傅里叶变换与拉普拉斯变换区别

Differences Between Two Transforms
• 差别二 求解微分方程的简易性差别
1 拉普拉斯变换可以将系统在时域内的微分与积分的运算转换为乘 法与除法的运算，将微分积分方程转换为代数方程，从而使计算 量大大减少。 2 时域微分性质（给出证明） 3拉普拉斯变换相比傅里叶变换可以对更多函数进行变换
为例
Differences Between Two Transforms
利用matlab对函数进行傅里叶变换，得到其幅度频谱
-(2 cos(w) - 2)/w2
1
0.8
0.6
0.4
正因如此， 傅立叶变换 更多的 是针对信号 的分析和处 理，主要是 频谱分析。
0.2
0 -6 -4 -2 0 w 2 4 6
那么对于一些函数，例如eαtu(t) (α>0)，无法满足上述收敛定理，因 此不存在傅里叶变换
Differences Between Two Transforms
与此同时，一些函数并不满足绝对可积条件，从而不能直接从定 义而导出它们的傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它 们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算 较为麻烦。 以斜坡信号tu(t)为例
谢谢
Байду номын сангаас
因为现实生活中的信号多为因果信号，因此在此考虑拉普拉斯的现 实意义，引入拉普拉斯单边变换。下述讨论均基于拉普拉斯单边变 换
part two
Advantage Of Fourier Transform
• 求解线性电路时有了“通法” • 随时间变换的信号能够变换成“永恒”空间中频域信号
Advantage of Fourier transform
• 拉氏变换将线性常系数微分方程转化为容易处理的线性多项式方 程(N阶电路中的应用）
• 拉氏变换将电路和电压变量的初始值自动引入到多项式方程中， 这样在变换处理过程中，初始条件就成为变换的一部分。
•
part three
Differences Between Two Transforms
• 差别一 对频域的直观性
傅里叶变换 & 拉普拉斯变换 的区别
Points of This Lecture
• 两种变换的背景 • 两种变换给我们带来的便利 • 两种变换之间的差别
part one
Background Of Two Transform—fourier
傅立叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文《热的传播》，向 巴黎科学院呈交，但经拉格朗日、拉普拉斯和勒让德审阅后被科学 院拒绝，1811年又提交了经修改的论文，该文获科学院大奖，却未 正式发表。傅立叶在论文中推导出著名的热传导方程 ，并在求解 该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数形式表示，从而提 出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅里叶级数（即三角 级数）、傅里叶分析等理论均由此创始。
Background Of Two Transform—laplace
十九世纪末，英国工程师亥维赛德(O.Heaviside)发明了算子法，很 好地解决了电力工程计算中遇到的一些基本问题，但缺乏严密的 数学论证。后来，法国数学家拉普拉斯(P. S. Laplace)在著作中对这 种方法给予严密的数学定义。于是这种方法便被取名为拉普拉斯 变换，简称拉氏变换。----因为是"拉普拉斯"这个人定义的。
(t - 1) (heaviside(t - 1) - heaviside(t)) + (t + 1) (heaviside(t + 1) - heaviside(t)) 1 0.9 0.8 0.7 0.6
以信号 0.5
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 t 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Differences Between Two Transforms
因此我们在信号后乘上一个衰减速度十分快的衰减因子 使得信号容易满足绝对可积条件，而得到的变换式也即拉普拉 斯变换式
在这种变换下，许多不存在傅里叶变换的信号，傅里叶变换式 中存在冲激函数的信号变得十分便于计算。
Differences Between Two Transforms
Differences Between Two Transforms
• 差别三（也是最本质的差别） 处理的函数范围不同
Fourier变换要求 1 函数f(x)在每个有限区间上可积; 2 存在数M>0,当|x|≥M时，f(x)单调，且
f(x)=0。
Differences Between Two Transforms
再对上述两个信号求其拉普拉斯变化
Differences Between Two Transforms
The End
傅里叶变换与拉普拉斯变换广泛应用于工程实际问题中,不仅仅在 数学领域有着应用，在测试技术及控制工程领域应用更为广泛， 搞清两者的应用特点，对将来会频繁使用这两种变换的我们极其 重要。希望本文指出的一些方面能给各位带来一些启发以及想法， 在未来给各位带来些许帮助。