2018_2019学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质讲末复习课件新人教A版选修4_1

答案
6
4.(2014· 陕西，15B)如图，△ABC 中，BC＝6，以 BC 为直径的半圆分别交 AB，AC 于点 E，F，若 AC＝2AE，则 EF＝________.
规律方法 对于(1)，判断△ABC的形状，由题意
转化为解不等式组.对于(2)，由于△PCQ的面积
无法直接利用面积公式求解，但可通过S△PQC＝ S△BPC－S△PBQ，将问题转化为求S△PBQ、S△BPC.
跟踪演练 2
如图，在锐角△ABC 中，AD，CE
分别是 BC， AB 边上的高， △ABC 和△BDE 的面 积分别等于 18 和 2，且 DE＝2 2，求点 B 到直 线 AC 的距离.
解
(1)a2＋b2－12a－16b＋100＝0，
即(a－6)2＋(b－8)2＝0，∴a＝6，b＝8. 2x－1 3 >x－4， 5 解不等式组 得 <x<11. 2x＋3<6x＋1， 2 2 ∴c＝10，∴a2＋b2＝c2，∴△ABC 是直角三角形.
1 (2)由(1)得 S△ABC＝2ab＝24，S△PBC∶S△ABC＝PB∶AB， 12 12 ∴S△PBC＝ 5 (10－x)＝24－ 5 x.∵PQ∥AC，∴△PBQ∽△ABC， S△PBQ PB2 S△PBQ 10－x 2 ∴ ＝AB ，即 24 ＝ ， S△ABC 10 24 6 2 24 2 ∴S△PBQ＝100(10－x) ＝25x － 5 x＋24， 6 2 12 ∴S△PCQ＝S△PBC－S△PBQ＝－ x ＋ x， 25 5 6 2 12 即 y＝－25x ＋ 5 x(0<x<10).
规律方法 这是一道开放性试题，由于边长为2 的三角形三边关系不明确，边长为2的边可以是
最长边、中间边或最短边，因此应分三种情况进
行讨论.
跟踪演练3 在△ABC中，AB>BC>AC，D是AC的中点，过
点D作直线l，使截得的三角形与原三角形相似，这样的直 线有________条.
解析 如图，过点 D 作 DE1∥BC，此时∠AE1D＝
解析
1 1 由题意得 OP＝2BC＝2，OA＝2，于是 2
2
PA＝CP＝
12 －2 ＝
15 2 ，
∵∠DCP＝∠B＝∠POA，∴△DCP∽△AOP， 15 2 15 15 PD PC ∴ PA ＝PO，∴PD＝ × ＝ ， 1 2 2 2 15 1 ∴OD＝ 2 ＋2＝8.
答案 8
பைடு நூலகம்
题型一 构造法
添加辅助线是平面几何解决问题最常用的手段，添加辅 助线的目的是构造平行线、或三角形、或三角形的相似等 结构.
例1 如图，梯形 ABCD 中，AB∥CD，CE
平分∠BCD，CE⊥AD 于 E，DE＝2AE， 若△CED 的面积为 1，求四边形 ABCE 的面积.
解
延长 CB，DA 交于点 F，又 CE 平分∠BCD，CE⊥AD.
2 2 2 2
1 3 5 2 2 故 S 阴影＝S△ABC－S 正方形 DEFC＝2·3x·2x－x ＝4x ＝1. 答案 1
规律方法 将几何图形的比例相等关系转化
为方程，是解决平面几何问题常用路子.
体验高考
1.(2014· 广东高考)如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AB 上且 EB＝2AE，AC 与 DE 交 △CDF的周长 于点 F，则 ＝________. △AEF的周长
这两个三角形相似.即：两对应边成比例且夹角相等，两三
角形相似. 判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条 边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角 形相似.即：三边对应成比例，两三角形相似.
(4)直角三角形相似的判定定理 定理1：如果两个直角三角形有一个锐角相等，那么它
们相似.
两个端点在这条直线上的射影间的线段.
(2)直角三角形射影定理和逆定理 定理：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的 射影的比例中项；两条直角边分别是它们在斜边上的射影与 斜边的比例中项. 逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的
射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形.
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
解析
由 CD∥AE，得△CDF∽△AEF.
△CDF的周长 CD AB 于是 ＝ AE ＝AE＝3. △AEF的周长
答案 3
2.(2015· 广东高考)如图，已知AB是圆O的直径，AB＝4，EC
是圆O的切线，切点为C，BC＝1，过圆心O作BC的平行 线，分别交EC和AC于点D和点P，则OD＝________.
明一些等积式时，往往将其转化为比例式，当证明的比例
式中的线段在同一直线上时，常转化为用相等的线段、相 等的比、相等的等积式来代换相应的量，证明比例式成立 也常用中间比来转化证明.
例2
如图，在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别是
a，b，c，点 P 是 AB 上与 A，B 不重合的一个动点，连 接 PC，过点 P 作 PQ∥AC 交 BC 于点 Q. (1)如果 a，b 满足关系式 a2＋b2－12a－16b＋100＝0，c 2x－1 3 >x－4， 是不等式组 的最大整数解， 试说明△ABC 2x＋3<6x＋1 2 的形状. (2)在(1)的条件下，设 AP＝x，S△PCQ＝y，求 y 与 x 的函 数关系式，并注明自变量 x 的取值范围.
方程思想是从问题的数量关系(相等，成比例等)入手，将
问题转化为方程或比例式或不等式问题来求解.
例4 如图，在 Rt△ABC 中，E 为斜边 AB 上
一点，AE＝2，EB＝1，四边形 DEFC 为正 方形，则阴影部分的面积为________.
解析
设正方形 DEFC 的边长为 x，
则根据△ADE∽△EFB，得 AD＝2x， 1 3 BF＝2x，从而 AC＝3x，BC＝2x. 4 在 Rt△ADE 中，(2x) ＋x ＝2 ，解得 x ＝5.
∠B，所以△ABC∽△AE1D；过点 D 作∠ADE2＝ ∠B，此时△ADE2∽△ABC.同理，过点 D 可以作 DE3∥AB，使∠DE3C＝∠B；过点 D 作 DE4 与 BC 相交于 E4，使∠E4DC＝∠B，都能使截得的三角 形与原三角形相似，因此共有 4 条直线符合要求.
答案 4
题型四 方程法
题型三 分类讨论法
当点、线的位置关系不确定时常常需分类讨论. 例3 要做两个形状相同的三角形框架，其中一个框架的三
边长分别是4、5、6，另一个框架的一边长是2，怎样选
料可使这两个三角形相似？
解 (1)若 2 为最长边，设其他两边长分 别为 x，y，根据相似三角形性质有： 4 5 6 4 5 x ＝y ＝2，解得 x＝3，y＝3；
证明 过点 C 作 CM∥AB 交 PD 于点 M.∵AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED.∵AD∥CM，∴∠ADE＝∠CME. 又∵∠AED＝∠CEM，∴∠CEM＝∠CME， ∴CE＝CM.又∵CM∥BD，∴△CPM∽△BPD. BP BD BP BD ∴CP＝CM，即CP＝CE .
题型二 化归法 转化化归思想方法是解决数学问题的灵魂，平面几何在证
线所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的
第三边. (2)三角形内角平分线定理 定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段比等于 夹这个角的两边比.
3.相似三角形的判定 (1)相似三角形的概念
定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做
相似三角形.对应边的比值称为相似比. (2)预备定理 定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边 的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.
3.(2013· 陕西高考)如图，AB与CD相交于点E，过
点E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已
知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.
解析 由 PE∥BC，∠A＝∠C 知，∠A＝∠C＝
∠PED，在△PDE 和△PEA 中，∠DPE＝∠EPA， ∠A＝∠PED，故△PDE∽△PEA，则 PD∶PE＝ PE∶PA.于是 PE2＝PA· PD＝3×2＝6，则 PE＝ 6.
规律方法 多边形的问题常转化为三角形问题去 解决，本题从已知条件出发，构造了等腰三角形，
使求四边形的面积问题转化为求三角形的面积.
跟踪演练 1
如图，在△ABC 中，AB>AC，在边 AB
上取一点 D，在边 AC 上取一点 E，使 AD＝AE，直 线 DE 和 BC 的延长线交于点 P. BP BD 求证：CP＝ CE.
解
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CEB＝90°. 又∵∠B＝∠B，∴△ADB∽△CEB， BD AB BD BE ∴ BE ＝BC，∴ AB ＝BC. 又∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BCA，
S△BED （ED）2 2 ∴ ＝ ＝ . S△BCA （AC）2 18 （DE）2 （2 2）2 2 ∵DE＝2 2，∴ ， 2＝ 2＝ 18 （AC） （AC） ∴AC＝6 2. 1 设点 B 到直线 AC 的距离为 h， 则 S△ABC＝2AC· h， 1 即 18＝ ×6 2h，∴h＝3 2. 2
(2)若 2 为中间边，设其他两边长分别为 x，y，根据相似三角 形性质有： 4 5 6 8 12 x ＝2＝y ，解得 x＝5，y＝ 5 ； (3)若 2 为最短边，设其他两边长分别为 x，y，根据相似三角 4 5 6 5 形性质有： ＝x ＝y ，解得 x＝ ，y＝3. 2 2 4 5 8 12 5 综上，另一个三角形的另两边长分别为 和 或 和 或 和 3. 3 3 5 5 2
定理2：如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例， 那么它们相似. 定理3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另 一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那