排列与组合 1

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高中数学排列与组合练习 (1)

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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
(3)对于两个排列，只有各元素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是相同排列． (4)在定义中规定 m≤n，如果 m<n，这样的排列只是取一部分元素进行排列，称选排列；如果 m＝n，这样的排列是取出所有元素进行排列，称全排列． 2．排列数公式的特征 ①m 个连续自然数之积； ②最大数是 n，最小的是(n－m＋1)．
高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
1.2
第一课时
排列与组合
排列的概念及简单排列问题
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
1．排列一般地，从 n 个不同元素中，取出 m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列． 2．排列数从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数．用符号 Anm 表示．即：Anm＝n· (n－1)· …· (n－m＋1)．
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
【解析】
(1)乘法符合交换律与顺序无关，不是排列问题．
(2)上、下互换结果不一样，与顺序有关，是排列问题． (3)请同学们记住“正”的就是“正”的，正副不同，是排列问题． (4)“门”不同，先后也不一样，是排列问题．探究 1 排列的核心是 “ 顺序 ” ，有 “ 顺序 ” 就是排列问
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
画出树形图．
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高考调研 ·新课标 ·数学（选修2-3）
由“树形图”可知，所有坐法为 ABCD，ABDC，ACBD， ACDB， ADBC， ADCB， BACD， BADC， BCAD， BCDA， BDAC， BDCA， CABD， CADB， CBAD， CBDA， CDAB， CDBA， DACB， DABC，DBAC，DBCA，DCAB，DCBA. 【答案】 (1)123，132，213，231，312，321

3、组合数学第三章排列组合(1)

一次考试，问有多少种排法。
P（5，3）
（2）同（1），若不限制每天考试的次数，问有多少种排法？
53
例3.8 排列26个字母，使得在a 和 b之间正好有7个字母，问有多少种排法？
例3 用26个字母排列，是元音 a,e,i,o,u 组不相继出现，有多少种排法？
（1）排列所有辅音：P(21,21)=21！（2）在辅音前后的22个空档中排元音:
n2 +... + nk .
2若r=n,则N= n! ; n1 !n2 !...nk !
3若r < n且对一切i,i =1, 2,..., k,有ni ? r,则N=kr ; 4若r < n,且存在着某个ni < r,则对N没有一般的求解公式。
§3.5 多重集的组合
多重集S中r个元素进行无序选择，构成一个多重集的r-组合。篮子里有2个苹果，1个桔子，3个香蕉，篮子里的水果构成“多重集”。
解1 (1)任意坐： n=9! (2)不相邻：A先就坐，B不相邻：7 其余8人排序：8！ m=7*8！ (3) P=m/n=7*8!/9!=7/9
例6 10个人为圆桌任意就坐，求指定的两个人 A与B不相邻的概率。
解2 (1)任意坐： n=9! (2)A,B相邻：A先就坐，B左右相邻：2 其余8人排序：8！ k=2*8！ (3)不相邻：m=9!-2*8! (4) 两人不相邻的概率 P=m/n=（9!-2*8!)/9!=1-2/9=7/9
证明
(1) 从{ 1,2,…,n }中选出2-组合有
C
2 n
(2) 另一种选法：
最大数为k的2-组合共有k-1个，k=1,2,…,n
有加法原理，共有 0+1+2+…+(n-1) 个2-组合

【排列组合(9)】排列与组合综合(一)

排列与组合综合（1）一、选择题1.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案()A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种2.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有()种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 3603.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)等于()A. 16B. 313C. 59D. 234.已知某旅店有A，B，C三个房间，房间A可住3人，房间B可住2人，房间C可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有()A. 120种B. 81种C. 72种D. 27种5.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A. 192种B. 216种C. 240种D. 288种6.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作．将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种7.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为()A. 1080B. 480C. 1560D. 3008.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有()A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种9.若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是()A. 120B. 150C. 240D. 30010.将6本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有()A. 6B. 24C. 120D. 720二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）11.某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种．12.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为______．13.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有______种不同的涂色方法．14.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______ (用数字回答)三、解答题15.有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？16.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式⋅(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本;(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本;(3)平均分成三份，每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本;(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本;(7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．17.三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？(5)如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？18.晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：(1)3个舞蹈节目排在一起；(2)3个舞蹈节目彼此分开；(3)3个舞蹈节目先后顺序一定；(4)前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．19.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？20.用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：(1)能组成多少个没有重复数字的三位数？(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？(3)求2×3×4×6即144的所有正约数的和．(注：每小题结果都写成数据形式)排列与组合综合（1）一、选择题21.如图，花坛内有五个花池，有五种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种同种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则最多有几种栽种方案()A. 180种B. 240种C. 360种D. 420种【答案】D【解析】【分析】本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，相加即得所求．【解答】解：若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2、4两个花池栽同一种颜色的花；或者3、5两个花池栽同一种颜色的花，方法有2A54种，若5个花池栽了3种颜色的花卉，方法有A53种，故最多有A55+2A54+A53=420种栽种方案．故选D．22.甲、乙、丙等6人排成一排，且甲、乙均在丙的同侧，则不同的排法共有()种(用数字作答)．A. 720B. 480C. 144D. 360【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，比较基础．甲、乙、丙等六位同学进行全排，再利用甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23，即可得出结论．【解答】解：甲、乙、丙等六位同学进行全排可得A66=720种，∵甲乙丙的顺序为甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6种，∴甲、乙均在丙的同侧，有4种，∴甲、乙均在丙的同侧占总数的46=23，∴不同的排法种数共有23×720=480种．故选B．23. 篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球．某人从篮子中随机取出两个球，记事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)等于( )A. 16B. 313C. 59D. 23【答案】B【解析】【分析】本题考查组合数公式、古典概型和条件概率计算公式等知识，属于中档题．利用组合数公式与古典概型公式，分别算出事件A 发生的概率P(A)和事件A 、B 同时发生的概率P(AB)，再利用条件概率公式加以计算，即可得到P(B|A)的值．【解答】解：事件A 为“取出的两个球颜色不同”，事件B 为“取出一个红球，一个白球”， ∵篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球， ∴取出的两个球颜色不同的概率为P(A)=C 21C 31+C 21C 41+C 31C 41C 92=1318．又∵取出两个球的颜色不同，且一个红球、一个白球的概率为P(AB)=C 21C 31C 92=16，∴P(B|A)=P(AB)P(A)=161318=313．故选B ．24. 已知某旅店有A ，B ，C 三个房间，房间A 可住3人，房间B 可住2人，房间C 可住1人，现有3个成人和2个儿童需要入住，为确保安全，儿童需由成人陪同方可入住，则他们入住的方式共有( ) A. 120种 B. 81种 C. 72种 D. 27种【答案】D【解析】【分析】本题考查的是排列问题，并且元素的要求很多，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．安排住宿时要分四种情况，第一，三个大人一人一间，小孩在A 、B 两个房间排列，第二，三个大人一人一间，两个孩子在A 住，第三空出C 房间，两个大人住A ，一个大人住B ，两个大人住B ，列出算式，得到结果．【解答】解：由题意知：三个大人一人一间，小孩在A 、B 两个房间排列有A 33A 22=12种住法，三个大人一人一间，两个孩子在A 住有A 33=6种住法，空出C 房间，两个大人住A ，一个大人住B 有C 32A 22=6种住法，两个大人住B ，空出C 房间，有C 32种住法，综上所述共有12+6+6+3=27种住法．故选D ．25. 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( ) A. 192种 B. 216种 C. 240种 D. 288种【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．【解答】解：最左端排甲，共有A55=120种，最左端排乙，最右端不能排甲，有C41A44=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选B．26.世博会期间，某班有四名学生参加了志愿工作．将这四名学生分配到A、B、C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有()A. 36种B. 30种C. 24种D. 20种【答案】C【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合运用，属于中档题．根据题意中甲要求不到A馆，分析可得对甲有2种不同的分配方法，进而对剩余的三人分情况讨论，①其中有一个人与甲在同一个展馆，②没有人与甲在同一个展馆，易得其情况数目，最后由分步计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，首先分配甲，有2种方法，再分配其余的三人：分两种情况，①其中有一个人与甲在同一个展馆，有A33=6种情况，②没有人与甲在同一个展馆，则有C32·A22=6种情况；则若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有2×(6+6)=24种．故选C．27.某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为()A. 1080B. 480C. 1560D. 300【答案】C【解析】【分析】本题考查两种计数原理与排列组合知识的运用，属于中档题．先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，再把这4个组的人分给4个分厂，利用乘法原理，即可得出结论．【解答】解：先把6名技术人员分成4组，每组至少一人，若4个组的人数按3、1、1、1分配，则不同的分配方案有C63=20种不同的方法，若4个组的人数为2、2、1、1分配，则不同的分配方案有C62C422!·C212!=45种不同的方法，故所有的分组方法共有20+45=65种，再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有65×A44=1560种．故选C．28.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，在取出的3台中至少有甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有()A. 140种B. 80种C. 70种D. 35种【答案】C【解析】【分析】本题考查组合及组合数公式，考查两个计数原理的综合应用，是基础题．任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数．【解答】解：甲型电视机2台和乙型电视机1台，取法有C 42C 51=30种；甲型电视机1台和乙型电视机2台，取法有C 41C 52=40种；共有30+40=70种．故选C ．29. 若有5本不同的书，分给三位同学，每人至少一本，则不同的分法数是( )A. 120B. 150C. 240D. 300 【答案】B【解析】【分析】本题考查排列、组合的综合应用，属于中档题．根据题意，分2步进行分析：①:5本不同的书分成3组，②:将分好的三组全排列，对应3人，由排列数公式可得其情况数目，进而由分步计数原理计算可得答案【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①:将5本不同的书分成3组，若分成1、1、3的三组，有C 51C 41C 33A 22=10种分组方法；若分成1、2、2的三组，有C 51C 42C 22A 22=15种分组方法；则有15+10=25种分组方法；②，将分好的三组全排列，对应三人，有A 336种情况，则有25×6=150种不同的分法．故选：B ．30. 将6本不同的数学用书放在同一层书架上，则不同的放法有( )A. 6B. 24C. 120D. 720 【答案】D【解析】解：6本不同的数学用书，全排列，故有A 66=720种，故选：D ．本题属于排列问题，全排即可．本题考查了简单的排列问题，分清是排列和组合是关键，属于基础题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）31. 某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师去3个边远学校支教，每学校至少1人，其中甲和乙必须在同一学校，甲和丙一定在不同学校，则不同的选派方案共有______ 种．【答案】30【解析】【分析】本题考查了分类加法和分步乘法计数原理，关键是分类，属于中档题．甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案，再根据计数原理计算结果．【解答】解：因为甲和乙同校，甲和丙不同校，所以有2，2，1和3，1，1两种分配方案， ①2，2，1方案：甲、乙为一组，从余下3人选出2人组成一组，然后排列，共有：C 32A 33=18种；②3，1，1方案：在丁、戊中选出1人，与甲乙组成一组，然后排列，共有：C21A33=12种；所以，选派方案共有18+12=30种．故答案为30．32.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色.则不同取法的种数为______．【答案】544【解析】【分析】本题考查了组合知识，考查排除法求解计数问题，属于中档题．利用间接法，先选取没有条件限制的，再排除有条件限制的，问题得以解决．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有C163种取法，其中每一种卡片各取三张，有4C43种取法，故所求的取法共有C163−4C43=560−16=544种．故答案为544．33.用四种不同的颜色为正六边形(如图)中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂不同颜色，一共有______种不同的涂色方法．【答案】732【解析】【分析】本题考查排列组合中的涂色问题，考查分类思想的运用，尽可能多的分类能减少每一类的复杂程度，属于中档题．分三类讨论：A、C、E用同一颜色、A、C、E用2种颜色、A、C、E用3种颜色，利用分步计数原理，可得结论．【解答】解：考虑A、C、E用同一颜色，此时共有4×3×3×3=108种方法．考虑A、C、E用2种颜色，此时共有C42×6×3×2×2=432种方法．考虑A、C、E用3种颜色，此时共有A43×2×2×2=192种方法．故共有108+432+192=732种不同的涂色方法．故答案为732．34.用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______ (用数字回答)【答案】72【解析】【分析】用1、2、3、4、5组成无重复数字的五位奇数，可以看作是填5个空，要求个位是奇数，其它位置无条件限制，因此先从3个奇数中任选1个填入，其它4个数在4个位置上全排列即可．本题考查了排列、组合及简单的计数问题，此题是有条件限制排列，解答的关键是做到合理的分布，是基础题．【解答】解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排1，3，5中的一个数，共有3种排法，然后还剩4个数，剩余的4个数可以在十位到万位4个位置上全排列，共有A 44=24种排法．由分步乘法计数原理得，由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有3×24=72个．故答案为72．三、解答题35. 有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问：(1)共有多少种放法？(2)恰有一个空盒，有多少种放法？(3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？【答案】解：(1)本题要求把小球全部放入盒子， ∵1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2、3、4号小球也各有4种放法， ∴共有44=256种放法．(2)∵恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2．先从4个小球中任选2个放在一起，有C 42种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有A 43种放法．∴由分步计数原理知共有C 42·A 43=144种不同的放法．(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法： ①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C 41种分法，再放到2个盒子内，有A 42种放法，共有C 41·A 42种方法；②2个盒子内各放2个小球．先把4个小球平均分成2组，每组2个，有C 42A 22种分法，再放入2个盒子内，有A 42种放法，共有C 42A 22·A 42．∴由分类计数原理知共有C 41·A 42+C 42A 22·A 42=84种不同的放法．【解析】本题考查计数问题，考查排列组合的实际应用，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素．(1)本题要求把小球全部放入盒子，1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法，余下的2、3、4号小球也各有4种放法，根据分步计数原理得到结果．(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，与其他两个球看成三个元素，在三个位置排列． (3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球；2个盒子内各放2个小球.写出组合数，根据分类加法得到结果．36. 按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式⋅(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本;(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本; (3)平均分成三份，每份2本;(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本; (5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本;(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本; (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本．【答案】解：(1)无序不均匀分组问题．先选1本有C 61种选法；再从余下的5本中选2本有C 52种选法；最后余下3本全选有C 33种选法．故共有C 61C 52C 33=60(种)不同的分配方式； (2)有序不均匀分组问题．由于甲、乙、丙是不同三人，在第(1)题的基础上，还应考虑再分配，故共有C 61C 52C 33A 33=360(种)不同的分配方式； (3)无序均匀分组问题．先分三步，则应是C 62C 42C 22种方法，但是这里出现了重复．不妨记六本书为A ，B ，C ，D ，E ，F ，若第一步取了A ，B ，第二步取了C ，D ，第三步取了E ，F ，记该种分法为(AB,CD ，EF)，则C 62C 42C 22种分法中还有(AB 、EF 、CD)，(CD,AB ，EF)，(CD,EF ，AB)，(EF,CD ，AB)，(EF,AB ，CD)，共有A 33种情况，而这A 33种情况仅是AB ，CD ，EF 的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有C 62C 42C 22A 33=15(种)；(4)有序均匀分组问题．在第(3)题的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 62C 42C 22A 33·A 33=C 62C 42C 22=90(种)；(5)无序部分均匀分组问题．共有分配方式C 64C 21C 11A 22=15(种)；(6)有序部分均匀分组问题．在第(5)题的基础上再分配给3个人，共有分配方式C 64C 21C 11A 22·A 33=90(种)；(7)直接分配问题．甲选1本有C 61种方法，乙从余下5本中选1本有C 51种方法，余下4本留给丙有C 44种方法．共有分配方式C 61C 51C 44=30(种)．【解析】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查计算能力，理解能力.正确区分无序不均匀分组问题、有序不均匀分组问题、无序均匀分组问题，是解好组合问题的一部分．37. 三个女生和五个男生排成一排．(1)如果女生须全排在一起，有多少种不同的排法？(2)如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？(3)如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？(4)如果男生按固定顺序，有多少种不同的排法？(5)如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？【答案】解：(1)女须全排在一起，把3个女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和5个男生全排，故有A 33A 66=4320种；(2)女生必须全分开，先排男生形成了6个空中，插入3名女生，故有A 55A 63=14400种；(3)两端都不能排女生，从男生中选2人排在两端，其余的全排，故有A 52A 66=14400种；(4)男生按固定顺序，从8个位置中，任意排3个女生，其余的5个位置男生按照固定顺序排列，故有A 83=336种，(5)三个女生站在前排，五个男生站在后排，A 33A 55=720种【解析】本题考查排列的应用，相邻问题一般看作一个整体处理，不相邻，用插空法，属于中档题．根据特殊元素优先安排，相邻问题用捆绑，不相邻用插空法，即可求解．38. 晚会上有5个不同的歌唱节目和3个不同的舞蹈节目，分别按以下要求各可以排出多少种不同的节目单：(1)3个舞蹈节目排在一起；(2)3个舞蹈节目彼此分开；(3)3个舞蹈节目先后顺序一定；(4)前4个节目中既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目．【答案】解：(1)根据题意，3个舞蹈节目要排在一起，可以把三个舞蹈节目看做一个元素，三个舞蹈节目本身有A 33种顺序，再和另外5个元素进行全排列，则有A 66A 33=4320不同的节目单．(2)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列，有A 55A 63=14400不同的节目单．(3)8个节目全排列有A 88=40320种方法，其中三个舞蹈节目本身有A 33种顺序，若3个舞蹈节目先后顺序一定，则有A 88A 33=6720种不同排法． (4)∵8个节目全排列有A 88=40320种方法，若前4个节目中“既要有歌唱节目，又要有舞蹈节目”的否定是前四个节目全是唱歌有A 54A 44，∴前4个节目中要有舞蹈有A 88−A 54A 44=37440不同的节目单．【解析】(1)要把3个舞蹈节目要排在一起，则可以采用捆绑法，把三个舞蹈节目看做一个元素和另外5个元素进行全排列，不要忽略三个舞蹈节目本身也有一个排列．(2)3个舞蹈节目彼此要隔开，可以用插空法来解，即先把5个唱歌节目排列，形成6个位置，选三个把舞蹈节目排列．(3)使用倍分法分析：先求出8个节目全排列的排法数目，分析三个舞蹈节目本身的顺序，由倍分法计算可得答案，(4)先不考虑限制条件，8个节目全排列有A88种方法，前4个节目中要有舞蹈的否定是前四个节目全是唱歌有A54A44，用所有的排列减去不符合条件的排列，得到结果．本题考查排列、组合的应用，要掌握常见问题的处理方法，如相邻问题用捆绑法．39.在产品质量检验时，常从产品中抽出一部分进行检查．现在从98件正品和2件次品共100件产品中，任意抽出3件检查．(1)共有多少种不同的抽法？(2)恰好有一件是次品的抽法有多少种？(3)至少有一件是次品的抽法有多少种？(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有多少种不同的排法？3=161700种不同的抽【答案】解：(1)100件产品，从中任意抽出3件检查，共有C100法，(2)事件分两步完成，第一步从2件次品中抽取1件次品，第二步从98件正品中抽取2件正品，根据乘法原理得恰好有一件是次品的抽法有C21C982=9506种不同的抽法．3种不同的抽法，全是正品的抽法有(3)利用间接法，从中任意抽出3件检查，共有C100C983，则至少有一件是次品的抽法有C1003−C983=9604种不同的抽法．(4)恰好有一件是次品，再把抽出的3件产品放在展台上，排成一排进行对比展览，共有9506×6=57036种不同的排法．3种不同的抽法；【解析】(1)100件产品，从中任意抽出3件检查，共有C100(2)事件分两步完成，第一步从2件次品中抽取1件次品，第二步从98件正品中抽取2件正品，根据乘法原理计算求得；(3)利用间接法，从中任意抽出3件种数，排除全是正品的种数，得到至少有一件是次品的抽法种数；(4)在(2)的基础上，再进行全排，即可得出结论．本题考查计数原理及应用，考查排列组合的实际应用，解题时要认真审题．40.用数字0、2、3、4、6按下列要求组数、计算：(1)能组成多少个没有重复数字的三位数？(2)可以组成多少个可以被3整除的没有重复数字的三位数？(3)求2×3×4×6即144的所有正约数的和．(注：每小题结果都写成数据形式)【答案】【解答】解：(1)根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，有C41种选法，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，则十位和个位数字的组成共有A42种方法，故可以组成没有重复数字的三位数共有N1=C41A42=48个；(2)由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成．分4种情况讨论：①、三位数由2、4、0组成，首位数字有2、4两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；②、三位数由2、4、3组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；③、三位数由2、4、6组成，将3个数字全排列，排在百位、十位和个位，此时有A33种选法；④、三位数由0、3、6组成，首位数字有3、6两种情况，在剩下的3个数字中选取2个，排在十位和个位，此时共有C21A22种选法；共有N2=C21A22+2A33+C21A22=20个被3整除的没有重复数字的三位数，(3)根据题意，144=24×32，则144的所有正约数的和为N3=(1+2+22+23+24)(1+3+32)=403．【解析】【分析】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理、分类计数原理的应用，以及正确运用约数和公式．(1)根据题意，分2步进行分析：①、对于百位，百位数字只能是2、3、4、6中之一，②、百位数字确定后，在剩下的4个数字中选取2个，排在十位和个位，计算出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案；(2)由题意，能被3整除的且没有重复数字的三位数只能是由2、4、0或2、4、3或2、4、6或0、3、6组成，据此分4种情况讨论，求出每一步的选法数目，由分类计数原理计算可得答案；(3)根据题意，分析可得144=24×32，进而由约数和公式计算可得答案．。

组合数学课件--第一章第二节允许重复的组合与不相邻的组合

11
一、序数法
怎样建立a(3)a(2)a(1)p(1)p(2)p(3)p(4)
a(3) 确定4的位置,a(2)确定3的位置
a(1)确定2的位置,剩余的位置就是1的位置例3:021, 3 2 1 4 例3: 201, 2 4 1 3
12
一、序数法
求n个不同的数的全排列，主要有以下两步：
1、求出0到n!-1之间各数对应的序列{an-1, an-2,…, a1} m=an-1(n-1)!+an-2(n-2)!+…a2 * 2!+a1*1! 2、由{an-1, an-2,…, a1}确定排列序列p1p2…pn an-1,确定n的位置， an-2确定n-1的位置， ……………………… a1确定2的位置，剩下的是1的位置。
9
一、序数法
推论从0到n!-1的n!个整数与序列{an-1, an-2,…, a1} 一一对应。这里 0a1 1,0 a2 2, …, 0 an-1 n-1 算法: int a[]={0}; int m,n;// 0=<m<=n!-1 int b=m； int index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);
14
一、序数法
2、对于0,1,2,…,n!-1共n!个数求序列a[i]
for( i = 0; i < fact; i++ ) { int b=i, index =1; do { a[index]=b%(index+1); b = b/(index+1); index++; } while(b);

组合数学课件第一章第三节组合意义的解释

20
1.8：应用举例
(2)编码中的纠错功能
编码中的纠错功能是这样处理的，如果收到 a=a 1a 2…a n假设a 与a的汉明距离小于或等于r, 则认为a是由a的错误引起的，将它作为a处理。可能存在a与a和b的汉明距离都小于或等于r, 怎么才能避免这种情况呢？对编码有什么要求呢？
码b与码a之间的汉明距离要大于或等于2r+1.
(n+1,r)
(0,0)
(n,0)
12
1.7 组合的解释
1.35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m
1 0 2 0 3 1 … … m-2 m-1 m 1 0 0
没有0，C（m,0）
只有一个0，C（m,1）只有二个0，C（m,2） ……………….
M个全是0，C（m,m）
为
9999-6560=3449。
25
1.9 例题 1.15试求从1到1000的整数中，0出现的次数。解：先将1到999的整数都看作3位数,例如2就看作是002，这样从000到999。0出现了多少次呢？ 3×102，某一位取0，其它各位任取。 0出现在最前面的次数应该从中去掉 000到999中最左1位的0出现了102次， 000到099中左数第2位的0出现了10次， 000到009左数第3位的0出现了1次, 因此不合法的0的个数为 102+101+1=111，不合法的应该去掉，再加整数1000中的3个0，这样，从1到1000的整数中0出现的次数为3×102-111+6=195。
13
1.7 组合的解释 1.35 C(m,0)+C(m,1)+C(m,2)+…+C(m,m)=2m (0,m) (1,m-1)

第十章第二节排列与组合1

4 解析：可以分成两类计算，若甲排在第一位，则有A 4 种方案，若甲排
在第二位，则有C 1 A 3 种方案，所以按照要求该台晚会节目演出顺序的 3 3
4 编排方案共有A4＋C1A3＝42(种)． 3 3
答案： B
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2．(2012· 苏北四市联考)有3张都标着字母A,6张分别标
着数字1,2,3,4,5,6的卡片，若任取其中5张卡片组成
(3)Cm＋Cm－1＝ Cm＋1 n n n n，m∈N*且m≤n
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1．(教材习题改编)电视台在直播2012伦敦奥运会时要连续插播5个广告，其中3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的是奥运宣传广告，且2个奥运宣传广告不能连播．则不同的播放方式有
(
)
B．48 D．18
C．90
D．54 返回
[自主解答]
依题意得，这四项工作中必有一项工作有2人参与，就
司机这项工作的实际参与人数进行分类：第一类，司机这项工作的实际参与人数恰有1人，满足题意的方法有
1 1 C 3 · 3 · 2 · 1 ＝108(种)(注：C 3 表示从除甲、乙外的3人中任选1人从事司 C1 C4 C2 1 机工作的方法数；C 3 · 4 表示从除司机工作外的其余3项工作中任选定1 C2 1 项，让该项工作有2人从事的方法数；C 2 表示从余下的2人中选1人从事
6
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！) 1．(2012· 金华联考)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会
节目演出顺序的编排方案共有
A．36种 C．48种 B．42种 D．54种

高中数学排列与组合综合(一)排除法和均分除序讲义新人教A版选修2-3

排列与组合综合(一) ——排除法和平均分配金题精讲题一：一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了这串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为 .题二：(1)5×4的矩形网格，从左下角走到右上角，不走回头路，有多少种不同走法？题三：一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( )A.12种B. 15种C. 17种D.19种题四：4名男生， 3名女生站成一排，求甲不站在左端，乙不站在右端的不同的排法种数.题五：(1)4本不同的书平均分给甲乙两个人，每人2本，有多少种不同的分法？(2)4本不同的书平均分成两堆(或两组)，有多少种不同的分法？题六：6件不同的礼品，按下列要求，分别有多少种不同的分法？(1)分给甲乙丙3人，每人2件；(2)分给甲乙丙3人，一个人1件，一个人2件，一个人3件；(3)分给甲乙丙3人，甲1件，乙2件，丙3件；(4)分给甲乙丙3人，两个人各得1件，一个人得4件.题七：5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有多少种？排列与组合综合(一)——排除法和平均分配讲义参考答案金题精讲题一：220－1 题二：(1)126 (2)90 题三：D 题四：3720题五：(1) 6 (2) 3 题六：(1)90 (2) 360 (3) 60 (4) 90 题七：150中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

人教A版《排列与组合》PPT课件完美1

A．5
B．10
C．20
D．60
解析：共有 A25＝5×4＝20 种给法．
答案：C人教A版《排列与组合》P NhomakorabeaT课件完美1
人教A版《排列与组合》PPT课件完美1
探究一排列数公式的应用 [典例 1] (1)计算 2A34＋A44； (2)计算4AA8488－＋2AA59 85； (3)求 3Ax8＝4Ax9－1中的 x.
[双基自测]
1．下列问题属于排列问题的是( )
①从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地；
②从 10 个人中选 2 人去扫地；
③从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队；
④从数字 5,6,7,8 中任取两个不同的数作幂运算．
A．①④
B．①②
C．④
D．①③④
解析：由排列的定义可知，①④为排列问题．
－(15－m)＋1 个数相乘，因此若用一个排列数来表示，则其下标是 20－m，上标为 6，
即原式应为 A620－m.
答案：C
人教A版《排列与组合》PPT课件完美1
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探究二无限制条件的排列问题 [典例 2] 沪宁铁路线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的这六个大站准备(这六个大站间)________种不同的火车票？ [解析] 对于两个大站 A 和 B，从 A 到 B 的火车票与从 B 到 A 的火车票不同，因为每张车票对应于一个起点站和一个终点站．因此，每张火车票对应于从 6 个不同元素(大站)中取出 2 个元素(起点站和终点站)的一种排列．所以问题归结为求从 6 个不同元素中每次取出 2 个不同元素的排列数 A26＝6×5＝ 30(种)． [答案] 30

排列与组合[1].版块八.排列组合问题的常用方法总结2.学生版

1．基本计数原理⑴加法原理分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++种不同的方法．又称加法原理．⑵乘法原理分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．又称乘法原理．⑶加法原理与乘法原理的综合运用如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．2．排列与组合⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A mn 表示．排列数公式：A (1)(2)(1)m n n n n n m =---+，m n +∈N ，，并且m n ≤．全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=． ⑵组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取m 个元素的一个组合．组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C mn 表示．组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!mn n n n n m n m m n m ---+==-，,m n +∈N ，并且m n ≤．组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0C 1n =）知识内容排列组合问题的常用方法总结 2⑶排列组合综合问题解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：1．特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径：①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数．求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．2．具体的解题策略有：①对特殊元素进行优先安排；②理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；③对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；④对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑤顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；⑥对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．⑦对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．典例分析挡板法（名额分配或者相同物品的分配问题）【例1】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有种．【例2】某校准备组建一个由12人组成篮球队，这12个人由8个班的学生组成，每班至少一人，名额分配方案共种．【例3】 ()15a b c d +++有多少项？【例4】有20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子里，要求每个盒子内的球数不少编号数，问有多少种不同的方法？【例5】不定方程12350...100x x x x ++++=中不同的正整数解有组，非负整数解有组．【例6】 5个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少种不同的带法．【例7】将7个完全相同的小球任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【例8】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【例9】有10个三好学生名额，分配到高三年级的6个班里，要求每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案．【例10】某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班至少一个，名额分配方案共有_____种．【例11】10个优秀指标名额分配到一、二、三3个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？插空法（当需排的元素不能相邻时）【例12】从1231000，，，，个自然数中任取10个互不连续的自然数，有多少种不同的取法．【例13】某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为（）A．12B．16 C．24 D．32【例14】三个人坐在一排8个座位上，若每个人左右两边都有空位，则坐法种数为_______．【例15】要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，排法种数有____种．【例16】马路上有编号为l，2，3，……，10 十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法共有_____种．（用数字作答）【例17】为配制某种染色剂，需要加入三种有机染料、两种无机染料和两种添加剂，其中有机染料的添加顺序不能相邻．现要研究所有不同添加顺序对染色效果的影响，总共要进行的试验次数为．（用数字作答）【例18】一排9个座位有6个人坐，若每个空位两边都坐有人，共有______种不同的坐法．【例19】某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加．当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻．那么不同发言顺序的种数为（）A．360B．520C．600D．720【例20】在一个含有8个节目的节目单中，临时插入两个歌唱节目，且保持原节目顺序，有多少中插入方法？【例21】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．捆绑法（当需排的元素有必须相邻的元素时）【例22】4名男生和3名女生共坐一排，男生必须排在一起的坐法有多少种？【例23】四个不同的小球全部放入三个不同的盒子中，若使每个盒子不空，则不同的放法有种．【例24】某市植物园要在30天内接待20所学校的学生参观，但每天只能安排一所学校，其中有一所学校人数较多，要安排连续参观2天，其余只参观一天，则植物园30天内不同的安排方法有【例25】停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同型号的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法共有__________种．【例26】四个不同的小球放入编号为1234，，，的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有_______种．（用数字作答）除序法（平均分堆问题，整体中部分顺序固定，对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列．）【例27】6本不同的书平均分成三堆，有多少种不同的方法？【例28】6本书分三份，2份1本，1份4本，则有不同分法？【例29】用1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数中，⑴若偶数2，4，6次序一定，有多少个？⑵若偶数2，4，6次序一定，奇数1，3，5，7的次序也一定的有多少个？【例30】一天的课程表要排入语文，数学，物理，化学，英语，体育六节课，如果数学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？【例31】甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面．不同的安排方法共有（）A．20种B．30种C．40种D．60种【例32】某考生打算从7所重点大学中选3所填在第一档次的3个志愿栏内，其中A校定为第一志愿，再从5所一般大学中选3所填在第二档次的3个志愿栏内，其中，校必选，且B在C前，问此考生共有种不同的填表方法（用数B C字作答）．递推法【例33】一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？用转换法解排列组合问题【例34】某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．【例35】6个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．【例36】从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的取法．【例37】某城市街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少种．【例38】一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法．【例39】求()10++的展开式的项数．a b c【例40】亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？【例41】圆周上共有15个不同的点，过其中任意两点连一弦，这些弦在圆内的交点最多有多少个？11。

组合数学课件--第一章：排列与组合

1.3：排列与组合
1、排列的定义：设A={a1,a2,…,an}是n个不同的元素的集合，任取A中r个元素按顺序排成一列，称为从A中取r个的一个排列，r满足0≤r≤n。
(1) (2) (3) (…) (r)
从n个不同的球中取一个球放在第一个盒子中，从余下的n-1个球中取一个球放在第二个盒子中， ………………………………… 从余下的n-(r-1)个球中取一个放在第r个盒子中。根据乘法法则： 19 P(n,r)=n(n-1)…(n-r+1)=n!／(n-r)!
p2
2 a2
... pm
2 am
C (2a1 1,1) C (2a2 1,1) ... C (2am 1,1)
34
练习题
1.13、有n个不同的整数，从中取出两组来，要求第1组的最小数大于另一组的最大数。设取的第一组数有a个,第二组有b个,
要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m个数(设m=a+b),从大到小取a个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为C(n,m)。从m个数中取第一组数共有m-1中取法。 (m-1)C(n,m)
17
1.2 一一对应 1 2 5 任给一个序列B{b1,b2,b3,…,bn-2} 1、从A找到最小的不属于B的元素,设为a1,与b1连接，从A中去掉a1，从B中去掉b1. 2、重复以上过程只到B为空，A中剩余两个 3、连接剩余的两个顶点。
*
18
树的顶点集合为12345
3 4
这棵树对应序列（2，3，2）
****
2
(4)哪些最优？
选用教材
组合数学
(第四版) 卢开澄卢华明著
清华大学出版社

组合1排列组合

组合数学
帅天平
北京邮电大学数学系
Email: tpshuai@
第一章排列组合
1.1 加法法则与乘法法则 1.2一一对应 1.3排列与组合 1.4圆周排列 1.5排列的生成算法 1.6允许重复的组合与不相邻的组合 1.7组合意义的解释 1.8应用举例
1.1
加法法则与乘法法则1
[ 加法法则 ]
1.1
加法法则与乘法法则7
2)“含0”和“含1”不可直接套用。0019含1但不含0。在组合的习题中有许多类似的隐含的规定，要特别留神。不含0的1位数有9个，2位数有9 2个，3位数有93 个，4位数有9 4个不含0小于10000的正整数有
9+92 +9 3 +9 4 =(95 －1)/(9－1)=7380个
根据乘法法则得图案数为
20 ×6840=136800
1.3 排列与组合3
定义2 从 n 个不同元素中取 r 个不重复的元素
组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示。 C(n,r)=0,若n < r n 有的书上也用表示. r
1.2 一一对应2
• 例7 在100名选手之间进行淘汰赛(即一场的比
赛结果，失败者退出比赛),最后产生一名冠军，问要举行几场比赛？解一种常见的思路是按轮计场，费事。另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一对应。99场比赛。
1.2 一一对应3
• 例 8 CnH2n+2是碳氢化合物,随着n的不同有下列不同的枝链：
H | H—C—H | H—C—H | H H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H

第一讲排列与组合

第一讲排列与组合【基础知识】1）排列：一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序(或不同的位置)排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．注意：排列的定义中包含两个基本内容：一是“取出元素（不重复取）”；二是“选出的元素与顺序有关”2）从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数． 3) 排列数公式： 4) 全排列5）一般地，从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．6）排列与组合的共同点与不同点共同点:都要“从n 个不同元素中任取m 个元素”不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．排列与元素的顺序有关，而 7）组合数公式8）组合数的性质【典型例题】一、两个基本原理例1．由数字1,2,3,4（1）可以组成多少个3位数；（2）可组成多少个没有重复数字的三位数；（3）可组成多少个没有重复数字的三位数，且百位数字大于十位数字，十位数字大于个位数字。

例2.用5种不同的颜色给途中A 、B 、C 、D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？),(,*N n m n m A m n ∈≤、记为：)!(!)1()2)(1(n m n m m n n n n A m -=+---= 12)1(n ⋅-= n n A n m n n m n C C -=11-++=m nm n m n C C C 10=n C变式训练1：1. 五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方式的种数为多少？五名学生争夺四项比赛的冠军（冠军不并列），获得冠军的可能性有多少种？2. 将3种作物种植在如右图的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一作物，不同的种植方式有多少种？3. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方式有多少种？4. 如图，一个环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块地里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为多少种？5. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144二．排列与组合例3.甲、乙、丙、丁四名同学排成一排，分别计算满足下列条件的排列种数.(1) 甲不排在头、乙不在排尾；(2) 甲不在第一位，乙不在第二位，丙不在第三位，丁不在第四位；(3) 甲一定在乙的右端（可以不邻）.例4. 由数字0,1,2,3,4,5可组成（各位上的数字不允许重复）（1）多少个6位数；（2）多少个6位偶数；（3）多少个被5整除的五位数.变式训练2：1. 从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览。

高中数学第一章计数原理 1_2 排列与组合 1_2_2_1课件新人教A版选修2-3

(仿照教材P23例6的解析过程)
【解析】(1)从口袋里的8个球中任取5个球,不同取法的种数是
8 7 6 C C 56. 3 2 1 5个球,其中恰有一个红球, (2)从口袋里的8个球中任取
5 8 3 8
可以分两步完成: 第一步,从7个白球中任取4个白球,有第二步,把1个红球取出,有
主题2:组合数公式与组合数性质从1,3,5,7中任取两个相除,
1.可以得到多少个不同的商?
提示: =4×3=12个不同的商.
A
2 4
2.如何用分步乘法计数原理求商的个数? 提示:第1步,从这四个数中任取两个数,有
第2步,将每个组合中的两个数排列,有
步乘法计数原理,可得商的个数为
2 C2 A 4 2
4.计算
CA
3 4
3 3
=________.
3 3 3 4
【解析】
答案:24
C A A 4 3 2 24.
3 4
5.一个口袋里装有7个白球和1个红球,从口袋中任取5 个球. (1)共有多少种不同的取法? (2)其中恰有一个红球,共有多少种不同的取法?
(3)其中不含红球,共有多少种不同的取法?
C 28得
2 n
n n 1 2
=28,所以n=8或n=-7(舍).
2.给出下面几个问题,其中是组合问题的是 ①某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛;
(
)
②从1,2,3,4中选出2个数,构成平面向量a的坐标; ③从1,2,3,4中选出2个数分别作为实轴长和虚轴长,构
成焦点在x轴上的双曲线的方程;
4 种取法.C 7
种取法;
C1 1
故不同取法的种数是:
4 1 4 C7 C1 C7 C3 7 35. (3)从口袋里任取5个球,其中不含红球,只需从7个白球

第一章排列与组合

在气象学方面。他曾亲自组织人力进行过大气压和天气状况的观察
1691年，莱布尼茨致信巴本，提出了蒸汽机的基本思想。 1677年，莱布尼茨发表《通向一种普通文字》，以后他长时
期致力于普遍文字思想的研究，对逻辑学、语言学做出了一定贡献。今天，人们公认他是世界语的先驱
……………………
2020/4/23
一种常见的思路是按轮计场，费事。
另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一对应。99场比赛。
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组合数学-上海理工大学
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例10 设凸n边形的任意三条对角线不共点，求对角线在多边形内交点的个数。
可以先计算对角线的个数，然后计算交点，但是存在在多边形内无交点的情形，比较复杂。
可以考虑对应关系：多边形内交点to多边形四个顶点。
2020/4/23
组合数学-上海理工大学
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例6 (1) n=73*112*134，求除尽n的数的个数； (2) n=73*142，求除尽n的数的个数；
(1)4×3×5＝60；7 i 1 j 1 1 k 0 3 i 3 ,0 j 2 ;0 k 4 (2) 6×3＝18
例7 在1000和9999之间有多少每位上的数字均不同的奇数？
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组合数学-上海理工大学
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乘法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性质B 的事件有n个，则具有性质A和B的事件有mn个。
集合论语言：若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | aA,bB} , 则
| AB | = mn 。
例3 从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则从A经B到C有 32 = 6 条道路。
1646.7.1.—1716.11.14.）德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。

逻辑推理-排列和组合问题1

逻辑推理-排列和组合问题1逻辑推理-排列和组合问题1一．选择题（共12小题）1．用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次．将所有这些四位数从小到大排列，则排在第13个的四位数是（）A．4527 B．5247 C．5742 D．72452．在所有六位数中，各位数字之和等于52的六位数有（）A．2个B．12个C．21个D．31个3．甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（）A．B．C．D．4．某校某天上午要排数学、语文、外语、体育四节课的课表，数学只能排第一、二节，语文只能排第二、三节，外语必须排在体育前面，满足以上要求的课表排法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种5．电话号码由5位变成6位，可以增加（）个不同的号码．A．90万B．60万C．50万D．110万6．在体育活动中，初二（1）班的n个学生围成一圈做游戏，与每个学生左右相邻的两个学生的性别不同．则n的取值可能是（）A．43 B．44 C．45 D．467．有四对夫妇参加一次乒乓球单打训练，训练中某些人两两打球（夫妻之间不打球），训练完后，其中一位李先生打听其余每个人参加打球的次数，知他们打球的次数各不相同，则李夫人打球的次数为（）A．1B．3C．4D．68．在圆形的钥匙圈上挂了5把不同的钥匙，则不同顺序的排法有（）A．5种B．10种C．12种D．24种9．若（x2+x+1）6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a11+a9+a7+a5+a3+a1=（）A．364 B．365 C．730 D．72810．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=（）A．﹣1 B．1C．﹣243 D．24311．从装有7种颜色每色77个球的袋中摸球出来，摸时没法判断颜色，要确保摸出的球装满7盒，每盒7个球，盒中的球同色，则至少需要摸出（）个球．A．85 B．84 C．71 D．5012．现有1、2、3、4、5共五个数，从中取若干个数分给A、B两组，两组都不能放空，要使得B组中最小的数比A组中最大的数都大，则有（）种分配方法．A．44 B．49 C．51 D．32二．填空题（共18小题）13．某校6个班级举行象棋比赛，比赛规定每班各选出3人参加本班单循环赛，然后每班第一名代表该班参加全校的单循环赛，则共需要举行_________场比赛才能决出名次．14．红领巾春节慰问小组在确定敬老院的演出节目单时，遇到如下问题：除夕夜的演出有唱歌、舞蹈、杂技、小品4个节目．如果要求唱歌不排在第4个演出，舞蹈不排在第3个演出，杂技不排在第2个演出，小品不排在第1个演出．那么，满足上述要求的节目单，共有_________种不同的排法．15．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过_________次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．16．在4×4的正方形网格棋盘中，放入黑、白各一枚，共有_________种不同的放法．17．在±1±2±3±5±20中，适当选择+、﹣号，可以得到不同代数和的个数是_________．18．给你0、1、2、3，最多可组成_________个四位数．（注：各数位上的数字允许相同）19．有一人利用休假的四个城市a、b、c、d旅游，他今天在这个城市，明天又到另一个城市，请问该同志从a城出发5天后又回到a城的不同旅游线路有_________条．20．在平面上放置四个点，两两连接所成六条线段，其中最大线段长为1，最小线段长为a，则所有满足上述条件排布的四个点中，a所取的最大值是_________．21．将2个相同的黑球和11个相同的白球排在一个圆周上，共有_________种不同的排法．（旋转，翻转相同的方法算同一种）22．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A（10，0），B （0，10），C（﹣10，0），D（0，﹣10），则该正方形内及边界上共有_________个整点（即纵横坐标都是整数的点）．23．在表达式S=中，x1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列（即：x1、x2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数，且x1、x2、x3、x4互不相同）．则使S为实数的不同排列的种数有_________种．24．如图，数一数，图中共有多少个（包含大小不同的）正方形？答案_________．25．如下图，是用木条做成的小正方形窗格，一个小虫子从A点以最短距离沿窗格的木条爬行到B点，则有_________条不同的爬行路线．26．如图，图中平行四边形共有的个数是_________．27．用三个数码1和三个数码2可以组成_________个不同的四位数．28．从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有_________个．29．小张购买了同样件数的圆珠笔、铅笔和塑胶擦三种学习用具，各件用具的款式都不相同．如果小张能在同一年内每天都有不同样的圆珠笔、铅笔和塑胶擦配套使用，那么，他购买每种学习用具至少_________件．30．（x+y+z）4的乘积展开式中数字系数的和是_________．逻辑推理-排列和组合问题1参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次．将所有这些四位数从小到大排列，则排在第13个的四位数是（）A．4527 B．5247 C．5742 D．7245考点：排列与组合问题．专题：数字问题．分析：首先找到以2开头的四位数的个数，然后再找到以4开头的四位数的个数，这些数共有12个，则第13个数从5开头，找出这个最小的四位数即可．解答：解：千位上是2的四位数的个数有3×2×1=6个，千位上是4的四位数的个数有3×2×1=6个，即可知排在第13个四位数是千位上是5，又知这些从小到大排列，第13个数为5247，故选B．点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的关键是找到以2和4开头的四位数的个数，本题比较简单．2．在所有六位数中，各位数字之和等于52的六位数有（）A．2个B．12个C．21个D．31个考点：排列与组合问题．专题：计算题．分析：由已知此题属排列组合问题，各位数字之和为52，则六位数只能是5个9，1个7；或4个9，2个8两种情况，第一种情形，5个9有六个位置可以放置7，故有C（6，1）=6个；第二种情形，四个9有五个位置，若两个8 相邻，有C（5，1）=5个，不相邻有C（5，2）=10个，共15个，从而求出各位数字之和等于52的六位数有多少个．解答：解：若各位数字之和为52，则六位数只能是5个9，1个7；或4个9，2个8；所以共有C（6，1）+C（5，1）+C（5，2）=6+5+10=21，故选：C．点评：此题考查的知识点是排列与组合问题，关键是掌握两种情况：各位数字之和为52，则六位数只能是5个9，1个7；或4个9，2个8；运用排列组合公式计算．3．甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（）A．B．C．D．考点：排列与组合问题．分析：当甲乙丙丁四位同学任意站成一横排照相，共有4×3×2×1=24种方法，再固定甲乙相临且甲在乙左边，用“甲乙”表示，进一步讨论他们所在位置，求得站的方法解答问题即可．解答：解：四位同学任意的顺序站成一横排照相，共有P44=4×3×2×1=24种方法，因为甲乙相临且甲在乙左边，有下列情形：“甲乙”丙丁，“甲乙”丁丙，丙“甲乙”丁，丁“甲乙”丙，丙丁“甲乙”，丁丙“甲乙”共6种情况，所以恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是=．故选A．点评：此题主要利用排列组合的计算方法：从n个不同元素中，任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，共有P n m种方法．4．某校某天上午要排数学、语文、外语、体育四节课的课表，数学只能排第一、二节，语文只能排第二、三节，外语必须排在体育前面，满足以上要求的课表排法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种考点：排列与组合问题．专题：应用题．分析：易得体育只能在第4节，那么根据所给方案，进行排列，计算出总的排课方法即可．解答：解：第一节第二节第三节第四节数学语文外语体育或数学外语语文体育或语文数学语文体育共3种排课方法．故选C．点评：考查排列与组合方法的应用；判断出体育的位置是解决本题的突破点．5．电话号码由5位变成6位，可以增加（）个不同的号码．A．90万B．60万C．50万D．110万考点：排列与组合问题．专题：数字问题．分析：当电话5位时，号码的个数为10×10×10×10×10﹣1个，当电话位时，号码的个数为10×10×10×10×10×10﹣1个，由此解答问题．解答：解：当电话号码为5位字时，有号码105﹣1=99999个；当电话号码为6位字时，有号码106﹣1=999999个；号码增加了999999﹣99999=90万个．故选A．点评：此题考查排列与组合中的乘法原理，当电话号码n位时，每一个号码的位置都有10个数字可选，因此共有10n个不同的号码．6．在体育活动中，初二（1）班的n个学生围成一圈做游戏，与每个学生左右相邻的两个学生的性别不同．则n的取值可能是（）A．43 B．44 C．45 D．46考点：排列与组合问题．专题：应用题．分析：理解与每个学生左右相邻的两个学生的性别不同，可得这组学生数应为某个常数的倍数，据此解答即可．解答：解：假设有一个学生为男，那么他左边为男，则右边一定为女，这个女生的左边为男生，右边一定是女生，那么排列的可能为男，男，女，女，男，男，女，女，…∵每4个数为一组循环，∴这组学生数应为4的倍数，故选B．点评：考查排列与组合的应用；理解题意，得到相应的排列规律是解决本题的关键．7．有四对夫妇参加一次乒乓球单打训练，训练中某些人两两打球（夫妻之间不打球），训练完后，其中一位李先生打听其余每个人参加打球的次数，知他们打球的次数各不相同，则李夫人打球的次数为（）A．1B．3C．4D．6考点：排列与组合问题．专题：探究型．分析：构造八边形，求出八边形的边数及对角线条数，再去掉4条线段（夫妻之间不打球），即为四对夫妇的打球次数．再根据其余三对夫妇打球的次数各不相同，即可求出李夫人打球的次数．解答：解：构造正八边形，其对角线条数为=20条，其边数为8条，共计28条线段．由于4对夫妻之间不打球，故去掉4条线段，此次比赛共有24次．每对夫妇6次．∵3+3=6=1+5=2+4=6+0，又∵其余三对夫妇打球的次数各不相同，∴李夫人打球的次数为3次．故选B．点评：此题考查了排列与组合问题，将实际问题转化为多边形的边数与对角线条数问题是解题的关键．8．在圆形的钥匙圈上挂了5把不同的钥匙，则不同顺序的排法有（）A．5种B．10种C．12种D．24种考点：排列与组合问题．分析：正确区分5把不同的钥匙，在圆形圈上按不同顺序的排法，与在同一条直线上按不同顺序挂了4把的排法是相同的，由此找出问题的解决方案．解答：解：在圆形的钥匙圈上挂了5把不同的钥匙，相当于在同一条直线上按不同顺序挂了4把的排法是相同的，即有（5﹣1）!=4×3×2×1=24种排法．故选D．点评：此题考查排列与组合中的乘法原理，关键在于理解按不同方式、不同顺序的排法的区别与联系．9．若（x2+x+1）6=a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a11+a9+a7+a5+a3+a1=（）A．364 B．365 C．730 D．728考点：排列与组合问题．专题：计算题．分析：观察所求的式子，可令x=1得出a12+a11+a10+…+a1x+a0的值，令x=﹣1可求出a12﹣a11+a10﹣a9+…﹣a1+a0的值，两式相减可得出2（a11+a9+a7+a5+a3+a1）的值，从而可得出答案．解答：解：令x=1可得：a12+a11+a10+…+a1x+a0=36；令x=﹣1可得：a12﹣a11+a10﹣a9+…﹣a1+a0=1②；①﹣②得2（a11+a9+a7+a5+a3+a1）=728，即可得a11+a9+a7+a5+a3+a1=364．故选A．点评：此题考查了排列及组合的知识，技巧性较强，关键是观察题目所给的式子，利用赋值法得出要求式子的表示形式，难度一般．10．设（2x﹣1）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=（）A．﹣1 B．1C．﹣243 D．243考点：排列与组合问题．专题：计算题．分析：令x=﹣1，这样可直接得出所求式子的值．解答：解：令x=﹣1，则可得（﹣3）5=a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5，故可得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5=﹣243．故选C．点评：此题考查了排列组合的知识，技巧性比较强，关键是仔细观察题目，得出要求式子的特征，进而利用赋值法求解，有一定难度．11．从装有7种颜色每色77个球的袋中摸球出来，摸时没法判断颜色，要确保摸出的球装满7盒，每盒7个球，盒中的球同色，则至少需要摸出（）个球．A．85 B．84 C．71 D．50考点：排列与组合问题．专题：方案型．分析：由题意可知，只要够七个就能装一盒，最多13个同色的能装一盒，前6种取完后，第七种只要够7个就一定能完成任务．解答：解：前六种需要13×6=78个，第七种摸完7个不论是何种颜色都可以完成．78+7=85．故选A．点评：本题主要考查了排列组合问题，找出只能装一盒的最大数是解答本题的关键．12．现有1、2、3、4、5共五个数，从中取若干个数分给A、B两组，两组都不能放空，要使得B组中最小的数比A组中最大的数都大，则有（）种分配方法．A．44 B．49 C．51 D．32考点：排列与组合问题．分析：首先分别从若A中最大为1，2，3，4去分析，将每种情况下B的可能性再依次分析，即可求得答案．解答：解：∵①若A中最大为1，则A有1种，B可以1个数，则有4种，B可以2个数，则有6种，B可以3个数，则有4种，B可以4个数，则有1种，此时共有1×（4+6+4+1）=15（种）；②若A最大为2，则A有2种，B可以1个数，则有3种，B可以2个数，则有3种，B可以3个数，则有1种，此时共有2×（3+3+1）=14（种）；③若A中最大为3，若A中有1个数，则A有1种，若A中有2个数，则A有2种，若A中有3个数，则A有1种，则B可以1个数，则有2种，B可以2个数，则有1种，此时共有（1+2+1）×（2+1）=12（种）；④若A最大是4，则B有1种，若A中有1个数，则A有1种，若A中有2个数，则A有3种，若A中有3个数，则A有3种，若A中有4个数，则A有1种，此时共有（1+3+3+1）×1=8（种）；∴总共为15+14+12+8=49（种）．故选B．点评：此题考查了排列组合的问题．解题的关键是分类讨论思想的应用，注意要不重不漏．二．填空题（共18小题）13．某校6个班级举行象棋比赛，比赛规定每班各选出3人参加本班单循环赛，然后每班第一名代表该班参加全校的单循环赛，则共需要举行33场比赛才能决出名次．考点：排列与组合问题．专题：计算题．分析：首先求出各个班级内部比赛的总场次然后求出各个班级之间的比赛的场次，即可求出总场次．解答：解：每个班级内部各选出3人参加本班单循环赛需要3场比赛，故6个班级需要18场比赛，6个班级第一名代表该班参加全校的单循环赛需要场次为C62=15，故共需要举行比赛场次为15+18=33，故答案为33．点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的突破口是分别求出各个班级内比赛场数和各个班级之间比赛的场数，本题比较简单．14．红领巾春节慰问小组在确定敬老院的演出节目单时，遇到如下问题：除夕夜的演出有唱歌、舞蹈、杂技、小品4个节目．如果要求唱歌不排在第4个演出，舞蹈不排在第3个演出，杂技不排在第2个演出，小品不排在第1个演出．那么，满足上述要求的节目单，共有9种不同的排法．考点：排列与组合问题．专题：常规题型．分析：首先随意把一种排到一个位置上，有三种可能，然后安排第二个节目，也有三种可能性，再安排剩余两个节目时发现必然至少有一种和剩下的位置相矛盾，因此剩下的排法唯一，据此即可得到答案．解答：解：先随意把一种排到一个位置上，有三种可能．（比如唱歌，可以排到3、2、1）然后把那个位置不能排的一种随意排到剩下的三个位置，也有三种可能．（比如已经把唱歌排到3号位了，那么可以随意把舞蹈排到剩下的4、2、1号位）．剩下两种，必然至少有一种和剩下的位置相矛盾，因此剩下的排法唯一．（比如舞蹈排到了2号位，那么剩下的小品和1号位互斥，只能排到4号位）所以应该是3×3=9种可能．故答案为：9．点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的关键是对各个节目进行有序的排列，本题难度不是很大．15．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过45次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．考点：排列与组合问题．专题：常规题型．分析：如果将最小的一张卡片调至最左边，看需要最多几次操作，再把数次小的一张卡片调到左边第2张，看需要最多几次操作，依此类推，即可计算出至多经过多少次能将它们按从小到大的顺序排列．解答：解：将数最小的一张卡片调到最左边，至多需要9次操作，将数次小的一张卡片调到左边第2张，至多需要8次操作，依此类推，至多经过9+8+7+6+5+4+3+2+1=45次操作，能将它们按从小到大的顺序排列．另一方面，如果这10张卡片开始时从左到右按从大到小的顺序排列，则需要45次操作才能按从小到大的顺序排列．故答案为：45．点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的关键是把卡片上数从小到大依次进行排列，直到出现按从小到大的顺序排列为止，本题难度一般．16．在4×4的正方形网格棋盘中，放入黑、白各一枚，共有240种不同的放法．考点：排列与组合问题．分析：在4×4的正方形网格棋盘中，放入黑、白各一枚，相当于16个位置，任意放入两个不同元素，共有多少种方法，直接利用排列公式即可．解答：解：由排列公式可得P4×42=16×15=240种不同的放法．故答案为：240．点评：此题主要考查排列公式：从n个元素中取m个任意排一下，有n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1）种，即P n m=．17．在±1±2±3±5±20中，适当选择+、﹣号，可以得到不同代数和的个数是24．考点：排列与组合问题．专题：数字问题．分析：从题干数字可知1，2，3，5，20中，有奇数三个，故其代数和必为奇数，找到由1，2，3，5可以得到绝对值≤11的所有奇数，当有20这个数参与时，用20减去这些绝对值小于等于11的数，得到不同数．解答：解：1，2，3，5，20中，有奇数三个，故其代数和必为奇数；由1，2，3，5可以得到绝对值≤11的所有奇数：这是由于1=1﹣2﹣3+5，3=﹣1+2﹣3+5，5=1+2﹣3+5，7=1﹣2+3+5，9=﹣1+2+3+5，11=1+2+3+5；以上各式通乘﹣1，可得﹣1，﹣3，﹣5，﹣7，﹣9，﹣11的表达式；而据题意，表达式中，1，2，3，5及20都必须参与，那么，能得到的整数应是±20加或减1，3，5，7，9，11，即得到十二个正奇数9，11，13，…，31和十二个负奇数﹣9，﹣11，…，﹣31；因此可表出的数共计24个，故答案为24．点评：本题主要考查排列与组合的知识点，解答本题的突破口是把±1±2±3±5±20这些数进行组合得到不重复的数字，本题难度一般．18．给你0、1、2、3，最多可组成192个四位数．（注：各数位上的数字允许相同）考点：排列与组合问题．专题：规律型．分析：由于最高位上不能为0，则千位上的数字有三种可能，因为各数位上的数字允许相同，所以其余数位上的数字都有四种可能，根据乘法原理即可求出．解答：解：∵最高位上不能为0，各数位上的数字允许相同，∴最多可组成3×4×4×4=192个四位数．故答案为：192．点评：本题考查了排列与组合中的乘法原理，解题的关键是不要忘记最高位千位上不能为0．19．有一人利用休假的四个城市a、b、c、d旅游，他今天在这个城市，明天又到另一个城市，请问该同志从a城出发5天后又回到a城的不同旅游线路有24条．考点：排列与组合问题．专题：行程问题．分析：某人旅游了4天，到了4个城市，一天到一个城市，所以第一天从4个城市选一，所以有4条路线，第二天有3条，第三天有两条，第四天一条，所以可求结果．解答：解：因为第一天，有4条路线，第二天有，有三条路线，第三天有二条路线，第四天有一条路线，所以有4×3×2×1=24条路线．故答案为：24．点评：本题考查排列与组合中的乘法原理关键是知道第一天有4条，第二条有3条，第三条二条，第4条一条．20．在平面上放置四个点，两两连接所成六条线段，其中最大线段长为1，最小线段长为a，则所有满足上述条件排布的四个点中，a所取的最大值是．考点：排列与组合问题．分析：平面上放置4个点，这四个点两两连接构成六条线段，这六条线段任意选取三条都能构成三角形，因此根据最大线段长为1，最小线段长为a，且三角形三边关系，可求得a的最小值．解答：解：这四个两两点不在同一直线上，才能连接成六条线段，即六条线段里面任取三条都能构成三角形，因为最大线段长为1，最小线段长为a，a所取的最大值是．故答案为：．点评：本题考查平面点构成线的关系，以及三角形三边关系．21．将2个相同的黑球和11个相同的白球排在一个圆周上，共有6种不同的排法．（旋转，翻转相同的方法算同一种）考点：排列与组合问题．专题：规律型．分析：按2个相同的黑球之间白球个数的不同，即可得出不同的排法的种数．注意如果两球间隔6球的话，那就只剩下5个白球，即和两球间隔5球方法相同，因为排法可翻转、旋转，以此类推…解答：解：①●●两球相邻；②●○●两球间隔1球；③●○○●两球间隔2球；④●○○○●两球间隔3球；⑤●○○○○●两球间隔4球；⑥●○○○○○●两球间隔5球．共六种方法．故答案为：6．点评：本题考查了排列与组合问题，解题的关键是以2个相同的黑球为基础，根据2个相同的黑球之间白球个数的不同，得出不同的排法的种数．22．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A（10，0），B （0，10），C（﹣10，0），D（0，﹣10），则该正方形内及边界上共有221个整点（即纵横坐标都是整数的点）．考点：排列与组合问题．专题：规律型．分析：根据A（10，0），B （0，10），C（﹣10，0），D（0，﹣10）可知正方形ABCD的四条边的方程分别是x+y=10、x﹣y=﹣10、x+y=﹣10、x﹣y=10；然后分别找出直线y=10、9、8、7…与正方形的边和内部有交点的个数是1、3、5、7…19；对称的正方形在x轴的下发还有同样多，另外最后直线y=0（对角线x轴）上有（﹣10，0）、（﹣9，0）、…（0，0）、…（10，0）共21个；所以符合条件的整点数有：2（1+3+5+…+19）+21（个）．解答：解：正方形ABCD的四条边的方程分别是x+y=10、x﹣y=﹣10、x+y=﹣10、x﹣y=10．直线y=10与正方形交于B（0，10）（共1个）；直线y=9与正方形的边交于（﹣1，9）、（1，9），界于其间的还有（0，9），（共3个）；依次是y=8与正方形的边和内部有交点（﹣2，8）、（﹣1，8）、（0，8）、（﹣1，8）、（2，3），（共5个）；…直线y=1与正方形的边和内部有交点（﹣9，1）、…、（9，1），（共19个）；对称的正方形在x轴的下方还有同样多，最后直线y=0（对角线x轴）上有（﹣10，0）、（﹣9，0）、…（0，0）、…（10，0）共21个所以正方形及其内部共有：2（1+3+5+…+19）+21=2×+21=221（个）整点．故答案为：221．点评：本题考查了排列、组合问题．解答此题的关键是找出找出直线y=10、9、8、7…与正方形的边和内部有交点的个数是1、3、5、7…19．23．在表达式S=中，x1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列（即：x1、x2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数，且x1、x2、x3、x4互不相同）．则使S为实数的不同排列的种数有16种．考点：排列与组合问题．专题：计算题．分析：若不考虑二次根式有意义的条件，因此，共有P44种排列方法，但其中x1+x3=3的共有C24P22种．所以，它们的差即为所求．解答：解：∵x1﹣x2+x3﹣x4≥0，∴x1+x3≥x2+x4；符合条件的排列数是：P44﹣C42P22=24﹣8=16（种）故答案为：16．点评：本题考查了排列与组合的问题．解答此题时，要分清排列与组合的区别．排列与元素的顺序有关，组合与顺序无关．如231与213是两个排列，2+3+1的和与2+1+3的和是一个组合．24．如图，数一数，图中共有多少个（包含大小不同的）正方形？答案55．考点：排列与组合问题．专题：网格型．分析：首先数出单独1个小方格构成的正方形有25个，再数出由4个小方格构成的正方形有16个，再数出由9个小方格构成的正方形有9个，再数出由16个小方格构成的正方形有4个，最后数出由25个小方格构成的正方形有1个，因此问题即可解决．解答：解：由1个小方格构成的正方形有25个，由4个小方格构成的正方形有16个，由9个小方格构成的正方形有9个，由16个小方格构成的正方形有4个，由25个小方格构成的正方形有1个，因此图中共有25+16+9+4+1=55个正方形．故答案为：55．点评：此题考查了排列与组合问题，主要利用正方性的性质，边长相等，按一定的规律数出即可．25．如下图，是用木条做成的小正方形窗格，一个小虫子从A点以最短距离沿窗格的木条爬行到B点，则有20条不同的爬行路线．考点：排列与组合问题．专题：网格型．分析：根据一个小虫子从A点以最短距离沿窗格的木条爬行到B点，则小虫子只能向右或向上爬行，依此按顺序得到小虫子不同的爬行路线的条数．解答：解：如图所示：A﹣1﹣2﹣3﹣4﹣5﹣B；A﹣1﹣2﹣8﹣4﹣5﹣B；A﹣1﹣2﹣8﹣11﹣5﹣B；A﹣1﹣2﹣8﹣11﹣14﹣B；A﹣1﹣7﹣8﹣4﹣5﹣B；A﹣1﹣7﹣8﹣11﹣5﹣B；A﹣1﹣7﹣8﹣11﹣14﹣B；A﹣1﹣7﹣10﹣11﹣5﹣B；A﹣1﹣7﹣10﹣11﹣14﹣B；A﹣1﹣7﹣10﹣13﹣14﹣B；A﹣6﹣7﹣8﹣4﹣5﹣B；A﹣6﹣7﹣8﹣11﹣5﹣B；A﹣6﹣7﹣8﹣11﹣14﹣B；A﹣6﹣7﹣10﹣11﹣5﹣B；A﹣6﹣7﹣10﹣11﹣14﹣B；A﹣6﹣7﹣10﹣13﹣14﹣B；A﹣6﹣9﹣10﹣11﹣5﹣B；A﹣6﹣9﹣10﹣11﹣14﹣B；A﹣6﹣9﹣10﹣13﹣14﹣B；A﹣6﹣9﹣12﹣13﹣14﹣B．故由A点出发，有20种走法．故答案为：20．点评：本题考查了排列与组合问题，解题的关键是得到小虫子爬行方向只能向右或向上，注意按顺序依次数出，做到不重复不遗漏．26．如图，图中平行四边形共有的个数是36．考点：排列与组合问题．专题：数形结合．分析：先找单个的平行四边形的个数，再找2个，3个，4个，6个，9个平行四边形组成的平行四边形的个数，相加即可．解答：解：单个的平行四边形有9个；2个小平行四边形组成的平行四边形有12个；。

高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.1排列第1课时排列与排列数公式

答案 (1)D (2)5 (3)见解析
12/13/2021
答案
解析 (1)27－a,28－a，…，34－a 中最大数为 34－a，一共有 34－a－(27 －a)＋1＝8 个因式，所以(27－a)·…·(34－a)＝A834－a.
(2)解法一：A1248AA611412＝841！！2××11182！！！＝54！！＝5. 5！
12/13/2021
[解] (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共 12 种．
12/13/2021
答案
(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为 A、B，两名老师分别为 M、N，此问题可分两类：
由此可知所有可能的站法为 AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA， BNMA，BAMN，BANM，共 8 种．
12/13/2021
答案
拓展提升用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏．
12/13/2021
答案 B
12/13/2021
答案
解析排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有 B 中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选 B.
12/13/2021
2．下列各式中与排列数 Amn 相等的是( )
n！ A.m－n！
B．n(n－1)(n－2)…(n－m)
C.n－mn ＋1Ann－1
D．An1·Amn－－11
12/13/2021

高中数学第一章1.2 排列与组合 1.2.2 第1课时组合与组合数公式学案新人教A版选修2-3 (2)

第1课时组合与组合数公式学习目标 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算.3.会解决一些简单的组合问题．知识点一组合的定义思考①从3,5,7,11中任取两个数相除；②从3,5,7,11中任取两个数相乘．以上两个问题中哪个是排列？①与②有何不同特点？答案①是排列，①中选取的两个数是有序的，②中选取的两个数无需排列．梳理一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．知识点二组合数与组合数公式组合数及组合数公式组合数定义及表示从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示.组合数公式乘积形式C m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！阶乘形式C m n＝n！m！(n－m)！性质C m n＝C n－mnC m n＋1＝C m n＋C m－1n备注规定C0n＝11．从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C23.( ×) 2．从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．( √)3．C35＝5×4×3＝60.( ×)4．C2 0162 017＝C12 017＝2 017.( √)类型一组合概念的理解例1 给出下列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？在上述问题中，哪些是组合问题，哪些是排列问题？考点组合的概念题点组合的判断解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题．(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题．(4)3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题．反思与感悟区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．跟踪训练1 判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的结果．(1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少？(2)某小组有9位同学，从中选出正、副班长各一个，有多少种不同的选法？若从中选出2名代表参加一个会议，有多少种不同的选法？考点组合的概念题点组合的判断解(1)由于集合中的元素是不讲次序的，一个含三个元素的集合就是一个从0,1,2,3,4中取出3个数组成的集合．这是一个组合问题，组合的个数是C35＝10.(2)选正、副班长时要考虑次序，所以是排列问题，排列数是A29＝9×8＝72，所以选正、副班长共有72种选法；选代表参加会议是不用考虑次序的，所以是组合问题，所以不同的选法有C29＝36(种)．类型二组合数公式及性质的应用命题角度1 有关组合数的计算与证明例2 (1)计算C410－C37·A33；考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算(1)解原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)求证：C mn ＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1. 考点组合数公式题点组合数公式的应用 (2)证明因为右边＝m ＋1n ＋1C m ＋1n ＋1＝m ＋1n ＋1·(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C mn ，左边＝C mn ，所以左边＝右边，所以原式成立．反思与感悟 (1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C m n ＝C n －m n ；②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n .跟踪训练2 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017的值为( ) A ．C 42 017 B ．C 52 017 C ．C 42 018－1D ．C 52 017－1(2)计算C 98100＋C 199200＝________. 考点组合数性质题点的性质计算与证明答案 (1)C (2)5 150 解析 (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017 ＝C 44＋C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 017－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 017－1＝… ＝C 42 017＋C 32 017－1＝C 42 018－1. (2)C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200 ＝100×992＋200＝5 150.命题角度2 含组合数的方程或不等式例3 (1)已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求C m 8＋C 5－m8；(2)解不等式C 4n >C 6n . 考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题解 (1)∵1C m 5－1C m 6＝710C m 7，∴m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×(7－m )！m ！10×7！，即m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )(5－m )！6×5！＝7×m ！(7－m )(6－m )(5－m )！10×7×6×5！.∴1－6－m 6＝(7－m )(6－m )60，即m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝2或21. ∵0≤m ≤5，∴m ＝2， ∴C m8＋C 5－m8＝C 28＋C 38＝C 39＝84.(2)由C 4n >C 6n ，得⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6即⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6，又n ∈N *，∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．反思与感悟 (1)解题过程中应避免忽略根的检验而产生增根的错误，注意不要忽略n ∈N *. (2)与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N *，n ∈N *，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．跟踪训练3 解方程3C x －7x －3＝5A 2x －4. 考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题解原式可变形为3C 4x －3＝5A 2x －4，即3(x －3)(x －4)(x －5)(x －6)4×3×2×1＝5(x －4)(x －5)，所以(x－3)(x－6)＝5×4×2＝8×5.所以x＝11或x＝－2(舍去)．经检验符合题意，所以方程的解为x＝11.类型三简单的组合问题例4 有10名教师，其中6名男教师，4名女教师．(1)现要从中选2名去参加会议，有________种不同的选法；(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有________种不同的选法；(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有________种不同的选法．考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案(1)45 (2)21 (3)90解析(1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45(种)．(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计算原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝6×52×1×4×32×1＝90(种)．反思与感悟(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用．在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏．跟踪训练4 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球．(1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是C38＝8×7×63×2×1＝56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是C27＝7×62×1＝21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是C37＝7×6×53×2×1＝35.1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？其中组合问题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0考点组合的概念题点组合的判断答案 B解析①与顺序有关，是排列问题，②③均与顺序无关，是组合问题，故选B.2．集合M＝{x|x＝C n4，n≥0且n∈N}，集合Q＝{1,2,3,4}，则下列结论正确的是 ( ) A．M∪Q＝{0,1,2,3,4} B．Q⊆MC．M⊆Q D．M∩Q＝{1,4}考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案 D解析由C n4知n＝0,1,2,3,4，因为C04＝1，C14＝4，C24＝4×32＝6，C34＝C14＝4，C44＝1，所以M＝{1,4,6}．故M∩Q＝{1,4}．3．若C n12＝C2n－312，则n等于( )A．3 B．5 C．3或5 D．15考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 C解析由组合数的性质得n＝2n－3或n＋2n－3＝12，解得n＝3或n＝5，故选C.4．某校开设A类选修课3门，B类选修课5门，一位同学要从中选3门，若要求两类课程中至少各选1门，则不同的选法共有( )A ．15种B ．30种C ．45种D ．90种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析分两类，A 类选修课选1门，B 类选修课选2门，或者A 类选修课选2门，B 类选修课选1门，因此，共有C 13·C 25＋C 23·C 15＝45(种)选法．5．五个点中任何三点都不共线，则这五个点可以连成________条线段；如果是有向线段，共有________条．考点组合的概念题点组合的判断答案 10 20解析从五个点中任取两个点恰好连成一条线段，这两个点没有顺序，所以是组合问题，连成的线段共有C 25＝10(条) .再考虑有向线段的问题，这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段，所以是排列问题，排列数是A 25＝20.所以有向线段共有20条．1．排列与组合的联系与区别(1)联系：二者都是从n 个不同的元素中取m (m ≤n )个元素． (2)区别：排列问题中元素有序，组合问题中元素无序． 2．关于组合数的计算(1)涉及具体数字的可以直接用公式C m n＝A mn A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！计算；(2)涉及字母的可以用阶乘式C mn ＝n ！m ！(n －m )！计算．(3)组合数的两个性质：性质1：C mn ＝C n －mn ；性质2：C mn ＋1＝C mn ＋C m －1n .一、选择题1．以下四个问题，属于组合问题的是( ) A ．从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B ．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C ．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D ．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地考点组合的概念题点组合的判断答案 C解析只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题． 2.A 3101C 2100＋C 97100等于( ) A.16 B ．101 C.1107D ．6考点组合数公式题点利用组合数公式进行计算答案 D解析 A 3101C 2100＋C 97100＝A 3101C 2100＋C 3100＝A 3101C 3101＝A 33＝6.3．下列等式不正确的是( ) A ．C mn ＝n ！m ！(n －m )！B ．C m n ＝C n －mn C ．C m n ＋1＝C mn ＋C m －1n D ．C mn ＝C m ＋1n ＋1考点组合数公式题点组合数公式的应用答案 D解析 A 是组合数公式；B ，C 是组合数性质；C mn ＝n ！m ！(n －m )！，C m ＋1n ＋1＝(n ＋1)！(m ＋1)！(n －m )！，两者不相等，故D 错误．4．若A 3n ＝6C 4n ，则n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 B解析由题意知n (n －1)(n －2)＝6·n (n －1)(n －2)(n －3)4×3×2×1，化简得n －34＝1，所以n ＝7.5．把三张游园票分给10个人中的3人，则分法有( ) A ．A 310种B ．C 310种C．C310A310种D．30种考点组合的应用题点无限制条件的组合问题答案 B解析三张票没区别，从10人中选3人即可，即C310.6．将2名女教师，4名男教师分成2个小组，分别安排到甲、乙两所学校轮岗支教，每个小组由1名女教师和2名男教师组成，则不同的安排方案共有( )A．24种B．10种C．12种D．9种考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 C解析第一步，为甲地选1名女教师，有C12＝2(种)选法；第二步，为甲地选2名男教师，有C24＝6(种)选法；第三步，剩下的3名教师到乙地，故不同的安排方案共有2×6×1＝12(种)，故选C.7．现有6个白球，4个黑球，任取4个，则至少有两个黑球的取法种数是( )A．115 B．90 C．210 D．385考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 A解析依题意根据取法可分为三类：两个黑球，有C24C26＝90(种)；三个黑球，有C34C16＝24(种)；四个黑球，有C44＝1(种)．根据分类加法计数原理可得，至少有两个黑球的取法种数是90＋24＋1＝115，故选A.8．对于所有满足1≤m≤n≤5的自然数m，n，方程x2＋C m n y2＝1所表示的不同椭圆的个数为( )A．15 B．7 C．6 D．0考点组合数性质题点利用组合数的性质进行计算与证明答案 C解析因为1≤m≤n≤5，且方程表示椭圆，所以C m n可能为C12，C13，C23，C14，C24，C34，C15，C25， C35，C45，其中C13＝C23，C14＝C34，C15＝C45，C25＝C35，所以x2＋C m n y2＝1能表示的不同椭圆有6个．二、填空题9．从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘，有m个不同的积；任取两个不同的数相除，有n个不同的商，则m∶n＝________.考点组合的概念题点组合的判断答案 1∶2解析 ∵m ＝C 24，n ＝A 24，∴m ∶n ＝1∶2.10．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖、2名二等奖、3名三等奖，则可能的决赛结果共有________种．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题答案 60解析根据题意，所有可能的决赛结果有C 16C 25C 33＝6×5×42×1＝60(种)．11．不等式C 2n －n <5的解集为________．考点组合数性质题点含有组合数的方程或不等式的问题答案 {2,3,4} 解析由C 2n －n <5，得n (n －1)2－n <5，即n 2－3n －10<0，解得－2<n <5.由题意知n ≥2，且n ∈N *，则n ＝2,3,4，故原不等式的解集为{2,3,4}．三、解答题12．已知C 4n ，C 5n ，C 6n 成等差数列，求C 12n 的值．考点组合数公式题点组合数公式的应用解由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6n ，所以2×n ！5！(n －5)！＝n ！4！(n －4)！＋n ！6！(n －6)！，整理得n 2－21n ＋98＝0，解得n ＝7或n ＝14，要求C 12n 的值，故n ≥12，所以n ＝14，于是C 1214＝C 214＝14×132×1＝91. 13．在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训．在下列条件下，有多少种不同的选法？(1)任意选5人；(2)甲、乙、丙三人必须参加；(3)甲、乙、丙三人不能参加．考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解 (1)从中任取5人是组合问题，共有C 512＝792(种)不同的选法．(2)甲、乙、丙三人必须参加，则只需要从另外9人中选2人，是组合问题，共有C 29＝36(种)不同的选法．(3)甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C 59＝126(种)不同的选法．四、探究与拓展14．以下三个式子：①C mn ＝A m n m ！；②A m n ＝n A m －1n －1；③C m n ÷C m ＋1n ＝m ＋1n －m .其中正确的个数是____．考点组合数公式题点组合数公式的应用答案 3解析 ①式显然成立；②式中A m n ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，A m －1n －1＝(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，所以A m n ＝n A m －1n －1，故②式成立；对于③式C mn ÷C m ＋1n ＝C m n C m ＋1n ＝A mn ·(m ＋1)！m ！·A m ＋1n ＝m ＋1n －m ，故③式成立． 15．某届世界杯举办期间，共32支球队参加比赛，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛1场，各组第一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，即八分之一淘汰赛，四分之一淘汰赛，半决赛，决赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三、四名，问这届世界杯总共将进行多少场比赛？考点组合的应用题点有限制条件的组合问题解可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛，每组有C 24＝6(场)，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛，8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出8强，共有8场；(3)四分之一淘汰赛，根据赛制规则，8强中每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出4强，共有4场；(4)半决赛，根据赛制规则，4强每2支球队一组，每组比赛1场，可以决出2强，共有2场；(5)决赛，2强比赛1场确定冠、亚军，4强中的另2支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场．综上，由分类加法计数原理知，总共将进行48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛．。

排列与组合的应用1(2019年11月)

排列组合应用题的解题技巧
制作者：袁富杰
教学目的教学过程课堂练习课堂小结
1.熟悉解决排列组合问题的基本方法;
2.让学生掌握基本的排列组合应用题的解题技巧;
3.学会应用数学思想分析解决排列组合问题.
一复习引入
二新课讲授
排列组合问题在实际应用中是非常广泛的, 并且在实际中的解题方法也是比较复杂的,下面就通过一些实例来总结实际应用中的解题技巧.
例3 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会, 每班要求至少1人,名额分配方案有多少种?
分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚, 方法简单,结果容易理解.
解此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排, 在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一个,即可将白球分成8份,显然有C171 种不同的放法,所以名额分配方案有 C171 种.
有 P74 种.
种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为
P88 P74
结论1 插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不
相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的
元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素
的空档之中即可.
例2 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法?
例题1 例题2 例题3
例题4 例题5 例题6
1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列.
2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.