八年级数学上册第1章中考中的全等三角形(青岛版)

中考中的全等三角形
纵观全国各地的中考卷，有关全等三角形的试题主要有以下几类．
一、利用三角形全等证明线段相等
例1：（济南市）已知：如图1，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE=CF ．
求证：AB=DE ．
析解：要证AB=DE ，可以证明AB 、DE 所在的两个三角形全等．由AB ∥DE 得∠B=∠DEF ，由AC ∥DF 得∠ACB=∠F ，又因为BE=CF ，所以BE+EC= CF + EC 即BC=EF ，所以△ABC ≌△DEF （ASA ），所以AB=DE.
评注：全等三角形对应边相等的特征是证明线段相等的重要依据.
二、利用三角形全等求角的度数
例2：（遵义市）如图2，OA OB =，OC OD =，50O ∠=o ，35D ∠=o ，则AEC ∠等于（ ）
A ．60o
B ．50o
C ．45o
D ．30o 析解：由OA=OB ，∠O=∠O ，OD=OC 可得△OAD ≌△OBC （SAS ），
所以∠C=∠D=35°，在△OAD 中，由50O ∠=o ，35D ∠=o 得∠OAD=180°-50°-35°=95°,则∠EAC=180°-∠OAD=180°-95°=85° 所以在△EAC 中，AEC ∠=180°-∠EAC-∠C=180°-85°-35°=60°.故选A.
评注：全等三角形对应角相等的特征是证明角相等的重要依据.在证明两个三角形全等时，要注意结合图形挖掘隐含的公共边、公共角、对顶角等条件.
三、利用三角形全等证明线段垂直
例3：（威海市）把两个含有45°角的直角三角板如图3放置，
点D 在BC 上，连结BE ，AD ，AD 的延长线交BE 于点F ．
求证：AF ⊥BE ．
析解：由两个含有45°角的直角三角板得AC=BC, ∠ACD=∠BCE=90°,DC=EC, 所以△ACD ≌△BCE （SAS ）, 所以∠DAC ＝∠EBC ．又因为 ∠ADC ＝∠BDF ， 所以∠EBC ＋∠BDF ＝∠DAC ＋∠ADC=180°-90°＝90°.因而∠BFD=90°，即AF ⊥BE ．
图 3
A
C E O E
A B D C 图2 A B D
F C E 图1
评注：此题是对全等三角形及三角形内角和等知识的综合考查，巧用全等三角形对应边相等、对应角相等，可帮助我们顺利地解决一些与线段、角有关的问题．
四、利用三角形全等进行操作探究
例4：（河南省）学习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图4，已知在△ABC 中，AB=AC ，P 是△ABC 内部任意一点，将AP 绕A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP=∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ=CP ．”
小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图4的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ=CP 之后，将点P 移到三角形ABC 之外，原题中的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图5给出证明．
析解：由∠QAP=∠BAC 得∠QAP+∠PAB ＝∠BAC+∠PAB ，即∠QAB ＝∠PAC ，又因为AQ=AP ， AB=AC ，所以△ABQ ≌△ACP （SAS ），所以BQ=CP ．
评注：这是一道操作探究题，解题时需先通过观察、测量，探求猜想出BQ 与CP 满足的数量关系，再利用全等三角形的知识进行证明．本题小亮已探求得出BQ=CP ，只须给出证明即可.
图4 Q P B A A Q B P C
图5。