2016年重庆一中高2017级高二上期期末考试数学(文科)和答案

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【重庆部分区】2017届高三上学年期期末(文科)数学年试题答案

重庆市部分区2017届学年高三上学期期末数学（文）试卷 1．已知2i i ia b +=+（a ，b 是实数），其中i 是虚数单位，则ab =（） A ．2- B ．1- C ．1 D ．3 2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，12a =-，30S =，则{}n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知集合{}1,2,3,4A =，{}2,B x y x y A ==∈，则AB =（） A ．{}2 B ．{}1,2C ．{}2,4D ．{}1,2,44．在平面直角坐标系xOy 中，不等式组10101x y x y x --≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域的面积为（）A ．2B ．4C ．6D ．85．命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数字成绩低于100分，则()p q ∨￢表示（） A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分6．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）A ．104人B ．108人C ．112人D ．120人7．执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值的集合为（）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}2,3D ．{}1,3,98．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．72B ．143C ．7D ．149．设曲线x 上的点到直线20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值为（）A ．2BC ．12+D ．210．函数1sin y x x=-的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．11．已知ABC △的外接圆半径为2，D 为该圆上一点，且AB AC AD +=，则ABC △的面积的最大值为（）A ．3B ．4C ．D ．12．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且2QP PF =，120QF QF ∙=，则双曲线C 的离心率为（）A 1BC 1D 1+13．若直线()120a x y +-+=与直线()110x a y +--=平行，则实数a 的值为________．14．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=+_________． 15．已知0x =是函数()()()22322f x x a x a x a =-++的极小值点，则实数a 的取值范围是_________．16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，22a =，()121*n n n S a a n +++-=∈N ，若不等式n n S a λ>恒成立，则实数λ的取值范围是_________．17．已知向量()sin ,cos a x x =，πcos sin ,cos 6b x x x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，函数()f x a b =∙．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且π1cos 123α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求()f α． 18．心理学家分析发现“喜欢空间现象”与“性别”有关，某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按层抽样的方法抽取50名同学（男生30人，女生20人），给每位同学立体几何体，代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答，选题情况统计如表：（单位：人）（1）能否有97.5%以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为45，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍，现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．附表及公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，D 为AB 的中点，1CD DA ⊥，AC BC ⊥，145ABB ∠=，12AC BC BB ===．（1）证明：1B D BD ⊥；（2）求点A 到平面1ACD 的距离．20．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，AB =，点P 是椭圆C 上的动点，且12cos F PF ∠的最小值为35．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()2,0-的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，求22F M F N ∙的取值范围．21．已知函数()()e 0,x f x x a b a b =-+>∈R ．（1）求()f x 的最大值；（2）若函数()f x 有两个不同的零点1x ，2x ，证明：122x x lna <-+．请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按答第一题评分；多答按所答第一题评分．22．在直角坐标系xOy 中，直线l ：2x t y t=⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos240ρθ+=．（Ⅰ）写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知点(A ，直线l 与曲线C 相交于点M 、N ，求11AM AN+的值． 23．已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>．（Ⅰ）若1a =，2b =，解不等式()5f x ≤；（Ⅱ）若()f x 的最小值为3，求22a b b a+的最小值．。

【精品】2016-2017年重庆市六校联考高二上学期数学期末试卷(文科)与答案

2016-2017学年重庆市六校联考高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）直线λ：2x﹣y+3=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定3．（5分）直线l1：2x+（m+1）y+4=0和直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m=（）A．﹣3或2 B．2 C．﹣2或3 D．34．（5分）点P（0，1）到双曲线渐近线的距离是（）A．B．C．D．55．（5分）已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．46．（5分）设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β7．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．B．1cm3C．D．3cm38．（5分）湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个半径为4cm，深2cm的空穴，则该球表面积为（）cm2．A．400πB．300πC．200πD．100π9．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，焦点为F，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则△MOF的面积为（）A．B．C．2 D．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a（a＞1），动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱CD，AD上，若EF=1，A1F=x，DP=y，DQ=z（x，y，z均大于零），则四面体PEFQ的体积（）A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关11．（5分）已知椭圆：+=1（0＜b＜3），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为10，则b的值是（）A．1 B．C．D．12．（5分）一个棱长为的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．1 B．C．2 D．3二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）焦点在（﹣2，0）和（2，0），经过点（2，3）的椭圆方程为．14．（5分）一圆锥的母线长2cm，底面半径为1cm，则该圆锥的表面积是cm2．15．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，点P是面A1B1C1D1内一动点，则|PA|+|PC|的最小值为．16．（5分）设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Γ的一个交点，，椭圆M的离心率为e1，双曲线Γ的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=．三、解答题（共6大题，共70分）17．（10分）给定两个命题p：表示焦点在x轴上的双曲线；q：关于x的方程x2﹣4x﹣a=0有实数根．如果￢p∧q为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知过点P（2，2）的直线l和圆C：（x﹣1）2+y2=6交于A，B两点．（Ⅰ）若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若，求直线l的方程．19．（12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，且AD∥BC，AD=DC=1，．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）求三棱锥B﹣SAD的体积．20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥CD，平面CDFE⊥平面ABCD，且AD=3EF，DE=DF，点G为EF中点．（Ⅰ）求证：DG⊥BC；（Ⅱ）M是线段BD上一点，若GM∥平面ADF，求DM：MB的值．21．（12分）如图，抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，1），圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为2的圆M与y轴相切．（Ⅰ）求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）过P（2，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线E相交于A，B两点，与圆M相交于C，D两点，N为线段CD的中点，当，求AB所在的直线方程．22．（12分）已知椭圆的离心率为，一个短轴端点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l：x+4y﹣2=0，过点A（2，2）作直线m交椭圆C于不同的两点E，F交直线l于点K，问：是否存在常数t，使得恒成立，并说明理由．2016-2017学年重庆市六校联考高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）直线x+y﹣1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：设直线x+y﹣1=0的倾斜角为α．直线x+y﹣1=0化为．∴tanα=﹣．∵α∈[0°，180°），∴α=150°．故选：D．2．（5分）直线λ：2x﹣y+3=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．不确定【解答】解：圆C：x2+（y﹣1）2=5的圆心C（0，1），半径r=，圆心C（0，1）到直线λ：2x﹣y+3=0的距离：d==＜r=，∴直线λ：2x﹣y+3=0与圆C：x2+（y﹣1）2=5相交．故选：A．3．（5分）直线l1：2x+（m+1）y+4=0和直线l2：mx+3y﹣2=0平行，则m=（）A．﹣3或2 B．2 C．﹣2或3 D．3【解答】解：∵直线l1：2x+（m+1）y+4=0和直线l2：mx+3y﹣2=0平行，∴，解得：m=﹣3或2．故选：A．4．（5分）点P（0，1）到双曲线渐近线的距离是（）A．B．C．D．5【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：，则其渐近线方程为：y=±2x，即2x±y=0，点P（0，1）到2x﹣y=0的距离d==，故选：B．5．（5分）已知x，y满足不等式组，则z=2x﹣y的最大值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【解答】解：先根据约束条件，画出可行域，由得A（1，0），当直线z=2x﹣y过点A（1，0）时，z最大值是2，故选：C．6．（5分）设l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若α⊥β，l∥α，则l⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l∥βD．若l∥α，l⊥β，则α⊥β【解答】解：由l是空间一条直线，α和β是两个不同的平面，知：在A中：若l∥α，l∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中：若α⊥β，l∥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故B错误；在C中：若α⊥β，l⊥α，则l与β相交、平行或l⊂β，故C错误；在D中：若l∥α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．7．（5分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．B．1cm3C．D．3cm3【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个倒立的四棱锥，底面是一个直角梯形，上底AB=1，下底CD=2，AD⊥AB，AD=1，侧面PCD⊥底面ABCD，PC=PD．取CD的中点O，连接PO，则PO⊥CD，PO=1．∴该几何体的体积V==cm3．故选：A．8．（5分）湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个半径为4cm，深2cm的空穴，则该球表面积为（）cm2．A．400πB．300πC．200πD．100π【解答】解：设球心为O，OC是与冰面垂直的一条球半径，冰面截球得到的小圆圆心为D，AB为小圆D的一条直径，设球的半径为Rcm，则CD=R﹣OD=2cm，∴Rt△OBD中，OB=Rcm，OD=（R﹣2）cm，BD=4cm．根据勾股定理，得OD2+BD2=OB2，即（R﹣2）2+42=R2，解之得R=5cm，∴该球表面积为S=4πR2=4π×52=100π．故选：D．9．（5分）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，焦点为F，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则△MOF的面积为（）A．B．C．2 D．【解答】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，∴2+=3，∴p=2，∴抛物线方程为y2=4x∵M（2，y0）∴y02=8∴△MOF的面积为=，故选：B．10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a（a＞1），动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱CD，AD上，若EF=1，A1F=x，DP=y，DQ=z（x，y，z均大于零），则四面体PEFQ的体积（）A．与x，y，z都有关B．与x有关，与y，z无关C．与y有关，与x，z无关D．与z有关，与x，y无关【解答】解：从图中可以分析出：△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的，而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．故若EF=1，A1F=x，DP=y，DQ=z（x，y，z均大于零），则四面体PEFQ的体积与z有关，与x，y无关．故选：D．11．（5分）已知椭圆：+=1（0＜b＜3），左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A、B两点，若|BF2|+|AF2|的最大值为10，则b的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：椭圆的焦点在x轴上，由椭圆的定义可知：丨AF1丨+丨AF2丨=2a=6，丨BF1丨+丨BF2丨=2a=6，则丨AF2丨=6﹣丨AF1丨，丨BF2丨=6﹣丨BF1丨，∴|BF2|+|AF2|=12﹣（丨AF1丨+丨BF1丨）=12﹣丨AB丨，当丨AF1丨+丨BF1丨=丨AB丨取最小值时，|BF2|+|AF2|取最大值，即=2，解得：b=，b的值，故选：C．12．（5分）一个棱长为的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体棱长的最大值为（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：设球的半径为r，由正四面体的体积得：4×=，解得r=，设正方体的最大棱长为a，∴3a2=（2）2，解得a=2．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）焦点在（﹣2，0）和（2，0），经过点（2，3）的椭圆方程为．【解答】解：根据题意，椭圆的焦点坐标为（﹣2，0）和（2，0），则其焦点在x轴上，且c=2，设其标准方程为：+=1，又由其经过点（2，3），则有﹣=1，解可得a2=16，则其标准方程为：；故答案为：．14．（5分）一圆锥的母线长2cm，底面半径为1cm，则该圆锥的表面积是3πcm2．【解答】解：圆锥的侧面积=2π×1×2÷2=2π．底面积为π该圆锥的表面积是为：2π+π=3π．故答案为：3π15．（5分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=5，点P是面A1B1C1D1内一动点，则|PA|+|PC|的最小值为5．【解答】解：设A关于平面A1B1C1D1的对称点为A′，则|PA|+|PC|的最小值为A″C==5，故答案为5．16．（5分）设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Γ的一个交点，，椭圆M的离心率为e1，双曲线Γ的离心率为e2．若e2=2e1，则e1=．【解答】解：设椭圆与双曲线的半长轴分别为a1，a2，半焦距为c．e1=，e2=．设|PF1|=m，|PF2|=n，不妨设m＞n，则m+n=2a1，m﹣n=2a2．∴m2+n2=2+2，mn=﹣4c2=m2+n2﹣2mncos∠F1PF2，∴4c2=2+2﹣2（﹣）×．整理得：10c2=+9，∴10=+，又e2=2e1，∴40=13，e1∈（0，1）．解得：e1=．∴椭圆的离心率e1=．故答案为：．三、解答题（共6大题，共70分）17．（10分）给定两个命题p：表示焦点在x轴上的双曲线；q：关于x的方程x2﹣4x﹣a=0有实数根．如果￢p∧q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若命题p为真，则，解得﹣1＜a＜2，…（3分）若命题Q为真，则△=16+4a≥0，得a≥﹣4 …（6分）因为¬p∧q为真命题，则P假Q真，…（8分）则所以实数a的取值范围是﹣4≤a≤﹣1或a≥2…（10分）18．（12分）已知过点P（2，2）的直线l和圆C：（x﹣1）2+y2=6交于A，B两点．（Ⅰ）若点P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程；（Ⅱ）若，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）由已知l⊥CP，因为，所以，故直线l的方程为x+2y﹣6=0…（6分）（Ⅱ）设圆心C到直线l的距离为d，则d=1当直线l的斜率不存在时，符合题意，此时直线的方程为x=2；…（8分）当直线l的斜率存在时，设斜率为k，则直线l的方程为y﹣2=k（x﹣2），即kx ﹣y+2﹣2k=0，所以，则，此时直线的方程为3x﹣4y+2=0综上，直线l的方程为x=2或3x﹣4y+2=0…（12分）19．（12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥S﹣ABCD中，且AD∥BC，AD=DC=1，．（Ⅰ）求证：AC⊥SD；（Ⅱ）求三棱锥B﹣SAD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）设O为AC的中点，连接OS，OD，∵SA=SC，∴OS⊥AC，∵DA=DC，∴DO⊥AC，又OS，OD⊂平面SOD，且OS∩DO=O，AC⊥平面SOD，又SD⊂平面SOD，∴AC⊥SD．…（6分）解：（Ⅱ）∵O为AC的中点，在直角△ADC中，DA2+DC2=2=AC2，则，在△ASC中，∵，O为AC的中点，∴△ASC为正三角形，且，∵在△SOD中，OS2+OD2=SD2，∴△SOD为直角三角形，且∠SOD=90°，∴SO⊥OD，又OS⊥AC，且AC∩DO=O，∴SO⊥平面ABCD．…（10分）∴三棱锥B﹣SAD的体积：V B﹣SAD=V S﹣BAD====．…（12分）20．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，EF∥CD，平面CDFE⊥平面ABCD，且AD=3EF，DE=DF，点G为EF中点．（Ⅰ）求证：DG⊥BC；（Ⅱ）M是线段BD上一点，若GM∥平面ADF，求DM：MB的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）证明：∵DE=DF，G是EF的中点，∴DG⊥EF，又∵EF∥DC，∴DG⊥DC，…（2分）又∵平面ABCD⊥平面CDEF，平面ABCD∩平面CDEF=CD，∴DG⊥平面ABCD，又∵BC在平面ABCD内，∴DG⊥BC．…（6分）（Ⅱ）过M作MN∥AB交AD于N，连接FN，∵EG∥DC，DC∥AB，∴EG∥MN，又∵GM∥平面ADF，∴GM∥FN，∴四边形FGMN是平行四边形，…（9分）∴，∵，∴．…（12分）21．（12分）如图，抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，1），圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为2的圆M与y轴相切．（Ⅰ）求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）过P（2，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线E相交于A，B两点，与圆M相交于C，D两点，N为线段CD的中点，当，求AB所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为（0，1），∴p=2，∴抛物线E：x2=4y，…（3分）∵圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为2的圆M与y轴相切，∴圆M的方程：（x﹣2）2+（y﹣4）2=4；…（4分）（Ⅱ）设直线AB的斜率为k（k显然存在且不为零）立⇒x2﹣4kx+8k=0又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，则即，而16k2﹣32k＞0，故．…（8分）（其中d表示圆心M到直线AB的距离）=…（11分）又，所以，解得或（舍）所以AB所在的直线方程为：即．…（12分）22．（12分）已知椭圆的离心率为，一个短轴端点到焦点的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知直线l：x+4y﹣2=0，过点A（2，2）作直线m交椭圆C于不同的两点E，F交直线l于点K，问：是否存在常数t，使得恒成立，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：，解得：，∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）设直线m的方程为y=kx+b，有b=2﹣2k．解得点K的横坐标，…（5分）将直线m代入椭圆方程得：（1+4k2）x2+8kbx+4b2﹣4=0，由韦达定理，得，，…（7分）所以===2．…（11分）∴存在实数t=2，使得恒成立…（12分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+．（Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =． xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x xf xfxx<O-=f(p)f(q)()2bfa-xx<O-=f(p)f(q)()2bfa-x。

2017-2018学年重庆一中高二上学期期末数学文试题含答案

2017-2018学年重庆一中高二上学期期末数学文试题（解析版）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1. ）D. ,【答案】B故选B2. ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A∴故选A3. ）A. 1 D. 2【答案】D【解析】试题分析：直线与圆的交点弦长可由两种方法得到:①直线与圆联立方程,故选D.考点：直线与圆的交点弦长视频4. ）【答案】C【解析】∴故选C5. ）A. B.C. D.【答案】B【解析】若故错误；若，故正确；，.故选B6. ；命题）【答案】C为假命题，故选C7. ）【答案】D故选D点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，已知函数在某区间上单调递增求有关参数，往往有两种思路：（1）先求出该函数的单调递增区间，再利用所给区间和单调递增区间的关系进行求解；（20）在该区间上恒成立.8. ，则直线）A. 相离B. 相切C. 相交D. 不确定【答案】B【解析】为抛物线焦点，圆心在抛物线上，由抛物线的定义，圆心到焦点的距离等于圆心到准线离，因此刚好相切.故选B9. ，则动点）【答案】A故选A点睛：本题主要考查直接法求轨迹方程，属于中档题. 求轨迹方程的常见方法有: ①直接法，设出动点的坐标②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参④本题就是利用方法①.10. 一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为（）C.【答案】A故选A．考点：三视图．11.）【答案】C∵由椭圆得定义知故选C12. ，就称函数的“小囧囧函数”。

则下列四个函数：，；，；，；，中，“小囧囧函数”的个数（）A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B。

2017-2018学年重庆一中高二(上)期末数学试卷(文科)

期末数学试卷（文科）一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．（5分）命题“∀x∈R，tanx＞0”的否定是（）A．∀x∈R，tanx≤0 B．∃x∈R，tanx≤0 C．∃x∈R，tanx＞0 D．∀x∈R，tanx＞02．（5分）“a＞0，b＞0”是“方程ax2﹣by2=1表示的曲线是双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1 B．C．D．24．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a∥b，a⊥α，则b⊥αC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若α⊥β，a∥α，则a⊥β5．（5分）已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；命题q：若a＜b，则ac2＜bc2，下列命题为真的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨（￢q）D．p∨q6．（5分）在空间，下列命题正确的是（）A．如果直线a与平面β内的一条直线平行，则a∥βB．如果平面α内的一条直线a垂直于平面β内的任意一条直线，则α⊥βC．如果直线a与平面β内的两条直线都垂直，则a⊥βD．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，则α∥β7．（5分）若f（x）=x3+ax2+3x+1在定义域R内为单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[﹣3，3]C．[﹣，]D．[﹣，8．（5分）圆心在抛物线y2=4x上的动圆C始终过点F（1，0），则直线x=﹣1与动圆C的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不确定9．（5分）设一动点P到直线x=3的距离与它到点A（1，0）的距离之比为，则动点P 的轨迹方程是（）A．B．C．D．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．64﹣B．64﹣C．64﹣16πD．64﹣11．（5分）如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A．B．C．或D．12．（5分）关于函数f（x）=的极值的说法正确的是（）A．f（x）有极大值B．f（x）有极小值C．f（x）有极大值e D．f（x）有极小值e13．（5分）若直线y=k（x﹣2）+4与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（）B．A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．（5分）设{a n}是等差数列，a1=2且a3+a6=8，则a8=．14．（5分）一个正方体的内切球的表面积为12π，则该正方体的棱长等于．15．（5分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣m的图象与x轴恰有两个不同公共点，则负数m=．16．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，过点A（t，）与抛物线C恰有一个交点的直线至多有2条，则直线AF被抛物线C所截得的弦长为．17．（5分）曲线f（x）=x2+3x在点A（2，10）处的切线斜率k=．18．（12分）已知函数f（x）=e x+ax+b（x∈R）在点A（0，f（0））处的切线l的方程为x+y ﹣2=0．（Ⅰ）求函数f（x）解析式；（Ⅱ）求f（x）在R上的极值．19．（10分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是A1C的中点，ED⊥A1C且交AC于D，A1A=AB=BC．（1）证明：B1C1∥平面A1BC；（2）证明：A1C⊥平面EDB．20．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足==（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，连结A1B、A1C（如图2）．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BCED（Ⅱ）若P是线段A1B的中点，求四棱锥P﹣BCED的体积．21．（12分）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB的中点，D为PB 的中点，且△PMB为正三角形．（1）求证：BC⊥平面APC；（2）若BC=6，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．22．（12分）如图：在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD，AC=2，PA=2，E是PC上点，且PC⊥平面BDE．（1）求证：BD⊥PC；（2）求三棱锥P﹣BED的体积．23．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知F1（，0），F2（﹣，0）且|MF1|+|MF2|=4，记动点M（x，y）的轨迹为C（Ⅰ）求曲线C方程；（Ⅱ）过点P（0，1）的动直线l与曲线C相交A，B两点，试问在y轴上是否存在与点P （0，1）不同的定点Q，使得∠AQP=∠BQP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．24．（12分）已知函数f（x）=x2﹣x﹣clnx（c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求证：f（x）≥0；（Ⅱ）∃x∈（1，e），f（x）＞（x+1）ln，求实数c的取值范围．25．（12分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上一点P（3，t）到焦点F距离为4．（1）求抛物线方程；（2）经过点（4，0）的直线l交抛物线C于A，B两点，M（﹣4，0），若直线AM，BM的斜率分别为k1，k2，求k1•k2的最小值．2017-2018学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．（5分）命题“∀x∈R，tanx＞0”的否定是（）A．∀x∈R，tanx≤0 B．∃x∈R，tanx≤0 C．∃x∈R，tanx＞0 D．∀x∈R，tanx＞0【分析】利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题∀x∈R，tanx＞0，的否定是：∃x ∈R，tanx≤0．故选：B．2．（5分）“a＞0，b＞0”是“方程ax2﹣by2=1表示的曲线是双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】结合双曲线的定义和方程，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若方程ax2﹣by2=1表示双曲线，则方程等价为﹣=1，∴ab＞0．即a＞0且b＞0或a＜0且b＜0，∴“a＞0，b＞0”是“方程ax2﹣by2=1表示的曲线是双曲线”的充分不必要条件故选：A．3．（5分）设A，B为直线y=x与圆x2+y2=1的两个交点，则|AB|=（）A．1 B．C．D．2【分析】由圆的方程找出圆心坐标和半径r，根据圆心在直线y=x上，得到AB为圆的直径，根据直径等于半径的2倍，可得出|AB|的长．【解答】解：由圆x2+y2=1，得到圆心坐标为（0，0），半径r=1，∵圆心（0，0）在直线y=x上，∴弦AB为圆O的直径，则|AB|=2r=2．故选：D．4．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a=，b=，B=45°，则A=（）A．30°B．30°或150°C．60°或120°D．60°【分析】由已知利用正弦定理可求sinA的值，结合A的范围利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：∵a=，b=，B=45°，∴由正弦定理，可得：sinA===，∵a＞b，A∈（45°，180°），∴A=60°或120°．故选：C．5．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥b，a∥α，则b∥αB．若a∥b，a⊥α，则b⊥αC．若α⊥β，a⊥β，则a∥αD．若α⊥β，a∥α，则a⊥β【分析】在A中，b∥α或b⊂α；在B中，由线面垂直的判定定理得b⊥α；在C中，a∥α或a⊂α；在D中，a与β相交、平行或a⊂β．【解答】解：由a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，知：在A中，若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，故A错误；在B中，若a∥b，a⊥α，则由线面垂直的判定定理得b⊥α，故B正确；在C中，若α⊥β，a⊥β，则a∥α或a⊂α，故C错误；在D中，若α⊥β，a∥α，则a与β相交、平行或a⊂β，故D错误．故选：B．6．（5分）已知命题p：若a＞b，则a2＞b2；命题q：若a＜b，则ac2＜bc2，下列命题为真的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．p∨（￢q）D．p∨q【分析】先求出命题p是假命题，命题q是假命题，由此利用复合命题的性质能求出结果．【解答】解：∵命题p：若a＞b，则a2＞b2，命题p是假命题，命题q：若a＜b，则ac2＜bc2，命题q是假命题，∴在A中，p∧q是假命题；在B中，p∧（￢q）是假命题；在C中，p∨（￢q）是真命题；在D中，p∨q是假命题．故选：C．7．（5分）若f（x）=x3+ax2+3x+1在定义域R内为单调递增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，1]B．[﹣3，3]C．[﹣，]D．[﹣，]【分析】先求出函数的导数，由f'（x）≥0在R上恒成立，得不等式△≤0，解出即可．【解答】解：由f（x）=x3+ax2+3x+1⇒f'（x）=3x2+2ax+3，若f（x）在R上单增，则f'（x）≥0在R上恒成立，则△≤0⇒a∈[﹣3，3]，故选：B．8．（5分）圆心在抛物线y2=4x上的动圆C始终过点F（1，0），则直线x=﹣1与动圆C的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不确定【分析】由抛物线的定义，圆心到焦点的距离等于圆心到准线x=﹣1的距离，所以刚好相切．【解答】解：F（1，0）为抛物线焦点，圆心在抛物线上，由抛物线的定义，圆心到焦点的距离等于圆心到准线x=﹣1的距离，所以刚好相切，故选：B．9．（5分）设一动点P到直线x=3的距离与它到点A（1，0）的距离之比为，则动点P 的轨迹方程是（）A．B．C．D．【分析】先设点P的坐标，然后根据点P到直线x=3的距离与它到点A（1，0）的距离之比为列方程，最后整理即可．【解答】解：设点P的坐标为（x，y），则由题意得，整理得2x2+3y2=6，即，所以动点P的轨迹方程是．故选：A．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．64﹣B．64﹣C．64﹣16πD．64﹣【分析】几何体是正方体内挖去两个圆锥，且两圆锥的底面分别是正方体上、下面的内接圆，根据三视图判断正方体的边长，圆锥的底面半径与高，代入正方体与圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：、几何体是正方体内挖去两个圆锥，且两圆锥的底面分别是正方体上、下面的内接圆，两圆锥的顶点重合，∵正方体的边长为4，∴挖去两个圆锥的底面半径都为2，上圆锥的高为3，下圆锥的高为1，∴几何体的体积．故选：A．11．（5分）如图，F1，F2是双曲线C1：x2﹣=1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点，若|F1F2|=|F1A|，则C2的离心率是（）A．B．C．或D．【分析】利用双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出．【解答】解：由双曲线C1：x2﹣=1可得a1=1，b1=，c=2．椭圆C2中，|F1A|﹣|F2A|=2a1=2，|F1A|+|F2A|=2a，∴2|F1A|=2a+2∵|F1F2|=|F1A|=2c=4，∴2×4=2a+2，解得a=3．则C2的离心率==．故选：B．12．（5分）若函数y=f（x）（x∈R）满足：对∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）均可作为一个三角形的边长，就称函数y=f（x）是区间D上的“小囧囧函数”．则下列四个函数：y=xlnx，x∈[，2]；y=lnx，x∈[e，e2]；y=，x∈[e，e2]；y=，x∈[，2]中，“小囧囧函数”的个数（）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】①根据f（x）=xlnx在x∈[，2]的值域判断由f（a）、f（b）、f（c）不能作为三边组成一个三角形；②根据f（x）=lnx（e≤x≤e2），对∀a，b，c∈[e，e2]，f（a），f（b），f（c）不能为某个三角形的三边长；③根据f（x）=，x∈[e，e2]时f（x）的单调性和值域，判断f（a），f（b），f（c）能分别为某个三角形的边长；④根据f（x）=，x∈[，2]时f（x）的单调性和值域，判断f（a），f（b），f（c）能分别为某个三角形的边长．【解答】解：对于①，y=f（x）=xlnx，x∈[，2]，∴f′（x）=lnx+1，当x∈[，2]时，f′（x）≥0，函数f（x）单调递增；f（x）的最小值为﹣，由f（a）、f（b）、f（c）不能作为三边组成一个三角形，即①不是“小囧囧函数”；对于②，y=f（x）=lnx（e≤x≤e2），对∀a，b，c∈[e，e2]，f（a），f（b），f（c）∈[1，2]，∴f（a）=f（b）=1，f（c）=2时不能为某个三角形的边长，②不是“小囧囧函数”；对于③，y=f（x）=，x∈[e，e2]；f′（x）=，x∈[e，e2]时，f′（x）≤0，f（x）单调递减；且=f（e2）≤f（x）≤f（e）=，对于∀a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈[，]，∴f（a），f（b），f（c）分别为某个三角形的边长，③是“小囧囧函数”；对于④，y=f（x）=，x∈[，2]，∴f′（x）=，x∈[，1]时，f′（x）≥0，f（x）单调增，x∈（1，2]时，f′（x）＜0，f（x）是单调减，且f（x）在x=1取得最大值为f（1）=，x=2时f（x）取得最小值为f（2）=；∴f（x）的值域为[，]；对于∀a，b，c∈[，2]，f（a），f（b），f（c）能分别为某个三角形的边长，④是“小囧囧函数”；综上，函数①y=xlnx，x∈[，2]；②y=lnx，x∈[e，e2]；③y=，x∈[e，e2]；④y=，x∈[，2]中，是“小囧囧函数”的为③④，有2个．故选：B．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．（5分）设{a n}是等差数列，a1=2且a3+a6=8，则a8=6．【分析】由已知求得等差数列的公差，再由等差数列的通项公式求得a8．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a1=2且a3+a6=8，得2a1+7d=8，即7d=8﹣2a1=4，d=．∴．故答案为：6．14．（5分）一个正方体的内切球的表面积为12π，则该正方体的棱长等于2．【分析】根据正方体的内切球，可知球的直径等于棱长，即可求解．【解答】解：由题意，正方体的内切球的表面积为12π，设棱长为a．可得，∴a=．故答案为：215．（5分）已知函数f（x）=x3﹣x2﹣m的图象与x轴恰有两个不同公共点，则负数m=﹣．【分析】令x3﹣x2﹣m=0，化为m=x3﹣x2=g（x），g′（x）=3x2﹣3x=3x（x﹣1），令g′（x）=0，解得x=0或1．利用导数可得其单调性极值，根据函数f（x）=x3﹣x2﹣m的图象与x轴恰有两个不同公共点，可得负数m．【解答】解：令x3﹣x2﹣m=0，化为m=x3﹣x2=g（x），g′（x）=3x2﹣3x=3x（x﹣1），令g′（x）=0，解得x=0或1．∴函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）单调递增．g（0）=0，g（1）=﹣．∵函数f（x）=x3﹣x2﹣m的图象与x轴恰有两个不同公共点，则负数m=﹣．故答案为：﹣．16．（5分）已知抛物线C：x2=8y的焦点为F，过点A（t，）与抛物线C恰有一个交点的直线至多有2条，则直线AF被抛物线C所截得的弦长为．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，由题意可得A在抛物线上，求得A的坐标，以及直线AF方程，联立抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求弦长．【解答】解：抛物线C：x2=8y的焦点为F（0，2），准线方程为y=﹣2，过点A（t，）与抛物线C恰有一个交点的直线至多有2条，可得A在抛物线上，即有t2=4（t﹣1），可得t=2，即A（2，），直线AF的方程为y=﹣x+2，代入抛物线x2=8y可得：x2+6x﹣16=0，可得x1+x2=﹣6，y1+y2=﹣（x1+x2）+4=+4=，则弦长为y1+y2+4=+4=，故答案为：．三.解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．（10分）等比数列{a n}中，a1=2，a4=16．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第4项和第16项，试求数列{b n}的前项和S n．【分析】（Ⅰ）设{a n}的公比为q，由等比数列的通项公式，可得公比q，即可得到所求通项公式；（Ⅱ）运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和首项，再由等差数列的求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：（Ⅰ）设{a n}的公比为q，由a1=2，a4=16得：16=2q3，解得q=2，又a1=2，所以a n=a1q n﹣1=2•2n﹣1=2n；（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b4=8，b16=32，设{b n}的公差为d，则有，解得b1=d=2，则数列{b n}的前n项和S n=2n+n（n﹣1）•2=n2+n．18．（12分）在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知a+b=5，2sinB=3sinA，且△ABC的面积为3．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）求边c．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理可得：2b=3a，结合a+b=5，解得a，b的值，利用三角形面积公式可求sinC，结合C的范围利用特殊角的三角函数值即可得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理即可解得c的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵2sinB=3sinA，∴由正弦定理可得：2b=3a，又∵a+b=5，∴可得：a=2，b=3．∴S△ABC=absinC=3，∴sinC=，∵0＜C＜，∴C=．（Ⅱ）∵由（Ⅰ）可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=14，∴解得：c=．19．（12分）已知函数f（x）=e x+ax+b（x∈R）在点A（0，f（0））处的切线l的方程为x+y ﹣2=0．（Ⅰ）求函数f（x）解析式；（Ⅱ）求f（x）在R上的极值．【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由切线方程可得a，b，进而得到所求解析式；（Ⅱ）求得f（x）的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，即可得到所求极值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=e x+ax+b的导数为f′（x）=e x+a，可得在点A（0，f（0））处的切线斜率为1+a，且f（0）=1+b，由切线l的方程为x+y﹣2=0，可得1+a=﹣1，1+b=2，解得a=﹣2，b=1，则f（x）=e x﹣2x+1；（Ⅱ）f（x）=e x﹣2x+1的导数为f′（x）=e x﹣2，f′（x）=0，可得x=ln2，当x＜ln2，f′（x）＜0，f（x）单调递减，x＞ln2，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）有极小值，且为f（ln2）=3﹣2ln2，无极大值．20．（12分）等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足==（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，连结A1B、A1C（如图2）．（Ⅰ）求证：A1D⊥平面BCED（Ⅱ）若P是线段A1B的中点，求四棱锥P﹣BCED的体积．【分析】（Ⅰ）推导出DE⊥AB，DE⊥A1D，从而A1D⊥DE，A1D⊥BD，由此能证明A1D⊥平面BDEC．（Ⅱ）由P是线段A1B的中点，能求出四棱锥P﹣BCED的体积．【解答】证明：（Ⅰ）∵等边△ABC的边长为3，且==，∴AD=1，AE=2，又∠DAE=60°，∴DE=，∴DE⊥AB，∴DE⊥A1D，又二面角A1﹣DE﹣B为直二面角，平面A1DE∩平面BDE=DE，∴A1D⊥DE，A1D⊥BD，∴A1D⊥平面BDEC．解：（Ⅱ）∵P是线段A1B的中点，∴四棱锥P﹣BCED的体积V==．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知F1（，0），F2（﹣，0）且|MF1|+|MF2|=4，记动点M（x，y）的轨迹为C（Ⅰ）求曲线C方程；（Ⅱ）过点P（0，1）的动直线l与曲线C相交A，B两点，试问在y轴上是否存在与点P （0，1）不同的定点Q，使得∠AQP=∠BQP？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅱ）由椭圆的定义可求得动点M运动的轨迹．（Ⅱ）通过直线l与x轴平行、垂直时，可得若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q 点坐标只能是（0，2）．然后分直线l的斜率不存在、存在两种情况，利用韦达定理及直线斜率计算方法，证明对任意直线l，均有∠AQP=∠BQP即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：|MF1|+|MF2|=4＞|F1F2|=2∴由椭圆的定义可知：动点M运动的轨迹是：以F1，F2为焦点，长轴长为4，焦距为2的椭圆，且短半轴长为=∴曲线C的方程为+=1．（Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得∠AQP=∠BQP恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点，如果存在定点Q满足条件∠AQP=∠BQP∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）．当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点．则M（0，），N（0，﹣），由=，有=，解得y0=1或y0=2．所以，若存在不同于点P（0，1）的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为Q（0，2）．下面证明：对任意的直线l，均有∠AQP=∠BQP．当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y﹣kx+1，A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B （x2，y2），联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2=0，∵△=（4k）2+8（1+2k2）＞0，∴x1+x2=﹣，x1x2=﹣．因此+==2k，∴k QA==k﹣，k QB==k﹣=﹣﹣k，∴k QA+k QB=0，∴∠AQP=∠BQP22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣x﹣clnx（c∈R）．（Ⅰ）若函数f（x）在x=1处取得极值，求证：f（x）≥0；（Ⅱ）∃x∈（1，e），f（x）＞（x+1）ln，求实数c的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出c的值，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可；（Ⅱ）分离参数得到c＜x+1+成立，令h（x）=，根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：f′（1）=0，∴c=1，∴f（x）=x2﹣x﹣lnx，∴f′（x）=，∵x＞0，∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）≥f（1），∴f（x）≥0；（Ⅱ）法一：由题意，分离参数可得：∃x∈（1，e），使c＜x+1+成立，令h（x）=，则h′（x）=，p（x）=﹣x+1﹣lnx+2xlnx，∴p′（x）=1+2lnx ﹣，p″（x）=+＞0，∴p′（x）＞p′（1）＞0，∴p（x）＞p（1）＞0，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，e）为增函数，∴k（x）在（1，e）为增函数，∴k（x）＜k（e），∴c＜e2+1；法二：由题意，分离参数可得：∃x∈（1，e），使c＜x+1+成立，令h（x）=，经过4次求导可得为其增函数，∴h（x）＜h（e），∴c＜e2+1．第21页（共21页）。

重庆市重庆一中2016-2017学年高二上学期期末考试试卷-数学(文)-Word版含答案

是 PC 的中点。（1）求证： BF // 面PDE ；（2）求证： DE 面PAB ；
（本小题满分 12 分）设函数 f ( x) x3 12 x c 的图象经过原点． 19（原创）（1）求 c 的值及函数 f ( x) 的单调区间；（2）求函数 f ( x)在 -1,3 上的最大值和最小值．
20 ．（本小题满分 12 分）如图 1 , 在直角梯形 ABCD 中， ADC 90 ， CD∥AB ，
1 AD CD AB 2 ，点 E 为 AC 的中点．将 △ADC 沿 AC 折起，使平面 ADC 平面 2
ABC ，得到几何体 D ABC 如图 2 所示．
3．已知 p, q 是两个命题，若“p q” 是假命题，则（ A． p假q假
2 2
B． p真q真
2 2
C． p假q真
D． p真q假） D．相离
4．圆 ( x 2) y 4 与圆 ( x 2) ( y 1) 9 的位置关系为（ A．内切 5．抛物线 x A． y 1
8．已知双曲线 C :
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的离心率为 2，则双曲线 C 的渐近线方程为（） a 2 b2
B． y
3 x
A． y x
3 x 3
C． y 3 x
D． y
2 x 2
）
9．若函数 f ( x) x e ax 在区间 [0, ) 上单调递增，则实数 a 的取值范围是（ A． [0,1) B． (0,1] C． [1, ) D． (,1]
（1）在 CD 上找一点 F ,使 AD∥ 平面 EFB ；（2）求点 C 到平面 ABD 的距离．

重庆市2016—2017学年高二上学期第三次月考数学试卷(文科) Word版含解析

重庆市2016—2017学年高二上学期第三次月考试卷（文科数学）一、选择题（每小题5分，共60分）1．命题：“∀x∈R，cos2x≤cos2x”的否定为（）A．∀x∈R，cos2x＞cos2x B．∃x∈R，cos2x＞cos2xC．∀x∈R，cos2x＜cos2x D．∃x∈R，cos2x≤cos2x2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台3．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x4．函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B．1 C．2 D．05．直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是（）A．[，）∪（，] B．[0，]∪[，π）C．[0，] D．[，] 6．已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若α∥β，l⊥α，则l⊥β；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β．其中，真命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为（）A ．B ．1C ．D ．8．已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．2C ．D ．9．函数y=ax 3+bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和，则（）A ．a ﹣2b=0B ．2a ﹣b=0C ．2a+b=0D ．a+2b=010．若函数f （x ）=x 3﹣3bx+3b 在（0，1）内有极小值，则（）A ．0＜b ＜1B ．b ＜1C ．b ＞0D ．b ＜11．设F 1，F 2是双曲线C ：的两个焦点，点P 在C 上，且=0，若抛物线y 2=16x的准线经过双曲线C 的一个焦点，则|||的值等于（）A ．2B ．6C ．14D ．1612．设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题（每小题5分共20分）13．曲线y=e x +x 在点（0，1）处的切线方程为．14．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为m 315．若直线y=x+b 与曲线恰有一个公共点，则实数b 的取值范围为．16．椭圆Γ： =1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于．三、解答题17．已知四棱锥A ﹣BCDE ，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD ⊥面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ；（Ⅱ）求四棱锥A ﹣BCDE 的体积．18．设f （x ）=2x 3+ax 2+bx+1的导数为f′（x ），若函数y=f′（x ）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a ，b 的值（Ⅱ）求函数f （x ）的极值．19．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M （0，﹣1）的直线l 交椭圆于A ，B 两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l 交x 轴于N ，，求直线l 的方程．20．已知函数f （x ）=lnx ﹣．（1）当a=﹣3时，求函数f （x ）的单调增区间；（2）若函数f （x ）在[1，e]上的最小值为，求实数a 的值．21．在三棱锥S ﹣ABC 中，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=2，M 、N 分别为AB 、SB 的中点．（1）证明：AC ⊥SB ；（2）求三棱锥B ﹣CMN 的体积．22．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1和F 2，由4个点M （﹣a ，b ）、N （a ，b ）、F 2和F 1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F 1的直线和椭圆交于两点A 、B ，求△F 2AB 面积的最大值．重庆市2016—2017学年高二上学期第三次月考试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．命题：“∀x∈R，cos2x≤cos2x”的否定为（）A．∀x∈R，cos2x＞cos2x B．∃x∈R，cos2x＞cos2xC．∀x∈R，cos2x＜cos2x D．∃x∈R，cos2x≤cos2x【考点】命题的否定．【分析】本题中的命题是一个全称命题，其否定是一个特称命题，按命题否定的规则写出即可【解答】解：∵命题：“∀x∈R，cos2x≤cos2x”是一个全称命题∴它的否定是“∃x∈R，cos2x＞cos2x”故选B2．如图为几何体的三视图，根据三视图可以判断这个几何体为（）A．圆锥B．三棱锥C．三棱柱D．三棱台【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图：该几何体的正视图与俯视图均为矩形，侧视图为三角形，易得出该几何体的形状．【解答】解：该几何体的正视图为矩形，俯视图亦为矩形，侧视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱（横放着的）．故选C．3．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±2x C．y=±4x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到．【解答】解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则=，即有=，则双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，即有y=±x．故选A．4．函数y=f（x）的图象在点P（5，f（5））处的切线方程是y=﹣x+8，则f（5）+f′（5）=（）A．B．1 C．2 D．0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用切线方程，计算f（5）、f′（5）的值，即可求得结论．【解答】解：将x=5代入切线方程y=﹣x+8，可得y=3，即f（5）=3∵f′（5）=﹣1∴f（5）+f′（5）=3﹣1=2故选C．5．直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是（）A．[，）∪（，] B．[0，]∪[，π）C．[0，] D．[，]【考点】直线的倾斜角．【分析】本题考查的知识点是直线的斜率与倾斜角之间的转化关系，由直线的方程xcosα+y+2=0，我们不难得到直线的斜率的表达式，结合三角函数的性质，不得得到斜率的取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，进一步可以得到倾斜角的取值范围．【解答】解：设直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣cosα．又﹣1≤cosα≤1，∴﹣≤tanθ≤．∴θ∈[0，]∪[，π）．故选B6．已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中：①若α∥β，l⊂α，则l∥β；②若α∥β，l⊥α，则l⊥β；③若l∥α，m⊂α，则l∥m；④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β．其中，真命题有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】①若α∥β，l⊂α，则l∥β，由线面平行的定义进行判断；②若α∥β，l⊥α，则l⊥β，由线面垂直的判定定理进行判断；③若l∥α，m⊂α，则l∥m，由线面平行的性质定理进行判断；④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β，由线面垂直的性质定理进行判断．【解答】解：①若α∥β，l⊂α，则l∥β是真命题，由α∥β，l⊂α知l与β没有公共点，由定义即；②若α∥β，l⊥α，则l⊥β是真命题，因为两平行平面中的一个垂直于一条直线，另一个也必垂直于这条直线；③若l∥α，m⊂α，则l∥m 是假命题，因为l∥α，m⊂α两直线的关系可以是平行，也可以是异面；④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β，是假命题，由面面垂直的性质定理知只有当m⊂α时，结论者正确的，题设条件不能保证这一点．综上①②正确，③④错误故选 C．7．已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A． B．1 C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=x的焦点，F（）准线方程x=，设A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，∴|AF|+|BF|==3解得，∴线段AB的中点横坐标为，∴线段AB的中点到y轴的距离为．故选C．8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【考点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选择C．9．函数y=ax3+bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和，则（）A．a﹣2b=0 B．2a﹣b=0 C．2a+b=0 D．a+2b=0【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】由函数极值的性质可知，极值点处的导数为零，且左右两侧导数异号，据此可以列出关于a，b的方程（组），再进行判断．【解答】解：设f（x）=ax3+bx2（a≠0），则f′（x）=3ax2+2bx，由已知得且a＞0，即化简得a+2b=0．故选D10．若函数f（x）=x3﹣3bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围．【解答】解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上．令f'（x）=3x2﹣3b=0，得x2=b，显然b＞0，∴x=±．又∵x ∈（0，1），∴0＜＜1．∴0＜b ＜1．故选A ．11．设F 1，F 2是双曲线C ：的两个焦点，点P 在C 上，且=0，若抛物线y 2=16x 的准线经过双曲线C 的一个焦点，则|||的值等于（）A ．2B ．6C ．14D ．16【考点】双曲线的简单性质；抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的准线方程x=﹣4，可得双曲线的c=4，由向量垂直的条件和勾股定理，可得PF 12+PF 22=F 1F 22=4c 2=64，①由双曲线的定义可得|PF 1﹣PF 2|=2a=6，②，运用平方相减即可得到所求值．【解答】解：抛物线y 2=16x 的准线为x=﹣4，由题意可得双曲线的一个焦点为（﹣4，0），即有c=4，由=0可得PF 1⊥PF 2，由勾股定理可得，PF 12+PF 22=F 1F 22=4c 2=64，①由双曲线的定义可得|PF 1﹣PF 2|=2a=6，②①﹣②2，可得2PF 1•PF 2=28，即有|||的值等于14．故选：C ．12．设函数f′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）B ．（﹣1，0）∪（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D ．（0，1）∪（1，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知当x ＞0时总有xf′（x ）﹣f （x ）＜0成立，可判断函数g （x ）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f （x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可．【解答】解：设g（x）=，则g（x）的导数为：g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x），∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（﹣1）==0，∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得，不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或，⇔0＜x＜1或x＜﹣1．故选：A．二、填空题（每小题5分共20分）13．曲线y=e x+x在点（0，1）处的切线方程为y=2x+1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】欲求在点（0，1）处的切线的方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵y=e x+x，∴y′=e x+1，∴曲线y=e x+x在点（0，1）处的切线的斜率为：k=2，∴曲线y=e x+x在点（0，1）处的切线的方程为：y﹣1=2x，即y=2x+1．故答案为：y=2x+1．14．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为2 m3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m2，棱锥的高h=3m，故体积V==2m3，故答案为：215．若直线y=x+b与曲线恰有一个公共点，则实数b的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣} ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】曲线表示以原点O （0，0）为圆心、半径等于1的半圆，数形结合求得当直线y=x+b 与曲线恰有一个公共点，则实数b 的取值范围．【解答】解：曲线即 x 2+y 2=1 （x ≥0），表示以原点O （0，0）为圆心、半径等于1的半圆（位于y 轴及y 轴右侧的部分），如图：当直线经过点A （0，﹣1）时，求得b=﹣1；当直线经过点C （0，1）时，求得b=1；当直线和圆相切时，由圆心到直线的距离等于半径可得=1，求得b=（舍去），或 b=﹣，数形结合可得当直线y=x+b 与曲线恰有一个公共点，则实数b 的取值范围为（﹣1，1]∪{﹣}，故答案为：（﹣1，1]∪{﹣}．16．椭圆Γ：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】由直线可知斜率为，可得直线的倾斜角α=60°．又直线与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，可得，进而．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，利用勾股定理、椭圆的定义及其边角关系可得，解出a ，c 即可．【解答】解：如图所示，由直线可知倾斜角α与斜率有关系=tan α，∴α=60°．又椭圆Γ的一个交点满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1，∴，∴．设|MF 2|=m ，|MF 1|=n ，则，解得．∴该椭圆的离心率e=．故答案为．三、解答题17．已知四棱锥A ﹣BCDE ，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD ⊥面ABC ，BE ∥CD ，F 为AD 的中点．（Ⅰ）求证：EF ∥面ABC ；（Ⅱ）求四棱锥A ﹣BCDE 的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，推导出EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．（Ⅱ）连结EC，VA﹣BCDE =VE﹣ABC+VE﹣ADC，由此能求出四棱锥A﹣BCDE的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，∵F，G分别是AD，AC的中点∴FG∥CD，且FG=DC=1．∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等∴EF∥BG．∵EF⊄面ABC，BG⊂面ABC，∴EF∥面ABC．解：（Ⅱ）连结EC，该四棱锥分为两个三棱锥E﹣ABC和E﹣ADC．∴四棱锥A﹣BCDE的体积VA﹣BCDE =VE﹣ABC+VE﹣ADC==．18．设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线x=﹣对称，且f′（1）=0（Ⅰ）求实数a，b的值（Ⅱ）求函数f（x）的极值．【考点】利用导数研究函数的极值；二次函数的性质．【分析】（Ⅰ）先对f（x）求导，f（x）的导数为二次函数，由对称性可求得a，再由f′（1）=0即可求出b（Ⅱ）对f（x）求导，分别令f′（x）大于0和小于0，即可解出f（x）的单调区间，继而确定极值．【解答】解：（Ⅰ）因f（x）=2x3+ax2+bx+1，故f′（x）=6x2+2ax+b从而f′（x）=6y=f′（x）关于直线x=﹣对称，从而由条件可知﹣=﹣，解得a=3又由于f′（x）=0，即6+2a+b=0，解得b=﹣12（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x3+3x2﹣12x+1f′（x）=6x2+6x﹣12=6（x﹣1）（x+2）令f′（x）=0，得x=1或x=﹣2当x∈（﹣∞，﹣2）时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣2）上是增函数；当x∈（﹣2，1）时，f′（x）＜0，f（x）在（﹣2，1）上是减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函数．从而f（x）在x=﹣2处取到极大值f（﹣2）=21，在x=1处取到极小值f（1）=﹣6．19．椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为，过M（0，﹣1）的直线l交椭圆于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l交x轴于N，，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）根据右焦点到直线的距离为，可得，利用椭圆的离心率为，可得，从而可得，，故可求椭圆的方程；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x，0），利用，可得x2﹣x，y2），设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0，由此即可求得直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设右焦点为（c，0）（c＞0）∵右焦点到直线的距离为，∴∴∵椭圆的离心率为，∴∴∴∴椭圆的方程为；（Ⅱ）设A （x1，y1），B（x2，y2），N（x，0）∵，∴x2﹣x，y2）∴①易知直线斜率不存在时或斜率为0时①不成立于是设直线l的方程为y=kx﹣1（k≠0）．与椭圆方程联立，消去x可得（4k2+1）y2+2y+1﹣8k2=0②∴③④由①③可得，代入④整理可得：8k4+k2﹣9=0∴k2=1此时②为5y2+2y﹣7=0，判别式大于0∴直线l的方程为y=±x﹣120．已知函数f（x）=lnx﹣．（1）当a=﹣3时，求函数f（x）的单调增区间；（2）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为，求实数a的值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）要求函数f（x）的单调增区间，即求导函数值大于等于0的区间，我们根据求出函数导函数的解析式，结合函数的定义域，即可得到答案．（2）由（1）中函数的导函数的解析式，我们对a的取值进行分析讨论，求出对应的函数的单调区间，并分析函数f（x）在[1，e]上何时取最小值，分析后即可得到答案．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx﹣，∴函数的定义域为（0，+∞）且f'（x）=+=，a=﹣3时：f′（x）=令f′（x）＞0，解得：x＞3，故f（x）在（3，+∞）递增；（2）由（1）可知，f'（x）=，①若a≥﹣1，则x+a≥0，则f'（x）≥0恒成立，函数f（x）在[1，e]上为增函数∴f（x）的最小值为：f（1）=﹣a=，此时a=﹣（舍去）②若a≤﹣e，则f'（x）≤0恒成立，函数f（x）在[1，e]上为减函数∴f（x）的最小值为：f（e）=1﹣=，此时a=﹣（舍去）③若﹣e＜a＜﹣1，当1＜x＜﹣a时，则f'（x）＜0，当﹣a＜x＜e时，f'（x）＞0，∴f（x）的最小值为：f（﹣a）=ln（﹣a）+1=，此时a=﹣，综上所述：a=﹣．21．在三棱锥S﹣ABC中，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求三棱锥B﹣CMN的体积．【考点】直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取AC 中点D，连接SD，DB，证明AC⊥平面SDB，由线面垂直的性质可得AC⊥SB；（2）由VB﹣CMN =VN﹣CMB，即可求得三棱锥B﹣CMN的体积．【解答】（1）证明：取AC中点D，连接SD，DB．因为SA=SC，AB=BC，所以AC⊥SD且AC⊥BD，因为SD∩BD=D，所以AC⊥平面SDB．又SB⊂平面SDB，所以AC⊥SB；（2）解：因为AC⊥平面SDB，AC⊂平面ABC，所以平面SDC⊥平面ABC．过N作NE⊥BD于E，则NE⊥平面ABC，因为平面SAC⊥平面ABC，SD⊥AC，所以SD⊥平面ABC．又因为NE⊥平面ABC，所以NE∥SD．由于SN=NB，所以NE=SD=所以S△CMB=CM•BM=所以VB﹣CMN=VN﹣CMB=S△CMB•NE==22．已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1和F 2，由4个点M （﹣a ，b ）、N （a ，b ）、F 2和F 1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F 1的直线和椭圆交于两点A 、B ，求△F 2AB 面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．【分析】解：（1）由题意知b=，=3，即a+c=3①，又a 2=3+c 2②，联立①②解得a ，c ，；（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），过点F 1的直线方程为x=ky ﹣1，代入椭圆方程消掉x 得y 的二次方程，△F 2AB 的面积S==|y 1﹣y 2|=，由韦达定理代入面积表达式变为k 的函数，适当变形借助函数单调性即可求得S 的最大值；【解答】解：（1）由题意知b=，=3，所以a+c=3①，又a 2=b 2+c 2，即a 2=3+c 2②，联立①②解得a=2，c=1，所以椭圆方程为：；（2）由（1）知F 1（﹣1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），过点F 1的直线方程为x=ky ﹣1，由得（3k 2+4）y 2﹣6ky ﹣9=0，△＞0成立，且，，△F 2AB 的面积S==|y 1﹣y 2|===12=，又k 2≥0，所以递增，所以9+1+6=16，所以≤=3，当且仅当k=0时取得等号，所以△F 2AB 面积的最大值为3．。

重庆一中2016-2017学年高二上学期期中数学试卷(文科) 含解析

2016—2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷(文科)一、选择题（共10小题,每小题5分，满分50分)1．抛物线x2=2y的焦点坐标是（）A．B．C．（1，0）D．（0，1）2．经过（3，0）,（0，4)两点的直线方程是(）A．3x+4y﹣12=0 B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=03．直线2x﹣3y+10=0的法向量的坐标可以是(）A．（﹣2,3）B．（2,3) C．（2，﹣3) D．（﹣2，﹣3)4．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（)A．相离 B．相交 C．外切 D．内切5．左支上一点,F1是双曲线的左焦点，且｜PF1｜=17，则P点到左准线的距离是（)A．B． C．D．6．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．已知点P1（0，2），P2（3,0），在线段P1P2上取一点P，使得，则P点坐标为（）A． B． C． D．8．圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+y2﹣x﹣2y﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0 D．x2+y2﹣x﹣2y+=09．过双曲线x2﹣=1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点，若｜AB｜=4，则这样的直线l有（）A．1条B．2条C．3条D．4条10．F1、F2是椭圆的两个焦点,M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（）A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线二、填空题(共5小题，每小题5分，满分25分）11．双曲线﹣=1的渐近线方程是．12．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A、B两点，若|F2A｜+｜F2B｜=12，则｜AB｜=．13．已知x,y满足方程(x﹣2)2+y2=1,则的最大值为．14．直线y=mx+1与双曲线x2﹣y2=1有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是．15．已知抛物线C:y=2x2与直线y=kx+2交于A，B两点,M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若,则k=．三、解答题(16-18每小题13分,19-21每小题13分，共75分）16．已知圆心为（2,1）的圆C与直线l:x=3相切．（1）求圆C的标准方程；（2）若圆C与圆O：x2+y2=4相交于A,B两点，求直线AB的方程．（用一般式表示）17．已知直线l1:ax﹣y+2a=0,l2：（2a﹣3）x+ay+a=0（1）若l1∥l2，求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．18．过点P(2，1）作抛物线y2=4x的弦AB，若弦恰被P点平分(1）求直线AB所在直线方程；（用一般式表示）(2）求弦长|AB|．19．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4,设点P的轨迹为C．（1）写出C的方程；（2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时？20．已知椭圆的焦点为F1、F2，抛物线y2=px(p＞0）与椭圆在第一象限的交点为Q,若∠F1QF2=60°．(1）求△F1QF2的面积；（2）求此抛物线的方程．21．已知点P为圆周x2+y2=4的动点，过P点作PH⊥x轴,垂足为H,设线段PH的中点为E,记点E的轨迹方程为C，点A（0，1）(1)求动点E的轨迹方程C；（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程;（3）是否存在方向向量=(1，k）（k≠0）的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M,N，且有||=｜？若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由．2016—2017学年重庆一中高二（上）期中数学试卷（文科)参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．抛物线x2=2y的焦点坐标是（)A．B．C．（1，0）D．(0，1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义可得，x2=2py（p＞0）的焦点坐标（0,)可直接求解【解答】解：根据抛物线的定义可得,x2=2y的焦点坐标（0，)故选B．2．经过(3，0），(0，4）两点的直线方程是（)A．3x+4y﹣12=0 B．3x﹣4y+12=0 C．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y﹣12=0【考点】直线的截距式方程；直线的两点式方程．【分析】直接利用直线的截距式方程求解即可．【解答】解：因为直线经过（3，0），（0，4）两点，所以所求直线方程为：，即4x+3y﹣12=0．故选D．3．直线2x﹣3y+10=0的法向量的坐标可以是（）A．（﹣2，3) B．（2，3) C．（2，﹣3) D．（﹣2，﹣3）【考点】向量语言表述线线的垂直、平行关系．【分析】先求出直线的斜率，可得其方向向量的坐标,再结合向量垂直即可得到结论．【解答】解：因为直线2x﹣3y+10=0,斜率为．∴其方向向量为：(1，）．设其法向量坐标为（x,y）由因为方向向量和法向量垂直，∴x+y=0；符合要求的只有答案C．故选:C．4．圆O1:x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出半径，求出圆心,看两个圆的圆心距与半径的关系即可．【解答】解:圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1,0)，半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0,即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2(0，2）,半径是r2=2∵｜O1O2｜=，故|r1﹣r2｜＜｜O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选B5．左支上一点,F1是双曲线的左焦点，且｜PF1|=17,则P点到左准线的距离是(）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的定义，建立方程，即可得出结论．【解答】解：设P点到左准线的距离是d，则∵左支上一点,F1是双曲线的左焦点,且｜PF1｜=17，∴∴d=故选A．6．椭圆的两个焦点三等分它的准线间的距离,则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】确定椭圆的两准线间的距离、两焦点间的距离，利用两焦点三等分椭圆两准线间的距离,建立方程，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：两准线间的距离为，两焦点间的距离2c，∵两焦点三等分椭圆两准线间的距离，∴2c=•，即：6c2=2a2,e=，或e=﹣（舍去）故选B．7．已知点P1(0，2)，P2（3，0）,在线段P1P2上取一点P，使得，则P点坐标为（）A． B． C． D．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】设P（x,y），由题意知，得=（x，y﹣2），=(3﹣x，﹣y)利用向量相等的条件得列出关于x，y的方程组，解出点P坐标．【解答】解：设P(x，y），由题意知，得=（x，y﹣2)，=（3﹣x，﹣y）因为，所以解得所以P点坐标为（2,）故选A8．圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是() A．x2+y2﹣x﹣2y﹣=0 B．x2+y2+x﹣2y+1=0C．x2+y2﹣x﹣2y+1=0 D．x2+y2﹣x﹣2y+=0【考点】圆的一般方程．【分析】所求圆圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切，不难由抛物线的定义知道,圆心、半径可得结果．【解答】解：圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程，以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标x=，即圆心(，1）,半径是1，所以排除A、B、C．故选D．9．过双曲线x2﹣=1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4，则这样的直线l有(）A．1条B．2条C．3条D．4条【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4,过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，做出直线与双曲线交点的纵标,得到也是一条长度等于4的线段．【解答】解：∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴当直线与双曲线左右两支各有一个交点时，过双曲线的焦点一定有两条直线使得两交点之间的距离等于4，当直线与实轴垂直时，有3﹣，解得y=±2，∴此时直线AB的长度是4，即只与右支有交点的弦长为4的线仅有一条．综上可知有三条直线满足｜AB｜=4，故选C．10．F1、F2是椭圆的两个焦点，M是椭圆上任一点，从任一焦点向△F1MF2顶点M的外角平分线引垂线，垂足为P，则P点的轨迹为（)A．圆B．椭圆 C．双曲线D．抛物线【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，延长F1P，与F2M的延长线交于B点，连接PO．根据等腰三角形“三线合一"和三角形中位线定理，结合椭圆的定义证出OP的长恰好等于椭圆的长半轴a，得动点P的轨迹方程为x2+y2=a2，由此可得本题答案．【解答】解:如图所示延长F1P，与F2M的延长线交于B点，连接PO,∵MP是∠F1MB的平分线，且PM⊥BF1∴△F1MB中，｜MF1|=｜BM|且P为BF1的中点由三角形中位线定理，得|OP|=|BF2|=（｜BM|+｜MF2|）∵由椭圆的定义，得|MF1|+｜MF2|=2a，（2a是椭圆的长轴)可得｜BM|+｜MF2|=2a，∴|OP｜=（｜MF1｜+｜MF2|）=a，可得动点P的轨迹方程为x2+y2=a2为以原点为圆心半径为a的圆故选：A二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．双曲线﹣=1的渐近线方程是y=±x．【考点】双曲线的简单性质．【分析】把曲线的方程化为标准方程，求出a和b的值,再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：双曲线，∴a=2，b=3，焦点在x轴上，故渐近线方程为y=±x=±x，故答案为y=±．12．已知F1、F2为椭圆=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点，若｜F2A|+|F2B|=12，则|AB｜=8．【考点】椭圆的简单性质．【分析】运用椭圆的定义，可得三角形ABF2的周长为4a=20，再由周长,即可得到AB的长．【解答】解：椭圆=1的a=5，由题意的定义,可得，｜AF1｜+|AF2｜=｜BF1｜+｜BF2|=2a，则三角形ABF2的周长为4a=20，若|F2A|+｜F2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．故答案为:813．已知x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1，则的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆的圆心坐标，圆的半径，利用圆心到直线的距离等于半径求出k的值即可．【解答】解：x，y满足方程（x﹣2）2+y2=1,圆的圆心（2,0），半径为1，设，即kx﹣y=0,要求x，y满足方程(x﹣2）2+y2=1，的最大值，就是求圆的圆心到直线的距离等于半径,即：，解得k=，所求的最大值为:．故答案为:．14．直线y=mx+1与双曲线x2﹣y2=1有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是且m≠±1．【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】联立直线与曲线方程，由题意可得，方程有2个不等的实数根，由此能求出实数k 的取值的集合．【解答】解：由消去y得（1﹣m2）x2﹣2mx﹣2=0．由题意可得1﹣m2≠0，且△=（2m）2+8(1﹣m2）＞0，解可得，且m≠±1故答案为且m≠±115．已知抛物线C：y=2x2与直线y=kx+2交于A,B两点，M是线段AB的中点，过M作x 轴的垂线，垂足为N，若，则k=．【考点】直线与圆锥曲线的关系；平面向量数量积的运算．【分析】把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0由韦达定理得x1+x2=，x1•x2=﹣1，求出M（），进一步得到N点的坐标为(）．表示出,利用向量的数量积根式求出，根据已知列出方程求出k的值．【解答】解：设A(x1，2x12），B（x2,2x22),把y=kx+2代入y=2x2得2x2﹣kx﹣2=0由韦达定理得x1+x2=，x1•x2=﹣1,所以M(），所以N点的坐标为（)．，，所以===﹣1=3因为，所以3=0所以k=故答案为:三、解答题（16—18每小题13分,19-21每小题13分,共75分）16．已知圆心为（2，1）的圆C与直线l：x=3相切．（1）求圆C的标准方程；（2)若圆C与圆O：x2+y2=4相交于A，B两点,求直线AB的方程．（用一般式表示）【考点】相交弦所在直线的方程；直线与圆的位置关系．【分析】(1）直线l:x=3与圆C相切，可得直线l到点C的距离等于圆C的半径，用距离公式可以求得圆C的半径等于1，最后用圆的标准方程公式得到圆C的标准方程；（2）圆C与圆O：x2+y2=4相交于A,B两点，线段AB即为两圆的公共弦．将两圆的一般方程的左边相减，得到二元一次方程，即为公共弦弦AB所在直线的方程．【解答】解：（1）∵圆C与直线l：x=3相切．∴圆心C（2，1）到直线l的距离等于圆的半径．因此半径r=｜3﹣2|=1∴圆C的标准方程为（x﹣2)2+（y﹣1）2=1(2）将圆C与圆O的方程联解，由两式相减得方程：2x+y﹣4=0，∵圆C与圆O相交于A,B两点，∴直线AB的方程即为2x+y﹣4=017．已知直线l1：ax﹣y+2a=0,l2：(2a﹣3）x+ay+a=0（1)若l1∥l2,求实数a的值；（2）若l1⊥l2，求实数a的值．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）先求出两直线的法向量，由l1∥l2所以得a2+2a﹣3=0，从而解得a的值．最后经检验满足l1∥l2 ．（2）由得a(2a﹣3）﹣a=0，即可求得a的值．【解答】解：(1）直线l1的法向量为，直线l2的法向量为因l1∥l2所以即a2+2a﹣3=0得a=﹣3或1经检验均符合题意，故a=﹣3或1(2）故a（2a﹣3)﹣a=0，∴a=0或2．18．过点P(2，1)作抛物线y2=4x的弦AB，若弦恰被P点平分(1）求直线AB所在直线方程;（用一般式表示)（2）求弦长|AB｜．【考点】直线与圆锥曲线的关系；两点间的距离公式．【分析】(1）设A(x1，y1），B(x2,y2），利用“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．（2）把直线方程与抛物线的方程联立，利用弦长公式即可得出．【解答】解：(1）设A（x1，y1）,B(x2,y2）,则⇒（y1+y2）（y1﹣y2）=4(x1﹣x2）由于直线的斜率存在，故，从而直线AB的方程为：y﹣1=2（x﹣2）,即2x﹣y﹣3=0．(2）⇒(2x﹣3）2=4x即4x2﹣16x+9=0，因△＞0，故于是．19．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时？【考点】圆锥曲线的轨迹问题；直线与圆锥曲线的关系．【分析】（1）由题意可知P点的轨迹为椭圆，并且得到，求出b后可得椭圆的标准方程；(2）把直线方程和椭圆方程联立，化为关于x的一元二次方程后得到判别式大于0,然后利用根与系数关系得到直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，写出两个向量垂直的坐标表示，最后代入根与系数的关系后可求得k的值．【解答】解:（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，其中，所以b2=a2﹣c2==1．故轨迹C的方程为：；(2）设A（x1,y1），B（x2，y2）由⇒（kx+1）2+4x2=4，即（k2+4）x2+2kx﹣3=0由△=16k2+48＞0，可得：，再由,即（k2+1）x1x2+k（x1+x2）+1=0,所以,．20．已知椭圆的焦点为F1、F2,抛物线y2=px（p＞0）与椭圆在第一象限的交点为Q，若∠F1QF2=60°．(1）求△F1QF2的面积;（2）求此抛物线的方程．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】(1）由Q在椭圆上，知|QF1｜+|QF2|=4．在△QF1F2中,，所以，由此能求出△F1QF2的面积．（2)设Q（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），，故．又Q点在椭圆上,所以,故．由Q点在抛物线上,能求出抛物线方程．【解答】解:（1）∵Q在椭圆上，∴｜QF1｜+｜QF2|=4，∴=16，…①在△QF1F2中，∵∠F1QF2=60°，∴…②①﹣②，得:,∴．（2）设Q（x0,y0）,（x0＞0，y0＞0）由（1)知,=,∵｜F1F2|=2c=2=2，∴,故，又Q点在椭圆上,所以,即,故．又Q点在抛物线上，所以,∴，所以抛物线方程为．21．已知点P为圆周x2+y2=4的动点，过P点作PH⊥x轴,垂足为H，设线段PH的中点为E，记点E的轨迹方程为C，点A(0，1）（1)求动点E的轨迹方程C；（2)若斜率为k的直线l经过点A（0,1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程；(3）是否存在方向向量=(1，k）（k≠0）的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M，N，且有|｜=｜?若存在，求出k的取值范围；若不存在,说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用;轨迹方程．【分析】（1）欲求动点E的轨迹方程，设E（x，y）,只须求出其坐标x，y的关系式即可,利用P(x，2y)点在圆上，即可得到答案；（2)根据三角形的面积公式得，欲求面积的最大值,只须考虑|x B｜的最大值即可．由此求出直线l的方程；（3）先假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式，求出k 的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】解:（1）设E（x，y），则P（x，2y），而P点在圆上所以x2+4y2=4，即（2）而｜x B|≤2，故当x B=±2时，△OAB面积的最大值为1此时，直线l的方程为：x﹣2y+2=0或x+2y﹣2=0（3）假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，M(x1,y1）,N(x2,y2），MN的中点Q（x0，y0）于是⇒（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0△=64k2m2﹣4（1+4k2)（4m2﹣4)＞04k2﹣m2+1＞0…①而故从而而故k AQ•k=﹣1可得:3m=﹣4k2﹣1…②由①②得:﹣3＜m＜0 故2016年11月26日。

重庆市重庆一中2017届高三上学期半期考试试题数学(文) 含答案

秘密★启用前2016年重庆一中高2017级高三上期半期考试数学试题卷（文科)2016。

11数学试题共4页，满分150分,考试时间120分钟注意事项：1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3。

答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4。

所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知21zi i=++，则复数z =（）A.13i -+ B 。

13i - C.13i -- D 。

13i +2.（改编）设全集I 是实数集R ，{}3M x x =≥与{}0)1)(3(≤--=x x x N 都是I 的子集（如图所示）, 则阴影部分所表示的集合为( ） A.{}13x x << B 。

{}13x x ≤< C.{}13x x <≤D.{}13x x ≤≤3。

（原创）已知直线方程为,3300sin 300cos =+y x则直线的倾斜角为( ） A.60 B 。

30060或 C.30 D 。

33030或4.（原创)函数x x xx f sin )(2+=的图象关于（ )A 。

坐标原点对称 B.直线y x =-对称 C 。

y轴对称 D 。

直线y x =对称5。

点)2,1(--关于直线1=+y x 对称的点坐标是( ）)2,3(A.B.)2,3(-- C 。

)2,1(-- D 。

)3,2(6。

已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（） A.52+B 。

253+C.252+D.53+7。

已知函数3log )(,log )(,3)(33-=+=+=x x h x x x g x x f x的零点依次为c b a ,,，则A.c b a << B 。

重庆一中2016-2017学年高三上学期第二次月考数学试卷(文科)Word版含解析

2016-2017学年重庆一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x∈Z|x2＜3}，则∁I A=（）A．{﹣2，2}B．{﹣2，0，2}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣2，﹣1，0，2}2．已知复数（1+i）z﹣2=i，则复数z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．∀x＞0，x3≤0 B．C．∀x＜0，x3≤0 D．4．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=lnx3B．y=﹣x2C．y=x|x|D．6．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．170217．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．38．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．9．已知唐校长某日晨练时，行走的时间（x）与离家的直线距离（y）之间的函数图象（如图）．若用黑点表示唐校长家的位置，则唐校长晨练所走的路线可能是（）A．B．C．D．10．如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（）A．①②B．③④C．②③D．①④11．已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，2]C．[，+∞）D．[2，+∞）12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项之和分别为S n、T n．若对任意n∈N*有①（n+3）S n=（3n+1）T n；②a≥λb n均恒成立，且存在n0∈N*，使得实数λ有最大值，则n0=（）A．6 B．5 C．4 D．3二、填空题设函数f（x）=，则f（f（﹣1））=．14．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标xOy系中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为．15．若cos（）﹣sinα=，则sin（）=．16．设数列{a n}满足对任意的n∈N*，P n（n，a n）满足=（1，2），且a1+a2=4，则数列{}的前n项和S n为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求三梭锥A一BDP的体积．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=bcosA．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若△ABC的面积为，△ABC的周长为6，求a．19．已知数列{a n}的前n项之和为S n满足S n=2a n﹣2．（Ⅰ）数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M（，）满足=0．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+与椭圆有不同交点A，B，且＞1（O为坐标原点），求实数k的取值范围．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，求证：f（x）＞．选做题（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|．（Ⅰ）求f（x）＞x解集；（Ⅱ）若a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．2016-2017学年重庆一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x∈Z|x2＜3}，则∁I A=（）A．{﹣2，2}B．{﹣2，0，2}C．{﹣2，﹣1，2}D．{﹣2，﹣1，0，2}【考点】补集及其运算．【分析】先解出集合A，然后根据补集的定义得出答案．【解答】解：A={x∈Z|x2＜3}={﹣1，0，1}，∵全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，则∁I A={﹣2，2}，故选：A【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算布高考中的常考内容，要认真掌握，并确保得分．2．已知复数（1+i）z﹣2=i，则复数z在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数（1+i）z﹣2=i，∴z===，则复数z在复平面上对应的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是（）A．∀x＞0，x3≤0 B．C．∀x＜0，x3≤0 D．【考点】命题的否定．【分析】利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题p：∀x＞0，x3＞0，那么￢p是．故选：D．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．4．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）（注：结余=收入﹣支出）A．收入最高值与收入最低值的比是3：1B．结余最高的月份是7月C．1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D．前6个月的平均收入为40万元【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据折现统计图即可判断各选项．【解答】解：由图可知，收入最高值为90万元，收入最低值为30万元，其比是3：1，故A正确，由图可知，结余最高为7月份，为80﹣20=60，故B正确，由图可知，1至2月份的收入的变化率为与4至5月份的收入的变化率相同，故C正确，由图可知，前6个月的平均收入为（40+60+30+30+50+60）=45万元，故D错误，故选：D．【点评】本题考查了统计图识别和应用，关键是认清图形，属于基础题．5．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（）A．y=lnx3B．y=﹣x2C．y=x|x|D．【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数定义域的特点，奇函数、偶函数的定义，二次函数、分段函数，及反比例函数的单调性便可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：A．y=lnx3的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，不是奇函数，∴该选项错误；B．y=﹣x2为偶函数，不是奇函数，∴该选项错误；C．y=x|x|的定义域为R，且（﹣x）|﹣x|=﹣x|x|；∴该函数为奇函数；；∴该函数在[0，+∞），（﹣∞，0）上都是增函数，且02=﹣02；∴该函数在R上为增函数，∴该选项正确；D.在定义域上没有单调性，∴该选项错误．故选：C．【点评】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数定义域的对称性，以及二次函数、分段函数，和反比例函数的单调性．6．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是（）A．9 B．121 C．130 D．17021【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c的值，当c=16900时，不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．【解答】解：模拟执行程序，可得a=1，b=2，c=3满足条件c＜2016，a=2，b=9，c=11满足条件c＜2016，a=9，b=121，c=130满足条件c＜2016，a=121，b=16900，c=17021不满足条件c＜2016，退出循环，输出a的值为121．故选：B．【点评】本题主要考察了程序框图和算法，正确理解循环结构的功能是解题的关键，属于基本知识的考查．7．若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．3【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的最小值．【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；故选A．【点评】本题考查简单的线性规划的应用，正确画出约束条件的可行域是解题的关键，常考题型．8．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得出结论．【解答】解：由函数的图象可得A=2，=，解得ω=2．再由五点法作图可得2×+φ=，求得φ=，故选D．【点评】本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．9．已知唐校长某日晨练时，行走的时间（x）与离家的直线距离（y）之间的函数图象（如图）．若用黑点表示唐校长家的位置，则唐校长晨练所走的路线可能是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由图知：在行驶的过程中，有一段路程到小王家的距离都相等，可根据这个特点来判断符合题意的选项．【解答】解：根据题意知：横坐标代表的是时间，纵坐标代表的是路程；由图知：在前往新华书店的过程中，有一段路程到小王家的距离不变，所以只有选项D符合题意；故选D．【点评】本题主要考查函数的图象的知识点，重在考查了函数图象的读图能力．能够根据函数的图象准确的把握住关键信息是解答此题的关键．10．如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（）A．①②B．③④C．②③D．①④【考点】直线与平面平行的判定．【分析】根据直线与平面平行的判定方法，得出图①④中AB∥平面MNP．【解答】解：对于①，该正方体的对角面ADBC∥平面MNP，得出直线AB∥平面MNP；对于②，直线AB和平面MNP不平行，因此直线AB与平面MNP相交；对于③，易知平面PMN与正方体的侧面AB相交，得出AB与平面MNP相交；对于④，直线AB与平面MNP内的一条直线NP平行，且直线AB⊄平面MNP，∴直线AB ∥平面MNP；综上，能得出直线AB∥平面MNP的图形的序号是①④．故选：D．【点评】本题考查了空间中的直线与平面平行的判断问题，解题时应结合图形进行分析，是基础题目．11．已知抛物线y2=8x的焦点到双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线的距离不大于，则双曲线E的离心率的取值范围是（）A．（1，]B．（1，2]C．[，+∞）D．[2，+∞）【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，双曲线的渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得a，b的关系，再由离心率公式，计算即可得到．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点为（2，0），双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为bx+ay=0，则焦点到渐近线的距离d=≤，即有2b≤c，∴4b2≤3c2，∴4（c2﹣a2）≤3c2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2故选：B．【点评】本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式，考查离心率的求法，属于中档题．12．设等差数列{a n}，{b n}的前n项之和分别为S n、T n．若对任意n∈N*有①（n+3）S n=（3n+1）T n；②a≥λb n均恒成立，且存在n0∈N*，使得实数λ有最大值，则n0=（）A．6 B．5 C．4 D．3【考点】等差数列的前n项和．【分析】由①（n+3）S n=（3n+1）T n，n=1时，a1=b1．n为奇数时，S n=．T n=．可得=，令t=，可得n=2t﹣1．不妨设a t=3t﹣1，b t=t+1．即a n=3n﹣1，b n=n+1．由②可得：λ≤，即λ≤，化简利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．【解答】解：由①（n+3）S n=（3n+1）T n，n=1时，a1=b1．n为奇数时，S n=．T n=．∴=，令t=，可得n=2t﹣1．不妨设a t=3t﹣1，b t=t+1．即a n=3n﹣1，b n=n+1．由②可得：λ≤，即λ≤==3（n+1）+﹣6，令f（x）=3x+，（x≥2），则f′（x）===，f（5）=15+，f（6）=18+，f（6）﹣f（5）＞0，∴n∈N*时，f（5）取得最小值．则n0=5．故选：B．【点评】本题考查了等差数列的求和公式及其性质、利用导数研究其单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题（2016秋万全县期中）设函数f（x）=，则f（f（﹣1））=1．【考点】函数的值．【分析】由已知得f（﹣1）=1，由此能求出f（f（﹣1））的值．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣1）=﹣（﹣1）2﹣2（﹣1）=1，∴f（f（﹣1））=f（1）=log22=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标xOy系中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，利用列举法求出满足条件的事件包含的基本事件个数，根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上，当x=1，y=1，x=2，y=3；x=3，y=5，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率：P==，故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意古典概率计算公式的合理运用．15．若cos（）﹣sinα=，则sin（）=．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】根据两角和的余弦公式以及辅助角公式将条件进行化简，利用三角函数的诱导公式即可得到结论．【解答】解：∵cos（）﹣sinα===，∴，∵sin（）=sin（）=，∴sin（）=，故答案为：【点评】本题主要考查三角函数求值问题，要求熟练掌握两角和差的三角公式以及诱导公式的应用，考查学生的运算能力．16．设数列{a n}满足对任意的n∈N*，P n（n，a n）满足=（1，2），且a1+a2=4，则数列{}的前n项和S n为．【考点】数列的求和．﹣a n=2，【分析】数列{a n}满足对任意的n∈N*，P n（n，a n）满足=（1，2），可得a n+1利用等差数列的通项公式可得a n，再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足对任意的n∈N*，P n（n，a n）满足=（1，2），﹣a n=2，∴数列{a n}是公差为2的等差数列．∴a n+1∵a1+a2=4，∴2a1+2=4，解得a1=1．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∴==．∴数列{}的前n项和S n为=+…+==．故答案为：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、“裂项求和”方法、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；（Ⅱ）求三梭锥A一BDP的体积．【考点】直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（I ）根据中位线定理证明线线平行，再由线面平行的判定定理证明PA ∥平面BDE ；（II ）利用三棱锥的换底性，代入数据计算可得答案．【解答】解：（I ）证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，∵ABCD 是正方形，∴O 为AC 的中点，又E 是PC 的中点，∴OE ∥PA ，PA ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，∴PA ∥平面BDE ；（II ）∵侧棱PD ⊥底面ABCD ，∴PD 为三棱锥P ﹣ABD 的高，PD=DC=2，∴V A ﹣BDP =V P ﹣ABD =×S △ABD ×PD=××2×2×2=．【点评】本题考查了线面平行的证明及三棱锥的体积计算，利用线线平行证明线面平行是证明线面平行的基本方法．18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且asinB=bcosA ．（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若△ABC 的面积为，△ABC 的周长为6，求a ．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知可得，结合范围0＜A ＜π，可求A 的值．（Ⅱ）利用三角形面积公式可求bc=4，利用周长及余弦定理可得，即可解得a的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ），∴由正弦定理得：．…，…，…∵0＜A＜π，…．…（Ⅱ）a+b+c=6，…△ABC的面积为=bcsinA=bc，可得：bc=4，…在△ABC中，由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣bc，…则，…可得：，…可得：（6﹣a）2=a2+12，解得：a=2．…【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．19．已知数列{a n}的前n项之和为S n满足S n=2a n﹣2．（Ⅰ）数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）根据已知条件可以推知a n=2a n﹣2a n﹣1⇒a n⇒2a n﹣1，结合等比数列的定义推知数列{a n}是以2为首项，2为公比的等边数列，则易求通项公式；（Ⅱ）利用错位相减法求数列的和．【解答】解：（Ⅰ）S n=2a n﹣2，S n﹣1=2a n﹣1﹣2⇒a n=2a n﹣2a n﹣1⇒a n⇒2a n﹣1易得：a1=2，则．（Ⅱ），①．②①﹣②得，．=，．【点评】本题考查了数列的求和，数列的递推式．考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，椭圆上一点M（，）满足=0．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l：y=kx+与椭圆有不同交点A，B，且＞1（O为坐标原点），求实数k的取值范围．【考点】椭圆的应用．【分析】（1）由题意得：c=，a=2，b=1．从而写出椭圆方程即可；（2）将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式即可求得k的范围，从而解决问题．【解答】解：（1）由题意得：c=，a=2，∴b=1．∴椭圆方程为（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2）则=，∴．【点评】本小题主要考查椭圆的应用、向量的数量积的应用、不等式的解法等基础知识，解答的关键在于学生的运算求解能力，数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．21．已知函数f（x）=．（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程．（Ⅱ）当x∈（1，+∞）时，求证：f（x）＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）设，求出函数的导数，通过讨论函数的单调性，结合x的范围证明即可．【解答】解：（Ⅰ）设．…，…则在点处的切线方程为：．…（Ⅱ）设，则，…x∈（1，+∞）⇒F''（x）＞0⇒F'（x）在（1，+∞）上为增函数；…又因，在（1，+∞）上为增函数；…在（1，+∞）都成立．…设，由于△=32（2﹣e）＜0，…则在（1，+∞）上为增函数，又G（1）=0，…若x＞1时，则．…综上：．…【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．选做题（请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.）[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知圆O外有一点P，作圆O的切线PM，M为切点，过PM的中点N，作割线NAB，交圆于A、B两点，连接PA并延长，交圆O于点C，连续PB交圆O于点D，若MC=BC．（1）求证：△APM∽△ABP；（2）求证：四边形PMCD是平行四边形．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．【分析】（I）由切割线定理，及N是PM的中点，可得PN2=NANB，进而=，结合∠PNA=∠BNP，可得△PNA∽△BNP，则∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA；再由MC=BC，可得∠MAC=∠BAC，再由等角的补角相等可得∠MAP=∠PAB，进而得到△APM∽△ABP（II）由∠ACD=∠PBN，可得∠PCD=∠CPM，即PM∥CD；由△APM∽△ABP，PM是圆O的切线，可证得∠MCP=∠DPC，即MC∥PD；再由平行四边形的判定定理得到四边形PMCD是平行四边形．【解答】证明：（Ⅰ）∵PM是圆O的切线，NAB是圆O的割线，N是PM的中点，∴MN2=PN2=NANB，∴=，又∵∠PNA=∠BNP，∴△PNA∽△BNP，∴∠APN=∠PBN，即∠APM=∠PBA，．∵MC=BC，∴∠MAC=∠BAC，∴∠MAP=∠PAB，∴△APM∽△ABP…（Ⅱ）∵∠ACD=∠PBN，∴∠ACD=∠PBN=∠APN，即∠PCD=∠CPM，∴PM∥CD．∵△APM∽△ABP，∴∠PMA=∠BPA∵PM是圆O的切线，∴∠PMA=∠MCP，∴∠PMA=∠BPA=∠MCP，即∠MCP=∠DPC，∴MC∥PD，∴四边形PMCD是平行四边形．…【点评】本题考查的知识点是切割线定理，圆周角定理，三角形相似的判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平面几何的基本定理是解答本题的关键．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016秋红塔区校级月考）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线C1极坐标方程为ρsin（θ+）=a，曲线C2参数方程为（θ为参数）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，求实数a取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标方程互化方法，求C1的直角坐标方程；（Ⅱ）当C1与C2有两个公共点时，圆心到直线的距离d＜r，即可求实数a取值范围．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为，∴曲线C1的直角坐标方程为x+y﹣a=0．（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为：（x+1）2+（y+1）2=1，∵C1与C2有两个公共点，∴圆心到直线的距离d=＜1，∴实数a的取值范围：﹣2﹣＜a＜﹣2+．【点评】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2014开封模拟）已知f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|．（Ⅰ）求f（x）＞x解集；（Ⅱ）若a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），+≥|2x﹣1|﹣|x+1|恒成立，求x的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）依题意，对自变量x的取值范围分类讨论，去掉绝对值符号，即可求得f（x）＞x解集；（Ⅱ）首项利用基本不等式求得+≥9，再通过对x的范围分类讨论，解绝对值不等式|2x ﹣1|﹣|x+1|≤9即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+1|=．∵f（x）＞x，∴当x＜﹣1时，﹣x+2＞x，解得x＜1，故x＜﹣1；当﹣1≤x≤时，﹣3x＞x，解得x＜0，故﹣1≤x＜0；当x＞时，x﹣2＞x，该不等式无解；综上所述，f（x）＞x解集为{x|x＜0}；（Ⅱ）∵a+b=1，对∀a，b∈（0，+∞），（a+b）（+）=5++≥9，∴|2x﹣1|﹣|x+1|≤9，当x＜﹣1时，1﹣2x+x+1≤9，解得﹣7≤x＜﹣1；当﹣1≤x≤时，﹣3x≤9，解得x≥﹣3，故﹣1≤x≤；当x＞时，x﹣2≤9，解得＜x≤11．综上所述，﹣7≤x≤11，即x的取值范围为[﹣7，11]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，考查恒成立问题及基本不等式与集合的运算，属于中档题．。

重庆一中2016年高二数学上学期期末试题(文科有解析)

重庆一中2016年高二数学上学期期末试题（文科有解析）2015-2016学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设集合{x|x2�3x�4＜0}，N={�2，�1，0，1，2}，则M∩N=（） A．{�1，0} B．{�2，�1，0} C．{0，1} D．{0，1，2} 2．若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则�Vp是（） A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．∃x∈R，2x2+1＞0 C．∃x∈R，2x2+1＜0 D．∃x∈R，2x2+1≤0 3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx（x∈R）是周期函数． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 4．已知等比数列{an}的公比q=2，则的值为（） A． B． C． D．1 5．在△ABC 中，D为AB的中点，设，则 =（） A． B． C． D． 6．已知函数f（x）=x2�6x+4lnx，则函数f（x）的增区间为（） A．（�∞，1），（2，+∞） B．（�∞，0），（1，2） C．（0，1），（2，+∞） D．（1，2） 7．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知x，y的值如表所示： x 2 3 4 y 5 4 6 如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（） A． B． C． D． 9．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则边BC的长为（）A． B．3 C． D．7 10．动点P（x，y）满足，点Q为（1，�1），O为原点，λ| |= ，则λ的最大值是（） A．�1 B．1 C．2 D． 11．过抛物线y=x2的焦点F作直线交抛物线于P，Q，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则2m+n的最小值为（） A． B． C． D． 12．已知函数y=f（x）的定义域内任意的自变量x都有f（�x）=f（ +x），且对任意的x∈（�，），都有f′（x）+f（x）tanx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），设a=f（），b=f（），c= f（0），则a，b，c的大小关系为（） A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b ＜a D．b＜a＜c 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2�y2=1的一个焦点，则p= ． 14．曲线y=�x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为． 15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表，则大约有%的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：．非统计专业统计专业男15 10 女 5 20P（Χ2＞x0） 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 5.024 6.635 7.879 10.828 16．已知函数，若a，b是从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则使函数f（x）有极值点的概率为．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.） 17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=5，S15=150．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，{bn}的前n项和为Tn，求Tn． 18．已知圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0经过点（0，5），（1，�2），（1，6），且直线l：（2m+1）x+（m+1）y�7m�6=0与圆Q相交于C，D （1）求圆Q的方程．（2）若△QCD的周长为18，求m的值． 19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a•cosC+c•cosA=2b•cosA．（1）求角A的大小；（2）求函数y= sinB+sin（C�）的值域． 20．某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练及考核，若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，若每一次考试是否合格互不影响．（1）求学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．（2）设学生甲不放弃每一次考核的机会，求学生甲恰好补考一次的概率． 21．已知椭圆过点，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． 22．已知函数，g（x）=xf（x）+（1�tx）e�x，t∈R （1）求函数f（x）的极大值；（2）若存在a，b，c∈[0，1]满足g（a）+g（b）＜g（c），求实数t的取值范围． 2015-2016学年重庆一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．设集合{x|x2�3x�4＜0}，N={�2，�1，0，1，2}，则M∩N=（） A．{�1，0} B．{�2，�1，0} C．{0，1} D．{0，1，2} 【考点】交集及其运算．【分析】求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中不等式变形得：（x�4）（x+1）＜0，解得：�1＜x＜4，即M={x|�1＜x＜4}，∵N={�2，�1，0，1，2}，∴M∩N={0，1，2}，故选：D． 2．若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则�Vp是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．∃x∈R，2x2+1＞0 C．∃x∈R，2x2+1＜0 D．∃x ∈R，2x2+1≤0 【考点】命题的否定；全称命题．【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题【解答】解：由题意∀x∈R，2x2+1＞0，的否定是∃x∈R，2x2+1≤0 故选D 3．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）①y=cosx（x∈R）是三角函数；②三角函数是周期函数；③y=cosx （x∈R）是周期函数． A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 【考点】演绎推理的基本方法．【分析】根据三段论”的排列模式：“大前提”→“小前提”⇒“结论”，分析即可得到正确的次序．【解答】解：根据“三段论”：“大前提”→“小前提”⇒“结论”可知：①y=cosx（（x∈R ）是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y=cosx（（x∈R ）是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③ 故选B 4．已知等比数列{an}的公比q=2，则的值为（） A． B． C． D．1 【考点】等比数列的性质．【分析】利用等比数列{an}的公比q=2，可得 = = ，即可得出结论．【解答】解：∵等比数列{an}的公比q=2，∴ = = ，故选：A． 5．在△ABC中，D为AB的中点，设，则 =（）A． B． C． D．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】D为AB的中点，这样根据向量加法的平行四边形法则及向量的数乘运算便可得出．【解答】解：如图，D为AB中点；∴ ；∴ ．故选：A． 6．已知函数f（x）=x2�6x+4lnx，则函数f（x）的增区间为（） A．（�∞，1），（2，+∞） B．（�∞，0），（1，2）C．（0，1），（2，+∞） D．（1，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先确定函数的定义域然后求导数f′（x），在函数的定义域内解不等式f′（x）＞0，解得的区间就是单调增区间．【解答】解：∵f（x）=x2�6x+4lnx，x＞0，f′（x）=2x�6+ = ，令f′（x）＞0，解得：x＞2或0＜x＜1，故f（x）在（0，1），（2，+∞）递增，故选：C． 7．“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cos2α=cos2α�sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α�sin2α，∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件．故选：A． 8．已知x，y的值如表所示： x 2 3 4 y 5 4 6 如果y与x呈线性相关且回归直线方程为，则b=（） A． B． C． D．【考点】线性回归方程．【分析】根据所给的三组数据，求出这组数据的平均数，得到这组数据的样本中心点，根据线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入所给的方程，得到b的值．【解答】解：根据所给的三对数据，得到 =3， =5，∴这组数据的样本中心点是（3，5）∵线性回归直线的方程一定过样本中心点，∴5=3b+ ，∴b= ，故选B． 9．在△ABC中，A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，则边BC的长为（）A． B．3 C． D．7 【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】根据三角形的面积公式求出AC的值，再由余弦定理求得AC的值．【解答】解：根据三角形的面积公式得：，把A=60°，AB=2代入得，AC=1，由余弦定理得，BC2=AB2+AC2�2AB•AC•cosA =4+1�=3，则BC= ，故选：A． 10．动点P（x，y）满足，点Q为（1，�1），O为原点，λ| |= ，则λ的最大值是（） A．�1 B．1 C．2 D．【考点】简单线性规划．【分析】根据向量的数量积公式将条件进行化简，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：：∵λ| |= = ，∴λ=| |cos＜＞，作出不等式组对应的平面区域如图，则OQ，OA的夹角最小，由，解得，即A（3，1），则 =（3，1），又，则cos＜＞= = = ，∴λ的最大值是| |cos＜＞= ．故选：D． 11．过抛物线y=x2的焦点F作直线交抛物线于P，Q，若线段PF与QF的长度分别为m，n，则2m+n的最小值为（） A． B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设PQ的斜率k=0，因抛物线焦点坐标为（0，），把直线方程y= 代入抛物线方程得m，n的值，可得+ =4，利用“1”的代换，即可得到答案．【解答】解：抛物线y=4x2的焦点F为（0，），设PQ的斜率k=0，∴直线PQ的方程为y= ，代入抛物线y=x2得：x=± ，即m=n= ，∴ + =4，∴2m+n= （2m+n）（ + ）= （3+ + ）≥ 故选：C． 12．已知函数y=f（x）的定义域内任意的自变量x都有f（�x）=f（ +x），且对任意的x∈（�，），都有f′（x）+f（x）tanx＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），设a=f（），b=f（），c= f（0），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜a＜c 【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的对称轴，构造函数g（x），通过求导得到g（x）的单调性，从而判断出a，b，c的大小即可．【解答】解：∵f（�x）=f（ +x），∴x= 是函数的对称轴，令g（x）= ，则g′（x）= ，∵对任意的x∈（�，），都有f′（x）+f （x）tanx＞0，∴对任意的x∈（�，），都有cosxf′（x）+sinf （x）＞0，∴对任意的x∈（�，），都有g′（x）＞0，∴g（x）在（�，）单调递增，∴g（x）在（，）单调递减，∴g（）＞g（0）=g（π）＞g（），∴f（）＞f（0）=f（π）＞f（），∴b ＞c＞a，故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）． 13．若抛物线y2=2px（p＞0）的准线经过双曲线x2�y2=1的一个焦点，则p= 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先求出x2�y2=1的左焦点，得到抛物线y2=2px的准线，依据p 的意义求出它的值．【解答】解：双曲线x2�y2=1的左焦点为（�，0），故抛物线y2=2px的准线为x=�，∴ = ，∴p=2 ，故答案为：2 ． 14．曲线y=�x3+3x2在点（1，2）处的切线方程为y=3x�1 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】根据曲线方程y=�x3+3x2，对f（x）进行求导，求出f′（x）在x=1处的值即为切线的斜率，曲线又过点（1，2）利用点斜式求出切线方程；【解答】解：∵曲线y=�x3+3x2，∴y′=�3x2+6x，∴切线方程的斜率为：k=y′|x=1=�3+6=3，又因为曲线y=�x3+3x2过点（1，2）∴切线方程为：y�2=3（x�1），即y=3x�1，故答案为：y=3x�1． 15．某高校“统计初步”课程的教师为了检验主修统计专业是否与性别有关系，随机调查了选该课的学生人数情况，具体数据如表，则大约有99.5 %的把握认为主修统计专业与性别有关系．参考公式：．非统计专业统计专业男 15 10 女 5 20P（Χ2＞x0） 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 5.024 6.635 7.879 10.828 【考点】独立性检验的应用．【分析】根据表格数据，利用公式，结合临界值，即可求得结论．【解答】解：根据具体数据表得，K2的观测值k= ≈8.3，因为8.3＞7.879，所以有1�0.5%=99.5%的把握认为主修统计专业与性别有关．故答案为：99.5%． 16．已知函数，若a，b是从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则使函数f（x）有极值点的概率为．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】求出导数，由导数数值为0得到使函数f（x）有极值点的充要条件是a2≥5b，由此利用列举法能求出使函数f（x）有极值点的概率．【解答】解：∵函数，∴f′（x）=x2+2ax+5b，由f′（x）=x2+2ax+5b=0有解，得△=4a2�20b≥0，∴使函数f（x）有极值点的充要条件是a2≥5b，∵a，b是从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，∴基本事件总数为4×3=12，满足a2≥5b的有：（4，1），（4，2），（4，3），（3，1），共4种，∴使函数f（x）有极值点的概率为p= ．故答案为：．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.） 17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2=5，S15=150．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记，{bn}的前n项和为Tn，求Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，利用等差数列的通项公式即可得出；（2）易知：，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则a2=a1+2d=5，S15=15a1+15×7d=150，解得a1=3，d=1，∴an=n+2．（2）易知：，∴Tn=b1+b2+…+bn=21+22+…+2n==2n+1�2． 18．已知圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0经过点（0，5），（1，�2），（1，6），且直线l：（2m+1）x+（m+1）y�7m�6=0与圆Q相交于C，D （1）求圆Q的方程．（2）若△QCD的周长为18，求m的值．【考点】圆的一般方程．【分析】（1）把（0，5），（1，�2），（1，6）代入圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0，由此能求出圆方程．（2）圆x2+y2�8x�4y�5=0的圆心Q（4，2），半径r=5，从而弦CD的长度8，进而圆心（4，2）到直线l的距离为4，由此利用点到直线的距离公式能求出m的值．【解答】解：（1）解：∵圆Q：x2+y2+Dx+Ey+F=0经过点（0，5），（1，�2），（1，6），∴由题意得：，∴则圆方程为x2+y2�8x�4y�5=0．（2）∵圆x2+y2�8x�4y�5=0的圆心Q （4，2），半径r= =5，直线l：（2m+1）x+（m+1）y�7m�6=0与圆Q相交于C，D，△QCD的周长为18，弦CD的长度为：18�2r=18�10=8，∴圆心（4，2）到直线l的距离为 =4，∴ ，解得．… 19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a•cosC+c•cosA=2b•cosA．（1）求角A的大小；（2）求函数y= sinB+sin （C�）的值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）根据正弦定理把题设等式中的边换成相应角的正弦，化简整理可求得cosA，进而求得A．（2）利用辅助角公式化简函数，即可求函数y= sinB+sin（C�）的值域．【解答】解：（1）根据正弦定理∵2b•cosA=c•cosA+a•cosC．∴2sinB•cosA=sinC•cosA+sinA•cosC，∵sinB≠0 ∴cosA= ，又∵0°＜A＜180°，∴A= ；（2）∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴y∈（1，2]． 20．某校学生依次进行身体体能和外语两个项目的训练及考核．每个项目只有一次补考机会，补考不合格者不能进入下一个项目的训练及考核，若每个学生身体体能考核合格的概率是，外语考核合格的概率是，若每一次考试是否合格互不影响．（1）求学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．（2）设学生甲不放弃每一次考核的机会，求学生甲恰好补考一次的概率．【考点】离散型随机变量的期望与方差；分布列对于刻画随机现象的重要性．【分析】（1）分别求出两个项目都不补考能通过概率、两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率和两个项目都要补考才能通过的概率，由此能求出学生甲体能考核与外语考核都合格的概率．（2）恰好补考一次记为ξ=1，由相互独立事件乘法概率计算公式能求出学生甲恰好补考一次的概率．【解答】解：（1）①两个项目都不补考能通过概率：②两个项目中有一个项目要补考才能通过的概率：③两个项目都要补考才能通过的概率：，∴学生甲体能考核与外语考核都合格的概率：（2）恰好补考一次记为ξ=1，则学生甲恰好补考一次的概率：． 21．已知椭圆过点，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意得：， =1，由此能求出椭圆C的方程．（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1），设直线方程为y=kx+m，二者联立，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2�2=0，由此利用韦达定理、向量垂直、直线与圆相切，结合已知能求出存在圆心在原点的圆满足题意．【解答】解：（1）∵椭圆过点，且短轴两个顶点与一个焦点恰好为直角三角形，∴由题意得：， =1，解得a= ，b=1，∴椭圆C的方程为．… （2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1）当直线P，Q的斜率存在时，设直线方程为y=kx+m，由，得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2�2=0，令P（x1，y1），Q（x2，y2），则有：，… ∵ ⊥ ，∴ ．∴ ，∴3m2=2k2+2．… ∵直线PQ与圆相切，∴ ，∴存在圆当直线PQ的斜率不存在时，也适合．综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意．… 22．已知函数，g（x）=xf（x）+（1�tx）e�x，t∈R （1）求函数f（x）的极大值；（2）若存在a，b，c∈[0，1]满足g（a）+g（b）＜g（c），求实数t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极大值；（2）求出g（x）的导数，通过讨论t的范围，确定函数的单调区间，从而求出t的具体范围．【解答】解：（1），当x≥0时，f′（x）≤0，所以f （x）在区间[0，+∞）上为减函数，当x＜0时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（�∞，0]上为增函数，所以f（x）极大值=f（0）=1… （2）因为，所以… 设g（x）在[0，1]上的最大值为M，最小值为N，则2N＜M，①当t≥1时，g′（x）≤0，g（x）在[0，1]上单调递减，由2N＜M，所以2g（1）＜g（0），即，得… ②当t≤0时，g′（x）≥0，g（x）在[0，1]上单调递增，所以2g（0）＜g （1）即，得t＜3�2e… ③当0＜t＜1时，在x∈[0，t），g'（x）＜0，g（x）在[0，t]上单调递减，在x∈（t，1]，g'（x）＞0，g （x）在[t，1]上单调递增，所以2g（t）＜g（0），且2g（t）＜g （1）}，即，且，由（Ⅰ）知在t∈（0，1）上单调递减，故，而，所以无解，综上所述，．… 2016年8月3日。

重庆市一中高二数学上学期期末考试文【会员独享】.doc

秘密★启用前重庆一中高高二上期期末考试数学试题卷（文科）.1数学试题共4页。

满分150分。

考试时间1。

注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

第I 卷（选择题50分）一．选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1. 则直线的斜率为已知直线的方程为,0723=-+y x （） A.23 B.32 C.23- D.32- 2．椭圆1162522=+y x 的焦点为21F F 和，P 为椭圆上一点，若12PF =，则=2PF （） A. 2 B. 4 C. 6 D. 83．如果双曲线的半实轴长为2，焦距为6，那么该双曲线的离心率是（）A.324．p q p ∨⌝已知命题“”为真，“”为真，则（）A. p 真q 真B. p 真q 假C. p 假q 真D. p 假q 假 5．=-=的导数则已知)(,sin cos )(x f x x x x f （）A. x x sinB.x x sin -C. x x cosD.x x cos -6．命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是（）A. 不存在0x ∈R, 02x >0B. 存在0x ∈R, 02x ≥0C. 对任意的0x ∈R, 02x ≤0D. 对任意的0x ∈R, 02x>07．函数()f x 的定义域为开区间(a ，b )，导函数()f x '在(a ，b )内的图象如图所示，则函数()f x 在开区间(a ，b )内极小值点的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8．抛物线2x y =上的点到直线02=--y x 的最短距离为（） A.2 B.827 C. 22 D. 1 9．下列函数中，在()0,+∞内为增函数的是（）A.sin y x =B. 3y x x =- C. xy xe = D. ln y x x =-10．已知直线l ：为常数）k kx (2y +=过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点B 和左焦点F ，且被圆422=+y x 截得的弦长为d ，若,554≥d 则椭圆离心率e 的取值范围是（）A. ⎥⎦⎤⎝⎛550，B. 05⎛ ⎝⎦， C. ⎥⎦⎤ ⎝⎛5530， D. ⎥⎦⎤ ⎝⎛5540，第Ⅱ卷（非选择题100分）二．填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中的横线上） 11．抛物线24x y =的焦点坐标为 .12．32()32f x ax x =++,若(1)4f '-=, 则a 的值等于 .13．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为 .14．双曲线221x y m n-=的离心率为2，它的一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn 的值为 .15．若椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别是1F 和2F ，线段12F F 被抛物线22y bx=的焦点分成5:3的两段，则此椭圆的离心率为 .三．解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．(本小题满分13分) 已知圆C ：9)2()1(22=-+-y x 关于直线04=+-y kx 对称.（1）求k 的值.（2）过圆内一点(2,1P ）作直线l 交圆C 于A 、B 两点，当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.17．(本小题满分13分)已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. （1）写出函数f (x )的递减区间.（2）讨论函数f (x )的极大值和极小值，如有求出极值．18．(本小题满分13分) 已知)0(1:,0276:2>≤-≤--m m x q x x p ，若q 是p 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.19． (本小题满分12分)已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5. 过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M. （1）求抛物线方程.（2）过M 作FA MN ⊥，垂足为N ，求点N 的坐标.(本小题满分12分)已知函数32()3(,)f x ax bx x a b R =+-∈，且()f x 在1x =和3x =处取得极值. （1）求函数()f x 的解析式.（2）设函数()()g x f x t =+，是否存在实数t ，使得曲线()y g x =与x 轴有两个交点，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。

部分区2017届高三上学期期末数学试卷(文科) 含解析

2016—2017学年重庆市部分区高三（上）期末数学试卷（文科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,共60分．1．已知=b+i（a，b是实数），其中i是虚数单位，则ab=( ）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．32．设S n为等差数列{a n｝的前n项和，a1=﹣2，S3=0,则{a n}的公差为（)A．1 B．2 C．3 D．43．已知集合A={1,2，3，4｝，B=｛x|y=2x，y∈A｝，则A∩B=( ）A．{2｝B．{1，2｝C．{2，4｝D．{1，2，4}4．在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示的平面区域的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．85．命题p：甲的数学成绩不低于100分，命题q：乙的数字成绩低于100分，则p∨（￢q）表示（）A．甲、乙两人数学成绩都低于100分B．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分6．我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题:今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（)A．104人 B．108人C．112人D．120人7．执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2,3，则输出的值的集合为（）A．｛1，2｝B．{1，3｝C．{2,3} D．｛1，3，9｝8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．7 D．149．设曲线x=上的点到直线x﹣y﹣2=0的距离的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为( ）A．B．C．+1 D．210．函数y=sinx﹣的图象大致是（）A．B．C． D．11．已知△ABC的外接圆半径为2，D为该圆上一点，且+=,则△ABC的面积的最大值为（）A．3 B．4 C．3D．412．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，Q为双曲线C渐近线上一点，P，Q均位于第一象限,且=，•=0，则双曲线C的离心率为( ) A．﹣1 B．C．+1 D．+1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．若直线（a+1）x﹣y+2=0与直线x+（a﹣1）y﹣1=0平行，则实数a的值为．14．已知tanα=2，则= ．15．已知x=0是函数f(x）=（x﹣2a）（x2+a2x+2a3）的极小值点，则实数a的取值范围是．16．已知数列{a n｝的前n项和为S n，且满足:a1=1，a2=2,S n+1=a n+2﹣a n+1（n∈N＊）,若不等式λS n＞a n恒成立,则实数λ的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知向量=（sinx,cosx），=（cos（x+）+sinx，cosx)，函数f（x)=•．（Ⅰ）求f(x）的单调递增区间；（Ⅱ）若α∈（0,）且cos(α+）=，求f(α)．18．心理学家分析发现“喜欢空间现象”与“性别"有关,某数学兴趣小组为了验证此结论，从全体组员中按层抽样的方法抽取50名同学(男生30人,女生20人），给每位同学立体几何体，代数题各一道，让各位同学自由选择一道题进行解答,选题情况统计如表：（单位：人）立体几何题代数题总计男同学22830女同学81220总计302050（1)能否有97.5％以上的把握认为“喜欢空间想象”与“性别”有关？（2）经统计得，选择做立体几何题的学生正答率为，且答对的学生中男生人数是女生人数的5倍,现从选择做立体几何题且答错的学生中任意抽取两人对他们的答题情况进行研究，求恰好抽到男女生各一人的概率．附表及公式：P（K2≥k)0.150.100。

重庆市2017年秋高三(上)期末测试卷文科数学试卷(含答案)

2017年秋高三（上）期末测试卷文科数学文科数学测试卷共4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

注意事项：1、本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2、回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号框。

写在本试卷上无效。

3、回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个备选项上，只有一项符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 中，163,13a a ==，则{}n a 的公差为A 、53B 、2C 、10D 、13 2．已知集合{|25},{1,2,3,4,5,6}A x R x B =∈〈〈=，则()A B ⋂=R ?A 、{1，2}B 、{5，6}C 、{1，2，5，6}D 、{3，4，5，6} 3、命题:P “若1x 〉，则21x 〉”，则命题:P 以及它的否命题、逆命题、逆否命题这四个命题中真命题的个数为A 、1B 、2C 、3D 、4 4、已知两非零复数12,z z ，若12z z R ∈，则一定成立的是A 、21z z R ∈B 、12zR z ∈ C 、12z z R +∈ D 、12z R z ∈5、如图是一个底面为矩形的四棱锥的正视图和侧视图，则该四棱锥的俯视图为6、根据如下样本数据：x3 5 7 9 y6a32得到回归方程$ 1.412.4y x =-+，则A 、变量x 与y 之间是函数产关系B 、变量x 与y 线性正相关C 、当x ＝11时，可以确定y ＝3D 、5a =7、执行如图所示的程序框图，若输入的k 值为9，则输出的结果是 A 、22-B 、0C 、2D 、1 8、函数2cos ()1x xf x x =-的图象大致为9、已知点(,)P x y 的坐标,x y 满足0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则22(2)(2)x y -+-的最小值为A 、0B 、425C 、5D 、8 10、我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤”。

2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析

2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则c等于（）A．B．2 C．D．2．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或3．在等比数列{an }中，a2=8，a5=64，则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D．84．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．49 C．35 D．635．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．606．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A．B．C．D．7．如果等差数列{an }中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（）A．14 B．21 C．28 D．358．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．D．9．在△ABC中，已知∠A=60°，AB：AC=8：5，面积为10，则AB=（）A．8 B．6 C．5 D．1010．关于x的不等式x2+x+c＞0的解集是全体实数的条件是（）A．c＜B．c≤C．c＞D．c≥11．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．912．如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=2米，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB 为（）A．10米B．2米C．米D．米二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．设集合，则A∩B= ．14．在﹣1和7中间插入三个数，使得这五个数成单调递增的等差数列，则这三个数为．15．在单调递增的等比数列{an }中，a1•a9=64，a3+a7=20，求a11= ．16．当x＞﹣1时，函数y=x+的最小值是．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．18．已知不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}．（1）计算a、b的值；（2）求解不等式x2﹣ax+b＞0的解集．19．等比数列{an }中，已知a1=2，a4=16（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn．20．为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？25．动物园要建造一个长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36m长网的材料，当虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使虎笼的面积为32m2，则虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成虎笼所用的钢筋网总长最小？26．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时的间频率分布表（时间单位为：分）：将日将收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=，b=，B=120°，则c等于（）A．B．2 C．D．【考点】正弦定理．【分析】根据题意，由正弦定理可得=，变形可得c=•sinC，代入数据计算可得答案．【解答】解：根据题意，△ABC中，c=，b=，B=120°，由正弦定理可得： =，即c=•sinC=，即c=；故选：D．2．在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc，则角A为（）A．B．C．D．或【考点】余弦定理．【分析】根据余弦定理表示出cosA，然后把已知的等式代入即可求出cosA的值，由A的范围，根据特殊角的三角函数值即可得到A的度数．【解答】解：由a2=b2+c2+bc，则根据余弦定理得：cosA===﹣，因为A∈（0，π），所以A=．故选C3．在等比数列{an }中，a2=8，a5=64，则公比q为（）A．2 B．3 C．4 D．8【考点】等比数列的通项公式．【分析】题目给出了a2=8，a5=64，直接利用等比数列的通项公式求解q．【解答】解：在等比数列{an }中，由，又a2=8，a5=64，所以，，所以，q=2．故选A．4．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（）A．13 B．49 C．35 D．63【考点】等差数列的前n项和．【分析】首先根据已知条件建立方程组求出首项与公差，进一步利用等差数列前n项和公式求出结果．【解答】解：等差数列{an }中，设首项为a1，公差为d，，解得：d=2，a1=1，所以：故选：B5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]，若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）A．45 B．50 C．55 D．60【考点】频率分布直方图．【分析】由已知中的频率分布直方图，我们可以求出成绩低于60分的频率，结合已知中的低于60分的人数是15人，结合频数=频率×总体容量，即可得到总体容量．【解答】解：∵成绩低于60分有第一、二组数据，在频率分布直方图中，对应矩形的高分别为0.005，0.01，每组数据的组距为20则成绩低于60分的频率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又∵低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是=50．故选：B ．6．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（）A ．B ．C ．D ．【考点】等可能事件的概率．【分析】从5个小球中选两个有C 52种方法，列举出取出的小球标注的数字之和为3或6的有{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，根据古典概型公式，代入数据，求出结果．本题也可以不用组合数而只通过列举得到事件总数和满足条件的事件数．【解答】解：随机取出2个小球得到的结果数有C 52=种取出的小球标注的数字之和为3或6的结果为{1，2}，{1，5}，{2，4}共3种，∴P=，故选A7．如果等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5=12，那么a 1+a 2+…+a 7=（） A ．14 B ．21 C ．28 D ．35【考点】等差数列的性质；等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的性质求解．【解答】解：a 3+a 4+a 5=3a 4=12，a 4=4，∴a 1+a 2+…+a 7==7a 4=28故选C8．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦不满足条件就退出循环，从而到结论．【解答】解：由程序框图知，循环体被执行后S的值依次为：第1次S=0+，第2次S=+，第3次S=++，此时n=8不满足选择条件n＜8，退出循环，故输出的结果是S=++=．故选C．9．在△ABC中，已知∠A=60°，AB：AC=8：5，面积为10，则AB=（）A．8 B．6 C．5 D．10【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知可得：AC=AB，进而利用三角形面积公式即可计算得解AB的值．【解答】解：∵AB：AC=8：5，可得：AC=AB，又∵∠A=60°，面积为10=AB•AC•sinA=AB ×AB ×，∴解得：AB=8．故选：A ．10．关于x 的不等式x 2+x+c ＞0的解集是全体实数的条件是（）A ．c ＜B ．c ≤C ．c ＞D ．c ≥ 【考点】二次函数的性质．【分析】由判别式小于零，求得c 的范围．【解答】解：关于x 的不等式x 2+x+c ＞0的解集是全体实数的条件是判别式△=1﹣4c ＜0，解得 c ＞，故选：C ．11．设变量x 、y 满足约束条件，则目标函数z=2x+y 的最小值为（）A ．2B ．3C ．4D ．9【考点】简单线性规划的应用．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数Z=2x+y 的最小值．【解答】解：设变量x 、y 满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC ，A （2，0），B （1，1），C （3，3），则目标函数z=2x+y 的最小值为3，故选B12．如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=2米，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB 为（）A．10米B．2米C．米D．米【考点】解三角形的实际应用．【分析】在△CBD中根据三角形的内角和定理，求出∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=45°，从而利用正弦定理求出BC．然后在Rt△ABC中，根据三角函数的定义加以计算，可得旗杆AB的高度．【解答】解：∵△BCD中，∠BCD=75°，∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=45°，在△CBD中，CD=2米，根据正弦定理可得BC==米，∵Rt△ABC中，∠ACB=60°，∴AB=BC•tan∠ACB=•tan60°=3，即旗杆高，3米．故选：D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）13．设集合，则A∩B= （3，4）．【考点】交集及其运算．【分析】先利用解分式不等式化简集合B，再根据两个集合的交集的意义求解A∩B．【解答】解：A={x|x＞3}，B={x|＜0}={x|1＜x＜4}，∴A∩B=（3，4），故答案为：（3，4）．14．在﹣1和7中间插入三个数，使得这五个数成单调递增的等差数列，则这三个数为1，3，5 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设插入的三个数为a，b，c，则﹣1，a，b，c，7五个数成单调递增的等差数列，利用等差数列的性质能求出这三个数．【解答】解：在﹣1和7中间插入三个数，使得这五个数成单调递增的等差数列，设插入的三个数为a，b，c，则﹣1，a，b，c，7五个数成单调递增的等差数列，∴a1=﹣1，a5=﹣1+4d=7，解得d=2，∴a=﹣1+2=1，b=﹣1+2×2=3，c=﹣1+2×3=5，∴这三个数为1，3，5．故答案为：1，3，5．15．在单调递增的等比数列{an }中，a1•a9=64，a3+a7=20，求a11= 64 ．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知得a3，a7是方程x2﹣20x+64=0的两个根，且a3＜a7，从而求出a3=4，a7=16，再由等比数列通项公式列方程组求出首项和公比，由此能求出a11．【解答】解：∵单调递增的等比数列{an}中，a 1•a9=64，a3+a7=20，∴a3•a7=a1•a9=64，∴a3，a7是方程x2﹣20x+64=0的两个根，且a3＜a7，解方程x2﹣20x+64=0，得a3=4，a7=16，∴，解得，∴a 11=a 1q 10=2×（）10=64．故答案为：64．16．当x ＞﹣1时，函数y=x+的最小值是 1 ．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x ＞﹣1，∴函数y=x+=（x+1）+﹣1≥﹣1=1，当且仅当x+1=，且x ＞﹣1，即x=0时等号成立，故函数y 的最小值为1．故答案为：1．三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a=2bsinA （Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b ．【考点】正弦定理的应用；余弦定理的应用．【分析】（1）根据正弦定理将边的关系化为角的关系，然后即可求出角B 的正弦值，再由△ABC 为锐角三角形可得答案．（2）根据（1）中所求角B 的值，和余弦定理直接可求b 的值．【解答】解：（Ⅰ）由a=2bsinA ，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA ，所以，由△ABC 为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b 2=a 2+c 2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．已知不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}．（1）计算a 、b 的值；（2）求解不等式x 2﹣ax+b ＞0的解集．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（1）根据不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集，不等式与方程的关系求出a 、b 的值；（2）由（1）中a 、b 的值解对应不等式即可．【解答】解：（1）∵不等式ax 2+bx ﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x ＜2}， ∴方程ax 2+bx ﹣1=0的两个根为﹣1和2，将两个根代入方程中得，解得：a=，b=﹣；（2）由（1）得不等式为x 2﹣x ﹣＞0，即2x 2﹣x ﹣1＞0，∵△=（﹣1）2﹣4×2×（﹣1）=9＞0，∴方程2x 2﹣x ﹣1=0的两个实数根为：x 1=﹣，x 2=1；因而不等式x 2﹣x ﹣＞0的解集是{x|x ＜﹣或x ＞1}．19．等比数列{a n }中，已知a 1=2，a 4=16 （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）若a 3，a 5分别为等差数列{b n }的第3项和第5项，试求数列{b n }的通项公式及前n 项和S n ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（I ）由a 1=2，a 4=16直接求出公比q 再代入等比数列的通项公式即可．（Ⅱ）利用题中条件求出b 3=8，b 5=32，又由数列{b n }是等差数列求出．再代入求出通项公式及前n 项和S n ．【解答】解：（I ）设{a n }的公比为q 由已知得16=2q 3，解得q=2∴=2n（Ⅱ）由（I）得a3=8，a5=32，则b3=8，b5=32设{bn}的公差为d，则有解得．从而bn=﹣16+12（n﹣1）=12n﹣28所以数列{bn}的前n项和．20．为了比较两种治疗失眠症的药（分别成为A药，B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）实验的观测结果如下：服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.52.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.93.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.41.6 0.5 1.8 0.62.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5（Ⅰ）分别计算两种药的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（Ⅱ）根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】（Ⅰ）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；（Ⅱ）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成．【解答】解：（Ⅰ）设A药观测数据的平均数据的平均数为，设B药观测数据的平均数据的平均数为，则=×（0.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4）=2.3．×（3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5）=1.6．由以上计算结果可知：．由此可看出A药的效果更好．（Ⅱ）根据两组数据得到下面茎叶图：从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在2，3上．而B药疗效的试验结果由的叶集中在0，1上．由此可看出A药的疗效更好．25．动物园要建造一个长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．（1）现有可围36m长网的材料，当虎笼的长、宽各设计为多少时，可使虎笼面积最大？最大面积为多少？（2）若使虎笼的面积为32m2，则虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成虎笼所用的钢筋网总长最小？【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】（1）设每间虎笼的长、宽，利用周长为36m，根据基本不等式，即可求得面积最大值时的长、宽；（2）设每间虎笼的长、宽，利用面积为32m2，根据周长的表达式，利用基本不等式，即可求得周长最小值时的长、宽．【解答】解：（1）设虎笼长为x m，宽为y m，则由条件，知x+2y=36．设每间虎笼的面积为S，则S=xy．由于x+2y≥2=2，∴2≤36，得xy≤162，即S≤162．当且仅当x=2y时等号成立．由解得故每间虎笼长为18 m，宽为9 m时，可使面积最大，面积最大为162m2．（2）由条件知S=xy=32．设钢筋网总长为l，则l=x+2y．∵x+2y≥2=2=16，∴l=x+2y≥48，当且仅当x=2y时，等号成立．由解得故每间虎笼长8m，宽4m时，可使钢筋网总长最小．26．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时的间频率分布表（时间单位为：分）：将日将收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？【考点】独立性检验．【分析】（I）根据所给的频率分布直方图得出数据列出列联表，再代入公式计算得出X方，与3.841比较即可得出结论；（II）由题意，列出所有的基本事件，计算出事件“任选3人，至少有1人是女性”包含的基本事件数，即可计算出概率．【解答】解：（I）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：…3分将2×2列联表中的数据代入公式计算，得X2===≈3.03因为3.03＜3.841，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关…6分（II）由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所的基本事件空间为Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b 2），（b1，b2）}其中ai 表示男性，i=1，2，3，bi表示女性，i=1，2…9分Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A表示事件“任选3人，至少有1人是女性”．则A={（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}事件A有7个基本事件组成，因而P（A）=…12分。