江苏专用2019高考数学二轮复习解答题专项练6数列理含答案

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江苏省2019年高考数学小专题复习6--函数单调性在数列中的应用(有答案)

解，求整数 m 的最小值.
四、【练习】
1. 已知等差数列 {an } 的首项 a1 20 ，公差 d 2 ，则前 n 项和 S n 的最大值为
*
.110
2. 在数列 {an } 中， a1 18 ， a n 1 a n 3 ( n N ) ，则数列 {an } 的前 n 项和 S n 的最小值为 .-63 3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ，且 a2 an S 2 S n 对一切正整数 n 都成立. （1）求 a1 ， a2 的值；（2）设 a1 0 ，数列 {lg 大值. 解：（1）取 n=1,得 a2 a1 S 2 S1 2a1 a2 , 取 n=2,得 a 2 2a1 2a 2 , 又②-①，得 a 2 ( a 2 a1 ) a 2 若 a2=0, 由①知 a1=0, 若 a2 0，由③知a 2 a 1 1 , 由①④解得， a1 ④
2 1, a 2 2 2.
当 n 2时，有（ 2 2）a n S 2 S n , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1，
（ 1 2 ）a n （ 2 2）a n 1, 即 an= 2a n 1 (n 2) , 所以
所以 a n a1 ( 2 ) 令 b n lg
n
（3）令 en n (Tn 3) n (2n 3)2
n
n
[来源:学|科|网]
由 en en 1 ，得 n(2n 3)2 (n 1)(2n 1)2

n 1
，即 n(2n 3) 2(n 1)(2n 1)
解得对任意 n N 成立，即数列 {en } 为单调递增数列，所以 {en } 的最小项为 e1 2 因为 en 对任意 n N 恒成立，所以 2 ，

2019年高考数学(理)第六章数列 6-4-2习题及答案

1．若a ，b 是函f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个可适当排序后成等差列，也可适当排序后成等比列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D解析由题可知a ，b 是x 2－px ＋q ＝0的两根， ∴a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，故a ，b 均为正． ∵a ，b ，－2适当排序后成等比列， ∴－2是a ，b 的等比中项，得ab ＝4， ∴q ＝4.又a ，b ，－2适当排序后成等差列，所以－2是第一项或第三项，不防设a <b ，则－2，a ，b 成递增的等差列，∴2a ＝b －2，联立⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4，消去b 得a 2＋a －2＝0，得a ＝1或a ＝－2，又a >0， ∴a ＝1，此时b ＝4， ∴p ＝a ＋b ＝5， ∴p ＋q ＝9，选D.2.设S n 为等比列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差列，则a n ＝________.点击观看解答视频答案 3n －1解析由3S 1,2S 2，S 3成等差列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，则3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.3．设S n 是列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________.答案－1n解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.4.设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标．点击观看解答视频(1)求列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x22n －1，证明：T n ≥14n.解 (1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1，曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x 22n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝n －2n2>n －2－1n2＝2n －22n ＝n －1n. 所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得对任意的n ∈N *，都有T n ≥14n.5．设等差列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函f (x )的图象上，求列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋ 2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋n n －2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n .所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.6．已知列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记列{c n }的前n 项和为S n .①求S n ；②求正整k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8，又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)．所以，a 1a 2a 3…a n ＝2n n＋2＝(2)n (n ＋1)．故列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *)． ②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0，当n ≥5时，c n ＝1n n ＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋2n －1，而n n ＋2n－n ＋n ＋2n ＋1＝n ＋n －2n ＋1>0，得n n ＋2n≤＋25<1.所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.7．设列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整n ，总存在正整m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 列”．(1)若列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *)，证明：{a n }是“H 列”； (2)设{a n }是等差列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 列”，求d 的值；(3)证明：对任意的等差列{a n }，总存在两个“H 列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．解 (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2n ＋1－2n ＝2n .于是对任意的正整n ，总存在正整m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .所以{a n }是“H 列”．(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 列”，所以存在正整m ，使得S 2＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1，从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝n－n2是小于2的整，n ∈N *. 于是对任意的正整n ，总存在正整m ＝2－S n ＝2－n－n2，使得S n ＝2－m ＝a m .所以{a n }是“H 列”．因此d 的值为－1.(3)证明：设等差列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)．下证{b n }是“H 列”．设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n n ＋12a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整n ，总存在正整m ＝n n ＋2，使得T n ＝b m .所以{b n }是“H列”．同可证{c n }也是“H 列”．所以，对任意的等差列{a n }，总存在两个“H 列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *)成立．。

2019高考数学(理)二轮复习课时跟踪检测六等差数列与等比数列小题练含答案

课时跟踪检测（六）等差数列与等比数列（小题练）A 级——12＋4提速练一、选择题1．(2019届高三·合肥模拟)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )A ．20 B.36 C ．24D.72解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝1，∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.故选C.2．设等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，则公比q ＝( )A ．1B ．4C ．4或0D.8解析：选B ∵S 1＝13a 2－13，S 2＝13a 3－13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13a 1q －13，a 1＋a 1q ＝13a 1q 2－13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，q ＝0(舍去)，故所求的公比q ＝4.3．(2018·云南师大附中适应性考试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 5＋a 6a 3＋a 4的值为( )A.1－52 B.5＋12C.3＋52D.3－52解析：选C 设{a n }的公比为q 且q >0，因为a 2，12a 3，a 1成等差数列，所以a 1＋a 2＝2×12a 3＝a 3，即a 1＋a 1q ＝a 1q 2，因为a 1≠0，所以q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52或q ＝1－52<0(舍去)，所以a 5＋a 6a 3＋a 4＝a 3＋a 4q2a 3＋a 4＝q 2＝3＋52，故选C.4．(2018·辽宁五校联考)各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D.4解析：选C 由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，∴log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.5.(2018·陕西模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45D.54解析：选D ∵在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11，∴a 5＝6，故S 9＝a 1＋a 92＝9a 5＝54.故选D.6．等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝5n ＋2n ＋3，则a 2＋a 20b 7＋b 15＝( )A.10724 B.724C.14912D.1493解析：选A 由题知，a 2＋a 20b 7＋b 15＝S 21T 21＝10724. 7．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，且a 3＝2，a 9＝12，则a 15＝( ) A ．10 B ．30 C ．40D.20解析：选B 法一：设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的公差为d .∵a 3＝2，a 9＝12，∴6d ＝a 99－a 33＝129－23＝23，∴d ＝19，a 1515＝a 33＋12d ＝2.故a 15＝30.法二：由于数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，故2×a 99＝a 33＋a 1515，即a 1515＝2×129－23＝2，故a 15＝30.8．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n .若a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2，a n 是偶数，3a n ＋1，a n 是奇数，且S 3＝29，则a 1＝( )A ．4B ．5C ．6D.7解析：选B 法一：若a 1＝4k ，则a 2＝2k ，a 3＝k ，此时S 3＝7k ＝29，由于k 为整数，此时无解；若a 1＝4k ＋1，则a 2＝12k ＋4，a 3＝6k ＋2，此时S 3＝22k ＋7＝29，解得k ＝1，即a 1＝5；若a 1＝4k ＋2，则a 2＝2k ＋1，a 3＝6k ＋4，此时S 3＝12k ＋7＝29，由于k 为整数，此时无解；若a 1＝4k ＋3，则a 2＝12k ＋10，a 3＝6k ＋5，此时S 3＝22k ＋18＝29，由于k 为整数，此时无解．综上可知a 1＝5.法二：当a 1＝4时，a 2＝2，a 3＝1，S 3＝7，排除A ；当a 1＝5时，a 2＝16，a 3＝8，S 3＝29，B 符合题意，故选B.9．(2019届高三·湖南十校联考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1<0，若存在自然数m ≥3，使得a m＝S m ，则当n >m 时，S n 与a n 的大小关系是( )A ．S n <a nB ．S n ≤a nC ．S n >a nD.大小不能确定解析：选C 若a 1<0，存在自然数m ≥3，使得a m ＝S m ，则d >0，否则若d ≤0，数列是递减数列或常数列，则恒有S m <a m ，不存在a m ＝S m .由于a 1<0，d >0，当m ≥3时，有a m ＝S m ，因此a m >0，S m >0，又S n ＝S m ＋a m ＋1＋…＋a n ，显然S n >a n .故选C.10．(2018·西安八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( )A ．10B ．11C ．12D.13解析：选C 由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以{a n }为递减数列，又S 13＝a 1＋a 132＝13a 7<0，S 12＝a 1＋a 122＝6(a 6＋a 7)>0，所以S 12S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12，故选C.11．(2018·沈阳二模)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则满足S n ≥12181的n 的最小值为( )A ．6B ．5C ．8D.7解析：选B 由a n －1＝3a n (n ≥2)可得a n a n －1＝13(n ≥2)，可得数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝13的等比数列，所以S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n1－13＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n .由S n ≥12181可得32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ≥12181，即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ≥242243，得n ≥5(n ∈N *)，故选B.12．已知各项均为正数的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A.12nB.12n －1C.12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1 D.12×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 解析：选A 设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由题意知a 1>0，且a n ＝12·q n －1，又S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以2(S 5＋a 5)＝S 3＋a 3＋S 4＋a 4，即2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋2a 5)＝a 1＋a 2＋2a 3＋a 1＋a 2＋a 3＋2a 4，化简得4a 5＝a 3，从而4q 2＝1，解得q ＝±12，又q >0，故q ＝12，a n ＝12n ，选择A.二、填空题13．(2018·重庆模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5＝5，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝________.解析：因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以由等比数列的性质可得a 1·a 9＝a 2·a 8＝a 3·a 7＝a 4·a 6＝a 25＝52，则log 5a 1＋log 5a 2＋…＋log 5a 9＝log 5(a 1·a 2·…·a 9)＝log 5[(a 1·a 9)·(a 2·a 8)·(a 3·a 7)·(a 4·a 6)·a 5]＝log 5a 95＝log 559＝9.答案：914．(2018·天津模拟)数列{a n }满足a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －1a n ＝2n －1，且数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的n ∈N *，都有λ2<S n <4λ，则实数λ的取值范围是________．解析：由a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －1a n ＝2n －1，可得a 1＋2a 2＋4a 3＋…＋2n －2a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3(n ≥2)，两式相减得2n －1a n ＝2(n ≥2)，所以a n ＝22－n(n ≥2)．又n ＝1时，a 1＝1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝，22－n n ，所以S n ＝1＋20＋2－1＋…＋22－n＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2，由S n 在n ≥1时单调递增，可得1≤S n <3，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ2<1，4λ≥3，解得34≤λ<1，所以实数λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 15．(2018·安徽合肥二模)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝2,3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1，则a n ＝________.解析：由S 1＝2，得a 1＝S 1＝2. 由3S 2n －2a n ＋1S n ＝a 2n ＋1，得4S 2n ＝(S n ＋a n ＋1)2.又a n >0，∴2S n ＝S n ＋a n ＋1，即S n ＝a n ＋1. 当n ≥2时，S n －1＝a n ，两式作差得a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1a n＝2. 又由S 1＝2,3S 21－2a 2S 1＝a 22，求得a 2＝2. ∴当n ≥2时，a n ＝2×2n －2＝2n －1.验证当n ＝1时不成立，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥216．(2018·西安八校联考)数列{a n }中，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)，则S n＝________.解析：当n ≥2时，将a n ＝S n －S n －1代入a n ＝2S 2n2S n －1，得S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，化简整理，得S n －S n －1＝－2S n －1·S n ，两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)，又1S 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1，公差为2的等差数列，所以1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以S n ＝12n －1. 答案：12n －1B 级——难度小题强化练1．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，4a 5＝a 3.设T n ＝S n －1S n，则数列{T n }中最大项的值为( )A.34 B.45 C.56D.78解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，则q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12，故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1×32n，S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对任意的n ∈N *，总有－712≤S n－1S n <0或0<S n －1S n ≤56，即数列{T n }中最大项的值为56.故选C. 2．(2018·洛阳尖子生模拟)已知数列{a n }满足na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )，其中a 1＝1，a 2＝2，若a n <a n ＋1对任意的n ∈N *恒成立，则实数λ的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．(－1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ D.[0,1)解析：选A 由na n ＋2－(n ＋2)a n ＝λ(n 2＋2n )＝λn (n ＋2)得a n ＋2n ＋2－a nn ＝λ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 的奇数项与偶数项均是以λ为公差的等差数列，因为a 1＝1，a 2＝2，所以当n 为奇数时，a n n ＝1＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1＝n －12λ＋1，所以a n ＝n 2－n2λ＋n .当n 为偶数时，a n n ＝1＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1＝n －22λ＋1，所以a n ＝n 2－2n 2λ＋n .当n 为奇数时，由a n <a n ＋1得n 2－n2λ＋n <n ＋2－n ＋2λ＋n ＋1，即λ(n －1)>－2，若n ＝1，则λ∈R ，若n >1，则λ>－2n －1，所以λ≥0; 当n 为偶数时，由a n <a n ＋1得n 2－2n 2λ＋n <n ＋2－n ＋2λ＋n ＋1，即3λn >－2，所以λ>－23n，即λ≥0.综上，实数λ的取值范围为[0，＋∞)．选A.3．(2018·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( )A ．－10B ．－12C ．－9D.－13解析：选 B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12.4．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，若a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *)的最小值为( ) A ．4 B ．3 C ．23－2D.92解析：选A ∵a 1＝1，a 1，a 3，a 13成等比数列，∴(1＋2d )2＝1＋12d ，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，∴a n＝2n －1，∴S n ＝n＋2n －2＝n 2，∴2S n ＋16a n ＋3＝n 2＋8n ＋1.令t ＝n ＋1，则n 2＋8n ＋1＝t ＋9t－2≥6－2＝4，当且仅当t ＝3，即n ＝2时等号成立．5．(2018·广东模拟)设数列{a n }的各项都是正数，且对任意n ∈N *，都有4S n ＝a 2n ＋2a n ，其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：当n ＝1时，4a 1＝a 21＋2a 1，∴a 1(a 1－2)＝0， ∵a n >0，∴a 1＝2.当n ≥2时，4S n ＝a 2n ＋2a n,4S n －1＝a 2n －1＋2a n －1，两式相减得4a n ＝a 2n －a 2n －1＋2a n －2a n －1，(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，∵a n >0，∴a n －a n －1＝2，故a n ＝2n . 答案：2n6．已知数列{a n }满足a 1＝a 2＝2，a n ＋2－[2＋(－1)n]a n ＝a 2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________________________________________________________________________．解析：当n ＝2k (k ∈N *)时，a 2k ＋2＝3a 2k ＋2，即a 2k ＋2＋1＝3(a 2k ＋1)，所以数列{a 2k ＋1}(k ∈N *)是以a 2＋1为首项，3为公比的等比数列，所以a 2k ＋1＝(a 2＋1)·3k －1＝3k，即当n 为偶数时，a n ＝32n －1；当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a 2k ＋1＝a 2k －1＋2，所以a 2k ＋1－a 2k －1＝2，所以数列{a 2k －1}(k ∈N *)是以a 1为首项，2为公差的等差数列，所以a 2k －1＝2＋2(k －1)＝2k ，即当n 为奇数时，a n ＝n ＋1.所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1，n 为奇数，32n －1，n 为偶数.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋1，n 为奇数，32n－1，n 为偶数。

2019高考数学(理科)江苏专用二轮讲义：专题六第2讲数列的通项与求和Word版含答案

第2讲数列的通项与求和高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)数列的通项公式求法，常在解答题的第(1)问出现，难度中档以下；(2)求数列的前n 项和的几种方法，一般两种题型都有涉及，是数列命题的重点.真题感悟1.(2015·江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N*)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________.解析 ∵a 1＝1，a n ＋1－a n ＝n ＋1，∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，将以上n －1个式子相加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝（2＋n ）（n －1）2，即a n ＝n （n ＋1）2，令b n ＝1a n ，故b n ＝2n （n ＋1）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故S 10＝b 1＋b 2＋…＋b 10 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2011. 答案 20112.(2018·江苏卷)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}.将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }.记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为________.解析所有的正奇数和2n (n ∈N *)按照从小到大的顺序排列构成{a n }，在数列{a n }中，25前面有16个正奇数，即a 21＝25，a 38＝26.当n ＝1时，S 1＝1<12a 2＝24，不符合题意；当n ＝2时，S 2＝3<12a 3＝36，不符合题意；当n ＝3时，S 3＝6<12a 4＝48，不符合题意；当n ＝4时，S 4＝10<12a 5＝60，不符合题意；…；当n ＝26时，S 26＝21×（1＋41）2＋2×（1－25）1－2＝441＋62＝503<12a 27＝516，不符合题意；当n ＝27时，S 27＝22×（1＋43）2＋2×（1－25）1－2＝484＋62＝546>12a 28＝540，符合题意.故使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为27.答案 27考点整合1.求通项公式的常见类型(1)观察法：利用递推关系写出前几项，根据前几项的特点观察、归纳、猜想出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明.(2)利用前n 项和与通项的关系a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(3)公式法：利用等差(比)数列求通项公式.(4)累加法：在已知数列{a n }中，满足a n ＋1＝a n ＋f (n )，把原递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再利用累加法(逐差相加法)求解.(5)叠乘法：在已知数列{a n }中，满足a n ＋1＝f (n )a n ，把原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，再利用叠乘法(逐商相乘法)求解.(6)构造等比数列法：在已知数列{a n }中，满足a n ＋1＝pa n ＋q (其中p ，q 均为常数，pq (p －1)≠0)先用待定系数法把原递推公式转化为a n ＋1－t ＝p (a n －t )，其中t ＝q 1－p，再利用换元法转化为等比数列求解. 2.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并.(2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.热点一数列的通项公式[考法1] 由S n 与a n 的关系求a n【例1－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.解析法一因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8；当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16；当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32. 所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×（1－26）1－2＝－63.答案－63(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3, n ∈N *. 证明：a n ＋2＝3a n ，并求a n .解由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n .又∵a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3.于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列.因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n －12，n 为奇数，2×3n －22，n 为偶数. 探究提高给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .[考法2] 已知a n 与a n ＋1的递推关系式求a n【例1－2】 (1)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n a n ＋n ＋12n ，求数列{a n }的通项公式；(2)已知正项数列{a n }满足a 1＝1，(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，求通项a n ；(3)已知a 1＝4，a n ＋1＝2a n 2a n ＋1，求通项a n . 解 (1)由已知得a 1＝1，且a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n ， ∴a 22＝a 11＋121，a 33＝a 22＋122，…，a n n ＝a n －1n －1＋12n －1， ∴a n n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1＝2－12n －1(n ≥2). ∴a n ＝2n －n 2n －1(n ≥2)，又a 1＝1适合上式，∴a n ＝2n －n 2n －1. (2)由(n ＋2)a 2n ＋1－(n ＋1)a 2n ＋a n a n ＋1＝0，得(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＋a n ＋1a n＝n ＋1，所以a n ＋1a n＝n ＋1n ＋2(a n ＋1a n ＝－1，舍去). 又a 1＝1，则a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝n n ＋1·n －1n ·…·23·1＝2n ＋1. 故数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1.(3)∵a n ＋1＝2a n 2a n ＋1，两边取倒数得1a n ＋1＝12a n＋1，设b n ＝1a n，则b n ＋1＝12b n ＋1，则b n ＋1－2＝12(b n －2)，∴b n ＋1－2b n －2＝12，故{b n －2}是以b 1－2＝1a 1－2＝－74为首项，12为公比的等比数列. ∴b n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－74⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，即1a n －2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－74⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，得a n ＝2n ＋12n ＋2－7. 探究提高 (1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )，其中f (n )＝k 或多项式(一般不高于三次)，用累加法即可求得数列的通项公式；(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )，可用累乘法；(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列；(4)形如a n ＋1＝qa n ＋q n (q 为常数，且q ≠0，q ≠±1)，解决方法是在递推公式两边同除以q n ＋1.【训练1】 (1)(2017·南京、盐城调研)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝________.(2)(2018·盐城三模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析 (1)由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.(2)因为S n ＝2a n ＋n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，即a 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n ＋n )－[2a n －1＋(n －1)]＝2a n －2a n －1＋1，即a n ＝2a n －1－1，所以a n －1＝2(a n －1－1)，又因为a 1－1＝－2≠0，故a n －1－1≠0，所以a n －1a n －1－1＝2，所以数列{a n －1}为首项a 1－1＝－2，公比q ＝2的等比数列，所以a n －1＝－2×2n －1，即a n ＝1－2n ，当n ＝1时也成立.。

江苏省2019高考数学二轮复习专题六数列第2讲数列的综合问题学案

第2讲数列的综合问题[考情考向分析］江苏高考中，数列大题常在压轴的代数论证中考数列的综合应用．近几年江苏高考中数列解答题总是同等差、等比数列相关，进一步考查其子数列或派生数列的性质等，所以解题过程中既有等差、等比数列性质的挖掘，又有等差、等比数列的判断论证，综合性极强．热点一数列中的探索性问题例1 （2018·无锡期末)已知数列{｝a n 满足错误!错误!…错误!＝错误!，n ∈N ＊，S n 是数列错误!的前n 项和．（1)求数列错误!的通项公式；(2)若a p ，30，S q 成等差数列，a p ，18，S q 成等比数列,求正整数p ，q 的值；(3）是否存在k ∈N *，使得错误!为数列错误!中的项？若存在,求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为错误!错误!…错误!＝错误!，n ∈N ＊，所以当n ＝1时，1－错误!＝错误!，a 1＝2，当n ≥2时,由错误!错误!…错误!＝错误!和错误!错误!…错误!＝错误!，两式相除可得，1－错误!＝错误!，即a n －a n －1＝1(n ≥2)．所以数列错误!是首项为2，公差为1的等差数列．所以a n ＝n ＋1（n ∈N ＊）．(2)因为a p,30，S q成等差数列，a p,18,S q成等比数列，所以错误!于是错误!或错误!当错误!时，错误!解得错误!当错误!时，错误!无正整数解，所以p＝5，q＝9.（3)假设存在满足条件的正整数k，使得a k a k＋1＋16＝a m（m∈N*），则错误!＝m＋1,平方并化简得，(2m＋2）2－（2k＋3)2＝63,则（2m＋2k＋5)（2m－2k－1)＝63,所以错误!或错误!或错误!解得m＝15，k＝14,或m＝5，k＝3，或m＝3，k＝－1(舍去）,综上所述，k＝3或14。

思维升华数列中的探索性问题是江苏高考的一个热点，试题一般是探求数列中项的存在性问题,此类试题的解法一般具有以下特点：假设提出的问题存在,结合数论中不定方程、奇偶性的基本性质进行求解．跟踪演练1 已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝a,且a n＋1＝k（a n＋a n＋2）对任意正整数n都成立，数列｛a n｝的前n项和为S n.(1）是否存在实数k，使数列{a n｝是公比不为1的等比数列,且任意相邻三项a m，a m＋1，a m＋2按某顺序排列后成等差数列?若存在,求出所有k的值；若不存在，说明理由；(2)若k＝－错误!，求S n。

江苏专用2019高考理科二轮复习解答题专项练6：数列(含答案)

6.数列1.已知从数列{a n }中取出部分项，并按原来的顺序组成一个新的数列1n a ，2n a ，3n a …，称为数列{a n }的一个子数列，若该子数列为等比数列，则称为数列{a n }的等比子数列.(1)设数列{a n }是一个公差不为0的等差数列，若a 1＝1，a 3＝6，且a 1，a 3，1n a ，2n a ，3n a ，…，k n a 为数列{a n }的等比子数列，求数列{n k }的通项公式；(2)是否存在一个等差数列{a n }，使得{b n }是数列{a n }的一个等比子数列？其中数列{b n }的公比为q ，同时满足b 1＝a 21，b 2＝a 22，b 3＝a 23(a 1<a 2)，b 1＝(1＋2)(1－q ).若存在，求出数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由.解 (1)因为数列{a n }是等差数列，且a 1＝1，a 3＝6，则等差数列{a n }的公差d ＝52，所以a n ＝52n －32(n ∈N *)，k n a ＝52n k －32.又a 1，a 3，1n a ，2n a ，3n a ，…，k n a 为数列{a n }的等比子数列，且a 3a 1＝6，所以k n a ＝6k ＋1，即6k ＋1＝52n k －32，故n k ＝2×6k ＋1＋35(k ∈N *).(2)设数列{a n }的公差为d ，因为a 1<a 2，所以d >0.由题意得a 21(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )4，化简得2a 21＋4a 1d ＋d 2＝0，所以d ＝(－2±2)a 1，而－2±2<0，故a 1<0. 若d ＝(－2－2)a 1，则q ＝b 2b 1＝a 22a 21＝(2＋1)2，故b 1＝a 21＝(1＋2)(1－q )＝(1＋2)(－2－22)<0，故舍去. 若d ＝(－2＋2)a 1，则q ＝b 2b 1＝a 22a 21＝(2－1)2，从而b 1＝a 21＝(1＋2)(1－q )＝(22－2)(1＋2)＝2，所以a 1＝－2，d ＝(－2＋2)a 1＝22－2，所以a n ＝(22－2)n －32＋2. 又b 1＝2，令(22－2)n －32＋2＝2，故n ＝32＋62不是整数，即b 1不是数列{a n }中的项.故不存在满足条件的等差数列{a n }.2.设等比数列{a n }的首项为a 1＝2，公比为q (q 为正整数)，且满足3a 3是8a 1与a 5的等差中项；数列{b n }满足2n 2－(t ＋b n )n ＋32b n ＝0(t ∈R ，n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)试确定t 的值，使得数列{b n }为等差数列；(3)当{b n }为等差数列时，对每个正整数k ，在a k 与a k ＋1之间插入b k 个2，得到一个新数列{c n }.设T n 是数列{c n }的前n 项和，试求满足T m ＝2c m ＋1的所有正整数m .解 (1)由题意6a 3＝8a 1＋a 5，则6q 2＝8＋q 4，解得q 2＝4或q 2＝2(舍)，则q ＝2，又a 1＝2，所以a n ＝2n .(2)当n ＝1时，2－(t ＋b 1)＋32b 1＝0，得b 1＝2t －4，当n ＝2时，2×22－(t ＋b 2)×2＋32b 2＝0，得b 2＝16－4t ，当n ＝3时，2×32－(t ＋b 3)×3＋32b 3＝0，得b 3＝12－2t ，则由b 1＋b 3＝2b 2，得t ＝3，而当t ＝3时，2n 2－(3＋b n )n ＋32b n ＝0，得b n ＝2n ，由b n ＋1－b n ＝2(常数)知，此时数列{b n }为等差数列，故t ＝3. (3)由(1)(2)知，a n ＝2n ，b k ＝2k .由题意知，c 1＝a 1＝2，c 2＝c 3＝2，c 4＝a 2＝4，c 5＝c 6＝c 7＝c 8＝2，c 9＝a 3＝8，…，则当m ＝1时，T 1≠2c 2，不合题意，当m ＝2时，T 2＝2c 3，适合题意.当m ≥3时，若c m ＋1＝2，则T m ≠2c m ＋1，一定不适合题意，从而c m ＋1必是数列{a n }中的某一项a k ＋1，则T m ＝a 1＋122b +⋅⋅⋅+个＋a 2＋222b +⋅⋅⋅+个＋a 3＋322b +⋅⋅⋅+个＋a 4＋…＋a k ＋22k b +⋅⋅⋅+个，＝(2＋22＋23＋…＋2k )＋2(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ) ＝2×(2k －1)＋2×(2＋2k )k 2＝2k ＋1＋2k 2＋2k －2，2c m ＋1＝2a k ＋1＝2×2k ＋1，所以2k ＋1＋2k 2＋2k －2＝2×2k ＋1，即2k －k 2－k ＋1＝0，所以2k ＋1＝k 2＋k .2k ＋1(k ∈N *)为奇数，而k 2＋k ＝k (k ＋1)为偶数，所以上式无解.即当m ≥3时，T m ≠2c m ＋1.综上知，满足题意的正整数仅有m ＝2.3.(2018·江苏省邗江中学期中)已知各项均为正数的数列{}a n 满足a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *. (1)求数列{}a n 的通项公式； (2)设数列{b n }满足b n ＝na n(2n ＋1)·2n，是否存在正整数m ，n (1<m <n )，使得b 1，b m ，b n 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值；若不存在，请说明理由.(3)令c n ＝(n ＋1)2＋1n (n ＋1)a n ＋2，记数列{c n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N *，证明：516≤S n <12.(1)解 ∵a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，∴(a n ＋1＋a n )(2a n －a n ＋1)＝0，又a n ＞0，∴2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1， ∴数列{a n }是公比为2的等比数列.由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.(2)解 b n ＝na n (2n ＋1)·2n ＝n 2n ＋1，若b 1，b m ，b n成等比数列，则⎝⎛⎭⎫m 2m ＋12＝13⎝⎛⎭⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3. 由m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3，得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2，∴－2m 2＋4m ＋1＞0，解得1－62＜m ＜1＋62. 又m ∈N *，且m ＞1， ∴m ＝2，此时n ＝12.故存在正整数m ＝2，n ＝12，使得b 1，b m ，b n 成等比数列. (3)证明 c n ＝(n ＋1)2＋1n (n ＋1)·2n ＋2＝12·n 2＋2n ＋2n (n ＋1)·2n ＋1＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤n 2＋n n (n ＋1)·2n ＋1＋n ＋2n (n ＋1)·2n ＋1 ＝12⎣⎡⎦⎤12n ＋1＋1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1，∴S n ＝12⎝⎛⎭⎫122＋…＋12n ＋1＋12⎣⎡⎝⎛⎭⎫11·2－12·22＋⎝⎛⎭⎫12·22－13·23＋⎦⎤…＋⎝⎛⎭⎫1n ·2n －1(n ＋1)·2n ＋1 ＝12·122⎝⎛⎭⎫1－12n1－12＋12⎣⎡⎦⎤12－1(n ＋1)·2n ＋1 ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1，n ∈N *. ∵⎝⎛⎭⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1递减， ∴0＜⎝⎛⎭⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1≤⎝⎛⎭⎫121＋1·1＋21＋1＝38， ∴516≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ＋1·n ＋2n ＋1＜12，∴516≤S n ＜12. 4.(2018·江苏省扬州树人学校模拟)已知无穷数列{}a n 的各项都不为零，其前n 项和为S n ，且满足a n ·a n ＋1＝S n (n ∈N *)，数列{}b n 满足b n ＝a na n ＋t ，其中t 为正整数.(1)求a 2 018；(2)若不等式a 2n ＋a 2n ＋1<S n ＋S n ＋1对任意的n ∈N *都成立，求首项a 1的取值范围；(3)若首项a 1是正整数，则数列{}b n 中的任意一项是否总可以表示为数列{}b n 中的其他两项之积？若是，请给出一种表示方式；若不是，请说明理由. 解 (1)令n ＝1，则a 1a 2＝S 1，即a 1a 2＝a 1，又a 1≠0，所以a 2＝1.由a n ·a n ＋1＝S n ，得a n ＋1·a n ＋2＝S n ＋1，两式相减得(a n ＋2－a n )a n ＋1＝a n ＋1，又a n ＋1≠0，故a n ＋2－a n ＝1，所以a 2 018＝a 2＋⎝⎛⎭⎫2 0182－1×1＝1 009.(2)由(1)知数列{}a 2n 是首项为a 2＝1，公差为1的等差数列，数列{}a 2n －1是首项为a 1，公差为1的等差数列.故a n＝⎩⎨⎧a 1＋n －12，n 是奇数，n2，n 是偶数.所以S n＝⎩⎨⎧n ＋12a 1＋n 2－14，n 是奇数，n 2a 1＋n24，n 是偶数.①当n 是奇数时，a 2n ＋a 2n ＋1<S n ＋S n ＋1，即⎝⎛⎭⎫a 1＋n －122＋⎝⎛⎭⎫n ＋122<⎝⎛⎭⎫n ＋12a 1＋n 2－14＋⎣⎡⎦⎤n ＋12a 1＋(n ＋1)24，即a 21－2a 1<n －12对任意正奇数n 恒成立，所以a 21－2a 1<0，解得0<a 1<2.②当n 是偶数时，a 2n ＋a 2n ＋1<S n ＋S n ＋1，即⎝⎛⎭⎫n 22＋⎝⎛⎭⎫a 1＋n 22<⎝⎛⎭⎫n 2a 1＋n24 ＋⎣⎡⎦⎤n ＋22a 1＋(n ＋1)2－14，即a 21－a 1<n2对任意正偶数n 恒成立，所以a 21－a 1<1，解得1－52<a 1<1＋52.综合①②得0<a 1<1＋52.(3)由数列{}a 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，数列{}a 2n －1是首项为正整数a 1，公差为1的等差数列知，数列{}a n 的各项都是正整数. 设b n ＝b m b k ，即a n a n ＋t ＝a m a m ＋t ·a ka k ＋t，所以a m ＝a n (a k ＋t )a k －a n ，取k ＝n ＋2，则a k －a n ＝1，故a m ＝a n (a n ＋2＋t )，不妨设m 是偶数，则m2＝a n (a n ＋2＋t )一定是整数，故当n 是偶数时，方程b n ＝b m b k 的一组解是⎩⎪⎨⎪⎧k ＝n ＋2，m ＝n ⎝⎛⎭⎫n 2＋t ＋1，当n 是奇数时，方程b n ＝b m b k 的一组解是⎩⎪⎨⎪⎧k ＝n ＋2，m ＝2⎝⎛⎭⎫a 1＋n －12⎝⎛⎭⎫a 1＋n ＋12＋t ，所以数列{}b n 中的任意一项总可以表示为数列{}b n 中的其他两项之积. 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且2a 5－a 3＝13，S 4＝16. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设T n ＝∑ni ＝1(－1)i a i ，若对一切正整数n ，不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n－1恒成立，求实数λ的取值范围；(3)是否存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列？若存在，求出所有的m ，n ；若不存在，请说明理由. 解 (1)设数列{a n }的公差为d . 因为2a 5－a 3＝13，S 4＝16，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2(a 1＋4d )－(a 1＋2d )＝13，4a 1＋6d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.(2)①当n 为偶数时，设n ＝2k ，k ∈N *，则T 2k ＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋…＋(a 2k －a 2k －1)＝2k . 代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]·2n －1，得λ·2k <4k，从而λ<4k2k.设b k ＝4k 2k ，k ∈N *，则b k ＋1－b k ＝4k ＋12(k ＋1)－4k 2k ＝4k(3k －1)2k (k ＋1).因为k ∈N *，所以b k ＋1－b k ＞0，所以数列{b k }是递增的，所以(b k )min ＝2，所以λ<2. ②当n 为奇数时，设n ＝2k －1，k ∈N *，则T 2k －1＝T 2k －(－1)2k a 2k ＝2k －(4k －1)＝1－2k .代入不等式λT n <[a n ＋1＋(－1)n ＋1a n ]2n －1，得λ(1－2k )<(2k －1)4k ，从而λ>－4k .因为k ∈N *，所以－4k 的最大值为－4，所以λ>－4. 综上，λ的取值范围为(－4,2).(3)假设存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列，则(S m －S 2)2＝S 2(S n －S m )，即(m 2－4)2＝4(n 2－m 2)，所以4n 2＝(m 2－2)2＋12，即4n 2－(m 2－2)2＝12，即(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12.因为n >m >2，所以n ≥4，m ≥3，所以2n ＋m 2－2≥15.因为2n －m 2＋2是整数，所以等式(2n －m 2＋2)(2n ＋m 2－2)＝12不成立，故不存在正整数m ，n (n >m >2)，使得S 2，S m －S 2，S n －S m 成等比数列.6.(2018·南京模拟)若数列{}a n 满足：对于任意n ∈N *，a n ＋||a n ＋1－a n ＋2均为数列{}a n 中的项，则称数列{}a n 为“T 数列”.(1)若数列{}a n 的前n 项和S n ＝2n 2，n ∈N *，求证：数列{}a n 为“T 数列”； (2)若公差为d 的等差数列{}a n 为“T 数列”，求d 的取值范围；(3)若数列{}a n 为“T 数列”，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n <a 2n ＋1－a 2n <a n ＋1，求数列{}a n 的通项公式.(1)证明当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2.所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，因此数列{a n }为“T 数列”.(2)解因为数列{a n }是公差为d 的等差数列，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1)d ＋|d |. 因为数列{a n }为“T 数列”，所以任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1) d ＋|d |＝a m ，即有(m －n )d ＝|d |. ①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n )d ＝|d |， ②若d ＜0，则m ＝n －1.此时，当n ＝1时，m ＝0不为正整数，所以d ＜0不符合题意. 综上，d ≥0. (3)解因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1，又因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”，所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，所以数列{a n }为等差数列. 设数列{a n }的公差为t (t ＞0)，则有a n ＝1＋(n －1)t ，由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ，整理得n (2t 2－t )＞t 2－3t ＋1， ①n (t －2t 2)＞2t －t 2－1.②若2t 2－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋12t 2－t，则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t )N 0＜t 2－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾，因此2t 2－t ≥0. 同样根据②式可得t －2t 2≥0，所以2t 2－t ＝0.又t ＞0，所以t ＝12.经检验当t ＝12时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋12(n －1)＝n ＋12.。

2019版数学江苏(理科)大二轮复习优选习题：板块二练透基础送分小考点第4讲Word版含答案

十位、千位、十万位数用横式表示．以此类推．例如
3266 用算筹表示就是
，
则算筹答案 8771
表示 ________．
7．如图所示的流程图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”
。
执行该流程图，若输入 a， b 分别为 14,18，则输出的 a＝________.
3
下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯 ________盏．
答案 3
解析设塔的顶层有灯 a1 盏，
则各层灯数 an 成等比数列， a1 1－ 27
∴S7＝ 1－ 2 ＝ 381，
解得 a1＝ 3，故塔的顶层共有 3 盏灯．
2.欧阳修在《卖油翁》中写到： “ ( 翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自
答案 510 解析由题意知，图 2 中的 “ 结绳计数 ”法是七进制计数法，所以图 2 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为 S＝1× 73＋ 3× 72＋ 2× 71＋ 6× 70＝510. 6．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外． ”其中的“筹”取意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代是用算筹来进行计算．算筹是将几寸长的小竹棍摆在地面上进行运算．算筹的摆放形式有纵横两种形式 (如图所示 )．表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列．但各位数码的筹式要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，
3． (2018 ·浙江 )我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题： “今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，
鸡母，鸡雏个数分别为
x＋ y＋ z＝100，
x， y， z，则

2025高考数学二轮复习数列解答题

解 (1)设数列{an}的公差为 d,数列{bn}的公比为 q(q>0).
1 + 2 = 21 ,
2 + 2 = 2,
= 2,
由题意得
5×4
3 即 10 + 10 = + 3 ,解得 = 3.
51 + 2 = 1 + 1 ,
∴an=2+2(n-1)=2n,bn=1×3n-1=3n-1.
,为偶数,
和.
2.错位相减法
一般地,数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,
可采用错位相减法,一般是和式两边同乘等比数列{bn}的公比,然后作差求
解.
3.裂项相消法
实质是将数列的通项分解为两项之差,求和时能消去中间的一些项,最终达
到求和的目的,其解题的关键是准确地裂项和消项.
3 + 2, = 2,∈N* ,
所以bn+1=a2n+1=3a2n+2=3(2a2n-1+1)+2=6a2n-1+5=6bn+5.
因为b1+1=a1+1=2≠0,且bn+1+1=6(bn+1),所以数列{bn+1}是首项为2,公比
为6的等比数列.
所以bn+1=2·
6n-1,则bn=2·
6n-1-1.
3
1
①Sn= +m(m∈R),②Sn= an+1+m(m∈R),且 a1=1.请在这两个条件中选一个
2
2
补充在下面的横线上并解答.
若
,
(1)求m的值及数列{an}的通项公式;

江苏专用2019高考数学二轮复习填空题满分练6理(含答案)100

填空题总分值练(6)全集U＝R，N＝{x|x(x＋3)<0}，M＝{x|x<－1}，那么图中暗影局部表示的会合是________.答案：{x|－1≤x<0}1－i2.(2021·江苏省高考冲刺展望卷)假定复数z＝2－i，那么z的虚部为________.1答案：－5解：z＝1－i＝1－i2＋i＝3－i，2－i2－i 2＋i51其虚部为－5.1数列{a n}知足：关于?m，n∈N*，都有a n·a m＝a n＋m，且a1＝，那么a5＝________.21答案：32解：因为a·a＝a*1(m，n∈N)，且a＝2.nm n＋m11令m＝1，得2a n＝a n＋1，11所以数列{an}是公比为2，首项为2的等比数列.4151所以a5＝a1q＝2＝32.4.以下列图，一家面包销售店依据过去某种面包的销售记录绘制了日销售量的频次散布直方图.假定一个月以30天计算，预计这家面包店一个月内日销售量许多于150个的天数为________.1答案： 9解：这家面包店一个月内日销售量许多于150 个的天数为＋0.002)×50×30＝9.225.椭圆x2＋y2＝1(>>0)的左、右焦点分别为1，2，P 是椭圆上一点，△12是以2a babFFPFFFP为底边的等腰三角形，且60°<∠PFF <120°，那么该椭圆的离心率的取值范围是________.1 2答案：3－11，2 2解：由题意可得 PF 1＝F 1F 2＝2c ，再由椭圆的定义可得 PF 2＝2a －PF 1＝2a －2c .设∠12＝θ，又60°<∠ 1 2<120°，PFFPFF∴－1<cos θ＜1.22在△PF 1F 2中，由余弦定理可得c 2－a 2＋2accos θ＝ 2c 2 ，1 1 e 的取值范围是3－ 1 .由－＜cos θ＜，可得1，2222x ＋2y ≥0，yx － ≤0，6.假定变量x ，y 知足拘束条件那么z ＝x －3的最小值是________.yx －2y ＋2≥0，答案：－2解：画出知足拘束条件的可行域，如图中暗影局部所示(含界限)，x －2y ＋2＝0，解：得A (2,2)，联立x －y ＝0， yz ＝x －3的几何意义为可行域内的点与定点P (3,0)的连线的斜率.∵k PA ＝2－0＝－2，∴z ＝y 的最小值是－2.2－3 x －3△ABC 的三个内角A ，B ，C 挨次成等差数列，BC 边上的中线AD ＝7，AB ＝2，那么S △ABC________. 答案： 3 3 解： ∵A ，B ，C 成等差数列，∴ B ＝60°，2222在△ABD 中，AD ＝AB ＋BD －2AB ·BD ·cos B ，即7＝4＋BD －2BD ，2∴BD＝3或－1(舍去)，可得BC＝6，∴△ABC＝113··sin＝×2×6×＝33.S2ABBC B22三棱锥P－ABC内接于球O，PA＝PB＝PC＝2，当三棱锥P－ABC的三个侧面的面积之和最大时，球O的表面积为________.答案：12π解：因为三条侧棱相等，依据三角形面积公式可知，当PA，PB，PC两两垂直时，侧面积之和最大.此时PA，PB，PC可当作正方体一个极点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R2＝3·22＝12，故球的表面积为4πR2＝12π.9.给出以下列图的流程图，假定输入的x的值为－5，那么输出的y值是________.答案：0解：由流程图知，假定输入的x的值为－5，1－5＝25＝32>2，21－33程序持续运转x＝－3，2＝2＝8>2，程序持续运转x＝－1，1－1＝2，21x不知足>2，∴履行y＝log2x2＝log21＝0.10.假定函数f (x)＝sinω＋cosω(0<ω<5，≠0)的图象的一条对称轴方程是x＝π，函a xb x ab4ω数f′(x)的图象的一个对称中心是π，0，那么f(x)的最小正周期是________.83答案：π22bπ π解：由f (x )＝ a ＋b sin(ωx ＋φ)tanφ＝a 图象的对称轴方程为 x ＝4ω 可知， 4＋φππb＝ 2 ＋k π，k ∈Z ，解：得φ＝4＋k π，k ∈Z ，即a ＝tan φ＝1，所以a ＝b .又f ′()＝a ωcos ωx－ωsinωx 的对称中心为πf ′ π，0，那么＝0，即xb88ωπωπωππa ωcos8－sin8 ＝0，所以 8＝4＋k π，k ∈Z ，解：得ω＝2＋8k ，k ∈Z ，又因为2π0<ω<5，所以ω＝2，所以T ＝ω＝π.在正三角形ABC 内任取一点P ，那么点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为________.3π答案： 1－6解：知足条件的正三角形 ABC 以下列图.设边长为 2，此中正三角形ABC 的面积S ＝4×4＝3.△ABC3知足到正三角形ABC 的极点A ，B ，C 的距离起码有一个小于等于 1的平面地区如图中暗影部分所示，其加起来是一个半径为 1的半圆，那么S 暗影＝12π，那么使取到的点到三个极点A ，B ，C 的距离都大于13π的概率P ＝1－.612.△ABC 的三个极点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足 →→→ →|CM |＝ 1，那么|OA ＋OB ＋OM |的最大值是________. 答案：2＋1解：设点M 的坐标是→2222(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM |＝1，∴x ＋y ＋2＝1，x ＋(y ＋2)＝1，那么点的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆.MA (0,1)，B (1,0)，→ → →∴OA ＋OB ＋OM ＝(x ＋1，y ＋1)，4→→→x＋12222上的点与点P(－1，那么|OA＋OB＋OM|＝＋y＋1，其几何意义表示圆x＋(y＋2)＝1－1)间的距离.又点P(－1，－1)在圆C的外面，→→→→1＝0＋1222＋1.∴|OA＋OB＋OM|max＝|PC|＋＋－2＋1＋1＝42213.P为函数y＝x的图象上任一点，过点P作直线PA，PB分别与圆x＋y＝1相切于A，B两点，直线AB交x轴于M点，交y轴于N点，那么△OMN的面积为________.答案：1 8解：不如设点P在第一象限，Px0，422＋162，x0，那么PO＝x00x2222216PA＝PB＝PO－1＝x0＋2－1，x0P PA(x－x)2y42x216故以为圆心，为半径的圆的方程为＋－0＋10＝2－，x0x0联立x2＋y2＝1，4两圆方程作差可得直线AB的方程为x0x＋x0y－1＝0，1，0，N 0，x0，4故Mx0所以△的面积为11x01··＝.OMN2x04814.函数y ＝()的定义域为，假定?x∈，?∈[1,2]，使得f(x)≥ax恒建立，那么称函数y f x D D a＝f(x)拥有性质P，现有以下函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝2cos2x－π－≤；e41(x0)ln1－x，x<0，③f(x)＝x－13＋1，x≥0.那么拥有性质P的函数f(x)为________.(填序号)答案：①②x－1x－1解：①设φ(x)＝e－x(x∈R)，那么φ′(x)＝e－1.5∴φ(x)min＝φ(1)x－1x－1＝0，所以e－x≥0，e≥x，故?＝1，使f (x)≥ax在R上恒建立，①中函数f()拥有性质；a x P②易知f(x)＝2cos 2x－πx(x≤0).4－1＝sin2令φ(x)＝f(x)－2x＝sin2x－2x(x≤0)，那么φ′(x)＝2cos2x－2.∴φ′(x)≤0，∴φ(x)在(－∞，0]上是减函数，∴φ(x)min＝φ(0)＝0，故f(x)≥2x恒建立.?a＝2，使得f(x)≥ax在(－∞，0]上恒建立，②中函数f(x)拥有性质P；③作函数y＝f(x)与直线y＝ax的图象，明显当y＝ax过点O(0,0)，A(1,1)，B(2,2)时，斜率a＝1.依据图象知，不存在a∈[1,2]，使f(x)≥ax恒建立.所以③中函数f(x)不拥有性质P.综上可知，拥有性质P的函数为①②.6。

2019高考数学二轮学科素养专题6 数列 Word版含答案

专题6 数列是需要注意的问题．．．【解析】方法一：∵22n n S S ≠， ∴1q ≠．n中等差数列的单调性同一次函数单调性的关系，的值为（公差为1．【答案】B【解析】由题意可知，数列{a n}满足条件12a1＋122a2＋123a3＋…＋12n a n＝2n＋5，则12a1＋122a2＋123a3＋…＋1 2n－1a n–1＝2（n–1）＋5，n>1，两式相减可得，a n2n＝2n＋5–2（n–1）–5＝2，∴a n＝2n＋1，n>1，n∈N*．当n ＝1时，a 12＝7，∴a 1＝14，综上可知，数列{a n }的通项公式为：114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩，故选B ．2．【答案】B3．【解析】S n ＝2（1＋3＋…＋3n –1）＋[–1＋1–1＋…＋（–1）n ]·（ln 2–ln 3）＋[–1＋2–3＋…＋（–1）n n ]ln 3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n 2ln 3–1；学科……网当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3–（ln 2–ln 3）＋（n －12–n ）ln 3＝3n –n －12ln 3–ln 2–1．综上所述，S n＝⎩⎨⎧3n ＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.4．【解析】（1）由题设，当3n ≥时，22n n a c a -=，12n n a ca --=，则122122n n n n a a ca a ---++==．由题设条件可得20n a -≠，因此212cc +=，即2210c c --=，解得1c =或12c =-．（2）由（1）知，需要分两种情况讨论．当1c =时，数列{}n a 是一个常数列，即1()n a n =∈*N ．这时，数列{}n na 的前n 项和(1)1232n n n S n +=++++=．当12c =-时，数列{}n a 是一个公比为12-的等比数列，即11()()2n n a n -=-∈*N ．这时，数列{}n na 的前n 项和为：2111112()3()()222n n S n -=+⨯-+⨯-++⨯- ．①①式两边同乘12-，得：21111112()1()+()22222n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-⨯- （）．②2111()1111112(1)1()()()()()122222212nn n n n S n n ---+=+-+-++--⨯-=-⨯-+ ．所以1132[4(1)]()92n n n n S n -+=--∈*N ．5．【答案】C【解析】∵A 、B 、C 三点共线，∴a 2+a 2017=1，∴a 1+a 2018=1，∴S 2018=20182（a 1+a 2018）=1009，故选C ． 6．【答案】B7．【答案】x n =(1)3n n + 【解析】OP 1的方程为y=，代入抛物线yP 1（13，3|OQ 1|=23．同理可得P 2（43P 3（3，|Q 1Q 2|=43，|Q 2Q 3|=63，可猜测|Q n ﹣1Q n |=23n ，∴x n ﹣x n ﹣1=23n， ∴x n ﹣x 1=4633++…+23n ，∴x n =23（1+2+…+n ）=(1)3n n +．8．【答案】4032【解析】设圆C 1与圆C 2交于A ，B ，则直线AB 的方程为： x 2+y 2﹣4x ﹣4y ﹣（x 2+y 2﹣2a n x ﹣2a 2017﹣n y ）=0，化简得：（a n ﹣2）x +（a 2017﹣n ﹣2）y =0，∵圆C 1：x 2+y 2﹣4x ﹣4y =0的标准方程为圆（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=8，∴圆心C 1：（2，2）．又圆C 2平分圆C 1的周长，则直线AB 过C 1：（2，2）．，代入AB 的方程得：2（a n ﹣2）+2（a 2017﹣n ﹣2）=0，即a n +a 2017﹣n =4，∴{a n }的所有项的和为a 1+a 2+…+a 2017=（a 1+a 2016）+（a 2+a 2015）+…+（a 1008+a 1009）=1008×4=4032． 9．【答案】B【解析】∵51012105612()9333333log log log log log 5log 10a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅+++==== ，故应选B ．10．【答案】C【解析】根据题意，得1234123124,36,36,n n n n na a a a a a a a a a a ---+++=-⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩ 故114()32,36,2n n a a a a n +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ ∴436n =，∴9n =．故选C ．14．【答案】11【解析】∵关于x 的不等式22d x +1()2da x -+c ≥0的解集为[0，22]， ∴22=122da --，且2d ＜0，即1212a d =-＞0，则a 11=a 1+10d ＞0，a 12=a 1+11d ＜0，故使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是11．故答案为：11． 15．【答案】992【解析】由f （x ）=331x x +，f （﹣x ）=113x +，可知f （x ）+f （﹣x ）=1，∵正项等比数列{a n }满足a 50=1，根据等比数列的性质得到：a 49•a 51=a 48•a 52=…=a 1•a 99=1，∴ln a 49+ln a 51=ln a 48+ln a 52=…=ln a 1+ln a 99=0，ln a 50=ln1=0且f （ln a 50）=f （ln1）=f （0）=12，根据f （x ）+f （﹣x ）=1得 f （ln a 1）+f （ln a 2）+…+f （ln a 99）=[f （ln a 1）+f （ln a 99）]+[f （ln a 2）+f （ln a 98）]+…+[f （ln a 49）+f （ln a 51）]+f （ln a 50）=49+12=992．故答案是992． 16．【解析】由()y f x =是一次函数，可设()()0f x ax b a =+≠，。

2019年江苏地区高考数学理科二轮复习【填空题】专项精练六及答案解析

b tan φ＝ π π π a 图象的对称轴方程为 x＝可知，＋φ＝＋kπ，解析由 f(x)＝ a ＋b sin(ωx＋φ) 4ω 4 2
2 2
π b k∈Z，解得φ＝＋kπ，k∈Z，即＝tan φ＝1，所以 a＝b. 4 a
4
2019 年江苏地区高考数学理科二轮复习【填空题】专项精练六及答案解析
＝23＝8>2，
－1
＝2，
∴执行 y＝log2x2＝log21＝0. π 10.若函数 f(x)＝asinωx＋bcosωx(0<ω<5， ab≠0)的图象的一条对称轴方程是 x＝，函数 f′(x) 4ω π ，0 的图象的一个对称中心是 8 ，则 f(x)的最小正周期是________. 答案 π
1 * 解析由于 an·am＝an＋m(m，n∈N )，且 a1＝ . 2 1 令 m＝1，得 an＝an＋1， 2 1 1 所以数列{an}是公比为，首项为的等比数列. 2 2 1 1 因此 a5＝a1q ＝ 2 5＝ . 32
4
4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个
解析画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，
2
2019 年江苏地区高考数学理科二轮复习【填空题】专项精练六及答案解析
联立
x－2y＋2＝0， x－y＝0，
解得 A(2,2)，
y z＝的几何意义为可行域内的点与定点 P(3,0)的连线的斜率. x－3
2－0 y ∵kPA＝＝－2，∴z＝的最小值是－2. 2－3 x－3 7.已知△ABC 的三个内角 A， B， C 依次成等差数列， BC 边上的中线 AD＝ 7， AB＝2，则 S△ABC＝________. 答案 3 3 解析 ∵A，B，C 成等差数列，∴B＝60°，在△ABD 中，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos B，即 7＝4＋BD2－2BD， ∴BD＝3 或－1(舍去)，可得 BC＝6， 1 1 3 ∴S△ABC＝ AB·BC·sin B＝ ×2×6× ＝3 3. 2 2 2

2019年高考理科数学江苏卷真题及答案详解

2019年普通高等学校招生全国统一考试·江苏卷数学（理科）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．函数y＝的定义域是．5．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD 的体积是．10．在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P 到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g （x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB ＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小．．于．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．时，都有ck21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．23．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年普通高等学校招生全国统一考试·江苏卷数学（理科）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．2．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．4．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．5．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．6．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．7．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．8．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．9．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD 1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V＝E﹣BCD＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．10．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x 0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．11．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．12．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：13．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．14．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．16．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．17．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF 2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．18．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x，0），2则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．19．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x+x2＝，x1x2＝，1可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）1＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，∴M≤＝≤．∴M≤．20．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，则由a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，得∴，∴数列{a n}首项为1且公比为正数即数列{a n}为“M﹣数列”；（2）①∵b1＝1，＝﹣，∴当n＝1时，，∴b2＝2，当n＝2时，，∴b3＝3，当n＝3时，，∴b4＝4，猜想b n＝n，下面用数学归纳法证明；（i）当n＝1时，b1＝1，满足b n＝n，（ii）假设n＝k时，结论成立，即b k＝k，则n＝k+1时，由，得＝＝k+1，故n＝k+1时结论成立，根据（i）（ii）可知，b n＝n对任意的n∈N*都成立．故数列{b n}的通项公式为b n＝n；}的公比为q，②设{cn存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c成立，k+1即q k﹣1≤k≤k对k≤m恒成立，当k＝1时，q≥1，当k＝2时，，当k≥3，两边取对数可得，对k≤m有解，即，令f（x）＝，则，当x≥3时，f'（x）＜0，此时f（x）递增，∴当k≥3时，，令g（x）＝，则，令，则，当x≥3时，ϕ'（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在[3，+∞）上单调递减，即k≥3时，，则，下面求解不等式，化简，得3lnm﹣（m﹣1）ln3≤0，令h（m）＝3lnm﹣（m﹣1）ln3，则h'（m）＝﹣ln3，由k≥3得m≥3，h'（m）＜0，∴h（m）在[3，+∞）上单调递减，又由于h（5）＝3ln5﹣4ln3＝ln125﹣ln81＞0，h（6）＝3ln6﹣5ln3＝ln216﹣ln243＜0，∴存在m0∈（5，6）使得h（m0）＝0，∴m的最大值为5，此时q∈，．21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）【解答】解：（1）∵A＝∴A2＝＝（2）矩阵A的特征多项式为：f（λ）＝＝λ2﹣5λ+4，令f（λ）＝0，则由方程λ2﹣5λ+4＝0，得λ＝1或λ＝4，∴矩阵A的特征值为1或4．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）【解答】解：（1）设极点为O，则在△OAB中，由余弦定理，得AB2＝OA2+OB2﹣2OA，∴AB＝＝；（2）由直线1的方程ρsin（θ+）＝3，知直线l过（3，），倾斜角为，又B（，），∴点B到直线l的距离为．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）【解答】解：|x|+|2x﹣1|＝，∵|x|+|2x﹣1|＞2，∴或或，∴x ＞1或x ∈∅或x ＜﹣，∴不等式的解集为{x |x ＜﹣或x ＞1}．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22．【解答】解：（1）由（1+x ）n ＝C +C x +C x 2+…+C x n ，n ≥4，可得a 2＝C ＝，a 3＝C ＝，a 4＝C ＝，a 32＝2a 2a 4，可得（）2＝2••，解得n ＝5；（2）方法一、（1+）5＝C +C +C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a +b ，由于a ，b ∈N *，可得a ＝C +3C +9C ＝1+30+45＝76，b ＝C +3C +9C ＝44，可得a 2﹣3b 2＝762﹣3×442＝﹣32；方法二、（1+）5＝C +C+C （）2+C （）3+C （）4+C （）5＝a +b ，（1﹣）5＝C +C （﹣）+C （﹣）2+C （﹣）3+C （﹣）4+C （﹣）5＝C ﹣C+C （）2﹣C （）3+C （）4﹣C （）5，由于a ，b ∈N *，可得（1﹣）5＝a ﹣b ，可得a 2﹣3b 2＝（1+）5•（1﹣）5＝（1﹣3）5＝﹣32． 23．【解答】解：（1）当n ＝1时，X 的所有可能取值为1，，2，，X 的概率分布为P （X ＝1）＝＝；P （X ＝）＝＝；P （X ＝2）＝＝；P （X ＝）＝＝；（2）设A （a ，b ）和B （c ，d ）是从M n 中取出的两个点，因为P （X ≤n ）＝1﹣P （X ＞n ），所以只需考虑X ＞n 的情况， ①若b ＝d ，则AB ≤n ，不存在X ＞n 的取法； ②若b ＝0，d ＝1，则AB ＝≤，所以X ＞n 当且仅当AB ＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；③若b＝0，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；④若b＝1，d＝2，则AB＝≤，所以X＞n当且仅当AB＝，此时a＝0．c＝n或a＝n，c＝0，有两种情况；综上可得当X＞n，X的所有值是或，且P（X＝）＝，P（X＝）＝，可得P（X≤n）＝1﹣P（X＝）﹣P（X＝）＝1﹣．。

2019年高考数学真题分类汇编专题06 数列理科及答案

专题六数列1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B .【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题.2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a=．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a是等差中项时，82a a=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．【考点定位】等差中项和等比中项．【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（）A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C【解析】先分析四个答案支，A 举一反例1232,1,4a a a ==-=-，120a a +>而230+<a a ，A 错误，B 举同样反例1232,1,4a a a ==-=-，130a a +<，而120+>a a ，B 错误，下面针对C 进行研究，{}n a 是等差数列，若120a a <<，则10,a >设公差为d ，则0d >，数列各项均为正，由于22215111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a a d d a a d d =++--=>，则2113a a a >1a ⇒>C.考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对知识本质的考查.【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.4.【2015高考浙江，理3】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（）A.140,0a d dS >>B. 140,0a d dS <<C. 140,0a d dS ><D.140,0a d dS <>【答案】B.【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了学生的运算求解能力，属于容易题，将1a d ，4dS 表示为只与公差d 有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等等差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.5.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .【答案】21n- 【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅=⋅=⎩，解得141,8a a ==或者148,1a a ==，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以141,8a a ==，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和1(1)1221112n nn n a q S q --===---. 【考点定位】1.等比数列的性质；2.等比数列的前n 项和公式.【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤其是m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+（等差数列），m n p q a a a a ⋅=⋅（等比数列）；②注意题目给定的限制条件，如本题中“递增”，说明1q >；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前n 项和公式等.6.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n-【解析】由已知得111n n n n n a S S S S +++=-=⋅，两边同时除以1n n S S +⋅，得1111n nS S +=--，故数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则11(1)n S n n =---=-，所以1nS n =-．【考点定位】等差数列和递推关系．【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，要搞清楚项n a 与n S 的关系，从而转化为1n S +与n S 的递推式，并根据等差数列的定义判断1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，属于中档题． 7.【2015高考广东，理10】在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += .【答案】10．【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，345675525a a a a a a ++++==即55a =，所以285210a a a +==，故应填入10．【考点定位】等差数列的性质．【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记()*,,,m n p q a a a a m n p q N m n p q +=+∈+=+且，()*2,,2m n p a a a m n p N m n p +=∈+=且及其熟练运用．8.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为．【答案】5【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【考点定位】等差中项．【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若a ，A ，b 成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项，即2a b A =+．9.【2015江苏高考，11】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为【答案】2011【考点定位】数列通项，裂项求和【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )·a n ，则可以分别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.10.【2015江苏高考，20】（本小题满分16分）设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a依次成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k n k n k n n a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在【解析】试题分析（1）根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可（2）本题列式简单，变形较难，首先令1dt a =将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方程：27+430t t +=，无解，所以不存在（3）同（2）先令1dt a =将二元问题转化为一元，为降次，所以两边取对数，消去n,k 得到关于t 的一元方程4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)0t t t t t t ++-++-++=，从而将方程的解转化为研究函数()4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(12)ln(1)g t t t t t t t =++-++-++零点情况，这个函数需要利用二次求导才可确定其在(0,)+∞上无零点试题解析：（1）证明：因为112222n n n na a a d a ++-==（1n =，2，3）是同一个常数，所以12a ，22a ，32a ，42a 依次构成等比数列．（2）令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +（a d >，2a d >-，0d ≠）．假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列，则()()34a a d a d =-+，且()()6422a d aa d +=+．令d t a =，则()()3111t t =-+，且()()64112t t +=+（112t -<<，0t ≠），化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则14t =-．显然14t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44a 依次构成等比数列．（3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列，则()()()221112n kn k n a a d a d +++=+，且()()()()32211132n kn kn k a d a d a d +++++=+．分别在两个等式的两边同除以()21n k a +及()221n k a+，并令1d t a =（13t >-，0t ≠），则()()()22121n kn k t t +++=+，且()()()()32211312n kn kn k t t t +++++=+．将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++，且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++．化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．令()()21t t ϕϕ'=，则()()()()212011213t t t t ϕ'=>+++．由()()()()1200000g ϕϕϕ====，()20t ϕ'>，知()2t ϕ，()1t ϕ，()t ϕ，()g t 在1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭和()0,+∞上均单调．故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立．所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1na ，2n ka +，23n ka +，34n ka +依次构成等比数列．【考点定位】等差、等比数列的定义及性质，函数与方程【名师点晴】解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．11.【2015高考浙江，理20】已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）（1）证明：112nn a a +≤≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的前n 项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n ≤≤++（n ∈*N ）. 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 试题分析：（1）首先根据递推公式可得12n a ≤，再由递推公式变形可知 211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，从而得证；（2）由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得， 11112n n a a +≤-≤，从而可得*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++，即可得证. 试题解析：（1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤，由11(1)n n n a a a --=- 得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->，由102n a <≤得， 211[1,2]1n n n n n n a a a a a a +==∈--，即112n n a a +≤≤；（2）由题意得21n n n a a a +=-， ∴11n n S a a +=-①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +≤≤得，11112n na a +≤-≤， ∴11112n n n a a +≤-≤，因此*111()2(1)2n a n N n n +≤≤∈++②，由①②得112(2)2(1)n S n n n ≤≤++. 【考点定位】数列与不等式结合综合题.【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，属于较难题，第一小问易证，利用条件中的递推公式作等价变形，即可得到2111n n n n n na a a a a a +==--，再结合已知条件即可得证，第二小问具有较强的技巧性，首先根据递推公式将n S 转化为只与1+n a 有关的表达式，再结合已知条件得到1+n a 的取值范围即可得证，此次数列自2008年之后作为解答题压轴题重出江湖，算是一个不大不小的冷门（之前浙江各地的模考解答题压轴题基本都是以二次函数为背景的函数综合题），由于数列综合题常与不等式，函数的最值，归纳猜想，分类讨论等数学思想相结合，技巧性比较强，需要平时一定量的训练与积累，在后续复习时应予以关注.12.【2015高考山东，理18】设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n n S =+. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（I ）13,1,3,1,n n n a n -=⎧=⎨>⎩; （II ）13631243n nn T +=+⨯.所以1113T b ==当1n > 时，()()12112311323133n n n T b b b b n ---=++++=+⨯+⨯++-所以()()01231132313n n T n --=+⨯+⨯++-两式相减，得()()012122333133n nn T n ---=+++--⋅ ()11121313313n n n ----=+--⋅- 1363623nn +=-⨯ 所以13631243n nn T +=+⨯ 经检验，1n = 时也适合，综上可得：13631243n nn T +=+⨯ 【考点定位】1、数列前n 项和n S 与通项n a 的关系；2、特殊数列的求和问题.【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的严密性和运算的准确性，在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n = 的情况，错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求.13. 【2015高考安徽，理18】设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=，证明14n T n≥. 【答案】（Ⅰ）1n n x n =+；（Ⅱ）14n T n≥. 【解析】试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线221n y x+=+在点(12)，处的切线斜率为22n +.从而可以写出切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =.解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++. （Ⅱ）要证14n T n≥，需考虑通项221n x -，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表示出22222213211321()()()242n n n T x x x n--==，求出初始条件当1n =时，114T =.当2n ≥时，单独考虑221n x -，并放缩得222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)n n n n n n n xn n n n n-------==>==，所以 211211()2234n n T n n ->⨯⨯⨯⨯=，综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥. 试题解析：（Ⅰ）解：2221'(1)'(22)n n y x n x ++=+=+，曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +.从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-.令0y =，解得切线与x 轴交点的横坐标1111n n x n n =-=++. （Ⅱ）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知22222213211321()()()242n n n T x x x n--==. 当1n =时，114T =.当2n ≥时，因为222222122221(21)(21)1441()2(2)(2)(2)n n n n n n n xn n n n n-------==>==，所以211211()2234n n T n n->⨯⨯⨯⨯=. 综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥.【考点定位】1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式.【名师点睛】数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近几年高考命题的新热点，且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项，此类问题在2010年、2012年、2013年安徽高考解答题中都曾考过.对于数列问题中求和类（或求积类）不等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：一种是能够直接求和（或求积），再放缩；一种是不能直接求和（或求积），需要放缩后才能求和（或求积），求和（或求积）后再进行放缩.在后一种类型中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩. 14.【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列{}n a 满足212()*,1,2n n a qa q q n N a a +=≠∈==为实数，且1，，且 233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】(I) 1222,2,.n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数,为偶数; (II) 1242n n n S -+=-.(II) 由(I)得22121log 2n n n n a nb a --==，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则012111111232222n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯， 1231111112322222n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ 两式相减得2311111111*********2222212n n n n n n n n n n S --=+++++-=-=---，整理得1242n n n S -+=-所以数列{}n b 的前n 项和为124,*2n n n N -+-∈. 【考点定位】等差数列定义、等比数列及前n 项和公式、错位相减法求和.【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差数列定义、等比数列性质，分n 为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和.是中档题.15.【2015高考重庆，理22】在数列{}n a 中，()21113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈（1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式；（2）若()0001,2,1,k N k k λμ+=∈≥=-证明：010011223121k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=⋅；（2）证明见解析. 【解析】试题分析：（1）由于0,2λμ==-，因此把已知等式具体化得212n n n a a a +=，显然由于13a =，则0n a ≠（否则会得出10a =），从而12n n a a +=，所以{}n a 是等比数列，由其通项公式可得结论；（2）本小题是数列与不等式的综合性问题，数列的递推关系是211010,n n n n a a a a k +++-=可变形为2101n n n a a a k +⎛⎫+= ⎪⎝⎭()N n +∈,由于00k >，因此11n n a a k <+，于是可得1n n a a +<，即有12130n n a a a a +=>>>>>>，又2222001000011111111n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-+?+++，于是有()()00011211k k k a a a a a a ++=+-++-010000102011111111k a k k k k a k a k a ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭000011112313131k k k k ⎛⎫>+⋅+++⎪+++⎝⎭01231k =++，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知2(*)n a n N >∈，因此01k a +=010000102011111111k a k k k k a k a k a ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭000011112212121k k k k ⎛⎫<+⋅+++ ⎪+++⎝⎭01221k =++，这样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法.(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠.从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?.求和得()()00011211k k k a a a a a a ++=+-++-01000010200000011111111111112231313131k a k k k k a k a k a k k k k k ⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪⎪+++⎝⎭⎛⎫>+⋅+++=+ ⎪++++⎝⎭另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>得00110000102011111111k k a a k k k k a k a k a +⎛⎫=-⋅+⋅+++ ⎪ ⎪+++⎝⎭00000111112221212121k k k k k ⎛⎫<+⋅+++=+ ⎪++++⎝⎭ 综上：010011223121k a k k ++<<+++【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证能力，考查创新意识．【名师点晴】数列是考查考生创新意识与实践精神的最好素材．从近些年的高考试题来看，一些构思精巧、新颖别致、极富思考性和挑战性的数列与方程、函数(包括三角函数)、不等式以及导数等的综合性试题不断涌现，这部分试题往往以压轴题的形式出现，考查综合运用知识的能力，突出知识的融会贯通．数列的问题难度大，往往表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递推，更甚的是数列间的“复制”式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、积(幂)等形式．在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力．本题第（1）小题通过递推式证明数列是等比数列，从而应用等比数列的通项公式求得通项，第（2）小题把数列与不等式结合起来，利用数列的递推式证明数列是单调数列，利用放缩法证明不等式，难度很大．16.【2015高考四川，理16】设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列1{}na 的前n 项和n T ，求得1|1|1000n T -<成立的n 的最小值. 【答案】（1）2n n a =；（2）10.【解析】（1）由已知12n n S a a =-，有1122(1)n n n n n a S S a a n --=-=->，即12(1)n n a a n -=>. 从而21312,4a a a a ==.又因为123,1,a a a +成等差数列，即1322(1)a a a +=+. 所以11142(21)a a a +=+，解得12a =.所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列. 故2n n a =. （2）由（1）得112n n a =. 所以2311[1()]1111122112222212n n n nT -=++++==--. 由1|1|1000n T -<，得11|11|21000n --<，即21000n>. 因为9102512100010242=<<=，所以10n ≥. 于是，使1|1|1000n T -<成立的n 的最小值为10. 【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查运算求解能力.【名师点睛】凡是有n S 与n a 间的关系，都是考虑消去n S 或n a （多数时候是消去n S ，得n a 与1n a -间的递推关系）.在本题中，得到n a 与1n a -间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分.17.【2015高考湖北，理18】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d >时，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或11(279),929().9n n n a n b -⎧=+⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩；（Ⅱ）12362n n -+-. 2345113579212222222n n n T -=++++++. ② ①-②可得221111212323222222n n n nn n T --+=++++-=-，故n T 12362n n -+=-. 【考点定位】等差数列、等比数列通项公式，错位相减法求数列的前n 项和.【名师点睛】错位相减法适合于一个由等差数列}{n a 及一个等比数列}{n b 对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的1-n 项是一个等比数列． 18.【2015高考陕西，理21】（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，nx的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．（I ）证明：函数()()F 2n n x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+；（II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x与()n g x 的大小，并加以证明．【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x =时， ()()n n f x g x =，当1x ≠时，()()n n f x g x <，证明见解析．【解析】试题分析：（I ）先利用零点定理可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证()F n x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点，进而利用n x 是()F n x 的零点可证11122n n n x x +=+；（II ）先设()()()n n h x f x g x =-，再对x 的取值范围进行讨论来判断()h x 与0的大小，进而可得()n f x 和()n g x 的大小．试题解析：（I ）2()()212n n n F x f x x x x =-=++++-，则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x . 又1()120n n F x x nx -'=+++>，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x .因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n n x x +--=-，故111=+22n n n x x +.(II)解法一：由题设，()()11().2nnn x gx ++=所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <解法二由题设，()()211()1,(),0.2n n n n n x f x x x x g x x ++=++++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx+++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=.又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(0)k k k h x kx k x x +=-++>，则()()11()(1)11(1)k k k k h x k k x k k x k k x x --'=+-+=+- 所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减；当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立. 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,1,2,, 1.k n =+则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =. 当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥. 若01x <<，11n k x -+<，()0k m x '<，当1x >，11n k x -+>，()0km x '>，从而()k m x 在(0,1)上递减，()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=，所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =，11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时，()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <.考点：1、等比数列的前n 项和公式；2、零点定理；3、等差数列的前n 项和公式；4、利用导数研究函数的单调性.【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的前n 项和公式、零点定理、等差数列的前n 项和公式和利用导数研究函数的单调性，属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”，否则很容易出现错误．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．有关函数的不等式，一般是先构造新函数，再求出新函数在定义域范围内的值域即可．19.【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=错误！未找到引用源。