投影长度变形计算公式
投影计算公式
投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
“海洋地质制图常用地图投影系列小程序已升级，原下载者请注意下载更新版本。
1．约定
本文中所列的转换公式都基于椭球体
a -- 椭球体长半轴
b -- 椭球体短半轴
f -- 扁率
e -- 第一偏心率
e’ -- 第二偏心率
N -- 卯酉圈曲率半径
R -- 子午圈曲率半径
B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)
-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)
2．椭球体参数
我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T
18314-2001”）：
需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影
3.1 墨卡托投影简介
墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
独立坐标系的长度变形控制和参数计算
独立坐标系的长度变形控制和参数计算
文章首先介绍了国家坐标系和独立坐标系的关联和区别，然后论述了独立坐标系长度变形控制和独立坐标系椭球参数的计算方法，最后举例如何根据工程的属性选择独立坐标系。
标签：独立坐标系投影高程面中央子午线参数计算
0前言
国家坐标系是以一定的的参考椭球几何、物理参数，按一定的原则进行定向、定位建立的。测绘成果归算至相应的参考椭球面，并分别以3°、6°分带高斯投影后产生了不同程度的长度变形，但仍可满足测绘国家基本比例尺的需求。
在城市和工程测量中，要求控制网投影后的长度与实测长度尽可能相符，如《工程测量规范》中规定投影长度变形不大于 2.5cm/km，但国家坐标系的成果有时无法满足此要求，为此应考虑建立独立坐标系满足工程测量的需求。独立坐标系建立的方法有多种，如椭球膨胀法、椭球平移法等，其基本原则均是在国家坐标系的基准下，进行高程归算面和高斯投影的改换，以控制长度变形。
文章以《工程测量规范》中规定投影长度变形不大于2.5cm/km为原则，根据工程的属性，论述如何根据国家坐标系构建独立坐标系及计算相关参数以控制长度变形，并以实例说明如何选择独立坐标系。
1长度变形分析
1.1高程归化长度变形
设地面两点测量的空间平距为S1，测区相对参考椭球的平均大地高为H，将此长度归算至参考椭球为S2，可计算得到相应的长度变形为：
ΔS1≈ S2-S1 = -H S1/R （1）
上两式中：R为S1处的平均曲率半径。
1.2投影改化长度变形
实际测绘成果的应用均是在高斯平面上进行进行的，故经高程归化后的S2应进行高斯投影。设S2高斯投影后的长度为S3，根据高斯投影的数学模型，可计算得到相应的长度变形为：
投影于测区抵偿高程面上的坐标计算公式推导
1.1计算原理
建立抵偿坐标系的原理是基于测区中心一点，在该 中心点垂线方向上将独立坐标系的投影高程面变更为测 区抵偿高程面，这样就相当于形成了一个新的局部的参 考椭球体，新椭球与国家标准椭球间的垂直距离为测区 抵偿高程面的高度与当地高程异常值之和。然后基于该 中心点坐标不变的基础上,在新椭球上重新进行高程归 化和投影改化计算,计算出原控制点在新椭球对应的独 立坐标系中的坐标。由于抵偿坐标系仍按统一 3°带进行 高斯投影的方向和距离改化,因此,在抵偿坐标系中的坐 标值与国家统一 3°分带的高斯坐标值的换算仅是简单的 比例缩放关系⑷。国家坐标系参考椭球面、测区平均高 程面及抵偿高程面(即新参考椭球面)的关系如图1 所示。
依据文献[1]—[2]进行测区地面观测边长投影变形 计算，以检查其是否满足相关规范的大比例尺地形图测 绘之要求。
高程归化变形计算公式：
°p
(1)
式中,Q”为归算到参考椭球面上的测距边长度；DP 为测距边的水平距离;Rd为参考椭球体在测距边方向法 截弧的曲率半径;H”为测距边两端点的平均高程;hm为 测区高程异常值。
国家标准椭球长轴和平均曲率半径的基础上加上抵偿高
程归化面的高程Ho和高程异常值hm，即新椭球平均曲率 半径为:Rm = Rm + hm + H°。测距边平均高程则是相对于抵 偿高程面计算得出的，即测距边中点的高程H = ( H, +
满足测区内长度变形不大于2.5cm km的方法
满足测区内长度变形不大于2.5cm/km的方法
摘要：本文首先介绍了距离变形的公式，为什么要减少距离变形；其次给出了几种实现测区长度变形小于2.5cm/km的方法；最后说明了如何使测区坐标系和国家坐标系相互联系。以后测绘项目中遇到关于距离变形的问题，值得借鉴。
关键词：长度变形不大于2.5cm/km 坐标系
大比例尺数字测图、工程测量、公路测量、水利工程测量等规范都要求满足测区内长度变形不大于2.5cm/km、限差换算为相对误差就是1:40000。满足此要求后，不仅整个测区内现场实测距离与坐标点反算距离相差无几，且计算时可以按平面处理，公式简单，提高作业效率。
当前的国家平面基准是1980西安坐标系，常用的是6°带坐标和3度带坐标，投影带边界地区的距离变形较大，不能满足上述限差。尤其是河流和道路可以跨越多个投影带，且各段的地面高程不等，若直接采用6度带或3°带坐标，就会出现多数地区长度投影变形超限的情况。
1.高斯投影的距离变形公式
高斯投影的距离变形△S的计算公式
（公式1）
式中：S0——为两点在高斯投影面上的距离；
S——为两点在地球表面上的距离；
ym——两点Y坐标平均值；
R——地球平均曲率半径，一般取6371000m。
H——地面的平均高程
按此公式计算，在高程接近0的地区，采用高斯投影的国家平面坐标基准6°带坐标边沿地区的距离变形为80cm/km左右。3°带坐标边沿地区的距离变形为25cm/km左右。显然6°带坐标或3°带坐标在其区间中只能有靠近中央子午线的部分地区能够满足投影变形小于 2.5cm/km。这个范围就是中央中央子午线东、西各0.5°的区间。
投影向量的公式变形
投影向量的公式变形
投影向量是向量分析中的基础概念，它是指一个向量在另一个向量上的投影所得到的向量。在实际应用中，为了方便计算和分析，我们需要对投影向量的公式进行变形。
假设向量a和向量b都在三维空间中，它们的投影向量为p，则p的长度可以用以下公式表示：
|p| = |a|cosθ
其中，θ为a和b之间的夹角。将这个公式进行变形，可以得到： cosθ = p·b / (|p||b|)
其中，p·b表示向量p和向量b的点积。将cosθ代入原公式，可得到：
|p| = |a|(p·b / (|p||b|))
进一步化简，可以得到：
|p| = (a·b) / |b|
以上就是投影向量的公式变形。通过这些公式，我们可以更加方便地计算和分析投影向量的性质和特点。
- 1 -
6高斯投影及其计算
y/（km）
10
20
30
40
50
100
150
200
250
300
长度变形m-1
1/810000
1/202000
1/90000
1/50000
1/32000
1/8000
1/3500
1/2000
1/1300
1/900
第二节 高斯投影与国家平面直角坐标系
应用大地测量学
三、高斯投影的分带 为限制长度投影变形，投影分带有6度分带和3度分带两种方法。
应用大地测量学
一、由（B，L）计算（x，y）－－正算 式中，X为由赤道至纬度B的子午线弧长 为计算点P点与中央子午线 的经差。
第三节 高斯投影坐标计算
应用大地测量学
一、由（B，L）计算（x，y）－－正算 推证过程： 1、高斯投影坐标正算函数式 2、根据正形投影的一般公式 x+iy=f（q+il）以及高斯投影的条件推导正算公式，可以将一般公式在q处展为il 的台劳级数。 3、根据中央子午线长度比 m=1，有 4、由 求各阶导数 5、将各阶导数代入上式得最后正算公式。
第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介
应用大地测量学
第六节 通用横轴墨卡托投影和兰勃特投影简介
应用大地测量学
兰勃脱投影是正形正轴圆锥投影。设想用一个圆锥套在地球椭球面上，使圆锥轴与椭球自转轴相一致，使圆锥面与椭球面的一条纬线(纬度)相切，按照正形投影的一般条件和兰勃脱投影的特殊条件，将椭球面上的纬线投影到圆锥面上成为同心圆，子午线投影到圆锥面上成为从圆心发出的辐射直线，然后沿圆锥面某条母线(—般为中央子午线)，将圆锥面切开而展成平面，从而实现了兰勃脱切圆锥投影。如果圆锥面与椭球面上二条纬线(纬度分别为及)相割，则称之为兰勃脱割圆锥投影。
高斯正形投影与高程、平距的关系
高斯正形投影与高程、平距的关系
王磊刘志刚
营松高速08标项目
摘要:坐标系统的选择对一项工程来说是一项必须首先进行的工作，同时坐标系统选择的适当与否关系到整个工程质量的好坏，因此对坐标系统的研究是一项非常重要和必需的工作。对于城市而言，使投影长度
变形控制在允许的精度范围之内是建立独立坐标系统主要解决的问题，因此，独立坐标系统的建立主要是
根据所在测区的不同来建立与本测区相适应的坐标系统，从而使其投影长度变形控制在允许范围之内。本
文讨论通过建立城市抵偿坐标系解决变形问题的方法，以期能抛砖引玉，共同提高。
关键词:抵偿投影面; 综合变形; 长度变形
0 引言
坐标系统是所有测量工作的基础，所有的测量成果都是建立在其上的，因此坐标系统选择的适当与否关系到整个工程质量的好坏。
根据我国《国家三角测量和精密导线测量规范》规定: 所有国家的大地点均按高斯正形投影计算其在6°带内的平面直角坐标。在1：10000 和更大比例尺测图的地区，还应加算其在3°带内的直角坐标系。我们通常将这种控制点在6°带或3°带内的坐标系称为国家统一坐标系统。在实际应用中，国家统一坐标系统的精度往往不能满足工程建设的需要，所以必须针对不同的工程采用适合它的独立坐标系统。
城市独立坐标系的建立方法主要是研究线路工程中如何建立坐标系统并使其精度能满足工程需要。按照《城市测量规范》要求，城市平面控制测量坐标系统的选择应以投影长度变形值不大于2.5cm/km 为原则。由于城市测量的特点，采用国家统一坐标系时往往会因为离中央子午线较远而使变形量超限，因此必须采用独立坐标系统。由于工程项目的内容不同，因此需采用的独立坐标系统也不尽相同。当工程是南北走向时，由于线路基本上位于中央子午线上，因此不必要对多个独立坐标系统的转换衔接问题进行研究。当工程是东西走向时，由于线路跨度较长而往往需要建立独立坐标系统，因此需要对独立坐标系统的建立问题进行研究。
投影于测区平均高程面上的坐标计算公式推导
焦殿 阳 ，智 喜 如
（ １ ．辽宁 省地 质矿产调查院 ， 辽宁 沈 阳 １ １ ０ ０ ３ ２ ； ２ ． 辽宁省第九地质大队 ， 辽宁 铁岭 １ １ ２ ０ ０ ０ ）
摘
要： 当测 区 内投影 长度 变形超 限时 ， 一般要 建立独 立坐标 系。 目前常 用的方法 为基 于测 区中心 一点 的投 影
２ ． Ｔ ｈ ｅ Ｎｉ ｎ ｔ ｈ Ｇｅ ｏ ｌ ｏ ｇ ｉ ｃ ａ ｌ Ｂ ｒ ｉ ｇ ａ ｄ ｅ ｏ ｆ Ｌ ｉ ａ ｏ ｎ ｉ ｎ ｇ Ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｎ ｃ ｅ ， Ｔ ｉ ｅ ｌ ｉ ｎ ｇ １ １ ２ ０ ０ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｗｈ ｅ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｊ ｅ ｃ ｔ ｅ ｄ ｌ ｅ ｎ ｇ ｔ ｈ ｄ ｅ ｆ ｏ ｒ ｍ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｕ ｒ ｖ ｅ ｙ ａ ｒ ｅ ａ ｄ ｅ ｆ ｏ ｍａ ｒ ｔ ｉ ｏ ｎ ｇ ａ ｕ ｇ ｅ ， ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｌ ｙ ｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｌ ｉ ｓ ｈ ａ ｎ ｉ ｎ ｄ ｅ ｐ ｅ ｎ ｄ ｅ ｎ ｔ ｃ ｏ ｏ ｒ ｄ ｉ ｎ ａ ｔ ｅ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ．Ｔ ｈ ｅ ｍ ｏ ｓ ｔ ｃ ｏ ｍ ｍｏ ｎ ｌ ｙ ｕ ｓ ｅ ｄ ｍ ｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｉ ｓ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｓ ｕ ｖｅ ｒ ｙ ａ ｒ ｅ ａ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｃ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｓ ｕ ｖｅ ｒ ｙ ｏ ． Ｆ ｅ ａ ｐ ｒ ｏ ｊ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｏ ｉ ｎ ｔ ａ ｖ ｅ ｒ ａ ｇ ｅ ｅ ｌ ｅ ｖ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
投影计算举例
正轴等面积方位投影：极地地图和南北半球图
横轴等面积方位投影：赤道附近圆形区域地图，
如非洲图、东西半球图
斜轴等面积方位投影：中纬度近圆形区域的地图，
如亚洲图、欧亚大陆图、美洲图、中国全图
• 正轴（等积）方位投影－－南北两极（半球）图
• 横轴等积方位投影－－东西半球图
投影计算举例1
本讲主要内容：
一、等角割圆锥投影 二、方位投影
一、等角割圆锥投影
1、圆锥投影的一般公式
2、等角圆锥投影的一般公式
等角条件
正轴等角圆锥投影的公式
3、等角割圆锥投影公式
4、圆锥投影的变形分析
圆锥投影一般变形规律
①变形只与纬度有关，与经差无关，同一纬线上的变 形是相同的； ②切圆锥投影中，标准纬线上长度比等于n0=1，其 余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大； ③在割圆锥投影中，标准纬线n1=n2=1,变形自标准纬 线向内、向外增大，在 两条标准纬线之间n<1,在两 条标准纬线之外n>1。
• 正轴等距方位投影－－南极洲地图
• 斜轴等距方位投影－－航空、无线电通讯 等距：指从投影中心向各个方向长度变形为零。
总结
方位投影的特点是：在投影平面上，由投影中心
（平面与球面的切点）向各方向的方位角与实地相等， 其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆。
投影计算公式
投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
“海洋地质制图常用地图投影系列小程序已升级，原下载者请注意下载更新版本。
1．约定
本文中所列的转换公式都基于椭球体
a -- 椭球体长半轴
b -- 椭球体短半轴
f -- 扁率
e -- 第一偏心率
e’ -- 第二偏心率
N -- 卯酉圈曲率半径
R -- 子午圈曲率半径
B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)
-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)
2．椭球体参数
我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T
18314-2001”）：
需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影
3.1 墨卡托投影简介
墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
211245935_线性工程测绘中投影变形分析研究
0引言
项目的不同阶段，对坐标系统的选择和投影变形值有不同的要求，一般在项目规划、可行性研究阶段都需要进行用地预审、报批等工作，通常要求测绘资料采用国家统一的标准3度带坐标系统，方便与国土、规划等部门进行对接。在项目的初步设计和施工图制作阶段，需进行大比例尺地形测绘，或者施工控制网的建立需满足长度投影变形值的要求。《水利水电工程测量规范》（SL197—2013）要求大比例尺地形测绘中，其长度投影变形值不应大于5cm/km［1］，《工程测量标准》（GB50026—2020）要求平面控制网的坐标系统应满足测区内投影长度变形不大于
2.5cm/km［2］。线性工程测绘常见于长距离、大跨度的作业要求，国家标准3度分带坐标系统很难满足长度投影变形值的要求。因此，工程实际中常根据线路走向和高程起伏变化分测段、分区域建立坐标系统，并在分段区域进行有效的衔接（公共控制点），以满足勘测施工需要。
1长度投影变形
由文献［1］知道：长度投影变形主要是由两种变形引起的：实测长度归算到参考椭球面产生的变形∆s1；参考椭球面长度归算到高斯投影面产生的变形∆s2。两种变形量的计算公式如下：
∆s1=-H m R s（1）公式（1）中：s表示实测长度；H m表示归算边两端点高出参考椭球面的平均高程；R表示归算边方向参考椭球的曲率半径。
∆s2=+y2m2R
m
2s0（2）公式（2）中：s0=s+∆s1，即s0为参考椭球面长度；R m 为参考椭球面平均曲率半径；y m为归算边两端点自然横坐标（不加改正数500km）的平均值。
实际工程中，在不影响推证严密性的前提下，可取R m=R，s=s0，得到综合变形公式如下：
高速公路定测中特长隧道独立控制网的建立方法及应用
第6期2024年3月无线互联科技
Wireless Internet Science and Technology
No.6March,2024
作者简介:吴永兴(1991 ),男,工程师,硕士研究生;研究方向:工程测量,点云数据处理㊂
高速公路定测中特长隧道独立控制网的
建立方法及应用
吴永兴,江智云,宋㊀伟
(浙江数智交院科技股份有限公司,浙江杭州310000)
摘要:文章详细介绍了高速公路中特长隧道独立控制网的建立方法㊂该方法通过改变中央子午线或投影面的方式,减少了投影变形对控制点精度的影响;利用 一点一方向 平差方法,提高了控制网内部的精度㊂文章结合实际的工程项目,情况对所提方法的实用性和有效性进行了分析说明㊂关键词:特长隧道;独立控制网;投影变形; 一点一方向 中图分类号:TB22㊀㊀文献标志码:A 1㊀工程概况
㊀㊀义龙庆高速公路义乌至龙泉(金华段)的起点位于甬金高速徐村互通处,路线呈东北至西南走向,全长约105.5km,项目路线如图1所示㊂全线共设11
条隧道,其中特长隧道3条,长隧道4条,中短隧道4条㊂在隧道工程建设中,为了保证隧道的顺利贯通,
需要对隧道布设满足‘公路勘测规范“要求的独立控制网
[1]㊂本文以南岩山特长隧道为例,主要对高速公路特长隧道的平面独立控制网的建立方法进行详细探讨㊂该隧道起点位于东谷坑西侧,终点位于东湖坑北侧,隧道全长约为7.8km㊂
图1㊀项目路线
2㊀特长隧道控制点的布设
㊀㊀在高速公路初测阶段,项目已完成南岩山隧道进㊁出洞口各1个必要控制点(NYSII03㊁NYSII05)的布设工作(点位埋石标准按平面二等为依据),并将其纳入公路全线四等全球导航卫星系统(Global
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式
投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定
本文中所列的转换公式都基于椭球体
a -- 椭球体长半轴
b -- 椭球体短半轴
f -- 扁率
e -- 第一偏心率
e’ -- 第二偏心率
N -- 卯酉圈曲率半径
R -- 子午圈曲率半径
B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)
-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)
2．椭球体参数
我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T
18314-2001”）：
需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影
3.1 墨卡托投影简介
墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式
投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定
本文中所列的转换公式都基于椭球体
a -- 椭球体长半轴
b -- 椭球体短半轴
f -- 扁率
e -- 第一偏心率
e’ -- 第二偏心率
N -- 卯酉圈曲率半径
R -- 子午圈曲率半径
B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)
-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)
2．椭球体参数
我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T
18314-2001”）：
需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影
3.1 墨卡托投影简介
墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
各种投影转化的算法公式
各种投影转化的算法公式
投影计算公式往往表达方式不止一种，有时很难分辨谁对谁错，我只把“墨卡托投影”、“高斯-克吕格投影”、“UTM投影”、“兰勃特等角投影” （1:100万地形图规范中称作正轴等角圆锥投影，GB/T 14512-93）的正反转换公式列出，因为我基本能保证这些公式的正确性。
1．约定
本文中所列的转换公式都基于椭球体
a -- 椭球体长半轴
b -- 椭球体短半轴
f -- 扁率
e -- 第一偏心率
e’ -- 第二偏心率
N -- 卯酉圈曲率半径
R -- 子午圈曲率半径
B -- 纬度，L -- 经度，单位弧度(RAD)
-- 纵直角坐标, -- 横直角坐标，单位米(M)
2．椭球体参数
我国常用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T
需要说明的是，在“海洋地质制图常用地图投影系列小程序”中，程序界面上的所谓“北京1954“西安1980”及“WGS 84”在实际计算中只涉及了相应的椭球体参数。
3．墨卡托(Mercator)投影
3.1 墨卡托投影简介
墨卡托(Mercator)投影，是一种"等角正切圆柱投影”，荷兰地图学家墨卡托（Gerhardus Mercator 1512－1594）在1569年拟定, 假设地球被围在一中空的圆柱里，其标准纬线与圆柱相切接触，然后再假想地球中心有一盏灯，把球面上的图形投影到圆柱体上，再把圆柱体展开，这就是一幅选定标准纬线上的“墨卡托投影”绘制出的地图。
墨卡托投影没有角度变形，由每一点向各方向的长度比相等，它的经纬线都是平行直线，且相交成直角，经线间隔相等，纬线间隔从标准纬线向两极逐渐增大。墨卡托投影的地图上长度和面积变形明显，但标准纬线无变形，从标准纬线向两极变形逐渐增大，但因为它具有各个方向均等扩大的特性，保持了方向和相互位置关系的正确。
投影向量的公式变形
投影向量的公式变形
投影向量是线性代数中的重要概念，它可以帮助我们理解向量在不同方向上的投影和分解。投影向量的公式变形是指将原有的投影向量公式进行变形和推导，以便更好地理解和应用这个概念。
投影向量的公式可以用向量点乘的形式表达，即对于向量a和b，其投影向量为：
proj_b(a) = (a·b/|b|^2)· b
其中，a·b表示a和b的点乘，|b|表示b的长度。这个公式表达了a在b方向上的投影向量。
为了更好地理解和应用投影向量，我们可以对公式进行变形。首先，我们可以观察到公式中的|b|^2，它表示b的长度的平方。这个
平方项可能会带来一些计算上的不便，因此我们可以将其变形为b·b，即：
proj_b(a) = (a·b/b·b)· b
这样，我们就可以用向量点乘的形式表达投影向量，而不需要计算长度的平方。
除此之外，我们还可以将投影向量公式变形为向量的加减法形式。具体来说，我们可以将向量a分解为与b垂直的向量a_⊥和与b平
行的向量a_∥，如下所示：
a = a_∥ + a_⊥
其中，a_∥是a在b方向上的投影向量，a_⊥是a在与b垂直的方向上的向量。这个分解可以用向量加减法表示为：
a_∥ = (a·b/b·b)· b
a_⊥ = a - a_∥
这样，我们就可以将一个向量分解为两个部分，方便进行计算和应用。
总之，投影向量的公式变形可以帮助我们更好地理解和应用这个概念。通过对公式的变形和推导，我们可以将投影向量表示为向量点乘的形式或向量加减法的形式，方便计算和应用。
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高斯投影长度变形公式
长度变形来源于以下两个方面
1、实地测量的边长长度换算到椭球面上产生的变形，即∆s1；
改正数误差方程式(此式较复杂这里省略)经最小二乘列出误差方程式,按级数展开后取其主项(其它项的影响甚微可忽略不计)：
∆s1=−H m
R A
s（1）式中：R A—长度所在方向的椭球曲率半径；
H m—长度所在高程面对于椭球面的平均高程；
s—实地测量的水平距离。
2、椭球面上的长度投影至高斯平面
∆s2=+y m2
2R2
s0（2）式中：R—测区中点的平均曲率半径；
y m—距离的2端点横坐标平均值；
s0—为归算到椭球面上的长度。
在不影响推证严密性的前提下取， R A=R，s=s0，综合上两式可得,综合长度变形∆s为：
∆s=−H m
R
s+
y m2
2R2
s