3＋ 10 1＋0＋7＋3＋2＋1)＝27， 1 S ＝ [(27 － 19)2 ＋ (27 － 20)2 ＋ (27 － 21)2 ＋ (27 － 23)2 ＋ 10 (27－ 25)2＋ (27 －29)2＋ (27－ 31)2＋ (27－ 32)2＋ (27－33)2＋ (27－37)2]＝35，S 为甲种树苗的方差，表示其整齐状态．
抽样知识点
1. 抽样调查广义的抽样调查：是从研究对象的全体（总体） 中抽取一部分单位作为样本，根据对所抽取的样本进行调查，获得有关总体目标量的了解。
从总体中抽取样本的方法看，抽取方法可以分为两类：一类是非随机抽样（非概率抽样）；一类是随机抽样（概率抽样），狭义上的抽样就是随机抽样。
2. 随机抽样（概率抽样）随机抽样是从总体中按随机原则抽取样本，并依据样本观察值对总体的数量特征取得具有一定可靠性的推断，从而达到对总体的认识。
随机抽样的特点：1.所谓随机原则就是在抽取样本时排除主观上有意识地抽取调查单元，使每个单元都以一个事先已知的非零概率有机会被抽中。
2.每个单元被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的，按照给定的入样概率通过一定的随机化程序进行抽样。
3.估计量不仅与样本单元的观测值有关，也与其入样概率有关。
随机抽样的主要优点是：随机抽样比非随机抽样更具有客观性，而且随机抽样可以依据调查结果计算抽样误差，从而得到对总体目标量进行推断的可靠程度。
3. 非随机抽样（非概率抽样）非随机抽样是相对于随机抽样而言的。
非随机抽样的共同特点是：抽取样本时，是依据主观判断有目的、有意识地进行，或根据方便的原则进行。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧滚雪球抽样判断抽样定额抽样便利抽样）随意调查非随机调查系统抽样不等概率抽样多阶抽样整群抽样分层抽样简单随机抽样随机调查非全面调查全面调查统计调查(4. 抽样调查的基本程序 一、确定调研问题——二、抽样调查设计（抽样设计、问卷设计）——三、实施调查过程——四、数据处理分析——五、撰写调查报告——六、总结评估5. 总体、目标总体与抽样总体、抽样框、样本（包含第十章抽样框误差定义）所要研究对象的全体称为总体，组成这个总体的每个个别对象就称为总体单元或总体单位。
总体又有目标总体与抽样总体之分。
目标总体就是抽样调查预先确定的所要认识的对象的全体，也就是从样本中得到信息对之进行说明的总体。
正态分布ppt课件
1.已知某地区中学生的身高 X 近似服从正态分布 N 164, 2 ，若 P X 170 0.3 ，
则 P158 X 1706
D.0.8
解析： P158 X 170 2P164 X 170 2 0.5 P X 170 0.4 .
2. 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N 1, 2 ， 若 P(X 0) P(X 3) 11 ， 则 10 P(2 X 3) ( )
A.0.1
B.0.2
C.0.3
D.0.4
解析：因为随机变量 X 服从正态分布 N 1, 2 ，
所以随机变量 X 的均值 1 ，
所以随机变量 X 的密度曲线关于 x 1 对称， 所以 P(X 0) P(X 2) ， 又 P(X 0) P(X 3) 11 ，
10
所以 P(X 2) P X 2 P(2 X 3) 11 ，
为“可用产品”，则在这批产品中任取 1 件，抽到“可用产品”的概率约为 _____________.
参考数据：若 X N , 2 ，则 P X 0.6827 ，
P 2 X 2 0.9545， P 3 X 3 0.9973
解析：由题意知，该产品服从 X N(25,0.16) ，则 25, 0.4 ，
10
因为 P(X 2) P X 2 1，所以 P(2 X 3) 0.1
3.已知随机变量 X ~ N , 2 ，Y ~ B6, p ,且 P X 3 1 ， E X E Y ,则 2
p ( )
1
1
1
1
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
解析：由于 X 服从正态分布 N , 2 ,且 P X 3 1 ,故其均值 E X 3 . 2
生物统计课件：随机抽样和抽样分布
例. 求7, 9, 4, 4, 6, 6, 6, 8, 8, 11的众数. 例. 众数是否唯一？
6. 极差 数据中最大值与最小值之差
例. 甲大学学生年龄的极差是6岁。 乙大学学生年龄的极差是10岁。
平均数、中位数 和众数关系
抽样分布
样本均数的分布 三大分布
抽样分布
精确抽样分布 渐近分布
• 统计量是随机变量； • 统计量的“抽样分布”
(Xi
−
X
)2
∑ ∑ =
1
n
[
n − 1 i=1
X
2 i
−
1( n n i=1
X i)2]
3. 标准误 SX 即样本均数的标准差
DX = 1 σ 2 = 1 DX
n
n
DX = 1 DX = DX
n
n
SX =
S n
S 2 = DX
4. 中位数
成绩 2 10 78 80 90 人数 1 1 1 22 5
nπ Γ( n)
(1
+
t2 n
)
−
n+1 2
2
E(t) = 0, D(t) = n ( when n > 2 ) n−2
n → ∞, t(n) ~ N (0,1)
iid
Theorem : if X1,L, X n ~ N (µ,σ 2 ), then X − µ ~ t(n −1) S/ n
X −µ X −µ = σ / n = S/ n S/ n
8 8
2.5 ≤ x < 2.7 2.7 ≤ x < 3
7 / 8 3 ≤ x < 3.5
1
x ≥ 3.5
正态概率纸原理
6. 极差 数据中最大值与最小值之差
例. 甲大学学生年龄的极差是6岁。 乙大学学生年龄的极差是10岁。
平均数、中位数 和众数关系
抽样分布
样本均数的分布 三大分布
抽样分布
精确抽样分布 渐近分布
• 统计量是随机变量； • 统计量的“抽样分布”
(Xi
−
X
)2
∑ ∑ =
1
n
[
n − 1 i=1
X
2 i
−
1( n n i=1
X i)2]
3. 标准误 SX 即样本均数的标准差
DX = 1 σ 2 = 1 DX
n
n
DX = 1 DX = DX
n
n
SX =
S n
S 2 = DX
4. 中位数
成绩 2 10 78 80 90 人数 1 1 1 22 5
nπ Γ( n)
(1
+
t2 n
)
−
n+1 2
2
E(t) = 0, D(t) = n ( when n > 2 ) n−2
n → ∞, t(n) ~ N (0,1)
iid
Theorem : if X1,L, X n ~ N (µ,σ 2 ), then X − µ ~ t(n −1) S/ n
X −µ X −µ = σ / n = S/ n S/ n
8 8
2.5 ≤ x < 2.7 2.7 ≤ x < 3
7 / 8 3 ≤ x < 3.5
1
x ≥ 3.5
正态概率纸原理
正态分布课件课件
医学研究
正态分布经常被用来描述人体的生理指标，例 如血压、体重、心率和血糖等。
工程技术
正态分布在工程技术中也有着很重要的应用， 例如在质量控制和可靠性分析中。
正态分布在数据分析中的应用
偏度和峰度
使用偏度和峰度帮助了解正态 分布的形状和分布。偏度描述 了平均值分布在曲线的何处， 而峰度则描述了曲线的陡峭程 度。
正态分布在适用性和排除异常值方面存在一 些限制。如果样本不符合正态分布，此时用 正态分布进行分析可能会导致错误的结论。
Hale Waihona Puke 正态分布的常用假设及检验假设检验
假设检验是指在一定的显著水平下，对总体参数提 出假设，并根据样本数据的分布，用统计学方法判 断原假设是否成立。
P值
P值是在假设检验中使用的一个统计量，通常一起出 现的是显著性水平。 p值是落在拒绝域的概率，越小 说明差异越显著。
正态分布优缺点
1 优点
2 缺点
正态分布具有左右对称性，易于使用和理解， 广泛适用于各行各业的数据分析。
中心极限定理
中心极限定理告诉我们，样本 均值的分布逼近于正态分布， 无论样本分布如何。这意味着 我们可以在特定条件下使用正 态分布来预测总体分布。
置信区间
使用正态分布来计算置信区间。 在数据分析中，置信区间是指 根据样本数据计算出的一个区 间，以此来推测总体参数的范 围。
正态分布的概率计算方法
1
累积分布函数
正态性检验方法
正态Q-Q图
Q-Q图是通过将样本数据分布和正态分布进行比较来检验正态性的。如果点的分布趋近于一 条直线，则样本数据符合正态分布。
Shapiro-Wilk检验
Shapiro-Wilk检验是一种经典的正态性检验方法。该检验基于样本数据的偏度、峰度、样本 大小和简单随机抽样的原则，可以判断样本数据是否符合正态分布。
正态分布课件
矩估计
定义
矩估计法是利用样本矩估计总体矩的一种方法。
原理
基于概率论中的矩理论，通过样本矩来估计总体 矩。
方法
首先需要计算样本的一阶矩（均值）和二阶矩（ 方差），然后用样本矩来估计总体矩。
贝叶斯估计
定义
01
贝叶斯估计法是通过贝叶斯定理来估计参数的方法。
原理
02
基于概率论中的贝叶斯定理，通过已知的先验概率和样本信息
应用
累积分布函数在统计学中 有广泛应用，如概率模拟 、置信区间的计算等。
正态分布的分位数函数
定义
正态分布的分位数函数是Φ(x) = (1/2) * [1 + erf(x / (√(2) * σ))] ，其中erf是误差函数。
解释
分位数函数描述了随机变量取值大于等于x的概率，即Φ(x) = P(X >= x)。
预测
正态分布还被用于时间 序列数据的预测，例如 在ARIMA模型中，差分 项通常假定服从正态分 布。
状态空间模型
在状态空间模型中，正 态分布被用于描述系统 扰动项的分布，以确保 模型的有效性和准确性 。
在金融风险管理中的应用
风险度量
正态分布被广泛用于金融风险度量，例如在计算VaR（风险价值 ）时，通常假定回报率服从正态分布。
率密度函数为f(x)
=
(1/√(2πσ^2)) * exp(-(x-
μ)^2/(2σ^2))，其中μ为均值，σ
为标准差。
正态分布的特点
钟形曲线
正态分布的曲线呈钟形，左右对 称，最高点位于均值μ处，而标准 差σ则决定了曲线的宽度和扁平程
度。
连续性
正态分布是一种连续型概率分布， 其概率密度函数在全实数域上定义 。
【全文】正态分布-课件
(1)如何描述这100个样本误差数据的分布？ (2)如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？
观察图形可知：误差观测值有正有负．并大 致对称地分布在X=O的两侧，而且小误差比 大误差出现得更频繁．
如何画频率分布折线图？
随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频 率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光 滑的钟形曲线，如图7.5-2所示
(4)曲线在_x___μ__处达到峰值σ
1； 2π
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近__x_轴_．
中间高 两头低 左右对 称
4.正态分布的特征
思考一个正态分布由参数 和 完全确定，这两个参数对正态曲
线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x_轴___
总体密度曲线
y=f(x)?
根据频率与概率的关系，可用图 7.5-3中的钟形曲线（曲线与水平 轴之间的面积为 1 ) 来描述袋装食盐质量误差的概率分布．例如, 任意抽取一袋食盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可用图中黄色阴影 部分的面积表示．
1.正态密度函数（简称正态曲线）
若 f(x)＝__σ__12_π__e_－_（_x－ 2_σ_μ2）_2_，x∈R，其中μ∈R，σ>0 为参数，我们
解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量Y的样
本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数 ,用样本标准
差估计参数 可以得到
X ~ N 30,62 , Y ~ N 34,22 ,
三、例题讲解
例1李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了 50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车 平均用时30min ，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本 方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1)估计X,Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密 度曲线； (3)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天 只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． (2)X和Y的分布密度曲线如图 (3)应选择在给定时间内不迟到的概率 大的交通工具．由图7.5一7可知，
观察图形可知：误差观测值有正有负．并大 致对称地分布在X=O的两侧，而且小误差比 大误差出现得更频繁．
如何画频率分布折线图？
随着样本数据量越来越大,让分组越来越多,组距越来越小,由频 率的稳定性可知,频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光 滑的钟形曲线，如图7.5-2所示
(4)曲线在_x___μ__处达到峰值σ
1； 2π
(5)当|x|无限增大时，曲线无限接近__x_轴_．
中间高 两头低 左右对 称
4.正态分布的特征
思考一个正态分布由参数 和 完全确定，这两个参数对正态曲
线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征？
(1)当σ一定时，曲线的位置由μ确定．曲线随着μ的变化而沿x_轴___
总体密度曲线
y=f(x)?
根据频率与概率的关系，可用图 7.5-3中的钟形曲线（曲线与水平 轴之间的面积为 1 ) 来描述袋装食盐质量误差的概率分布．例如, 任意抽取一袋食盐，误差落在[-2,-1]内的概率，可用图中黄色阴影 部分的面积表示．
1.正态密度函数（简称正态曲线）
若 f(x)＝__σ__12_π__e_－_（_x－ 2_σ_μ2）_2_，x∈R，其中μ∈R，σ>0 为参数，我们
解:(1)随机变量X的样本均值为30,样本标准差为6;随机变量Y的样
本均值为34,样本标准差为2.用样本均值估计参数 ,用样本标准
差估计参数 可以得到
X ~ N 30,62 , Y ~ N 34,22 ,
三、例题讲解
例1李明上学有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了 50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车 平均用时30min ，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本 方差为4．假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布． (1)估计X,Y的分布中的参数； (2)根据(1)中的估计结果，利用信息技术工具画出X和Y的分布密 度曲线； (3)如果某天有38min可用，李明应选择哪种交通工具？如果某天 只有34 min可用，又应该选择哪种交通工具？请说明理由． (2)X和Y的分布密度曲线如图 (3)应选择在给定时间内不迟到的概率 大的交通工具．由图7.5一7可知，
正态分布说课课件
四、教学方法分析
教学 问题1
如何引导学生理解正态分布？
教学 如何引导学生了解正态分布的特征？ 问题2 启发引导法：引导学生观察正态曲线和动图展示，了解σ和μ的实际意义
如何引导学生建立正态分布模型解决问题？ 教学 问题3
五、教学过程分析
提创出问设题情境 引入新课
高斯：正态分布
提问出问题题探究 新课讲解
设计意图：通过数学史的介绍，提升学生对本节课的兴趣
复第二习环旧节知：问题探究、新课讲解
前面学习了离散型随机变量，那么，对于连续型随机变量我们该如何研究呢？
问题1：(1) 如何描述这100个样本误差数据的分布?
(2) 如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布?
追问：随着样本数据量增大，分组 越来越多，组距越来越小，得到的 图形有什么特征？
设计意图：通过对动画的展示，让学生感悟参数μ和σ对正态曲线的影 响，以及结合离散型随机变量的研究，了解μ和σ的实际意义
问题4：观察正态分布曲线我们可以知道，是一个对称图形，那么下面 我们来看一下特殊区间内的概率
若X ~ N (, 2 ),则
3 原则
P( X ) 0.6827;
P( 2 X 2 ) 0.9545;
问题2 观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点?
追问 正态分布曲线是如何刻画随机变量的概率分布的呢？
设计意图：通过问题2和追问，让学生发现并总结正态曲线的性质，提升学生 逻辑推理和数学直观想象核心素养
第三环节：问题思考，性质探究
问题3 一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形 状有何影响? 它们反映正态分布的哪些特征?μ和σ的意义是什么？
7.5 正态分布
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评析：样本估计总体即以样本的平均数、 方差估计总体的平均数、方差．
变式1：某批材料的强度 服从正态分布N 200,18 ，
2
任取一件这种材料，强度在164～236的概率是多少？
解析：依题意，得 200， 18. 则P(164 236) P(200 2 18 200 2 18) P( 2 2 ) 0.9544. 故任取一件材料，其强度在164～236的概率是0.9544.
1 平均数：一组数据的平均数，记为x.设有n个数据 2 中位数：一组数据按照从小到大或从大到小的顺序
进行排列时，处于中间位置的数．当这组数据的个数 为奇数时，中位数为中间一个数；当这组数据的个数 为偶数时，中位数为中间的两个数的平均数． x1，x2， ，xn，则平均数为x ① _______.
分 组 频 数
[1.30， 1．34) 4 [1.34， [1.38， [1.42， [1.46， [1.50, 总 1．38) 1．42) 1．46) 1．50) 1.54） 计 25 30 29 10 2 100
1 完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率
分布直方图；
分组
[1.30,1.34) [1.34,1.38)
不慎将部分数据丢失，现留有以下部分图表：
分 [100， [200， [300， [400， [500， [600， 300) 400) 500) 600) 700] 组 200) 频 数 频 率
B
C
30
D
E
0.2
F
0.4
20
GHΒιβλιοθήκη I1 求图2中的A及表格中的B，C，D，E，F，G，H，I
的值；
1. 某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人． 为了解他们的学历水平，从中抽取容量为36的样本， 最适合的抽样方法是 A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．先从老年人中剔除1人，再分层抽样
解析： 由题设，个体有明显差异，因此应选择分层抽样， 但抽样比例若是36 ∶ 163，不能得到整数值，而先剔除1 名老年人后按比例36 ∶ 162，即∶，能从各层中抽取整数 29 个个体，故选D.
5 茎叶图：中间的数字表示数据的十位(十位和百位)
数字，旁边的数字分别表示两组数据中各个数据的个 位数字．
3．抽样方法
1 简单随机抽样：从含有N个个体的总体中逐个不放
回地抽取n个个体作为样本(n N)，如果每次抽取时 总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种 抽样方法叫做③ ____________________ .有两种常用 方法： ⅰ④ ( ) __________ ：就是把总体中的N 个个体编号， 把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌 均匀后，每次从中取出一个号签，连续抽取n次， 就得到一个容量为n的样本．
A．a b c B．b c a C．c a b D．c b a
解析： 依题设， a 15 17 14 10 15 17 17 16 14 12 14.7， b 15，c 17，故而c b a，故选D.
(ⅳ)当x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降， 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐 近线向它无限靠近； (ⅴ当 ) 一定时，曲线的形状由 确定， 越大，曲线 越“矮胖”，表示总体的分布越分散； 越小，曲线越 “瘦高”，表示总体的分布越集中．
4 若 ～N ( ， 2 )，则E ，D 2 . 5 若X ～N ( ， 2 )，则P( X ) 0.6826，
3电子元件的使用时间超过300 h的共有150个，这批
150 3 电子元件合格的概率P . 200 4
评析：熟悉频率的计算方法，掌握直线图 中各矩形面积即该区域的频率是分析求解有关 频率分布直方图问题的关键和思维的切入点．
变式2.在生产过程中，测得纤维产品的纤度(表示纤维 粗细的一种量)共有100个数据，数据分组如下表：
k 1 10 n0，其中1 k 10.由此可知应选D.
易错点：系统抽样号码确认规律应用错误．
3.有10名工人某天生产同一零件，生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a， 中位数为b，众数为c，则a，b，c从大到小的排列 顺序为
P ( 2 X 2 ) 0.9544， P ( 3 X 3 ) 0.9974.
6 通常认为服从正态分布N ( ， 2 )的随机变量X 只取
______________________ ，并简称之为3 原则．
【要点指南】 x1 x2 .... xn x1 x 2 x2 x 2 ... xn x 2 ① ；② ； n n ③简单随机抽样；④抽签法；⑤随机数表法； ⑥在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定 的比例，从各层独立地抽出一定数量的个体，将各层取 出的个体合在一起作为样本；
3 众数：一组数据中出现次数最多的数．
4 极差：一组数据中最大数与最小数的差． 5 方差：一组数据中所有数与平均数的差的平方和的
平均数，记为s 2，即s 2 ② ______________________.
6 标准差：方差的算术平方根，记作s.
2．主要统计图表
1 基本统计图表：象形、条形、折线、直方图、茎叶图． 2 频率分布直方图的画图步骤：
易错点：对平均数、中位数、众数概念理解错误．
4.若数据x1，x2，x3， ，xn的方差为8.5，则数据3x1 5, 3x2 5,3x3 5， ， 3xn 5的方差为 .
解析：由题设所求方差为32 8.5 76.5.
5.已知随机变量 服从正态分布N(0， )．若P 2
2
0.023，则P(2 2)
.
解析：由题设，正态曲线关于直线x 0对称， 则P 2 P 2 0.023，所以P(2 2) 1 2 0.023 0.954.
易错点：不能恰当数形结合进行转化求解．
1．数据的基本数字特征
频数
4 25
频率
[1.38,1.42)
[1.42,1.46) [1.46,1.50) [1.50,1.54) 合计
3 分层抽样：即⑥ ____________________________ .
4．正态分布
1 如果随机变量的概率密度为， x ⑦ ________
__________________________ . 其中、 分别表示总体的平均数与标准差，称 服从 参数为、 的正态分布，记作 ～N ( ， 2 )，函数图象 称为正态密度曲线，简称正态曲线． 一般的，如果对于任何实数a b，随机变量 满足 P ( a b) ， x dx，则称的分布为⑧ ________
a b
____ .
2 标准正态分布
在正态分布中，当 ⑨ ______ ， ⑩ ______ 时， 正态总体称为标准正态总体，正态分布N 0,1，称为 标准正态分布，记作 ～N 0,1．
3 正态曲线的性质
ⅰ曲线在 () x轴的上方，与x轴不相交； (ⅱ曲线关于直线 ) x 对称； (ⅲ)曲线在x 时位于最高点；
根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数， 与标准值0.618比较，正确结论是( ) A．甲批次的总体平均数与标准值更接近 B．乙批次的总体平均数与标准值更接近 C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同 D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定
解析：甲批次的平均数为0.617，乙批次的平均数 为0.613.所以，可以估计甲批次的总体平均数与标 准值更接近，故选A.
1 2 2 ⑦ e ( x (， ))； 2 ⑧正态分布；⑨0；⑩1；⑩( 3 ， 3 )之间的值 ( x )2
题型一 用样本估计总体
例1.(2009 四川卷)设矩形的长为a，宽为b，其比满足 5 1 b ∶a 0.618，这种矩形给人以美感，称为黄 2 金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中．下面是某 工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度 的比值样本： 甲批次： 0.5980.6250.6280.5950.639 乙批次： 0.6180.6130.5920. 6220.6 20
2 求上图中阴影部分的面积； 3 若电子元件的使用时间超过300 h，则为合格产品，
求这批电子元件合格的概率．
解析： 0.1 A 100，所以A 0.001. 1由题意可知， B 30 又0.1 ，所以B 20，C 0.1，D 0.15， 200 200 E 0.2 200 40，F 0.4 200 80，G 0.1， 10 H 10，I 0.05. 200 2 阴影部分的面积0.4 0.1 0.5.
1．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本， 了解分层抽样和系统抽样方法． 2．了解分布的意义和作用，会列频率分布表， 会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图， 理解它们各自的特点． 3．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算 数据标准差，并能做出合理的解释．
4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样 本的基本数字特征估计总体的基本数字特征， 理解用样本估计总体的思想．会用统计思想解 决一些简单的实际问题． 5．通过实际问题，借助直观(如实际问题的直 方图)，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示 的意义．
题型二 频率分布直方图及应用
例2.(2011 皖南八校联考)某工厂对200个电子元件的 使用寿命进行检查，按照使用寿命(单位：h)，可以 把这批电子元件分成第一组100,200 ，第二组
200,300，第三组300,400 ，第四组400,500 ， 第五组500,600 ，第六组600,700，由于工作