2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题：4.3 空间直角坐标系 Word版含解析

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高一数学人教A版必修2课后导练：4.3.1空间直角坐标系含解析

后基达1 点 A （ 2， 0， 3）在空直角坐系中的地点（）A. 在 y 上B.在 xOy 平面上C.在 xOz 平面上D. 在第一象限内分析：因为点 A 的坐 y=0, 横坐与坐分 2,3,所以点 A 在 xOz 平面上 .答案： C2 点 M(3 ， -3， 1)对于 xOy 平面的称点是 ⋯ ( )A.(-3 ， 3， -1)B.(-3， -3， -1)C.(3， -3， -1)D.(-3 ， 3， 1)分析：一点对于 xOy 平面的称点，它的横，坐不，而坐互相反数，∴称点（ 3， -3， -1） .答案： C3 点 M(3 ， -3， 1)对于 xOz 平面的称点是 ⋯ ( )A.(-3 ， 3， -1)B.(-3 ， -3， -1)C.(3， -3， -1)D.(3 ， 3，1)分析： M 点对于 xOz 平面的称点与M 的横，坐同样，坐互相反数.答案： D4 点 M(3 ， -3， 1)对于 yOz 平面的称点是 ⋯ ()A.(-3 ， 3， -1)B.(-3 ， -3， 1)C.(3， -3， -1)D.(-3 ， 3， 1)分析： M 对于 yOz 平面的称点与M 的，坐同样，而横坐互相反数.答案： B5 点 M(3 ， -3， 1)对于 x 的称点是 ()A.(3 ， 3， -1)B.(-3 ， -3，-1)C.(3， -3， -1)D.(-3 ， 3， 1)分析： M 对于 x 的称点与M 的横坐同样，，坐都互相反数.答案： A6 点 M(3 ， -3， 1)对于 y 的称点是 ()A.(-3 ， 3， -1)B.(-3 ， -3， -1)C.(3， -3， -1)D.(-3 ， 3， 1)分析： M 对于 y 的称点与M 的坐同样，而横、坐都互相反数.答案： B7 点 M(3 ， -3， 1)对于 z 的称点是 ( )A.(-3 ， 3， 1)B.(-3 ， -3，-1)C.(3， -3， -1)D.(-3 ， 3， 1)分析： M 对于 z 的称点与M 的坐同样，而横，坐分互相反数.答案： D8 点 A(-3,1,5) 与 B(4,3,1) 的中点的坐是 ()71,2,3)A.( ,1,-2)B.(22 C.(-12,3,5)1 4D.( , ,2)3 3分析：设中点坐标为（ x,y,z） ,由中点坐标公式得 x= 3 41， z=51=3,y=13=2.2222答案： B综合运用9 在空间直角坐标系中，点P(1,2 , 3 )，过点P作平面yOz的垂线，垂足为Q，则 Q 的坐标为()A.(0, 2 ,0)B.(0,2, 3 )C.(1,0, 3 )D.(1,2,0)分析：因为 PQ⊥平面 yOz，且 Q 在 yOz 内，所以点 Q 的横坐标 x 为 0，而 Q 与 P 的纵，竖坐标分别同样 .∴Q(0, 2, 3).答案： B10 点 A （ a,b,c）在 x 轴上投影点的坐标为_____________分析：设投影点为A′(x,y,z)，因为 A′在 x 轴上，∴y=0,z=0, 又 AA′⊥ x 轴，∴A′与 A 的横坐标同样，即x=a.答案：（ a,0,0）11 设 z 为随意实数，相应的全部点P(1， 2， z)的会合是什么图形？解：因为 z∈ R ，所以 P（ 1，2， z）对应的全部点的横，纵坐标分别相等，竖坐标随意，所以这些点都在一条与 xOy 平面垂直的直线上 .故点 P（ 1， 2， z）的会合是过平面xOy 内一点（ 1，2， 0）且与 xOy 面垂直的一条直线.拓展研究12 已知一长方体 ABCD — A 1B1 C1D 1的对称中心在座标原点 O，交于同一极点的三个平面分别平行于三个坐标平面，极点 A 的坐标为（ -2， -3， -1） .求其余 7 个极点的坐标 .解：如图，∵ A 与 C1点对于原点对称，∴ C1（ 2，3，1），又∵ A 与 D 点对于平面yOz 对称，∴D （ 2， -3， -1），又 D 与 B 1对于原点对称，∴B1（ -2， 3， 1），又 A 与 A 1对于平面 xOy 对称，∴ A 1（ -2， -3， 1），又 A 1与 C 对于原点对称，∴C（ 2，3， -1） .又∵ A 1与 D1对于 yOz 对称，∴D 1（ 2， -3， 1），又 D 1与 B 对于原点对称，∴B（ -2， 3， -1）.故其余 7 个极点的坐标分别为B（ -2,3,-1 ）、 C(2,3,-1) 、 D(2,-3,-1) 、 A 1(-2,-3,1) 、 B 1(-2,3,1) 、C1(2,3,1) 、 D1(2,-3,1).。

人教新课标版数学高一人教A版必修2试题 4.3空间直角坐标系

4.3空间直角坐标系一、选择题1．在空间直角坐标系中的点P(a，b，c)，有下列叙述：①点P(a，b，c)关于横轴(x轴)的对称点是P1(a，－b，c)；②点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(a，－b，－c)；③点P(a，b，c)关于纵轴(y轴)的对称点是P3(a，－b，c)；④点P(a，b，c)关于坐标原点的对称点为P4(－a，－b，－c)．其中正确叙述的个数为()A．3 B．2C．1 D．0解析：选C对于①，点P(a，b，c)关于横轴的对称点为P1(a，－b，－c)，故①错；对于②，点P(a，b，c)关于yOz坐标平面的对称点为P2(－a，b，c)，故②错；对于③，点P(a，b，c)关于纵轴的对称点是P3(－a，b，－c)，故③错；④正确．故选C.2．若点P(－4，－2,3)关于坐标平面xOy及y轴的对称点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为()A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D点P关于坐标平面xOy的对称点坐标是(－4，－2，－3)，关于y轴的对称点坐标是(4，－2，－3)，从而知c＋e＝1.3．在空间直角坐标系中，已知点P(1，2，3)，过P点作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q的坐标为()A．(0，2，0) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D点P(1，2，3)关于平面xOy的对称点是P1(1，2，－3)，则垂足Q是PP1的中点，所以点Q的坐标为(1，2，0)，故选D.4．点A(1,2，－1)，点C与点A关于面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的值为() A．2 5 B．4C．2 2 D．27解析：选B点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1)，点A关于x轴对称的点B的坐标是(1，－2,1)，故|BC|＝(1－1)2＋(2＋2)2＋(1－1)2＝4.5．已知点A (x,1,2)和点B (2,3,4)，且|AB |＝26，则实数x 的值是( )A ．－3或4B ．6或2C ．3或－4D ．6或－2 解析：选D ∵|AB |＝(x －2)2＋(1－3)2＋(2－4)2 ＝ (x －2)2＋8＝26，∴x ＝6或－2.二、填空题6．已知A (4,3,1)，B (7,1,2)，C (5,2,3)，则△ABC 是________三角形．(填三角形的形状) 解析：|AB |＝(4－7)2＋(3－1)2＋(1－2)2＝14. |AC |＝(4－5)2＋(3－2)2＋(1－3)2＝ 6， |BC |＝ (7－5)2＋(1－2)2＋(2－3)2＝ 6，所以|AC |＝|BC |，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC 是等腰三角形．答案：等腰7．已知A (1－t,1－t ，t )，B (2，t ，t )，则|AB |的最小值为________．解析：由两点间的距离公式可得|AB |＝(1－t －2)2＋(1－t －t )2＋(t －t )2 ＝ 5⎝⎛⎭⎫t －152＋95≥355.答案：3558．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且|CG |＝14|CD |，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，D 为坐标原点，由题意，得F (12，12，0)，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)，G (0，34，0)，则E (0，78，12)．所以 |EF |＝(0－12)2＋(78－12)2＋(12－0)2＝418. 答案：418三、解答题9．如图，在空间直角坐标系中，BC ＝2，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，求点D 的坐标．解：过点D 作DE ⊥BC ，垂足为E .在Rt △BDC 中，∠BDC ＝90°，∠DCB ＝30°，BC ＝2，得|BD |＝1，|CD |＝3，∴|DE |＝|CD |sin 30°＝32，|OE |＝|OB |－|BE |＝|OB |－|BD |cos 60°＝1－12＝12， ∴点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－12，32. 10．如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M 在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 中点，求M 、N 两点间的距离．解：如图所示，分别以AB 、AD 、AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)，∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2，∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)．∵N 为CD 1的中点，∴N (32，3,1)． M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得|MN |＝ (32－1)2＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.。

人教版数学高一-人教A版必修2练习 4.3.1 空间直角坐标系

4．3.1空间直角坐标系基础梳理1．空间直角坐标系．(1)空间直角坐标系及相关概念．①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x，y，z轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz.②相关概念：点O叫做坐标原点，x，y，z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面．(2)右手直角坐标系．在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．练习1：原点O的坐标是(0，0，0)．2．空间一点的坐标．空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)．其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．►思考应用在空间直角坐标系中，一些特殊点的坐标特征是怎样的？(1)xOy平面是坐标形如(x，y，0)的点构成的点集；(2)xOz平面是坐标形如(x，0，z)的点构成的点集；(3)yOz平面是坐标形如(0，y，z)的点构成的点集；(4)x轴是坐标形如(x，0，0)的点构成的点集；(5)y轴是坐标形如(0，y，0)的点构成的点集；(6)z轴是坐标形如(0，0，z)的点构成的点集．其中x，y，z均为任意实数．自测自评1．点P(－1，0，2)位于(C)A．y轴上B．z轴上C．xOz平面内D．yOz平面内解析：点P的纵坐标为0，则点P在平面xOz上．2．y轴上的点的坐标的特点是(C)A．竖坐标是0 B．横坐标是0C．横、竖坐标都是0 D．横、纵坐标都是0解析：y轴上的点的坐标是(0，c，0)．3．在空间直角坐标系中，点(－2，1，4)关于x轴的对称点的坐标是(B)A．(－2，1，－4) B．(－2，－1，－4)C．(2，－1，4) D．(2，1，－4)解析：点P(a，b，c)关于x轴的对称点为P′(a，－b，－c)．4．点M(－2，1，2)在x轴上的射影的坐标为(B)A．(－2，0，2) B．(－2，0，0)C．(0，1，2) D．(－2，1，0)解析：点M(－2，1，2)在x轴上的射影的坐标为(－2，0，0)．基础达标1．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)，那么下列说法正确的是(D)A．点P关于x轴对称的点的坐标是P1(x，－y，z)B．点P关于yOz平面对称的点的坐标是P2(x，－y，－z)C．点P关于y轴对称的点的坐标是P3(x，－y，z)D．点P关于原点对称的点的坐标是P4(－x，－y，－z)2．点A(－1，2，1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为(B)A．(－1，0，1)，(－1，2，0)B．(－1，0，0)，(－1，2，0)C．(－1，0，0)，(－1，0，0)D．(－1，2，0)，(－1，2，0)解析：点A(－1，2，1)在x 轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1，0，0)，点A(－1，2，1)在xOy 平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1，2，0)．3．点P(1，1，1)关于xOy 平面的对称点为P 1，则点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是(B )A ．(1，1，－1)B ．(－1，－1，－1)C ．(－1，－1，1)D ．(1，－1，1)解析：P 1(1，1，－1)，P 2(－1，－1，－1)．4．已知等腰直角△OAB 的直角顶点A 的坐标为(0，1，0)，其中O 为坐标原点，顶点B 在坐标平面内，则B 的坐标为(C )A ．(0，1，1)B ．(1，1，0)C ．(0，1，1)或(1，1，0)D ．(－1，－1，0)解析：当B 在平面yOz 上时，B 的坐标为(0，1，1)，当B 的坐标在平面xOy 上时，B 的坐标为(1，1，0)．5．在xOy 平面内有两点A(－2，4，0)，B(3，2，0)，则AB 的中点坐标是________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2＋32，4＋22，0＋02＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，0. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，0 6．已知A(3，5，－7)和B(－2，4，3)，则线段AB 在坐标平面yOz上的射影的长度为________．答案：1017．已知一长方体ABCDA1B1C1D1的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个平面分别平行于三个坐标平面，顶点A的坐标为(－2，－3，－1)，求其他7个顶点的坐标．解析：∵A(－2，－3，－1)，根据长方体各顶点的对称关系，不难求得B(－2，3，－1)，C(2，3，－1)，D(2，－3，－1)．将A、B、C、D分别关于平面xOy对称，可得到A1(－2，－3，1)，B1(－2，3，1)，C1(2，3，1)，D1(2，－3，1)．巩固提升8．在空间直角坐标系中，作出点A(2，2，－1)，B(－3，2，－4)，并判断直线AB与坐标平面xOz的关系．解析：作出点A可按以下步骤进行：先在x轴上作出横坐标是2的点A1，再将点A1沿与y轴平行的方向向右移动2个单位得到A2，然后将A2沿与z轴平行的方向向下移动1个单位得到点A.作出点B可按以下步骤进行：先在x轴上作出横坐标是－3的点B1，再将点B1沿与y轴平行的方向向右移动2个单位得到B2，然后将B2沿与z轴平行的方向向下移动4个单位得到点B.由于A、B两点的纵坐标都是2，则A、B两点到坐标平面xOz 的距离都是2，且都在坐标平面xOz的同侧，所以AB平行于坐标平面xOz.9．VABCD为正四棱锥，O为底面中心，若AB＝2，VO＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标．解析：以底面中心O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系∵V在z轴正半轴上，且|VO|＝3，它的横坐标与纵坐标都是零，∴点V的坐标是(0，0，3)．而A、B、C、D都在xOy平面上，∴它们的竖坐标都是零．又|AB|＝2，∴A(1，－1，0)，B(1，1，0)，C(－1，1，0)，D(－1，－1，0)，V(0，0，3)．10．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形．且边长为2a，棱PD⊥底面ABCD，|PD|＝2b，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立适当的空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．解析：由图知：DA⊥DC，DC⊥DP，DP⊥DA.故以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵E，F，G，H分别是侧棱的中点，则可易知平面EFGH∥平面ABCD.从而这四点的竖坐标都为P的竖坐标的一半，即为b.由H为DP的中点，得H(0，0，b)，E在底面ABCD上的投影为AD的中点，∴E(a，0，b)，同理G(0，a，b)．F在坐标平面xOz和yOz上的投影分别为点E和G，故F与E 横坐标相同，F与G纵坐标相同．∴F(a，a，b)．1．对空间直角坐标系的理解．(1)三条轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础；(2)一般情况下建立的坐标系是右手直角坐标系，即让右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴正方向，中指指向z轴正方向．2．点关于原点、坐标轴及坐标平面的对称点的问题有口诀：“关于谁对称谁不变，其他的互为相反数”。

高一数学人教A版必修2课后练习4.3.1空间直角坐标系及解析

课后导练基础达标1点A(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置( )A.在y 轴上B.在xOy 平面上C.在xOz 平面上D.在第一象限内解析：由于点A 的纵坐标为y=0,横坐标与竖坐标分别为2,3,所以点A 应在xOz 平面上. 答案：C2点M(3,-3,1)关于xOy 平面的对称点是…( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：一点关于xOy 平面的对称点,它们的横,纵坐标不变,而竖坐标互为相反数,∴对称点为(3,-3,-1).答案：C3点M(3,-3,1)关于xOz 平面的对称点是…( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(3,3,1)解析：M 点关于xOz 平面的对称点与M 的横,竖坐标相同,纵坐标互为相反数.答案：D4点M(3,-3,1)关于yOz 平面的对称点是…( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于yOz 平面的对称点与M 的纵,竖坐标相同,而横坐标互为相反数.答案：B5点M(3,-3,1)关于x 轴的对称点是( )A.(3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于x 轴的对称点与M 的横坐标相同,纵,竖坐标都互为相反数.答案：A6点M(3,-3,1)关于y 轴的对称点是( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于y 轴的对称点与M 的纵坐标相同,而横、竖坐标都互为相反数.答案：B7点M(3,-3,1)关于z 轴的对称点是( )A.(-3,3,1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(-3,3,1)解析：M 关于z 轴的对称点与M 的竖坐标相同,而横,纵坐标分别互为相反数.答案：D8点A(-3,1,5)与B(4,3,1)的中点的坐标是( ) A.(27,1,-2) B.(21,2,3) C.(-12,3,5) D.(31,34,2)解析：设中点坐标为(x,y,z),由中点坐标公式得x=21243=+-,z=215+=3,y=231+=2. 答案：B综合运用 9在空间直角坐标系中,点P(1,2,3),过点P 作平面yOz 的垂线,垂足为Q,则Q 的坐标为( ) A.(0,2,0) B.(0,2,3) C.(1,0,3) D.(1,2,0)解析：由于PQ ⊥平面yOz,且Q 在yOz 内,所以点Q 的横坐标x 为0,而Q 与P 的纵,竖坐标分别相同.∴Q(0,2,3).答案：B10点A(a,b,c)在x 轴上投影点的坐标为_____________解析：设投影点为A′(x,y,z),因为A′在x 轴上,∴y=0,z=0,又AA′⊥x 轴,∴A′与A 的横坐标相同,即x=a.答案：(a,0,0)11设z 为任意实数,相应的所有点P(1,2,z)的集合是什么图形？解：由于z ∈R ,所以P(1,2,z)对应的所有点的横,纵坐标分别相等,竖坐标任意,因此这些点都在一条与xOy 平面垂直的直线上.故点P(1,2,z)的集合是过平面xOy 内一点(1,2,0)且与xOy 面垂直的一条直线.拓展探究12已知一长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点O,交于同一顶点的三个平面分别平行于三个坐标平面,顶点A 的坐标为(-2,-3,-1).求其他7个顶点的坐标.解：如图,∵A 与C 1点关于原点对称,∴C 1(2,3,1),又∵A 与D 点关于平面yOz 对称,∴D(2,-3,-1),又D 与B 1关于原点对称,∴B 1(-2,3,1),又A 与A 1关于平面xOy 对称,∴A 1(-2,-3,1),又A 1与C 关于原点对称,∴C(2,3,-1).又∵A 1与D 1关于yOz 对称,∴D 1(2,-3,1),又D 1与B 关于原点对称,∴B(-2,3,-1).故其他7个顶点的坐标分别为B(-2,3,-1)、C(2,3,-1)、D(2,-3,-1)、A 1(-2,-3,1)、B 1(-2,3,1)、C 1(2,3,1)、D 1(2,-3,1).。

专题4-3 空间直角坐标系-试题君之K三关2017-2018学年

4.3空间直角坐标系一、空间直角坐标系定义以空间中两两______且相交于一点O 的三条直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz ，其中点O 叫做坐标______，x 轴、y 轴、z 轴叫做________．通过每两个坐标轴的平面叫做__________，分别称为xOy 平面、yOz 平面、______平面画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz 时，一般使∠xOy ＝______，∠yOz ＝90°图示说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向______轴的正方向，食指指向______轴的正方向，如果中指指向______轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系二、空间直角坐标系中点的坐标1．空间中的任意点与有序实数组(),,x y z 之间的关系如图所示，设点M 为空间直角坐标系中的一个定点，过点M 分别作垂直于x 轴、y 轴和z 轴的______，依次交x 轴、y 轴和z 轴于点P 、Q 和R .设点P 、Q 和R 在x 轴，y 轴和z 轴上的坐标分别是x 、y 和z ，那么点M 就和有序实数组(x ，y ，z )是__________的关系，有序实数组__________叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作___________，其中x 叫做点M 的________，y 叫做点M 的________，z 叫做点M 的________．2．空间直角坐标系中特殊位置点的坐标点的位置点的坐标形式原点(0,0,0) x 轴上 (a,0,0) y 轴上 (0,b,0) z 轴上 (0,0,c ) xOy 平面上 (a ,b,0) yOz 平面上 (0,b,c ) xOz 平面上(a,0,c )3．空间直角坐标系中的对称点设点P (a ，b ，c )为空间直角坐标系中的点，则对称轴(或中心或平面) 点P 的对称点坐标原点(),,a b c --- x 轴 (),a b c --,y 轴 (－a ，b ，－c )z 轴 ),(,a b c --xOy 平面 (,,)a b c - yOz 平面 (),,a b c -xOz 平面(,)a b c -，三、空间两点间的距离公式如图，设点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 是空间中任意两点,且点11112222(,,),(,,)P x y z P x y z 在xOy 平面上的射影分别为M ,N ,那么M ,N 的坐标分别为1122(,,0),(,,0)M x y N x y .在xOy 平面上，221212||()()MN x x y y =-+-.在平面21MNP P 内，过点1P 作2P N 的垂线，垂足为H ,则11122||||,||||,||||PH MN MP z MP z ===，所以221||||HP z z =-.在12Rt △PHP 中，2211212||||()()PH MN x x y y ==-+-，根据勾股定理，得221212||||||PP PH HP =+=____________________________. 因此，空间中点P 1(x 1，y 1，z 1)、P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离是12||PP =____________________________.K 知识参考答案：一、垂直原点坐标轴坐标平面 zOx 135° x y z二、1．平面一一对应 (,,)x y z (,,)M x y z 横坐标纵坐标竖坐标三、222121212()()()x x y y z z -+-+-222121212()()()x x y y z z -+-+-K —重点空间直角坐标系的有关概念，会用空间直角坐标系刻画点的位置K —难点掌握空间两点间的距离公式，会用公式计算或证明K —易错易混淆平面与空间直角坐标系1．确定空间任一点的坐标确定空间直角坐标系中任一点P 的坐标的步骤是：①过P 作PC ⊥z 轴于点C ；②过P 作PM ⊥平面xOy 于点M ，过M 作MA ⊥x 轴于点A ，过M 作MB ⊥y 轴于点B ；③设P (x ，y ，z )，则|x |＝|OA |，|y |＝|OB |，|z |＝|OC |.当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的正半轴上时，则x 、y 、z 的符号为正；当点A 、B 、C 分别在x 、y 、z 轴的负半轴上时，则x 、y 、z 的符号为负；当点A 、B 、C 与原点重合时，则x 、y 、z 的值均为0.空间中点的坐标受空间直角坐标系的制约，同一个点，在不同的空间直角坐标系中，其坐标是不同的. 【例1】如图所示,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,|AD|=3,|DC|=4,|DD 1|=2,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求点A ,B ,C ,D ,A 1,B 1,C 1,D 1,E ,F 的坐标.【例2】如图，在正方体1111ABCD A BC D 中，,E F 分别是111,BB D B 的中点，棱长为1. 试建立适当的空间直角坐标系，写出点,E F 的坐标．【解析】建立如图所示坐标系．方法一：E 点在xDy 面上的射影为,1,()1,0B B ，竖坐标为12. 所以1(1,1,)2E .F 在xDy 面上的射影为BD 的中点G ，竖坐标为1.所以11(,,1)22F .方法二：11,()1,1B ，10,()0,1D ，()1,1,0B ，E 为1B B 的中点，F 为11B D 的中点．故E 点的坐标为111110(,,)222+++即1(1,1,)2，F 点的坐标为101011(,,)222+++，即11(,,1)22. 2．求空间对称点的坐标求对称点的坐标一般依据“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”来解决.如关于横轴(x 轴)的对称点，横坐标不变，纵坐标、竖坐标变为原来的相反数；关于xOy 坐标平面的对称点，横坐标、纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数. 【例3】设点是直角坐标系中一点,则点关于轴对称的点的坐标为A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】点关于x 轴对称的点的坐标为.【例4】空间直角坐标系中,点关于点的对称点的坐标为 A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】设431x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,所以点的坐标为.选C.【名师点睛】点关于点的对称要用中点坐标公式解决，即已知空间中两点111222(,,),(,,)A x y z B x y z ，则AB 的中点P 的坐标为121212(,,)222x x y y z z +++. 3．空间两点间的距离公式（1）已知空间两点间的距离求点的坐标，是距离公式的逆应用,可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．（2）若求满足某一条件的点，要先设出点的坐标，再建立方程或方程组求解．（3）利用空间两点间的距离公式判断三角形的形状时，需分别求出三边长，得到边长相等或者满足勾股定理；判断三点共线时，需分别求出任意两点连线的长度，判断其中两线段长度之和等于另一条线段长度.【例5】已知点()3,2,1M ，()1,0,5N ，求：（1）线段MN 的长度；（2）到,M N 两点的距离相等的点(),,P x y z 的坐标满足的条件. 【解析】（1）根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度222||(31)(20)(15)26MN =-+-+-=，所以线段MN 的长度为26.（2）因为点(),,P x y z 到,M N 两点的距离相等，所以有下面等式成立：222222 (3)(2)(1)(1)(0)(5)x y z x y z -+-+-=-+-+-，化简得230x y z +-+=，因此，到,M N 两点的距离相等的点(),,P x y z 的坐标满足的条件是230x y z +-+=.【例6】如图所示,建立空间直角坐标系Dxyz ,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,点P 是正方体的体对角线D 1B 的中点,点Q 在棱CC 1上.当2|C 1Q|=|QC|时,求|PQ|.【例7】如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD ,|AP|=|AB|=2,|BC|=2,E ,F 分别是AD ,PC 的中点.求证:PC ⊥BF ,PC ⊥EF .【解析】如图,以A 为坐标原点,AB ,AD ,AP 所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.∵|AP|=|AB|=2,|BC|=2,四边形ABCD 是矩形,∴A (0,0,0),B (2,0,0),C (2,2,0),D (0,2,0),P (0,0,2),∴|PB|==2,∴|PB|=|BC|,又F 为PC 的中点,∴PC ⊥BF . ∵(0,2,0)E ，∴222||(00)(20)(02)6PE =-+-+-=，222||(02)(222)(00)6CE =-+-+-=，∴||||PE CE =，又F 为PC 的中点,∴PC ⊥EF . 3．混淆平面与空间直角坐标系【例8】已知空间中两点(3,1,1)(2,2,3)A B ---、，在z 轴上有一点C ，它到A B 、两点的距离相等，求点C 的坐标.【错解】由已知得，AB 的中点坐标为51(,,2)22-，且AB 所在直线的斜率为3,故AB 的垂直平分线的斜率为13-,则垂直平分线的方程为15112()()3232z x y -=-+--，当0x y ==时，43z =，故点C 的坐标为4(0,0,)3. 【错因分析】上面解法照搬平面解析几何中的解题思路而出现错误.由于点C 到A B 、两点的距离相等，故可求AB 的垂直平分线.以目前所学知识只能用两点间的距离公式求解.【正解】设点C 的坐标为(0,0,)z ，则22222231(1)2(2)(3)z z ++-=+-+-，即2210(1)3()8z z +-=+-,解得32z =,所以点C 的坐标为3(0,0,)2. 【易错点睛】平面直角坐标系中的性质在空间直角坐标系中并不能全部适用,如平面直角坐标系中的中点公式,可类比到三维空间中,而直线方程及一些判定定理、性质在三维空间中不一定适用.1．如图所示,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则点B 1的坐标是A ．(1,0,0)B ．(1,0,1)C ．(1,1,1)D ．(1,1,0)2．在空间直角坐标系中，点()1,2,3P ---到平面yOz 的距离是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．14 3．在空间直角坐标系中,点与点关于( )对称.A ．原点B ．轴C ．轴D ．轴4．已知A 点坐标为()1,1,1，()3,3,3B ，点P 在x 轴上，且||||PA PB =，则P 点坐标为A ．(6,0,0)B ．(6,0,1)C ．()0,0,6D ．(0,6,0)5．点1,()2,1A -在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为 A ．(),(1,0,11),2,0-- B ．(),(1,0,01),2,0-- C ．(),(1,0,01),0,0--D ．(),(1,2,01),2,0--6．已知()1,2,11A -，()4,2,3B ，()6,1,4C -，则△ABC 的形状是 A ．等腰三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形7．在空间直角坐标系中，点()2,4,3M --在xOz 平面上的射影为M ′点，则M ′关于原点对称点的坐标是_________．8．在空间直角坐标系中，正方体1111ABCD A BC D -的顶点A 的坐标为(3,)1,2-，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长等于________．9．如图所示，过正方形ABCD 的中心O 作OP ⊥平面ABCD ，已知正方形的边长为2，OP =2，连接AP ，BP ，CP ，DP ，M ，N 分别是AB ，BC 的中点，以O 为原点，射线OM ，ON ，OP 分别为x 轴，y 轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.若E ，F 分别为PA ，PB 的中点，求A ，B ，C ，D ，E ，F 的坐标.10．如图所示，BC=4，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°,求AD的长度.11．如图,,四边形ABCD是矩形,M,N分别是AB,PC的中点.求证:.12．已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,则对于图(1)中的点B1(2,2,2),在图(2)所示的空间直角坐标系中的坐标和B1(2,2,2)关于xOy平面对称的点的坐标分别是A．(2,2,2),(2,2,-2) B．(2,2,0),(2,2,-2)C．(2,2,0),(-2,2,-2) D．(2,2,2),(2,-2,-2)13．在空间直角坐标系中，x轴上到点P(4,1,2)的距离为30的点共有A．0个B．1个C．2个D．无数个14．已知点A(1,1,0)，对于Oz轴正半轴上任意一点P，在Oy轴上是否存在一点B，使得PA⊥AB成立?若存在，求出B点的坐标；若不存在，说明理由.15．已知直三棱柱ABC－A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点.如图所示，建立空间直角坐标系.(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形.(2)能否在MN上求得一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若能，请求出点Q的坐标；若不能，请予以证明.1 2 3 4 5 6 12 13C A C A B C B C1．【答案】C【解析】点B1到三个坐标平面的距离都为1,易知其坐标为(1,1,1),故选C.2．【答案】A【解析】点到平面yOz的距离就是点的横坐标的绝对值.3．【答案】C【解析】由点与点可知，两个点的y值不变，而x值与z值均为相反数，所以这两个点关于y轴对称.6．【答案】C【解析】由两点间的距离公式可得|AB |=89，|AC |=75，|BC |=14，从而|AC |2+|BC |2=|AB |2，所以△ABC 是直角三角形.7．【答案】(2,0,3)【解析】M 在xOz 平面上的射影为()2,0,3M '--，所以M ′关于原点对称点的坐标为(2,0,3).8．【答案】2393【解析】设正方体的棱长为a ，由||94013AM =++=可知，正方体的体对角线长为3213a =，故21323933a ==. 9．【解析】易求出B 点坐标为(1,1,0).因为A ，C ，D 与B 点分别关于xOz 平面、yOz 平面、坐标原点对称，所以()1,1,0A -，()1,1,0C -，()1,1,0D --.又因为E ，F 分别为PA ，PB 的中点，且P (0,0,2)，所以11,122E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,-，11,,122F ⎛⎫ ⎪⎝⎭.11．【解析】建立空间直角坐标系如图.设.则.∵22||4aAM=,()()222222211||,||44MN b c AN a b c=+=++,∴.∴.12．【答案】B【解析】在图(2)所示的空间直角坐标系中,D1是坐标原点,则B1的坐标是(2,2,0).若两个点关于xOy平面对称,则对称点的横、纵坐标不变,竖坐标变为原来的相反数,故B1(2,2,2)关于xOy平面对称的点的坐标是(2,2,-2).15．【解析】(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等，又A(2，0，0)，B(0，4，0)，设点P的坐标为(1，2，m)，由|PA|＝|AB|得.所以m2＝15.因为m∈[0，4]，所以，故平面ABB1A1内的点,使得△ABP为等边三角形.(2)设MN上的点Q(0，2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，所以，又F(1，2，0)，则，整理得，所以n2＝4.因为n∈[0，4]，所以n＝2.故MN上的点Q(0，2，2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形.。

2017_2018学年高中数学专题4.3空间直角坐标系课时同步试题新人教A版必修2

4.3空间直角坐标系一、选择题1．下列命题中错误的是A ．在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0,),b cB ．在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定是(0,),b cC ．在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标可记作(0,0,)cD ．在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(),0,a c 【答案】A2．如图所示的坐标系中,单位正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的顶点A 的坐标是A ．(-1,-1,-1)B ．(1,-1,1)C ．(1,-1,-1)D ．(-1,1,-1)【答案】C【解析】依据空间点的坐标定义,知点A 的坐标是(1,-1,-1). 3．点1,4(,3)P -与点()3,2,5Q -的中点坐标是 A ．(4,2,2) B ．(2,)1,2- C ．(2,1,1) D ．(4,)1,2-【答案】C【解析】根据空间中点坐标公式，可得中点坐标为134235(,,)222+--+，即(2,1,1)． 4．在空间直角坐标系中，点()3,4,5P 与3,4(5),Q --两点的位置关系是A ．关于x 轴对称B ．关于xOy 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对【答案】A【解析】点()3,4,5P 与3,4(5),Q --两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．5．在空间直角坐标系中，点2,3(,5)P -到原点的距离是A ．6B ．10CD 【答案】C=6．已知点P (1,2,3),点Q 在z 轴上，则使最小的点Q 的坐标为A ．(0,0,1)B ．(0,1,0)C ．(0,0,2)D ．(0,0,3)【答案】D7．已知ABC △的顶点坐标分别为2,1,11,1,2()()),0,1(2、、A B C ，则ABC △是A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形【答案】A【解析】由两点间距离公式得||AB ||1,||AC BC ==，满足222||||||AB AC BC =+.所以ABC △是直角三角形.二、填空题8．已知三角形的三个顶点为A （2，﹣1，4），B （3，2，﹣6），C （5，0，2），则BC 边上的中线长为．【答案】【解析】∵3,2,65,0,2B C -（）,（），∴BC 边上的中点坐标是(4,1,2)D -，∴BC 边上的中线长为=9．已知35(,,)22P z 到线段AB 中点的距离为3，其中3,5,7()()2,4,3A B --、，则z =．【答案】0或4-10．点P 在x 轴上，它到点P 1(03)的距离为到点P 2(0,1，－1)的距离的2倍，则点P 的坐标是．【答案】(1,0,0)或(－1,0,0)三、解答题11．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，M 在线段1BC 上，且1||2||BM MC =，N 是线段1D M 的中点，求点M ，N 的坐标．【解析】如图，过点M 作1MM BC ⊥于1M ，连接1DM ，取1DM 的中点1N ，连接1NN .由12||=||BM MC ，知1122||||33MM CC ==，111||||33M C BC ==.所以11(,1,0)3M . 而11M M DD ∥，则1M M 与z 轴平行，1M 与M 的横坐标、纵坐标相同，M 的竖坐标为23，所以12(,1,)33M .由1N 为1DM 的中点知111(,,0)62N ，而1N N 与z 轴平行，且111||||5||26M M D D N N +==，所以115(,,)626N .12．已知A (1,2，－1)， B (2,0,2)．(1)在x 轴上求一点P ，使|PA |＝|PB |；(2)若xOz 平面内的点M 到点A 的距离与到点B 的距离相等，求点M 的坐标满足的条件．(2)由于点M 在平面xOz 内，故可设M (x ，0，z )，由|MA |＝|MB |整理得x ＋3z －1＝0.所以点M 的坐标满足的条件为x ＋3z －1＝0.13．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P 为平面A 1B 1C 1D 1的中心,求证:AP ⊥B 1P .【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz ,设正方体的棱长为1,则A (1,0,0),B 1(1,1,1),P (12,12,1).连接AB 1,由空间两点间的距离公式得|AP 2=,|B 1P 2=|AB 1=在1△AB P 中,∵|AP |2+|B 1P |2=|AB 1|2,∴AP ⊥B 1P .14．已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,且平面ABCD ⊥平面ABEF ,点M 在AC 上移动,点N 在BF 上移动,若CM =BN =a (0<a <).（1）求MN 的长;（2）当a 为何值时,MN 的长最小?则M (2a ,0,1-2a ),N (2a ,2a ,0).（1）|MN ==.（2）由（1）得，当a =2时，MN 的长最小，且最小值为2，此时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点.。

2017-2018学年高中新课标数学A版必修②课时作业：4-

解：以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2，∴N(1,0,1)，M .
由两点间的距离公式，得
|MN|＝＝，
∴MN的长为 .
|
11．三棱锥O－ABC中，O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,3)此三棱锥的体积为()
解析：由题中图可知，点B1的横坐标和竖坐标与点A1的横坐标和竖坐标相同，点B1的纵坐标与点C的纵坐标相同，所以点B1的坐标为(a，b，c)．
答案：(a，b，c)
7．已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．
解析：设P(x,0,0)，|PA|＝，|PB|＝，由|PA|＝|PB|，得x＝6.
答案：C
5．已知A(1－t,1－t，t)，B(2，t，t)，则A，B两点距离的最小值为()
A. B.
C. D.
解析：|AB|＝＝＝ ≥ .
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知A1(a,0，c)，C(0，b,0)，则点B1的坐标为________．
解析：点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．
答案：(2，－3,1)
8．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．

21人教版高中a版数学同步必修2模块练习题--4.3.1 空间直角坐标系(可编辑word)

4.3 空间直角坐标系4.3.1 空间直角坐标系基础过关练题组一空间直角坐标系1.点M(a,b,0),N(0,a,b),P(a,0,b)分别在平面( )A.xOy,yOz,xOz上B.yOz,xOy,xOz上C.xOz,yOz,xOy上D.xOy,xOz,yOz上2.点A(-1,2,1)在x轴上的射影和在xOy平面上的射影的坐标分别为( )A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)3.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,则四边形AA1B1B对角线的交点坐标为( )A.(0,12,12) B.(12,0,12)C.(12,12,0) D.(12,12,12)4.(2019湖北荆州高一期末)设A(1,-1,1),B(3,1,5),则线段AB的中点在空间直角坐标系中的位置是( )A.在y轴上B.在xOy平面内C.在xOz平面内D.在yOz平面内5.设z是任意实数,相应的点P(2,2,z)运动的轨迹是( )A.一个平面B.一条直线C.一个圆D.一个球6.(2019河南禹州高一期中)如图,棱长为√2的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的x轴,y轴,z轴上,则顶点D的坐标为( )A.(1,1,1)B.(√2,√2,√2)C.(√3,√3,√3)D.(2,2,2)题组二空间中点的对称问题7.空间两点A,B的坐标分别为(x,-y,z),(-x,-y,-z),则A,B两点的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于z轴对称D.关于原点对称8.在空间直角坐标系中,已知点M(a,b,c).给出下列命题:①点M关于x轴对称的点M1的坐标为(a,-b,c);②点M关于yOz平面对称的点M2的坐标为(a,-b,-c);③点M关于y轴对称的点M3的坐标为(a,-b,c);④点M关于原点对称的点M4的坐标为(-a,b,-c).其中真命题的个数是( )A.3B.2C.1D.09.(2019安徽天长关塘中学高一期末)在空间直角坐标系Oxyz中,点(-1,2,-4)关于原点O对称的点的坐标为.10.(2019四川阆中中学高二期中)点P(-3,2,1)关于点Q(1,2,-3)对称的点M的坐标为.11.(2019江苏高二期末)在空间中,点(3,4,5)关于x轴对称的点的坐标为.12.(2019四川雅安中学高二月考)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则顶点B1关于平面xAz对称的点的坐标是.能力提升练一、选择题1.(2019陕西高一期末,★★☆)点P(a,b,c)到坐标平面yOz的距离是( )B.|a|C.|b|D.|c|A.492.(★★☆)在空间直角坐标系中,点P(2,3,4)和点Q(-2,-3,-4)的位置关系是( )A.关于x轴对称B.关于yOz平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对3.(★★☆)设x,y为任意实数,则相应的所有点P(x,y,3)的集合是( )A.z轴上的两个点B.过z轴上的(0,0,3)点且与z轴垂直的直线C.过z轴上的(0,0,3)点且与z轴垂直的平面D.以上答案都有可能4.(★★☆)设y∈R,则点P(1,y,2)构成的集合为( )A.垂直于xOz平面的一条直线B.平行于xOz平面的一条直线C.垂直于y轴的一个平面D.平行于y轴的一个平面5.(★★☆)点A(2,3-μ,-1+v)关于x轴对称的点为A'(λ,7,-6),则( )A.λ=-2,μ=-1,v=-5B.λ=2,μ=-4,v=-5C.λ=2,μ=10,v=8D.λ=2,μ=10,v=76.(2018四川成都外国语学校高一上期中,★★☆)已知线段AB的两个端点的坐标分别为A(9,-3,4)、B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( )A.xOy平行B.xOz平行C.yOz平行D.xOz或yOz平行7.(★★☆)在空间直角坐标系中,点M的坐标是(4,7,6),则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A.(4,0,6)B.(-4,7,-6)C.(-4,0,-6)D.(-4,7,0)二、填空题8.(★★☆)已知平行四边形ABCD中,A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则点D的坐标为.9.(★★☆)已知三角形ABC的三个顶点A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,4),则三角形的重心的坐标为.10.(★★☆)若点P(a,b,c)既在平面xOy内,又在平面yOz内,则a+c= .11.(2019云南高一期末,★★☆)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,AD=4,AB=6,如图,建立空间直角坐标系D-xyz,则该长方体的中心M的坐标为.三、解答题12.(★★☆)四面体PABC中,PA、PB、PC两两垂直,PA=PB=2,PC=1,E为线段AB的中点,建立适当的空间直角坐标系,并写出P、A、B、C、E的坐标.13.(★★☆)已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5√2,侧棱长为13,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.14.(★★☆)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,所有的棱长都是1,建立适当的空间直角坐标系,并写出各点的坐标.答案全解全析基础过关练1.A 根据xOy 平面上的点,竖坐标为0,yOz 平面上的点的横坐标为0,xOz 平面上的点的纵坐标为0,知M(a,b,0)在xOy 平面上,N(0,a,b)在yOz 平面上,P(a,0,b)在xOz 平面上.故选A.2.B 在空间直角坐标系中,点在某坐标轴或坐标平面上的射影满足下列条件:与坐标轴或坐标平面对应的坐标不变,其他的坐标为0.故选B.3.B 如图,四边形AA 1B 1B 对角线的交点的横坐标为线段AB 的中点的横坐标,竖坐标为线段AA 1的中点的竖坐标,纵坐标为0,所以四边形AA 1B 1B 对角线的交点坐标为(12,0,12).故选B.4.C ∵A(1,-1,1),B(3,1,5),∴线段AB 的中点为(2,0,3).∵线段AB 中点的纵坐标为0,∴此点是xOz 平面内的点.故选C.5.B 轨迹是过点(2,2,0)且与z 轴平行的一条直线.6.A 因为AB=BC=AC=√2,所以OA=OB=OC=1,将正四面体ABCD 放入正方体中,如图所示,所以点D 的坐标为(1,1,1).故选A.7.B 由A,B 两点的横坐标、竖坐标均互为相反数,纵坐标相同可知A,B 关于y 轴对称. 8.D ①点M 关于x 轴对称的点M 1的坐标为(a,-b,-c),故命题①错误; ②点M 关于yOz 平面对称的点M 2的坐标为(-a,b,c),故命题②错误; ③点M 关于y 轴对称的点M 3的坐标为(-a,b,-c),故命题③错误;④点M 关于原点对称的点M 4的坐标为(-a,-b,-c),故命题④错误.故选D. 9.答案 (1,-2,4) 10.答案 (5,2,-7)解析设M(x,y,z),因为点P 关于点Q 对称的点为M,所以Q 是线段MP 的中点,所以{ x -32=1,y+22=2,z+12=-3,解得{x =5,y =2,z =-7,所以M(5,2,-7).11.答案 (3,-4,-5)解析在空间中,点关于x 轴对称的点:横坐标不变,纵坐标、竖坐标取相反数. 点(3,4,5)关于x 轴对称的点的坐标为(3,-4,-5). 12.答案 (√3,-1,2)解析 ∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的所有棱长都是2,∴B(√3,1,0),∴顶点B 1的坐标是(√3,1,2),则其关于xAz 对称的点的坐标为(√3,-1,2).能力提升练一、选择题1.B 由题意可知点P(a,b,c)到坐标平面yOz 的距离是|a|,故选B.2.C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均互为相反数,故它们关于坐标原点对称.3.C 由于点P 的竖坐标为定值3,故当x,y∈R 时,点P 组成的集合为过点(0,0,3)且与z 轴垂直的平面.4.A 由空间直角坐标系的定义,易知点P(1,y,2)(y∈R)构成的集合为垂直于xOz 平面的一条直线.5.D 由对称性知{λ=2,3-μ=-7,-1+v =6,解得{λ=2,μ=10,v =7.6.C ∵线段AB 的两个端点的横坐标相等,纵坐标和竖坐标不等,故线段AB 与坐标平面yOz 平行.7.C 点M 关于y 轴对称的点是M'(-4,7,-6),点M'在xOz 平面上的射影的坐标为(-4,0,-6).二、填空题8.答案 (5,13,-3)解析设平行四边形ABCD 的两条对角线的交点为P,则点P 为AC,BD 的中点.由A(4,1,3),C(3,7,-5),得点P 的坐标为(72,4,-1).又点B(2,-5,1),所以点D 的坐标为(5,13,-3). 9.答案 (23,1,43)解析设重心坐标为(x,y,z).由题意得x=2+0+03=23,y=0+3+03=1,z=0+0+43=43.10.答案 0解析点P 在平面xOy 和平面yOz 的交线上,即y 轴上,由y 轴上点的坐标特征知a=0,c=0,b∈R,所以a+c=0. 11.答案 (2,3,1)解析由题意得B(4,6,0),D 1(0,0,2),因为M 点是线段BD 1的中点,所以点M 的坐标为(2,3,1).三、解答题12.解析建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,0)、A(2,0,0)、B(0,2,0)、C(0,0,1),又因为点E 是线段AB 的中点,所以点E 的坐标是(1,1,0).13.解析若建立如图(1)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为P(0,0,12),A (5√22,-5√22,0),B (5√22,5√22,0),C (-5√22,5√22,0),D (-5√22,-5√22,0).若建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则各点的坐标为P(0,0,12),A(5,0,0),B(0,5,0),C(-5,0,0),D(0,-5,0).14.解析如图所示,取AC 的中点O 和A 1C 1的中点O 1,连接BO 、OO 1,可得BO⊥AC,BO⊥OO 1,分别以OB,OC, OO 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.因为各棱长均为1,所以|OA|=|OC|=|O 1C 1|=|O 1A 1|=12,|OB|=√32,因为A,B,C 均在坐标轴上,所以A (0,-12,0),B (√32,0,0),C (0,12,0).因为点A 1,B 1,C 1在xOy 平面内的正投影分别为点A,B,C,且BB 1=1,所以A 1(0,-12,1),B 1(√32,0,1),C 1(0,12,1).。

4.3.1 空间直角坐标系-高一数学教材配套教学课件(人教A版必修二)

④关于z轴(竖轴)对称的点的坐标是P4(-x，-y，z)； ⑤关于xOy坐标平面对称的点的坐标是P5(x，y，-z)； ⑥关于yOz坐标平面对称的点的坐标是P6(-x，y，z)； ⑦关于xOz坐标平面对称的点的坐标是P7(x，-y，z).
【补偿训练】已知点P(2，-5，8)，分别写出点P关于原点，x轴，y轴，z轴和xOz平面的对称点.
0
பைடு நூலகம்
1
z 2
0
，
x0 1,
得
y0
所1, 以M
(-1，-1，-1
).
z0 1,
【补偿训练】已知点P(1，2，3)，Q(-3，5，2)，它们在平面xOy内的投影分别是P′，Q′，则P′，Q′的坐标分别为________.
【解析】因为点P(1，2，3)，Q(-3，5，2)它们在平面xOy内的投影分别是P′，Q′，所以P′(1，2，0)，Q′(-3，5，0). 答案：(1，2，0)，(-3，5，0)
【解析】选C.点B1到三个坐标平面的距离都为1，易知其坐标为(1，1，1).
2.点P(-1，2，3)关于zOx平面对称的点的坐标为
()
A.(1，2，3)
B.(-1，-2，3)
C.(-1，2，-3)
D.(1，-2，-3)
【解析】选B.因点P(-1，2，3)关于zOx平面对称，则
对称点P′的坐标应为P′(-1，-2，3).
【方法总结】求空间中点P(a，b，c)的位置的四个步骤 (1)在平面xOy内作出点P′(a，b，0). (2)过点P′作垂直于平面xOy的直线l. (3)在l上结合z的值与正负截取. (4)得点P(a，b，c).
类型三空间中点的对称问题【典例3】在空间直角坐标系中，点P(-2，1，4). (1)求点P关于x轴的对称点的坐标. (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标.

最新人教A版高中数学必修二(浙江专版)学案：4.3空间直角坐标系含答案

最新人教版数学精品教学资料4.3空间直角坐标系4．3.1&4.3.2 空间直角坐标系空间两点间的距离公式[新知初探]1．空间直角坐标系(1)空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x 轴、y 轴、z 轴，这样就建立了空间直角坐标系O xyz .(2)相关概念：点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面．2．右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．3．空间一点的坐标空间一点M 的坐标可以用有序实数组(x ，y ，z )来表示，有序实数组(x ，y ，z )叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M (x ，y ，z )．其中x 叫点M 的横坐标，y 叫点M 的纵坐标，z 叫点M 的竖坐标．[点睛] 空间直角坐标系的画法(1)x 轴与y 轴成135°(或45°)，x 轴与z 轴成135°(或45°)．(2)y 轴垂直于z 轴，y 轴和z 轴的单位长相等，x 轴上的单位长则等于y 轴单位长的12.4．空间两点间的距离公式(1)点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离 |OP |＝ x 2＋y 2＋z 2.(2)任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22＋z 1－z 22.[点睛] (1)空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式，只是增加了对应的竖坐标的运算．(2)空间中点坐标公式：设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB 中点P ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，z 1＋z 22.[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )的形式( )(2)空间直角坐标系中，在xOz 平面内的点的坐标一定是(a,0，c )的形式( ) (3)空间直角坐标系中，点(1，3，2)关于yOz 平面的对称点为(－1，3，2)( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选A 点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．3．空间两点P 1(1,2,3)，P 2(3,2,1)之间的距离为________．解析：|P 1P 2|＝－2＋02＋22＝2 2.答案：2 2[典例] 在棱长为1的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E ，F ，G ，H 的坐标．[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.由F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，垂足分别为M ，N ，由平面几何知识知FM ＝12，FN ＝12，故F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0.点G 在y 轴上，其x ，z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点．故HK ＝12，CK ＝18，∴DK ＝78，故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.[活学活用]如图，在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5.以这个长方体的顶点A 为坐标原点，射线AB ，AD ，AA ′分别为x 轴、y 轴和z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标．解：因为|AB |＝12，|AD |＝8，|AA ′|＝5，点A 为坐标原点，且点B ，D ，A ′分别在x 轴、y 轴和z 轴上，所以它们的坐标分别为A (0,0,0)，B (12,0,0)，D (0,8,0)，A ′(0,0,5)．点C ，B ′，D ′分别在xOy 平面、xOz 平面、yOz 平面内，坐标分别为C (12,8,0)，B ′(12,0,5)，D ′(0,8,5)．点C ′在三条坐标轴上的射影分别是B ，D ，A ′，故点C ′的坐标为(12,8,5)．[典例] 已知点M (3,2,1)，N (1,0,5)，求：(1)线段MN 的长度；(2)到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件．[解] (1)根据空间两点间的距离公式得线段MN 的长度|MN |＝－2＋－2＋－2＝26，所以线段MN 的长度为2 6.(2)因为点P (x ，y ，z )到M ，N 两点的距离相等，所以有下面等式成立：x －2＋y －2＋z －2＝x －2＋y －2＋z －2，化简得x ＋y －2z ＋3＝0，因此，到M ，N 两点的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足的条件是x ＋y －2z ＋3＝0.[活学活用]已知直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |.解：如图，以A 为原点，AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)．因为M 为BC 1的中点，所以由中点公式得M ⎝⎛⎭⎪⎫4＋02，0＋42，0＋42，即M (2,2,2)，又N 为A 1B 1的中点，所以N (2,0,4)．所以由两点间的距离公式得 |MN |＝－2＋－2＋－2＝2 2.[典例] (1)点A (1,2，－1)关于坐标平面xOy 及x 轴的对称点的坐标分别是________．(2)已知点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点为P1，点P1关于坐标平面yOz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________．[解析] (1)如图所示，过A作AM⊥xOy交平面于M，并延长到C，使AM＝CM，则A与C关于坐标平面xOy对称且C的坐标为(1,2,1)．过A作AN⊥x轴于N并延长到点B，使AN＝NB，则A与B关于x轴对称且B的坐标为(1，－2,1)．∴A(1,2，－1)关于坐标平面xOy对称的点C的坐标为(1,2,1)；A(1,2，－1)关于x轴的对称点B的坐标为(1，－2,1)．(2)点P(2,3，－1)关于坐标平面xOy的对称点P1的坐标为(2,3,1)，点P1关于坐标平面yOz的对称点P2的坐标为(－2,3,1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3,1)．[答案] (1)(1,2,1)，(1，－2,1) (2)(2，－3,1)[活学活用]在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4,7,6)，则点M关于y轴对称的点在xOz平面上的射影的坐标为( )A．(4,0,6) B．(－4,7，－6)C．(－4,0，－6) D．(－4,7,0)解析：选C 点M关于y轴对称的点是M′(－4,7，－6)，点M′在xOz平面上的射影的坐标为(－4,0，－6)．层级一学业水平达标1．点P(a，b，c)到坐标平面xOy的距离是( )A.a2＋b2 B．|a|C．|b| D．|c|解析：选D 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a，b,0)，所以|PP′|＝|c|.2．已知A(1,1,1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为( )A．4 3 B．2 3C．4 2 D．3 2解析：选A |AB|＝＋2＋＋2＋＋2＝4 3.3．在空间直角坐标系中，点P(3,1,5)关于平面xOz对称的点的坐标为( )A．(3，－1,5) B．(－3，－1,5)C．(3，－1，－5) D．(－3,1，－5)解析：选A 由于点关于平面xOz对称，故其横坐标、竖坐标不变，纵坐标变为相反数，即对称点坐标是(3，－1,5)．4．若点P(－4，－2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a，b，c)，(e，f，d)，则c与e的和为( )A．7 B．－7C．－1 D．1解析：选D 由题意，知点P关于xOy平面对称的点的坐标为(－4，－2，－3)，点P关于y轴对称的点的坐标为(4，－2，－3)，故c＝－3，e＝4，故c＋e＝－3＋4＝1.5．点P(1，2，3)为空间直角坐标系中的点，过点P作平面xOy的垂线，垂足为Q，则点Q的坐标为( )A．(0,0，3) B．(0，2，3)C．(1,0，3) D．(1，2，0)解析：选D 由空间点的坐标的定义，知点Q的坐标为(1，2，0)．6．空间点M(－1，－2,3)关于x轴的对称点的坐标是________．解析：∵点M(－1，－2,3)关于x轴对称，由空间中点P(x，y，z)关于x轴对称点的坐标为(x，－y，－z)知，点M关于x轴的对称点为(－1,2，－3)．答案：(－1,2，－3)7．在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点的距离|PO|＝________.解析：由点(x，y，z)关于y轴的对称点是点(－x，y，－z)可得－1＝－a，b＝－1，c－2＝－2，所以a＝1，c＝0，故所求距离|PO|＝12＋－2＋02＝ 2.答案： 28．在空间直角坐标系中，点M (－2,4，－3)在xOz 平面上的射影为点M 1，则点M 1关于原点对称的点的坐标是________．解析：由题意，知点M 1的坐标为(－2,0，－3)，点M 1关于原点对称的点的坐标是(2,0,3)．答案：(2,0,3)9.如图，已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1的对称中心在坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A (－2，－3，－1)，求其他七个顶点的坐标．解：由题意，得点B 与点A 关于xOz 平面对称，故点B 的坐标为(－2,3，－1)；点D 与点A 关于yOz 平面对称，故点D 的坐标为(2，－3，－1)；点C 与点A 关于z 轴对称，故点C 的坐标为(2,3，－1)；由于点A 1，B 1，C 1，D 1分别与点A ，B ，C ，D 关于xOy 平面对称，故点A 1，B 1，C 1，D 1的坐标分别为A 1(－2，－3,1)，B 1(－2,3,1)，C 1(2,3,1)，D 1(2，－3,1)．10.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝2，|AA 1|＝4，点M在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求M ，N 两点间的距离．解析：由已知条件，得|A 1C 1|＝2 2.由|MC 1|＝2|A 1M |，得|A 1M |＝223，且∠B 1A 1M ＝∠D 1A 1M ＝π4.如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AA 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23，4，C (2,2,0)，D 1(0,2,4)．由N 为CD 1的中点，可得N (1,2,2)．∴|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232＋－2＝533. 层级二应试能力达标1．点A (0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是( ) A ．在x 轴上 B ．在xOy 平面内 C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内解析：选C ∵点A 的横坐标为0，∴点A (0，－2,3)在yOz 平面内．2．在空间直角坐标系中，点P (2,3,4)和点Q (－2，－3，－4)的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称B ．关于yOz 平面对称C ．关于坐标原点对称D ．以上都不对解析：选C 点P 和点Q 的横、纵、竖坐标均相反，故它们关于原点对称．3．设A (1,1，－2)，B (3,2,8)，C (0,1,0)，则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( ) A.132 B.534 C.532D.532解析：选D 利用中点坐标公式，得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，32，3，由空间两点间的距离公式，得|PC |＝－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋－2＝532. 4．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0,0,0)，A (4,0,0)，B (4,2,0)，A 1(4,0,3)，则对角线AC 1的长为( )A ．9 B.29 C ．5D ．2 6解析：选B 由已知，可得C 1(0,2,3)，∴|AC 1|＝－2＋－2＋－2＝29.5．已知A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则线段AB 在yOz 平面上的射影长为________．解析：点A (3,5，－7)，B (－2,4,3)在yOz 平面上的射影分别为A ′(0,5，－7)，B ′(0,4,3)，∴线段AB 在yOz 平面上的射影长|A ′B ′|＝－2＋－2＋＋2＝101.答案：1016．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且点M 到点A ，B 的距离相等，则点M 的坐标是________．解析：因为点M 在y 轴上，所以可设点M 的坐标为(0，y,0)．由|MA |＝|MB |，得(0－1)2＋(y －0)2＋(0－2)2＝(0－1)2＋(y ＋3)2＋(0－1)2，整理得6y ＋6＝0，解得y ＝－1，即点M 的坐标为(0，－1,0)．答案：(0，－1,0)7．在空间直角坐标系中，解答下列各题．(1)在x 轴上求一点P ，使它与点P 0(4,1,2)的距离为30；(2)在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使它到点N (6,5,1)的距离最短．解：(1)设P (x,0,0)．由题意，得|P 0P |＝x －2＋1＋4＝30，解得x ＝9或x ＝－1.所以点P 的坐标为(9,0,0)或(－1,0,0)． (2)由已知，可设M (x 0,1－x 0,0)．则|MN |＝x 0－2＋－x 0－2＋－2＝x 0－2＋51.所以当x 0＝1时，|MN |min ＝51. 此时点M 的坐标为(1,0,0)．8.如图，正方体ABCD A1B 1C 1D 1的棱长为a ，M 为BD 1的中点，N 在A 1C 1上，且|A 1N |＝3|NC 1|，试求MN 的长．解：以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (a ，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，D 1(0,0，a )．由于M 为BD 1的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a 2，a 2，取A 1C 1中点O 1，则O 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，a2，a ，因为|A 1N |＝3|NC 1|，所以N 为O 1C 1的中点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，34a ，a .由两点间的距离公式可得： |MN |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－a 2 ＝64a .(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．直线x ＋y －1＝0被圆(x ＋1)2＋y 2＝3截得的弦长等于( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选B 由题意，得圆心为(－1,0)，半径r ＝3，弦心距d ＝|－1＋0－1|12＋12＝2，所以所求的弦长为2r 2－d 2＝2，选B.2．若点P (1,1)为圆x 2＋y 2－6x ＝0的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．x ＋2y －3＝0D ．2x －y －1＝0解析：选D 由题意，知圆的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为A (3,0)．因为点P (1,1)为弦MN 的中点，所以AP ⊥MN .又AP 的斜率k ＝1－01－3＝－12，所以直线MN 的斜率为2，所以弦MN 所在直线的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.3．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6.再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线，则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上，∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12，∴切线斜率为－2.又过点M (2,1)，∴y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对解析：选C 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3.6.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )A ．14米B ．15米 C.51米 D ．251米解析：选D如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x 轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y 轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C ，水面所在弦的端点为A ，B ，则由已知可得A (6，－2)，设圆的半径长为r ，则C (0，－r )，即圆的方程为x 2＋(y ＋r )2＝r 2.将点A 的坐标代入上述方程可得r ＝10，所以圆的方程为x 2＋(y ＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A ′，B ′，可设A ′(x 0，－3)(x 0>0)，代入x 2＋(y ＋10)2＝100，解得x 0＝51， ∴水面宽度|A ′B ′|＝251米．7．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．2x ＋y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．4x －y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝0解析：选A 设点P (3,1)，圆心C (1,0)．已知切点分别为A ，B ，则P ，A ，C ，B 四点共圆，且PC 为圆的直径．故四边形PACB 的外接圆圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，半径长为12－2＋－2＝52.故此圆的方程为(x －2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝54.① 圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.②①－②得2x ＋y －3＝0，此即为直线AB 的方程．8．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2解析：选A 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB的面积为12×22×12＝1.故选A.二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)9．圆心在直线x ＝2上的圆C 与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝－2＋－3＋2＝5，∴圆C的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝5.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝510．已知空间直角坐标系中三点A ，B ，M ，点A 与点B 关于点M 对称，且已知A 点的坐标为(3,2,1)，M 点的坐标为(4,3,1)，则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ，y ，z )，则有x ＋32＝4，y ＋22＝3，z ＋12＝1，解得x ＝5，y ＝4，z ＝1，故B 点的坐标为(5,4,1)．答案：(5,4,1)11．圆O ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的动点Q 到直线l ：3x ＋4y ＋8＝0的距离的最大值是________．解析：∵圆O 的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心(1,1)到直线l 的距离为|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3>1，∴动点Q 到直线l 的距离的最大值为3＋1＝4. 答案：412．已知过点(1,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y ＋2＝0相切，则圆C 的半径为________，直线l 的方程为________．解析：圆C 的标准方程为x 2＋(y －2)2＝2，则圆C 的半径为2，圆心坐标为(0,2)．点(1,1)在圆C 上，则直线l 的斜率k ＝－12－10－1＝1，则直线l 的方程为y ＝x ，即x －y ＝0. 答案： 2 x －y ＝013．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25与直线l ：mx ＋y ＋m ＋2＝0，若圆C 关于直线l 对称，则m ＝________；当m ＝________时，圆C 被直线l 截得的弦长最短．解析：当圆C 关于l 对称时，圆心(1,0)在直线mx ＋y ＋m ＋2＝0上，得m ＝－1.直线l ：m (x ＋1)＋y ＋2＝0恒过圆C 内的点M (－1，－2)，当圆心到直线l 的距离最大，即MC ⊥l 时，圆C 被直线l 截得的弦长最短，k MC ＝－2－0－1－1＝1，由(－m )×1＝－1，得m ＝1.答案：－1 114．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过M 点的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到切线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x ＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0. 由4a 2＋1＝4－32得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1515．已知两圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0和C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0，则两圆圆心的最短距离为________，此时两圆的位置关系是________．(填“外离、相交、外切、内切、内含”中的一个)解析：将圆C 1：x 2＋y 2－2ax ＋4y ＋a 2－5＝0化为标准方程得(x －a )2＋(y ＋2)2＝9，圆心为C 1(a ，－2)，半径为r 1＝3，将圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2ay ＋a 2－3＝0化为标准方程得(x ＋1)2＋(y －a )2＝4，圆心为C 2(－1，a )，半径为r 2＝2.两圆的圆心距d ＝a ＋2＋－2－a2＝2a 2＋6a ＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋12，所以当a ＝－32时，d min ＝22，此时22＜|3－2|，所以两圆内含．答案：22内含三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分14分)已知正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，G 是PD 的中点，求|BG |.解：∵正四棱锥P ABCD 的底面边长为4，侧棱长为3，∴正四棱锥的高为1.以正四棱锥的底面中心为原点，平行于AB ，BC 所在的直线分别为y轴、x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则正四棱锥的顶点B ，D ，P 的坐标分别为B (2,2,0)，D (－2，－2,0)，P (0,0,1)．∴G 点的坐标为G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－1，12∴|BG |＝32＋32＋14＝732.17．(本小题满分15分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3)，半径为12|OP |＝ 12－2＋－2＝13，∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ，PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线， ∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴A ，B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －2＋y －2＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.18．(本小题满分15分)已知圆过点A (1，－2)，B (－1,4)． (1)求周长最小的圆的方程；(2)求圆心在直线2x －y －4＝0上的圆的方程．解：(1)当线段AB 为圆的直径时，过点A ，B 的圆的半径最小，从而周长最小，即以线段AB 的中点(0,1)为圆心，r ＝12|AB |＝10为半径．则所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.(2)法一：直线AB 的斜率k ＝4－－－1－1＝－3，则线段AB 的垂直平分线的方程是y －1＝13x ，即x －3y ＋3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋3＝0，2x －y －4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2，即圆心的坐标是C (3,2)．∴r 2＝|AC |2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.∴所求圆的方程是(x －3)2＋(y －2)2＝20. 法二：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝R 2.则⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋－2－b 2＝R 2，－1－a 2＋－b 2＝R 2，2a －b －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝2，R 2＝20.∴所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝20.19．(本小题满分15分)已知圆x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋20a －20＝0. (1)求证：对任意实数a ，该圆恒过一定点； (2)若该圆与圆x 2＋y 2＝4相切，求a 的值．解：(1)证明：圆的方程可整理为(x 2＋y 2－20)＋a (－4x ＋2y ＋20)＝0，此方程表示过圆x 2＋y 2－20＝0和直线－4x ＋2y ＋20＝0交点的圆系．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－20＝0，－4x ＋2y ＋20＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2.∴已知圆恒过定点(4，－2)．(2)圆的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝5(a －2)2. ①当两圆外切时，d ＝r 1＋r 2，即2＋a －2＝5a 2，解得a ＝1＋55或a ＝1－55(舍去)； ②当两圆内切时，d ＝|r 1－r 2|，即|a －2－2|＝5a 2，解得a ＝1－55或a ＝1＋55(舍去)．综上所述，a ＝1±55. 20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程．(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：(1)设圆O 的半径长为r ，因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)法一：因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 相交于A ，B 两点，所以圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|3|1＋k2<2，解得k >52或k <－52. 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分，所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离d ＝12|OM |＝1.所以|3|1＋k2＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22，经验证满足条件．所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．法二：设直线OM 与AB 交于点C (x 0，y 0)．因为直线l 斜率为k ，显然k ≠0，所以直线OM 方程为y ＝－1kx ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 0＋3，y ＝－1k x 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3kk 2＋1，y 0＝3k 2＋1.所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋1，6k 2＋1.因为点M 在圆上，所以⎝⎛⎭⎪⎫－6k k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2＋12＝4，解得k ＝±22，经验证均满足条件．所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．。

2018学年高中数学必修二人教A版课件：4-3空间直角坐标系精品

PO＝ PA2－OA2＝ 2a2－ 2a2＝ 2a. 以 O 点为坐标原点，OA，OB，OP 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．
(1)正四棱锥 P－ABCD 中各顶点坐标分别为 A( 2a,0,0)，B(0， 2a,0)，C(－ 2a,0,0)，
D(0，－ 2a,0)，P(0,0， 2a)． (2)∵M 为棱 PB 的中点， ∴由中点坐标公式，得 M(0＋2 0， 2a2＋0，0＋2 2a)，即 M(0， 22a， 22a)．
点 G 在 y 轴上，又 GD＝34，所以 G 点坐标为0，34，0. 过 H 作 HK⊥CD 于 K. 因为 H 是 C1G 的中点，所以 K 为 CG 的中点，所以 DK＝78，HK＝12.故 H 点坐标为0，78，12.
1题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； ②充分利用几何图形的对称性. 2求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号确定第三个坐标.
3．空间一点的坐标空间一点 M一―一―对→应有序实数组(x，y，z)．其中 x 称为横坐标， y 称为纵坐标， z 称为竖坐标．
[答一答] 1．三个坐标平面的关系是怎样的？在 xOy 平面内画平面图形时，应怎样画？提示：三个坐标平面两两垂直；在 xOy 平面内画平面图形时，应采用斜二测画法．
点的对称问题
[例 2] 在空间直角坐标系中，点 P(－2,1,4)． (1)求点 P 关于 x 轴的对称点的坐标； (2)求点 P 关于 xOy 平面的对称点的坐标； (3)求点 P 关于点 M(2，－1，－4)的对称点的坐标．

人教版数学高一-必修二(人教A)练习 4.3空间直角坐标系

4．3.1 空间直角坐标系 4．3.2 空间两点间的距离公式一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．若已知A (1，1，1)，B (－3，－3，－3)，则线段AB 的长为( ) A ．4 3 B ．2 3 C ．4 2 D ．3 22．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)关于x 轴对称的点的坐标是( ) A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，3) D ．(－1，2，－3)3．若点P (x ，2，1)到M (1，1，2)，N (2，1，1)的距离相等，则x ＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 4．以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1，1B.⎝⎛⎭⎫1，12，1 C.⎝⎛⎭⎫1，1，12 D.⎝⎛⎭⎫12，12，1 5．在空间直角坐标系中，点P (1，2，3)，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为( ) A ．(0，2，0) B ．(0，2，3) C ．(1，0，3) D ．(1，2，0)6．已知点B 与点A (1，2，3)关于点M (0，－1，2)对称，则点B 的坐标是( ) A ．(－1，4，1) B ．(－1，4，－1) C ．(－1，－4，1) D ．(1，4，－1)7．在空间直角坐标系中，若以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为底边的等腰三角形，则实数x 的值是( )A ．－2B ．2C ．6D ．2或6二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．已知点B 是A (2，－3，5)关于xOy 面的对称点，则|AB |等于 ______________．9．已知A (1，2，1)，B (2，2，2)．若点P 在z 轴上，且|PA |＝|PB |，则点P 的坐标为________．10．点B 是点A (3，－1，－4)关于y 轴的对称点，则线段AB 的长为____________．11．以原点为球心，5为半径的球面上的动点P 的坐标为P (x ，y ，z )，则x ，y ，z 满足关系式__________________．三、解答题(本大题共2小题，共25分)得分12．(12分)在yOz平面上求与点A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)等距离的点P的坐标．13．(13分)如图L431所示，直三棱柱ABC -A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求DE，EF的长度．图L431得分14．(5分)图L432是一个正方体截下的一角P-ABC，其中|PA|＝a，|PB|＝b，|PC|＝c.建立如图L432所示的空间直角坐标系，则△ABC的重心G的坐标是____________．图L43215．(15分)在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)．试问：(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M坐标；若不存在，请说明理由．4．3 空间直角坐标系4．3.1 空间直角坐标系 4．3.2 空间两点间的距离公式1．A [解析] 由公式得|AB |＝()－3－12＋()－3－12＋()－3－12＝ 4 3.2．B [解析] 点关于x 轴对称，横坐标不变，其他符号相反． 3．B [解析] 由空间两点间距离公式可得（x －1）2＋（2－1）2＋（1－2）2＝（x －2）2＋（2－1）2＋（1－1）2，解得x ＝1.4．C [解析] 画出图形(图略)即知CC 1的中点的坐标为⎝⎛⎭⎫1，1，12. 5．D [解析] 由于垂足在平面xOy 上，故横、纵坐标不变，竖坐标为0.6．C [解析] 设B (x ，y ，z )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋x2＝0，2＋y2＝－1，3＋z 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－4，z ＝1，即B (－1，－4，1)．7．D [解析] 依题意有|AB |＝|AC |，即（10－4）2＋（－1－1）2＋（6－9）2＝（x －4）2＋（4－1）2＋（3－9）2，即x 2－8x ＋12＝0，解得x ＝2或x ＝6.8．10 [解析] B 点坐标的(2，－3，－5)，∴|AB |＝（2－2）2＋（－3＋3）2＋（5＋5）2＝10.9．(0，0，3) [解析] 设点P (0，0，z )．由已知得12＋22＋（1－z ）2＝22＋22＋（2－z ）2，解得z ＝3，故点P 的坐标为(0，0，3)．10．10 [解析] 易知点B 的坐标为(－3，－1，4)．根据空间两点间距离公式，可得|AB |＝10. 11．x 2＋y 2＋z 2＝25 [解析] 由空间两点间距离公式可得x 2＋y 2＋z 2＝25.12．解：设P (0，y ，z )．由题意⎩⎪⎨⎪⎧|PA |＝|PC |，|PB |＝|PC |，所以⎩⎨⎧（0－3）2＋（y －1）2＋（z －2）2＝（0－0）2＋（y －5）2＋（z －1）2，（0－4）2＋（y ＋2）2＋（z ＋2）2＝（0－0）2＋（y －5）2＋（z －1）2，即⎩⎪⎨⎪⎧4y －z －6＝0，7y ＋3z －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，z ＝－2，所以点P 的坐标为(0，1，－2)． 13．解：以点C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．因为|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，所以C (0，0，0)，A (2，0，0)，B (0，2，0)，C 1(0，0，2)，B 1(0，2，2)．由中点坐标公式，可得D (1，1，0)，E (0，1，2)，F (1，0，0)，所以|DE |＝（1－0）2＋（1－1）2＋（0－2）2＝5， |EF |＝（0－1）2＋（1－0）2＋（2－0）2＝ 6.14.⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3 [解析] 由题知A (a ，0，0)，B (0，b ，0)，C (0，0，c )．由重心坐标公式得G 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 3，b 3，c 3.15．解：(1)假设在在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.因为M在y轴上，所以可设M(0，y，0)．由|MA|＝|MB|，得32＋y2＋12＝12＋y2＋32，显然，此式对任意y∈R恒成立，即y轴上所有点都满足|MA|＝|MB|.(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．因为|MA|＝（3－0）2＋（0－y）2＋（1－02）＝10＋y2，|AB|＝（1－3）2＋（0－0）2＋（－3－1）2＝20，所以10＋y2＝20，解得y＝±10，故y轴上存在点M使△MAB等边，点M的坐标为(0，10，0)或(0，－10，0)．。

2017-2018学年高一数学(必修二)同步质量检测卷：空间直角坐标系

2017-2018学年高一数学（必修二）同步质量检测卷：空间直角坐标系空间直角坐标系检测卷（时间：25分，满分55分）1．已知空间直角坐标系中点P(1，2，3)，现在轴上取一点Q ，使得最小，则Q 点的坐标为( ).A.(0，0，1)B.(0，0，2)C.(0，0，3)D.(0，1，0)【答案】C2．在空间直角坐标系中，点(123)P ，，，过点P 作平面xOy 的垂线PQ ，则Q 的坐标为（）A ．(02，，B ．(023)，，C ．(103)，D ．2，，【答案】 D3．以正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为1，则棱CC 1的中点的坐标为( )A.（ 21，1,1）B.（1， 21，1） C.（1,1，21） D.（21，21，1）【答案】 C4．若已知A (1，1，1)，B (－3，－3，－3)，则线段AB 的长9．以棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、AD 、AA 1所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则面AA 1B 1B 对角线交点的坐标为----------------。

【答案】（ 21，0，21） 10．已知A (4,3,1)，B (7,1,2)，C (5,2,3)，则△ABC 是________三角形．(填三角形的形状)【答案】等腰11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，E 、F 、G 是DD 1、BD 、BB 1的中点，且正方体棱长为1．请建立适当坐标系，写出正方体各顶点及E 、F 、G 的坐标．【答案】A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，D 1(0,0,1)，E （ 0，0，21），F （ 21，21，0，），G （ 1，1，21）． 12．A 在xOy 平面内的直线1x y +=上确定一点M ；使M 到点(6,5,1)N 的距离最小．【答案】点M （1,0,0),51||min =MN。

高一数学人教A版必修2课后训练：4.3 空间直角坐标系 Word版含解析

课后训练1．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |＝( )A B ．532C D 2．点P (1,1,1)关于xOy 平面的对称点为P 1，则点P 1关于z 轴的对称点P 2的坐标是( )A ．(1,1，－1)B ．(－1，－1，－1)C ．(－1，－1,1)D ．(1，－1,1)3．已知点A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 为( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形4．已知点A (3,5，－7)和点B (－2,4,3)，则线段AB 在坐标平面yOz 上的正射影的长度为( )A ． BC ． D5．已知点P (x ，y ，z )的坐标满足x 2＋y 2＋z 2＝4，且点A 坐标为(2,3, ，则|P A |的最小值是( )A ．5B ．2C ．3D ．46．与点A (－1,2,3)，B (0,0,5)两点距离相等的点满足的条件是__________．7．已知点P 在z 轴上，且满足|OP |＝1(O 为坐标原点)，则点P 到点A (1,1,1)的距离是________．8．在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________．答案：29．已知A (0,1,0)，B (－1,0，－1)，C (2,1,1)，在xOz 平面上是否存在一点P 使得P A ⊥AB ，P A ⊥AC ？若存在，求出P 点坐标．10．如图所示，以棱长为1的正方体的具有公共顶点的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，点P 在对角线AB 上运动，点Q 在棱CD 上运动．(1)当P 是AB 的中点，且2|CQ |＝|QD |时，求|PQ |的值；(2)当Q 是棱CD 的中点时，试求|PQ |的最小值及此时点P 的坐标．参考答案1答案：C2答案：B3答案：C4答案：D5答案：C6答案：2x －4y ＋4z －11＝079答案：解：设P (x,0，z )，∵P A ⊥AB ，∴△P AB 为直角三角形.∴|PB |2＝|P A |2＋|AB |2，即(x ＋1)2＋(z ＋1)2＝x 2＋1＋z 2＋1＋1＋1，整理得x ＋z ＝1.①同理，由P A ⊥AC ，得|PC |2＝|P A |2＋|AC |2，即(x －2)2＋1＋(z －1)2＝x 2＋1＋z 2＋4＋0＋1，整理得2x ＋z ＝0.②由①②解得x ＝－1，z ＝2.：∴点P 的坐标为(－1,0,2).因此，在xOz 平面上存在点P (－1,0,2).10答案：解：(1)∵正方体的棱长为1，P 是AB 的中点，∴由已知空间直角坐标系可得P 111,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭.∵2|CQ |＝|QD |，∴|CQ |＝13，Q 10,1,3⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴由两点间的距离公式得|PQ |6=. (2)过点P 作PE ⊥OA 于点E ，则PE 垂直于坐标平面xOy ，设点P 的横坐标为x ，则由正方体的性质可得点P 的纵坐标也为x ，由正方体的棱长为1，得|AE |＝(1－x ) .∵AE PE AO BO =，∴PE x -， ∴点P 的坐标为(x ，x,1－x ). 又∵Q 10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴|PQ |.∴当x ＝12时，|PQ |min ，点P 的坐标为111,,222⎛⎫ ⎪⎝⎭，即P 为AB 的中点时，|PQ |.。

人教新课标版数学高一A版必修2习题点拨 4.3空间直角坐标系

教材习题点拨思考答：可猜想|P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2.探究答：表示以原点为球心，半径长为r 的球面．练习11．如图．2．解：∵点C 在y 轴上，且|OC|＝4，∴C 点坐标为(0，4，0)．∵B′点在xOy 平面的射影为B ，且|OA|＝3，|AB|＝4，|BB′|＝3，∴B′(3，4，3)．P 点在xOy 平面的射影点P′为矩形OABC 的对角线交点，故P′⎝⎛⎭⎫32，2，0.故P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32，2，3.3．解：Q 点在xOy 平面的射影点Q′为矩形OABC 的对角线交点，故Q′⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0. 又Q 为正方体中心，故Q ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.练习21．解：(1)|AB| ＝（2－3）2＋（3－1）2＋（5－4）2＝ 6.(图略)(2)|AB| ＝（6－3）2＋（0－5）2＋（1－7）2＝70.(图略)2．解：设M(0，0，z)，∵|MA|＝|MB|，∴(0－1)2＋(0－0)2＋(z －2)2＝(0－1)2＋(0＋3)2＋(z －1)2.∴z ＝－3，则M 点坐标为(0，0，－3)．3．证明：∵A(10，－1，6)，B(4，1，9)，C(2，4，3)，∴|AB|＝（10－4）2＋（－1－1）2＋（6－9）2＝7，|BC|＝（4－2）2＋（1－4）2＋（9－3）2＝7.∴△ABC 是等腰三角形．4．解：在坐标平面xOy 内，过N 作NP ⊥OA 交OA 于P ，由平面几何知识得|NP|＝2a 3，|OP|＝a 3，故N ⎝⎛⎭⎫a 3，2a 3，0.由M 作MQ ⊥BC 交BC 于Q ，由平面几何知识可得|MQ|＝2a 3，|CQ|＝a 3，故M ⎝⎛⎭⎫a 3，a ，2a 3. ∴|MN|＝ ⎝⎛⎭⎫a 3－a 32＋⎝⎛⎭⎫2a 3－a 2＋⎝⎛⎭⎫0－2a 32＝5a 3. 习题4.3A 组1．解：(1)点M(x ，y ，z)关于x 轴的对称点坐标为(x ，－y ，－z)；(2)关于y 轴的对称点坐标为(－x ，y ，－z)；(3)关于z 轴的对称点坐标为(－x ，－y ，z)；(4)关于原点的对称点坐标为(－x ，－y ，－z)．2．解：E ⎝⎛⎭⎫0，a 2，a ，F ⎝⎛⎭⎫a 2，0，a ，G ⎝⎛⎭⎫a ，0，a 2，H ⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0，I ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，J ⎝⎛⎭⎫0，a ，a 2. 3．解：点F 坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，0，点P 坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，a 2，故|PF| ＝⎝⎛⎭⎫a 2－a 22＋⎝⎛⎭⎫a 2－02＋⎝⎛⎭⎫0－a 22 ＝22a ，即此几何体棱长为22a. B 组1．证明：∵A(4，1，9)，B(10，－1，6)，C(2，4，3)，∴|AB|＝（4－10）2＋（1＋1）2＋（9－6）2＝7，|BC|＝（10－2）2＋（－1－4）2＋（6－3）2＝98＝72，|AC|＝（4－2）2＋（1－4）2＋（9－3）2＝7.∵|AB|＝|AC|，|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，∴△ABC 为等腰直角三角形．2．解：中心处钛原子的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，b 2，c 2，而A(0.31a ，0.31b ，0)，又a ＝b ，∴键长为（0.5a －0.31a ）2＋（0.5b －0.31b ）2＋⎝⎛⎭⎫c 2－02 ＝0.072 2a 2＋0.25c 2. 3．解：(1)设正方体棱长为a ，点P 为AB 中点，则P 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2，设Q(0，a ，z)，则|PQ|2＝⎝⎛⎭⎫a 2－02＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 2＋⎝⎛⎭⎫a 2－z 2＝z 2－az ＋34a 2＝⎝⎛⎭⎫z －a 22＋a 22. 当z ＝a 2时，|PQ|最小为22a ，此时点Q 为棱CD 的中点． (2)点Q 为棱CD 中点，坐标为⎝⎛⎭⎫0，a ，a 2，当P 在对角线AB 上运动时，可设点P 坐标为(x ，x ，a －x)，∴|PQ|2＝(0－x)2＋(a －x)2＋⎝⎛⎭⎫a 2－a ＋x 2＝3⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 22. 可见，当x ＝a 2时，|PQ|最小为2a 2，此时点P 为AB 中点，即正方体中心．(3)∵点Q 在CD 上，∴设Q(0，a ，z)．如图，连接OA ，在平面BOA 内作PE ⊥OA 于E ，则PE ∥BO ，PE ⊥平面AOC ，设|PE|＝r ，则|PE||OB|＝|EA||OA|， ∴|EA|＝|PE|·|OA||OB|＝2r. ∴|OE|＝|OA|－|EA|＝2a －2r ＝2(a －r)，从而P(a －r ，a －r ，r)．∴|PQ|2＝(a －r)2＋(a －r －a)2＋(r －z)2＝(a －r)2＋r 2＋(r －z)2＝3⎝⎛⎭⎫r －a ＋z 32＋23⎝⎛⎭⎫z －a 22＋12a 2. ∴当且仅当⎩⎨⎧r ＝a ＋z 3，z ＝a 2时， |PQ|2取最小值12a 2，则|PQ|最小值为22a. 当z ＝a 2时，Q 为CD 中点，r ＝a 2时，P 也为BA 中点．故当P ，Q 分别为中点时，|PQ|取最小值．。

2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题：4.3 空间直角坐标系 Word版含解析

第四章 4.3 4.3.1 4.3.2A 级基础巩固一、选择题1．下列命题中错误的是导学号 09025074( A )A ．在空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )B ．在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c )C ．在空间直角坐标系中，在z 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )D ．在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c ) [解析] 空间直角坐标系中，在x 轴上的点的坐标是(a,0,0)． 2．在空间直角坐标系中，点M (3,0,2)位于导学号 09025075( C ) A ．y 轴上B ．x 轴上C ．xOz 平面内D ．yOz 平面内[解析] 由x ＝3，y ＝0，z ＝2可知点M 位于xOz 平面内．3．(2016～2017·襄阳高一检测)若已知点M (3,4,1)，点N (0,0,1)，则线段MN 的长为导学号 09025076( A )A ．5B ．0C ．3D ．1[解析] |MN |＝(3－0)2＋(4－0)2＋(1－1)2＝5.4．在空间直角坐标系中，已知A (1，－2,1)，B (2,2,2)，点P 在z 轴上，且满足|P A |＝|PB |，则P 点坐标为导学号 09025077( C )A ．(3,0,0)B ．(0,3,0)C ．(0,0,3)D ．(0,0，－3)[解析] 设P (0,0，z )，则有12＋(－2)2＋(z －1)2＝22＋22＋(z －2)2，解得z ＝3. 5．点P (－1,2,3)关于xOz 平面对称的点的坐标是导学号 09025078( B ) A ．(1,2,3)B ．(－1，－2,3)C ．(－1,2，－3)D ．(1，－2，－3)[解析] 点P (－1,2,3)关于xOz 平面对称的点的坐标是(－1，－2,3)，故选B ． 6．已知点A (－3,1,5)与点B (4,3,1)，则AB 的中点坐标是导学号 09025079( B ) A ．(72，1，－2) B ．(12，2,3)C ．(－12,3,5)D ．(13，43，2)二、填空题7．如图所示，在长方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，M 是OB 1与BO 1的交点，则M 点的坐标是__ (1，32，1) __.导学号 09025080[解析] 由长方体性质可知，M 为OB 1中点，而B 1(2,3,2)，故M (1，32，1)．8．在△ABC 中，已知A (－1,2,3)、B (2，－2,3)、C (12，52，3)，则AB 边上的中线CD 的长是__52__.导学号 09025081[解析] AB 中点D 坐标为(12，0,3)，|CD |＝(12－12)2＋(52－0)2＋(3－3)2＝52. 三、解答题9．已知点A (x,5－x,2x －1)、B (1，x ＋2,2－x )，求|AB |的最小值.导学号 09025082 [解析] ∵|AB |＝(x －1)2＋(3－2x )2＋(3x －3)2 ＝14x 2－32x ＋19＝14(x －87)2＋57≥357，当x ＝87时，|AB |取最小值357.10．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，点M 是B 1C 1的中点，点N 是AB 的中点．建立如图所示的空间直角坐标系.导学号 09025083(1)写出点D 、N 、M 的坐标； (2)求线段MD 、MN 的长度．[解析] (1)因为D 是原点，则D (0,0,0)．由AB ＝BC ＝2，D 1D ＝3，得A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、B 1(2,2,3)、C 1(0,2,3)． ∵N 是AB 的中点，∴N (2,1,0)．同理可得M (1,2,3)． (2)由两点间距离公式，得|MD |＝(1－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝14， |MN |＝(1－2)2＋(2－1)2＋(3－0)2＝11.B 级素养提升一、选择题1．(2016·大同高一检测)空间直角坐标系中，x 轴上到点P (4,1,2)的距离为30的点有导学号 09025084( A )A ．2个B ．1个C ．0个D ．无数个[解析] 设x 轴上满足条件的点为B (x,0,0)，则由|PB |＝30，得(x －4)2＋(0－1)2＋(0－2)2＝30. 解之得x ＝－1或9. 故选A ．2．正方体不在同一面上的两顶点A (－1,2，－1)、B (3，－2,3)，则正方体的体积是导学号 09025085( C )A ．16B ．192C ．64D ．48[解析] |AB |＝(3＋1)2＋(－2－2)2＋(3＋1)2＝43， ∴正方体的棱长为433＝4.∴正方体的体积为43＝64.3．已知△ABC 的顶点坐标分别为A (1，－2,11)、B (4,2,3)、C (6，－1,4)，则△ABC 是导学号 09025086( A )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形[解析] 由两点间距离公式得|AB |＝89，|AC |＝75，|BC |＝14，满足|AB |2＝|AC |2＋|BC |2. 4．△ABC 的顶点坐标是A (3,1,1)，B (－5,2,1)，C (－83，2,3)，则它在yOz 平面上射影图形的面积是导学号 09025087( D )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A ′(0,1,1)、B ′(0,2,1)、C ′(0,2,3)，△ABC 在yOz 平面上的射影是一个直角三角形A ′B ′C ′，容易求出它的面积为1.二、填空题5．已知P (32，52，z )到直线AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)、B (－2,4,3)，则z ＝__0或－4__.导学号 09025088[解析] 利用中点坐标公式可得AB 中点C (12，92，－2)，因为|PC |＝3，所以(32－12)2＋(52－92)2＋[z －(－2)]2＝3，解得z ＝0或z ＝－4. 6．在空间直角坐标系中，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A (3，－1,2)，其中心M 的坐标为(0,1,2)，则该正方体的棱长为3导学号 09025089[解析] |AM |＝(3－0)2＋(－1－1)2＋(2－2)2 ＝13，∴对角线|AC 1|＝213，设棱长x ，则3x 2＝(213)2，∴x ＝2393.C 级能力拔高1.如图所示，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，过点B 1作B 1E ⊥BD 1于点E ，求A 、E 两点之间的距离.导学号 09025090[解析] 根据题意，可得A (a,0,0)、B (a ，a,0)、D 1(0,0，a )、B 1(a ，a ，a )．过点E 作EF ⊥BD 于F ，如图所示，则在Rt △BB 1D 1中，|BB 1|＝a ，|BD 1|＝3a ，|B 1D 1|＝2a ，所以|B 1E |＝a ·2a 3a＝6a3，所以Rt △BEB 1中，|BE |＝33a 由Rt △BEF ∽Rt △BD 1D ，得|BF |＝23a ，|EF |＝a 3，所以点F 的坐标为(2a 3，2a3，0)，则点E 的坐标为(2a 3，2a 3，a3)．由两点间的距离公式，得 |AE |＝(a －2a 3)2＋(0－2a 3)2＋(0－a 3)2＝63a ，所以A、E两点之间的距离是6 3a.2．如图所示，V－ABCD是正棱锥，O为底面中心，E、F分别为BC、CD的中点．已知|AB|＝2，|VO|＝3，建立如右所示空间直角坐标系，试分别写出各个顶点的坐标.导学号09025091[解析]∵底面是边长为2的正方形，∴|CE|＝|CF|＝1.∵O点是坐标原点，∴C(1,1,0)，同样的方法可以确定B(1，－1,0)、A(－1，－1，0)、D(－1,1,0)．∵V在z轴上，∴V(0,0,3)．。

2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题：4.3 空间直角坐标系 Word版含解析

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