高三数学第一轮复习讲义：§8.1 椭圆

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全国高考数学一轮复习-椭圆知识点总结

椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1．椭圆标准方程中的三个量c b a ,,的几何意义222c b a +=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab 22焦点弦：椭圆过焦点的弦。

3.最大角:p 是椭圆上一点，当p 是椭圆的短轴端点时，21PF F ∠为最大角。

人教版2019届高三数学一轮复习课件：椭圆定义课件说课稿 (共14张PPT)

椭圆的定义及标准方程
一复习目标
• 1.从数和形的角度理解椭圆的定义并能灵活应用。 • 2.掌握两种求椭圆标准方程的方法：定义法，待
定系数法。
二考点解读
• 掌握求椭圆方程的两种方法：定义法，待定系数法。借助数形结合思想，方程思想，分类讨论思想。面对高考中的常客我们要识得庐山真面目，真正做到知己知彼百战
解：焦点在 x 轴上标准方程为
x 2 y 2 1(a b 0) a2 b2
则
6
a2 3
a2
1
b2 2
b2
1 解得
1
a 2 9 b2 3
焦点在 y 轴上标准方程为
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0)
则
1
a2 2
a2
6
b2 3
b2
1 解得
1
a 2 3
b2 9
a
b ,
不成立。
该椭圆的标准方程为
b2>0 得 b2＝4，故 a2＝16，
∴椭圆 C 的标准方程为 x2 ＋y2＝1. 16 4
练习1：求满足条件的椭圆的标准方程．
（1）过 M( 6,1)N , (3, 2)两点；
解：设椭圆的方程m为x2 ny2 1.由题意得
36mm2nn11解得
m91 n13
一般方程
椭圆的标准方程为 x2 y2 1. 93
x2 y2 1
93
设标准方程，需要先定位再定量
1.求椭圆标准方程时先定位再定量。
2.两种方法：定义法，待定系数法。
三种思想：数形结合，方程思想，分类讨论 3.以形助数，回归定义，巧妙的
转化与构造使数与形达成完美统一。
1.01365 =37.8 0.99 365=0.03

高三数学第一轮复习《椭圆》讲义

椭圆要点梳理1．椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫__椭圆_____．这两定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距______．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若___ a>c _____，则集合P为椭圆；(2)若___ a＝c _____，则集合P为线段；(3)若___ a<c _____，则集合P为空集．2标准方程x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)y2a2＋x2b2＝1 (a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0) 轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝ca∈(0,1)a，b，c的关系c2＝a2－b2椭圆的几何性质分为两类：一是与坐标轴无关的椭圆本身固有的性质，椭圆方程中的a、b、c、e与坐标系无关，第二类性质是随坐标系变化而相应改变，焦点坐标、顶点坐标等与坐标系有关．确定椭圆方程需要三个条件，两个定形条件：a、b；一个定位条件：焦点坐标．(1)椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如右图)，它的三边长分别为a、b、c．易见c2=a2-b2，且若记∠OF1B2=θ，则cos θ=ca=e．(2)椭圆的定义中应注意常数大于|F1F2|．因为当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和等于|F1F2|时，其动点轨迹就是线段F1F2；当平面内的动点与定点F1、F2的距离之和小于|F1F2|时，其轨迹不存在．（3）椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和基础自测：1．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 等于( ) A ．－1 B ．1 C. 5 D ．－ 52．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．33．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点M 到焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.325．已知F 1，F 2为椭圆x 212＋y 23＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点在y 轴上，且|PF 1|＝t |PF 2|，则t 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．76．“－3<m <5”是“方程x25－m ＋y2m ＋3＝1表示椭圆”的 ( ) 条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 7．已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|＝2|PF 2|，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为____33______．题型一求椭圆的标准方程例1 求满足下列各条件的椭圆的标准方程：(1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)； (2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3. 解题导引：求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：(1)中心是否在原点，(2)对称轴是否为坐标轴．确定一个椭圆的标准方程，必须要有一个定位条件(即确定焦点的位置)和两个定形条件(即确定a ，b 的大小)．当焦点的位置不确定时，应设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a>b>0)或y 2a 2＋x2b 2＝1 (a>b>0)，或者不必考虑焦点位置，直接设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1 (m>0，n>0，且m≠n)．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9a 2＝1，∴a＝3，又2a ＝3·2b，∴b＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x2b2＝1 (a>b>0)．∵椭圆过点A(3,0)，∴9b 2＝1，∴b＝3，又2a ＝3·2b，∴a＝9，∴方程为y 281＋x29＝1.综上可知椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设经过两点A(0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1，将A ，B 坐标代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y24＝1.变式训练1 (1)已知椭圆过(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程；解 (1)当椭圆的焦点在x 轴上时，∵a＝3，c a ＝63，∴c＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3，∴椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1.当椭圆的焦点在y 轴上时，∵b＝3，c a ＝63，∴a 2－b 2a ＝63，∴a 2＝27.∴椭圆的标准方程为x 29＋y227＝1.∴所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或x 29＋y227＝1.（2）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．解设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0)，两焦点分别为F 1，F 2，则由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中令x ＝±c 得|y |＝b 2a ，在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中令y ＝±c 得|x |＝b 2a，依题意并结合图形知b 2a ＝235.∴b 2＝103.即椭圆的标准方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 210＝1. 题型二椭圆的定义及应用例2 一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解如图所示，设动圆的圆心为C ，半径为r.则由圆相切的性质知， |CO 1|＝1＋r ，|CO 2|＝9－r ，∴|CO 1|＋|CO 2|＝10，而|O 1O 2|＝6，∴点C 的轨迹是以O 1、O 2为焦点的椭圆，其中2a ＝10,2c ＝6，b ＝4. ∴动圆圆心的轨迹方程为 x 225＋y216＝1. 变式训练2 求过点A (2,0)且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．解将圆的方程化为标准形式为：(x ＋2)2＋y 2＝62，圆心B(－2,0)，r ＝6.设动圆圆心M 的坐标为(x ，y)，动圆与已知圆的切点为C. 则|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6， ∴|BM|＋|CM|＝6. 又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6>|AB|＝4.∴点M 的轨迹是以点B(－2,0)、A(2,0)为焦点、线段AB 中点(0,0)为中心的椭圆． a ＝3，c ＝2，b ＝ 5.∴所求轨迹方程为x 29＋y25＝1.题型三椭圆的几何性质例3 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°. (1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解题导引 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，得到a 、c 的关系． (2)对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧定义式的平方余弦定理面积公式⇔⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|2＝2a2，4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos θ，S △＝12|PF 1||PF 2|sin θ.(1)解设椭圆方程为x 2a 2＋y2b2＝1 (a>b>0)，|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n.在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°.∵m＋n ＝2a ，∴m 2＋n 2＝(m ＋n)2－2mn ＝4a 2－2mn.∴4c 2＝4a 2－3mn ，即3mn ＝4a 2－4c 2.又mn≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)，∴4a 2－4c 2≤3a 2.∴c 2a 2≥14，即e≥12.∴e 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. (2)证明由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF1F2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．变式训练3 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A 、B ，从此椭圆上一点M (在x 轴上方)向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F 1，AB ∥OM . ①求椭圆的离心率e ；②设Q 是椭圆上任意一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，求∠F 1QF 2的取值范围．解 ①∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b2a，∴k OM ＝－b 2ac .∵k AB ＝－ba ，OM∥AB，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b＝c ，故e ＝c a ＝22.②设|F 1Q|＝r 1，|F 2Q|＝r 2，∠F 1QF 2＝θ， ∴r 1＋r 2＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝r 1＋r 22－2r 1r 2－4c22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2r 1＋r 222－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时，cos θ＝0，∴θ∈[0，π2]．(2)设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32到这个椭圆上的点最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标．分析：点在椭圆上，就有－b ≤y ≤b ，因此在求椭圆上的点到点 P 的距离的最大值时，应分类讨论．解：依题意可设椭圆方程为2222x y 1a b +=（a>b>0）正解：依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．则e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝34，所以b 2a 2＝14，即a ＝2b .设椭圆上的点(x ，y )到点P 的距离为d ，则d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y 2b 2＋y 2－3y ＋94＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3. 若b <12，则当y ＝－b 时，d 2(从而d )有最大值．于是(7)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322，从而解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．所以必有b ≥12， 3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＋4b 2＋3. 若b <12，则当y ＝－b 时，d 2(从而d )有最大值．于是(7)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋322，从而解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．所以必有b ≥12，(下略)x 24＋y 2＝1椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－12 注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题求解时，如求函数的单调区间、最值时．（3）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的长轴长为4，离心率为12，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l ，交y 轴于点A ，直线l ′过点P 且垂直于l ，交y 轴于点B . ①求椭圆的方程；②试判断以AB 为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由．解 ①∵2a ＝4，c a ＝12，∴a ＝2，c ＝1，b ＝ 3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.②能．设点P (x 0，y 0) (x 0≠0，y 0≠0)，由题意知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k (y 0－kx 0)x ＋4(y 0－kx 0)2－12＝0. ∵x ＝x 0是方程的两个相等实根，∴2x 0＝－8k (y 0－kx 0)3＋4k 2，解得k ＝－3x 04y 0. ∴直线l 的方程为y －y 0＝－3x 04y 0(x －x 0)．令x ＝0，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4y 20＋3x 204y 0.又∵x 204＋y 203＝1，∴4y 20＋3x 20＝12.∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3y 0.又直线l ′的方程为y －y 0＝4y 03x 0(x －x 0)，令x ＝0，得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－y 03.∴以AB 为直径的圆的方程为x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －3y 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 03＝0. 整理，得x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 03－3y 0y －1＝0.令y ＝0，得x ＝±1，∴以AB 为直径的圆恒过定点(1,0)和(－1,0)．题型四直线与椭圆的位置关系例4 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂直平分线上，且QA →·QB →＝4．求y 0的值．解 (1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2，再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ，由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.( 2)由(1)知A (－2,0)，且直线l 的斜率必存在．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x ＋2)．于是A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x ＋2).由方程消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0.由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2，从而y 1＝4k1＋4k2.设线段AB 的中点为M ，则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2. 以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，于是QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(2，－y 0)．由QA →·QB →＝4，得y 0＝±2 2.②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8k 21＋4k 2.令x ＝0，解得y 0＝－6k1＋4k 2.由QA →＝(－2，－y 0)，QB →＝(x 1，y 1－y 0)， QA →·QB →＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2(2－8k 2)1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k1＋4k 2＋6k 1＋4k 2＝4(16k 4＋15k 2－1)(1＋4k 2)2＝4，整理得7k 2＝2.故k ＝±147，所以y 0＝±2145. 综上，y 0＝±22或y 0＝±2145.探究提高 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，如本题(2)的求解中，常因忽略直线l 与x 轴重合的特殊形式．变式训练4(1)已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，且经过点M (1，32)，过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B . ① 求椭圆C 的方程；②是否存在直线l ，满足PA →·PB →＝PM → 2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 ①设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＋94b2＝1，c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2.解得a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.②若存在直线l 满足条件，由题意可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －2＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.因为直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4·(3＋4k 2)·(16k 2－16k －8)>0.整理得32(6k ＋3)>0，解得k >－12.又x 1＋x 2＝8k 2k －13＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k2，且PA →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝54所以[16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k 2k －13＋4k 2＋4](1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54，解得k ＝±12所以k ＝12.于是存在直线l 满足条件，其方程为y ＝12x .(2)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率e ＝22，点A 是椭圆上的一点，且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4. ①求椭圆C 的方程；②椭圆C 上一动点P (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为P 1(x 1，y 1)，求3x 1－4y 1的取值范围．解 ①依题意知，2a ＝4，∴a ＝2. ∵e ＝c a ＝22，∴c ＝2，b ＝a 2－c 2＝ 2.∴所求椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.②∵点P (x 0，y 0)关于直线y ＝2x 的对称点为P 1(x 1，y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0－y 1x 0－x 1×2＝－1，y 0＋y 12＝2×x 0＋x12.解得：x 1＝4y 0－3x 05，y 1＝3y 0＋4x 05.∴3x 1－4y 1＝－5x 0.∵点P (x 0，y 0)在椭圆C ：x 24＋y 22＝1上，∴－2≤x 0≤2，则－10≤－5x 0≤10. ∴3x 1－4y 1的取值范围为[－10,10]．（3）已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，其长轴长与短轴长的和等于6．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，设椭圆E 的上、下顶点分别为A 1、A 2，P 是椭圆上异于A 1、A 2的任意一点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于点N 、M ，若直线OT 与过点M 、N 的圆G 相切，切点为T ．证明：线段OT 的长为定值．解：（Ⅰ）由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，得a ＝2b ． ①又2a ＋2b ＝6，即a ＋b ＝3． ② 解①②，得a ＝2，b ＝1．故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1．……………………………………………………4分（Ⅱ）由（Ⅰ），知A 1(0，1)，A 2(0，－1)，设P (x 0，y 0)，则直线PA 1的方程为y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，得x N ＝－x 0y 0－1；直线PA 2的方程为y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0，得x M ＝x 0y 0＋1．设G (12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)，h ），则r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2＋h 2，|OG |2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2，∴|OT |2＝|OG |2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2－h 2＝x 21－y 20．∵x 204＋y 20＝1，即x 20＝4(1－y 20)， ∴|OT |2＝4(1－y 20)1－y 20＝4，∴|OT |＝2．即线段OT 的长为定值2．（4）已知，椭圆C 以过点A （1，32），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

高三第一轮复习椭圆精选课件

��
二、考点探究
探究点一椭圆的定义
（2）已知F1，F2是椭圆
x2 16
y2 9
=1的两焦点，过点
F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若
有两边之和是10，则第三边的长度为( A )
(A)6 (B)5 (C)4 (D)3
二、考点探究
探究点一椭圆的定义
圆的标准方程为
��+y2=1 或��+��=1
��
��
.
8.已知椭圆��+ �� =1
�� -��
的离心率为��,则
k=
��或-21
��
B. ��+��=1
��
C. ��+��=1 或��+��=1
��
二、考点探究
探究点二椭圆的标准方程
变式题(1)已知点 P 在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦
点的距离分别为��和��,过点 P 作长轴的垂线恰好过椭圆的
一个焦点,则该椭圆的方程是 ( D )
A. ��+��=1

椭圆及其性质课件-2025届高三数学一轮复习

,

=
+
向量的数量积求解；

= ，再由 =

+ ，借助
思路二：先利用椭圆定义以及在焦点三角形中用余弦定理先求出

,

=
+
和等于四条边的平方和求解.

思路三：利用等面积，即

点的坐标.ຫໍສະໝຸດ = ，再利用平行四边形对角线的平方
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之椭圆及其性质
1.椭圆的定义
条件
结论1
，
①________为椭
平面内与两个定点，的距离的和等
于常数（大于）的点
+ =
>
结论2
点的轨
迹为椭圆
圆的焦点；

②_______为椭圆
求 ⋅ 的值,通过整体代入可求其面积等.

1.(2023·全国甲卷)设 , 为椭圆:

+ = 的两个焦点，点在上，
若 ⋅ = ，则 ⋅ =(
A.1
B.2
√
)
C.4
D.5
解析：选B.方法一：因为 ⋅ = ，所以 ⊥ ,则
的焦距
若= ，则动点的轨迹是线段；若< ，
则动点的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程及几何性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点

+

= >>

+

【课件】椭圆完全解读课件-2023届高三数学一轮复习

②求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程。
椭圆的常见模型
中点弦问题
3.已知椭圆: + �� = ( > > )的左右焦点分别为�� , ，点 ,

上，

且∆ 的面积为.
①求椭圆的标准方程；
②若椭圆上存在, 两点关于直线 = �� + 对称，求的取值范围.
圆的离心率的取值范围是.

,

，则该椭
椭圆的定义及其方程
第二定义
平面内一定点距离与一定直线距离之比为常数 < < 的点的轨迹.
焦点
相应准线
离心率
焦半径： = + , = −
∈ − , +
≤ ∙ ≤

= ∙
（其为参数）
= ∙
③极坐标方程： =
=

（极点为左焦点）
−

（极点为右焦点）
+
+

= （焦点在轴）
椭圆的定义及其方程
椭圆的方程
③极坐标方程
左

例6.已知椭圆:

+

= ,过左焦点作两条相互垂直的直线，分别交椭圆于, , , 四点，

在椭圆
椭圆的常见模型
斜率型定点定值

1.已知椭圆:

+

= ( > > )，四点 , , , , −,

, ,

中恰有三点在椭圆上.
①求的方程；

高三数学一轮复习椭圆教案

第一讲椭圆一、考情分析解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高．“圆锥曲线”是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用．本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维能力，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探索、敢于创新的精神．二、知识归纳（一）椭圆的定义（1）第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数()1222||a a F F >的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．特征式：()121222||MF MF a a F F +=>．注：①若122||a F F <，则点的轨迹是线段12F F 的垂直平分线； ②若122||a F F =，则这样的点不存在．（2）第二定义：一动点到定点的距离和它到一条定直线l 的距离的比是常数()01e ∈，，那么这个点的轨迹叫做椭圆．其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率．特征式：()101M lMF e e d →=<<．（二）椭圆的方程（1）椭圆的标准式方程：①()()()222210x m y n a b ab--+=>>；（焦点在x 轴的平行线上，中心在()m n ，的椭圆方程） ②()()()222210y n x m a b a b --+=>>．（焦点在y 轴的平行线上，中心在()m n ，的椭圆方程）（2）椭圆的参数方程：①()2222cos 10sin x a x y a b y b a b ϕϕ=⎧⇔+=>>⎨=⎩；注：ϕ角不是NOM ∠．②()()()2222cos 10sin x m a x m y n a b y n b a b θθ=+--⎧⇔+=>>⎨=+⎩．ＰＰＦ１Ｆ２Ｆ（3）椭圆的向量式方程：()121222||OM OF OM OF a a OF OF -+-=>-．（三）性质：对于椭圆()222210x y a b a b+=>>而言，①范围：a x a ≤≤-，b y b ≤≤-，椭圆落在x a y b =±=±，组成的矩形中．②对称性：图象既关于y 轴对称，又关于x 轴对称，也关于原点对称．原点叫椭圆的对称中心，简称中心．x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴．③顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点．2(0)(0)A a A a -，，，，2(0)(0)B b B b -，，，；加两焦点12(0)(0)F c F c -，，，共有六个特殊点．21A A 叫椭圆的长轴，21B B 叫椭圆的短轴，长分别为22a b 、．a b 、分别为椭圆的长半轴长和短半轴长．④离心率：椭圆焦距与长轴长之比)01c e e e a =⇔=<<．注：椭圆形状与e 的关系：01be a→→，，椭圆变圆，直至成为极限位置的圆，此时也可认为圆为椭圆在0=e 时的特例；10be a→→，，椭圆变扁，直至成为极限位置线段21F F ，此时也可认为圆为椭圆在1=e 时的特例．⑤椭圆的准线方程：对于12222=+by a x ，左准线21a l x c =-：；右准线22a l x c =：；对于12222=+bx a y ，下准线21a l y c =-：；上准线22a l y c =：．⑥焦准距：焦点到准线的距离c b c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数）． ⑦通径：经过焦点且垂直于长轴的弦称之为通径，长度为22b a．⑧焦半径公式：焦点在ｘ轴上的椭圆的焦半径公式： 10MF a ex =+（左焦半径）；20MF a ex =-（右焦半径）；焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：10MF a ey =+（下焦半径）；20MF a ey =-（上焦半径）；（规律：左加右减，上减下加．）⑨焦点三角形：曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形；2cos 2tan2cos2S b e αβγαβ∆+==-；．（如何证明？）（四）椭圆系方程（焦点在x 轴的上，中心在原点）ＰＦ１Ｆ２αβγ（1）共焦点的椭圆系：()22221x y k c k k c +=>-；注：若20k c <<，则表示共焦点的双曲线系．（2）离心率相同的椭圆系：()22220x y a b λλ+=>．注：若()22220x y a bλλ-=≠，则表示共渐进线的双曲线系．三、精典例析（一）活用定义例1：椭圆13610022=+y x 上有一点Ｐ它到椭圆的左准线距离为10，求点Ｐ到椭圆的右焦点的距离．解析：椭圆13610022=+y x 的离心率为54=e ，根据椭圆的第二定义得，点Ｐ到椭圆的左焦点距离为：810=e ；再根据椭圆的第一定义得，点Ｐ到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 ．例2：方程2x y =++表示什么曲线？解析：设()P x y ，=即：()P x y ，到定点()11A ，的距离与它到定直线20l x y ++=：的距离之比为2，故原方程表示以定点()11A ，为焦点，以定直线20l x y ++=：为准线的椭圆．例3：定点()()22110A F ，，，是2218x y C m +=：的焦点，Ｐ是曲线Ｃ上的动点．（1）求2PA PF +的范围；（2）求23PA PF +的最小值．解析：∵()210F ，是2218x y C m +=：的焦点，∴22198x y C +=：．（1）211266PA PF PA a PF PA PF ⎡+=+-=+-∈-⎣．（2）237PA PF PA PD AH +=+≥=．引申：1P A PA PF AP d d e--+=+≥准线准线也适用于双曲线、抛物线．例4：求过定点()12M ，，以y 轴为准线、离心率为12e =的椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程．解析：设()()00P x y F x y ，，，，则：0y y =，001322x x x x x -=⇒=()2213112224x y ⎛⎫=⇔-+-= ⎪⎝⎭，故椭圆的左顶点Ｐ的轨迹方程是()22311224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭．（二）焦半径公式例5：椭圆)0( 12222>>=+b a by a x ，其上一点()3P y ，到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程．解析：由椭圆的焦半径公式，得：3 6.5153 3.52a e a e a e +=⎧⇒==⎨-=⎩，，解得： 22257524c b a c ==-=，．故所求椭圆方程为：22412575x y +=．例6：已知Ｐ为椭圆221259x y +=上的点，且Ｐ与12F F 、的连线互相垂直，求Ｐ．解析：由题意，得：+-20)545(x 20)545(x +＝641625720⨯=⇒x ，16812=y ，∴Ｐ的坐标为9999()())4444⎫--⎪⎪⎝⎭，，，，．例7：椭圆22143x y +=上能否找到一点M ，使得M 到左准线的距离是它到两个焦点的距离的等比中项？解析：椭圆22143x y +=的左准线是4l x =-：，若存在，设()00M x y ，，则：()()()2000044a ex a ex x x +-=+⇒=-或0125x =-， ∵02x ≤，故不存在符合条件的点．例8：设Ｐ是以Ｏ为中心的椭圆上任意一点，2F 为右焦点，求证：以线段P F 2为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．解析：设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>，焦半径P F 2是圆1O 的直径，则：11222222OO PF PF a PF a ==-=-，∴两圆半径之差等于圆心距．故以线段P F 2为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆内切．（三）焦点三角形曲线上的点与焦点连线构成的三角形称焦点三角形，与曲线三角形有关的问题常常借助正（余）弦定理，借助比例性质进行处理．例9：证明：椭圆的焦点三角形中，2cos2tan 2cos 2S b e αβγαβ∆+==-；．解析：在12F F P ∆中，()()222212121212122cos 21cos F F PF PF PF PF PF PF PF PF γγ=+-=+-+，∴21221cos b PF PF γ=+，∴22121sin sin tan 21cos 2S PF PF b b γγγγ∆===+；在12F F P ∆中，12211212sin sin sin sin sin sin F F PF PF F F PF PF γαβγαβ+==⇒=+， ∴()cossin sin 2sin sin sin sin cos 2c e a αβαβγαβαβαβ++====-++．例10：已知椭圆的焦点是12(10)(10)F F -，，，，Ｐ为椭圆上一点，且12F F 是1PF 和2PF 的等差中项．（1）求椭圆的方程；（2）若点Ｐ在第三象限，且1223PF F π∠=，求12tan F PF ∠．Ｆ１Ｆ２αβγP解析：（1）∵12F F 是1PF 和2PF 的等差中项． ∴121224PF PF F F +==， ∴42=a ，∴b =13422=+yx ．（２）设12F PF θ∠=，则213PF F πθ∠=-，∵)60sin(120sin sin 1221θθ-︒=︒=PF PF F F ，∴)60sin(120sin sin 2121θθ-︒+︒+=PF PF F F ．∴25sin cos )sin θθθ=⇒=+∴sin 1cos 5θθ=+，故232tan =θ，1225tan tan 3125F PF θ∠===-．（四）对称问题例11：在直线40l x y +-=：任取一点，过Ｍ且以2211612x y +=的焦点为焦点作椭圆，问Ｍ在何处时，所作椭圆的长轴长最短？并求出此椭圆．解析：法1：待求椭圆的2c =，其焦点()()122020F F -，、，在直线40l x y +-=：的同侧，2F 关于直线40l x y +-=：的对称点为()242F ，1212122a MF MF F M MF F F ''=+=+≥，∴Ｍ为直线12320F F x y '-+=：与40l x y +-=：的焦点时，所作椭圆的长轴长最短；320534022x y M x y -+=⎧⎛⎫⇒⎨⎪+-=⎝⎭⎩，，此时，12F F '= 故待求椭圆为：221106x y +=．法2：设待求椭圆为：22221x y a b+=，则40l x y +-=：与椭圆相切于Ｍ点时，椭圆的长轴长最短，()()22222222224081601x y a b x a x b a x y ab +-=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩， ∵40l x y +-=：与椭圆相切， ∴22016a b ∆=⇒+=，又∵224a b -=，∴22106a b ==，，故待求椭圆为：221106x y +=，此时，52x =，即5322M ⎛⎫⎪⎝⎭，．例12：已知椭圆22143x y +=上有两个不同的点P Q 、关于直线4l y x m =+：对称，求ｍ的取值范围．解析：法1：∵点P Q 、关于直线4l y x m =+：对称， ∴14PQ k =-，设14PQ l y x b =-+：，则： 22221413816480143y x b x bx b x y ⎧=-+⎪⎪⇒-+-=⎨⎪+=⎪⎩， 21304b ∆>⇒<，21212816481313b b x x x x -+==，， ∴12122242241313x x b by y b b ++=-+=-+=； ∵PQ 的中点4121313b b M ⎛⎫⎪⎝⎭，在直线4l y x m =+：上， ∴12213413134b b m b m ⎛⎫=⋅-+⇒=- ⎪⎝⎭；∴21313441313m m ⎛⎫⎛⎫-<⇔∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，．故ｍ的取值范围是1313⎛-⎝⎭，．法2：设()()1122P x y Q x y ，、，，PQ 的中点()M x y ，，则：2211222212121212143313134344422x y x y y y x x y x x x y y x x x y y y⎧+=⎪⎪-⎪+=⇒=-⇔-=-⇒=⎨-⎪+=⎪⎪+=⎩， ∴PQ 的中点()M x y ，在3y x =上，则：()334y xM m m y x m=⎧⇒--⎨=+⎩，， ∵PQ 的中点()3M m m --，在椭圆22143x y +=内， ∴()()22314313m m m --+<⇒<．故ｍ的取值范围是⎛ ⎝⎭．（五）范围（最值）问题例13：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 与x 轴的正半轴交于Ａ，Ｏ是原点，若椭圆上存在一点Ｍ，使0MA OM ⋅=，求椭圆离心率的取值范围．解析：()0A a ，，设()cos sin 02M a b πϕϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，， ∵0MA OM ⋅=， ∴1cos sin cos sin -=⋅-ϕϕϕϕa b a a b ，∴222cos (1cos )cos 1110sin 1cos 1cos 2b a ϕϕϕϕϕϕ-⎛⎫===-∈ ⎪++⎝⎭，．故12e ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．例14：已知Ｂ是椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的上顶点，Ｐ是椭圆上的动点，求BP 的最大值．解析：设()()cos sin 02P a b θθθπ≤≤，，则：()()()2222222222422222222cos sin 1sin sin 2sin sin 2sin sin BP a b b a b b b b a c b b a c c c θθθθθθθθ=+-=-+-+⎛⎫=--++=-++ ⎪⎝⎭ （1）若2201b e c <≤⇔≥时，2MAX a BP c =；（2）若2210b e c >⇔<<时，2MAX BP b =．综上，若22012b e c <≤⇔≥时，2MAX a BP c=；若22102b e c >⇔<<时，2MAX BP b =．（六）直线与椭圆相交问题例15：椭圆的中心是原点O，它的短轴长为，相应于焦点()()00F c c >，的准线l 与x 轴相交于点A ，2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点．（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0OP OQ ⋅=，求直线PQ 的方程；（3）设()1AP AQ λλ=>，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明：FM FQ λ=-．解析：（1）设椭圆的方程为(22221x y a a b+=>，则：222222()a c a c a c c c ⎧-=⎪⇒==⎨=-⎪⎩，故椭圆的方程为22162x y +=，离心率e =．（2）解：(30)A ，，设直线PQ 的方程为(3)y k x =-，1122()()P x y Q x y ，，，，则：222222(3)(31)182760162y k x k x k x k x y =-⎧⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩，∴212(23)0k k ∆=->⇒<< 又 2212122218276.3131k k x x x x k k -+==++，，∵1122(3)(3)y k x y k x =-=-，，∴2212121212(3)(3)[3()9]y y k x x k x x x x =--=-++，∵0OP OQ =，∴12120x x y y +=，∴22121212[3()9]051x x k x x x x k k ⎛+-++=⇒=⇒= ⎝⎭．故直线PQ的方程为30x --=或30x +-=．（3）证明：1122(3,),(3,).AP x y AQ x y =-=-由已知得方程组()12122211222223(3)5111262162x x y yx y x x y λλλλλ-=-⎧⎪=⎪-⎪⇒=>⎨+=⎪⎪+=⎪⎩， ∵11(20)()F M x y -，，，， ∴()11211211(2)(3)1()()22FM x y x y y y λλλλλ--=--=-+-=-=-，，，，， 2221(2)()2FQ x y y λλ-=-=，，， ∴FM FQ λ=-．例16：椭圆E 的中心在原点O ，焦点在x轴上，离心率e =()10C -，的直线l 交椭圆于A 、B 两点，且满足()2CA BC λλ=≥．（1）若λ为常数，试用直线l 的斜率()0k k ≠表示三角形OAB ∆的面积；（2）若λ为常数，当三角形OAB ∆的面积取得最大值时，求椭圆E 的方程．解析：设椭圆方程为：()012222>>=+b a by a x ，∵32==a ce ，222c b a +=，∴223b a =，故椭圆方程为：22233b y x =+．（1）直线)1(+=x k y l ：交椭圆于()()1122A x y B x y ，，，，则：()222222221(31)633033y k x k x k x k b x y b⎧=+⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩， ∴2220(31)0k b b ∆>⇒-+>，且2122631k x x k +=-+；① 221223331k b x x k -=+；②∵BC CA λ=，∴ 121122121(1)(1)(1)x x x y x y y y λλλ+=-+⎧+=---⇒⎨=-⎩，，；③∴121121212221++=+=-=∆x k y y y S OABλλ，由①③知：)13)(1(2122+-=+k x λ，∴)0(13112≠+⋅-+=∆k k k S OAB λλ．（2））（23211113111≥⋅-+≤+⋅-+=∆λλλλλkk S OAB ，当且仅当kk 13=时，即33±=k 时，S 取得最大值．当33±=k 时，代入①②中，得：222)1(13-+=λλb ，故所求为()2222132(1)x y k λλ++=≥-．（七）定点（值）问题例17：已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线10x y +-=相交于A 、B 两点，且满足0OA OB ⋅=（Ｏ为坐标原点）．证明：满足上述条件的椭圆过定点22⎛ ⎝⎭，．解析：设椭圆的方程为：()()()2211222210x y a b A x y B x y a b+=>>，，，，，则：()()()22222222221021010x y a b x a x a b x y a b a b+-=⎧⎪⇒+-+-=⎨+=>>⎪⎩， ∴2201a b ∆>⇒+>，且()2221212222212a b a x x x x a b a b-+==++，，∵0OA OB ⋅=，∴()()121212120110x x y y x x x x +=⇔+--=，∴2222222221a b a b a b ⎝⎭⎝⎭+=⇔+=．故椭圆过定点⎝⎭．（八）综合应用例18：过椭圆()222210x y C a b a b+=>>：的中心的弦ＡＢ与x 轴所夹的锐角为α，将坐标平面沿x轴折成直二面角，求ＡＢ连线与x 轴成角．解析：作BC Ox 交椭圆于Ｃ，则BC 关于y 轴对称，AC 关于x 轴对称；翻折后，2ADC π∠=，据三垂线定理，知：BC AC ⊥，则ＡＢ连线与x 轴成角就等于ABC ∠；∵2cos BC OA α=，sin AC OA α=，∴tan tan 2AC ABC BCα∠==，故ＡＢ连线与x 轴成角为arctan tan 2α⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．四、课后反思．。

高三数学第一轮复习讲义8.1 椭圆全国通用

第八章圆锥曲线
§ 椭圆
例1：若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上点的距离的最小值为3，求椭圆的方程。

例2：已知椭圆3242=12上的点
25=+3422y x 12
222=+b y a x 2a 211162522=+y x 262243131222=+y x 43±23±22±43±a b p 2=b a p 2=c a p 2=c b p 2=322π4π]4,0(π,4π2π,4π2π192522=+y x 2
31121622=+y x 377152
2=+m
y x 510的值为。

5、若M 为椭圆上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1=2α（α≠0），则椭圆的离心离是。

6、已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆左顶点A ，上顶点B ，左焦点F 1到直线AB 的距离为7
7|OB|，求椭圆的离心率。

7、在椭圆92252=225上求一点（1，0），求椭圆方程。

10、已知椭圆C 的长轴两端点为A 、B ，（1）过一焦点F 作垂直于长轴的弦PP ′，证明∠APB ≠120°，（2）若C 上存在一点Q ，且∠AQB=120°，求椭圆C 的离心率的范围。

高中数学 8.1椭圆及其标准方程(第三课时)大纲人教版必修

8.1.3 椭圆及其标准方程（三）●教学目标（一）教学知识点1.轨迹与轨迹方程的区别与联系.2.转移法（代换法）求动点的轨迹方程与椭圆有关问题的解决.（二）能力训练要求1.使学生理解轨迹与轨迹方程的区别与联系.2.使学生掌握转移法（代换法）求动点轨迹方程的方法与椭圆有关问题的解决.(三)德育渗透目标使学生通过寻求量与量之间的关系，进而掌握解决有关问题的方法，学会化生疏为熟悉，理解矛盾转化的必然性.●教学重点转移法求动点的轨迹方程.●教学难点转移法求动点的轨迹方程.●教学方法指导学生自学法通过学生自学的实践，使其感受一类问题的解决方法，教师再予以必要的指导，帮助学生自己获取知识，使学生体验成功的喜悦，增强学生自学的兴趣，提高学生的自学能力.●教具准备投影片三张第一张：P95例3及图8—5（记作8.1.3 A）第二张：本课时之例4（记作8.1.3 B）第三张：本课时教案后面的预习内容及提纲（记作8.1.3 C）●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们学习了椭圆标准方程的求法，以及求满足条件的点的轨迹方程时，若清楚点的轨迹类型该怎么做，请同学们回忆一下，怎样求椭圆的标准方程呢？［生］根据焦点位置，设出标准方程，确定方程中的参数a、b的值，最后写出椭圆的标准方程.［师］好，那么大家再来回忆一下，求满足条件的轨迹时，若清楚轨迹类型，怎样求其方程呢？［生］设出方程，确定方程中的参数a、b，写出其方程.［师］很好，下面我们来看一个例子.（打出投影片8.1.3 A）Ⅱ.讲授新课［师］（读题）［师］这个题目是求点M的轨迹，同学们已经进行了预习，谁来谈一下求点的轨迹与求点的轨迹方程有什么不同？［生］求点的轨迹方程，根据题意求出其方程即可；求点的轨迹，先要根据题意求出点的轨迹方程，还要根据方程指出其是怎样的一种图形.［师］好，以后同学们在做题中一定要注意这个问题.分析指导：这个题是属于不清楚点的轨迹类型的，应该用坐标法求其方程，首先需要建系，但由于题中给出了坐标系，所以就不用再建系了，其次，我们来分析动点 M 的特点：动点M 的运动依赖于P 点的运动，也就是说动点随着另一个点的运动而运动.而另一个点又在有规律的曲线上运动，此时我们就来建立两个动点坐标间的关系，利用另一点在有规律的曲线上运动的这一特点，求出点M 的轨迹方程，下面同学们再来将此题的求解过程看一遍，体会一下做题的思路，并熟悉一下两个动点坐标间的关系是怎样寻求的，有不清楚的地方请指出来，我们共同来讨论.(学生看课本，教师巡视)［师］有什么问题呢？［生］没有.［师］我们把这种求点的轨迹方程的方法称为转移法（代换法）.求动点的轨迹方程时，若动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点的运动又在有规律的曲线上运动，此时，我们可以用转移法求出动点的轨迹方程.另外，从此题也可以看出，将圆按照某个方向均匀地压缩（或伸长）可以得到椭圆.Ⅲ.课堂练习1.从圆x 2+y 2=25上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，且线段PP ′上一点M 满足关系式|PP ′|∶|MP ′|=5∶３，求点M 的轨迹.答案：192522=+y x Ⅳ.继续新课［师］（打出投影片8.1.3 B ，读题）［例4］P 是椭圆1162522=+y x 上一点，F 1、F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30°，求△PF 1F 2的面积.分析指导：先画出草图，根据题意分析.分析综合法是我们解决问题常用的方法，分析法是一种执果索因的推理方法，即从未知找需知并靠拢已知，综合法是一种由因导果的推理方法，即从已知看可知并推向未知，我们用这种方法对本题试做分析：为求△PF 1F 2的面积，可用S =21底×高或S =21ab sin C 等等，把F 1F 2看作底，底的长度是可求的，那么P 到直线F 1F 2的距离即底边F 1F 2上的高如何求呢？这样行不通！若要知道PF 1、PF 2的长把PF 2看作底，PF 2上的高却需求，因为∠F 1PF 2=30°，那么能否求出PF 1、PF 2的长呢？再从已知出发考虑：|PF 1|+|PF 2|可求.那么知道两条线段的和能求出这两条线段的长吗？显然还不行！从已知我们不难知道|PF 1|+|PF 2|，还可知道|F 1F 2|以及∠F 1PF 2，据此我们利用余弦定理可求出|PF 1|与|PF 2|的积，有了这个积，又知道∠F 1PF 2的大小，由公式S =21ab sin C 即可求出△PF 1F 2的面积，至此，问题获解，下面请同学们完成此题的表述过程.（学生解答，请一位同学在黑板上板书，之后教师评讲，并且强调这种分析问题的方法） Ⅴ.课时小结本节课我们学习了用转移法求切点轨迹方程的一种方法，同学们一定要清楚转移法是在动点的运动随着另一个点的运动而运动，而另一个点又在有规律的曲线上运动，这种情况下才能应用的，运用这种方法解题的关键是寻求两动点的坐标间的关系；另外我们还讨论了一个与椭圆有关的问题，目的在于给大家提供一种解决问题的思路即从已知看可知并推向未知与从未知找需知并靠拢已知的这种思维方法，它对于解决综合问题不失为一种寻求思路的行之有效的好办法.Ⅵ.课后作业（一）1.课本P96练习4，2.P96习题8.1 7.（二）1.预习内容：椭圆的简单几何性质.（P97～98例1结束）2.预习提纲：（1）研究曲线的几何意义是什么？（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的x,y取值范围是什么？其图形位置是怎样的？（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？a、b、c的几何意义各是什么？（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？（6）画椭圆草图的方法是怎样的？●板书设计。

高三一轮数学理复习椭圆讲课文档

二椭圆的几何性质及应用【例 2】如图，已知 F1，F2 是椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、
右焦点，A，B 是椭圆的长轴端点和短轴端点．若△OF2B 的面积是△F2AB 面积的 2＋1 倍(O 为坐标原点)．
(1)求椭圆的离心率； (2)设 Q 是椭圆上一点，当 QF2⊥AB 时，延长 QF2 交椭圆于另一点 P，若△F1PQ 的面积为 20 3，求椭圆的方程．
直线 PF1，PF2 都与以 Q 为圆心的一个圆相切？如存在，求出 P 点坐标及圆的方程；如不存在，请说明理由．
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解析：(1)由题可知：ac＝
2 2
a＝2 2
c＝2 ，解得a＝2 2 ，
所以 b2＝a2－c2＝4⇒b＝2，
高三一轮数学理复习椭圆
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第57讲椭圆
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1．椭圆2x52 ＋y92＝1 上一点 P 到一个焦点 F1 的距离为 4，
则点 P 到另一个焦点 F2 的距离为( A )
A．6
B．2
C．4
D．3
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(方法二)依题意，设椭圆 E 的方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞ 0)，因为点 C(1，32)在椭圆 E 上，
所以 2a＝|CF1|＋|CF2|＝4，即 a＝2. 由已知半焦距 c＝1，所以 b2＝a2－c2＝3. 所以椭圆 E 的方程为x42＋y32＝1.
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高中数学 8.1椭圆及其标准方程(第二课时)大纲人教版必修

椭圆及其标准方程〔二〕●教学目标〔一〕教学知识点1.求椭圆的标准方程.2.求符合某种条件的点的轨迹方程.〔二〕能力训练要求1.使学生掌握确定椭圆标准方程中的参数a 、b 的方法.2.使学生在坐标法的基础上掌握点的轨迹条件满足某曲线的定义时，用待定系数法求其方程.〔三〕德育渗透目标使学生通过求曲线的方程，学会分析问题，从具体问题中寻求关系建立数学模型，为解决问题的能力提高奠定基础.●教学重点求椭圆的方程.●教学难点待定系数法的应用.●教学方法指导学生自学法这部分内容，在学生准确掌握了定义，标准方程，思考过上节课后预习提纲中的问题的基础上，教师再帮助学生排除障碍后学生完全可以自学掌握，通过这种自学过程，逐步提高学生的自学能力.●教具准备投影片三X第一X ：P 93例1〔记作§8.1.2 A 〕第二X ：P 94例2〔记作§8.1.2 B 〕第三X ：本课时教案后面的预习内容及预习提纲.〔记作§8.1.2 C 〕●教学过程Ⅰ.课题导入［师］上节课我们学习了椭圆的定义，请同学们回忆一下，椭圆是怎样定义的? ［生］平面内与两个定点 F 1、F 2的距离和等于常数〔大于|F 1F 2|〕的点的轨迹叫做椭圆. ［师］这两个定点叫做椭圆的〔教师拉长语气，等待学生作答〕［生］焦点［师］两个焦点的距离叫做椭圆的——［生］焦距［师］椭圆的标准方程是怎样的？它的图形有什么特点？［生］)0(1),0(122222222>>=+>>=+b a bx a y b a b y a x 〔教师板书，学生作答〕［生］方程所表示的椭圆，其对称轴合于坐标轴.［师］参数a 、b 、c 的关系是怎样的？［生］c 2=a 2-b 2［师］关系式中的三个数都是正数，知道两个可求出第三个，要注意关系式的活用.［师］现在我们来求椭圆的标准方程，还需要用坐标法吗？［生］不需要.［师］那怎样求呢？［生］设标准方程，确定a、b的值.［师］怎样确定呢？［生］根据题设条件及c2=a2-b2确定［师］好，下面我们来看几个例子.Ⅱ.讲授新课［师］〔打出投影片8.1.2 A，读题〕分析指导：请看题中给了我们什么信息？这些信息有什么作用？又怎样应用这些信息呢？一般地，数学题中不会有干扰信息〔或无用信息〕如果题目做完了，还有余下的信息〔或条件〕没有被用，那么，这题做得一般是错误的.对于①小题，实质上是给了我们焦距及动点到两个定点的距离和.对于②小题，为了解决问题，同样我们需要知道a、b、c中三者中的两个，题中告诉了我们2c〔焦距〕，未明确告给我们2a,但告诉我们椭圆上一个点的坐标，因为椭圆是动点与两个定点的距离和为常数的点的轨迹，就是说椭圆上任意一个点与给定的两个点的距离和是定值，因为这个点既然在椭圆上，那么它与两个定点的距离和就是2a，这样问题得以解决.［师］下面请同学们看课本，进一步熟悉此题的求解过程，并思考求椭圆的标准方程的关键是什么？怎样表述？〔给学生留出一些时间看书并讨论这两个问题〕［师］好，同学们看了解题过程并进行了讨论，那么谁来谈一下，求椭圆标准方程的方法和步骤.［生］首先，根据题意设出标准方程，其次根据条件确定a、b的值，第三写出椭圆的标准方程.［师］既然是求标准方程，那么设出标准方程不就行了吗？为什么还要根据题意设出标准方程呢？［生］椭圆的标准方程有两种形式，焦点位置不同，其标准方程形式也不一样，根据题意设出标准方程，其实质就是根据焦点的位置，设出标准方程.［师］如果题中未告诉焦点的位置，应该如何去设标准方程呢？［生］如果题中未告诉焦点的位置，那么要根据题意判断能否确定椭圆的焦点位置，假设能，那么设出相应的标准方程即可，假设不能，那么椭圆的焦点既可能在x轴上，也可能在y轴上，这种情况下，椭圆的标准方程就有两种形式，哪一种也不能丢.［师］很好，下面我们再来看一个例子.〔打出投影片8.1.2 B，请一名同学读题〕分析指导：这是一道求动点的轨迹方程的题目，一般地，要用坐标法“三步曲〞：建系、设点；写出代数关系式；化简，但据题意给出的信息，由于△ABC的周长等于16，|BC|=6，可知点A到B、C两点的距离和是常数10，即|AB+BC|=16-6=10，因此点A的轨迹是以B、C 为焦点的椭圆，据此可建立适当的坐标系，求出椭圆的标准方程，所谓“适当〞是指：求出的方程形式结构简单明了，既然我们清楚了轨迹类型，建系之后，就没有必要再用坐标法求动点轨迹方程了，尽可设出方程再依据题设条件确定方程中待定的系数a、b就行了，下面请同学们自己看课本.(给学生几分钟时间，让他们看课本)［师］题解过程中，BC、AB、AC的长度都加了绝对值号，这是不是必要的，为什么？［生］完全有必要，因为解析几何中的线段都是有向线段，表示其长度必须加绝对值号.注意①：解析几何中表示线段长度或两点间距离时，必须在字母的两边加绝对值号. 〔教师板书：注意①〕［师］在求出的方程后面附加了一个条件y ≠0，不附加此条件不行吗？［生］不行，没有此条件，点A 的纵坐标就可以是0，点A 的纵坐标为0时，A 、B 、C 三点就在一条直线上了，不能构成三角形.因此，求出方程之后，要注意须附加y ≠0这个条件.［师］很好，请同学们注意求出曲线的方程之后，要检查一下方程曲线上的点是否都符合题意，如果有不合题意的点，就在所得方程后注明限制条件.〔教师板书，注意②〕［师］再一点，由此题可以看出求满足条件的点的轨迹方程时，假设清楚轨迹类型时可设出其方程，确定方程中参数即可；假设不清楚轨迹类型，再用坐标法.〔教师板书：注意③〕［师］下面，我们来做几个练习题.Ⅲ.课堂练习P 96练习2，32.如果椭圆上13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，那么点P 到另一个焦点F 2的距离是.答案：143.写出适合以下条件的椭圆的标准方程：(1)a =4,b =1，焦点在x 轴上.(2)a =4,c =5，焦点在y 轴上.(3)a +b =10,c =25答案：〔1〕11622=+y x (2)11622=+x y (3)11636116362222=+=+x y y x 或 Ⅳ.课时小结本节课我们讨论学习了求椭圆标准方程的方法，应该注意，求出曲线的方程之后，要验证方程的曲线上的点是否都符合题意，如有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件.另外，求满足条件的点的轨迹方程时，假设不清楚轨迹类型用坐标法，假设清楚轨迹类型那么建立适当的坐标系设出其方程再确定方程中的参数即可.Ⅴ.课后作业〔一〕课本P 96习题8 1、2、3、4、5〔二〕1.预习内容：课本P 95例32.预习提纲：〔1〕点的轨迹方程与点的轨迹有什么不同？〔2〕求满足条件的点的轨迹时需要先干什么？〔3〕点M的轨迹类型清楚吗？此题是如何求点M的轨迹方程的？。

高三数学一轮复习椭圆知识点总结

高三数学一轮复习椭圆部分知识点总结一、定义平面内到两定点1F 、2F 的距离之和等于常数2a （122a F F >）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距()122F F c =.（1）()222210x y a b a b+=>>中,a x a b y b -≤≤-≤≤.（2）()222210y x a b a b+=>>中,b x b a y a -≤≤-≤≤.2.对称性()222210x y a b a b +=>>和()222210y x a b a b+=>>都关于x 轴对称、y 轴对称、原点对称.其中原点也成为椭圆的对称中心.3.顶点椭圆()222210x y a b a b+=>>中，顶点为长轴的左右端点()1,0A a -、()2,0A a 和短轴的两个端点()10,B b -和()20,B b .其中12A A 叫做椭圆的长轴、12B B 叫做椭圆的短轴.椭圆的长轴长为2a ，短轴长为2b .4.离心率椭圆的离心率c e a=,01e <<.并且0e →时椭圆越圆，1e →时椭圆越扁.圆的离心率0e =.（3）椭圆焦点三角形中，利用椭圆定义和余弦定理求12PF PF ⋅，进而求焦点三角形的面积.六、.椭圆第二定义（课外知识补充）平面内到定点距离与定直线距离比值等于常数()01e e <<的点的轨迹为椭圆.其中定点为椭圆的一个焦点，定直线为椭圆的一条准线，常数e 为椭圆的离心率.由椭圆第二定义可推出以下结论：（1）椭圆上的点到焦点的距离的最大值为a c +，最小值为a c -（在长轴端点处取得）.（2）椭圆上的点到原点距离的最大值为a ，最小值为b （在长轴与短轴端点处取得）.（3）椭圆短轴的一个端点与长轴的两端点所成角，是椭圆上所有点与长轴两端点所成角中的最大角.（4）椭圆短轴的一个端点与椭圆两焦点所成角，是椭圆上所有点与两焦点所成角中的最大角.七、.直线与椭圆位置关系的常规解决方法联立直线与椭圆方程构成的方程组，消元化简，然后利用韦达定理解决相关问题.八、弦长公式.1212线有两焦点，否则此等式无意义.2.联立方程组法通过联立直线与椭圆（双曲线）的方程组得到一元二次方程后，利用韦达定理（即根与系数关系）求解。

高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：椭圆

第五节椭圆[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．椭圆的定义(1)满足以下条件的点的轨迹是椭圆①在平面内；②与两个定点F1、F2的距离之和等于常数；③常数大于|F1F2|.(2)焦点：两定点．(3)焦距：两焦点间的距离．[探究] 1.在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，则动点的轨迹如何？提示：当2a＝|F1F2|时动点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点的轨迹是不存在的．2．椭圆的标准方程和几何性质[探究] 2.椭圆离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？提示：离心率e ＝ca 越接近1，a 与c 就越接近，从而b ＝a 2－c 2就越小，椭圆就越扁平；同理离心率越接近0，椭圆就越接近于圆．[自测·牛刀小试]1．椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选D ∵a 2＝16，b 2＝8，∴c 2＝8，∴e ＝c a ＝22.2．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B 中，若有两边之和是10，则第三边的长度为( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为( ) A.14 B.12 C ．2D ．4解析：选A 由题意知a 2＝1m ，b 2＝1，且a ＝2b ，则1m ＝4，得m ＝14.4．若椭圆x 216＋y 2m 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )A ．2 3B ．2 5C ．4 3D ．4 5解析：选C 把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m 2＝4，所以c 2＝16－4＝12，所以c ＝23，故焦距为2c ＝4 3.5．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为________．解析：由题意知|OM |＝12|PF 2|＝3，则|PF 2|＝6.故|PF 1|＝2×5－6＝4.答案：4[例1] (1)已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 是周长是( )A ．23B ．6C ．4 3D ．12(2)(2012·山东高考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1 B.x 212＋y 26＝1 C.x 216＋y 24＝1 D.x 220＋y 25＝1 [自主解答] (1)根据椭圆定义，△ABC 的周长等于椭圆长轴长的2倍，即4 3. (2)由离心率为32得，a 2＝4b 2，排除选项B ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，与椭圆的四交点组成的四边形的面积为16可得在第一象限的交点坐标为(2,2)，代入选项A 、C 、D ，知选项D 正确．[答案] (1)C (2)D ——————————————————— 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)；(3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 或m 、n 的方程组； (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.注意：用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量”，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0).1．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到椭圆的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为______________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，根据椭圆定义2a ＝12，即a ＝6，又c a ＝32，得c ＝33，故b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9，故所求椭圆方程为x 236＋y 29＝1.答案：x 236＋y 29＝12．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.解析：设椭圆的焦点坐标为(±c,0)根据椭圆定义和△PF 1F 2是一个面积等于9的直角三角形，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ， ①|PF 1|·|PF 2|＝18， ②|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2. ③①式两端平方并把②、③两式代入可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，即b 2＝9，故b ＝3. 答案：3[例2] (2012·安徽高考)如图，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值．[自主解答] (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)法一：a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c )．将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c .所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.法二：设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t . 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得， t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.———————————————————椭圆离心率的求法求椭圆的离心率(或范围)时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式(或不等式)，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围．3．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两顶点为A (a,0)，B (0，b )，且左焦点为F ，△F AB 是以角B 为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e 为( )A.3－12B.5－12 C.1＋54D.3＋14解析：选B 根据已知a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2，即c 2＋ac －a 2＝0，即e 2＋e －1＝0，解得e ＝－1±52，故所求的椭圆的离心率为5－12.4．椭圆x 2a 2＋y 25＝1(a 为定值，且a >5)的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A ，B ，△F AB 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是________．解析：设椭圆右焦点为F ′，由图及椭圆定义知，|AF |＋|AF ′|＝|BF |＋|BF ′|＝2a .又△F AB 的周长为|AF |＋|BF |＋|AB |≤|AF |＋|BF |＋|AF ′|＋|BF ′|＝4a ，当且仅当AB 过右焦点F ′时等号成立，此时4a ＝12，则a ＝3，故椭圆方程为x 29＋y 25＝1, 所以c ＝2，所以e ＝c a ＝23.答案：23[例3] 如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10.不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(1)求椭圆C 的方程；(2)求△ABP 面积取最大值时直线l 的方程．[自主解答] (1)设椭圆左焦点为F (－c,0)，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2＋c )2＋1＝10，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2. 所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M .当直线AB 与x 轴垂直时，直线AB 的方程为x ＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12消去y ，整理得 (3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，① 则Δ＝64k 2m 2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2.所以线段AB 的中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 3＋4k 2，3m3＋4k 2.因为M 在直线OP ：y ＝12x 上，所以3m3＋4k 2＝－2km 3＋4k 2. 得m ＝0(舍去)或k ＝－32.此时方程①为3x 2－3mx ＋m 2－3＝0，则 Δ＝3(12－m 2)＞0，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝m 2－33.所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝396·12－m 2. 设点P 到直线AB 距离为d ，则 d ＝|8－2m |32＋22＝2|m －4|13.设△ABP 的面积为S ，则S ＝12|AB |·d ＝36·(m －4)2(12－m 2). 其中m ∈(－23，0)∪(0,23)．令u (m )＝(12－m 2)(m －4)2，m ∈[－23，2 3 ]， u ′(m )＝－4(m －4)(m 2－2m －6) ＝－4(m －4)(m －1－7)(m －1＋7)．所以当且仅当m ＝1－7时，u (m )取到最大值．故当且仅当m ＝1－7时，S 取到最大值．综上，所求直线l 方程为3x ＋2y ＋27－2＝0.———————————————————直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法5．(2013·洛阳模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，短轴的一个端点为M (0,1)，直线l ：y ＝kx －13与椭圆相交于不同的两点A ，B .(1)若|AB |＝4269，求k 的值； (2)求证：不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M . 解：(1)∵由题意知c a ＝22，b ＝1.由a 2＝b 2＋c 2可得c ＝b ＝1，a ＝2， ∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.由⎩⎨⎧y ＝kx －13，x22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－43kx －169＝0.Δ＝169k 2－4(2k 2＋1)×⎝⎛⎫－169＝16k 2＋649>0恒成立．设A (x 1，y 1)，B (x 2，x 2)，则x 1＋x 2＝4k 3(2k 2＋1)，x 1x 2＝－169(2k 2＋1)， ∴|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1＋k 2)(9k 2＋4)3(2k 2＋1)＝4269，化简得23k 4－13k 2－10＝0，即(k 2－1)(23k 2＋10)＝0，解得k ＝±1.(2)证明：∵MA ＝(x 1，y 1－1)，MB ＝(x 2，y 2－1)，∴MA ·MB ＝x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－43k (x 1＋x 2)＋169＝－16(1＋k 2)9(2k 2＋1)－16k 29(2k 2＋1)＋169 ＝0.∴不论k 取何值，以AB 为直径的圆恒过点M .1个规律——椭圆焦点位置与x 2、y 2系数之间的关系给出椭圆方程x 2m ＋y 2n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m >n >0；椭圆的焦点在y 轴上⇔0<m <n .1种思想——数形结合思想在椭圆几何性质中的运用求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．2种方法——求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a 2，b 2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程．(2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x 轴还是y 轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a 、b 、c 的方程组，解出a 2、b 2，从而写出椭圆的标准方程．3种技巧——与椭圆性质、方程相关的三种技巧(1)椭圆上任意一点M 到焦点F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a ＋c ，最小距离为a －c .(2)求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0<e <1)．(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴.答题模板——直线与圆锥曲线的位置关系[典例] (2012北京高考·满分14分)已知曲线C ：(5－m )x 2＋(m －2)y 2＝8(m ∈R )．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．[快速规范审题]第(1)问1．审条件，挖解题信息观察条件：方程的曲线是焦点在x 轴上的椭圆―――――――――→椭圆的标准方程x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)． 2．审结论，明确解题方向观察所求结论：求m 的范围―→需建立关于m 的不等式． 3．建联系，找解题突破口由椭圆的标准方程―→――――――→确定a 2，b 2a 2＝85－m ，b 2＝8m －2―――――――→建立关于m 的不等式5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2解不等式组,得m 的取值范围．第(2)问1．审条件，挖解题信息观察条件：m ＝4；曲线C 与y 轴交于A ，B 与直线y ＝kx ＋4交于M ，N ；直线y ＝1与直线BM 交于G ―――――――――――→把m ＝4代入曲线C 的方程并令x ＝0，得A 、B 的坐标曲线C 的方程x 2＋2y 2＝8，A (0,2)，B (0，－2)． 2．审结论，明确解题方向观察所证结论：证明A ，G ，N 三点共线―――――――→利用斜率转化证明k AN ＝k AG . 3．建联系，找解题突破口联立方程y ＝kx ＋4与x 2＋2y 2＝8，消元――――――→利用根与系数的关系确定M ，N 的坐标满足的条件―――――――――→写出BM 的方程并令y ＝1写出G 的坐标――――――――――→写出k AN ，k AG的表达式证明k AN －k AG ＝0. [准确规范答题](1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＞0，m －2＞0，85－m ＞8m －2，⇨(3分)解得72＜m ＜5，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫72，5.⇨(4分) (2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0,2)，(0，－2)．⇨(5分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋4，x 2＋2y 2＝8，得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0.⇨(6分) 因为直线与曲线C 交于不同的两点，所以Δ＝(16k )2－4(1＋2k 2)×24＞0，即k 2＞32.⇨(7分)设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4， x 1＋x 2＝－16k 1＋2k 2，x 1x 2＝241＋2k 2.⇨(8分) 直线BM 的方程为y ＋2＝y 1＋2x 1x ，点G 的坐标为⎝⎛⎭⎫3x 1y 1＋2，1.⇨(9分)因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝y 2－2x 2，k AG ＝－y 1＋23x 1，⇨(11分) 所以k AN －k AG ＝y 2－2x 2＋y 1＋23x 1＝kx 2＋2x 2＋kx 1＋63x 1＝43k ＋2(x 1＋x 2)x 1x 2＝43k ＋2×－16k1＋2k 2241＋2k 2＝0. 即k AN ＝k AG .⇨(13分)故A ，G ，N 三点共线．⇨(14分)[答题模板速成]解直线与圆锥曲线位置关系的一般步骤：⇒一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2012·上海高考)对于常数m ，n ，“mn >0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为当m <0，n <0时，方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线不是椭圆，但当方程mx 2＋ny 2＝1表示的曲线是椭圆时，m >0，n >0，mn >0.2．已知椭圆：x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．8C ．4或8D ．以上均不对解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧10－m >0，m －2>0，得2<m <10，由题意知(10－m )－(m －2)＝4或(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.3．矩形ABCD 中，|AB |＝4，|BC |＝3，则以A ，B 为焦点，且过C ，D 两点的椭圆的短轴的长为( )A ．2 3B ．2 6C ．4 2D ．4 3解析：选D 依题意得|AC |＝5，所以椭圆的焦距为2c ＝|AB |＝4，长轴长2a ＝|AC |＋|BC |＝8，所以短轴长为2b ＝2a 2－c 2＝216－4＝4 3.4．(2013·汕尾模拟)已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．5B ．7C ．13D ．15解析：选B 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7.5．以椭圆上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．相离D ．无法确定解析：选A 如图，设线段是PF 1，O 1是线段PF 1的中点，连接O 1O ，PF 2，其中O 是椭圆的中心，F 2是椭圆的另一个焦点，则在△PF 1F 2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是|OO 1|＝12|PF 2|＝12(2a －|PF 1|)＝a －12|PF 1|＝R －r .6．(2012·新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：选C 根据题意直线PF 2的倾斜角是π3，所以32a －c ＝12|PF 2|＝12|F 1F 2|＝12×2c ，解得e ＝34.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与曲线x 2＋y 2＝a 2－b 2恒有公共点，则椭圆的离心率e 的取值范围是__________．解析：由题意知，以半焦距c 为半径的圆与椭圆有公共点，故b ≤c ，所以b 2≤c 2，即a 2≤2c 2，所以22≤c a .又c a <1，所以22≤e <1. 答案：⎣⎡⎭⎫22，18．(2012·江西高考)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________．解析：依题意得|F 1F 2|2＝|AF 1|·|BF 1|，即4c 2＝(a －c )·(a ＋c )＝a 2－c 2，整理得5c 2＝a 2，得e ＝c a ＝55.答案：559．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.过右焦点F 且斜率为k (k >0)的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点．若AF ＝3FB ，则k ＝________.解析：根据已知c a ＝32，可得a 2＝43c 2，则b 2＝13c 2，故椭圆方程为3x 24c 2＋3y 2c 2＝1，即3x 2＋12y 2－4c 2＝0.设直线的方程为x ＝my ＋c ，代入椭圆方程得(3m 2＋12)y 2＋6mcy －c 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据AF ＝3FB ，得(c －x 1，－y 1)＝3(x 2－c ，y 2)，由此得－y 1＝3y 2，根据韦达定理y 1＋y 2＝－2cm m 2＋4，y 1y 2＝－c 23(m 2＋4)，把－y 1＝3y 2代入得，y 2＝cm m 2＋4，－3y 22＝－c 23(m 2＋4)，故9m 2＝m 2＋4，故m 2＝12，从而k 2＝2，k ＝±2. 又k >0，故k ＝ 2. 答案： 2三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为453和253，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．解：设两焦点为F 1，F 2，且|PF 1|＝453，|PF 2|＝253. 由椭圆定义知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，即a ＝ 5. 由|PF 1|>|PF 2|知，|PF 2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt △PF 2F 1中，sin ∠PF 1F 2＝|PF 2||PF 1|＝12.可求出∠PF 1F 2＝π6，2c ＝|PF 1|·cos π6＝253，从而b 2＝a 2－c 2＝103.所以所求椭圆方程为x 25＋3y 210＝1或3x 210＋y 25＝1.11．已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)．(1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解：(1)由已知得c ＝22，c a ＝63，解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4.所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.① 设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4.因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0.解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2.所以|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.12．(2012·重庆高考)如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左、右焦点分别为F 1，F 2，线段OF 1，OF 2的中点分别为B 1，B 2，且△AB 1B 2是面积为4的直角三角形．(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B 1作直线l 交椭圆于P ，Q 两点，使PB 2⊥QB 2，求直线l 的方程．解：(1)如图，设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F 2(c,0)．因△AB 1B 2是直角三角形，又|AB 1|＝|AB 2|，故∠B 1AB 2为直角，因此|OA |＝|OB 2|，得b ＝c2.结合c 2＝a 2－b 2得4b 2＝a 2－b 2，故a 2＝5b 2， c 2＝4b 2，所以离心率e ＝c a ＝25 5.在Rt △AB 1B 2中，OA ⊥B 1B 2，故S △AB 1B 2＝12·|B 1B 2|·|OA |＝|OB 2|·|OA |＝c2·b ＝b 2.由题设条件S △AB 1B 2＝4，得b 2＝4，从而a 2＝5b 2＝20. 因此所求椭圆的标准方程为x 220＋y 24＝1.(2)由(1)知B 1(－2,0)，B 2(2,0)．由题意知直线l 的倾斜角不为0，故可设直线l 的方程为x ＝my －2.代入椭圆方程得(m 2＋5)y 2－4my －16＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上面方程的两根，因此y 1＋y 2＝4m m 2＋5，y 1·y 2＝－16m 2＋5，又2B P＝(x 1－2，y 1)，2B Q＝(x 2－2，y 2)，所以2B P ·2B Q＝(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝(my 1－4)(my 2－4)＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2－4m (y 1＋y 2)＋16 ＝－16(m 2＋1)m 2＋5－16m 2m 2＋5＋16＝－16m 2－64m 2＋5，由PB 2⊥QB 2，得2B P ·2B Q ＝0，即16m 2－64＝0，解得m ＝±2.所以满足条件的直线有两条，其方程分别为x ＋2y ＋2＝0和x －2y ＋2＝0.1．设e 1，e 2分别为具有公共焦点F 1与F 2的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足PF 1·PF 2＝0，则e 21＋e 22(e 1e 2)2的值为________．解析：设椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，|F 1F 2|＝2c ，由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝2a 1，||PF 1|－|PF 2||＝2a 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝2a 21＋2a 22.又∵PF 1·PF 2＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，即2a 21＋2a 22＝4c 2. ∴⎝⎛⎫a 1c 2＋⎝⎛⎭⎫a 2c 2＝2，即1e 21＋1e 22＝2，即e 21＋e 22(e 1e 2)2＝2. 答案：22．已知F 1，F 2为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0<b <10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．解析：(1)由题意得|PF 1|＋|PF 2|＝20，则|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100，当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时，等号成立，故(|PF 1|·|PF 2|)max ＝100.(2)因为S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，所以|PF 1|·|PF 2|＝2563.① 又⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2＝400，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，所以3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6，则b ＝a 2－c 2＝8.3．已知平面内曲线C 上的动点到定点(2，0)和定直线x ＝22的比等于22. (1)求该曲线C 的方程；(2)设动点P 满足OP ＝OM ＋2ON ，其中M ，N 是曲线C 上的点．直线OM 与ON 斜率之积为－12.问：是否存在两个定点F 1，F 2，使得|PF 1|＋|PF 2|为定值？若存在，求F 1，F 2的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)设曲线C 上动点的坐标为(x ，y )，根据已知得(x －2)2＋y 2|x －22|＝22，化简整理得x 24＋y 22＝1，即为曲线C 的方程． (2)设P (x ，y )，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由OP ＝OM ＋2ON 得(x ，y )＝(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)，即x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2，因为点M ，N 在椭圆x 24＋y 22＝1上，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，故x 2＋2y 2＝(x 21＋4x 22＋4x 1x 2)＋2(y 21＋4y 22＋4y 1y 2) ＝(x 21＋2y 21)＋4(x 22＋2y 22)＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)＝20＋4(x 1x 2＋2y 1y 2)．设k OM ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，由题意知， k OM ·k ON ＝y 1y 2x 1x 2＝－12，因此x 1x 2＋2y 1y 2＝0，所以x 2＋2y 2＝20，所以P 点是椭圆x 2(25)2＋y 2(10)2＝1上的点，设该椭圆的左、右焦点为F 1、F 2，则由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|为定值，又因为c ＝ (25)2－(10)2＝10，因此两焦点的坐标分别为F 1(－10，0)、F 2(10，0)．。

高三数学第一轮的复习讲义

高三数学第一轮的复习讲义一.复习目标：1.了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率;2.会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率.二.知识要点：1.相互独立事件的概念： .2.是相互独立事件，则 .3.次试验中某事件发生的概率是，则次独立重复试验中恰好发生次的概率是 .三.课前预习：1.下列各对事件 (1)运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环”， (2)甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环”， (3)甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”， (4)甲、乙二运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有 (1)，(3) .相互独立事件的有 (2) .2.某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第次击中目标的概率是;②他恰好击中目标次的概率是; ③他至少击中目标次的概率是，其中正确结论的序号①③ .3.件产品中有件次品，从中连续取两次，(1)取后不放回，(2)取后放回，则两次都取合格品的概率分别是、.4.三个互相认识的人乘同一列火车，火车有节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是 ( )5.口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套只，白色手套只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是 ( )甲多乙多一样多不确定四.例题分析：例1.某地区有个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电(选哪一天是等可能的)，假定工厂之间的选择互不影响.(1)求个工厂均选择星期日停电的概率;(2)求至少有两个工厂选择同一天停电的概率. 解：设个工厂均选择星期日停电的事件为.则.(2)设个工厂选择停电的时间各不相同的事件为.则，至少有两个工厂选择同一天停电的事件为，. 小结：个工厂均选择星期日停电可看作个相互独立事件.例2.某厂生产的产品按每盒件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂.质检办法规定：从每盒件产品中任抽件进行检验，若次品数不超过件，就认为该盒产品合格;否则，就认为该盒产品不合格.已知某盒产品中有件次品.(1)求该盒产品被检验合格的概率;(2)若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率.解: (1)从该盒件产品中任抽件，有等可能的结果数为种，其中次品数不超过件有种，被检验认为是合格的概率为.(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为答：该盒产品被检验认为是合格的概率为;两次检验得出的结果不一致的概率为.例3.假定在张票中有张奖票()，个人依次从中各抽一张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，(1)分别求第一，第二个抽票者抽到奖票的概率，(2)求第一，第二个抽票者都抽到奖票的概率.解：记事件：第一个抽票者抽到奖票，记事件：第一个抽票者抽到奖票，则(1)，，(2)小结：因为≠，故A与B是不独立的.例 4. 将一枚骰子任意的抛掷次，问点出现(即点的面向上)多少次的概率最大?解：设为次抛掷中点出现次的概率，则，∴，∵由，得，即当时，，单调递增，当时，，单调递减，从而最大.五.课后作业：1.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数的正方体玩具)先后抛掷次，至少出现一次点向上的概率是 ( )2.已知盒中装有只螺口与只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第次才取得卡口灯炮的`概率为： ( )3.一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是 ;4.甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.求该题被乙独立解出的概率。

椭圆课件-2025届高三数学一轮基础专项复习

2.［链接苏教选必一P88—P89知识］椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对称，若，且椭圆的离心率为，则椭圆的方程为( )
A
A. B. C. D.
【解析】由题意知,,关于原点对称,所以,得,又椭圆的离心率为,所以 ,得,故椭圆的方程为 ,选A.
解后反思若椭圆的左、右焦点分别为,,,两点在椭圆上,且关于坐标原点对称,则,,, 四点所构成的四边形为平行四边形,若或四边形有一个内角为 ,则该四边形为矩形.
10.［人A选必一P115习题3.1第4题变式］求满足下列条件的椭圆的标准方程.
（1）长半轴长为4，半焦距为，焦点在轴上；
【答案】设椭圆方程为,（注意焦点在轴上）由题意得,,,所以 ,所以其标准方程为 .
（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点；
【答案】易知椭圆的焦点坐标为 ,设所求椭圆方程为,则 ,因为椭圆过点,所以,即 ,所以,所以所求椭圆的标准方程为 .
教材知识萃取
方法技巧利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）将所求范围用，，表示，利用，，自身的范围、关系求范围.
教材素材变式
1.［多选］［苏教选必一P93习题3.1(2)第13题变式］如图所示,一个底面半径为的圆柱被与其底面成角的平面所截，截面是一个椭圆，则( )
3.［人B选必一P141练习A第4题变式］已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点，且是顶角为的等腰三角形，则该椭圆的离心率为( )
C
A. B. C. D.
【解析】如图,设直线与轴的交点为,由是顶角为的等腰三角形,知, ,则在中, .又,所以.结合得,即 ,解得或（舍去）.故选C.