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(完整版)两角和与差及二倍角公式经典例题及答案

成功是必须的:两角和与差及其二倍角公式知识点及典例知识要点： 1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 C( a — 3 ): cos( a — 3 )= S( a + 3 ): sin( a + 3 )=T( a + 3 ): tan( a + 3 )=2、二倍角的正弦、余弦、正切公式 S 2 : sin2 a = C( a + 3 ): cos( a + 3 )= S( a — 3 ): T( a — 3 )： 2h例 2 设 cos a —21 9’T 2 : tan2 . asin 2 — 23,其中n 2,n0, 2，求 cos( a+ 3).sin( a — 3 )= tan( a — 3 )= C 2 : cos2 a =— — ,3、在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等。

如T( a± 3可变形为：tan a± tan 3= 考点自测： 1、已知tan A 、7 11 B、 tan 3 = 3, 7 11 变式2:已知03.ncos(— 4 435，sin( 4)—,求 sin( a + 3 )的值. 13则 tan( a C 、？ 13 tan a an 3= 3)=( 13 题型3给值求角已知三角函数值求角，一般可分以下三个步骤：(1)确定角所在的范围;值(要求该三角函数应在角的范围内严格单调 )；(3)求出角。

1 1例 3 已知 a, 3^ (0, n,且 tan (a — 3 ="2, tan 3=— 7 求 2 a — 3 的值.(2)求角的某一个三角函数n a — 6 +A —症A . 5 2、已知cos 3、在厶ABC 中，若 sin a= 43」 B辺B.5 4 q 5cosA = 5，cosB = 13, B 56 B.65sin 7 n a+舀的值是( C . — 4 5 则cosC 的值是( c 丄或56 C.65或65 4、若 cos2 9+ cos 0= 0,贝U sin2 0+ sin B 的值等于( )C . 0 或 3 4D ・516 65 0或土 3A . 0B . ± 3 一.卜 2cos55 — j‘3sin55、二角式 A 辽 2 题型训练题型1给角求值一般所给出的角都是非特殊角，利用角的关系(与特殊角的联系)化为特殊角 cos5B.o■值为( 例 1 求[2si n50 sin 10 (1 3tan10)]? 2sin 280 的值• 11变式3:已知tan a =, tan 3 =-，并且a , 3均为锐角，求a +23的值.7 3题型4辅助角公式的应用J 22asinx bcosx a b sin x (其中角所在的象限由 a, b 的符号确定，角的值由btan —确定)在求最值、化简时起着重要作用。

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.已知，，那么的值为________ ．【答案】【解析】因为=，所以===．【考点】角的配凑；两角差的正切公式2.的值为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由和差化积公式原式=．【考点】和差化积公式．3.已知函数，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由和差化积公式得，，即，可得，解得．【考点】1、和差化积；2、三角函数的取值．4.若为锐角，且sin＝，则sin的值为________．【答案】【解析】 sin＝，为锐角，故，cos=,，故答案为：.【考点】两角和的正弦公式；三角函数求值.5.函数是( )A．周期为的偶函数B．周期为2的偶函数C．周期为的奇函数D．周期为2的奇函数【答案】【解析】利用余弦和差角公式,化简函数式有,所以周期为.又因为.【考点】余弦和差角公式;周期公式.6. .【答案】【解析】根据两角和的正切公式可得，所以，所以.【考点】两角和的正切公式.7.在中，已知．（1）求角的值；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）运用正余弦的二倍角公式将化简得到，结合，进而得到的值，从中可确定的值；（2）先由角的大小及的值，结合正弦定理得到，进而由三角形的内角和定理算出，再由两角和差公式算出的值，最后由三角形的面积计算公式即可求得的面积．试题解析：（1）因为，所以因为，所以，从而所以 6分（2）因为，，根据正弦定理得所以因为，所以所以△的面积 12分．【考点】1．正、余弦的二倍角公式；2．正弦定理；3．三角形的面积计算公式．8.= ．【答案】【解析】根据两角和的正弦公式：得：【考点】两角和的正弦公式9.为第二象限角，且，求的值.【答案】．【解析】先利用两角和与差的正弦函数和二倍角公式将待求式子化成只含有角的三角函数，再由三角函数的同角公式求出角余弦值，从而求出结果即可．试题解析：为第二象限角，且,．====．【考点】1、两角和与差的正弦函数; 2、二倍角公式；3、同角三角函数基本关系．10.已知，为第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）,; （2）,.【解析】（1）由同角间的基本关系式与的范围可得；（2）由两角和的正弦和倍角的正切公式展开可得.试题解析：解：（1），为第三象限角，； 3分； 6分由（1）得， 9分． 12分【考点】同角间的基本关系，两角和的正弦，倍角公式的正切公式.11. sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是 ( )A．B．C．－D．－【答案】C【解析】。

完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题

完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。

6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。

7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。

8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。

9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。

高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析

高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．点P在曲线C上，则点P到直线的距离的最小值为．【答案】5【解析】直线：，∴，∴，设，则，当时，.【考点】两角差的正弦余弦公式、三角函数的最值、点到直线的距离.2. [2014·浙江五校联考]已知sin(＋α)＝，则cos(－2α)的值等于________．【答案】－【解析】∵＋α＋－α＝，∴sin(＋α)＝cos(－α)＝，∴cos(－2α)＝cos2(－α)＝2cos2(－α)－1＝2×()2－1＝－.3. sin2012°=（）A．sin32°B．﹣sin32°C．sin58°D．﹣sin58°【答案】B【解析】sin2012°=sin（5×360°+212°）=sin212°=sin（180°+32°）=﹣sin32°．故选B4.若，则=（）A．B．C．D．【答案】（C）【解析】由所以.故选（C）.【考点】1.角的和差公式.2.解方程的思想.5.正方形和内接于同一个直角三角形中，如图所示，设，若，，则 .【答案】【解析】依题意可得，所以，,所以.所以，所以即.，所以.即可得.即.令.则.所以可得.解得或（由于，所以舍去.），所以.【考点】1.解三角形的知识.2.三角形相似的判定与性质.3.三角的运算.6.已知，，则．【答案】3【解析】因为，所以【考点】两角和的正切公式7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且满足cs inA=ac o s C，则s inA+s inB的最大值是（）A．1B．C．D．3【答案】C【解析】由cs inA=ac o s C，所以s inC s inA=s inA c o s C，即s inC=c o s C，所以t a nC=，C=,A=-B,所以s inA+s inB=s in（-B）+s inB=s in（B+）∵0<B<,∴<B+< ,∴s inA+s inB的最大值为.故选C.【考点】1正弦定理；2两角和与差的正弦函数；3正弦函数的单调性．8.设函数满足.（1）求的单调递减区间；（2）设锐角的内角所对的边分别为，且，求的取值范围.【答案】(1) ;(2)【解析】(1)由函数，运用二倍角公式的逆运算，即可将化成一个角的和差的正余弦形式.再结合基本函数的单调性，通过解不等式即可得到的单调递减区间.(2)因为，结合余弦定理化简后再根据正弦定理，即可得到角B的值，又由（1）所得的函数关系，即可求出角A的范围.试题解析：（1）由得：，∴∴由得：，∴的单调递减区间为：（2）∵，由余弦定理得：，即，由正弦定理得：，，，∴∵△锐角三角形，∴，∴的取值范围为．【考点】1.三角函数的二倍角公式.2.三角函数的化一公式.3.运用正弦定理、余弦定理解三角形.4.三角不等式的解法.9.如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？【答案】即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大【解析】设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22－2×1×2×cosα＝5－4cosα，于是，四边形OACB的面积为S＝S△AOB ＋S△ABC＝OA·OBsinα＋AB2＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)＝sinα－cosα＋＝2sin＋.因为0＜α＜π，所以当α－＝，α＝，即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大10.求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．【答案】【解析】(解法1)因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin210°＋cos2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin210°＋＋sin10°·(cos10°－sin10°)＝(sin210°＋cos210°)＝.(解法2)设x＝sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°，y＝cos210°＋sin240°＋cos10°sin40°.则x＋y＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°，x－y＝cos80°－cos20°－＝－sin50°－＝－cos40°－.因此2x＝，故x＝11.计算：(tan10°－)·sin40°.【答案】－1【解析】原式＝·sin40°＝＝＝＝＝－1.12.已知α∈，tanα＝，求：(1)tan2α的值；(2)sin的值．【答案】（1）（2）【解析】(1)因为tanα＝，所以tan2α＝.(2)因为α∈，所以2α∈(0，π)．又tan2α>0，所以sin2α＝，cos2α＝.所以sin＝sin2αcos＋cos2αsin.13.已知α＋β＝，则cos2α＋cos2β＋cosαcosβ＝________．【答案】【解析】原式＝＋cosαcosβ＝1＋(cos2α＋cos2β)＋cosαcosβ＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝1－cos(α－β)＋×＋cos(α－β)＝14.已知α、β∈，sinα＝，tan(α－β)＝－，求cosβ的值．【答案】【解析】∵ α、β∈，∴－＜α－β＜.又tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0. ∴＝1＋tan2(α－β)＝.∴ cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－.又sinα＝，∴ cosα＝.∴ cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝×＋×＝15.已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________．【答案】1【解析】∵tanβ＝，∴tanβ＝＝tan .又∵α、β均为锐角，∴β＝－α，即α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1.16.已知cos＋sinα＝，则sin的值为________．【答案】－【解析】∵cos＋sinα＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，∴sin＝－sin＝－＝－.17.△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若(2a＋c)·cos B＋b·cos C＝0，则B 的值为________．【答案】【解析】由正弦定理可将(2a＋c)cos B＋bcos C＝0转化为2sin A·cos B＋sin C·cos B＋sin Bcos C＝0，即2sin Acos B＋sin(B＋C)＝0，得2sin Acos B＋sin A＝0，又由A为△ABC内角，可知sin A≠0，则cos B＝－，则B＝18.如图所示，角A为钝角，且sin A＝，点P，Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点．(1)若AP＝5，PQ＝3，求AQ的长；(2)若∠APQ＝α，∠AQP＝β，且cos α＝，求sin(2α＋β)的值．【答案】（1）2.（2）【解析】∵角A是钝角，sin A＝，∴cos A＝－.(1)在△APQ中，由余弦定理得PQ2＝AP2＋AQ2－2AP·AQ cos A，所以AQ2＋8AQ－20＝0，解得AQ＝2或－10(舍去负值)，所以AQ＝2.(2)由cos α＝，得sin α＝，在△APQ中，α＋β＋A＝π，得sin(α＋β)＝sin(π－A)＝sin A＝，cos(α＋β)＝－cos A＝，∴sin(2α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝×＋×＝.19.若α，β∈(0，π)，cos α＝－，tan β＝－，则α＋2β＝________.【答案】【解析】由条件得α∈，β∈，所以α＋2β∈(2π，3π)，且tan α＝－，tan β＝－，所以tan 2β＝＝－，tan(α＋2β)＝＝－1，所以α＋2β＝.20.已知向量，， .（1）求的最小正周期；（2）若A为等腰三角形ABC的一个底角，求的取值范围.【答案】(1) ；（2）.【解析】(1)求出=利用两角和与差的正余弦函数公式化简得==∴最小正周期T=；（2）利用A为等腰三角形ABC的一个底角，求出A的范围为，所以，进而，再求出，即可得.试题解析：(1)= 2分===== 5分∴最小正周期T= 6分（2）∵A为等腰三角形ABC的一个底角，∴∴，∴， 8分∴，即. 12分【考点】1.两角和与差的正余弦函数；2.平面向量数量积的运算；3.解三角形．.21.在中，角的对边分别为，已知：，且．（Ⅰ）若，求边；（Ⅱ）若，求的面积．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）先由条件用和差公式化简，再根据三角形内角范围得到角.再由得到角，最后由正弦定理得到；（Ⅱ）先由余弦定理及条件得到，又因为，从而可知为直角三角形，其中角为直角.又，所以.既而得到三角形的面积.试题解析：（Ⅰ）由已知，所以，故，解得. (4分)由，且，得.由，即，解得. (7分)（Ⅱ）因为，所以，解得. (10分)由此得，故为直角三角形.其面积. (12分)【考点】1.两角和差公式；2.正弦定理；3.余弦定理.22.已知（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴.【考点】1.两角和与差的正余弦公式；2.平方关系.23.的值（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.【考点】三角恒等变换、诱导公式及三角函数值.24.若，则= .【答案】【解析】令则，所以【考点】三角函数的诱导公式及倍角公式.25.已知则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，利用互余角的诱导公式可知，因此所求的值为，选D.26.（本小题满分12分）在锐角中，角所对边分别为，已知. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）。

第三章第五节两角和与差的三角函数精品

第三章第五节两角和与差的三角函数题组一三角函数的化简、求值1.2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( )A.12B.32 C.3 D. 2 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案：C 2.3－tan105°1＋3tan105°的值为 ( )A ．－1B ．1C ．－ 3D ．－33解析：3－tan105°1＋3tan105°＝tan60°－tan105°1＋tan60°tan105°＝tan(60°－105°)＝tan(－45°)＝－tan45°＝－1. 答案：A3．若sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.解析：∵sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3，故tan α＝2.又tan(α－β)＝2，故tan(β－α)＝－2. ∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan(β－α)－tan α1＋tan(β－α)·tan α＝43.答案：43题组二给值求值问题4.sin(π4－x )＝35，则sin2x 的值为 ( )A.725B.1425C.1625D.1925 解析：∵sin(π4－x )＝35，∴22cos x －22sin x ＝22(cos x －sin x )＝35. ∴cos x －sin x ＝325. ∴(cos x －sin x )2＝1－sin2x ＝1825，∴sin2x ＝725. 答案：A5．已知α为钝角，且sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋5π12)的值为 ( ) A.22＋36 B.22－36C ．－22＋36 D.－22＋36解析：∵α为钝角，且sin(α＋π12)＝13， ∴cos(α＋π12)＝－223，∴cos(α＋5π12)＝cos[(α＋π12)＋π3]＝cos(α＋π12)cos π3－sin(α＋π12)sin π3＝(－223)·12－13·32＝－22＋36.答案：C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值．解：(1)法一：因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin[⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 法二：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210，即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0，解得sin x ＝45或sin x ＝－35.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725. 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3 ＝－24＋7350.7.在△ABC ( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120° 解析：已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sin A cos B ＋cos A sin B )＝25＋24sin(A ＋B )＝37， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝12，∴C ＝30°或150°.当C ＝150°时，A ＋B ＝30°，此时3sin A ＋4cos B ＜3sin30°＋4cos0°＝112，这与3sin A ＋4cos B ＝6相矛盾， ∴C ＝30°. 答案：A8．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，α，β∈(0，π)，则2α－β＝________.解析：∵tan β＝－17，tan(α－β)＝12，∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝12－171－12×(－17)＝13，tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α] ＝tan(α－β)＋tan α1－tan(α－β)tan α＝12＋131－13×12＝1.∵tan α＝13>0，tan β＝－17<0，∴α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，∴α－β∈(－π，0)．又∵tan(α－β)＝12>0，∴α－β∈(－π，－π2)，2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)，而tan(2α－β)＝1，∴2α－β＝－34π.答案：－34π9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知， cos α＝210，cos β＝255.因α为锐角，故sin α＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210，同理可得sin β＝55. 因此tan α＝7，tan β＝12.所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3. (2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π2，故0＜α＋2β＜3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.10.已知向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于( )A ．－34 B ．－14 C.34 D.14解析：a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14.答案：B11．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值为______．解析：∵cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453，∴12cos α＋32sin α＝45， ∴sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－(32sin α＋12cos α)＝－45. 答案：－4512．(文)已知点M (1＋cos2x,1)，N (1，3sin2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，设y ＝OM u u u u r ·ON u u u r(O 为坐标原点)．(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并求f (x )在[0，π2]上的最小值．解：(1)依题意得：OM u u u u r ＝(1＋cos2x,1)，ON u u u r＝(1，3sin2x ＋a )，∴y ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a .∴f (x )的最小正周期为π.(2)若x ∈[0，π2]，则(2x ＋π6)∈[π6，7π6]，∴－12≤sin(2x ＋π6)≤1，此时y max ＝2＋1＋a ＝4，∴a ＝1，y min ＝－1＋1＋1＝1.(理)已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(12，－12)．(1)若a·b ＝22，a·c ＝3－14，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值．解：(1)∵a·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β) ＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)＝22， ① a·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12)＝12cos α－12sin α＝3－14， ② 又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2＜α－β＜π2.由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π. (2)由a ＝b ＋c可得⎩⎨⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12， ④③2＋④2得cos α－sin α＝12，∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34， ∴3tan 2α－8tan α＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tan α＞0，∴tanα＝8±82－4×3×36＝8±286＝4±73.。

数学北师大版必修4例题与探究：3.2两角和与差的三角函

典题精讲例1计算︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2.思路分析：10°、20°角直观上看似没有联系，但是两者的和角是30°为特殊角，所以把10°等价代换成30°-20°后就可以用两角差的公式化简. 解：︒︒-︒20cos 20sin 10cos 2=︒︒-︒-︒20cos 20sin )2030cos(2=320cos 20sin 20sin 20cos 3=︒︒-︒+︒.绿色通道：本题是无条件的三角函数求值问题，这是三角函数中的重要内容，是高考常考查的内容之一，对于这类非特殊角的三角函数式，求解具体数值一般有以下途径：（1）将非特殊角化为特殊角的和或差的形式；（2）化为正负相消的项，消项，求值；（3）化为分子、分母形式，进行约分求值；（4）利用诱导公式化任意角的三角函数为在［0, 2π］内的三角函数；（5）特别注意诱导公式2π±α的应用；（6）化切函数为弦函数；（7）善于逆用和变形三角函数的和差公式.在进行求值过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式，则整体变形，否则才进行各局部的变形.变式训练1(2006陕西高考卷，理)13 cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为_____________. 思路分析：原式=cos43°cos77°+sin43°cos(90°+77°)=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(43°+77°) =cos120°=-21. 答案：-21 变式训练2求sin187πcos 92π-sin 9πsin 92π的值. 思路分析：观察分析这些角的联系，会发现9π=2π-187π，即187π与9π是互余的两角，因此可用诱导公式将sin9π变为cos 187π，进而用和差角的正余弦公式求解. 解：原式=sin 187πcos 92π-sin （2π-187π）sin 92π=sin 187πcos 92π-cos 187πsin 92π=sin （187π-92π）=sin 6π=21.例2(2006重庆高考卷，理13)已知α,β∈（43π,π），sin(α+β)=53-,sin （β-4π）=1312,则cos（α+4π）=________________. 思路分析：利用α+4π=(α+β)-(β-4π)来求值.∵ α,β∈（43π,π）， ∴(α+β)∈(23π,2π).∴cos(α+β)=)(sin 12βα+-=54.又(β-4π)∈(2π,43π)，∴cos(β-4π)=-135.∴cos(α+4π)=cos ［(α+β)-(β-4π)］=cos(α+β)cos(β-4π)+sin (α+β)sin(β-4π)=54(-135)+( 53-)1312=-6556. 答案：-6556绿色通道：本题属于“知值求值”的题目，“变角”的技巧在三角函数求值以及证明中常用，因为变角后可充分利用已知条件中的三角函数值来计算或证明.常见的角的变换方式：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)，α+2β=(α+β)+β等等，变换的方式很多，需要自己慢慢的体会和探索.黑色陷阱：求解时如果将sin(α+β)和sin （β-4π）展开，通过解方程组求sinβ和cosβ，那么运算量很大，会因解方程组而陷入困境. 变式训练1已知cosα=71，cos （α+β）=1411-，且α、β∈（0，2π），求cosβ的值. 思路分析：观察得β=（α+β）-α，再利用两角差的余弦公式展开，求出结果. 解：∵α、β∈（0，2π）， ∴0<α+β<π. ∵cosα=71，cos （α+β）=1411-， ∴sinα=734)71(1cos122=-=-α， sin （α+β）=1435))1411(1()(cos 122=--=+-βα. ∴cosβ=cos ［（α+β）-α］=cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα =1411-×71+1435×734=21. ∴cosβ=21.变式训练2已知sinα+sinβ=53，cosα+cosβ=54，求cos （α-β）的值. 思路分析：由于cos （α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，欲求cos （α-β）的值，只需要求出cosαcosβ+sinαsinβ的值，而要得到两组同名三角函数乘积，需将条件中的两式平方，再相加即得cosαcosβ+sinαsinβ的结果.解：∵(sinα+sinβ)2=259，(cosα+cosβ)2=2516， ∴sin 2α+2sinαsinβ+sin 2β=259,①cos 2α+2cosαcosβ+cos 2β=2516.②①+②得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1， ∴ 2+2cos （α-β）=1. ∴cos （α-β）=-21. 例3已知锐角α、β满足sinα=55，cosβ=10103，求α+β. 思路分析：要求α+β的值，需先求α+β的一个三角函数值，再根据角的范围确定角的具体值.解：∵α、β是锐角， ∴ cosα=552511sin12=-=-α， sinβ=10101091cos12=-=-β. ∴cos （α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ=552·10103-55·221010=. 由0＜α＜2π，0＜β＜2π，得到０＜α+β＜π. ∴α+β=4π. 绿色通道：本题是“知值求角”的题目.其解题策略是先求角的一个三角函数值，再由角的范围确定角的大小，通常情况下，所求的角是特殊角.选择求角的三角函数值方法：已知正切函数值，选择求正切函数；已知正、余弦函数值，选择求正弦或余弦函数.若角的范围是(0,2π)，有时选正弦函数，有时选余弦函数.若角的范围是(-2π,2π)，选正弦函数比余弦函数好；若角的范围是(0,π)，则选余弦函数比正弦函数好.黑色陷阱：本题若是改求sin(α+β)的值，则会得到α+β两个值，这样还要将α+β的范围(0,π)再缩小才行，问题就变得复杂了. 变式训练1已知sinα=55,sinβ=1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值.思路分析：先求cos （α＋β）的值，再确定α＋β的值. 解：∵α和β均为钝角， ∴cosα=552sinh 1-=--α，cosβ=β2sin 1--=-10103.∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =552-×（-10103）-（-55）×（-1010）=22. 由α和β均为钝角得π<α+β<2π， ∴α＋β=47π. 变式训练2已知tan(α-β)=21，tanβ=-71，且α、β∈(0,π)，求2α-β的值. 思路分析：转化为2α-β的正切值，其中注意角的变换2α-β=(α-β)+α. 解：∵tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-=21，∴21)71tan(1)71(tan =-+--α. ∴tan 4π=1＞tanα=31＞0.又∵ α∈(0,π)，∴α∈(0,4π). ∴2α∈(0,2π).∵β∈(0,π)，tanβ=-71, ∴β∈(2π,π). ∴-π<2α-β<0.∵tan(2α-β)=tan ［(α-β)+α］=αβααβαtan )tan(1tan )tan(--+-=312113121⨯-+=1＞0， ∴2α-β=-43π. 例4(2006上海春季高考卷，19)已知函数f(x)=2sin （x+6π）-2cosx,x ∈［2π,π］.（1）若sinx=54，求函数f(x)的值；（2）求函数f(x)的值域. 解：（1）∵sinx=54,x ∈［2π,π］,∴cosx=53-. f(x)=2（23sinx+21cosx ）-2cosx=3sinx-cosx.∴当sinx=54时，函数f(x)=3×54-(53-)=354+53. （2）f(x)=2sin （x+6π）-2cosx =3sinx-cosx =2sin （x-6π）， ∵2π≤x≤π， ∴3π≤x -6π≤65π. ∴21≤sin （x-6π）≤1. ∴ 函数f(x)的值域为［1,2］. 绿色通道：讨论三角函数的性质时，通常先将函数的解析式化简为y=Asin(ωx+φ)+b 的形式，有时利用换元法转化为二次函数，再讨论其性质.变式训练1(2006广东广州二模，11)函数y=sin2x-3cos2x 的最大值是________________. 思路分析：化为y=Asin(ωx+φ)+b 的形式求最值.y=sin2x-3cos2x=2sin(2x-3π)，则最大值为2.答案：2变式训练2已知函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2，（1）若x ∈R ，求函数的最大值和最小值；（2）若x ∈［0，2π］，求函数的最大值和最小值. 思路分析：将sinx+cosx 平方，可得1+2sinxcosx ，于是sinx+cosx 和2sinxcosx 可用一个未知数代替，这样利用换元法就可以转化为二次函数问题. 解：（1）设t=sinx+cosx=2sin （x+4π）. ∵x ∈R ，∴-2≤t≤2. 则t 2=1+2sinxcosx ， ∴ 2sinxcosx=t 2-1.∴y=t 2+t+1=（t+21）2+43，-2≤t≤2. ∴当t=2时，y 取最大值23+；当t=-21时，y 取最小值43. ∴ y max =3+2，y min =43.（2）若x ∈［0，2π］，则t ∈［1，2］. ∴ y ∈［3，3+2］，即y max =3+2，y min =3.问题探究问题（1）试分别计算tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC 的值： ①在等边三角形ABC 中； ②A=210°,B=120°,C=30°； ③A=-150°,B=30°,C=-60°. （2）由（1），你发现了什么结论？并加以证明. （3）利用（2）的结论，计算︒︒︒︒+︒+︒3.76tan 5.93tan 2.10tan 33.76tan 5.93tan 2.10tan 的值.导思：从A ＋B ＋C 上归纳并猜想出结论. 探究：（1）①由题意，得A=B=C=60°， tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan60°+tan60°+tan60°-tan60°tan60°tan60° =3+3+3-3×3×3=0.②tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan210°+tan120°+tan30°-tan210°tan120°tan30° =33+(-3)+33-33×(-3)×33=0. ③tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan(-150°)+tan30°+tan(-60°)-tan(-150°)tan30°tan(-60°) =33＋33＋（-3）-33×33×（-3）=0. （2）在（1）①中,A+B+C=180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0；在（1）②中,A+B+C=360°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0；在（1）③中,A+B+C=-180°，有tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=0. 猜想：当A+B+C=k·180°（k ∈Z ），A ，B ，C≠k·180°+90°时，有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC. 证明：∵A+B+C=k·180°(k ∈Z ). ∴ A+B=k·180°-C. ∴tan(A+B)=tan(k·180°-C). ∴BA BA tan tan 1tan tan -+=tanC.∴tanA+tanB=tanC(1-tanAtanB). ∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.（3） ∵10.2°+93.5°+76.3°=180°， ∴tan10.2°+tan93.5°+tan76.3°=tan10.2°tan93.5°tan76.3°. ∴313.76tan 5.93tan 2.10tan 33.76tan 5.93tan 2.10tan =︒︒︒︒+︒+︒.。

数学苏教版4例题与探究：3.1两角和与差的三角函数含解析

典题精讲例1 计算sin33°cos27°+sin57°cos63°.思路解析：题目中都是非特殊角,不能直接计算，可将sin57°化为cos33°,cos63°化为sin27°，再逆用两角和差的正、余弦公式，则迎刃而解. 解：原式=sin33°cos27°+cos33°sin27°=sin（33°+27°)=sin60°=23. 或：原式=cos57°cos27°+sin57°sin27°=cos（57°—27°)=cos30°=23。

绿色通道：从整体出发,对局部进行三角变换，出现特殊值是求值常用的方法. 变式训练 1(陕西高考,文13) cos43°cos77°+sin43°cos167°的值为__________。

思路解析:cos43°cos77°+sin43°cos167°=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos120° =-21.答案：-21例2 已知α，β∈(2π-,2π),tanα，tanβ是一元二次方程x 2+33x+4=0的两根，求α+β.思路解析：由根与系数关系可得tanα+tanβ，tanαtanβ，因此可先求tan(α+β)，根据其正切值就可以求得其角度.解：由题意,知tanα+tanβ=33-，tanαtanβ=4，①∴tan （α+β）=3tan tan 1tan tan =-+βαβα。

又∵α，β∈（2π-,2π)，且由①知α∈(2π-，0)，β∈(2π-,0）∴α+β∈(-π,0).∴α+β=32π-。

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.的值为_____．【答案】【解析】【考点】1.两角和的余弦公式；2.特殊角的三角函数值.2.计算 = ．【答案】【解析】．【考点】两角差的正弦公式．3.；【答案】.【解析】把原式提取即，然后利用特殊角的三角函数值及两角和的正弦函数公式化简得原式．【考点】两角和与差的正弦函数．4.已知,,分别为三个内角,,的对边, =sin cos．(1)求；(2)若=,的面积为,求,．【答案】(1) ；(2)【解析】(1) 根据正弦定理可将变形为。

因为角三角形的内角，所以，可将上式变形为。

用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得，根据整体角的范围可得的值，即可得角的值。

(2)由三角形面积可得。

再结合余弦定理可得的值，解方程组可得的值。

解 (1)由=sin cos及正弦定理得sin sin+cos sin-sin=0,由sin≠0,所以sin（+）=,又0<<π,+故=．(2)△ABC的面积=sin=,故=4．由余弦定理知2=2+2-2cos,得代入=,=4解得,故【考点】1正弦定理；2三角形面积公式；3余弦定理。

5.设的值等于____________.【答案】【解析】由题可知.【考点】两角差的正切公式.6.已知，为第三象限角．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）,; （2）,.【解析】（1）由同角间的基本关系式与的范围可得；（2）由两角和的正弦和倍角的正切公式展开可得.试题解析：解：（1），为第三象限角，； 3分； 6分由（1）得， 9分． 12分【考点】同角间的基本关系，两角和的正弦，倍角公式的正切公式.7.在中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且.（1）求A；（2）设，为的面积，求+的最大值，并指出此时B的值.【答案】（1）（2）当时，+取得最大值3.【解析】（1）由结合条件，易求得可求出A的值；（2）由，由正弦定理，得出代入+化简可知时取得最大值3.试题解析：（1）由余弦定理，得，又∵，∴A=. （5分）（2）由（1）得,又由正弦定理及，得，∴+=，∴当时，+取得最大值3. （13分）【考点】主要考查正弦定理，余弦定理，两角和的余弦公式.8.已知向量，，且（1）求及（2）若-的最小值是，求的值。

两角和与差的余弦公式精讲精练

两角和与差的余弦公式精讲精练余弦公式是三角函数中常用的公式之一，用于计算两个角的和或差的余弦值。

余弦公式的精讲内容如下：1.两角和的余弦公式：对于任意两个角A和B，它们的余弦和C可以表示为如下公式：cos(C) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)2.两角差的余弦公式：对于任意两个角A和B，它们的余弦差D可以表示为如下公式：cos(D) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)下面通过几个例子来解释和演示这两个公式的使用。

【例题1】已知角A的余弦值为0.6，角B的余弦值为0.8，求角C 的余弦值。

解析：根据公式cos(C) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)，将已知的余弦值代入即可求解：cos(C) = 0.6 * 0.8 - sin(A)sin(B)cos(C) = 0.48 - sin(A)sin(B)因为没有提供角A和角B的正弦值，所以无法进一步计算角C的余弦值。

【例题2】已知角A的余弦值为0.6，角B的余弦值为0.8，求角D 的余弦值。

解析：根据公式cos(D) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)，将已知的余弦值代入即可求解：cos(D) = 0.6 * 0.8 + sin(A)sin(B)cos(D) = 0.48 + sin(A)sin(B)因为没有提供角A和角B的正弦值，所以无法进一步计算角D的余弦值。

【例题3】已知角A为30度，角B为60度，求角C的余弦值。

解析：根据余弦函数的性质，可以求出角A和角B的正弦值和余弦值：sin(A) = sin(30°) = 0.5cos(A) = cos(30°) = √3/2sin(B) = sin(60°) = √3/2cos(B) = cos(60°) = 0.5将正弦值和余弦值代入公式cos(C) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)中求解：cos(C) = (√3/2) * 0.5 - (0.5) * (√3/2)cos(C) = (√3/4) - (√3/4)cos(C) = 0所以角C的余弦值为0。

专题10两角和与差的三角函数(解析版)

2021年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题10两角和与差的三角函数1专题综述两角和与差的三角函数，由于集中交汇了三角函数内部各知识模块间的内容，还常常涉及函数、向量、解三角形等知识，形成了化简、求值(最值)求单调区间等多种题型，对于考查学生的数学思维能力、计算能力推理能力是一个很好的平台.本节内容是高考数学试卷中必考的、反复考查的知识点，要求学生能够做到熟练掌握、灵活运用.在《考试大纲》中，对两角和与差的三角函数的要求是:(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；(2)能利用两角差的余弦公式，导出两角差的正弦、正切公式；(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式.由此，我们可以分析出本节内容的两个考点:能由两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，及两角和与差的正弦、正切公式，了解它们的内在联系；掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换.命题趋势分析:近3年来，各地的高考数学试卷中，对两角和与差的三角函数的考查在选择题、填空题和解答题中都有出现，其命题规律大致为:利用两角和与差的三角函数公式直接进行求值，或通过两角和与差公式的逆用、变形使用进行求值、化简，主要考查两角和与差的三角函数等基础知识和利用这些知识进行运算的能力；通过拆角、拼角等方法，利用两角和与差三角函数公式进行求值、化简，考查学生的推理能力和运算能力；以两角和与差的三角函数、解三角形、函数、向量等知识为素材形成交汇，主要考查学生综合运用上述知识进行运算求解的能力.通过研究已经公布的2018年《考试说明》发现，2018年高考对本节知识的考查要求未有改变.近3年高考的命题思路和命题风格均相对稳定，预计2018年高考对两角和与差的三角函数的考查会延续上述命题的思路和风格.2难点与剖析2.1难点梳理对于求值(求角)、化简等题型来说，学生学习的难点有两个:一是如何准确地记住众多两角和与差的三角函数公式，以及如何理解这些公式之间的内在联系；二是如何根据题目条件中三角函数的结构形式去选择合适的方法来解决问题.对于两角和与差的三角函数与三角函数、解三角形、向量等知识的综合题型，对学生的思维和运算能力要求相对较高，难度较大.2.2突破难点如何才能让学生准确记住两角和与差的三角函数的公式，并能理解这些公式之间的关系，我们的做法是:在复习时，帮助学生回忆并重建这些知识，包括两角差的余弦公式的推导过程，以及由此出发，推导出两角和的余弦公式、两角和与差的正弦公式、两角和与差的正切公式.通过这些公式的推导，让学生深刻理解这些公式的来龙去脉和公式之间的联系，建立起完整的知识结构.同时，也复习了解决三角函数问题中常用的数形结合、转化与化归、整体代换等思想方法，以及弦化切、切化弦、正弦与余弦互化等常用方法.两角和与差的三角函数与其他三角函数的综合，通常需要将f(x)的解析式转化为的形式加以解决.两角和与差的三角函数与向量的综合，通常要利用向量的共线、数量积的概念和运算，将向量问题转化为三角函数问题，利用三角函数有关知识和方法加以解决.两角和与差的三角函数与解三角形综合，通常涉及求解三角形基本量、判定三角形形状以及解三角形应用题等三类问题.不过在这三类问题中，两角和与差的三角函数不是考查的重点，其核心考点通常是解三角形及其应用.解这类综合题的基本思路是将几何问题转化为代数问题，分析已知等式中的边角关系，利用两角和与差的三角函数公式、正弦定理、余弦定理、任意三角形面积公式等进行三角形边角互化，或将已知量和未知量集中在一个三角形中，利用正弦定理和余弦定理加以解决.针对不同问题的个性化的难点突破方法，我们将通过下面的典例剖析加以阐述.3典例剖析例1(1)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox轴为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则.(2).(3).(4)已知，则.(5).(6).思路探求:(1)对角的终边所在的象限合理分类讨论，分别求出，直接代入求出.(2)利用160°+20°=180°，将cos160°=－cos20°，逆用两角和的正弦公式sin30°=.(3)通过观察，发现15°+75°=90°，将式子化为.(4)把两角和与差的正弦公式中的，分别看成一个整体，通过解方程组，求出，求出.(5)因为23°+37°=60°，联想公式，逆用两角和正切公式，并进行变形得:.(6)两角和的正切的分子中出现了“1”，利用1=进行代换，即得.设计说明:本题组设计意图是帮助学生熟悉两角和与差的三角函数公式的使用，包括常见的直接使用公式、变名(角)使用、逆用公式、整体求解、正切公式的变形使用、巧用“1”的代换等.本题组的创新之处在于，将常见的两角和与差的三角函数公式通过比较隐性的方式呈现给学生，让学生能在变化后的情形中，认清知识的本质，达到熟练使用公式的目的.教学建议:在帮助学生回顾两角和与差的三角函数公式来龙去脉、构建完整的知识体系的基础上，让学生自主完成本题组训练，师生共同总结常见的使用公式的规律.例2(1)若，则.(2)已知，则.(3)已知，且，则.(4)已知，则.思路探求:(1)直接将左边展开，求出或利用进行求解.(2)观察已知和所求式子的特点，利用，，再利用弦化切，求得.(3)观察已知角与所求角的关系得出，a+=(+a)－(4－－cos(a+)=sin(B)，再由，得，，分别求出，，进而得出.(4)观察已知角与所求角的关系，不难得出.由已知，得出，求出.若根据求解，需要求出的值，再利用，求出，因此.不过若按第一种思路，由，得，要确定的范围，还要根据和，才能得出.若由，得，仍不能确定的值.换一种思路，由，得，因而，又，故.设计说明:本题组是围绕利用“拆角、拼角”的方法来进行求值、求角，目的在于引导学生仔细分析已知角与所求角之间的关系，建立起沟通已知角和未知角之间的桥梁关系，进而解决问题.本题组的创新之处在于能够比较系统地呈现常见的运用“拆角、拼角”解题的方法，并对给值求值和给值求角中的典型问题——对角的范围的讨论进行了剖析.教学建议:本题组是两角和与差三角函数公式考查中的重点内容，教学时要让学生有充分的解题体验，引导学生自主探寻解题思路.对于角的范围的讨论，就解题步骤而言，要强调解题“三步曲”:第一步，求角的某个三角函数值；第二步，确定角的范围；第三步，根据角的范围，写出所求的角.需要强调的是，在选取某一三角函数值时，要先缩小所求角的范围，最好将角的范围缩小在某一三角函数的单调区间内，进而确定角的大小.就教学方法而言，要采用数形结合的思想方法引导学生，增强直观性；就学习方式而言，要采取合作探究的方式，引导学生相互寻找解题过程中的漏洞，并比较解题方法的优劣，提高解题效益.例3(1)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是( ) A．B．C．D．(2)在锐角三角形ABC中，若，则的最小值是.思路探求:(1)观察已知等式，容易发现可以利用两角和的正弦公式对其进行化简，得到，因为△ABC是锐角三角形，cosC≠0，即，由正弦定理得a=2b，故选A.(2)由，可得，(①).因△ABC是锐角三角形，cosB≠0，cosC≠0，在①式两侧同除以cosBcosC得tanB+tanC=2tanBtanC，可得(②)，令，因△ABC是锐角三角形，，由②得t>1，从而，当且仅当t=2时取等号，此时或tanB=.设计说明:本题组是将两角和与差的三角函数与解三角形、函数等知识结合.由于《考试说明》中，对两角和与差的三角函数是C级要求，第(2)小题是填空题的最后一题，起着分步把关的作用.两题都以三角形为背景，体现了此类问题的共同点:将三角形内角和定理与两角和与差的三角函数公式结合，起到化繁为简的作用.不同点是第(1)小题化简后，利用正弦定理知识加以解决，第(2)小题化简后转化为函数最值问题加以解决.教学建议:解决此类问题的关键是引导学生分析已知式子的结构，或分析已知和未知之间的异同点，利用三角形内角和定理及两角和与差的三角函数公式，对已知条件进行化简.拨开迷雾，看清方向，逐步将未知问题转化为学生熟悉的解三角形、函数最值等知识加以解决.例4已知向量.(I)若a∥b，求x的值；思路探求:(I)因为，所以.若cosx=0，则sinx=0，与矛盾，故cosx≠0，于是.又，所以.(Ⅱ).因为，所以，从而，于是，当，即x=0时，f(x)取到最大值3；当，即时，f(x)取到最小值.设计说明:本题主要考查向量共线、数量积的概念及运算、同角三角函数关系、两角和与差的三角函数、三角函数图像与性质等基础知识，训练学生的运算求解能力.本题的创新之处有两点:一是把向量共线、数量积的概念和运算与三角函数知识结合起来；二是给出x的范围，求三角函数的条件最值，预设易错点.通过上述变化，可以更全面地考查学生的运算能力.教学建议:由于这类综合题涉及的知识点较多，因而对学生的运算能力有较高的要求.在教学时，要引导学生回顾有关概念和公式，这是准确运算的前提.对于的处理，考虑到学生的运算习惯，可以转化为进行解决，即.值得注意的是，由于，因此，此时，学生常常误以为，避免这类错误的有效策略就是数形结合，画出正弦函数的图像，能直观准确地得出结论.另外，解题规范也是需要强调的内容，解题过程要严谨，要力争不失分.例5△ABC的内角A，B，C.已知△ABC的面积为.(I)求；(Ⅱ)若，求△ABC的周长.思路探求:(I)由题设得，即.由正弦定理得，故.(Ⅱ)由题设及(I)得，即.所以，故.由题设得，即bc=8.由余弦定理得b 2+c 2－bc =9，即(b +c )2－3bc =9，得，故△ABC 的周长为.设计说明:本题考查两角和与差的三角函数、正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识，可以训练学生的运算能力.此类题型是近年来各地高考的热点.本题的创新之处在于，设计不同的情境，让学生选用合适的三角形面积公式、余弦定理公式进行运算；采用化整为零、整体求解等运算策略解题.通过上述创新举措，考查学生灵活选用公式、灵活使用求解策略解题的能力.教学建议:在分析第(I )问解题思路时，要引导学生认真审题，仔细分析已知条件和求解目标的关联性，合理选择三角形面积公式.在分析第(Ⅱ)问解题思路时，要引导学生分析第(I )问的结论与第(Ⅱ)问的条件之间的关联性，在得出后，选用什么三角形面积公式建立等式；在得出bc =8后，引导学生选择合适的余弦定理公式，建立bc 与b +c 的关系，无须分别求出b ，c 的值，只需整体求出bc 的值即可.最新模拟题强化1．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，将终边按逆时针方向旋转4π后，终边经过点(21)P ，，则cos2α=（）A ．23 B ．223C ．23-D ．223-【答案】B 【解析】设旋转之后的角为β，由题得4παβ+=，3sin 3β=，6cos 3β=，又因为222παβ=-，所以得3622cos 2cos(2)sin 22sin cos 22333παββββ=-===⨯⨯=，故选B 。

高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析

高三数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.己知，则tan 2a=_________．【答案】【解析】由得，=，代入整理得，，解得=或=，当=时，=，所以=2，所以==；当=时，=-，所以=，所以==，综上所述，的值为．【考点】同角三角函数基本关系式，二倍角公式，分类整合思想2.已知极坐标的极点在直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C的参数方程为（为参数），直线的极坐标方程为．点P在曲线C上，则点P到直线的距离的最小值为．【答案】5【解析】直线：，∴，∴，设，则，当时，.【考点】两角差的正弦余弦公式、三角函数的最值、点到直线的距离.3.在中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若.（1）求B；（2）设函数，求函数上的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由可得，然后结合余弦定理求出从而确定角B的值.（2）结合（1）的结果，利用两角和与差的三角函数公式将函数式化简为再由得，根据正弦函数的性质求得的取值范围.解：（1）解法一：因为，所以 2分由余弦定理得，整理得所以 4分又因为，所以. 6分解法二：因为，所以 2分由正弦定理得所以整理得因为，所以，所以 4分又因为，所以. 6分（2）8分因为，则， 10分所以，即在上取值范围是. 12分【考点】1、余弦定理；2、两角和与差的三角函数公式；3、正弦函数的性质.4.设当x=θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ= ( )A．-B．C．-D．【答案】C【解析】∵f(x)=sinx-2cosx=(sinx-cosx)令cos=,sin=-,则f(x)=(sinxcos-sin cosx)=，当=，即=时，取最大值，此时=，∴===.5.在中，.(1)求的值；(2)求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）解三角形问题，通常利用正余弦定理进行边角转化.由正弦定理得：，.（2）由（1）及条件知三角形三边，故用余弦定理求角. 由，得，由同角三角函数关系，可得，再由二倍角公式得到，，因此=.试题解析：（1）因为 ,（2）=所以 ,【考点】正余弦定理, 同角三角函数关系, 二倍角公式6.已知，，则的值为．【答案】【解析】因为，所以.【考点】两角和与差正切7.已知△ABC中，AB边上的高与AB边的长相等，则的最大值为________．【答案】2【解析】＝.又AC2＋BC2＝AB2＋2AC·BC·cosC，∴原式＝2cosC＋＝2cosC＋＝2cosC＋＝2cosC＋2sinC＝2sin，∴当C＝时，最大值为2.8.已知α＋β＝，则cos2α＋cos2β＋cosαcosβ＝________．【答案】【解析】原式＝＋cosαcosβ＝1＋(cos2α＋cos2β)＋cosαcosβ＝1＋cos(α＋β)cos(α－β)＋[cos(α＋β)＋cos(α－β)]＝1－cos(α－β)＋×＋cos(α－β)＝9.若cos＝，π＜x＜π，求的值．【答案】【解析】由π＜x＜π，得π＜x＋＜2π.又cos＝，sin＝－.cosx＝cos＝cos cos＋sin sin＝－，从而sinx＝－，tanx＝7.故原式＝10.求值：tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°.【答案】【解析】∵tan60°＝tan(20°＋40°)＝＝，∴ tan20°＋tan40°＝－tan20°tan40°，∴ tan20°＋tan40°＋tan20°tan40°＝11.已知tan(α＋β)＝，tan β＝－，则tan α＝________.【答案】1【解析】tan α＝tan[(α＋β)－β]＝＝1.12.已知tan β＝，sin(α＋β)＝，其中α，β∈(0，π)，则sin α的值为()．A．B．C．D．或【答案】A【解析】依题意得sin β＝，cos β＝；注意到sin(α＋β)＝<sin β，因此有α＋β> (否则，若α＋β≤，则有0<β<α＋β≤，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，则cos(α＋β)＝－，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝.13.已知锐角满足,则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得（*）.因为由锐角所以（*）式是一个关于的二次方程，且存在正实根.假设存在实根韦达定理可知，两根之和为.两根之积为.所以只需要判别式大于或等于零.即.故选D.本小题解题有一定的难度.是一道知识交汇较特殊的好题.【考点】1.三角函数的恒等变换.2.二次函数的根的分布.3.构造二次函数模型解决最值问题.14.已知α，β∈，满足tan (α＋β)＝4tan β，则tan α的最大值是()．A．B．C．D．【答案】B【解析】由tan (α＋β)＝＝4tan β，得tan α＝，因为β∈，所以tan β>0.所以tan α＝≤＝.15.已知向量，．(1)若，求的值；(2)若，，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由易得，代入式子中可约去为求出其值；（2）先求出，再对两边平方化简可得关于和的关系式，联立正弦余弦的平方关系解方程组可得和的值，代入的展开式，就可求出其值.试题解析：⑴由可知，，所以， 2分所以． 6分（2）由可得，，即，① 10分又，且②，由①②可解得，， 12分所以． 14分【考点】向量的数量积、模的计算，同角三角函数的关系、两角和与差的正弦.16.在中，角、、所对应的边为、、.（1）若，求的值；（2）若，且的面积，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在等式中利用差角公式化简求出的值，从而求出角的值；（2）解法1是先求出的值，借助三角形的面积公式得出与之间的等量关系，再利用余弦定理最终得到与的等量关系，最后利用正弦定理求出的值；解法2是是先求出的值，借助三角形的面积公式得出与之间的等量关系，再利用余弦定理最终得到与的等量关系，通过观察三者之间的等量关系发现、、三者满足勾股定理，最后在直角三角形中求出的值；解法3是先求出的值，借助三角形的面积公式得出与之间的等量关系，再利用余弦定理最终得到与的等量关系，最后利用三角形的面积公式求出的值；解法4是先求出的值，借助三角形的面积公式得出与之间的等量关系，从而得出与的等量关系，并利用得出和的值，最后利用求出的值.试题解析：（1）由，得，，，，，；（2）解法1：，，，由，得，由余弦定理得：，，由正弦定理得：，即，.解法2：，，，由得，由余弦定理得：，，，是直角三角形，角为直角，；解法3：，，，由得由余弦定理得：，，又，得，；解法4：，，，由得，由正弦定理得：，则，，，整理得，代入，得，由知，.【考点】1.两角差的余弦公式；2.正弦定理；3.余弦定理；4.三角形的面积公式17.已知a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C的对边，=(sinA，1)，=(cosA，)，且//．(I)求角A的大小；(II)若a=2，b=2，求ABC的面积．【答案】（I）.（II）ABC的面积为或.【解析】（I）根据//，可得到注意到，得到.（II）首先由正弦定理可得：通过讨论，得到，从而或.根据，，分别计算进一步确定ABC的面积.试题解析：（I）因为//，所以因为，所以.（II）由正弦定理可得：因为，所以，或.当时，所以；当时，所以.故ABC的面积为或.【考点】平面向量的坐标运算，两角和差的三角函数，正弦定理的应用，三角形面积公式.18.已知则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，∴.【考点】两角和与差的正弦、余弦公式.19.已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，(1)求A的大小；(2)当时，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查解三角形中正弦定理的应用，以及利用两角和与差的正弦公式、倍角公式等公式进行三角变换，考查基本运算能力，考查分析问题解决问题的能力.第一问，先利用正弦定理将边换成角，去分母，再利用两角和的正弦公式化简，得到，再在中，考虑角的范围求角；第二问，利用正弦定理将边用角来表示，利用降幂公式化简，再将用角表示，用两角差的正弦公式化简，最后化简成，利用角的取值范围求函数的值域.试题解析：（I）△ABC中，∵，由正弦定理，得：，即，故，…（4分）∴（2）由正弦定理得∴，∴∵∴∴∴.【考点】1.正弦定理；2.两角和与差的正弦公式；3.倍角公式；4.三角函数的值域.20.若且则的可能取值是（）A. B C. D.【答案】A【解析】由得，由得：，故，故，故选A.【考点】1.两角和的正切公式；2.基本不等式；3.正切函数的单调性21.若是锐角，且，则的值是．【答案】【解析】根据题意，由于是锐角，且，故可知，那么利用=，故答案为【考点】两角和差的公式点评：主要是考查了差角的三角函数公式的运用，属于基础题。

高中数学两角和与差的三角函数精选题

两角和与差的三角函数精选题一．选择题（共7小题）1．sin 20co s 10co s 160sin 10(︒︒-︒︒= )A ．2-B 2C ．12-D ．122．若1ta n 3α=，1ta n ()2αβ+=，则ta n (β=)A ．17B ．16C ．57D ．563．若()co s sin f x x x=-在[0，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2πC ．34πD ．π 4．若()co s sin f x x x=-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2πC ．34πD ．π5．若s i n25α=，s in ()10βα-=，且[4πα∈，]π，[βπ∈，3]2π，则αβ+的值是()A ．74πB ．94πC ．54π或74π D ．54π或94π6．已知2ta n ta n ()74πθθ-+=，则ta n (θ=)A ．2-B ．1-C ．1D ．27．s in 47s in 17c o s 30(c o s 17︒-︒︒=︒)A ．2-B ．12- C ．12D 2二．填空题（共13小题） 8．已知sin co s 1αβ+=，co s sin 0αβ+=，则sin ()αβ+=．9．已知(0,)2πα∈，ta n 2α=，则c o s ()4πα-=．10．设当x θ=时，函数()sin 2co s f x x x=-取得最大值，则c o s θ=．11．已知θ是第四象限角，且3s in ()45πθ+=，则ta n ()4πθ-=．12．已知ta n 2α=-，1ta n ()7αβ+=，则tan β的值为．13．设θ为第二象限角，若1ta n ()42πθ+=，则s in c o s θθ+=．14．函数2()sin sin c o s 1f x x x x =++的最小正周期是，单调递减区间是．15．在平面直角坐标系x O y 中，角α与角β均以O x 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1s in 3α=，则c o s()αβ-=．16．已知α为锐角，且3c o s ()45πα+=，则s in α=．17．设a ，b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()c o s g x b x=+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b += ．18．设()c o s 3f x x x=+，若对任意实数x 都有|()|f x a…，则实数a 的取值范围是．19．已知α为第三象限的角，3c o s 25α=-，则ta n (2)4πα+=．20．已知11s in s in ,c o s c o s 32αβαβ-=-+=，则c o s()αβ+=．三．解答题（共5小题）21．已知函数()in ()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<…的图象关于直线3xπ=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若2())2463f αππα=<<，求3c o s ()2πα+的值．22．已知ta n 2α=．（1）求ta n ()4πα+的值；（2）求2sin 2sin sin c o s c o s 21ααααα+-- 的值．23．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin ()απ+的值；（Ⅱ）若角β满足5s in ()13αβ+=，求co s β的值．24．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ab>，5a=，6c=，3s in 5B =．（Ⅰ）求b 和s in A的值；（Ⅱ）求s in (2)4A π+的值．25．设常数a R∈，函数2()sin 22c o s f x a x x=+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=+，求方程()1f x =-在区间[π-，]π上的解．两角和与差的三角函数精选题25道参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．sin 20co s 10co s 160sin 10(︒︒-︒︒= )A．2-B2C ．12-D ．12【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：s in 20c o s 10c o s 160s in 10︒︒-︒︒s in 20c o s 10c o s 20s in 10=︒︒+︒︒s in 30=︒12=．故选：D ．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查． 2．若1ta n 3α=，1ta n ()2αβ+=，则ta n (β=)A ．17B ．16C ．57D ．56【分析】由条件利用查两角差的正切公式，求得tan tan [()]βαβα=+-的值．【解答】解：1ta n3α=，1ta n ()2αβ+=，则11ta n ()ta n 123ta n ta n [()]111ta n ()ta n 7123αβαβαβααβα-+-=+-===+++⨯，故选：A ．【点评】本题主要考查两角差的正切公式的应用，属于基础题． 3．若()co s sin f x x x=-在[0，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【分析】利用两角和差的正弦公式化简()f x ，由22242k x k πππππ-+-+剟，kZ∈，得32244k xk ππππ-++剟，kZ∈，取0k=，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，结合已知条件即可求出a 的最大值．【解答】解：()c o s sin (sin c o s )()4f x x x x x x π=-=--=--，由22242k x k πππππ-+-+剟，kZ∈，得32244k x k ππππ-++剟，kZ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[0，]a 是减函数，得34a π…．则a 的最大值是34π．故选：C ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题． 4．若()co s sin f x x x=-在[a -，]a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．4πB ．2πC ．34πD ．π【分析】利用两角和差的正弦公式化简()f x ，由22242k x k πππππ-+-+剟，kZ∈，得32244k xk ππππ-++剟，kZ∈，取0k=，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，结合已知条件即可求出a 的最大值．【解答】解：()c o s sin (sin c o s )()4f x x x x x x π=-=--=--，由22242k x k πππππ-+-+剟，kZ∈，得32244k x k ππππ-++剟，kZ∈，取0k =，得()f x 的一个减区间为[4π-，3]4π，由()f x 在[a -，]a 是减函数，得434a a ππ⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩……，∴4a π…．则a 的最大值是4π．故选：A ．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．5．若s i n25α=，s in ()10βα-=，且[4πα∈，]π，[βπ∈，3]2π，则αβ+的值是()A ．74π B ．94π C ．54π或74π D ．54π或94π【分析】依题意，可求得[4πα∈，]2π，2[2πα∈，]π，进一步可知[2πβα-∈，]π，于是可求得co s()βα-与c o s 2α的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．【解答】解：[4πα∈，]π，[βπ∈，3]2π，2[2πα∴∈，2]π，又10s in 252α<=<，52(6πα∴∈，)π，即5(12πα∈，)2π，(2πβα∴-∈，13)12π，c o s 25α∴==-；又s in ()10βα-=，(2πβα∴-∈，)π，c o s ()10βα∴-==-c o s ()c o s [2()]c o s 2c o s ()s in 2s in ()(5105102αβαβααβααβα∴+=+-=---=---．又5(12πα∈，)2π，[βπ∈，3]2π，17()(12παβ∴+∈，2)π，74παβ∴+=，故选：A ．【点评】本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．6．已知2ta n ta n ()74πθθ-+=，则ta n (θ=)A ．2-B ．1-C ．1D ．2【分析】利用两角和差的正切公式进行展开化简，结合一元二次方程的解法进行求解即可．【解答】解：由2ta n ta n ()74πθθ-+=，得ta n 12ta n 71ta n θθθ+-=-，即22tan 2tan tan 177tan θθθθ---=-，得22tan 8tan 80θθ-+=，即2tan 4tan 40θθ-+=，即2(ta n 2)0θ-=，则ta n 2θ=，故选：D ．【点评】本题主要考查三角函数值的化简和求解，结合两角和差的正切公式以及配方法是解决本题的关键．难度中等． 7．s in 47s in 17c o s 30(c o s 17︒-︒︒=︒)A ．2-B ．12-C ．12D 2【分析】将原式分子第一项中的度数471730︒=︒+︒，然后利用两角和与差的正弦函数公式化简后，合并约分后，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：sin 47sin 17c o s 30c o s 17︒-︒︒︒s in (1730)s in 17c o s 30c o s 17︒+︒-︒︒=︒s in 17c o s 30c o s 17s in 30s in 17c o s 30c o s 17︒︒+︒︒-︒︒=︒1s in 302=︒=．故选：C ．【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．二．填空题（共13小题） 8．已知sin co s 1αβ+=，co s sin 0αβ+=，则sin ()αβ+=12-．【分析】把已知等式两边平方化简可得22(sin co s co s sin )1αβαβ++=，再利用两角和差的正弦公式化简为2sin ()1αβ+=-，可得结果．【解答】解：sin co s 1αβ+=，两边平方可得：22sin 2sin c o s c o s 1ααββ++=，①，co s sin 0αβ+=，两边平方可得：22c o s 2c o s sin sin 0ααββ++=，②，由①+②得：22(sin co s co s sin )1αβαβ++=，即22sin ()1αβ++=，2sin ()1αβ∴+=-． 1s in ()2αβ∴+=-．故答案为：12-．【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属于基本知识的考查，是基础题．9．已知(0,)2πα∈，ta n 2α=，则c o s ()4πα-=10 ．【分析】根据同角的三角函数的关系求出s in 5α=，c o s 5α=，再根据两角差的余弦公式即可求出．【解答】解：(0,)2πα∈，ta n 2α=，s in 2c o s αα∴=，22sin co s 1αα+=，解得s in 5α=，c o s 5α=c o s ()c o s c o s s in s in444525210πππααα∴-=+=+=，10【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及余弦公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．10．设当x θ=时，函数()sin 2co s f x x x=-取得最大值，则c o s θ=5-．【分析】()fx ，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x θ=时，函数()f x 取得最大值，得到sin 2c o s θθ-=，与22sin co s 1θθ+=联立即可求出c o s θ的值．【解答】解：方法一：()s in 2c o s in o s )in ()55f x x x x x x α=-=-=-（其中c o s 5α=，s in 5α=，x θ=时，函数()f x 取得最大值，sin ()1θα∴-=，即sin 2c o s θθ-=又22sin co s 1θθ+=，联立得22(2c o s c o s 1θθ++=，解得c o s 5θ=-．方法二：()s in 2c o s in ()f x x x x ϕ=-=+（其中ta n 2ϕ=-，(,))22ππϕ∈-，因为当x θ=时，()f x 取得最大值，所以2()2k k Z πθϕπ+=+∈，所以2()2k k Z πθπϕ=+-∈，所以c o s c o s (2)s in 25k πθπϕϕ=+-==-．故答案为：5-【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键． 11．已知θ是第四象限角，且3s in ()45πθ+=，则ta n ()4πθ-=43-．【分析】由θ得范围求得4πθ+的范围，结合已知求得c o s ()4πθ+，再由诱导公式求得s in ()4πθ-及c o s ()4πθ-，进一步由诱导公式及同角三角函数基本关系式求得ta n ()4πθ-的值．【解答】解：θ是第四象限角，∴222k k ππθπ-+<<，则22,444k k k Zππππθπ-+<+<+∈，又3s in ()45πθ+=，4c o s()45πθ∴+===．3c o s ()s in ()445ππθθ∴-=+=，4s in ()c o s ()445ππθθ-=+=．则4s in ()454ta n ()ta n ()3443c o s ()45πθππθθπθ--=--=-=-=--．故答案为：43-．【点评】本题考查两角和与差的正切，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题． 12．已知ta n 2α=-，1ta n ()7αβ+=，则tan β的值为 3 ．【分析】直接利用两角和的正切函数，求解即可．【解答】解：ta n 2α=-，1ta n ()7αβ+=，可知ta n ta n 1ta n ()1ta n ta n 7αβαβαβ++==-，即2ta n 112ta n 7ββ-+=+，解得ta n 3β=．故答案为：3．【点评】本题考查两角和的正切函数，基本知识的考查． 13．设θ为第二象限角，若1ta n ()42πθ+=，则s in c o s θθ+=5-．【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出ta n θ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出s in θ与c o s θ的值，即可求出s in c o s θθ+的值．【解答】解：ta n 11ta n ()41ta n 2πθθθ++==-，1ta n 3θ∴=-，而222221c o s1c o s s in c o s ta n θθθθθ==++，θ为第二象限角，c o s 10θ∴==-s in 10θ==则s in c o s 10105θθ+==-故答案为：5-【点评】此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 14．函数2()sin sin c o s 1f x x x x =++的最小正周期是 π，单调递减区间是．【分析】由三角函数公式化简可得3()in (2)242f x x π=-+，易得最小正周期，解不等式3222242k x k πππππ+-+剟可得函数的单调递减区间．【解答】解：化简可得2()sin sin c o s 1f x x x x =++11(1c o s 2)s in 2122x x =-++3in (2)242x π=-+，∴原函数的最小正周期为22Tππ==，由3222242k x k πππππ+-+剟可得3788k x k ππππ++剟，∴函数的单调递减区间为3[8k ππ+，7]()8k k Z ππ+∈故答案为：π；3[8k ππ+，7]()8k k Z ππ+∈【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题． 15．在平面直角坐标系x O y 中，角α与角β均以O x 为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1s in 3α=，则c o s()αβ-=79-．【分析】方法一：根据教的对称得到1s in s in 3αβ==，co s co s αβ=-，以及两角差的余弦公式即可求出方法二：分α在第一象限，或第二象限，根据同角的三角函数的关系以及两角差的余弦公式即可求出【解答】解：方法一：角α与角β均以O x 为始边，它们的终边关于y 轴对称，1s in s in 3αβ∴==，co s co s αβ=-，22227c o s ()c o s c o s s in s in c o s s in 2s in 1199αβαβαβααα∴-=+=-+=-=-=-方法二：1s in 3α=，当α在第一象限时，c o s 3α=，α，β角的终边关于y 轴对称，β∴在第二象限时，1s ins in 3βα==，c o s c o s 3βα=-=-，117c o s ()c o s c o s s in s in 33339αβαβαβ∴-=+=-+⨯=-1:s in 3α=，当α在第二象限时，c o s 3α=-α，β角的终边关于y 轴对称，β∴在第一象限时，1s ins in 3βα==，c o s c o s 3βα=-=117c o s ()c o s c o s s in s in 33339αβαβαβ∴-=+=-+⨯=-综上所述7c o s ()9αβ-=-．方法三：α，β角的终边关于y 轴对称，2k αβππ∴+=+，kZ∈，17c o s ()c o s ((2))c o s (2)c o s 22s in 212()2139k αβαππααπαα∴-=-+-=-=-=-=⨯-=-．故答案为：79-．【点评】本题考查了两角差的余弦公式，以及同角的三角函数的关系，需要分类讨论，属于基础题16．已知α为锐角，且3c o s ()45πα+=，则s in α=10．【分析】由α为锐角求出4πα+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出s in ()4πα+的值，所求式子中的角变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．【解答】解：α为锐角，(44ππα∴+∈，3)4π，3c o s ()45πα+=，4s in ()45πα∴+==，则43s in s in [()]s in ()c o sc o s ()s in444444525210ππππππαααα=+-=+-+=⨯-⨯=．故答案为：10【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．17．设a ，b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()c o s g x b x=+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=4 ．【分析】利用()()f m g m =s in ()(1)m b a θ-=-，利用三角函数的有界性，推出a ，b 的关系，结合a ，b 均为大于1的自然数，讨论a ，b 的范围，求出a ，b 的值即可．【解答】解：由()()f m g m =，即(sin )co s a bm b m+=+，s in c o s a m m b a b-=-，s in ()(1)[m b a θ-=-注：s in θ=1sin ()1m θ--剟(1)b a ∴-a，b 均为大于1的自然数10a ∴-<，(1)0b a -<，(1)b a ∴--…，(1)b a -…b =…． 4a …时221(1)a a <-，2b<，4a ∴<，当2a =时，b …，2b=，当3a=时，b …无解，综上：2a=，2b=，4a b +=．故答案为：4．【点评】本题考查三角函数的有界性，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想．18．设()s i n 3c o s 3f x x x =+，若对任意实数x都有|()|f x a…，则实数a 的取值范围是2a … ．【分析】构造函数()|()||in 3c o s 3|F x f x x x ==+，利用正弦函数的特点求出()m a x F x ，从而可得答案．【解答】解：不等式|()|f x a…对任意实数x 恒成立，令()|()||in 3c o s 3|F x f x x x ==+，则()m a x a F x …．()in 3c o s 32s in (3)6f x x x x π=+=+2()2f x ∴-剟0()2F x ∴剟()2m a x F x =2a ∴…．即实数a 的取值范围是2a … 故答案为：2a …．【点评】本题考查两角和与差公式及构造函数的思想，考查恒成立问题，属于中档题． 19．已知α为第三象限的角，3c o s 25α=-，则ta n (2)4πα+=17-．【分析】方法一：由α为第三象限的角，判断出2α可能的范围，再结合又3c o s 205α=-<确定出2α在第二象限，利用同角三角函数关系求出其正弦，再由两角和的正切公式展开代入求值．方法二：判断2α可能的范围时用的条件组合方式是推出式，其它比同．【解答】解：方法一：因为α为第三象限的角，所以2(2(21)k απ∈+，2(21))()k k Z ππ++∈，又3c o s 205α=-<，所以2(2(21),2(21))()2k k k Z παπππ∈++++∈，于是有4s in 25α=，s in 24ta n 2c o s 23ααα==-，所以41ta nta n 2134ta n (2)4471ta nta n 2143παπαπα-++===--+．方法二：α为第三象限的角，3c o s 25α=-，3224224322k k k k ππαππππαππα+<<+⇒+<<+⇒在二象限，s in (2)s in c o s 2c o s s in 24c o s 2s in 21444s in 2ta n (2)54c o s 2s in 27c o s (2)c o sc o s 2s ins in 2444πππαααπααααπππααααα+++=+====--+-【点评】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式，同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能． 20．已知11s in s in ,c o s c o s 32αβαβ-=-+=，则c o s()αβ+=5972-．【分析】已知两等式分别平方，相加并利用同角三角函数间的基本关系化简，求出c o s c o s sin sin αβαβ-，即为co s()αβ+的值．【解答】解：已知两等式分别平方得：2221(sin sin )sin 2sin sin sin9αβααββ-=-+=①，2221(c o s c o s )c o s 2c o s c o s c o s 4αβααββ+=++=②，①+②得：1322(c o s c o s s in s in )36αβαβ+-=，即59c o s c o s s in s in 72αβαβ-=-，则59c o s ()c o s c o s s in s in 72αβαβαβ+=-=-．故答案为：5972-【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．三．解答题（共5小题） 21．已知函数()in ()(0f x x ωϕω=+>，)22ππϕ-<…的图象关于直线3xπ=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π．（Ⅰ）求ω和ϕ的值；（Ⅱ）若2())2463f αππα=<<，求3c o s ()2πα+的值．【分析】（Ⅰ）由题意可得函数()f x 的最小正周期为π 求得2ω=．再根据图象关于直线3x π=对称，结合22ππϕ-<…可得ϕ 的值．（Ⅱ）由条件求得1s i n ()64πα-=．再根据6πα-的范围求得c o s ()6πα-的值，再根据3c o s ()s in s in [()]266πππααα+==-+，利用两角和的正弦公式计算求得结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得函数()f x 的最小正周期为π，∴2ππω=，2ω∴=．再根据图象关于直线3x π=对称，可得232k ππϕπ⨯+=+，kz∈．结合22ππϕ-<…可得6πϕ=-．（Ⅱ）2())2463fαππα=<<，∴in ()64πα-=，1s in ()64πα∴-=．再根据062ππα<-<，c o s ()64πα∴-==，3c o s ()s in s in [()]s in ()c o sc o s ()s in2666666πππππππααααα∴+==-+=-+-1142428=⨯=．【点评】本题主要考查由函数sin ()y A x ωϕ=+的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式、的应用，属于中档题． 22．已知ta n 2α=．（1）求ta n ()4πα+的值；（2）求2sin 2sin sin c o s c o s 21ααααα+-- 的值．【分析】（1）直接利用两角和的正切函数求值即可．（2）利用二倍角公式化简求解即可．【解答】解：ta n 2α=．（1）ta n ta n 214ta n ()34121ta n ta n4παπαπα+++===---；（2）2222s in 22s in c o s 2ta n 41s in s in c o s c o s 21s in c o s 121ta n 24s in c o s ta n αααααααααααααα====+--++--+-．【点评】本题考查两角和的正切函数的应用，三角函数的化简求值，二倍角公式的应用，考查计算能力．23．已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点3(5P -，4)5-．（Ⅰ）求sin ()απ+的值；（Ⅱ）若角β满足5s in ()13αβ+=，求co s β的值．【分析】（Ⅰ）由已知条件即可求r ，则sin ()απ+的值可得；（Ⅱ）由已知条件即可求s in α，c o s α，co s()αβ+，再由co sc o s [()]c o s (βαβααβααβα=+-=+++代值计算得答案．【解答】解：（Ⅰ）角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边过点3(5P -，4)5-．35x ∴=-，45y=-，||1rO P ===，4s in ()s in 5y rαπα∴+=-=-=；（Ⅱ）由35x =-，45y=-，||1r O P ==，得4s in 5α=-，3c o s 5α=-，又由5s in ()13αβ+=，得12c o s ()13αβ+==±，则1235456c o s c o s [()]c o s ()c o s s in ()s in ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=⨯-+⨯-=-，或1235416c o s c o s [()]c o s ()c o s s in ()s in ()()13513565βαβααβααβα=+-=+++=-⨯-+⨯-=．c o s β∴的值为5665-或1665．【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义，考查了三角函数的诱导公式的应用，是中档题．24．在A B C ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知ab>，5a=，6c=，3s in 5B =．（Ⅰ）求b 和s in A的值；（Ⅱ）求s in (2)4Aπ+的值．【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得c o s B ，再由余弦定理求得b ，利用正弦定理求得s inA；（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得c o s A，再由倍角公式求得s in 2A ，c o s 2A ，展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（Ⅰ）在A B C ∆中，a b>，故由3s in5B =，可得4c o s 5B=．由已知及余弦定理，有22242c o s 2536256135b a ca c B =+-=+-⨯⨯⨯=，b ∴=．由正弦定理s in s in a b AB=，得s in s in 13a B A b==b ∴=，s in13A =（Ⅱ）由（Ⅰ）及ac<，得c o s 13A =，12s in 22s in c o s 13AA A ∴==，25c o s 212s in13A A =-=-．故125s in (2)s in 2c o s c o s 2s in44413213226AA A πππ+=+=⨯-⨯=．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的应用，是中档题．25．设常数a R∈，函数2()sin 22c o s f x a x x=+．（1）若()f x 为偶函数，求a 的值；（2）若()14f π=+，求方程()1f x =-在区间[π-，]π上的解．【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【解答】解：（1）2()sin 22c o s f x a x x=+，2()sin 22c o s f x a x x∴-=-+，()f x 为偶函数，()()f x f x ∴-=，22sin 22co s sin 22co s a x x a x x ∴-+=+，2s in 20a x ∴=，a ∴=；（2）()14f π=+，2s in2c o s ()1124a a ππ∴+=+=，a ∴=2()in 22c o s in 2c o s 212s in (2)16f x x x x x x π∴=+=++=++，()1f x =-2s in (2)116x π∴++=-s in (2)62x π∴+=-， 2264x k πππ∴+=-+，或52264xk πππ+=+，k Z∈，524x k πππ∴=-+，或1324xk ππ=+，kZ∈，[x π∈-，]π， 1324x π∴=或1924xπ=或524xπ=-或1124xπ=-【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．。

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.已知分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，.（1）求A；（2）若，△ABC 的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由条件及正弦定理，进行边角的统一，可得到，注意到，因此，可将等式继续变形为，从而得到，由利用辅助角公式可变形为，因此，；（2）由（1）及面积为，可得，再根据余弦定理，联立方程即可解得.（1）由正弦定理及可得：，即，又∵，∴ 3分即，∴，； 7分由（1）及，∴，又由余弦定理及： 10分，联立方程，即可得 14分【考点】1.正弦定理与余弦定理解三角形；2.三角恒等变形.2.已知,,分别为三个内角,,的对边, =sin cos．(1)求；(2)若=,的面积为,求,．【答案】(1) ；(2)【解析】(1) 根据正弦定理可将变形为。

因为角三角形的内角，所以，可将上式变形为。

用化一公式即两角和差公式的逆用将上式左边化简可得，根据整体角的范围可得的值，即可得角的值。

(2)由三角形面积可得。

再结合余弦定理可得的值，解方程组可得的值。

3.（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据两角和的公式，,故选A.【考点】两角和的正弦公式4.为第二象限角，且，求的值.【答案】．【解析】先利用两角和与差的正弦函数和二倍角公式将待求式子化成只含有角的三角函数，再由三角函数的同角公式求出角余弦值，从而求出结果即可．试题解析：为第二象限角，且,．====．【考点】1、两角和与差的正弦函数; 2、二倍角公式；3、同角三角函数基本关系．5.已知，，求的值．【答案】【解析】将视为整体将已知条件用余弦的两角和公式变形可得的值，根据角的范围可得的值，再用二倍角公式分别求的值，最后用正弦两角和公式将展开计算即可。

(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题

两角和与差的正弦、余弦、正切一、两角和与差的余弦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1、求值：（1） 15cos （2） 20802080sin sin cos cos +（3） 1013010130sin sin cos cos +（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．（8） 29912991sin sin cos cos -2. （1）求证：cos （2π－α）＝sin α．（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值．（3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5.已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。

6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。

7.在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.二、两角和与差的正弦sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13cos sin 22x x -（3）3sin cos x x + （4）22cos 2sin 222x x -二、证明： )4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。

专题03 两角和与差的三角函数(知识串讲+热考题型+专题训练)(解析版)

专题3两角和与差的三角函数（一）两角和与差的余弦C(α－β)：cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ；C(α＋β)：cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；【点拨】①简记为：“同名相乘，符号反”．②公式本身的变用，如cos(α－β)－cosαcosβ＝sinαsinβ．③公式中的α，β不仅可以是任意具体的角.角的变用，也称为角的变换，如cosα＝cos[(α＋β)－β]，cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]．（二）两角和与差的正弦S(α＋β)：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；S(α－β)：sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ；【点拨】①简记为：“异名相乘，符号同”．②公式中的α，β不仅可以是任意具体的角，还可以是任意形式的“整体”.（三）两角和与差的正切T(α＋β)：tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ；.T(α－β)：tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ【点拨】1公式T α±β只有在α≠2π＋k π，β≠2π＋k π，α±β≠2π＋k π(k ∈Z )时才成立，否则就不成立.②当tan α或tan β或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T α±β处理有关问题，但可改用诱导公式或其他方法．③变形公式：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)，如tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝tan(α＋β)，tan(α＋β)－tan α－tan β＝tan αtan βtan(α＋β)，1－tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ++．1＋tan αtan β＝tan tan tan()αβαβ--．（四）辅助角公式函数f(α)＝acos α＋bsin α(a ，b 为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定．4sin(2cos sin πααα±=±.题型一公式的正用【典例1】【多选题】（2022春·江苏徐州·高一统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α、β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，若点A 、B 的坐标分别为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭和43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，则以下结论正确的是（）A ．3cos 5α=B ．3cos 5β=C ．()cos 0αβ+=D ．()cos 0αβ-=【答案】AD(0,π)β∈，则tan()αβ+的值为______．【典例3】（2023·江苏·高一专题练习）已知tan ,4αα=-是第四象限角．(1)求cos sin αα-的值；(2)求ππcos ,tan 44αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值．正用公式问题，一般属于“给角求值”、“给值求值”问题，应该通过应用公式，转化成“特殊角”的三角函数值计算问题．给角求值问题的策略：一般先要用诱导公式把角化整化小，化“切”为“弦”，统一函数名称，然后观察角的关系以及式子的结构特点，选择合适的公式进行求值．题型二公式的变用、逆用【典例4】（2022春·江苏泰州·高一江苏省姜堰第二中学校联考阶段练习）已知sin100cos100M =︒-︒，44cos 78cos 46cos12)N =︒︒+︒︒，1tan101tan10P -︒=+︒，那么M ，N ，P 之间的大小顺序是（）A ．M N P <<B ．N M P<<C ．P M N<<D ．P N M<<A cos15︒︒B ．2cos 15sin15cos75︒︒︒-C ．2tan 301tan 30︒︒-D ．1tan151tan15︒︒+-【答案】AD【分析】运用辅助角公式、诱导公式、和差角公式的逆用、特殊角的三角函数值、三角恒等变换中“1”的代换化简即可.(1)1－tan75°1＋tan75°；(2)(1＋tan1°)(1＋tan2°)…(1＋tan44°)；(3)tan25°＋tan35°＋3tan25°tan35°．【答案】（1）3-；（2）222；（3【解析】尝试使用两角和与差的正切公式及其变形式对原式进行变形求值．详解：(1)原式＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°tan(45°－75°)＝33-．(2)因为(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°×tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝2，…，所以原式＝222．(3)∵tan60°＝tan(25°＋35°)＝tan25°＋tan35°1－tan25°tan35°＝，∴tan25°＋tan35°＝3(1－tan25°tan35°)∴tan25°＋tan35°．【规律方法】1.“1”的代换：在T α±β中如果分子中出现“1”常利用1＝tan45°来代换，以达到化简求值的目的．2．若α＋β＝4π＋k π，k ∈Z ，则有(1＋tan α)(1＋tan β)＝2．3．若化简的式子里出现了“tan α±tan β”及“tan αtan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．题型三给值求值【典例7】（2023·江苏·高一专题练习）已知34sin sin ,cos cos 55+=+=αβαβ，则cos()αβ-=（）A ．12-B ．13-C ．12D ．34取得最大值，则πcos 24θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C D【典例9】（2021春·江苏南京·高一校考阶段练习）已知cos 27βα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，1sin 22αβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2απ<<π，02βπ<<，求：(1)cos2αβ+的值；tanαβ+的值.(2)()给值求值问题的解题策略．(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．(2)常见角的变换．①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．题型四给值求角【典例10】（2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末）已知()0παβ∈，，，1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，则2αβ-=（）A ．5π4B ．π4C ．π4-D ．3π4-1,0,,cos 222π2a a βαββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求αβ+的值．解题的一般步骤是：(1)先确定角α的范围，且使这个范围尽量小（极易由于角的范围过大致误）；(2)根据(1)所得范围来确定求tan α、sin α、cos α中哪一个的值，尽量使所选函数在(1)得到的范围内是单调函数；(3)求α的一个三角函数值；(4)写出α的大小．题型五三角函数式化简问题【典例12】（2022春·江苏镇江·高一统考期末）计算：70cos10︒︒=︒（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可.【详解】【典例13】（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）已知，且()(),22k k k k ππαβπα+≠+∈≠∈Z Z ，则()tan tan αβα+=___________.1.三角公式化简求值的策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)使用公式求值，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．2.注意三角函数公式逆用、变形用及“变角、变名、变号”的“三变”问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，33,23入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．题型六三角恒等式证明问题【典例14】（2023春·上海浦东新·高一校考阶段练习）求证：(1)22sin cos 1sin cos 1cot 1tan αααααα+=-++；(2)在非直角三角形ABC 中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=【典例15】（2023·高一课时练习）求证：(1)当18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 时，(1tan )(1tan )2αβ++=；(2)当180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 时，tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据正切两角和公式求解即可.（2）根据正切两角和公式求解即可.【详解】（1）因为18045()k k αβ+=⋅︒+︒∈Z 所以(1tan )(1tan )αβ++1tan tan tan tan αβαβ=+++()()1tan 1tan tan tan tan αβαβαβ=++-+()()1tan 451801tan tan tan tan k αβαβ=++⋅-+ ()1tan 451tan tan tan tan αβαβ=+-+ 11tan tan tan tan αβαβ=+-+2=.即证：(1tan )(1tan )2αβ++=.（2）因为180()k k αβγ++=⋅︒∈Z 所以tan tan tan αβγ++()()tan 1tan tan tan αβαβγ=+-+()()tan 1801tan tan tan k γαβγ=⋅--+ ()tan 1tan tan tan γαβγ=--+tan tan tan αβγ=⋅⋅.即证：tan tan tan tan tan tan αβγαβγ++=⋅⋅.【总结提升】三角恒等式的证明方法(1)从等式的比较复杂的一边化简变形到另一边，相当于解决化简题目．(2)等式两边同时变形，变形后的结果为同一个式子．(3)先将要证明的式子进行等价变形，再证明变形后的式子成立．提醒：开平方时正负号的选取易出现错误，所以要根据已知和未知的角之间的关系，恰当地把角拆分，根据角的范围确定三角函数的符号．一、单选题1．（2023秋·江苏连云港·高一江苏省海头高级中学校考期末）5cos 12π=（）A B C D2．（2023·江苏·高一专题练习）化简tan tan 44A A ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．2tan AB ．2tan A-C ．2tan 2AD ．2tan 2A-，，1,2b =，且a b ⊥，则()tan 45θ-︒的值是（）A ．1B ．3-C．3D ．134．（2023·江苏·高一专题练习）若1tan θ-=+，则cot 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）．A ．12B C D ．1【答案】C5．（2023·江苏·高一专题练习）在ABC 中，若cos 5A =，cos 13B =-，则cos()A B +等于（）A ．1665-B ．3365C ．5665D ．6365-6．（2023·江苏·高一专题练习）若cos 5θ=-且(,π)2θ∈，则πsin 3θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（）A B．410+-C D 7．（2022春·江苏苏州·高一统考期中）已知02α<<，02β<<，且()sin 5αβ-=-，12sin 13β=，则sin α=（）A ．6365B ．5665C ．3365D ．1665-合，将角α的终边绕O 点顺时针旋转π3后，经过点()3,4-，则sin α=（）A B C D ．9．（2022春·江苏泰州·高一校考阶段练习）对任意的锐角αβ､，下列不等关系恒成立的是（）A ．()sin cos cos αβαβ+<+B ．()cos sin sin αβαβ+<+C ．()sin cos cos αβαβ-<+D ．()cos sin sin αβαβ-<+【答案】ACA ．1sin15222-=-B ．sin20cos10cos160sin102-C ．sin1212ππ=D ．sin105=11．（2023·江苏·高一专题练习）化简：πtan 3π13αα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭______．12．（2023秋·陕西西安·高一西安市第六中学校考期末）已知α，β满足04α<<，44β<<，3cos 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π12sin 413β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()sin αβ-=______．13．（2023春·湖北黄冈·高一校考阶段练习）求sin 36sin15sin 39cos36cos15sin 39︒︒︒-︒︒+︒的值．()cos ,sin b ααβ=- ，且a b ⊥ ．(1)求()cos αβ+的值；(2)若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2πβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且tan 3α=-，求2αβ+的值．︒︒+︒︒+︒︒=，tan10tan20tan20tan60tan60tan101tan20tan30tan30tan40tan40tan201︒︒+︒︒+︒︒=，tan33tan44tan44tan13tan33tan131︒︒+︒︒+︒︒=．(1)尝试再写出一个相同规律的式子；(2)写出能反映以上式子一般规律的恒等式，并对你写出的恒等式进行证明．。

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析

高一数学两角和与差的三角函数试题答案及解析1.的值为 ( )A．B．C．D．【答案】C【解析】由和差化积公式原式=．【考点】和差化积公式．2.已知函数，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由和差化积公式得，，即，可得，解得．【考点】1、和差化积；2、三角函数的取值．3.计算 = ．【答案】【解析】．【考点】两角差的正弦公式．4.已知分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，.（1）求A；（2）若，△ABC 的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由条件及正弦定理，进行边角的统一，可得到，注意到，因此，可将等式继续变形为，从而得到，由利用辅助角公式可变形为，因此，；（2）由（1）及面积为，可得，再根据余弦定理，联立方程即可解得.（1）由正弦定理及可得：，即，又∵，∴ 3分即，∴，； 7分由（1）及，∴，又由余弦定理及： 10分，联立方程，即可得 14分【考点】1.正弦定理与余弦定理解三角形；2.三角恒等变形.5.在中，为的对边，且，则（）A．成等差数列B．成等差数列C．成等比数列D．成等比数列【答案】D【解析】因为，所以，且由二倍角公式可得，所以可化为即也就是，根据正弦定理可得，所以成等比数列，选D.【考点】1.两角和差公式；2.二倍角公式；3.正弦定理；4.等比数列的定义.6.（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据两角和的公式，,故选A.【考点】两角和的正弦公式7.设△ABC的内角所对的边分别为,若,则的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定【答案】A【解析】∴，则由正弦定理可得，即，可得，故，所以三角形为直角三角形，故选A．【考点】1．正弦定理；2．两角和与差的三角函数．8.若,则________.【答案】【解析】∵,∴＝＝＝＝．【考点】1、两角和与差的余弦函数；2、二倍角的余弦．9. sin 34°sin 26°－cos 34°cos 26°的值是 ( )A．B．C．－D．－【答案】C【解析】。

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