第八节 函数的连续性与间断点

第八节 函数的连续性与间断点
一、函数的连续性
设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义．当自变量x 由0x 变到0x x +∆时，对应的函数值由()0f x 变到()0f x x +∆，把()()00f x x f x +∆-称为函数()y f x =在点0x 处的增量，记为y ∆，即
()()00.y f x x f x ∆=+∆-
定义 设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果
lim 0x y ∆→∆=
或()()000lim 0,x f x x f x ∆→⎡⎤+∆-=⎣
⎦ 那么就称函数()y f x =在点0x 连续．
函数()y f x =在点0x 连续，又可叙述如下： 设函数()y f x =在点0x 的某一邻域有定义，如果
()()0
0lim x x f x f x →=，
那么就称函数()f x 在点0x 连续．
上述定义也可用ε-δ语言表达如下：
()f x 在点0x 连续⇔0ε∀>，0δ∃>，当0x x δ-<时，()()0.f x f x ε-< 如果()()0
0lim x x f x f x -→=，那么就说函数()f x 在点0x 左连续．
如果()()0
0lim x x f x f x +→=，那么就说函数()f x 在点0x 右连续．
在区间上每一点都连续的函数，记作在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上
连续．如果区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续． 连续函数的图形是一条连续不断的曲线．
函数sin y x =在区间(),-∞+∞内是连续的．这只要说明sin y x =在任意点(),x ∈-∞+∞连续即可．
设(),x ∀∈-∞+∞，()sin sin 2sin
cos .22x x y x x x x ∆∆⎛⎫∆=+∆-=+ ⎪⎝⎭
因cos 12x x ∆⎛
⎫+≤ ⎪⎝⎭，故 2s i n
c o s 2s i n c o s 2s i n 2
22
22
x x x
x x
y x x ∆∆∆∆∆⎛
⎫⎛⎫∆=+=
+≤ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ 2
.2
x
x ∆≤=∆ 故当0x ∆→时，0y ∆→．于是函数sin y x =在点x 连续．
二、函数的间断点
设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义．若函数()f x 有下面三种情形之一： （1）在0x x =没有定义；
（2）在0x x =有定义，但()0
lim x x f x →不存在；
（3）在0x x =有定义，且()0
lim x x f x →存在，但()()0
0lim x x f x f x →≠，
那么函数()f x 在点0x 不连续，把这样的点0x 称为函数()f x 的间断点． 例1 函数tan y x =在2
x π
=
处没有定义，所以点2
x π
=
是函数tan y x =的间断点．因
2
lim tan x x π
→
=∞，
我们称2
x π
=
为函数tan x 的无穷间断点．
例2 函数1
sin y x =在点0x =没有定义；当0x →时，函数值在1-于1+之间变动无限多次，
点0x =称为函数1
sin
x
的振荡间断点．
例3 函数21
1
x y x -=-在点1x =没有定义，所以1x =为函数的间断点．又因
()()()2111111
lim lim lim 1 2.11
x x x x x x x x x →→→-+-==+=--
如果补充定义：1|2x y ==，那么所给函数在1x =处连续．把1x =称为函数的可去间断点．
例4 函数
(),1,
1, 1.2
x x y f x x ≠⎧⎪
==⎨=⎪⎩
这里()1
1
lim lim 1x x f x x →→==，但()1
12
f =
，所以 ()()1
lim 1.x f x f →≠
因此，1x =是函数()f x 的间断点．如果改变函数()f x 在1x =处的定义：令()11f =，那么
()f x 在1x =处连续．1x =也称为函数()f x 的可去间断点．
例5 函数
()1,0,0,0,1,0.x x f x x x x -<⎧⎪
==⎨⎪+>⎩
这里，
()()00
lim lim 11,x x f x x -
-
→→=-=- ()()00
lim lim 1 1.x x f x x +
+
→→=+= 因为()()0
lim lim x x f x f x -+
→→≠，所以极限()0
lim x f x →不存在，于是0x =是函数的间断点，把这样的间断点称为跳跃间断点．
函数的间断点还可以按下面的方法分为两类：如果0x 是函数()f x 的间断点，但左极限
()0lim x x f x -
→及右极限()0
lim x f x +
→都存在，那么0x 称为函数的第一类间断点．不是第一类间断点的间断点，称为第二类间断点．在第一类间断点中，左、右极限相等的间断点称为可去间断点，不 者称为跳跃间断点．无穷间断点和振荡间断点属于第二类间断点．
习题1-8
1.设()y f x =的图形如图所示，试指出()f x 的全部间断点，并对可去间断点补充或修改函数值的定义，使它称为连续点．
解 1,0,1,2x =-均为()f x 的间断点，除0x =外它们均为()f x 的可去间断点．补充定义
()()120f f -==，修改定义使()12f =，则它们均成为()f x 的连续点． 2.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：
（1）()2,01,
2,12;x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩
（2）(),11,
1,1 1.x x f x x x -≤≤⎧=⎨<->⎩
或
解 （1）()f x 在[)0,1及(]1,2内连续，在1x =处，
()()()21
1
1
1
lim lim 1,lim lim 21,x x x x f x x f x x --++
→→→→===-=又()11f =， 故()f x 在1x =处连续，因此()f x 在[]0,2上连续，函数的图形如图所示．
（2）()f x 在(),1-∞-与内连续，在1x =-处间断，但右连续．因为在1x =-处，
()()11
lim lim 1,11,x x f x x f +
+→-→-==--=-
但
()11
lim lim 11,x x f x -
-→-→-==
即()()1
1
lim lim .x x f x f x +-→-→-≠
函数图形如图所示．
3.下列函数在指出的点处间断，说明这些间断点是属于哪一类，如果是可去间断点，那么补充定义或改变函数的定义使它连续:
（1）221
,1,232
x y x x x x -===-+；
解 对1x =，因为()1f 无定义，但
()()()()22111111
1lim lim lim 2,32212
x x x x x x x x x x x x →→→-+-+===--+--- 所以，1x =为第一类间断点（可去间断点），重新定义函数：
()2211
,1,2,322,1,x x f x x x x ⎧-≠⎪
=-+⎨⎪-=⎩
则()1f x 在1x =处连续．
因为()2
lim x f x →=∞，所以2x =为第二类间断点（无穷间断点）．
（2）(),,0,1,2,;tan 2
x y x k x k k x π
ππ=
==+=±± 解 对0x =，因为()0f 无定义，0lim 1tan x x
x
→=，所以0x =为第一类间断点（可去间断点）
，重新定义函数：
()1,,,tan 2
1,0,x
x k k k Z f x x x πππ⎧≠+∈⎪
=⎨⎪=⎩
则()1f x 在0x =处连续． 对()1,2,x k k π==±± ，因为lim tan x k x
x
π
→=∞，所以()1,2,x k k π==±± 为第二类间断点（无穷间断点）． 对()2
x k k Z π
π=+
∈，因为
2
lim
0tan x k x x ππ→+
=，而函数在2x k ππ=+处无定义，所以2
x k ππ=+()k Z ∈为第一类间断点（可去间断点）
，重新定义函数： ()2,,,tan 2
0,,,
2x
x k k Z x f x x k k Z ππππ⎧≠+∈⎪⎪=⎨⎪=+∈⎪⎩
则()2f x 在()2
x k k Z π
π=+
∈处连续．。