利用矩阵对角化求数列通项_岳嵘

合集下载

矩阵相似对角化方法

矩阵相似对角化方法矩阵相似对角化方法是线性代数中的重要概念。

在许多应用领域，对角化矩阵是一种十分有用的工具，可以简化复杂的计算过程，提取矩阵的特征信息等。

相似对角化方法就是一种将矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的技术。

在本文中，我们将介绍矩阵相似对角化方法的基本原理、应用场景以及具体操作步骤。

基本原理要理解矩阵相似对角化方法，首先需要了解相似矩阵的概念。

两个矩阵A和B 被称为相似矩阵，如果存在一个可逆矩阵P，使得B=P−1AP。

而对角化矩阵是指将一个矩阵通过相似变换转化为对角矩阵的过程。

对角化矩阵对于矩阵的特征值和特征向量有着重要的意义。

对角化矩阵能够帮助我们快速计算矩阵的幂运算、矩阵的逆等，同时也能够揭示矩阵的特征信息。

应用场景矩阵相似对角化方法在许多领域都有重要的应用。

其中，最常见的应用场景之一是在线性代数和矩阵论中。

通过对角化矩阵，我们可以简化矩阵的运算，求解矩阵的特征值和特征向量，从而分析矩阵的性质。

此外，在信号处理、图像处理、控制理论等领域，矩阵相似对角化方法也有着广泛的应用。

例如，在控制系统设计中，我们常常需要将状态空间表示的系统转化为对角形式，以便分析和设计控制器。

操作步骤要对一个矩阵进行相似对角化，通常需要以下步骤：1.计算矩阵的特征值和特征向量；2.构造特征向量矩阵，并将其逆作为相似变换矩阵；3.计算相似对角矩阵。

具体的操作步骤会根据矩阵的具体形式和要求略有不同，但以上步骤是相似对角化的基本流程。

总结：矩阵相似对角化方法是一种重要的线性代数技术，能够简化矩阵的运算并提取矩阵的特征信息。

在许多应用场景中都有着广泛的应用，是线性代数学习中的重要内容之一。

希望通过本文的介绍，读者能对矩阵相似对角化方法有一个全面的了解。

对角化矩阵的应用本科

XXX学校毕业论文（设计）对角化矩阵的应用学生姓名学院专业班级学号指导教师2015年 4 月 25 日毕业论文（设计）承诺书本人郑重承诺：1、本论文（设计）是在指导教师的指导下，查阅相关文献，进行分析研究，独立撰写而成的.2、本论文（设计）中，所有实验、数据和有关材料均是真实的.3、本论文（设计）中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或机构已经撰写发表过的研究成果.4、本论文（设计）如有剽窃他人研究成果的情况，一切后果自负.学生（签名）：2015 年4月25日对角化矩阵的应用摘要矩阵对角化问题是矩阵理论中一个关键性问题.本文借助矩阵可对角化条件，可对角化矩阵性质和矩阵对角化方法来研究可对角化矩阵一些应用，包括求方阵的高次幂，反求矩阵，判断矩阵是否相似，求特殊矩阵的特征值，在向量空间中证明矩阵相似于对角矩阵，运用线性变换把矩阵变为对角矩阵，求数列通项公式与极限，求行列式的值.【关键词】对角化；特征值；特征向量；矩阵相似；线性变换Application of diagonalization matrixAbstractMatrix diagonalization problem is the key issue in the matrix theory. In this paper, by using matrix diagonalization conditions, diagonalization matrix properties and matrix diagonalization method we study some applications of diagonalization matrix, including for high-order exponent of matrix, finding the inverse matrix, matrix to determine whether it is similar, the eigenvalue of special matrix, in the vector space that matrix similar to a diagonal matrix, using linear transformation matrix is a diagonal matrix, for the series of general term formula and limit, the determinant of value.[Key words] The diagonalization; Eigenvalue; Feature vector; Similar; Linear transformation目录引言 (1)1矩阵对角化 (1)1.1矩阵对角化的几个条件 (1)1.2对角化矩阵的性质 (3)1.3 矩阵对角化的方法 (5)2对角化矩阵的应用 (5)2.1求方阵的高次幂 (5)2.2反求矩阵 (6)2.3判断矩阵是否相似 (7)2.4求特殊矩阵的特征值 (7)2.5在向量空间中应用 (7)2.6在线性变换中应用 (7)2.7求数列通项公式与极限 (8)2.8求行列式的值 (11)2.9对角化矩阵在其他方面的应用 (12)参考文献 (14)致谢 (15)引言现如今，我们所提到的矩阵对角化其实质指的就是矩阵和对角阵存在相似的地方,其中我们学过的线性变换也是可对角化的,其原理是指在某一组基的作用下这个线性变换可以变为对角阵（或者可以说是在某一组基的作用下这个线性变换的矩阵是可对角化的）,当然刚刚提到的这个问题其实我们可以把它归类到矩阵是否可对角化的问题中去，因为其两者本身就是相辅相成的.当然本篇文章我们主要是研究和探索判定矩阵可对角化的诸多条件，以及我们如何去运用矩阵对角化的有关性质，来把将矩阵化为对角形的问题进行解决.与此同时，我们也在研究和探索中发现了它在其他方面一些重要的运用.1矩阵对角化我们所涉及的矩阵都是可以对角化的，其原理是指通过矩阵的一系列初等变换（指：行、列变换）后,就能够得到一个特殊的矩阵,其特殊性在于只有在其主对角线的数上不全为零，然而其他位置的数则是全部为零（那么这个特殊的矩阵就可以被我们称为对角阵）,这一整个的变换过程就被我们称为矩阵的对角化.当然值得我们注意的是，我们所学过的矩阵并非都能对角化的，这个是有条件限制的.1.1矩阵对角化的几个条件引理]1[1 设n n P B A ⨯∈,,且,2A A =,2B B =BA AB =,则存在可逆矩阵P ,使B A ,可同时对角化.引理]2[2 如果n n n P diag P ⨯∈=),,,(21λλλ 的n 个对角元互不相同,矩阵n n P B ⨯∈,那么BP PB =当且仅当B 本身就是对角阵.因为任何一个幂等矩阵)(2A A A =一定相似于一个对角矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡000rE ,所以任何一个对角矩阵都是能够进行谱分解的,即∑==n i i i A A 1λ,其中i λ是矩阵A 的特征值,矩阵i A 为幂等矩阵，那么是否任意有限个幂等矩阵的线性组合都可以对角化呢？有如下结论：定理]3[1 若,2211n n k k k A ∆++∆+∆=n k k k ,,,21 是n 个数,n ∆∆∆，，， 21是n 个幂矩阵,并且他们两两可替换,)(,j i i j j i ≠∆∆=∆∆,则矩阵A 可对角化.证明若n ∆∆∆，，， 21是n 个幂矩阵,并且两两可换，则一定有一个可逆矩阵1P ,使得n ∆∆∆，，， 21,可同时对角化.n n n n P D P P D P 111111--=∆=∆，， )(1是对角矩阵，，n D D , P D k D k D k P P D k P P D k P P D k P k k k A n n n n n n )()()()(2211112211112211+++++++=∆++∆+∆=---- ,由是对角矩阵，，n D D 1知n n D k D k D k +++ 2211同样是对角矩阵,即矩阵A 为对角化的矩阵.定理]4[2 如果n n P A ⨯∈,21λλ，是它两个不相同的特征值,那么矩阵A 可对角化⇔一定有幂等矩阵∆,满足∆-+=)(121λλλE A .证明必要性：如果A 是一个对角化的矩阵,那么就一定会有一个可逆的矩阵P ,满足∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-2211111E E AP P λλ 是一个对角阵.()()()121211121211111211000-----⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+==P E P E P E P P E P P E P PAP A λλλλλλλλλ, 并且∆相似于2121212000∆=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---P E P P E P P E P ,若∆为幂矩阵,则一定有一个幂矩阵∆满足∆-+=)(121λλλE A .充分性：若存在∆使得∆-+=)(121λλλE A ,因为∆是幂矩阵,所以一定会有一个T ,满足T E T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∆-210, ()()T E E T T E E T T E T E A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=---2211112121121)0(0λλλλλλλλ, 因此，T E E T AT T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=--221111λλ, 即矩阵A 为可对角化的.定理]5[3 设矩阵n n P A ⨯∈存在n 个不同的特征值,则对于矩阵n n P B ⨯∈,BA AB =,当且仅当矩阵B A ,同时可以对角化.证明必要性若矩阵A 存在n 个特征值,且这些特征值是互不相同的数，则矩阵A 为对角化的矩阵.设AP P T 1-=,其中),,,(21n diag T λλλ =,则ABP P BP APP P BP P T 1111)(----==T BP P AP BPP P )(111---==,即T 与BP P 1-是可以进行交换的,因此得知BP P 1-是对角矩阵,且矩阵B 也是为对角化的矩阵.充分性如果矩阵B A ,可以同时进行对角化,那么一定存在一个可逆阵P ,使得P D P A 11-=,P D P B 21-=(其中为21D D ，对阵),BA P D PP D P P D D P P D D P P D PP D P AB =====------11211212112111,因此我们可以通过上述的一系列条件，来求出A 的特征值，且这是两个相互不同的数.从而我们得出了矩阵对角化的成立的条件：如果∆=∆2这个条件成立，那么就认为矩阵A 可对角化,否则就认为矩阵A 不能可对角化,其中)(/)(21λλλ--=∆E A .1.2对角化矩阵的性质定理]6[4 设A 为数域P 上的一个n 阶的矩阵,且它为可对角化的，t λλλ,,,21 是A 的相互不同的特征根,则一定会有n 阶的t A A A ,,,21 满足(1)t t A A A A λλλ+++= 2211；(2)E E A A A t ,21=+++ 是单位矩阵；(3)i i A A =2；(4)j i A A j i ≠=,0,其中1-=T TB A i i . 证明（1）如果A 可对角化,那么在数域P 上一定会存在一个可逆矩阵T ,并且它的阶数为n 阶，满足B AT T t =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-λλλ00211 , 其中i λ的重数为i s ,由于矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=110000111 t B λλ, 将它记为t t B B B λλλ+++ 2211,因此，)()()(1111122111----++=+++==T TB T TB T B B B T TBT A t t t t λλλλλ ,将其记为t t A A A λλλ+++ 2211,其中1-=T TB A i ,所以t t A A A A λλλ+++= 2211.(2)如果每个i B 为对角形的幂矩阵,那么E B B B t =+++ 21,E TET T TB T TB T TB A A A t t ==+++=+++----11121121 ,故E A A A t =+++ 21.(3)如果1-=T TB A i i ,那么i i i i i i i i i i A T TB T TB T B TB T TB T TB T TB T TB A ======-------112111112))((,故i i A A =2.(4)当j i ≠时, 0))((11111====-----T B TB T TB T TB T TB T TB A A j i j i j i j i ,0为零矩阵,故j i A A j i ≠=,0.例1 在数域P 上，若已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=6788152051115A 的三个特征根分别是3,2,1,则一定会有一个⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=211243132T ,满足B AT T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-3000200011,其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-1111342561T ,将矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=10030102001B , 记32132B B B ++,则，3211321132)32(A A A T B B B T TBT A ++=++==-- 其中1-=T TB A i i ,于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=222222111,134412163912,2566151841012321A A A , 并且满足：(1)32132A A A A ++=；(2)E A A A =++321；(3))3,2,1(2==i A A i i ； (4)j i A A j i ≠=,0.可以通过一个比较具体的可对角化矩阵,很直观地反映上述所说的性质是成立的.1.3 矩阵对角化的方法1.3.1 运用矩阵初等变换的方法在数域P 上,一个n 维空间V ,研究和探讨它能否可以找到一组基，并且在此基的作用下，所有的矩阵都是对角化的矩阵；发现这种基存在时, 如何去探索它是一个线性代数学上相当重要的问题,可以利用矩阵的初等变换的方法来解决此问题.当发现矩阵A 不能够实现对角化的时候,同样可以经过相近的一系列变换后，化简出矩阵A ,并且能够判定它是否可以对角化.类似地,可有矩阵E Q Q Q T s s 111111-----= ,做如下的初等变换,则可以将矩阵A 化简为对角形矩阵B ,并且可以求得T 或由B 求A 的一系列特征值.1.3.2 求解齐次方程组的方法设矩阵A 是实对称矩阵,则求证交矩阵T 使得),,,(211n diag AT T λλλ =-的问题,一般的解法为：(1)求其特征值； (2)求其对应的特征向量；(3)写出矩阵T 及),,,(211n diag AT T λλλ =-.从而可以求出正交矩阵T ,可以避免了商的繁琐运算.定理]7[5 设A 是实对称矩阵,则有)1(21重，-n λλ,n αααβ，，，， 321对应于21λλ，,记)(1βL 由1β生成的一个空间,且)(32n L ααα，，，由n ααα，，， 32生成的空间.2对角化矩阵的应用2.1求方阵的高次幂例2 设在数域P 上，有一个二维的线性空间V ,21ξξ，是这个线性空间V 的一组基,那么线性变换σ在21ξξ，这组基的作用下的矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ,试通过上述给出的条件计算出矩阵k A .解通过分析上述的条件，我们应该先计算线性变换σ在线性空间V 的另一组基21ηη，作用下的矩阵,令[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2111,,2121ξξηη, 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10112111011211122111011221111, 易知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1011011k k, 再运用上面得出的几个关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡---10112111011221111, 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11111210121112111101121-1-101-121kk k k k k k.2.2反求矩阵例3 设有一个实对称矩阵A ，且它的阶数为3阶，已知11321==-=λλλ，,1λ对应于T P )1,1,0(1=,求解A ．解根据矩阵A 是3阶实对称矩阵的条件,我们可以推出矩阵A 可以对角化的结论,即得出矩阵A 是由三个线性无关的特征向量组成的结论,并且132==λλ对应于T X X X P ),,(321=,因为它和1P 正交,即003211=++=⋅X X X P P ,所以可以求出T T P P )1,1,0()0,0,1(32-==，,它们分别对应132==λλ.取 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==1000100011-01101010),,(321B P P P P ，, 则B AP P =-1,于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-010********21000121211000100011011010101PBP A . 2.3判断矩阵是否相似例4 请判断下述三个矩阵是否会相似⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300020102,300120012,300020002321A A A . 解我们可以很容易的得出三个矩阵321,,A A A 的特征值分别都是21=λ(二重),32=λ,其中矩阵1A 已经是对角阵,所以我们只需要进一步判断两个矩阵32,A A 是否都可以对角化.通过21=λ,0)2(2=-X A E ,可以推出T )0,0,1(1=α,因为21=λ,是一个二重的特征值,但是却只有一个特征向量与之所对应,那么我们可以推出矩阵2A 与矩阵1A 不相似的结论.通过21=λ,0)2(3=-X A E ,得出T T )0,1,0(,)0,0,1(21==ηη,通过32=λ，0)3(3=-X A E ,得出T )1,0,1(3=η,通过上述所推出的结论，我们可知矩阵3A 有三个线性无关的特征向量,即矩阵3A 与矩阵1A 这两个矩阵相似. 2.4求特殊矩阵的特征值例]8[5 设有一个实对称矩阵A ，并且它的阶数为n 阶，满足A A 22=,n r A r <=)(,求出A 的全部特征值．解假设λ为矩阵A 的一个特征值,而我们令ξ为矩阵A 的特征向量,它对应于特征值λ，因为λξξ=A ,所以ξλλξξ22==A A ,又因为A A 22=,所以λξξξ222==A A ,即λλ22=,由此我们可以推出02或=λ,根据矩阵A 是实对称矩阵的这个条件,我们可以断定矩阵A 一定能够进行对角化,即⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0022~ B A ,与r A r =)(,所以A 的秩数就是2的个数,以及A 有r 个2和)(r n -个0的特征值. 2.5在向量空间中应用例]9[6在n 维的V 空间中,有一个复矩阵，并且它的阶数为n 阶，还有一个复数α, 令{}{}0)(,)(21=-∈=∈-=βαβββαA E V W V A E W ,则矩阵A 相似于对角阵,并且{}021=⋂W W .证明因为对于任意一个210W W X ⋂∈,则有βα)(0A E X -=和0)(0=-X A E α,所以0)(2=-βαA E .又因为发现矩阵A 相似于对角阵,所以我们可以推出0)(0=-X A E α与0)(2=-βαA E 两个的解空间是完全相同的，即{}021=⋂W W ． 2.6在线性变换中应用例]10[7 设()1][>n X P n 是数域P 上的一个全体,且它是一个次数小于n 的多项式与零多项式，则请通过所学的进一步判断在n X P ][的任一组基下，矩阵通过微分变换τ能否变为对角形矩阵．证明如果取()!1!211--n X X X n ，，，， , 那么矩阵可以表示为⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001-n E ,所以有nA E λλ=-. 如果在某一组基的作用下，微分变换τ的矩阵B 为对角矩阵,由已知的矩阵B A ~可推出矩阵A 可对角化,那么就会存在一个可逆矩阵T 能够使得B AT T =-1,所以1-=TBT A .通过已知的微分变换τ的全为零,可以推出0=B ,0=A 这是不可能的,所以在n X P ][的任何一组基的作用下，微分变换τ的矩阵都不可能成为对角阵．2.7求数列通项公式与极限例]11[8 设两个数列{}{}n n q p ,都满足条件1,,21111==+=+=++q p q p q q p p n n n n n n ,则请求解nn n q p∞→lim .解把已知条件中的几个递推关系组n n n n n n q p q q p p +=+=++11,2,通过化简改写成下面的列矩阵的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++111111211121q p q p q p nn n n n ,由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1121A 和0=-A E λ,可以求出A 的21,2121-=+=λλ,并且21λλ，分别对应T T X X )1,2(,)1,2(21-==.取),(21X X X =,则⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21212211X ,1210021-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=X X A , 从而⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-++2)21()21(2)21()21(112100211111111n n n n nn n X X q p , 因此2)21()21(nn n p -++=,2)21()21(n n n q --+=, 并且2)21()21()21(2)21(2lim lim =--+-++=∞→∞→n n nn n nn n q p . 例9 已知),2,1(2,2),(,11111 =+=+=>==+++n ba b b a a b a n n n n n n βαβα这四个条件,请证明n n n n b a ∞→∞→lim lim 及存在并且相等,给出证明过程，同时请求出这两个的极限值. 证明把已知条件中的递推关系组作进一步简化推出434,2211n n n n n n b a b b a a +=+=++,然后再改写为另一种矩阵的形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++11114341212143412121b a b a b a nn n n n ,由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=43412121A 和0=-A E λ,可以求出A 的14121==λλ，,并且21λλ，分别对应()()TTX X 11,1221，，=-=,取()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==1112,21X X X ,则 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-323131311X ,110041-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=X X A , 因为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1004111X b a n n ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⋅+⋅-+⋅-+⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-βα324131314131324231314231111n nn n b a X ,所以βα⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=+3242313142311n n n a ,βα⋅⎪⎭⎫⎝⎛+⋅+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=+3242313142311n n n b ,即n n n n b a ∞→∞→=+=lim 3231lim βα. 例10 设有10=x ,e x =1,)1(11≥⋅=-+n x x x n n n 这三个条件,请求出n n x ∞→lim .解从已知的三个条件可以推出),2,1(0 =>n x n ,以及)ln (ln 21ln 11-++=n n n x x x ,令n n x a ln =,则00=a ,11=a ,)1()(2111≥+=-+n a a a n n n ,所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+0111012121012121a a a a a a nn nn n , 由⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=012121A 和0=-A E λ,求得A 的21121-==λλ，,并且21λλ，分别对应TT X X )121(,)11(21，，-==.取),(21X X X =,令⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-11211321X,121001-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=X X A , 则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+n n nn n X X a a )21(1)21(1320121001111, 从而推出：))21(1(32nn a --=,即))21(1(32n e x n --=,32lim e x n n =∞→.例11 设11=x ,nn x x +=+111,求n n x ∞→lim .解令1+=n n n a a x ,根据条件nn x x +=+111,将其简化为n n n a a a +=++12,然后再写成矩阵)2(0111011112111≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+n a a a a a a n n n n n , 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A 和0=-A E λ,求出A 的βλαλ=-==+=25125121，,且21λλ，分别对应的是T T X X )1(,)1(21，，βα==,取⎥⎦⎤⎢⎣⎡==11),(21βαX X X ,则100-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X X A βα, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+112211511100n n n n nn n X X a a βαβαβα, 即2151)()(1lim lim limlim 1122111-==--=--==++∞→++++∞→+∞→∞→ααββααββαβαn n n n n n n n n n n n n a a x . 2.8求行列式的值例]12[12 设有一个n 阶的行列式，化简并求出它的值.)0(sin cos 21001cos 2100000001cos 21000001cos 21000001cos 2≠=ααααααn D ,解按照第一列展开的21cos 2---=n n n D D D ,可以写成矩阵的另外一种形式⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---211011cos 2n n n n D D D D α, 记矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=011cos 2αA ,则 )2(122211≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----n D D A D D A D D n n n n n , 通过0=-A E λ,我们可以计算出矩阵A 的ia ia e e -==21λλ，,且21λλ，分别对应T ia T ia e X e X )1(,)1(21，，-==,取⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-11),(21ia ia e e X X X ,则100--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=X e e X A ia ia, 推出()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----ααcos 21cos 40021221X e e X D D n ia n ia n n , 即)0(sin sin )1sin(≠+=αααn D n .例13 设有一个实对称矩阵A ,并且它的阶数是n 阶，满足条件A A =2,且r 为矩阵A 的秩,通过上述条件求出行列式A E -2的值.解因为A A =2,X X A AX X 22λλ===,所以有0)-(2=X λλ.因为0≠X ,所以0)1-(=λλ,10或=λ.因为矩阵A 是一个n 阶的实对称矩阵,所以它相似于对角矩阵,又因为矩阵A 的秩为r ,所以一定会存在一个可逆矩阵P ,可以使得B E AP P r =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-0001,其中矩阵r E 表示的是r 阶单位矩阵,所以可以推出)(220022211r n E E B E PBP PP A E rn r -==-=-=----.2.9对角化矩阵在其他方面的应用例14 在某个城市的就业数据中显示，一共有30万人从事着不同的三种行业,分别是农业、工业、经商，假设在几年之间这个从业总人数都会保持不变,而且经过整个社会的普查显示:(1)在这个城市的30万人中,投身于农业的有15万人,工业的有9万人,经商的有6万人；(2)在投身于农业的人中,每年大概有%10的人转行去经商,%20的人转行去做工业；(3)在投身于工业的人中,每年大概有%20的人转行去干农业,%10的人转行去经商；(4)在投身于经商的人中,每年大概有%10的人转行去做工业,%10的人转行去干农业.现在请大概预测一下，在未来的一、二年以后,从事这三个行业的人数,以及经历多年以后,从事这三个行业的人员总数会有什么样的一个发展趋势.解第i 年后还从事这三种行业的人员总数,我们会用一个3维的向量i X 去表示它，则T X )6,9,15(0=.如果想要求21X X ，,并且能够很精确地考察在∞→n 时,n X 的一个发展趋势,那么我们必须要引用一个3阶矩阵)(ij a A =,它的作用是用来体现从事这三种职业人员之间的转移情况.那我们就能够得出矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8.01.01.01.07.02.01.02.07.0A ,通过矩阵的乘法法则，我们可以得出⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===-2.79.99.12001AX X A X T ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡===04.823.1073.110212X A AX X , 所以01X A AX X n n n ==-,如果要继续进一步精确地分析n X ,那么必须要事先计算矩阵A 的n 次幂n A ,所以我们先可以将矩阵A 进行对角化,)5.0()7.0()1(8.01.01.01.07.02.01.02.07.0λλλλλλλ---=---=-E A ,所以能够得出特征值5.0,7.0,1321===λλλ,三个特征值分别代表其求出的所对应的三个特征向量321,,q q q ,于是令),,(321q q q Q =,则就会有矩阵1-=QBQ A ,从而推出1-=Q QB A n n ,0X A X n n =,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.07.01B ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=n nn B 5.07.01, 当∞→n 时,矩阵n B 将趋向于⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡001,从而推出矩阵n A 将趋向于1001-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Q Q , 因为矩阵n X 跟我们已经确定下来的常量*X 非常接近,所以可以得出1-n X 亦必趋于*X ,再通过1-=n n AX X 的转化，就能够准确得知*X 必需要满足条件**AX X =,进而可以推断出*X 是矩阵A 属于特征值11=λ的一个特征向量T T t t t t X ),,()111(*==，，,,303==++t t t t 10=t ,按照上面所讲述的规律转移,经过许多年以后，那么这三种职业的从业人数一定会趋于相等, 三者平均下来为10万人.参考文献[1] 北京大学教学系几何与代数教研室．高等代数(第二版)[M]．北京：高等教育出版社,1988．[2] 胡显佑主编．线性代数挚习指导[M]．天津：南开大学出版社,1997．[3] 刘九兰,张乃一,曲问薄主编．线性代数考研[M]．天津：天津大学出版社,2000.5．[4] 谢国瑞主编．线性代数及应用[M]．北京：高等教育出版社.1999．[5] 张学元主编．线性代数能力试题题解[M]．武汉：华中理工大学出版社,2000．[6] 徐仲主编．线性代数典型题分析解集[M]．西北工业大学出版社,1998,6．[7] 樊辉,钱吉林主编,代数学辞典[M]．武汉：华中师范大学出艋社．1994,12．[8] 曹锡皓．高等代数[M]．北京：北京师范大学出版社,1987．[9] 张远达．线性代数原理[M]．上海：上海科学出版社,1981．[10] Kline Morris. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times[M]. New York: OxfordUniversity Press, 1972.[11]Rebollo-Neira L，Fernandez Rubio J.On the Inverse Windowed Fourier transform[M]．IEEET rankson Information Theory，1999.[12] Babaie-Zadeh，M. Jutten, C.，Mohimani, H. On the Error of Estimating the Sparsest Solution ofUnderdetermined Linear Systems[M]．2011.致谢在开始准备着手写论文到最后定稿的整个过程中,指导教师XXX老师都是非常耐心和细心的引导我和帮助我,在此我向王老师表示由衷的感谢.王老师的严谨治学态度让我受益匪浅.在毕业论文写作的这段时间里,他时时刻刻关心着我的毕业论文的完成情况,并且经常给我指出毕业论文中的缺点与需要改正的地方,最后才能使得我可以顺利完成毕业论文.与此同时，我很感谢所有给过我帮助的老师、同学以及一起努力奋斗过的好朋友.第16 页共16页。

r语言矩阵对角化

r语言矩阵对角化
在R语言中，可以使用`eigen()`函数来进行矩阵的对角化。

具体步骤如下：
1. 定义一个矩阵，例如：
```R
A <- matrix(c(1, 2, 3, 4), nrow = 2, ncol = 2)
```
2. 使用`eigen()`函数计算矩阵的特征值和特征向量，例如：
```R
eigen_result <- eigen(A)
```
3. 通过`eigen_result$values`获取矩阵的特征值，并通过`eigen_result$vectors`获取矩阵的特征向量，例如：
```R
eigen_values <- eigen_result$values
eigen_vectors <- eigen_result$vectors
```
4. 构建对角矩阵，其中对角线上的元素为特征值，例如：
```R
D <- diag(eigen_values)
```
5. 计算矩阵的对角化表示，即通过特征向量和对角矩阵构建的矩阵，例如：
```R
P <- eigen_vectors
D <- diag(eigen_values)
A_diagonalized <- P %*% D %*% solve(P)
```
最终，`A_diagonalized`就是矩阵A的对角化表示。

注意：在R语言中，`%*%`表示矩阵乘法，`solve()`函数用于求矩阵的逆。

二阶矩阵对角化例题

二阶矩阵对角化例题当我们提到二阶矩阵的对角化时，我们通常是指将一个二阶矩阵转化为对角矩阵的过程。

对角化的主要目的是简化矩阵的运算和分析。

下面我将给出一个例子来说明二阶矩阵的对角化过程。

假设我们有一个二阶矩阵A如下：A = [[2, 1],。

[1, 3]]要对矩阵A进行对角化，我们需要找到一个可逆矩阵P，使得P的逆矩阵P^-1与A相乘后得到一个对角矩阵D，即P^-1 A P = D。

首先，我们需要求解矩阵A的特征值。

特征值是矩阵A满足方程det(A λI) = 0的根，其中λ是一个常数，I是单位矩阵。

解这个方程可以得到特征值。

对于矩阵A，我们可以计算特征值的步骤如下：1. 计算A λI：A λI = [[2 λ, 1],。

[1, 3 λ]]2. 计算det(A λI)：det(A λI) = (2 λ)(3 λ) 11 = λ^2 5λ + 5。

3. 解方程λ^2 5λ + 5 = 0：使用求根公式或配方法可以求解出特征值为λ1 = 2 + √3 和λ2 = 2 √3。

接下来，我们需要求解特征值对应的特征向量。

特征向量是方程(A λI)X = 0的非零解，其中X是一个列向量。

对于特征值λ1 = 2 + √3，我们可以解方程组(A λ1I)X = 0：(2 (2 + √3))x + y = 0。

x + (3 (2 + √3))y = 0。

化简得：-√3x + y = 0。

x √3y = 0。

解这个方程组可以得到特征向量v1 = [√3, 1]。

对于特征值λ2 = 2 √3，我们可以解方程组(A λ2I)X = 0：(2 (2 √3))x + y = 0。

x + (3 (2 √3))y = 0。

化简得：√3x + y = 0。

x + √3y = 0。

解这个方程组可以得到特征向量v2 = [-√3, 1]。

现在我们可以构建可逆矩阵P，P的列向量是矩阵A的特征向量。

即：P = [v1, v2] = [[√3, -√3],。

利用矩阵方法计算数列通项公式

方法与技巧利用矩阵方法计算数列通项公式*杨庚华戎海武吴幼明(佛山科学技术学院理学院数学系广东佛山 528000)摘要利用线性代数知识解决了形如a n+3= a n+2+ a n+1+ a n 数列通项的一般求解方法并给出了一个例子。

关键词矩阵,对角化、数列通项中图分类号 O 151 21 文献标识码 A对于形如a n +3= a n+2+ a n+1+ a n 的数列,其中a 0,a 1,a 2已给出,我们将利用矩阵知识获得解决这类问题的一般方法。

首先添加两个平凡等式a n+3= a n+2+ a n+1+ a n , a n+2=a n+2, a n+1=a n+1,化为矩阵形式,于是有:an+3a n+2a n+1=10001a n+2a n+1a n,令W n =a n+2a n+1a n ,则 W n =AW n-1=A nW 0,其中A =10001。

要求出数列的通项式首先要使A 能对角化。

因|!I -A |=!- - --1!00-1!=!3- !2- !- ,当矩阵A 的特征方程!3- !2- !- =0没有重根时,矩阵可对角化。

即设F (!)=!3- !2- !- =(!-!1)(!-!2)(!-!3),其中!1,!2,!3互不相同,则A 可对角化,从而W n =A nW 0=P-1!1n!2n!3nPW 0,35V o.l 8,N o .3 高等数学研究M ay.,2005 STUD IES I N COLLEG E M ATH E M AT ICS*收稿日期:2003 05 30设PW 0=a 11a 12a13a 21a 22a 23a 31a 32a 33a 2a 1a 0=b 2b 1b 0,又设P -1=b 11b12b 13b 21b 22b 23b31b 32b33,则a n+2an+1a n=b 11b 12b 13b 21b 22b 23b 31b 32b 33!1n!2n!3nb 2b 1b 0,因此可得: a n =b 31b 2!1n+b 32b 1!2n+b 33b 0!3n。

矩阵对角化方法

矩阵对角化方法矩阵对角化方法摘要：本文给出了一种不同于传统方法的矩阵对角化方法，利用矩阵的初等变换，先求出矩阵的特征根与特征向量，接着再判断矩阵是否可对角化。

关键词：矩阵特征根特征向量对角化The Methods of the Diagonalization of the MatrixgAbstract: In this paper, the method of the diagonalization of the matrix is given, which is different from the traditional methods. According to using the elementary transformation of the matrix, first of all, The author obtains the characteristic roots and the characteristic vectors, then judge the diagonalization of the matrix.Key words: Matrix; Characteristic roots; Characteristic vectors; Diagonalization1、引言对角化后的矩阵在计算和应用等方面比一般矩阵更具优越性，而矩阵对角化方法有很多，如对于对称矩阵可以将其看成二次型所对应的矩阵，通过配方法将其化为标准形从而实现矩阵的对角化，再如通过求解特征根和特征向量方法，首先求解0||=-A E λ得特征根i λ，然后对每一个i λ，解方程组0)(=-X A E i λ得特征向量，即寻找一个可逆矩阵T ，使得Λ=-AT T 1,其中Λ为对角阵，于是可得1-Λ=T T A ，从而1-Λ=T T A n n , 在这个对角化过程中，Λ中的元素即为矩阵A 的特征根，T 中每个列向量即为矩阵A 的属于每个特征根的特征向量。

一类递推数列公式的一般求解方法

139科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION科技教育DOI：10.16661/ki.1672-3791.2018.19.139一类递推数列公式的一般求解方法平霄燕1 陈昊东2(1.临沂第二十一中学山东临沂 276017;2.临沂大学数学与统计学院山东临沂 276001)摘要：随着新课标高考的逐步推进，对于数列问题的求解在高考中占着越来越重要的地位.本文,基于矩阵对角化思想，针对的数列通项给出了一般求解方法．根据本文提供的算法，可以把矩阵对角化的思想推广到求解递推数列公式，达到将复杂的递推数列公式进行简单的求解关键词：数列通项矩阵对角化中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2018)07(a)-0139-02Abstract：With the gradual progress of the new curriculum standard college entrance examination, the solution of the number series problem is playing an increasingly important role in the college entrance examination.In this paper, we give a general solution to the general term of via the idea of diagonal matrices. According to the algorithm provided in this paper, the idea of diagonalization of matrix can be extended to solve the recursive sequence formula, so that the complex recursive sequence formula can be solved simply.Key Words：General formula of number sequence; Matrix; Diagonalization我们先来思考下面的一个问题。

利用矩阵对角化求数列通项

a0
d1
c11 c12 c13
设 Q- 1 b0 = d2 , Q = c21 c22 c23 . 则
1
d3
c31 c32 c33
3 收稿日期 :2005 - 11 - 01.
第 10 卷第 4 期岳嵘 :利用矩阵对角化求数列通项
67
an
c11 c12 c13 d1λ1n
c11 d1λ1n + c12 d2λ2n + c13 d3
将 x0 = 5 , x1 = 35 , y0 = 10 , y1 = 30 代入上式 ,可解得
k1 = 8 , k2 = - 3 , m1 = 8 , m2 = 2.
故
x n = 8 ×4n - 3 ×( - 1) n , yn = 8 ×4n + 2 ×( - 1) n . 从而 ,
x100 = 2 ×4101 - 3 , y100 = 2 ×4101 + 2 . 例 2 数列{ an} ,{ bn} 中 , a0 = 1 , b0 = 0 且 an+1 = 7 an + 6 bn - 3 , bn+1 = 8 an + 7bn - 4. 求 an . 解由已知条件容易推知 a1 = 4 , a2 = 49. 记矩阵
66
S TUD I ES
IN
高等数学研究 COLL E GE MA T H EMA TICS
VJolu1l1. 0,2,0N0o71 4
利用矩阵对角化求数列通项 3
岳嵘 (山东科技大学公共课部山东泰安 271019)
摘要利用矩阵的对角化的方法 ,可求解两类具有特殊性质的数列的通项公式. 关键词矩阵 ;对角化 ;数列通项中图分类号 O151. 21

r语言矩阵对角化

在R语言中，矩阵对角化是一种常用的矩阵分解方法，它可以将一个非对角矩阵分解为一个对角矩阵和一个向量。

对角化矩阵通常用于简化矩阵表示，例如在统计分析和机器学习中。

以下是使用R语言进行矩阵对角化的基本步骤：首先，我们需要一个非对角矩阵。

在R语言中，可以使用`matrix`函数创建一个矩阵。

例如，我们创建一个3x3的随机矩阵：```r# 创建一个随机矩阵non_diagonal_matrix <- matrix(rnorm(9), nrow = 3)```接下来，我们可以使用`eigen`函数进行矩阵对角化。

这个函数会返回一个包含特征值和特征向量的列表。

我们可以使用`which`函数来提取特征值和对应的特征向量：```r# 使用eigen函数进行矩阵对角化eigen_values_and_vectors <- eigen(non_diagonal_matrix)# 提取特征值和特征向量eigen_values <- eigen_values_and_vectors$valueseigen_vectors <- eigen_values_and_vectors$vectors```现在，`eigen_vectors`就是对角化的特征向量，而`eigen_values`是对角矩阵的对角线元素。

这些元素就是原矩阵的特征值。

需要注意的是，非对角矩阵不一定有特征向量。

如果一个矩阵没有特征向量，那么它的特征值就是它的大小。

在这种情况下，我们可以使用`which`函数来提取所有非零特征值。

最后，我们可以通过使用`rep`函数和`t`函数来构建对角矩阵：```r# 构建对角矩阵diagonal_matrix <- diag(eigen_values)```至此，我们就完成了矩阵的对角化。

通过这种方式，我们可以将一个非对角矩阵分解为一个对角矩阵和一个向量。

这在许多统计分析和机器学习任务中都非常有用，因为它可以简化数据的表示并提高算法的性能。

高考数学知识点解析矩阵的相似对角化与应用

高考数学知识点解析矩阵的相似对角化与应用高考数学知识点解析：矩阵的相似对角化与应用在高考数学中，矩阵的相似对角化是一个较为重要的知识点，它不仅在数学理论中有着深刻的意义，而且在实际应用中也具有广泛的用途。

本文将对矩阵的相似对角化进行详细的解析，并探讨其在高考数学中的常见应用。

一、矩阵相似对角化的基本概念首先，我们来了解一下什么是矩阵的相似。

设 A、B 是两个 n 阶矩阵，如果存在可逆矩阵 P，使得＼（P^｛－1}AP ＝ B\），则称矩阵 A 与矩阵 B 相似。

而矩阵的相似对角化，就是指对于一个 n 阶矩阵 A，如果存在一个可逆矩阵 P 和一个对角矩阵＼（Λ\）（对角线上的元素为矩阵 A 的特征值），使得＼（P^｛－1}AP ＝Λ\），则称矩阵 A 可相似对角化。

为了实现矩阵的相似对角化，我们需要求出矩阵的特征值和特征向量。

特征值＼（λ\）满足方程＼（｜A λE| ＝ 0\）（其中 E 为单位矩阵），而对应的特征向量＼（x\）满足＼（Ax ＝λx\）。

二、求矩阵特征值和特征向量的方法对于一个 n 阶矩阵 A，计算其特征值的具体步骤如下：首先，写出矩阵＼（A λE\）的行列式，然后求解方程＼（｜AλE| ＝ 0\），得到的解即为矩阵 A 的特征值＼（λ\）。

求出特征值后，将每个特征值代入方程＼（（A λE)x ＝ 0\），通过解线性方程组来求得对应的特征向量。

这里需要注意的是，对于一个特征值，可能存在多个线性无关的特征向量。

三、矩阵可相似对角化的条件一个 n 阶矩阵 A 可相似对角化的充要条件是：矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量。

如果矩阵 A 的特征值互不相同，那么一定可以相似对角化。

但如果存在重特征值，就需要判断其对应的线性无关的特征向量的个数。

例如，对于一个 2 阶矩阵，如果有两个不同的特征值，那么它一定可以相似对角化；如果只有一个特征值，且对应的特征向量只有一个，那么就不能相似对角化。

(完整版)矩阵法求数列通项

(完整版)矩阵法求数列通项引言在数列的研究中，我们常常需要求解数列的通项公式，即找到能够表示数列中任意一项的公式。

数列中的每一项都是根据前面一定规律得出的，找到数列的通项公式可以帮助我们更好地理解和计算数列。

矩阵法概述矩阵法是一种用于求解数列通项的方法。

它利用矩阵运算的特性，通过构造特定的矩阵和向量，将数列的递推关系转化为矩阵乘法运算，从而得到数列的通项公式。

矩阵法步骤矩阵法的具体求解步骤如下：1. 根据数列的递推关系，构造一个矩阵A。

2. 构造一个列向量X，其中元素表示数列的各项。

3. 根据数列的初始条件，构造一个列向量C，其中元素表示数列的初始项。

4. 则数列的递推关系可表示为AX = C。

5. 通过解线性方程组AX = C，求解出矩阵X。

6. 得到数列的通项公式。

矩阵法示例下面以斐波那契数列为例，演示矩阵法在求解数列通项中的应用：斐波那契数列斐波那契数列的定义如下：- F(0) = 0- F(1) = 1- F(n) = F(n-1) + F(n-2) (n >= 2)矩阵法求解首先构造矩阵A：A = [[1, 1], [1, 0]]然后构造列向量X：X = [[F(n)], [F(n-1)]]再构造列向量C，其中C的元素表示初始项：C = [[F(1)], [F(0)]]将数列的递推关系转化为矩阵乘法运算，有：A * X = C解得：X = A^(-1) * C得到X之后，就能得到数列通项公式：F(n) = X[0][0] * F(1) + X[1][0] * F(0)结论矩阵法是一种求解数列通项的有效方法，在数列研究和应用中具有重要的作用。

通过矩阵法，我们可以通过已知数列的递推关系和初始条件来求解数列的通项公式，进一步推广和应用数列的知识。

以上是关于(完整版)矩阵法求数列通项的文档。

希望对您有帮助！。

利用矩阵方法计算数列通项公式

! , . / ( 0 / ! ++++++++++++++++ 高等数学研究 ! ;> ? / % " " ) ++++++++++++1 2 3 4 5 6 15 07 8 9 9 6 : 6;< 2 = 6 ;< 2 5 7 1
! )
方法与技巧
利用矩阵方法计算数列通项公式
!
% 佛山科学技术学院理学院数学系 ! 广东佛山 !) % ( " " " 杨庚华 ! 戎海武 ! 吴幼明 !$ ’ ’ ’ 摘! 要 ! 利用线性代数知识解决了形如 ’ 8 H 8 H 8 H ! +’ % H2 $ H3 8 数列通项的一般求解方法并给出了一个例子" 关键词 ! 矩阵! 对角化# 数列通项 ! 中图分类号 !8 $ ) $ K % $ + 文献标识码 +<
! *
" " )年 )月 ++ 高等数学研究 ++++++ + + +++++++%
$ $ ’ $ % ’ $ ! $ $ ) $ % ) $ ! % % ) ’ ) ’ " $ + + ! B + 设B ] 又设则 ’ ’ ’ ) ) ) ’ ) " % $ % % % ! % $ % % % ! $ $ ! ’ ’ ’ ’ ) ) ) ) ! $ ! % ! ! ! $ ! % ! ! " " $ $ $ ) $ % ) $ ! 8 H % ’ ) ( ’ + ) $ ) % % ) % ! $ H 8 % ) ) ) ’ ! $ ! % ! ! 8 8

一类数列的通项公式

一类数列的通项公式
岳嵘
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2008(11)4
【摘要】设数列{an}具有递推关系an+1=b1an+b2an-1(n≥2,n∈N).利用幂矩阵An的计算公式可给出其通项公式.对于具有递推关系Dn+1=b1Dn+62Dn-1的同型行列式也可同理计算.
【总页数】2页(P63-64)
【作者】岳嵘
【作者单位】山东科技大学公共课部,山东泰安,271019
【正文语种】中文
【中图分类】O151.21
【相关文献】
1.利用函数思想解释数列通项公式求法——以《一类数列通项公式的求法》一课教学为例 [J], 刘铁龙
2.构造常数列求一类递推数列的通项公式 [J], 彭世金
3.构造常数列求一类递推数列的通项公式 [J], 彭世金
4.用待定系数法求一类数列的通项公式——一道高中数列习题的推广 [J], 石连祥
5.一类递推数列通项公式求解的普适性方法 [J], 郑作奎;薛兵;孙洪春
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

利用矩阵对角化求实递推式的通项

（若ｂ通（１兰。＿ｚ）１以４０则项＝ｚ）＿一（）＋＝，（。（２墨 — ，
（）若以＋ｂＯ２４＞
则通
（
１）
。。
－
其中
：
，：下ｗ－＋ｂ：－／４ａ￣
ａ
．
证明：（）若ａ＋ｂ０，１２４＝则一ａ
利用矩阵对角化求实递推式的通项
周玉霞
（川农业大学数学教研室，都江堰６１３）四１０８
一
●
０
；
Ｏ
●
；
¨
一
摘要：通过利用矩阵对角化理论探讨了一类实递推式的通项公式的求法．关键词：矩阵；对角化；实递推式；通项公式
（ａ … ａ（．．口Ｉ２＾）Ｉ２ … ．＾）
０
０
●
０
＝
０
０
（１０ …０）．．（１２ … ．ｋ）
Ｘ＋－（０￣ｌ＝０ｋ
… ｌ）．．０（Ｉ２） … ．
Ｈ
．
Ｉ
．
作者简介：周玉霞（１７一）女，９１。四川人，师，讲主要从事高等数学教育及应用研究。
维普资讯
第３期
周玉霞：利用矩阵对角化求实递推式的通项
１３１
通过Ｈ．１
：
●
０
００
０００

矩阵对角化方法的应用

下面，首先介绍矩阵可对角化的定义及几个结论，然后通过典型例题说明矩阵对角化方法的应用．
矩阵可对角化的定义：定义１．设Ａ∈Ｐ椭，Ｐ是数域，若存在可逆矩阵Ｘ∈Ｐ棋”，使Ｘ．１ＡＸ为对角矩阵，则称矩阵Ａ可对角化．关于矩阵对角化，有以下几个结论：引理１［２］Ｉ＇Ｉ阶方阵Ａ可对角化的充要条件是Ａ有行个线性无关的特征向量．引理２ｒ２３若行阶方阵Ａ有行个不同的特征值，则Ａ可对角化．引理３Ｅ３］扎阶方阵Ａ可对角化的充要条件是对于Ａ的每个志重特征根．：ｌ。，有
３
１
取Ｘ＝（ＸｌＸ２Ｘ。），则Ｘ＿１＝
３
１— ３
—１）ＴＸ３＝（１１１）ｒ．
１
１
３
３
一号ｏｏ
２３
一丢ｏ１．Ａ＝Ｘ
３
ｏ
Ｘ一．
１
１
３
３
Ｏ
Ｏ
１
口Ｐ
一丢ｏｏ
口ｉ∞
口∥ ＝Ｘ
０一百１
口≯
厶Hale Waihona Puke ＯＯＸ一１口ｌｏ）
０
口；ｏ）
１
·＋２·（一丢）‘ ·一（一号）‘ ·一（一号）‘ 口ｉ０）
１３
·一（一丢）‘１－｛－２·－－号）‘·一－－专）‘
口５卜１）），口≯＝丢（口｛卜１）＋口；Ｈ）），‘
证明ｌｉｍ口中：竺ｉ：：±冀：±．坚（ｆ：１，２，３）．
证明
口，口∥ 口５Ｄ
将锑椎关系组改写为下列矩阵形式：
０．．１—．．—１—
２
２
Ｏ
１—２
１—２
１—２
０１—２
口｛卜１）口扩＂口５Ｈ’
ｎ
１
１
ｕ虿虿
口（ｏ）

(完整版)矩阵特征向量法求数列通项

完整版)矩阵特征向量法求数列通项矩阵特征向量法求数列通项 (完整版)1.引言数列是数学中研究的基础概念之一，通项是数列中的每一项所满足的规律式。

求解数列通项在数学建模、金融、物理等领域中有着广泛的应用。

本文将介绍一种利用矩阵特征向量法求解数列通项的方法。

2.矩阵特征向量法矩阵特征向量法是一种利用矩阵特征向量的性质求解数列通项的方法。

该方法基于矩阵特征向量的定义，将数列的通项表示为矩阵特征向量的线性组合。

2.1 矩阵特征向量的定义设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个非零向量 x，使得 `A x = λ x`，其中λ 是一个常数，则称 x 为矩阵 A 的特征向量，λ 为对应的特征值。

设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个非零向量 x，使得`A x = λ x`，其中λ 是一个常数，则称 x 为矩阵 A 的特征向量，λ为对应的特征值。

设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个非零向量 x，使得`A x = λ x`，其中λ 是一个常数，则称 x 为矩阵 A 的特征向量，λ 为对应的特征值。

设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个非零向量x，使得`A x = λ x`，其中λ 是一个常数，则称 x 为矩阵 A 的特征向量，λ 为对应的特征值。

设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个非零向量 x，使得`A x = λ x`，其中λ 是一个常数，则称 x 为矩阵 A的特征向量，λ 为对应的特征值。

设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个非零向量 x，使得`A x = λ x`，其中λ 是一个常数，则称 x 为矩阵 A 的特征向量，λ 为对应的特征值。

矩阵的对角化的应用

矩阵的对角化的应用摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。

对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。

本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幂﹑利用特征值求行列式的值﹑由特征值和特征向量反求矩阵﹑判断矩阵是否相似﹑向量空间﹑线性变换等方面的应用.关键词：对角化；特征值；特征向量；相似一、概念所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似定义1：如下形式的n×n矩阵= 称为对角矩阵简记为=diag(,,,)定义2：把矩阵A（或线性变换）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幂的乘积，所有这些一次因式方幂（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A（或线性变换）的初等因子。

定义3：设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f(x)使得f(x)=0，则称f(x)以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。

定义4：设V是P上的线性空间，是V上的一个变换，如果对任意V和P都有，则称为V的一个线性变换定义5：设是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数和V中非零元素使得，则称为的一个特征值，而称为的属于特征值的一个特征向量，由的属于特征值的全部特征向量再添上零元素构成的集合构成V的一个子空间，称为的一个特征子空间。

定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X使得B=AX，则称A相似于B，记为A B，并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。

二．矩阵对角化条件常用的充要条件（1）可对角化当且仅当有个线性无关的特征向量；（2）可对角化当且仅当特征子空间维数之和为；（3）可对角化当且仅当的初等因子是一次的；（4）可对角化当且仅当的最小多项式无重根。

矩阵的对角化的应用

矩阵的对角化的应用摘要：矩阵是高等代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象。

对角矩阵作为一种特殊的矩阵，在理论研究和矩阵性质推广中有重要意义。

本文对可对角化矩阵做出了全面的概括和分析，并利用高等代数和线性代数的有关理论给出了矩阵可对角化的若干条件，同时也讨论了化矩阵为对角形的求解方法，最后总结出可对角化矩阵在求方阵的高次幕、利用特征值求行列式的值、由特征值和特征向量反求矩阵、判断矩阵是否相似、向量空间、线性变换等方面的应用•关键词：对角化；特征值；特征向量；相似一、概念所谓矩阵可对角化指的是矩阵与对角阵相似\ 0 »0 - 0定义1:如下形式的nXn矩阵A = 1° 0…入J称为对角矩阵简记为AL 1. X=diag（一，◎,，一）定义2:把矩阵A （或线性变换T ）的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的首项为1的一次因式方幕的乘积，所有这些一次因式方幕（相同的必须按出现的次数计算）称为矩阵A （或线性变换T ）的初等因子。

定义3:设A是数域P上的n级矩阵，如果数域P上的多项式f（x）使得f（x）=O，则称f（x）以A为根，在以A为根的多项式中，次数最低且首项系数为1的多项式称为A的最小多项式。

定义4:设V是P上的线性空间，°是V上的一个变换，如果对任意①卩£ V和上€ P都有点咽丽心阶㈣ 5何，则称。

为V的一个线性变换定义5:设0是数域P上线性空间V的一个线性变换，如果存在P中的一个数A 和V中非零元素CL使得加，则称玄为0的一个特征值，而称亿为0的属于特征值k的一个特征向量，由0的属于特征值2的全部特征向量再添上零元素构成的集合叫一匕|。

何一丄观创构成V的一个子空间，称为0的一个特征子空间。

定义6:设A,B为数域P上的两个n级矩阵，如果存在数域P上的n级可逆矩阵X 使得B二X "AX,则称A相似于B,记为M' B,并称由A变到B得变换为相似变换，称X为相似变换矩阵。

矩阵的对角化与Fibonacci数列

矩阵的对角化与Fibonacci 数列Matrix Diagonalization and Fibonacci SequenceZHANG Yan, KOU Bingyu(Mathematics and Science Department of Science School, the People's LiberationArmy University of Science and Engineering, Nanjing,Jiangsu 211101)The diagonalization matrix not only has close relationship with linear transformation, and it was widely applied in mathematics and other science and technology domain. This paper introduces decision theorem in details, introduces application of diagonalization of matrix in Fibonacci sequence.1矩阵对角化定义及判定定理定义设A是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P,使得P- 1AP =diag(1,2,…,n),则称A可对角化(或称A与对角矩阵相似)。

定理1设A是n阶矩阵，A可以对角化A 有n 个线性无关的特征向量。

A的最小多项式无重根。

A的不变因子无重根。

A的初等因子全为1次的。

A 的每个重特征根所对应的线性无关的特征向量的个数=特征根的重数。

r (E - A) = n - k ，其中k 为A 的任意特征根的重数。

r (E -A) = r(E - A)2 ，其中k 为A 的任一特征根。

A的任意特征根i , (iE - A)与(iE - A)2 的值域相等或它们的核相等。