投影长度变形计算公式
计算投影变形实例
高速公路导线测量中的投影变形问题一公司谭晓波摘要随着公路建设的不断扩大与发展,公路(特别是高速公路)从平原微丘区向山岭重丘区(乃至高原地区)延伸,测区高程面由数十米增加到数百米乃至数千米;由于高程面的不同所产生的长度变形对工程建设的影响是必须考虑的问题。
据有关计算表明,当大地高程面H＝700m 时,其长度变形为11cm/km,远大于规范允许值,这对于重要工程的测量是一个不可忽略的数值。
现以工程实例来探讨山区高速公路在导线测量中的投影变形问题。
1、工程概况泉（州）三（明）高速公路QA16合同段起讫里程K105+970至K112+406.060,全线长6.43606公里，测区所属地理位置位于山区，平均高程为717m，这就使在导线测量过程中遇到了长度变形问题。
如表：2、长度投影变形及分析公路工程布设的测量控制网是为了施工的需要，因而要求平面控制点坐标反算的边的长度与实地量测的长度相符。
而目前我们遇到了长度变形的问题，即实际测量长度比设计长度大，按《公路勘测规范》对测量控制网的长度变形的规定，测区内投影长度变形值不得大于2.5 cm/km ，即投影变形应达到1/40 000的精度。
这就要求要对实测长度进行改正，也就是要先将控制网边长归化到参考椭球面上，然后再将椭球面上的长度投影到高斯平面上，使其影响可以忽略不计。
2.1、投影变形数学模型长度变形来源于以下两个方面:2.1.1 实地测量的边长长度换算到椭球面上产生的变形,即1s ∆;改正数误差方程式(此式较复杂这里省略)经最小二乘列出误差方程式,按级数展开后取其主项(其它项的影响甚微可以忽略不计):s R H s Am-=∆1（1） 式中 A R -长度所在方向的椭球曲率半径；m H -长度所在高程面对于椭球面的平均高程； s -实地测量的水平距离。
2.1.2 椭球面上的长度投影至高斯平面02222s Ry s m+=∆ （2）式中 R -测区中点的平均曲率半径； m y -距离的2端点横坐标平均值； 0s -为归算到椭球面上的长度。
工程测量常用投影方法适用性分析及投影参数确定原则
40李祖锋，邢文，尚海兴，等.工程测量常用投影方法适用性分析及投影参数确定原则文章编号:1006—2610(2020)S2—0040—06工程测量常用投影方法适用性分析及投影参数确定原则李祖锋，邢文，尚海兴,吕宝雄，刘明波,黄东宁（中国电建集团西北勘测设计研究院有限公司，西安710065）摘要：阐述了工程常用的高斯投影、UTM投影、兰勃特投影基本原理和方法,分析了主要投影方法变形特征及其适用范围，提出了最优化投影参数确定思路，并针对高斯正形投影提出了最优化投影参数确定3项标准。
可服务于工程控制测量、地形成图、三维建模等地理信息产品生产过程中投影方法选择与投影参数确定。
关键词:工程测量;投影方法;投影变形特征;最优投影参数中图分类号:P23文献标志码:A DOI：10.3969/j.issn.1006-2610.2020.S2.009Applicability Analysis of Commonly Used Projection Methods in Engineering Surveyand Principle of Projection Parameters DeterminationLI Zufeng，XING Wen，SHANG Haixing，LYU Baoxiong，LIU Mingbo，HUANG Dongning(PowerChina Northwest Engineering Corporation Limited，Xi'an710065，China)Abstract：The article elaborates on the basic principles and methods of Gaussian，UTM，and Lambert projections commonly used in engineering practice，analyzes the deformation characteristics of the main projection methods and their scope of application，puts forward the idea of determining the optimal projection parameters，and proposes three criteria for determining the optimal projection parameters specific to the Gaussian conformal projection.It can be used for the selection of projection methods and the determination of projection parameters in the production process of geographic information products such as engineering control surveying，geomorphological mapping and three-dimensional modeling.Key words:engineering survey；projection method；projection deformation characteristics；optimal projection parameters0前言随着工程建设对测量精度不断提出更高要求,投影问题越来越成为制约高精度GNSS测量应用的重要因素。
arcgis中常用的地图投影转换公式[新版]
![arcgis中常用的地图投影转换公式[新版]](https://img.taocdn.com/s3/m/d0b58ba7f021dd36a32d7375a417866fb84ac0f8.png)
常用地图投影转换公式1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T 18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
“海底地形图编绘规范”（GB/T 17834-1999，海军航保部起草）中规定1：25万及更小比例尺的海图采用墨卡托投影，其中基本比例尺海底地形图（1：5万，1：25万，1：100万）采用统一基准纬线30°，非基本比例尺图以制图区域中纬为基准纬线。
常用地图投影转换公式
常用地图投影转换公式作者：青岛海洋地质研究所戴勤奋 投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影”（1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标,-- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
投影长度变形值
投影长度变形值
投影长度变形值是指物体投影在平面上的长度与物体自身长度
之比。
在光学、几何学和工程学等领域中，投影长度变形值是一个重要的参数，它可以用于测量物体的形状和大小，也可以用于设计和优化各种光学设备、机械结构和电路板等。
在光学领域中，投影长度变形值通常用于描述透镜、光纤和光源等光学元件的成像性能。
当光线经过透镜或光纤等光学元件时，由于折射、反射等光学效应的影响，物体的投影长度会发生变形。
通过测量物体的投影长度变形值，可以确定光学元件的成像质量，为光学系统的设计和优化提供重要的参考依据。
在几何学领域中，投影长度变形值可以用于测量物体的形状和大小。
例如，在三维建模和计算机辅助设计中，可以通过测量物体在平面上的投影长度变形值来确定其真实的长度、宽度和高度等几何尺寸。
此外，在机械结构和电路板等领域中，投影长度变形值也可以用于测量和优化各种机械和电子设备的尺寸和结构。
总之，投影长度变形值在光学、几何学和工程学等领域中都具有重要的应用价值。
通过测量和分析物体的投影长度变形值，可以获得关于物体形状、大小和成像质量等方面的有用信息，为各种工程和科学应用提供支持和帮助。
- 1 -。
投影计算公式
投影计算公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” (1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93)的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
“海洋地质制图常用地图投影系列小程序已升级，原下载者请注意下载更新版本。
1( 约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2( 椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下(源自“全球定位系统测量规范 GB/T 18314-2001”):椭球体长半轴 a(米) 短半轴b(米)Krassovsky (北京546378245 6356863.0188采用)IAG 75(西安80采用) 6378140 6356755.2882WGS 84 6378137 6356752.3142需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3( 墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托(Gerhardus Mercator 1512,1594)在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
投影向量的公式变形
投影向量的公式变形
投影向量是向量分析中的基础概念，它是指一个向量在另一个向量上的投影所得到的向量。
在实际应用中，为了方便计算和分析，我们需要对投影向量的公式进行变形。
假设向量a和向量b都在三维空间中，它们的投影向量为p，则p的长度可以用以下公式表示：
|p| = |a|cosθ
其中，θ为a和b之间的夹角。
将这个公式进行变形，可以得到： cosθ = p·b / (|p||b|)
其中，p·b表示向量p和向量b的点积。
将cosθ代入原公式，可得到：
|p| = |a|(p·b / (|p||b|))
进一步化简，可以得到：
|p| = (a·b) / |b|
以上就是投影向量的公式变形。
通过这些公式，我们可以更加方便地计算和分析投影向量的性质和特点。
- 1 -。
6高斯投影及其计算
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
（二）投影变形 角度变形、长度变形和面积变形三种。 （三）投影长度比与变形指标 投影长度比——投影面上无限小线段 ds与椭球面上该线段实际长度 dS之比，以m表示，m=ds/dS。长度变形—— v= m-1 变形指标：主方向上投影长度比a和b叫变形指标。 若a=b，则为等角投影，既投影后长度比不随方向而变化。 若ab=1，则为等面积投影。 椭球面上微分圆： 投影平面上对应为微分椭圆：
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
二、正形投影特性 1、任一点上，投影长度比m为一常数，不随方向而变，仅与点位置有关。 2、投影后角度不变形。又叫保角映射或叫正形投影。条件是在微小范围内成立。
第一节 地图投影概念和正形投影性质
应用大地测量学
三、正形投影的一般条件 正形投影必要和充分的条件是满足柯西—黎曼方程：
y/（km）
10
20
30
40
50
100
150
200
250
300
长度变形m-1
1/810000
1/202000
1/90000
1/50000
1/32000
1/8000
1/3500
1/2000
1/1300
1/900
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
应用大地测量学
三、高斯投影的分带 为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
应用大地测量学
三、距离改正计算 距离改正——椭球面上大地线长S改换为平面上投影曲线两端点间的弦长D，要加距离改正△S。
高斯投影及高斯投影坐标系
d4X dq 4
N sin B cos 3 B (5 t 2 9 2 4 4 )
d5X dq 5
N cos 5 B (5 18t 2 t 4 14 2 58t 2 2 )
d6X dq 6
N sin B cos 5 B (61 58t 2 t 4 270 2 330 t 2 2 )
23
3.1.3 地图投影的分类
横轴圆柱投影：投影圆柱面与某经线相切。 斜轴圆柱投影：用于小比例尺投影，将地球视为圆球，
投影圆柱体斜切于圆球进行投影。
(3). 圆锥投影：圆锥面与椭球面相切或相割，将椭球面上 物投影到圆锥面上，展开圆锥面得投影平 面。 根据圆锥顶点位置不同，分正圆锥 投影、斜圆锥投影。
xcosf(Z)cos ysinf(Z)sin
22
3.1.3 地图投影的分类
(2). 正轴或斜、横轴圆柱投影 正轴圆柱投影：投影圆柱面与某纬线相切(切圆柱投
影)、或相割(割圆柱投影) 切圆柱投影：投影圆柱面与赤道相切，纬线投影成 一组平行直线，经线投影成与纬线正交 的另一组平行直线。 割圆柱投影：投影圆柱面与两条对称纬线相割，纬线 投影成一组平行直线，经线投影成与纬 线正交的另一组平行直线。
33
§3.3 高斯投影坐标正算和反算公式
3.2.1 高斯投影正算公式
x
l L
L0
H Pq,l
X
L0
L
y
h X
Px, y x
y
O
O
因正形投影的导数
与方向无关，将投
影点坐标在H点展 开，得：
赤 道
n d k f (q) (il)k
x iy f (q)
k 1
d qk
. k!
施工控制网中投影长度变形控制方法
施工控制网中投影长度变形控制方法发布时间：2021-07-22T15:19:13.023Z 来源：《城镇建设》2021年9期作者：杨先恩[导读] 在平面控制测量中，地面长度投影到参考椭球面、杨先恩文山蔚鑫地矿工程勘察有限公司，云南文山 663099摘要：在平面控制测量中，地面长度投影到参考椭球面、参考椭球面长度投影到高斯平面皆会引起地面长度变形。
本文主要以实际案例为基础，介绍如何选择投影参数，控制长度变形。
关键词：参考椭球面抵偿高程面投影变形高斯投影前言根据《工程测量规范》（GB50026-2007）中规定：3. 1.4平面控制网的坐标系统，应在满足测区内投影长度变形不大于2. 5cm/km的要求下，作下列选择: 1采用统一的高斯投影3°带平面直角坐标系统。
2采用高斯投影3°带，投影面为测区抵偿高程面或测区平均高程面的平面直角坐标系统;或任意带，投影面为1985国家高程基准面的平面直角坐标系统。
3小测区或有特殊精度要求的控制网，可采用独立坐标系统。
4在已有平面控制网的地区，可沿用原有的坐标系统。
5厂区内可采用建筑坐标系统。
规范中之所以进行以上规定，是因为在平面控制测量中，地面长度投影到参考椭球面、参考椭球面长度投影到高斯平面皆会引起地面长度变形；地面长度投影到参考椭球面对边长是负影响（也就是边长变短），参考椭球面长度投影到高斯平面是正影响（也就是边长变长），两者会综合影响到地面长度。
为了保证施工放样的精度要求，要求通过控制点坐标直接反算的边长与实地测量的边长尽量相等，满足设计规定的施工精度要求，一般要求是满足测区内投影长度变形不大于2. 5cm/km。
而要满足投影变形精度，就需要选择合适的抵偿高程面和中央子午线，以达到控制投影长度变形的目的。
一、投影长度的变形在控制测量计算中，有四项投影计算会引起长度变形: 一是地面水平距离投影到参考椭球面，这将引起距离变短；二是参考椭球面距离投影到高斯平面，这将导致距离变长；三是参考椭球面距离投影到抵偿高程面，这将导致距离变长；四是不同抵偿高程面之间的投影变形；如果低的抵偿高程面投影到高的抵偿高程面，这将导致距离变长；如果高的抵偿高程面投影到低的抵偿高程面，这将导致距离变短。
第四章 7高斯投影坐标正反算
——正形投影的一般条件 ——高斯投影坐标正算 ——高斯投影坐标反算 ——高斯投影几何解释
提前在黑板上写出四个m2
上一讲应掌握的内容
1、地图(数学)投影：将椭球面上元素(包括坐标，方位和 距离)按一定的数学法则投影到可展平面上。 x F1 ( L, B) 坐标投影公式： y F2 ( L, B) 2、地图投影变形几个概念： 长度比，主方向，变形椭圆 3、四种投影变形： 长度变形，方向变形，角度变形，面积变形
x m0 m 2 l 2 m 4 l 4 y m1l m3 l 3 m5 l 5
分别对l 和q 求偏导数
2) 由第三个条件正形投影条件
y x x y 和 l q l q
dm0 dm2 2 dm4 4 2 4 m1 3m3 l 5m5 l dq dq l dq l 2m l 4m l 3 dm1 l dm3 l 3 ）
将各系数代入，略去高次项，得高斯投影坐标正算公式 精度为0.001m
xX N N sin B cos Bl 2 + sin B cos 3 B(5 - t 9 2 4 4 )l 4 + 2 24
N sin B cos 5 B(61 - 58t 2 t 4 )l 6 720
dl tan Adq
2 2 2 2 E ( dq ) 2 F tan A ( dq ) G tan A ( dq ) m2 2 2 2 r2 ( dq ) tan A ( dq )
E 2 F tan A G tan 2 A = r 2 sec 2 A E cos 2 A 2 F sin A cos A G sin 2 A = r2
高斯投影长度变形的计算
高斯投影长度变形的计算1. 地面上有两点A 、B ，它们在高斯投影平面上的直角坐标分别为A(X A ，Y A )、B(X B 、Y B )，则可由式(1)计算出AB 间的距离S ： 22)()(A B A B Y Y X X S -+-= (1)式中：S 表示在高斯投影平面上两点间的距离。
2.假如某两点平均高程为H m ，平均水平距离为S M ，地面两点之间的水平长度归算到参考椭球面所产生变形的近似值，用式(2)计算： m m S RH S -=∆1 ..................................... (2) 式中：而 H m =(H A +H B )/2，H A 、H B ——分别为A 、B 两点的高程；R ——平均曲率半径；S 0——两点投影到参考椭球面上的弦长。
3.参考椭球面上的长度投影到高斯平面上所产生变形的近似值，用式（3）计算： S RY S m ⨯=∆22)(21 .................................... (3) 式中：Y m ——两点的横坐标(自然值)的平均值；R ——平均曲率半径；S ——两点(长度)归算到参考椭球面上的长度。
4.地面测量的边长改化到高斯平面上的近似改正数的计算式为：21S S S ∆+∆=∆1.1.1.1.1 三角形面积计算如图2所示。
))()((sin 2121c p b p a p p A bc ch P c ---=== (4)式中：p=(a+b+c)/2。
图1 三角形面积和四边形面积1.1.1.1.2 四边形面积计算如图2 所示。
2/)sin sin (2/)sin sin (D d c B b a C c b A d a P ⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯= ...... (5) 如果四边形为矩形，由于丈量时存在误差，则P=(a+c)(d+b)/4。
1.1.1.2 坐标法计算面积公式坐标法计算面积的公式见式（8）和（9）。
投影知识
μ
A
f (projection, position, direction)
B' B ds A'
ds'
C' C D'
D
大连海事大学
张三丰
投影变形理论（二）
面积比 P=dF'/dF，面积变形 ν p=P – 1，面积比或面积变形也是一个 变量，它是随点位的变化而变化的。
地图投影总结
Summary of Map Projection
大连海事大学
张三丰
思考几个问题？
理解目标
Target
为什么 目标 是什么
怎么理解 怎么计算
目标
大连海事大学
张三丰
目录
03 04 05 06 07 13
Contents
16
Page
投影的 基本理论
墨卡托投 影的特性
高斯投影 的特性
如何理解 投影变形
x p 2 = +232836.180 m m x p = +232836.180
对称性、等角性、等长性
大连海事大学
张三丰
高斯-克吕格投影的特性
x
①中央子午线投影后为直线，且长度 不变。 ②除中央子午线外，其余子午线的投 影均为凹向中央子午线的曲线， 并以中央子午线为对称轴。投影 后有长度变形。 ③赤道线投影后为直线，但有长度变 形。
平行圈
赤道 子午线
O
y
中央子午线
大连海事大学
L n＝ （四舍五入） 3
大连海事大学
张三丰
投影计算公式
投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
“海洋地质制图常用地图投影系列小程序已升级，原下载者请注意下载更新版本。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
投影机投射距离及幕布尺寸边长计算公式
投影机投射距离及幕布尺寸边长
计算公式(总1页)
--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可--
--内页可以根据需求调整合适字体及大小--
DLP投影机投射距离测算公式:
4:3------机器投距=画面尺寸***投影比
16:9------机器投距=画面尺寸***投影比
16:10------机器投距=画面尺寸***投影比
LCD投影机投影距离测算公式:
投距=画面尺寸/液晶板尺寸*焦距【f值越小焦距越大】
例如：投100英寸，液晶板英寸，焦距 to mm
最大距离=100/*=
最大距离=100/*=
幕布尺寸及边长测算公式:
4:3------宽边=幕布尺寸** 高边=幕布尺寸** 16:9------宽边=幕布尺寸** 高边=幕布尺寸** 16:10------宽边=幕布尺寸** 高边=幕布尺寸**
2。
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定本文中所列的转换公式都基于椭球体a -- 椭球体长半轴b -- 椭球体短半轴f -- 扁率e -- 第一偏心率e’ -- 第二偏心率N -- 卯酉圈曲率半径R -- 子午圈曲率半径B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)2．椭球体参数我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T18314-2001”）：需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影3.1 墨卡托投影简介墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。
墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
在地图上保持方向和角度的正确是墨卡托投影的优点，墨卡托投影地图常用作航海图和航空图，如果循着墨卡托投影图上两点间的直线航行，方向不变可以一直到达目的地，因此它对船舰在航行中定位、确定航向都具有有利条件，给航海者带来很大方便。
地图投影的变形
面积比是个变量，它随点位置不同而变化。面积变形就 是面积比与1之差，以Vp表示。
Vp=p-1 面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面 积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积 变形为负，表示投影后面积缩小。
4)角度变形 投影面上任意两方向线所夹角与球面上相应两方向线
2.制图比例尺
不同比例尺地图对精度的要求不同，导致投影选择也 不相同。
3.地图的内容
地图内容不同对地图投影要求也不一样。例如经济图 一般多采用等积投影，因为等积投影能进行地面要素面 积的正确对比，从而有利于掌握经济要素的分布情况。 如分布图、人口图、地质图、土壤图等多采用等积投影。 航海图、航空图、军用图、气象图等多采用等角投影。 因为等角投影能正确的表示方向，如风、洋流等，并且 在小范围内保持图形和实地相似。
⑶圆锥投影 以圆锥面作为投影面，使圆锥面与球面相切 或相割，将球面上的经纬线投影到圆锥面上，然后将圆锥 面展为平面而成。
2.非几何投影 不借助于任何几何面，根据一定的条件用数学解析法
确定球面与平面之间点与点的函数关系。在这类投影中， 一般按经纬网形状又可分为伪方位投影、伪圆柱投影、伪 圆锥投影和多圆锥投影等。
（二）按投影变形性质分类
（1）等角投影（正形投影）
角度变形为0，地球面上的微 小圆经过投影后仍为相似的微小 圆，其形状保持不变，只有长度 和面积变形。等角投影的条件是：
w=0 sin(w/2)=(a—b)/（a+b)=0
a=b，m=n 等角投影在同一点任何方向 的长度比都相等，但在不同地点 长度比是不同的。 多用于编制航海图、洋流图、 风向图等地形图。
来说明变形的性质和数量。椭圆半径与小圆半径之比，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高斯投影长度变形公式
长度变形来源于以下两个方面
1、实地测量的边长长度换算到椭球面上产生的变形，即∆s1；
改正数误差方程式(此式较复杂这里省略)经最小二乘列出误差方程式,按级数展开后取其主项(其它项的影响甚微可忽略不计)：
∆s1=−H m
R A
s（1）式中：R A—长度所在方向的椭球曲率半径；
H m—长度所在高程面对于椭球面的平均高程；
s—实地测量的水平距离。
2、椭球面上的长度投影至高斯平面
∆s2=+y m2
2R2
s0（2）式中：R—测区中点的平均曲率半径；
y m—距离的2端点横坐标平均值；
s0—为归算到椭球面上的长度。
在不影响推证严密性的前提下取， R A=R，s=s0，综合上两式可得,综合长度变形∆s为：
∆s=−H m
R
s+
y m2
2R2
s。