(湖南专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象第15课时二次函数的图象和性质(二)课件
2020年中考二次函数的图像与性质(2)ppt (6)
着x的增大而增大.
着x的增大而减小.
最值
当x=h时,最小值为0.
当x=h时,最大值为0.
a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
二次函数y=a(x-h)2 +k的图像
二次函数y=a(x-h)2的性质
二次函数y=a(x-h)2 +k的性质
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
二次函数的图像与性质（2）
复习：
二次函数y=ax2的性质
抛物线 顶点坐标
对称轴
y=ax2(a>0)
（0，0）
y轴(或直线x=0)
y=ax2(a<0)
（0，0） y轴(或直线x=0)
位置 开口方向
X轴上方
向上
X轴上方
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x=h时,最大值为k.
a 越大,开口越小.
a 越小,开口越大.
二次函数的性质
函数表达式
y ax2 y ax2 c
y a h2
y ax h2 k
开口 方向
增减性
对称轴
a>0, 开口 向上;
抛物线 顶点坐标
对称轴
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h，k）
直线x=h
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k） 直线x=h
位置
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
开口方向
向上
向下
(湖南专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象课时训练15二次函数的应用
课时训练(十五) 二次函数的应用(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2019·荆门]抛物线y=-x 2+4x -4与坐标轴的交点个数为 ( )A .0B .1C .2D .32.[2018·襄阳]已知二次函数y=x 2-x +14m -1的图象与x 轴有交点,则m 的取值范围是 ( ) A .m ≤5B .m ≥2C .m<5D .m>23.若二次函数y=ax 2+bx +c (a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1,则使函数值y>0成立的x 的取值范围是 ( ) A .x<-4或x>2 B .-4≤x ≤2 C .x ≤-4或x ≥2D .-4<x<24.[2019·自贡]一次函数y=ax +b 与反比例函数y=cc 的图象如图K15-1所示,则二次函数y=ax 2+bx +c 的大致图象是图K15-2中的 ( )图K15-1 图K15-25.[2019·山西]北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥,它由五个高度不同,跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊杆、拉索与主梁相连.最高的钢拱如图K15-3所示,此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内,与拱脚所在的水平面相交于A ,B 两点,拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米),跨径为90米(即AB=90米),以最高点O 为坐标原点,以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则此抛物线型钢拱的函数表达式为( )图K15-3A .y=26675x 2B .y=-26675x 2C .y=131350x 2D .y=-131350x 26.如图K15-4,假设篱笆(虚线部分)的长度为16 m,则所围成矩形ABCD的最大面积是 ()图K15-4A.60 m2B.63 m2C.64 m2D.66 m27.[2018·宁波]如图K15-5,二次函数y=ax2+bx的图象开口向下,且经过第三象限的点P,若点P的横坐标为-1,则一次函数y=(a-b)x+b的图象大致是()图K15-5图K15-68.[2019·临沂]从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位:s)之间的函数关系如图K15-7所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3 s后,速度越来越快;③小球抛出3 s时速度为0;④小球的高度h=30 m时,t=1.5 s.其中正确的是()图K15-7A.①④B.①②C.②③④D.②③<x≤1的任意实数x都使不等式2x3-x2-mx>2成立,则实数m的取值范围是() 9.[2018·呼和浩特]若满足12A.m<-1B.m≥-5C.m<-4D.m≤-410.[2019·宜宾]已知抛物线y=x2-1与y轴交于点A,与直线y=kx(k为任意实数)相交于B,C两点,则下列结论不正确的是()A.存在实数k,使得△ABC为等腰三角形B.存在实数k,使得△ABC的内角中有两角分别为30°和60°C.任意实数k,使得△ABC都为直角三角形D.存在实数k,使得△ABC为等边三角形11.[2018·孝感]如图K15-8,抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点的坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c 的解是.图K15-812.[2018·镇江]已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是.13.[2018·德阳]已知函数y={(c-2)2-2,c≤4,(c-6)2-2,c>4.使y=a成立的x的值恰好只有3个时,a的值为.14.[2018·黄冈]已知直线l:y=kx+1与抛物线y=x2-4x.(1)求证:直线l与该抛物线总有两个交点;(2)设直线l与该抛物线的两交点为A,B,O为原点,当k=-2时,求△OAB的面积.15.超市销售某种儿童玩具,如果每件利润为40元(市场管理部门规定,该种玩具每件利润不能超过60元),每天可售出50件.根据市场调查发现,销售单价每增加2元,每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元,每天售出y件.(1)请写出y与x之间的函数表达式;(2)当x为多少时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元?(3)设超市每天销售这种玩具可获利w元,当x为多少时w最大,最大值是多少?16.[2019·南充]在“我为祖国点赞”征文活动中,学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔、一本笔记本.已知购买2支钢笔和3本笔记本共需38元,购买4支钢笔和5本笔记本共需70元.(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少?(2)经与商家协商,购买钢笔超过30支时,每增加1支,单价降低0.1元;超过50支,均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人,其中一等奖的人数不少于30人,且不超过60人,这次奖励一等奖学生多少人时,购买奖品总金额最少,最少为多少元?17.[2019·菏泽]如图K15-9,抛物线与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C(0,-2),点A的坐标是(2,0),P为抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,抛物线的对称轴是直线x=-1.(1)求抛物线的函数表达式;OD,求△PBE的面积;(2)若点P在第二象限内,且PE=14(3)在(2)的条件下,若M为直线BC上一点,在x轴的上方,是否存在点M,使△BDM是以BD为腰的等腰三角形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.图K15-9|拓展提升|18.[2019·长沙25题]已知抛物线y=-2x 2+(b -2)x +(c -2020)(b ,c 为常数). (1)若抛物线的顶点坐标为(1,1),求b ,c 的值;(2)若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称,求c 的取值范围;(3)在(1)的条件下,存在正实数m ,n (m<n ),当m ≤x ≤n 时,恰好有c2c +1≤1c +2≤c2c +1,求m ,n 的值.【参考答案】1.C [解析]当x=0时,y=-x 2+4x -4=-4,则抛物线与y 轴的交点坐标为(0,-4).当y=0时,-x 2+4x -4=0,解得x 1=x 2=2,抛物线与x 轴的交点坐标为(2,0),所以抛物线与坐标轴有2个交点.故选C .2.A [解析]∵二次函数的图象与x 轴有交点, ∴Δ=b 2-4ac=(-1)2-4×14m -1≥0,解得m ≤5.故选A .3.D [解析]∵二次函数y=ax 2+bx +c (a<0)的图象经过点(2,0),且其对称轴为直线x=-1, ∴二次函数的图象与x 轴的另一个交点为(-4,0). ∵a<0,∴抛物线开口向下,则使函数值y>0成立的x 的取值范围是-4<x<2.4.A [解析]∵反比例函数y=c c的图象位于第一、三象限,∴c>0.∴二次函数的图象与y 轴交于正半轴.∵一次函数y=ax +b 的图象经过第一、二、四象限,∴a<0,b>0,∴-c2c>0,∴二次函数y=ax 2+bx +c 的图象开口向下,对称轴在y 轴的右侧.故选A .5.B [解析]设二次函数的表达式为y=ax 2,由题可知,点A 的坐标为(-45,-78),代入表达式可得-78=a ×(-45)2,解得a=-26675,∴二次函数的表达式为y=-26675x 2,故选B .6.C [解析]设BC=x m,则AB=(16-x )m,矩形ABCD 的面积为y m 2. 根据题意,得y=(16-x )x=-x 2+16x=-(x -8)2+64, 当x=8时,y 最大值=64,∴所围成矩形ABCD 的最大面积是64 m 2.7.D [解析]把x=-1代入y=ax 2+bx 得a -b<0.∵图象开口向下,∴a<0.又∵对称轴位于y 轴左侧,∴a ,b 同号, ∴b<0,∴函数y=(a -b )x +b 的图象经过第二、三、四象限.故选D . 8.D [解析]①由图象知,小球在空中达到的最大高度是40 m,故①错误; ②小球抛出3 s 后,速度越来越快,故②正确;③小球抛出3 s 秒时达到最高点,即速度为0,故③正确; ④设h 与t 之间的函数解析式为h=a (t -3)2+40,把O (0,0)代入,得0=a (0-3)2+40,解得a=-409,∴h 与t 之间的函数解析式为h=-409(t -3)2+40, 把h=30代入解析式,得30=-409(t -3)2+40,解得t=4.5或t=1.5, ∴小球的高度h=30 m 时,t=1.5 s 或4.5 s,故④错误.故选D .9.D [解析]∵12<x ≤1,∴将原不等式化为2x 2-x -m>2c ,设y 1=2x 2-x -m ,y 2=2c .∵12<x ≤1,∴2≤y 2<4.二次函数y 1=2x 2-x -m 的图象的对称轴为x=14,开口向上,与y 轴的交点为(0,-m ),(0,-m )关于对称轴对称的点为12,-m .当x>14时,y 1随x 的增大而增大,如图,结合图象可知:当-m ≥4,12<x ≤1时,y 1>y 2,即m ≤-4,12<x ≤1时,不等式2x 3-x 2-mx>2总成立.10.D11.x 1=-2,x 2=1 [解析]∵抛物线y=ax 2与直线y=bx +c 的两个交点的坐标分别为A (-2,4),B (1,1),∴{c =cc 2,c =cc +c的解为{c 1=-2,c 1=4,{c 2=1,c 2=1.即方程ax 2=bx +c 的解是x 1=-2,x 2=1.12.k<4 [解析]∵二次函数y=x 2-4x +k 的图象的顶点在x 轴下方, ∴二次函数y=x 2-4x +k 的图象与x 轴有两个公共点, ∴b 2-4ac>0,即(-4)2-4×1×k>0,解得k<4.13.2 [解析]画出函数的图象如图,要使y=a 成立的x 的值恰好只有3个,即函数图象与y=a 这条直线有3个交点,即a=2.14.解:(1)证明:联立两个函数解析式,得x 2-4x=kx +1,即x 2-(4+k )x -1=0,其中Δ=(4+k )2+4>0,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,即直线l 与抛物线总有两个交点.(2)如图,连接AO ,BO ,联立两个函数解析式,得x 2-4x=-2x +1,解得x 1=1-√2,x 2=1+√2.设直线l 与y 轴交于点C ,在y=-2x +1中,令x=0,得y=1,所以C (0,1),所以OC=1.所以S △OAB =S △AOC +S △BOC =12·OC ·|x A |+12·OC ·|x B |=12·OC ·|x A -x B |=12×1×2√2=√2.15.解:(1)根据题意,得y=-12x +50(0<x ≤20). (2)根据题意,得(40+x )-12x +50=2250, 解得x 1=50(舍去),x 2=10.答:当x 为10时,超市每天销售这种玩具可获利润2250元. (3)根据题意,得w=(40+x )-12x +50=-12x 2+30x +2000=-12(x -30)2+2450. ∵a=-12<0,∴当x<30时,w 随x 的增大而增大, ∴当x=20时,w 最大=2400.答:当x 为20时w 最大,最大值是2400元.16.解:(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x 元/支,y 元/支, 根据题意,得{2c +3c =38,4c +5c =70,解得{c =10,c =6.答:钢笔、笔记本的单价分别为10元/支,6元/支.(2)设钢笔的单价为a 元/支,购买数量为b 支,购买钢笔和笔记本的总金额为w 元. ①当30≤b ≤50时,a=10-0.1(b -30)=-0.1b +13,w=b (-0.1b +13)+6(100-b )=-0.1b 2+7b +600=-0.1(b -35)2+722.5.∵当b=30时,w=720,当b=50时,w=700, ∴当30≤b ≤50时,700≤w ≤722.5.②当50<b ≤60时,a=10-(50-30)×0.1=8,w=8b +6(100-b )=2b +600, ∴700<w ≤720.∴当30≤b ≤60时,w 的最小值为700元,∴这次奖励一等奖学生50人时,购买奖品总金额最少,最少为700元.17.[解析](1)根据点A (2,0),抛物线的对称轴为直线x=-1,可得点B (-4,0),则可设函数表达式为y=a (x -2)(x +4),根据点C (0,-2),即可求解;(2)设出点D 坐标,表示出PE 的长,根据PE=14OD ,求得点D (-5,0),利用S △PBE =12PE ·BD 即可求解;(3)△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形,则分BD=BM 和BD=DM 两种情况求解. 解:(1)∵点A 的坐标是(2,0),抛物线的对称轴是直线x=-1,∴点B (-4,0), 设抛物线的函数表达式为y=a (x -2)(x +4), 将点C (0,-2)的坐标代入,得-8a=-2, 解得a=14,故抛物线的函数表达式为y=14(x -2)(x +4),即y=14x 2+12x -2.(2)易得直线BC 的函数表达式为y=-12x -2.设点D (x ,0),则点P x ,14x 2+12x -2,点E x ,-12x -2. ∵PE=14OD ,点P 在直线BC 上方, ∴PE=14x 2+12x -2+12x +2=14(-x ),解得x=0或x=-5(舍去x=0),则点D (-5,0). 故S △PBE =12PE ·BD=12×14OD ·BD=12×54×1=58.(3)存在.由题意得,△BDM 是以BD 为腰的等腰三角形,有BD=BM 和BD=DM 两种情况,如图,易得BD=1,BC=2√5.①当BD=BM ,点M 在线段CB 的延长线上时,过点M 作MH ⊥x 轴于点H , 易得△MHB ∽△COB ,则cc cc =cccc, 即cc 2=25,解得MH=√55.令y=-12x -2=√55, 解得x=-20+2√55,故点M (-20+2√55,√55). ②当BD=DM 时,设点M (c ,-12c -2),其中x<-4.则MD 2=[x -(-5)]2+(-12c -2-0)2=1. 整理得x 2+485x +1125=0.解得x 1=-4(舍去),x 2=-285.当x=-285时,-12x -2=45. 故点M (-285,45).综上所述,点M 的坐标为(-20+2√55,√55)或(-285,45). 18.解:(1)由题意,可设y=-2(x -1)2+1,去括号,得y=-2x 2+4x -1, ∴{c -2=4,c -2020=-1,解得{c =6,c =2019.(2)设抛物线上关于原点对称且不重合的两点的坐标分别为(x 0,y 0),(-x 0,-y 0), 代入解析式可得:{c 0=-2c 02+(c -2)c 0+(c -2020),-c 0=-2c 02-(c -2)c 0+(c -2020), 两式相加,得-4c 02+2(c -2020)=0,∴c=2c 02+2020,∴c ≥2020.(3)由(1)可知抛物线为y=-2(x -1)2+1,∴y ≤1.∵0<m<n ,当m ≤x ≤n 时,恰好有c 2c +1≤1c +2≤c 2c +1,∴1c ≤y ≤1c, ∴1c ≤1,即m ≥1,∴1≤m<n.∵抛物线的对称轴为直线x=1,开口向下,∴当m ≤x ≤n 时,y 随x 的增大而减小,∴当x=m 时,y max =-2m 2+4m -1,当x=n 时,y min =-2n 2+4n -1,又∵1c ≤y ≤1c ,∴{-2c 2+4c -1=1c ,①-2c 2+4c -1=1c ,②将①整理得2n 3-4n 2+n +1=0,变形得(2n 3-2n 2)-(2n 2-n -1)=0,∴2n 2(n -1)-(2n +1)(n -1)=0,∴(n -1)(2n 2-2n -1)=0. ∵n>1,∴2n 2-2n -1=0, ∴n 1=1-√32(舍去),n 2=1+√32.同理,整理②得(m -1)(2m 2-2m -1)=0, ∵1≤m<n ,∴m 1=1,m 2=1-√32(舍去),m 3=1+√32(舍去). 综上所述,m=1,n=1+√32.。
(湖南专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象第13课时二次函数的图象与性质一课件
(3)方法一:设二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3),
把C(0,-3)代入,得a×1×(-3)=-3,解得a=1,
∴这个二次函数的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.
������-������ + ������ = 0,
������ = 1,
方法二:由题意知 9������ + 3������ + ������ = 0,解得 ������ = -2,
(2)由顶点A(-1,4),可设二次函数解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0). ∵二次函数的图象过点B(2,-5), ∴-5=a(2+1)2+4,解得a=-1. ∴二次函数的解析式是y=-(x+1)2+4.
例2[2019·原创]根据下列条件求解析式. (3)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)三点,求这个二次函数 的解析式.(用两种方法)
（续表）
a<0
增减性
在对称轴的左侧,即当 x<-2ba时,y 随 x 在对称轴的左侧,即当 x<-2ba时,y
的增大而⑦ 减小 ;在对称轴的右侧, 随 x 的增大而⑨ 增大 ;在对称轴的
即当 x>-2ba时,y 随 x 的增大而 ⑧ 增大 ,简记为“左减右增”
右侧,即当 x>-2ba时,y 随 x 的增大而 ⑩ 减小 ,简记为“左增右减”
2
22
22
22
2 22
∴抛物线的顶点坐标为(-1,-3).
例 1 已知抛物线 y=12x2+x-52. (2)函数有最大值还是最小值?求最大或最小值; (2)函数有最小值.当x=-1时,y有最小值-3.
2020中考数学总复习 第三章 函数 3.5二次函数的图像与性质
2020中考数学总复习 第三章 函数3.5 二次函数的图象与性质课标解读1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为()2y a x h k =-+的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题．4.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解. 5．知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数．知识梳理1.形如2ax x c y b ++=（0a b c ≠，，为常数）的函数是二次函数.2.二次函数的三种形式：①一般形式：20y ax bx c a b c =++≠（，，为常数），②顶点式：()20y a a x h k k h =-+≠（，，为常数），③零点式：()()12y a x x x x =--（10a x ≠，， 2x 是抛物线与x 轴的交点的横坐标）.3.二次函数的性质：①二次函数的图象是一条 抛物线 ，②开口方向：0a >, 抛物线开口 向上 ，并向上无限延伸。
0a <, 抛物线开口 向下 ，并向下无限延伸；开口大小由a 决定，a 大开口小，a 小开口大；③对称轴为直线2x ba=-；④顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.4.增减性及最值：当0a >时，对称轴左侧y 随x 的增大而减小，对称轴右侧y 随x 的增大而增大，在对称轴处取得最小值；当0a <时，对称轴左侧y 随x 的增大而增大，对称轴右侧y 随x 的增大而减小，在对称轴处取得最大值.基础训练1. 下列函数：①21y x =+；②23y x=；③()2y x x =+；④2y ax bx c =++；⑤1y x =-；⑥()22414y x x =+-.其中是二次函数的是（ B ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.关于212y x =，2y x =，22y x =的图象，下列说法正确的是（ ）A ．图象形状相同B ．顶点相同C ．对称轴相同D ．最低点相同 3.抛物线212y x =向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的抛物线解析式为（ ） A.()21212y x =-- B.()21212y x =+- C.()21212y x =++ D.()21212y x =-+ 4.抛物线2y x x b =-+的图象与坐标轴有三个交点，则b 的取值范围是（ D ） A.14b <B.14b >C.104b <<D.14b <且0b ≠ 5.若抛物线2y ax bx c =++的图象经过点()44， ，且对称轴是1x =，则关于x 的方程24ax bx c ++=的解是1204x x ==，.6.将二次函数245y x x =+-化成()2y a x h k =-+的形式为()229y x =+-.7.已知二次函数21y x mx =-+，当1x ≥时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围为2m ≤.8.如图1，已知抛物线经过点()3,0A 、()0,3B -，且其对称轴为直线1x =. （1）求此抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上点A 与B 之间的动点（不包含点A 、B ），求△PAB 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标.解：（1）∵抛物线对称为直线1x =-，且经过点()3,0A - ∴抛物线经过点（1,0）设抛物线解析式为()()31y a x x =+- 将()0,3B 代入得：33a =- ∴1a =-∴抛物线解析式为223y x x =--+.（2）设直线AB 的解析式为y kx b =+将()3,0A -、()0,3B 代入得：303k b b -+=⎧⎨=⎩∴13k b =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为3y x =+作PQ ⊥x 于点Q ，交直线AB 于点M 设()2,23P x x x --+，则(),3M x x - ∴2223(3)3PM x x x x x =--+-+=--∴()2133********PAB S x x x ∆⎛⎫=--⨯=--+ ⎪⎝⎭ 当32x =-时，max 278S = ∴2331523224P y ⎛⎫⎛⎫=---⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴△PAB 的面积最大值为278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭.能力提升1. 关于抛物线214433y x x =--+，则下列说法不正确的是（ D ） A. 开口向下 B.对称轴是直线2x =-C.与坐标轴有三个交点D.若抛物线经过点()11,A y -、()21,B y ，则12y y <2.已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图2所示，若关于x 方程2ax bx c m ++=()0m >有两个实数根12,x x ()12x x <，则下列选项正确的是（ D ）A. 1231x x -<<<B.1231x x -<<<C.1231x x <-<<D.1231x x <->且3.如图3，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点()1,0A -、(),0B m 且34m <<，则下列说法：①0b <；②a c b +=；③24b ac >；④23b c >；⑤11b c m+=，正确的是（ B ）A.①②④B.②③⑤C.②③④D.③④⑤4.将抛物线()232y x =--向31左平移个单位或者向右平移个单位后经过点()22A ，.5.若二次函数25y x bx =+-的对称轴为直线1x =，则关于x 的方程25413x bx x +-=-的解为122,4x x ==.6.已知二次函数()2(y x h h =--为常数），当自变量x 的值满足13x -≤≤时，函数值y 的最大值为4，则h 的值为35-或.7.抛物线2y ax bx c =++经过点()3,0A -、B ()4,0两点，则关于x 的一元二次方程()21a x c b bx -+=-的解是122,5x x =-=.8.在平面直角坐标系中，已知抛物线C ：221y ax x =+-和直线:l y kx b =+，点()3,3A --，()1,1B -均在直线l 上.(1) 若抛物线C 与直线l 有交点，求a 的取值范围；(2) 当1a =-，二次函数221y ax x =+-的自变量x 满足2m x m ≤≤+时，函数y 的最大值为4-，求m 的值；(3) 若抛物线C 与线段AB 有两个不同个的交点，请直接写出a 的取值范围. 解：（1）将点()3,3A --、()1,1B -代入:l y kx b =+133k b k b +=-⎧⎨-+=-⎩ ∴1232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴1322y x =- 联立221y ax x =+-与1322y x =-得：22310ax x ++= ∵抛物线C 与直线l 有交点 ∴980a ∆=-≥ ∴908a a ≤≠且 （3）根据题意得:221y x x =-+-∵0a < ∴抛物线开口向下，对称轴1x = ∴当4y =-时，有2214x x -+-=- ∴13x x =-=或①在1x =左侧时，y 随x 的增大增大∴21x m =+=-，y 4有最大值-4； ∴3m =-②在1x =右侧时，y 随x 的增大减小∴3x m ==，y 4有最大值-4； 综上所述：3m =-或3m = （3）a 的取值范围为4998a ≤<或2a ≤- 中考真题1.（2019，恩施）抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线1-=x ，且过点（1，0）. 顶点位于第二象限，其部分图象如图3所示，给出以下判断：①0>ab 且0<c ；②024>+-c b a ； ③08>+c a ；④b a c 33-=；⑤直线22+=x y 与抛物线c bx ax y ++=2两个交点的横坐标分别为21x x 、，则52121-=⋅++x x x x . 其中正确的个数有（ C ）A.5个B.4个C.3个D.2个2. （2018，恩施）抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线1x =-，图象过（1，0）点，部分图象如图4所示，下列判断中：①0abc >；②240b ac ->；③930a b c -+=④若点（-0.5，y 1），（-2，y 2）均在抛物线上，则12y y >；⑤520a b c -+<．其中正确的个数有（ B ）A ．2B ．3C ．4D ．53. （2017，恩施）如图5，在平面直角坐标系中2条直线为1l ：y=-3x+3，2l ：y=-3x+9，直线1l 交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，直线2l 交x 轴于点D ，过点B 作x 轴的平行线交2l 于点C ，点A 、E 关于y 轴对称，抛物线y=ax2+bx+c 过E 、B 、C 三点，下列判断中：①a-b+c=0；②2a+b+c=5；③抛物线关于直线x=1对称； ④抛物线过点（b ，c ）；⑤S 四边形ABCD=5， 其中正确的个数有（ C ）A ．5B ．4C ．3D ．24.（2019，恩施）如图6，抛物线c ax ax y +-=22的图象经过点C(0，-2)，顶点D 的坐标为（1，38-），与x 轴交于A 、B 两点 . (1) 求抛物线的解析式.(2) 连接AC ，E 为直线AC 上一点，当△AOC ∽△AEB 时，求点E 的坐标和ABAE的值. （3）点F （0，y ）是y 轴上一动点，当y 为何值时，BF FC +55的值最小. 并求出这个最小值.（4）点C 关于x 轴的对称点为H ，当BF FC +55取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△QHF 是直角三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由题可列方程组： 2823c a a c =-⎧⎪⎨-+=-⎪⎩解得：232a c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩∴抛物线解析式为：224233y x x =-- （2）由题，∠AOC=90°，AC=5，AB=4 设直线AC 的解析式为：y kx b =+，则02k b b -+=⎧⎨=-⎩ 解得：22k b =-⎧⎨=-⎩∴直线AC 的解析式为：22y x =-- 当△AOC ∽△AEB 时（如图6-1）2255416AOC AEB S AC S AB ∆Λ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵1AOC S ∆= ∴165AEB S =△ ∴11625E AB y ⋅=即116425E y ⨯⨯= ∴85E y = ∴85E y =-将85E y =-代入22y x =--，得15x =- ，∴E 18,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭由△AOC ∽△AEB 得：5AO AE AC AB == ∴55AE AB = （3）如图6-2，连接BF ，过点F 作FG ⊥AC 于G 则FG=5sin CF FCG CF ⋅∠=∴55CF BF FG BF BE +=+≥当折线段BFG 与BE 重合时，取得最小值 由（2）可知∠ABE=∠ACO∴85cos cos O 45BE AB ABE AB AC =⋅∠=⋅∠=⨯= 13tan tan 322y OB ABE OB ACO =⋅∠=⋅∠=⨯=∴当32y =-时，55CF BF +有最小值为855.（4）解法一：可分如下三种情况：当点Q 为直角顶点时（如图6-3）：由（3）易得F 302⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵C （0，-2） ∴H （0，2）设Q （1，m ），过点Q 作QM ⊥y 轴于点M. 则Rt △QHM ∽Rt △FQM∴2QM HM FM =⋅ ∴2312)()2m m =-+（即133m ±=当点H 和点F 为直角顶点时：易得Q ()12，或Q 312⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述，点Q 的坐标为13314⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，或1331,4⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭或()12，或312⎛⎫- ⎪⎝⎭， 解法二：由题得：F （0，32-），H ()02， ∴FH 的中点坐标为1O （0，14）设Q （1，y ）当Q 为直角顶点时，11O Q O H =即()2221110244y ⎛⎫⎛⎫-+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴1334y ±=当点H 或F 为直角顶点时，易得Q ()12，或312⎛⎫- ⎪⎝⎭，. 综上所述，点Q 的坐标为1331⎛+ ⎝⎭，或133⎛- ⎝⎭或()12，或312⎛⎫- ⎪⎝⎭， 5.（2018，恩施）如图7，已知抛物线交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，A 点坐标为（-1，0），OC=2，OB=3，点D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）P 为坐标平面内一点，以B 、C 、D 、P 为顶点的四边形是平行四边形，求P 点坐标； （3）若抛物线上有且仅有三个点M 1、M 2、M 3使得△M 1BC 、△M 2BC 、△M 3BC 的面积均为定值S ，求出定值S 及M 1、M 2、M 3这三个点的坐标． 解：（1）由OC=2，OB=3，得到()()3,0,0,2B C 设抛物线解析式为()()13y a x x =+- 把()0,2C 代入得：23a =- 即23a =- 则抛物线解析式为：()()2224132333y x x x x =-+-=-++ ()()()2222428(2)132=133333y x x x x x =-+-=-++--+抛物线∴813D ⎛⎫⎪⎝⎭，当四边形CBPD 是平行四边形时，由()()3,0,0,2B C ，得到243P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，;当四边形CDBP 是平行四边形时，由()()3,0,0,2B C ，得到223P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，-； 当四边形BCPD 是平行四边形时，由()()3,0,0,2B C ，得到1423P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（3）直线BC 解析式为y kx b =+把()()3,0,0,2B C 代入得：302k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴223y x =-+设与直线BC 平行的直线解析式为23y x m =-+ 联立得：22324233y x m y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩消去y 得：226360x x b -+-=当直线与抛物线只有一个公共点时，()368360b ∆=--= 解得：72b =，即2732y x =-+ 此时交点1M 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭； 913， 同理可得另一条与BC 平行且平行线间的距离为1326的直线方程为2132y x =-+ 联立解得：23332133212,22222M M ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 此时94S =.6.（2017，恩施),如图8，已知抛物线2y ax c =+过点（-2，2），（4，5），过定点F （0，2）的直线l ：2y kx =+与抛物线交于A 、B 两点，点B 在点A 的右侧，过点B 作x 轴的垂线，垂足为C ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点B 在抛物线上运动时，判断线段BF 与BC 的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；（3）P 为y 轴上一点，以B 、C 、F 、P 为顶点的四边形是菱形，设点P （0，m ），求自然数m 的值；（4）若k=1，在直线l 下方的抛物线上是否存在点Q ，使得△QBF 的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标及△QBF 的最大面积；若不存在，请说明理由．解：（1）把点()2,2-，()4,5代入2y ax c =+得：42165a c a c +=⎧⎨+=⎩ 解得：141a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为2114y x =+.（2）BF=BC ，理由如下：设21,14B x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而()0,2F∴2222221112144BF x x x ⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2114BF x =+∵BC x ⊥轴 ∴2114BC x =+∴BC BF = （3）如图8-1，m 为自然数当0m =时，易得四边形BCPF 为正方形，此时P 点在原点；当点P 在F 点上方:∵以B 、C 、F 、P 为顶点的四边形为菱形，∴BC=CF=PF而BC=BF ∴BC=CF=BF∴△BCF 为等边三角形∴∠BCF=60° ∴∠OCF=30°在Rt △OCF 中，CF=2OF=4 ， ∴PF=CF=4∴()0,6P ∴自然数m 的值为0或6（4）作QE ∥y 轴交AB 于E ，如图8-2当1k =时，一次函数解析式为2y x =+ 解方程组22114y x y x =+⎧⎪⎨=+⎪⎩得2244x x y y ⎧⎧=+=-⎪⎪⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩(2B ++ 设()21,1,,24Q t t E t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭则 ∴221121144EQ t t t t ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭())22112112422QBF EQF EQB S S S EQ t t t ∆∆∆⎛⎫∴=+=+=-++ ⎪⎝⎭=-+g当2t =时，QBF S ∆有最大值，最大值为2+，此时点Q 的坐标为()2,2.。
湖南省2019年中考数学总复习第三单元函数及其图象课时15二次函数的综合问题课件
由 C(0,k2+k),B(k+1,0)得直线 BC 的解析式为 y=-kx+k2+k.
当���1���x-1=-kx+k2+k 时,解得 x=k+���������2���+2 1,∴y=������2���+��� 1,则点 Q 的坐标为
k+������
���2���+2 1,������
������ 2 +1
P1(-2,-15),P2(-7,0).
课前考点过关
2. [2015·怀化] 已知二次函数 y=x2-(2k+1)x+k2+k(k>0). (1)当 k=12时,求这个二次函数图象的顶点坐标; (2)求证:关于 x 的一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2+k=0 有两个不相等的实数根;
(3)如图 15-1,该二次函数的图象与 x 轴交于 A,B 两点(A 点在 B 点的左侧),与 y 轴交于 C 点,P 是 y 轴负
(3)证明:由题意可得点 P 的坐标为(0,-1).由 0=x2-(2k+1)x+k2+k,得 0=(x-k-1)(x-k),
解得 x1=k+1,x2=k,∴A(k,0),B(k+1,0).当 x=0 时,y=k2+k,∴C(0,k2+k).
由 P(0,-1),A(k,0)得直线 PA 的解析式为 y=���1���x-1,
5 0
= =
295���������+��� +35������,������,解得
������
=
1 2
,
������ = - 3 ,
《二次函数的图象与性质》PPT课件(湘教版)
O
x
1 23 4
–1
–2
–3
–4
–5
y ＝ -0.3x2
–6
–7 y ＝ -8x2
1. 下列关于抛物线 y＝－x2 的说法,错误的是（ D ） A．关于 y 轴对称 B．与抛物线 y＝x2 关于原点对称 C．画抛物线 y＝－x2 时,只要先画出 y 轴右边的部分,
然后利用对称性,再画出图象在y 轴左边的部分即可 D．抛物线有一个最低点,其坐标为（0,0）
湘教·九年级下册
二次函数 y = ax²（a＞0）的
y 8 6 4 2
–3 –2 –1 O
123
图象与性质
x
用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
①列表；②描点；③连线
我们学过的一次函数的图象是什么图形？
一条直线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课 我们来学习最简单的二次函数 y = ax2 的图象.
1
量取值的增大而＿增＿大＿＿．
–3 –2 –1
y ＝ 6x2
1 2 3x
2. 在同一直角坐标系中画出二次函数 y ＝ 3x2 及 y ＝
1 4
x2
的图象， 并比较它们的共同点与不同点.
y
7
y ＝ 3x2
6
5
4
y＝
1
4 x2
3
2
1
–4 –3 –2 –1
1234x
1. 二次函数 y ＝ x2 不具有的性质是（ D ） A．对称轴是 y 轴 B．开口向上 C．当x＜0时, y 随 x 的增大而减小 D．有最大值
–3 –2 –1 O
123
的图象与性质
x
把二次函数 y 1 x2 的图象 E 向右平移 1 个单位， 得到图形 F.
(徐州专版)2020年中考数学复习第三单元函数及其图象第15课时二次函数的综合应用课件
| 考向精练 | 1. [2019·永州]如图15-8,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直 线x=-1. (1)求此抛物线的解析式; (2)若点P是抛物线上点A与点B之间的 动点(不包括点A,点B),求△PAB面积的 最大值,并求出此时点P的坐标.
图15-8
(1)求A,C两点的坐标;
(2)求抛物线的表达式;
(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点,作
PD⊥AC于点D,当PD的值最大时,求此时点P的坐标
及PD的最大值.
图15-7
解:(1)由题意知OA=OC=4OB=4, 故点A,C的坐标分别为(4,0),(0,-4).
例2 [2019·贺州]如图15-7,在平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(-1,0),且 OA=OC=4OB,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A,B,C三点. (2)求抛物线的表达式;
图15-4
(1)当1<x<2时,△BPQ的面积 不变 (填“变”或“不变”); (2)分别求出线段OM,曲线NK所对应的函数表达式; (3)当x为何值时,△BPQ的面积是5 cm2?
图15-4
例1 [2017·徐州26题]如图15-4①,菱形ABCD中,AB=5 cm,动点P从点B出发, 沿折线BC-CD-DA运动到点A停止,动点Q从点A出发,沿线段AB运动到点B停 止,它们运动的速度相同.设点P出发x s时,△BPQ的面积为y cm2.已知y与x之 间的函数关系如图②所示,其中OM,MN为线段,曲线NK为抛物线的一部分.请 根据图中的信息,解答下列问题: (2)分别求出线段OM,曲线 NK所对应的函数表达式;
图15-4
例1 [2017·徐州26题]如图15-4①,菱形ABCD中,AB=5 cm,动点P从点B出发, 沿折线BC-CD-DA运动到点A停止,动点Q从点A出发,沿线段AB运动到点B停 止,它们运动的速度相同.设点P出发x s时,△BPQ的面积为y cm2.已知y与x之 间的函数关系如图②所示,其中OM,MN为线段,曲线NK为抛物线的一部分.请 根据图中的信息,解答下列问题: (3)当x为何值时,△BPQ的面积是5 cm2?
湖南省2021年中考数学总复习第三单元函数及其图象课时15二次函数的综合问题课件
1
3
1
3
2
2
2
2
+-
2
3
= ,∴b=2a-3,则点 N 的坐标可化为(a,2a-3).
2
把点 N 的坐标代入 y= x2- x,得 2a-3= a2- a,解得 a1=1,a2=6.
∵当 a=6 时,b=2a-3=9>0,∴a=6 舍去,
课前考点过关
考点自查
考点一
二次函数与代数综合问题
(1)采用转化为一元二次方程,利用方程的判别式判定方程根的存在性解决相切或相交问题;(2)利用
一元二次方程求根,解决抛物线与直线的交点问题;(3)利用配方法,求函数的最大值等问题;(4)含参问题
(参数是用字母表示的,它兼有常数和变数的双重特征):在解决含参数的问题时,常根据条件列出含参方程
半轴上一点,且 OP=1,直线 AP 交 BC 于点 Q,求证:
1
2
+
1
2
=
1
2
1
3
1
2
4
4
.
解:(1)将 k= 代入二次函数解析式可求得,y=x2-2x+ =(x-1)2- ,
1
∴这个二次函数图象的顶点坐标为 1,- .
4
(2)证明:∵一元二次方程 x2-(2k+1)x+k2+k=0,∴Δ=b2-4ac=[-(2k+1)]2-4(k2+k)=1>0,
(2)点P的坐标为(-6,0)或(-13,0),理由如下:
∵抛物线对称轴为直线x=-2,BC∥x轴,且BC=6,∴点C的横坐标为6÷2-2=1,点B的横坐标为-2-6÷2=-5,
湖南中考新课标中考数学总复习第课时二次函数的综合应用习题pdf
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合函数图象#求点 (纵坐标 7的取值范围!
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(湖南专版)中考数学复习第三单元函数及其图象第15课时二次函数的应用课件
超过65元/件,该商店在今后的销售中,周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系.
若周销售最大利润是1400元,求m的值.
解:(1)①设 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b(k≠0),
依题意,有
50������ 60������
+ +
������ ������
= =
18000, ,解得
������ ������
图15-2
(2 6-4)m.
5.[九上P52习题22.3第7题改编]如图 15-3,点 [答案] AB的中点
E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上.四 [解析]设正方形 ABCD 的边长为 a,由
边形EFGH也是正方形,当点E位于 方形EFGH的面积最小.
时,正
四边形 EFGH 也为正方形,易证△ AEH ≌△BFE≌△CGF≌△DHG. 设 DH=x,则 DG=CD-CG=a-x.
2.[2018·长沙12题]若对于任意非 [答案] B
零实数a,抛物线y=ax2+ax-2a总不 经过点P(x0-3, x02-16),则符合条件 的点P ( ) A.有且只有1个 B.有且只有2个 C.有且只有3个 D.有无穷多个
[解析]由题意得 y=a(x+2)(x-1),总不经过点 P(x0-3,������02-16),将点 P 坐标代入抛物线的解析式, 得 a(x0-1)(x0-4)≠(x0+4)(x0-4)恒成立.①当 x0=1 时, 得 0≠-15,恒成立,此时点 P 的坐标为(-2,-15);② 当 x0=4 时,左边=右边=0,不符合题意;③当 x0=-4 时,得 40a≠0,因为 a≠0,所以不等式恒成立, 此时点 P 的坐标为(-7,0);④当 x0≠1 且 x0≠4 且 x0≠-4 时,a≠������������00+-14=1+������05-1不恒成立.综上所述,符合
中考数学(湘教版 全国通用)复习课件：第15课时 二次函数的图象和性质二(共23张PPT)
ab>0(b 与 a 同号) 对称轴在 y 轴左侧 ab<0(b 与 a 异号) 对称轴在 y 轴右侧
考点聚焦
归类探究
回归教材
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
c
b2－4ac
特殊 关系
经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交 与 x 轴有唯一的交点 b2－4ac＝0 (顶点) 与 x 轴有两个不 2 b －4ac>0 同的交点 b2－4ac<0 与 x 轴没有交点 当 x＝1 时，y＝a＋b＋c 当 x＝－1 时，y＝a－b＋c 若 a＋b＋c>0，即 x＝1 时，y>0 若 a－b＋c>0，即 x＝－1 时，y>0
考点聚焦 归类探究 回归教材
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
探究二
二次函数的图象的平移
命题角度： 1. 二次函数的图象的平移规律； 2. 利用平移求二次函数的图象的表达式．
例2 [2014· 丽水] 在同一平面直角坐标系内，将函数y＝ 2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到 图象的顶点坐标是( C ) A. (－3，－6) C. (1，－6) B. (1，－4) D. (－3，－4)
考点聚焦
关于 x 的方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0(a≠0) 的实 数根的个数
2
不相等 的实 两个 __________ 数根
相等 的实数 两个________ 根
2
没有 实数根 __________
回归教材
第15课时┃ 二次函数的图象和性质(二)
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类(8)——二次函数(含解析)
湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（8）——二次函数一．选择题（共8小题）1．（2020•湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，①b﹣2a＜0，①a﹣b+c＞0，①a+b＞n（an+b），（n≠1），①2c＜3b．正确的是（）A．①①B．①①C．①①D．①①2．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟3．（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x 的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（）A．0＜x1x3＜1B．x1x3＞1C．0＜x2x4＜1D．x2x4＞14．（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定5．（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；①abc＜0；①4a+b＝0；①4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．16．（2019•娄底）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0①b2﹣4ac＜0①2a＞b①（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个7．（2019•益阳）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4D．y＝x28．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜14D．c＜1二．填空题（共3小题）9．（2020•益阳）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是元．10．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A 作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为．11．（2019•株洲）若二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，则a0（填“＝”或“＞”或“＜”）．三．解答题（共29小题）12．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；x…02468…y……（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．13．（2020•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B 在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．①求△CMN面积的最小值．①已知Q（1，−32）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．14．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△P AC的面积最大；（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2020•郴州）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点．（1）求抛物线和直线BC 的表达式；（2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接P A ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求x 1x 2的最大值； ①如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．16．（2020•湘西州）已知直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的一个交点为A （﹣1，0），点M （m ，0）是x 轴正半轴上的动点．（1）当直线y ＝kx ﹣2与抛物线y ＝x 2﹣bx +c （b ，c 为常数，b ＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E 时，求k ，b ，c 的值及抛物线顶点E 的坐标；（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y 轴的交点为C ，若点Q 在抛物线上，且点Q 的横坐标为b ，当S △EQM =12S △ACE 时，求m 的值；（3）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为b +12，当√2AM +2DM 的最小值为27√24时，求b 的值．17．（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”．①y ＝2x （ ）；①y =x x （m ≠0）（ ）；①y ＝3x ﹣1（ ）．（2）若点A （1，m ）与点B （n ，﹣4）是关于x 的“H 函数”y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线x ＝2的右侧，求a ，b ，c 的值或取值范围．（3）若关于x 的“H 函数”y ＝ax 2+2bx +3c （a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①a +b +c ＝0，①（2c +b ﹣a ）（2c +b +3a ）＜0，求该“H 函数”截x 轴得到的线段长度的取值范围．18．（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2−154x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．19．（2020•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x−25）2+6415与x轴交于点A（−65，0）和点B，与y轴交于点C．（1）求抛物线F1的表达式；（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．①求点D的坐标；①判断△BCD的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2020•株洲）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜−52时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．（3）若AB2=x 2−2x+6x，点P的坐标为（−√x0，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，P A的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．21．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．（1）求点C及顶点M的坐标．（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2020•张家界）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2020•湘潭）如图，抛物线y ＝﹣x 2+bx +5与x 轴交于A ，B 两点．（1）若过点C 的直线x ＝2是抛物线的对称轴．①求抛物线的解析式；①对称轴上是否存在一点P ，使点B 关于直线OP 的对称点B '恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）当b ≥4，0≤x ≤2时，函数值y 的最大值满足3≤y ≤15，求b 的取值范围．24．（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy 中，关于x 的二次函数y ＝x 2+px +q 的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x ≤1时，y 的最大值与最小值的差；（3）一次函数y ＝（2﹣m ）x +2﹣m 的图象与二次函数y ＝x 2+px +q 的图象交点的横坐标分别是a 和b ，且a ＜3＜b ，求m 的取值范围．25．（2020•常德）如图，已知抛物线y ＝ax 2过点A （﹣3，94）． （1）求抛物线的解析式；（2）已知直线l 过点A ，M （32，0）且与抛物线交于另一点B ，与y 轴交于点C ，求证：MC 2＝MA •MB ；（3）若点P ，D 分别是抛物线与直线l 上的动点，以OC 为一边且顶点为O ，C ，P ，D 的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P 点坐标．26．（2019•湘潭）如图一，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，√3）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）P（x1，y1）、Q（4，y2）两点均在该抛物线上，若y1≥y2，求P点横坐标x1的取值范围；（3）如图二，过点C作x轴的平行线交抛物线于点E，该抛物线的对称轴与x轴交于点D，连结CD、CB，点F为线段CB的中点，点M、N分别为直线CD和CE上的动点，求△FMN周长的最小值．27．（2019•湘潭）湘潭政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店A、B两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？（2）小亮调査发现，A种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？28．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点A（﹣3，0），B（0，3），且其对称轴为直线x＝﹣1．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点A与点B之间的动点（不包括点A，点B），求△P AB的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．29．（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．30．（2019•张家界）已知抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）过点A （1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM ⊥BC ，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问：AQ +12QC 是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由． 31．（2019•湘西州）如图，抛物线y ＝ax 2+bx （a ＞0）过点E （8，0），矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B 的左侧），点C 、D 在抛物线上，∠BAD 的平分线AM 交BC 于点M ，点N 是CD 的中点，已知OA ＝2，且OA ：AD ＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F 、G 分别为x 轴，y 轴上的动点，顺次连接M 、N 、G 、F 构成四边形MNGF ，求四边形MNGF 周长的最小值；（3）在x 轴下方且在抛物线上是否存在点P ，使△ODP 中OD 边上的高为6√105？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD 不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K 、L ，且直线KL 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．32．（2019•邵阳）如图，二次函数y =−13x 2+bx +c 的图象过原点，与x 轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式；（2）在x 轴上方作x 轴的平行线y 1＝m ，交二次函数图象于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、点C ．当矩形ABCD 为正方形时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，动点P 从点A 出发沿射线AB 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q 以相同的速度从点A 出发沿线段AD 匀速运动，到达点D 时立即原速返回，当动点Q 返回到点A 时，P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．过点P 向x 轴作垂线，交抛物线于点E ，交直线AC 于点F ，问：以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由．33．（2019•益阳）在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A （1，4），B （3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图2，P （m ，n ）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m +n ＝﹣1，连接P A 、PC ，在线段PC 上确定一点N ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则线段AB 的中点坐标为（x 1+x 22，x 1+x 22）．34．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k=xxxx，当k为何值时，CF=12 AD？①如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．35．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B 点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．36．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y=13x2+73x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M 为抛物线F 2的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A 'M ，求△OA 'M 的面积；（3）如图2，延长OB '交抛物线F 2于点C ，连接A 'C ，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA 'C 相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．37．（2019•株洲）已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ＞0） （1）若a ＝1，b ＝﹣2，c ＝﹣1 ①求该二次函数图象的顶点坐标； ①定义：对于二次函数y ＝px 2+qx +r （p ≠0），满足方程y ＝x 的x 的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y ＝ax 2+bx +c 有两个不同的“不动点”． （2）设b =12c 3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴分别相交于不同的两点A （x 1，0），B （x 2，0），其中x 1＜0，x 2＞0，与y 轴相交于点C ，连结BC ，点D 在y 轴的正半轴上，且OC ＝OD ，又点E 的坐标为（1，0），过点D 作垂直于y 轴的直线与直线CE 相交于点F ，满足∠AFC ＝∠ABC ．FA 的延长线与BC 的延长线相交于点P ，若xx xx=√5，求二次函数的表达式．38．（2019•衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；①证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；①当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．40．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的①P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作①P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；①如图2，连接AC，BE，BO，当a=√33，∠CAE＝∠OBE时，求1xx −1xx的值．湖南省2019年、2020年数学中考试题分类（8）——二次函数一．选择题（共8小题）1．（2020•湘西州）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为x＝1，其图象如图所示，现有下列结论：①abc＞0，①b﹣2a＜0，①a﹣b+c＞0，①a+b＞n（an+b），（n≠1），①2c＜3b．正确的是（）A．①①B．①①C．①①D．①①【答案】D【解答】解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故①错误；①由于a＜0，所以﹣2a＞0．又b＞0，所以b﹣2a＞0，故①错误；①当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，故①错误；①当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，而当x＝n时，y＝an2+bn+c，所以a+b+c＞an2+bn+c，故a+b＞an2+bn，即a+b＞n（an+b），故①正确；①当x＝3时函数值小于0，y＝9a+3b+c＜0，且该抛物线对称轴是直线x=−x2x=1，即a=−x2，代入得9（−x2）+3b+c＜0，得2c＜3b，故①正确；故①①正确．故选：D．2．（2020•长沙）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A ．3.50分钟B ．4.05分钟C ．3.75分钟D ．4.25分钟 【答案】C【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P ＝at 2+bt +c 中， {9x +3x +x =0.816x +4x +x =0.925x +5x +x =0.6， 解得{x =−0.2x =1.5x =−1.9，所以函数关系式为：P ＝﹣0.2t 2+1.5t ﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标： t =−x2x =−1.52×(−0.2)=3.75，则当t ＝3.75分钟时，可以得到最佳时间． 故选：C ． 3．（2020•岳阳）对于一个函数，自变量x 取c 时，函数值y 等于0，则称c 为这个函数的零点．若关于x 的二次函数y ＝﹣x 2﹣10x +m （m ≠0）有两个不相等的零点x 1，x 2（x 1＜x 2），关于x 的方程x 2+10x ﹣m ﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x 3，x 4（x 3＜x 4），则下列关系式一定正确的是（ ） A ．0＜x 1x 3＜1 B ．x 1x 3＞1 C ．0＜x 2x 4＜1 D ．x 2x 4＞1【答案】A【解答】解：由题意关于x 的方程x 2+10x ﹣m ﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x 3，x 4（x 3＜x 4），就是关于x 的二次函数y ＝﹣x 2﹣10x +m （m ≠0）与直线y ＝﹣2的交点的横坐标， 画出函数的图象草图如下：∵抛物线的对称轴为直线x =−−102×(−1)=−5，∴x 3＜x 1＜﹣5，由图象可知：0＜x1x 3＜1一定成立，故选：A ． 4．（2020•株洲）二次函数y ＝ax 2+bx +c ，若ab ＜0，a ﹣b 2＞0，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在该二次函数的图象上，其中x 1＜x 2，x 1+x 2＝0，则（ ）word可编辑文档A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定【答案】B【解答】解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，∴x1=xx12+xx1+x，x2=xx22+xx2+x=xx12−xx1+x．∴y1﹣y2＝2bx1＞0．∴y1＞y2．故选：B．5．（2020•常德）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①b2﹣4ac＞0；①abc＜0；①4a+b＝0；①4a﹣2b+c＞0．其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】B【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴−x2x=2，∴4a+b＝0，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①①正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故①错误，即正确的结论有3个，故选：B．6．（2019•娄底）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0①b2﹣4ac＜0①2a＞b①（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解答】解：由函数图象可知a＜0，对称轴﹣1＜x＜0，图象与y轴的交点c＞0，函数与x轴有两个不同的交点，∴b﹣2a＞0，b＜0；△＝b2﹣4ac＞0；abc＞0；当x＝1时，y＜0，即a+b+c＜0；当x＝﹣1时，y＞0，即a﹣b+c＞0；∴（a+b+c）（a﹣b+c）＜0，即（a+c）2＜b2；∴只有①是正确的；故选：A．7．（2019•益阳）下列函数中，y总随x的增大而减小的是（）A．y＝4x B．y＝﹣4x C．y＝x﹣4D．y＝x2【答案】B【解答】解：y＝4x中y随x的增大而增大，故选项A不符题意，y＝﹣4x中y随x的增大而减小，故选项B符合题意，y＝x﹣4中y随x的增大而增大，故选项C不符题意，y＝x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意，故选：B．8．（2019•岳阳）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1＜1＜x2，则c的取值范围是（）A．c＜﹣3B．c＜﹣2C．c＜14D．c＜1【答案】B【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1＜1＜x2，整理，得：x2+x+c＝0，由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根，且x1＜1＜x2，知△＞0，令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：则{1−4x＞01+1+x＜0，解得c＜﹣2，故选：B．二．填空题（共3小题）9．（2020•益阳）某公司新产品上市30天全部售完，图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系，图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系，则最大日销售利润是1800元．【答案】1800．【解答】解：设日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝kx，30k＝60，得k＝2，即日销售量y与销售天数t之间的函数关系式为y＝2t，当0＜t≤20时，设单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝at，20a＝30，得a＝1.5，即当0＜t≤20时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝1.5t，当20＜t≤30时，单件的利润w与t之间的函数关系式为w＝30，设日销售利润为W元，当0＜t≤20时，W＝1.5t×2t＝3t2，故当t＝20时，W取得最大值，此时W＝1200，当20＜t≤30时，W＝30×2t＝60t，故当t＝30时，W取得最大值，此时W＝1800，综上所述，最大日销售利润为1800元，故答案为：1800．10．（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A 作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为（﹣1010，10102）．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵A点坐标为（1，1），∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），∵A1A2∥OA，∴直线A 1A 2为y ＝x +2，解{x =x +2x =x 2得{x =−1x =1或{x =2x =4，∴A 2（2，4）， ∴A 3（﹣2，4）， ∵A 3A 4∥OA ，∴直线A 3A 4为y ＝x +6，解{x =x +6x =x 2得{x =−2x =4或{x =3x =9，∴A 4（3，9）， ∴A 5（﹣3，9） …，∴A 2019（﹣1010，10102）， 故答案为（﹣1010，10102）． 11．（2019•株洲）若二次函数y ＝ax 2+bx 的图象开口向下，则a ＜ 0（填“＝”或“＞”或“＜”）． 【答案】见试题解答内容【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx 的图象开口向下， ∴a ＜0．故答案是：＜．三．解答题（共29小题） 12．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F 的坐标是（4，2），点P 为一个动点，过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为H ，点P 在运动过程中始终满足PF ＝PH ． 【提示：平面直角坐标系内点M 、N 的坐标分别为（x 1，y 1）、（x 2，y 2），则MN 2＝（x 2﹣x 1）2+（y 2﹣y 1）2】（1）判断点P 在运动过程中是否经过点C （0，5）； （2）设动点P 的坐标为（x ，y ），求y 关于x 的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象； x … 0 2 4 6 8 … y … 5 2 1 2 5 … （3）点C 关于x 轴的对称点为C '，点P 在直线C 'F 的下方时，求线段PF 长度的取值范围．【答案】（1）点P 在运动过程中经过点C （0，5）． （2）y =14x 2﹣2x +5，5，3，2，1，2，5． （3）1≤PF ＜65+7√658． 【解答】解：（1）当P 与C （0，5）重合，∴PH ＝5，PF =√(5−2)2+42=5， ∴PH ＝PF ，∴点P 运动过程中经过点C ．（2）由题意：y 2＝（x ﹣4）2+（y ﹣2）2， 整理得，y =14x 2﹣2x +5， ∴函数解析式为y =14x 2﹣2x +5， 当x ＝0时，y ＝5， 当x ＝2时，y ＝2， 当x ＝4时，y ＝1， 当x ＝6时，y ＝2， 当x ＝8时，y ＝5， 函数图象如图所示：故答案为5，2，1，2，5．（3）由题意C ′（0，﹣5），F （4，2），∴直线FC ′的解析式为y =74x ﹣5，设抛物线交直线FC ′于G ，K ． 由{x =74x −5x =14x 2−2x +5，解得{x =15+√652x =65+7√658或{x =15−√652x =65−7√658， ∴G （15−√652，65−7√658），K （15+√652，65+7√658），观察图象可知满足条件的PF 长度的取值范围为1≤PF ＜65+7√658． 13．（2020•永州）在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角△ABC 的直角顶点C 在y 轴上，另两个顶点A ，B 在x 轴上，且AB ＝4，抛物线经过A ，B ，C 三点，如图1所示． （1）求抛物线所表示的二次函数表达式．（2）过原点任作直线l 交抛物线于M ，N 两点，如图2所示． ①求△CMN 面积的最小值．①已知Q （1，−32）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P ，使得点P 与点Q 关于直线l 对称，若存在，求出点P 的坐标及直线l 的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为y =12x 2−2；（2）①∴△CMN 面积的最小值为4；①点P （√3，−12），直线l 的解析式为y ＝（1−√3）x 或点P （−√3，−12），直线l 的解析式为y ＝（1+√3）x ． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）， 在等腰Rt △ABC 中，OC 垂直平分AB ，且AB ＝4， ∴OA ＝OB ＝OC ＝2， ∴A （﹣2，0），B （2，0），C （0，﹣2）， ∴{4x +2x +x =04x −2x +x =0x =−2， 解得，{x =12x =0x =−2，∴抛物线的解析式为y =12x 2−2；（2）①设直线l 的解析式为y ＝kx ，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由{x =12x 2−2x =xx，可得12x 2−xx −2=0，∴x 1+x 2＝2k ，x 1•x 2＝﹣4，∴(x 1−x 2)2=(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4x 2+16， ∴|x 1−x 2|=2√x 2+4，∴x △xxx =12xx ⋅|x 1−x 2|=2√x 2+4， ∴当k ＝0时2√x 2+4取最小值为4． ∴△CMN 面积的最小值为4．①假设抛物线上存在点P （m ，12x 2−2），使得点P 与点Q 关于直线l 对称，∴OP ＝OQ ，即√12+(32)2=√x 2+(12x 2−2)2，解得，x 1=√3，x 2=−√3，m 3＝1，m 4＝﹣1， ∵m 3＝1，m 4＝﹣1不合题意，舍去， 当x 1=√3时，点P （√3，−12），线段PQ 的中点为（1+√32，−1），∴1+√32x =−1，∴x =1−√3，∴直线l 的表达式为：y ＝（1−√3）x ， 当x 2=−√3时，点P （−√3，−12）， 线段PQ 的中点为（1−√32，﹣1），∴1−√32x =−1，∴x =1+√3，∴直线l 的解析式为y ＝（1+√3）x ．综上，点P （√3，−12），直线l 的解析式为y ＝（1−√3）x 或点P （−√3，−12），直线l 的解析式为y ＝（1+√3）x ． 14．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P （m ，n ）是抛物线上的动点，当﹣3＜m ＜0时，试确定m 的值，使得△P AC 的面积最大； （3）抛物线上是否存在不同于点B 的点D ，满足DA 2﹣DC 2＝6，若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题意可以假设抛物线的解析式为y ＝a （x +3）（x ﹣1）， 把C （0，3）代入，可得a ＝﹣1， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3．（2）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣3，0），C （0，3）代入得到{0=−3x +x3=x，解得{x =1x =3，∴直线AC 的解析式为y ＝x +3．当﹣3＜m ＜0时，点P （m ，n ）在直线AC 的上方，过点P 作x 轴的垂线交AC 于Q ．则P （m ，﹣m 2﹣2m +3），Q （m ，m +3），∴PQ ＝﹣m 2﹣2m +3﹣（m +3） ＝﹣m 2﹣3m ， ＝﹣（m +32）2+94， ∵﹣3＜m ＜0，∴当m =−32时，PQ 的值最大， 此时S △P AC =12•PQ •AO =32PQ 最大， ∴m =−32．（3）由A （﹣3，0），B （1，0），C （0，3），可得AB ＝4，OB ＝1，OC ＝3， ∵BC 2＝10，∠CAO ＝45°， ∴BA 2﹣BC 2＝6，连接BC ，过点B 作AC 的垂线交抛物线于D ，交AC 于H ，连接AD ． 则∠AHB ＝90°，∠DBA ＝∠CAO ＝45°， ∴DA 2﹣DC 2＝HA 2﹣HC 2＝AB 2﹣BC 2＝6， ∵∠CAO ＝∠DBA ，∴点H 在AB 的垂直平分线上，即点H 在抛物线的对称轴x ＝﹣1上，∴点D 与点C 关于抛物线的对称轴x ＝﹣1对称， ∵C （0，3），∴点D 的坐标为（﹣2，3）．15．（2020•郴州）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点． （1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接P A ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求x 1x 2的最大值；①如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3，y ＝﹣x +3． （2）①最大值为916．①点P 的坐标为（2，3），点Q 的坐标为（1，2）或（1，﹣2），P （0，3）时，Q （1，4）．【解答】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +3得：{x −x +3=09x +3x +3=0，解得{x =−1x =2∴抛物线的表达式为y ＝﹣x 2+2x +3， ∴点C 坐标为（0，3），把B （3，0），C （0，3）代入y ＝kx +n 得：{3x +x =0x =3，解得{x =−1x =3∴直线BC 的表达式为y ＝﹣x +3．（2）①∵P A 交直线BC 于点D ， ∴设点D 的坐标为（m ，﹣m +3）， 设直线AD 的表达式为y ＝k 1x +b 1， ∴{−x 1+x 1=0xx 1+x 1=−x +3， 解得，{x 1=−x +3x +1x 1=−x +3x +1 ∴直线AD 的表达式，y =−x +3x +1x +−x +3x +1， ∴−x +3x +1x +−x +3x +1=−x 2+2x +3， 整理得，（x −4xx +1）（x +1）＝0 解得x =4xx +1或﹣1（不合题意，舍去）， ∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标为4xx +1，分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图1中：。
初三数学最新课件-二次函数的图象 精品
抛物线
观察图象思考：
这是一个什么 样的图形？
这个图形的最 低点在哪里？
它的对称轴是 什么？
对称轴的两边，函数值随 自变量如何变化。
我们再来画一下Y=2x2的图象。
x
-2 -1.5 -1 -0.5 0
0.5
y 2x2 8
4.5
2
0.5
0
0.5
1
1.5
2
2
4.5
8
抛物线
观察图象思考：
这是一个什么 样的图形？
这个图形的最 低点在哪里？
它的对称轴是 什么？ 对称轴的两边，函数值随自变量如何变化。
Y=2x2 y= 1 x2 总结： 2
Y=ax²中，当a＞0时，开 口方向向上，对称轴是ｙ 轴，即ｘ=0，顶点坐标为 （0，0），在对称轴的左 边ｙ随ｘ增大而增大，在 对称轴的右边，ｙ随ｘ增 大而减小。此时抛物线有 最低点，也就是y有最小 当 线｜ 开a口｜越越小大，，也抛就值物是勤。即ｙ最小值=0。
这一节我学 到了什么?
课堂总结：
一般地，抛物线 y ax2 的对称轴是y轴，顶点是原点， 当a>0时，抛物线y ax2 的开口向上，在对称轴的 左边，y随x增大而减小，在对称轴的右边y随x增大 而增大。y有最小值。当a<0时，抛物线 y ax2的开 口向下，在对称轴的左边，y随x增大而增大，在对 称轴的右边，y随x增大而减小。Y有最大值。a的绝 对值越大，图象越靠近y轴.
练习：
填空：已知二次函数
（1）y=-x2; （2）y 3 x2
5
（3）y=15x2 ；（4） y=-4x2;
（5）
y ；9 x2 Βιβλιοθήκη 0（6） y=4x2.(1)其中开口向上的有_______(填题号)；