【2019秋人教必修2】第八章立体几何初步章末复习课

合集下载

统编人教版高中数学A版必修第二册第八章立体几何章末复习教学设计

∵AD∥BC，∴NP∥BC. 又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC， ∴NP∥平面SBC. 又MP∩NP＝P， ∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP， ∴MN∥平面SBC.
六、布置作业：课本P170页第9、11题
作业点拨，解决问题P170第11题
11、如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD,M是AD的中点，P是BM的中点，点Q 在线段AC上，且AQ=3QC, 求证：PQ⫽平面BCD
五、链接高考
如图，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，
且AM：SM＝DN:BN，求证：MN∥平面SBC.
【证明】在AB上取一点P，使AP:PB＝AM:SM，连接MP，NP，则MP∥SB
∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面 SBC.
又AM:SM＝DN:BN，∴AP:PB＝DN:BN， ∴NP∥AD.
例2 如图四边形EFGH是空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形，求证：（1）EF ⫽AB
（2）AB∥平面EFGH.
教师设疑：针对求证(1)带着下面问题分小组讨论。 1、证明两条直线平行的方法有哪些？
线线平行的证明方法：
1、平面几何方法（包括：同位角（内错角）相等两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；垂直（平行）于同一直线的两直线平行；平行四边形的对边平行；用定理：“如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边”判定（最常使用三角形中位线定理）； 2、平行的传递性公理； 3、线面平行的性质定理； 4、面面平行的性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么这两条交线平行。 5、垂直于同一个平面的两条直线平行。
新课标导学

高一数学(人教A版)必修第二册课件：第八章立体结合章末总复习

第八章立体几何
高中新课程 ·人教A版 ·数学 ·必修第二册
[例4] 如右图，设三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P、 Q分别是侧棱AA1、CC1上的点，且AP＝QC1，则四棱锥B－ APQC的体积为( )
1 A.6V
1 B.4V
1 C.3V
1 D.2V
[答案] C
第八章立体几何
高中新课程 ·人教A版 ·数学 ·必修第二册
高中新课程 ·人教A版 ·数学 ·必修第二册
[解析] 由该容器的正视图可知，圆柱的底面半径为 1m，高为2m，圆锥的底面半径为1m，高为1m．则圆柱的体积为2πm3，圆锥的体积为13πm3，所以该容器的容积为73πm3.故选A.
第八章立体几何
高中新课程 ·人教A版 ·数学 ·必修第二册
规律总结：此类题目的解题关键是利用三视图获取体积公式中所涉及的基本量的有关信息，这要依靠对三视图的理解和把握．
第八章立体几何
高中新课程 ·人教A版 ·数学 ·必修第二册
直观图是在某一定点观察到的图形，三视图是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体轮廓线的正投影围成的平面图形．
画三视图时首先要认清几何体的基本结构，可以把垂直投影而的视线想象成平行光线，从正．前．方．、正．左．方．、正．上．方．射向几何体，其可见的轮廓线(包括被遮挡但是可以通过想象透视到的轮廓线)就是所要画出的视图．从三视图可以看出，正视图反映几何体的长和高，侧视图反映它的宽和高，俯视图反映它的长和宽．
第八章立体几何
高中新课程 ·人教A版 ·数学 ·必修第二册
[证法2] 如下图所示，将三棱柱ABC－A′B′C′补成一个四棱柱ABD′C－A′BDC′，
第八章立体几何

【数学】高中数学人教A版(2019)必修第二册第八章立体几何初步知识梳理

第八章立体几何初步一、凸多面体的概念1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．1）分类：斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；2）常见几何体平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；长方体：底面是矩形的直平行六面体；2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．2）常见几何体正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；正四面体：所有棱长都相等的三棱锥．3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．二、简单旋转体概念（圆柱、圆锥、圆台、球）1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥．3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）．三、常见几何体的表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体2直棱柱底=+S ch S2(斜棱柱底''=+S c l S c为直截面周长)2222()圆锥=+=+S r rl r r lπππ一、知识点明晰锥体12正棱锥底'=+S nah S2()圆锥=+=+S r rl r r l πππ台体1()2正棱台上下'=+++S n aa h S S22)圆台（''=+++S r r r l rl π球24=S R π体积公式体积柱体柱=V Sh锥体 13锥=V Sh台体1()3台''=++V S SS S h球343=V R π四、空间几何体的直观图1、斜二测画法（主要步骤如下）1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ，Oy ，建立直角坐标系． 2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于''O x ，''O y ，使45'''∠=x O y （或135），它们确定的平面表示水平平面．3）画出对应图形．在已知图形平行于x 轴的线段，在直观图中画成平行于'x 轴的线段，且长度保持不Sh变；在已知图形平行于y 轴的线段，在直观图中画成平行于'y 轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”．4）擦去辅助线．图画好后，要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 2、常用结论：1）直观图和平面图形的面积比为22S S =原直。

第八章立体几何初步(章末小结)高一数学(人教A版必修第二册)课件

如：正四棱锥的底面为正方形，侧面是全等的等腰三角形
③正三棱锥：底面为正三角形，侧面为等腰三角形；正四面体：底面和侧面为全等的正三角形.
从正棱锥的顶点向底面引垂线，该垂线必过底面的中心。
顶点侧面
C B 底面
知识梳理——2.几何体的特征
(3)棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面间的部分叫做棱台.
原图面积是直观图面积的2 2倍; ②原图中相等的角或线段在直观图中不一定相等； ③平行的线段在直观图中仍平行，
垂直的线段在直观图中不一定垂直.
(2)空间几何体直观图的画法：
与平面图形的直观图画法相比多了一个z轴，直观图中与之对应的是z′轴；平面x′O′y′表示水平平面，平面y′O′z′和x′O′z′表示竖直平面；已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中平行性和长度都不变．成图：去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线．
(1)证明面面平行的方法 ①面面平行的定义； ②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β； ③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β⇒α∥β； ④基本事实4的推广：α∥γ，β∥γ⇒α∥β. ⑤柱体的两底面互相平行；
(2)证明面面垂直的方法 ①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角； ②面面垂直的判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.
知识梳理——4.空间中点、直线、平面的关系
基本事实1.不共线的三点确定一个平面.
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
l
αA
B
基本事实2.若一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

人教A版【新教材】必修第二册第八章立体几何初步小结及复习

人教A版【新教材】必修第二册第八章
《立体几何初步》小结及复习参考
ห้องสมุดไป่ตู้ 关注的问题
学了什么？
如何学好？
一、回顾研究立体几何的重要手段
直观感知
操作确认
推理论证
度量计算
现实世界中的物体空间几何体
立体图形的直观图
柱、锥、台、球的结构特征
从简单到复杂
空间点、直线、平面之间的位置关系
平面的基本性质
柱、锥、台、球的表面积和体积及空
3、应用方法解决问题灵魂四问：
做什么？（明确问题方向）是什么？（揭示问题本质）有什么？（分析联系条件）如何做？（准确完美作答）
四、课后作业
1、认真阅读教科书第167页至169页小结的内容，认真思考其中提出的六个问题。 2、尝试用本节课所讲的学习思维过程去复习本章全部内容。
谢谢聆听！
二、以直线与平面的垂直为例
思考如何应用
做什么？（明确问题方向）是什么？（揭示问题本质）有什么？（分析联系条件）如何做？（准确完美作答）
二、以直线与平面的垂直为例
做什么？是什么？有什么？如何做？
三、课堂小结
1、高效学习三部曲
熟悉基本知识掌握基本方法思考如何应用 2、应用方法解决问题灵魂四问：做什么？（明确问题方向）是什么？（揭示问题本质）有什么？（分析联系条件）如何做？（准确完美作答）
间角和距离
从一般到特殊
空间中直线与直线的位置关系
空间中直线、平面的平行
空间中直线与平面的位置关系
空间中平面与平面的位置关系
空间中直线、平面的垂直
二、以直线与平面的垂直为例
1、直线与平面垂直的定义
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直

第8章立体几何初步(复习课件)高一数学(人教A版2019必修第二册)

81 C. 4 π
D．16π
(1)如图，设 PE 为正四棱锥 P-ABCD 的高，则正四棱锥 P-ABCD 的外接球的球心 O 必在其高 PE 所在的直线上，延长 PE 交球面于一点 F，连接 AE，AF.
由球的性质可知△PAF为直角三角形且AE⊥PF，
又底面边长为4, 所以AE＝2 2 ， PE＝6, 所以侧棱长PA＝
3
在Rt△CDE中,
故二面角B-AP-C的正切值为2.
tanCED CD 2 3 2， DE 3
归纳总结
(1)求异面直线所成的角常用平移转化法(转化为相交直线的夹角). (2)求直线与平面所成的角常用射影转化法(即作垂线、找射影). (3)二面角的平面角的作法常有三种：①定义法；②三垂线法； ③垂面法.
的表面积为 16π，则 O 到平面 ABC 的距离为
A. 3
3 B.2
√C.1
3 D. 2
解析如图所示，过球心O作OO1⊥平面ABC，则O1为等边三角形ABC的外心. 设△ABC的边长为a，则 43a2＝943，解得 a＝3， ∴O1A＝23× 23×3＝ 3. 设球O的半径为r，则由4πr2＝16π，得r＝2，即OA＝2. 在 Rt△OO1A 中，OO1＝ OA2－O1A2＝1，
五、直线、平面平行的判定与性质
1．直线与平面平行
(1)判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行).
(2)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”).
2．平面与平面平行
则直线 PB 与 AD1 所成的角为( )
A．
2

数学人教A版(2019)必修第二册8

点”，则可能存在无数个平面
2. 基本事实①的结论为“有且只有一个平面”，“有”指存在性，“只有”
指唯一性
【新知探究】
思考3：怎么判断直线与平面的位置关系呢？
看直线与平面交点的个数
思考4：如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？
否
思考5：如果直线与平面有两个公共点，直线是否在平面内？
C
平面
平面

B
平面
【新知探究】
思考1：空间中最小的元素是“点”，我们常说“点动成线，线动成面”，也就
是说直线和平面都可以看成点的集合，它们之间具有怎样的位置关系呢？
文字语言
符号语言
在上
∈
图形语言

在外
∉
在α内
∈α
α
在α外
∉α
α

【新知探究】
文字语言
符号语言
《立体几何初步》
§ 8.4.1 平面
【复习回顾】
表面积
多
面
体
旋
转
体
体积
棱柱
棱柱 = 侧 + 底
棱柱 =
棱锥
棱锥 = 侧 + 底

棱锥 =

棱台
棱台 = 侧 + 上底 + 上底
圆柱
圆柱 =( + ).
圆锥
圆锥 = +
圆台
圆台 =(′ + + ′ + )
2. 当平面竖直放置时，常将平行四边形的一组对边画成竖向
水平平面
相交平面
竖直平面
M
M
N

N

高中数学新教材人教版2019必修第二册第八章《立体几何初步》空间平行垂直复习课教学设计

师生互动、分组探究、个别指导等多种形式相结合，学生在学习中既能感受轻松愉悦的参与感、又能体验被个别关注的存在感；在方法技术上，将实物模型观察、课件演示、思维导图展示、投影、小组竞赛等引入课堂，学生既可以借助这些技术手段帮助思考，同时还可以体会学科知识的学习与实际生活以及信息技术的联系，从而提高学习兴趣，激发学习欲望和探究精神。

■六、教学过程设计教学环节（一）回顾知识强化记忆教学内容师生活动设计意图回顾平行与垂直的相关知识，展示平行与垂直在空间位置关系之间的的地位以及知识之间的联系完成三种语言转化表格问题1：请同学们完成以下表格！学生完成学案上三种语言的转化表格，师生共同浏览幻灯片回顾知识；并和学生一起核对答案学生通过浏览了解整个小节知识框架和地位，培养学生看待问题的整体意识和联系意识的习惯。

学生通过完成表格方式替代老师念读或幻灯片放映，既强化了对知识的理解和记忆，同时也在这样的学习习惯中养成自主学习意识.请大家核对答案教学环节（二）分析强调、深化理解教学内容师生活动设计意图课堂演练1、判断正误（一道5分）（1）若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行。

（）（2）若两条不同的直线垂直于第三条直线，则这两条直线互相平行。

（）（3）若两个不同的平面垂直于一条直线，则这两个平面互相平行。

（）（4）若一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，学生自主完成后，小组交流讨论，并把讨论的最终答案交上来老师逐题询问，考查学生对空间的认知能力，并掌握判断空间位置的方法则这两条直线互相垂直。

（）学生分析后，给出答案教学环节（三）一题多问，空间平行、垂直之间的转化2、解答题：如图，已知四棱锥中，底面ABCD 是正方形，PA 平面,点是的中点，点是的中点问题1.求证：//平面P ABCD ABCD M CD N PB MN PAD-⊥学生自主完成后，小组交流讨论，并把解题思路整理出来，以抢答的形式，小组派代表展示，有需要时老师适当引导。

【课件】立体几何初步(章末小结2)课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

α
a
l
面面垂直
a
线面垂直的定义
如果直线 l 和平面α内的任意一条直线都垂直，则称直线 l
和平面α垂直. 记作：l
A
线面垂直的判定
C C′
α
B′ B
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
l
m Pn
练习2 如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线
作用：证明点共线、线共点.
证:P,Q,R三点共线
证:AB,CD,l三线共点
知识梳理——4.空间中点、直线、平面的关系
三个平面能把空间分成4或6或7或8部分.
知识梳理——5.空间中的位置关系
知识梳理—5.空间中的平行关系
线线平行
线面平行
b
面面平行
β
O
α
α
(1)基本事实4 a∥b，b∥c， a∥c.
思考：
1.点面距离
2.线面距离
α
3. 面面距离
β α
平面与平面垂直的概念
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.
平面与平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
符号语言：
图形语言： a
线面垂直面面垂直
又D1A 平面BC1D,C1B 平面BC1D, D1A // 平面BC1D. 同理 D1B1 // 平面BC1D.
又D1A D1B1 D1,平面AB1D1 // 平面BC1D.
平面与平面平行的性质
简述为：面面平行Байду номын сангаас线平行
1. 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

高中数学必修二第八章章末复习

知识系统整合规律方法收藏1．对于简单的空间几何体，要注意从表示法、分类、结构特征三个方面入手，抓住各几何体之间的相互关系，多观察、模仿课本中的立体图形，画好空间几何体的直观图．2．在本章学习中要注意掌握“还台为锥”的解题思想和“化曲(折)为直”(将几何体表面展开铺平)的思想方法，以用来求解表面两点间距离最短问题．3．直线和平面垂直的判定定理可简化为“线线垂直，则线面垂直”．这里的“线线”指的是“一条直线和平面内的两条相交直线”；“线面”则是指这条直线和两条相交直线所在的平面．判定定理告诉我们，要证明直线和平面垂直，只需在这个平面内找出两条相交直线都与已知直线垂直即可．4．判定线面垂直的方法，主要有三种：①利用定义；②利用判定定理；③与平行关系联合运用，即若a∥b，且a⊥α，则b⊥α.5．两平面相交成直二面角时，两平面垂直．作为二面角，除了本身所包含的问题外，它又是两个平面垂直定义的基础．同异面直线所成的角、直线和平面所成的角相比，二面角又是多种知识的交汇点，因此它必是每年高考重点考查的内容之一．对于本节内容及相关问题应引起足够重视．6．二面角的平面角必须具备三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两条边分别与二面角的棱垂直．准确、恰当地作出二面角的平面角，是解答有关二面角问题的关键．作二面角的平面角通常有三种方法：①定义法．这里要注意角的顶点的恰当选取；②垂面法；③垂线法．当二面角的棱未给出时，首先要作出二面角的棱，再利用上述办法作出平面角．7．面面垂直的判定方法有两种：一是利用面面垂直的定义找到二面角的平面角，证明该角为直角；二是利用面面垂直的判定定理．8．转化思想是解立体几何最常用的数学思想，本章涉及的垂直问题的证明通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，同时，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．学科思想培优空间几何体的结构特征1．空间几何体的结构特征是立体几何图形认识的基础，理解时要从其几何体的本质去把握，多面体中常见的棱柱、棱锥和棱台既有必然的联系，也有本质的区别．2．旋转体是由一个平面封闭图形绕一条轴旋转形成的，一定要弄清圆柱、圆锥、圆台、球分别是由哪一种平面图形旋转形成的，从而可以掌握旋转体中各元素之间的关系，也就掌握了它们各自的性质．[典例1]给出下列四个命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②棱柱的上下底面全等；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；②正确；③错误．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱的延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．答案 B空间几何体的直观图空间几何体的直观图是空间几何体的表现形式，是学好空间几何的基础和关键，只有正确作出空间几何体的直观图，才能分析其中各元素及各组成部分之间的关系．[典例2]画出如图所示的四边形OABC的直观图(已知OC＝AD＝2，OD＝3，OB＝4，OC⊥OB，AD⊥OB)．解以O为原点，OB所在的直线为x轴建立直角坐标系xOy，如图1.作∠C′O′B′＝45°，其中O′B′是水平的，O′B′＝4，O′D′＝3，O′C′＝1，过D′作∠B′D′A′＝135°，使A′D′＝1，顺次连接O′A′，A′B′，B′C′，所得四边形O′A′B′C′即为四边形OABC的直观图，如图2.空间几何体的体积与表面积几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题、相同材料容积最大问题，都涉及表面积和体积的计算．特别是特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用．割补法、构造法是常用的技巧．[典例3] 已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 的体积的最大值为36，则球O 的表面积为多少？解如图所示，当点C 位于垂直于平面OAB 的直径顶端时，三棱锥O －ABC 的体积最大．设球O 的半径为R ，此时V O －ABC ＝V C －OAB ＝13×12R 2×R ＝R 36＝36.∴R ＝6.∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝144π.空间中的位置关系1．空间中两直线的位置关系⎩⎨⎧ 相交平行异面2．空间中线与面的位置关系⎩⎨⎧ 线在面内线面平行线面相交3．两个平面的位置关系⎩⎨⎧平行相交[典例4] 已知m ，n 是不同的直线α，β是两个不重合的平面．给出下列结论：①若m ∥α，则m 平行于平面α内任意一条直线；②若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n ；③若m ⊥α，n ⊥β，m ∥n ，则α⊥β；④若α∥β，m ⊂α，则m ∥β.其中正确的结论的序号是________(写出所有正确结论的序号)．解析若m ∥α，则m 平行于过m 的平面与α相交的交线，并非所有的直线，故①错误；若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则可能m ∥n ，也可能m ，n 异面，故②错误．③④正确．答案 ③④平行问题立体几何中的平行问题有三类：一是线线平行，由基本事实4和面面平行的性质定理可以证明线线平行，由线面平行(或垂直)的性质定理可以证明线线平行；根据线线平行可以得出两条异面直线所成的角，可以证明线面平行等；二是线面平行，由线面平行的定义和判定定理可证明线面平行；三是两个平面平行，用定义和判定定理可以证明两个平面平行，或垂直于同一条直线的两个平面平行，或平行于同一个平面的两个平面平行；由面面平行可以得出线面平行和线线平行．平行关系的转化是：[典例5] 如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)证明：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N －BCM 的体积．解 (1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.如图，取BP 的中点T ，连接AT ，TN ，由N 为PC 的中点知TN ∥BC ，TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，所以四边形AMNT 为平行四边形，所以MN ∥AT .因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ，所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .如图，取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5.所以四面体N －BCM 的体积V N －BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.垂直问题1．空间中垂直关系的相互转化2．判定线面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理；(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”；(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”；(4)利用面面垂直的性质．3．判定线线垂直的方法(1)平面几何中证明线线垂直的方法；(2)线面垂直的性质：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；(3)线面垂直的性质：a⊥α，b∥α⇒a⊥b.4．判断面面垂直的方法(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；(2)判定定理：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β.[典例6]如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1⊂平面BCC1B1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD ⊂平面ADE ，A 1F ⊄平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .线线角、线面角和二面角问题1．两条异面直线所成的角的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.找两条异面直线所成的角，关键是选取合适的点，引两条异面直线的平行线，这两条相交直线所成的锐角或直角即为两条异面直线所成的角．特别地，两条异面直线垂直，可由线面垂直得到．2．直线和平面所成的角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.找线面角的关键是找到直线与其在平面内的射影的夹角．当线面角为0°时，直线与平面平行或直线在平面内；当线面角为90°时，直线与平面垂直．3．如果求两个相交平面所成的二面角．除垂直外，均有两个答案，即θ或180°－θ.具体几何体中，由题意和图形确定．作二面角的平面角时，首先要确定二面角的棱，然后结合题设构造二面角的平面角．一般常用：(1)定义法；(2)垂面法．4．求角度问题时，无论哪种情况，最终都归结到两条相交直线所成的角的问题．求角度的解题步骤：(1)找出这个角；(2)证该角符合题意；(3)构造出含这个角的三角形，解这个三角形，求出角．[典例7] 如图，PD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，PD ＝DC ＝2，BC ＝2 2.(1)求PB 与平面ADC 所成角的大小；(2)求异面直线PC ，BD 所成角的正弦值．解 (1)因为PD ⊥平面ABCD ，所以∠PBD 即为PB 与平面ADC 所成的角．因为四边形ABCD 是矩形，所以BC ⊥DC ，所以BD ＝23，tan ∠PBD ＝PD BD ＝33，所以∠PBD ＝30°，即PB与平面ADC所成角的大小为30°.(2)取P A的中点G，连接OG，DG，如图．显然OG∥PC，所以∠DOG(或其补角)即为异面直线PC，BD所成的角．因为OG＝12PC＝2，OD＝12BD＝3，DG＝12P A＝3，所以△OGD是等腰三角形，作底边的高，易求出sin∠DOG＝306，所以异面直线PC，BD所成角的正弦值为306.[典例8]如图，在圆锥PO中，已知PO⊥底面⊙O，PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是的中点，D为AC的中点．(1)证明：平面POD⊥平面P AC；(2)求二面角B－P A－C的余弦值.解(1)证明：如图，连接OC.∵PO⊥底面⊙O，AC⊂底面⊙O，∴AC⊥PO.∵OA＝OC，D是AC的中点，∴AC⊥OD.又OD∩PO＝O，∴AC⊥平面POD.又AC ⊂平面P AC ，∴平面POD ⊥平面P AC .(2)在平面POD 中，过点O 作OH ⊥PD 于点H .由(1)知，平面POD ⊥平面P AC ，且交线为PD ，OH ⊂平面POD ， ∴OH ⊥平面P AC .又P A ⊂平面P AC ，∴P A ⊥OH . 在平面P AO 中，过点O 作OG ⊥P A 于点G ，连接HG ，则有P A ⊥平面OGH ，∴P A ⊥HG . 故∠OGH 为二面角B －P A －C 的平面角．∵C 是的中点，AB 是直径，∴OC ⊥AB .在Rt △ODA 中，OD ＝OA ·sin45°＝22.在Rt △POD 中，OH ＝PO ·OD PD ＝PO ·OD PO 2＋OD 2＝2×222＋12＝105. 在Rt △POA 中，OG ＝PO ·OA P A ＝PO ·OAPO 2＋OA 2＝2×12＋1＝63. 又GH ⊂平面P AC ，∴OH ⊥GH .在Rt △OHG 中，sin ∠OGH ＝OH OG ＝10563＝155. ∴cos ∠OGH ＝1－sin 2∠OGH ＝1－1525＝105.故二面角B －P A －C 的余弦值为105.。

立体几何初步复习课

立体几何初步复习课一、内容和内容解析1．内容人教版普通高中教科书数学必修第二册第167页至第171页第八章立体几何初步小结及复习参考题8．重点是通过分析常见几何图形及典型问题，梳理立体几何初步的核心概念、定理等内容与思想方法．本章知识结构如下框图：2．内容解析本章包括两部分内容，第一部分是认识基本立体图形：包括从空间几何体的整体观察入手，通过认识柱、锥、台、球等基本立体图形的组成元素及其相互关系，认识这些图形的几何结构特征，以及它们在平面上的直观图表示和它们的表面积和体积的计算．第二部分是认识基本图形位置关系：主要是讨论组成立体图形的几何元素之间的位置关系．从组成立体图形的基本元素——点、直线、平面出发，研究平面基本性质，认识空间点、直线、平面的位置关系，重点研究直线、平面之间的平行和垂直这两种特殊的位置关系．因此本节课的教学重点是通过分析常见几何图形及典型问题，梳理立体几何初步的核心概念、定理等内容与思想方法，从而构建立体几何的核心体系．难点是分析组合体的结构特征以及运用有关定理推理证明一些几何元素间的位置关系．二、目标和目标解析1．目标（1）在回顾与思考本章的主要内容的基础上，引导学生梳理立体几何的核心概念、定理等内容与思想方法，构建立体几何的核心体系，体会研究空间图形的基本思路：直观感知、操作确认、推理论证、度量计算．（2）借助分析典型问题的通性通法，通过“图”（识图、画图、用图）提升学生直观想象素养，通过“写”（图形、文字、符号三种语言）培养学生逻辑推理能力，通过“悟”（直观感知、操作确认）发展学生数学抽象水平．2．目标解析（1）通过问题的形式回顾主要内容，并不是简单的重复，而是深入思考、归纳概括、建立知识结构，形成研究空间图形的基本方法．（2）借助正方体等常见几何体模型，设计一些综合性较强的问题让学生自主探究，建立一套解决复杂问题的处理模式．三、教学问题诊断分析学生虽然学完了立体几何初步的内容，但对几何图形的认识基本上停留在碎片化的就题论题的表层水平，对空间元素位置关系的研究不深入，需要在一两节复习课上以师生相互交流的方式更深入地认识立体几何．四、教学支持条件分析观察和展示现实生活中的实例与图片，“几何画板”的画图软件，投影仪等．五、教学过程设计问题1：我们是从哪些角度入手研究基本几何体的结构特征的？你能用基本几何体的结构特征解释身边物体的结构吗？请举例说明．我们从对空间几何体（实物、模型、图片等）的整体观察入手，认识多面体、旋转体以及一些基本几何体（棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球）的结构特征，研究这些几何体的组成元素及其相互关系．师生共同总结：（1）n棱锥：F=n+1,E=2n,V=n+1,V+F-E=2n棱柱与n棱台：F=n+2,E=3n,V=2n,V+F-E=2n棱锥的本质特征：有一个面是n边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形．n棱柱的本质特征：有两个面（均为n边形）相互平行，其余各面是每相邻两个面的公共边互相平行的四边形面．n棱台是用一个平行于n棱锥底面的平面去截棱锥，所得的底面与截面之间的部分．当n棱柱的一个底面“均匀”缩小变为面积较小的相似底面时，变成n棱台；继续“均匀”缩小成一个点时，便变成n棱锥．（2）V+F-E=2这个规律是欧拉拓扑公式：V+F-E=2,其中V,F,E分别是简单多面体的顶点个数、面数、棱的条数．例2 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，半正多面体体现了数学的对称美．图2是图1“半正多面体”的直观图．（1）请你数一数该几何体的面数F，棱数E，顶点数V，是否有例1的规律？（2）请你说说是怎样数出来的？说说该半正多面体的结构特征．师生共同总结：（1）F=26,E=48,V=24,F+V-E=2（2）①该半正多面体可看成一个组合体，从上而下看，最上层与最下层是两个全等的多面体（如图3，图5），图3多面体的下底面是正八边形，上底面是正方形，且下底面与上底面平行，侧面有四个正方形，四个正三角形；中间是正八棱柱（如图4）．②从上下、左右、前后三个方向看，该半正多面体都具有相同的结构，体现了数学的对称美，也展示了南北朝时期的审美观与几何文化．问题2：利用斜二测画法可以画出空间几何体的直观图．你能结合实例说出用斜二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤吗？斜二测画法画空间几何体的直观图，是用平面图形表示空间图形的重要方法，我们能够根据直观图想象空间几何体的形状和结构．简单说，斜二测画法的规则是：横竖不变，纵减半，平行性不变．我们可以例1中的正八棱柱为例，具体展示用斜二测画法画空间几何体的直观图的基本步骤（如图6）．问题3：对于空间几何体，可以有不同的分类，你能选择不同的分类标准对柱、锥、台、球等空间几何体进行分类吗？如何计算柱、锥、台、球的表面积和体积？你能说出柱、锥、台、球的体积公式之间的联系吗？空间几何体按照围成它的各个面的特征（平面还是曲面）分类，可以得到多面体、旋转体．进一步地，按照组成多面体和旋转体的面、棱、顶点等组成要素的特征及其位置关系分类，又可以得到棱柱、棱锥、棱台等基本的多面体以及圆柱、圆锥、圆台、球等基本的旋转体．棱柱、棱锥和棱台的表面积就是组成它们的各个面的面积和，圆柱、圆锥、圆台的侧面与表面积可以通过侧面展开为平面图形来处理．用运动变化的观点研究棱柱、棱锥和棱台的体积公式之间的关系：分析：考虑旋转后得到怎样的几何体．解析：图7旋转后形成的几何体是底面圆半径与高均为的圆柱挖去一个圆锥后的几何体，该圆锥的顶点为圆柱下底的圆心，底面与圆柱上底面重合（如图9中的右图所示）．为什么这两个几何体的体积相等呢？课后同学们可上网查阅“祖暅原理”进行更多的了解．探究1：问以该正方体的顶点为顶点的四面体有几种（全等的算一种）？比较这些四面体的结构特征．展示同学们的作业，同时交流思路．四面体的四个顶点不可能在正方体的同一个面上，应该分布在正方体的上、下两个面上，以在下底面的顶点为标准分类考虑．归纳总结有以下四种（如图11）：探究2：是否存在四个面都是直角三角形的四面体？总结：（1）求四面体的体积一般可根据四面体的结构特征，确定高与底面，转化为求三棱锥的体积；图11（4）中的四面体是正四面体（各面都是全等的正三角形），也可通过割补法求得；定义法、转化法、割补法等是求几何体体积的重要方法．（2）经计算发现，图11（4）中的正四面体的体积最大，表面积最小，这也是现实中经常要考虑的最优化问题．探究4：怎样求图11中的四个四面体的外接球与内切球的半径？四个四面体的外接球与正方体的外接球相同，其一条直径为正方体的体对角线，半径．如图12，可以类比三角形内切圆半径的面积计算思路，可计算出四个内切球的半径．问题4：刻画平面的三个基本事实是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形、进行逻辑推理的基础．实际上，三个基本事实刻画了平面的“平”、平面的“无限延展”，你能归纳一下刻画的方法吗？平面的三个基本事实是按照从简单到复杂的顺序，刻画平面的基本性质．基本事实1是从点与平面关系的角度刻画平面的唯一存在性，基本事实2是从直线与平面关系的角度利用直线的“直”和“无限延伸”的属性刻画了平面的“平”和“无限延展”的属性，基本事实3是从平面与平面关系的角度进一步说明了平面的“平”和“无限延展”的特征：由于平面是“平的”，因而它们才可能交于一条直线，否则交线就不是“直”的，而是“曲”的了，例如圆柱的侧面和底面的交线就是一条曲线；另外，两个平面相交于一条直线，直线是“无限延伸”的，也说明平面的交点有无数个，平面是“无限延展”的．空间直线与直线，直线与平面，平面与平面之间的位置关系是从生活世界中找到模型，再根据公共点的个数、是否共面等进行逻辑分类建立起来的．例5（复习参考题8第5题）三个平面可将空间分成几部分？请分情况说明．探究1：一个平面将空间分成两个部分，两个平面有几种位置关系？它们将空间分成几部分？图13（1）中αPβ，它们将空间分成三部分；图13（2）中αIβ=a，它们将空间分成四部分．探究2：在图13中再增加一个平面，这三个平面可能产生哪些位置关系？每种位置关系可将空间分成几部分？可能出现五种不同的位置关系如图14，三个不同的平面α，β，γ，直线a,b,c,l．将12条分成三个共面组，侧棱组4条，上底面棱组4条，下底面棱组4条，若“异面直线组”含四条或以上的棱，则至少有两条棱在同一组，这样两条棱便共面，这与“异面直线组”的定义矛盾，故“异面直线组”最多有三条棱．问题5：在直线、平面的位置关系中，“平行”和“垂直”是最重要的．（1）在研究这些位置关系的判定时，我们采用了哪些思想方法？以直线与平面垂直为例，总结一下研究判定的内容、过程和方法．（2）研究这些位置关系的性质，实际上就是要研究什么问题？以两个平面相互垂直为例，总结一下研究性质的内容、过程和方法．研究“什么是空间直线、平面的垂直？”以及“空间直线、平面垂直时其要素（直线、平面）有什么确定不变关系”；确立研究空间直线、平面垂直的内容（判定与性质）与路径：“化繁为简”“以简驭繁”“空间问题平面化”是空间元素位置关系的一般思路．我们利用直线与直线的垂直研究直线与平面的垂直，利用直线与直线垂直、直线与平面垂直研究平面与平面垂直．反过来，由直线与平面垂直又可以得到直线与直线垂直，由平面与平面垂直又可以得到直线与直线、直线与平面垂直．小结：正方体（或长方体）是重要的几何体模型，我们要深入研究正方体模型，对它进行变形，构建出新的模型，探求各种空间位置关系或几何模型与正方体之间的联系，彰显正方体的“母体”地位．课后作业：5．教材第170页复习参考题8第10题．6．教材第170页复习参考题8第11题．7．教材第171页复习参考题8第13题．8．教材第171页复习参考题8第14题．六、目标检测设计（时间：90分，满分：100分）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列说法错误的是（）．（A）一个八棱柱有10个面（B）任意n面体都可以分割成n个棱锥（C）棱台侧棱的延长线必相交于一点（D）矩形旋转一周一定形成一个圆柱2．给出下列4个命题：①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一平面的两条直线平行；③平行于同一直线的两个平面平行；④平行于同一平面的两个平面平行．其中正确的命题是（）．（A）①②（B）③④（C）①④（D）②③3．给出下列4个命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一平面的两条直线平行；③垂直于同一直线的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面平行．其中正确的命题是（）．（A）①②（B）③④（C）①④（D）②③4．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为，则这个三棱锥的体积是（）．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．请将答案填在对应题号的位置上．9．正方体相邻两个面的两条对角线所成角的大小是________．10．长方体的所有顶点都在一个球面上，长、宽、高分别为3，2，1，那么这个球面的面积是________．11．正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3，则它的体积为________．13．已知矩形ABCD，AB＝2，AD＝1，沿BD将△ABD折起成△．若点A′在平面BCD上的射影落在△BCD的内部，则四面体的体积的取值范围是________．14．空间的4个平面，最多能将空间分成________个区域．三、解答题：本大题共4小题，共38分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本题满分8分）画图，并证明：若m//α，n⊥α，则m⊥n．16．（本题满分10分）17．（本题满分10分）如图，正四棱锥P-ABCD中，已知侧棱和底面边长都等于2，E是AB的中点．（1）求证：AB∥平面PCD．（2）求异面直线PE与BC所成角的余弦值．。