2017八年级数学相似形及相似三角形.doc

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相似三角形分类整理(超全)

第一节：相似形与相似三角形之马矢奏春创作时间：二O二一年七月二十九日底子概念： 1.相似形：对应角相等,对应边成比例的两个多边形,我们称它们互为相似形.2.相似三角形：对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形.1．几个主要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a∥b∥c,A D aB E bCF c可得等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. AD EBC由DE∥BC可得：.此推论较原定理运用加倍广泛,前提是平行.（3）推论的逆定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证实两直线平行方法,即：运用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边订交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边订交,所组成的三角形与原三角形相似.②比例线段：四条线段a,b,c,d中,假如a与b的比等于c与d的比,即＝,那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段,简称比例线段.2．比例的有关性质①比例的基赋性质：假如,那么ad=bc.假如ad=bc（a,b,c,d都不等于0）,那么.②合比性质：假如,那么.③等比性质：假如==(b+d++n≠0),那么④b是线段a、d的比例中项,则b2＝ad.典例阐发例1：① 在比例尺是1：38000的南京交通游览图上,玄武湖地道长约7cm,则它的实际长度约为______Km.②若=则=__________.③ 若=则a：b=__________.3．相似三角形的剖断（1）假如两个三角形的两角辨别于另一个三角形的两角对应相等,那么这两个三角形相似.（2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似.（3）三边对应成比例的两个三角形相似.弥补：相似三角形的辨认方法(1)定义法：三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似.(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)订交,所组成的三角形与原三角形相似.留心：适用此方法的底子图形,(简记为A型,X型)(3)三边对应成比例的两个三角形相似.(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似.(5)两角对应相等的两个三角形相似.(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似.(7)被斜边上的高分红的两个直角三角形与原直角三角形相似.【根本演习】（1）如图1,当时,△ABC∽△ADE（2）如图2,当时, △ABC∽△AED.（3）如图3,当时,△ABC∽△ACD. 小结：以上三类归为底子图形：母子型或A 型（3）如图4,如图1,当AB∥ED 时,则△∽△ .（4）如图5,当时,则△∽△. 小结：此类图开为底子图开：兄弟型或X 型典例阐发例1：判断①所有的等腰三角形都相似．（） ②所有的直角三角形都相似．（） ③所有的等边三角形都相似．（） ④所有的等腰直角三角形都相似．（）例2：如图,△ABC 中,AD 是∠BAC 的等分线,AD 的垂直等分线交AD 于E,交BC 的延长线于F求证：△ABF∽△CAF.例3：如图：在Rt △ ABC 中,∠ABC=90°,BD⊥AC 于D,若 AB=6 ；AD=2；则AC=；BD=；BC=； E F D C BA例3：如图：在Rt △ ABC 中,∠ABC=90°,BD⊥AC 于D ,若E是BC 中点,ED 的延长线交BA 的延长线于F,求证：AB : AC=DF : BF第二节：相似三角形的剖断(一)相似三角形：定义1、对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形．温馨提示：①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个(或几个)三角形叫做相似三角形,即定义中的两个前提,缺一不成；②相似三角形的特色：外形一样,但大小不必定相等；③对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比. ④两个钝角三角形是否相似,首先要知足两个钝角相等的前提.2、相似三角形对应边的比叫做相似比．温馨提示：①全等三角形必定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例．其差别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例．②相似比具有次序性．例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即相似比为k,则△A′B′C′∽△ABC 的相似比,当且仅当它们全等时,才有k=k′=1．③相似比是一个主要概念,后继进修时消掉的频率较高,其本质它FDE C BA是将一个图形缩小或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可不雅察得出．3、假如两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形．4、相似三角形的预备定理：假如一条直线平行于三角形的一条边,且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)辨别订交,那么所组成的三角形与原三角形相似．温馨提示：①定理的底子图形有三种情况,如图其符号措辞：∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE；②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的剖判断理．它不单本身有着广泛的运用,同时也是证实下节相似三角形三个剖判断理的根本,故把它称为“预备定理”；③有了预备定理后,在解题时不单要想到上一节“见平行,想比例”,还要想到“见平行,想相似”．(二)相似三角形的剖断1、相似三角形的剖断：剖判断理(1)：两角对应相等,两三角形相似．剖判断理(2)：两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似．剖判断理(3)：三边对应成比例,两三角形相似．温馨提示：①有平行线时,用上节进修的预备定理；②已有一对对应角相等(包含隐含的公共角或对顶角)时,可推敲运用剖判断理1或剖判断理2；③已有两边对应成比例时,可推敲运用剖判断理2或剖判断理3．但是,在选择运用剖判断理2时,一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等．例1.如图三角形ABC中,点E为BC的中点,过点E作一条直线交AB于D点,与AC的延长线将于F点,且FD=3ED,求证：AF=3CF2、直角三角形相似的剖断：斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似．温馨提示：①因为直角三角形有一个角为直角,是以,在剖断两个直角三角形相似时,只需再找一对对应角相等,用剖判断理1,或两条直角边对应成比例,用剖判断理2,一般不必剖判断理3剖断两个直角三角形相似；②如图是一个十分主要的相似三角形的底子图形,图中的三角形,可称为“母子相似三角形”,其运用较为广泛．③如图,可简单记为：在Rt△ABC中,CD⊥AB,则△ABC∽△CBD∽△ACD．直角三角形的身射影定理：AC2=AD*AB CD2=AD*BD BC2=BD*AB总结：查找相似三角形对应元素的方法与技巧精确查找相似三角形的对应元素是阐发与解决相似三角形问题的一项底子功．常日有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时,公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)必定是对应角；相似三角形中,一对相等的角是对应角,对应角所对的边是对应边,对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中,一对最长的边(或最短的边)必定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角．2、罕有的相似三角形的底子图形：进修三角形相似的剖断,要与三角形全等的剖断比拟较,把证实三角形全等的思惟方法迁移到相似三角形中来；对一些消掉频率较高的图形,要善于归纳和记忆；对相似三角形的剖断思路要善于总结,形成一整套完整的剖断方法．如：(1)“平行线型”相似三角形,底子图形见上节图．“见平行,想相似”是解这类题的底子思路；(2)“订交线型”相似三角形,如上图．个中各图中都有一个公共角或对顶角．“见一对等角,找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的底子思路；(3)“扭转型”相似三角形,如图．若图中∠1=∠2,∠B=∠D(或∠C=∠E),则△ADE∽△ABC,该图可算作把第一个图中的△ADE绕点A扭转某一角度而形成的．．第三节相似三角形中的关心线一、作平行线例1. 如图,的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD＝AE,DE延长线与BC延长线订交于F,求证：例2. 如图,△ABC中,AB<AC,在AB、AC上辨别截取BD=CE,DE,BC 的延长线订交于点F,证实：AB·DF=AC·EF.二、作垂线例3. 如图从 ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足辨别为E、F,求证：.三、作延长线例4. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,若∠BCD的等分线CH⊥AB于点H,BH=3AH,且四边形AHCD的面积为21,求△HBC的面积.例5. 如图,Rt ABC中,CD为斜边AB上的高,E为CD的中点,AE 的延长线交BC于F,FG AB于G,求证：FG=CF BF四、作中线例6 如图,中,AB⊥AC,AE⊥BC于E,D在AC边上,若BD=DC=EC=1,求AC.五、过渡法（或叫代换法）有些习题无论若何也机关不出相似三角形,这就要推敲灵活地运用“过渡”,其主要类型有三种,下面分情况说明．1、等量过渡法（等线段代换法）碰着三点定形法无法解决欲证的问题时,即假如线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上,不克不及组成三角形,或四条线段当然组成两个三角形,但这两个三角形其实不相似,那就需要按照已知前提找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段,假如没有,可推敲添加简单的关心线.然后再运用三点定形法确定相似三角形.只要代换得当,问题往往可以得到解决.当然,还要留心最后将代换的线段再代换回来.例1：如图3,△ABC中,AD等分∠BAC, AD的垂直等分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．2、等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不克不及确定三角形,同时也无等线段代换时,可以推敲用等比代换法,即推敲运用第三组线段的比为比例式搭桥,也就是经由过程对已知前提或图形的深入阐发,找到与求证的结论中某个比相等的比,并进行代换,然后再用三点定形法来确定三角形.例2：如图4,在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E是AC的中点,ED 交AB的延长线于点F．求证：．3、等积过渡法（等积代换法）思虑问题的底子途径是：用三点定形法确定两个三角形,然后经由过程三角形相似推出线段成比例；若三点定形法不克不及确定两个相似三角形,则推敲用等量（线段）代换,或用等比代换,然后再用三点定形法确定相似三角形,若以上三种方法行不通时,则推敲用等积代换法.例3：如图5,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是斜边AB 上的高,G 是DC 延长线上一点,过B 作BE⊥AG,垂足为E,交CD 于点F ．求证：CD2＝DF·DG．六、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证实：经常运用“三点定形法”、等线段更换法、中心比过渡法、面积法等．若比例式或等积式所涉及的线段在同一贯线上时,应将线段比“转移”(需要时需添关心线),使其辨别组成两个相似三角形来证实．例 1 如图5在△ABC 中,AD 、BE 辨别是BC 、AC 边上的高,DF⊥AB 于F,交AC 的延长线于H,交BE 于G,求证：(1)FG / FA ＝FB / FH (2)FD 是FG 与FH 的比例中项．例2 如图在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,M 是AD 的中点,CM 的延长线交AB 于N ．求：AN ：AB 的值；例3 如图过△ABC 的顶点C 任作一贯线与边AB 及中线AD 辨别交于点F 和E ．过点D 作D M∥FC 交AB 于点M ．(1)若S△AEF：S 四边形MDEF ＝2：3,求AE ：ED ；(2)求证：AE×FB＝2AF×ED 第四节相似三角形难题集一、分类谈论：例1 如图在正方形ABCD 的边长为1,P 是CD 边的中点,Q 在线段BC 上,当BQ 为何值时,△ADP 与△QCP 相似？例2 如图在梯形ABCD 中,AD∥BC,∠A＝900,AB ＝7,AD ＝2,BC＝3．试在边AB 上确定点P 的地位,使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似．图5 A E F B D GC H BE A C D MN 图 C E D A F M BP A DB QC 图 D二：相似三角形中的动点问题：1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC标的目标以每秒5个单位的速度运动,同时动点E从点C沿射线AC标的目标以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H,过点E作EF⊥AC交射线BB1于F,G是EF中点,连接DG．设点D 运动的时间为t秒．（1）当t为何值时,AD=AB,并求出此时DE的长度；（2）当△DEG与△ACB相似时,求t的值．2.如图,在△ABC中,ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,动点P以2m/s的速度从A点出发,沿AC向点C移动．同时,动点Q以1m/s的速度从C点出发,沿CB向点B移动．当个中有一点到达终点时,它们都停止移动．设移动的时间为t秒．（1）①当t=2.5s时,求△CPQ的面积；②求△CPQ的面积S（平方米）关于时间t（秒）的函数解析式；（2）在P,Q移动的过程中,当△CPQ为等腰三角形时,求出t的值．3.如图1,在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,点D在边AB上运动,DE等分CDB交边BC于点E,EM⊥BD,垂足为M,EN⊥CD,垂足为N．（1）当AD＝CD时,求证：DE∥AC；（2）商量：AD为何值时,△BME与△CNE相似？4.如图所示,在△ABC中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发,沿CA以每秒3cm的速度向A点运动,当P点到达B点时,Q点随之停止运动．设运动的时间为x．（1）当x为何值时,PQ∥BC？（2）△APQ与△CQB能否相似？若能,求出AP的长；若不克不及说明情由．5.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．假如P、Q同时出发,用t（s）暗示移动的时间（0＜t＜6）.（1）当t为何值时,△QAP为等腰直角三角形？（2）当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似？三、机关相似关心线——双垂直模型6.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,1),正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°,求这个正比例函数的表达式．7.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB为边在C点的异侧作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长．8.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M是AC上的一点,点N是BC 上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C正好落在边AB上的P 点．求证：MC：NC=AP：PB．9.如图,在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y 轴上,点B的坐标为（1,3）,将矩形沿对角线AC翻折B点落在D 点的地位,且AD交y轴于点E．那么D点的坐标为（）A. B. C. D.10..已知,如图,直线y=﹣2x＋2与坐标轴交于A、B两点．以AB 为短边在第一象限做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为1﹕2.求C、D两点的坐标.四、机关相似关心线——A、X字型11.如图：△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F.求证：12.四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC等分∠DAB.求证：13.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E为AD边上的随便率性一点,EF∥AB,且EF交BC于点F,某同学在研究这一问题时,创造如下事实：(1)当时,EF=；(2)当时,EF=；(3)当时,EF=．当时,参照上述研究结论,请你猜测用a、b和k暗示EF的一般结论,并给出证实．14.已知：如图,在△ABC中,M是AC的中点,E、F是BC上的两点,且BE＝EF＝FC.求BN：NQ：QM．15.证实：（1）重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的．（注：重心是三角形三条中线的交点）（2）角等分线定理：三角形一个角的等分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例．时间：二O二一年七月二十九日。

相似三角形的性质及判定(1)含答案非常的全面

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC kA B B C A C ===''''''（k 为相似比）．相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AM k A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC AD k A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC AC k A B B C A C ===''''''（k为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC AC kA B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AH k A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BCAHkS B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BC BEBF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF△∽△．2．纵向定型法欲证AB D E BCEF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是D E 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC D EF△∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

相似三角形知识点

相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项，此时有2b ad =。

（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1）基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2）更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc dc b a b a c cd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ．注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ．知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。

初二数学相似三角形性质[人教版]

5.判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似。
直角三角形相似判定的情况
除以上5种方法外，还有：
1.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似。
2.如果一个三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么着两个直角三角形相似。
1.下列命题正确的是（）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。
1080
∵∠ABC=∠DBC ∠BDC=∠BCA
1080
31
0
310
∴△ABC∽△CBD
1.下列命题正确的是（ D ）
A.有一角相等且有两边对应成比例的两个三角形相似。
B. △ABC的三边长为3，4，5. △A’B’C’的三边为 a+3,a+4,a+5.则△ABC∽ △A’B’C’。
C.若两个三角形相似，且有一对边相等，则它们的相似比为1.
D.都有一内角为100°的两个等腰三角形相似。
2.过矩形ABCD的顶点A作对角线AC的垂线分别与CB,CD的延长线交于E,F.则图中与 △ABC相似的三角形（）C。
A.4个
C
B 7个E
A
F
相似三角形的性质：
1.对应角相等，对应边成比例.
2.相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比，周长的比都等于相似比. 3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.
相似三角形
开封市金明区杏花营中学李晓淑
定义：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似三角形. 三角形相似判定：
1.对应角相等，对应边成比例。
2.预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 3.判定定理1：两角对应相等，两三角形相似。 4.判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

2017年相似三角形基本知识点及典型例题

相像三角形例1, 如图，已知△ABC∽△ADE，AE=50 cm，EC=30 cm，BC=70 cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°，求：1）∠AED和∠ADE的度数；2）DE的长。

例2, 如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE及BC 相交于F，请找出图中各对相像三角形，并求出相应的相像比.例3, 已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．例4, 已知：如图，AD是△ABC的高，E, F分别是AB, AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．★知识点四：相像三角形的性质及其应用(1)相像三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相像三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相像比．(3)相像三角形周长的比等于相像比．(4)相像三角形面积的比等于相像比的平方．例1, △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm, 6cm, 7cm，而4cm是△DEF 中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.例2, △ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求. 例3, 如图，已知AB∥CD∥EF,AC=CE=EP,△PAB的面积为182cm，求四边形CDEF 的面积。

例4, 如图，在△ABC在边中，点D,E,F分别在边AB,AC,BC上，DE∥BC,DF∥AC.已知ADBD =23，ABCS a DFCE，求的面积。

例5有一块三角形的余料ABC，它的边长BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上，问加工成的正方形零件的边长为多少mm？练习：1. 若△ABC∽△DEF, △ABC及△DEF的相像比为１∶2，则△ABC及△DEF的周长比为（）A ．1∶4B ．1∶2C ．2∶1 D2. 两个相像三角形的周长之比为3：4，则这两个三角形的面积之比为：。

相似三角形的性质(经典全面)

一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

《相似三角形》知识结构详解

《相似三角形》知识结构梳理相似三角形是平面几何中极为重要的内容，是中考数学中的重点考察内容。

相似三角形的性质和判别方法是重点也是核心知识。

现就本节知识点梳理如下：一、知识结构图二、核心知识：1．理解并相似三角形的判定与性质2．位似图形的有关概念、性质与作图．3．利用位似将一个图形放大或缩小．4．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．5．把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律．三、突破方法：1、运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养数学建模思想。

2、在综合题中，注意相似知识的领会运用，熟练掌握等线段代换，等比代换，等两代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。

3、判定相似三角形的几条思路：①条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理;②条件中若有一对的等角，可再找一对等角，利用判定1或再找家变成比例用判定2 ；③条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边，直角边对应成比例；④条件中若有的等腰关系，可找顶角相等，可找一对底角相等，也可以找底和腰对应成比例。

四、知识点、概念总结1. 相似：每组图形中的两个图形形状相同，大小不同，具有相同形状的图形叫相似图形。

相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。

我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例—全等形．2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

互为相似形的三角形叫做相似三角形。

相似形的识别：对应边成比例，对应角相等。

成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即a：b=c：d那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

黄金分割：用一点P将一条线段AB分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之比，则可得出这一比值等于0·618…。

4.2相似三角形的判定和性质(2017年)

1. (2017 山东省潍坊市) 2017山东潍坊，15，3分）如图，在△ABC 中，AB ≠AC ，D 、E 分别为边AB 、AC 上的点，AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，点F 为BC 边上一点，添加一个条件：，可以使得△FDB 与△ADE 相似．（只需写出一个）答案：答案：∠A ＝∠BDF (∠A ＝∠BFD ，∠ADE ＝∠BFD ，∠ADE ＝∠BDF ，DF ∥AC ，ED BF AE BD =，AEBF DE BD =) 解析：∵AC ＝3AD ，AB ＝3AE ，∴31==AB AE AC AD ，又∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ACB ，∴∠AED ＝∠B ．故要使△FDB 与△ADE 相似，只需再添加一组对应角相等，或夹角的两边成比例即可．点拨：先抓住△FDB 和△ADE ，再判断这两个三角形已有的相似条件，最后从边或角的方面探求缺少的条件．20171012114444218980 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识 2017-10-122. (2017 四川省自贡市) 在△ABC 中，MN ∥BC 分别交AB ，AC 于点M ，N ；若AM=1，MB=2，BC=3，则MN 的长为 1 ．答案：ABC FD E考点相似三角形的判定与性质．分析根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．解答解：∵MN ∥BC ，∴△AMN ∽△ABC ，∴，即，∴MN=1，故答案为：1．20171012105804453835 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识 2017-10-123. (2017 山东省滨州市) 2017山东滨州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上一点，且DA ＝DC ，BD ＝BA ，则∠B 的大小为A ．40°B ．36°C ．80°D ．25°答案：答案：B ；解析：设∠C ＝x °，由于DA ＝DC ，可得∠DAC ＝∠C ＝x °，由AB ＝AC 可得∠B ＝∠C ＝x °．∴∠ADB ＝∠C ＋∠DAC ＝2x °，由于BD ＝BA ，所以∠BAD ＝∠ADB ＝2x °，根据三角形内角和定理，得x °＋x °＋3x °＝180°，解得x ＝36°．所以∠B ＝36°．20171012102115703108 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识 2017-10-124. (2017 湖北省武汉市) 已知四边形ABCD 的一组对边,AD BC 的延长线相交于点E ．（1）如图1，若90ABC ADC ∠=∠=，求证ED EA EC EB =；A B CD（2）如图2，若120ABC ∠=，3cos 5ADC ∠=，5CD =，12AB =，CDE ∆的面积为6，求四边形ABCD 的面积；（3）如图3，另一组对边,AB DC 的延长线相交于点F ，若3cos cos 5ABC ADC ∠=∠=，5CD =，CF ED n ==，直接写出AD 的长（用含n 的式子表示）．答案：答案(1)证明见解析；（2）；（3）5256n n ++（3）由（1）（2）提供的思路即可求解.试题解析：（1）∵∠ADC=90°∴∠EDC=90°∴∠ABE=∠CDE又∵∠AEB=∠CED∴ΔEAB ∽ΔECD ∴EB EA ED EC =∴ED EA EC EB =由（1）有：ΔECG ∽ΔEAH ∴EG CG EH AH=∴ ∴S 四边形ABCD ＝S ΔAEH －S ΔECG -S ΔABH=116622⨯⨯--⨯⨯(3)5256n n ++ 考点：相似三角形的判定与性质.20171012075307640048 4.2 相似三角形的判定和性质复合题基础知识 2017-10-125. (2017 福建省龙岩市) 如图，ABC ∆中，90,BAC AD BC ∠=⊥o，垂足为D ．求作ABC ∠的平分线，分别交,AD AD 于P ，Q 两点；并证明AP AQ ．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)答案：答案作图见解析；证明见解析.解析试题分析：按作图方法作出角平分线BQ ，然后通过利用互为余角以及等角的余角相等得到∠APQ=∠ AQP,从而证得AP=AQ.试题解析：作图如下，BQ 就是所求作的∠ABC 的平分线，P 、Q 就是所求作的点.证明如下：∵AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°，∵∠ABQ=∠PBD ，∴∠BPD=∠AQP ，∵∠BPD=∠APQ ，∴∠APQ=∠ AQP,∴AP=AQ.20171011145919359319 4.2 相似三角形的判定和性质证明题基础知识 2017-10-116. (2017 重庆市綦江县) 已知△ABC ∽△DEF ，且相似比为1：2，则△ABC 与△DEF 的面积比为（）A ．1：4B ．4：1C ．1：2D ．2：1答案：考点S7：相似三角形的性质．分析利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．解答解：∵△ABC ∽△DEF ，且相似比为1：2，∴△ABC 与△DEF 的面积比为1：4，故选A20170919160007046124 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识 2017-9-197. (2017 重庆市綦江县) 在ABC ∆中，,，450BM AM ABM ⊥=∠垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC.（1）如图1，若,5，23==BC AB 求AC 的长；（2）如图2，点D 是线段AM 上一点，MD=MC ，点E 是ABC ∆外一点，EC=AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：CEF BDF ∠=∠.答案：⑴AC =⑵延长EF 到点G ，使得FG EF =，连接BG ．由DM MC =，BMD AMC =∠∠，BM AM =，可证BMD AMC △≌△故AC BD =又CE AC =，因此BD CE =由BF FC =，BFG EFC =∠∠，FG FE =，可证BFG CFE △≌△故BG CE =，G E =∠∠所以BD BG CE ==因此BDG G E ==∠∠∠M G F EDCB A20170919155621031189 4.2 相似三角形的判定和性质复合题基础知识 2017-9-198. (2017 重庆市綦江县) ABC∆DEF ∆，相似比为3:2，则对应高的比为（）A 、3:2B 、3:5C 、9:4D 、4:9答案：A20170919154547390790 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识 2017-9-199. (2017 浙江省丽水市) 2017·丽水）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=-x+m 分别交于x 轴、y 轴于A ，B 两点，已知点C （2，0）.(1)当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是________；(2)设点P为线段OB的中点，连结PA，PC,若∠CPA=∠ABO，则m的值是________.答案：答案（1）（2）12考点相似三角形的应用，一次函数的性质解析解答解：（1）当直线AB经过点C时，点A与点C重合，当x=2时，y=-2+m=0，即m=2.∴直线AB为y=-x+2，则B（0,2）∴OB=OA=2，AB=2 ，设点O到直线AB的距离是d，由S△OAB= ，则4=2 d，∴d= .2）作OD=OC=2，则∠PDC=45°，如图，由y=-x+m可得A（m,0）,B(0,m),则可得OA=OB，则∠OBA=∠OAB=45°，当m<0时，∠APO>∠OBA=45°，∴此时∠CPA>45°，故不符合，∴m>0.∵∠CPA=∠ABO=45°，∴∠BPA+∠OPC=∠BAP+∠BPA=135°，即∠OPC=∠BAP，则△PCD~△APB ，∴ ，即，解得m=12.故答案为；12.分析（1）点C 与点A 都在x 轴上，当直线AB 经过点C ，则点C 与点A 重合，将C 点坐标代入y=-x+m 代入求出m 的值，则可写出B 的坐标和OB ，求出AB ，再由等积法可解出；（2）典型的“一线三等角”，构造相似三角形△PCD~△APB ，对m 的分析进行讨论，在m<0时，点A 在x 轴负半轴，而此时∠CPA>∠ABO ，故m>0,∴由相似比求出边的相应关系.20170919150524921519 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识 2017-9-1910. (2017 浙江省湖州市) 如图，已知在Rt C ∆AB 中，C 90∠=，C C A =B ，6AB =，点P 是Rt C ∆AB 的重心，则点P 到AB 所在直线的距离等于（）A ．1B 32D ．2答案：答案A考点：1、三角形的重心，2、等腰直角三角形，3、相似三角形的判定与性质20170919145712609916 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识2017-9-1911. (2017 浙江省杭州市) 如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC 于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）若AD=3，AB=5，求AFAG的值．答案：答案（1）证明见解析（2）35解析试题分析：（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；（2）△ADE∽△ABC，AD AEAB AC=，又易证△EAF∽△CAG，所以AF AEAG AC=，从而可求解．试题解析：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，∴AD AE AB AC==35由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴AF AE AG AC=，∴=3 5考点：相似三角形的判定20170919144913562685 4.2 相似三角形的判定和性质证明题基础知识2017-9-19 12. (2017 浙江省杭州市) 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于．答案：答案78解析试题分析：分析由勾股定理求出，求出△ABC的面积=150，证明△CDE∽△CBA，得出CD CDAC CB=，求出CE=12，得出BE=BC﹣CE=13，再由三角形的面积关系即可得△ABE的面积=1325×150=78.故答案为：78．考点：1、相似三角形的判定与性质，2、勾股定理，3、三角形的面积20170919144913125530 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识 2017-9-1913. (2017 浙江省杭州市) 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD=2AD ，则（）A ．12AD AB = B ．12AE EC = C ．12AD EC = D ．12DE BC =答案：答案B解析试题分析：根据平行线的性质，得出△ADE ∽△ABC ，进而利用已知得出对应边的比值13AD DE AE AB BC AC ===，则12AE EC =，可知A ，C ，D 选项错误，B 选项正确，故选：B ．考点：相似三角形的判定与性质20170919144911890471 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识 2017-9-1914. (2017 云南省红河州市) 如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 上的点，若DE//BC ，31=AB AD ，则=++++ACBC AB AE DE AD .答案：答案13 解析试题解析：∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC ， ∴1 3AD DE AE AB B A B C AD A C ++==++．考点：相似三角形的判定与性质．20170919144030171809 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识 2017-9-1915. (2017 山东省淄博市) 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC ，∠ACB 的平分线相交于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，则EF 的长为（）A ．B ．C ．D ．答案：考点S9：相似三角形的判定与性质；KF ：角平分线的性质；KJ ：等腰三角形的判定与性质．分析延长FE 交AB 于点D ，作EG ⊥BC 、作EH ⊥AC ，由EF ∥BC 可证四边形BDEG 是矩形，由角平分线可得ED=EH=EG 、∠DAE=∠HAE ，从而知四边形BDEG 是正方形，再证△DAE ≌△HAE 、△CGE ≌△CHE 得AD=AH 、CG=CH ，设BD=BG=x ，则AD=AH=6﹣x 、CG=CH=8﹣x ，由AC=10可得x=2，即BD=DE=2、AD=4，再证△ADF ∽△ABC 可得DF=，据此得出EF=DF ﹣DE=．解答解：如图，延长FE 交AB 于点D ，作EG ⊥BC 于点G ，作EH ⊥AC 于点H ，∵EF∥BC、∠ABC=90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四边形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED=EH=EG，∠DAE=∠HAE，∴四边形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，∵，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD=AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG=CH，设BD=BG=x，则AD=AH=6﹣x、CG=CH=8﹣x，∵AC===10，∴6﹣x+8﹣x=10，解得：x=2，∴BD=DE=2，AD=4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴=，即=，解得：DF=，则EF=DF﹣DE=﹣2=，故选：C．20170919115758593114 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识2017-9-19 16. (2017 山东省枣庄市) 如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B．C．D．答案：考点S8：相似三角形的判定．分析根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．解答解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选C．20170919111619062707 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识2017-9-1917. (2017 山东省泰安市) 如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．答案：如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．（1）证明：∠BDC=∠PDC；（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE：CP=2：3，求AE的长．考点S9：相似三角形的判定与性质．分析（1）直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出∠BDC=∠PDC；（2）首先过点C作CM⊥PD于点M，进而得出△CPM∽△APD，求出EC的长即可得出答案．解答（1）证明：∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD+∠BDC=90°，∵AC=AD，∴∠ACD=∠ADC，∴∠ADC+∠BDC=90°，∴∠BDC=∠PDC；（2）解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC=∠PDC，∴CE=CM，∵∠CMP=∠ADP=90°，∠P=∠P，∴△CPM∽△APD，∴=，设CM=CE=x，∵CE：CP=2：3，∴PC=x，∵AB=AD=AC=1，∴=，解得：x=，故AE=1﹣=．20170919105539843943 4.2 相似三角形的判定和性质复合题基础知识2017-9-1918. (2017 山东省东营市) 如图，在等腰三角形ABC 中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），在AC 上取一点E ，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD=x ，AE=y ，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．答案：答案（1）证明见解析（2）y=212x （0＜x ＜3）当△ADE 是等腰三角形时，AE=4﹣23．解析∴∠EDC=∠DAB ，∴△ABD ∽△DCE ；（2）如图1，∵AB=AC=2，∠BAC=120°，过A 作AF ⊥BC 于F ，∴∠AFB=90°，∵AB=2，∠ABF=30°，∴AF=12AB=1，∴∴则x ，EC=2﹣y ，∵△ABD ∽△DCE ， ∴ABDCBD CE =，∴2x =化简得：y=212x （0＜x ＜（3）当AD=DE 时，如图2，∠EAD=∠EDA=30°，∠AED=120°，∴∠DEC=60°，∠EDC=90°，则ED=12EC，即y=12（2﹣y），解得：y=23，即AE=23，考点：1、三角形相似的性质和判定，2、等腰三角形的性质，3、直角三角形30°角的性质20170919101158390582 4.2 相似三角形的判定和性质复合题基础知识2017-9-19 19. (2017 山东省东营市) 如图，把△ABC沿着BC的方向平移到△DEF的位置，它们重叠部分的面积是△ABC面积的一半，若BC=，则△ABC移动的距离是（）A B C D答案：答案D解析试题分析：移动的距离可以视为BE 或CF 的长度，根据题意可知△ABC 与阴影部分为相似三角形，且面积比为2：1，所以EC ：BC=1推出EC=2利用线段的差求BE=BC ﹣2 故选：D ．考点：1、相似三角形的判定和性质，2、平移的性质20170919101155718501 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识 2017-9-1920. (2017 内蒙古包头市) 如图，在△ABC 与△ADE 中，AB =AC ，AD =AE ，∠BAC =∠DAE ，且点D 在AB 上，点E 与点C 在AB 的两侧，连接BE ，CD ，点M 、N 分别是BE 、CD 的中点，连接MN ，AM ，AN ．下列结论：①△ACD ≌△ABE ；②△ABC ∽△AMN ；③△AMN 是等边三角形；④若点D 是AB 的中点，则S △ABC =2S △ABE ．其中正确的结论是．（填写所有正确结论的序号）答案：答案①②④．解析③∵AN=AM，∴△AMN为等腰三角形，所以③不正确；④∵△ACN≌△ABM，∴S△ACN=S△ABM，∵点M、N分别是BE、CD的中点，∴S△ACD=2S△ACN，S△ABE=2S△ABM，∴S△ACD=S△ABE，∵D是AB的中点，∴S△ABC=2S△ACD=2S△ABE，所以④正确；本题正确的结论有：①②④；故答案为：①②④．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．20170919085245062465 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识2017-9-1921. (2017 内蒙古包头市) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（）A．32B．43C．53D．85答案：答案A．解析试题分析：过点F作FG⊥AB于点G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF 平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴BF FG AB AC =，∵AC =3，AB =5，∠ACB =90°，∴BC =4，∴453FC FG -=，∵FC =FG ，∴453FC FC -=，解得：FC =32，即CE 的长为32．故选A ．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；角平分线的性质；综合题．20170919085244343841 4.2 相似三角形的判定和性质选择题基础知识 2017-9-1922. (2017 辽宁省铁岭市) 3分）如图，点A （0，8），点B （4，0），连接AB ，点M ，N 分别是OA ，AB 的中点，在射线MN 上有一动点P ．若△ABP 是直角三角形，则点P 的坐标是．答案：答案（2+2，4）或（2+2，4）．∵点M ，N 分别是OA ，AB 的中点，∴AM=OM=4，MN=2，AN=BN=2，①当∠APB=90°时，∵AN=BN ，∴PN=AN=2，∴PM=MN+PN=2+2，∴P（2+2，4），②当∠ABP=90°时，如图，过P作PC⊥x轴于C，则△ABO∽△BPC，∴==1，∴BP=AB=4，∴PN=2，∴PM=2+2，∴P（2+2，4），故答案为：（2+2，4）或（2+2，4）．考点：勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形性质，直角三角形的性质，20170919082932515142 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识2017-9-1923. (2017 江苏省泰州市) 8分）如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC．（1）用直尺和圆规在∠ACB的内部作射线CM，使∠ACM=∠ABC（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）若（1）中的射线CM交AB于点D，AB=9，AC=6，求AD的长．答案：答案（1）详见解析；（2）4.试题分析：（1）根据尺规作图的方法，以AC为一边，在∠ACB的内部作∠ACM=∠ABC即可；（2）根据△ACD与△ABC相似，运用相似三角形的对应边成比例进行计算即可．试题解析：（1）如图所示，射线CM即为所求；（2）∵∠ACD=∠ABC，∠CAD=∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴AD ACAC AB=，即669AD=，∴AD=4．学@科网考点：基本作图；相似三角形的判定与性质.20170918154203140716 4.2 相似三角形的判定和性质画(作)图题基础知识2017-9-1824. (2017 吉林省长春市) 如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4m，BD=14m，则旗杆AB的高为m．答案：答案9.解析即旗杆AB 的高为9m ．考点：相似三角形的应用．20170918152030906042 4.2 相似三角形的判定和性质填空题基础知识 2017-9-1825. (2017 湖南省永州市) 如图，在△ABC 中，点D 是AB 边上的一点，若∠ACD =∠B ，AD =1，AC =2，△ADC 的面积为1，则△BCD 的面积为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：答案C解析试题解析：∵∠ACD =∠B ，∠A =∠A ，∴△ACD ∽△ABC ，∴ACAD AB AC =，∴212=AB ，∴AB =4，∴2)(ABAC S S ABC ACD =∆∆，∴2)42(1=∆ABC S ，∴S △ABC =4，∴S △BCD = S △ABC - S △ACD =4-1=3．故选C考点：相似三角形的判定与性质.20170918135143890063 4.2 相似三角形的判定和性质选择题双基简单应用 2017-9-1826. (2017 湖南省湘潭市) 如图，在ABC ∆中，D E 、分别是边AB AC 、的中点，则ADE ∆与ABC ∆的面积比:ADE ABC S S ∆∆= .答案：答案41 解析试题分析：∵D E 、分别是边AB AC 、的中点，∴DE 是三角形的中位线，∴ADE ∆∽ABC ∆ ∴:ADE ABC S S ∆∆=412122=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛AB AD 考点：相似三角形及中位线性质定理20170915100237609491 4.2 相似三角形的判定和性质填空题双基简单应用 2017-9-1527. (2017 湖北省随州市) 3分）在△ABC 在，AB=6，AC=5，点D 在边AB 上，且AD=2，点E 在边AC 上，当AE= 时，以A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似．答案：答案125或53. 解析考点：相似三角形的判定与性质；分类讨论.20170915075303546546 4.2 相似三角形的判定和性质填空题双基简单应用 2017-9-1528. (2017 湖北省恩施自治州) 如图3，在ABC △中，DE BC ∥，ADE EFC =∠∠，:5:3AD BD =，6CF =，则DE 的长为( )A.6B.8C.10D.12答案：答案C ．试题分析：∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B ．∵∠ADE=∠EFC，∴∠B=∠EFC，∴BD∥EF，∵DE∥BF，故选C．学#科.网考点：相似三角形的判定与性质．20170914142620562369 4.2 相似三角形的判定和性质选择题双基简单应用2017-9-1429. (2017 广东省深圳市) 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP= ．答案： 3 ．考点S9：相似三角形的判定与性质．分析如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．由△QPE∽△RPF，推出==2，可得PQ=2PR=2BQ，由PQ∥BC，可得AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，可得2x+3x=3，求出x即可解决问题．解答解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR=90°=∠MPN，∴∠QPE=∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴==2，∴PQ=2PR=2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP=AB：BC：AC=3：4：5，设PQ=4x，则AQ=3x，AP=5x，BQ=2x，∴2x+3x=3，∴x=，∴AP=5x=3．故答案为3．20170912140638062145 4.2 相似三角形的判定和性质填空题双基简单应用2017-9-1230. (2017 四川省绵阳市) 将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点D在AB 边上，△DEF绕点D旋转，腰DF和底边DE分别交△CAB的两腰CA，CB于M，N两点，若CA=5，AB=6，AD：AB=1：3，则MD+的最小值为．答案： 2 ．考点S9：相似三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性质；R2：旋转的性质．分析先求出AD=2，BD=4，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，然后求出∠AMD=∠BDN，从而得到△AMD和△BDN相似，根据相似三角形对应边成比例可得=，求出MA•DN=4MD，再将所求代数式整理出完全平方的形式，然后根据非负数的性质求出最小值即可．解答解：∵AB=6，AD：AB=1：3，∴AD=6×=2，BD=6﹣2=4，∵△ABC和△FDE是形状、大小完全相同的两个等腰三角形，∴∠A=∠B=∠FDE，由三角形的外角性质得，∠AMD+∠A=∠EDF+∠BDN，∴∠AMD=∠BDN，∴△AMD∽△BDN，∴=，∴MA•DN=BD•MD=4MD，∴MD+=MD+=（）2+（）2﹣2+2=（﹣）2+2，∴当=，即MD=时MD+有最小值为2．故答案为：2．20170907165557679726 4.2 相似三角形的判定和性质填空题数学思考2017-9-7 31. (2017 四川省绵阳市) 为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C 的距离是50cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4cm，则旗杆DE的高度等于（）A．10m B．12m C．12.4m D．12.32m答案：考点SA：相似三角形的应用．分析根据题意得出△ABC∽△EDC，进而利用相似三角形的性质得出答案．解答解：由题意可得：AB=1.5m，BC=0.4m，DC=4m，△ABC∽△EDC，则=，即=，解得：DE=12，故选：B．20170907165556257264 4.2 相似三角形的判定和性质选择题双基简单应用2017-9-7 32. (2017 江苏省连云港市) 如图，已知ABC DEF△∽△，:1:2AB DE=，则下列等式一定成立的是( )A.12BCDF= B.12AD=∠的度数∠的度数C.12ABCDEF=△的面积△的面积D.12ABCDEF=△的周长△的周长答案：答案D考点：相似三角形的性质20170907160149694054 4.2 相似三角形的判定和性质选择题双基简单应用2017-9-7 33. (2017 甘肃省天水市) 如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．答案： 5 ．考点SA：相似三角形的应用．分析易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．解答解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知=，即=，解得AM=5m．则小明的影长为5米．20170821161948796161 4.2 相似三角形的判定和性质填空题双基简单应用2017-8-21。

类型② 相似三角形的判定与性质

类型②相似三角形的判定与性质,备考攻略)1．有关相似三角形的计算问题(如边、角、周长、面积等)．2．用相似三角形解决实际问题．3．证明两个三角形相似或有关相似三角形的证明．1．对应关系判断错误．2．忽视分类讨论而出错．3．错记相似三角形的面积比而出错．1．求证两三角形相似，方法有：(1)对应的两个角相等(经常用到)；(2)三组对应边成比例；(3)两组对应边成比例，并且相应的夹角相等；(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(5)对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形(定义)．2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例，相似比＝边长比＝周长比＝对应高的比＝对应中线的比＝对应角平分线的比；面积比＝相似比的平方．3．做题时灵活运用相关知识．1．有关相似三角形的计算问题：熟悉并掌握相似三角形的性质，在求解过程中能够找出边或角的对应关系，适当的运用方程、转化、分类等数学思想．2．用相似三角形解决实际问题：首先将实际问题转化为相似三角形的模型，再判断说明两个三角形相似及利用相似三角形的性质求解．3．证明两个三角形相似或有关相似三角形的证明：熟悉并掌握相似三角形的判定方法，注意总结归纳相似三角形的一些基本模型．,典题精讲)【例1】(2017自贡中考)在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N；若AM ＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为________．【解析】由MN∥BC，易证△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【答案】11．(2016乐山中考)如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且DE ∥BC ，若△ADE 与△ABC 的周长之比为2∶3，AD ＝4，则DB ＝__2__．2．如图，平行四边形ABCD 中，E 为AD 的中点，已知△DEF 的面积为1，则平行四边形ABCD 的面积为__12__．(第2题图)(第3题图)3．(南宁中考)有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S 1，S 2，则S 1∶S 2等于( D )A ．1∶ 2B ．1∶2C ．2∶3D ．4∶9【例2】(齐齐哈尔中考)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，AD 与BE 相交于点F.(1)求证：△ACD ∽△BFD ；(2)若∠ABD ＝45°，AC ＝3时，求BF 的长．【解析】(1)由∠C ＋∠DBF ＝90°，∠C ＋∠DAC ＝90°，推出∠DBF ＝∠DAC ，由此即可证明；(2)先证明AD ＝BD ，由△ACD ∽△BFD ，得ACBF＝1，即可解决问题．【答案】解：(1)∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴∠BDF ＝∠ADC ＝∠BEC ＝90°，∴∠C ＋∠DBF ＝90°，∠C ＋∠DAC ＝90°， ∴∠DBF ＝∠DAC ，∴△ACD ∽△BFD ；(2)∵∠ABD ＝45°，∠ADB ＝90°， ∴AD ＝BD ， ∴AD BD＝1. ∵△ACD ∽△BFD ，AC ＝3， ∴AC BF ＝ADBD＝1， ∴BF ＝3.4．(2017毕节中考)如图，在▱ABCD 中过点A 作AE ⊥DC ，垂足为E ，连接BE ，F 为BE 上一点，且∠AFE ＝∠D.(1)求证：△ABF ∽△BEC ；(2)若AD ＝5，AB ＝8，sin D ＝45，求AF 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠D ＋∠C ＝180°，∠ABF ＝∠BEC. ∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠D ， ∴∠C ＝∠AFB ，∴△ABF ∽△BEC ；(2)∵AE ⊥DC ，AB ∥DC ， ∴∠AED ＝∠BAE ＝90°.在Rt △ADE 中，sin D ＝AE AD ＝AE 5＝45，∴AE ＝4.在Rt △ABE 中，根据勾股定理得： BE ＝AE 2＋AB 2＝42＋82＝4 5. ∵BC ＝AD ＝5，由(1)得：△ABF ∽△BEC ， ∴AF BC ＝AB BE ， ∴AF 5＝845，解得：AF ＝2 5.1．(湘西中考)如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DB ＝2AD ，△ADE 的面积为1，则四边形DBCE 的面积为( D )A ．3B ．5C ．6D ．82．(随州中考)如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O ，若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( B )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶25(第2题图)(第3题图)3．(毕节中考)在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A.已知BC ＝22，AB ＝3，则BD ＝__83__.4．(岳阳中考)如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，点F 是AM 的中点，EF ⊥AM ，垂足为F ，交AD 的延长线于点E ，交DC 于点N.(1)求证：△ABM ∽△EFA ；(2)若AB ＝12，BM ＝5，求DE 的长．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA；(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝122＋52＝13，AD＝12.∵F是AM的中点，∴AF＝12AM＝6.5.∵△ABM∽△EFA，∴BMAF＝AMAE，即56.5＝13AE，∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9.5．(2017安徽中考节选)已知正方形ABCD，点M边AB的中点．如图，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.求证：(1)BE＝CF;(2)BE2＝BC·CE.解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°.∴∠ABG＋∠CBF＝90°.∵∠AGB＝90°，∴∠ABG＋∠BAG＝90°，∴∠BAG＝∠CBF.在△ABE 和△BCF 中⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CBF ，AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF ，∴△ABE ≌△BCF, ∴BE ＝CF ；(2)∵∠AGB ＝90°，点M 为AB 的中点， ∴MG ＝MA ＝MB, ∴∠GAM ＝∠AGM.又∵∠CGE ＝∠AGM ，∠GAM ＝∠CBG, ∴∠CGE ＝∠CBG, 又∠ECG ＝∠GCB, ∴△CGE ∽△CBG, ∴CE CG ＝CGCB，即CG 2＝BC·CE, 由∠CFG ＝∠GBM ＝∠BGM ＝∠CGF 得CF ＝CG, 由(1)知BE ＝CF, ∴BE ＝CG, ∴BE 2＝BC·CE.。

(完整版)相似三角形知识点及典型例题,推荐文档

相似三角形知识点及典型例题知识点归纳：1、三角形相似的判定方法(1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

(2)平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。

(3)判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两角对应相等，两三角形相似。

(4)判定定理2:如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。

(5)判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

简述为：三边对应成比例，两三角形相似。

(6)判定直角三角形相似的方法：①以上各种判定均适用。

②如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。

③直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

#直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。

每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。

如图，Rt△ ABC 中，/ BAC=90 , AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：(1)( AD) 2=BD- DC ( 2)( AB) 2=BD • BC ,22(3)( AC) =CD・ BC。

注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。

即 2 2(AB) + ( AC) = ( BC)2典型例题:例1 如图，已知等腰 △ABC 中，AB = AC , AD 丄BC 于D , CG II AB , BG 分别交AD , AC 于E 、F ，求证：BE 2=EF EG证明：如图，连结 EC ,v AB = AC , AD 丄BC ,•••/ ABC = Z ACB , AD 垂直平分 BC••• BE = EC ，/ 1 =Z 2，•/ ABC- / 1 =Z ACB- / 2 ,即/ 3 = Z 4，又 CG // AB ，•/ G = Z 3，•/ 4 = Z GCE EF又•••/ CEG = Z CEF , CEF GEC , • EG = CE • EC 2= EG- EF ，故 EB 2=EF -EG【解题技巧点拨】本题必须综合运用等腰三角形的三线合一的性质，线段的垂直平分线的性质和相似三角形的基本图形来得到证明•而其中利用线段的垂直平分线的性质得到 BE=EC ，把原来处在同一条直线上的三条线段BE , EF , EC 转换到相似三角形的基本图形中是证明本题的关键。

第一讲相似三角形的判定(正文)

第一讲相似三角形的几何模型重难点精讲优练类型一 A 字型与8字形△ADE 绕点A 旋转180°A 字型 8字型结论：DE ∥BC ⇔△ADE ∽△ABC ⇔AD AE DEAB AC BC== 针对训练1、如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，连接AE 、BE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，S △DEF ：S △ABF =4：25，则DE ：EC=（）A ．2：3B ．2：5C ．3：5D ．3：22、如图，点D 是△ABC 的边AB 上的一点，过点D 作BC 的平行线交AC 于点E ，连接BE ，过点D 作BE 的平行线交AC 于点F ，则下列结论错误的是（）类型二反A字形与反8字型（或斜A字型与斜8字型）△ADE绕点A旋转180°反A字型反8字型（蝴蝶型）结论：AED ABCDAE CAB⎫⇔⎬⎭∠=∠∠=∠（公共角或对顶角）△ADE∽△ACB⇔AD AE DEAC AB CB==针对训练2、（2017株洲）如图示，正方形ABCD 的顶点A 在等腰直角三角形DEF 的斜边EF 上，EF 与BC 相交于点G ，连接CF ． ①求证：△DAE ≌△DCF ； ②求证：△ABG ∽△CFG ．类型三母子型结论：如图①，若∠ACD=∠ABC 或∠ADC=∠ACB ，则△ACD ∽△ABC ，所以AD AC DCAC AB CB==, 如图②，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，则Rt △ACD ∽Rt △CBD ∽Rt △ABC,可得三组比例关系，其中由Rt △ACD ∽Rt △ABC 可得A C A DA B A C=,转化为等积式为2A C A D A B=⋅（1）；B由Rt△BCD∽Rt△BAC可得BC BDBA BC=,转化为等积式为2BC BD BA=⋅（2）；由Rt△ACD∽Rt△CBD可得AD CDCD BD=，转化为等积式为2CD AD BD=⋅（3）；以上三个等积式是射影定理的主要内容针对训练1、调2018大分类2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（）类型四一线三等角型三垂直模型（K字型）一线三等角型相似三角形通常以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，如下图：针对训练1、调2018大分类2、（2017泰安）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）类型五旋转型针对训练1、已知点E 在△ABC 内，∠ABC=∠EBD=α，∠ACB=∠EDB=60°，∠AEB=150°，∠BEC=90°．（1）当α=60°时（如图1），①判断△ABC 的形状，并说明理由；②求证：；（2）当α=90°时（如图2），求BDAE的值．点对点分层训练A．5.5 B．4 C．4.5 D．3.52、如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE=4，S△CDE=16，则△ACD的面积为（）A．64 B．72 C．80 D．963、如图，已知AC∥BD，AB和CD相交于点E，AC=6，BD=4，F是BC上一点，S△BEF：S△EFC=2：3．（1）求EF的长；（2）如果△BEF的面积为4，求△ABC的面积．能力提升1、如图，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3，若在线段AB上取一点P，使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，则这样的P点有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2、如图，在△ABC中，CD⊥AB，且CD2=AD•DB，AE平分∠CAB交CD于F，∠EAB=∠B，CN=BE．①CF=BN；②∠ACB=90°；③FN∥AB；④AD2=DF•DC．则下列结论正确的是（）A．①②④B．②③④C．①②③④D．①③3、（2017六盘水）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F．若CD=5，BC=8，AE=2，则AF=4、如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF=23 EH，那么EH的长为.5、6、如图，B、C、D在同一直线上，△ABC和△DCE都是等边三角形，且在直线BD的同侧，BE交AD于F，BE交AC于M，AD交CE于N．（1）求证：AD=BE；（2）求证：△ABF∽△ADB．7、（2017河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．创新优练1、2018大分类AE4、链接名校1、（师大模拟）2、（西工大模拟）3、（西工大模拟）【答案】74、（2017西工大月考）对接陕西中考1、（2016陕西副题）调2017陕西真题2、（2017陕西）调2017陕西真题3、调2017陕西真题。

相似三角形的判定 -完整版课件

易错点：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论时找不准对应关系.
The end
THANKS 谢谢观赏
学习目标
1 课堂讲解相似三角形
平行线分线段成比例的基本事实
平行线分线段成比例基本事实的推论
相似三角形判定的预备定理
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
课时导入
复习回顾
1、什么叫相似多边形呢？ 2、你能类似的给相似三角形下一个定义吗？ 3、什么叫相似比？
感悟新知
知识点 1 相似三角形
总结
在题目中如遇到与直线平行相关的问题时，可从两个方面得到信息：一是位置角之间的关系(同位角相等、内错角相等、同旁内角互补)；二是线段之间的关系，即平行线分线段成比例．
1
3 5
2 【中考·扬州】如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝___1_2_c_m__.
那么在其他直线上截得的线段也相等.
l1
符号语言
l2 l3
∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC
∴ A1B1=B1C1
A B C
A1 ？B1 ？C1
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
几何语言
∵ l1//l2//l3
∴ AB DE
BC EF
(平行线分线段成比例)
l4 l5
A
D
l1
B
E
l2
知识点 3 平行线分线段成比例基本事实的推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
数学表达式：如图，∵DE∥BC，

相似三角形的三点定形、相似三角形与函数综合问题

学生：科目：数学教师：知识框架一、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△． 2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。

这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．二、函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．和角．的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。

根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

第1部分第4章第4节相似三角形

《海岛算经》《海岛算经》由刘徽于三国魏景元四年(公元 263 年)所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》．《海岛算经》都是用表尺重复从不同位置测望，取测量所得的差数进行计算，从而求得山高或谷深，这就是刘徽的重差理论．《海岛算经》中，从题目文字可知所有计算都是用筹算进行的．“为实”指作为一个分数的分子，“为法”指作为分数的分母．所用的长度单位有里、丈、步、尺、寸：1 里＝150 丈；1 丈＝10 尺；1 步＝6 尺；1 尺＝10 寸．
(2)直角三角形 a．一组⑫_锐__角__对应相等，两三角形相似． b．两直角边对应成比例，两三角形相似． c．斜边和一条直角边对应成比例，两三角形相似．
(3)判定三角形相似的思路及几种常见类型
三角
有平行截线——用平行线的性质，找等角
形相
似的
判定
思路
三角形相似的判定思路
几种常见类型
【解析】由题意，得 AH⊥HG，CB⊥HG，∴∠AHF＝90°，∠ CBF＝90°，∴∠AHF＝∠CBF，∵∠AFB＝∠CFB，∴△CBF∽△ AHF，∴ABHC ＝HBFF，同理可得，HDEA＝HDGG，∵BF＝123，BD＝1000， DG＝127，∴HF＝HB＋123，HG＝HB＋1000＋127＝HB＋1127，∴H3A ＝HB1＋23123，H3A＝HB＋1217127，解得 HB＝30750，HA＝753.
2．(2019·顺庆区校级自主招生)在平面直角坐标系中，第一个正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为(1，0)，点 D 的坐标为(0， 2)，延长 CB 交 x 轴于 A1，作第一个正方形 A1B1C1C；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作第二个正方形 A2B2C2C1；…按这样的规律进行下去，第 2019 个正方形的面积为( B )

专题六相似形和解直角三角形

专题六相似形和解直角三角形一、专题分析：内容分析：八年级下第四章相似图形九年级下第一章直角三角形的边角关系考点：（1）比例线段和比例的基本性质（2）相似三角形的性质和判定（3）相似三角形的实际应用（4）锐角三角函数的概念（5）特殊角的三角函数值（6）解直角三角形在实际中的应用考法分析：比例线段和比例的基本性质主要以填空题和选择题出现，题目比较简单。

相似三角形的性质和判定填空题、选择题、解答题中都会出现，经常在一个题目中都会用到，直接证相似为结论的题目比较少，但作为一种解决问题的工具，在解题中必不可少。

相似形应用广泛，与三角形、平行四边形联系紧密。

相似形所占分值大约为5—10分解直角三角形的知识是近几年中考命题的热点之一，考查内容以基本知识与基本技能为主，应用意识进一步增强，联系实际，综合运用知识，技能的要求越来越高，不仅有传统的计算距离、高度、角度的应用题，更有要求学生根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题，考查题型为选择题、填空题、应用型题。

分值一般在8分以上。

二、复习建议：本专题大约需要5课时，包括测试讲评2课时。

课时一：1、主要内容：比例线段、相似三角形的性质和判定、位似图形、相似多边形的性质和判定2、教学重点：相似三角形的性质和判定教学难点：相似三角形的性质和判定 3、复习要求与建议：一、比例线段和比例的性质1、线段比的含义_____________ 叫做两条线段的比。

2、线段成比例及有关概念的意义在四条线段中，如果，那么这四条线段叫成比例线段，简称比例线段。

3、比例的性质（1）基本性质：如果d c b a = ，那么；如果ad=bc,那么。

（2）合比性质：如果dc b a = ，那么。

（3）等比性质：如果nm dc ba ===........（b+d+…+n ≠0）,那么。

4、黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做。