高考数学一轮总复习第11章几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质课件文新人教A版

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高考数学一轮总复习几何证明选讲第一节相似三角形

第一节相似三角形的判定及有关性质【最新考纲】 1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行线截割定理.2.会证明和应用直角三角形射影定理．1．平行线等分线段定理(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．(2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2．平行线分线段成比例定理(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．3．相似三角形的判定(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．(3)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．定理3：三边对应成比例，两三角形相似．4．相似三角形的性质(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．5．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其他直线上截得的线段也相等．( )(2)两组对应边成比例，一组对应边所对的角相等的两个三角形相似．( ) (3)三角形相似不具有传递性．( )(4)相似多边形不具有面积比等于相似比的平方的性质．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2014·广东卷改编)如图所示，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则△CDF 的面积△AEF 的面积＝________．解析：因为ABCD 的平行四边形，所以AB∥DC，且AB ＝DC ，于是△CDF ∽△AEF，且CDAE ＝ABAE＝3. 因此△CDF 的面积△AEF的面积＝⎝ ⎛⎭⎪⎫CD AE 2＝9.答案：93．如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，点E ，F 分别是△ABD，△ACD 的重心，EF 与AD交于点M ，则AMDM＝________．解析：连接AE ，AF ，并延长交BC 于G ，H.因为点E ，F 分别是△ABD，△ACD 的重心，所以AE EG ＝AFFH ＝2，所以EF∥GH，所以AMDM ＝2.答案：24．如图所示，AB 与CD 相交于点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知∠A＝∠C，PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________．解析：∵PE∥BC，∴∠C ＝∠PED，又∠C＝∠A，则有∠A＝∠PED，又∠P 为公共角，所以△PDE∽△P EA ，∴PDPE＝PEPA，即PE2＝PD·PA＝2×3＝6，故PE＝ 6.答案： 65．(2015·广东卷)如图，AB为圆O的直径，E为AB延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D.若AB＝4，CE＝23，则AD________．解析：由切割线定理，EB·(AB＋EB)＝EC2又AB＝4，CE＝2 3∴EB2＋4EB＝12，解得EB＝2.连接OC，由题意得OC∥AD.所以△EOC∽△EAD.∴OCAD＝EOEA＝46，则AD＝3.答案：3一个关键平行线发线段成比例定理、射影定理是通过三角形相似证明的，故掌握好三角形相似的判定是解决本节问题的关键．两个防范1．防止写三角形相似时，两个三角形的顶点不对应；2．防止应用射影定理时，线段的位置记错．三种方法判定三角形相似有三种常用的方法：1．两组对应角分别相等，两三角形相似；2．一组对应角相等，且角的两边对应成比例，两三角形相似． 3．三边对应成比例，两三角形相似．1．如图所示，已知：在R t△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ，求证：AB·BM＝AM·BN.证明：∵在Rt △ACM 中， CM 2＝MN·AM，又∵M 是BC 的中点，即CM ＝BM ， ∴BM 2＝MN·AM，∴BM AM ＝MN BM，又∵∠BMN＝∠AMB，∴△AMB ∽△BMN ， ∴AB BN ＝AMBM，∴AB ·BM ＝AM·BN. 2．(2014·陕西卷改编)如图，△ABC 中，BC ＝6，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点E ，F ，若AC ＝2AE ，求EF 的长．解：连接EC ，BF ，如图所示．由题设，四边形BCFE 为圆的内接四边形．因此∠AEF＝∠ACB，∠AFE ＝∠ABC. 所以△AEF∽△ACB，于是AE AC ＝EFCB又AC ＝2AE ，BC ＝6 所以EF ＝3.3．如图所示，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF·HF.证明：∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF ＋∠BAC＝90°， ∴∠H ＝∠GBF.∵∠AFH ＝∠GFB＝90°， ∴△AFH ∽△GFB.∴HF BF ＝AFGF ，∴AF ·BF ＝GF·HF.因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，∴DF 2＝AF·BF，所以DF 2＝GF ·HF.4．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，E 为AC 的中点，ED ，CB 延长线交于一点F.求证：FD2＝FB·FC.证明：∵E是Rt△ACD斜边中点，∴ED＝EA，∴∠A＝∠1，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A，∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FBD＝∠FDC，∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC，∴FBFD＝FDFC，∴FD2＝FB·FC.5．(2016·贵阳质检)如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC ＝2OC.求证：AC＝2AD.证明：连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以∠ADO＝∠ACB＝90°. 又因为∠A＝∠A，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB. 所以BC OD ＝AC AD .又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD.6．(2016·大连模拟)如图所示，⊙O 为△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ，过点A 的直线交⊙O 于D ，交BC 的延长线于F ，DE 是BD 的延长线，连结CD.求证：(1)∠EDF＝∠CDF； (2)AB 2＝AF·AD.证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. ∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形． ∴∠CDF ＝∠ABC.又∠ADB 与∠EDF 是对顶角． ∴∠ADB ＝∠EDF. 又∠ADB＝∠ACB，∴∠EDF＝∠CDF.(2)由(1)知∠ADB＝∠ABC.又∵∠BAD＝∠FAB，∴△ADB∽△ABF，∴ABAF＝ADAB，∴AB2＝AF·AD.7.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，过点D作AC的平行线DE，交BA的延长线于点E，求证：(1)△ABC≌△DCB；(2)DE·DC＝AE·BD.证明：(1)∵四边形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD.∵AB＝DC，B C＝CB，∴△ABC≌△DCB.(2)∵△ABC≌△DCB，∴∠ACB＝∠DBC，∠ABC＝∠DCB，∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∠EAD＝∠ABC，∴∠DAC＝∠DBC，∠EAD＝∠DC B，∵ED∥AC，∴∠EDA＝∠DAC，∴∠EDA＝∠DBC，∴△ADE∽△CBD.∴DE∶BD＝AE∶DC，∴DE·DC＝AE·BD.8．(2016·河北衡水中学调研)如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE 的延长线交BC于F.(1)求BF FC的值． (2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值．解：(1)过点D 作DG∥BC，并交AF 于G 点，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE. 又因为∠EBF＝∠EDG，∠BEF ＝∠DEG，所以△BEF≌△DEG，则BF ＝DG ，所以BF∶FC＝DG∶FC.又因为D 是AC 的中点，则DG∶FC＝1∶2，则BF∶FC＝1∶2，即BF FC ＝12. (2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底，则由(1)知BF∶BC＝1∶3，又由BE∶BD＝1∶2可知h1∶h2＝1∶2，其中h1，h2分别为△BEF和△BDC的高，则S△BEFS△BDC＝13×12＝16，则S1∶S2＝1∶5.。

高考数学一轮复习《几何证明选修》第1课时相似三角形的判定及有关性质课件

于相似比的平方． 6．直角三角形的射影定理和逆定理 (1)定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；
两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项． (2)逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比
例中项，那么这个三角形是直角三角形．
教材回归
1.如图，D、E 分别是△ABC 的边 AB、AC
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于
独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/52022/3/52022/3/53/5/2022
课 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/52022/3/5March 5, 2022 前 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/52022/3/52022/3/52022/3/5 自助餐
思考题2 △ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，求这个正方形的边长．
【解析】如图，设正方形PQMN为加工成的正方形零件．△ABC的高AD与边PN相交于点E，设正方形的边长为x cm
探究2 1.判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理．相似三角形的判定定理可能要同时用到，先证两个三角形相似，以此作铺垫，
再证另两个三角形相似． 2．相似三角形性质的作用 (1)可用来证明线段成比例、角相等； (2)可间接证明线段相等； (3)为计算线段长度及角的大小创造条件； (4)可计算周长、特征线段长等．
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高三数学一轮复习第1课时相似三角形的判定及有关性质.ppt

2．平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的 __对__应__线__段___成比例．推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的__对__应__线__段__ 成比例．
【思考探究】使用平行截割定理时要注意什么？
提示：要注意对应线段、对应边对应成比例，不要乱对应顺序．
如图所示，在△ABC 中，∠CAB＝90°，AD⊥ BC 于 D，BE 是∠ABC 的平分线，交 AD 于 F，求证：DAFF＝AEEC.
证明：由三角形的内角平分线定理得，
在△ABD
中，DF＝BD，① AF AB
在△ABC 中，AEEC＝ABBC，②
在 Rt△ABC 中，由射影定理知，AB2＝BD·BC，
如图，△ABC 中，D 为 BC 中点，E 在 AC 上且 AE＝2CE，AD、BE 相交于点 F，求FADF，BFFE.
解析：过点 D 作 DG∥AC 且交 BE 于点 G，因为点 D 为 BC 的中点，所以 EC＝2DG.因为 AE＝2CE，所以DAGE ＝ 41.从而FADF ＝ DAEG＝41，所以GFEF＝14.因为 BG＝GE，
三角形相似．
判定定理2 对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应_成__比__例__，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对
应_成__比__例__且夹角相等，两三角形相似．判定定理3 对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应_成__比__例__，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应_成__比__例__，两三角形相似．
(2)两个直角三角形相似的判定
定理 ①如果两个直角三角形的一个锐角对应_相__等__，那么它们相似． ②如果两个直角三角形的两条直角边对应 __成__比__例__，那么它们相似． ③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与应_另_成_一_比_个_例_直_，角那三么角这形两的个斜直边角和三一角条形直相角似边．对

高考数学一轮复习几何证明选讲第讲相似三角形的判定及有关性质练习理选修--课件

几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质练习理选修4.11．如图所示，在△ABC 中，DE∥BC，DF∥AC，AE ＝2，AC ＝3，BC ＝4，则BF 的长为 ( )A .13B .43C .83D .163答案 B解析因为DE∥BC，所以AD AB ＝AE AC ＝23.因为DF∥AC，所以AD AB ＝CFCB .两式联立可得23＝CF 4，解得CF ＝83，故BF ＝4－83＝43.2．如图所示，▱ABCD 中，AE∶EB＝2∶5，若△AEF 的面积等于4 cm 2，则△CDF 的面积等于( )A ．10 cm 2B ．16 cm 2C ．25 cm 2D ．49 cm 2答案 D解析 ▱ABCD 中，△AEF∽△CDF，由AE∶EB＝2∶5，得AE∶CD＝2∶7， ∴S △AEF S △CDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AE CD 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫272， ∴S △CDF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫722×S △AEF ＝494×4＝49 (cm 2)．3．一个直角三角形的一条直角边为3，斜边上的高为125，则这个三角形的外接圆半径是( )A ．5B .52C .54D ．25答案 B解析长为3的直角边在斜边上的射影为 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫1252＝95，故由射影定理知斜边长为3295＝5，因此这个直角三角形的外接圆半径为52.4. [2016·汉中模拟]如图，在梯形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF∥AB，EF ＝30 cm ，AC 交EF 于G ，若FG －EG ＝10 cm ，则AB 等于( )A ．30 cmB ．40 cmC ．50 cmD ．60 cm答案 B解析因为EF ＝30 cm ，即FG ＋EG ＝30 cm ，又FG －EG ＝10 cm ，所以FG ＝20 cm . 因为E 为AD 的中点，EF∥AB，所以F 为BC 的中点．所以G 为AC 的中点，所以AB ＝2GF ＝2×20＝40(cm )．5．[2015·广东高考]已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.答案 8解析由于O 为AB 的中点且BC∥OD，∴OP∥BC 且OP ＝12BC ＝12，AC ＝AB 2－BC 2＝15，∴CP＝12AC ＝152.又∵CD 是圆O 的切线， ∴∠ACD＝∠ABC.又∵∠DPC＝∠ACB＝90°， ∴Rt △ABC∽Rt △DCP， ∴PD AC ＝CPBC， ∴PD＝CP·AC BC ＝152×151＝152，∴OD＝OP ＋PD ＝12＋152＝8.6．[2015·湖北高考]如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，则ABAC＝________.答案 12解析设PB ＝1，则PC ＝4. ∵PA 2＝PB·PC，∴PA＝2. ∵△PBA∽△PAC， ∴AB AC ＝PA PC ＝24＝12. 7．[2013·陕西高考]如图，弦AB 与CD 相交于⊙O 内一点E ，过E 作BC 的平行线与AD 的延长线交于点P ，已知PD ＝2DA ＝2，则PE ＝________.答案6解析 ∵PE∥BC，∴∠PED＝∠BCE. 又∵∠BCE＝∠BAD，∴∠PED＝∠BAD. 在△PDE 和△PEA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠P＝∠P ∠PED＝∠EAP，∴△PDE∽△PEA，∴PD PE ＝PE PA，∴PE 2＝PD·PA＝2×3＝6，∴PE＝ 6. 8．如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF·DB＝________.答案 5解析圆的半径OC ＝3，OE ＝2，CE ＝DE ＝32－22＝ 5. 而△DFE∽△DEB，∴DF DE ＝DE DB，∴DF·DB＝DE 2＝5.9．[2015·课标全国卷Ⅱ]如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与△ABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG 等于⊙O 的半径，且AE ＝MN ＝23，求四边形EBCF 的面积．解 (1)证明：由于△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD 是∠CAB 的角平分线．又因为⊙O 分别与AB ，AC 相切于点E ，F ，所以AE ＝AF ，故AD⊥EF.从而EF∥BC. (2)由(1)知，AE ＝AF ，AD⊥EF，故AD 是EF 的垂直平分线．又EF 为⊙O 的弦，所以O 在AD 上．连接OE ，OM ，则OE⊥AE.由AG 等于⊙O 的半径得AO ＝2OE ，所以∠OAE＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2. 因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033.所以四边形EBCF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633. 10．[2015·江苏高考]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，△ABC 的外接圆⊙O 的弦AE 交BC 于点D.求证：△ABD∽△AEB.证明因为AB ＝AC ，所以∠ABD＝∠C. 又因为∠C＝∠E，所以∠ABD＝∠E，又∠BAE 为公共角，可知△ABD∽△AEB.11．[2015·开封一模]如图，在平行四边形ABCD 中，过点B 作BE⊥CD，垂足为E ，连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE＝∠C.(1)求证：△ABF∽△EAD；(2)若∠BAE＝30°，AD ＝3，求BF 的长．解 (1)证明：∵AB∥CD， ∴∠BAF＝∠AED. 又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠ADE， ∴∠BFA＝∠ADE. ∴△ABF∽△EAD.(2)∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°， ∴AB AE ＝sin 60°＝32，又△ABF∽△EAD，∴BF AD ＝AB AE ，∴BF＝AB AE ·AD＝332.12．[2015·山西四校联考]如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于B ，C 两点，PA ＝10，PB ＝5，∠BAC 的平分线与BC 和圆O 分别交于D 和E 两点．(1)求证：AB AC ＝PAPC ；(2)求AD·AE 的值．解 (1)证明：∵PA 为圆O 的切线， ∴∠PAB＝∠ACP，又∵∠P 为公共角，∴△PAB∽△PCA， ∴AB AC ＝PA PC. (2)∵PA 为圆O 的切线，PC 是过点O 的割线， ∴PA 2＝PB·PC，即102＝5PC ， ∴PC＝20，∴BC＝15.又∵∠CAB＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2＝225. 又由(1)知AB AC ＝PA PC ＝12，∴AC ＝65，AB ＝35，如图，连接EC，则∠AEC＝∠ABC，又∵∠CAE＝∠EAB，∴△ACE∽△ADB，∴AEAB＝ACAD，∴AD·AE＝AB·AC＝35×65＝90.。

高考数学总复习第十一章第一节相似三角形的判定及其有关性质课件理

证明：如图，过点D作DE∥CA，与BA的延长线交于点E.
∵DE∥CA，∴∠DAC＝∠ADE.
又 ∵AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAD＝∠DAC.
∴∠ADE＝∠EAD.∴DE＝AE.
由平行线截割定理知：BDDC＝BAEE＝DBEE. 又∵△BAC∽△BED，∴BBAE＝DACE. ∴BAAC＝DBEE.∴BDDC＝BAAC.
由平行线截割定理知：BD BA ， DC AE
∴ BD BA . DC AC
点评：在几何证明中，如果题目给的条件较为分散，可以通过添加辅助线，使分散的条件适当集中．如果能熟练掌握几个基本图形，把所要证明的图形转化为基本图形，可使证明思路更明确，更快捷．
变式探究
2.如图所示，在△ABC中，AD是 ∠BAC的外角的平分线．求证：AB∶AC ＝BD∶DC.
第十一章选考部分
第一节相似三角形的判定及其有关性质
课前自修
知识梳理一、相似三角形的定义
对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)．
二、相似三角形的判定
1．平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似．
点E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，则 AF ＝ AC
________.
解析：过点D作DG∥BF交AC于点G.∵点D是BC中
点，∴DG是△CBF的中位线．∴FG＝CG.同理可证AF
＝FG.∴AF＝ 1 AC. 3
答案：1 3
考点二三角形内(外)角平分线的性质
【例2】证明：三角形的内角平分线分对边成两段的长度比等于夹角两边长度的比．
三、相似三角形的性质 1．相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 2．相似三角形周长的比等于相似比． 3．相似三角形面积的比等于相似比的平方． 4．相似三角比的平方．

高考数学一轮总复习几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质课件文选修4-1

CD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EF∥AD.
(1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
(1)证明：∵AD∥BC，EF∥AD ∴EF∥AD∥BC， ∴OBCE＝AABE，OBCF＝DDCF. ∵EF∥AD∥BC，∴AAEB＝DDCF. ∴OBCE＝OBCF，∴OE＝OF.
选修4－1 几何证明选讲
第一节相似三角形的判定及有关性质
如图，将一块边长为 12 的正方形纸 ABCD 的顶点 A 折叠至边上的点 E，使 DE＝5，折痕为 PQ，求MPMQ.
解：如图所示，过 M 作 MN∥AD 交 DC 于 N，所以DNNE＝AMME. 又因为 AM＝ME，
所以 DN＝NE＝12DE＝52.
(1)证明：∵AB∥CD. ∴∠BAF＝∠AED. 又∵∠BFE＝∠C， ∠BFE＋∠BFA＝∠C＋∠EDA， ∴∠BFA＝∠ADE. ∴△ABF∽△EAD.
(2)在 Rt△ABE，∠BAE＝30°，AB＝4.
∴cos
30°＝AABE，则
AE＝8
3
3 .
根据(1)知，△ABF∽△EAD.
则ABDF ＝AABE，
(2015·江苏卷)如图，在△ABC 中，AB＝AC，△ABC 的外接圆⊙O 的弦 AE 交 BC 于点 D.
求证：△ABD∽△AEB.
证明：因为 AB＝AC 所以∠ABD＝∠C. 又⊙O 是三角形 ABC 的外接圆 ∴∠E＝∠C，从而∠ABD＝∠E. 又∠BAE＝∠BAD. 故△ABD∽△AEB.
因此
BF＝AABE·AD＝3
2
3 .
1．相似三角形的证明方法：(1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．

高中数学第十一章几何证明选讲(选修4-1)

第十一章⎪⎪⎪几何证明选讲(选修4－1)第一节相似三角形的判定及有关性质1．平行线的截割定理 (1)平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． (2)平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例． 2．相似三角形的判定定理(1)判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．(2)判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． (3)判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似． 3．相似三角形的性质定理(1)性质定理：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方．(2)推论：相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．4．直角三角形相似的判定定理(1)判定定理1：如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． (2)判定定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似． (3)判定定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5．直角三角形射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF＝12 cm ，则BC 的长为________ cm.解析：由⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 中点，M 为BC 的中点，又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm. ∴BC ＝2MC ＝24 cm. 答案：242.(教材习题改编)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的点，DE ∥BC 且ADDB＝2，那么△ADE 与四边形DBCE 的面积比是________．解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC ＝AD 2AB 2. ∵AD DB ＝2，∴AD AB ＝23，∴S △ADE S △ABC ＝49，故S △ADE S 四边形DBCE ＝45. 答案：451．在使用平行线截割定理时易出现对应边的对应顺序混乱，导致错误． 2．在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角的对应失误．3．射影定理是直角三角形中的一个重要结论，其实质就是三角形的相似．但要注意满足直角三角形射影定理结论的三角形不一定是直角三角形，所以要搞清楚定理中的条件和结论之间的关系，不能乱用．[小题纠偏]1.(2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是BC 上一点，BE ∶EC ＝2∶3，AE 交BD 于点F ，则BF ∶FD 的值为________．解析：因为AD ＝BC ，BE ∶EC ＝2∶3，所以BE ∶AD ＝2∶5，因为AD ∥BC ，所以BF ∶FD ＝BE ∶AD ＝2∶5，所以BF ∶FD 的值为25.答案：252.如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是斜边BC 上的高，若AB ∶AC ＝2∶1，则AD ∶BC 为________．解析：设AC ＝k ，则AB ＝2k ，BC ＝5k ， ∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ， ∴AC 2＝CD ·BC ， ∴k 2＝CD ·5k ，∴CD ＝55k ，又BD ＝BC －CD ＝455k ， ∴AD 2＝CD ·BD ＝55k ·455k ＝45k 2， ∴AD ＝255k ，∴AD ∶BC ＝2∶5. 答案：2∶5考点一平行线分线段成比例定理的应用(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD 与AC 相交于点O ，过点O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，求EF 的值．解：∵AD ∥BC ， ∴OB OD ＝BC AD ＝2012＝53， ∴OB BD ＝58.∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝OB BD ＝58.∴OE ＝58AD ＝58×12＝152，同理可求得OF ＝38BC ＝38×20＝152，∴EF ＝OE ＋OF ＝15.2．如图，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点E 是BD 的中点，AE 交BC 于点F ，求BFFC 的值．解：如图，过点D 作DM ∥AF 交BC 于点M . ∵点E 是BD 的中点，∴在△BDM 中，BF ＝FM . 又点D 是AC 的中点， ∴在△CAF 中，CM ＝MF ， ∴BF FC ＝BF FM ＋MC ＝12.[谨记通法]平行线分线段成比例定理及推论的应用的一个注意点及一种转化(1)一个注意点：利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．(2)一种转化：解决此类问题往往需要作辅助的平行线，要结合条件构造平行线组，再应用平行线分线段成比例定理及其推论转化比例式解题．考点二相似三角形的判定及性质 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D ，E ，F 分别在AB ，AC ，BC 上，AE ＝13AC ，BD ＝13AB ，且CF ＝13BC .求证：(1)EF ⊥BC ； (2)∠ADE ＝∠EBC . 证明：设AB ＝AC ＝3a ，则AE ＝BD ＝a ，CF ＝2a . (1)CE CB ＝2a 32a ＝23，CF CA ＝2a 3a ＝23. 又∠C 为公共角，故△BAC ∽△EFC ，由∠BAC ＝90°，得∠EFC ＝90°，故EF ⊥BC .(2)由(1)得EF ＝FC AC ·AB ＝2a ，故AE EF ＝a 2a ＝22，AD BF ＝2a 22a ＝22，∴AE EF ＝AD BF， ∴△ADE ∽△FBE ，所以∠ADE ＝∠EBC .[由题悟法]证明相似三角形的一般思路(1)先找两对内角对应相等．(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例． (3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．[即时应用]如图，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠BCE .又因为AD ＝AC ，所以∠ADC ＝∠ACB.所以△ABC ∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20. 因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BDBM . 因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.考点三直角三角形中的射影定理 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]如图所示，CD 垂直平分AB ，点E 在CD 上，DF ⊥AC ，DG ⊥BE ，F ，G 分别为垂足．求证：AF ·AC ＝BG ·BE . 证明：因为CD 垂直平分AB ，所以∠ADC ＝∠BDC ＝90°，AD ＝D B.在Rt △ADC 中，因为DF ⊥AC ，所以AD 2＝AF ·AC . 同理BD 2＝BG ·BE . 所以AF ·AC ＝BG ·BE .[由题悟法]对射影定理的理解和应用(1)利用直角三角形的射影定理解决问题首先确定直角边与其射影．(2)要善于将有关比例式进行适当的变形转化，有时还要将等积式转化为比例式或将比例式转化为等积式，并且注意射影定理的其他变式．(3)注意射影定理与勾股定理的结合应用．[即时应用]在Rt △ACB 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，若BD ∶AD ＝1∶9，求tan ∠BCD 的值．解：由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，又BD ∶AD ＝1∶9，令BD ＝x ，则AD ＝9x (x >0)． ∴CD 2＝9x 2， ∴CD ＝3x .Rt △CDB 中，tan ∠BCD ＝BD CD ＝x 3x ＝13.1.如图，在四边形ABCD 中，EF ∥BC ，FG ∥AD ，求EF BC ＋FGAD 的值．解：由平行线分线段成比例定理得 EF BC ＝AF AC ，FG AD ＝FC AC ，故EF BC ＋FG AD ＝AF AC ＋FC AC ＝AC AC ＝1.2.如图，等边三角形DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC ＝4，AH ＝3，求△DEF 的边长．解：设DE ＝x ，AH 交DE 于点M ，显然MH 的长度与等边三角形DEF 的高相等，又DE ∥BC ，则DE BC ＝AM AH ＝AH －MH AH ，所以x4＝3－32x 3＝2－x 2，解得x ＝43.故△DEF 的边长为43.3.如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，直线l 过点M 分别交AD ，AC 于点E ，F ，交CB 的延长线于点N .若AE ＝2，AD ＝6，求AFAC的值．解：∵AD ∥BC ， ∴△AEF ∽△CNF ， ∴AF CF ＝AE CN ， ∴AF AF ＋CF ＝AEAE ＋CN.∵M 为AB 的中点，∴AE BN ＝AMBM ＝1，∴AE ＝BN ， ∴AF AC ＝AF AF ＋CF ＝AE AE ＋BN ＋BC ＝AE 2AE ＋BC. ∵AE ＝2，BC ＝AD ＝6， ∴AF AC ＝22×2＋6＝15.4.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°， ∠GBF ＋∠BAC ＝90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠BFG ＝90°，所以△AFH ∽△GFB ，所以HF BF ＝AF GF ，所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF . 所以DF 2＝GF ·HF .5.(2016·大连模拟)如图，已知D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA ＝3∶1，BC ＝8，求AE 的长．解：因为AE ∥BC ，D 为AC 的中点，所以AE ＝CF ，AE BF ＝AG BG ＝13.设AE ＝x ，又BC ＝8，所以x x ＋8＝13，所以x ＝4. 所以AE ＝4.6.(2016·大连模拟)如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 的延长线交BC 于F .(1)求BFFC 的值；(2)若△BEF 的面积为S 1，四边形CDEF 的面积为S 2，求S 1∶S 2的值．解：(1)过点D 作DG ∥BC ，并交AF 于点G ，因为E 是BD 的中点，所以BE ＝DE . 又因为∠EBF ＝∠EDG ，∠BEF ＝∠DEG ，所以△BEF ≌△DEG ，则BF ＝DG ，所以BF ∶FC ＝DG ∶FC .又因为D 是AC 的中点，则DG ∶FC ＝1∶2，则BF ∶FC ＝1∶2，即BF FC ＝12.(2)若△BEF 以BF 为底，△BDC 以BC 为底，则由(1)知BF ∶BC ＝1∶3，又由BE ∶BD ＝1∶2，可知h 1∶h 2＝1∶2，其中h 1，h 2分别为△BEF 和△BDC 的高，则S △BEF S △BDC ＝13×12＝16，则S 1∶S 2＝1∶5. 故S 1∶S 2的值为15.7.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 的直线与其外接圆交于点P ，交BC 的延长线于点D.(1)求证：PC AC ＝PDBD ；(2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．解：(1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ，所以△DPC ∽△DBA ，所以PC AB ＝PD BD . 又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD. (2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°， ∠ABC ＝∠ACB ，所以∠ACD ＝∠APC .又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，所以AP AC ＝AC AD. 所以AP ·AD ＝AC 2＝9.8.△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 上的点，AD ，EF 交于点P ，若BD ＝DC ，AE ＝AF .求证：AB AC ＝PF PE .证明：过F 作MN ∥AD 交BA 的延长线及DC 于M ，N .对△MEF ，有PF PE ＝AMAE ，因为AE ＝AF ，所以PF PE ＝AM AF. 对△MBN ，有AB AM ＝BDDN ，因为BD ＝DC ，所以AB AM ＝DCDN . 对△ADC ，有AC AF ＝DC DN ，所以AB AM ＝ACAF . 所以AB AC ＝AM AF ，所以AB AC ＝PF PE .第二节直线与圆的位置关系1．圆周角(1)定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． (2)推论1：①同弧或等弧所对的圆周角相等； ②同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等． (3)推论2：①半圆(或直径)所对的圆周角是直角； ②90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． (2)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．(3)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．3．弦切角定理及其推论(1)定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． (2)推论：弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半． 4．圆中的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．[小题体验]1.(教材习题改编)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设垂足为D ，⊙O 的半径等于R ， ∵AB ，BC 是⊙O 的两条弦， AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22， ∴AD ＝1，∴R 2＝2＋(R －1)2， ∴R ＝1.5.故⊙O 的半径为1.5. 答案：1.52.如图，AC 为⊙O 的直径，OB ⊥AC ，弦BN 交AC 于点M .若OC ＝3，OM ＝1，则MN 的长为________．解析：由题意得： CM ＝CO ＋OM ＝3＋1， AM ＝AO －OM ＝3－1， BM 2＝OB 2＋OM 2＝4，BM ＝2，根据相交弦定理有CM ·AM ＝BM ·MN ，代入数值可解得MN ＝CM ·AM BM ＝(3＋1)(3－1)2＝1.答案：13.如图，⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，PC ＝________ cm.解析：连接OC ，则OC ⊥PC .又OC ＝3，∠CPA ＝30°， ∴CP ＝OCtan 30°＝3 3.答案：3 31．解决圆周角、圆心角及弦切角问题时，角之间关系易于混淆导致错误．2．使用相交弦定理与切割线定理时，注意对应线段成比例及相似三角形知识的应用．[小题纠偏]1.如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点B 在圆O 上，BC ＝2，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析：设圆O的半径为r，过B作⊙O的直径BA，连接AC，则∠ACB＝90°.又由弦切角定理得∠CAB＝∠BCD＝30°，∴AB＝2BC＝4.∴r＝2，∴S＝πr2＝4π.答案：4π2.如图所示，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA＝3，AB＝4，PO＝5，则⊙O的半径为________．解析：设⊙O的半径为r.由割线定理得PA·PB＝PC·PD,3×7＝(PO－r)(PO＋r)，即21＝25－r2，∴r2＝4，∴r＝2.答案：2考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1.(2016·黄冈模拟)已知点C在圆O的直径BE的延长线上，直线CA与圆O相切于A，∠ACB的平分线分别交AB，AE于D，F两点，求∠AFD的大小．解：因为AC为圆O的切线，由弦切角定理，得∠B＝∠EAC.又因为CD平分∠ACB，则∠ACD＝∠BCD，所以∠B＋∠BCD＝∠EAC＋∠ACD.根据三角形外角定理，∠ADF＝∠AFD.因为BE是圆O的直径，则∠BAE＝90°，所以△ADF是等腰直角三角形．所以∠ADF＝∠AFD＝45°.2．(2015·广东高考改编)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC是圆O的切线，切点为C，BC＝1.过圆心O作BC的平行线，分别交EC和AC于点D和点P，求OD的长．解：由题意得OP ＝12BC ＝12，OA ＝2，于是PA ＝CP ＝22－⎝⎛⎭⎫122＝152. 因为∠DCP ＝∠B ＝∠POA ，又∠DPC ＝∠APO ，所以△DCP ∽△AOP ，故PD PA ＝PCPO，即PD ＝15212×152＝152，所以OD ＝152＋12＝8.[谨记通法]1．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．2．涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角．考点二圆内接四边形的性质及判定 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·昆明模拟)如图所示，已知D 为△ABC 的BC 边上一点，⊙O 1经过点B ，D ，交AB 于另一点E ，⊙O 2经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，⊙O 1与⊙O 2的另一交点为G .(1)求证：A ，E ，G ，F 四点共圆；(2)若AG 切⊙O 2于G ，求证：∠AEF ＝∠ACG . 证明：(1)如图，连接GD ，四边形BDGE ，四边形CDGF 分别内接于⊙O 1，⊙O 2， ∴∠AEG ＝∠BDG ， ∠AFG ＝∠CDG ，又∠BDG ＋∠CDG ＝180°， ∴∠AEG ＋∠AFG ＝180°，∴A，E，G，F四点共圆．(2)∵A，E，G，F四点共圆，∴∠AEF＝∠AGF，∵AG与⊙O2相切于点G，∴∠AGF＝∠ACG，∴∠AEF＝∠ACG.[由题悟法]证明四点共圆的常用方法(1)若四个点到一定点等距离，则这四个点共圆．(2)若一个四边形的一组对角的和等于180°，则这个四边形的四个顶点共圆．(3)若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则这个四边形的四个顶点共圆．(4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆．[即时应用](2016·吉林实验中学)如图，圆周角∠BAC的平分线与圆交于点D，过点D的切线与弦AC的延长线交于点E，AD交BC于点F.(1)求证：BC∥DE；(2)若D，E，C，F四点共圆，且AC＝BC，求∠BAC.解：(1)证明：因为DE为圆的切线，所以∠EDC＝∠DAC.又因为∠DAC＝∠DAB，∠DAB＝∠DCB，所以∠EDC＝∠DCB，所以BC∥DE.(2)因为D，E，C，F四点共圆，所以∠CFA＝∠CED，由(1)知∠ACF＝∠CED，所以∠CFA＝∠ACF.设∠DAC＝∠DAB＝x，因为AC＝BC，所以∠CBA＝∠BAC＝2x，所以∠CFA＝∠FBA＋∠FAB＝3x，在等腰△ACF中，180°＝∠CFA＋∠ACF＋∠CAF＝7x，则x≈25.7°，所以∠BAC＝2x≈51.4°.考点三与圆有关的比例线段 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2015·陕西高考)如图，AB 切⊙O 于点B ，直线AO 交⊙O 于D ，E 两点，BC ⊥DE ，垂足为C .(1)证明：∠CBD ＝∠DBA;(2)若AD ＝3DC ，BC ＝2，求⊙O 的直径．解：(1)证明：因为DE 为⊙O 的直径，所以∠BED ＋∠EDB ＝90°.又BC ⊥DE ，所以∠CBD ＋∠EDB ＝90°，从而∠CBD ＝∠BED.又AB 切⊙O 于点B ，得∠DBA ＝∠BED ，所以∠CBD ＝∠DBA . (2)由(1)知BD 平分∠CBA ，则BA BC ＝ADCD＝3. 又BC ＝2，从而AB ＝3 2. 所以AC ＝AB 2－BC 2＝4，所以AD ＝3.由切割线定理得AB 2＝AD ·AE ，即AE ＝AB 2AD ＝6，故DE ＝AE －AD ＝3，即⊙O 的直径为3.[由题悟法]与圆有关的比例线段解题思路(1)见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理． (2)见到圆的两条割线就要想到割线定理． (3)见到圆的切线和割线就要想到切割线定理．[即时应用]1．(2015·天津高考改编)如图，在圆O 中，M ，N 是弦AB 的三等分点，弦CD ，CE 分别经过点M ，N ，若CM ＝2，MD ＝4，CN ＝3，求线段NE 的长．解：由题意可得CM ·MD ＝AM ·MB ，则2×4＝2AM 2，AM ＝2. 又CN ·NE ＝AN ·NB ，即3NE ＝4×2，解得NE ＝83.2．(2015·湖北高考改编)如图，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且BC ＝3PB ，求ABAC的值．解：因为PA 是圆的切线， A 为切点，PBC 是圆的割线，由切割线定理，知PA 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )，因为BC ＝3PB ，所以PA 2＝4PB 2，即PA ＝2PB. 由弦切角定理，得∠PAB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CPA ，故△PAB ∽△PCA ，所以AB AC ＝PB PA ＝12.1．(2015·重庆高考改编)如图，圆O 的弦AB ，CD 相交于点E ，过点A 作圆O 的切线与DC 的延长线交于点P ，若PA ＝6，AE ＝9，PC ＝3，CE ∶ED ＝2∶1，求BE 的长．解：由切割线定理，知PA 2＝PC ·PD ，即62＝3PD ，解得PD ＝12，所以CD ＝PD －PC ＝9，所以CE ＝6，ED ＝3.由相交弦定理，知AE ·EB ＝CE ·ED ，即9BE ＝6×3，解得BE ＝2.2．(2016·兰州双基测试)如图，在正△ABC 中，点D ，E 分别在BC ，AC 上，且BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，AD ，BE 相交于点P .求证：(1)P ，D ，C ，E 四点共圆； (2)AP ⊥CP .证明：(1)在正△ABC 中，由BD ＝13BC ，CE ＝13CA ，知：△ABD ≌△BCE ，∴∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC ＋∠BEC ＝180°， ∴P ，D ，C ，E 四点共圆．(2)连接DE ，在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60°，由正弦定理知∠CED ＝90°，由P ，D ，C ，E 四点共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， ∴AP ⊥CP .3．(2016·陕西一检)如图，设AB 为⊙O 的任一条不与直线l 垂直的直径，P 是⊙O 与l 的公共点，AC ⊥l ，BD ⊥l ，垂足分别为C ，D ，且PC ＝PD.(1)求证：l 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径OA ＝5，AC ＝4，求CD 的长．解：(1)证明：连接OP ， ∵AC ⊥l ，BD ⊥l ， ∴AC ∥BD.又OA ＝OB ，PC ＝PD ， ∴OP ∥BD ，从而OP ⊥l .∵点P 在⊙O 上，∴l 是⊙O 的切线． (2)由(1)可得OP ＝12(AC ＋BD )，∴BD ＝2OP －AC ＝10－4＝6. 过点A 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则BE ＝BD －AC ＝6－4＝2. ∴在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2－BE 2＝102－22＝4 6. ∴CD ＝4 6.4.(2015·全国卷Ⅰ)如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，BC交⊙O 于点E .(1)若D 为AC 的中点，证明：DE 是⊙O 的切线； (2)若OA ＝3CE ，求∠ACB 的大小．解：(1)证明：如图，连接AE ，由已知得AE ⊥BC ，AC ⊥AB. 在Rt △AEC 中，由已知得DE ＝DC ，故∠DEC ＝∠DCE . 连接OE ，则∠OBE ＝∠OEB. 又∠ACB ＋∠ABC ＝90°，所以∠DEC ＋∠OEB ＝90°，故∠OED ＝90°，即DE 是⊙O 的切线． (2)设CE ＝1，AE ＝x .由已知得AB ＝23，BE ＝12－x 2. 由射影定理可得AE 2＝CE ·BE ，所以x 2＝12－x 2，即x 4＋x 2－12＝0. 解得x ＝3，所以∠ACB ＝60°.5．(2015·沈阳一模)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的两个点，CE ⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG .(1)求证：C 是劣弧BD 的中点； (2)求证：BF ＝FG .证明：(1)∵CF ＝FG ，∴∠CGF ＝∠FCG . ∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB ＝∠ADB ＝π2.∵CE ⊥AB ，∴∠CEA ＝π2.∵∠CBA ＝π2－∠CAB ，∠ACE ＝π2－∠CAB ，∴∠CBA ＝∠ACE .∵∠CGF ＝∠DGA ，∠DGA ＝∠ABC ， ∴π2－∠DGA ＝π2－∠ABC ， ∴∠CAB ＝∠DAC ， ∴C 为劣弧BD 的中点．(2)∵∠GBC ＝π2－∠CGB ，∠FCB ＝π2－∠GCF ，∴∠GBC ＝∠FCB ，∴CF ＝FB ，∴BF ＝FG .6．(2016·贵州七校联考)如图，⊙O 1和⊙O 2的公切线AD 和BC 相交于点D ，A ，B ，C 为切点，直线DO 1交⊙O 1于E ，G 两点，直线DO 2交⊙O 2于F ，H 两点．(1)求证：△DEF ∽△DHG ；(2)若⊙O 1和⊙O 2的半径之比为9∶16，求DEDF 的值．解：(1)证明：∵AD 是两圆的公切线， ∴AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ， ∴DE ·DG ＝DF ·DH ，∴DE DH ＝DF DG ，又∵∠EDF ＝∠HDG ， ∴△DEF ∽△DHG .(2)连接O 1A ，O 2A ， ∵AD 是两圆的公切线， ∴O 1A ⊥AD ，O 2A ⊥AD ， ∴O 1，A ，O 2共线，∵AD 和BC 是⊙O 1和⊙O 2的公切线， DG 平分∠ADB ，DH 平分∠ADC ， ∴DG ⊥DH ，∴AD 2＝O 1A ·O 2A .设⊙O 1和⊙O 2的半径分别为9x 和16x ，则AD ＝12x ， ∵AD 2＝DE ·DG ，AD 2＝DF ·DH ，∴144x 2＝DE (DE ＋18x )，144x 2＝DF (DF ＋32x )， ∴DE ＝6x ，DF ＝4x ， ∴DE DF ＝32.7．(2016·沈阳模拟)如图，已知圆O 1与圆O 2外切于点P ，直线AB 是两圆的外公切线，分别与两圆相切于A ，B 两点，AC 是圆O 1的直径，过C 作圆O 2的切线，切点为D.(1)求证：C ，P ，B 三点共线； (2)求证：CD ＝CA .证明：(1)连接PC ，PA ，PB ，BO 2，∵AC是圆O1的直径，∴∠APC＝90°.连接O1O2必过点P，∵AB是两圆的外公切线，A，B为切点，∴设∠BAP＝∠ACP＝α，∴∠AO1P＝2α.由于O1A⊥AB，O2B⊥AB，∴∠BO2P＝π－2α，∴∠O2BP＝α.又∠ABP＋∠O2BP＝90°，∴∠ABP＋∠BAP＝90°，∴C，P，B三点共线．(2)∵CD切圆O2于点D，∴CD2＝CP·CB.在△ABC中，∠CAB＝90°，又∵AP⊥BC，∴CA2＝CP·CB，故CD＝CA.8．(2015·全国卷Ⅱ)如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．(1)证明：EF∥BC；(2)若AG等于⊙O的半径，且AE＝MN＝23，求四边形EBCF的面积．解：(1)证明：由于△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，所以AD是∠CAB的平分线．又因为⊙O分别与AB，AC相切于点E，F，所以AE＝AF，故AD⊥EF，从而EF∥BC.(2)由(1)知，AE＝AF，AD⊥EF，故AD是EF的垂直平分线．又EF为⊙O的弦，所以O在AD上．连接OE，OM，则OE⊥AE.由AG等于⊙O的半径得AO＝2OE，所以∠OAE ＝30°.因此△ABC 和△AEF 都是等边三角形．因为AE ＝23，所以AO ＝4，OE ＝2.因为OM ＝OE ＝2，DM ＝12MN ＝3，所以OD ＝1.于是AD ＝5，AB ＝1033. 所以四边形EBCF 的面积为12×⎝⎛⎭⎫10332×32－12×(23)2×32＝1633.。

高考数学一轮复习几何证明选讲第一节相似三角形的

1.如图,AB∥CD∥EF,AF,BE 相交于点 O,若 AO=OD=DF,BE=10,则 BO 的长为 ()
A.130
B.5
C.52
D.3
1.A 【解析】由 AB∥CD∥EF 知△ABO,△DCO 和△FEO 互为相似三角形,可得 BO=13 �� = 130.
2.下列命题正确的是
选修4-1 几何证明选讲
第一节相似的三角形的判定及有关性质
考纲概述
考查
考查热点
备考指导
频次
(1)了解平行线截割定理; (2)会证明并应用直角三角形射影定理.
平行线截割定理相似三角形的判定与性质直角三角形的射影
★★ ★★★ ★
平行线截割定理、相似三角形的性质定理是进行线段转化的主要方法,而相似三角形的判定定理和性质定理通常又是交织在一起,先证明三角形相似,再利用相似的性质定理求解.直角三角形的射影定理实质是直角三角形中相似三角形的性质定理的应用,高考几乎不考.
明1
��
+
1 ��
=
��1��成立,若将图
1
中的垂直改为斜交,如图
2,AB∥CD,AD
与
BC
交于点
E,过点
E
作
EF∥AB
交
BD 于 F,则
(1)��1��
+
1 ��
=
��1��还成立吗?如果成立,给出证明;如果不成立,请说明理由.
定理
内容
性质定理 1 相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 性质定理 2 相似三角形周长的比等于相似比. 性质定理 3 相似三角形面积的比等于相似比的平方 .

高考数学一轮复习几何证明选讲第1课时相似三角形的判定及有关性质课件理(选修41)

______第三边． •平推分论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线_____
另一腰．
平分
• 2．平行线分线段成比例定理 • 三条平行线截两条直线，所得的___对__应线段成比例． • 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长
线)所得的对应线段成_______． • 3．相似三角形的判定比例 • 判定定理1：两角对应_____，两三角形相似． • 判定定理2：两边对应___相__等___且夹角______，两三角形相 • 似判．定定理3：三边对应___成__比__例_，两三角形相相等似．
【解析】 (1)证明：∵OE∥BC， ∴AAEB＝AAOC.又∠BAC＝∠CAB，∴△EAO∽△BAC. ∴OBCE＝AAEB，同理OBCF＝DDCF. ∵AD∥EF∥BC，∴AABE＝DDCF，∴OBCE＝OBCF. ∴OE＝OF.
(2)∵OE∥AD，∴BBOD＝BBEA，∴△EBO∽△ABD. ∴OADE＝BBOD，同理OBCE＝AAOC. 又 AD∥BC，∴BBOD＝CAOC，∴OADE＋OBCE＝CAOC＋AAOC＝1. • 【答案】 (1)略 (2)1
• 答案 6
解析由直角三角形射影定理，得 AC2＝AD·AB. ∴AB＝AACD2＝422＝8，∴BD＝AB－AD＝8－2＝6.
授人以渔
题型一平行线分线成比例
例1 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EF∥AD. (1)求证：OE＝OF； (2)求OADE＋OBCE的值．
即6－3x＝3
x
，所以 3
x2－6x＋9＝0，解得
x＝3.
(2)若△ADP∽△BCP，则ABDC＝BAPP，
即 3
33＝6－x x，解得 x＝23.

高考数学一轮总复习第11章几何证明选讲第1节相似三角形的判定及有关性质课件理新人教版

1. (2016·鞍山模拟)如图，在▱ABCD 中，E 是
BC 上一点，BE∶EC＝2∶3，AE 交 BD 于点 F，则 BF∶FD 的值为________．
解析：因为 AD＝BC，BE∶EC＝2∶3，所以 BE∶AD＝2∶5，因为 AD∥BC，所以 BF∶FD＝BE∶AD＝2∶5，所以 BF∶FD 的值为25. 答案：25
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AD 是斜边 BC 上的高，若 AB∶AC＝2∶1，则 AD∶ BC 为________．
解析：设 AC＝k，则 AB＝2k，BC＝ 5k，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴AC2＝CD·BC，∴k2＝CD· 5k，∴CD＝ 55k，
又 BD＝BC－CD＝455k，
2. (教材习题改编)如图，D，E 分别是△ABC 的
边 AB，AC 上的点，DE∥BC 且ADDB＝2，那么 △ADE 与四边形 DBCE 的面积比是________．解析：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC， ∴SS△△AADBCE＝AADB22. ∵ADDB＝2，∴AADB＝23， ∴SS△△AADBCE＝49，故S四S边△形ADDBECE＝45. 答案：45
解析
如图所示，CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G 分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.
证明
在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，CD⊥AB 于 D，若 BD∶AD
＝1∶9，求 tan∠BCD 的值．
解：由射影定理得 CD2＝AD·BD，又 BD∶AD＝1∶9，令 BD＝x，则 AD＝9x(x>0)． ∴CD2＝9x2， ∴CD＝3x. Rt△CDB 中，tan∠BCD＝BCDD＝3xx＝13.

高考数学选修部分几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质知能选修4_122-

第1讲相似三角形的判定及有关性质1.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，求BC 的长．解：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 的中点，M 为BC 的中点．又EF ∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，所以BC ＝2MC ＝24 cm.2.在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE ∶EB ＝1∶2，DE 与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，求△ABC 的面积．解：在平行四边形ABCD 中，AB 綊CD .因为AE ∶EB ＝1∶2，所以AE ∶DC ＝1∶3，所以△AEF 与△CDF 对应边AE 与DC 上的高的比为1∶3，所以△AEF 与△ABC ，AE 与AB 边上的高的比为1∶4. 因为AE ∶AB ＝1∶3，所以S △AEF ∶S △ABC ＝1∶12，所以S △ABC ＝6×12＝72(cm 2)． 3.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH ∥BE .连接ED 并延长，交AB 于F ，交AH 于H .若AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：因为AH ∥BE ，所以HF HE ＝AF AB. 因为AB ＝4AF ，所以HF HE ＝14.因为HE ＝8，所以HF ＝2.因为AH ∥BE ，所以HD DE ＝AD DC. 因为D 是AC 的中点，所以HDDE＝1.因为HE ＝HD ＋DE ＝8，所以HD ＝4. 所以DF ＝HD －HF ＝4－2＝2.4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .证明：取AC 的中点M ，连接DM 交CF 于点N .在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，所以DN ＝12BF .因为DN ∥AF ，所以△AFE ∽△DNE ，所以AE AF ＝DE DN. 又因为DN ＝12BF ，所以AE AF ＝2DEBF，即AE ·BF ＝2DE ·AF . 5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF ∥AB ，BP 的延长线交AC 、CF 于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE ·PF . 证明：如图，连接PC .易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP . 因为CF ∥AB ，所以∠F ＝∠ABP . 从而∠F ＝∠ACP .又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE ∽△FPC ，所以CP FP ＝PE PC. 所以PC 2＝PE ·PF .又PC ＝PB ，所以PB 2＝PE ·PF . 6.已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .(1)求证：△ABC ∽△FCD ；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B ＝∠1.又因为AD ＝AC ，所以∠2＝∠ACB .所以△ABC ∽△FCD .(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M .因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝⎛⎭⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20.因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BD BM .因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.。

高三数学一轮总复习几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质课件选修4-1

K12课件
12
5．如图，正方形ABCD的边长为4，P为AB上的点，且AP∶PB＝1∶3，PQ⊥ PC，则PQ的长为__________。
解析：∵PQ⊥PC， ∴∠APQ＋∠BPC＝90°。 ∴∠APQ＝∠BCP。 ∴Rt△APQ∽Rt△PBC。∴BACP＝PPQC。 ∵AB＝4，AP∶PB＝1∶3，∴PB＝3，AP＝1。 ∴PQ＝APB·CPC。又PC2＝ 32＋42＝5，∴PQ＝54。答案：54
解析：∵DE∥BC，DF∥AC， ∴四边形DECF是平行四边形。 ∴FC＝DE＝5 cm。 ∵DF∥AC，∴FBCF＝BDDA，即B5F＝84。∴BF＝10 cm。答案：10 cm
K12课件
9
2．在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，AB∶AC＝3∶2，则CD∶BD ＝__________。
∴ABDF＝DEFE＝DEFF＋1＝52。答案：5∶2
K12课件
11
4．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________。
解析：由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°得 Rt△ABE∽Rt△ADC，则AACE＝AADB， ∴AE＝6× 124＝2。答案：2
K12课件
13
课堂学案考点通关
考点例析通关特训
K12课件
14
考点一
平行线截割定理的应用
【例1】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直
线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝__________。
解析：∵AD∥BC， ∴OODB＝ABDC＝2102＝53，∴OBDB＝58。 ∵OE∥AD，∴OADE＝OBDB＝58。 ∴OE＝58AD＝58×12＝125，同理可求得OF＝38BC＝38×20＝125， ∴EF＝OE＋OF＝15。答案：15

高考数学理一轮复习选考11 相似三角形的判定课件新人教A

•
2．如下图，▱ABCD 中，O1、O2、O3 是 BD 的四等分点，连结 AO1，并延长交 BC 于 E，连结 EO2 并延长交 AD 于 F，则AFDD＝________.
解析：O2 是平行四边形 ABCD 的中心，∴O2E＝O2F，又 O2O1＝ O2O3，∴O1E∥O3F，∴DADF＝OD3OD1＝13.
④相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于相似比的平方．
4．直角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．
1．如右图，AA1 与 BB1 相交于点 O，AB∥A1B1 且 AB＝12A1B1.若△AOB 的外接圆的直径为 1，则△A1OB1 的外接圆的直径为________．
2×2 23b×3b·cos∠APD＝15b2－6 6b2cos∠APD
∴ABDC22＝1525bb22－－66b62b·c2cooss∠∠AAPPDD＝16.∴ABDC＝
6 6.
[答案]
6 6
1．(2010·辽宁高考)如右图，△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.
(1)证明△ABE∽△ADC； (2)若△ABC 的面积 S＝12AD·AE，求∠BAC 的大小．
(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD. 因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD. 故△ABE∽△ADC. (2)解：因为△ABE∽△ADC，
所以AABE＝AADC，即 AB·AC＝AD·AE. 又 S△ABC＝12AB·ACsin∠BAC，且 S△ABC＝12AD·AE，故 AB·ACsin∠BAC ＝AD·AE. 则sin∠BAC＝1，

高考数学一轮复习选修部分几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质知能训练轻松闯关理北师大版选修4_1

第讲相似三角形的判定及有关性质.如图，∥∥，＝，∥，＝，求的长．解：⇒为的中点，为的中点．又∥⇒＝＝，所以＝＝ ..在平行四边形中，点在边上，且∶＝∶，与交于点，若△的面积为，求△的面积．解：在平行四边形中，綊.因为∶＝∶，所以∶＝∶，所以△与△对应边与上的高的比为∶，所以△与△，与边上的高的比为∶.因为∶＝∶，所以△∶△＝∶，所以△＝×＝()．.如图，在△中，是的中点，是延长线上一点，过作∥.连接并延长，交于，交于.若＝，＝，求的长．解：因为∥，所以＝.因为＝，所以＝.因为＝，所以＝.因为∥，所以＝.因为是的中点，所以＝.因为＝＋＝，所以＝.所以＝－＝－＝..如图所示，在△中，为边上的中线，为上任意一点，交于点.求证：·＝·.证明：取的中点，连接交于点.在△中，是的中点，∥，所以＝.因为∥，所以△∽△，所以＝.又因为＝，所以＝，即·＝·..如图，在△中，＝，是中线，为上一点，∥，的延长线交、于、两点，求证：＝·.证明：如图，连接.易证＝，∠＝∠.因为∥，所以∠＝∠.从而∠＝∠.又∠为△与△的公共角，从而△∽△，所以＝.所以＝·.又＝，所以＝·..已知在△中，是边的中点，且＝，⊥，与相交于点，与相交于点.()求证：△∽△；()若△＝，＝，求的长．解：()证明：因为⊥，是的中点，所以＝，所以∠＝∠.又因为＝，所以∠＝∠.所以△∽△.()如图，过点作⊥，垂足为点.因为△∽△，＝，所以＝＝.又因为△＝，所以△＝.因为△＝·，＝，所以＝××，所以＝.因为∥，所以＝.因为＝＝，＝＋，＝＝，所以＝，解得＝.。

高考数学一轮复习选修部分几何证明选讲第1讲相似三角形的判定及有关性质知能训练轻松闯关理北

第1讲相似三角形的判定及有关性质1.如图，AB ∥EM ∥DC ，AE ＝ED ，EF ∥BC ，EF ＝12 cm ，求BC 的长．解：⎭⎪⎬⎪⎫AB ∥EM ∥DC AE ＝ED ⇒E 为AD 的中点，M 为BC 的中点．又EF∥BC ⇒EF ＝MC ＝12 cm ，所以BC ＝2MC ＝24 cm .2.在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AE∶EB＝1∶2，DE与AC 交于点F ，若△AEF 的面积为6 cm 2，求△ABC 的面积．解：在平行四边形ABCD 中，AB 綊CD. 因为AE∶EB＝1∶2，所以AE∶DC＝1∶3，所以△AEF 与△CDF 对应边AE 与DC 上的高的比为1∶3，所以△AEF 与△ABC，AE 与AB 边上的高的比为1∶4. 因为AE∶AB＝1∶3，所以S △AEF ∶S △ABC ＝1∶12，所以S △ABC ＝6×12＝72(cm 2)． 3.如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BC 延长线上一点，过A 作AH∥BE.连接ED 并延长，交AB 于F ，交AH 于H.若AB ＝4AF ，EH ＝8，求DF 的长．解：因为AH∥BE，所以HF HE ＝AFAB .因为AB ＝4AF ，所以HF HE ＝14.因为HE ＝8，所以HF ＝2.因为AH∥BE，所以HD DE ＝ADDC.因为D 是AC 的中点，所以HDDE＝1.因为HE ＝HD ＋DE ＝8，所以HD ＝4. 所以DF ＝HD －HF ＝4－2＝2. 4.如图所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E.求证：AE·BF＝2DE·AF.证明：取AC 的中点M ，连接DM 交CF 于点N.在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，所以DN ＝12BF.因为DN∥AF，所以△AFE∽△DNE，所以AE AF ＝DE DN.又因为DN ＝12BF ，所以AE AF ＝2DEBF，即AE·BF＝2DE·AF. 5.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，P 为AD 上一点，CF∥AB，BP 的延长线交AC 、CF于E 、F 两点，求证：PB 2＝PE·PF. 证明：如图，连接PC.易证PC ＝PB ，∠ABP ＝∠ACP. 因为CF∥AB，所以∠F＝∠ABP. 从而∠F＝∠ACP.又∠EPC 为△CPE 与△FPC 的公共角，从而△CPE∽△FPC，所以CP FP ＝PEPC.所以PC 2＝PE·PF.又PC ＝PB ，所以PB 2＝PE·PF. 6.已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F.(1)求证：△ABC∽△FCD；(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．解：(1)证明：因为DE⊥BC，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，所以∠B＝∠1.又因为AD ＝AC ，所以∠2＝∠ACB.所以△ABC∽△FCD.(2)如图，过点A 作AM⊥BC，垂足为点M.因为△ABC∽△FCD，BC ＝2CD ，所以S △ABC S △FCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC CD 2＝4.又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20.因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.因为DE∥AM，所以DE AM ＝BD BM .因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，所以DE 4＝55＋52，解得DE ＝83.。

高考数学一轮总复习 第11章 几何证明选讲 第一节 相似三角形的判定及有关性质课件 文 新人教A版

高考数学一轮总复习 几何证明选讲 第一节 相似三角形

高考数学一轮复习 《几何证明选修》第1课时相似三角形的判定及有关性质课件

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高考数学一轮复习 几何证明选讲 第讲 相似三角形的判定及有关性质练习 理 选修--课件

高考数学总复习 第十一章 第一节相似三角形的判定及其有关性质课件 理

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高考数学一轮复习 几何证明选讲 第1课时 相似三角形的判定及有关性质课件 理(选修41)

高考数学一轮总复习 第11章 几何证明选讲 第1节 相似三角形的判定及有关性质课件 理 新人教版