26.2二次函数的图象与性质(5)

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2015开学北师大版九年级数学下26.2二次函数的图象与性质(5-3)

y
倍速课时学练
(-14,7.5)
.
(0,7.5)
(-15,0)
0
(1,0)
x
请完成课本练习：想一想
倍速课时学练
3、二次函数y=x2＋bx+8的图像顶点在x轴的负半轴上，那么b等于多少？
已知函数
⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点，以及图像与y轴的交点关
1 2 15 y x 7x 2 2
于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图；
⑵根据第⑴题的图像草图，说出取哪些值时， ①y=0 ②y﹤0 ③y﹥0 (7,32)
y
y
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4 a
x
y=ax2+bx+c 倍速课时学练 (0,c). o x1 o (0,c) .
1
x
2
.
. x
b ( , c) a
2
b ( , c) a
x
x
y=ax2+bx+c
b 4ac b 2 ( , ) 2a 4 a
1、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线，顶点 4 ac b b 2 , 是。当b -4ac﹥0时，抛物线与x轴有两个交点， 4a 2a 交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c的两个根 x 与； 1 2-4ac=0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点；当b2当bx 2 4ac﹤0时，抛物线与x轴没有交点。
倍速课时学练
5、抛物线y=x2-5x+4与坐标轴的交点个数为（）
（ A ） 0个
（ B ） 1个
（ C ）点的个数：

福建省石狮市九年级数学下册第26章二次函数 26.2 二次函数的图象与性质(5)学案(新版)华东

二次函数的图象（5）【学习目标】1.会画二次函数y ＝ax 2＋bx+c 的图象.2.会应用二次函数y ＝ax 2＋bx+c 的性质解题。

3.渗透数开结合的思想方法。

【重点】二次函数y ＝ax 2＋bx+c 的图象和性质【难点】用二次函数y ＝ax 2＋bx+c 的性质解题。

【使用说明与学法指导】先预习P3—P 4内容，勾画课文中的重点，然后独立完成导学案，疑惑随时记录在课本或预习案上，准备课上讨论质疑；预习案一、预习导学：1.如何求二次函数y ＝ax 2＋bx+c 图象的顶点坐标？2.画二次函数图象时，必须选的点是哪一个点？3.把y ＝x 2-4x-4化成顶点式结果是。

4.二次函数y ＝ax 2＋bx+c 图象的顶点坐标，对称轴分别是什么？二、我的疑惑:导学案装订线合作探究探究一：二次函数y ＝ax 2＋bx+c 的图象与性质：例1：已知抛物线253212---=x x y ，（1）写出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标。

（2）求抛物线与x 轴及y 轴交点的坐标。

（3）说明该函数图象有哪些性质。

探究二：画二次函数y ＝ax 2＋bx+c 的图象例2：画出函数322-+=x x y 的图象。

小结：通常取五点来画二次函数图象：取抛物线的顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点及这个点关于对称轴对称的点。

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质4.不画出图象，直接说出函数y ＝－3x 2－6x ＋8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（提示：将－3x 2－6x ＋8配方，化为练习第3题中的形式）例4 画出函数y ＝－21x 2＋x －25的图象，并说明这个函数具有哪些性质．分析因为 y ＝－21x 2＋x －25 ＝－21（x －1）2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为x ＝1，顶点坐标为（1，－2）．根据这些特点，我们容易画出它的图象．解列表．画出的图象如图26.2.4．图26.2.4由图象不难得到这个函数具有如下性质：当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝－2．做一做（1）请你按照上面的方法，画出函数y ＝21x 2－4x ＋10的图象，由图象你能发现这个函数具有哪些性质？（2）通过配方变形，说出函数y ＝－2 x 2＋8x －8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？思考对于任意一个二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0），如何确定它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标？你能把结果写出来吗？练习1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．（1） y ＝3（x ＋3）2＋4；（2） y ＝－2（x －1）2－2；（3） y ＝21（x ＋3）2－2；（4） y ＝－32（x －1）2＋0.6． 2. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1） y ＝2x 2＋4x ；（2） y ＝－2x 2－3x ；（3） y ＝－3x 2＋6x －7；（4） y ＝21x 2－4x ＋5． 3. 先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画出图象．（1） y ＝－2（x －1）2＋4；（2） y ＝21（x ＋2）2－5；（3） y ＝－31x 2－2x ＋1；（4） y ＝x 2－4x ＋7．。

26.2.2二次函数y=ax^2+k的图像与性质

华东师大版《数学 ·九年级（下）》
§26.2.2二次函数的图象
y=ax2+k 的图象和性质
第二课时
1
y=ax2 (a≠0) 图象
O
a>0 y 向上 (0 ,0) y轴 x
O
a<0 y x
开口方向顶点坐标对称轴增减性
向下 (0 ,0) y轴
左增右减
左减右增
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
10
y
8
y=x2+1 y=x2
-10 -5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
O
-2
x
10
2
y=-x2
y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
y=x2-2
5
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口向上，对称轴是 y轴，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而增大，当x= 0 时，取得最小值，这个值等于 k ；当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而减小，当x= 0 时，取得最大值，这个值等于 k 。
x=0时,y最小=k
x=0时,y最大=k
抛物线y=ax2 +k (a≠0)的图象可由y=ax2的图象通过上下平移得到.
（1）抛物线y= −2x2+3的顶点坐标是是最大值是，在___ 侧，y随着x的增大而减小，当x= ____

26.2 二次函数的图像与性质5

5 44
3 22 1
-10
x --55 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 55 -1
10
-2-2
-4
y=a(x–h)2的图像和性质 -6
做一做:
抛物线
开口方向对称轴顶点坐标
y =2(x+3)2
y = -3(x-1)2 y = -4(x-3)2
向上向下向下
直线x=-3 直线x=1 直线x=3
二次函数的图象与性质
知识回顾:
二次函数y=ax²的图象及其特点？
1、顶点坐标？（0，0）
2、对称轴？ y轴（直线x=0）
3、图象具有以下特点：一般地，二次函数y=ax²（ a≠0 ）的图象是一条抛物线；当a>0 时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；
抛物线在x轴的上方（除顶点外）。当a<0 时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。
o位 2
y 1 (x 2) 2 2
顶点坐标(0,0) (2,0) 对称轴:直线x=0
直线x=2
y 1 x 2 向左平移2个单位 2
y 1 (x 2) 2 2
顶点坐标(0,0) (-2,0) 对称轴:直线x=0 直线x=-2
y
8
7
66 y 3x2
抛物线在x轴的下方（除顶点外）
在同一坐标系中作出二次函数y=½x²;y = ½(x+2)2 ;y = ½(x-2)2
x
y 1 x2 2
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
y 1 (x 2) 2 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 2
( -3 , 0 ) (1,0) ( 3, 0)

数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.2二次函数Y=AX2+BX+C的图象与

解：(1)∵(21－12)÷3＝3(m)，∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为 12×3＝36(m2)，设水池的长为 a m，则水池的面积为 a×1＝a(m2)，∴36－a＝32，解得 a＝4，∴DG＝4 m， ∴CG＝CD－DG＝12－4＝8(m)，即 CG 的长为 8 m、DG 的长为 4 m
(2)设 BC 长为 x m，则 CD 长度为 21－3x，∴总种植面积为(21－3x)·x＝－3(x2
6．(8 分)某广告公司设计一幅周长为 16 米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米 2 000 元．设矩形广告牌一边长为 x 米，面积为 S 平方米．
(1)求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； (2)设计费能达到 24 000 元吗？为什么？ (3)当 x 是多少时，设计费最多？最多是多少元？
解：(1)S＝x(8－x)＝－x2＋8x，其中 0＜x＜8
(2)能．理由：当设计费为 24 000 元时，广告牌的面积为 24 000÷2 000＝12(平方米)，即－x2＋8x＝12，解得 x＝2 或 x＝6.∵x＝2 和 x＝6 在 0＜x＜8 内，∴设计费能达到 24 000 元
(3)∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，0＜x＜8，∴当 x＝4 时，S 最大＝16，∴当 x ＝4 米时，矩形广告牌的面积最大，为 16 平方米，设计费最多，为 16×2 000＝32 000 元
9．(长春中考)已知二次函数 y＝－x2－2x＋3，当 a≤x≤1 时，函数值 y 的最小值 2
为 1，则 a 的值为___－__1_－___3____．
二、解答题(共 36 分) 10．(16 分)(商南县二模)如图，菱形 ABCD 的边长为 8，∠BAD＝60°，点 E 是 AD 上一动点(不与 A ，D 重合)，点 F 是 CD 上一动点，且 AE＋CF ＝8，求△DEF 面积的最大值．

华东师大版九年级数学下册学案：26.2二次函数的图象和性质

§26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时）教学目标(一)知识与技能1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根．3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．(二)过程与方法1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神． 2．通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想．3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识．(三)情感态度与价值观1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，2．具有初步的创新精神和实践能力．教学重点1．体会方程与函数之间的联系．2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根．3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标．教学难点1．探索方程与函数之间的联系的过程．2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系．教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b＝0的解．现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢?2.选教材提出的问题，直接引入新课Ⅱ．合作交流解读探究1.二次函数与一元二次方程之间的关系探究：教材问题师生同步完成.观察：教材22页，学生小组交流.归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.Ⅲ.应用迁移巩固提高1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根同期声2 .抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况Ⅳ．总结反思拓展升华本节课学了如下内容：1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的联系．2．理解了二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的实根和没有实根.3.数学方法:分类讨论和数形结合.反思：在判断抛物线与x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？拓展：教案Ⅴ．课后作业P 231.3.526．1 二次函数的图象与性质（1）[本课知识重点]会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经知道，一次函数12+=x y ，反比例函数xy 3=的图象分别是、，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？（1）描点法画函数2x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（2）观察函数2x y =的图象，你能得出什么结论？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？（1）22x y = （2）22x y -=x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … 22x y =…18 8 2 0 2 8 18 … 22x y -= …-18-8-2-2-8-18…分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．共同点：都以y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点．不同点：22x y =的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．22x y -=的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．回顾与反思在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．例2．已知42)2(-++=k kx k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．解（1）由题意，得⎩⎨⎧>+=-+02242k k k ，解得k=2．（2）二次函数为24x y =，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y 轴．例3．已知正方形周长为Ccm ，面积为S cm 2．（1）求S 和C 之间的函数关系式，并画出图象；（2）根据图象，求出S=1 cm 2时，正方形的周长；（3）根据图象，求出C 取何值时，S ≥4 cm 2．分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C 的取值应在取值范围内．解（1）由题意，得)0(1612>=C C S ． C24 68 (2)161C S =41 149 4…描点、连线，图象如图26．2．2．（2）根据图象得S=1 cm 2时，正方形的周长是4cm ．（3）根据图象得，当C ≥8cm 时，S ≥4 cm 2．回顾与反思（1）此图象原点处为空心点．（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C 、S ，不要习惯地写成x 、y ．（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）23x y = （2）23x y -= （3）231x y = 2．（1）函数232x y =的开口，对称轴是，顶点坐标是；（2）函数241x y -=的开口，对称轴是，顶点坐标是．3．已知等边三角形的边长为2x ，请将此三角形的面积S 表示成x 的函数，并画出图象的草图．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．（1）24x y -= （2）241x y = 2．填空：（1）抛物线25x y -=，当x= 时，y 有最值，是．（2）当m= 时，抛物线mm x m y --=2)1(开口向下．（3）已知函数1222)(--+=k k x k k y 是二次函数，它的图象开口，当x 时，y随x 的增大而增大． 3．已知抛物线102-+=k kkx y 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）作出函数的图象（草图）．4．已知抛物线2ax y =经过点（1，3），求当y=9时，x 的值．B 组5．底面是边长为x 的正方形，高为0．5cm 的长方体的体积为ycm 3．（1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm 3时底面边长x 的值；（4）根据图象，求出x 取何值时，y ≥4．5 cm 3．6．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P （1，b ）．（1）求a 、b 的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小． 1．一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）．（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出⊿MON 的面积． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（2）[本课知识重点]会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？，你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？． [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出函数22xy=与222+=xy的图象．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数22xy=与222-=xy的图象之间的关系吗？例2．在同一直角坐标系中，画出函数12+-=xy与12--=xy的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线12+-=xy得到抛物线12--=xy．描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …22xy=…18 8 2 0 2 8 18 …222+=xy…20 10 4 2 4 10 20 …x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …12+-=xy…-8 -3 0 1 0 -3 -8 …12--=xy…-10 -5 -2 -1 -2 -5 -10 …可以看出，抛物线12--=x y 是由抛物线12+-=x y 向下平移两个单位得到的．回顾与反思抛物线12+-=x y 和抛物线12--=x y 分别是由抛物线2x y -=向上、向下平移一个单位得到的．探索如果要得到抛物线42+-=x y ，应将抛物线12--=x y 作怎样的平移？例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与221x y =相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y 轴，顶点坐标为（0，-2），因此所求函数关系式可看作)0(22>-=a ax y ，又抛物线经过点（1，1），所以，2112-⋅=a ，解得3=a ．故所求函数关系式为232-=x y ．回顾与反思 k ax y +=2（a 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归k ax y +=2开口方向对称轴顶点坐标0>a0<a[当堂课内练习]1．在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：221x y =， 2212+=x y ， 2212-=x y ．观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说出抛物线k x y +=221的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 2．抛物线9412-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线241x y =向平移个单位得到的． 3．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y= ． [本课课外作业]A 组1．已知函数231x y =， 3312+=x y ， 2312-=x y ．（1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；（3）试说出函数5312+=x y 的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 2．不画图象，说出函数3412+-=x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数241x y -=通过怎样的平移得到的．3．若二次函数22+=ax y 的图象经过点（-2，10），求a 的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？B 组4．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )5．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（3）[本课知识重点]会画出2)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数2)2(21-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？[实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221xy=，2)2(21+=xy，2)2(21-=xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是（0，0），（-2，0），（2，0）．x …-3 -2 -1 0 1 2 3 …221xy= (2)92 210 212 29…2)2(21+=xy (2)10 212 2258 225…2)2(21-=xy (2)258 292 210 21…回顾与反思对于抛物线2)2(21+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最值，最值y= ．探索抛物线2)2(21+=x y 和抛物线2)2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线2)4(21-=x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平移？例2．不画出图象，你能说明抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 之间的关系吗?解抛物线23x y -=的顶点坐标为（0，0）；抛物线2)2(3+-=x y 的顶点坐标为（-2，0）．因此，抛物线23x y -=与2)2(3+-=x y 形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y 轴和直线2-=x ．抛物线2)2(3+-=x y 是由23x y -=向左平移2个单位而得的．回顾与反思 2)(h x a y -=（a 、h 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标[当堂课内练习]1．画图填空：抛物线2)1(-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是，它可以看作是由抛物线2x y =向平移个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．22x y -=，2)3(2--=x y ，2)3(2+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．[本课课外作业]A 组1．已知函数221x y -=，2)1(21+-=x y ， 2)1(21--=x y ．（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）分别讨论各个函数的性质．2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线221x y -=得到抛物线2)1(21+-=x y 和2)1(21--=x y ？3．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最值，最值y= ．4．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．B 组5．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点（1，3），求a 的值． [本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（4）[本课知识重点]1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM 及创新思维]由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？ [实践与探索]例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．x… -3-2 -10 12 3…221x y = (2)9 221 021 229… 2)1(21-=x y … 8 29 2 21 0 21 2 … 2)1(212--=x y …625 023- -223- 0…描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．它们的开口方向都向，对称轴分别为、、，顶点坐标分别为、、．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称例2．把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析抛物线2x y =的顶点为（0，0），只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值．解 c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=．向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ，再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ，其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为（0，0），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b 解得 ⎩⎨⎧=-=148c b 探索把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．[当堂课内练习]1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y = （）A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为． 3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向平移个单位，再向平移个单位而得到．[本课课外作业]A 组1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．23x y -=，2)2(3+-=x y ，1)2(32-+-=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．将抛物线522++-=x x y 先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式．3．将抛物线23212++-=x x y 如何平移，可得到抛物线32212++-=x x y ？ B 组4．把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线532+-=x x y ，则有（）A ．b =3，c=7B ．b= -9，c= -15C ．b=3，c=3D ．b= -9，c=215．抛物线c bx x y ++-=23是由抛物线132+--=bx x y 向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b 、c 的值．6．将抛物线)0(2≠=a ax y 向左平移h 个单位，再向上平移k 个单位，其中h ＞0，k ＜0，求所得的抛物线的函数关系式．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（5）[本课知识重点]1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．会利用对称性画出二次函数的图象．[MM 及创新思维]我们已经发现，二次函数1)3(22+-=x y 的图象，可以由函数22x y =的图象先向平移个单位，再向平移个单位得到，因此，可以直接得出：函数1)3(22+-=x y 的开口，对称轴是，顶点坐标是．那么，对于任意一个二次函数，如232-+-=x x y ，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？[实践与探索]例1．通过配方，确定抛物线6422++-=x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．解 6422++-=x x y []8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x 因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．x … -2 -1 01 2 3 4 … 6422++-=x x y … -10 06 8 6 0 -10 …描点、连线，如图26．2．7所示．回顾与反思（1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，．（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．探索对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴，顶点坐标．例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．分析顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0．解 9)2(2++-=x a x y 4)2(9)22(22+-++-=a a x ，则抛物线的顶点坐标是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+4)2(9,222a a ．当顶点在x 轴上时，有 022=+-a ，解得 2-=a ．当顶点在y 轴上时，有 04)2(92=+-a ，解得 4=a 或8-=a ．所以，当抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上时，a 有三个值，分别是 –2，4，8．[当堂课内练习]1．（1）二次函数x x y 22--=的对称轴是．（2）二次函数1222--=x x y 的图象的顶点是，当x 时，y 随x 的增大而减小．（3）抛物线642--=x ax y 的顶点横坐标是-2，则a = ．2．抛物线c x ax y ++=22的顶点是)1,31(-，则a 、c 的值是多少？[本课课外作业]A 组1．已知抛物线253212+-=x x y ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 2．利用配方法，把下列函数写成2)(h x a y -=+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．（1）162++-=x x y（2）4322+-=x x y （3）nx x y +-=2 （4）q px x y ++=23．已知622)2(-++=k k x k y 是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．B 组4．当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．5. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．[本课学习体会]26．2 二次函数的图象与性质（6）[本课知识重点]1．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．[MM 及创新思维]在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？在这个问题中，设每件商品降价x 元，该商品每天的利润为y 元，则可得函数关系式为二次函数2000100102++-=x x y ．那么，此问题可归结为：自变量x 为何值时函数y 取得最大值？你能解决吗?[实践与探索]例1．求下列函数的最大值或最小值．（1）5322--=x x y ；（2）432+--=x x y ．分析由于函数5322--=x x y 和432+--=x x y 的自变量x 的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．解（1）二次函数5322--=x x y 中的二次项系数2＞0，因此抛物线5322--=x x y 有最低点，即函数有最小值．因为5322--=x x y =849)43(22--x ，所以当43=x 时，函数5322--=x x y 有最小值是849-．（2）二次函数432+--=x x y 中的二次项系数-1＜0，因此抛物线432+--=x x y 有最高点，即函数有最大值．因为432+--=x x y =425)23(2++-x ，所以当23-=x 时，函数432+--=x x y 有最大值是425．回顾与反思最大值或最小值的求法，第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．探索试一试，当2．5≤x ≤3．5时，求二次函数322--=x x y 的最大值或最小值．例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y x （元）130 150 165 y （件） 70 50 35若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？分析日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．解由表可知x+y=200，因此，所求的一次函数的关系式为200+-=x y ．设每日销售利润为s 元，则有 1600)160()120(2+--=-=x x y s ．因为0120,0200≥-≥+-x x ，所以200120≤≤x ．所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元．回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．例3．如图26．2．8，在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D 在斜边AB 上，分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE=x ，DF=y ．（1）用含y 的代数式表示AE ；（2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围；（3）设四边形DECF 的面积为S ，求S 与x 之间的函数关系，并求出S 的最大值．解（1）由题意可知，四边形DECF 为矩形，因此y DF AC AE -=-=8．（2）由DE ∥BC ，得AC AE BC DE =，即884y x -=，所以，x y 28-=，x 的取值范围是40<<x ．（3）8)2(282)28(22+--=+-=-==x x x x x xy S ，所以，当x=2时，S 有最大值8．[当堂课内练习]1．对于二次函数m x x y +-=22，当x= 时，y 有最小值．2．已知二次函数b x a y +-=2)1(有最小值 –1，则a 与b 之间的大小关系是（）A ．a ＜bB ．a=bC ．a ＞bD ．不能确定3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？[本课课外作业]A 组1．求下列函数的最大值或最小值．（1）x x y 22--=；（2）1222+-=x x y ．2．已知二次函数m x x y +-=62的最小值为1，求m 的值．，3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02≤≤++-=x x x y ．y 值越大，表示接受能力越强．（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？（2）第10分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？B 组4．不论自变量x 取什么数，二次函数m x x y +-=622的函数值总是正值，求m 的取值范围．5．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB 为x m ，面积为Sm 2．（1）求S 与x 的函数关系式；（2）如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？（3）能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．6．如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，线段EF 在对角线AC上，EG ⊥AD ，FH ⊥BC ，垂足分别是G 、H ，且EG+FH=EF ．（1）求线段EF 的长；（2）设EG=x ，⊿AGE 与⊿CFH 的面积和为S ，写出S 关于x 的函数关系式及自变量x 的取值范围，并求出S 的最小值．[本课学习体会]26 . 2 二次函数的图象与性质（7）[本课知识重点]会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式．[MM 及创新思维]一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数)0(≠=k x k y 的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个条件呢？[实践与探索]例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m ，涵洞顶点O 到水面的距离为2．4m ，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？分析如图，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是)0(2<=a ax y ．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式．解由题意，得点B 的坐标为（0．8，-2．4），又因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入)0(2<=a ax y ，得 28.04.2⨯=-a所以 415-=a ．因此，函数关系式是2415x y -=．例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．分析（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(2--=x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（3）根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为2)3(2--=x a y ，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入2)3(2--=x a y ，即可求出a 的值．解（1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2，由已知，这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1．又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点，可以得到 ⎩⎨⎧=-=+31b a b a 解这个方程组，得a=2，b= -1．所以，所求二次函数的关系式是1222--=x x y ．（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此函数的关系式为3)1(2--=x a y ，又由于抛物线与y 轴交于点（0，1），可以得到 3)10(12--=a解得 4=a ．所以，所求二次函数的关系式是1843)1(422+-=--=x x x y ．（3）因为抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），所以设二此函数的关系式为)5)(3(-+=x x a y ．又由于抛物线与y 轴交于点（0，3），可以得到)50)(30(3-+=-a ．解得 51=a ．所以，所求二次函数的关系式是35251)5)(3(512--=-+=x x x x y ．（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成．回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，给出三点坐标可利用此式来求．（2）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．（3）交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y ，给出三点，其中两点为与x 轴的两个交点)0,(1x 、)0,(2x 时可利用此式来求．[当堂课内练习]1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；。

2.2二次函数的图像与性质(5)y=ax2+bx+c

2
＝3(x －4x＋4－4)－3
2
＝3(x －4x＋4)－3×4－3
＝3(x－2)2－15
∵3＞0
∴当 x＝2 时，函数有最小值－15.
1 2
例 4 求抛物线 y＝－ x －2x＋3 的顶点坐标.
2
1 2
解：∵y＝－2x －2x＋3
1 2
＝－2(x ＋4x)＋3
1 2
＝－2(x ＋4x＋4－4)＋3
2
解：∵y＝x ＋x＋1
1 1
2
＝x ＋x＋－＋1
4 4
1 3
2
＝(x ＋x＋4)＋4
12 3
＝(x＋2) ＋4
1 3
∴顶点坐标为(－2，4)
变式练习 2
求抛物线 y＝x 2－3x＋2 的顶点坐标.
2
解：∵y＝x －3x＋2
9
9
＝x －3x＋4＋2－4
2
32 1
＝(x－2) －4
3
1
∴顶点坐标为 (2，－4)
1 2
1
＝－2(x ＋4x＋4)＋(－2)×(－4)＋3
1
2
＝－2(x＋2) ＋5
∴顶点坐标为(－2，5)
变式练习 4
3 2
求抛物线 y＝－ x ＋3x＋1 的顶点坐标.
2
3 2
解：y＝－2x ＋3x＋1
3 2
＝－2(x －2x＋1－1)＋1
3 2
3
＝－2(x －2x＋1)＋(－2)×(－1)＋1
b 2 4ac b
y ax bx c a ( x )
.
2a
4a
2
2
因此，抛物线y=ax2+bx+c

第6课时：二次函数的图象与性质(5)

第六章二次函数
第6课时：二次函数的图象与性质（5）
班级姓名学号
学习目标：
1、会利用抛物线的性质画二次函数c bx ax y ++=2的图象。

2、会画实际问题中的二次函数的图象。

问题探索：
问题1：画出二次函数642---=x x y 的图象.
练习:画出二次函数2
5
3212+-=
x x y 的图象.
问题2：(1)画出函数3422
+-=x x y 的图象.
(2) 画出函数)21(3422
≤≤-+-=x x x y 的图象.
外两边是总长为6米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y 与高x 的表达式；
（2）求x 的取值范围；
（3）在上面的直角坐标系中画出函数的图象．
练习：已知一边靠校园院墙,另外三边用8m 长的篱笆
,围成一个长方形场地,设垂直院墙的边
长为)(m x .（1）写出长方形场地面积)(2
m y 与x 的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，请你指出当边长是多少时，长方形面积最大.
想一想：对二次函数542
+-=x x y ，在下列不同情况下，求函数的最大值或最小值；（1）x 取任意实数；（2）11≤≤-x ；（3）41≤≤x
4、体育课上,一男生推铅球,铅球行进高度y (m ) 与水平距离)(m x 之间的关系是3
5321212++-=x x y . (1)画出函数的图象;
(2)观察图象,说出铅球推出的距离.。

二次函数的图像和性质五

在对称轴的右侧, y随着x的增大而增
当x
b
时,
大.
最小值为
4ac
b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减
当x
b
小.
时, 最大值为
4ac b2
2a
4a
（五）、学习回顾：
填写表格：
抛物线
开口方向对称轴
y=ax2(a>0)
y=ax2+k(a>0) y=a(x-h)2(a>0)
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是（ A ）
• A4
B. -1
C. 3
D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x轴的一个交
点为(1,0),则下列各式中不成立的是
A.b2-4ac>0
B.
-
b 2a
<0
（ B）
y
C.a+b+c=0
D. 4ac-b2 >0 4a
y= —21 (x―6)2 +3
归纳
二次函数 y= —1 x2－6x +21图象的画法：
2
(1)“化” ：化成顶点式；
(2)“定”：确定开口方向、对称轴、顶点坐标；
(3)“画”：列表、描点、连线。
x
y 1 (x 6)2 3 2
…3 4 5 6 7 8 9… … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
② c=0 ＜＝＞图象过原点；
③ c＜0 ＜＝＞图象与y轴交点在x轴下方。 ⑷顶点坐标是（ b ，4ac b2 ）。

2015开学北师大版九年级数学下26.2二次函数的图象与性质(5-2)

(1) (m 1) 4 2(m 1) (m 3) 2 ,
2
无论m为何值时， 0.
倍速课时学练
抛物线与x轴总有交点，且当＝0时，即m＝3时抛物线与x轴只有一个交点.
(2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限
倍速课时学练
b2-4ac<0
知识点二：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定 a+b+c>0 点在x轴上方 a+b+c<0 点在x轴下方点在x轴上 a+b+c=0 （6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定 a-b+c>0 点在x轴上方 a-b+c<0 点在x轴下方点在x轴上 a-b+c=0
小结抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定由抛物线与y轴的交点位置确定（2）C的符号：
（3）b的符号：由对称轴的位置确定
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定由x=1时抛物线上的点的位置确定（5）a+b+c的符号：
倍速（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定课时（7）2a±b的符号：对称轴与直线 x=1 或 x=-1 的位置确定学练
倍速课时学练
（3）b的符号：由对称轴的位置确定对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧对称轴是y轴 a、b同号 a、b异号 b=0
倍速课时学练

二次函数的图象与性质(第5课时)PPT课件

A. (5，0)
B. (0，5) C. (0，3) D. (3，0)
4、对于抛物线y=-2x2+4x+1，下列说法正确的是（ C ）
A. y最大值=1 B. y最小值=1 C. y最大值=3 D. y最小值=3
5. 画二次函数y=x2-2x-1的图象.
配方：y=(x-1)2-2 对称轴：x=1，顶点坐标：(1，-2)
动脑筋画二次函数y=-2x2+6x-1 的图象？
配方：y
= =
-
2 2
x2 +
x-
6
3 2
x-1 =
2
+2×
- 2( x2 - 3 x)-1=
94-1
=
-2
x- 32
-
2
x2
2
+72
.
-
3
x
+
-
3 2
2
-
-
3 2
2
-1
对称轴是直线 x =
3 2
，顶点坐标是
3 2
,
7
A. y=-(x-1)2-3
B. y=-(x+1)2-3
C. y=-(x-1)2+3
D. y=-(x+1)2+3
2、抛物线y=x2-3x+2与y轴交点的坐标是（ A ）
A. (0，2) B. (1，0) C. (0，-3) D. (0，0)
3、把抛物线y=2x2向上平移5个单位，所得抛物线的顶点
坐标为（ B ）
这个最大值等于顶点的纵坐标
7 2
.
从二次函数
y
=
1( 2
x

华师版九年级数学下册_26.2.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

(h，k)
(h，0) (0，k) (0，0)
直线x=h
y轴
感悟新知
特别解读
知4－讲
1. 抛物线y=ax2，y=ax2+k，y=a(x－h)2，y=a(x－h)2+k中a
的值相等，所以这四条抛物线的形状、开口方向完全
一样，故它们之间可通过互相平移得到.
2. 抛物线的平移规律是“左加右减，上加下减”，不同的
而减小. 其中正确结论有__①__③__④__.
解题秘方：紧扣二次函数y=a(x－h)2+k 的图象和性质逐一判断.
感悟新知
知3－练
解：∵ a=－1<0，∴抛物线的开口向下，故①正确；对称轴为直线x=－1，故②错误；顶点坐标为 (－1，3)，故③正确；当x>1 时，y 随x 的增大而减小，故④正确.
y轴
当x＜0 时，y随x的当x＜0 时，y 随x 的
增大而减小；当x＞增大而增大；当x＞
0 时，y随x的增大而 0 时，y 随x的增大
增大
而减小
当x=0 时，y最小值=k 当x=0 时，y最大值=k
感悟新知
知1－讲
3. 二次函数y=ax2+k 的图象的画法 (1)描点法：即按列表→描点→连线的顺序作图. (2)平移法：将二次函数y=ax2 的图象，向上(k ＞ 0)或向下(k ＜ 0)平移|k| 个单位，即可得到二次函数y=ax2+k 的图象.
解：由图象知，对于一切x的值，总有y ≤ 2.
感悟新知
知4－练
4-1. [中考·湖州] 将抛物线y=x2 向上平移3 个单位，所得抛物线的表达式是( A ) A. y=x2+3 B. y=x2－3 C. y=(x+3)2 D. y=(x－3)2

二次函数的图像及性质(5)

y=ax2+bx+c(a>0)
b 4ac b 2 2a , 4a b 直线x 2a
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
向下
b 4ac b 时, 最大值为 2a 4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 2
函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用
例：某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件 70元，试销中销售量y（件）与销售单价x（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润＝总销售额-总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？
写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，当x为何值时y的值最大（小）？
（1）y=3x2+2x
（2）y=-x2-2x （3）y=-2x2+8x-8
1 2 4y x 4 x 3 2
请研究二次函数y=x2 -6x+5的图象和性质，并尽可能多地说出结论。
我们的结论:
向上 ① 图象的开口方向：_____ ② 对称轴：直线x =______ 3 （3，-4） ③ 顶点坐标：__________ 左 ④增减性: 在对称轴的___侧, y随x_________, 的增大而减小右的增大而增大在对称轴的____侧,y随x__________ ⑤最值: 当x = ____时, y最小值 =_______ 3 -4

26.2 特殊的二次函数图像

第二节二次函数的图像§26.2特殊的二次函数图像教学目标(1)知道二次函数2y ax =的图像是抛物线，会用描点法画出图像。

(2)经历观察、分析和回归抛物线2y ax =的特征的过程，掌握二次函数2y ax =的直观性质。

(3)经历建立二次函数22()y ax c y a x m =+=+、的图像与2y ax =的图像之间联系的过程，知道由抛物线2y ax =得到抛物线22()y ax c y a x m =+=+、的平移方法；掌握二次函数2y ax c =+、 2()y a x m =+的直观性质，体会图形运动的运用。

(4)在运用图形研究二次函数直观性质的过程中，领会数形结合的思想方法，提高观察、分析、归纳和概括的能力。

教学重点研究特殊形式的二次函数2y ax =、2y ax c =+和2()y a x m =+的图像，并归纳出图像的特征.知识概要1.二次函数2y x =的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展，它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线。

二次函数2y x =的图像就称为抛物线2y x =。

2.抛物线2y x =的开口方向向上；它是轴对称图形，对称轴是y 轴，即直线0x =。

抛物线2y x =与y 轴的交点是原点O ；除这个交点外，抛物线上的所有点都在x 轴上方，这个交点是抛物线的最低点。

抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。

抛物线2y x =的顶点是原点(0,0)O 。

3.分别在2y x =-与2y x =的图像上且横坐标相同的任意两点，它们的纵坐标互为相反数，可知两个图像关于x 轴对称。

可利用它们的对称性，由其中一个函数的图像画另一个函数的图像。

4.一般地，二次函数2y ax =(其中a 是常数，且0a ≠)的图像是抛物线，称为抛物线2y ax =。

这时，2y ax =是这条抛物线的表达式。

抛物线2y ax =(其中a 是常数，且0a ≠)的对称轴是y 轴，即直线0x =；顶点是原点，抛物线的开口方向由a 所取值的符合决定，当0a >时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点。

华东师大版九年级数学下册26.2《二次函数的图像与性质》平移与抛物线的求法

平移与抛物线的求法抛物线的平移题型一般有两种情况：(1)已知抛物线关系式及要平移的单位和方向，求平移后所得的抛物线关系式；(2)已知原抛物线和经过平移后所得抛物线，说明平移的方向和单位．解决这两类问题的关键是正确找出抛物线平移的规律．抛物线平移规律可由其顶点坐标y=a(x-h)2+k 来判断．当h 增大时．图象向右平移；当h 减小时，图象向左平移．当k 增大时，图象向上平移；当k 减小时，图象向下平移．反之，易成立．下面举例说明有关的平移问题．一、已知抛物线的关系式求平移后所得抛物线例1 将抛物线y=2x 2先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线的关系式为________．析解：抛物线y=2x 2的顶点坐标为(0，0)，向右平移3个单位，再向下平移2个单位所得抛物线的顶点坐标为(3，-2)，所以所得抛物线的关系式为y=2(x-3)2-2．例2 将抛物线y=-3(x-1)2-3先向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得抛物线关系式为_______．析解：因为抛物线y=-3(x-1)2-3的顶点坐标为(1，-3)，所以向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度后所得抛物线的顶点坐标是(1-2，-3+5)，即(-1，2)，所以所得抛物线的关系式为y=-3(x+1)2+2．二、已知平移后的抛物线的关系式求原抛物线的关系式例3 将抛物线y=a(x-h)2+k 先向左平移5个单位，再向下平移4个单位后得抛物线为y=-21(x+2)2-3，则原抛物线的关系式为_______．与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。

金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。

”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。

清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。

可见，“教师”一说是比较晚的事了。

如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。

第5讲二次函数图象和性质知识点总结

第5讲二次函数的图象和性质一、知识点回顾1. 二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a、b、c为常数，a≠0）②顶点式：（a、h、k为常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标。

③交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a≠0，（也叫两根式）。

2. 二次函数的图象①二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。

②任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：[左加右减，上加下减]，具体平移方法如下表所示。

③在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。

然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。

3. 二次函数的性质函数二次函数a、b、c为常数，a≠0（a、h、k为常数，a≠0）a＞0 a＜0 a＞0 a＜0图象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性 (2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝，顶点是（）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）(2)对称轴是x＝h，顶点是（h，k）质(3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当x＞h时，y随x的增大而增大。

(3)当x＜h时，y随x的增大而增大；当x＞h时，y随x的增大而减小(4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当x＝h时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当x＝h时，y有最大值4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法①配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a＞0，y有最小值，当x＝h时，；若a＜0，y有最大值，当x＝h时，。

26.2.2二次函数的图像和性质

二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和 y=-3x²,y=-3(x-1)2的图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?
附件：1深圳市福田区区属公办中小学2020年6月面向毕业生公开招聘教师岗位表2广东省2019年考试录用公务员专业参考目录3深圳市福田区区属公办中小学2020年6月面向毕业生公开招聘教师未取得教师资格报考人员承诺书4深圳市福田区区属公办中小学2020年6月面向毕业生公开招聘教师考试择业期内报考人员承诺书中共深圳市福田区委组织部深圳市福田区教育局2020年6月9日课堂上,正播放着一段视频,学生们聚精会神地观看,时而凝思,时而频频点头,时而从角落传来轻轻地啜泣声，2019年11月9日，由北京教育科学研究院与清华大学生态文明研究中心合作举办的第六届北京教育论坛在北京召开，学员不仅可以在6月15日至17日期间抢购618元自考定金，免费获得价值99元《E办公技巧课程》及199元《地道英语口语课程》，而且在6月18日至19日活动期间，更有全年最低优惠报读政策，多个精品班型限时优惠，消防风机 /，一束光公益项目在西昌市西溪乡中心小学西昌市学生资助中心主任李建祥(右三)西溪中心小学副校长邓绍勇(右二)西昌企业家志愿者张郁(左三)西溪小学大队辅导员田楚钰(右一)西昌市教育局招办副主任段瑜、礼州片区主任黎帮雨、西昌市民胜小学副校长鲁正华、西昌市西溪中心小学副校长邓绍勇、南宁教办主任罗合义、西溪小学大队辅导员田楚钰、西昌市企业家张郁、JC集团董事长陈明俊、一束光公益项目工作人员、民胜小学全体学生、西溪小学全体学生及社会各界爱心人士共同参与此次活动，据介绍，该活动是以实现带动三亿人参与冰雪运动目标为指引，烟台市委书记张术平致辞