高二数学选修4-4教案04圆锥曲线的统一极坐标方程
人教课标版高中数学选修4-4《简单曲线的极坐标方程》教案-新版
1.3 简单曲线的极坐标方程一、教学目标 （一）核心素养通过这节课学习，了解极坐标方程的意义、能在极坐标系中给出简单曲线的方程，体会极坐标下方程与直角坐标系下曲线方程的互化，培养学生归纳类比推理、逻辑推理能力． （二）学习目标1．通过实例，了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法． 2．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程．3．能进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化，体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义． （三）学习重点1．掌握特殊情形的直线与圆的极坐标方程． 2．进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化． （四）学习难点1．求曲线的极坐标方程．2．对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务（1）读一读：阅读教材第12页至第15页，填空：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程． 2．预习自测（1）下列点不在曲线θρcos =上的是( )A.)3,21(πB.)32,21(π-C.)3,21(π-D.)32,21(π-【知识点】极坐标方程【解题过程】将选项中点一一代入验证可得选项D 不满足方程 【思路点拨】由极坐标方程定义可得 【答案】D ．（2）极坐标系中,圆心在极点,半径为2的圆的极坐标方程为( ) A.2=ρ B .4=ρ C.2cos =θρD.1sin =θρ【知识点】极坐标方程【解题过程】任取圆上一点的极坐标为),(θρ，依题意R ∈=θρ,2,所以选A 【思路点拨】根据题意寻找θρ,的等量关系式 【答案】A ．（3）将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程： ①射线)0(3≤=x x y ；②圆0222=++x y x ． 【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化【解题过程】①因为=x θρcos ，=y θρsin 代入可得3tan ,cos 3sin ==θθθ 又因为0≤x ，所以射线在第三象限，故取θ＝4π3(ρ≥0 )②将=x θρcos ，=y θρsin 代入0222=++x y x ，整理得θρcos 2-= 【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化可得 【答案】①θ＝4π3(ρ≥0 ) ②θρcos 2-=．（4）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆ρ＝2的公共点个数是 .【知识点】极坐标方程、直线与圆的位置关系【解题过程】直线方程ρcos )4(πθ-＝2，即)sin 22cos 22(θθρ+＝2，所以直角坐标方程为x ＋y －2＝0.圆的方程ρ＝2，即ρ2＝2，所以直角坐标方程为x 2＋y 2＝2. 因为圆心到直线的距离为d ＝|0＋0－2|2＝2＝r ，所以直线与圆相切，即公共点个数是1.【思路点拨】将问题转化为平面直角坐标系中的问题处理 【答案】 1 (二)课堂设计 1．知识回顾（1）极坐标系的建立：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．（2）极坐标系内一点的极坐标的规定：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ．一般地，不作特殊说明时，我们认为0≥ρ，θ可取任意实数．（3）把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.设M 是平面内任意一点,它的直角坐标是),(y x ，极坐标是),(θρ，则：=x θρcos ， =y θρsin=2ρ22y x +， =θtan )0(≠x xy2．问题探究探究一 结合实例，类比认识极坐标方程★ ●活动① 类比推理概念在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程0),(=y x f 表示．曲线与方程满足如下关系：(1)曲线C 上点的坐标都是方程0),(=y x f 的解； (2)以方程0),(=y x f 的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程0),(=θρf 表示呢？我们先看一个例子 半径为a 的圆的圆心坐标为)0,(a C ，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件吗？类比直角坐标方程的求解过程，我们先建立极坐标系，如右图所示，设圆经过极点O ,圆与极轴的另一个交点为A ，则a OA 2=，设),(θρM 为圆上除A O ,以外的任意一点，则AM OM ⊥,所以在AMO Rt ∆中，MOA OA OM ∠=cos ,即θρcos 2a =.经验证，点)0,2(),2,0(a A O π的坐标满足上式.于是上述等式为圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件，反之，坐标适合上述等式的点都在这个圆上.所以我们类比直角坐标方程可以得到极坐标方程的定义，即：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程．由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即一条曲线上点的极坐标有多组表示形式，所以我们这里要求至少有一组能满足极坐标方程．则这个点在曲线上.【设计意图】利用类比的思想，从熟悉的概念得到新的数学概念，体会概念的提炼、抽象过程． ●活动② 归纳梳理、理解提升分析上述实例，你能得出求解极坐标方程的一般步骤吗？求曲线的极坐标方程的方法和步骤与求直角坐标方程的步骤类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹．将已知条件用曲线上的点的极坐标θρ,的关系式0),(=θρf 表示出来，就得到曲线的极坐标方程，具体如下：(1)建立适当的极坐标系，设),(θρM 是曲线上任意一点．(2)连接OM ,根据几何条件建立关于极径ρ和极角θ之间的关系式． (3)将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．(4)检验并确认所得方程即为所求．若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．【设计意图】通过实例类比总结方法，培养学生数学抽象、归类整理意识． 探究二 探究直线的极坐标方程 ●活动 互动交流、初步实践组织课堂讨论：结合极坐标方程的定义及求解极坐标方程的步骤，我们动手求解：直线l 经过极点，从极轴到直线l 的角为3π的直线的极坐标方程.M如右图，以极点O 为分界点,直线l 上的点的极坐标分成射线,OM 射线M O '两个部分，射线OM 上任意一点的极角都为3π，所以射线OM 的极坐标方程为：)0(3≥=ρπθ；而射线M O '上任意一点的极角都是34π，所以射线M O '的极坐标方程为：)0(34≥=ρπθ 综上：直线l 的极坐标方程可以用)0(3≥=ρπθ和)0(34≥=ρπθ表示现在产生一个问题：能否用一个方程来表示呢？我们定义：若0<ρ，则0>-ρ，我们规定点),(θρM 与),(θρ-P 关于极点对称.这样就可以将ρ的取值范围推广到全体实数.于是在允许R ∈ρ，那么上述直线l 的极坐标方程就可以写为： )(3R ∈=ρπθ或)(34R ∈=ρπθ 【设计意图】得到特殊直线的极坐标方程，加深对极坐标方程内涵与外延的理解，突破重点． 探究三 探究极坐标方程与直角坐标方程的联系★▲ ●活动① 巩固理解，加深认识在学习了极坐标方程及求解步骤后，动手做一做：在极坐标系中，圆心为)4,1(πA ,半径为1的圆的极坐标方程是多少呢？如右图所示，设),(θρP 为圆上任一点，当P A O ,,三点不共线是，在OPA ∆中利用余弦定理可得222)4cos(2AP OAOP OP OA =--+πθ1)4cos(212=--+∴πθρρ即 )4cos(2πθρ-=当P A O ,,三点共线时，点P 的坐标为)43,0(π或)4,2(π，这两点的坐标满足上式，所以上式为所求的圆的极坐标方程.在找平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系.【设计意图】巩固极坐标方程的求解，同时为极坐标方程与直角坐标方程的转化作准备． ●活动② 强化提升、灵活应用),(θρPO根据上节的直角坐标与极坐标的互化，先把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度.，然后先求直角坐标系下的圆的方程；即由于圆心在极坐标系下为)4,1(πA ，则在直角坐标系下圆心)22,22(A ，半径1=r ，所以圆的直角坐标方程为：1)22()22(22=-+-y x ，整理得：y x y x 2222+=+，因为=x θρcos ， =y θρsin ，代入直角坐标方程得)4cos(2sin 2cos 22πθρθρθρρ-=+=化简得： )4cos(2πθρ-= 【设计意图】掌握极坐标方程与直角坐标方程的转化，进一步认识极坐标系． 活动③ 巩固基础，检查反馈 例1 极坐标方程2πρ=表示( )A ．直线B ．射线C ．圆D ．椭圆 【知识点】曲线与极坐标方程．【解题过程】44,222222ππρπρ=+∴=∴=y x ，所以曲线表示的是圆． 【思路点拨】通过转化为直角坐标方程来判断． 【答案】C同类训练 极坐标方程)(21sin R ∈=ρθ表示的曲线是( ) A ．两条相交直线 B ．两条射线 C ．一条直线 D ．一条射线 【知识点】曲线与极坐标方程． 【解题过程】∵sin θ＝21，∴)(26Z k k ∈+=ππθ或)(265Z k k ∈+=ππθ,又∵R ∈ρ，∴)(21sin R ∈=ρθ表示两条相交直线． 【思路点拨】通过极坐标方程来判断． 【答案】A例2 把下列直角坐标方程化成极坐标方程．（1）0132=--y x （2）0222=++y y x （3）1022=-y x【知识点】直角坐标方程化成极坐标方程．【解题过程】（1）由=x θρcos ，=y θρsin ，代入直角坐标方程0132=--y x 得，01sin 3cos 2=--θρθρ，即01)sin 3cos 2(=--θθρ（2）由上同理可得：θρsin 2-= （3）102cos 2=θρ 【思路点拨】利用直角坐标与极坐标互化公式求解．【答案】（1）01)sin 3cos 2(=--θθρ；（2）θρsin 2-=；（3）102cos 2=θρ同类训练 把下列极坐标方程化为直角坐标方程． （1） 2sin =θρ （2） θθρsin 4cos 2-= 【知识点】直角坐标方程与极坐标方程互化．【解题过程】（1）由=x θρcos ， =y θρsin ，代入极坐标方程2sin =θρ得，2=y ，即02=-y （2）由θθρsin 4cos 2-=，等式两边同乘以ρ得θρθρρsin 4cos 22-=，所以y x y x 4222-=+，即：5)2()1(22=++-y x【思路点拨】极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如θρsin ，θρcos ，2ρ的形式，进行整体代换．【答案】（1）02=-y ； （2）5)2()1(22=++-y x .【设计意图】巩固极坐标方程的求解、判断以及直角坐标方程与极坐标方程的互化． ●活动4 强化提升、灵活应用例3 已知直线的极坐标方程为22)4sin(=+πθρ，求点)47,2(πA 到这条直线的距离．【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程22)4sin(=+πθρ化为直角坐标方程，得：1=+y x .把点A 的极坐标)47,2(π化为直角坐标，得：)2,2(-在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点A 到直线的距离222122=--=d ，所以点)47,2(πA 到直线22)4sin(=+πθρ的距离为22． 【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题． 【答案】22． 同类训练 求极点到直线2)cos (sin =-θθρ的距离． 【知识点】极坐标与直角坐标互化、点到直线的距离．【解题过程】以极点为直角坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线的极坐标方程2)cos (sin =-θθρ化为直角坐标方程，得：2=-x y . 把极点的极坐标)0,0(化为直角坐标，得：)0,0(在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式，得点A 到直线的距离22200=--=d ，所以极点到直线2)cos (sin =-θθρ的距离为2． 【思路点拨】把极坐标问题转化为直角坐标系中问题． 【答案】2． 3.课堂总结 知识梳理（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程．（2）求曲线的极坐标方程的一般步骤：①建立适当的极坐标系，设),(θρM 是曲线上任意一点．②连接OM ,根据几何条件建立关于极径ρ和极角θ之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程．④检验并确认所得方程即为所求．若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．（3）若0<ρ，则0>-ρ，我们规定点),(θρM 与),(θρ-P 关于极点对称． 重难点归纳（1）求解平面曲线的极坐标方程时,就要找极径ρ和极角θ之间的关系式,常用解三角形(正弦定理,余弦定理)的知识以及利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．（2）极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验． （三）课后作业 基础型 自主突破1．经过极点，从极轴到直线l 的夹角是4π的直线l 的极坐标方程是（ ）A ．)0(4≥=ρπθ B ．4πρ=C ．)0(4>=ρπθ D ．)(4R ∈=ρπθ【知识点】极坐标方程．【解题过程】将直线l 画在极坐标系中，易得选项D 正确. 【思路点拨】根据根据图像进行判断． 【答案】D ．2．直线33x －y ＝0的极坐标方程(限定ρ≥0)是( ) A ．θ＝π6 B ．θ＝76π C ．θ＝π6和θ＝76πD ．θ＝56π【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化． 【解题过程】由33x －y ＝0，得33ρcos θ－ρsin θ＝0，即tan θ＝33，∴θ＝π6和θ＝76π．又ρ≥0，因此直线的方程可以用θ＝π6和θ＝76π表示 【思路点拨】极坐标方程与直角坐标方程互化． 【答案】C3．极坐标方程cos θ(ρ≥0)表示的曲线是( )．A ．余弦曲线B ．两条相交直线C ．两条射线D ．一条射线 【知识点】极坐标方程的求解．【解题过程】∵cos θ，∴θ＝4π±＋2k π(k ∈Z )．又∵ρ≥0，∴cos θ表示两条射线． 【思路点拨】利用三角函数图像可得． 【答案】C ．4．圆的极坐标方程ρ＝cos θ－2sin θ对应的直角坐标方程为( )A.45)1()21(22=+++y xB.45)1()21(22=++-y xC.45)1()21(22=-+-y xD.45)1()21(22=-++y x【知识点】极坐标方程与直角坐标方程互化．【解题过程】θρθρρθθρsin 2cos ,sin 2cos 2-=∴-= ，所以y x y x 222-=+即45)1()21(22=++-y x ，所以选B.【思路点拨】利用极坐标与直角坐标互化公式求解． 【答案】B ．5．极坐标系内，点)2,1(π到直线ρcos θ＝2的距离是________．【知识点】极坐标与直角坐标的转化．【解题过程】点)2,1(π的直角坐标为(0，1)，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，故点(0，1)到直线x ＝2的距离是d ＝2.【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解． 【答案】2．6．在极坐标系中，A ，B 分别是直线3ρcos θ－4ρsin θ＋5＝0和圆ρ＝2cos θ上的动点，则A ，B 两点之间距离的最小值是________．【知识点】直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离． 【数学思想】分类讨论思想．【解题过程】：由题意，得直线的平面直角坐标方程为3x －4y ＋5＝0，圆的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，则圆心(1，0)到直线的距离d ＝|3×1－4×0＋5|32＋42＝85，所以A ，B 两点之间距离的最小值为d －r ＝85－1＝35．【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解． 【答案】 35． 能力型 师生共研7．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( )A.)2,1(πB.)23,1(π C ．)0,1(D ．),1(π【知识点】极坐标与直角坐标互化、圆的标准方程．【解题过程】由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为)23,1(π. 【思路点拨】极坐标问题转化为直角坐标问题来求解． 【答案】B ．8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为1)3cos(=-πθρ，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 【知识点】极坐标与直角坐标互化、极坐标方程．【解题过程】 (1)由1)3cos(=-πθρ，得1)sin 23cos 21(=+θθρ又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋32y ＝1， 即x ＋3y －2＝0.当θ＝0时，ρ＝2，∴点M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，∴点N )2,332(π.(2)由(1)知，M 点的坐标(2,0)，点N 的坐标)332,0(. 又P 为MN 的中点， ∴点P )33,1(，则点P 的极坐标为)6,332(π. 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． 【思路点拨】把极坐标化为直角坐标求解． 【答案】(1)M (2,0)，N )2,332(π；(2) θ＝π6(ρ∈R ) 探究型 多维突破9．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为22)4cos(=-πθρ，曲线C 的极坐标方程为),2(sin 4⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππθθρ，求直线l 与曲线C 的交点的极坐标．【知识点】极坐标方程的应用． 【数学思想】分类讨论的思想．【解题过程】由⎪⎩⎪⎨⎧=-=22)4cos(sin 4πθρθρ 得：1sin cos sin 2=+θθθ，即：θθθ2cos cos sin = （1）当0cos =θ时，即2πθ=时，4=ρ（2）当0cos ≠θ时，即2πθ≠时，此时θθcos sin =，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈=ππθθ,21tan ，所以不成立. 交点极坐标为)2,4(π【思路点拨】类比直角坐标系，联立方程组求解．【答案】)2,4(π．10．已知椭圆的中心在坐标原点O ，椭圆的方程为：12222=+b y a x ，B A ,分别为椭圆上的两点，且OB OA ⊥. （1）求证：2211OB OA +为定值；（2）求AOB ∆面积的最大值和最小值．【知识点】极坐标方程的应用．【解题过程】将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得（ρcos θ）2a 2＋（ρsin θ）2b 2＝1，即ρ2＝a 2b 2b 2cos 2θ＋a 2cos 2 θ，由于OA ⊥OB ，可设A (ρ1，θ1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ1＋π2，则ρ21＝a 2b 2b 2cos 2 θ1＋a 2sin 2 θ1，ρ22＝a 2b 2b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2 θ1.于是1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝b 2cos 2θ1＋a 2sin 2 θ1＋b 2sin 2 θ1＋a 2cos 2θ1a 2b 2＝a 2＋b 2a 2b 2.所以1|OA |2＋1|OB |2为定值．(2)解析：依题意得到S △AOB ＝12|OA ||OB |＝12ρ1ρ2＝ 12·a 2b 2（b 2cos 2θ1＋a 2sin 2θ1）（b 2sin 2θ1＋a 2cos 2θ1）＝12·a 2b 2（a 2－b 2）2sin 22θ14＋a 2b 2，当且仅当sin 22θ1＝1，S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2；当sin 22θ1＝0，S △AOB 有最大值为ab 2. 【思路点拨】由于涉及到长度，所以将椭圆直角坐标方程转化为极坐标方程求解．【答案】（1）1|OA |2＋1|OB |2=a 2＋b 2a 2b 2；（2）S △AOB 有最小值为a 2b 2a 2＋b 2，S △AOB有最大值为ab2. 自助餐1．过点)4,2(πA 且平行于极轴的直线的极坐标方程是（ ）A ．2sin =θρB ．2sin =θρC ．2cos =θρD ．2cos =θρ【知识点】极坐标方程的求解．【解题过程】如图所示，如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)(ρ≥0)，过Mx 轴于H .⎭⎪⎫2，π4，在直线l 上任意取点),(θρM ，过M 作x MH ⊥轴于H ，)4,2(πA 24sin 2==∴πMH ，,sin sin Rt OMH MH OM θρθ∴∆=∴=，所以，选B【思路点拨】利用根据所给的几何条件，寻找θρ,的关系式． 【答案】B ．2．极坐标方程分别是ρ=cos θ和ρ=sin θ的两个圆的圆心距是( ) A.22B.2C.1D.2 【知识点】极坐标与直角坐标互化、两圆的关系．【解题过程】:将方程化为直角坐标方程.因为ρ不恒为零,可以用ρ分别乘方程两边,得ρ2=ρcos θ和ρ2=ρsin θ.∴x 2+y 2=x 和x 2+y 2=y .它们的圆心分别是(21,0)、(0,21),圆心距是22.【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解． 【答案】A ．3．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝2sin θ上的两点A ，B 对应的极角分别为2π3，π3，则弦长|AB |＝________．【知识点】极坐标与直角坐标互化、两点间的距离． 【解题过程】A ，B 两点的极坐标分别为)3,3(),32,3(ππ，化为直角坐标为)23,23(),23,23(-.故3)2323()2323(22=-+--=AB 【思路点拨】先化为直角坐标方程，在按直角坐标求解． 【答案】3．4．曲线θ＝0，θ＝π3(ρ≥0)和ρ＝4所围成图形的面积是__________． 【知识点】极坐标与直角坐标的互化、扇形的面积． 【数学思想】数形结合的思想【解题过程】将极坐标方程化为直角坐标系下的方程，分别为射线)0(3,0≥==x x y y ，圆1622=+y x ，他们围成的是一个圆心角为3πθ=，半径为4=r 的扇形，所以38212πθ==r S ． 【思路点拨】先化为直角坐标方程，再在直角坐标系中画出相应的图形可得．【答案】38π． 5．把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化：(1)x 2＋(y －2)2＝4； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)ρ＝4；【知识点】极坐标与直角坐标互化．【解题过程】(1)∵x 2＋(y －2)2＝4，∴x 2＋y 2＝4y ，代入x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得ρ2－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.(2)∵ρ＝9(sin θ＋cos θ)，∴ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)， ∴x 2＋y 2＝9x ＋9y ，即281)29()29(22=-+-y x(3)∵ρ＝4，∴ρ2＝42，∴x 2＋y 2＝16.【思路点拨】用公式x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2进行直角坐标方程与极坐标方程的互化即可．【答案】（1）ρ＝4sin θ；（2）281)29()29(22=-+-y x ；（3）x 2＋y 2＝16．6．在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标为θ＝π4(ρ∈R)，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积 【知识点】极坐标与直角坐标互化、三角形的面积．【解题过程】：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.【思路点拨】根据极坐标与直角坐标互化公式求解，且把两圆画在极坐标系中，利用ρ的几何意义求三角形的面积．【答案】（1）C 1 ρcos θ＝－2，C 2 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0；（2）12.。
高二数学选修4-4教案04圆锥曲线的统一极坐标方程
圆锥曲线的统一极坐标方程教学目标掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．教学重点：圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．教学难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．教学疑点：双曲线左支所对应的θ范围，双曲线的渐近线的极坐标方程．活动设计：1．活动：思考、问答、讨论．2．教具：尺规、挂图．教学过程：一、问题引入大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义．学生1答：列定点F(焦点)的距离与列定直线l(准线)的距离比是一个常数e(离心e∈(0，1)时椭圆，e∈(1，f∞)时双曲线，e=1时抛物线．二、数学构建建立统一方程在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程．过F作FK⊥l于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系．设M(ρ，θ)是曲线上任一点，连MF，作MA⊥l于A，MB⊥l于B(如图3-24)．|FK|=常数，设为p．∵|MA|=|BK|=|KF|+|FB|，∴|MA|=p+ρcosθ．这就是圆锥曲线统一的极坐标方程．三、知识理解对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思考讨论并深入了解下述几个要点：(1)必须以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点，Ox轴方向向右，尚若Ox方向向左，其方程如何？(讨论后)学生2答：无需重新求方程，只须两个极坐标系Ox与Ox′之间的坐标关系作坐标转换(图3-25)．(2)根据统一的极坐标方程，由几何条件求出e、p后即可写出曲线的极坐标方程，这要明确e、p的几何意义分别是离心率和焦准距(ep为有关几何量e，p，a，b，c？(讨论后)学生3答：此式为统一极坐标方程的标准式得到一个二元一次方程组，使问题的计算得以简化．e∈(0，1)时，表椭圆．e=1时，表抛物线．e∈(1，+∞)时，表双曲线．但注意到，e＞1时，1-ecosθ≤0关于θ有解，而ep＞0，这样ρ＜0，甚至无意义．前面学过，通常情况下，ρ≥0，这就似乎出现矛盾，如何解决这一矛盾？(讨论后)学生4答：(如图3-26)上面推导统一方程过程中，当m在左支时，|MA|=|BK|=此时方程与右支的情况不同．这时，若设θ=θ′+π，ρ′=-ρ，上述推导与分析实际上是：若射线OP与双曲线有两个交点；当视θ=∠xOP时，则ρ＞0(∵cosθ＜0)，此时所表点是右支上的点；当视θ=∠xOP-π时，则ρ＜0，此时所表点是左支上的点．综上知，e＞1时，统一极坐标方程所表双曲线情况是：若ρ＞0，即1-ecosθ＞0，则表右支；若ρ＜0，即1-ecosθ＜0，则表左支；取θ∈[0，2π)，则θ范围所对曲线如下：线左支；条渐近线．如图3-27所示，只有掌握这一对应关系，才能在有关计算中不会造成混乱和错误．四、应用举例线交椭圆于M、N两点，设∠F2F1M=θ(0≤θ＜π)，求θ的值，使|MN|等于短轴长．解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系椭圆的极坐标方程为设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则五、课堂小结(1)三种圆锥曲线的统一极坐标方程，常数的几何意义．(2)曲线的极坐标方程求法，根据极坐标方程确定a、b、c的注意点及进行有关计算．(3)双曲线左、右支所对的ρ及θ的范围．六、布置作业1．第二教材．2．选择题：线方程是(C) A ．ρcosθ=1 B ．ρcosθ=2(2)椭圆、双曲线、抛物线三条曲线的焦点是极点(椭圆左焦点和双曲线右焦点)，它们的图形如图3-28所示，则图中编号为①、②、③的曲线应分别是(D)．A ．椭圆、双曲线、抛物线B ．抛物线、椭圆、双曲线C ．椭圆、抛物线、双曲线D ．双曲线、抛物线、椭圆双曲线θρcos 5115-=的两渐近线的夹角是 。
高二数学选修4-4~4.2.2(3) 圆锥曲线极坐标的统一形式
＝ 2 a cos( )
负极径：
根据极径定义，极径是距离，当然是正的。 极径是负的，等于极角增加 。负极径的 负用来表示方向，比较看来，负极径比正极 径多了一个操作，将射线OP反向延长。而 反向延长可以说成旋转 ，因此，所谓负 极径实质是管方向的。这与数学中通常的习 惯一致，用负表示方向。
5 3 2 cos
B 的长轴长是____ C 9 D 12
A 3
B 6
Hale Waihona Puke 另解：Ox
极坐标小结
M ( , )
O
x
设 M 是平面内一点，极点 OM 叫做点 M 的极径，记为 为始边，射线 M 的极角，记为 M 的极坐标，记做
O 与点 M 的距离
；以极轴 Ox
OM 为终边的 xOM 叫做点
3
cos 方程为＿＿＿＿＿＿＿3
练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线 （１） ＝２cos( (2) (3)
4
)
＝cos(
3
- )
＝3 sin
(4) ＝６
课堂小结
三种圆锥曲线的统一定义为：
平面内，到一个定点（焦点F）和一条定直线 （准线L)的距离之比等于常数（离心率e）的点的轨迹。 若设定点F到定直线L的距离为p，则可求到定点F和定 直线L的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。
三种圆锥曲线的统一的极坐标方程: 如图建立坐标系， 设圆锥曲线上任一点 ， 由定义知
, 平面内
( , ) 表示 , 同时极坐 .
标 ( , ) 表示的点也是唯一确定
x cos ， y sin
由①又可得到下面的关系式：
选修4-4曲线极坐标方程-教案
简单曲线的极坐标方程【教学目标】1.掌握极坐标方程的意义2.能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程3.通过观察圆的极坐标方程的推导过程，体会圆的极坐标方程的简介美【重难点分析】;教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解【教学方法】引导发现、讲授【教学过程】1.导入问题设置1、直角坐标系中怎样描述点的位置#2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义怎样3、直角坐标系的建立可以求曲线的方程；极坐标系的建立是否可以求曲线方程2、极坐标方程的概念引例如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(,)满足的条件:[解] 设M (,)是圆上O、A以外的任意一点，连接AM，则有，OM=OAcosθ，所以，ρ＝2acosθ.[思考] 曲线上的点的坐标都满足这个方程吗定义：一般地，在极坐标中，如果一条曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程),(=θρf,并且坐标适合0),(=θρf的点都在曲线C上，那么这个方程称为这条曲线C的极坐标方程，这条曲线C称为这个极坐标方程的曲线。
[注] 1.定义中的所涉及到的两个方面.2.极坐标系下求曲线方程的步骤：Step1找到曲线上点满足的几何条件；Step2 几何条件坐标化；$Step3 化简.例1 已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单[分析]建系；设点M（ρ，θ）；列式OM＝r，即：ρ＝r.)[思考] 和直角坐标方程222ryx=+相比较，此方程有哪些优点[变式练习] 求下列圆的极坐标方程(１)中心在Ｃ(a,0)，半径为a；(２)中心在(a,/2)，半径为a；答案：(1)＝2acos (2) ＝2asin例2．（备选）（1）化在直角坐标方程0822=-+yyx为极坐标方程，&（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-=为直角坐标方程。
【精品教学设计】高二数学(人教版)选修4-4教案：《第7节 常用曲线的极坐标方程》教案
第7节：常用曲线的极坐标方程（2）教学目的：知识目标：进一步学习在极坐标系求曲线方程能力目标：求出并掌握圆锥曲线的极坐标方程教学重点：圆锥曲线极坐标方程的统一形式教学难点：方程中字母的几何意义授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：问题情境情境1：直线与圆在极坐标系下都有确定的方程，我们熟悉的圆锥曲线呢？情境2：按通常情况化直角坐标方程为极坐标方程会得到让人满意的结果吗？学生回顾：1．求曲线方程的方程的步骤2．两种坐标互化前提和公式3．圆锥曲线统一定义二、讲解新课：1、圆锥曲线的统一方程设定点的距离为P，求到定点到定点和定直线的距离之比为常数e的点的轨迹的极坐标方程。
分析：①建系②设点③列出等式④用极坐标ρ、θ表示上述等式，并化简得极坐标方程说明：⑴为便于表示距离，取F为极点，垂直于定直线l的方向为极轴的正方向。
⑵e表示离心率，P表示焦点到准线距离。
2、例题讲解例1．2003年10月15—17日，我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点（离地面最近的点）和远地点（离地面最远的点）距离地面分别为200km和350km，然后进入距地面约343km的圆形轨道。
若地球半径取6378km，试写出神舟五号航天飞船运行的椭圆轨道的极坐标方程。
例2．求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。
变式训练设P 、Q 是双曲线)0(12222b a by a x <<=-上的两点，若OQ OP ⊥。
求证：22||1||1OQ OP +为定值；三、巩固与练习已知抛物线x y 42=的焦点为F 。
（1）以F 为极点，x 轴正方向为极轴的正方向，写出此抛物线的极坐标方程；（2）过取F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，若|AB |＝16，运用抛物线的极坐标方程，求直线l 的倾斜角。
苏教版数学高二-【备课学案】 选修4-4学案 4.2曲线的极坐标方程的意义
第04课时曲线的极坐标方程的意义一、要点讲解1．极坐标方程的意义：2．简单图形的极坐标方程：3．极坐标方程与直角坐标方程的互化：二、知识梳理1．曲线的极坐标方程：一般地，如果________________________________________________；反之，_______________________________，那么这个方程称为_____________________，这条曲线称为__________________________．2．求曲线极坐标方程的基本步骤与直角坐标系中求曲线方程的基本步骤相同，即：(1)___________________；(2)_______________________；(3)________________________；(4)___________________； (5)_______________________．三、例题讲解例1 求经过点(3,0)A且与极轴垂直的直线l的极坐标方程．例2 求圆心在(3,0)A且过极点的圆A的极坐标方程．例3 如图，AB是半径为1的圆的一条直径，C是此圆上异于A在AC上存在点P，使得AP·AC = 1．试建立适当的极坐标系，并求动点P在所建立的坐标系下的方程．例4 (1)化直角坐标方程0x=为极坐标方程；(2)化直角坐标方程2280x y y+-=为极坐标方程；(3)化极坐标方程cos()33πρθ-=为直角坐标方程；(4)化极坐标方程6cos()3πρθ=-为直角坐标方程．四、巩固练习1．已知方程(,)0fρθ=是曲线C的极坐标方程，那么点(,)Pρθ的坐标适合方程是点P在曲线C上的___________条件．2．画出极坐标方程(0)4πθρ=≥和()4πθρ=∈R表示的图形．3． 按下列条件写出直线l 的极坐标方程：(1)经过极点，且极轴绕极点逆时针旋转到直线l 的最小正角是6π；(2)经过点(2,)4A π，且垂直于极轴的直线l ；(3)经过点(3,)3B π-，且平行于极轴的直线l ；(4)经过点(4,0)C ，且倾斜角是34π的直线l ．4． 按下列条件写出圆的极坐标方程：(1)以(2,0)为圆心，2为半径的圆；(2)以(4,)2π-为圆心，4为半径的圆；(3)以(5,)π为圆心，且过极点的圆；(4)以)4π为圆心，1为半径的圆．5． 在极坐标系中，点P 到极点的距离等于它到点(2,0)Q 的距离，求动点P 的轨迹的极坐标方程．。
高二数学 4-4第一章坐标系全部教案
表示方法？（3）、坐标不唯一是由谁引起的？（4）、不同的极坐标是否可以写出统一
表达式。约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。
变式训练 ：在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2 ）C（3， ）D（5， 4 ）E（3， 5 ）F（4， ）G（6， 5 ）
2
3
6
3
例 2 在极坐标系中，
特别强调：由极径的意义可知 ≥0;当极角 的取值范围是[0,2 )时,平面上的 点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极 径 =0,极角是任意角. 3、负极径的规定：在极坐标系中，极径 允许取负值，极角 也可以去任意的正角 或负角，当 ＜0 时，点 M （，）位于极角终边的反向延长线上，且 OM= 。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
（二）、平面直角坐标轴中的伸缩变换
1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变 x 轴或 y 轴的单位长度，将会对图形
产生影响。
2、探究：(1)在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标 x
π 3
<0，解得 k=-1,
= 3
-2 =- 5 , 点 A 的坐标为（5，- 5 ）.
3
3
变式训练：1、若 ABC的的三个顶点为 A(5, 5 ), B(8, 5 ),C(3, 7 ),判断三角形的形状.
2
6
6
答案：正三角形。2、若 A、B 两点的极坐标为 (1,1), (2 ,2 ) 求 AB 的长以及 AOB 的 面积。（O 为极点）
高中数学圆锥曲线统一的极坐标方程直线和圆的极坐标方程备课资料北师大版选修4_4
2.3 直线和圆的极坐标方程2. 4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程教学建议1.通过例题分析,使学生掌握曲线的直角坐标方程和极坐标方程的转化技巧.2.借助于易错辨析使学生明确求解极坐标问题时应注意的事项.3.直角坐标系内曲线和极坐标系内曲线的区别(1)在直角坐标系内,一条曲线如果有方程,那么曲线和它的方程是一一对应的(解集完全相同且互相可以推导的等价方程,只看作一个方程).但在极坐标系内,虽然一个方程只能与一条曲线对应,但一条曲线却可以与多个方程对应.例如方程ρ1=1和ρ2=-1表示的是同一个圆,所以曲线和它的方程不是一一对应的.(2)在直角坐标系内,曲线上每一点的坐标一定适合它的方程,但在极坐标系内,曲线上一点的所有极坐标不一定都适合方程.例如给定曲线ρ=θ,设点P的一个极坐标为,那么点P适合方程ρ=θ,从而是曲线上的一个点,但点P的另一个极坐标就不适合方程ρ=θ了.所以在极坐标系内,某一个点P在某一曲线C上,当且仅当点P的极坐标中至少有一个适合曲线C的方程.备选习题1.已知A,B两点的极坐标分别为,求|AB|和△AOB的面积.(其中O点为极点)解:在△AOB中,A,B两点的极坐标可写为,∴OA,OB的长度分别为3,5,夹角为∠AOB=π-π.∴|AB|2=|OA|2+|OB|2-2|OA||OB|cos∠AOB=34+15.∴|AB|=.S△AOB=·|OA|·|OB|sin∠AOB=×3×5×sinπ=.2.在△ABC中,AB=6,AC=4,当∠A变化时,求∠A的平分线与BC的垂直平分线的交点P的轨迹.提示:由于本题中涉及变化的角度问题,因此可用建立极坐标系的方法求解,求解时列式的关键是点P在BC的垂直平分线上.解:如图,以A为极点,射线AB为极轴建立极坐标系,设P(ρ,θ),则|AP|=ρ.∵AP为∠BAC的平分线,∴∠BAP=∠PAC=θ.∵|AB|=6,|AC|=4,由余弦定理知|PC|2=|AP|2+|AC|2-2|AP|·|AC|cosθ=ρ2+42-8ρcosθ,|PB|2=|AP|2+|AB|2-2|AP|·|AB|cosθ=ρ2+62-12ρcosθ.∵P在线段BC的垂直平分线上,∴|PB|=|PC|.∴ρ2+16-8ρcosθ=ρ2+36-12ρcosθ.∴ρcosθ=5.。
苏教版高中数学选修4-4课件 4.2.2 圆锥曲线的统一极坐标方程及应用(2)课件
线的离心率．如果该常数不是 1，一定要将其转化为 1，再去
课
堂 互 动
判别，例如方程 ρ＝2－c4os θ的离心率不是 1，其不表示抛物
课 时 作
探
业
究
线，将方程变形为
ρ＝1－412×co12s
，则 θ
e＝12，表示椭圆．
菜单
SJ ·数学 选修4-4
课
2．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲 当
前
当 堂
自
双
主 导 学
例1
已知 A、B 为椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)上两点，
基 达 标
OA⊥OB(O 为原点)．
课 堂 互
求证：O1A2＋O1B2为定值．
课 时
动
作
探
业
究
菜单
SJ ·数学 选修4-4
课
当
前 自
堂
【自主解答】 以 O 为极点，x 轴正方向为极轴，长度 双
主
基
导 学
单位不变建立极坐标系，则 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，代入ax22＋by22
SJ ·数学 选修4-4
课
当
前 自
第 2 课时 圆锥曲线的统一极坐标方程及应用
堂 双
主
基
导
达
学
课前自主导学
标
1.掌握极坐标系中圆锥曲线的方程．
课
2.会求简单的圆锥曲线的极坐标方程．
堂 互
课标解读 3.感受在极坐标系中椭圆、双曲线、抛物线方程的
课 时
动
作
探 究
完美统一.
业
菜单
SJ ·数学 选修4-4
课 堂
用抛物线的极坐标方程，求直线 l 的倾斜角．
高中北师大版数学选修4-4教学案...
⾼中北师⼤版数学选修4-4教学案... 2019新版⾼中北师⼤版数学选修4-4教学案：第⼀章曲线的极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的互化圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程[对应学⽣⽤书P12]曲线的极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合．②极坐标系中的极轴与直⾓坐标系中的x 轴的正半轴重合．③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式： x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，错误!(3)圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程为：ρ＝.ρ＝1和ρ＝－1是同⼀个圆的极坐标⽅程，那么，该圆对应的直⾓坐标⽅程也有两个吗？提⽰：唯⼀的⼀个，x2＋y2＝1.[对应学⽣⽤书P13][例(1)x ＋y ＝0；(2)x2＋y2＋2ax ＝0(a≠0)；(3)(x －5)2＋y2＝25.[思路点拨] 本题考查极坐标与直⾓坐标互化公式的应⽤及转化与化归思想，解答此题，需要将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，及x2＋y2＝ρ2代⼊直⾓坐标⽅程，再化简即可．[精解详析] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊x＋y＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ.∴tan θ＝－1.∴θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．综上所述，直线x＋y＝0的极坐标⽅程为θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊x2＋y2＋2ax＝0得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2acos θ)＝0.∴ρ＝－2acos θ.∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标⽅程为ρ＝－2acos θ.(3)(x－5)2＋y2＝25，即：x2＋y2－10x＝0.把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代⼊上式得：ρ2－10ρcos θ＝0.即ρ＝0或ρ＝10cos θ.∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cos θ上，∴所求圆的极坐标⽅程为ρ＝10cos θ.将直⾓坐标⽅程化为极坐标⽅程，只需将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代⼊化简即可，但化简时要注意变形的等价性．1．把圆的直⾓坐标⽅程(x－a)2＋(y－b)2＝r2化为极坐标⽅程．解：把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊⽅程(x－a)2＋(y－b)2。
高二数学北师大版选修4-4《极坐标系的概念》教案
石泉中学课时教案 一、 情境导入
如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？
该位置唯一确定吗？
（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
二、自主学习（预习教材P 8~ P 9，找出疑惑之处）
1、极坐标的概念
1、如右图，在平面内取一个定点O ，叫做 ；自极点O 引一条射线 Ox ，叫做 ；再选定一个 ，一个 （通常取 ） 及其 （通常取 方向），这样就建立了一个 。
如图：
2、设M 是平面内一点，极点O 与M 的距离||OM 叫做点M 的 ，记为 ； 以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的 ，记为 。
有序数对 叫做点M 的 ，记作 。
),(θρM
● ρ θ O x
特别规定：
当M 在极点时，它的极坐标ρ= ，θ可以取任意值.
3、思考：
如何做点）？，（），，（ππ-2-6
-2B A 三、典型例题
题型一：已知点的极坐标在极坐标系里描出点的位置
例1． 在极坐标系中描出下列各点：
).6
75.3(),345(),23(),62()0,4(ππππ，，，，，E D C B A 题型二：已知极坐标系点的位置写出点的极坐标
例2.在极坐标系中，请写出点A ，B ，C 的极坐标。
四、课堂小结
你今天主要学习了什么？都有哪些收获？。
苏教版高二数学选修4-4 曲线的极坐标方程 学案
4.2 曲线的极坐标方程1．极坐标方程与曲线在极坐标系中，曲线可以用含有ρ，θ这两个变量的方程φ(ρ，θ)＝0来表示．如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下关系：(1)曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．2．直线的极坐标方程直线l 经过极点，倾斜角为α，则直线l 的极坐标方程是θ＝α(ρ∈R )． 3．圆的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是ρ＝r ；(2)圆心在(a,0)(a ＞0)，半径为a 的圆的极坐标方程是ρ＝2a cos θ. 预习交流1．求曲线的极坐标方程的步骤是什么？提示：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上的任意一点；(2)由曲线上的点所满足的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式f (ρ，θ)＝0；(3)将列出的关系式f (ρ，θ)＝0进行整理，化简，得出曲线的极坐标方程；(4)证明所得的方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略．2．直角坐标与极坐标互化时的注意事项有哪些？ 提示：(1)两组公式是在三个条件规定下得到的；(2)由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但一般约定只在规定范围内求值； (3)由直角坐标方程化为极坐标方程，最后要化简；(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端．一、极坐标方程和直角坐标方程的互化将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化． (1)x 2＋y 2＝4；(2)(x －1)2＋(y ＋2)2＝4；(3)ρ＝3cos θ；(4)ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝4得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4，即ρ2＝4. (2)将(x －1)2＋(y ＋2)2＝4展开得x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1.将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1，得(ρcos θ)2－2ρcos θ＋(ρsin θ)2＋4ρsin θ＝－1，化简，得ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋1＝0.(3)因为ρ＝3cos θ，所以ρ2＝3ρcos θ，即x 2＋y 2＝3x .(4)由ρ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θsin π4＝22cos θ＋22sin θ. 整理，得ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2＝22x ＋22y ，即x 2－22x ＋y 2－22y ＝0.化圆的直角坐标方程x 2＋y 2－2ax ＝0(a ≠0)为极坐标方程．解：将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－2ax ＝0得ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－2aρcos θ＝0，即ρ＝2a cos θ(a ≠0)．所以所求极坐标方程为ρ＝2a cos θ(a ≠0)．极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上点的位置的方法，都是研究平面图形的重要工具．在进行极坐标方程与直角坐标方程互化时，除了正确使用互化公式外，还要注意变形的等价性．二、求直线的极坐标方程设P ⎝⎛⎭⎫2，π4，直线l 过P 点且倾斜角为3π4，求直线l 的极坐标方程． 思路分析：设M (ρ，θ)(ρ≥0)是直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，构造三角形求OM .解：如图所示，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线l 上除P 点外的任意一点，极点为O ，连接OM ，OP ，该直线交Ox 于点A ，则有|OM |＝ρ，|OP |＝2，π4MOP θ∠=-，π2OPM ∠=， 所以|OM |cos ∠MOP ＝|OP |，即πcos 24ρθ-=，即πcos 24ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，显然点P 也在这条直线上． 故所求直线的极坐标方程为πcos 24ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.求过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的方程．解：如图，设M (ρ，θ)为直线上除A (2,0)外的任意一点，连接OM ，则△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，∴|OM |cos θ＝|OA |，即ρcos θ＝2.显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2， ∴所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.在极坐标系中，求直线的极坐标方程的一般方法为：设M (ρ，θ)为直线上任意一点，极点为O ，连接OM ，构造出含有OM 的三角形，再找出我们需求的ρ与θ的关系，即为直线的极坐标方程．也可以先求出直角坐标方程，再化为极坐标方程．三、求圆的极坐标方程求以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．解：如图所示，由题设可知，这个圆经过极点，圆心在极轴上，设圆与极轴的另一个交点是A ，在圆上任取一点P (ρ，θ)，连接OP ，P A ，在Rt △OP A 中，|OA |＝8，|OP |＝ρ，∠AOP ＝θ， ∴|OA |·cos θ＝ρ，即8cos θ＝ρ，即ρ＝8cos θ就是圆C 的极坐标方程．从极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程并把它化为直角坐标方程．解：方法一：如图，圆C 的圆心C (4,0)，半径r ＝|OC |＝4，连接CM.∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上． ∴动点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ. ∵ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，故(x －2)2＋y 2＝4为所求的直角坐标方程． 方法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)． N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1(*)．∵M 是ON 的中点， ∴112,,ρρθθ=⎧⎨=⎩将它代入(*)式得2ρ＝8cos θ，故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ. ∵ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x ，故(x －2)2＋y 2＝4为所求的直角坐标方程．在极坐标系中，求圆的极坐标方程时，关键是找出曲线上的点满足的关系，将它用坐标表示并化简，得到ρ和θ的关系，即为所求极坐标方程．1．在极坐标系中，过点M ⎝⎛⎭⎫2，π2，且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________． 答案：ρsin θ＝2(ρ≥0)解析：如图，设P (ρ，θ)(ρ≥0)为所求直线上任意一点，在Rt △OMP 中，()πcos 202ρθρ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，即ρsin θ＝2(ρ≥0)．2．极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是__________． 答案：两条射线y ＝±x (x ≥0)解析：∵cos θ＝22，∴ρcos θ＝22ρ.两边平方，得x 2＝12(x 2＋y 2)，即y ＝±x .又∵ρ≥0，∴ρcos θ＝x ≥0. ∴y ＝±x (x ≥0)表示两条射线．3．在极坐标系中，圆心在点⎝⎛⎭⎫a ，π2(a ＞0)处，且过极点的圆的极坐标方程是__________． 答案：ρ＝2a sin θ(0≤θ≤π) 解析：如图所示，圆与射线OP 的交点为π2,2P a ⎛⎫⎪⎝⎭，在圆上任取一点M (ρ，θ)，连接OM 和MP ，则有OM ⊥MP ，在Rt △MOP 中，由Rt △MOP 的边角关系可得π2cos 2sin 2a a ρθθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(0≤θ≤π)．4．直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4化为极坐标方程为__________． 答案：ρ＝4sin θ 解析：x 2＋(y －2)2＝4可化为x 2＋y 2＝4y ，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4ρsin θ，化简得ρ＝4sin θ.5．从原点O 引直线交直线2x ＋4y －1＝0于点M ，P 为射线OM 上一点，已知|OP |·|OM |＝1.求P 点的轨迹的极坐标方程．解：以O 为极点，x 轴正方向为极轴建立极坐标系，直线2x ＋4y －1＝0的方程可化为2ρcos θ＋4ρsin θ－1＝0，设M (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，则2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝θ0，ρ0·ρ＝1，知⎩⎪⎨⎪⎧θ0＝θ，ρ0＝1ρ. 代入2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0，得2×1ρcos θ＋4×1ρsin θ－1＝0，整理，得ρ＝2cos θ＋4sin θ.所以P 点的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ.。
选修4-4曲线极坐标方程-教案
选修4-4曲线极坐标方程-教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN简单曲线的极坐标方程【教学目标】1.掌握极坐标方程的意义2.能在极坐标中求直线和圆的极坐标方程3.通过观察圆的极坐标方程的推导过程，体会圆的极坐标方程的简介美【重难点分析】教学重点：直线和圆的极坐标方程的求法教学难点：对不同位置的直线和圆的极坐标方程的理解【教学方法】引导发现、讲授【教学过程】1.导入问题设置1、直角坐标系中怎样描述点的位置？2、曲线的方程和方程的曲线（直角坐标系中）定义怎样？3、直角坐标系的建立可以求曲线的方程；极坐标系的建立是否可以求曲线方程？2、极坐标方程的概念引例如图，在极坐标系下半径为a的圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任意一点，的极坐标(ρ,θ)满足的条件？[解] 设M (ρ,θ)是圆上O 、A 以外的任意一点，连接AM ，则有，OM=OAcos θ，所以，ρ＝2acos θ.[思考] 曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？定义：一般地，在极坐标中，如果一条曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ,并且坐标适合0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么这个方程称为这条曲线C 的极坐标方程，这条曲线C 称为这个极坐标方程的曲线。
[注] 1.定义中的所涉及到的两个方面.2.极坐标系下求曲线方程的步骤：Step1找到曲线上点满足的几何条件；Step2 几何条件坐标化；Step3 化简.例1 已知圆O 的半径为r，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？[分析] 建系；设点M （ρ，θ）；列式OM ＝r ， 即：ρ＝r.[思考] 和直角坐标方程222r y x =+相比较，此方程有哪些优点？[变式练习] 求下列圆的极坐标方程(１)中心在Ｃ(a ,0)，半径为a ；(２)中心在(a,π/2)，半径为a ；答案：(1)ρ＝2acos θ (2) ρ＝2asin θ例2．（备选）（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-= 为直角坐标方程。
高中数学选修4-4极坐标系的教学设计-Word版
课题极坐标系的概念（微课教案）一、教学背景（一）教学内容分析：本节内容选自《选修4-4》第一单元第二节，由于生活中的很多问题都是用方位角和距离来确定点的位置，再用直角坐标表示不太方便，从而建立极坐标系（二）学情分析：学生对直角坐标系已经有了系统的学习，而极坐标系对学生来说是个全新的概念二、教学目标：知识目标：理解极坐标的概念能力目标：能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
三、重难点：教学重点：理解极坐标的意义教学难点：能够在极坐标系中用极坐标确定点位置四、教学方法：启发、诱导发现教学.五、教学过程：（一）、新课导入：问题引出：看到极坐标系这个标题你能想到什么？（1）已经有了直角坐标系，为什么要引入极坐标系？（2）极坐标系与直角坐标系有什么不同？（3）如何建立极坐标系？（4）点的极坐标如何表示？（5）点的极坐标与点的直角坐标之间有什么联系和区别？情境导入：情境1：某人问路人，到某某学校怎么走？路人：从这里出发，向北走2000米思考：从路人的回答中，你发现路人告诉问路人几个问题？情境2：根据刚才的指路过程，回答以下问题：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
（1）他向东偏60°方向走120M 后到达什么位置？该位置唯一确定吗？（2）如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？问题1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎样的坐标系呢？ 问题2：如何刻画这些点的位置？这一思考，能让学生结合自己熟悉的背景，体会在某些情况下用距离与角度来刻画点的位置的方便性，为引入极坐标提供思维基础．（二）、讲解新课：从情镜2中探索出：在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。
这种用方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取逆时针方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。
圆锥曲线统一的极坐标方程
当e 1,
ep 1- e cos
为双曲线
双曲线右支 双曲线左支
（，2 -） （-，）
圆锥曲线统一的极坐标方程
课堂反思
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
圆锥曲线统一的极坐标方程
课后作业
习题1：判断方程 6 为哪类圆锥曲线？ 2 cos
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
谢谢
12/9/2020
圆锥曲线统一的极坐标方程
探究应用
例1：方程为 = 6 表示什么曲线？ 1 2 cos
变式：方程为= 5 表示什么曲线？ 3 2cos
分析：已知方程完全符合圆锥曲线极坐标方程 结构形式.因此判断可以寻找e.
分析：方程并非符合圆锥曲线统一极坐标方程 构造称为圆锥曲线的极坐标方程
ep 1 e cos
习题2：判断方程 5 为哪类圆锥曲线？ 3 3cos
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
圆锥曲线统一的极坐标方程
课后作业
习题1：判断方程 6 为哪类圆锥曲线. 2 cos
解析： e 1，该曲线为椭圆 2
习题2：判断方程 5 为哪类圆锥曲线？ 3 3cos
解析： e 1，该曲线为抛物线
sin2
江西省2020年春季延期开学期间线上教育课程
圆锥曲线统一的极坐标方程
温故知新
圆锥曲线
l
统一的名称：圆锥曲线
统一的方程：
思考一：能否找到统一的特征求出统一 的方程？
与一个定点的距离和一条定直线 （定点不在定直线上）的距离的比
等于常数e 的轨迹. 其中当e 1时，轨迹为抛物线
令e 1，直线l为定直线，F为定点，M 为动点 MF 为动点到定点的距离 MA 为动点到定直线的距离
高中数学选修4--4圆锥曲线参数方程的应用教案
第四课时 圆锥曲线参数方程的应用一、教学目标：知识与技能：利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题 过程与方法：选择适当的参数方程求最值。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：选择适当的参数方程求最值。
教学难点：正确使用参数式来求解最值问题三、教学模式：讲练结合，探析归纳四、教学过程：（一）、复习引入：通过参数θ简明地表示曲线上任一点坐标将解析几何中以计算问题化为三角问题，从而运用三角性质及变换公式帮助求解诸如最值，参数取值范围等问题。
（二）、讲解新课：例1、双曲线6sec ({x y ααα==为参数） 的两焦点坐标是 。
答案：（0，），（0，）。
学生练习。
例2、方程{t t t t x y e ee e --=+=-（t 为参数）的图形是 双曲线右支 。
学生练习，教师准对问题讲评。
反思归纳：判断曲线形状的方法。
例3、设P 是椭圆223641y x +=在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。
分析：本题所求的最值可以有几个转化方向，即转化为求,POA poB OAPB s s S ∆+∆的最大值或者求点P 到AB 的最大距离，或者求四边形OAPB 的最大值。
学生练习，教师准对问题讲评。
【θ=4π时四边形OAPB 的最大值，此时点P 为（，2）。
】（三）、巩固训练1、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（A ） A ．6π或65π B ．4π或43π C ．3π或32π D ．6π-或65π- 2、椭圆 12222=+by a x （0>>b a ）与x 轴正向交于点A ，若这个椭圆上存在点P ，使OP ⊥AP ，（O 为原点），求离心率e 的范围。
3、抛物线x y 42=的内接三角形的一个顶点在原点，其重心恰是抛物线的焦点，求内接三角形的周长。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 探索与研究 圆锥曲线的极坐标方程》
（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程．
常规方法:
（1）直线的方程为 ，其中 ．
联立 得 ．
解得 ， ．
因为 ，所以﹣1=22．即﹣ =2 ，
解得离心率 ．
故椭圆C的方程为 ．（12分）
利用结论:
小结:1该结论不是黑体字,选择填空直接用,大题得证明
2准线都在焦点左边,准线在焦点右边的情况还未探讨
3公式虽好,但只限制于过焦点的弦
作业：
1、人教B版2-3教材19页3、4、5、6、18页例1
2、（2021全国）过椭圆C： 右焦点F的直线交C于两点 ，且A不在轴上．
（Ⅰ）求 的最大值；
（Ⅱ）若 ，求直线的方程．
积极巩固
多种角度：1、利用第一定义解三角形余弦定理
2、利用第二定义和极坐标
其他方法课下探讨，课上略过
认真思考
大胆探索
温故知新
自主探究
合作交流
一个结论：椭圆、双曲线
，
抛物线
新定义：ρ，θ是曲线上任一点，则
自主探 究
成果展 示
归纳总结提升拓展
知识偏难
教师讲解
课堂练习：
1、判断下列曲线的形状
（1）
（2）
（3）
2、2021•辽宁）设椭圆C： 的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60°， ．
圆锥曲线的极坐标方程
知识目标
掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数
、N两点,
能否用字母 来表示 ,
2、设双曲线R： 的右焦点为F，离心率为 ，倾斜角为 （ ）的直线 过点F，直线 交双曲线R的右支于M、N两点,能否用字母 来表示 ,
苏教版数学高二 选修4-4学案 4.2.1 曲线的极坐标方程的意义
4.2.1 曲线的极坐标方程的意义1．理解曲线的极坐标方程的意义．2．掌握求曲线的极坐标方程的基本方法和一般步骤． 3．掌握曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．[基础·初探]1．曲线的极坐标方程一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程f (ρ，θ)＝0；并且，极坐标适合方程f (ρ，θ)＝0的点都在曲线上．那么这个方程称为这条曲线的极坐标方程，这条曲线称为这个极坐标方程的曲线．2．求曲线的极坐标方程的基本步骤(1)建系(建立适当的极坐标系)；(2)设点(在曲线上任取一点P (ρ，θ)，使点与坐标对应)；(3)列式(根据曲线上的点所满足的条件列出等式)；(4)化简(用极坐标ρ，θ表示上述等式，化简得极坐标方程)；(5)证明(证明所得的方程是曲线的极坐标方程)．3．直角坐标方程与极坐标方程的互化⎩⎨⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，或⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).[思考·探究]1．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的含义有什么不同？【提示】 由于平面上点的极坐标的表示形式不惟一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的惟一性明显不同．所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可．例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M (π4，π4)可以表示为(π4，π4＋2π)或(π4，π4－2π)或(－π4，5π4)等多种形式，其中，只有(π4，π4)的极坐标满足方程ρ＝θ.2．在极坐标系内，如何确定某一个点P 是否在某曲线C 上？【提示】 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一个坐标适合曲线C 的方程即可．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________求曲线的极坐标方程(1)求过点A (1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程；(2)在极坐标系中，求半径为r ，圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫r ，32π的圆的极坐标方程．【自主解答】 (1)如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4，∠OAM ＝3π4，∠OMA ＝π4－θ，在△OAM 中，由正弦定理得OM sin ∠OAM ＝OA sin ∠OMA， 即ρsin 3π4＝1sin (π4－θ)，所以ρsin(π4－θ)＝22，即ρ(sin π4cos θ－cos π4sin θ)＝22，化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1，经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(2)由题意知，圆经过极点O ，设OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，如图，则OA ＝2r ，连接AM ，则OM ⊥MA ，在Rt △OAM 中，OM ＝OA cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos(3π2－θ)，即ρ＝－2r sin θ，经验证，点O (0,0)，A (2r ，3π2)的坐标皆满足上式，所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－2r sin θ.[再练一题]1．(1)求从极点出发，倾斜角为π4的射线的极坐标方程．(2)在极坐标平面上，求圆心为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π3，半径为5的圆的方程． 【导学号：98990009】【解】 (1)设M (ρ，θ)是所求射线上的任意一点，则射线OM 就是集合ρ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫M ⎪⎪⎪ ∠xOM ＝π4.所以所求射线的极坐标方程是θ＝π4(ρ≥0)．(2)在圆上任取一点P (ρ，θ)，那么，在△AOP 中，OA ＝8，AP ＝5，∠AOP ＝π3－θ或θ－π3.由余弦定理得52＝82＋ρ2－2×8×ρ×cos(θ－π3)，即ρ2－16ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＋39＝0为所求圆的极坐标方程. 直角坐标方程与极坐标方程的互化(1)y 2＝4x ；(2)y 2＋x 2－2x －1＝0；(3)θ＝π3；(4)ρcos 2θ2＝1；(5)ρ2cos 2θ＝4；(6)ρ＝12－cos θ. 【自主解答】 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝4x ，得(ρsin θ)2＝4ρcos θ，化简得ρsin 2θ＝4cos θ.(2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＋x 2－2x －1＝0得(ρsin θ)2＋(ρcos θ)2－2ρcos θ－1＝0，化简得ρ2－2ρcos θ－1＝0.(3)tan θ＝y x .∴tan π3＝y x ＝3，化简得y ＝3x (x ≥0)．(4)∵ρcos 2θ2＝1.∴ρ1＋cos θ2＝1即ρ＋ρcos θ＝2. ∴x 2＋y 2＋x ＝2，化简得y 2＝－4(x －1)．(5)∵ρ2cos 2θ＝4，∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝4，∴x 2－y 2＝4.(6)∵ρ＝12－cos θ，∴2ρ－ρcos θ＝1， ∴2x 2＋y 2－x ＝1，化简得3x 2＋4y 2－2x －1＝0.[再练一题]2．进行直角坐标方程与极坐标方程的互化．(1)y ＝3x ；(2)x 2－y 2＝1；(3)ρcos θ＝2；(4)ρ＝2cos θ.【解】 (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝3x 得ρsin θ＝3ρcos θ，从而θ＝π3. (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2－y 2＝1，得ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1，化简，得ρ2＝1cos 2θ.(3)∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，是过点(2,0)且垂直于x 轴的直线．(4)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ，∴x 2＋y 2－2x ＝0，即 (x －1)2＋y 2＝1.故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆.极坐标方程的应用12(ρ＞0,0≤θ＜π)，求曲线C 1与C 2交点的极坐标．【思路探究】 联立两极坐标方程求解ρ、θ即为交点的极坐标．【自主解答】 联立方程组得 ⎩⎪⎨⎪⎧ ρcos θ＝3，ρ＝4cos θ，即4cos 2θ＝3， ∴cos θ＝±32.又∵0≤θ＜π，ρ＞0，∴θ＝π6.将θ＝π6代入方程组，得ρ＝23， ∴C 1与C 2交点的极坐标为(23，π6)．解决极坐标系中曲线问题大致有两种思路：①化方程为直角坐标方程再处理；②根据ρ、θ的几何意义，数形结合．[再练一题]3．在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ＋π4)＝32和ρsin 2θ＝8cos θ，直线l 与曲线C 交于点A 、B ，求线段AB 的长．【解】 直线l 与曲线C 的直角坐标方程分别是x －y ＝6和y 2＝8x .解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝6，y 2＝8x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝12，设A (2，－4)，B (18,12)，所以AB ＝(18－2)2＋(12－(－4))2＝16 2.[真题链接赏析](教材第32页习题4.2第5题)将下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1)ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝3；(2)ρ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6；(3)ρ2cos 2θ＝16；(4)ρ＝61＋2cos θ. 若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．【命题意图】 本题主要考查曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．【解析】 ∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝2y ＋4x ，即x 2＋y 2－2y －4x ＝0.【答案】 x 2＋y 2－2y －4x ＝01．在极坐标系中有如下三个结论：①点P 在曲线C 上，则点P 的极坐标满足C 的极坐标方程；②tan θ＝1(ρ∈R )和θ＝π4(ρ∈R )表示同一条曲线；③ρ＝1和ρ＝－1表示同一条曲线．其中正确的命题是________(填写相应的序号)．【解析】 在极坐标系中，曲线上的点的极坐标中必有满足曲线方程的坐标，但不一定所有坐标都满足极坐标方程，①错误；tan θ＝1(ρ∈R )和θ ＝π4(ρ∈R )均表示经过极点倾斜角为π4的直线，②正确；ρ＝1和ρ＝－1均表示以极点为圆心，1为半径的圆，③正确．【答案】 ②③2．在极坐标系中，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3且垂直于极轴的直线方程为________． 【导学号：98990010】【解析】 设直线与极轴的交点为A ，则OA ＝OP ·cos π3＝32，又设直线上任意一点M (ρ，θ)，则OM ·cos θ＝OA ，即ρcos θ＝32.【答案】 ρcos θ＝323．极坐标方程ρ＝1表示________．【解析】 由ρ＝1得ρ2＝1，即x 2＋y 2＝1，故表示圆．【答案】 圆4．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是________．【解析】 由ρ＝－2sin θ得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为(1，－π2)． 【答案】 (1，－π2)我还有这些不足：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_____________________________________________________(2)_____________________________________________________。
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圆锥曲线的统一极坐标方程
教学目标
掌握三种圆锥曲线的统一极坐标方程，了解统一方程中常数的几何意义．
会根据已知条件求三种圆锥曲线的极坐标方程，能根据圆锥曲线的统一极坐标方程进行有关计算．
通过建立三种二次曲线的统一极坐标方程，对学生进行辩证统一的思想教育．教学重点：
圆锥曲线统一的极坐标方程，会根据条件求出圆锥曲线的统一极坐标方程．
教学难点：运用圆锥曲线统一的极坐标方程解决有关计算问题．
教学疑点：双曲线左支所对应的θ范围，双曲线的渐近线的极坐标方程．
活动设计：
1．活动：思考、问答、讨论．
2．教具：尺规、挂图．
教学过程：
一、问题引入
大家已经学过，椭圆、双曲线、抛物线有两种几何定义，其中，第二定义把三种圆锥曲线统一起来了，请回忆后说出三种圆锥曲线的第二定义．
学生1答：
列定点F(焦点)的距离与列定直线l(准线)的距离比是一个常数e(离心
e∈(0，1)时椭圆，
e∈(1，f∞)时双曲线，
e=1时抛物线．
二、数学构建
建立统一方程
在极坐标系中，同样可以根据圆锥曲线的几何定义，求出曲线的极坐标方程．过F作FK⊥l于K，以F为极点，KF延长线为极轴，建立极坐标系．
设M(ρ，θ)是曲线上任一点，连MF，作MA⊥l于A，MB⊥l于B(如图3-24)．
|FK|=常数，设为p．
∵|MA|=|BK|=|KF|+|FB|，
∴|MA|=p+ρcosθ．
这就是圆锥曲线统一的极坐标方程．
三、知识理解
对圆锥曲线的统一极坐标方程，请思考讨论并深入了解下述几个要点：
(1)必须以双曲线右焦点和椭圆的左焦点为极点，Ox轴方向向右，尚若Ox方向向左，其方程如何？
(讨论后)学生2答：
无需重新求方程，只须两个极坐标系Ox与Ox′之间的坐标关系作坐标转换(图3-25)．
(2)根据统一的极坐标方程，由几何条件求出e、p后即可写出曲线的极坐标方程，这要明确e、p的几何意义分别是离心率和焦准距(ep为
有关几何量e，p，a，b，c？
(讨论后)学生3答：
此式为统一极坐标方程的标准式
得到一个二元一次方程组，使问题的计算得以简化．
e∈(0，1)时，表椭圆．
e=1时，表抛物线．
e∈(1，+∞)时，表双曲线．
但注意到，e＞1时，1-ecosθ≤0关于θ有解，而ep＞0，这样ρ＜0，甚至无意义．前面学过，通常情况下，ρ≥0，这就似乎出现矛盾，如何解决这一矛盾？
(讨论后)学生4答：
(如图3-26)上面推导统一方程过程中，当m在左支时，|MA|=|BK|=
此时方程与右支的情况不同．
这时，若设θ=θ′+π，ρ′=-ρ，
上述推导与分析实际上是：若射线OP与双曲线有两个交点；当视θ=∠xOP时，则ρ＞0(∵cosθ＜0)，此时所表点是右支上的点；当视θ=∠xOP-π时，则ρ＜0，此时所表点是左支上的点．
综上知，e＞1时，统一极坐标方程所表双曲线情况是：
若ρ＞0，即1-ecosθ＞0，则表右支；
若ρ＜0，即1-ecosθ＜0，则表左支；
取θ∈[0，2π)，则θ范围所对曲线如下：
线左支；
条渐近线．
如图3-27所示，只有掌握这一对应关系，才能在有关计算中不会造成混乱和错误．
四、应用举例
线交椭圆于M、N两点，设∠F2F1M=θ(0≤θ＜π)，求θ的值，使|MN|等于短轴长．解：以F1为极点，F1F2为极轴建立极坐标系
椭圆的极坐标方程为
设M(ρ1，θ)、N(ρ2，θ+π)，则
五、课堂小结
(1)三种圆锥曲线的统一极坐标方程，常数的几何意义．
(2)曲线的极坐标方程求法，根据极坐标方程确定a、b、c的注意点及进行有关计算．
(3)双曲线左、右支所对的ρ及θ的范围．
六、布置作业
1．第二教材．
2．选择题：
线方程是(C) A ．ρcosθ=1 B ．ρcosθ=2
(2)椭圆、双曲线、抛物线三条曲线的焦点是极点(椭圆左焦点和双曲线右焦点)，它们的图形如图3-28所示，则图中编号为①、②、③的曲线应分别是(D)．
A ．椭圆、双曲线、抛物线
B ．抛物线、椭圆、双曲线
C ．椭圆、抛物线、双曲线
D ．双曲线、抛物线、椭圆
双曲线θ
ρcos 5115
-=的两渐近线的夹角是 。
S2 3．过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点任作一弦AB，△OAB的面积为S，证明：
|
|
AB 为定值。
证明：以F为极点，极轴与x轴正向重合建立极坐标系．
六、板书设计
习题课：
1．点的极坐标的多值性：
在极坐标系内，怎样定义曲线的方程和方程的曲线？
极坐标平面内的方程φ (ρ，θ)＝0和曲线C如果满足：
1. 以方程φ(ρ，θ)＝0的解为坐标的点都在曲线C上；
2. 曲线C 上点的坐标中至少有一个满足方程φ(ρ，θ)＝0；
那么我们称方程φ(ρ，θ)＝0是曲线C 的极坐标方程，同时称曲线C 为极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线。
点P )3
,
3(π是否在曲线θρ2cos 12-=上？
2．极角应用的灵活性：
若椭圆的中心为O ，点P 、Q 、R 在椭圆上，且OP 、OQ 、OR 两两夹角均为︒120，
试证明：
2
22|
OR |1
|OQ |1|OP |1++为定值。
3．极径的负值性：
圆03)3
cos(22
=--
+πθρρ与直线3
2π
θ=
相交所得的弦长。
4．轨迹问题的求法
设∠AOB=)2
0(2π
αα<
<，P 为∠AOB 内一点，以O 、P 为相对顶点作平行四
边形PMON ，M 、N 分别为OA 、OB 上的点，若平行四边形PMON 的面积为定值2C ，求点P 的轨迹方程。
怎样从联系中来学习曲线的极坐标方程？
由于同一曲线的极坐标方程和直角坐标方程可以互化，这就使我们可以通过直角坐标方程来学习极坐标方程的曲线，并为我们提供了一种记忆曲线的极坐标方程的途径，从而放弃学习曲线的极坐标方程这种做法。
例如：极坐标方程ρsin θ＝－2等价于直角坐标方程y ＝－2，于是方程ρsin θ＝－2表示平行于极轴的直线；极坐标方程ρ＝－2sin θ等价于直角坐标方
程x 2＋y 2
＝－2y ，于是方程ρ＝－2sin θ表示圆心为
，半径为1的圆。
这样，
形如ρcos θ＝a ，ρsin θ＝a ，ρ＝acos θ，ρ＝2asin θ这样的极坐标方程所表示的曲线就不难掌握了。