数学物理方程小结85856
数学物理方程知识点归纳
数学物理方程知识点归纳数学和物理是息息相关的学科，数学在物理中起着重要的作用，许多物理规律都可以用数学方程式表达。
在学习物理时，掌握数学方程式是必不可少的，以下是数学物理方程知识点的归纳。
1.牛顿第一定律牛顿第一定律又称为惯性定律，它表明物体保持运动状态的惯性，只有外力才能改变物体的运动状态。
牛顿第一定律的数学表达式为F=ma，即力等于质量乘以加速度。
2.牛顿第二定律牛顿第二定律是物理学中最重要的定律之一，它描述了物体的运动状态和所受的力之间的关系。
牛顿第二定律的数学表达式为a=F/m，即加速度等于力除以质量。
3.牛顿第三定律牛顿第三定律又称为作用与反作用定律，它表明对于每一个作用力，都存在一个相等而反向的反作用力。
牛顿第三定律的数学表达式为F1=-F2，即作用力等于反作用力的相反数。
4.万有引力定律万有引力定律是描述物体之间万有引力作用的定律，它表明两个物体之间的引力与它们的质量成正比，与它们之间的距离的平方成反比。
万有引力定律的数学表达式为F=Gm1m2/d2，即引力等于万有引力常数乘以两个物体的质量除以它们之间的距离的平方。
5.波动方程波动方程是描述波动现象的方程，它可以用来描述声波、光波等波动现象。
波动方程的数学表达式为y(x,t)=Asin(kx-ωt+φ)，即位移等于振幅乘以正弦函数，其中k是波数，ω是角频率，φ是初相位。
6.热传导方程热传导方程是描述热传导现象的方程，它可以用来描述物体内部的温度分布随时间的变化。
热传导方程的数学表达式为∂u/∂t=k∇2u，即温度变化率等于热扩散系数乘以温度梯度的二阶导数。
7.量子力学方程量子力学方程是描述微观粒子运动的方程，它可以用来描述电子、质子等粒子的运动和相互作用。
量子力学方程的数学表达式为Hψ=Eψ，即哈密顿算符作用于波函数等于能量乘以波函数。
8.电动力学方程电动力学方程是描述电场和磁场相互作用的方程，它可以用来描述电磁波、电荷运动等现象。
数学物理方程归纳总结
数学物理方程归纳总结数学和物理方程是科学研究中的重要工具，广泛应用于各个领域。
本文将对一些常见的数学物理方程进行归纳总结，分析其数学意义和物理应用，并探讨其背后的原理和推导过程。
1. 一维运动方程一维运动是物理学中最简单的情形之一，其运动状态只涉及一个方向的变化。
常见的一维运动方程有：- 位移公式：$S = V_0t + \frac{1}{2}at^2$- 速度公式：$V = V_0 + at$- 速度与位移的关系：$V^2 = V_0^2 + 2aS$这些方程描述了质点在匀加速度下的运动规律，其中$S$ 表示位移，$V_0$ 表示初始速度，$a$ 表示加速度，$t$ 表示时间，$V$ 表示末速度。
这些方程在解决一维运动问题时具有重要的应用价值，可以帮助我们计算物体的位移、速度和加速度等物理量。
2. 牛顿力学方程牛顿力学是经典力学的基础理论，在描述宏观物体运动和相互作用时非常重要。
牛顿三定律是牛顿力学的核心，其表述为：- 第一定律（惯性定律）：物体在不受外力作用时保持静止或匀速直线运动。
- 第二定律（运动定律）：物体受到的合力等于质量乘以加速度，即 $F = ma$。
- 第三定律（作用与反作用定律）：任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
根据牛顿第二定律，我们可以推导出一些重要的等式，用于解决各种力学问题。
例如，结合万有引力定律，我们可以得到开普勒第三定律 $T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3$，其中 $T$ 是行星公转周期，$G$ 是引力常数，$M$ 是太阳的质量，$r$ 是行星与太阳的平均距离。
3. 麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是电磁学的基础方程，描述了电磁场的产生和传播规律。
麦克斯韦方程组包括四个方程：- 高斯定律：$\nabla \cdot E = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$- 安培定律：$\nabla \cdot B = 0$- 法拉第电磁感应定律：$\nabla \times E = -\frac{\partial B}{\partial t}$- 完整的麦克斯韦方程：$\nabla \times B =\mu_0J+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial E}{\partial t}$其中，$E$ 和 $B$ 分别表示电场和磁场，$\rho$ 表示电荷密度，$J$ 表示电流密度，$\varepsilon_0$ 是真空中的介电常数，$\mu_0$ 是真空中的磁导率。
数学物理方程第一章总结
数学物理方程第一章总结
数学物理方程是研究物理现象和规律的数学描述。
第一章主要介绍了一些基础的数学概念和工具，为后续章节的学习打下基础。
首先，本章讨论了向量和矢量的概念。
向量有大小和方向，并且可以进行加法和乘法运算。
矢量在物理中经常用来描述物体的位移、速度、加速度等量。
我们学习了向量的表示方法，如坐标表示和分量表示，以及向量的运算规则。
接下来，我们学习了微积分的基本概念和运算。
微积分是研究变化率和积分的数学分支，对于物理学的建模和求解方程非常重要。
我们学习了导数的定义和性质，包括常见的导数法则和求导公式。
此外，我们也学习了不同函数类型的导数，如多项式函数、指数函数和三角函数的导数。
在本章的最后，我们介绍了一些重要的微积分定理，如中值定理和泰勒展开定理。
这些定理在求解物理问题时经常被应用，可以帮助我们更好地理解函数的性质和行为。
总结而言，第一章主要介绍了数学物理方程中的基础概念和工具，包括向量和矢量的概念、微积分的基本概念和运算，以及一些重要的微积分定理。
这些知识为我们后续学习数学物理方程的章节奠定
了基础，帮助我们更好地理解和应用数学物理方程。
数学物理方程知识点归纳
数学物理方程知识点归纳
数学和物理是紧密相关的学科，数学物理方程是两个学科的交叉点。
下面将对数学物理方程的知识点进行归纳。
1. 微积分
微积分是数学物理方程中最基础的知识点之一。
微积分包括微分和积分两个部分。
微分是研究函数变化率的工具，积分是研究曲线下面积的工具。
微积分在物理学中有着广泛的应用，例如牛顿第二定律、万有引力定律等。
2. 偏微分方程
偏微分方程是数学物理方程中的重要知识点。
偏微分方程是描述物理现象的数学模型，例如热传导方程、波动方程等。
偏微分方程的求解需要使用到数学分析和数值计算等方法。
3. 矩阵和线性代数
矩阵和线性代数是数学物理方程中的另一个重要知识点。
矩阵是一种数学工具，可以用来表示线性方程组。
线性代数是研究向量空间和线性变换的学科。
矩阵和线性代数在物理学中有着广泛的应用，例如量子力学中的哈密顿算符等。
4. 微分方程
微分方程是数学物理方程中的重要知识点。
微分方程是描述物理现象的数学模型，例如运动方程、电路方程等。
微分方程的求解需要使用到微积分和数值计算等方法。
5. 概率论和统计学
概率论和统计学是数学物理方程中的另一个重要知识点。
概率论是研究随机事件的学科，统计学是研究数据分析和推断的学科。
概率论和统计学在物理学中有着广泛的应用，例如热力学中的熵等。
以上是数学物理方程的知识点归纳，这些知识点是物理学家和数学家研究物理现象和数学问题的基础。
数学物理方程知识点归纳
数学物理方程知识点归纳数学物理方程是数学和物理学两门学科的交叉领域，其涉及到许多重要的知识点。
本文将从微积分、向量、力学、热力学和波动等方面，总结归纳数学物理方程的主要知识点。
一、微积分微积分是数学和物理学中非常重要的一个分支。
其中，微分和积分是微积分的两个基本概念。
微分是研究函数在某一点的变化率，积分则是求解函数的面积、体积或长度等量的方法。
微积分的一些重要公式包括：牛顿-莱布尼茨公式、柯西-黎曼方程、拉普拉斯公式等。
二、向量向量是几何学和物理学中非常重要的概念。
向量具有大小和方向两个属性，可以表示物理量的大小和方向。
向量的一些重要知识点包括：向量的加法和减法、向量的数量积和向量积、向量的投影、向量的夹角等。
三、力学力学是物理学中研究物体运动和相互作用的学科。
其中，牛顿三大定律是力学的基础。
牛顿第一定律指出物体在外力作用下保持静止或匀速直线运动；牛顿第二定律则确定了物体受力的大小和方向与其加速度成正比；牛顿第三定律则描述了力的相互作用。
四、热力学热力学是物理学中研究热量和能量转化的学科。
其中，热力学的一些重要概念包括：热力学系统、热力学过程、热力学态函数、热力学循环等。
热力学中的一些重要公式包括：热力学第一定律、热力学第二定律、热力学方程等。
五、波动波动是物理学中研究波的传播和相互作用的学科。
其中，波动的一些重要概念包括：波长、频率、波速、干涉、衍射、折射等。
波动的一些重要公式包括：波动方程、费马原理、赫兹实验等。
数学物理方程中的知识点非常丰富，包括微积分、向量、力学、热力学和波动等方面。
这些知识点是理解和应用物理学中的方程和定律的基础，对于物理学的学习和科学研究都具有重要的意义。
物理方程式总结与技巧总结
物理方程式总结与技巧总结物理方程式是解决物理问题的基础工具，掌握物理方程式的使用方法和技巧可以帮助我们更好地理解和应用物理学知识。
本文将从基础的物理方程式出发，总结一些常用的物理方程式，并介绍一些在解决物理问题时的技巧。
1. 基础物理方程式总结1.1 运动方程运动方程描述了物体在运动过程中的位置、速度和加速度之间的关系。
根据不同的运动情况，有三种基本的运动方程：1.一维直线运动：\[x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2\] 其中，\[x\]为物体最终位置，\[x_0\]为初始位置，\[v_0\]为初始速度，\[a\]为加速度，\[t\]为时间。
2.平抛运动：\[y = y_0 + v_0t - \frac{1}{2}gt^2\] 其中，\[y\]为物体最终高度，\[y_0\]为初始高度（通常为0），\[v_0\]为初始速度，\[g\]为重力加速度，\[t\]为时间。
3.匀速圆周运动：\[v = \frac{{2\pi r}}{T}\] 其中，\[v\]为物体的线速度，\[r\]为圆周半径，\[T\]为旋转周期。
1.2 动力学方程动力学方程描述了物体运动的原因和结果之间的关系。
其中，最经典的动力学方程是牛顿第二定律：\[F = ma\] 其中，\[F\]表示物体所受的合力，\[m\]表示物体的质量，\[a\]表示物体的加速度。
1.3 能量守恒方程能量守恒方程描述了一个封闭系统内能量的变化。
在物理学中，有两种常见的能量守恒方程：1.动能定理：\[K = \frac{1}{2}mv^2\] 其中，\[K\]为物体的动能，\[m\]为物体质量，\[v\]为物体速度。
2.机械能守恒定律：\[E_{\text{总}} = E_{\text{势}} + E_{\text{动}}\] 其中，\[E_{\text{总}}\]表示系统的总机械能，\[E_{\text{势}}\]表示系统的势能，\[E_{\text{动}}\]表示系统的动能。
数学物理方程学习总结
数学物理方程学习总结
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数学物理方程，总体来说，我觉得是一门挺深奥的学科，难度较大。
它主要讲的就是三大方程（波动方程，热传导方程，调和方程）的推导，初边值问题的解及其性质（存在性，唯一性，稳定性）的讨论。
波动方程，对于非齐次线性方程组初值问题的解利用叠加原理，分为方程齐次和初值问题齐次，方程齐次利用的方法为行波法（达朗贝尔公式），初值齐次利用的是齐次化原理。
初边值问题—变量分离法，对于高维波动方程初值问题—泊
松公式，性质讨论—能量不等式。
热传导方程，边值问题基本上与波动方程类似，初值问题—傅里叶变换。
性质讨论主要用到的就是极值原理。
调和方程，不存在柯西问题，它只有边值问题，分为狄利克雷内外问题。
主要方法为格林函数法，静电源像法，解决问题也比较单一，有球面，半空间，圆。
性质讨论—极值原理和先验估计均可。
数学物理方程总结
试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为2222)1(])1[(t u h x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ其中h 为圆锥的高。
并求通解及它的初值问题：0:(),()ut u x x tϕψ∂===∂的解。
（1）证明：在圆锥形枢轴内取出],[x x x ∆+一小段来研究。
端面丛向位移为),(t x u [,][(,),(,)]x x x u x t u x x t +∆→+∆ 在时刻t，端面的相对延伸为),(t x u 与),(t x x u ∆+根据胡克定律为),(t x ESux-及),(t x x ESu x ∆+由牛顿第二定律有合力为：),(t x x ESu x ∆+),(t x ESu x -x Su tt ∆=ρ又因为 2222[()t a n ]()()S r h x h x t a nππαπα==-=- 2[()tan ](,)x E h x x u x x t πα--∆+∆),(]tan )[(2t x u x h E x απ--x u x h tt∆-=2]tan )[(αρπttx u x h xu x h E 22)()(-=∂-∂ρππ tt x u x h x u x h E 22)()(-=∂-∂ρ 即：2222222222[(1)](1)1[(1)](1)E ()x u x uE x h x h t x u x u x h x a h t a ρρ∂∂∂-=-∂∂∂∂∂∂-=-∂∂∂=令。
（5分）（2）设(,)()(,)v x t h x u x t =-（5分） 2()()x x v h x v u h x -+=-2222222[(1)]()1[(1)](1)()x x ux h x v h x v x x ux h h x a h t ∂∂-∂∂-+∂∂=-=-∂-∂ 2222221()()v u h x h x x a t ∂∂-=-∂∂ ∴ 2222221[()][()]h x u h x u x a t∂∂-=-∂∂ （5分） 即：222221v v x a t∂∂=∂∂， 或22222v v a t x ∂∂=∂∂则其通解为：()()()h x u v F x at G x at -==-++ （5分）2．利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∂∂=∂∂=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψϕ ())0()0(ψϕ= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ϕ=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2(x ψ-G(0). G （x ）=)2(x ϕ-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψϕ= 所以 u(x,t)=(ϕ)2at x ++)2(atx -ψ-).0(ϕ 即为古尔沙问题的解。
(整理)数学物理方程小结
数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。
§7.1数学物理方程的导出一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。
（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。
（一） 三类典型的数学物理方程（1）波动方程： 0:),(:),(:22222222==∂∂-∂∂=∆-∂∂→f 当无外力时t x f xua t u 一维t r f u a tu 三维 此方程 适用于各类波动问题。
（特别是微小振动情况.）（2）输运方程： 0:).(:),(:2222==∂∂-∂∂=∆-∂∂→f 无外源时t x f xu a t u 一维t r f u a tu 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。
（3）Laplace 方程：.0(:0:).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==∆=∆→稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。
§7.2定解条件定解条件包含初始条件与边界条件。
（1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。
例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。
而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,而Laplace 方程没有初始条件。
（2） 三类边界条件第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3二阶线性偏微分方程分类判别式 ,,0,,0,,0221121222112122211212抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=∆<-=∆>-=∆ 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.7.4 达朗贝尔公式对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为()()()()()()()[]()⎰+-+++-====∂∂-∂∂atx at x t d aat x at x t x u 解为x x u x x u x u a t u ξξψϕϕψϕ2121,:0,0,022222对半无界问题作延拓处理:对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.第八章 分离变量法8.1分离变量法主要步骤:1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的. •2.分离变量 u(x,t) =X(x) T(t) （1） [以后对三维问题也是如此]•3. 将（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程, (称为本征方程) 而λ为本征值.•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解. •6.再由初始条件确定系数.一维波动方程在第一类齐次边界条件下的()()()()()()()()()4,sin 2:3,sin 22,sin 0,:1,sinsin cos ,:0011ξπξξψπξπξξϕϕππππd ln a n b 同样d ln l a x l xn a x u 代入边入边界l x n l at n b l at n a t x u 通解ln ln n n n n n ⎰⎰∑∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞=∞=一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:()()()()()()()()7.cos 2,cos 26.1,15,cossin cos .000000100ξπξξψπξπξξϕξξψξξϕπππd ln a n B d l n l A d l B d l A l x n l at n B l at n A t B A t x u ln ln ll n n n ⎰⎰⎰⎰∑====⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∞=一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:()()()()9,sin 28,sin ,012⎰∑==⎪⎭⎫⎝⎛-∞=ln t l a n n n d ln l c lx n ec t x u ξπξξϕππ一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解:()()()()()11,cos 2,110,cos ,00002⎰⎰∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=ln lt l a n n n d ln l c d l c lx n ec t x u ξπξξϕξξϕππ对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解. 8.2 非齐次边界条件的处理 常用方法有 1) 直线法 :对边界条件为: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t) .令 ()()()()()x Lt g t h t g t x u t x v ---=,, ,可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次. •只有当g,h 为常数时,方程才不变. 2) 特解法•把 u 化为两部分,令 u=v+w 使v 满足齐次边界条件与齐次方程,而使w 满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法. • 例题 求解下列定解问题• U tt －a 2 U xx = 0 • U|x=0 =0, U|x=L = ASin ωt • U|t=0 = 0 , U t ∣t=0 = 0 •( 其中A 、ω为常数, 0＜x ＜L , 0＜ t ）•解：令 u=v+w ,使w 满足波动方程与非齐次边界条件,•得出()altaxA t x w ωωωsinsin sin,第九章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分 离变量结果.1. 拉普拉斯方程在球坐标下的通解:()()()1,,1,,,1ϕϑϕϑim m l l L l l Y r B r A r u ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+其中Ylm为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下的解不依赖于边界条件. 在轴对称时(1)式退化为()()()∑∞=+⎪⎭⎫⎝⎛+=012,cos ,l l l l l l P r B r A r u θθ2. 拉普拉斯方程在柱坐标下:()()()()()()()()()()()()()()()()()()..55.0:4,,0,ln :4;:3,04.01.3.022,1,0,sin cos 1.,,222222222''2程为m 阶Bessel方R m x dxdR x dx R d x 式为今x m F E R 式解为Bz A z Z 的解为R m d dR d R d Z Z m m m b m a z Z r R z u =-++==+=+===⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=-==+=ΦΦ=ρμρμρμρρρμλϕϕϕϕϕρ(5)式其解为m 阶Bessel 函数,解依赖于边界条件,当上下底为边界条件是齐次时, μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.3） 亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.在球坐标下:()()()ϕϑϕϑ,,,Y r R r u =其中Y 为球函数,R 为球贝塞尔函数.在柱坐标下:.()()()()()()()()()()()()()5.0:4,;4.01.3.022,1,0,sin cos 1.,,22222222222222''2=-++=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=+==+=ΦΦ=R m x dxdR x dx R d x 式为今x k 令R m k d dR d R d Z Z m m m b m a z Z r R z u ρμνμρνρρρνλϕϕϕϕϕρ (5)式其解为m 阶Bessel 函数, 二、常微分方程的级数解法1. 掌握常点邻域的级数解法.2. 掌握正则奇点邻域的级数解法.3.知道无穷级数退化为多项式的方法. 三. 知道Sturm-Livouville 本征值问题的共同性质•当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0), Sturm-Livouville 方程共同性质为:•1)当k(x),k ’(x)和q(x)连续且x=a 和x=b 最多为一阶极点时,存在无限多个本征值及对应的本征函数:()()()()x y x y x y x y k k 321321,,≤≤≤≤≤λλλλ2)所有本征值λn ≥03)对应于不同本征值的本征函数带权正交()()()()m n dx x x y x y banm≠=⎰,0ρ4)本征函数族构成完备系()()∑∞==1n n n x y f x f第十章 球函数1. 轴对称的球函数当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴为z 轴这时物理量u 就与φ无关,m=0.此时球函数Y(θ,φ)就为L 阶勒让德多项式.即Y=P l (cos θ) 1) 勒让德多项式1. 勒让德多项式级数形式:()()()()()()1.!2!2!!22121202∑-=-----=l 或l n nl lnl x n l n l n n l x P 2. 勒让德多项式微分形式:()()()2.1!212l ll l l x dxd l x P -= 3.前几项为:P 0(x)= 1, P 1(x) =x=cos θ, •P 2(x)=(3x 2-1)/2, ….•一般勒让德多项式的幂次取决L•当L 为偶数时都为偶次幂项,L 为奇数时都为奇次幂项. 对特殊点x=1,0.()()()()()()()()(),!!2!!1210,00,1,11212n n P P x P x P P nn n l ll l --==-=-=-•4.勒让德多项式正交关系()lk l k l N dx x P x P δ211)(=⎰- (3) •5.勒让德多项式的模 122,1222+=+=l N l N l l (4) 6.广义傅里叶级数 :当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1有限时.()()()(),212111⎰∑-∞=+==dx x P x f l f x P f x f l l l l l (5) •7.在球坐标下Laplace 方程: △u= 0的通解为:轴对称()()()()()∑∑∑∞=+∞=-=+⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+=01017,cos 6,,l l l l l l l ll m lm l l l l P r B r A u Y r B r A r u θϕθθ (6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条件,r=0与r →∞,球内解包含r=0,•u 有限, ()∑∞===0cos ,0l l ll l P r A u B θ (7)•而A l 由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球面的边界条件与r →∞, 两个条件确定. 8. 母函数()∑∞==+-02cos cos 211l l l P r r r θθ (8)9. 递推公式()()()()()()()0.12.2,112'1'1''1'111>-=+-+=++=+-+-++-l P P P l xP P P P x P l x lP x xP l l l l l l l l l l l二.连带勒让德函数•在一般情况下,物理量u 与φ有关,故球函数Y 是连带勒让德函数与周期函数的乘积. 1. 连带勒让德函数()[]()x P xm l m 221-=Θ (1)2.连带勒让德函数的微分表示()().1!21222lml m l lmml x dxd l x P --=++ (2) 从(2)可得当L 一定时,m 的取值为 m=0,1,2…L.共有L+1个值.而三角形式球函数Y （θ,φ）中,cosm φ,sinm φ为不同态,共有2L+1个态.3.正交关系()()()()()!!1223.2211m l m l l 模平方NN dx x P x P mllk ml m k m l -++==⎰-δ 4. 球函数Y 的两种表示形式. 第十一章 柱函数 一、 掌握三类柱函数的基本性质一般我们称Bessel 函数Jm(x)为第一类柱函数. 而把Neumann 函数Nm(x)称为第二类柱函数 . 1）对于第一类柱函数与第二类柱函数的线性组合.()()()()()()x iN x J x H x iN x J x H m m mm m m-=+=21称为第一种与第二种汉克尔函数.而汉克尔函数称为第三类柱函数2) x →0和x →∞时的行为()()()()()()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛---∞→⎪⎭⎫⎝⎛--∞→∞→∞→-→→→→==⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∞→∞→〉==4224210002lim ,2lim 42sin 2lim ,42cos 2lim lim ,lim 0.0lim ,1lim ππππππππππππm x i m x m x i m x m x m x m x m x m x x e xx H e xx H m x x x N m x x x J x J x N m x J x J3) 递推公式()()()()()()()[]()()()()()()()()()()()()4.3.212.1.211!21211!11'1'110122022x J xx J m x J x J x x J m x J 展开与把x J x x J x dxdxx J x k m k k x k m k dx d x J dx d m m m m m m m m m m mm k k k m k k kk m km m -+-+∞=-+∞=+=+-=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛++Γ-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++Γ-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∑4） 贝塞尔函数的零点对m 阶贝塞尔方程()()()()()()()()()()0)(::1.0.,0.00'222222====〉==-++ρμρμρμρμρμμρmm nm n m nmmJx 本征值x 记JJ R 件对柱侧面的齐次边界条时当x R m xdx dRxdx Rdx对第一类齐次边界条件 得出第n 个零点对第二类齐次边界条件 二．贝塞尔函数的正交关系 .• 对于不同本征值的同阶贝塞尔函数在区间 • [0,ρ0]上带权重ρ正交.• ()()()()()()1.][20nk m nm kmm nmNd J J δρρρμρμρ=⎰•• 2）广义傅里叶- 贝塞尔级数•()()()()()[]()()()()3.12.021ρρρμρρμρρd J f Nf J f f m nmm nn m n mn n ⎰∑==∞=• 3）Laplace 在柱坐标下的通解 • 轴对称m=0,柱内解为• 在侧面为第一类齐次边界条件时•()()()()()()()()()()2.,1.,101110000100⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞=ρρρρR x J z R x sh B z Rx ch A z B A z u 条件时侧面为第二类齐次边界R x J z R x ch B z Rx sh A z u n n n n nn n n n n nn• 其中系数An,Bn 由上下底边界条件确定.• 在上下底为齐次边界条件时, μ≤ 0,R 的解为虚宗量贝塞尔函数.记为I m (x)• 同样可得Laplace 方程在柱内解 • 当轴对称时m=0• 上下底满足第一类齐次边界条件时解为•()()()()3.cos,:2.sin ,0001H z n H n I A z u 对第二类齐次边界条件H z n H n I A z u n n n n ππρρππρρ⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑∞=∞=• 输运方程与波动方程在柱坐标下的解 • 1) 解的形式: u(r ,t)=T(t)v(r ) • V 满足亥姆霍兹方程.在侧面与上下底齐次边界条件下能完全确定本征值,例如上下底满足第一类齐次边界条件. 在轴对称情况下m=0 对输运方程柱内的解:上下底满足第一类齐次边界条件()()1.sin ,,2221,1000t H l x al n n nl n eH zl x J a t z u ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞==∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=πρπρρρ波动方程在柱内的解:• 在上下底满足第一类齐次边界条件下•()[]()2002000000)(2.sin sin cos ,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∞ρπρρπρnnl n nlnl nl nl nl x H l k x J H z l at k b at k a t z u• 二维极坐标下的解: •• 侧面满足第一类齐次边界条件 ••()[]()∑∞=+=10000sin cos ,n n n n n n k J at k d at k c t u ρρ （3） •• 侧面满足第二类齐次边界条件•()[]()()4.sincos,1111ρρnnnnnnkJatkdatkct batu∑∞=+++=••第十二章积分变换法•一、傅里叶变换法••1。
数学物理方程公式总结
数学物理方程公式总结数学和物理是自然科学的两个重要分支，它们在研究自然界的规律时不可分割。
在数学和物理的学习过程中，我们经常会遇到大量的方程和公式。
这些方程和公式帮助我们理解和解决问题，归纳总结这些方程和公式有助于我们更好地掌握它们。
下面是一些数学物理方程公式的总结。
1.牛顿力学相关方程：- 运动方程: F = ma，其中 F 表示作用力，m 表示物体的质量，a 表示物体的加速度。
-牛顿第一定律:F=0，一个物体若无外力作用，则物体保持静止或匀速直线运动。
- 牛顿第二定律: F = ma，物体的加速度与作用力成正比，与物体的质量成反比。
-牛顿第三定律:F12=-F21，两个物体之间的作用力大小相等，方向相反。
2.热力学相关方程：-热力学第一定律:ΔU=Q-W，系统内部能量的变化等于吸热减去对外界做功。
-热力学第二定律:ΔS≥0，隔离系统内部的熵不会减少，或者说熵的增加不可逆。
-热力学第三定律:绝对零度时，熵为零。
3.电磁学相关方程：-库仑定律:F=k*(Q1*Q2)/r^2，两个点电荷之间的力与电荷大小成正比，与距离的平方成反比。
-高斯定律:Φ=E*A=Q/ε0，电场通过任意闭合曲面的通量与该曲面内的电荷成正比。
-法拉第电磁感应定律:ε=-ΔΦ/Δt，电磁感应产生的电动势与磁通量的变化率成正比。
4.波动与光学相关方程：-波速公式:v=λ*f，波速等于波长乘以频率。
- 光的折射定律: n1 * sin(θ1) = n2 * sin(θ2)，光线从一种介质进入另一种介质时，入射角和折射角与两种介质的折射率成正比。
5.直流电路相关方程：-欧姆定律:V=I*R，电压与电流和电阻的关系。
- 串联电阻的总电阻: R_total = R1 + R2 + ...，串联电阻的总电阻等于各个电阻之和。
- 并联电阻的总电阻: 1/R_total = 1/R1 + 1/R2 + ...，并联电阻的倒数总电阻等于各个电阻的倒数之和。
数学物理方程知识点总结
数学物理方程知识点总结一、牛顿运动定律牛顿的运动定律是经典物理力学的基础，它描述了物体在力的作用下的运动规律。
牛顿的三大运动定律分别是：1. 第一定律：一个物体如果受力作用，将保持静止或匀速直线运动，直到受到外力的作用而改变其状态。
2. 第二定律：物体的加速度与作用力成正比，与质量成反比。
即F=ma。
3. 第三定律：作用力与反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
这三个定律描述了物体在受力作用下的运动规律，它们被广泛应用于物体的运动研究和工程设计中。
二、电磁场方程电磁场方程描述了电荷和电磁场之间的相互作用。
其中，麦克斯韦方程组是最基本的电磁场方程，它包括了电荷产生的电场和电流产生的磁场，并描述了它们随时间和空间的变化规律。
麦克斯韦方程组包括了4个方程，分别是：1. 静电场高斯定律：描述电荷产生的静电场。
2. 静磁场高斯定律：描述磁场的产生和分布。
3. 安培定律：描述电流产生的磁场。
4. 法拉第电磁感应定律：描述磁场的变化产生感应电场。
这些方程组成了电磁场的基本描述，它们被广泛应用于电磁场的研究和工程技术中。
三、热传导方程热传导方程描述了物体内部的热传导过程。
热传导方程可以描述物体内部温度分布和热量的传导规律。
通常情况下，热传导方程是一个偏微分方程，它描述了温度场随时间和空间的变化规律。
热传导方程一般形式为：δT/δt = αΔT其中，T表示温度场，t表示时间，α为热传导系数，ΔT为温度梯度。
这个方程被广泛应用于热传导问题的研究和工程设计中。
四、波动方程波动方程描述了机械波和电磁波在空间中的传播规律。
波动方程是一个偏微分方程，它描述了波动场随时间和空间的变化规律。
波动方程的一般形式为：∂^2ψ/∂t^2 = v^2∇^2ψ其中，ψ表示波动场，t表示时间，v为波速，∇^2为拉普拉斯算符。
波动方程描述了波动在空间中的传播和幅度变化规律，它被广泛应用于波动现象的研究和工程设计中。
总之，数学与物理方程是自然科学研究和工程技术发展的基础。
数学物理方程的教学体会
数学物理方程的教学体会最近我参加了一次关于数学物理方程的教研活动，经过听讲座、说课和评课等活动，使我受益匪浅。
在此我把自己在教学中的几点体会拿出来与大家分享：这一节课主要是讲解并验证数学物理方程的基本步骤，对于那些有工作经验的老师来说不算太难，但是对于我们新老师来说，需要记住很多东西，比如用化学知识求函数图像，分离变量法等等。
通过这一节课，我明白了以下三个观点：下面我就把我的想法分享给大家：数学物理方程也称为基本方程，其实质是表达两个量之间相关联系的一种等式。
即是一组等式。
首先它必须有两个变量，而且这两个变量应该互相影响。
然后，等号后面还有两个等号，前面的一个等号代表含有已知的量，后面的一个等号代表未知的量。
再者，后面还有“ +”、“-”符号，这里只表示取定一个数，再从另一个数中去找前面定的数。
最后，等式的左边和右边都要有数字。
我们学习物理中的数学物理方程主要注意以下几点： 1。
2。
学生讨论的时候，应该强调两个变量的关系是非线性的。
比如一个等式表达两个变量的关系，那么这个等式可以表达成三个等式。
两个变量之间不能有一个线性变化。
另外，还要注意的是在两个变量之间只能有一个是常数，而不能同时是常数。
如果是混合变量则是可以的。
利用这个公式，我们还可以推导出求两个常数a和b的关系，因为a^2+ab=0。
根据这个方程， a^2=4(b+2ac)，所以，当a=4的时候，我们得到的结论和前面是一样的。
因为正数a只有在a=1的时候才成立，而负数a在a=-1的时候成立。
我们也可以这样来理解，两个变量之间不是线性关系，因此无法用线性关系来求解。
3。
我们在解决问题的时候，一定要将原始条件转换为已知条件，特别是涉及到微积分或高等数学计算的情况更应该这样做。
例如：求x^5+7x^4+9x^3+8x+6的值。
如果直接写上15+x^2+9x^3+8x+6，由于没有进行转换，就会造成运算错误。
数学物理方程既是重点又是难点，希望各位老师多多指导！我们大家一起努力！加油！将来我们能够学好物理学科。
物理方程总结
物理方程总结引言物理学是自然科学的一个重要分支，研究物质和能量之间相互作用的规律和性质。
在物理学中，方程是描述物理现象和规律的数学表达式。
本文将总结一些常见的物理方程，帮助读者了解物理学中的基本概念和原理。
运动学方程运动学方程用于描述物体在空间中的运动。
以下是一些常见的运动学方程：1. 位移方程位移方程用于计算物体在运动过程中的位移。
假设物体的初始位置为x0，末位置为x，时间为t，则位移方程为：\[ \Delta x = x - x_0 \]2. 平均速度方程平均速度方程用于计算物体在一段时间内的平均速度。
假设物体在时间t内移动了一个位移$\\Delta x$，则平均速度方程为：\[ v_{avg} = \frac{\Delta x}{t} \]3. 平均加速度方程平均加速度方程用于计算物体在一段时间内的平均加速度。
假设物体在时间t 内速度从v0变化到v，则平均加速度方程为：\[ a_{avg} = \frac{v - v_0}{t} \]4. 位移-时间方程（匀变速直线运动）位移-时间方程适用于匀变速直线运动的情况。
假设物体的初始位移为x0，初始速度为v0，加速度为a，时间为t，则位移-时间方程为：\[ x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 \]动力学方程动力学方程用于描述物体运动的原因和结果。
以下是一些常见的动力学方程：1. 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了物体的受力和加速度之间的关系。
假设物体质量为m，受力为F，加速度为a，则牛顿第二定律方程为：\[ F = ma \]2. 动能定理动能定理描述了物体动能的变化与所受的合外力之间的关系。
假设物体的质量为m，初始速度为v0，末速度为v，则动能定理方程为：\[ \Delta KE = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 \]3. 弹性力学方程弹性力学方程适用于弹性物体的变形过程。
假设物体的弹性系数为k，位移为x，弹性势能为PE，则弹性力学方程为：\[ F = -kx \quad\quad PE = \frac{1}{2}kx^2 \]热力学方程热力学方程用于描述物质的热力学性质。
数学物理方程学习总结
数学物理方程学习总结四年前匡老师作为我的高数老师走进我的大学生活，如今作为一名研究生，很荣幸又能跟着匡老师学习数学。
我本科主修土木工程专业，现在学的是岩石力学专业，主要是跟着导师从事一些关于应力波的研究，所以数学物理方程这门课成了我的必修课。
数学物理方程研究的主要对象是从物理学中提出来的一些偏微分方程。
这些方程中的自变量和函数有着鲜明的物理意义，有些问题的解可以通过实验给出，这给偏微分方程的研究指明了方向，同时由于物理学上的需求，就诞生了专门研究有物理意义的偏微分方程的解法。
本学期数学物理方程起初学习了拉普拉斯和傅立叶变换概念、性质以及卷积定理，了解其在微分方程求解中的应用，并着重介绍了Γ函数和β函数的性质以及其两者的关系。
然后介绍了三大经典方程的建立和定解条件（泊松方程与拉普拉斯方程都是描述恒稳场状态，与初始状态无关，所以不提初始条件）的提出和表示。
第四章和第五章分别详细的讲了分离变量法、行波法和积分变换法在求解经典方程中的应用，主要针对求解热传导方程和波动方程。
三种方法有时候可以通用但有时候还是有区别，分离变量法主要用来求解有限区域内定解问题；行波法是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法；积分变换法主要是求解一个无界域上不受方程类型限制的方法。
第六章主要讲述用格林函数法求解拉普拉斯方程，伊始提出两种拉普拉斯方程的边值问题（狄氏内问题、狄氏外问题、牛曼内问题、牛曼外问题），然后介绍几种格林函数的取得，最后简介求解狄氏问题。
最后三章分别介绍几个特殊类型的常微分方程（贝塞尔方程和勒让德方程）的引入和他们性质和求解。
数学物理方程概括起来就是使用四种方法求解三种经典方程，介绍求解过程中产生的两种特殊函数的一门学科。
作为数理方程的学习者，本人觉得它确实是一门比较难的课程，真正的难点却并不是只有数理方程课程本身，而是对以前高等数学学过的知识的理解与记忆的加深。
所以，我觉得想学好这门课程，不仅要把时间放在对相关内容的巩固、复习上，还得多做课本上的例题、习题。
九年级物理方程总结知识点
九年级物理方程总结知识点一、位移和速度的关系位移和速度的关系由位置函数来描述。
如果一个物体的位置随时间的变化关系可以用函数x(t)描述，那么这个函数的导数x'(t)就是该物体的速度v(t)。
根据速度-时间图像，我们可以求出位移，速度和时间之间的关系式（v=dx/dt）。
二、牛顿第二定律牛顿第二定律描述了物体受到力的作用时，其加速度的大小与所受力的大小成正比，与物体的质量成反比，且与受力的方向相同。
具体表达式为F=ma，其中F表示物体所受的合力，m表示物体的质量，a表示物体的加速度。
牛顿第二定律解决了力、质量和加速度之间的关系，为物体的运动提供了明确的数学描述。
三、动能定理动能定理是描述物体在作恒定力下沿直线运动过程当中动能的变化关系。
动能定理的常见表达式为：ΔE_k = W，其中ΔE_k 表示物体动能的变化量，W表示物体所受外力产生的功。
根据动能定理，我们可以计算物体在受力作用下动能的变化情况，进一步分析物体的运动过程。
四、位能和势能位能和势能用来描述物体在不同位置和位置变化过程中与外界相互作用的能量关系。
位能和势能之间的转化关系可以用势能定律来描述。
具体表达式为：ΔU = -W，其中ΔU表示位能的变化量，W表示外力对物体所作的功。
势能定律揭示了位能和外力之间的关系，为我们理解物体在不同位置之间的能量变化提供了理论依据。
五、牛顿万有引力定律牛顿万有引力定律描述了质量之间的引力作用关系。
该定律的表达式为F=G(m1m2/r^2)，其中F表示物体之间的引力，G为引力常数，m1和m2分别为相互作用物体的质量，r为两物体质心之间的距离。
牛顿万有引力定律可以解释天体之间的引力作用关系，以及天体运动的规律。
六、守恒定律守恒定律是描述物理系统在特定条件下某些物理量的供给关系。
常见的守恒定律包括动量守恒定律、动能守恒定律、角动量守恒定律等。
守恒定律为我们理解物体在特定条件下的定量变化提供了重要的理论基础。
数学物理方程学习总结-中国科学技术大学
(1.23)
可以在用特征线进行代换 ξ1 = x − at, x2 = x + at 后化为标准型 ∂2u =0 ∂ξ1 ∂ξ2 分别对 ξ1 , ξ2 积分就得到通解 u = f (x − at) + g (x + at) f, g 为任意光滑函数，这组解因物理意义称为行波解 对于有较大物理意义的定解问题 2 2 ∂ u 2∂ u = a 2 ∂x2 ∂t u|t=0 = φ(x) ∂u = ψ (x) ∂t t=0 有 d’Alembert 公式 1 1 u(x, t) = [φ(x − at) + φ(x + at)] + 2 2a ˆ
第一章
偏微分方程定解问题
7
1.5.2
双曲型方程
此时特征方程有两支解，分别对应 √ √ dy a12 + ∆ a12 − ∆ dy = = 与 dx a11 dx a11
(1.21)
可以解出两组特征线 φ1 = h1 , φ2 = h2 ，使用特征线对应的函数进行代换 (ξ1 = φ1 (x1 , x2 ), ξ2 = φ2 (x1 , x2 )，此时可以验证 Jacobi 行列式非零） ，即有 A11 = A22 = 0。方程化为标准型
1.3 偏微分方程的定解条件
未包含其他条件的“裸的”偏微分方程是泛定方程，用于确定解中未知 函数的条件称为定解条件，泛定方程配上恰好足够的定解条件构成一套定解 问题。习惯上把一些物理问题中的出的定解条件分为初始条件、边界条件、 衔接条件等。
1.3.1
初始条件
∂mu ∂tm
给出未知函数 u 及其对时间的诸偏导数 值。
i i 1 2 n
数学物理方程小结
解 法 二 ： Fourier Fourier 法
数学物理方程小结
1.6‘定解问题
utt − a 2u xx = 0 (t > 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), ut ( x, 0) = 0 (−∞ < x < +∞)
utt (λ , t ) − a 2 (iλ ) 2 u (λ , t ) = 0 % Fourier变换 % Fourier % % 定解问题： u (λ , 0) = ϕ (λ ), ut (λ , 0) = 0 %
方程具有傅立叶正弦级数解
nπ x u ( x, t ) = ∑ Tn (t ) sin l n =1
∞
nπ at nπ at nπ x u ( x, t ) = ∑ An cos + Bn sin sin l l l n =1
∞
数学物理方程小结
1.2定解问题
utt − a 2u xx = 0 u x (0, t ) = 0, u x (l , t ) = 0 (t > 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), u ( x, 0) = ψ ( x) (0 < x < l ) t
数学物理方程小结
解 法 二 ： Fourier Fourier 变 换 法 2.6’定解问题
ut − a 2u xx = 0 (t > 0) u ( x, 0) = ϕ ( x), (−∞ < x < +∞)
Fourier 定解问题 解 Fourier
ut (λ , t ) − a 2 (iλ ) 2 u (λ , t ) = 0 % % % % u (λ , 0) = ϕ (λ ),
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数学物理方程小结
第七章 数学物理定解问题
数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛
定方程）和定解条件。
§7.1数学物理方程的导出
一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中
的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律,
抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。
（在数学上为忽略高级小量.）
第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式
表示出来, 此表示式即为数学物理方程。
（一） 三类典型的数学物理方程
（1）波动方程： 0
:),(:),(:22222222==∂∂-∂∂=∆-∂∂→f 当无外力时t x f x
u a t u 一维t r f u a t
u 三维 此方程 适用于各类波动问题。
（特别是微小振动情况.）
（2）输运方程： 0
:).(:),(:2222==∂∂-∂∂=∆-∂∂→f 无外源时t x f x
u a t u 一维t r f u a t
u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。
（3）Laplace 方程： .
0(:0
:).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==∆=∆→
稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace
方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。
§7.2定解条件
定解条件包含初始条件与边界条件。
（1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数
的次数。
例如波动方程应有二个初始条件, 一般
选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。
而输
运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,
而Laplace 方程没有初始条件。
（2） 三类边界条件
第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1）
第二类边界条件： u n |Σ = f （2）
第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3）
其中H 为常数.
7.3 二阶线性偏微分方程分类
判别式 ,
,0,,0,,0221121222112122211212抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=∆<-=∆>-=∆
波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯
方程为椭圆型的.
7.4 达朗贝尔公式
对一维无界的波动方程,当不考虑外力时,定解问题为
对半无界问题作延拓处理:
对第一类齐次边界条件作奇延拓,而对第二类齐次边界条件作偶延拓.
第八章分离变量法
8.1分离变量法
主要步骤:
1.边界条件齐次化,对非齐次边界条件首先把它化为齐次的. •
2.分离变量u(x,t) =X(x) T(t) （1）[以后对三维问题也是如此]
•3. 将（1）式代入原方程得出含任意常数λ的常微分方程, (称为本征方程) 而λ为本征值.
•4.由齐次边界条件确定本征值,并求出本征方程.(得出的解为本征函数)
•5.根据迭加原理把所有满足方程的线性无关解迭加后,就能得通解.
•6.再由初始条件确定系数.
一维波动方程在第一类齐次边界条件下的
一维波动方程在第二类齐次边界条件下的通解:
一维输运方程在第一类齐次边界条件下的通解:
()()⎰∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=l n t l a n n n d l
n l c l
x n e
c t x u 01
sin 2,sin ,2ξπξξϕππ
一维输运方程在第二类齐次边界条件下的通解:
()()()⎰⎰∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞=l n l t l a n n n d l
n l c d l c l x n e
c t x u 0000
cos 2,1,cos ,2ξπξξϕξξϕππ
对其他的齐次边界条件,如本征函数已知也可直接求解,而
对本征函数不熟则只能用分离变量法来求解.
8.2 非齐次边界条件的处理
常用方法有 1) 直线法 :
对边界条件为: u(0,t)=g(t), u(L,t)=h(t) .
令 ()()()()()x L
t g t h t g t x u t x v ---=,, ,可把边界条件化为齐次,但一般情况下方程变为非齐次. •只有当g,h 为常数时,方程
才不变.
2) 特解法
•把 u 化为两部分,令 u=v+w 使v 满足齐次边界条件与齐次方程,而
使w 满足齐次方程与非齐次边界条件.下面通过实例来介绍此方法.
• 例题 求解下列定解问题
• U tt －a 2 U xx = 0 • U|x=0 =0, U|x=L = ASin ωt
• U|t=0 = 0 , U t ∣t=0 = 0
•( 其中A 、ω为常数, 0＜x ＜L , 0＜ t ）
•解：令 u=v+w ,使w 满足波动方程与非齐次边界条件,
•得出 ()
a l
t a x A t x w ωωωsin sin sin ,..第九章 二阶常微
分方程的级数解法
本征值问题一.拉普拉斯方程与亥姆霍斯
方程在球坐标与柱坐标下分离变量结果.
1. 拉普拉斯方程在球坐标下的通解:
其中Y lm 为球函数,拉普拉斯方程在球坐标下
的解不依赖于边界条件.
在轴对
称时(1)式退化为()()()∑∞=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=012,cos ,l l l l l l P r B r A r u θθ 2. 拉普拉斯方程在柱坐标下:
(5)式其解为m 阶Bessel 函数,
解依赖于边界条件,当侧面边界条件是齐次时,
μ<0.对应的解是虚贝塞尔函数.
3. 亥姆霍斯方程在球坐标与柱坐标下分离变
量结果.
在球坐标下: ()()()ϕϑϕϑ,,,Y r R r u =
其中Y 为球函数,R 为球贝塞尔函数. 在柱
坐标下: . ()()()()()
()()()
()()()()
()5.0:4,;
4.01.3.022,1,0,sin cos 1.,,22222222222222''2=-++=-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++=+==+=ΦΦ=R m x dx dR x dx R d x 式为今x k 令R m k d dR d R d Z Z m m m b m a z Z r R z u ρμνμρνρρρνλϕϕϕϕϕρΛ (5)式其解为m 阶Bessel 函数,
二、常微分方程的级数解法
1. 掌握常点邻域的级数解法.
2. 掌握正则奇点邻域的级数解法.
3.知道无穷级数退化为多项式的方法.
三. 知道Sturm-Livouville 本征值问题的共同性质
•当k(x),q(x)和ρ(x)都只取非负的值(≥0), Sturm-Livouville 方
程共同性质为:
•1)当k(x),k ’(x)和q(x)连续且x=a 和x=b 最多为一阶极点时,
存在无限多个本征值及对应的本征函数:
()()()()ΛΛΛ
Λx y x y x y x y k k 321321,,≤≤≤≤≤λλλλ
••2)所有本征值λn ≥0 •3)对应于不同本征值的本征函数带权正交
()()()()m n dx x x y x y b
a n
m ≠=⎰,0ρ•4)本征函数族构成完备系 第九章 球函数
一、 对称的球函数
当物理问题绕某一轴转动不变时,选此轴
为z 轴这时物理量u 就与φ无关,m=0.
那末球函数Y(θ,φ)就为L 阶勒让德多项式.即Y=P l (cos θ)
1) 勒让德多项式
1. 勒让德多项式级数形式:
2. 勒让德多项式微分形式:
3.前几项为:
P 0(x)= 1, P 1(x) =x=cos θ,
•P 2(x)=(3x 2
-1)/2, …..
•一般勒让德多项式的幂次取决L
•当L 为偶数时都为偶次幂项,L 为奇数时都为奇次幂项. 对特
殊点x=1,0.
•4.勒让德多项式正交关系 ()lk l k l N dx x P x P δ21
1
)(=⎰- (3)
•5.勒让德多项式的模 1
22,1222+=+=l N l N l l (4) •
6.广义傅里叶级数 :当f(x)在[-1,1]连续可导,且在x=-1与1
有限时. ()()
()(),21211
1⎰∑-∞=+==dx x P x f l f x P f x f l l l l l (5) •7.在球坐标下Laplace 方程: △u= 0的通解为:
(6)式有两系数需要两条件来确定,对球坐标有两自然边界条
件,r=0与r →∞,球内解包含r=0,
•u 有限, ()∑∞
===0cos ,0l l l l l P r A u B θ (7)
•而A l 由球面的边界条件确定,同样对球外区域两系数由球
面的边界条件与r →∞, 两个条件确定.
8. 母函数
()∑∞
==+-02cos cos 211
l l l P r r r θθ (8)
9. 递推公式
二.连带勒让德函数
•在一般情况下,物理量u 与φ有关,故球函数Y 是连带勒让德
函数与周期函数的乘积.
1. 连带勒让德函数
()[]()x P x m l m 221-=Θ (1)
2.连带勒让德函数的微分表示
()()
.1!21222l m l m l l m m l x dx d l x P --=++ (2) 从(2)可得当L 一定时,m 的取值为 m=0,1,2…L.共有L+1个值.3.正交关系
•.
.。