平面曲线积分与路径无关的条件
积分曲线与路径无关的条件
积分曲线与路径无关的条件积分曲线与路径无关的条件是一个重要的数学概念，它在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍积分曲线与路径无关的条件以及其应用。
首先，我们需要了解积分曲线和路径。
积分曲线是指一个向量场沿着一条曲线所做的功的累积量。
而路径则是指向量场沿着一条曲线所经过的轨迹。
当一个向量场沿着不同路径进行积分时，得到的积分值可能会不同。
但是，在某些情况下，这些积分值却是相同的。
这种情况就叫做积分曲线与路径无关。
那么，什么情况下会出现积分曲线与路径无关呢？这需要满足一定的条件。
以下是几种常见的情况：1. 向量场具有恒定势能：如果一个向量场具有恒定势能，那么它就满足积分曲线与路径无关。
这是因为恒定势能意味着在任何两个点之间进行功所需的能量都相同。
2. 向量场为保守场：保守场也满足积分曲线与路径无关。
保守场是指一个向量场在任何闭合路径上所做的功都为零。
这意味着在一个保守场中，沿着不同路径积分得到的结果是相同的。
3. 向量场满足柯西-黎曼条件：柯西-黎曼条件是指一个向量场满足一定的数学条件。
如果一个向量场满足柯西-黎曼条件，那么它就满足积分曲线与路径无关。
4. 向量场具有旋度：如果一个向量场具有旋度，那么它也满足积分曲线与路径无关。
旋度是指一个向量场在某个点处的局部自旋转速率。
以上几种情况都能够满足积分曲线与路径无关的要求。
但是，需要注意的是，并非所有的向量场都能够满足这个条件。
最后，我们来看一下积分曲线与路径无关的应用。
这个概念在物理学、工程学和经济学等领域中都有广泛的应用。
例如，在物理学中，电磁力就是一个保守力。
因此，在电磁力作用下进行运动时，物体所做的功只与起点和终点有关，与具体的路径无关。
在工程学中，积分曲线与路径无关的条件可以用来计算电路中电流和电压的变化。
这对于设计电路和计算机器的性能非常重要。
在经济学中，积分曲线与路径无关的条件可以用来计算货币的价值。
这对于货币政策制定和国际贸易非常重要。
平面曲线积分与路径无关的条件
平面曲线积分与路径无关的条件一、引言平面曲线积分是微积分中的一个重要概念，它描述了一个向量场沿着一条曲线的累积效果。
在实际应用中，我们常常需要计算沿着一条曲线的积分，但有时候路径并不影响积分结果。
这时我们就需要了解平面曲线积分与路径无关的条件。
二、定义平面曲线积分与路径无关的条件指的是：对于一个向量场F(x,y)和两条相同起点和终点的可求长曲线C1和C2，如果F(x,y)在C1和C2上恒等，则称F(x,y)在C1和C2上是保守场。
三、保守场与势函数保守场是指存在一个标量函数f(x,y)，使得F(x,y)可以表示为梯度向量f(x,y)的形式。
即：F(x,y)=∇f(x,y)这个标量函数f(x,y)被称为势函数。
如果一个向量场是保守场，则其沿着任意可求长闭合曲线C上的积分都为0，即：∮CF·ds=0四、判断保守场的方法判断一个向量场是否为保守场有多种方法，以下介绍两种常用方法。
（一）充分条件法：如果F(x,y)是一个二阶连续可微的向量场，并且其旋度为0，则F(x,y)是保守场。
旋度的定义为：rotF=∂Q/∂x-∂P/∂y其中，F(x,y)=(P,Q)。
（二）必要条件法：如果F(x,y)是一个保守场，则其在任意可求长闭合曲线C上的积分都为0。
即：∮CF·ds=0此时，由格林公式可知：∮CF·ds=∬D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dxdy其中，D表示曲线C所围成的区域。
因此，如果F(x,y)在区域D上满足偏导数的连续性条件，并且对于所有的x和y都有：(∂Q/∂x-∂P/∂y)=0则F(x,y)是保守场。
五、应用平面曲线积分与路径无关的条件在物理学、工程学等领域中有广泛应用。
例如，在电磁学中，电势可以看作是电场的势函数，而电场又可以看作是一个向量场。
因此，在计算沿着不同路径的电势差时，我们可以利用平面曲线积分与路径无关的条件来简化计算过程。
六、结论平面曲线积分与路径无关的条件是一个重要的数学概念，它描述了一个向量场在不同曲线上积分结果相同的情况。
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
高数 平面曲线积分 知识点与例题精讲
若 P Q
y
y x
则 B( x1 , y1 ) Pdx Qdy A( x0 , y0 )
A( x0 , y0 )
o
x1 x0
P
(
x,
y0
)dx
y1Q(
y0
x1
,
y)dy
或
y1Q (
y0
x0
,
y
)dy
x1 x0
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取圆弧 AB : x cos , y sin ( : 0 )
2
2
2
W
AB
k r2
(
y
d
x
xdy)
y A
L
k
2
o
Bx
思考: 积分路径是否可以取 AO OB ? 为什么？
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
无关 !
Q x
o
( x 0 ) (1,0)
x
( x,0 )
由定理 2 可知存在原函数
x 1
0
dx
x
y 0
dy x2 y2
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或
y 0
1
d
y y
2
arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) o (1,0) ( x,0 ) x
有关定理的说明：
(1) 开区域G 是一个单连通域.
(2) 函数 P( x, y), Q( x, y) 在G 内具有一阶连
第10.6节 曲线积分与路径无关的条件
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.6 曲线积分与路径无关的条件
根据被积函数选取适当 的积分路径 L1 , 例10.6.2和例10.6.3
中的计算比较简洁 .
二、原函数及其计算方 法
P Q 由定理10.6.1可知,当 在单连通区域 G内处处成立时 , y x
函数
u( x , y )
例10.6.2 求 I
( x y )dx ( x y )dy 2 , 其中 L 是 y 2 ( 1 x ) 2 2 L x y
y
上从 A( 1,0)到B( 1,0)的一段弧 .
解
x y x y 令P 2 ,Q 2 ,则 2 2 x y x y
L
A
2
L1 1
u ( x, y ) 证明 3 4 假设3 成立, 则在G内存在一个二元函数
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.6 曲线积分与路径无关的条件
证明 3 4 假设3 成立, 则在G内存在一个二元函数 u ( x, y )
使得 du Pdx Qdy ,由此可知
u u P ( x , y ), Q( x , y ). x y
4
因此
L1
Pdx Qdy Pdx Qdy .
L2
根据定理 10.6.1和定理 10.6.2, 可以简化一些曲线积分 的计算.
高等数学 第10章 曲线积分与曲面积分
10.6 曲线积分与路径无关的条件
例10.6.1 求I ( x 2 y )dx ( x sin 2 y )dy, 其中L为圆周
M ( x, y )
M0 A
Pdx Qdy 和
高等数学第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无关条件
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
其中曲线积分是按沿Ｌ的正向计算的，公式 ①
称为格林公式.
y
C y = 2(x) L
B D
A y =1(x)
E
Oa
bx
证明 假定穿过区域 D 内部且平行于坐标轴的直
线与 D 的边界曲线的交点不超过两个 (如图所示).
于是根据二重积分
的计算法，有
D
P y
d
b a
12((xx))Py dydx
y
C y = 2(x) L
D
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A y =1(x)
E
Oa
bx
a b{P [x,2(x) ]P [x,1(x)d ]x.}
第十一章 曲线积分与曲面积分
*第三节 格林公式 平面上曲线积分与路径无 关的条件
一、格林(Green)公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件
一、格林(Green)公式
定理(格林定理) 设 D 是以分段光滑曲线 L 为边界的平面有界闭区域，函数 P(x, y) 及 Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续的偏导数，则
解 显然，用这段路径来计算是很复杂且困难.
能否换一条路径呢？为此计P算 ,Q. 其中 P(x, y) y x
= x2y + 3xex, Q(x,y)1x3ysiny,
3
得
Px2Q.
y
x
显P(然 x,y)Q ,(x,y) ,P,Q在 全D 平 上面 连 . 域 续 y x
mdmπa2mπa2.
D
平面上曲线积分与路径无关的条件
平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分是微积分学中的一个重要概念，它通常用于计算沿着曲线的某个向量场的功或流量。
在实际应用中，我们经常需要计算一些与路径无关的曲线积分，这时就需要了解平面上曲线积分与路径无关的条件。
一、曲线积分的定义在平面上，设有一条光滑曲线C，其参数方程为：x=x(t)，y=y(t)，a≤t≤b设有一个向量场F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))，则沿着曲线C对向量场F进行的曲线积分为：∫CF·ds=∫baF(x(t),y(t))·(dx/dt,dy/dt)dt其中ds表示弧长元素。
二、路径无关的定义如果对于同一向量场F和两条起点和终点相同但路径不同的光滑曲线C1和C2，它们所对应的曲线积分相等，则称该向量场F沿任意闭合光滑曲线C所做的功（或流过任意闭合光滑曲线C所做的流量）与路径无关。
三、平面上曲线积分与路径无关的条件1. 向量场F是保守场如果向量场F是保守场，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
这是因为保守场的势函数只与起点和终点有关，与路径无关。
2. 曲线C是简单闭合曲线且向量场F在C内部连续如果曲线C是简单闭合曲线（即不自交且没有孔），并且向量场F在C内部连续，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
这个结论可以通过Green公式来证明。
Green公式指出，如果P和Q 在一个封闭区域D内有连续的一阶偏导数，则有：∫CF·ds=∫∫D(dQ/dx-P/dy)dxdy其中，C是D的边界，ds表示边界元素。
因此，如果向量场F=(P,Q)在简单闭合曲线C内部连续，则有：∫CF·ds=0这说明沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
3. 曲线C可以被分成若干条简单闭合曲线如果将曲线C分成若干条简单闭合曲线，并且向量场F在每个简单闭合曲线内部连续，则沿任意光滑曲线C对F进行的曲线积分都与路径无关。
这个结论可以通过对每个简单闭合曲线应用第二个条件来证明。
曲线积分与路径无关的条件
并求出这个函数．
证明 : 令P( x, y ) = xy 2 , Q( x, y ) = x 2 y, 则
∂P ∂Q ∂P ∂Q P , Q, 和 在整个xoy面上连续，且 = 2 xy = . ∂x ∂x ∂x ∂x
故表达式xy 2 dx + x 2 ydy是某个二元函数的全微分.
L
(2)对于D内任意一条分段光滑曲线L, 积分∫ Pdx + Qdy
L
与路径无关 ;
(3)存在某一函数u = u ( x, y )定义在D上, 使得 du = Pdx + Qdy
在D内恒成立;
∂P ∂Q (4)在D内才处处有 = . ∂y ∂x 证明路线图 : (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4) ⇒ (1).
(2) L是从点A(1,0)沿上半圆y = 1 − x 2 到点B (−1,0)的圆弧；
(3) L是从点A(1,0)到点M (0,−1)再到点B (−1,0)的折线.
y
解: 在(1),(2)和(3)的各自条件下
1
I = ∫ (3 x 2 + y )dx + ( x − 2 y )dy = −2
L
−1
说明: 说明
(1)比较此定理的条件与格林公式条件的差别；
(2)应用判别积分与路径无关的条件 : ∂P ∂Q = ; ∂y ∂x
(3)二元函数的＂原函数＂及其求法．
方法(i) 方法
u ( x, y ) = ∫ P ( x, y 0 ) dx
x0
x
y
• A( x0 , y0 )
• B ( x, y )
由点A(0, )移动到点B ( ,0), 求此力场所作的功.(其中r = x + y ) 2 2
积分与路径无关
2 0 0
x
y
( x ,0 )
x2 y d y
0
y
例3
设曲线积分 xy dx y( x )dy 与路径无
2 L
关, 其中 具有连续的导数, 且 (0) 0 , 计算
解
( 1 ,1 ) ( 0,0 )
xy 2dx y( x )dy .
2
P ( x, y ) xy ,
x0
x
例2. 验证 出这个函数.
是某个函数的全微分, 并求
2 2
P Q 2x y 证: 设P x y , Q x y, 则 y x
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
du x y d x x y d y
。 ( 0 ,0 )
2
2
( x, y ) 。
x 0 d x x y d y
2 2
dy
x 3 y dy BA: 2 1 2 y 4 0 y y y
2
y:0 1
A
4
2
I I1 I 2 4
o
B
x
练习 计算 ( x 2 2 xy)dx ( x 2 y 4 )dy . 其中
改变积分路径为折线 O ( 0 , 0 ) B , 0 A , 1 2 2
P 6 xy 2 2 y cos x , o y Q 2 2 y cos x 6 xy x P Q , 积分与路径无关 y x
AB Pd x Qd y A Pd x Qd y
曲线积分与路径无关
曲线积分与路径无关
在多元函数的积分中，从起点到终点可以有无数条积分路径。
有的时候，无论选择哪一条路径，积分结果不变，只和起点和终点有关，那么这就是积分与路径无关。
这种情况在“场”的概念下常见。
曲线积分在区域内与路径无关的充分必要条件是：对于内任意一条简单逐段光滑闭曲线，沿的曲线积分为零，即：既然该曲线积分在对应区域内任意一条闭合曲线积分都等于零，又因为对于之间任意给定的两条路径，总是可以构成一条闭合曲线，那么该矢量函数在任何路径上的积分都相等，也即积分与路径无关。
2010考研数学基础班讲义-微积分第15讲_第二类曲线积分与第一类曲面积分
基础班微积分辅导第15章第二类曲线积分2与第一类曲面积分1. 平面曲线积分与路径无关的条件D ∂定理15.1 (Green 公式) 设为平面上的有界连通闭区域,记D 为 的有向边界,其正方向的定义为:沿的正方向走, 区域在其左边.若平面二元向量值函数是类函数(即在有一阶连续偏导数),则D D ∂D )1(C D )),(),,((),(y x Y y x X y x =F ),(),,(y x Y y x X ∫∫∫∂⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−∂∂=+D D dxdy x X x Y Ydy Xdx 【证】定理15.2 在单连通域中：D )),(),,((),(y x Y y x X y x =F 有一阶连续偏导数，线积分与路径无关（任意闭路积分为零） ⇔yXx Y ∂∂=∂∂。
【证】定理15.3 在单连通域中：D )),(),,((),(y x Y y x X y x =F 有一阶连续偏导数，则存在中的可微函数满足D y XxY ∂∂=∂∂⇔),(y x u Ydy Xdx Y x u +=),( 。
【证】定理15.4 在复连通域中：D )),(),,((),(y x Y y x X y x =F 有一阶连续偏导数，且满足yXx Y ∂∂=∂∂，则 （1）当中有唯一奇点时，则环绕的任意闭路积分恒为一个常数。
0P 0P D （1）当中有有限个奇点点时，则在任意环绕在内的闭路积分恒为一个常数：n P P P ,,,21L n P P P ,,,21L D C ni L Li≡=∑∫∫=1。
【证】→→2,2(ππB )2,2(ππ−C 2,2(ππ−A L 例15.1设有向折线为的两段线段构成，计算。
xdy dx y L22sin cos −∫【解】（方法1）∫∫∫−+−=−BCABLxdy ydx xdy ydx xdy dx y 222222sin cos sin cos sin cos πππππππ−=−−=∫∫−−22222cos 2sin22dx dy 。
一曲线积分与路径无关的定义二曲线积分与路径无关的条
例 1验 证(eyx)dx (xye2y)d. y与 路 径 无 关 ，
L
并 求 之 。 其 中L为 过 三 点 o(0,0)， A(0,1)， B(1,2)
的 圆 周 ， 由 o(0,0)到 B(1,2)的 曲 线 弧 .
解 设 P ( x ,y ) e y x ,Q ( x ,y ) x y 2 e y .
A
则 称 曲 线 积 分 L P d Q xdoy
x
在G内与路径无关,否则与路径有关.
L1PdxQdyL2PdxQdyLPdQ x d 0y.
LL 1(L 2)
二、曲线积分与路径无关的条件
定理 2 设 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 , 函 数 P ( x , y ),
因此，在 xoy 面内， xy2dxx2ydy是某个函数
u (x, y) 的全微分。 取 x 0 0 ,y 0 0 .
u (x ,y)0 xx0 2 d x 0 yx 2ydyx
2y 2
2
.
四、小结
与路径无关的四个等价命题
条 在 单 连 通 开 区 域 D 上 P (x ,y)Q ,(x ,y)具 有 连 件 续 的 一 阶 偏 导 数 , 则 以 下 四 个 命 题 成 立 .
C 所围的闭区域为 D。
G
G 是单连通的，因此， DG .
于是，在 D 内
P y
Q x
.
CD
应用格林公式，有
C P (x ,y )d x Q (x ,y )d y ( Q x P y)d0. D
即，在 G 内曲线积分 L P (x ,y)d x Q (x ,y)dy
等 (1) 在 D 内 LPdQ x 与 dy路径无关 价 (2 ) C P d Q x d 0 ,闭 y C 曲 D线
格林公式及曲线积分与路径无关的等价条件
1 2 (ab cos 2 ab sin 2 ) d ab 2 0
y
xd y yd x 2 l x y2 xd y yd x 0 d xd y 0 2 2 D1 x y
l
o D1
L
x
L l
2 0
r 2 cos 2 r 2 sin 2 d 2 2 r
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
其中L为一无重点且不过原点
解: 令
则当x 2 y 2 0时,
设 L 所围区域为D, 当(0,0) D 时, 由格林公式知
y
L
o
x
2 2 2 在 D 内作圆周 l : x y r , 取逆时 当(0,0) D 时,
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格 林公式 , 得
a
b
4. 两类曲线积分的联系
L P d x Q d y
P d x Q d y R d z
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区
L D
域) 域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
与积分路径无关的条件
L2
Pd x Qd y
L2
B
L1
A
L1 L 2
Pd x Qd y
(根据条件(1))
L2
B
Pd x Qd y
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
AB Pdx Qd y A Pdx Qd y
证明 (2) (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
Q P 在 D 内有 x y
在 D 内有 d u P d x Q d y
思考与练习
1. 设
D
2
y L
l
且都取正向, 问下列计算是否正确 ? o 1 2x xd y 4y d x l x2 y2 1 1 x d y 4 y d x 5 d 5p 4 l 4 D 2 2 x y 0时 提示 : xd y yd x Q P l x2 y2 (1) x y 1 1 x d y yd x 2 d Q P 4 D 4 l (2) x y 2p
证明 (3)
(4)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
d u P dx Q d y u u P( x, y ), Q ( x, y ) x y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 从而在D内每一点都有 P Q y x
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
0 d x x 0
1
x
y
dy 2 2 x y
或
y (1, y) ( x, y)
dy 0 1 y2
平面曲线积分与积分路径无关的条件
则曲线积分
L
xdy x2
ydx y2
在
D
内与路径无关．
26-11
例 11.4.1 计算曲线积分 (2xy 3sin2 x)dx (x2 yey )dy ，其中 L 为沿摆 L
线
x
y
t 1
sin t, cos t
从点
O(, 0)
到点
A(2π, 0)
的一段有向曲线弧．
解 显然直接将曲线积分化为定积分是很繁杂的．
( xx, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy
(x,y)
xx
P(t
,
y)dt
积分中值定理
P(
,
y)x
，
x
其中 在 x 与 x x 之间．又 P(x, y) 在 D 内连续，所以
u lim u(x x, y) u(x, y) lim P(, y) lim P(, y) P(x, y) ．
关，仅与 L 的起点O(0,0) 和终点 A(1,1) 有关．事实上，对于任意一条连接 起点O(0,0) 和终点 A(1,1)的积分路径 L ，均可验证其积分值相等，这表
明曲线积分 2xydx x2dy 与路径无关． L
而在例 11.2.3 中，曲线积分L ydx dy 随着路径不同，积分值却不相 等，表明曲线积分L ydx dy 与所取积分路径有关．
考虑曲线积分
L
xdy x2
ydx y2
与路径无关问题，其中
L
为平面上任一曲线．
此处
P(x,
y)
y x2 y2
,
Q(x,
y)
x2
x
y2
， 虽然 当 ( x,
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y
x2 x sin y C .
B(•x, y)
•
O
•
C(x,0) x
图 11 1
例2. 设质点在力场
作用下沿曲线 L :
由 A( 0, )移动到
2
求力场所作的功W
y
A
解:
W
Fds
L
L
k r2
( ydx
x d y)
令
则有
o
L Bx
P y
k(x2 y2) r4
Q x
( x2 y2 0)
(iii)
是 D 内是某一函数
的全微分,
即 d u(x, y) P dx Q d y (iv) 在 D 内处处成立 P Q .
y x
证明 (i)
(ii)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
线, 则
B
Pd x Qd y Pd x Qd y L2
L1
L2
A
L1
则 Pdx Qdy 是某个函数u的全微分, 且
( x, y)
u(x, y) Pdx Qdy ( x0 , y0 )
(u的求法)
上述求原函数的过程称为全微分求积(分).
例 求 xdy ydx 的一个原函数, 并计算 x2 y2
( 3,3) xdy ydx (1,1) x2 y2
原函数的另一种求法:
du P dxQdy
则
u P( x, y), u Q( x, y)
x
y
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数, 所以
从而在D内每一点都有
P Q y x
证明 (iv)
(i)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D
由条件(iv), 在 D 上处处成立
P Q y x
利用格林公式 , 得
例5： 已知点O（0,0）及点A（1,1），且曲线积分
(ax cos y y2 sin x)dx (bycosx x2 sin y)dy 与路径无关,
OA
试确定常数a,b ，并计算曲线积分。
全微分求积（全微分方程）
设函数P(x,y),Q(x,y)上在单连通区域D 有连续偏
导数，且
Q P x y
L
Pd
x
Qd
y
(
Q x
P y
)d xd y
0
证毕
由上述证明可看到，在定理的条件下，二元函数:
( x, y)
u( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)d y
( x0 , y0 )
具有性质：d u = P dx + Q dy
称 u( x, y ) 为 P dx + Q dy 在域 D 内的一个原函数.
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
例1 试应用曲线积分求 (2x sin y)dx ( x cos y)dy 的原函数. 解 这里 P( x , y) 2x sin y , Q( x , y) x cos y , 在整个平面上成立
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
取圆弧 AB : x cos , y sin ( : 0)
2
2
2
W
AB
k r2
(y
dx
x d y)
y A
L
k
2
o
Bx
例 3 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy. 其中 L
L 为由点O(0, ຫໍສະໝຸດ )到点B(1, 1)的曲线弧 y sin x .
(xx , y)
Pd x Qdy
Pd x
(x, y)
(x, y)
P(x x, y)x u lim xu lim P(x x, y) P(x , y)
x x0 x x0
同理可证
u y
Q(x
,
y),
因此有
du
P
dx
Qdy
证明 (iii)
(iv)
设存在函数 u ( x , y ) 使得
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:
取定点( x0, y0 ) D及动点 ( x , y ) D , 则原函数为
( x, y)
u ( x, y)
§11.4 平面曲线积分 与路径无关的条件
返回
定理11.2 设D 是单连通域 , 函数
在D 内具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(i) 沿D 中任意按段光滑闭曲线 L , 有 Pd x Qd y 0 . L
(ii) 对D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分 Pd x Qd y L 与路径无关, 只与 L 的起点及终点有关.
P Q cos y . y x 由定理2, 曲线积分
(2x sin y)dx ( x cos y)dy AB
只与起点 A 和终点 B 有关, 而与路线的选择无关.
为此, 取 O(0,0), B( x, y), 取路线为图11-1中的折
线段 O·CB. 于是有
x
y
u( x , y) 0 2t dt 0 x cos sds
2
解 P ( x2 2xy) 2x
y y Q ( x2 y4 ) 2x
P Q ， y x
x x
原积分与路径无关
故原式
1 x2dx
1
(1
y4 )dy
23 .
0
0
15
例4： 计算积分 (1 xe2y )dx (x2 e2y y)dy, 其中C是 C
上半圆周 (x 2)2 y2 4 顺时针方向为正。
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
价 (2) C Pdx Qdy 0,闭曲线C D
例 du e2 ydx (1 2xe2 y )dy, 求 u
若 P(x,y)dx+Q(x,y)dy是某二元函数的的全微分，
称方程
Pdx Qdy 0 为全微分方程 .
判别法:
Q P x y
求出原函数u(x,y)，则通解为u(x,y) = C
小结
与路径无关的四个等价命题
条 在单连通开区域D 上P( x, y), Q( x, y)具有 件 连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
Pdx Qd y
L
1
L
2
(根据条件(i))
所以
Pd x Qd y L2
证明 (ii)
(iii)
在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B(x, y ) C(x x, y )
则 xu u(x x, y) u (x, y) A(x0, y0)
( xx , y)