(完整版)巧妙求和
四上.8巧妙求和
第八周：巧妙求和
通项公式： 第n项=首项+（项数-1）×公差 项数公式： 项数=（末项-首项）÷公差+1 求和公式： 总和=（首项+末项） ×项数÷2
例题一：求项数
有一个数列：4、10、16、22· · · · · · 52，
这个数列共有多少项？
分析： 项数=（末项-首项）÷公差+1 公差=10-4=6 末项=52 首项=4 项数=（末项-首项）÷公差+1 =（52-4）÷6+1 = 9（项）
练习4：求总和
总和=（首项+项数）×项数÷2 第1题：2+6+10+14+18+22 总和=（2+22）×6÷2=72 第2题： 5+10+15+20· · · · · · +195+200 项数=（200-5）÷（10-5）+1 =40 总和=（5+200）×40÷2 =4100
第3题：9+18+27+36· · · · · · +261+270
项数=（270-9）÷（18-9）+1 =30 总和=（9+270）×30÷2 =4185
例题五：求总和的应用
计算： （2+4+6+ · · · · · ·+100）- （1+3+5+ · · · · · ·+99） 减数 被减数 分析： 先分别求出被减数和减数 被减数 =（2+100）×50÷2 =2550 减数 =（1+99）×50÷2 =2500
第1题：1+2+3+4· · · · · · +49+50
四年级奥数题第8讲 巧妙求和(一)
第2讲巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中项的个数称为项数。
从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
二、精讲精练【例题1】有一个数列：4,10,16,22.…,52.这个数列共有多少项？练习1：1、等差数列中,首项=1,末项=39,公差=2.这个等差数列共有多少项？2、有一个等差数列：2.5,8,11.…,101.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7,11.15,……,这个等差数列的第100项是多少？练习2：1、一等差数列,首项=3.公差=2.项数=10,它的末项是多少？2、求1,4,7,10……这个等差数列的第30项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4,…,99,100。
请求出这个数列所有项的和。
练习3：计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75【例题4】求等差数列2,4,6,…,48,50的和。
练习4：计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)三、课后作业1、已知等差数列11,16,21,26,…,1001.这个等差数列共有多少项？2、求等差数列2,6,10,14……的第100项。
小学奥数 数列求和 巧妙求和 含答案
第16讲巧妙求和一、知识要点某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？【思路导航】根据条件“他每天读的页数都比前一天多3页”可以知道他每天读的页数是按一定规律排列的数，即30、33、36、……57、60。
要求这本书共多少页也就是求出这列数的和。
这列数是一个等差数列，首项=30，末项=60，项数=11.因此可以很快得解：（30＋60）×11÷2=495（页）想一想：如果把“第11天”改为“最后一天”该怎样解答？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？3.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中学会了多少个英语单词？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？【思路导航】开第一把锁时，如果不凑巧，试了29把钥匙还不行，那所剩的一把就一定能把它打开，即开第一把锁至多需要试29次；同理，开第二把锁至多需试28次，开第三把锁至多需试27次……等打开第29把锁，剩下的最后一把不用试，一定能打开。
所以，至多需试29＋28＋27＋…＋2＋1=（29＋1）×29÷2=435（次）。
练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
巧妙求和
巧妙求和（一）通项公式：第n项=首项+（项数-1）×公差项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1求和公式：总和=（首项+末项）×公差÷2（1）、有一个数列，4、10、16、22……52，这个数列共多少项？等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2。
这个数列共多少项？有一个等差数列，2、5、8、11……101，这个数列共多少项？已知等差数列，11、16、21、26……1001，这个数列共多少项？（2）、有一个等差数列：3、5、7、11、15……这个等差数列的第100项是多少？一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，求它的末项是多少？求等差数列，1、4、7、10……这个数列的第30项。
求等差数列，2、6、10、14……这个数列的第100项。
（3）、有这样的一列数，1、2、3、4、……99、100。
这列数各项相加的和是多少？6+7+8+9+……+75 100+99+98+……+61+609+18+27+36+......+261+270 （5）（2+4+6+......+100）-（1+3+5+ (99)1+2-3+4+5-6+7+8-9+……+58+59-60巧妙求和（二）（1）、刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，每天都比前一天多读3页，第11天读了60页，正好读完，这本书共多少页？刘师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天都比前一天多读5页，最后一天读了50页恰好读完。
这本书共有多少页？丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个，丽丽在这些天学会了多少个单词？（2）、30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙，问一共有几把锁的钥匙搞乱了？有10只盒子，44只羽毛球。
小学奥数 巧妙求和 知识点+例题+练习 (分类全面)
巩固(1) 21+23+25+27+29+31 (2) 108+128+148+168+188
例3、有一堆木材叠堆在一起，一共是10层，第1层有16根，第2层有17根，……下面每层比上层多一两点钟敲2下，……二十四点钟敲24下，这个钟一昼夜敲多少下？
教学内容
巧妙求和、图形计数、容斥原理
教学目标
掌握巧妙求和、图形计数、容斥原理
重点
巧妙求和、图形计数、容斥原理
难点
巧妙求和、图形计数、容斥原理
教
学
过
程
课堂精讲
1、巧妙求和
例1、高斯求和
1+2+3+4+……+9+10=
巩固（1) 1+2+3+4+……+99+100 (2) 21+22+23+24+……+100
例4、计算991+992+993+994+995+996+997+998+999。
巩固：(1) 9997+9998+9999 (2) 100-1-3-5-7-9-11-13-15-17-19
课后作业
1、 1+2+3+4+5+……+20
2、48+50+52+54+56+58+60+62
3、体育馆的东区共有30排座位，呈梯形，第1排有10个座位，第2排有11个座位，……这个体育馆东区共有多少个座位？
举一反三 4年级 第8讲 巧妙求和
答案
计算（2+4+6+…+100）－（1+3+5+…+99）
问题
答案
用简便方法计算下面各题。 （1）（2001+1999+1997+1995）－ （2000+1998+1996+1994） （2）（2+4+6+…+2000）－（1+3+5+…+1999） （3）（1+3+5+…+1999）－（2+4+6+…+1998）
有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少 项？
问题
答案
容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数， 可直接带入项数公式进行计算。 项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2. 这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101. 这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001. 这个等差数列共有多少项？
问题
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
答案
有这样一个数列：1.2.3.4，…， 99，100。请求出这个数列所有项 的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
问题
答案
计算下面各题。 （1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60
小学四年级奥数巧妙求和
四年级奥数专题巧妙求和（一）专题简析：若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
这一周学习“等差数列求和”。
需要记住三个非常重要的公式：“通项公式”、“项数公式”、“求和公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2例1：有一个数列：4，10，16，22，…，52，这个数列共有多少项？分析与解答：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52，要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习一1，等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2，这个等差数列共有多少项？2，有一个等差数列：2，5，8，11，…，101，这个等差数列共有多少项？3，已知等差数列11，16，21，26，…，1001，这个等差数列共有多少项？例2：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？分析与解答：这个等差数列的首项是3，公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399练习二1，一等差数列，首项=3，公差=2，项数=10，它的末项是多少？2，求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3，求等差数列2，6，10，14……的第100项。
例3：有这样一个数列：1，2，3，4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
分析与解答：如果我们把1，2，3，4，…，99，100与列100，99，…，3，2，1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101，一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2，就是所求数列的和。
小三春2巧妙求和
第二讲巧妙求和教室：姓名：【知识要点】聪明的数学家高斯小时候就非常巧妙地算出1+2+3+4+…+100的结果。
小高斯算得又快又准的方法就是巧妙求和。
【例题精讲】例1、（1）9+10+11+12+13+14（2）1+3+5+7+……+97+99例2、老师读一本小说，第一天读20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页，最后一天读75页，这本书共多少页？例3、100―2―4―6―8―10―12例4、100把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？例5、活动课上，三（1）班全班同学玩接力棒赛跑游戏，规定跑第一棒的同学跑30米，跑第二棒的跑32米，第三棒的跑34米……小明跑第九棒，他应跑多少米？例6、有一个挂钟，一点钟敲1下，两点钟敲2下，三点钟敲3下……十二点钟敲12下，每逢半点钟也敲一下。
问：这个挂钟一昼夜共敲多少下？【池中戏水】1、看谁算得又对又快：（1）1+3+5+7+9+11+13+15 （3）100+102+104+106+108（2）18+19+20+21+22+23+24+25 （4）98+95+92+89+86+83+802、比101小的所有偶数的和是多少？3、小龙读一本科幻书，第一天读18页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多读2页，第30 天读76页正好读完。
这本书共多少页？4、有30把锁的钥匙不慎搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？5、李明在小学一年级是捐款10元，以后每年捐款数额都是前一年的2倍。
他在读小学的六年中共捐款多少元？【江中畅游】1、我们班级里的42个同学进行象棋比赛，如果用循环赛的方法决出冠军，一共要进行几场比赛？2、五个连续偶数的和是150，这五个偶数是哪几个数？3、有10只盒子，45只乒乓球，能不能把45只乒乓球放到盒子中去，使各个盒子里的乒乓球不相等？【海中冲浪】有30个数，第1个数是9，以后每个数都比前一个数大4。
(完整版)巧妙求和
第8讲巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
第16讲 巧妙求和(二)
第16讲巧妙求和一、知识要点某些问题，可以转化为求若干个数的和，在解决这些问题时，同样要先判断是否求某个等差数列的和。
如果是等差数列求和，才可用等差数列求和公式。
在解决自然数的数字问题时，应根据题目的具体特点，有时可考虑将题中的数适当分组，并将每组中的数合理配对，使问题得以顺利解决。
二、精讲精练【例题1】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页？练习1：1.刘师傅做一批零件，第一天做了30个，以的每天都比前一天多做2个，第15天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个？2.胡茜读一本故事书，她第一天读了20页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多5页。
最后一天读了50页恰好读完，这本书共有多少页？【例题2】30把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试几次？练习2：1.有80把锁的钥匙搞乱了，为了使每把锁都配上自己的钥匙，至多要试多少次？2.有一些锁的钥匙搞乱了，已知至多要试28次，就能使每把锁都配上自己的钥匙。
一共有几把锁的钥匙搞乱了？【例题3】某班有51个同学，毕业时每人都和其他的每个人握一次手。
那么共握了多少次手？练习3：1.学校进行乒乓球赛，每个选手都要和其他所有选手各赛一场。
如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛？2.在一次同学聚会中，一共到43位同学和4位老师，每一位同学或老师都要和其他同学握一次手。
那么一共握了多少次手？【例题4】求1 ～ 99 这99个连续自然数的所有数字之和。
练习4：1.求1～199这199个连续自然数的所有数字之和。
2.求1～999这999个连续自然数的所有数字之和。
【例题5】求1～209这209个连续自然数的全部数字之和。
练习5：1.求1～308连续自然数的全部数字之和。
2.求1～2009连续自然数的全部数字之和。
三、课后作业1.丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学1个，最后一天学会了16个。
12.四年级奥数思维训练 巧妙求和
12.四年级奥数思维训练巧妙求和
12.四年级奥数思维训练巧妙求和
四年级奥数思维训练精辟总结
在小学数学竞赛中，常出现一类有规律的数列求和问题，这种问题我们往往要小朋友
根据数列找出规律所在，并灵活运用公式以解决问题。
有如下规律：总和＝（首项+末项）×项数÷2项数＝（末项－首项）÷公差＋1公差＝（末项－首项）÷（项数－1）
一、试着练习
1.求和：
（1）8+9+10+11+12+13
（2）2+5+8+11+14+17+20
二、训练营
1、有10只盒子，44只乒乓球。
把这44只乒乓球放到盒子中，每个盒子中至少要放
一个球，能不能使每个盒子中的球数都不相同？
2.50把锁的钥匙弄乱了。
为了让每把锁都配备自己的钥匙，至少几次就足够了？
3、求所有两位数的和。
4.启明小学礼堂有30排座位。
从第一排开始，每排比前一排多2个座位，最后一排
有75个座位。
问：这个礼堂有多少个座位？。
巧妙求和
巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.练习2：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
第8讲 巧妙求和 一
第2讲巧妙求和（一）一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？练习1：1、等差数列中，首项=1，末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2、有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习2：1、一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2、求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
练习3：计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50（2）6+7+8+…+74+75【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
练习4：计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+…+195+200【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习5：用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)三、课后作业1、已知等差数列11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？2、求等差数列2，6，10，14……的第100项。
巧妙求和(一)
巧妙求和一、知识要点在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1【例题1】：求1+2+3+4+……+99+100的和1、计算①1+2+3+4+5+……+199+200 ②1+3+5+7+9+……+97+992、1000-1-2-3-4-……-403、7000-2-4-6-……-100【例题2】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？练习2：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2. 2.有一个等差数列：2.5，8，11 (101)这个等差数列共有多少项？这个等差数列共有多少项？3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？【例题3】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？练习3：1.一等差数列，首项=3.公差=2.项数=10，它的末项是多少？2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题4】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
练习4：计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75 （3）100+99+98+…+61+60 【例题5】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
练习5：计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22 （2）5+10+15+20+…+195+200 （3）9+18+27+36+…+261+270【例题6】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)练习6：用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+...+1999）（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)【例题7】刘俊读一本长篇小说，他第一天读30页，从第二天起，他每天读的页数都前一天多3页，第11天读了60页，正好读完。
苏教版四年级下册数学课件-6.2 巧妙求和 (共11张PPT)
1＋2＋3＋ … ＋98+99+100＝？
让我们从最简单的问题中寻找规律：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=？
4
32
1
5
11 × 5 = 55
1＋2＋3 ＋… ＋98+99+100＝？
让我们从最简单的问题中寻找规律：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 =55
遇到新问题：
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 =45
9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1
11 11 11 111
00 00 00 000
10×9=90
90÷2=45
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10 10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋ 1
11 11 11 1 11 1 11 11 11 1 11 1
11×10÷2=55
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=55
（9+14）×6÷2
= 20×6÷2 = 120÷2 = 60
（2）1、3、5、7、9……97、99
（1+99）×50÷2 = 100×50÷2 = 5000÷2 = 2500
留问课后
（1）求出下面数列中各数的和。 4、6、8、10、12
（2）求出自然数中所有两位数的和。
• 9、春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，日子像桃子一样甜蜜。 2021/3/202021/3/20Saturday, March 20, 2021
巧妙求和
高斯是德国数学家、科学家，他是近代数学奠
基者之一，和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三 大数学家，有“数学王子”之称。
【小学四年级奥数讲义】巧妙求和(一)
【小学四年级奥数讲义】巧妙求和（一）一、知要点若干个数排成一列称数列。
数列中的每一个数称一。
其中第一称首，最后一称末，数列中的个数称数。
从第二开始，后与其相的前之差都相等的数列称等差数列，后与前的差称公差。
在一章要用到两个非常重要的公式：“通公式”和“ 数公式”。
通公式：第n =首 +（数－ 1）×公差数公式：数 =（末－首）÷公差＋ 1 等差数列和 =（首 +末）× 数÷ 2 个公式也叫做等差数列求和公式。
二、精精【例 1】有一个数列：4，10，16，22.⋯，52.个数列共有多少？1：1、等差数列中，首 =1，末 =39，公差 =2. 个等差数列共有多少？2、有一个等差数列： 2.5 ，8，11. ⋯， 101. 个等差数列共有多少？【例 2】有一等差数列： 3.7 ，11.15 ，⋯⋯，个等差数列的第100 是多少？2：1、一等差数列，首 =3. 公差 =2. 数 =10，它的末是多少？2、求 1，4，7，10⋯⋯个等差数列的第30 。
【例 3】有一个数列： 1.2.3.4 ，⋯，99，100。
求出个数列所有的和。
3：算下面各。
（1）1+2+3+⋯+49+50（2）6+7+8+⋯+74+75【例 4】求等差数列 2，4，6，⋯， 48， 50 的和。
4：算下面各。
（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+⋯+195+200【例 5】算（ 2+4+6+⋯+100）－（ 1+3+5+⋯+99）5：用便方法算下面各。
（1）（ 2001+1999+1997+1995）－（ 2000+1998+1996+1994）（2）（ 2+4+6+⋯+2000）－（ 1+3+5+⋯+1999）三、后作1、已知等差数列11，16，21，26，⋯， 1001. 个等差数列共有多少？2、求等差数列 2，6，10，14⋯⋯的第 100 。
3、100+99+98+⋯+61+604、（ 1+3+5+⋯+1999）－（ 2+4+6+⋯+1998）5、100+95+90+⋯+15+10+56、4+7+10+13+⋯+298+301+298+⋯+13+10+7+47、 2013-2012+2011-2010+ ⋯+3-2+18、影院有座位若干排，第一排有25 个座位，以后每一排比前一排多 3 个座位，最后一排有94 个座位。
四年级奥数---巧妙求和二
第8次课巧妙求和（二）
一、巩固练习
278x99 321x55+321x45
47x101-47 125x32x25
二、挑战新知
1、刘俊读一本长篇小说,他第一天读了30页,从第二天起,他每天读的页数都比前一天多3页,第11天读了60页，正好读完。
这本书共有多少页?
2、刘师傅做一批零件,第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个,第15 天做了48个，正好做完。
这批零件共有多少个?
3、胡茜读一本故事书,她第一天读了20页,从第二天起,她每天读的页数都比前一天多5页,最后一天读了50 页恰好读完。
这本书共有多少页?
4、丽丽学英语单词,第一天学会了6个,以后每天都比前一天多学会1个,最后一天学会了16个。
这些天丽丽共学会了多少个单词?
5、30把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次?
6、有80把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙，最多要试多少次？
7、平面上有10个点,没有3个点在同一直线上。
过这些点最多可以画出多少条直线?
8、有10只盒子、44只羽毛球。
能不能把44只羽毛球放到盒子中去，使各个盒子里的羽毛球不相等?9、某班有51名同学,毕业时每人都和其他所有人握一次手，那么共握了多少次手?
10、学校进行乒乓球比赛,每个参赛选手都要和其他所有选手各赛一场，如果有21人参加比赛，一共要进行多少场比赛?
11、在一次同学聚会中,参加聚会的有43位同学和4位老师,每一位同学或老师都要和其他人握一次手,那么一共握了多少次手?。
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第8讲巧妙求和（一）
一、知识要点
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项？
【思路导航】容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
练习1：
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=
2.这个等差数列共有多少项？
2.有一个等差数列：2.5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？
3.已知等差数列11.16，21.26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
【例题2】有一等差数列：3.7，11.15，……，这个等差数列的第100项是多少？
【思路导航】这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.
练习2：
1.一等差数列，首项=3.公差=
2.项数=10，它的末项是多少？
2.求1.4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2.6，10，14……的第100项。
【例题3】有这样一个数列：1.2.3.4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】如果我们把1.2.3.4，…，99，100与列100，99，…，
3.2.1相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050
上面的数列是一个等差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：
等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2
这个公式也叫做等差数列求和公式。
练习3：
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路导航】这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25
首项=2.末项=50，项数=25
等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
练习4：
计算下面各题。
（1）2+6+10+14+18+22
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270
【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)
【思路导航】容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。
因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
练习5：
用简便方法计算下面各题。
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）
（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)
（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)。