有限元板壳单元共39页文档

第5章板壳有限元

王家林张俊波编著
单元类型
单元尺度
单元数
节点数 393 1343 7553 29103 114203 1108805 53 165 569 3221 53 165 569 3221
Abaqus C3D20
Abaqus S8R5
Abaqus S8R
0.5 40 0.25 160 0.1 1000 0.05 4000 0.025 16000 0.01 200000 1 10 0.5 40 0.25 160 0.1 1000 1 10 0.5 40 0.25 160 0.1 1000 梁解析解 ql^4/(8EI)
t b xk xk x ( c, s , t ) x k (t ) 1 t t 1 t b y (c, s, t ) N k (c, s) y k (t ) N k (c, s)( yk y k ) 2 t 2 b z ( c, s , t ) k z (t ) k k zk zk
图 6.1 板、壳结构示意图
对于板壳问题，采用实体单元模拟时，如果单元面内尺度过大，由于厚度太小，单元很薄，容易出现剪切锁定（出现虚假的剪切变形）；如果单元面内尺度小到与厚度相当，则导致单元数量过于庞大，极大地增加计算量。
悬臂平板长 10m，宽 1m，厚 0.02m，材料的弹性模量 E=200GPa,在上表面受到均布压强 q=1N/m。采用不同方法计算得到的结果如下表：
0 y y
王家林张俊波编著
0 xy xy
Ez 2 w (1 ) xy
(5) 平衡微分方程
4w 4w 4w 2 2 w 2 2 w 2 2 w D ( 4 2 2 2 4 ) q h( 2 2 ) xy xy x x y y y x 2 x 2 y 2 4 4 4 2w 2 2w 2w 2 E [( ) 2 ] xy x 4 x 2 y 2 y 4 x y 2

有限元板壳单元共41页

谢谢！
41
有限元板壳单元
46、法律有权打破平静。——马·格林 47、在一千磅法律里，没有一盎司仁爱。— —英国
48、法律一多，公正就少。——托·富勒 49、犯罪总是以惩罚相补偿；只有处罚才能使犯罪得到偿还。— —达雷尔
50、弱者比强者更能得到法律的保护。—— 威·厄尔
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华

有限元第七讲

0 0 0 GJ l 0 0 0 0 0 GJ l
0 0 6 EI y l2 0 2 EI y l 0 0 0 6 EI y l2 0 4 EI y l
EA l
6 EI z l2 0 0 0 2 EI z l 0 6 EI z 2 l 0 0 0 4 EI z l 0
2、平面杆单元的坐标变换
l xx l zx 0
l xz l zz 0
0 cos sin 0 sin cos 0 0 1 0 1 0
T diag

第六章
四、平面杆件系统
3、内部铰结点的处理
第五章
板壳问题有限单元法
四、用矩形薄板单元进行薄壳分析五、用三角形薄板单元进行薄壳分析六、用薄板单元进行薄壳分析的步骤
第五章
板壳问题有限单元法
四、用矩形薄板单元进行薄壳分析
1 薄壳的计算假定：
a) 垂直于中面方向的正应变极其微小，可以不计。 b) 中面的法线保持为直线，且法线及其垂直线段之间的直角保持不变，即该两方向的剪应变为零。 c) 挤压应力对变形的影响可以不计。
k e kij 44
Re R1 Ri Rip
R2
R
b i

R3
0

kijp e kij 0 0 T R4
0
b kij
0
0 0 0
T
第五章
板壳问题有限单元法
四、用矩形薄板单元进行薄壳分析
3. 矩形平板型壳单元：
4）坐标转换问题：
第七章动力问题的有限单元法
二、结构的运动方程

7_板壳问题有限元分析

T i
1 1 2 h 1 1 2
h

BiT DB j abd d dz
(6.17)
21 /44
薄板问题的有限元法
代入 D 、 Bi 和 B j 于是有
D 1 1 b2 T kij N i , N j , uN iT, N T, uN iT, N T, j j 1 1 a 2 ab +2(1- )N
2
24 /44
薄板问题的有限元法
k23 15H ab(i j )(i j ) b2 b2 k31 3Ha (2 3 5 2 ) j0 15 2 j 5i0 a a k32 15H ab(i j )(i j )
23 /44
薄板问题的有限元法
其中
b2 a2 a2 b2 k11 3H 0 15( 2 0 2 0 ) (14 4 5 2 5 2 ) 00 b b a a a2 a2 k12 3Hb (2 3 5 2 ) 0i 15 2 i 5 0i b b b2 b2 k13 3Ha (2 3 5 2 )i0 15 2 i 50 j a a a2 a2 k21 3Hb (2 3 5 2 ) 0 j 15 2 j 5 0i b b a2 k22 Hb 2(1 ) 0 (3 50 ) 5 2 (3 0 )(3 0 ) b
1 E D 2 1 0
薄板问题的有限元法
图 6.2 平板内力
10 /44
薄板问题的有限元法
设 M x 、 M y 和 M xy 表示单位宽度上的内力矩，于是有
2w 2 x Mx h h3 2 w h3 M M y h2 z dz D DC D 'C (6.5) 2 12 y 12 2 M xy 2w 2 xy

壳单元综述

壳单元是有限元分析中的一种重要元素类型，特别适用于模拟具有一个维度显著小于其他两个维度的结构，例如薄板、薄膜和壳等。

在壳单元的分析中，通常会采用一些简化和假设以降低计算复杂性，同时保持足够的精度。

壳单元的主要特点包括：
维度简化：壳单元是二维元素，但能够模拟三维空间的应力应变状态。

它们通过厚度方向的积分点来考虑横向剪切效应，从而在一定程度上反映三维特性。

计算效率：相比于实体单元，壳单元的计算效率更高，因为它们需要的自由度较少。

这使得壳单元在模拟大型结构时具有优势。

适用性：壳单元适用于各种材料和结构类型，包括各向同性、正交各向异性、层合板和复合材料等。

此外，壳单元还可以模拟结构的几何非线性行为。

精度：壳单元的精度取决于所采用的假设和理论。

例如，一阶剪切变形理论（FSDT）和二阶剪切变形理论（HSDT）在模拟厚度方向剪切效应时具有不同的精度。

通常，HSDT比FSDT更精确，但计算成本也更高。

在有限元分析中，选择合适的壳单元类型对于确保模拟结果的准确性和可靠性至关重要。

因此，在实际应用中，需要根据问题的具体需求和特点来选择合适的壳单元类型。

总的来说，壳单元是一种高效且实用的有限元元素类型，广泛应用于各种工程和科学领域。

随着计算机技术和数值方法的不断发展，
壳单元的理论和应用也在不断进步和完善。

有限元第七章弹性板壳有限元分析

1 y1
x1
4
x3
4
1O y()
2a
y3
2 y2
FQ1
M y1
2
x2 M x1
x( ) 3 2b
FQ4
1O y()
3 x4
M x3
4
2a
y4
M y3
x( )
FQ2 2
M y2 M x2
FQ3 2b
3 M x4
M y4
(a)
(b)
图7-3 矩形单元结点位移和结点力
（2）按此位移模式进行（在无荷载作用下的）单元、整体分析，并在上述位移边界条件下求解。
（3）若所求得的结点位移构造的小片上的挠度为一完全二次多项式，则单元的位移模式通过小片检验。
当薄板程序不能解已知边界支撑位移时，也可按如下步骤进行小片检验：
（1）取某一单元小片，对小片的每一结点给以对应于完全二次多项式的结点位移。
（7-10）
式中四次项所以取 x3 y和xy3是为了保证坐标互换时的不变性和曲率、扭率具
有相同方次（后面还将说明）。对式（7-10）求导可得
x a1 a5 2a6 y a8 x2 2a9 xy a10 y3＋3a10 y2 a11x3 3a12 xy2
（7-11）
（7-9）
因为单元结点位移参数（每结点的挠度和绕两坐标轴的转角）
总计有12个（故称12自由度），所以从广义坐标法角度来说
位移模式可取作
w a1 a2 x a3 y a4 x2 a5 xy a6 y2 a7 x3 a8 x2 y
a9 xy2 a10 y3＋a10 x3 y a11xy3
7-1 弹性薄板基本理论

6板壳有限元

N x1 i 1 0 (1) N x1 1 N x1 y b N x1 x 0
i 4,1
b2 c2 d 2 0 0 (2) a2 e2 i 2
(3) , (4)
最后利用本点1，确定a2=b/8，代回
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板弯曲问题
平面应力： 0 z xz yz
y
z
x
与平面应力问题不同，薄板弯曲问题是具有图示几何特征的结构在横向荷载作用下的分析。
弹性薄板基本知识
弹性薄板基本概念所谓薄板是指板厚h比板最小尺寸b在如下范围的平 y 1 1 h 1 1 板 ~ ~
100 80 b 8 5
N i N i N N 1
N xi
N yi

My1
x3 y3

4
N 4
则薄板的挠度场可由结点位移表示为
w N i d i N d
i 1

e
4) 单元间位移的协调性可以证明,上述w在边线上任意一点的挠度和转角都是三次多项式。
弹性薄板矩形（R12）单元
对于转角yi相关的形函数，可推导得，
z
N xi b i (1 0 )(1 0 )(1 - )/8
2
N yi a i (1 0 )(1 0 )(1 - 2 )/8
弹性薄板矩形（R12）单元
3) 薄板的挠度场有了每一结点的形函数,记
Q1 1 Mx1 4 x w3 2 y z 3
M y zdzdx
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2

11第4章板壳问题有限元

w S1 w ，
w n

S1
（ 4-1-5）
其中 n 表示边界的法线方向。特例情况下， S1 为固支边，则 w S 0 ，
1
w 0 n S1
146
2 、在边界 S 2 上，给定位移 w 和力矩 M n ，即
w S w ， M n
2
S2
M n
（ 4-1-6）
特例情况下， S 2 为简支边，则 w S 0 ， M n
2 2
（常曲率和常扭率）项，因为将它们代入式（ 4-1-1）可以得
2 w 2 2 4 x 2 w 2 2 6 y
2
2 w 2 5 x y
（ 4-2-3）
因此，在板弯曲单元的挠度函数中存在常数项、一次项和二次项，就可以满足完备性条件。（2 ）协调条件：以单元 1-2 边为例，该边上 y 为常数，挠度 w 是 x 的三次函数
如平板的表面上作用有 z 向的分布荷载 q ，则从以上各式可以得到经典薄板理论的系统总位能泛函表达式
1 w T D qw dxdy Q wdS M n dS b n S3 S2 S3 2 n
{M } [Db ]{ }
式中， [ Db ] 为板弯曲弹性矩阵，对于各向同性材料有
（4-1-3）
1 0 Et [D b ] 1 0 2 12(1 ) 1 0 0 2
3
（4-1-4）
为建立平板弯曲问题的能量泛函，还要考虑荷载和边界条件。关于边界条件有三种情况： 1 、在边界 S1 上，给定位移 w 和截面转角，即
2 4 w T e ] z [B i ]{ z[ B ]{ } i} x y i 1

第8章_膜、板、壳结构的有限元法

（81）
该点沿 x 方向的变形（位移）为(假设梁的深度 t 符合浅梁的规定）：
u y y
（82）
西安工程大学
计算机辅助工程 CAE 讲稿第 8 章膜、板、壳结构的有限元法
王益轩编著 2005 年 8 月
94
8.2.2 板的弯曲变形和梁的变形一样，薄板的变形仍然按平面假设来推导，板的中性层平面弯曲变形的挠曲面方程为
王益轩编著 2005 年 8 月
96
轴与 y 轴的旋转角 x 与 y ，x 方向和 y 方向的变形 u 和 v 忽略不计，板单元如图 83 所示，3 个节点，每个节点具有 3 个自由度，共 9 个自由度，节点分别为 i, j , k ，因为 9 个位移分量为未知，因而假设的位移模式中应包含 9 个任意常数，位移模式假设如下：
8.2 板结构单元基础理论
8.2.1 梁的弯曲变形当一梁受一弯曲力矩作用时，如图 81 所示，梁的中性层弯曲变形的挠曲线方程为 f(x), 根据梁变形的平面假设，梁上任意点（x，y）的横截面将转动，变形后仍然保持为平面，旋转角等于该点处的挠曲线的斜率。即

f ( x ) f ( x) x f ( x ) x
西安工程大学
计算机辅助工程 CAE 讲稿第 8 章膜、板、壳结构的有限元法
王益轩编著 2005 年 8 月
93
第8章膜、板、壳结构的有限元法
本章的主要目的是介绍膜、板、壳结构有限元分析的基本概念和基础理论。并简要介绍 ANSYS 结构分析中的相关单元。主要讨论内容如下：概述膜、板、壳结构有限元的基础理论 ANSYS 结构分析中的板壳单元 ANSYS 板壳单元浏览膜、板、壳结构分析时的注意事项

有限元板壳——王勖成

xi x i a a yi y i b b

广义应变
[ ] L w L N a
薄板应变能：
h /2 1 1 T T ' U dV D dzdA 2 V 2 A h/2 1 1 T T D dA M dA 2 A 2 A

泛函表达式：
1 w T p D dxdy Vn dS M n dS S S S 3 2 3 2 n
边界条件
（1）位移边界条件
S1 S2
w |s1 w
（2）混合边界条件
w n s1
M n |s2 M n w |s2 w M ns 其中 (Qn ) Vn S s3 （3）力边界条件 2w 2w S3 M n |s3 M n M n |s2 D0 n 2 s 2
1 0 E [ D0 ] 1 0 1 2 1 0 0 2

内力：板单位宽度上弯矩Mx 、 My和 Mxy ，为应力分量在板截面上的合力矩：
M x t [ M ] M y 2t z{ }dz 2 M xy
1-3项刚体位移
单元间法线导数可能不连续
4-5项常应变非协调元

将结点坐标和结点位移代入上式，可解出 a1~a12，再代入该式并整理得位移函数
w [ N ]{a}
式中形函数
e
[ N ] [ N1 N2 N3 N4 ]
[ N ]i [ Ni N xi N yi ]
1 N i (1 i )(1 i )(2 i i 2 2 8 1 N xi bi (1 i )(1 i )(1 2 ) ) (i 1,2,3,4 8 1 2 N yi a i (1 i )(1 i )(1 ) 8

(完整版)第九章板壳结构有限元

单元数（1/4板）
2×2 4×4 6×6 理论解
四边固定
板中心挠度 wD/PL2
边中点弯矩 M/P
0.00614
-0.1178
0.00580
-0.1233
0.00571
-0.1245
0.00560
-0.1257
薄板三角形单元
三角形单元能较好地适应斜边界，实际中广泛应用。单元的结点位移仍然为结点处的挠度wi和绕x，y轴的转角
θxi、θyi，独立变量为wi。三角形单元 y
位移模式应包含9个参数。
θx1 1
θy1
z
w1
x 3
2
如果在直角坐标系下建立位移模式，则完全三次多项式需要 10个参数
若以此为基础构造位移函数，则必须去掉一项。无法保证对称。
薄板三角形单元
三角形单元采用直角坐标系建立位移模式的尝试： Tocher方案
单元有两边分别平行于x轴和y轴时，上述位移模式中的待定系数将无法
四次项的选取为了保证坐标的对称性，且曲率与扭率同阶次。利用12个结点位移条件，由广义坐标法可建立形函数，显然十分麻烦。因此形函数的建立采用拉格朗日插值函数形成，完成这项工作首先需要将其转化为一个2×2的正方形，对于矩形单元，这项操作并不困难。
薄板矩形单元
下面开始尝试建立形函数。建立的形函数形式如下：
单元刚度矩阵由16个子矩阵组成，其表示如下
薄板矩形单元
具体的元素计算为：
式中：
薄板矩形单元
结点载荷向量的计算：假设板单元受横向均布载荷p作用，则等效结点力为积分展开，得
如果承受的分布荷载随位置（x,y）变化，积分工作量较大
薄板矩形单元
应用实例

有限元教案_壳单元

0 0 0 ui ui v v 0 0 0 i i ωi 0 0 0 ωi = [λ ] cos ϕ 0 − sin ϕ θ xi θ xi θ yi 0 1 0 θ yi sin ϕ 0 cos ϕ θ zi θ zi
若记平面壳元的结点位移为：
9
单元分析（局部坐标系下）单元分析（局部坐标系下）
则矩形平面壳体单元的单元刚度方程为：
10
[k ]
(e)
k11 k12 k k 22 21 = k31 k32 k 41 k 42
k13 k 23 k33 k 43
k14 k 24 k34 k 44
20
其中：
11
单元分析（局部坐标系下）单元分析（局部坐标系下）
则单元刚度方程可写成标准形式：
{F }
(e)
= K
(e)
{δ }
(e)
12
坐标转换问题
由前面说明可见,单元刚度矩阵是对坐标x,y轴位于单元平面内的(右手,局部)坐标系建立的,从柱面薄壳的离散可知 ,像杆系结构有限元分析一样,为进行整体分析,必须建立统一的整体坐标系。局部坐标与整体坐标之间的关系为：
δ ep = (δ 1pT
δ i p = (ui
δ 2pT
δ 3pT
δ 4pT )T
v i )T
7
单元分析（局部坐标系下）单元分析（局部坐标系下）
对平板弯曲状态单元刚度方程为：
方程中角标b代表平板弯曲，其他矩阵符号的含义与平面应力状态相似。
8
单元分析（局部坐标系下）单元分析（局部坐标系下）
4
5

第5章板壳问题的有限元法

16
协调性要求协调单元满足协调性要求的单元称为满足协调性要求的单元称为协调单元收敛的充要条件 w = α1 + α 2 x + α 3 y + α 4 x 2 + α 5 xy + α 6 y 2 + α 7 x 3
+ α 8 x 2 y + α 9 xy 2 + α10 y 3 + α11 x 3 y + α12 xy 3
− 2
h
M xy = ∫ h2 τ xy zdz
− 2
h
{M } = ∫
2 −h 2
h
h {σ }zdz = [D p ]{κ } = [D ]{κ } 12
薄板弯曲的弹性矩阵
11
3
薄板弯曲的应变能弹性应变能 T 1 1 U = ∫ (σ xε x + σ yε y + τ xyγ xy )dV = ∫ {ε } {σ }dV 2V 2V ⎧ ∂2w ⎫ ⎪ − 2 ⎪ x ⎪ ⎪ ∂2 ⎪ ∂ w ⎪ {σ } = D p {ε } = D p {κ }z {ε } = z ⎨ − 2 ⎬ = z{κ } ∂y ⎪ ⎪ T 1 ∂2w ⎪ U = ∫ {κ } [D p ]{κ }z 2 dV ⎪ 2V ⎪− 2 ∂x∂y ⎪ ⎩ ⎭ T 1 = ∫ {κ } [D ]{κ }dS
∂w 法向导数θ x = ∂y 是x的三次函数，假定
θx = γ1 + γ 2x + γ 3x + γ 4x
2
3
由节点1和节点2处只能提供 θx1,θx2 两个相邻单元在边界上的法向导数的连续性不能保证。这种位移函数的矩形单元为非协调单元。

板壳问题的有限元法

2 2 3 3 3
（11.9）
根椐式（11.5），分别对 x，y 求导数得
θx =
∂w = a 3 + a 5 x + 2a 6 x + a 8 x 2 + 2a 9 xy + 3a10 y 2 + a11 x 3 + 3a12 xy 2 ∂y
（11.10）
∂w = −( a 2 + 2a 4 x + a5 y + 3a 7 x 2 + 2a8 xy + a9 y 2 + 3a11 x 2 y + a12 y 3 ) （11.11） ∂x 利用式（11.9）、式（11.10）和式（11.11）及四个结点的位移条件即可确定全部待定常数 a1 — a12 ，将所得系数代回式（11.9），并经整理后即可得到
记单元的广义结点位移为
⎡ ⎤ ⎢ wi ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ wi ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂w ⎥ {δ i } = ⎢θ xi ⎥ = ⎢ ( ) i ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂y ⎥ ⎢ ⎥ ⎣θ yi ⎥ ⎦ ⎢ ⎢ ∂w ⎥ ⎢− ( ) i ⎥ ⎣ ∂x ⎦
整个单元的位移由四个结点的位移来确定，即
( i , j , m, p )
θy = −
w = [ N ]{δ }e
其中[N]为 x，y 的函数，称为形函数。显然有
（11.12）
[N ] = [Ni Np
其中
N xi N xp
] =
N yi N yp ]
Nj
N xj
N yj
Nm
N xm
N ym
（11.13）
[N
i
N
xi
N
[N