三角函数复习

三角函数复习【知识网络】【要点归纳】1．三角函数的概念重点掌握以下两方面内容：①理解任意角的概念和弧度的意义，能正确迅速进行弧度与角度的换算．②掌握任意的角α的正弦、余弦和正切的定义，能正确快速利用三角函数值在各个象限的符号解题，能求三角函数的定义域和一些简单三角函数的值域．2．同角三角函数的基本关系式能用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值和三角恒等式的证明；能逆用公式sin2α＋cos2α＝1巧妙解题．3．诱导公式能用公式一至公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数，利用“奇变偶不变，符号看象限”牢记所有诱导公式．善于将同角三角函数的基本关系式和诱导公式结合起来使用，通过这些公式进行化简、求值，达到培养推理运算能力和逻辑思维能力的提高．4．三角函数的图象与性质(1)重点掌握“五点法”，会进行三角函数图象的变换，能从图象中获取尽可能多的信息，如周期、半个周期、四分之一个周期等，如轴对称、中心对称等，如最高点、最低点与对称中心之间位置关系等．能从三角函数的图象归纳出函数的性质．(2)牢固掌握三角函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性和对称性．在运用三角函数性质解题时，要善于运用数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想将综合性较强的试题完整准确地进行解答． 【专题分析】专题一 任意角的三角函数的定义及三角函数线掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及三角函数线，能够利用三角函数的定义求三角函数值，利用三角函数线判断三角函数的符号，借助三角函数线求三角函数的定义域． 【例1】 求函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域．解 由题意知 ⎩⎨⎧ sin x ≥0，cos x －12≥0，即⎩⎨⎧ sin x ≥0，cos x ≥12，故⎩⎨⎧2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 (k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .【变式】已知角α的终边经过点P (x ，－2) (x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α＋1tan α的值． 专题二 三角函数的值域与最值问题求三角函数的值域(最值)可分为几类：(1)是y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 类型的，应利用其图象与性质、数形结合求解．(2)是可化为以三角函数为元的二次函数类型，应确定三角函数的范围，再用二次函数求解．(3)利用几何意义求解等．【例2】已知函数y ＝a sin(2x ＋π6)＋b 在x ∈[0，π2]上的值域为[－5,1]，求a 、b 的值．[分析] 先由x 的范围确定sin(2x ＋π6)的范围，再根据a 的符号，讨论a 、b 的值．[解] ∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π6∈[π6，76π]，sin(2x ＋π6)∈[－12，1]．∴当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，－a 2＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3；当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧－12a ＋b ＝1，a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1. ∴a 、b 的取值分别是4、－3或－4、－1.【变式】1. 关于x 的不等式2sin 2x+8cosx+a ≥11恒成立,求a 的取值范围.2.设a ≥0，若y ＝cos 2x －a sin x ＋b 的最大值为0，最小值为－4，试求a 、b 的值．解 令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2－at ＋b ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t ＋a 22＋a24＋b ＋1，且t ∈[－1,1]．下面根据对称轴t 0＝－a2与区间[－1,1]的位置关系进行分类讨论．(1)当－a2≤－1，即a ≥2时， ⎩⎪⎨⎪⎧ y max ＝g (－1)＝a ＋b ＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2.(2)当－1<－a2<0，即0<a <2时，⎩⎪⎨⎪⎧y max ＝g ⎝⎛⎭⎫－a 2＝a 24＋b ＋1＝0，y min ＝g (1)＝－a ＋b ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－10.都不满足a 的范围，舍去．综上所述，a ＝2，b ＝－2.专题三 同角三角函数的关系式及诱导公式(1)牢记两个基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1及sin αcos α＝tan α，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧，同时要体会数学思想方法如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想及函数与方程思想的应用．(2)诱导公式可概括为k ·π2±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2的奇数倍或偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的异名函数；若是偶数倍，则函数名称不变．符号看象限是指把α看成锐角时原函数值的符号作为结果的符号．【例3】 已知f (α)＝sin 2(π－α)·cos (2π－α)·tan (－π＋α)sin (－π＋α)·tan (－α＋3π). (1)化简f (α)；(2)若f (α)＝18，且π4<α<π2，求cos α－sin α的值；(3)若α＝－474π，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝sin 2α·cos α·tan α(－sin α)(－tan α)＝sin α·cos α.(2)由f (α)＝sin α·cos α＝18可知，(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin α·cos α＋sin 2α＝1－2sin α·cos α＝1－2×18＝34，又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－32.(3)∵α＝－474π＝－6×2π＋π4，∴f ⎝⎛⎭⎫－474π＝cos ⎝⎛⎭⎫－474π·sin ⎝⎛⎭⎫－474π ＝cos ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫－6×2π＋π4＝cos π4·sin π4＝22×22＝12. 【变式】1.若tan α=求222sin sin cos cos αααα-+的值．解：原式2222222sin sin cos cos 2tan tan 1sin cos tan 1ααααααααα-+-+==++41533==. 2.已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝33，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α的值 3.化简：专题四 三角函数的图象及变换三角函数的图象是研究三角函数性质的基础，又是三角函数性质的具体体现．在平时的考查中，主要体现在三角函数图象的变换和解析式的确定，以及通过对图象的描绘、观察来讨论函数的有关性质．具体要求：(1)用“五点法”作y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象时，确定五个关键点的方法是分别令ωx ＋φ＝0，π2，π，3π2，2π. (2)对于y ＝A sin (ωx ＋φ)＋b 的图象变换，应注意先“平移”后“伸缩”与先“伸缩”后“平移”的区别．(3)由已知函数图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的解析式一般不是唯一的，只有限定φ的取值范围，才能得出唯一的解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一．【例4】 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？解：(1)由图象知A ＝－12－⎝⎛⎭⎫－322＝12， k ＝－12＋⎝⎛⎭⎫－322＝－1，T ＝2×⎝⎛⎭⎫2π3－π6＝π，10sin 110sin 10cos 10sin 212---∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6时，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6.∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1. (2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12， 得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1的图象． 【变式】 1.设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间；解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )图象的对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1， ∴π4＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴φ＝k π＋π4(k ∈Z )． ∵－π<φ<0，所以－π<k π＋π4<0，∴－54<k <－14，又k ∈Z ，∴k ＝－1，∴φ＝－3π4.(2)由(1)知y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4，令2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，所以k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )， 即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调递增区间是[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )． 【变式】2.求函数y ＝sin(2x －π6)的对称中心和对称轴方程.[解析] 设A ＝2x －π6，则函数y ＝sin A 的对称中心为(k π，0)，即2x －π6＝k π，x ＝k π2＋π12，对称轴方程为2x －π6＝π2＋k π，x ＝π3＋k2π.所以y ＝sin(2x －π6)的对称中心为(k π2＋π12，0)，对称轴为x ＝π3＋k2π(k ∈Z )．专题五 三角函数的性质高考中三角函数的性质是必考内容之一，着重考查三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等有关性质，特别是复合函数的单调性问题应引起重视．【例5】 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C . ①图象C 关于直线x ＝1112π对称； ②函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .以上三个论断中，正确论断的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 ①f ⎝⎛⎭⎫11π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫116π－π3＝3sin 32π＝－3，∴直线x ＝1112π为对称轴，①对； ②由－π12<x <5π12⇒－π2<2x －π3<π2，由于函数y ＝3sin x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内单调递增，故函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内单调递增，②对；③由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，得不到图象C ，③错． 答案 C【变式】1.如果y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6B.π4C.π3D.π22.设函数f(x)=sin(2ωx+3π)+23+a （其中0,a R ω>∈）.且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是6π．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,]36ππ-a 的值． 解：（I ） 依题意得 126322πππωω⋅+=⇒=．（II ）由（I ）知，()sin()32f x x πα=+++．又当5[,]36x ππ∈-时，7[0,]36x ππ+∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值为12a =-+，故a =【变式】3.求函数y ＝sin(2x －π6)在区间]6,12[ππ-上的最值.专题六 数形结合思想【例6】设函数f (x )＝4sin(2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2] ；B ．[－2,0] ；C ．[0,2] ；D ．[2,4][分析] 要求f (x )＝0，可以将f (x )的零点转化为函数g (x )＝4sin(2x ＋1)与h (x )＝x 的交点．如图，g (x )和h (x )在同一坐标系中的图象．由此可知，本题选A.【变式】对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≥cos x ，cos x ，sin x <cos x .给出下列四个命题：①该函数的图象关于x ＝2k π＋π4 (k ∈Z )对称；②当且仅当x ＝k π＋π2 (k ∈Z )时，该函数取得最大值1； ③该函数是以π为最小正周期的周期函数；④当且仅当2k π＋π<x <2k π＋3π2 (k ∈Z )时，－22≤f (x )<0.其中正确的是________．(填序号)解析 f (x )＝max{sin x ，cos x }，在同一坐标系中画出y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象易知f (x )的图象为实线所表示的曲线．由曲线关于x ＝2k π＋π4 (k ∈Z )对称，故①对；当x ＝2k π (k ∈Z )或x ＝2k π＋π2 (k ∈Z )时，f (x )max ＝1，故②错；该函数以2π为最小正周期，故③错；观察曲线易知，当2k π＋π<x <2k π＋3π2(k ∈Z )时，－22≤f (x )<0，反之不成立，故④错．答案① 【命题趋势】本章内容在高考中属于热点内容，有关三角函数的内容多为一道客观道和一道解答题，一般以基础题的形式出现，难度以低、中档题为主，整个命题过程紧扣课本，重点突出．常见的命题角度主要有：一是对三角函数的概念、同角三角函数的基本关系和诱导公式的考查．此时要熟练掌握每个公式，不仅要正用，还要会逆用、变形用．二是对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质的考查．主要考查：①三角函数的图象及其变换，常与向量平移结合在一起考查；②求三角函数的解析式，利用条件确定y ＝A sin (ωx ＋φ)中的A 、ω、φ三个量．③三角函数图象与性质的综合应用，三角函数的周期性、单调性、最值、对称性、奇偶性等，近年来高考题努力求新求异，所以注意与其它章节的联系(如向量)． 【高考真题】1．(2011·山东高考)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )． A ．0 ；B.33；C ．1 ；D. 3 解析 由题意知9＝3a ，∴a ＝2.∴tana π6＝tan π3＝ 3. 答案 D 2．(2011·全国卷Ⅱ高考)为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( )．A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位解析 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6， 故应向右平移π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝π4个长度单位．答案 B 3．(2011·山东高考)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )． A.23 B.32C ．2D ．3 解析 由f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π3上为单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，再结合f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象可知，ωπ3＝π2. 答案 B4．(2011·大纲全国高考)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )． A.13B ．3C ．6D ．9 解析 由题意得：π3为函数f (x )＝cos ωx 的最小正周期的正整数倍，∴π3＝k ·2πω(k ∈N *)，∴ω＝6k (k ∈N *)，∴ω的最小值为6. 答案 C 5．(2011·辽宁高考)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，的部分图象如图，则f ⎝⎛⎭⎫π24等于( )． A ．2＋ 3 ；B. 3 ；C.33；D ．2－ 3解析 由题意，结合图象知函数周期T ＝⎝⎛⎭⎫3π8－ π 8×2＝π2，∴ω＝ππ2＝2.由2×3π8＋φ＝π，得φ＝π4. ∴f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 特点(0,1)代入上式，得1＝A tan π4，∴A ＝1，即f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 故f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫π24×2＋π4＝tan π3＝ 3.选B. 6．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.解析 根据题意sin θ＝－255<0及P (4，y )是角θ终边上一点，可知θ为第四象限角．再由三角函数的定义得，y 42＋y 2＝－255，又∵y <0，∴y ＝－8(合题意)，y ＝8(舍去)．综上知y ＝－8.7．(2011·江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．解析 由题图可知A ＝2，∵T ＝4⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，∴ω＝2π＝2，又图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝2k π＋π，∴φ＝2k π＋π3，不妨令φ＝π3， ∴f (x )＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3；∴f (0)＝2sin π3＝62. 思考．已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM对称，且在区间]2,0[π上是单调函数.求ωϕ和的值.解：由f (x )是偶函数，得f (－x )= f (－x ).即： ).sin()sin(ϕωϕω+=+-x x 所以－x x ωϕωϕsin cos sin cos =对任意x 都成立，且,0>ω所以得ϕcos =0.依题设0πϕ≤≤，所以解得2πϕ=，由f (x )的图象关于点M 对称，得)43()43(x f x f +-=-ππ.取x =0,得)43(πf =－)43(πf ，所以)43(πf =0. .232,.]2,0[)2sin()(,310,2;]2,0[)22sin()(,2,1;]2,0[)232sin()(,32,0,2,1,0),12(32.2,1,0,243,0,043cos .43cos )243sin()43(==+=≥≥+===+====+=∴=+=>=∴=+=ωωππωωππωππωωππωπωωπωππωππ或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又x x f k x x f k x x f k k k k k f。