大一(上)高数课件—3.9-3.10定积分的物理应用举例、平均值
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《高数》定积分课件
《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
定积分的应用课件
液体静压力计算步骤
详细阐述液体静压力计算的步骤，包 括确定计算区域、选择坐标系、列出 被积函数等。
其他物理问题中定积分应用
引力计算
通过定积分求解质点系或连续体 之间的引力问题。
波动问题
将波动问题转化为定积分问题， 进而求解波动过程中的各种物理 量。
01
02
电场强度计算
利用定积分求解电荷分布连续体 所产生的电场强度。
消费者剩余和生产者剩余计算
消费者剩余计算
消费者剩余是消费者愿意支付的价格与实际支付价格之间的差额。在需求曲线和价格线之间的面积表示消费者 剩余，可以通过定积分计算。
生产者剩余计算
生产者剩余是生产者实际得到的价格与愿意接受的最低价格之间的差额。在供给曲线和价格线之间的面积表示 生产者剩余，同样可以通过定积分计算。
01
通过定积分求解绕x轴或y轴旋转一周所得旋转体的体积。
平行截面面积为已知的立体体积计算
02
利用定积分将立体划分为无数个平行截面，通过截面面积和高
度求解体积。
参数方程表示立体体积计算
03
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分求解体积。
曲线弧长求解方法
1 2
直角坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在直角坐标系下的弧长。
参数方程表示曲线弧长计算
将参数方程转化为普通函数形式，再利用定积分 求解弧长。
3
极坐标下曲线弧长计算
通过定积分求解曲线在极坐标系下的弧长。
03
定积分在物理学中应用
变力做功问题求解方法
微元法求解变力做功
通过将变力做功的过程划分为无数个微小的 元过程，每个元过程中力可视为恒力，从而 利用定积分求解变力做功。
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
大学高等数学ppt课件第四章1积分的应用
计算阻抗和导纳
计算阻抗
阻抗是电路中阻碍电流流动的因素，由电阻 、电感、电容等组成。通过积分，我们可以 计算出阻抗的大小，从而分析电路的性能。
计算导纳
导纳是电路中与阻抗相对应的另一个重要参 数，表示电路对电流的响应能力。通过积分 ，我们可以计算出导纳的大小，进一步分析
电路的响应特性。
计算功率和能量
计算曲线的弧长
对于一般的平面曲线，其弧长可以通 过格林公式计算，即∫Pdx+Qdy，其 中P、Q为曲线上的参数函数。
03
积分在物理学中的应用
计算质量
总结词
积分在物理学中常用于计算质量，通过计算体积对质量的密度分布进行积分， 可以得到物体的总质量。
详细描述
在物理学中，质量是物体所含物质的量，通常用 m 表示。物体的质量可以通过 对质量的密度分布进行积分来计算。假设物体的体积为 V，质量的密度分布为 ρ(x, y, z)，则物体的总质量 M 可以表示为 M = ∫ρ(x, y, z)dV。
计算长度
不定积分可以用来计算平面曲 线的长度，例如圆弧、椭圆弧 等。
积分在经济学中的应用
计算总收益
在经济学中，总收益是指企业在 一定时期内通过销售产品或提供 服务所获得的总收入，可以通过 积分来计算。
计算总成本
总成本是指企业在生产过程中所 花费的所有成本，包括固定成本 和变动成本，也可以通过积分来 计算。
计算速度和加速度
总结词
通过积分计算速度和加速度是物理学中常见的应用，速度是位移对时间的积分，加速度是速度对时间的积分。
详细描述
在物理学中，速度是描述物体位置变化快慢的物理量，通常用 v 表示。速度可以通过对位移函数 s(t) 进行时间 t 的积分得到，即 v = ∫ds/dt。加速度是描述物体速度变化快慢的物理量，通常用 a 表示。加速度可以通过对速 度函数 v(t) 进行时间 t 的积分得到，即 a = ∫dv/dt。
定积分在物理上的应用举例
1 2
浅谈定积分的意义
纯粹几何图形而言，定积分的意义是由曲线、x轴，区间起点的垂直线x=a、
区间终点的垂直线x=b，所围成的面积。
也可以广义而言，定积分的几何意义就是“抽象的面积”。例如：如果横 轴是体积，纵轴是压强，“抽象面积”的意义是热力学系统对外做功； 如果横轴是时间，纵轴是电流，“抽象面积”的意义是电源对外放出的电 量、、、、、、 定积分是一种重要的数学思想，如今定积分思想广泛应用于物理、医学、 经济学、化工等领域，具有极大的应用价值。
上述公式计算，而是应用定积分思想，采用元素法来计算。
例.有一长度为L，密度为ρ的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m
的质点M，计算该棒对质点M的引力。
解：建立坐标系
取y为积分变量，y∈[这一区间对应
y+dy]，
的棒上小段可近似看成质点，
质量为ρdy，小段与质点的距 离为
定积分在物理上的应用举例
目录
1.用定积分求解平均功率问题 2.用定积分求解引力问题
一、平均功率问题
二、引力问题
质量分别为M、m的质点，相距r，两者间引力： 大小：
F K
Mm
方向：沿两质点的连线
r
2
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该
点的距离是变化的，且各点对该点的引力方向也是变化的，故不能用
THANK YOU
r
a
2
y
2
细杆对质点的引力：
dF k mρdy
a
2
y
2
水平方向的分力：
dFx dF cos( π - ) -dF cos a amρdy
a
浅谈定积分的意义
纯粹几何图形而言，定积分的意义是由曲线、x轴，区间起点的垂直线x=a、
区间终点的垂直线x=b，所围成的面积。
也可以广义而言，定积分的几何意义就是“抽象的面积”。例如：如果横 轴是体积，纵轴是压强，“抽象面积”的意义是热力学系统对外做功； 如果横轴是时间，纵轴是电流，“抽象面积”的意义是电源对外放出的电 量、、、、、、 定积分是一种重要的数学思想，如今定积分思想广泛应用于物理、医学、 经济学、化工等领域，具有极大的应用价值。
上述公式计算，而是应用定积分思想，采用元素法来计算。
例.有一长度为L，密度为ρ的均匀细棒，在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m
的质点M，计算该棒对质点M的引力。
解：建立坐标系
取y为积分变量，y∈[这一区间对应
y+dy]，
的棒上小段可近似看成质点，
质量为ρdy，小段与质点的距 离为
定积分在物理上的应用举例
目录
1.用定积分求解平均功率问题 2.用定积分求解引力问题
一、平均功率问题
二、引力问题
质量分别为M、m的质点，相距r，两者间引力： 大小：
F K
Mm
方向：沿两质点的连线
r
2
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该
点的距离是变化的，且各点对该点的引力方向也是变化的，故不能用
THANK YOU
r
a
2
y
2
细杆对质点的引力：
dF k mρdy
a
2
y
2
水平方向的分力：
dFx dF cos( π - ) -dF cos a amρdy
a
定积分的几何应用课件
电场中的电势
总结词
定积分可计算电场中的电势
详细描述
在静电场中，电势差与电场强度成正比。通过定积分可以计算出 某一点处的电势，即对电场强度进行积分。
公式表示
电势 = ∫E·dl
05
定积分的近似计算
方法
矩形法
总结词
矩形法是一种简单直观的定积分近似计算方法，通过将积分 区间划分为若干个小的矩形，然后求和来逼近定积分。
详细描述
辛普森法则是梯形法的一种改进，它考虑了函数在积分区间的整体变化趋势，将 积分区间分成若干个小的子区间，然后在每个子区间上应用梯形法来逼近定积分 。辛普森法则的精度比矩形法和梯形法更高，但计算量也相对较大。
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3
曲边三角形面积的近似计算
在无法直接计算定积分的情况下，可以使用近似 方法计算曲边三角形的面积，如矩形法、梯形法 等。
任意图形的面积
任意图形面积的计算
01
通过定积分计算任意图形的面积，首先需要找到图形的边界曲
线表达式，然后确定上下限，最后计算定积分。
任意图形面积的几何意义
02
任意图形面积表示的是边界曲线围成的平面区域面积。
详细描述
矩形法的基本思想是将积分区间分成若干个小的矩形，每个 矩形的宽度为小区间的宽度，高度为函数在相应小区间的平 均值。然后，将这些矩形的面积加起来，得到的就是定积分 的近似值。
梯形法
总结词
梯形法是一种基于几何直观的定积分近似计算方法，通过将积分区间划分为若干个小的梯形，然后求 和来逼近定积分。
围绕旋转轴旋转的平面图形被称为 旋转面。
旋转体的体积公式
圆柱的体积公式
V = πr²h，其中r是底面半径，h是高。
04-定积分的物理应用举例课件
x d x
5
薄水的重力为
x
g dV g π 32 d x 9 gd x ，
从而，功元素为
dW 9 g π x d x ，
于是，所作的功为
O
W 59 g πx d x 0
x x d x
5
9 g π
x2 2
5
0
3464(KJ) ．
x
水压力
水深 d 处的压强为 p gd ，其中 是水的密度，
如果活塞的面积为 S ，计算活塞从距底面为 a 处 移到距底面为b 处的过程中气体压力所作的功．
解 如图建立坐标系，活塞位置用坐标 x 来表示．
定量气体在等温条件下，压强 p 与体积 V 之积是常数
k ，即
x
pV k．
因为
V
xS
，所以
p
k xS
，
b x
a
O
于是作用在活塞上的力为 F pS k ． x
[r, r d r]，当单位电荷从 r 移动到 r d r时，电场力
对它所作的功近似于
kq r2
d
rபைடு நூலகம்
，
F
k
q r2
从而功元素为 dW kq d r ，于是，所求的功为 r2
W
b a
kq r2
dr
kq
1 b r a
kq
1 a
1 b
．
例 内燃机动力的产生可简化为如下的模型： 把汽缸看作为一个圆柱形容器，在圆柱形容器中 盛有一定的气体，在等温条件下，由于气体的膨胀， 把容器中的活塞从一点处推到另一点处，经过一定 的机械装置将活塞的动力传播出去．
取 x 为积分变量，则功元素为
dW k d x ，
《高中定积分的应用》课件
总结词
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
定积分及其应用高数(共68张PPT)
例2 计算广义积分
例1 计算广义积分
例(2)4参数计方算程以所下(表定2示积)的分函. 数(t)在 [, ]或 ([,]上 )具有连续导数,
〔2〕无界函数的广义积分
R[a,b], 且其值域 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
变上限的定积分函数的性质
〔1〕无穷限的广义积分
那么有 〔2〕定积分的分部积分法
0
0
1
1(xx3)dx2(x3x)dx5
0
1
2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3nxsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2A 3 A 4
2.定积分的性质
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数)
性质3 〔区间可加性〕
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
0
这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的
区间上的定积分都相等.
例1 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0 f (x)d.x
解2
1
2
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
例1 计算广义积分
例(2)4参数计方算程以所下(表定2示积)的分函. 数(t)在 [, ]或 ([,]上 )具有连续导数,
〔2〕无界函数的广义积分
R[a,b], 且其值域 奇、偶函数在对称区间上的定积分性质
变上限的定积分函数的性质
〔1〕无穷限的广义积分
那么有 〔2〕定积分的分部积分法
0
0
1
1(xx3)dx2(x3x)dx5
0
1
2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
si3nxsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2A 3 A 4
2.定积分的性质
b
b
b
性质1 a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) dx
性质2
b
b
a kf ( x)dx ka f ( x)dx
( k 为常数)
性质3 〔区间可加性〕
b
c
b
af(x)d x af(x)d x cf(x)dx
0
这个公式就是说： 周期函数在任何长为一周期的
区间上的定积分都相等.
例1 设
f(x)52x
0x1, 求 1x2
2
0 f (x)d.x
解2
1
2
0f(x )d x 0f(x )d x 1f(x )dx
高考讲定积分及其应用举例课件理
总结词
定积分的定义包括将函数分割成小段， 然后求和；定积分的性质包括奇偶性、 可加性等。
VS
详细描述
定积分的定义是将一个函数分割成许多小 段，然后求这些小段的面积和。具体来说 ，如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么 对于这个区间上的任意两个点a和b，都 有定积分∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中 F(x)是f(x)的原函数。此外，定积分还具 有一些性质，例如奇偶性、可加性等。这 些性质在计算定积分时非常有用。
04
定积分的计算方法
直接积分法
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
直接积分法是最基本的 积分方法，主要依靠微 分的概念进行计算。
详细描述
直接积分法是将一个函 数的积分转化为另一个 函数的导数的过程。具
体地，对于一个函数 f(x)，其不定积分就是 所有使得f(x)成立的函 数F(x)的导数。换句话 说，不定积分就是找到 一个函数，使得这个函 数的导数等于原函数。
微积分基本定理
01
微积分基本定理的定义
微积分基本定理是指对于一个给定的函数f(x)，如果对其进行积分，那
么该积分等于f(x)的原函数在该区间上的增量。
02
微积分基本定理的意义
微积分基本定理是微积分学的基础，它揭示了可积函数的原函数与积分
之间的联系，为解决微积分问题提供了基本的方法和工具。
03
微积分基本定理的应用
05
定积分的应用扩展
物理应用
匀速直线运动
01
定积分可应用于计算位移，特别是在匀速直线运动中，速度是
恒定的，因此可以通过对速度的积分来求解位移。
简谐振动
02
定积分在物理中的应用 课件
(2)该点前4 s走过的路程.
解 因为 v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，
在 区 间 [1,3] 上 ， v(t)≤0 ， 所 以 走 过 的 路 程
s
＝
ʃ
1 0
(t2
－
4t
＋
3)dt
＋
ʃ
31t2－4t＋3dt＋ʃ
43(t2－4t＋3)dt＝ʃ
跟踪训练1 求由抛物线y＝x2－4与直线y＝－x＋2所围成的图形的面积.
命题角度 2 分割型图形面积的求解 例 2 求由曲线 y＝ x，y＝2－x，y＝－13x 所围成的图形的面积.
反思与感悟 两条或两条以上的曲线围成的图形，一定要确定图形范围， 通过解方程组求出交点的坐标，定出积分上、下限，若积分变量选x运 算较烦琐，则积分变量可选y，同时要更换积分上、下限.
定积分的简单应用
知识点一 定积分在几何中的应用
思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 答案 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上、下限，用定 积分来表示面积，然后计算定积分即可.
梳理 (1)当x∈[a，b]时，若f(x)>0，由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲
线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积S＝
梳理 如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相 同的方向从x＝a移动到x＝b(a<b)，那么变力F(x)所做的功为 ʃ baF(x)d.x
[思考辨析 判断正误] 1.曲线 y＝x3 与直线 x＋y＝2，y＝0 围成的图形面积为 ʃ 10x3dx＋ʃ 21(2－x)dx. Nhomakorabeaʃ
b a
ʃ
[f(x)－g(x)].(d如x 图)
高等数学讲义课件 第3节 定积分在物理上的应用
kq
1 r
b a
k
q
(
1 a
1 b
)
说明:
kq a
例2. 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,
试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?
解: 建立坐标系如图. 在任一小区间
o
[x , x dx] 上的一薄层水的重力为
g 32 dx (KN)
这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为
b
W a F (x) dx
例1. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 求电场力所作的功 .
解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
q 1 1
则功的元素为
dW
kq r2
d
r
o
a
r r dr b r
所求功为
5m
xdx
dW 9 g x dx
故所求功为
W
5
0
9 g x d x 9
g x2
2
5 0
112.5 g ( KJ )
3m
x
设水的密
度为
第三节 定积分在物理学上的应用
一、 变力沿直线所作的功 *二、 液体的侧压力 *三、 引力问题
一、 变力沿直线所作的功
设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 .
在其上所作的功元
素为
dW F(x) dx
a x x dx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
《定积分的简单应用》课件
极限思想
通过令小区间的长度趋近于0，可以得 到更精确的面积计算结果。
不等式的应用
通过定积分可以推导出许多有用的不等式，如柯西不等式、黎曼和不等式等，从而解决数学中的各种问题。
定积分在物理学中的应用
1 速度与位移
定积分可以用于计算速度 与位移之间的关系，从而 描述物体的运动。
2 力与功
定积分可以计算力与功之 间的关系，用于描述物体 受力时的能量变化。
化学平衡
利用定积分可以计算化学反应平衡时不同物质 的浓度。
化学反应速率
定积分可以描述化学反应速率与反应进程的关 系，研究反应动力学。
电化学
通过定积分可以研究电化学反应中电荷传递和 离子浓度的变化。
定积分在工程学中的应用
工程学中广泛应用定积分，如在建筑设计中计算结构的受力情况、电力系统 中计算电能的变化等。
通过计算三角形的定积分，可以 得到三角形面积公式，即底乘高 除以2。
多边形的面积
对于规则多边形，可以通过计算 边长和高的定积分来得到多边形 的面积。
拆分区间求面积的方法
1
逼近面积
2
将每个小区间的面积逼近为矩形或梯形
的面积，再求和得到总面积。
3
区间拆分
通过将区间拆分成多个小区间，可以更 准确地计算曲线下的面积。
定积分的符号表示为∫f(x)dx，表示求函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。它表示了函数f(x)所围成的曲线与x轴之 间的面积。
如何计算定积分
计算定积分可以通过求导数的逆运算——不定积分。利用不定积分的基本公 式和技巧，可以将定积分转化为更简单的求导数的问题。
定积分的性质及其应用
线性质
定积分具有线性性质，即对函数的和与差的定 积分等于对应的定积分的和与差。
通过令小区间的长度趋近于0，可以得 到更精确的面积计算结果。
不等式的应用
通过定积分可以推导出许多有用的不等式，如柯西不等式、黎曼和不等式等，从而解决数学中的各种问题。
定积分在物理学中的应用
1 速度与位移
定积分可以用于计算速度 与位移之间的关系，从而 描述物体的运动。
2 力与功
定积分可以计算力与功之 间的关系，用于描述物体 受力时的能量变化。
化学平衡
利用定积分可以计算化学反应平衡时不同物质 的浓度。
化学反应速率
定积分可以描述化学反应速率与反应进程的关 系，研究反应动力学。
电化学
通过定积分可以研究电化学反应中电荷传递和 离子浓度的变化。
定积分在工程学中的应用
工程学中广泛应用定积分，如在建筑设计中计算结构的受力情况、电力系统 中计算电能的变化等。
通过计算三角形的定积分，可以 得到三角形面积公式，即底乘高 除以2。
多边形的面积
对于规则多边形，可以通过计算 边长和高的定积分来得到多边形 的面积。
拆分区间求面积的方法
1
逼近面积
2
将每个小区间的面积逼近为矩形或梯形
的面积，再求和得到总面积。
3
区间拆分
通过将区间拆分成多个小区间，可以更 准确地计算曲线下的面积。
定积分的符号表示为∫f(x)dx，表示求函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。它表示了函数f(x)所围成的曲线与x轴之 间的面积。
如何计算定积分
计算定积分可以通过求导数的逆运算——不定积分。利用不定积分的基本公 式和技巧，可以将定积分转化为更简单的求导数的问题。
定积分的性质及其应用
线性质
定积分具有线性性质，即对函数的和与差的定 积分等于对应的定积分的和与差。
《高数》定积分课件
《高数》定积分PPT课件
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
定积分在物理中的应用 课件
3
0
3
所以点P在x轴正方向上距离原点 50 处．
3
(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程
s3＝
4 0
(8t－2t2)dt－
5 4
(8t－2t2)dt
＝(4t2－ 2 t3)| 4 －(4t2－ 2 t3)| 5 ＝26.
3
0
3
4
(4)依题意
t 4
(8t－2t2)dt＝0，
即4t2－ 2 t3＝0，
y F(x)
b
F
W a F (x)dx
Oa
x
b
例2 如图1.7 - 4,在弹性限 度内 ,将一弹簧从平衡位置 拉到离平衡位置 l m 处,求克 服弹力所做的功.
Q
l
图1.7 4 F
解 在弹性限度内,拉伸(或
压缩)弹簧所需的力F x 与
弹簧拉伸或压缩 的长度 x
成正比,即F x = kx,其中常
(1)由v(t)=8t－2t2≥0，得0≤t≤4，
即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，t>4时，P点向
x轴负方向运动．
故t=3时，点P离开原点的路程s1=
3 0
(8t－2t2)dt=(4t2-
2 t3)| 3 =18.
3
0
(2)当t=5时，点P离开原点的位移s2=
5 (8t-2t2)dt
0
=(4t2－ 2 t3)|5 = 50 .
Q
l
数k是比例系数.
图1.7 4 F
由变力做功公式,得W =
l 0
kxdx
=
1 kx2 2
l 0
=
1 2
kl
2
J.
答:
定积分在物理中的应用.ppt
l 2
xdx
o x lx
2
W 2km l b dy a y 4y2 l2
数学分析
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8
3) 当质点位于棒的左端点垂线上时,
dFy
d
F
cos
k m
a
(a2
dx
x2
)
3 2
注意正负号
dFx
d
F
sin
k
m
(a
2
x dx x2
)
3 2
y a
Fy
k m a
l dx 0 (a2 x2 )32
2
例1.一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为
的液体 , 求桶的一个端面所受的静压力.
解: 建立坐标系如图. 所论半圆的
方程为
(0 x R)
利用对称性 , 静压力元素
dP 2 g x R2 x2 dx
o
x
y
xdx
端面所受静压力为
R
P R 2g x 0
R2
x2
dx
2g R3 x
在其上所作的功元
素为
dW F(x) dx
a x xdx b x
因此变力F(x) 在区间 上所作的功为
b
W a F (x) dx
数学分析
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10
例3. 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下, 一个单
位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) ,
求电场力所作的功 . 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为
该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. 细棒上小段
高中数学定积分在物理中的应用优秀PPT
想一想：利用定积分求变速直线运动的路程和位移是同一个式子
区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间， 解 (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t>4时，P点向x轴负方向运动．
【例1】 有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求 (2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然
当t＝6时，点P的位移为
(2)依题意 (8t－2t2)dt＝0， 即 4t2－23t3＝0， 解得 t＝0 或 t＝6， t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况， t＝6 是所求的值．
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时， (3)若在区间[a，c]上，V(t)≥0，在区间[c，b]上V(t)<0，
即 pV＝k.
(4 分)
∵V＝xS(x 指活塞与底的距离)，∴p＝Vk＝xkS.
∴作用在活塞上的力 F＝p·S＝xkS·S＝kx.
(8 分)
∴所做的功 W＝
kxdx＝k·ln
x b a
＝klnba.
(12 分)
【题后反思】 解决变力作功注意以下两个方面： (1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．
念，(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用
求解；
(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用
求解，这
一时段的路程是位移的相反数，即路程为－
.
名师点睛 1．在变速直线运动中求路程、位移
路程是位移 的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程S和位移S′分别为： (1)若V(t)≥0，则S＝ V(t)dt，S′＝ V(t)dt. (2)若V(t)≤0，则S＝－ V(t)dt，S′＝ V(t)dt. (3)若在区间[a，c]上，V(t)≥0，在区间[c，b]上V(t)<0， 则s＝ V(t)dt－ V(t)dt；S′＝ V(t)dt.
区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间， 解 (1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t>4时，P点向x轴负方向运动．
【例1】 有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求 (2)路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然
当t＝6时，点P的位移为
(2)依题意 (8t－2t2)dt＝0， 即 4t2－23t3＝0， 解得 t＝0 或 t＝6， t＝0 对应于 P 点刚开始从原点出发的情况， t＝6 是所求的值．
(1)用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时， (3)若在区间[a，c]上，V(t)≥0，在区间[c，b]上V(t)<0，
即 pV＝k.
(4 分)
∵V＝xS(x 指活塞与底的距离)，∴p＝Vk＝xkS.
∴作用在活塞上的力 F＝p·S＝xkS·S＝kx.
(8 分)
∴所做的功 W＝
kxdx＝k·ln
x b a
＝klnba.
(12 分)
【题后反思】 解决变力作功注意以下两个方面： (1)首先要将变力用其方向上的位移表示出来，这是关键的一步． (2)根据变力作功的公式将其转化为求定积分的问题．
念，(1)当v(t)≥0时，求某一时间段内的路程和位移均用
求解；
(2)当v(t)<0时，求某一时间段内的位移用
求解，这
一时段的路程是位移的相反数，即路程为－
.
名师点睛 1．在变速直线运动中求路程、位移
路程是位移 的绝对值之和，从时刻t＝a到时刻t＝b 所经过的路程S和位移S′分别为： (1)若V(t)≥0，则S＝ V(t)dt，S′＝ V(t)dt. (2)若V(t)≤0，则S＝－ V(t)dt，S′＝ V(t)dt. (3)若在区间[a，c]上，V(t)≥0，在区间[c，b]上V(t)<0， 则s＝ V(t)dt－ V(t)dt；S′＝ V(t)dt.
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