中位线和中点四边形

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各种四边形各边中点形成什么图形

《各种四边形各边中点形成什么图形》专项练习中点四边形定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形解决办法：连接对角线，利用三角形中位线定理证明一、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形已知：四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：连接AC）利用三角形中位线证明，两组对边分别平行的四边形是平行四边形二、顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是平行四边形已知：平行四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形（提示：连接AC）利用三角形中位线证明，一组对边培训且相等的四边形是平行四边形三、顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形已知：矩形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是菱形（提示：连接AC、BD）利用矩形对角线相等、中位线性质可得四边相等的四边形是菱形四、顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形已知：菱形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是矩形（提示：连接AC、BD）利用菱形对角线垂直、中位线性质可得四个角是直角的四边形是矩形五、顺次连接正方形各边中点所得的四边形是正方形已知：正方形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是正方形利用正方形对角线垂直相等、中位线性质可得四边相等又有一直角的四边形是正方形六、顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形已知：梯形ABCD中，AD//BC AB=DC, 点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点求证：四边形EFGH是菱形（提示：连接AC，BD）利用梯形对角线相等、中位线性质可得四边相等的四边形是菱形。

中点四边形ppt

快速练习：
（1）中点四边形是菱形，原四边形是（ D ） A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 对角线相等的四边形（2）中点四边形是矩形，原四边形是（ D ） A 矩形 B 菱形 C 正方形 D 对角线互相垂直的四边形（3）中点四边形是正方形，原四边形是（ D ） A 矩形 B 正方形 C 对角线互相垂直且平分的四边形 D 对角线互相垂直且相等的四边形（4）一个梯形的中点四边形是菱形，这个梯形是（等腰梯形）
什么情况是矩形呢？若四边形EFGH是矩形，则FH⊥BC B 连接AO ∵FH//AO ∴AO⊥BC E G O A F H C
小结1: 从一般到特殊的研究方法
我们从原四边形两条对角线的位置关系和数量关系探索了中点四边形的形状变化，从中我们可以体会到当原四边形从一般到特殊的变化中（也就是对角线关系从一般到特殊），常常伴随着中点四边形从一般到特殊的变化。
H A
D G
证明：连接AC、BD．
E
∵AE=EB,BF=FC, B F ∴EF∥ AC EF=1/2AC．同理GH ∥ AC GH=1/2AC． ∴EF ∥ GH EF=GH=1/2AC， ∴四边形EFGH是平行四边形．注：同理 HE=FG=1/2BD ∴EF+FG+GH+HE=AC+BD
C
分析:根据上题我们有“任意四边形的中点四边形都是平行四边形” ，再结合四边形对角线的关系我们可以得出结论：（课堂点睛P55第4题）
B
D
F
E
C
中点四边形：定义：顺次连接一个四边形四边中点所得四边形称为这个四边形的中点四边形。思考：依次连接任意四边形各边中点所成的中点四边形是什么图形呢？
已知：如图，点E、

三角形中位线(中点四边形)

课题：三角形中位线（中点四边形）教材：苏科版八年级下册第九章第五节学校：张桥中学授课教师：龚宇升1、教学目标：1)理解三角形中位线的定义与性质，区别与三角形中线，并能利用性质解决题目。

了解掌握中点四边形的特点。

2)通过构造三角形中位线来解决四边形四边中点图形，让学生进一步掌握三角形中位线性质的应用。

3)经历利用寻找、构造三角形中位线性质解决问题的过程，培养学生研究问题和解决问题的方法以及从一般到特殊，从特殊到一般的数学思想，并进一步发展学生几何语言的能力。

2、教学重点：理解掌握三角形中位线定义与性质与中点四边形形状特点。

教学难点：中点四边形形状的证明以及通过寻找、构造三角形中位线，利用性质解决问题。

3、教学方法与教学手段：本节课以学生的自主探究为主，教师加以引导启发，在师生的共同探究活动中，完成本课的教学目标，提高学生的能力。

本节课利用了幻灯片，黑板和多媒体等。

4、教学过程：一、复习1.如图ΔABC中，DE是中位线，AF是中线，则DE与 AF的关系是。

2.如图ΔABC中，AB=5㎝， AC=8㎝，BC=9㎝，D﹑E﹑F分别是AB、AC、BC的中点，则ΔDEF的周长是。

三角形中位线定理：。

符号语言：∵在△ABC中，D、E 分别为AB、AC 的中点∴。

二、自主探究顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是什么图形？例1、如图，任意四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，四边形EFGH是什么图形？为什么？三、小组探究假如把任意四边形改成矩形呢？例2、如图，矩形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，四边形EFGH是什么形状？为什么？假如把任意四边形改成菱形呢？例3、如图，菱形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，四边形EFGH是什么形状？为什么？顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形是。

顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是。

中点四边形课件(共31张PPT)全文

中点四边形是菱形；
• 〔3〕只要原四边形的两条对角线互相垂直，就能使中点四边形是矩形；
• 〔4〕要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是对角线相等且互相垂直。
巩固练习
1.如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是 AB，BC，CD，DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由。解：添加的条件_______
已知：任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接E、F、G、H，则四边形EFGH称为中点四边形。
对角线相等的四边形的中点四边形为菱形
什么四边形?并证明你的结论?
解：添加的条件_______
B
四边形A3B3C3D3的周长是_____。
形EFGH是什么四边形?并证明你的
如图，中点四边形EFGH的周长与原四边
形ABCD的什么量有关系？是什么关系？能证明你的猜想吗？
HD A
温馨提示：△DHG 的HG与 △ADC的哪一边有关系？
E
G
结论：中点四边形
B F C 的周长等于原四边
形对角线的和
挑战自我
四边形ABCD中，AC=6，
BD=8，且AC⊥BD，
顺次连接四边ABCD的中点得到四边形A1B1C1D1，依次类推，得到四边形 AnBnCnDn；
四边形的什么有着密切的联系？要使中点四边
形EFGH是下列图形，原四边形ABCD需具有什么
特征？（1）是矩形；（2）是菱形；（3）是正方形。
HD A
E
G
B
F
C
把你的想法与同伴交流。
填空：
• 〔1〕中点四边形的形状与原四边形的对角线有密切关系；

复习中位线定理

A E D F
B
C
经典题型如图，在梯形ABCD中如图，在梯形ABCD中,AD∥BC ，E是 ABCD AB中点中点, 腰AB中点,若CE⊥DE. 求证： AD+BC=CD。求证： AD+BC=CD。
A E D
F
B
C
本节课你有什么收获？
小结： 1、三角形中位线定义及定理。、三角形中位线定义及定理。 2、中点四边形的重要特征。、中点四边形的重要特征。 3、梯形中位线定义及定理。、梯形中位线定义及定理。 4、梯形腰上中点的常见辅助线作法。、梯形腰上中点的常见辅助线作法。
我能行
如图，在四边形ABCD中如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别 ABCD 是边AB BC、CD、DA的中点 AB、的中点，是边AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形。条件，使四边形EFGH为菱形。 EFGH为菱形 A 解：添加的条件 H AC＝BD ＝
2 3
……
A
n
A１
C
２
C１ B２
1 2 1 4
a
s
1 4 1 16
a
s
1 8 1 64
a
……
s
……
1 n 2 1 n 4
a
s
B
A２ B１
C
二、中点四边形
已知：如图，在四边形已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是中、、、分别是 AB、BC、CD、DA的中点的中点. 、、、的中点求证：四边形是平行四边形. 求证：四边形EFGH是平行四边形是平行四边形 A E B F H D G C
复习中位线定理
一、三角形中位线

初中数学八年级下册《数学活动---探究中点四边形》优秀教学设计

相等
菱形
互相垂直
矩形
互相垂直且相等
正方形
教师提出问题1，学生思考后作答（鼓励学生利用不同方法进行证明），教师板书简要过程。
学生尝试总结中点四边形的结论。
教师进一步提出问题2，分配小组任务，学生开展小组合作探究活动，教师分组指导。
有学生代表上讲台汇报展示成果，教师评价。
鼓励学生对上述汇报结果进行总结，教师板书。
教学过程设计
教学
程序
教学内容
教师、学生活动
设计意图
问题引入
小组合作
深入探究
问题1.顺次连接任意四边形各边中点所得的图形是什么形？你能证明吗？
定义：顺次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.
结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形.
问题2.平行四边形的中点四边形是什么形？矩形呢？菱形呢？正方形呢？
学生读题并直接作答。
请一名学生黑板板演第（1）问的推理过程，其他同学在学案上完成。
教师巡视指导，对证明有困难的同学给予适当的引导和肯定。
结合问题（1）中的思路，学生口述指出全等的三角形，教师在黑板上用两种不同颜色粉笔标出。
巩固基础，练习1对特殊平行四边形的中点四边形形状判断练习
练习2、3是对对角线的关系对中点四边形形状影响的练习
2.通过小组合作探究，增强分析问题、解决问题的能力
3.了解研究几何图形的基本方法
情感、
态度与价值观
1.感受几何图形的对称美和几何变换的巧妙
2.提高合作学习的意识，增强数学学习兴趣
电教手段
ppt、交互平板
重点
熟练运用特殊平行四边形的性质及判定定理
难点
探究影响中点四边形形状的因素
教材

中位线在解决中点四边形中的应用

是三角形的重要的性质定理，说它重要不
仅是因为它可以用于解决与三角形有关
的计算和证明，它还可以用于解决与四边
形相关的计算和证明，中点四边形正是三
角形的中位线定理在四边形的相关计算
和证明中最典型的应用，下面我们来看几
各边中点分别为点
对角线
A C 丄B D 于点 0 ,E H
与 A C 相交于点N,
E F 与 B D 相交于点
M. 求证：四边形
为矩形.
证明：•点E 、F、 H
分别是各边的中点.
.-.E H 、 E F 是分别是 A A B D 、 A A B C
的中位线.
...E H //B D ,E F //B D .
点四边形相关的问题时，越发地体现它的
妙用，本文结合三角形的中位线定理，给出中点四边形的相关证明，并总结了中点
四边形的相关结论.
关键词: 中位线中点四边形辅助线
三角形的中位线是继三角形的中线、
高线、角平分线之后，学习的又一条三角
形的重要线段，而三角形的中位线定理则
证明：•点E 、F 、G 、H 分别是各边的中点■
...E H 'F G 是分别是A A BD , A B C D 的中位线，
...EH = + B D ,
FG = + BD .
...EH = FG = + B D .
同理可得EF = ffG = ^ 4 C.
■：A C = BD, :.EH = H G = FG = EF.

青岛出版社初中数学八年级下册三角形的中位线定理-优秀

三角形的中位线定理（第三课时）——《中点四边形》一、教学目标（1）巩固三角形中位线和特殊四边形的性质、判定方法，发展合情推理、演绎推理能力（2）在经历想象、画图、观察、猜测、验证、动态演示、归纳的探索过程中，体会和了解研究问题的一般方法，感悟联想、分类、类比、归纳等数学思想（3）培养学生乐于实践、善于发现、勇于创新的学习品质，激发数学学习兴趣。

二、教学过程与设计复习引入：1、如图，在△ABC 中，点E 、点F 分别为AB 、BC 中点；则EF 与AC 的关系是（学生回答）数量关系：EF=21AC 位置关系：EF ∥AC2、如图，在第1题的基础上，在△ABC 外部取一点D ，连结AD 、CD ；取CD 中点G ，AD 中点H ；(1)EF 与HG 的关系是（学生回答）EF=HG ，EF ∥HG(2)请连结EH 、FG ，则EH 与FG 的关系是（学生回答）EH=FG ，EH ∥FG(3)四边形EFGH 是什么形状（学生回答）平行四边形。

（学生口述证明过程，教师板书过程。

这里证明平行四边形学生有两种方法①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形②两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

板书证法①更优，为后面证明做准备。

）教师：四边形EFGH 叫做四边形ABCD 的中点四边形。

概念定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。

任意四边形的中点四边形是平行四边形。

(观看超级画板，拖动四边形，其中点四边形总是平行四边形) 教师：今天，我们选取中点四边形这个问题进行研究。

（呈现课题：中点四边形——三角形中位线应用。

）通过以上的证明我们知道了任意四边形的中点四边形一定是平行四边形，那其他特殊的四边形（矩形、菱形、正方形）的中点四边形是什么形状呢首先它们的中点四边形肯定是个平行四边形，形状会不会更特殊呢大胆猜想：探究一从一般到特殊：矩形、菱形的中点四边形是什么请你在下面的图形中动手画。

（学生动手画图）画完图，学生纷纷猜想：矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形。

中位线概念

1.中位线概念：(1)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．(2)梯形中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．注意：(1)要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它的对边中点的线段，而三角形中位线是连结三角形两边中点的线段．(2)梯形的中位线是连结两腰中点的线段而不是连结两底中点的线段．(3)两个中位线定义间的联系：可以把三角形看成是上底为零时的梯形，这时梯形的中位线就变成三角形的中位线．2.中位线定理：(1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．(2)梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。

垂直于两边为最短距离。

角平分线能得到相同的两个角。

角平分线上的点，到角两边的距离相等。

平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的定义、性质：（1）平行四边形对边平行且相等。

（2）平行四边形两条对角线互相平分。

（菱形和正方形）（3）平行四边形的对角相等，两邻角互补（4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。

(推论）（5）平行四边形的面积等于底和高的积。

（可视为矩形）（6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。

（7）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。

（8）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。

（9）一般的平行四边形不是轴对称图形，菱形是轴对称图形。

（10）平行四边形ABCD 中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）。

（11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。

判定：（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（2）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（6）一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形；（7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形；最常用的：19.1 平行四边形1. 平行四边形：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

苏教版八年级下册数学[三角形中位线定理知识点整理及重点题型梳理]

苏教版八年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习三角形中位线定理【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 掌握中点四边形的形成规律.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状（1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.（2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形.（3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.（4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形.要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成.（1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形.（2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形.（3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形.【典型例题】类型一、三角形的中位线1、（2016•北京）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．（1）求证：BM=MN；（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得MN=AD，根据直角三角形斜边中线定理得BM=AC，由此即可证明．（2）首先证明∠BMN=90°，根据BN2=BM2+MN2即可解决问题．【答案与解析】（1）证明：在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，MN=AD，在RT△ABC中，∵M是AC中点，∴BM=AC，∵AC=AD，∴MN=BM．（2）解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由（1）可知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴BN2=BM2+MN2，由（1）可知MN=BM=AC=1，∴BN=【总结升华】本题考查三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，AH是高．（1）若BC=10，AH=8，则四边形ADEF的面积为．（2）求证：∠DHF=∠DEF．HF EDCBA【思路点拨】（1）由三角形面积公式可知：△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的四分之一，进而可求出四边形ADEF的面积．（2）首先证明四边形ADEF是平行四边形，进而可得∠DEF=∠DAF，再利用直角三角形的中线性质得线段相等，从而得角等，最终可得到∠DAF=∠DEF，即可证出∠DHF=∠DEF．【答案解析】（1）解：∵BC=10，AH=8，∴S△ABC=×8×10=40，∵点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，∴△BDE、△EFC的面积都等于△ABC面积的，∴四边形ADEF的面积=40﹣20=20，故答案为：20；（2）证明：∵D 、E 、F 分别是△ABC 各边中点，∴DE ∥AC ，EF ∥AB ，∴四边形ADEF 是平行四边形，∴∠DEF=∠DAF ，∵AH 是△ABC 的高∴△ABH 、△ACH 是直角三角形，∵点D 、点F 是斜边AB 、AC 中点，∴DH=DA ，HF=AF ，∴∠DAH=∠DHA ，∠FAH=∠FHA ，∴∠DAH+∠FAH=∠FHA+∠DHA ，即∠DAF=∠DHF ，∴∠DEF=∠DHF ．【总结升华】此题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形的中位线定理，直角三角形的性质，解决题目的关键是证明∠DHF=∠DAF 与∠DAF=∠DEF ．3、如图所示，在△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 为∠BAC 的平分线，BD ⊥AD 于D ，AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长．【思路点拨】本题中所求线段MD 与已知线段AB 、AC 之间没有什么联系，但由M 为BC 的中点联想到中位线，另有AD 为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN ，D 为BN 的中点，DM 即为中位线，不难求出MD 的长度．【答案与解析】解：延长BD 交AC 于点N ．∵ AD 为∠BAC 的角平分线，且AD ⊥BN ，∴ ∠BAD ＝∠NAD ，∠ADB ＝∠ADN ＝90°，在△ABD 和△AND 中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】如图所示，四边形ABCD中，Q是CD上的一定点，P是BC上的一动点，E、F分别是PA、PQ两边的中点；当点P在BC边上移动的过程中，线段EF的长度将( )．A．先变大，后变小 B．保持不变 C．先变小，后变大 D．无法确定【答案】B；解：连接AQ．∵ E、F分别是PA、PQ两边的中点，∴ EF是△PAQ的中位线，即AQ＝2EF．∵ Q是CD上的一定点，则AQ的长度保持不变，∴线段EF的长度将保持不变．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且CD=CA，点E、F分别为BC、AD的中点，连接EF并延长交AB于点G．求证：四边形AGEC是等邻角四边形；（2）如图2，若点D在△ABC的内部，（2）中的其他条件不变，EF与CD交于点H，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC的中点H，连接HE、HF∵点E为BC中点∴EH为△ABC的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB同理FH∥DC，且FH=12DC∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D；解：连接DE并延长交AB于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E是AC中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH，∵F是BD中点，∴EF是△DHB的中位线，∴EF=12 BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、中点四边形5、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．（1）求证：四边形EFGH 是正方形；（2）若AD ＝2，BC ＝4，求四边形EFGH 的面积．【思路点拨】（1）先由三角形的中位线定理求出四边相等，然后由AC⊥BD 入手，进行正方形的判断．（2）连接EG ，利用梯形的中位线定理求出EG 的长，然后结合（1）的结论求出2EH ＝92，也即得出了正方形EHGF 的面积．【答案与解析】证明：（1）在△ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，故可得：EF ＝12AC ，同理FG ＝12BD ，GH ＝12AC ，HE ＝12BD ，在梯形ABCD 中，AB ＝DC ，故AC ＝BD ，∴EF＝FG ＝GH ＝HE ，∴四边形EFGH 是菱形．设AC 与EH 交于点M ，在△ABD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，则EH∥BD，同理GH∥AC，又∵AC⊥BD，∴EH⊥HG，∴四边形EFGH 是正方形．（2）连接EG ．在梯形ABCD 中，∵E、G 分别是AB 、DC 的中点，∴EG＝12（AD ＋BC ）＝3．在Rt△EHG 中， ∵222EH GH EG +=，EH ＝GH ，∴2EH ＝92，即四边形EFGH 的面积为92．【总结升华】此题考查了等腰梯形的性质及三角形、梯形的中位线定理，解答本题的关键是根据三角形的中位线定理得出EH ＝HG ＝GF ＝FE ，这是本题的突破口．举一反三：【变式】如图，E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．（1）判断四边形EFGH 的形状，并说明你的理由；（2）连接BD和AC，当BD、AC满足何条件时，四边形EFGH是正方形．【答案】解：（1）四边形EFGH是平行四边形．理由：连接AC，∵E、F分别是AB、BC的中点，∴EF∥AC，且EF＝12 AC，同理，HG∥AC，且HG＝12 AC，∴EF∥HG，且EF＝HG，∴四边形EFGH是平行四边形；（2）当BD＝AC，且BD⊥AC时，EFGH是正方形．理由：连接AC，BD，∵E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴EF＝GH＝12AC，EH＝FG＝12BD，EH∥BD，GH∥AC，∵BD＝AC，BD⊥AC，∴EH＝EF＝FG＝GH，EH⊥GH，∴四边形ABCD是菱形，∠EHG＝90°，∴四边形EFGH是正方形．。

中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形期末真题汇编(解析版)-24年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题05中点模型之中位线、斜边中线、中点四边形期末真题汇编之六大题型中点模型是初中数学中一类重要模型，主要是结合三角形、四边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着十分重要的意义.常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全等或相似模型（与倍长中线法类似）；④中位线模型；⑤直角三角形斜边中点模型；⑥中点四边形模型.本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.模型1：中位线模型三角形的中位线定理：如图，在三角形ABC的AB，AC边的中点分别为D、E，则DE//BC且12DE BC，△ADE∽△ABC.中点三角形：三角形三边中点的连线组成的三角形，其周长是原三角形周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一.模型运用条件：构造中位线（出现多个中点时）.模型2：直角三角形斜边中线模型定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图1，若AD为Rt ABC△斜边上的中线，则：（1）12AD BC =BD DC ==；（2）ABD △，ACD △为等腰三角形；（3）2ADB C ∠=∠，2ADC B ∠=∠．图1图2拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M 为中点，则（1）AM MD =；（2）2AMD ABD ∠=∠．模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时）模型3：中点四边形模型中点四边形：依次连接四边形四边中点连线的四边形得到中点四边形.中点四边形是中点模型中比较经典的应用.中点四边形不仅结合了常见的特殊四边形的性质，而且还会涉及中位线这一重要知识点，总体来说属于比较综合的几何模块.结论1：顺次连结任意四边形各边中点组成的四边形是平行四边形．如图1，已知点M 、N 、P 、Q 是任意四边形ABCD 各边中点，则四边形MNPQ 为平行四边形.图1图2图3图4结论2：顺次连结对角线互相垂直四边形各边中点组成的四边形是矩形．（特例：筝形与菱形）如图2，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC ⊥DB ，则四边形MNPQ 为矩形.结论3：顺次连结对角线相等四边形各边中点组成的四边形是菱形．（特例：等腰梯形与矩形）如图3，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC =DB ，则四边形MNPQ 为菱形.结论4：顺次连结对角线相等且垂直的四边形各边中点组成的四边形是正方形．如图4，已知点M 、N 、P 、Q 是四边形ABCD 各边中点，AC =DB ，AC ⊥DB ，则四边形MNPQ 为正方形.推广与应用1）中点四边形的周长：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和.2）中点四边形的面积：中点四边形的面积等于原四边形面积的12.与三角形中位线有关的求解问题例题：（23-24八年级上·山东潍坊·期末）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是边AD 的中点，点F 在对角线AC 上，且4AC AF =，连接EF ．若12AC =，则EF =．【变式训练】1．（23-24九年级上·重庆万州·期末）如图，DE 是ABC 的中位线，ACB ∠的角平分线交DE 于点F ，若614AC BC ==，，则DF 的长为．【答案】4【分析】本题考查了三角形的中位线定理，等腰三角形的判定，角平分线的性质，能熟记三角形的2．（23-24九年级上·山东淄博·期末）如图，已知Rt ABC △，延长直角边BC 至点D ，使6BD =，E 为直角边AC 上的点，且2AE =，连接ED ，P ，Q 分别为AB ，ED 的中点，连接PQ ，则PQ =．∵P ，Q 分别为AB ，PK ∴是ABD △的中位线，PK BC ∴∥，12PK BD =∵AC BC ⊥，PK BC ∥∴PK AC ⊥，∵KQ AC ∥，PK KQ ∴⊥，∴在Rt PKQ V 中，PQ 故答案为：10三角形中位线与三角形面积问题例题：（22-23八年级下·广东深圳·期末）如图，在ABC 中，E 是AC 的中点，D 在AB 上且2AD BD =，连接BE ，CD 相交于点F ，则BCF ADFE S S =四边形△．【答案】35/0.6【分析】取CD 中点G 【详解】解：取CD 中点【点睛】本题考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质等知识点．结合条件进行几何推导是解题关键．【变式训练】1．（22-23八年级上·山东烟台·期末）如图，DE 是ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，若CEF △的面积为212cm ，则DGF S 的值为2cm ．【答案】4【分析】取CG 的中点H ，连接EH ，根据三角形的中位线定理可得EH AD ∥，再根据两直线平行，内错角相等可得GDF HEF ∠=∠，然后利用“角边角”证明DFG 和EFH △全等，根据全等三角形对应边相等可得FG FH =，全等三角形的面积相等可得EFH DGF S S = ，再求出3FC FH =，再根据等高的三角形的面积比等于底边的比求出两三角形的面积的比，即可得解答案；∵点H 是CG 的中点，DE ∴EH AD ∥，GH CH =，∴GDF HEF ∠=∠，∵F 是DE 的中点，DF EF =在DFG 和EFH △中，∵GFD HFE DF EF ∠=∠⎧⎪=⎨2．（22-23七年级下·江苏泰州·期末）如图，ABC 的面积是16，点D ，E ，F ，G 分别是BC ，AD ，BE ，CE 的中点，则四边形AFDG 的面积是．与三角形中位线有关的证明例题：（23-24八年级上·山东淄博·ABCD 中，AD BC =，点P 是对角线BD 的中点，M 是DC 的中点，N 是AB 的中点，延长线段AD 交NM 的延长线于点E ，延长线段BC 交NM 的延长线于点F ．(1)求证：AEN F ∠=∠；(2)若122A ABC ∠+∠=︒，求F ∠的大小．【答案】(1)见解析【变式训练】1．（21-22九年级上·四川眉山·期末）如图，四边形ABCD 中，AD BC =，P 是对角线AB 的中点，M 是AC 的中点，N 是BD 的中点．(1)判断PMN 的形状，并证明；(2)当AD 、BC 所在直线存在什么关系时，90MPN ∠=︒．由（1）得：PM BC ∥，PN AD ∥，∴APM ABC ∠=∠，APN BAE ∠=∠，∵AD BC ⊥，即90E ∠=︒，∴90ABC BAE ∠+∠=︒，∴90APM APN ∠+∠=︒，即90MPN ∠=︒．2．（23-24九年级上·云南昆明·期末）数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径，通过猜想探究图形的变化规律，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．如图1，在等边ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接BE ，CD ，点M ，N ，P 分别是BE ，CD ，BC 的中点．(1)观察猜想图1中PMN 的形状是______；(2)探究证明把ADE V 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，PMN 的形状是否发生改变？并说明理由．【答案】(1)等边三角形(2)不发生改变，理由见解析【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用三角形的三ABC是等边三角形，∠=∠=AB AC∴=，ABC ACB=，AD AE∴=，BD EC=，BM，CN NDPB PC=∴∥，PM ECBPN D∥，PN∴=，NPC ABCPM PN∠=∠=∴∠=︒，MPN60∴△是等边三角形．PMN的形状不发生改变，仍为等边三角形，理由如下：（2）解：PMN如图2中，连接BD，CE．三角形中位线的实际应用例题：（22-23八年级下·吉林·期末）如图，为估计池塘两岸边A ，B 两点间的距离，在池塘的一侧选取点O ，分别取OA OB ，的中点M ，N ，测得25m MN =，则A ，B 两点间的距离是m ．【答案】50【分析】根据三角形中位线定理进行求解即可．【详解】解：∵OA OB ，的中点分别为M ，N ，∴MN 是ABO 的中位线，∴12MN AB =，∵25m MN =，∴250m AB MN ==，故答案为：50【点睛】此题考查了三角形中位线定理，熟练掌握中位线定理的内容是解题的关键．【变式训练】1．（22-23八年级下·湖南岳阳·期末）在数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A ，B 两点的距离，同学们在AB 外选择一点C ，测得AC ，BC 两边中点的距离DE 为15m ，则A ，B 两点的距离是m ．【答案】30【分析】根据题意得出DE 为ABC 的中位线，然后利用其性质求解即可．【详解】解：∵点D 、E 为AC BC ，的中点，∴DE 为ABC 的中位线，∵15m DE =，∴230m AB DE ==，故答案为：30．【点睛】本题主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键．2．（21-22八年级下·河南郑州·期末）如图所示，李叔叔家有一块呈等边三角形的空地ABC ．已知D E ，分别是,AB AC 的中点，测得10m DE =，李叔叔想把四边形DBCE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是m ．【答案】50直角三角形斜边中线模型例题：（22-23八年级下·吉林·期末）如图，在Rt ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，过点D 作DE AC ⊥于点E ，连接CD ，过点E 作CD 的平行线，交BC 的延长线于点F ．若8AB =，则EF 的长为．【答案】4【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边中线为斜边一半，掌握以上知识是解题关键．先证明四边形EDCF 为平行四边形，再根据平行四边形的性质得EF DC =、结合直角三角【变式训练】1．（23-24九年级上·贵州黔东南·期末）如图，在Rt ACB △中，90ACB ∠=︒，5AC =，4BC =，点P 是Rt ACB △内一动点，且2AP =，点Q 是BP 的中点，则CQ 的最小值为．故答案为：522．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）如图，在Rt ABC △中，D 为斜边AB 的中点，将ACD 沿中线CD 翻折，点A 落在点A '，连结A B '．（1）若26A ∠=︒，则ABA '∠的度数为；（2）若68BC AC ==，，则A B '的长为．【答案】52︒/52度 2.8【分析】本题主要考查了勾股定理和翻折问题，解题的关键是掌握折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．（1）依据△A BD '是等腰三角形，76A DB '∠=︒，即可得到A BD '∠的度数；（2）如图所示，连接AA '，过D 作DE A B '⊥于E ，过B 作BF CD ⊥于F ，依据CD A B '∥，即可得到DE BF =，进而得出 4.8DE =，再根据勾股定理，即可得到Rt BDE △中，BE 的长，即可得到A B '的长．【详解】解：（1）D 为斜边AB 的中点，AD BD ∴=，由折叠可得AD A D '=，BD A D ∴='，即△A BD '是等腰三角形，在Rt ABC △中，2268AB =+由折叠可得，DA DA '=，AC =CD ∴垂直平分AA '，5AD A D BD '=== ，DAA DA A ∴∠='∠'，DBA DA '∠=∠又DAA AA D DA B DBA '''∠+∠+∠+∠ 90AA B '∴∠=︒，∴CD A B '∥，DE BF ∴=，CD 是ABC 的中线，12CDB ABC S S ∆∆∴=，即111222CD BF AC BC ⨯=⨯⨯，1682 4.85BF ⨯⨯∴==，中点四边形模型例题：（22-23八年级下·浙江湖州·期末）定义：对角线垂直的四边形叫做“对垂四边形”．如图，在“对垂四边形”ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AC =若点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，且四边形EFGH 是“对垂四边形”，则四边形EFGH 的面积是．∵在四边形ABCD 中，点∴EF AC ∥，GH AC ∥∴EF GH ∥，同理：FG∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形ABCD是“对垂四边形”，⊥，∴AC BD⊥，∴EF EH∴四边形EFGH是矩形，∵四边形EFGH是“对垂四边形”，⊥，∴EG FH∴四边形EFGH是正方形，EF=．∴四边形EFGH的面积为22【点睛】本题考查了中点四边形，三角形中位线定理，特殊四边形的判定，解题的关键是利用“对垂四边形”，解题的关键是掌握特殊四边形的判定方法．【变式训练】1．（21-22八年级下·江苏南京·期末）如图，E，F，G，H是四边形ABCD各边的中点．(1)证明：四边形EFGH为平行四边形．(2)若四边形ABCD是矩形，且其面积是27cm，则四边形EFGH的面积是________2m【答案】(1)见解析(2)3.5【分析】（1）连接BD，由三角形中位线定理可得出EF=GH，EF∥GH，由平行四边形的判定可得出结论；（2）由矩形的判定与性质得出答案．【详解】（1）证明：连接BD，∵E、F分别为AD、AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，1BD，EF∥BD，∴EF=∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠B=∠2．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”．如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是_____________．A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形性质探究：如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的两条结论；问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边AB，AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形ACFG，连接BE，EG，GC．求证：四边形BCGE是“中方四边形”；拓展应用：如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M，N分别是AB，CD的中点，（1）试探索AC与MN的数量关系，并说明理由．（2）若AC=2，求AB+CD的最小值．∵四边形ABCD是“中方四边形∴EFGH是正方形且E、∴∠FEH=90°，EF=EH，∴AC⊥BD，AC=BD，故答案为：AC⊥BD，AC问题解决：如图2，取四边形接CE交AB于P，连接∵四边形BCGE各边中点分别为∵M，F分别是AB，BC∴FM=12 AC，∴MN=22 AC；（2）如图4，分别作AD 连接BD交AC于O，连接当点O在MN上（即M∴2（OM+ON）≥2MN由性质探究②知：AC⊥又∵M，N分别是AB，∴AB=2OM，CD=2ON，∴2（OM+ON）=AB+CD一、单选题1．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，3DE =，5CE =，则AC =）A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理求出BC ，根据直角三角形的性质求出AB ，根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：D ，E 分别是AC ，AB 的中点，3DE =，2236BC DE ∴==⨯=，2．（22-23八年级上·山东青岛·期末）如图所示，顺次连接四边形ABCD 各边中点得到四边形EFGH ，使四边形EFGH 为正方形，应添加的条件分别是（）A ．AB CD ∥且AB DC=B ．AB CD =且AC BD ⊥C ．AB CD ∥且AC BD⊥D ．AC BD =且AC BD⊥∴菱形EFGH 是正方形．故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形中位线定理、平行线性质，解题的关键是连接AC BD 、，构造平行线．3．（23-24九年级上·四川乐山·期末）如图，ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点D 在EF 上，延长AD 交BC 于N ，BD AN ⊥，6AB =，8BC =，则DF =（）A ．2B ．32C ．1D ．124．（23-24八年级上·山东烟台·期末）如图，DE 是ABC 的中位线，F 是DE 的中点，CF 的延长线交AB 于点G ，若DGF △的面积为2，则CEF △的面积为（）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定、三角形的面积计算，正确作出辅助线、证明FGD FHE ≌是解题的关键．过点E 作EH AB ∥交GC 于H ，证明FGD FHE ≌，根据全等三角形的性质得到ΔΔDGF EHF S S =，计算即可．【详解】解：过点E 作EH AB ∥交GC 于H ，则FGD FHE ∠=∠，在FGD 和FHE 中，FGD FHE GFD HFE DF EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS FGD FHE ∴ ≌，FG FH ∴=，ΔΔDGF EHF S S =，EH AB ∥，E 是AC 的中点，CH HG ∴=，3FC GF ∴=，DGF 的面积为2CEF ∴ 的面积为6，故选：B ．5．（22-23八年级下·广西柳州·期末）如图，在四边形ABCD 中，AD BC =，50DAB ∠=︒，70CBA ∠=︒，P 、M 、N 分别是AB AC BD 、、的中点，若8BC =．则PMN 的周长是（）A ．10B ．12C ．16D ．186．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等腰三角形ABC 中，4AB AC ==，点E 为BC 的中点，连结AE ．以BC 为边向左作BCD △，且90BCD ∠=︒，BD AC ∥．连结DE ，记CDE 和ABE的面积分别为1S 和2S ，则1232S S -的最大值是（）A ．4B ．6C．D ．8∵90BCD ∠=︒，∴CF BF =DF =，∴2DBC FBC S S = ，∵4AB AC ==，E 为BC 的中点，∴ACB ABC Ð=Ð，AE BC⊥∵BD AC∥∴FBC BCA∠=∠∴FBC ABC∠=∠又∵FB FC =，BE EC=∴FE BC⊥∴90FEB AEB ∠=∠=︒，二、填空题，互相垂直，公路AB的中点M与点C被7．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，公路AC BC湖隔开．若测得AB的长为6.4km，则M，C两点间的距离为km．故答案为：3.2．8．（23-24九年级上·江苏连云港·期末）在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为米．则,,DE EF DF 均为ABC ∴(12DE EF DF BC ++=+即水渠的总长为300米，故答案为：300．9．（21-22八年级下·广西桂林·期末）如图，顺次连接第一个矩形各边的中点得到第1个菱形，顺次连接这个菱形各边的中点得到第二个矩形，再顺次连接第二个矩形各边的中点得到第2个菱形，按照此方法继续下去．已知第一个矩形的面积为6，则第n 个菱形的面积为．【答案】134n -【分析】根据题意求得第二、而第1个菱形的面积为第【详解】解：∵已知第一个矩形的面积为10．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）如图，一副三角板拼在一起，O 为AD 的中点，4AB =．将ABO 沿BO 对折至A BO '△，M 为BC 上的动点，则A'M 的最小值为．在Rt A BM '△中，N 是斜边A B '的中点，∴2BN NM A N '===，∴15B NMB ∠=∠=︒，∴30A NM '∠=︒，∴122MH MN ==，∴223NH MN MH =-=，∴23A H A N NH ''=-=-，∴2262A M A H HM ''=+=-．故答案为：62-11．（23-24八年级上·山东东营·期末）如图，ABC 的周长为a ，以它的各边的中点为顶点作111A B C △，再以11AB C △各边的中点为顶点作222A B C △，再以22AB C 各边的中点为顶点作333A B C △，……如此下去，则20242024AB C △的周长为．AB=，8+的最小值CD边上的点，且EF的长为4，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA PG为．∵DH DG GH HP PG PA PG -≤≤+=+∴当H 、P 、G 、D 共线时，PA PG +最小，∵4AB =，8AD =，∴8AH =，228288DH =+=，∵EF 的长为4，点G 为EF 的中点，∴2GD =，∴822AP PG -≤+，故答案为：822-．三、解答题13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，AD 与CE 交于点F ，点G 为CE 的中点，CD AE =．(1)求证：DG CE ^．(2)若AF EF =，求B ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)36度90ADB∴∠=︒，CE是AB边上的中线，∴12AE DE AB==，AE CD=∵，DE CD∴=，点G为CE的中点，DG CE∴⊥．（2）解：连接DE，则DE AE CD==，点G为CE的中点，DG CE∴⊥，BE DE=，EF AF=，B BDE∴∠=∠，AEF EAF∠=∠，14．（23-24九年级上·江西九江·期末）课本再现：（1）定理直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图1，在Rt ABC △中，90=︒，CD 是AB 边上的中线．求证：12CD AB =．证明：如图1，延长CD 到点E ，使得DE CD =，连接,BE AE ．……请把证明过程补充完整．知识应用：（2）如图2，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，CE 是AB 边上的中线，F 是CE 的中点，连接DF 并延长交AC 于点G ，连接,2GE AB CD =．求证：=EG CG ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解（1）的关键，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解（2）的关键．AD 是BC 边上的高，CE AD BD ∴⊥，E 是AB 的中点．12DE AB ∴=．2AB CD = ，12CD AB ∴=．CD DE ∴=．F 是CE 的中点，DG CE ∴⊥．DG ∴是线段CE 的垂直平分线．EG CG ∴=．15．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）【三角形中位线定理】已知：在ABC 中，点D 、E 分别是边AB AC 、的中点．直接写出DE 和BC 的关系；【应用】如图②，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB AD ，的中点，若5BC =，3CD =，2EF =，45AFE ∠=︒．求ADC ∠的度数；【拓展】如图③，在四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点E ，点M ，N 分别为AD BC ，的中点，MN 分别交AC BD 、于点F 、G ，EF EG =．求证：BD AC =．EF BD ∴∥，BD 45ADB AFE ∴∠=∠=5BC = ，3CD =，MH ∴是ADC △的中位线，MH AC ∴∥且12MH AC =同理可得NH BD ∥EF EG = ，EFG EGF ∴∠=∠，MH AC ∥，NH BD ∥EFG HMN ∴∠=∠，∠HMN HNM ∴∠=∠，MH NH ∴=，AC BD ∴=．16．（22-23八年级下·四川成都·期末）如图，已知Rt ABC △，90ACB ∠=︒，点D 是AB 的中点，连接CD ，把线段CD 沿射线DB 方向平移得到线段EF ，点F 在射线DB 上，连接CE .(1)如图1，当点F 与点B 重合时，求证：DF FE =；(2)如图2，当EF 经过BC 的中点G 时，连接DE ，若DE AB ⊥，求证：30DEF ∠=︒；(3)如图3，45A ∠=︒，F 在DB 的延长线上，连接BE ，当BF BD =时，求证：CE .由平移的性质得：四边形∴EF CD =，∵90ACB ∠=︒，点∴12CD AB =，∴CD BD =，∴FE BD =，17．（23-24八年级上·山东泰安·期末）在四边形ABCD 中，AB CD =，E 、F 分别是BC AD 、的中点．(1)如图1，若M 是AC 的中点，求证：EFM FEM ∠=∠．(2)如图2，连接EF 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M 、N ，求证：BME CNE ∠=∠．(3)如图3，在ABC 中，AC AB >，D 点在AC 上，AB CD =，E 、F 分别是BC AD 、的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ，若60EFC ∠=︒，连接GD ，判断AGD △的形状并说明理由．∵点F 是AD 的中点，∴在ABD △中，∥FP AB ∴PFE M∠=∠同理可证：EP CD ∥，EP ∴PEF CNE ∠=∠，又∵AB CD =，∴EP FP =，∴PEF PFE ∠=∠，∴M CNE ∠=∠．∴BME CNE ∠=∠；（3）证明：如图连接BD ∵F 是AD 的中点，∴HF AB ∥，12HF AB =，18．（21-22八年级下·福建泉州·期末）【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DE∥BC，且DE12=BC．(1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DE∥BC，DE12=BC．(2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题：①证明：四边形EFGH是平行四边形；②当AC、BD满足时，四边形EFGH是矩形；③当AC、BD满足时，四边形EFGH是正方形．（2）①连接AC 、BD ，如图所示：∵点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，∴EF AC ∥，GH AC ∥，EH BD ∥，GF BD ∥，∴EF GH ∥，EH GF ∥，∴四边形EFGH 为平行四边形；②当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 是矩形；根据解析①可知，GH AC ∥，EH BD ∥，四边形EFGH 是平行四边形，∵AC ⊥BD ，∴90AOB ∠=︒，∵GH AC ∥，∴90HMO ∠=︒，∵EH GF ∥，∴180EHM HMO ∠+∠=︒，∴1809090EHM ∠=︒-︒=︒，∴四边形EFGH 是矩形；故答案为：垂直；。

中点四边形的证明方法

中点四边形的证明方法
1. 连接四边形各边中点所得的四边形，那可真的太有意思啦！比如说，就像把一个大拼图拆成几个小部分再重新组合，这就是中点四边形呀！你想想，要是给你一个普通四边形，然后你找到各边中点连起来，会得到什么呢？
2. 咱可以用三角形中位线定理来证明呢！哎呀，就好像找到了一把神奇的钥匙，能打开中点四边形秘密的大门。

比如有个四边形 ABCD，那它的中点四边形会是什么样呢？
3. 还有啊，通过对比原来的四边形和中点四边形的性质，这不就跟找不同一样嘛！就像你有两个相似但又不一样的玩具，去发现它们的区别，多好玩呀！例如那个四边形 EFGH 是某个四边形的中点四边形，有趣吧！
4. 观察也是个好办法呀！瞪大眼睛好好看看，中点四边形到底有啥特点。

好比你观察一只小动物的行为，充满了惊喜呢！像在这个四边形 IJKL 中去仔
细观察呀！
5. 可以用反证法试试呀，哇，听着就很刺激呢！感觉就像走迷宫，从另一个方向去寻找出口。

假设不是那样，然后推出矛盾，是不是很厉害！看，在那个四边形 MNOP 中就试试呗！
6. 从特殊到一般呀，先研究特殊的四边形，再推广到一般的，多机智呀！就像先学会走，再去跑一样。

比如特殊的正方形的中点四边形会是啥样呢？
7. 计算也是个途径呀！通过一些边长角度什么的去算，就像做数学题一样有趣。

在这个四边形 QRST 中算算看呢！
8. 还可以和小伙伴一起探讨呢，人多力量大嘛！一起研究中点四边形，多热闹呀！哎呀，快和小伙伴试试研究那个四边形 UVWX 吧！
总之，中点四边形的证明方法可多啦，每种都好有趣，等着我们去发现和探索呢！。

数学中位线知识点总结

数学中位线知识点总结一、中位线的概念中位线（median line）是指一个图形中的中轴线或对称轴线。

在数学中，中位线通常指的是统计学中的中位数，它是一组数据中的中间值，即将数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。

中位线也可以指的是图形中的对称轴线，即将图形分成两个对称的部分的线。

二、中位线在统计学中的应用1. 中位数的计算在一组数据中，中位数是指把数据按大小顺序排列后，位于中间位置的数值。

如果数据中的个数是奇数，则中位数就是位于中间位置的数值；如果数据中的个数是偶数，则中位数是位于中间两个数值的平均值。

计算中位数是统计学中的常见操作，可用于描述数据的集中趋势。

2. 中位线的代表性与平均数不同，中位数不受极端值的影响，更能反映数据的真实情况。

当数据中存在极端值或异常值时，常常使用中位数来作为代表性指标，以避免这些极端值对总体趋势的影响。

3. 中位数的应用在实际问题中，中位数也常常用于分析人口收入、房价水平、企业利润等各种经济和社会数据，以反映总体的趋势和变化，具有很强的实用价值。

三、中位线的数学性质1. 数据的分布在一组数据中，中位数是数据分布的一个重要指标，它可以直观地反映数据的集中趋势。

当数据中的数值集中在中位数附近时，说明数据的分布比较均匀；当数据中的数值分散在中位数附近时，说明数据的分布比较不均匀。

2. 质数的中位数质数是指除了1和自身外，没有其他正因数的自然数。

在一组质数中，中位数通常是这组数据的中间值，通过求解中位数，可以更好地理解这组质数的分布规律和特点。

3. 数轴上的中位线在数轴上，中位线是指将数轴分成两段长度相等的线段，这两段线段的中点就是中位线。

在数轴上，中位线也被称为中点线，它是数轴的中心线，对称于原点。

四、中位线的几何性质1. 几何图形中的中位线在三角形中，中位线是指连接三角形的一个顶点与对边的中点的线段。

在四边形中，中位线是指连接四边形对角线的交点的一条线段。

在多边形中，中位线是指连接多边形一个顶点与对边的中点的线段。

初中中位线知识点总结

初中中位线知识点总结一、中位线的概念及作用1. 中位线是一条线段，它将一个几何图形分成两个面积相等的部分。

2. 在三角形和四边形中，中位线与其它中线交点的位置可以用于解决一些几何问题。

3. 中位线可用于解决实际问题，如计算房屋地面面积、农田面积等。

二、三角形中的中位线1. 三角形中位线定义：通过三角形的一个顶点，作对边中点连线。

2. 中位线的性质：三角形中位线相等，即三角形中的三条中位线相等。

这是因为三角形的三边相等。

3. 中位线的作用：在三角形中，中位线可以用来证明三角形的面积、证明三角形的角平分线等。

三、四边形中的中位线1. 四边形中位线定义：四边形的对角线中点连线。

2. 中位线的性质：四边形中的中位线相等，即四边形的两对对角线中的中位线相等。

3. 中位线的作用：中位线可以用来证明四边形的面积、证明四边形的性质。

四、中位线的应用1. 实际问题：中位线可用于计算几何图形的面积，如计算房屋地面面积、农田面积等。

2. 定理证明：中位线可用于证明几何定理，如证明三角形的角平分线，证明四边形的面积等。

3. 建筑设计：在建筑设计中，中位线可用于布局、规划和设计。

五、中位线的计算1. 中位线长度的计算：中位线的长度等于对角线中点间的距离。

2. 中位线的数学公式：中位线的长度等于两个对角线中点的距离的一半。

3. 计算实例：根据给定的对角线长度，可以计算四边形中位线的长度。

六、中位线与中心线的区别1. 中位线是一条几何图形中的线段，它具有等长性质。

2. 中心线是几何图形的中心轴线，它与图形的对称轴或对称中心有关。

七、中位线与平行四边形1. 中位线是平行四边形的对角线的中点连线，它将平行四边形分成两个面积相等的部分。

2. 中位线的性质：平行四边形的两条对角线中的中位线相等，即平行四边形中的两条中位线相等。

八、中位线与菱形1. 中位线是菱形的对角线的中点连线，它将菱形分成两个面积相等的部分。

2. 中位线的性质：菱形的两条对角线中的中位线相等，即菱形中的两条中位线相等。

中点四边形教案

《探究中点四边形形状》教案教学目标：１.知识与技能：(1)了解中点四边形的概念；(2)利用三角形中位线定理证明中点四边形是平行四边形,理解特殊的平行四边形的中点四边形的特征；(3)理解中点四边形的形状与原四边形的对角线的关系。

２. 过程与方法：(1)经历观察、猜想、证明中点四边形是平行四边形的过程熟练运用三角形中位线定理；(2)经历由一般到特殊的思维进程，发现并证明特殊的平行四边形的中点四边形的特征；３.情感态度与价值观：(1)通过数学活动培养学生观察、猜想、证明的探索精神；(2)通过小组讨论活动，培养学生合作的意识。

教学重点：１、任意四边形的中点四边形形状的判定和证明；２、特殊平行四边形的中点四边形形状的判定和证明。

教学难点：影响中点四边形形状的主要因素的分析和概括。

教学过程：一、复习旧知，情境引入１、回顾三角形中位线性质定理。

２、问题１：出示问题：一块白铁皮零料形状如图，工人师傅要从中裁出一块平行四边形白铁皮，并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上，可以如何裁？（学生思考、讨论、分析，想出解决办法）师：你能证明吗？生：已知:如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边中点。

求证：四边形EFGH为平行四边形。

（学生可连接AC,也可连接AC、BD）二、探索活动１、中点四边形的定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。

２、结合引例得出结论：任意一个四边形的中点四边形，都为平行四边形。

问题2：观察这个图形，平行四边形EFGH各边与什么有关？各个内角又与什么有关？在问题2的基础上，完成下列三个探究。

探究1：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是矩形？探究2：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是菱形形？探究3：四边形对角线满足什么条件时，它的中点四边形是正方形形？学生四人小组合作探究并得出结论：（1）中点四边形的形状与原四边形的有密切关系；（2）只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是菱形；（3）只要原四边形的两条对角线，就能使中点四边形是矩形；（４）要使中点四边形是正方形，原四边形要符合的条件是。

初二数学知识点精讲精练——中点四边形

中点四边形【考点】：中点四边形作为四边形和三角形中位线知识点的一个拓展，也是历年期中期末的常考题型。

【知识点】一、中点四边形依托于中位线的性质1. 中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

2. 性质：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的二分之一。

二、中点四边形1．定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形。

2．性质：（1）任意四边形的中点四边形是平行四边形。

（2）对角线相等的四边形，其中点四边形是菱形。

（3）对角线相互垂直的四边形，其中点四边形是矩形。

（4）对角线相等且互相垂直的四边形，其中点四边形是正方形。

（5）中点四边形的周长等于原四边形的对角线之和。

（6）中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。

【典型例题】例：如图1，P是线段AB上的一点，在AB的同侧作△APC和△BPD，使PC=P A，PD=PB，∠APC=∠BPD，连接CD，点E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，顺次连接E、F、G、H．（1）猜想四边形EFGH的形状，直接回答，不必说明理由；（2）当点P在线段AB的上方时，如图2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？说明理由；（3）如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他条件不变，先补全图3，再判断四边形EFGH的形状，并说明理由．解（1）四边形EFGH是菱形．（2）成立．理由：连接AD，BC．∵∠APC=∠BPD，∴∠APC+∠CPD=∠BPD+∠CPD．即∠APD=∠CPB．又∵P A=PC，PD=PB，∴△APD≌△CPB（SAS）∴AD=CB．∵E、F、G、H分别是AC、AB、BD、CD的中点，∴EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线．∴EF=BC，FG=AD，GH=BC，EH=AD．∴EF=FG=GH=EH．∴四边形EFGH是菱形．（3）补全图形，如图．判断四边形EFGH是正方形．理由：连接AD，BC．∵（2）中已证△APD≌△CPB．∴∠P AD=∠PCB．∵∠APC=90°，∴∠P AD+∠1=90°．又∵∠1=∠2．∴∠PCB+∠2=90°．∴∠3=90°．∵（2）中已证GH，EH分别是△BCD，△ACD的中位线，∴GH∥BC，EH∥AD．∴∠EHG=90°．又∵（2）中已证四边形EFGH是菱形，∴菱形EFGH是正方形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定（手拉手模型）等知识点的综合运用及推理论证能力．【练习】1．如图，已知D是△ABC内任一点，BD⊥CD，AD=8，BD=8，CD=6，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EHGF的周长是（）A．16 B．18 C．20 D．222．如图，锐角三角形ABC中（AB＞AC），AH⊥BC，垂足为H，E、D、F分别是各边的中点，则四边形EDHF 是（）A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．矩形3．如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，如果AC=8，BD=10，那么四边形A1B1C1D1的面积为．4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，AC=BD，S ABCD=8cm2，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的周长等于．5．如图：在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是（）A．等腰梯形B．矩形C．菱形D．正方形【练习解析】1. 解：如图，∵BD⊥CD，BD=8，CD=6，∴BC==10，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴HG=BC=5，EF=BC=5，EH=FG=AD=4，∴四边形EFGH的周长是EF+FG+HG+EH=2×（5+4）=18．故选：B．2．解：如图，∵E、D、F分别是各边的中点．∴ED∥AC，ED=AC=FC，EF∥BC，EF=BC=DC．∴四边形EFCD是平行四边形．∴DE=CF．∵AH⊥BC，垂足为H，F是AC的中点．∴HF=AC=CF．∴HF=DE．∵DH∥EF．∴四边形EDHF是等腰梯形．故选：B．3．解：∵A1，B1，C1，D1是四边形ABCD的中点四边形，且AC=8，BD=10∴A1D1是△ABD的中位线∴A1D1=BD=×10=5同理可得A1B1=AC=4根据三角形的中位线定理，可以证明四边形A1B1C1D1是矩形那么四边形A1B1C1D1的面积为A1D1×A1B1=5×4=20．4.解：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF=AC，GH=AC∴四边形EFGH是平行四边形又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG∴四边形EFGH是矩形，∵AC⊥BD，AC=BD，S ABCD=8cm2，∴AC•BD=8，解得：AC=BD=4，∴EH=HG=2，∴四边形EFGH的周长为8cm，故答案为：8cm．5.【解答】解：连接BD、AC；∵△ADE、△ECB是等边三角形，∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°；∴∠AEC=∠DEB=120°；∴△AEC≌△DEB（SAS）；∴AC=BD；∵M、N是CD、AD的中点，∴MN是△ACD的中位线，即MN=AC；同理可证得：NP=DB，QP=AC，MQ=BD；∴MN=NP=PQ=MQ，∴四边形NPQM是菱形；故选：C．南京新东方数学教研组:李文琦。

三角形中位线定理应用：中点四边形的讨论

《三角形中位线定理应用——中点四边形的讨论》教学目标：1、学生能利用三角形中位线的性质判断中点四边形的形状，通过图形的变换掌握简单添加辅助线的方法。

2、培养学生观察、发现、分析、探索知识的能力及归纳总结能力。

3、通过学生通过小组合作交流与探究，培养学生的参与意识及合作精神，激发学生探索数学的兴趣教学重点：探究各类四边形的中点四边形的形状与原四边形的对角线的关系教学难点：对确定中点四边形形状的主要因素的分析和概括教学技术与学习资源应用：多媒体、基本教具教学过程：一、知识梳理1、中点四边形的定义如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD的各边的中点，则称四边形EFGH叫做四边形ABCD的中点四边形。

2、“一般四边形”的中点四边形已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点；试猜想四边形EFGH的形状。

二、合作探究——“特殊四边形”的中点四边形的形状1、思考：改变四边形ABCD的形状，结果会怎样？变换四边形ABCD形状，使四边形分别为平行四边形、菱形、矩形、正方形和等腰梯形，研究中点四边形EFGH形状。

3、思考：决定中点四边形形状的主要因素是什么？（合作探究）结论：决定中点四边形形状的主要因素是四边形对角线的长度和位置。

三、归纳总结规律：（1）若四边形对角线互相垂直，则它的中点四边形为___________（2）若四边形对角线相等，则它的中点四边形为______________（3）若四边形对角线相等且互相垂直，则它的中点四边形为_____________四、实践操作1．已知：如图，分别以BM、CM为边，向⊿BMC形外做等边三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点。

猜测四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；2．已知：如图，分别以BM、CM为边，向⊿BMC形外做等腰直角三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点。

猜测四边形EFGH的形状，并证明你的猜想改：分别以AB、AC为边向⊿ABC形外作正方形ABDE、正方形ACGF，M、N、P、Q 分别是EF、BC、EB、FC的中点。

例谈中位线定理在几何问题中的应用

例谈中位线定理在几何问题中的应用作者：***来源：《中学教学参考·理科版》2024年第02期［摘要］中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。

文章通过分析典型例题，介绍一些中位线定理的应用方法，旨在帮助学生提高解题效率，提升解题能力。

［关键词］中位线定理；几何问题；应用［中图分类号］ G633.6 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1674-6058（2024）05-0009-03中位线定理是初中数学的重要定理，它在平面几何问题的解决中有广泛的应用。

下面笔者结合一些典型例题介绍一些中位线定理的应用方法。

一、利用中位線定理求线段的长因为中位线定理反映两条线段之间的数量关系，所以已知三角形中位线与第三边中的其中一个量，就可以求得另一个量。

［例1］（1）课本再现：如图1所示，[D]、[E]分别是[△ABC]的边[AB]、[AC]的中点。

求证：[DE]∥[BC]，且[DE=12BC]。

定理证明：如图2所示，延长[DE]至点[F]，使得[EF=DE]，连接[CF]。

请你写出完整的证明过程。

（2）知识应用：如图3所示，在四边形[ABCD]中，[AB=6]，[CD=8]，[∠BAC=30°]，[∠ACD=120°]，点[E]、[F]、[M]分别是[AD]、[BC]、[AC]的中点，求[EF]的长。

（1）证明：在[△AED]和[△CEF]中，[DE=FE，∠AED=∠CEFAE=CE，]，∴[△AED ]≌[△CEF]（SAS），∴[AD=CF]，[∠A=∠ECF]，∴[AB]∥[CF]，∵[AD=BD]，∴[BD=CF]，∴四边形[DBCF]为平行四边形，∴[DF]∥[BC]，[DF=BC]，∴[DE]∥[BC]，[DE=12BC]。

（2）解：∵点[E]、[M]分别是[AD]、[AC]的中点，∴[EM]是[△ADC]的中位线，∴[EM=12CD=4]，[EM]∥[CD]，∴[∠EMC+∠ACD=180°]，∵[∠ACD=120°]，∴[∠EMC=60°]。