2013年初二升初三数学培优教材

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八年级数学培优教材讲义

八年级数学培优教材讲义一、经典题型1.如图，矩形ABCD的边分别与两坐标轴平行，对角线AC经过坐标原点，点D在反比例函数2510k kyx-+=（0x>）则k的值为（ D ）．A．2 B．6C．2或3 D．1-或62.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A1B C．55 D．523.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于．4.以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB的最小值是．5.如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点O ，连接OC ，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC 的长？．6.已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150．求证：△PBC 是正三角形．7.已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F8.如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB9. 如图，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ，（1）求证：四边形AFCE 为菱形；（2）设AE=a ，ED=b ，DC=c ．请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式．10. 已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME ⊥CD 于点E ，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC 的长；（2）求证：AM=DF+ME11.如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD ，点P 为正方形AD 边上的一点（不与点A 、点D 重合）将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H ，折痕为EF ，连接BP 、BH ．（1）求证：∠APB =∠BPH ；（2）当点P 在边AD 上移动时，△PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论；A B CDEFG H PA CDEF GH P（备用图）二、动点问题1.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN 交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．（1）试说明EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；（3）若AC边上存在点O，使四边形AECF是正方形，猜想△ABC的形状并证明你的结论．2.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．（1）求NC，MC的长（用t的代数式表示）；（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形．3.直线y=- 34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O⇒B⇒A运动．（1）直接写出A、B两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当S= 485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．4.已知,矩形ABCD 中,4AB cm =,8BC cm =,AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC于点E 、F ,垂足为O .(1)如图1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；(2)如图2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.AB C DEF 图1O 图2备用图三、探究题型1.如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（） A ．54 B ．110 C ．19 D ．1092.如图所示，直线y=x+1与y 轴相交于点A 1，以OA 1为边作正方形OA 1B 1C 1，记作第一个正方形；然后延长C 1B 1与直线y=x+1相交于点A 2，再以C 1A 2为边作正方形C 1A 2B 2C 2，记作第二个正方形；同样延长C 2B 2与直线y=x+1相交于点A 3，再以C 2A 3为边作正方形C 2A 3B 3C 3，记作第三个正方形；…，依此类推，则第5个正方形的边长为_______________；第n 个正方形的边长为_______________________。

初中数学九年级培优教程整理(全)

【例１】（荆州）下列根式中属最简二次根式的是（）A. a 2 1B. 12C. 8D. 27初中数学九年级培优目录第1 讲二次根式的性质和运算(P2 --- 7)第2 讲二次根式的化简与求值(P7 --- 12)第3 讲一元二次方程的解法(P13 --- 16)第4 讲根的判别式及根与系数的关系(P16 --- 22)第5 讲一元二次方程的应用(P23 --- 26)第6 讲一元二次方程的整数根(P27 --- 30)第7 讲旋转和旋转变换（一）(P30 --- 38)第8 讲旋转和旋转变换（二）(P38 --- 46)第9 讲圆的基本性质(P47--- 51)第10 讲圆心角和圆周角(P52 --- 61)第11 讲直线与圆的位置关系（P62 --- 69）第12 讲圆内等积证明及变换((P70 --- 76)第13 讲弧长和扇形面积(P76 --- 78)第14 讲概率初步(P78 --- 85)第15 讲二次函数的图像和性质(P85 --- 91)第16 讲二次函数的解析式和综合应用(P92 --- 98)第17 讲二次函数的应用(P99 --- 108)第18 讲相似三角形的性质(P109 --- 117)第19 讲相似三角形的判定(P118---- 124)第20 讲相似三角形的综合应用(P124 ---- 130)考点·方法·破译第1 讲二次根式的性质和运算1. 了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析；2. 掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3. 会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B 中含分母，C、D 含开方数4、9，故选 A.【变式题组】1．⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是（）A. 10B. 8C. 6D. 2⑵①a2b2 ；②x；③5x2 xy ；④27 abc ，最简二次根式是（）A ．①,②B ．③,④C．①,③ D ．①,④【例２】( 黔东南) 方程4x 8x y m 0 ，当y＞0 时，m 的取值范围是（）A ．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0 的结论. 由题意得4x－8＝0，x－y－m＝0.化为y ＝2－m，则2－m＞0，故选 C.【变式题组】2．（宁波）若实数x、y 满足x 2 ( y 3) 20 ，则xy 的值是.3．（荆门）若x 1 1 x (x y)2 ，则x－y 的值为（）A ．－ 1B ．1 C．2 D．34．（鄂州）使代数式x 3有意义的x 的取值范围是（）x 4A ．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3 且x≠45. （怀化） a 2 b 3 (c 4) 0 ，则a－b－c＝.【例３】下列二次根式中，与24 是同类二次根式的是（）A ．18 B．30 C．48 D．54【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样.A ．18 3 2 ；B ．30 不能化简； C. 48 4 3 ；D．54 3 6 ，而24 2 6 .故本题应选 D.【变式题组】6. 如果最简二次根式3a 8 与17 2a 是同类二次根式，则a＝．7. 在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）A ． 3 和18B ． 3 和13C．a2 b和ab2 D ． a 1 和 a 18. 已知最简二次根式 b a 3b 和2b a 2 是同类二次根式，则a＝，b＝. 【例４】下列计算正确的是（）A ． 5 3 2B ．8 2 4C．27 3 3 D．(1 2)(1 2) 122 a(a＞0)【解法指导】正确运用二次根式的性质①( a) 2a(a≥0) ；② a 2 a0(a 0) ；③ab a b( a≥0, b≥0) ；④b b(b≥0, a＞0)a aa(a＜0)进行化简计算，并能运用乘法公式进行计算. A 、 B 中的项不能合并.D.(1 2)(1 2) 1 ( 2) 2【变式题组】1..故本题应选 C.9. （聊城）下列计算正确的是（）A ．2 3 4 2 6 5B ．8 4 2C．27 3 3 D．( 3)2 310. 计算：( 15 4) 2007(4 15) 200711．(2 3 3 2) 2 (2 3 3 2) 212. ( 济宁) 已知 a 为实数，那么a2 ＝（）A ．aB ．－a C．－1 D．013. 已知a＞b＞0，a＋b＝6 ab ，则a ba b的值为（）2 1A ．B ．2 C． 2 D．2 2【例５】已知xy＞0，化简二次根式xy的正确结果为（）x2A ．yB ．y C．y D．y【解法指导】先要判断出y＜0，再根据xy＞0 知x＜0. 故原式xyx【变式题组】y . 选D. 14. 已知a、b、c 为△ ABC三边的长，则化简 a b c ( a b c) 2的结果是.15. 观察下列分母有理化的计算：并利用这一规律计算：1 12 1 ，2 13 213 2 ，4 34 3 ，算果中找出规律，(1 1L1) ( 2006 1) .2 13 2 2006 200516．已知，则0＜x＜1，则( x 1)2 4 ( x1) 2 4 .x x1 1 b 5 1 5 1【例６】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：，其中 a ，b .a b b a(a b) 2 22⑵已知 x3 2 ， 32y3 2 ，那么代数式 32xy (x y)2 xy (x y)2值为 .【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋ y 的值，再代入求值 .ab a( a b) b 2(a b)2a b 5 1 5 1 【解】⑴原式＝，当 a， b时， ab ＝ 1，a ＋ b ＝ 5 ,原式＝ 5 .ab(a b)ab (a b)ab22⑵由题意得： xy ＝ 1， x ＋ y ＝ 10, 原式＝ .【变式题组】17．（威海）先化简，再求值：(a ＋ b)2＋ (a － b)(2a ＋ b)－ 3a 2，其中 a2 3 , b3 2 .a2a 2a 418．（黄石）已知 a 是 43 的小数部分，那么代数式 ( 22) (a ) 的值为 .a 4a 4 a2a a【例７】已知实数 x 、y 满足 ( x x22008)( yy22008) 2008，则 3x 2－2y 2＋ 3x － 3y － 2007 的值为（）A ．－ 2008B ．2008C ．－ 1D ． 1【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出 a 、b 的关系，再代入求值 .解: ∵ ( x x 22008)( y y22008) 2008，∴ ( xx22008)2008 yy 2008 ，( yy22008)yy22008 xx220082008xx22008 ，由以上两式可得 x ＝ y.选 D.∴ ( x x22008) 2008, 解得 x 2＝2008，所以 3x 2－ 2y 2＋ 3x － 3y － 2007＝ 3x 2－ 2x 2＋ 3x － 3x － 2007＝x 2－ 2007＝ 1，故【变式题组】19．若 a ＞0， b ＞ 0，且a( ab) 3 b( a5 b ) ，求 2a3bab的值 .演练巩固 · 反馈提高a b ab01. 若 m40 4 ，则估计 m 的值所在的范围是（）A ． 1＜ m ＜ 2B ． 2＜ m ＜ 3C ． 3＜m ＜ 4D ． 4＜m ＜ 502．（绵阳）已知12 n 是正整数，则实数 n 的最大值为（）A ． 12B ．11C ． 8D ． 303．（黄石）下列根式中，不是．．最简二次根式的是（）1 A.7 B. 3C.2D. 204．（贺州）下列根式中，不是最简二次根式的是（）1 100 101 1 100992 2A.2 B. 6 C. 8 D. 1005．下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A.12B.x233 C.D.2a 2b06．（常德）设 a ＝ 20， b ＝ (－ 3)2, c 9 , d ( 1) 1 2, 则 a 、b 、 c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（）A ．c ＜ a ＜ d ＜bB ． b ＜ d ＜ a ＜ cC ． a ＜ c ＜ d ＜bD ． b ＜ c ＜ a ＜ d07．（十堰）下列运算正确的是（） A ． 32 5 B ． 32 6C ． ( 3 1)23 1D ．52325 308．如果把式子 (1 a)1 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（）1 aA ．1 a B ． a 1C ．a 1D ．1 a09．（徐州）如果式子(x 1)2x 2 化简的结果为 2x － 3，则 x 的取值范围是（）A ． x ≤ 1B ．x ≥ 2C ． 1≤ x ≤ 2D ． x ＞ 010．（怀化）函数 yx 中自变量的取值范围是.x 211．（湘西）对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算 a ※ b ＝3 2 5 .那么 12※ 4＝ .3 2a21 a 112．（荆州）先化简，再求值：232，其中 a 3 .a2a 1 a a13．（广州）先化简，再求值：( a培优升级3)( a3) a(a 6) ，其中 a51 .201．（凉山州）已知一个正数的平方根是3x － 2 和 5x ＋ 6，则这个数是 .02．已知 a 、b 是正整数，且满足 2(15 15 ) a b是整数，则这样的有序数对（ a ，b ）共有对.03．（全国）设 a5 1 ，则aa42a 3a 2a 23.04．（全国）设 x2 aa1, a 是 x 的小数部分 , b 是 x 的小数部 , 则 a 3 ＋b 3＋ 3ab ＝ .2 105．（重庆）已知yx22 x222 ，则 x ＋y ＝ .5x 4 4 5x06．（全国）已知 a2 1 ， a 2 2 6 ， a 6 2 ，那么 a 、b 、c 的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ．b ＜ a ＜ cC ． c ＜ b ＜ aD ．c ＜ a ＜ b35207．（武汉）已知 yx 1 4 x （ x ， y 均为实数），则 y 的最大值与最小值的差为（）A ． 6 3B ．3C ． 5 3D ． 6308．（全国）已知非零实数a 、b 满足 2a 4 b 2(a 3)b 24 2a ，则 a ＋ b 等于（）A ．－ 1B ． 0C ．1D ． 209．（全国） 23 2 2 17 12 2 等于（）A ． 5 4 2B ． 4 2 1C ． 5D ． 110. 已知 x2 xy y 0( x 0, y0) ，则3x xy y的值为（）1 1 A ．B ．325x 2 3 C ．D ．343 xy4 y11.已知 a b 2 a 1 4 b 2 3 c 3 1c 5 ，求 a ＋ b ＋ c 的值 . 212. 已知 913 与 913 的小数部分分别是 a 和 b ，求 ab － 3a ＋ 4b ＋ 8 的值 .考点·方法·破译第 2 讲二次根式的化简与求值1. 会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2. 会进行二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值 .3. 会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典· 考题· 赏析【例１】（河北）已知x1 2 ，那么x x 的值等于xx3x 12x9 x 1【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用 1x表示或化简变形 .x解：两边平方得，x1 2 4 ， xx1 2 ，两边同乘以 x 得， xx21 2 x ，∵ x 23x 1 5 x ， x29 x 1 11x ，22∴原式 = 1 1 511【变式题组】5 11 =5111. 若 a1 14 （0＜ a ＜1），则 a a a2. 设x1aa ，则 4x x 2的值为（）A. a1aB.1 aaC. a1 aD ．不能确定【例２】（全国）满足等式x y y x2003x2003y 2003xy＝ 2003 的正整数对（ x, y ）的个数是（） A ． 1B ． 2C ． 3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解 .解：可化为xy( x y) 2003( x y) 2003( xy 2003) 0 ，∴ (xy 2003)( x y2003) 0∵xy2003 0 ，∴ xy2003 0，则 xy ＝2003，且 2003 是质数，∴正整数对（ x, y ）的个数有 2 对，应选 B. 【变式题组】3．若 a ＞ 0， b ＞ 0，且 a( a 4 b ) 3 b( a 2 b ) ，求 2a 3b ab 的值 .【例３】（四川）已知：xa1 (0 aa 1) ，求代数式a b abx2x 6 x 3 x 2 2x 2 4x 的值 . xx2 x x 2x24x【解法指导】视 x － 2，x 2-4 x 为整体，把xa约.1 平方，移项用含 a 的代数式表示 x － 2，x 2-4 x ，注意 0＜a ＜1 的制 a解：平方得，x a1 2 ，∴ x 2 aa 1 ， x2a4x 4 a21 2 ，a2x4x a1 2 ，a( x 3)(x 2)x( x 2) x 2x 24x∴化简原式＝g x x 3 x 2 x 24xa 1 ( 1 a)＝ (a 1 )2 a a a 2 2 a a 1 ( 1 a) a a【变式题组】2， 4．（武汉）已知 xx 31 232 1，求代数式x 3 ( 52 x 4 x 2x 2) 的值.5．（五羊杯）已知 m 12 ， n 12 ，且 (7 m 2 14m a)(3n 26n 7) 8 ，则 a 的值等于（）A ．－ 5B ． 5C ．－ 9D ．9【例４】（全国）如图，点 A 、C 都在函数 y等边三角形，则点 D 的坐标为.3 3 ( xx0) 的图像上，点 B 、D 都在 x 轴上，且使得△ OAB 、△ BCD 都是【解法指导】解：如图，分别过点 A 、C 作 x 轴的垂线，垂足分别为E 、F. 设OE=a ，BF=b ，则 AE= 3 a ，CF = 3 b ，所以，点 A 、C 的坐标为（ a, 3 a ）、（ 2a ＋ b, 3 b ），所以3a23 3ya 3 ，解得，3b (2 a b) 3 3因此，点 D 的坐标为（ 2 6 ,0）【变式题组】6．（邵阳）阅读下列材料，然后回答问题.b63ACOE BF Dx在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如52 2 ，3 3 3一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 15 5 3 3 33 5 3 ；（一）3 2 2 3 33 36 ；（二）3223 13 3 11 3 13 1 ；（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化，2还可以用以下方法化简：2 3 1 3 13 123 13 3 13 1 1 3 13 13 1；（四）（ 1）请你用不同的方法化简2；53①参照（三）试得：2=；（要有简化过程） 5 3②参照（四）试得： 2 =；（要有简化过程）53 （ 2）化简：1 1 1L1 3 153752n 12 n 1【例５】（五羊杯）设 a 、b 、c 、d 为正实数， a ＜ b ， c ＜ d ，bc ＞ ad ，有一个三角形的三边长分别为a2c 2 ， b2d 2，(b a)2(d c)2，求此三角形的面积 .【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积 ( 为什么 ?) ，a2边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.c 2的几何意义是以 a 、c 为直角边的直角三角形的斜解：如图，作长方形 ABCD ，使 AB ＝ b － a ， AD ＝c ，延长 DA 至 E ，使 DE ＝d ，延长 DC 至 F ，使 DF ＝ b ，连结 EF 、FB 、EB ，则BF ＝a2c2， EF ＝b2d2，BE=(b a)2(d c)2，从而D知△ BEF 就是题设的三角形，而 S △ BEF ＝S 长方形 ABCD ＋ S △ BCF ＋ S △ ABE baCF － S △ DEF ＝ ( b － a) c ＋ 1 2( d －1 1c)( b － a) － bd ＝ ( bc －ad)d 22A cE【变式题组】7． ( 北京 ) 已知 a 、b 均为正数，且 a ＋b ＝ 2，求 U ＝a24b21演练巩固 · 反馈提高3 2 3 2xy x 2y2 01. 已知 x， y32，那么代数式32xy x2值为y202. 设 a7 1，则 3a312a26a 12 ＝（）A ． 24B ． 25C ． 4 7 10D ． 4 7 1203．（天津）计算 ( 3 1)20012( 3 1)20002( 3 1)1999200104．（北京）若有理数 x 、 y 、z 满足xy 11 z 2( x y z) ，则 2( x yz)205．（北京）正数 m 、 n 满足 m 4 mn 2 m 4 n4n 3 0 ，则m 2 m 2 n n 8200206．（河南）若 x3 1 ，则 x3(2 3) x2(1 2 3) x 3 5 的值是（）A ． 2B ． 4C ． 6D ． 807. 已知实数 a 满足 2000a a 2001 a ，那么 a 20002的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ． 200208. 设 a1003 997 ， b 1001 999 ， c 2 1000 ，则 a 、b 、c 之间的大小关系是（）A ． a ＜ b ＜ cB ． c ＜ b ＜ aC ． c ＜ a ＜ bD ． a ＜ c ＜ b09. 已知 1 ( x 1)2x ，化简 x21 x x21 x44B3 32003培优升级01．（信利）已知 x1 3 ，那么1x 21 1 x 24 x 202．已知 a 4a 1 5 ，则 6 2 a03．（江苏）已知( xx22002)( yy22002) 2002 ，则 x 23xy 4 y26 x 6 y 5804．（全国）7x 29x 13 7x 25x 13 7x ，则 x ＝05．已知 x3 2 ， y3 2 ，那么 yx32 3 2 x2y206．（武汉）如果a b20022 ， ab2002 2 ， b3c3b3c ，那么 a 3b3c 的值为（）A ． 2002 2002B ． 2001C ． 1D ． 007．（绍兴）当 x12002 2时，代数式 (4 x32005 x2001)的值是（）A ． 0B ．－ 1C ． 1D ． 2200308．（全国）设 a 、b 、c 为有理数，且等式a b 2 c 35 26 成立，则 2a 999b 1001c 的值是（）A ． 1999B ． 2000C ． 2001D ．不能确定09．计算：（ 1）6 4 3 3 2( 63)( 32)（ 2）10 14 15 21 10141521（ 3）1 1 1L13 35 3 3 5 7 5 5 749 47 47 49（ 4）3 2 2 5 2 6 7 2 12 9 2 20 11 2 30 13 2 4215 2 5617 2 722210.已知实数 a 、 b 满足条件a bb1 ，化简代数式a (1 1)g a b( a b 1)2，将结果表示成不含 b 的形式 .11.已知 x1 a 2(a a0) ，化简：x 2 x 2x 2 x 212.已知自然数 x 、y 、z 满足等式x 2 6 y z 0 ，求 x ＋ y ＋z 的值 .考点·方法·破译第 3 讲一元二次方程的解法1. 掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2. 掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3. 会应用一元二次方程解实际应用题。

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初中数学新教材目录（2012修订）人教版义务教育课程标准实验教科书数学（7～9年级）各章目录及课时参考（2012修订）七年级上（62）第1章有理数（19）1.1 正数和负数（2）1.2 有理数（4）1.2.1 有理数 1.2.2 数轴 1.2.3 相反数 1.2.4 绝对值1.3 有理数的加减法（4）1.3.1 有理数的加法 1.3.2 有理数的减法实验与探究填幻方阅读与思考中国人最先使用负数1.4 有理数的乘除法（4）1.4.1 有理数的乘法 1.4.2 有理数的除法观察与猜想翻牌游戏中的数学道理1.5 有理数的乘方（3）1.5.1 乘方 1.5.2 科学记数法 1.5.3 近似数数学活动小结（2）第2章整式的加减（8）2.1 整式（3）阅读与思考数字1与字母X的对话2.2 整式的加减（4）信息技术应用电子表格与数据计算数学活动小结（1）第3章一元一次方程（19）3.1 从算式到方程（4）3.1.1 一元一次方程 3 .1.2 等式的性质阅读与思考方程史话3.2 解一元一次方程（一）——移项与合并（4）实验与探究无限循环小数化分数3.3 解一元一次方程（二）——去括号与去分母（4）3.4 实际问题与一元一次方程（5）数学活动小结（2）第4章几何图形初步（16）4.1 几何图形（4）4.1.1 立体图形与平面图形 4.1.2 点、线、面、体阅读与思考几何学的起源4.2 直线、射线、线段（3）阅读与思考长度的测量4.3 角（5）4.3.1 角 4.3.2 角的比较与运算 4.3.3 余角和补角4.4 课题学习制作长方体形状的包装盒（2）数学活动小结（2）七年级下（62）第5章相交线与平行线（14）5.1 相交线（3）5.1.1 相交线 5.1.2 垂线 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角观察与猜想看图时的错觉5.2 平行线及其判定（3）5.2.1 平行线 5.2.2 平行线的判定5.3 平行线的性质（4）5.3.1 平行线的性质 5.3.2 命题、定理、证明信息技术应用探索两条直线的位置关系5.4 平移（2）数学活动小结（2）第6章实数（8）13.1 平方根（3）13.2 立方根（2）13.3 实数（2）阅读与思考为什么说不是有理数数学活动小结（1）第7章平面直角坐标系（7）7.1 平面直角坐标系（3）7.1.1 有序数对7.1.2 平面直角坐标系阅读与思考用经纬度表示地理位置7.2 坐标方法的简单应用（3）7.2.1 用坐标表示地理位置7.2.2 用坐标表示平移数学活动小结（1）第8章二元一次方程组（12）8.1 二元一次方程组（1）8.2 消元——解二元一次方程组（4）8.3 实际问题与二元一次方程组（3）8.4 三元一次方程组解法（2）阅读与思考一次方程组的古今表示及解法数学活动小结（2）第9章不等式与不等式组（11）9.1 不等式（3）9.1.1 不等式及其解集9.1.2 不等式的性质阅读与思考用求差法比较大小9.2一元一次不等式（4）9.3 一元一次不等式组（2）数学活动小结（2）第10章数据的收集、整理与描述（10）10.1 统计调查（3）实验与探究瓶子中有多少粒豆子10.2 直方图（3）信息技术应用利用计算机画统计图10.3 课题学习：从数据谈节水（2）数学活动小结（2）八年级（上）（62）第11章三角形（8）11.1 与三角形有关的线段（2）11.1.1 三角形的边 11.1.2三角形的高、中线与角平分线11.1.3 三角形的稳定性信息技术应用画图找规律11.2 与三角形有关的角（3）11.2.1 三角形的内角7.2.2 三角形的外角阅读与思考为什么要证明11.3 多边形及其内角和（2）11.3.1 多边形11.3.2 多边形的内角和数学活动小结（1）第12章全等三角形（11）12.1 全等三角形（1）12.2 三角形全等的判定（6）信息技术应用探究三角形全等的条件12.3 角的平分线的性质（2）数学活动小结（2）第13章轴对称（14）13.1 轴对称（3）13.1.1 轴对称13.1.2 线段的垂直平分线的性质13.2 画轴对称图形（2）信息技术应用用轴对称进行图案设计13.3 等腰三角形（5）13.3.1 等腰三角形13.3.2 等边三角形实验与探究三角形中边与角之间的不等关系13.4 课题学习最短路径问题（2）数学活动小结（2）第14章整式的乘法与因式分解（14）14.1整式的乘法（6）14.1.1 同底数幂的乘法14.1.2 幂的乘方14.1.3 积的乘方14.1.4 整式的乘法14.2 乘法公式（3）14.2.1 平方差公式14.2.2 完全平方公式阅读与思考杨辉三角14.3 因式分解（3）14.3.1 提公因式法14.3.2 公式法阅读与思考型式子的分解数学活动小结（2）第15章分式（15）15.1 分式（4）15.1.1 从分数到分式 15.1.2 分式的基本性质15.2 分式的运算（6）15.2.1 分式的乘除 15.2.2 分式的加减 15.2.3 整数指数幂阅读与思考容器中的水能倒完吗？15.3 分式方程（3）数学活动小结（2）八年级下（62）第16章二次根式（9）16.1 二次根式（2）16.2 二次根式的乘除（2）16.3 二次根式的加减（3）阅读与思考海伦——秦九韶公式数学活动小结（2）第17章勾股定理（9）17.1 勾股定理（4）阅读与思考勾股定理的证明17.2 勾股定理的逆定理（3）阅读与思考费马大定理数学活动小结（2）第18章平行四边形（15）18.1 平行四边形（7）18.1.1 平行四边形的性质18.1.2 平行四边形的判定18.2 特殊的平行四边形（6）18.2.1 矩形18.2.2 菱形18.2.3 正方形实验与探究丰富多彩的正方形数学活动小结（2）第19章一次函数（17）19.1 变量与函数（6）19.1.1 变量与函数19.1.2 函数的图象阅读与思考如何测算岩石的年龄19.2 一次函数（7）19.2.1 正比例函数19.2.2 一次函数 19.2.3一次函数与方程、不等式信息技术应用用计算机画函数图象19.3 课题学习选择方案（2）数学活动小结（2）第20章数据的分析（12）20.1 数据的集中趋势（6）20.1.1 平均数20.1.2 中位数和众数20.2 数据的波动程度（2）阅读与思考数据波动程度的几种度量20.3 课题学习体质健康测试中的数据分析（2）数学活动小结（2）九年级上（62）第21章一元二次方程（13）21.1 一元二次方程（1）21.2 降次——一元二次方程的解法（7）21.2.1 配方法21.2.2 公式法21.2.3 因式分解法21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系阅读与思考黄金分割数21.3 实际问题与一元二次方程（3）小结（2）第22章二次函数（12）22.1 二次函数的图象和性质（6）22.1.1 二次函数22.1.2二次函数y＝ax2的图象和性质22.1.3 二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象和性质22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质2.2 用函数观点看一元二次方程（1）信息技术应用探索二次函数的性质22.3实际问题与二次函数（3）阅读与思考推测滑行距离与滑行时间的关系数学活动小结（2）第23章旋转（9）23.1 图形的旋转（2）23.2 中心对称（3）23.2.1 中心对称23.2.2 中心对称图形23.2.3 关于原点对称的点的坐标信息技术应用探索旋转的性质23.3 课题学习图案设计（2）数学活动小结（2）第24章圆（16）24.1 圆（5）24.1.1 圆24.1.2 垂直于弦的直径24.1.3 弧、弦、圆心角24.1.4 圆周角24.2 点和圆、直线和圆的位置关系（5）24.2.1 点和圆的位置关系24.2.2 直线和圆的位置关系实验与探究圆和圆的位置关系24.3 正多边形和圆（2）阅读与思考圆周率π24.4 弧长和扇形面积（2）实验与探究设计跑道数学活动小结（2）第25章概率初步（12）25.1 随机事件与概率（3）25.1.1 随机事件25.1.2 概率阅读与思考概率与中奖25.2 用列举法求概率（3）25.3 用频率估计概率（3）阅读与思考π的估计数学活动九年级下（44）第26章反比例函数（8）26.1 反比例函数（3）26.1.1 反比例函数26.1.2 反比例函数的图象和性质信息技术应用探索反比例函数的性质26.2实际问题与反比例函数（3）阅读与思考生活中的反比例关系数学活动小结（2）第27章相似（14）27.1 图形的相似（2）27.2 相似三角形（7）27.2.1 相似三角形的判定27.2.3 相似三角形的性质27.2.2 相似三角形应用举例阅读与思考奇妙的分形图形27.3 位似（3）信息技术应用探索位似的性质数学活动小结（2）第28章锐角三角函数（12）28.1 锐角三角函数（6）28.2 解直角三角形及其应用（4）阅读与思考一张古老的三角函数表数学活动小结（2）第29章投影与视图（10）29.1 投影（2）29.2 三视图（4）阅读与思考视图的产生与应用29.3 课题学习制作立体模型（2）数学活动小结（2）课时合计：代数：165；几何：155；统计概率34：合计354。

初中数学培优教材

初中数学培优教材在中国的教育体系中，初中阶段是学生们打下数学基础的关键时期。

在这个阶段，一本好的数学培优教材不仅可以帮助学生掌握基础知识，还可以提升他们的思维能力和解决问题的能力。

本文将探讨如何编写一本优质的初中数学培优教材，以帮助学生在这个阶段取得更好的成绩。

在编写初中数学培优教材时，首先要注重知识结构的系统性。

一本好的教材应该按照数学知识的难易程度和内在逻辑关系，将知识点进行合理安排和组织。

同时，要注重与小学教材的衔接，以及与高中教材的过渡，使得学生在不同阶段的学习能够连贯、有序。

初中数学培优教材要强调基础知识的巩固和掌握。

教材中应该包含大量的例题和练习题，这些题目应该涵盖初中数学的所有知识点，并且难度适中，适合大多数学生的学习水平。

同时，教材中还应该设置一些进阶的题目，供学有余力的学生挑战和提高。

初中数学培优教材不仅要注重基础知识的掌握，还要培养学生的数学思维和解决问题的能力。

教材中应该设置一些具有启发性的问题，引导学生主动思考和探索，培养他们的创新能力和解决问题的能力。

同时，要注重数学与实际生活的，让学生能够将数学知识应用到实际生活中去。

每个学生都是独一无二的，他们的学习需求和能力也是不同的。

因此，初中数学培优教材要学生的个性化需求，设置一些个性化的学习模块和拓展内容，供学生自主选择和学习。

同时，教材中还应该设置一些学习方法和策略的指导，帮助学生掌握正确的学习方法和技巧。

随着信息技术的发展，初中数学培优教材也应该注重与信息技术的结合。

教材中可以设置一些数字化的学习模块和在线测试系统，让学生能够随时随地进行学习和自我检测。

同时，也可以利用信息技术手段，如人工智能和大数据等，为学生提供更加精准的学习指导和个性化学习方案。

初中数学培优教材是帮助学生掌握数学知识、提升思维能力和解决问题能力的重要工具。

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第一讲一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.注意：满足是一元二次方程的条件有:(1）必须是一个整式方程;(2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.(三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式:一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。

其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程（x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解. (2）配方法：配方法是一种以配方为手段,以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是: ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数;② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项; ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方; ④ 化原方程为（x+m)2=n 的形式;⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2（x ＋4）2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外)但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1:1、方程①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是。

A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1)x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________。

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八耳怨升九耳怨來席复司资抖第一部今今式【知识网络】厂I分式的基本性质-式舷1-—份式乘除因呵[5)^]_ L分式加减原T|Lpy^wbrl分式帶的解法I1--------- 斗分式方程的应甬卜【思想方法】1.转化思想转化是i种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题, 把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等.2.建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题---------------- 分式方程模型------ 求解------- 解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义.3.类比法本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程.第一讲今式的运篇【知识要点】1.分式的概念以及基本性质； 2.与分式运算有关的运算法则3.分式的化简求值(通分与约分)4.幕的运算法则h/? + 个【主要公式】1 •同分母加减法则：一±上二二4口#0)a a a八o八厂丄亠、亠z b , d be , da be 土 da(门八2.异分母加减法则：一土一 = 一±— = ------------- (Q主0,c主0);a c ac ac ac八亠丄jm、亠—c人、亠 b d hd h c h d hd3.分式的乘法与除法：一•一 = —, —a c ac a d a c ac4.同底数幕的加减运算法则:实际是合并同类项5.同底数幕的乘法与除法；r・r二尹；aT『乞…6.积的乘方与幕的乘方：(ab)m= a m b n, (a m)n= a mn7.负指数幕：a化丄cTP = (-Y a°=1 (a不为0)a1a8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式(a+b) (a~b)= a2- b2 ; (a±b)2= a2±2ab+b2(一八3、式定丈及韦关龜哩题型一：考查分式的定义【例1】下列代数式中：兰丄—上工，是分式的有: 龙 2 Q a + b 题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义(1)- (2) (3) -^―x + 4 宀2x 2-l练习:1. 当x 取何值时，下列分式有意义:2. 当x 为何值时，下列分式的值为零:3. 解下列不等式(二丿今式的基瘁世质及韦矣題型1分式的基本性质：令鍔.鍔题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当X取何值时，下列分式的值为0.(1)口 (2)x+3广-4题型四：考查分式的值为正、负的条件分式丄为正； 8-x分式 ‘7 、为负; 3 + (x-l)2分式口为非负数.x + 3 【例4】(1)当x为何值时, (2)当x为何值时, (3)当x 为何值吋,(3)_ 2兀 _3 — 5x — 6(4)卅(5)兀一-(1)(3)(1) x + 4(2) 25-Fx 2- 6x + 5 (1)(2)J* >0 x 2+2x + 3x题型二：分数的系数变号题型三：化简求值题【例3】已知：丄+ 1 = 5,求2x-3卩+ 2尹的值x y x + 2xy + y 提示：整体代入，①X +尸3卩，②转化出丄+丄.兀 y【例4】已知：兀-丄=2,求F+亠的值.X *【例5】若|x_尹+ l|+(2x_3)2 =0,求 ------------- 的值.4x 一 2y 练习：1.不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数.(|、0.03x - 0.2y0.08x + 0.5y30Aa + -b⑵1 1a ---- b4102. 已知：x +丄=3,求一的值.X X 4 +X* +1a-b +b -b b 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.2.分式的变号法则: -a -a(1) 1 2x — y 2 3 1 1 -x +— y 3 4(2)0・2a — 0・03b0.04a + b【例2】不改变分式的值,把下列分式的分子.分母的首项的符号变为正号.-x+ y -x- y(3)-a3.已知：丄-丄=3,求2o + 3〃-2b的值a b b-ab-a4.若/+2Q +/>2 _6b + io = o,求的值3a + 5b5.如果l<x<2,试化简上二丄+凶.2-x| x-11 x(三丿今式的运翼1.确定最简公分母的方法：①最简公分母的系数，収各分母系数的最小公倍数；②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕.2.确定最大公因式的方法：①最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数;②取分子、分母相同的字母因式的最低次幕.题型一：通分【例1］将下列各式分别通分.(1)___ 匕 ___ ；(2)」_______ ；-2ab ' 3a2 c -5b2c a_b 2b-2a题型二：约分【例2】约分:题型三：分式的混合运算n2 - m2(3)+ x - 2 x2-x-6【例3】计算：2 > ?(―)3-(^—)2 —c - ab ⑵(斗.(宀宀戶)2；x + y y + x题型四：化简求值题【例4】先化简后求值(1)已知：求卫=的值;2 34 x 2 +y 2 +z 2(2)已知：Q 2-3Q + 1=0,试求(°2 ——)(d - 丄)的值.cr a题型五：求待定字母的值【例5】若沽=岛+占试求“的值•2. 先化简后求值帛其中。

初二升初三数学衔接班资料(北师版)

第一章节直角三角形的边角关系第一讲 1.从梯子的倾斜程度谈起本节内容：正切的定义坡度的定义及表示（难点）正弦、余弦的定义三角函数的定义（重点） 1、正切的定义在Rt △ABC 中，如果锐角A 确定，那么A 的对边与邻边的比也随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA. 即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A .注：tanA 的值越大，AB 越陡.例1 如图，△ABC 是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图,已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB,AD=8,BD=4,求tanA 的值.2、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。

坡度常用字母i 表示。

斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lh a =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）；（2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。

例3 如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD ,坝顶宽BC 为6m ,坝高为3.2m ,为了提高水坝的拦水能力,需要将水坝加高2m ,并且保持坝顶宽度不变,迎水坡CD•的坡度不变,但是背水坡的坡度由原来的i ＝1:2变成i ′＝1:2.5,（有关数据在图上已注明）.•求加高后的坝底HD 的长为多少?3、正弦、余弦的定义DCA在Rt 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。

即sinA=ca=∠斜边的对边A∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA 。

即cosA=cb=∠斜边的邻边A .锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数.例4在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。

通过计算你有什么发现？请加以证明。

4、三角函数的定义（重点）直角三角形中，除直角外，共5个元素，3条边和2个角，它们之间存在如下关系：（1）三边之间关系：222c b a =+；（2）锐角之间关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间关系:sinA=c a ,cosA=c b ,tanA=ba.（其中∠A 的对边为a,∠B 的对边为b,∠C 的对边为c ）除指教外只要知道其中2个元素（至少有1个是边），就可以利用以上关系求另外3个元素。

初三数学学习中的补充教材推荐

初三数学学习中的补充教材推荐数学作为一门基础学科，对于初中学生的学习至关重要。

而在初三数学学习中，除了正式教材外，适当引入一些补充教材，不仅有助于拓宽知识面，还能提供更多的练习机会和思考角度。

本文将为大家介绍一些优秀的初三数学补充教材，以便同学们在学习中能够更好地巩固知识和提高能力。

一、《中学数学（新版）九年级上册/下册》作为一套经典的教材，《中学数学（新版）九年级上册/下册》涵盖了初中数学的全部内容，并具有一定的难度。

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二、《挑战杯全国数学竞赛系列教材》挑战杯全国数学竞赛系列教材是一套以竞赛题为主线的教材。

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四、《数学奥林匹克竞赛全书》数学奥林匹克竞赛全书是一套针对有一定数学基础的学生编写的教材。

这套教材内容丰富、深入，涵盖了初中数学的各个方面。

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五、网络资源和手机应用除了纸质教材，还可以利用互联网资源和手机应用来进行数学学习。

例如，可以通过搜索引擎找到一些针对初三数学知识点的详细讲解视频和在线课程。

此外，还有一些手机应用，如"Mathway"和"Photomath"，可以帮助同学们解答数学问题，提供即时的反馈和解题步骤。

2013—2014学年度初三数学培优班练习卷参考答案(因动点产生的面积问题)01

2013—2014学年度初三数学培优班练习卷参考答案（因动点产生的直角三角形问题）班级座号姓名一、选择题. 【答案】C 。

【答案】C 。

故选A【答案】D 。

【答案】B 。

【答案】D 。

故选B 故选C 故选A【答案】D 。

【答案】C 。

【答案】B 。

D故选C C【答案】D 。

故选C【答案】D 。

故选C 故选B B 故选C二、填空题.23 12＜S ≤58. 解答：S △ADC =•CD•AD=×4×4=8 故答案为：（2，4）．解：△AOB 的面积为6．∴△ABC 的面积S △ABC =AC×BD=×8×3=12．【答案】163。

故答案是：．【答案】解：∴S △ABC =S △ACD +S △BCD =12×6×4+12×6×3=12+9=21。

【答案】12，5。

【答案】9334π-。

答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ．解：当x=2.5时，S 有最大值12.5 三、计算题解：（1）由题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x ﹣4；（2）设点P 运动到点（x ，0）时，有BP 2=BD•BC，令x=0时，则y=﹣4，∴点C 的坐标为（0，﹣4） ∵PD ∥AC ，∴△BPD ∽△BAC ， ∴．∵BC=，AB=6，BP=x ﹣（﹣2）=x+2． ∴BD===．∵BP 2=BD•BC， ∴（x+2）2=，解得x 1=，x 2=﹣2（﹣2不合题意，舍去），∴点P 的坐标是（，0），即当点P 运动到（，0）时，BP 2=BD•BC；（3）∵△BPD ∽△BAC ， ∴，∴×S △BPC =×（x+2）×4﹣∵，∴当x=1时，S △BPC 有最大值为3．即点P 的坐标为（1，0）时，△PDC 的面积最大．解：(1)在Rt△OCE中，OE＝OC t a n∠OCE＝＝，∴点E(0，2)．设直线AC的函数解析式为y＝kx＋，有，解得：k＝．∴直线AC的函数解析式为y＝．(2)在Rt△OGE中，t a n∠EOG＝t a n∠OCE＝＝，设EG＝3t，OG＝5t，OE＝＝t，∴，得t＝2，故EG＝6，OG＝10，∴S△OEG＝．(3)存在．①当点Q在AC上时，点Q即为点G，如图1，作∠FOQ的角平分线交CE于点P1，由△OP1F≌△OP1Q，则有P1F⊥x轴，由于点P1在直线AC上，当x＝10时，y＝－＝，∴点P1(10，)．②当点Q在AB上时，如图2，有OQ＝OF，作∠FOQ的角平分线交CE于点P2，过点Q 作QH ⊥OB 于点H ，设OH ＝a ，则BH ＝QH ＝14－a ，在Rt△OQH 中，a 2＋(14－a )2＝100，解得：a 1＝6，a 2＝8，∴Q (－6，8)或Q (－8，6)．连接QF 交OP 2于点M ．当Q (－6，8)时，则点M(2，4)．当Q (－8，6)时，则点M(1，3)．设直线OP 2的解析式为y ＝kx ，则 2k ＝4，k ＝2． ∴y ＝2x ．解方程组，得．∴P 2()；当Q (－8，6)时，则点M(1，3)．同理可求P 2′()．综上所述，满足条件的P 点坐标为(10，)或()或()．解答（1）设直线112y x =+与y 轴交于点E ，那么A (－2,0)，B (4,3)，E (0,1)．在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以AE =．所以sin AEO ∠=．因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此sin ACP ∠=将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-．（2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以221sin 4)1)2PD PC ACP m m m =∠==-++=-+所以PD的最大值为95．（3）当S△PCD∶S△PCB＝9∶10时，52m=；当S△PCD∶S△PCB＝10∶9时，329m=．图2解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点O、A、C，可得c=0，∴，解得a=，b=，∴抛物线解析式为y=x2+x．（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN=∴P（t，），∵点M在抛物线上，∴M（t，t2+t）．如解答图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，AG=y A﹣y M=2﹣（t2+t）=t2﹣t+2，BH=PN=．当AG=BH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴t2﹣t+2=，化简得3t2﹣8t+4=0，解得t1=2（不合题意，舍去），t2=，∴点P的坐标为（，）∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形．（3）如解答图2，△AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，A′B′交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R．求得过A、C的直线为y AC=﹣x+3，可设点A′的横坐标为a，则点A′（a，﹣a+3），易知△OQT∽△OCD，可得QT=，∴点Q的坐标为（a，）．解法一：设AB与OC相交于点J，∵△ARQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴=∴HT===2﹣a，KT=A′T=（3﹣a），A′Q=yA′﹣yQ=（﹣a+3）﹣=3﹣a．S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=KT•A′T﹣A′Q•HT=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH ③由△A′KT∽△A′O′B′，得，则KT=④由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，所以点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+由于＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R 作RH⊥x 轴于H ，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a ﹣+RH ，∴RH=a﹣1，OH=2（a ﹣1）， ∴点R 坐标R （2a ﹣2，a ﹣1）S 四边形RKTQ =S △A′KT ﹣S △A′RQ =•KT•A′T﹣A′Q•（xQ ﹣xR ） =••（3﹣a ）﹣•（3﹣a ）•（﹣a+2） =a 2+a ﹣=（a ﹣）2+由于＜0，∴在线段AC 上存在点A′（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为．解答解答（1）因为点B (2，1)在双曲线my x=上，所以m ＝2．设直线l 的解析式为y kx b =+，代入点A (1，0)和点B (2，1)，得0,2 1.k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得1,1.k b =⎧⎨=-⎩所以直线l 的解析式为1y x =-．（2）由点(,1)P p p -(p ＞1)的坐标可知，点P 在直线1y x =-上x 轴的上方．如图2，当y ＝2时，点P 的坐标为(3，2)．此时点M 的坐标为(1，2)，点N 的坐标为(－1，2)．由P (3，2)、M (1，2)、B (2，1)三点的位置关系，可知△PMB 为等腰直角三角形．由P (3，2)、N (－1，2)、A (1，0)三点的位置关系，可知△PNA 为等腰直角三角形．所以△PMB ∽△PNA ．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上．当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =或x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p =②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得x =或x =P 在x 轴下方，舍去）．此时p =解答(1) 在Rt △ABC 中， AC ＝3，BC ＝4，所以AB ＝5．在Rt △ACD 中，39cos 355AD AC A ==⨯=． (2) ①如图2，当F 在AC 上时，905x <<．在Rt △AEF 中，4tan 3EF AE A x==．所以21223y AE EF x =⋅=．如图3，当F 在BC 上时，955x <≤．在Rt △BEF 中，3t an (5)4E F B E B x ==-．所以21315288y AE EF x x =⋅=-+．②当905x <<时，223y x =的最大值为5425；当955x <≤时，231588y x x =-+23575)8232x =--+(的最大值为7532．因此，当52x =时，y 的最大值为7532．图2 图3 图4(3)△ABC 的周长等于12，面积等于6．先假设EF 平分△ABC 的周长，那么AE ＝x ，AF ＝6－x ，x 的变化范围为3＜x ≤5．因此1142sin (6)(6)2255AEF S AE AF A x x x x ∆=⋅⋅=-⨯=--．解方程2(6)35x x --=，得1362x =±．因为1362x =+在3≤x ≤5范围内（如图4），因此存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．解答：解：（1）把点C （0，﹣4），B （2，0）分别代入y=x 2+bx+c 中，得，解得∴该抛物线的解析式为y=x 2+x ﹣4．（2）令y=0，即x 2+x ﹣4=0，解得x 1=﹣4，x 2=2， ∴A（﹣4，0），S △ABC =AB•OC=12．设P 点坐标为（x ，0），则PB=2﹣x ． ∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA， ∴△PBE∽△ABC， ∴，即，化简得：S △PBE =（2﹣x ）2．S △PCE =S △PCB ﹣S △PBE =PB•OC﹣S △PBE =×（2﹣x ）×4﹣（2﹣x ）2=x2﹣x+ =（x+1）2+3∴当x=﹣1时，S △PCE 的最大值为3．（3）△OMD 为等腰三角形，可能有三种情形：（I ）当DM=DO 时，如答图①所示． DO=DM=DA=2，∴∠OAC=∠AMD=45°， ∴∠ADM=90°，∴M 点的坐标为（﹣2，﹣2）；（II ）当MD=MO 时，如答图②所示．过点M 作MN⊥OD 于点N ，则点N 为OD 的中点， ∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又△AMN 为等腰直角三角形，∴MN=AN=3， ∴M 点的坐标为（﹣1，﹣3）；（III ）当OD=OM 时，∵△OAC 为等腰直角三角形，∴点O到AC 的距离为×4=，即AC上的点与点O 之间的最小距离为．∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．【答案】解：（1）∵点O是圆心，OD⊥BC，BC=1，∴BD=1BC=1。

初中数学九年级培优教程整理

第一章：有理数的运算本章主要介绍有理数的概念和运算。

包括正数、负数、零、绝对值等基本概念的引入，有理数加减乘除的四则运算规则等内容。

通过本章学习，学生能够掌握有理数的基本性质和运算规则，为后续章节的学习打下坚实的基础。

第二章：代数式及其运算本章主要介绍代数式及其运算。

包括代数式的定义，同类项的合并与分解，多项式的加减乘除等内容。

通过本章学习，学生能够掌握代数式的基本概念和运算规则，能够进行代数式的加减乘除运算，并能够应用代数式解决实际问题。

第三章：方程与不等式本章主要介绍方程与不等式。

包括一元一次方程与一元一次不等式的解法，二元一次方程组的解法，二次方程与一元二次不等式的解法等内容。

通过本章学习，学生能够掌握解一元一次方程、不等式和二元一次方程组的方法，能够应用这些知识解决实际问题。

第四章：函数本章主要介绍函数的概念与性质。

包括函数的定义，函数的图像与性质，函数的表示和函数的运算等内容。

通过本章学习，学生能够掌握函数的基本概念和性质，能够进行函数的图像描绘和函数的运算，能够应用函数解决实际问题。

第五章：图形的初步认识本章主要介绍平面图形的初步认识。

包括点、线、面的性质和分类，三角形、四边形、多边形等常见图形的性质和分类等内容。

通过本章学习，学生能够掌握平面图形的基本概念和性质，能够进行平面图形的分类和判断，能够应用图形的知识解决实际问题。

第六章：相似与全等本章主要介绍相似与全等的概念与性质。

包括相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等内容。

通过本章学习，学生能够掌握相似和全等的基本概念和性质，能够应用这些知识解决实际问题。

第七章：三角形的性质本章主要介绍三角形的性质与判定。

包括三角形内角和的性质，三角形外角和的性质，三角形边长关系等内容。

通过本章学习，学生能够掌握三角形的基本性质和判定方法，能够应用这些知识解决实际问题。

第八章：数列本章主要介绍数列的概念和性质。

包括等差数列和等比数列的定义与性质，数列的通项公式和部分和的计算等内容。

初三数学教学中的数学教辅书籍推荐

初三数学教学中的数学教辅书籍推荐数学是一门广泛涉及各个层面的科学学科，对于初中学生来说，数学的学习成败与否直接影响着他们的学业发展。

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一、《中考必备·数学通》《中考必备·数学通》是一套由北师大出版社出版的数学教辅书籍，旨在帮助学生针对中考数学的复习进行系统性的训练。

该教辅书籍按照中考大纲的要求编写，内容涵盖了中考数学各个章节的重点知识点，并且每一个知识点都有配套的练习题以及详细的解析，能够帮助学生巩固知识，提高解题能力。

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《中考必备·数学通》便于学生自主学习，是初三数学辅导的好帮手。

二、《新目标初中数学》《新目标初中数学》是一套由人民教育出版社出版的系列教辅书籍，适用于初中三年级学生，包括七年级、八年级和九年级的内容。

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三、《乐中学·数学课堂教学实录》《乐中学·数学课堂教学实录》是一本由知名数学教育专家编写的教辅书籍，主要适用于初三数学教师。

这本书通过详细记录数学课堂的教学过程和讲解方法，全面展示了如何有效地开展数学教学。

每节课的教学实录都包含了教学目标、教学准备、教学方法等方面的内容，引导教师有针对性地进行教学，并提供了丰富的示例和题目，帮助教师更好地展示数学知识和解题思路。

《乐中学·数学课堂教学实录》适合教师参考，为他们提供了宝贵的教学指导和启示。

初二数学培优教材(培训学校专用资料)

..刘伟 2012年初二新学期讲义（数学）第一讲勾股定理【学习目标】1、经过探究勾股定理的过程，了解勾股定理的探究方法。

2、掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题。

3、培养学生的动手能力和思维能力。

【知识要点】1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果用c b a 和，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222a b c +=。

（如图）（我国古代把直角三角形较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。

因此，次定理被称为勾股定理。

）注意：（1）勾股定理只适用于直角三角形。

（2）斜边是直角三角形中直角所对的那条边，应用勾股定理时，要注意哪条边是最大边，也就是哪条边是斜边。

2、勾股定理的验证（1）推证勾股定理时，找面积相等是关键。

（2）由面积之间的等量关系并结合图形进行代数变形即可推出勾股定理。

（3）拼图法德一般步骤：拼出图形→找出图形面积的表达式→求等量关系变形→推导出勾股定理。

3、勾股定理的应用知道了勾股定理任意两边的长度，利用勾股定理可以求出第三边的长度。

注意：（1）勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之一。

（2）在运用勾股定理是，一定要分清谁是直角边，谁是斜边。

（3）有些图形不能直接用勾股定理解决，我们可以通过添加辅助线的办法构造出直角三角形，再运用勾股定理解答问题。

【典型例题】例1、如图，已知直角三角形两个直角边长12,5==b a ,求斜边c 的长。

例2、作长为n 的线段（以5为例）abcabc例3、利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c 2＝＋．化简后即为 c 2＝．例4、已知直角三角形的两边长为3、4，求另一边长。

例5、下图是由两个全等的直角三角形拼成的图形，两直角边和斜边长分别为c b a 和，，请你开动脑筋，用该图形来证明勾股定理。

初中八年级数学培优竞赛辅导讲义全册(213页)

初中八年级数学培优竞赛辅导讲义（共213页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第1讲全等三角形的性质与判定 (2)第2讲角平分线的性质与判定 (12)第3讲轴对称及轴对称变换 (17)第4讲等腰三角形 (25)第5讲等边三角形 (37)第06讲实数 (43)第7讲变量与函数 (50)第8讲一次函数的图象与性质 (55)第9讲一次函数与方程、不等式 (64)第10讲一次函数的应用 (69)第11讲幂的运算 (81)第12讲整式的乘除 (87)第13讲因式分解及其应用 (94)第14讲分式的概念•性质与运算 (101)第15讲分式的化简求值与证明 (109)第16讲分式方程及其应用 (118)第17讲反比例函数的图象与性质 (126)第18讲反比例函数的应用 (139)第19讲勾股定理 (146)第20讲平行四边形 (158)第21讲菱形与矩形 (167)第22讲正方形 (175)第23讲梯形 (185)第24讲数据的分析 (194)B AC D EF 第1讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同； 2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C . 【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等A F C E DB D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF 在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5A B C D O FE A CEFBD02.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠FAC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCAAFECB DAE第1题图A BCDEBCDO第2题图B （E ）OC F 图③DA【变式题组】01．（绍兴）如图，D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C 落在AB边上的点P处.若∠CDE＝48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°02．如图，Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF，下列结论中错误的是（）A．△ABC≌△DEF B．∠DEF＝90°C．AC＝DF D．EC＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D在同一条直线上.⑴求证：AB⊥ED；⑵若PB＝BC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高，点P在BD的延长线，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB.求证：⑴AP＝AQ；⑵AP⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP＝AQ,也就是证△APD和△AQE，或△APB和△QAC全等,由已知条件BP＝AC，CQ＝AB，应该证△APB≌△QAC，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP⊥AQ，即证∠PAQ＝90°，∠PAD＋∠QAC＝90°就可以.证明：⑴∵BD、CE分别是△ABC的两边上的高，∴∠BDA＝∠CEA＝90°,∴∠1＋∠BAD＝90°，∠2＋∠BAD＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB和△QAC中, 2AB QCBP CA=⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB≌△QAC，∴AP＝AQE FBACDG第2题图21ABCPQEFD⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：02．直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（）AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC C . ∠BCA ＝∠DCAD .∠B ＝∠D ＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC 和△BDE ，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A . △ABE ≌△CBDB . ∠ABE ＝∠CBDC . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____. 11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm /s , Q 的速度是0.2cm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .DA C .Q P.BA E FB DC 12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D . ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E .⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.ABCDA 1B 1C 1D 1D B A C EF A E B F D CAEF C DB 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE , 则OE 平分∠AOB ，正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCEABE D CF第6题图2 1AB CE N M3 21ADEBC FADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图AB C DEAEBDC＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。

学而思初中数学培优教材

学而思初中数学培优教材学而思初中数学培优教材是一套专为初中学生量身打造的优质教材。

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九年级数学培优教程篇全

第1讲二次根式的性质和运算考点·方法·破译1．了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进展辨析；2．掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进展化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件，求参数的值〔或取值围〕.经典·考题·赏板【例１】〔荆州〕以下根式中属最简二次根式的是〔〕【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. B中含分母，C、D含开方数4、9，应选A.【变式题组】1．⑴〔〕以下根式中不是最简二次根式的是〔〕x-=，当y＞0时，m的取值围是〔〕【例２】(黔东南)方程480A．0＜m＜1 B．m≥2 C．m＜2 D．m≤2【解法指导】此题属于两个非负数的代数和问题，隐含两个代数式均为0的结论.由题意得4x－8＝0，x－y－m ＝0.化为y＝2－m，那么2－m＞0，应选C.【变式题组】2．〔〕假设实数x、y2y=，那么xy的值是__________.(03．2=+，那么x－y的值为〔〕x y()A．－1 B．1 C．2 D．3有意义的x的取值围是〔〕4．〔〕使代数式x-4A．x＞3 B．x≥3 C．x＞4 D．x≥3且x≠45.〔〕2a c--=，那么a－b－c＝________.2(4)0是同类二次根式的是〔〕A B C D【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式，再看被开方数是否一样. A=；B不能化简；=D=故此题应选D.【变式题组】6是同类二次根式，那么a＝________．7．在以下各组根式中，是同类二次根式的是〔〕ABCD8．最简二次根式ba＝_______，b＝______.【例４】以下计算正确的选项是〔〕A=B4=C=D．(11=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a=≥；②(0)0(0)(0)a aa aa a⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜；③0,0)a b=≥≥0,0)b a=≥＞进展化简计算，并能运用乘法公式进展计算.A、B中的项不能合并.D.2(111=-=-.故此题应选C.【变式题组】9. 〔聊城〕以下计算正确的选项是〔〕A．=B=C3=D3=-10．计算：200720074)(4⋅=_____________11．22-=_____________12．()a〕A．a B．－a C．－1 D．013．a＞b＞0，a＋b＝的值为〔〕A．2B．2 CD．12【例５】xy ＞0，化简二次根式〕A BC ．D ．【解法指导】先要判断出y ＜0，再根据xy ＞0知x ＜0. 故原式=选D. 【变式题组】14．a 、b 、c 为△AB C 三边的长，那么化简a b c --+_______.15===，算果中找出规律，并利用这一规律计算：1)2006++⋅=_________.16．，那么0＜x ＜1=_________.【例６】〔〕⑴先化简吗，再求值：11()b a b b a a b ++++，其中a =，b =.⑵x =，y =值为________. 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据数的特征求xy 、x ＋y 的值，再代入求值.【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a bab a b ab a b ab+++++==++，当12a =，12b =时，ab ＝1，a ＋b⑵由题意得：xy ＝1，x ＋y ＝10, 10199=-. 【变式题组】17．〔威海〕先化简，再求值：(a ＋b )2＋(a －b)(2a ＋b)－3a 2，其中2a =-2b =.18．〔〕a 是422224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________.【例７】实数x 、y 满足(2008x y -=，那么3x 2－2y 2＋3x －3y －2007的值为〔〕A ．－2008B ．2008C ．－1D ．1..【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，找出a 、b 的关系，再代入求值.解:∵(2008x y -=，∴(x =y =+(y -=x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得x 2＝2008，所以3x 2－2y 2＋3x －3y －2007＝3x 2－2x 2＋3x －3x －2007＝x 2－2007＝1，应选D.【变式题组】19．假设a ＞0，b ＞0=.演练稳固·反响提高01．假设4m =，那么估计m 的值所在的围是〔〕A ．1＜m ＜2B ．2＜m ＜3C ．3＜m ＜4D ．4＜m ＜502．是正整数，那么实数n 的最大值为〔〕 A ．12 B ．11 C ．8 D ．3 03．〔〕以下根式中，不是．．最简二次根式的是〔〕04．〔贺州〕以下根式中，不是最简二次根式的是〔〕05．以下二次根式中，是最简二次根式的是〔〕06．〔〕设a ＝20， b ＝(－3)2, c =11()2d -=, 那么a 、b 、c 、d 、按由小到大的顺序排列正确的选项是〔〕 A ．c ＜a ＜d ＜b B ．b ＜d ＜a ＜c C ．a ＜c ＜d ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．〔〕以下运算正确的选项是〔〕A ==C ．21)31=-D 53=-08．如果把式子(1a -根号外的因式移入根号，化简的结果为〔〕AC ．D ．09．2x -化简的结果为2x －3，那么x 的取值围是〔〕A ．x ≤1B ．x ≥2C ．1≤x ≤2D ．x ＞010．〔〕函数y =中自变量的取值围是________.11．〔湘西〕对于任意不相等的两个数a ，b ，定义一种运算a ※b ＝32=-那么12※4＝________.12．〔荆州〕先化简，再求值：22321121a a a a a a -+÷-+-，其中a =13．〔〕先化简，再求值：((6)a a a a --，其中12a =.培优升级·奥赛检测01．〔凉山州〕一个正数的平方根是3x －2和5x ＋6，那么这个数是________.02．a 、b 是正整数，且满足是整数，那么这样的有序数对〔a ，b 〕共有________对.03．〔全国竞赛〕设a =，那么5432322a a a a a a a +---+=-________. 04．〔全国竞赛〕设x =a 是x 的小数局部,b 是x 的小数部,那么a 3＋b 3＋3ab ＝________.05．〔竞赛〕2y =，那么x 2＋y 2＝________.06．〔全国竞赛〕1a =，a =2a =，那么a 、b 、c 的大小关系是〔〕A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b07．〔联赛〕y =x ，y 均为实数〕，那么y 的最大值与最小值的差为〔〕A 3B ．3C 3D08．〔全国竞赛〕非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，那么a ＋b 等于〔〕 A ．－1B ．0C ．1D ．209．〔全国竞赛〕〕A ．5-B ．1C ．5D ．110．0(0,0)x y x y -=>> 〕A ．13 B ．12C ．23 D ．3411．152a b c +--，求a ＋b ＋c 的值.12．99a 和b ，求ab －3a ＋4b ＋8的值.第2讲二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2．会进展二次根式的有理化计算，会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式围分解因式.经典·考题·赏板【例１】2=的值等于__________ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得，124x x ++=，12x x+= ，两边同乘以x 得，212x x += ，∵2315x x x ++=，29111x x x ++=，∴原式11- 【变式题组】1．假设14a a +=〔0＜a ＜1〕=________ 2=的值为〔〕 A ．1a a -B ．1a a -C ．1a a+D ．不能确定【例２】〔全国初中数学联赛〕满足等式＝2003的正整数对〔x ,y 〕的个数是〔〕A ．1B ．2C ．3D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形，将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>0=，那么xy ＝2003，且2003是质数，∴正整数对〔x ,y 〕的个数有2对，应选B . 【变式题组】3．假设a ＞0，b ＞0=.【例３】〔〕1)a =<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x －2，x 2-4x=平方，移项用含a 的代数式表示x －2，x 2-4x ，注意0＜a ＜1的制约.解：平方得，12x a a =++，∴12x a a -=+，2221442x x a a-+=++， 222142x x a a-=+-，∴化简原式＝(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--【变式题组】4．〔〕32x x +=+35(2)242x x x x -÷----的值.5．〔五羊杯竞赛〕1m =1n =22(714)(367)8m m a n n -+--=，那么a 的值等于〔〕A ．－5B ．5C ．－9D ．9【例４】〔全国竞赛〕如图，点A 、C都在函数0)y x =>的图像上，点B 、D 都在x 轴上，且使得△OAB 、△BCD 都是等边三角形，那么点D 的坐标为________.【解法指导】解：如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设OE=a ，BF=b ，那么，CF，所以，点A 、C 的坐标为〔a〕、〔2a ＋b〕，所以2(2)a b =+=，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D的坐标为〔,0〕【变式题组】6．〔〕阅读以下材料，然后答复以下问题. 在进展二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 335333535=⨯⨯=；〔一〕 36333232=⨯⨯=；〔二〕 ()()()131313132132-=-+-⨯=+；〔三〕以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+；〔四〕〔1〕请你用不同的方法化简352+；①参照〔三〕试得：352+=_____________________________；〔要有简化过程〕②参照〔四〕试得：352+=_____________________________；〔要有简化过程〕〔22n ++【例５】〔五羊杯竞赛〕设a 、b 、c 、d 为正实数，a＜b ，c ＜d ，bc ＞ad，.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么?)a 、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图，作长方形ABCD ，使AB ＝b －a ，AD ＝c ，延长DA 至E ，使DE ＝d ，延长DC 至F ，使DF ＝b ，连结EF 、FB 、EB ，那么BF＝，EF＝，BE 从而知△BEF 就是题设的三角形，而S △BEF ＝S 长方形ABCD ＋S △BCF ＋S △ABE －S △DEF ＝(b －a )c ＋12(d －c )(b －a )－12bd ＝12(bc －ad )【变式题组】7．(竞赛)a 、b 均为正数，且a ＋b ＝2，求U演练稳固·反响提高01．x =，y =__________ 02．设1a =，那么32312612a a a +--＝〔〕A ． 24B ．25C ．10D．1203．〔XX 〕计算2001200019991)1)1)2001--+=__________ 04．〔竞赛〕假设有理数x 、y、z 1()2x y z =++，那么2()x yz -=__________05．〔竞赛〕正数m、n 满足430m n +-==__________06．〔竞赛〕假设1x=，那么32(2(15x x x -++的值是〔〕A ．2B ．4C ．6D ．807．实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是〔〕A ．1999B ．2000C ．2001D ．200208．设a =b =，c =a 、b 、c 之间的大小关系是〔〕A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b09．1x =培优升级·奥赛检测01．〔信利杯竞赛〕1x =，那么2111242x x x +-=+--__________025==__________03．〔竞赛〕(2002x y ++=，那么2234x xy y --6658x y --+=__________04．7x =，那么x ＝__________05．(T 1杯联赛)x =，y =，那么22y x x y +=__________06．〔选拔赛〕如果a b +=a b -=，3333b c b c +=-，那么333a b c -的值为〔〕A ．．2001C ．1D ．007．〔竞赛〕当x =32003(420052001)x x --的值是〔〕 A ．0B ．－1C ．1D ．20032-08．〔全国联赛〕设a 、b 、c 为有理数，且等式a +=29991001a b c ++的值是〔〕 A ．1999B ．2000C ．2001D ．不能确定09．计算：〔1〔2〔34947+++〔410．实数a 、b 满足条件1b a b a -=<，化简代数式11()(1)a b a b---b 的形式.11．21(0)a x a a +=>12．〔奥林匹克竞赛〕自然数x 、y 、z 0，求x ＋y ＋z 的值.第3讲一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程； 3．会应用一元二次方程解实际应用题。

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第一讲一元二次方程的解法（一）【基础知识精讲】1．一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。

其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。

(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是：① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。

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注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a≠0）。

其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

3．一元二次方程的解法：⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。

(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是： ① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项； ③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方； ④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）.②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．【例题巧解点拨】（一）一元二次方程的定义：例1：1、方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③2、要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠03、若（m+1）(2)1m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．（二）一元二次方程的一般形式：例2：一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。