有理数的意义典型例题讲解
有理数的意义-知识讲解
有理数的意义
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、
1
2
+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、
1
2
-、－584等
在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数
1．若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）．
A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km 【答案】D
【解析】“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10 km，所以答案D
【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.
有理数知识点归纳及典型例题
一、【正负数】 有理数的分类：★☆▲
_____________统称整数，试举例说明。
_____________统称分数，试举例说明。 ____________统称有理数。 [基础练习] 1☆把下列各数填在相应额大括号内： 1，－，-789，25，0，-20，，-590，6/7 ·正整数集｛ …｝；·正有理数集｛ …｝；·负有理数集｛ …｝ ·负整数集｛ …｝；·自然数集｛ …｝；·正分数集｛ …｝ ·负分数集｛ …｝
2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则元的意义 是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。
二、【数轴】 规定了 、 、 的直线，叫数轴
[基础练习]
1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。
4，-|-2|， ， 1， 0
3下列语句中正确的是（ ）
Ａ数轴上的点只能表示整数 Ｂ数轴上的点只能表示分数
Ｃ数轴上的点只能表示有理数 Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来
4、★ ①比－3大的负整数是_______； ②已知ｍ是整数且-4
5、★★在数轴上点A 表示-4,如果把原点O 向负方向移动1个单位,那么在新数轴上点A 表示的数是( ) ，
三、【相反数】的概念
像2和-2、-5和5、和这样，只有 不同的两个数叫做互为相反数。 0的相反数是 。一般地：若a 为任一有理数，则a 的相反数为-a 相反数的相关性质： 1、相反数的几何意义：
表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O 的两边，并且到原点的距离相等。 2、互为相反数的两个数，和为0。 [基础练习]
有理数的意义-知识讲解
有理数的意义（知识讲解）
【课程目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【重点梳理】
KP1：正数与负数
像+3、+1.5、12
+
、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、-1.5、12-、-584等在正数前面加“-”号的数，叫做负数． 注意：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、
上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．
KP2：有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类 （2）按正数、负数与0的关系分类
有理数{ 整数{正整数0负整数分数{正分数负分数 有理数{
正有理数{正整数
负分数
0负有理数{负整数负分数 注意：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2） 分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数， 但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数
例1．若把向北走7km 记为－7km ，则＋10km 表示的含义是（ ）．
A ．向北走10km
B ．向西走10km
C ．向东走10km
D ．向南走10km
【答案】D
【解析】正和负相对，-7km 表示向北走7km ，则+10km 表示向南走10km ，所以答案D.
有理数典型例题
有理数
典型例题
例1如果向东走8千米记作＋8千米，向西走5千米记作－5千米，那么下列各数分别表示什么？
（1）＋4千米；（2）千米；（3）0千米
说明：（1）用正数和负数可以表示意义相反的量．（2）正数前面可以加上“＋”号，一般地，正数前面的“＋”号可省略不写，但有时为了强调，习惯上在正数前面要加上“＋”号．（3）0除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义．
例2用有理数表示下面各量．
（1）如果收入200元记作＋200元，则如何表示支出100元？
（2）如果海平面以下100米记作－100米，则如何表示海平面以上1000米？
（3）如果向南行100米记作＋100米，则向北行200米如何表示？
（4）如果比标准重量重10千克记作＋10千克，则比标准重量少5克应如何表示？
分析该题中每两个量都是意义相反的两个量，为了区别意义相反的量我们应用不同符号的数来表示．
注意（1）一个量是用正数表示，还是用负数表示是人们规定的，但在表示中也应尊重人们在多年生活中形成的习惯．如：零上温度一般规定为正；海平面以上一般规定为正等；（2）正数前面的“＋”号是可以省略不写的．
例3判断正误（正确的打√，错误的打×）．
（1）-a一定是负数．（）
（2）零是自然数．（）
（3）没有最小的正有理数．（）
说明：应紧扣互为相反数、负数、零、正有理数的概念来解此类题，主要是应想到我们已经学到了代数领域了．应时时注意到字母a可能为：负数、零、正数．
例4（1）在知识竞赛中，如果＋10表示加10，那么扣20分怎样表示？（2）某人转动转盘，如果用＋5表示沿用逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？（3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0. 02克记作＋0.02，那么－0.03克表示什么？
第1讲 有理数(讲义)解析版
第1讲有理数
有理数是初中数学六年级下学期第一章第一节的内容．重点是有理数的相关概念辨析，利用对数轴的理解对有理数进行大小比较，绝对值的化简等．难点是绝对值的化简及运算．预习阶段，我们会针对基础知识部分进行着重讲解，相关难点会在春季班课程中讲解．
模块一：有理数的意义
知识精讲
1、正数和负数
在现实生活中，用正数和负数表示具有相反意义的量．
2、有理数的概念
整数和分数统称为有理数．
3、有理数的分类
按意义分：
⎧⎧
⎪⎪
⎨
⎪
⎪⎪
⎨⎩
⎪
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
⎩
正整数
整数零
负整数
有理数
正分数
分数
负分数
；按符号分：
⎧⎧
⎪⎨
⎩
⎪
⎪
⎨
⎪⎧
⎪⎨
⎪⎩
⎩
正整数
正有理数
正分数
有理数零
负整数
负有理数
负分数
．
注意：（1）零既不是正数，也不是负数，零是正数和负数的分界；
（2）零和正数统称为非负数；零和负数统称为非正数．
例题解析
【例1】如果把收入80元记作80元，那么下列各数分别表示什么意义？
（1）10元；（2）3.5元；（3）100
-元；（4）0元．
【难度】★
【答案】（1）收入10元；（2）收入3.5元；
（3）支出100元；（4）没有收入也没有支出．
【解析】解题关键是理解‘正’和‘负’的相对性，确定一对具有相反意义的量，常见的具有相反意义的量：收入与支出、上升与下降、前进与后退、向东与向西等．
【总结】本题考查了正数和负数的意义．
【例2】下列说法错误的是（）
A．收入200元和支出300元是相反意义的量
B．向北走6千米和向南走6千米是相反意义的量
C．节约20千克粮食和浪费20千克水是相反意义的量
D．存款2000元和取款3160元是相反意义的量
第2节有理数的意义
第2节 有理数的意义
姓名： 日期：
【知识要点】
1．有理数的分类 ⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪
⎨
⎧⎩⎨
⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数
正分数
分数负整数
正整数整数有理数0
)1( （2）⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
⎩⎨
⎧⎩⎨
⎧负分数
负整数负有理数正分数
正整数正有理数有理数0
2．数轴
定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴， 利用数轴比较大小：数轴上右边的数大于左边的数. 3．相反数
（1）代数意义：像3与-3这样只有符号不同的两个数，把其中一个叫做另一个的相反数，0的相反数是0.
(2)几何意义:在数轴上原点的两旁,并且到原点的距离相等.
(3)求一个数的相反数就是在这个数前添一个负号,如a 的相反数是-a . (4)a 与b 互为相反数等价于0=+b a 4.绝对值
几何定义：1、数轴上,一个数a 所对应的点与原点的距离为该数的绝对值,记作a . 2、
（1）(0)
0(0)(0)
a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
（2）(0)(0)a a a a a ≥⎧⎨
-<⎩
（3）(0)(0)a a a a a >⎧⎨-≤⎩
3、任何一个数的绝对值和平方都是非负数，也就是0≥a ．
【典型例题】
例1.把下列各数填入它所属的集合. -1、-2、0、+3.4、3
2-
、3
11
、5%、3
.0 -、-(-4) 自然数集：{ }负整数集：{ } 分数集： { }正数集： { } 整数集： { }有理数集：{
}
例2．①用“〈”连接下列各数
-,4
3 1， 1.7， ,3
5-
-0.04， ,5
4-
0.01,
,4
3 0
②比较下列有理数大小： （1）9.0与90- （2）4
第1讲有理数的意义
第一讲 有理数的意义
一、 情境引入：
有理数最初叫数，古希腊毕达哥拉斯学派主张万物皆数的理论，却也知道勾股定理（直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性）。可是有人发现当三角形两条直角边都是1时候，斜边不能表示，结果引发了一次恐慌。学派为了消除恐慌，把发现这个秘密的人投海喂鱼。可是纸包不住火，无理数最终仍是不可抗拒地随着数学的进步应运而生了。为了和无理数区别，所以把整数和分数（这里的分数包括小数）统称为有理数，而无穷不循
二、课程标准
一、借助生活中的实例理解负数，有理数的意义，体会负数引入的必要性和有理数的普遍性；
二、会判断一个数是正数仍是负数，能应用正负数表示生活中具有相反意义的量，体会数学知识与现实世界的联系；
3、在负数概念的形成进程中，养成观察，归纳与归纳的能力。
三、知识精讲
知识点1：数的形成进程
（1）由记数，排序，产生数
（2）由表示“没有”、“空位”产生数；
（3）由分派，测量产生数
（4）问题：生活中如何表示两个具有相反意义的量呢？
知识点2：具有相反意义的量（重点）
12 3......，，011
23，
观察下面给出的每一对数量，指出各对数量有什么一路特点？
（1）零上和零下 （2）收入元和支出元
（3）增加和减少 （4）水位上升和降低
归纳总结：像这样别离由具有相反意义的词表示的两个数量，就是具有相反意义的量。
【例1】将下列具有相反意义的量有线连接起来
向南走米 失球个
进球个 亏损元
高于海平面 运出吨粮食
盈利元 向北走
运进吨粮食 低于海平面
方式点拨：先找出叙述的是不是是同一事物，再看其是不是具有相反意义
有理数的意义包括知识点与配合练习
有理数的意义、数轴、绝对值
第一部分：有理数
1、正负数的概念：比0大的数是正数，比0小的数是负数。“—”
用正数和负数表示相反意义的量
Ⅰ. 相反意义的量必须包含两个因素：1、它们的意义相反；2、它们都具有数量，而且一定是同类量。
Ⅱ.相反意义的量可以人为的规定其正负。在实际生活中，习惯把零以上的温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正数，而把它们相反意义的量规定为负的，用负数表示。2、对“0”的理解：0不在正、负数的范围内，它是正数和负数的分水岭。它的意义非常特殊，它既可以表示无意义，也可以表示其他特殊的意义。
3、有理数的概念：整数和分数统称为有理数；正数、负数、零都是有理数。
4、有理数的分类：
例1：（1）如果把收入50元记做50元，那么下列各数分别表示什么意义？
20元 2.5元 -80元 0元
（2）如果6摄氏度用6C︒表示，那么零下4摄氏度如何表示？
例2：把
1312
1271 2.80734%0.67
247
--
、、、、、、、、、、、、、、-、、分别填在表示正数
和负数的圈内。
正数负数
巩固练习：
1、如果规定向南走为正，那么﹣100米表示向________走100米。
2、某公司股票上周五的收盘价是27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（上涨为正）：
由上表知，星期一收盘时，每股价格是元，星期四收盘时，每股价格是元。
3、下列说法正确的是（）
A.一个有理数不是正数就是负数
B.一个有理数不是正数就是分数
C.有理数是指整数、分数（正有理数、0、负有理数）
D.以上说法都正确
4、把下列各数填入相应的大括号内：-7，3.01,300%，-0.142,0.1,0,5/3,-355/113,12 （1）正整数集：{ }；（2）分数集：{ } （3）负数集：{ }；（4）非负整数集：{ }
有理数知识点总结与典型例题(人教版初中数学)
有理数知识点目录
一、正数和负数 (2)
考向1：正数和负数的概念 (2)
考向2：正数和负数的相反意义 (2)
二、有理数 (3)
考向3：有理数的分类 (3)
三、数轴 (4)
考向4：数轴的定义 (5)
考向5：利用数轴比较两数的大小 (5)
四、相反数 (6)
考向6：相反数 (6)
五、绝对值 (6)
考向7：求一个数的绝对值 (7)
考向8：有理数的大小比较 (7)
六、有理数的加法 (9)
考向9：有理数的加法 (9)
七、有理数的减法 (10)
考向10：有理数的减法 (10)
八、有理数的乘法 (12)
考向11：有理数的乘法 (12)
九、有理数的除法 (14)
考向12：有理数的除法 (14)
十、乘方 (16)
考向13：乘方的运算 (16)
十一、有理数的混合运算 (18)
十二、科学计数法 (18)
考向14：科学计数法 (18)
十三、近似数 (19)
考向15：近似数 (19)
参考答案： (21)
有理数知识点总结与典型例题
一、正数和负数
1、正数和负数的概念：
⑴比0大的数叫做正数；
⑵比0小的数叫做负数；
⑶0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界（0的意义已不仅是表示“没有”）. 说明：①字母a 可以表示任意数，当a 表示正数时，-a 是负数；当a 表示负数时，-a
是正数；当a 表示0时，-a 仍是0。（带正号的数是正数，带负号的数是负数，
这种说法是错误的，例如+a,-a 就不能做出简单判断）；
②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数
的符号是正号.
2、正数和负数的意义：
在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义.
有理数的认识经典例题练习
有理数的认识
【知识要点】
1．正数和负数
为了表示具有相反意义的量，我们把其中一种意义的量规定为正的，另一种与它的意义
相反的量规定为负的，正的量用算术数前加“+”号表示，如：6+，1
3
3
+,……（正号可省略）它们都比0大；负的量用算术数前加“－”号表示，如：4-，1
62
-,……它们都比0小. 2．有理数
(1)正整数，0，负整数统称为整数;正分数，负分数统称为分数.
整数和分数统称为有理数.
(2)有理数还可以这样定义：能够表示成分数m
p
的形式（m 、p 均为整数，且0≠m ,m,p 互质）的数是有理数．
3. 有理数的分类：
【典型例题】
例1.（1）如果把上升20m 记作+20m ，那么下降15m 记作
（2）海平面的高度一般用数 表示，比海平面高8844m 的山峰处，它的高度
记作海拔 m ，比海平面低11034m 的海沟处，它的高度记作海拔 m
（3）房价上涨12%，记作+12%，则下跌50%记作 例2. 表达出下列语句所表示的意义.
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧⎩⎨
⎧⎩⎨
⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩
⎪⎨⎧负无限循环小数负有限小数
负分数正无限循环小数
正有限小数正分数分数负整数零正整数整数有理数
（1）向东走－100米 （2）气温上升－3℃ （3）支出－100元
例3. 数学考试成绩85分以上为优秀，以85分为标准，老师将某一小组五名同学的成绩
简记为：+9，－4，+11，－7，0. 则这五名同学的实际成绩分别为多少？
例4. 把下列各数填在相应的大括号里. －1，0，+0.8，－
1、有理数的意义、数轴、绝对值-学生版
一、知识梳理：
1、有理数的意义：
（1）整数和分数统称为有理数。
（2）有理数的分类：
⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数零负整数有理数正分数分数负分数；
⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数零负整数负有理数负分数 （3）任何一个有理数都可写成分数
a b （其中a 、b 为整数，0b ≠）的形式。如221=，20.45
=，所以，所有的有理数都是分数。
2、数轴： （1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫做数轴。数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。
（2）任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示；反之不然，数轴上的点不一定都用来表示有理数。
（3）在数轴上，原点左边是负有理数，原点右边是正有理数，原点为0。
3、相反数：
（1）相反数：只有符号不同的两个数，我们称其中的一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。
（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。零的相反数是零。
（3）互为相反数的两数和为0；反之，如果两数和为0，那么这两个数互为相反数。即如果a 、b 互为相反数，那么0a b +=。反之，如果0a b +=，那么a 、b 互为相反数。
（4）互为相反数的两个数的几何意义：
在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧且到原点的距离相等。
4、绝对值：
（1）绝对值：一个数在数轴上所对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值。一般用符号a 表示a 的绝对值。
（2）任何一个数的绝对值都大于或等于零，即0a ≥。
（3）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
01有理数的意义(知识讲解+随堂练习)(最新人教版优质教案+含解析)
有理数的意义
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、
1
2
+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、
1
2
−、－584等
在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数
1．若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）．
A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km
【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.
反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．
【变式1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）
有理数意义的实际应用问题
1、在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东300m 处，商场在学校西200m 处，医院在学校东500m 处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m ．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）列式计算青少年宫与商场之间的距离：
2、一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶。某一天早晨从A 地出发，晚上到达B 地。
约定向北为正，向南为负，当天记录如下：（单位：千米）
-18.3, -9.5, +7.1, -14, -6.2, +13, -6.8, -8.5
（1）问B 地在A 地何处，相距多少千米？
（2）若汽车行驶每千米耗油0.2升，那么这一天共耗油多少升？
3、今年9月份某市一天的最高气温为11 o C ，最低气温为－6 o C ，那么这一天的最高气温比最低气温高（ ）
A ．－ 17℃
B ．17℃
C ．5℃
D ．11℃
4、已知点A 在数轴上对应的有理数是a ，将点A 向左移动4个单位，再向右移动一个单位与点B 重合，点B 对应的有理数是25-，求a .
5、某检修工人检修电话线路，乘车时设定前进为正，后退为负，某天自A 的出发到收工时，所行路程为（单位：千米）：4+，3-，22+，8-，2-，17+，3-，2-，12+，5-，7+，问收工时距A 地多远？若每千米耗油4升，问从A 地出发到收工共耗油多少升？
（1）阅读下面材料：点 A 、B 在数轴上分别表示实数a ，b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB|，当A 上两点 中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a －b|；当A 、B 两点都不在原点时，①如图1－2－5所示，点A 、B 都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=b －a=|a －b|； ②如图1－2－6所示，点A 、B 都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=－b －(－a)=|a －b|；③如图1－2－7所示，点A 、B 在原点的两边多边，|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a －b|
七上数学第一讲 有理数的意义
第一讲有理数的意义
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、
1
2
+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、
1
2
-、－584等在正数前面加“－”号
的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【典型例题】
类型一、正数与负数
例题1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）
A．支出20元 B．收入20元C．支出80元 D．收入80元
【变式1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克
《有理数》典型例题
《有理数》典型例题
例1如果向东走8千米记作＋8千米，向西走5千米记作－5千米，那么下列各数分别表示什么？
（1）＋4千米；（2）5.3
-千米；（3）0千米
解：（1）＋4千米表示向东走4千米．
（2）5.3
-千米表示向西走5.3千米．
（3）0千米表示原地未动．
说明：（1）用正数和负数可以表示意义相反的量．（2）正数前面可以加上“＋”号，一般地，正数前面的“＋”号可省略不与，但有时为了强调，习惯上在正数前面要加上“＋”号．（3）0除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义．
例2 用有理数表示下面各量．
（1）如果收入200元记作＋200元，则如何表示支出100元？
（2）如果海平面以下100米记作－100米，则如何表示海平面以上1000米？
（3）如果向南行100米记作＋100米，则向北行200米如何表示？
（4）如果比标准重量重10千克记作＋10千克，则比标准重量少5克应如何表示？
分析该题中每两个量都是意义相反的两个量，为了区别意义相反的量我们应用不同符号的数来表示．
解（1）支出100元表示为－100元；（2）海平面以上1000米应表示为＋1000米；（3）向北行200米表示为－200米；（4）比标准重量少5克表示为－5克．
注意（1）一个量是用正数表示，还是用负数表示是人们规定的，但在表示中也应尊重人们在多年生活中形成的习惯．如：零上温度一般规定为正；海平面以上一般规定为正等；（2）正数前面的“＋”号是可以省略不写的．例3判断正误（正确的打√，错误的打×）．
（1）-a一定是负数．（）
七年级有理数知识点及典型例题
1.1 有理数
【知识点清单】
（一）学习温故
小学里学过的数可分为三类: 、 和 ，它们都是由于实际需要而产生的。
（二）正数
1、正数：大于0的数叫做正数。如：2，0.6，3
7，，…… ※正数都比0要 。
2、正数的表示方法：在正数前面加上一个“＋”，读作“正”号。如：3+，11
10+
， 1.9+，……
其中“＋”号可以省略。
（三）负数
1、负数：在正数前面加上一个“－”号，这样的数叫做负数。如：2-，0.6-，3
7-
，……
※负数都比0要 。
2、负数的表示方法：一个负数前的“－”号不可以省略。
3、0既不是正数也不是负数。
4、正数和负数的意义
在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有__________的意义。如：如果80m 表示向东走80m ，那么-60m 表示：______________。
（四）有理数
1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数。
2、有理数的分类
【经典例题：】
例 1：把下列各数分别填在题后相应的集合中：
25-
，0，1-，0.73，2，5-，8
7，52.29-，+28，27-，8，-31
1，-3.5，102.3，-35，1
（1）整数集合： { ……} （2）负整数集合：{ ……} （3）负分数集合：{ ……} （4）自然数集合：{ ……} （5）非负数集合：{ ……}
例 2：在下面每个集合中任意写出3个符合条件的数：
例 3：下列选项中均为负数的是（ ） A ．2-， 1.9-，0
B ．0.3，5-， 3.3-
C ．1
9
-，1-,0.6-
D ．6-，80，4.0
例 4：下列说法中正确的是（
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有理数的意义典型例题讲解
【学习目标】
1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；
2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、
1
2
+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、
1
2
-、－584等
在正数前面加“－”号的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【典型例题】
类型一、正数与负数
1．中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元 B．收入20元C．支出80元 D．收入80元
【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【答案】C
【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，
则﹣80表示支出80元．
故选：C．
【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
举一反三：
【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）
A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克
【答案】D．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .
(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．A．－20m B．－40m C．20m D．40m
【答案】B
2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
（1）这8名男生有百分之几达到标准？
（2）他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5
100%62.5% 8
⨯=；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
类型二、有理数的分类
3．下面说法中正确的是( )．
A．非负数一定是正数．
B．有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．a
-一定是负数．
D ．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；
(C)不对，当a为负数或0时，则a
-为正数或0，而不是负数；(D)对
【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
举一反三：
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）
【答案】√，⨯，⨯，⨯
【变式2】下列四种说法，正确的是( ).
(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数
(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数
【答案】D
4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,
7
23
-，.
正整数集合:{ …}，负整数集合:{ …}，
整数集合:{ …}，正分数集合:{ …}，
负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，
非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.
【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；
负分数： -3.88，
7 23 -；
分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，
7 23 -；
非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，；
非正数：-700, -3.88, 0,
7 23 -
【解析】
【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出