天津市天津一中2018届高三数学第三次月考试题文【会员独享】精品

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天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(理)试题

天津市第一中学高三上学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合，，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析：由，解得集合，集合，故.【考点】集合的运算.2．已知实数满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【详解】如图，作出不等式组表示的平面区域，由z＝x+4y可得：，平移直线，由图像可知：当直线过点B时，直线的截距最小，此时z最小。

将代入目标函数得：，故选：C。

【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．3．执行如图所示的程序框图,则输出的n值是（）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的的值.【详解】执行程序框图，时，；时，；时，；时，，，满足循环终止条件，退出循环，输出的值是9，故选C.【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可. 4．下列判断正确的是（）A．“”是“” 的充分不必要条件B．函数的最小值为2C．当时，命题“若，则”的逆否命题为真命题D．命题“”的否定是“”【答案】C【解析】利用特殊值判断；利用基本不等式的条件“一正二定三相等”判断，利用原命题与逆否命题的等价性判断；利用全称命题的否定判断.【详解】当时，成立，不成立，所以不正确；对，当，即时等号成立，而，所以,即的最小值不为2，所以不正确；由三角函数的性质得“若,则”正确，故其逆否命题为真命题，所以正确；命题“,”的否定是“,”，所以不正确，故选C.【点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要考查充分条件与必要条件、基本不等式的性质、原命题与逆否命题的等价性、全称命题的否定，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的、自己掌握熟练的知识点入手、结合特殊值的应用，最后集中精力突破较难的命题.5．已知函数，图象相邻两条对称轴的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，则函数的图象（）A．关于直线对称B．关于直线对称C．关于点对称D．关于点对称【答案】D【解析】由函数y=f（x）的图象与性质求出T、ω和φ，写出函数y=f（x）的解析式，再求f（x）的对称轴和对称中心．【详解】由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为4π，所以ω==，所以f（x）=sin（x+φ）；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ+，k∈Z；又|φ|＜，所以φ=，所以f（x）=sin（x+），令x+=kπ，k∈Z，解得x=2k﹣，k∈Z；令k=0时，得f（x）的图象关于点（-，0）对称．故选：D．【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，是基础题．6．已知抛物线，直线倾斜角是且过抛物线的焦点，直线被抛物线截得的线段长是，双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则直线与轴的交点到双曲线的一条渐近线的距离是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】抛物线的焦点为,由弦长计算公式有 ,所以抛物线的标线方程为,准线方程为 ,故双曲线的一个焦点坐标为,即,所以 ,渐近线方程为,直线方程为,所以点,点P到双曲线的一条渐近线的距离为 ,选D.点睛: 本题主要考查了抛物线与双曲线的简单几何性质, 属于中档题. 先由直线过抛物线的焦点,求出弦长,由弦长求出的值,根据双曲线中的关系求出 ,渐近线方程等,由点到直线距离公式求出点P到双曲线的一条渐近线的距离.7．已知函数对于任意的满足，其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即；故选B.点睛：处理本题的关键是合理利用的形式，恰当构造，这是导数在函数中应用中的常见题型，要在学习过程中积累构造方法.8．已知是半径为的圆上的三点，若且，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先根据向量加法几何意义以及向量垂直确定四边形形状，再根据向量数量积定义求结果.【详解】因为，，所以平行四边形的对角线相互垂直，即四边形为菱形，因为，所以∠,因此选C.【点睛】本题考查向量加法几何意义以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题9．已知为虚数单位，复数，则________.【答案】【解析】根据复数模的性质与定义求解. 【详解】.【点睛】本题考查复数模的性质与定义，考查基本分析求解能力，属基础题.10．在极坐标系中，直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于A ，B 两点，则AB =______. 【答案】2【解析】试题分析：直线10x -=过圆()2211x y -+=的圆心，因此 2.AB = 【考点】极坐标方程【名师点睛】将极坐标或极坐标方程转化为直角坐标或直角坐标方程，直接利用公式即可．将直角坐标或直角坐标方程转化为极坐标或极坐标方程时，要灵活运用以及，，同时要掌握必要的技巧.11．已知，且，则的最小值是________【答案】【解析】根据基本不等式求最小值. 【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.12．如图，有个白色正方形方块排成一列，现将其中块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有 ________ 种【答案】【解析】用黑白两种颜色随机地涂如图所示表格中7个格子，每个格子都有2种染色方法，利用分类讨论方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子个数。

天津市第一中学2018届高三摸底测试数学(理)试题

25天津一中2017‐2018 高三年级零月考数学试卷（理）一、选择题：1．若z =1+ 2i ，则4i=z ⋅z -1A．1 B．-1 C．i D．-i2．设常数a∈R ，集合A ={x ( x-1)( x-a) ≥ 0}, B ={x x ≥a -1}，若A ⋃B =R ，则a 的取值范围为A．(-∞,2)C．(2,+∞)B．(-∞,2]D．[2,+∞)3．执行如图所示的程序框图，若输入n =10 ，则输出的S =5 10A．B．11 1136 72C．D．55 554．命题∃x0 ∈R,1 < f ( x0 ) ≤ 2 的否定形式是A．∀x ∈R,1 <f ( x) ≤ 2 B．∀x ∈R, f ( x) ≤1 或f ( x) > 2C．∃x ∈R,1 < f ( x) ≤ 2 D．∃x ∈R, f ( x) ≤1 或f ( x) > 22 ⎛5．设a =⎰0 xdx，则二项式 ax 展开式中含x 项的系数是⎝A．80 B．640 C．-160 D．-406．设a ∈R ，函数f ( x) =e x +a ⋅e-x 的导函数f '( x) 是奇函数，若曲线y =3f ( x) 的一条切线的斜率是2A．－ln 22，则切点的横坐标为B．－ln 2 C．ln 22D．ln 27．已知p ：函数f (x) = x +a 在(-∞,-1)上是单调函数，q ：函数g (x) = loga( x+1), (a > 0 且a ≠1）在(-1,+∞)上是增函数，则⌝p 是q 的⎩n n +1 nn，若2A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．双曲线x2 y 2- =1(a > 0, b > 0) 的右焦点与抛物线y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点F 重合，a2 b2两条曲线在第一象限的交点为M ，若MF ⊥x 轴，则该双曲线的离心率e =A B1C D 19．某校从8 名教师中选派4 名同时去4 个地区支教（每地一名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有A．150种B．300种C．600 种D．900种10．设定义在R 上的函数f ( x) 满足f (0) =-1 ，其导函数f '( x) 满足f '( x) >k >1 ，则下列结论中一定错误的是A． f (1>kB． f (1<1k -11 1k -11 1k -1 k -1C． f ( ) >k k -1D． f ( ) <k k二、填空题：11．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是12．在平面直角坐标系中，已知圆C 的参数方程为⎧x=a + cosθ⎨y = sin θ，（θ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ-π= ．若直线l 与圆C 相切，则实数a=13．设数列{a }前n 项的和为S a1= 4 ，且a = 3S (4 2n ∈ N* )，则S n = _. 14．若点O,F 分别为椭圆x y2+ = 1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则4 3⨯FP的最大值为15．某校举行知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行每位选手最多有5 次答题机会，选手累计答对3 题或答错3 题即终止比3 4 ⎬ 3赛，答对 3 题者直接进入复赛，答错 3 题者则被淘汰。

天津市第一中学2019届高三上学期第三次月考(文)数学试题(解析版)

天津一中 2018—2019 学年度高三年级三月考试卷数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题 5 分，共40 分．1.已知全集，集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】算出后可得.【详解】，所以，选C.【点睛】本题考查集合的交补运算，属于基础题.2.设变量满足约束条件则目标函数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线可得目标函数的最小值.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线过时，有最小值，又由得，故.【点睛】二元一次不等式组条件下的二元函数的最值问题，常通过线性规划来求最值，求最值时往往要考二元函数的几何意义，比如表示动直线的横截距的三倍，而则表示动点与的连线的斜率．3.下列命题中正确的是（）A. 若为真命题，则为真命题B. “ ，”是“ ”的充分必要条件C. 命题“若，则或”的逆否命题为“若或，则”D. 命题，使得，则，使得【答案】D【解析】【分析】利用反例可得A错、B错，利用逆否命题和存在性命题的构成规则可得C错D正确.【详解】对于A，一真一假时，为真，为假，故A错；对于B，取，则，但，故B错；对于C，命题“若，则或”的逆否命题为：“若且，则”，故C 错；对于D，命题“，使得”的否定为：“，均有”，故D正确.综上，选D.【点睛】（1）复合命题的真假判断为“一真必真，全假才假”，的真假判断为“全真才真，一假即假”，的真假判断是“真假相反”．（2）全称命题的一般形式是：，，其否定为.存在性命题的一般形式是，，其否定为．（3）命题中，“或”的反面是“且” ．（4）充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若则”是真命题，“若则”是假命题，则是的充分不必要条件；若“若则”是真命题，“若则”是真命题，则是的充分必要条件；若“若则”是假命题，“若则”是真命题，则是的必要不充分条件；若“若则”是假命题，“若则”是假命题，则是的既不充分也不必要条件.4.阅读如图所示的程序框图，若输入的分别为，运行相应的程序，则输出的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】计算每次判断后的各变量的取值后可得何时终止循环及相应的输出值.【详解】第一次判断后，，，；第二次判断后，，，；第三次判断后，，，，第四次判断前，判断后终止循环，故输出值为，故选D.【点睛】对于流程图的问题，我们可以从简单的情形逐步计算归纳出流程图的功能，在归纳中注意各变量的变化规律.5.已知定义在R上的函数的图象关于对称，且当时，单调递减，若，，，则a，b，c的大小关系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据对称性将自变量转化到上，再根据时单调递减，判断大小.【详解】∵定义在上的函数的图像关于对称，∴函数为偶函数，∵，∴，∴，，．∵当时，单调递减，∴，故选A．【点睛】比较两个函数值或两个自变量的大小：首先根据函数的性质把两个函数值中自变量调整到同一单调区间，然后根据函数的单调性，判断两个函数值或两个自变量的大小6.函数（，）的最小正周期是，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图象（） A. 关于点对称 B. 关于直线对称 C. 关于点对称D. 关于直线对称【答案】B 【解析】由于函数最小正周期为,所以,即.向左平移得到为奇函数,故,所以.,故为函数的对称轴,选B.7.已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（）A.B.C. D.【答案】D 【解析】试题分析：依题意有，解得，所以方程为.考点：双曲线的概念与性质．8.在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足==,===–2，动点P ，M 满足=1，=，则的最大值是A.B.C.D.【答案】B 【解析】试题分析：甴已知易得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.【考点】平面向量的数量积运算，向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．第Ⅱ卷二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9.设（为虚数单位），则_______________.【答案】【解析】【分析】利用复数的四则运算法则，运算可得结果.【详解】，故填.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.10.已知函数，且则实数等于___________.【答案】【解析】【分析】先利用求出，而，令后可得，，从而解得的值，注意. 【详解】因为，令，则，所以.又，令，得，故，求得或，又，故，填.【点睛】本题考查导数的四则运算，是基础题.11.已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为__________.【答案】【解析】分析：由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.详解：由题意可得，底面四边形为边长为的正方形，其面积，顶点到底面四边形的距离为，由四棱锥的体积公式可得：.点睛：本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12.圆心在直线，且与直线相切于点的圆的标准方程为__________.【答案】【解析】试题分析：可设圆标准方程：，则根据题意可列三个条件：，解方程组可得，即得圆方程试题解析：设则，解得所以（x-1）2+（y+4）2=8．点睛：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．13.已知正实数满足，当取最小值时，的最大值为__________.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式可得当且仅当时有最小值3，从而得到，利用二次函数的性质可得其最大值.【详解】由基本不等式有，因，故，当且仅当时等号成立，故有最小值3，此时，故，故当时，有最大值为，故填.【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，求最值时要注意等号成立的条件是什么. 14.已知函数，若存在，使得关于的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】去掉函数解析式中的绝对值得到，因为，故，根据有三个不同的零点并结合函数的图像可得，利用不等式在上有解得到的取值范围.【详解】，因为，则，所以在为增函数，在上为增函数，在为减函数.因为有三个不同的零点，所以的图像与直线有三个不同的交点，故在有解，整理得到即.因，故，故.【点睛】含参数的函数的零点个数问题，可以利用函数的单调性和零点存在定理来判断，如果该函数比较复杂，那么我们可以把该零点个数问题转化为两个熟悉函数图像的交点问题，其中一个函数的图像为直线，另一个函数的图像为常见函数的图像.三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.某公司需要对所生产的三种产品进行检测，三种产品数量（单位：件）如下表所示：采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取6件.（1）求分别抽取三种产品的件数；（2）将抽取的6件产品按种类编号，分别记为，现从这6件产品中随机抽取2件.（ⅰ）用所给编号列出所有可能的结果；（ⅱ）求这两件产品来自不同种类的概率.【答案】（1）2件、3件、1件；（2）【解析】试题分析：（1）由条件先确定在各层中抽取的比例，然后根据分层抽样的方法在各层中抽取可得A、B、C三种产品分别抽取了2件、3件、1件．（2）（ⅰ）由题意设产品编号为；产品编号为产品编号为，然后列举出出从6件产品中随机抽取2件的所有可能结果．（ⅱ）根据古典概型概率公式求解即可．试题解析：（1）由题意得在每层中抽取的比例为，因此，在产品中应抽取的件数为件，在产品中应抽取的件数为件，在产品中应抽取的件数为件．所以A、B、C三种产品分别抽取了2件、3件、1件.（2）（i）设产品编号为；产品编号为产品编号为，则从这6件产品中随机抽取2件的所有结果是：，共个．（ii）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的；其中这两件产品来自不同种类的有：，共11个.所以这两件产品来自不同种类的概率为．16.在中，角的对边分别为，且满足.（1）求；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由条件及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，可得．（2）由知为锐角，可得，从而,，然后根据两角差的余弦公式可得结果．试题解析：（1）由及正弦定理得∴，整理得，由余弦定理得，又，所以．（2）由知为锐角，又，所以，故，，所以．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.第三步：求结果.17.如图，在四棱锥中，底面的边长是的正方形，，，为上的点，且平面.（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】【试题分析】(1)利用平面得到,而,所以平面,所以.(2)由于,所以平面,所以平面平面.(3)取的中点，连接，,利用(2)的结论证得平面,就是与平面所成的角,通过解直角三角形求得线面角的正弦值.【试题解析】证明：（1）∵平面，平面，∴,∵,∴平面,∵平面∴.（2）∵是正方形，∴,∵，，∴平面,∵平面，∴平面平面,（3）取的中点，连接，，∵，∴，∵平面平面，平面,平面平面,∴平面,∴是在平面内的射影.∴就是与平面所成的角,在等腰中，∵，是的中点，∴,在中，∵，,∴，∴,∴.18.已知等比数列的前项和为，满足,，数列满足，，且.（1）求数列,的通项公式；（2）设，为的前项和，求.【答案】（1），；（2）.【解析】试题分析：（1）由，可推出，，结合，即可求出数列的通项公式，再将两边同除以得，可推出数列为等差数列，从而可求出的通项公式；（2）由（1）知，利用分组求和，裂项相消法及错位相减法即可求出.试题解析：（1）∵∴∴又∵∴∴由两边同除以，得，从而数列为首项，公差的等差数列∴，从而数列的通项公式为．(2)由（1）知∴设，则，两式相减得，整理得.∴.点睛：（1）分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）；（2）用错位相减法求和的注意事项：①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；②在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式；③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．19.设椭圆：的一个顶点与抛物线的焦点重合，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于两点（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若（为原点），求直线的方程；（Ⅲ）若是椭圆经过原点的弦，，求证：为定值.【答案】（1）（2）或（3）详见解析【解析】试题分析：（1）由题意，椭圆的标准方程为＋＝1；（2）设直线l的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，·＝x1x2＋y1y2＝－2，利用韦达定理，解得答案；（3）|MN|＝|x1－x2|，|AB|＝|x3－x4|，代入韦达定理计算，得到答案。

天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(理)试题

天津一中2015-2016高三年级第三次月考数学试卷（理科）一、选择题：1、已知全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,8,1,3,5,7,5,6,7,U M N ===则（ C ） A ． B ． C ． D ．2、设变量满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x ，则目标函数的最大值为（ D ）A ．2B ．3C ．4D ．53、设，则 “”是“”的（ A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4、下图是一个算法框图，则输出的的值是（ C ） A ． 3 B ． 4 C ．5 D ． 65、如图，已知圆中两条弦与相交于点是延长线上一点，且2DF CF AF BF ==，若与圆相切，且，则的长为（ B ）A ．B ．C ．D ．6、已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的方程为（ D ） A ． B ． y C ． D ．7、已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则的关系为（ D ）A ．B ．C ．D ． 8、已知函数1|1|,[2,0]()2(2),(0,)x x f x f x x -+∈-⎧=⎨-∈+∞⎩，若方程在区间内有个不等实根，则实数的取值范围是（ C ）A ．B ．C ．或D ．或二、填空题：9、复数 (是虚数单位)是纯虚数，则实数的值为 4 ．10、一个四棱锥的三视图如图所示，其侧视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于．11、曲线与直线及轴所围成的图形的面积是． 12、在的展开式中，项的系数为． 13、在中，，，的面积为4，则的长为 4或．14、已知椭圆，为轴上一个动点，、为该椭圆的两条切线，、为切点，则的最小值为．15、己知函数21()cos sin ()2f x x x x x R =++∈．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）当时，求函数的最小值和最大值．解：（1）的最小正周期为，单调递增区间为)](3,6[Z k k k ∈++-ππππ；（2），231)12()(min -=-=πf x f ．16、某学校开设了五门选修课．要求每位学生必须参加且只能选修一门课程．假设甲、乙、丙三名学生对这五门课程的选择是等可能的．（1）求甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法总数；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程的概率；（3）设随机变量为甲、乙、丙这三名学生参加课程的人数，求的分布列与数学期望．解：（1）甲、乙、丙三名学生参加五门选修课的所有选法总数为种（2）设甲、乙、丙三名学生中至少有两名学生选修同一门课程为实践2513555)(1533141523=⨯⨯+=C C C C C A P(3)的可能取值为12564555444)0(=⨯⨯⨯⨯==X P 1254855544)1(13=⨯⨯⨯==C X P125125554)2(23=⨯⨯==C X P 1251555)3(33=⨯⨯==C X P17、如图，在四棱锥中，平面，，且2AD CD BC PA ====，点在棱上．（1）求证：；（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值．解：（1）略；（2）与平面所成角的正弦值为18、设等差数列的前n 项和为，且．数列的前n 项和为，且，．（1）求数列,的通项公式；（2）设⎩⎨⎧=)()( 为偶数为奇数n b n a c nn n ，求数列的前项和．解：（Ⅰ）由题意，，得． …………3分，，112230n n n b --≥-+=当时，T ，两式相减，得数列为等比数列，． …………6分（Ⅱ）14 32n n nn c n -⎧=⎨⋅⎩为奇数为偶数．当为偶数时，13124()()n n n P a a a b b b -=+++++++=212(444)6(14)222214nn n n n ++-⋅-+=+--． ……………10分当为奇数时，为偶数， (1)1222(1)24221n n n n n n -+=+--+=++-12222,221n n nn n P n n n +⎧+-∴=⎨++-⎩为偶数，为奇数……………13分19、如图，已知椭圆：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：222(2)(0)x y r r ++=>，设圆与椭圆交于点与点．（1）求椭圆的方程；（2）求的最小值，并求此时圆的方程；（3）设点是椭圆上异于,的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．A B CDM P由于点在椭圆上，所以．（*）由已知，则，，21211111)2(),2(),2(y x y x y x -+=-+⋅+=⋅∴3445)41()2(1212121++=--+=x x x x． ………………7分由于，故当时，取得最小值为．20、设函数(是自然对数的底数，).（1）若,求实数的值，并求函数的单调区间；（2）设，且，是曲线上任意两点，若对任意的，恒有)()()(1212x x m x g x g ->-成立，求实数的取值范围；（3）求证：13(21)(2)()1n n n n n n n N e *++⋅⋅⋅+-<∈-. 解：2()()1)13x x x a g x e a a a e e'=--≥--=-+=-≥ 故………………………………………………………………………………………（10分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知，取（）得，，即，累加得：e e e e e eee nn n n n n n n n n -<--=+++≤-+++--------11)1()212()23()21(12121232212nn n n n e en )2(1)12(31-<-+++∴ ，………………（14分）。

2018届天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版)

天津一中2017-2018学年度高三年级月考试卷数学（文史类）一、选择题：每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B. D.【答案】D点睛：集合的基本运算的关注点(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．2. ）C.【答案】B【解析】本题选择B选项.3. 下列说法正确的是（）A.B. 为真命题”是“C.D.【答案】A考点：命题真假【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q 的充分条件．2．等价法：利用p⇒q与非q⇒非p，q⇒p与非p⇒非q，p⇔q与非q⇔非p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．4. ）B. -1 D. 1【答案】B【解析】本题选择B选项.5. ）A.6. 的图像关于直线取最小值时，，使得的取值范围是（）C.【答案】D，因此，选D.【点睛】函数;求减区间7. 已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数）A. B. C.【答案】A上单调递减，因为是定义在，即，选A.点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据8. 上恒成立，则的取值范围是（）B.【答案】A式即为（时取等号），（时取等号）所以，时，(*)（当时取等号），（当时取等号），所以，A．【考点】不等式、恒成立问题循分段处理原则，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据原理，求出对应的的范围.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9. __________．【解析】因为10. ，则的极大值为__________．11. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__________．12. 抛物线的焦点与双曲线的右支交于点，的离心率为__________．【解析】B(0,1),b=1;点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于性质、点的坐标的范围等.13. __________．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14. 的中点，．【答案】3【解析】设平行四边形对角线交点为Q，所以P是三角形ABC的重心，由，得三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. 中，内角（1）（2）.【答案】（1（2【解析】试题分析：利用正弦定理“角转边”得出边的关系利用两角差的正弦公式求出结果.试题解析：（Ⅱ）解：由（Ⅰ），代入，得由（Ⅰ）知，A为钝角，所以，考点：正弦定理、余弦定理、解三角形【名师点睛】利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16. 某营养学家建议：（单位：克），（单位：克）160克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物30克，含脂肪27克，售价15元.（1（2低需要花费的钱数.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：（1）根据A满足蛋白质的摄入量时确定脂肪摄入量，A满足脂肪摄入量时确定蛋白质的摄入量，再对照专家标准进行比较判断（2试题解析：（1）解：如果学生只吃食物（单位：克）时，（单位：千克），其相应的脂肪摄入量在，不符合营养学家的建议；当脂肪的摄入量在克），不符合营养学家的建议.（2千克食物满足可行域如图所示，.由图可以看出，经过可行域上的点.元，答：学生每天吃0.8千克食物0.4千克食物既能符合营养学家的建议又花费最少.最低需要花费22元.17. 分别为棱中点.（1（2平面（3.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3【解析】试题分析：（1，根据平几知识得四边形为平行四边形，即得平行判定定理得结论（2最后根据面面垂直判定定理得结论（3）.正弦值.试题解析：（1又因为为为平行四边形，所以（2），（3）内，过点而直线由此得与平面.设棱长为，，所以直线与平面所成角的正弦值为18. ，，为数列（1（2（3【答案】（1（2；（3）【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义以及通项公式求（21，再根据等差数列定义进行说明论证（3）先两项合并，再利用错位相减法求偶数项试题解析：（1，2，首项为2（21，首项为1.（3）令（1）-（2），得19. 已知函数，（为常数）.（1（2，证明：（3）若对任意.【答案】（1（2）见解析；（3【解析】试题分析：（1）解得实数的值；（2）求导数，再求导函数零点，确定函数单调性，进而确定最小值为0，即证得结论（3）研究差函数.试题解析：（1处的切线方程为：（2，从而对任意，即时，成立.（3，不等式..，即时，恒成立，此时函数单调递增.时，所以.于是当20. 在平面直角坐标系中，焦点在轴上的椭圆.在轴下方）.（1（2（3，求直线的斜率.【答案】（1（2；（3）【解析】试题分析：（1）将点坐标代入椭圆方程，（2）联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简可得定值（3）先求交点坐标，再根据，得2试题解析：（1经过点.，所以，解得（2，则直线的方程为，所以直线方程为与椭圆方程，（3）在中，令，则，所以由（2，解得因为，所以整理得，解得或（舍）.点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.。

天津一中2017-2018学年高三上学期8月月考数学试卷(文科) Word版含解析

天津一中2017-2018学年高三上学期月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，则|（1﹣i）﹣|等于( )A．0 B．4 C．2 D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题；数系的扩充和复数．分析：根据复数的四则运算进行化简即可．解答：解：∵1﹣i﹣=1﹣i+2i=1+i，∴|1+i|=，故选：D．点评：本题主要考查复数的四则运算以及复数模长的计算，比较基础．2．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=( ) A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4可得a1，代入求和公式可得．解答：解：由题意可得a42=a2•a8，即a42=（a4﹣4）（a4+8），解得a4=8，∴a1=a4﹣3×2=2，∴S n=na1+d，=2n+×2=n（n+1），故选：A．点评：本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．3．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是( )A．5 B．6 C．7 D．8考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据框图的流程依次计算运行的结果，直到满足条件n＞117时，确定输出i的值．解答：解：由程序框图知：程序第一次运行n=12﹣4=8，i=1+1=2；第二次运行n=4×8+1=33，i=2+1=3；第三次运行n=33﹣4=29，i=3+1=4；第四次运行n=4×29+1=117，i=4+1=5；第五次运行n=117﹣4=113，i=5+1=6；第六次运行n=113×4+1=452，i=6+1=7．此时满足条件n＞117，输出i=7．故选：C．点评：本题考查了选择结果与循环结构相结合的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法．4．等比数列{a n}中，a1＞0，则“a1＜a4”是“a3＜a5”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：结合等比数列的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：在等比数列中设公比为q，则由a1＜a4，得a1＜a1q3，∵a1＞0，∴q3＞1，即q＞1．由“a3＜a5”得，即q2＞1，∴q＞1或q＜﹣1．∴“a1＜a4”是“a3＜a5”的充分不必要条件．故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的运算性质是解决本题的关键，比较基础．5．函数的单调减区间为( )A．（k∈Z） B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）考点：复合三角函数的单调性．专题：计算题．分析：观察可知函数是由，t=sin（2x+）构成的复合函数，由复合函数的单调性，只要求得t=sin（2x+）增区间中的大于部分即可．解答：解：令：，t=sin（2x+）∴2kπ＜2x+≤2kπ+kπ＜x≤kπ+由复合函数的单调性可知：函数的单调减区间为（k∈Z）故选B点评：本题主要查复合函数的单调性，结论是同增异减，一定要注意定义域，如本题在真数位置要大于零．6．设F1、F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线某条渐过线于M，N两点，且满足∠MAN=120°，则该双曲线的离心率为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出M，N的坐标，再利用余弦定理，求出a，c之间的关系，即可得出双曲线的离心率．解答：解：不妨设圆与y=x相交且点M的坐标为（x0，y0）（x0＞0），则N点的坐标为（﹣x0，﹣y0），联立y0=x0，得M（a，b），N（﹣a，﹣b），又A（﹣a，0）且∠MAN=120°，所以由余弦定理得4c2=（a+a）2+b2+b2﹣2•bcos 120°，化简得7a2=3c2，求得e=．故选A．点评：本题主要考查双曲线的离心率．解决本题的关键在于求出a，c的关系．7．△ABC中，AB=10，AC=15，∠BAC=，点D是边AB的中点，点E在直线AC上，且=3，直线CD与BE相交于点P，则||为( )A．B．C．2D．2考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的关系，建立坐标系，求出相关点的坐标，然后求解向量的模即可．解答：解：△ABC中，AB=10，AC=15，∠BAC=，点D是边AB的中点，点E在直线AC上，且=3，可得：AE⊥BE，以BE所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，如图：A（0，5），BE=5，B（﹣5，0），D（﹣，），C（0，﹣10），CD的方程为：，令y=0，可得x=﹣2，P（﹣2，0）．||==．故选：A．点评：本题考查向量的几何中的应用，向量的坐标运算，向量的模，考查计算能力．8．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，满足x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则的取值范围是( )A．（0，12）B．（4，16）C．（9，21）D．（15，25）考点：分段函数的应用．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）的图象，确定x1x2=1，x3+x4=12，2＜x3＜4，8＜x4＜10，由此可得的取值范围．解答：解：函数的图象如图所示，∵f（x1）=f（x2），∴﹣log2x1=log2x2，∴log2x1x2=0，∴x1x2=1，∵f（x3）=f（x4），∴x3+x4=12，2＜x3＜x4＜10∴=x3x4﹣2（x3+x4）+4=x3x4﹣20，∵2＜x3＜4，8＜x4＜10∴的取值范围是（0，12）．故选：A．点评：本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是16π﹣16．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：首先判断该几何体的形状，然后计算其体积即可．解答：解：根据三视图可知，该几何体为圆柱中挖去一个四棱柱，圆柱是底面外径为2，高为4的圆筒，四棱柱的底面是边长为2的正方形，高也为4．故其体积为：22π×4﹣22×4=16π﹣16，故答案为：16π﹣16．点评：本题考查了由三视图判断几何体的知识，解题的关键是首先判断该几何体为圆柱中挖去一个棱柱，然后利用柱体的体积计算方法计算其体积差即可．10．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为3．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，0），B（1，1），C（3，3），则目标函数z=2x+y的最小值为3．故答案为：3．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．11．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=2．考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．解答：解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故答案为：2．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．12．已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是（﹣1，﹣1）．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；其他不等式的解法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由题意f（x）在[0，+∞）上是增函数，而x＜0时，f（x）=1，故满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x需满足，解出x即可．解答：解：由题意，可得故答案为：点评：本题考查分段函数的单调性，利用单调性解不等式，考查利用所学知识分析问题解决问题的能力．13．如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E．若EB=6，EC=6，则BC的长为2．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：连接OC，由弦切角定理推导出OC∥AD．由AD⊥DC，得到DC⊥OC，由切割线定理得到EC2=EB•EA．再由已条件推导出△ECB∽△EAC，由此能求出BC长．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴点C在⊙O上．连接OC，由弦切角定理得∠OCA=∠OAC=∠DAC，∴OC∥AD．又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC．∵OC为⊙O半径，∴DC是⊙O的切线．∵DC是⊙O的切线，∴EC2=EB•EA．又∵EB=6，EC=6，∴EA=12，AB=6．又∵∠ECB=∠EAC，∠CEB=∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴==，∴AC=BC．又∵AC2+BC2=AB2=36，∴BC=2．故答案为：2．点评：本题考查与圆有关的线段长的求法，是中档题，解题时要注意切割线定理、相似三角形等知识点的合理运用．14．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值为2．考点：基本不等式．专题：综合题．分析：将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），即x=2y（y＞0），∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．∴x+2y﹣z的最大值为2．故答案为：2．点评：本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此商品的数量（单位：件）如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区 A B C数量50 150 100（Ⅰ）求这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）先计算出抽样比，进而可求出这6件样品来自A，B，C各地区商品的数量；（Ⅱ）先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数，及这2件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：（Ⅰ）A，B，C三个地区商品的总数量为50+150+100=300，故抽样比k==，故A地区抽取的商品的数量为：×50=1；B地区抽取的商品的数量为：×150=3；C地区抽取的商品的数量为：×100=2；（Ⅱ）在这6件样品中随机抽取2件共有：=15个不同的基本事件；且这些事件是等可能发生的，记“这2件商品来自相同地区”为事件A，则这2件商品可能都来自B地区或C地区，则A中包含=4种不同的基本事件，故P（A）=，即这2件商品来自相同地区的概率为．点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．16．函数的部分图象如图所示，将y=f （x）的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象．（1）求函数y=g（x）的解析式；（2）若△ABC的三边为a、b、c成单调递增等差数列，且，求cosA ﹣cosC的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用周期求ω，利用最高点的坐标，求出φ的值，再利用图象平移，可求函数y=g（x）的解析式；（2）先求出B，再令cosA﹣cosC=t，则（sinA+sinC）2+（cosA﹣cosC）2=2+t2，从而可得结论．解答：解：（1）由图知：，∵，∴，即，由于，∴，∴，∴函数y=g（x）的解析式为．（2）由于a，b，c成等差，且，∴，∵，，∴，∴，令cosA﹣cosC=t，则（sinA+sinC）2+（cosA﹣cosC）2=2+t2，∴，由于t＞0，∴．点评：本题考查函数解析式的确定，考查图象的平移，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．如图，在锥体P﹣ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60°，PA=PD=，PB=2，E，F分别是BC，PC的中点（1）证明：AD⊥平面DEF（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．考点：与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）利用线面垂直的判定定理进行证明是解决本题的关键，在平面DEF中找两条相交直线与AD垂直，利用60°角菱形的特征可以发现AD⊥DE，通过取出AD的中点构造一个平面可以证明AD⊥EF；（2）利用（1）中的结论找到二面角P﹣AD﹣B的平面角是解决本题的关键，求角往往要利用三角形中的余弦定理．解答：解：（1）取AD的中点G，连接PG，BG，在△ABG中，根据余弦定理可以算出BG=，发现AG2+BG2=AB2，可以得出AD⊥BG，又DE∥BG∴DE⊥AD，又PA=PD，可以得出AD⊥PG，而PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG，而PB⊂平面PBG，∴AD⊥PB，又PB∥EF，∴AD⊥EF．又EF∩DE=E，∴AD⊥平面DEF．（2）由（1）知，AD⊥平面PBG，所以∠PGB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，在△PBG中，PG=，BG=，PB=2，由余弦定理得cos∠PGB=，因此二面角P﹣AD﹣B的余弦值为．点评：本题考查立体几何中基本的线面关系，考查线面垂直的判定方法，考查二面角的求法，训练了学生基本的空间想象能力，考查学生的转化与化归思想，解三角形的基本知识和学生的运算能力，属于基本的立体几何题．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）经过点（0，），离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（IⅠ）求椭圆的方程（Ⅱ）若直线l：y=﹣x+m与椭圆交于A，B两点，与以+=1（a＞b＞0）为直径的圆交于F1，F2两点，且满足D，求直线DF1⊥F1F2的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）根据椭圆得定义，离心率得定义，构造方程组，解得即可；（Ⅱ）由题意可得F1F2为直径得圆的方程为x2+y2=1，得到圆心到直线的l的距离为d，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理和弦长公式求出|AB|的长，即可求出m的值，问题得以解决．解答：解：（Ⅰ）由题意可得，解得a=2，b=，c=1，∴椭圆得方程为，（Ⅱ）由题意可得F1F2为直径得圆的方程为x2+y2=1，∴圆心到直线的l的距离为d=，由d＜1，即＜1，可得|m|＜，∴|CD|=2=2=，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得x2﹣mx+m2﹣3=0，∴x1+x2=m，x1x2=m2﹣3，∴|AB|=∵=，∴=1，解得m=±，且满足|m|＜，∴直线l的方程为y=x+，或y=﹣x﹣．点评：本题考查了椭圆得标准方程，弦长公式，点到直线距离公式，考查了学生得转化能力，运算能力，属于中档题．19．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．考点：数列递推式；等差数列的前n项和；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得到关于a1与d 的方程组，解之即可求得数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，继而可求得b n=，n∈N*，于是T n=+++…+，利用错位相减法即可求得T n．解答：解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1得：，解得a1=1，d=2．∴a n=2n﹣1，n∈N*．（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，得：当n=1时，=，当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，显然，n=1时符合．∴=，n∈N*由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．∴b n=，n∈N*．又T n=+++…+，∴T n=++…++，两式相减得：T n=+（++…+）﹣=﹣﹣∴T n=3﹣．点评：本题考查数列递推式，着重考查等差数列的通项公式与数列求和，突出考查错位相减法求和，考查分析运算能力，属于中档题．20．已知函数f（x）=+ax+b的图象在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2．（1）求实数a，b的值；（2）设g（x）=f（x）+是[2，+∞）上的增函数．①求实数m的最大值；②当m取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线若能与曲线y=g（x）围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2，建立方程组，即可求实数a，b的值；（2）①求导函数，利用g（x）是[2，+∞）上的增函数，可得g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，进一步利用换元法，确定函数的最值，即可求得m的最大值；②由①得g（x）=，证明图象关于点Q（1，）成中心对称即可．解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=x2﹣2x+a∵函数在点P（0，f（0））处的切线方程为y=3x﹣2，∴，∴．（2）①由=，得g′（x）=．∵g（x）是[2，+∞）上的增函数，∴g′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，即在[2，+∞）上恒成立．设（x﹣1）2=t，∵x∈[2，+∞），∴t≥1，∴不等式t+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立当m≤0时，不等式t+2﹣≥0在[1，+∞）上恒成立．当m＞0时，设y=t+2﹣，t∈[1，+∞）因为y′=1+＞0，所以函数y=t+2﹣在[1，+∞）上单调递增，因此y min=3﹣m．∴y min≥0，∴3﹣m≥0，即m≤3，又m＞0，故0＜m≤3．综上，m的最大值为3．②由①得g（x）=，其图象关于点Q（1，）成中心对称．证明如下：∵g（x）=，∴g（2﹣x）==因此，g（x）+g（2﹣x）=．∴函数g（x）的图象关于点Q成中心对称．∴存在点Q（1，），使得过点Q的直线若能与函数g（x）的图象围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查图象的对称性，属于中档题．。

天津市第一中学高三上学期第三次月考数学(理科)试卷有答案

∵常数且，
∴ 为非零常数，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．
（2）当时，，，
所以，
因为，所以是递增数列，
因而最小值为．
由（1）知，，
要使对一切成立，
即对一切恒成立；
当时，，对一切恒成立，
只需．
∵ 单调递增，
∴当时，．
∴ ，且，∴ ．
综上所述，存在实数满足条件．
令，则．
．
①当时，，在上递减．
，不合题意．
②当时，．
若，记，则在上递减．
在此区间上有，不合题意．
因此有，解得，
所以，实的取值范围为．
（1）求证：数列是等比数列；
（2）若，当时，求数列的前项和的最小值；
（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由。
19．已知椭圆的焦距为，其上下顶点分别为，点，，
。
（1）求椭圆的方程及离心率；
（2）点的坐标为，过点任意作直线与椭圆相交于点两点，设直线的斜率依次成等差数列，探究之间是否满足某种数量关系，若是，请给出的关系式，并证明；若不是，请说明理由。
∵直线的斜率依次成等差数列，
∴ ，
由于
，
∴ ，化为：．
20．解：（1），
时，，，，．
在处的切线方程为．
（2），
，
所以，所以．
（3）由，解得，，
∵ ，∴ ．
而在上单调递增，
∴ 在上单调递增．
∴在上，．
所以，“存在，使不等式恒成立”等价于“不等式恒成立”，

2017-2018学年天津一中高三(下)9月月考数学试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年天津一中高三（下）月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知a，b∈R，i为虚数单位，若，则实数a+b=（）A．2 B． 3 C． 4 D． 5考点：复数代数形式的混合运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的除法运算化简等式右侧，然后由复数相等的条件列式求解a，b的值，则答案可求．解答：解：由，得，∵a，b∈R，∴，即a=2，b=1．∴a+b=3．故选：B．点评：本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分类，是基础题．2．（5分）已知点P（x，y）在不等式组表示的平面区域上运动，则z=x+y的取值范围是（）A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，3]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，通过平移从而求出z的取值范围．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=x+y得y=﹣x+z，即直线的截距最大，z也最大．平移直线y=﹣x+z，即直线y=﹣x+z经过点B（2，1）时，截距最大，此时z最大，为z=2+1=3．经过点A（0，1）时，截距最小，此时z最小，为z=1．∴1≤z≤3，故z的取值范围是[1，3]．故选：D．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为31，则图中判断框内①处应填（）A．3 B． 4 C． 5 D． 6考点：程序框图．专题：阅读型．分析：框图中给出了两个累加变量，a、b，b累加的次数与a的大小有关，现在题目给出了算法结果，解答时可把每一次运算写出，从而得到输出b=31时a的值．解答：解：第一次运算为b=3，a=2，第二次运算为b=7，a=3，第三次运算为b=15，a=4，第四次运算为b=31，a=5，第五次运算不满足条件，输出b=31，所以a≤4，故选B．点评：本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件则进入循环体，否则结束循环．4．（5分）“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|+b（a，b∈R）在区间[1，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：根据函数的单调性的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：当a=1时，f（x）=|x﹣1|+b在[1，+∞）上为增函数；反之，f（x）=|x﹣1|+b在区间[1，+∞）上为增函数，则a≤1，故“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|+b（a，b∈R）在区间[1，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的图象和性质是解决本题的关键．5．（5分）设a=log54，b=（log53）2，c=log45则（）A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c考点：对数的运算性质；对数函数的单调性与特殊点；不等式比较大小．专题：函数的性质及应用．分析：因为a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，所以c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，排除C．解答：解：∵a=log54＜log55=1，b=（log53）2＜（log55）2，c=log45＞log44=1，∴c最大，排除A、B；又因为a、b∈（0，1），所以a＞b，故选D．点评：本题考查对数函数的单调性，属基础题．6．（5分）（2015•沈阳模拟）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y=f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x=对称考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由周期求出ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），再根据图象向右平移个单位后得到的函数y=sin（2x﹣+φ]是奇函数，可得φ=﹣，从而得到函数的解析式，从而求得它的对称性．解答：解：由题意可得=π，解得ω=2，故函数f（x）=sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ]是奇函数，又|φ|＜，故φ=﹣，故函数f（x）=sin（2x﹣），故当x=时，函数f（x）=sin=1，故函数f（x）=sin（2x﹣）关于直线x=对称，故选：D．点评：本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．7．（5分）（2015•山东校级模拟）已知A，B是圆O：x2+y2=1上的两个点，P是AB线段上的动点，当△AOB的面积最大时，则•﹣的最大值是（）A．﹣1 B．0 C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意知当∠AOB=时，S取最大值，此时⊥，建立坐标系可得A、B、P的坐标，可得•﹣为关于x的二次函数，由二次函数的最值可得．解答：解：由题意知：△AOB的面积S=||||sin∠AOB=×1×1×sin∠AOB=sin∠AOB，当∠AOB=时，S取最大值，此时⊥，如图所示，不妨取A（1，0），B（0，1），设P（x，1﹣x）∴•﹣=•（﹣）==（x﹣1，1﹣x）•（﹣x，x﹣1）=﹣x（x﹣1）+（1﹣x）（x﹣1）=（x﹣1）（1﹣2x）=﹣2x2+3x﹣1，x∈[0，1]当x==时，上式取最大值故选：C点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及三角形的面积公式和二次函数的最值，属中档题．8．（5分）（2014•日照二模）设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内，函数y=f（x）﹣log a（x+2），（a＞0，a≠1）恰有1个零点，则实数a的取值范围是（）A．（1，4）B．（4，+∞）C．（，1）∪（4，+∞）D．（0，1）∪（1，4）考点：函数奇偶性的性质．专题：数形结合法；函数的性质及应用．分析：由f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2﹣x），推出函数f（x）是以4为最小正周期的函数，结合题意画出在区间（﹣2，6）内函数f（x）和y=log a（x+2）的图象，注意对a讨论，分a＞1，0＜a＜1，结合图象即可得到a的取值范围．解答：解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x），又f（2+x）=f（2﹣x），即f（x+4）=f（﹣x）∴f（x+4）=f（x），则函数f（x）是以4为最小正周期的函数，∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，f（x）是定义在R上的偶函数，∴当x∈[0，2]时，f（x）=（）﹣x﹣1，结合题意画出函数f（x）在x∈（﹣2，6）上的图象与函数y=log a（x+2）的图象，结合图象分析可知，要使f（x）与y=log a（x+2）的图象，恰有1个交点，则有0＜a＜1或，解得0＜a＜1或1＜a＜4，即a的取值范围是（0，1）∪（1，4）．故选：D．点评：本题主要考查函数的奇偶性和周期性及其运用，同时考查数形结合的数学思想方法，以及对底数a的讨论，是一道中档题．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填在题中横线上）9．（5分）已知集合M={﹣1，1}，，则M∩N={﹣1}．考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：把集合N中的不等式变形后，利用指数函数的单调性列出关于x的不等式，求出解集中的整数解即可得到集合N的元素，然后利用求交集的法则求出M与N的交集即可．解答：解：集合N中的不等式可化为：2﹣1＜2x+1＜22，因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则﹣1＜x+1＜2即﹣2＜x＜1，由x∈Z得到x的值可以是﹣1和0所以N={﹣1，0}，则M∩N═{﹣1，1}∩{﹣1，0}={﹣1}故答案为：{﹣1}点评：本题属于以函数的单调性为平台，求集合的交集的基础题，是高考常会考的题型．10．（5分）（2015春•天津校级月考）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V1．直径为4的球的体积为V2，则V1：V2=1：2．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图先起床该几何体的条件，结合球的体积公式进行比较即可．解答：解：由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆柱挖去一个圆锥，它们的底面半径为2，高为2，故该几何体的体积V1=，球的体积V2=，则V1：V2=，故答案为：1：2点评：本题主要考查空间几何体的体积的计算，根据三视图求出几何体的体积是解决本题的关键．11．（5分）（2015•上饶二模）以抛物线y2=20x的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为（x﹣5）2+y2=9．考点：双曲线的简单性质；直线与圆的位置关系．专题：压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：确定抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程，求出圆的半径，即可得到圆的方程．解答：解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线：的两条渐近线方程为3x±4y=0由题意，r=3，则所求方程为（x﹣5）2+y2=9故答案为：（x﹣5）2+y2=9．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（5分）（2015•西安校级模拟）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB 交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则EC=4．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用切割线定理结合题中所给数据，得PA=3，由弦切角定理结合有一个角为60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，从而求出EC 的长．解答：解：∵PA是圆O的切线，∴PA2=PD•PB=9，可得PA=3．∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC，∴∠PAC=∠ABC=60°，∵△APE中，PE=PA，∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3．∴BE=PB﹣PE=6，DE=PE﹣PD=2∵圆O中，弦AC、BD相交于E，∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，∴EC=4，故答案为：4．点评：本题在圆中给出切线，并且以切线长为一边作正三角形的情况下，求线段的长度．着重考查了切线的性质、正三角形的判定和相交弦定理等知识，属于中档题．13．（5分）（2013秋•启东市校级期中）如图，在等腰三角形ABC中，底边BC=2，=，=，若=﹣，则=．考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：可取BC的中点O作为坐标建立坐标系．利用向量的坐标运算，求出两向量的坐标，即可得出答案．解答：解：∵在等腰三角形ABC中，底边BC=2，∴可取BC的中点O作为坐标原点建立如图所示的坐标系．∴B（﹣1，0），C（1，0），设A（0，a）（a＞0），∵=，∴D为AC的中点，∴D（，），∴=（，），=（1，﹣a），∵=﹣，∴=﹣，解得a=2∴A（0，2），又∵=，∴，∴==（0，2）（﹣1，﹣2）=（，）∴=（，）﹣（1，0）=（，）∴=（，）•（，1）=故答案为：点评：本题考查数量积的运算，建立平面直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．14．（5分）（2015春•天津校级月考）已知函数，则方程g[f（x）]﹣a=0（a 为正实数）的实数根最多有6个．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：先在同一个坐标系中，分别作出函数f（x）和g（x）的图象，如图所示．方程g[f（x）]﹣a=0，即方程g[f（x）]=a，令f（x）=m，则函数y=f（x）的图象可知，方程f（x）=m最多有三个实数根，且当﹣3＜m ＜1时，方程f（x）=m有三个实数根，另外，由函数y=g（x）的图象可知，方程g（n）=a最多有两个实数根．取a=，从而g[f（x）]=a的实数根最多有6个．解答：解：在同一个坐标系中，分别作出函数f（x）和g（x）的图象，如图所示．方程g[f（x）]﹣a=0，即方程g[f（x）]=a，令f（x）=m，则函数y=f（x）的图象可知，方程f（x）=m最多有三个实数根，且当﹣3＜m ＜1时，方程f（x）=m有三个实数根，另外，由函数y=g（x）的图象可知，方程g（n）=a最多有两个实数根．取a=，令g（n）=，则函数y=g（x）的图象可知，方程g（n）=有两个实数根，且此两个实数根均在区间（0，1）上，从而g[f（x）]=有六个实数根，且是最多的．故答案为：6．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想．其中分析内外函数的图象是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．（13分）（2014•重庆）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．解答：解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．点评：本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．16．（13分）（2014•日照二模）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的单调减区间；（2）△ABC的内角分别是A，B，C，若f（A）=1，cosB=，求sinC的值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：（1）由图象易知A=1，T=，可知ω=2，函数图象过（，1），|φ|＜可求得φ，从而可得函数f（x）的解析式，继而可得f（x）的单调减区间；（2）由（I）可知，sin（2x+）=1，从而可求得A=，sinB=，于是利用两角和的正弦求得sinC的值．解答：解：（1）由图象最高点得A=1，…（1分）由周期T==，∴T=π=，解得ω=2．…（2分）当x=时，f（x）=1，可得sin（2•+φ）=1，∵|φ|＜，∴φ=．∴f（x）=sin（2x+）．…（4分）由图象可得f（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．…（6分）（2）由（I）可知，sin（2x+）=1，∵0＜A＜π，∴＜2A+＜，∴2A+=，A=．…（8分）∵0＜B＜π，∴sinB==．…（9分）∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）…（10分）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=．…（12分）点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查三角函数中的恒等变换应用，考查运算求解能力，属于中档题．17．（13分）（2013•天津校级模拟）如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证；（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC，进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥PA；（Ⅲ）设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）可证PD⊥平面EFM，则∠EMF 是二面角B﹣PD﹣C的平面角，通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值；解答：（Ⅰ）证明：ABCD为平行四边形，连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点，∴在△CPA中EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，∴CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD，CD∩PD=D，且CD、PD⊂面ABCD，PA⊥面PDC，又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC；（Ⅲ）解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，Rt△FEM中，，，，故所求二面角的正切值为；点评：本题考查线面平行、面面垂直的判定及二面角的求解，考查学生的推理论证能力及逻辑思维能力，属中档题．18．（13分）（2015•天津校级模拟）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a n+1=2S n+2（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d n的等差数列，设数列{}的前n项和为T n，证明T n＜．考点：数列的求和；等比数列的性质；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知得a n+1﹣a n=2a n，a2=3a1，a2=2a1+2，由此能求出a n=2•3n﹣1．（2）由已知得，由此利用错位相减法能证明T n=＜．解答：（1）解：∵a n+1=2S n+2（n∈N*），∴a n=2S n﹣1+2（n∈N*，n≥2），两式相减，得a n+1﹣a n=2a n，即a n+1=3a n，n≥2，∵等比数列{a n}，∴a2=3a1，又a2=2a1+2，∴a1=2，∴a n=2•3n﹣1．（2）证明：由（1）得，，∵a n+1=a n+（n+1）d n，∴，∴T n=，①=，②①﹣②，得=﹣=﹣=，∴T n=＜．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．（14分）（2015春•天津校级月考）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足=，且AB⊥AF2．（Ⅰ）求椭圆C的离心率；（Ⅱ）D是过A、B、F2三点的圆上的点，D到直线l：x﹣y﹣3=0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C的方程；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN的中垂线与x轴相交于点P（m，0），求实数m的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）连接AF1，由AB⊥AF2，BF1=F1F2，得AF1=F1F2，由此能求出椭圆的离心率．（Ⅱ）由，得c=，从而F2（，0），B（﹣，0），由D到直线l：x﹣﹣3=0的最大距离等于2a，得圆心到直线的距离为a，由此能求出椭圆方程．（Ⅲ）由F2（1，0），得l：y=k（x﹣1），联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此能求出实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）连接AF1，因为AB⊥AF2，BF1=F1F2，所以AF1=F1F2，即a=2c，故椭圆的离心率e=．（Ⅱ）由（1）知，得c=，于是F2（，0），B（﹣，0），Rt△ABC的外接圆圆心为，半径r=|F2B|=a，点D到直线l：x﹣﹣3=0的最大距离等于2a，所以圆心到直线的距离为a，所以=a，解得a=2，∴c=1，b=，所求椭圆方程为．（Ⅲ）由（Ⅱ）知F2（1，0），l：y=k（x﹣1），联立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∵l过点F2，∴△＞0恒成立，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，MN中点（，），当k=0时，MN为长轴，中点为原点，则m=0，当k≠0时，MN中垂线方程y+=﹣（x﹣）．令y=0，∴m==，∵，，∴0＜m＜，综上实数m的取值范围是[0，）．点评：本题考查椭圆的离心率的求法，考查椭圆的方程的求法，考查实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．20．（14分）（2013•天津模拟）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（﹣x2+ax﹣3）e x（其中a实数，e是自然对数的底数）．（Ⅰ）当a=5时，求函数y=g（x）在点（1，e）处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在区间[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅲ）若存在x1，x2∈[e﹣1，e]（x1≠x2），使方程g（x）=2e x f（x）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）写出当a=5时g（x）的表达式，求出导数，求得切线的斜率和切点，再由点斜式方程，即可得到切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导数，求出极值点，讨论①当t时，②当0＜t＜时，函数f（x）的单调性，即可得到最小值；（Ⅲ）由g（x）=2e x f（x）可得2xlnx=﹣x2+ax﹣3，得到a=x+2lnx+，令h（x）═x+2lnx+，求出导数，列表求出极值，求出端点的函数值，即可得到所求范围．解答：解：（Ⅰ）当a=5时，g（x）=（﹣x2+5x﹣3）e x，g′（x）=（﹣x2+3x+2）e x，故切线的斜率为g′（1）=4e，且g（1）=e，所以切线方程为：y﹣e=4e（x﹣1），即4ex﹣y﹣3e=0．（Ⅱ）f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=，①当t时，在区间（t，t+2）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（t）=tlnt，②当0＜t＜时，在区间（t，）上f′（x）＜0，f（x）为减函数，在区间（，e）上f′（x）＞0，f（x）为增函数，所以f（x）min=f（）=﹣；（Ⅲ）由g（x）=2e x f（x）可得2xlnx=﹣x2+ax﹣3a=x+2lnx+，令h（x）═x+2lnx+，h′（x）=1+﹣=x （，1）1 （1，e）h′（x）﹣0 +h（x）单调递减极小值（最小值）单调递增h（）=+3e﹣2，h（1）=4，h（e）=+e+2，h（e）﹣h（）=4﹣2e+＜0则实数a的取值范围为（4，e+2+]．点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求极值、最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．。

天津市第一中学高三上学期第三次月考语文试卷 Word版含答案.pdf

D．疑是水仙梳洗处，一螺春黛镜中心。
二、（9分，每小题3分）
阅读下面文字，完成6-8题。
“万物一齐”与“物之不齐”
李智福
①庄子与孟子同是战国中期人，同为思想巨擘，他们对“物之齐否”持两种完全相反的态度。庄子提出“以道观之
，物无贵贱”“万物一齐，孰短孰长”的观点，孟子则针锋相对地提出“物之不齐，物之情也”的命题。形式上，“万
先是，公在上前尝论准噶尔情形，上不以为然。用兵数年，所言验，乃召公还，予侍郎衔，命往军前参赞。未行
，仍命入宫侍起居。上违和，医药事皆公掌之。
十二年春，命公观兵鄂尔多斯部落。中途，侦贼数万，掠地西走。公即赴拜达理，请于大将军马尔塞曰：“贼送
死，可唾手取也。鼐远来，虽兵疲，犹能一战。惟马力稍竭，愿大将军给轻骑数千助鼐。事成，归功将军；事败，鼐受
天津一中2015-2016 -1高三年级第三次月考语文试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间150分钟。
第Ⅰ卷
一、（15分，每小题3分）
1．下列词语中加点的字，每对读音都不相同的一组是（3分）（）
A．咀嚼/细嚼慢咽乘机/乘风破浪逐渐/流水渐渐露面/风餐露宿马尔赛徇于军
徇：示众
D．事集，万世和好
集：成功
10．下列各组句子中，加点词的意义和用法相同的一组是( )
A．鼐事上久，能知上之用心均之二策，宁许以负奏曲
B．倘诸公心知某冤而不言
声非加疾也，而闻者彰
C．请于大将军马尔塞
不拘于时
D．诸酋相目以退
A．年羹尧被诛杀后，傅鼐能从大局出发，劝说朝廷大臣对胁从的人不予治罪，使无数人平反昭雪。
B．傅鼐在察看军情途中偶遇贼军，在兵马疲惫无援的情况下，仍大败贼军，获得皇上的嘉奖。

高三年级第三次月考数学(文科)学科试卷

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作天津一中高三年级第三次月考数学（文科）学科试卷班级_________ 姓名__________ 成绩__________本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

第I 卷 1 页，第II 卷 2 至5 页。

考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，答在试卷上的无效。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷（本卷共8道题，每题 5分，共40 分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}(){}22560log 2||A x x x B x y x =--===-，，则()R AC B =（）A ．{2}3，B ．{16}-，C ．{}3D ．{}6 2．下列选项叙述错误的是（）A ．命题“若1≠x ，则0232≠+-x x ”的逆否命题是“若0232=+-x x ，则1=x ” B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题C ．若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x 十1≠0，则p ⌝：x ∃∈R ，012=++x x D ．“2>x ”是“0232>+-x x ”的充分不必要条件3．阅读右面的程序框图，则输出的S = ( ) A ．14 B ．30 C ．20 D ．554．已知过点)2,2(P 的直线与圆5)1(22=+-y x 相切，且与直线01=+-y ax 垂直，则a ＝( ) A ．12-B ．1C ．2D ．125．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左顶点与抛物线22(0)y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为（） A ．23 B ．25 C ．43 D ．456．如下图，PC 与圆O 相切于点C ，直线PO 交圆O 于,A B 两点，弦CD 垂直AB 于E ．则下面结论中，错误．．的结论是（） A ．BEC ∆∽DEA ∆ B ．ACE ACP ∠=∠ C ．2DE OE EP =⋅D ．2PC PA AB =⋅7．已知定义在R 上的函数12)(-=-mx x f （m 为实数）为偶函数，记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（） A ．b c a << B ．b c a << C ．b a c << D ．b c a <<8．定义在(1,)+∞上的函数()f x 满足下列两个条件：（1）对任意的(1,)x ∈+∞恒有(2)2()f x f x =成立；（2）当(1,2]x ∈时，()2f x x =-；记函数()()(1)g x f x k x =--，若函数()g x 恰有两个零点，则实数k 的取值范围（）A ．[1,2)B ．4[,2]3 C ．4(,2)3 D ．4[,2)3E DABO CP天津一中2015—2016学年度高三年级第三次月考数学（文科）学科答题纸第Ⅱ卷（本卷共12道题，共110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分。

天津市天津一中高三数学上学期第三次月考理新人教A版

一选择题1.已知复数i z +=1,则21z z +=A ．12i -B ．12i +C .12i --D ．12i -+ 【答案】A 2.下列说法错误．．的是A .命题“若0a =,则0ab =”的否命题是:“若0a ≠,则0ab ≠”B ．“1sin 2θ=”是“30θ=”的充分不必要条件C ．若命题2:,10p x R x x ∃∈-+=,则 2:,10p x R x x ⌝∀∈-+≠D ．若命题“p ⌝”与命题“p 或q ”都是真命题,那么命题q 一定是真命题【答案】B3.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出k 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B4.已知10,1<<>>x b a ，以下结论中成立的是( C ) A ．x xba)1()1(> B ．ba x x > C. log log ab x x > D ． b a x x log log > 5.设函数)22,0,0)(sin()(πϕπωϕω<<->≠+=A x A x f 的图像关于直线x=32π对称,它的周期是π,则（）A .)(x f 的图象过点(0,21)B .)(x f 在[32,12ππ]上是减函数 C .)(x f 的图像一个对称中心是(0,125π) D ．)(x f 的最大值是4 【答案】C6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于A ．5 B ．6 C ．32D ．35【答案】D【解析】圆的标准方程为22(3)4x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ,半径2r =，双曲线的渐近线为b y x a =±，不妨取by x a=，即0bx ay -=，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离2232b d a b ==+，即22294()b a b =+，所以2254b a =，222245b a c a ==-，即2295a c =，所以2935,5e e ==，选D 7.已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若n S a ,11=是数列{}n a 前n 项的和，则)(3162*∈++N n a S n n 的最小值为(A )A . 4B . 3C . 232-D . 298.已知函数1()()2(),f x f x f x x=∈满足当[1,3]，()ln f x x =，若在区间1[,3]3内，函数()()g x f x ax =-与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（）A . 1(0,)eB . 1(0,)2e C . ln 31[,)3e D . ln 31[,)32e二填空题9.设变量x y ，满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≥222x y x x y ，则13+-=y x z的最小值为 7-10.已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___ ___．11某几何体的三视图如图(其中侧视图中的圆弧是半圆),则该几何体的表面积为9214+π12如图，AB 切⊙O 于D A ,为⊙O 内一点，且2=OD ,连结BD 交⊙O 于C ，3==CD BC ，6=AB ，则⊙O 的半径为 22=r13.已知函数⎩⎨⎧<≥+=0,10,1)(2x x x x f 则满足不等式)2()1(2x f x f >-的x 的取值范围是()12,1--中数2012—824 侧视图6正视图俯视图 4514.已知P 是椭圆181622=+y x 上任意一点，EF 是圆M ：()1222=-+y x 的直径，则PF PE •的最大值为 23三、解答题15.已知函数()3sin()sin()()2f x x x ππωωω=---＞0的图像上两相邻最高点的坐标分别为⎪⎭⎫⎝⎛2,3π和⎪⎭⎫⎝⎛2,34π （Ⅰ）求ω的值;（Ⅱ）在△ABC 中c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,且()2f A =求2b ca-的取值范围. 【答案】16.一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为5,4,3,2,1的5个红球与编号为4,3,2,1的4个白球，从中任意取出3个球（Ⅰ）求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率（Ⅱ）求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率（Ⅲ）记X 为取出3个球中编号的最大值，求X 的分布列与数学期望（1）845（2）31（3）X 2 3 4 5p21121473 312185=EX （中数2012—8）17.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=,平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 中点，M 是棱PC 上的点，12,1,2PD PA BC AD CD =====．（Ⅰ）若点M 是棱PC 的中点，求证：//PA 平面BMQ ；（Ⅱ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）若二面角C BQ M --为030，设tMC PM =，试确定t 的值．（2）∵AD // BC，BC=12AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD // BQ ．………6分∴18.已知等比数列{}n a 的首项10a >，公比0q >，前n 项和为n S （Ⅰ）试比较33S a 与55Sa 的大小；（Ⅱ）设{}n a 满足：*321lg lg lg lg ,()23n a a a a n n N n+++⋅⋅⋅+=∈，数列{}n b 满足：121(lg lg lg )n n b a a ka n=++⋅⋅⋅+，求数列{}n a 的通项公式和使数列{}n b 成等差数列的正整数k 的值。

天津一中2018-2019学年高三上学期第三次月考数学试卷Word版含解析

天津一中2018-2019学年高三上学期第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x2﹣5x﹣6=0}，B={x|y=log2（2﹣x）}，则A∩（∁RB）=（）A．{2，3} B．{﹣1，6} C．{3} D．{6}2．下列选项叙述错误的是（）A．命题“若x≠l，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2=0，则x=1”B．若p∨q为真命题，则p，q均为真命题C．若命题p：∀x∈R，x2+x+1≠0，则¬p：∃x∈R，x2+x+1=0D．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件3．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．30 C．20 D．554．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．46．如图，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于A，B两点，弦CD垂直AB于E．则下面结论中，错误的结论是（）A．△BEC∽△DEA B．∠ACE=∠ACP C．DE2=OEEP D．PC2=PAAB7．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a8．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x ﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．[1，2）B．C．D．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b= ．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．11．已知函数f（x）=x3+ax2+b2x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为．12．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为时，log2alog2（2b）取得最大值．13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且，EF=1，．若，则的值为．14．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？16．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为S=accosB．（1）若c=2a，求角A，B，C的大小；（2）若a=2，且≤A≤，求边c的取值范围．17．如图，四棱锥P ﹣ABCD 底面为一直角梯形，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD=2AB ，PA ⊥面ABCD ，E 为PC 中点18．（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD （Ⅱ）求证：BE ∥平面PAD（Ⅲ）假定PA=AD=CD ，求二面角E ﹣BD ﹣C 的正切值．18．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 4=S 1+28，且a 3+2是a 2和a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =a n log a n ，T n =b 1+b 2+…+b n ，求使T n +n2n+1=30成立的正整数n 的值．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：为定值．20．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣ax+m在[，e]上有两个零点，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：f′（）＜0（其中f′（x）是f（x）的导函数）．天津一中2018-2019学年高三上学期第三次月考文科数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x 2﹣5x ﹣6=0}，B={x|y=log 2（2﹣x ）}，则A ∩（∁R B ）=（）A ．{2，3}B ．{﹣1，6}C ．{3}D ．{6} 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出集合A ，B ，然后求解补集以及交集即可．【解答】解：集合A={x|x 2﹣5x ﹣6=0}={﹣1，6}，B={x|y=log 2（2﹣x ）}={x|x ＜2}，则∁R B={x|x ≥2}则A ∩（∁R B ）={6}．故选：D ．【点评】本题考查集合的补集以及交集的求法，是基础题．2．下列选项叙述错误的是（）A ．命题“若x ≠l ，则x 2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题C ．若命题p ：∀x ∈R ，x 2+x+1≠0，则¬p：∃x ∈R ，x 2+x+1=0D ．“x ＞2”是“x 2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A “若p 则q ，“的逆否命题为“若﹣p 则﹣q “．故A 正确；B p ∨q 为真命题说明p 和q 中至少有一个为真；C 是全称命题与存在性命题的转化；D 从充要条件方面判断．【解答】解：A 原命题为“若p 则q ，“，则它的逆否命题为“若﹣p 则﹣q “．故正确；B 当p ，q 中至少有一个为真命题时，则p ∨q 为真命题．故错误．C 正确．D 由x 2一3x+2＞0解得x ＜1或x ＞2 显然x ＞2⇒x ＜1或x ＞2但x＜1或x＞2不能得到x＞2故“x＞2”是“x2一3x+2＞0”的充分不必要条件，故正确．故选B【点评】本题主要考查了四种命题的关系、充要条件的转化、全称命题与存在性命题的相互转化．3．阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．30 C．20 D．55【考点】循环结构．【分析】根据框图的流程依次计算程序运行的结果，直到满足条件i＞4，计算输出S的值即可．【解答】解：由程序框图知：第一次运行S=1，i=1+1=2，不满足条件i＞4，循环，第二次运行S=1+4=5，i=2+1=3，不满足条件i＞4，循环，第三次运行S=5+9=14，i=3+1=4，不满足条件i＞4，循环，第四次运行S=14+16=30，i=4+1=5，满足条件i＞4，终止程序，输出S=30，故选：B．【点评】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算程序运行的结果是解答此类问题的常用方法．4．已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A．B．1 C．2 D．【考点】直线与圆的位置关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】由题意判断点在圆上，求出P与圆心连线的斜率就是直线ax﹣y+1=0的斜率，然后求出a的值即可．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线的垂直，考查转化数学与计算能力．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（）A．2B．2C．4D．4【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【分析】根据题意，点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，结合抛物线的性质，可得p=4，进而可得抛物线的焦点坐标，依据题意，可得双曲线的左顶点的坐标，即可得a的值，由点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，可得渐近线方程，进而可得b的值，由双曲线的性质，可得c的值，进而可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），即点（﹣2，﹣1）在抛物线的准线上，又由抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣，则p=4，则抛物线的焦点为（2，0）；则双曲线的左顶点为（﹣2，0），即a=2；点（﹣2，﹣1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±x，由双曲线的性质，可得b=1；则c=，则焦距为2c=2；故选B．【点评】本题考查双曲线与抛物线的性质，注意题目“双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1）”这一条件的运用，另外注意题目中要求的焦距即2c，容易只计算到c，就得到结论．6．如图，PC与圆O相切于点C，直线PO交圆O于A，B两点，弦CD垂直AB于E．则下面结论中，错误的结论是（）A．△BEC∽△DEA B．∠ACE=∠ACP C．DE2=OEEP D．PC2=PAAB【考点】与圆有关的比例线段；命题的真假判断与应用．【分析】利用垂径定理、切割线定理及相似三角形的判定方法即可判断出结论．【解答】解：A．∵∠CEB=∠AED，∠BCE=∠DAE，∴△BEC∽△DEA，因此A正确；B．∵PC与圆O相切于点C，∴∠PCA=∠B=∠ACE，因此B正确；C．连接OC，则OC⊥PC，又CD⊥AB，∴CE2=OEEP，CE=ED，∴ED2=OEEP，因此C正确；D．由切割线定理可知：PC2=PAPB≠PAAB，因此D不正确．故选D．【点评】熟练掌握垂径定理、切割线定理及相似三角形的判定方法是解题的关键．7．已知定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a=f（log0.53），b=f（log25），c=f（2m），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a【考点】对数函数图象与性质的综合应用；奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性得出f（x）=2|x|﹣1=，利用单调性求解即可．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）=2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，∴f（﹣x）=f（x），m=0，∵f（x）=2|x|﹣1=，∴f（x）在（0，+∞）单调递增，∵a=f（log0.53）=f（log23），b=f（log25），c=f（2m）=f（0）=0，0＜log23＜log25，∴c＜a＜b，故选：B【点评】本题考查了对数函数的性质，函数的奇偶性，单调性，计算能力，属于中档题．8．定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x；记函数g（x）=f（x）﹣k（x ﹣1），若函数g（x）恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A．[1，2）B．C．D．【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可【解答】解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x所以f（x）=﹣x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）=k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）所以可得k的范围为故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学思想，是解决数学问题的必备的解题工具．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b= 1 ．【考点】复数相等的充要条件．【分析】先对等式化简，然后根据复数相等的充要条件可得关于a，b的方程组，解出可得．【解答】解：，即=2﹣ai=b+i，由复数相等的条件，得，解得，∴a+b=1，故答案为：1．【点评】本题考查复数相等的充要条件，属基础题，正确理解复数相等的条件是解题关键．10．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为80 ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是下部正方体，上部是四棱锥的组合体，求出它的体积即可．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是下部是楞长为4的正方体，上部是高为3的四棱锥的组合体，∴该几何体的体积是V 组合体=V 正方体+V 四棱锥=43+×42×3=80．故答案为：80．【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，也考查了求几何体的体积的应用问题，是基础题．11．已知函数f （x ）=x 3+ax 2+b 2x+1，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为．【考点】利用导数研究函数的极值；古典概型及其概率计算公式．【分析】f ′（x ）=x 2+2ax+b 2，要满足题意需x 2+2ax+b 2=0有两不等实根，由此能求出该函数有两个极值点的概率．【解答】解：∵f （x ）=x 3+ax 2+b 2x+1， ∴f ′（x ）=x 2+2ax+b 2，要满足题意需x 2+2ax+b 2=0有两不等实根，即△=4（a 2﹣b 2）＞0，即a ＞b ，又a ，b 的取法共3×3=9种，其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共6种，故所求的概率为P=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、根的判别式、等可能事件概率计算公式的合理运用．12．已知a＞0，b＞0，ab=8，则当a的值为 4 时，log2alog2（2b）取得最大值．【考点】复合函数的单调性．【分析】由条件可得a＞1，再利用基本不等式，求得当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，从而得出结论．【解答】解：由题意可得当log2alog2（2b）最大时，log2a和log2（2b）都是正数，故有a＞1．再利用基本不等式可得log2alog2（2b）≤===4，当且仅当a=2b=4时，取等号，即当a=4时，log2alog2（2b）取得最大值，故答案为：4．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意检查等号成立条件以及不等式的使用条件，属于中档题．13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且，EF=1，．若，则的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，结合图形，先求出的值，再利用=15，即可求出的值．【解答】解：如图所示，设AB∩DC=O，∵ =++=+， =++=+，两式相加得=；∵AB=，EF=1，CD=，平方得1=；∴=﹣；又∵=15，即（﹣）（﹣）=15；∴﹣﹣+=15，∴+=15++，∴=（﹣）（﹣）=﹣﹣+=（15++）﹣﹣=15+（﹣）+（﹣）=15++=15+（﹣）=15+=15﹣=15﹣（﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查了两个向量的加减运算的应用问题，也考查了平面向量的几何意义以及平面向量的数量积的应用问题，是综合性题目．14．函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，记∠APB=θ，则sin2θ的值是．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意，|AB|=2，P是图象的最高点，故P是纵坐标为1，设∠BAP=α，∠PBA=β，那么：θ=π﹣（α+β），过P作AB的垂线．即可求sinα，sinβ，cosα，cosβ，从而求sin2θ的值．【解答】解：由题意，函数y=sin（πx+φ），T=，∴|AB|=2，P是图象的最高点，故P是纵坐标为1，设∠BAP=α，∠PBA=β，那么：θ=π﹣（α+β），过P作AB的垂线交于C，|AC|=，|AP|=，|PC|=1，那么：sinα=，cosα=，|BC|=，|PB|=，那么：sinβ=，cosβ=，则：sin2θ=2sinθcosθ=﹣2sin（α+β）cos（α+β）=﹣2（sinαcosβ+cosαsinβ）（cosαcosβ﹣sinαsinβ）=，故答案为：．【点评】本题考查了三角函数图象及性质的运用和计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30x+20y≤300，5x+10y≤110，x≥0，y≥0，x、y均为整数．由图知直线y=﹣x+P过M（4，9）时，纵截距最大．=6×4+8×9=96（百元）．这时P也取最大值Pmax故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．16．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且△ABC 的面积为S=accosB ．（1）若c=2a ，求角A ，B ，C 的大小；（2）若a=2，且≤A ≤，求边c 的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）法一：根据正弦定理，建立条件关系，即可求出角A ，B ，C 的大小；法二：根据余弦定理，建立条件关系，即可求出角A ，B ，C 的大小．（2）根据正弦定理表示出c ，根据三角函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：由已知及三角形面积公式得S=acsinB=accosB ，化简得sinB=cosB ，即tanB=，又0＜B ＜π，∴B=．（1）解法1：由c=2a ，及正弦定理得，sinC=2sinA ，又∵A+B=，∴sin （﹣A ）=2sinA ，化简可得tanA=，而0＜A ＜，∴A=，C=．解法2：由余弦定理得，b 2=a 2+c 2﹣2accosB=a 2+4a 2﹣2a 2=3a 2，∴b=，∴a ：b ：c=1：，知A=，C=．（2）由正弦定理得，即c=，由C=﹣A ，得===+1又由≤A ≤，知1≤tanA ≤，故c∈[2，]．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，要求熟练掌握相应的定理．17．如图，四棱锥P﹣ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E 为PC中点（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD（Ⅱ）求证：BE∥平面PAD（Ⅲ）假定PA=AD=CD，求二面角E﹣BD﹣C的正切值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明PA⊥DC，DC⊥AD，然后证明DC⊥面PAD，平面PDC⊥平面PAD（Ⅱ）取PD的中点F，连接EF，FA∵E为PC中点，证明四边形ABEF为平行四边形，推出BE ∥AF，然后证明BE∥平面PAD（Ⅲ）连接AC，取AC中点O，连接EO．过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．说明∠EGO为所求二面角E﹣BD﹣C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，连DO并延长交AB于B′，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′，在△EOG中求解二面角E﹣BD﹣C的平面角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD，∵DC⊂面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD（Ⅱ）证明：取PD的中点F，连接EF，FA∵E为PC中点，∴在△PDC中：EF∥=，∴EF∥=AB，∴四边形ABEF为平行四边形，即BE∥AF，∵AF⊂面PAD且BE⊄面PAD，∴BE∥平面PAD．（Ⅲ）解：连接AC，取AC中点O，连接EO．在△PAC中：EO∥=，∴EO⊥面ABC，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．由三垂线定理知：∠EGO为所求二面角E﹣BD﹣C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a连DO并延长交AB于B′，则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′．∴=在△EOG中：，故：二面角E﹣BD﹣C的平面角的正切值为．【点评】本题考查二倍角的平面角的求法，直线与平面平行于垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．18．已知递增的等比数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 4=S 1+28，且a 3+2是a 2和a 4的等差中项．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若b n =a n loga n ，T n =b 1+b 2+…+b n ，求使T n +n2n+1=30成立的正整数n 的值．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（I ）由题意，得，由此能求出数列{a n }的通项公式．（Ⅱ）b n =a n loga n ，T n =b 1+b 2+…+b n =﹣（1×2+2×22+…+n ×2n ），进而可得T n +n2n+1=30成立的正整数n 的值．【解答】解：（I ）设等比数列{a n }的公比为q ， ∵S 4=S 1+28，且a 1+2是a 2和a 4的等差中项．∴，解得，即数列{a n }的通项公式为a n =22n ﹣1=2n …（Ⅱ）b n =a n loga n ，…T n =b 1+b 2+…+b n =﹣（1×2+2×22+…+n ×2n ）①则2T n =﹣（1×22+2×23+…+n ×2n+1）②②﹣①，得T n =（2+22+…+2n ）﹣n2n+1=2n+1﹣2﹣n2n+1 即数列{b n }的前项和T n =2n+1﹣2﹣n2n+1，则T n +n2n+1=2n+1﹣2=30，即2n+1=32，解得：n=4【点评】本题考查数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意数列与不等式的综合运用，合理地进行等价转化．19．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点．①若线段AB中点的横坐标为﹣，求斜率k的值；②若点M（﹣，0），求证：为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积及椭圆几何量之间的关系，建立等式，即可求得椭圆的标准方程；（2）①直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及线段AB中点的横坐标为，即可求斜率k 的值；②利用韦达定理，及向量的数量积公式，计算即可证得结论．【解答】（1）解：因为满足a2=b2+c2，，…根据椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，可得．从而可解得，所以椭圆方程为…（2）证明：①将y=k（x+1）代入中，消元得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，…因为AB 中点的横坐标为，所以，解得…②由①知，所以…==…===…【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量的数量积，考查学生的运算能力，综合性强．20．已知函数f （x ）=2lnx ﹣x 2+ax （a ∈R ）．（Ⅰ）当a=2时，求f （x ）的图象在x=1处的切线方程；（Ⅱ）若函数g （x ）=f （x ）﹣ax+m 在[，e]上有两个零点，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若函数f （x ）的图象与x 轴有两个不同的交点A （x 1，0），B （x 2，0），且0＜x 1＜x 2，求证：f ′（）＜0（其中f ′（x ）是f （x ）的导函数）．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（I ）利用导数的几何意义即可得出；（II ）利用导数研究函数的单调性极值、最值，数形结合即可得出；（III ）由于f （x ）的图象与x 轴交于两个不同的点A （x 1，0），B （x 2，0），可得方程2lnx﹣x 2+ax=0的两个根为x 1，x 2，得到．可得=．经过变形只要证明，通过换元再利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）当a=2时，f （x ）=2lnx ﹣x 2+2x ，，切点坐标为（1，1），切线的斜率k=f ′（1）=2， ∴切线方程为y ﹣1=2（x ﹣1），即y=2x ﹣1．（Ⅱ）g （x ）=2lnx ﹣x 2+m ，则，∵，故g ′（x ）=0时，x=1．当时，g ′（x ）＞0；当1＜x ＜e 时，g ′（x ）＜0．故g （x ）在x=1处取得极大值g （1）=m ﹣1．又，g （e ）=m+2﹣e 2，，∴，∴g （x ）在上的最小值是g （e ）．g （x ）在上有两个零点的条件是解得，∴实数m 的取值范围是．（Ⅲ）∵f （x ）的图象与x 轴交于两个不同的点A （x 1，0），B （x 2，0），∴方程2lnx ﹣x 2+ax=0的两个根为x 1，x 2，则两式相减得．又f （x ）=2lnx ﹣x 2+ax ，，则=．下证（*），即证明，令，∵0＜x 1＜x 2，∴0＜t ＜1，即证明在0＜t＜1上恒成立．∵，又0＜t＜1，∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知，故（*）式＜0，即成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、导数的几何意义、切线的方程、方程实数根的个数转化为图象的交点，考查了推理能力和计算能力，属于难题．。

数学---天津一中2018届高三(上)第三次月考试卷(文)(解析版)

天津一中2018届高三（上）第三次月考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）已知集合A={x∈Z||x﹣1|＜3}，B={x|x2+2x﹣3≥0}，则A∩∁R B=（）A．（﹣2，1）B．（1，4）C．{2，3} D．{﹣1，0}2．（5分）若从集合{1，2，3，5}中随机地选出三个元素，则满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）下列说法正确的是（）A．若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B．“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C．若命题p：“∀x∈R，sin x+cos x≤”，则￢p是真命题D．命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”4．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．﹣lg9 B．﹣1 C．﹣lg1 D．15．（5分）直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，则直线的倾斜角为（）A．或B．或C．或D．6．（5分）若f（x）=2cos（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线x=对称，且当φ取最小值时，∃x0∈（0，），使得f（x0）=a，则a的取值范围是（）A．（﹣1，2] B．[﹣2，﹣1）C．（﹣1，1）D．[﹣2，1）7．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1，x2，都有，记，，，则（）A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）A．[﹣，2] B．[﹣，]C．[﹣2，2] D．[﹣2，]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知复数z满足（1+2i）z=i，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为．10．（5分）已知函数f（x）=2f′（1）ln x﹣x，则f（x）的极大值为．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，抛物线E：x2=4y的焦点B是双曲线虚轴上的一个顶点，若线段BF与双曲线C的右支交于点A，且=3，则双曲线C的离心率为．13．（5分）对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，则实数x的取值范围是．14．（5分）在平行四边形ABCD中，已知AB=6，∠BAD=60°，点E是BC的中点，AE与BD相交于点P，若，则BC=．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a sin A=4b sin B，ac=（a2﹣b2﹣c2）．（Ⅰ）求cos A的值；（Ⅱ）求sin（2B﹣A）的值．16．（13分）某营养学家建议：高中生每天的蛋白质摄入量控制在[60，90]（单位：克），脂肪的摄入量控制在[18，27]（单位：克）．某学校食堂提供的伙食以食物A和食物B为主，1千克食物A含蛋白质60克，含脂肪9克，售价20元；1千克食物B含蛋白质30克，含脂肪27克，售价15元．（Ⅰ）如果某学生只吃食物A，判断他的伙食是否符合营养学家的建议，并说明理由；（Ⅱ）为了花费最低且符合营养学家的建议，学生需要每天同时食用食物A和食物B各多少千克？并求出最低需要花费的钱数．17．（13分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．18．（13分）已知数列{a n}，{b n}，S n为数列{a n}的前n项和，a2=4b1，S n=2a n﹣2，nb n+1﹣（n+1）b n=n2+n（n∈N*）.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明为等差数列；（3）若数列{c n}的通项公式为c n=，令T n为{c n}的前n项的和，求T2n．19．（14分）已知函数f（x）=x ln x，g（x）=λ（x2﹣1）（λ为常数）（1）已知函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，求实数λ的值；（2）如果，且x≥1，证明f（x）≤g（x）；（3）若对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数λ的取值范围．20．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：+=1经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．【参考答案】一、选择题1．D【解析】由A中不等式解得：﹣2＜x＜4，即B={﹣1，0，1，2，3}，由B中不等式变形得：（x+3）（x﹣1）≥0，解得：x≤﹣3，或x≥1，即B=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞），∴∁R B=（﹣3，1），则A∩（∁R B）={﹣1，0}．故选：D．2．B【解析】从集合{1，2，3，5}中随机地选出三个元素，基本事件总数n=4，满足其中两个元素的和等于第三个元素包含的基本事件有：（1，2，3），（2，3，5），共有2个，∴满足其中两个元素的和等于第三个元素的概率p=．故选：B．3．A【解析】若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sin x+cos x=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．4．B【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=lg+lg+lg+…+lg的值．由于S=lg+lg+lg+…+lg=（lg1﹣lg2）+（lg2﹣lg3）+（lg3﹣lg4）+…+（lg9﹣lg10）=lg1﹣lg10=﹣1．故选：B．5．A【解析】由题知：圆心（2，3），半径为2．因为直线y=kx+3被圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为d==1=，∴k=±，由k=tanα，得或．故选A．6．D【解析】∵函数f（x）=2cos（2x+φ）（φ＞0）的图象关于直线x=对称，∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，当φ取最小值时φ=，∴f（x）=2cos（2x+），∵x0∈（0，），∴2x0+∈（，），∴﹣1≤cos（2x0+）＜，∴﹣2≤f（x0）＜1，∵f（x0）=a，∴﹣2≤a＜1故选：D．7．A【解析】不妨设：x1＞x2＞0，由题意可得：，同理，当0＜x1＜x2时有，据此可得函数在区间（0，+∞）上单调递减，且函数g（x）是偶函数，因此，，，即a＜c＜b，故选：A．8．A【解析】当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，则﹣≤a≤①当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，即为﹣（x+）≤+a≤x+，即有﹣（x+）≤a≤+，由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．则﹣2≤a≤2②由①②可得，﹣≤a≤2．另解：作出f（x）的图象和折线y=|+a|当x≤1时，y=x2﹣x+3的导数为y′=2x﹣1，由2x﹣1=﹣，可得x=，切点为（，）代入y=﹣﹣a，解得a=﹣；当x＞1时，y=x+的导数为y′=1﹣，由1﹣=，可得x=2（﹣2舍去），切点为（2，3），代入y=+a，解得a=2．由图象平移可得，﹣≤a≤2．故选：A．二、填空题9．【解析】∵（1+2i）z=i，∴z===+，∴复数z的虚部为．故答案为10．2ln2﹣2【解析】由于函数f（x）=2f′（1）ln x﹣x，则f′（x）=2f′（1）×﹣1（x＞0），f′（1）=2f′（1）﹣1，故f′（1）=1，得到f′（x）=2×﹣1=，令f′（x）＞0，解得：x＜2，令f′（x）＜0，解得：x＞2，则函数在（0，2）上为增函数，在（2，+∞）上为减函数，故f（x）的极大值为f（2）=2ln2﹣2故答案为：2ln2﹣211．【解析】由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面四边形BEDC为直角梯形，DC∥EB，DE⊥EB，且EB=DE=2DC=4，侧面ABE为等腰三角形，AB=AE，平面AEB⊥平面BEDC，∴该几何体的体积为V=．故答案为：．12．【解析】F（c，0），B（0，1），∴b=1．设A（m，n），则=（m，n﹣1），=（c﹣m，﹣n），∵=3，∴，解得，即A（，），∵A在双曲线﹣y2=1的右支上，∴﹣=1，∴=．∴e==．故答案为：．13．[﹣4，5]【解析】∵θ∈（0，），∴+=（sin2θ+cos2θ）=5+≥=9，当且仅当tanθ=时取等号．∵对任意的θ∈（0，），不等式+≥|2x﹣1|恒成立，∴|2x﹣1|≤=9，∴﹣9≤2x﹣1≤9，解得﹣4≤x≤5．∴实数x的取值范围是[﹣4，5]．故答案为：[﹣4，5]．14．3【解析】如图所示，建立直角坐标系，设AD=2a，∵AB=6，∠BAD=60°，点E是BC的中点，AE与BD相交于点P，∴A（0，0），B（6，0），D（a，a），C（a+6，a），E（+6，a），∵B，P，D三点共线，∴存在实数λ使得=λ+（1﹣λ）=（6λ+（1﹣λ）a，（1﹣λ）a）．∵A，P，E三点共线，（+6）（1﹣λ）a﹣a[6λ+（1﹣λ）a]=0，解得：a=，故BC=3．故答案为：3．三、解答题15．（Ⅰ）解：由，得a sin B=b sin A，又a sin A=4b sin B，得4b sin B=a sin A，两式作比得：，∴a=2b．由，得，由余弦定理，得；（Ⅱ）解：由（Ⅰ），可得，代入a sin A=4b sin B，得．由（Ⅰ）知，A为钝角，则B为锐角，∴．于是，，故．16．解：（Ⅰ）如果学生只吃食物Ax kg，则，无解，故不符合营养学家的建议；（Ⅱ）由题意，设学生每天吃食物Ax kg，食物By kg；则z=20x+15y；作平面区域如下，由解得，x=，y=；故z=20×+15×=22；答：学生每天吃0.8千克食物A，0.4千克食物B，既能符合营养学家的建议又花费最少．最低需要花费22元．17．证明：（I）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC∥A1C1，AC=A1C1，连接ED，可得DE∥AC，DE=AC，又F为棱A1C1的中点．∴A1F=DE，A1F∥DE，所以A1DEF是平行四边形，所以EF∥DA1，DA1⊂平面A1CD，EF⊄平面A1CD，∴EF∥平面A1CD（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，又AA1⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴AA1⊥CD，又AA1∩AB=A，∴CD⊥面A1ABB1，又CD⊂面A1CD，∴平面A1CD⊥平面A1ABB1；（III）过B作BG⊥A1D交A1D于G，∵平面A1CD⊥平面A1ABB1，且平面A1CD∩平面A1ABB1=A1D，BG⊥A1D，∴BG⊥面A1CD，则∠BCG为所求的角，设棱长为a，可得A1D=，由△A1AD∽△BGD，得BG=，在直角△BGC中，sin∠BCG==，∴直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．18．（1）解：当n＞1时，当n=1时，S1=2a1﹣2⇒a1=2，综上，{a n}是公比为2，首项为2的等比数列，（2）证明：∵a2=4b1，∴b1=1，∵，∴综上，是公差为1，首项为1的等差数列，．（3）解：令p n=c2n﹣1+c2n=，①﹣②，得，，∴．19．解：（1）∵函数f（x）=x ln x，g（x）=λ（x2﹣1），∴f′（x）=1+ln x，g′（x）=2λx，∵函数y=f（x）与y=g（x）在x=1处有相同的切线，∴f′（1）=g′（1），∴1+ln1=2λ，解得λ=，（2）当，且x≥1时，设h（x）=g（x）﹣f（x）=（x2﹣1）﹣x ln x，∴h′（x）=x﹣1﹣ln x，令φ（x）=x﹣1﹣ln x，∴φ′（x）=1﹣≥0在[1，+∞）上恒成立，∴φ（x）min=φ（1）=1﹣1﹣ln1=0，∴h′（x）=x﹣1﹣ln x≥0，在[1，+∞）上恒成立，∴h（x）在[1，+∞）上递增，∴h（x）min=h（1）=0，∴当，且x≥1，f（x）≤g（x）成立，（3）对任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，∴x ln x≤λ（x2﹣1），∴λ≥，设m（x）=，则m′（x）==，令n（x）=x2﹣1﹣（x2+1）ln x，则n′（x）=2x﹣2x ln x﹣（x+）=，再令p（x）=x2﹣2x2ln x﹣1则p′（x）=2x﹣2（2x ln x+x）=﹣4x ln x＜0在[1，+∞）为恒成立，∴p（x）在[1，+∞）为减函数，∴p（x）≤p（1）=0，∴n′（x）＜0在[1，+∞）为恒成立，∴n（x）在[1，+∞）为减函数，∴n（x）≤n（1）=0，∴m′（x）＜0在[1，+∞）为恒成立，∴m（x）在[1，+∞）为减函数，∵m（x）===，∴m（x）≤，∴λ≥．故λ的取值范围为[，+∞）．20．解：（1）因为椭圆椭圆C：+=1经过点（b，2e）所以．因为e2=，所以，又∵a2=b2+c2，，解得b2=4或b2=8（舍去）．所以椭圆C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为T（1，0），则直线l的方程为y=k（x﹣1）．联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，所以x1+x2=，x1x2=．因为MN∥l，所以直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程消去y得（2k2+1）x2=8，解得x2=因为MN∥l，所以因为（1﹣x1）•（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．（x M﹣x N）2=4x2=．所以=．（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而，∵=，…①由（2）知…②由①②得⇒50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2=2或k2=﹣（舍）．又因为k＞0，所以k=．。

2017—2018届高三第三次月考数学试卷(文科)(解析版)

2017-2018学年天津一中高三第三次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={x ∈N|x ≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁U A ）∩B 等于（）A ．{0，2}B ．{5}C ．{1，3}D ．{4，6}2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A ．B ．C ．D ．3．“a=1”是“函数f （x ）=|x ﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（）A ．4B ．5C ．6D ．75．已知双曲线C 1：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，若抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）的焦点到双曲线C 1的涟近线的距离是2，则抛物线C 2的方程是（）A ．B ．x 2=y C ．x 2=8yD ．x 2=16y6．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 满足f （2|a ﹣1|）＞f （﹣），则a 的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）∪（，+∞）C．（，）D．（，+∞）7．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ＜|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣C．D．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为．10．若曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y=2x+b，则b= ．11．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为cm3．12．圆心在直线x﹣2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A（﹣2，0）、B（﹣4，0），则圆C的方程为．13．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2， =， =，DE的延长线交CA的延长线于点F，则•的值为．14．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c cosB=2a﹣b．（I）求C；（Ⅱ）若cosB=，求cosA的值．16．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产1桶甲产品需耗A原料3千克，B原料1千克，生产1桶乙产品需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克．设公司计划每天生产x桶甲产品和y 桶乙产品．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应的平面区域；（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM ∥平面PCB ；（Ⅲ）求PB 与平面ABCD 所成角的大小．18．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *时，点（a n ，S n ）都在函数f （x ）=﹣的图象上．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．19．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：x 2+y 2=2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点． ①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证：OP ⊥OQ ．20．已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+（b ﹣a ）x （a ，b 不同时为零的常数），导函数为f′（x ）．（1）当时，若存在x ∈[﹣3，﹣1]使得f′（x ）＞0成立，求b 的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x ）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f （x ）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y ﹣3=0，关于x 的方程在[﹣1，t]（t ＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围．2016-2017学年天津一中高三（山个）第三次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={x∈N|x≤6}，A={1，3，5}，B={4，5，6}，则（∁A）∩B等U于（）A．{0，2} B．{5} C．{1，3} D．{4，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合U，根据集合的补集的定义求出CA，再根据两个集合的UA）∩B．交集的定义求出（CU【解答】解：∵全集U={x∈N|x≤6}={0，1，2，3，4，5，6 }，A={1，3，5}，B={4，5，6}，A={0，2，4，6}，∴CUA）∩B═{0，2，4，6}∩{4，5，6}={4，6}．∴（CU故选D．2．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】列举出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．【解答】解：从1，2，3，4中随机取出两个不同的数的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6个，其中和为偶数的有（1，3），（2，4）共2个，由古典概型的概率公式可知，从1，2，3，4中随机取出两个不同的数，则其和为偶数的概率为．故答案为：．3．“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】函数f（x）=|x﹣a|的图象是关于x=a对称的折线，在[a，+∞）上为增函数，由题意[1，+∞）⊆[a，+∞），可求a的范围．【解答】解：若“a=1”，则函数f（x）=|x﹣a|=|x﹣1|在区间[1，+∞）上为增函数；而若f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数，则a≤1，所以“a=1”是“函数f（x）=|x﹣a|在区间[1，+∞）上为增函数”的充分不必要条件，故选A．4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用，即可得出结论．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：是否继续循环 S k循环前/0 0第一圈是 1 1 第二圈是 3 2 第三圈是 11 3 第四圈是 2059 4 第五圈否 ∴最终输出结果k=4 故选：A ．5．已知双曲线C 1：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为2，若抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）的焦点到双曲线C 1的涟近线的距离是2，则抛物线C 2的方程是（）A ．B ．x 2=y C ．x 2=8yD ．x 2=16y【考点】抛物线的简单性质；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的离心率推出a ，b 的关系，求出抛物线的焦点坐标，通过点到直线的距离求出p ，即可得到抛物线的方程．【解答】解：双曲线C 1：的离心率为2．所以，即： =4，所以；双曲线的渐近线方程为：抛物线的焦点（0，）到双曲线C 1的渐近线的距离为2，所以2=，因为，所以p=8．抛物线C 2的方程为x 2=16y ．故选D ．6．已知f （x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，若实数a 满足f （2|a ﹣1|）＞f （﹣），则a 的取值范围是（）A ．（﹣∞，）B ．（﹣∞，）∪（，+∞）C ．（，）D ．（，+∞）【考点】函数单调性的性质．【分析】根据函数的对称性可知f（x）在（0，+∞）递减，故只需令2|a﹣1|＜即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（﹣∞，0）上单调递增，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减．∵2|a﹣1|＞0，f（﹣）=f（），∴2|a﹣1|＜=2．∴|a﹣1|，解得．故选：C．7．函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ＜|）的图象向左平移个单位后关于原点对称，求函数f（x）在[0，]上的最小值为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得+φ=kπ，k∈z，由此根据|φ|＜求得φ的值．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，k∈z，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣），由题意x∈[0，]，得2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]∴函数y=sin（2x﹣）在区间[0，]的最小值为．故选：A．8．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=（|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[﹣，] D．[﹣，]【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的判断；函数最值的应用．【分析】把x≥0时的f（x）改写成分段函数，求出其最小值，由函数的奇偶性可得x＜0时的函数的最大值，由对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），可得2a2﹣（﹣4a2）≤1，求解该不等式得答案．【解答】解：当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x≤2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2．∴当x＞0时，．∵函数f（x）为奇函数，∴当x＜0时，．∵对∀x∈R，都有f（x﹣1）≤f（x），∴2a2﹣（﹣4a2）≤1，解得：．故实数a的取值范围是．故选：B．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）=a，则的值为 2 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）=1+b+（1﹣b）i=a，a，b∈R，∴，解得：，∴=2，故答案为：210．若曲线y=ax+lnx在点（1，a）处的切线方程为y=2x+b，则b= ﹣1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，再由切线方程得到斜率，解方程求得a=1，再代入切线方程，得到b．【解答】解：y=ax+lnx的导数为y′=a+，则在点（1，a）处的切线斜率为a+1，由于在点（1，a）处的切线方程为y=2x+b，则有a+1=2，即a=1，则1=2+b，解得b=﹣1．故答案为：﹣1．11．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为16 cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，其中左侧面、后侧面与底面垂直．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，其中左侧面、后侧面与底面垂直．∴该几何体的体积==16cm 2．故答案为：16．12．圆心在直线x ﹣2y+7=0上的圆C 与x 轴交于两点A （﹣2，0）、B （﹣4，0），则圆C 的方程为（x+3）2+（y ﹣2）2=5 ．【考点】圆的标准方程．【分析】先由条件求得圆心的坐标为C （﹣3，2），半径r=|AC|=，从而得到圆C 的方程．【解答】解析：直线AB 的中垂线方程为x=﹣3，代入直线x ﹣2y+7=0，得y=2，故圆心的坐标为C （﹣3，2），再由两点间的距离公式求得半径r=|AC|=， ∴圆C 的方程为（x+3）2+（y ﹣2）2=5，故答案为（x+3）2+（y ﹣2）2=5．13．在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=1，AC=2， =，=，DE 的延长线交CA 的延长线于点F ，则•的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，结合已知求出D 、F 的坐标，进一步求得、的坐标，则答案可求．【解答】解：如图，分别以AC 、AB 所在直线为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则A （0，0），C （2，0），B （0，1），∵=，∴E （0，），又=，得D （），设F （m ，0），则，，由，得，即m=．∴，则•=．故答案为：．14．已知m∈R，函数f（x）=，g（x）=x2﹣2x+2m﹣1，若函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则实数m的取值范围是（0，）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】令g（x）=t，由题意画出函数y=f（t）的图象，利用y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，可知要使函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，则t=x2﹣2x+2m﹣1中每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，求出y=f （t）与y=m交点横坐标的最小值，由其绝对值大于2m﹣2，结合0＜m＜3求得实数m的取值范围．【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，令g（x）=t，y=f（t）与y=m的图象最多有3个零点，当有3个零点，则0＜m＜3，从左到右交点的横坐标依次t1＜t2＜t3，由于函数y=f（g（x））﹣m有6个零点，t=x2﹣2x+2m﹣1，则每一个t的值对应2个x的值，则t的值不能取最小值，函数t=x2﹣2x+2m﹣1对称轴x=1，则t的最小值为1﹣2+2m﹣1=2m﹣2，由图可知，2t1+1=﹣m，则，由于t1是交点横坐标中最小的，满足①，又0＜m＜3②，联立①②得0．∴实数m的取值范围是（0，）．故答案为：（0，）．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c cosB=2a﹣b．（I）求C；（Ⅱ）若cosB=，求cosA的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，把sinA=sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出cosC的值，即可确定出C的度数；（Ⅱ）由cosB的值，求出sinB的值，cosA变形为﹣cos（B+C），利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：（I）由正弦定理得2sinCcosB=2sinA﹣sinB，即2sinCcosB=2sin（C+B）﹣sinB，∴2sinCcosB=2sinCcosB+2cosCsinB﹣sinB，即2cosCsinB﹣sinB=0，∵sinB≠0，∴2cosC﹣=0，即cosC=，∵0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）∵cosB=，0＜C＜π，∴sinB==，∴cosA=﹣cos（B+C）=﹣（cosBcosC﹣sinBsinC）=﹣×+×=．16．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产1桶甲产品需耗A原料3千克，B原料1千克，生产1桶乙产品需耗A原料1千克，B原料3千克．每生产一桶甲产品的利润为400元，每生产一桶乙产品的利润为300元，公司在生产这两种产品的计划中，每天消耗A、B原料都不超过12千克．设公司计划每天生产x桶甲产品和y 桶乙产品．（Ⅰ）用x，y列出满足条件的数学关系式，并在下面的坐标系中用阴影表示相应的平面区域；（Ⅱ）该公司每天需生产甲产品和乙产品各多少桶时才使所得利润最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【分析】（Ⅰ）根据题设中的条件可设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y 桶，根据题设条件得出线性约束条件；（Ⅱ）利用线性规划的知识进行求解即可得到目标函数利润的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设每天生产甲产品x桶，乙产品y桶，则x，y满足条件的数学关系式为…该二元一次不等式组表示的平面区域（可行域）如图…（Ⅱ）设利润总额为z元，则目标函数为：z=400x+300y．…如图，作直线l：400x+300y=0，即4x+3y=0．当直线y=﹣x+经过可行域上的点A时，截距最大，即z最大．解方程组得，即A（3，3），…代入目标函数得z=2100．…max答：该公司每天需生产甲产品3桶，乙产品3桶才使所得利润最大，最大利润为2100元．…17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．（Ⅰ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；（Ⅲ）求PB与平面ABCD所成角的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG，GB，BD，推导出PG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面PBG，由此能证明AD⊥PB．（Ⅱ）取PB的中点N，连结MN，CN，推导出四边形MNCD是平行四边形，由此能证明DM∥平面PCB．（Ⅲ）推导出PG⊥底面ABCD，则∠PBG为PB与平面ABCD所成的角，由此能求出PB与平面ABCD所成的角．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG，GB，BD．∵△PAD为等腰直角三角形，且∠APD=90°，∴PA=PD，∴PG⊥AD．∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形．∴BG⊥AD．又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG．∴AD⊥PB．…（Ⅱ）取PB的中点N，连结MN，CN．∵M，N分别是PA，PB的中点，∴MN∥AB，MN=AB．又AB∥CD，CD=，∴MN∥CD，MN=CD．∴四边形MNCD是平行四边形．∴DM∥CN．又CN⊂平面PCB，DM⊄平面PCB，∴DM ∥平面PCB ． …解：（Ⅲ）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD=AD ，又PG ⊥AD ， ∴PG ⊥底面ABCD ．∴∠PBG 为PB 与平面ABCD 所成的角．设CD=a ，则PG=a ，BG=．在Rt △PBG 中，∵tan ∠PBG=，∴∠PBG=30°．∴PB 与平面ABCD 所成的角为30°．…18．设S n 为数列{a n }的前n 项和，且对任意n ∈N *时，点（a n ，S n ）都在函数f （x ）=﹣的图象上．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =，求数列{b n }的前n 项和T n 的最大值．【考点】等比数列的前n 项和；数列的函数特性．【分析】（Ⅰ）由题意得，再由和等比数列的定义，求出数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）和等比数列的前n 项和公式化简b n ，再由等差数列的定义证明出数列{b n }是等差数列，再由求出n 的范围，根据n 取正整数和等差数列的前n 项和公式，确定、并求出T n 的最大值．【解答】解：（Ⅰ）因为点（a n ，S n ）都在函数的图象上．所以，当n=1时，，∵，当n≥2时，，所以，}是公比为，首项为的等比数列，∴，∴{an∴；}是公比为，首项为的等比数列，（Ⅱ）因为{an所以，∴，∵，}是以为首项，公差为的等差数列，且单调递减∴数列{bn由，所以，即，∴n=6，}的前n项和的最大值为．数列{bn19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率为，点（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与圆O：x2+y2=2相切，与椭圆C相交于P，Q两点．①若直线l过椭圆C的右焦点F，求△OPQ的面积；②求证：OP⊥OQ．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出椭圆的几何量，即可得到椭圆方程．（2）①椭圆C的右焦点．设切线方程为，利用点到直线的距离公式，求出K得到直线方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，得到PQ，然后求解三角形的面积．②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为或．利用，推出OP⊥OQ．（ii）若直线PQ的斜率存在，设直线PQ的方程为y=kx+m，通过，将直线PQ方程代入椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，结合m2=2k2+2，，推出结果．【解答】解：（1）由题意，得，解得a2=6，b2=3．所以椭圆的方程为．（2）①椭圆C的右焦点．设切线方程为，即，所以，解得，所以切线方程为．由方程组解得或，所以．因为O到直线PQ的距离为，所以△OPQ的面积为．综上所述，△OPQ的面积为．②（i）若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为或．当时，．因为，所以OP ⊥OQ ．当时，同理可得OP ⊥OQ ．（ii ）若直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程为y=kx+m ，即kx ﹣y+m=0．因为直线与圆相切，所以，即m 2=2k 2+2．将直线PQ 方程代入椭圆方程，得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m 2﹣6=0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则有，因为=．将m 2=2k 2+2代入上式可得，所以OP ⊥OQ ．综上所述，OP ⊥OQ ．20．已知函数f （x ）=ax 3+bx 2+（b ﹣a ）x （a ，b 不同时为零的常数），导函数为f′（x ）．（1）当时，若存在x ∈[﹣3，﹣1]使得f′（x ）＞0成立，求b 的取值范围；（2）求证：函数y=f′（x ）在（﹣1，0）内至少有一个零点；（3）若函数f （x ）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y ﹣3=0，关于x 的方程在[﹣1，t]（t ＞﹣1）上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】（1）当时，f′（x ）==，由二次函数的性质，分类讨论可得答案；（2）因为f′（x ）=3ax 2+2bx+（b ﹣a ），所以f′（0）=b ﹣a ，f'（﹣1）=2a ﹣b ，．再由a ，b 不同时为零，所以，故结论成立；第21页（共22页）（3）将“关于x 的方程在[﹣1，t]（t ＞﹣1）上有且只有一个实数根”转化为“函数f （x ）与的交点”问题解决，先求函数f （x ）因为f （x ）=ax 3+bx 2+（b ﹣a ）x 为奇函数，可解得b=0，所以f （x ）=ax 3﹣ax ，再由“f（x ）在x=1处的切线垂直于直线x+2y ﹣3=0”解得a ，从而得到f （x ），再求导，由，知f （x上是増函数，在上是减函数，明确函数的变化规律，再研究两个函数的相对位置求解．【解答】解：（1）当时，f′（x ）==，其对称轴为直线x=﹣b ，当，解得，当，b 无解，所以b 的取值范围为；（2）因为f′（x ）=3ax 2+2bx+（b ﹣a ）， ∴f′（0）=b ﹣a ，f'（﹣1）=2a ﹣b ，．由于a ，b 不同时为零，所以，故结论成立．（3）因为f （x ）=ax 3+bx 2+（b ﹣a ）x 为奇函数，所以b=0，所以f （x ）=ax 3﹣ax ，又f （x ）在x=1处的切线垂直于直线x+2y ﹣3=0．所以a=1，即f （x ）=x 3﹣x ．因为所以f （x ）在上是増函数，在上是减函数，由f （x ）=0解得x=±1，x=0，如图所示，当时，，即，解得；当时，或，解得；第22页（共22页）当时，或，即，解得；当时，或或，故．当时，或，解可得t=，当时，，无解．所以t 的取值范围是或或t=．。

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