2019-2020学年四川省乐山十校高一第二学期期中联考数学试题(解析版)

合集下载

四川省乐山第一中学校2019-2020学年高一下学期期中数学试题

四川省乐山第一中学校2019-2020学年高一下学期期中数学试题
一、单选题
1. 已知
，
，则
（）
A．
B．
C．
D．
纠错收藏详情
2. 已知某单位有职工120人，其中男职工90人.现在采用分层抽样（按男女分层）抽取一个样本，若样本中有3名女职工，则样本容量为（）.
A．9
B．12
C．10
D．15
3. 已知实数，满足 A． C．
21. 已知数列满足：
，
，又
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：
，
前项和为的数列满足：
，
.

.
，
，则数列的公比为______.
12. 某样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______．
13. 若实数，满足不等式组
，则目标函数
的最大值为______.
14. 在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM ＝2，则
）的最小值是________．
，，则，，，的大小关系是（） B． D．
4. 阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（）
A．3
B．4
C．5
D．6
5.
的内角，，的对边分别为，，若
A．
B．
，
，
C．
，则边等于（） D．2
6. 数列中，
，对所有的
都有
，则
（）
A．
B．
C．
D．
7. 已知△ABC的三个内角A、B、C所对边长分别为a、b、c，向量 =(a＋c，a－b)， =(b，a－c)，若 ∥ ，则∠C=( )

2019-2020学年四川省乐山十校2019级高一下学期期中联考数学试卷及答案

机密★启用前【考试时间：2020年6月2日：8:00—10:00】
2019-2020学年乐山十校2019级高一下学期期中联考
数学试卷
★祝考试顺利★
本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页,第二部分3至4页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
注意事项：
1．选择题必须用B 2铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.
2．第一部分共12小题,每小题5分,共60分.
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量a →＝(－2,3),b →＝(3,m ),且a →⊥b →,则m ＝( ) A.29- B.2- C.2 D.2
9 2. 已知{}n a 是等比数列,2512,4
a a ==,则公比q ＝( ) A.－12
B.2-
C.2
D.12 3. 设非零向量a →,b →满足|a →＋b →|＝|a →－b →|,则( )
A. |a →|＝|b →|
B.a →⊥b →
C.a →∥b →
D.|a →|>|b →| 4. △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a
c ＝2,cos A ＝23
,则b ＝( ) A. 31- B.3- C.3 D.3
1 5. 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若角A ,B ,C 依次成等差数列,边a ,b ,c 依次成
等比数列,且b ＝2,则S △ABC ＝( )。

2019-2020学年四川省乐山市十校高一下学期期中数学试卷 (解析版)

2019-2020学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．已知向量a →=（﹣2，3），b →=（3，m ），且a →⊥b →，则m ＝（） A ．−92B ．﹣2C ．2D ．922．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5=14，则公比q ＝（） A ．−12B ．﹣2C ．2D ．123．设非零向量a →，b →满足|a →+b →|＝|a →−b →|，则（）A ．a →⊥b →B ．|a →|＝|b →|C ．a →∥b →D ．|a →|＞|b →|4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =√5，c ＝2，cos A =23，则b ＝（） A ．√2B ．√3C ．2D ．35．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，边a ，b ，c 依次成等比数列，且b ＝2，则S △ABC ＝（） A ．√32B ．1C ．2D ．√36．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知C ＝60°，b =√2，c =√3，则sin A ＝（） A ．√6+√24B ．√6−√24C ．√22D ．127．数列{a n }中，若a 1=2，a n+1=2ana n+2，则a 7＝（）A ．18B ．17C ．27D ．148．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知√3a +2c =2bcosA ，则角B 的大小为（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2a 9+a 5a 6＝6，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10＝（） A ．6B ．5C ．4D ．1+log 3510．已知在△ABC 中，点M 在边BC 上，且BC →=−2CM →，点E 在边AC 上，且AE →=12EC →，则向量EM→=（）A．12AC→+13AB→B．16AC→+12AB→C．12AC→+16AB→D．16AC→+32AB→11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔底几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（）A．3盏B．9盏C．192盏D．9384盏12．数列{a n}中，a1＝2且a n+a n−1=na n−a n−1+2(n≥2)，则数列{1(a n−1)2}的前2020项和为（）A．40402021B．20191010C．20202021D．40392020二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．已知平行四边形ABCD的顶点A（﹣1，﹣2），B（3，﹣1），C（6，7），则顶点D 的坐标为．14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos B＝c cos C，则该三角形的形状是．（不要使用“△”符号表示三角形）15．已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+2n+1，则数列{a n}的通项公式a n＝．16．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为α＝60°和β＝45°，如果这时气球的高是h＝60米，则河流的宽度BC为米．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=c(cosB+√33sinB)．（1）求角C的大小；（2）若c＝2，且边BC上的高为√3，求△ABC的周长．18．设e1→，e2→为两个不共线的向量，若a→=e1→+λe2→，b→=2e1→−e2→．（1）若（a →+b →）∥b →共线，求实数λ的值；（2）若e 1→，e 2→是夹角为2π3的单位向量，且a →⊥b →，求实数λ的值．19．已知数列{a n }的前项和S n 和通项a n 满足S n ＝2a n ﹣1，n ∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }中，b 1＝3a 1，b n +1＝b n +3，n ∈N *，求数列{a n +b n }的前n 项和T n ． 20．已知数列{a n }为等差数列，其中：a 2+a 3＝8，a 5＝3a 2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）记b n =2a n a n+1，设{b n }的前n 项和为S n ．求最小的正整数n ，使得S n ＞20202021．21．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足（2a +c ）BA →•BC →=c CB →•AC →．（1）求角B 的大小；（2）若b =√6，求△ABC 面积的取值范围．22．已知{a n }是递增的等差数列，a 2、a 4是方程x 2﹣5x +6＝0的根．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{a n2n +a n }的前n 项和．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知向量a→=（﹣2，3），b→=（3，m），且a→⊥b→，则m＝（）A．−92B．﹣2C．2D．92【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值．解：∵向量a→=（﹣2，3），b→=（3，m），且a→⊥b→，∴a→•b→=−6+3m＝0，则m＝2，故选：C．2．已知{a n}是等比数列，a2＝2，a5=14，则公比q＝（）A．−12B．﹣2C．2D．12【分析】根据等比数列所给的两项，写出两者的关系，第五项等于第二项与公比的三次方的乘积，代入数字，求出公比的三次方，开方即可得到结果．解：∵{a n}是等比数列，a2＝2，a5=1 4，设出等比数列的公比是q，∴a5＝a2•q3，∴q3=a5a2=142=18，∴q=1 2，故选：D．3．设非零向量a→，b→满足|a→+b→|＝|a→−b→|，则（）A．a→⊥b→B．|a→|＝|b→|C．a→∥b→D．|a→|＞|b→|【分析】由已知得(a→+b→)2=(a→−b→)2，从而a→⋅b→=0，由此得到a→⊥b→．解：∵非零向量a→，b→满足|a→+b→|＝|a→−b→|，∴(a→+b→)2=(a→−b→)2，a →2+b →2+2a →b →=a →2+b →2−2a →b →，4a →b →=0，解得a →⋅b →=0， ∴a →⊥b →．故选：A ．4．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =√5，c ＝2，cos A =23，则b ＝（） A ．√2B ．√3C ．2D ．3【分析】由余弦定理可得cos A =b 2+c 2−a 22bc，利用已知整理可得3b 2﹣8b ﹣3＝0，从而解得b 的值．解：∵a =√5，c ＝2，cos A =23，∴由余弦定理可得：cos A =23=b 2+c 2−a 22bc =b 2+4−52×b×2，整理可得：3b 2﹣8b ﹣3＝0，∴解得：b ＝3或−13（舍去）．故选：D ．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，边a ，b ，c 依次成等比数列，且b ＝2，则S △ABC ＝（） A ．√32B ．1C ．2D ．√3【分析】由题意结合等差数列的性质可求B ，然后结合余弦定理可求a ，c ，代入三角形的面积公式即可求解．解：由题意可得A +C ＝2B ，b 2＝ac ＝4，由三角形的内角和定理可得B =π3，由余弦定理可得，cos π3=12=a 2+c 2−b 22ac=(a+c)2−2ac−42ac，故12=(a+c)2−128，即a +c ＝4，所以a ＝c ＝2，则S △ABC =12×2×2×√32=√3．故选：D．6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知C＝60°，b=√2，c=√3，则sin A ＝（）A．√6+√24B．√6−√24C．√22D．12【分析】由已知结合正弦定理可求B，然后结合三角形的和差角公式即可求解．解：因为C＝60°，b=√2，c=√3，由正弦定理可得，bsinB =csinC，故sin B=bsinCc =√2×√323=√22，因为c＞b，故C＞B，所以B=π4，则sin A＝sin（π3+π4）=√32×√22+12×√22=√2+√64．故选：A．7．数列{a n}中，若a1=2，a n+1=2a na n+2，则a7＝（）A．18B．17C．27D．14【分析】通过数列的递推关系式，取倒数，得到新数列的通项公式，然后推出结果即可．解：数列{a n}中，若a1=2，a n+1=2a na n+2，可得1a n+1=12+1a n，所以数列{1a n }是等差数列，首项为12，公差为：12，所以1a n =12+（n﹣1）×12=n2，可得a n=2 n，所以a7=2 7．故选：C．8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知√3a+2c=2bcosA，则角B的大小为（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【分析】由已知结合余弦定理对已知进行化简，然后再结合余弦定理即可求解．解：∵√3a +2c =2bcosA =2b ×b 2+c 2−a 22bc =b 2+c 2−a 2c，整理可得，a 2+c 2−b 2=−√3ac ，由余弦定理可得，cos B =a 2+c 2−b 22ac =−√32，因为B 为三角形的内角，故B =5π6．故选：D ．9．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2a 9+a 5a 6＝6，则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10＝（） A ．6B ．5C ．4D ．1+log 35【分析】根据题意，由等比数列的性质可得a 2a 9＝a 5a 6，结合a 2a 9+a 5a 6＝6可得a 2a 9＝3，进而可得log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10＝log 3（a 1a 2a 3……a 10）＝log 335，进而计算可得答案．解：根据题意，等比数列{a n }中，a 2a 9+a 5a 6＝6，又由a 2a 9＝a 5a 6，则有a 2a 9＝3，则有a 1a 10＝a 2a 9＝……＝a 5a 6＝3；则log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a 10＝log 3（a 1a 2a 3……a 10）＝log 335＝5；故选：B ．10．已知在△ABC 中，点M 在边BC 上，且BC →=−2CM →，点E 在边AC 上，且AE →=12EC →，则向量EM →=（） A ．12AC →+13AB →B ．16AC →+12AB →C ．12AC →+16AB →D ．16AC →+32AB →【分析】作图，根据条件可得CM →=12CB →，EC →=23AC →，再由向量运算法则即可得到答案解：如图，因为BC →=−2CM →，所以CM →=12CB →，因为AE →=12EC →，所以EC →=23AC →，则EM →=EC →+CM →=12CB →+23AC →=12（AB →−AC →）+23AC →=12AB →+16AC →，故选：B ．11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问塔底几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（） A ．3盏B ．9盏C ．192盏D ．9384盏【分析】设塔的底层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为12的等比数列，利用等比数列前n 项和公式能求出结果．解：设塔的底层共有a 1盏灯，则数列{a n }公比为12的等比数列，∴S 7=a 1(1−127)1−12=381，解得a 1＝192．故选：C ．12．数列{a n }中，a 1＝2且a n +a n−1=na n −a n−1+2(n ≥2)，则数列{1(a n −1)2}的前2020项和为（） A ．40402021B ．20191010C ．20202021D ．40392020【分析】先由题设条件得到：（a n ﹣1）2﹣（a n ﹣1﹣1）2＝n ，再利用累加法求得（a n ﹣1）2=n(n+1)2，n ≥2，并检验当n ＝1时是否适合，再利用裂项相消法求出数列{1(a n −1)2}的前2020项和即可．解：∵a 1＝2且a n +a n−1=na n −an−1+2(n ≥2)，∴a n 2﹣a n ﹣12﹣2（a n ﹣a n ﹣1）＝n ，化为：（a n ﹣1）2﹣（a n ﹣1﹣1）2＝n ．∴（a 2﹣1）2﹣（a 1﹣1）2＝2，（a 3﹣1）2﹣（a 2﹣1）2＝3，（a 4﹣1）2﹣（a 3﹣1）2＝4，…，（a n ﹣1）2﹣（a n ﹣1﹣1）2＝n ，将以上式子累加可得：（a n ﹣1）2﹣（a 1﹣1）2＝2+3+4+…+n ，整理得（a n ﹣1）2＝1+2+3+…+n =n(n+1)2，n ≥2，经检验知当n ＝1时也适合，故（a n ﹣1）2=n(n+1)2，n ∈N *，1(a n −1)=2（1n−1n+1），∴数列{1(a n −1)2}的前2020项和为2（11−12+12−13+⋯+12020−12021）＝2（1−12021）=40402021．故选：A ．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13．已知平行四边形ABCD 的顶点A （﹣1，﹣2），B （3，﹣1），C （6，7），则顶点D 的坐标为（2，6）．【分析】由平行四边形ABCD 得CD =BA ，根据向量相等求D 点坐标．解：设D （x ，y ），由已知CD =BA ，即（x ﹣6，y ﹣7）＝（﹣1﹣3，﹣2+1），所以x ＝2，y ＝6．故答案为：（2，6）．14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos B ＝c cos C ，则该三角形的形状是等腰或直角三角形．（不要使用“△”符号表示三角形）【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用二倍角的正弦函数公式变形，利用正弦函数的性质得到B ＝C 或B +C ＝90°，即可确定出三角形ABC 的形状．解：利用正弦定理化简c cos C ＝b cos B ，得：sin C cos C ＝sin B cos B ，即12sin2C =12sin2B ，∴sin2C ＝sin2B ，∴2C ＝2B ，或2C +2B ＝180°，即B ＝C ，或B +C ＝90°，则△ABC 为等腰或直角三角形．故答案为：等腰或直角三角形．15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2+2n +1，则数列{a n }的通项公式a n ＝ {4，n =12n +1，n ≥2．【分析】根据公式a n ={S 1，n =1S n −S n−1，n ≥2计算，并检验是否可以合并．解：n ＝1时，a 1＝S 1＝4；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+2n+1﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]＝2n+1，n＝1时不符合上式，∴a n={4，n=12n+1，n≥2，故答案为：{4，n=12n+1，n≥2．16．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为α＝60°和β＝45°，如果这时气球的高是h＝60米，则河流的宽度BC为60﹣20√3米．【分析】由题意可得∠DAB的值，在△DAB中由余弦值可得AB的值，在△ABC中，由正弦定理可得BCsin∠BAC =ABsin∠ACB可得BC的值．解：设D为A在河岸的投影，AE∥BC，所以∠BCA＝β＝45°，∠BAC＝β﹣α＝60°﹣45°＝15°，由题意可得∠BAD＝90°﹣α＝90°﹣60°＝30°，所以在△ADB中，AB=ADcos∠DAB=2ℎ√3，在△ABC中，由正弦定理可得BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，即√6−√24=√3√22，而h＝60，解得BC＝60﹣20√3．故答案为：60﹣20√3三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=c(cosB+√33sinB)．（1）求角C的大小；（2）若c＝2，且边BC上的高为√3，求△ABC的周长．【分析】（1）由正弦定理，三角函数和差公式，同角三角函数基本关系式可求tanC=√3．结合范围C∈（0，π），可求C的值．（2）由题意可求AC＝b＝2，进而利用余弦定理可求a的值，即可求解三角形的周长的值．解：（1）∵a=c(cosB+√33sinB)，∴sin A＝sin C cos B+√33sin C sin B，∴由和差公式得：sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB+√33sinCsinB，∴整理得：tanC=√3．∵C∈（0，π），∴C=π3．（2）∵C=π3，c＝2，且边BC上的高AD=√3，∴AC＝b＝2，∴c2=a2+b2−2abcos π3，得a＝2，∴周长C△ABC＝6．18．设e 1→，e 2→为两个不共线的向量，若a →=e 1→+λe 2→，b →=2e 1→−e 2→．（1）若（a →+b →）∥b →共线，求实数λ的值；（2）若e 1→，e 2→是夹角为2π3的单位向量，且a →⊥b →，求实数λ的值．【分析】（1）根据题意，分析可得a →+b →=3e 1→+（λ﹣1）e 2→，又由向量平行的判断方法可以设（a →+b →）＝k b →，即3e 1→+（λ﹣1）e 2→=k （2e 1→−e 2→），进而可得{3=3k λ−1=−k，解可得λ的值，即可得答案；（2）根据题意，求出e 1→•e 2→的值，由向量垂直的判断方法可得a →•b →=（e 1→+λe 2→）•（2e 1→−e 2→）＝2e 1→2﹣λe 2→2+（2λ﹣1）e 1→•e 2→=2﹣2λ+12=0，进而计算可得答案．解：（1）根据题意，a →=e 1→+λe 2→，b →=2e 1→−e 2→．则a →+b →=3e 1→+（λ﹣1）e 2→，若（a →+b →）∥b →共线，则设（a →+b →）＝k b →，即3e 1→+（λ﹣1）e 2→=k （2e 1→−e 2→），则有{3=3k λ−1=−k，解可得λ=−12；（2）根据题意，e 1→，e 2→是夹角为2π3的单位向量，则e 1→•e 2→=−12；若a →⊥b →，则a →•b →=（e 1→+λe 2→）•（2e 1→−e 2→）＝2e 1→2﹣λe 2→2+（2λ﹣1）e 1→•e 2→=2﹣2λ+12=0，解可得λ=54；故实数λ的值为54．19．已知数列{a n }的前项和S n 和通项a n 满足S n ＝2a n ﹣1，n ∈一、选择题*．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }中，b 1＝3a 1，b n +1＝b n +3，n ∈N *，求数列{a n +b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）利用已知条件通过n ＝1求出数列的首项，通过递推关系式求出数列是等比数列，得到公比，然后求解通项公式．（2）利用分组求和，求解数列的和即可．解：（1）当n ＝1时，a 1＝2a 1﹣1得：a 1＝1，当n ≥2时，由{S n =2a n −1S n−1=2a n−1−1得：a n a n−1=2=q ，得：a n =2n−1，n ＝1时，a 1＝S 1＝1，所以：a n =2n−1，n ∈N *．（2）由（1）知：b1＝3，b n+1﹣b n＝3＝d，所以：b n＝3+（n﹣1）×3＝3n，c n=a n+b n=2n−1+3n，所以：T n=1×(1−2n)1−2+3×n(n+1)2=2n−1+3n(n+1)2．20．已知数列{a n}为等差数列，其中：a2+a3＝8，a5＝3a2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b n=2a n a n+1，设{b n}的前n项和为S n．求最小的正整数n，使得S n＞20202021．【分析】（1）利用数列的递推关系式，结合已知条件列出方程组，求出数列的首项与公差，然后求解通项公式．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和，利用不等式求解即可．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，依题意有{2a1+3d=8，a1+4d=3a1+3d，得{a1=1，d=2，，从而a n＝2n﹣1，n∈N*．（2）因为b n=2a n a n+1=12n−1−12n+1，所以S n=1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1=1−12n+1，令1−12n+1＞20202021，解得n＞1010，故取n＝1011．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足（2a+c）BA→•BC→=c CB→•AC→．（1）求角B的大小；（2）若b=√6，求△ABC面积的取值范围．【分析】（1）利用正弦定理结合向量的数量积转化求解即可．（2）通过正弦定理结合三角形的面积转化求解即可．解：（1）由题意得（2a+c）BA→•BC→=c CB→•AC→．根据正弦定理得（2sin A+sin C）c•a•cos B＝﹣c•a•b cos C，∴（2sin A+sin C）cos B＝﹣sin B cos C，∴2sin A cos B＝﹣sin（B+C），即2sin A cos B＝﹣sin A，∵A∈（0，π），所以sin A＞0，∴cosB=−12，又B∈（0，π），所以B=2π3．（2）因为b =√6，所以bsinB=√6√32=2√2=2R ，S =12acsinB =12⋅2RsinA ⋅2RsinC ⋅√32 =12⋅2√2sinA ⋅2√2sin(π3−A)⋅√32=2√3sinA(√32cosA −12sinA)=3sinAcosA −√3sin 2A =32sin2A −√32(1−cos2A)=√3sin(2A +π6)−√32， ∵A ∈(0，π3)，∴2A +π6∈(π6，5π6)， ∴sin(2A +π6)∈(12，1]，∴S △ABC 的取值范围为(0，√32]．22．已知{a n }是递增的等差数列，a 2、a 4是方程x 2﹣5x +6＝0的根．（1）求{a n }的通项公式；（2）求数列{a n2n +a n }的前n 项和．【分析】（1）方程x 2﹣5x +6＝0的两根为2，3，由题意得a 2＝2，a 4＝3，求出首项与公差，即可求解通项公式．（2）化简a n 2n+a n =n+22n+1+n 2+1，设数列{n+22n+1}的前n 项和为S n ，利用错位相减法求解即可．解：（1）方程x 2﹣5x +6＝0的两根为2，3，由题意得a 2＝2，a 4＝3，设{a n }是递增的等差数列，数列的公差为 d ，则d ＞0，则a 4﹣a 2＝2d ，故d =12，从而a 1=32，所以{a n }的通项公式为：a n =n2+1．（2）由（1）知a n 2+a n =n+22+n 2+1，设数列{n+22}的前n 项和为S n ，则：S n =322+423+524+⋯+n+12n +n+22n+1，12S n =32+42+52+⋯+n+12+n+22，两式相减得12S n =34+(123+124+⋯+12n+1)−n+22n+2=34+14(1−12n−1)−n+22n+2，所以S n =2−n+42n+1，设数列{a n n +a n }的前n 项和为T n ，n(32+12n+1)2=2−n+42n+1+n2+5n4．则T n=S n+。

四川省乐山市十校2019-2020学年高二下学期期中联考数学(文)试卷

数学文科试题一、选择题：（每小题5分，共60分） 1. 复数2(12)i +的虚部是A.2B.2iC.4D.4i2. 函数2()cos f x x x =的导数是A. 2sin x xB. 2sin x x -C. 22cos sin x x x x +D.22cos sin x x x x -3. 从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是A ．13 B. 12 C. 23 D. 344. 按如图的程序框图运行相应的程序，若输入N 的值为8，则输出N 的值为A ．0B ．1C ．2D ．6 5. 曲线32y 22x x =-+在点(1,1)处的切线方程为A ．2y x =-+B ．y x =-C ．2y x =-D ．y x =6. 我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米648石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得288粒内夹谷32粒，则这批米内夹谷约为（注：石d àn 古代重量单位，1石＝60千克）A ．74石B ．72石C ．70石D ．68石7. 某高校调查了100名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]．根据直方图，求出a 的值是A ．0.18B ．0.17C ．0.16D ．0.15 8. 函数3()3f x x x =-的极小值是A ．4B ．2C ．-4D ．-29. 如图，点M 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，则异面直线AM 与BC 1所成角的余弦值是A.105B.255C.55D.101010. 如图在ABC ∆中，90ABC ∠=，22AC BC ==，在ABC ∠内作射线BD 与边AC 交于点D ，则使得DC DB <的概率是A.13B.12C.23D.3411. 已知()f x 是定义在(0,)+∞上的函数，其导函数是()f x '，且当0x >时总有()()xf x f x '>，则下列各项表述正确的是A. 2(1)(2)f f ≥B. 2(1)(2)f f >C. 2(1)(2)f f ≤D. 2(1)(2)f f <12. 已知函数()xf x xe =，()lng x x x =，若存在正实数12,x x ，使12()()f x g x t ==成立，则22122tx x e的最大值是（注：e 是自然对数的底数） A ．24e B ．22e C ．1eD ．e二、填空题：（每小题5分，共20分）13. 假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从60袋这种牛奶中抽取12袋进行检验。

四川省乐山十校2020学年高一数学下学期半期联考试题(含解析)

四川省乐山十校2020学年高一数学下学期半期联考试题（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.在等比数列 {}n a 中，116a =-，48a =，则 7a =( ) A. 4- B. 4± C. 2- D. 2±【答案】A 【解析】Q 等比数列{}n a 中，1416,8a a =-=，且21741744,a a a +=+∴⋅=，247164416a a a ∴===--，故选A.2.在 ABC V 中，若()221a b c bc--=，则 A ∠ 的大小是( )A.π6 B.π4 C.π3D.2π3【答案】C 【解析】【分析】利用余弦定理表示出cos A ，将已知等式变形后代入求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出角A 的度数。

【详解】已知等式变形得：2222a b bc c bc -+-=，即222b c a bc +-=，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，Q 角A 为三角形内角， ∴3A π=，故答案选C.【点睛】此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是本题解题的关键。

3.设D E ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点,AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+= (21λλ，为实数),则12λλ+的值是 ( ) A. 12 B. 21-C. 23D. 32-【答案】A 【解析】【分析】作出图形，根据向量的线性运算规则可得212121()323236DE BE BD BC BA AC AB BA AC AB →→→→→→→→→→=-=-=--=-，再由分解的唯一性得出1λ与2λ的值即可求出12λλ+的值。

【详解】由题意，如图：Q AB AD 21=,BC BE 32=, ∴212121()323236DE BE BD BC BA AC AB BA AC AB →→→→→→→→→→=-=-=--=-,又Q 12DE AB AC λλ→→→=+ (21λλ，为实数)，∴11=-6λ，22=3λ， ∴12121=-632λλ++=，故答案选A 。

四川省乐山市2019-2020学年高一下学期期末数学试卷 (含解析)

四川省乐山市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷一、选择题（共12小题）.1．直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．90°2．已知数列，，，，…，，…，则5是这个数列的（）A．第12项B．第13项C．第14项D．第25项3．如图，在正方形ABCD中，下列命题中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．||＝||4．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．a|c|＞b|c| D．5．已知＝（﹣5，4），＝（3，﹣2），BC边的中点为D，则AD的长为（）A．B．1 C．2 D．6．已知等差数列{a n}中，a1＝﹣2，公差d＝，则a2与a6的等差中项为（）A．B．C．D．67．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝1，∠A＝45°，S△ABC＝2，则a＝（）A．5 B．25 C．D．8．已知不等式≥4对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．69．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2，a1＝2，则a2020＝（）A．22019B．22020C．22021D．22021﹣210．已知向量、为单位向量，|2﹣3|＝，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．212．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．1378二、填空题（共4小题）.13．不等式＜0的解集为．14．如图，已知平行四边形ABCD，O为平面内任意一点，设＝，＝，＝，则用，，表示为．15．在等差数列{a n}中，a1＝2020，其前n项的和为S n，若﹣＝﹣2，则S2020的值为．16．已知a，b，c均为正数，且abc＝4a+9b，则a+b+c的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．已知两条直线l1：mx+4y﹣2＝0和l2：x+my+1＝0．（1）当l1∥l2时，求m的值；（2）在（1）的条件下，求l1、l2间的距离．18．已知向量＝（1，2），＝（m，﹣2），＝（﹣3，1），O为坐标原点．（1）若，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△ABC的面积．19．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为多少？甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 820．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sin B+sin C＝1，试判断△ABC的形状．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b＝c，∠A的平分线为AD，若•＝m•．（1）当m＝2时，求cos A（2）当∈（1，）时，求实数m的取值范围．22．已知点（1，）是函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n 项和为f（n）﹣c，数列{b n}（b n＞0）首项为c，且前n项和S n满足：S n﹣S n﹣1＝+（n≥2）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n．求满足T n＞的最小正整数n的值；（3）若c n＝﹣，求数列{c n}的前n项和P n．四川省乐山市2019-2020学年高一第二学期期末考试数学试卷参考答案一、选择题（共12小题）.1．直线l：x+y﹣3＝0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120°D．90°【分析】将直线方程化为斜截式方程，可得直线的斜率，再由斜率公式，即可得到所求倾斜角．解：直线l：x+y﹣3＝0，可得y＝3﹣x，即有直线的斜率为k＝﹣，设倾斜角为α，即有tanα＝﹣，由α为钝角，可得α＝120°，故选：C．2．已知数列，，，，…，，…，则5是这个数列的（）A．第12项B．第13项C．第14项D．第25项【分析】由＝5，解得n．即可得出．解：由＝5，解得n＝12．∴5是这个数列的第12项，故选：A．3．如图，在正方形ABCD中，下列命题中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．||＝||【分析】根据两向量的模长相等，方向相同，即可判断是相等向量．解：正方形ABCD中，向量、方向不同，不是相等向量，A错误；向量、大小相等，方向相反，不是相等向量，B错误；向量与的方向不同，不是相等向量，C错误；||＝||＝||，模长相等，D正确．故选：D．4．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A．B．a2＞b2C．a|c|＞b|c| D．【分析】本题中a，b，c∈R，a＞b，三个参数的关系不定，故可以采用排除法对四个选项依次判断，排除错误的，得出正确选项．解：A选项不对，当a＞0＞b时不等式不成立，故排除；B选项不对，当a＝0，b＝﹣1时不等式不成立，故排除；C选项不对，当c＝0时，不等式不成立，故排除；D选项正确，由于，又a＞b故故选：D．5．已知＝（﹣5，4），＝（3，﹣2），BC边的中点为D，则AD的长为（）A．B．1 C．2 D．【分析】先根据条件求出的坐标，进而求出结论．解：∵＝（﹣5，4），＝（3，﹣2），BC边的中点为D；如图；则＝（+）＝（﹣1，1）；∴AD的长为：＝；故选：D．6．已知等差数列{a n}中，a1＝﹣2，公差d＝，则a2与a6的等差中项为（）A．B．C．D．6【分析】根据等差中项的定义即可得出a2，a6的等差中项为a4，然后根据等差数列的通项公式即可得出a4的值．解：∵，a2与a6的等差中项为．故选：A．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝1，∠A＝45°，S△ABC＝2，则a＝（）A．5 B．25 C．D．【分析】由已知利用三角形面积公式可求b的值，利用余弦定理即可解得a的值．解：在△ABC中，∵c＝1，∠A＝45°，S△ABC＝bc sin A＝＝2，∴解得：b＝4，∴a＝＝＝5．故选：A．8．已知不等式≥4对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．1 B．2 C．4 D．6【分析】先将不等式恒成立转化为左边函数的最小值大于等于4恒成立；将不等式的左边展开，利用基本不等式求出最小值，令最小值大于等于4，解不等式求出a的范围，求出a的最小值．解：∵（x+y）（+）≥4对任意正实数x，y恒成立，∵（x+y）（+）＝1+a++≥1+a+2，∴1+a+2≥4，解得a≥1，故选：A．9．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2，a1＝2，则a2020＝（）A．22019B．22020C．22021D．22021﹣2【分析】利用已知条件推出{a n}是等比数列，然后求解通项公式，推出结果．解：数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣2，所以数列S n﹣1＝2a n﹣1﹣2，n≥2，n∈N+，可得a n＝2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2），即＝2，所以数列{a n}是等比数列，首项为2，公比为2，a n＝a1q n﹣1＝2•2n﹣1＝2n，所以a2020＝22020．故选：B．10．已知向量、为单位向量，|2﹣3|＝，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【分析】根据条件，对两边平方即可得出，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角．解：∵为单位向量，且；∴＝；∴；∴；又；∴向量的夹角为．故选：C．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1 C．D．2【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．12．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．289 B．1024 C．1225 D．1378【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果．解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项b n＝n2，则由b n＝n2（n∈N+）可排除D，又由，与无正整数解，故选：C．二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．13．不等式＜0的解集为（﹣3，）．【分析】由题意把分式不等式转化为与之等价的一元二次不等式，从而求得它的解集．解：不等式＜0，即（x+3）（2x﹣1）＜0，求得﹣3＜x＜，故答案为：（﹣3，）．14．如图，已知平行四边形ABCD，O为平面内任意一点，设＝，＝，＝，则用，，表示为．【分析】由题意可得，，然后结合向量的减法运算即可求解．解：由题意可得，，∴＝，即＝，∴＝．故答案为：．15．在等差数列{a n}中，a1＝2020，其前n项的和为S n，若﹣＝﹣2，则S2020的值为2020．【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式即可求解．解：由等差数列的性质可知，{}为等差数列，设公差为d，∵a1＝2020，∴＝2020，∵﹣＝2d＝﹣2，∴d＝﹣1，∴＝2020+2019×（﹣1）＝1，则S2020＝2020故答案为：202016．已知a，b，c均为正数，且abc＝4a+9b，则a+b+c的最小值为10．【分析】由已知可得c＝，然后根据基本不等式即可求解．解：因为a，b，c均为正数，且abc＝4a+9b，所以c＝＝，则a+b+c＝a+b+＝10，当且仅当a＝，b＝即a＝3，b＝2时取等号，故答案为：10三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．已知两条直线l1：mx+4y﹣2＝0和l2：x+my+1＝0．（1）当l1∥l2时，求m的值；（2）在（1）的条件下，求l1、l2间的距离．【分析】（1）根据题意，分析可得m2﹣4＝0，解可得m＝±2，分别验证m＝2和m＝﹣2时，两直线是否平行，即可得答案；（2）由（1）的结论，结合平行线间距离公式计算可得答案．解：（1）根据题意，直线l1：mx+4y﹣2＝0和l2：x+my+1＝0．若l1∥l2，必有m2﹣4＝0，解可得m＝±2，当m＝2时，直线l1：x+2y﹣1＝0，直线l2：x+2y+1＝0，两直线平行，符合题意，当m＝﹣2时，直线l1：x﹣2y+1＝0，直线l2：x﹣2y+1＝0，两直线重合，不符合题意，故m＝2；（2）由（1）的结论，直线l1：x+2y﹣1＝0，直线l2：x+2y+1＝0，直线l1、l2间的距离d＝＝．18．已知向量＝（1，2），＝（m，﹣2），＝（﹣3，1），O为坐标原点．（1）若，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△ABC的面积．【分析】（1）由题意利用两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的性质，求得m的值．（2）先求出、的坐标，再根据△ABC的面积为||•||，计算求得结果．解：（1）∵向量＝（1，2），＝（m，﹣2），＝（﹣3，1），O为坐标原点，若，则若•＝（m﹣1，﹣4）•（﹣4，﹣1）＝4﹣4m+4＝0，求得m＝2．（2）当m＝2时，＝（1，﹣4），＝（﹣4，﹣1），⊥，△ABC的面积为||•||＝••＝．19．某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为多少？甲乙原料限额A（吨） 3 2 12B（吨） 1 2 8【分析】设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值．解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y吨，利润为z元，则，目标函数为z＝3x+4y．作出二元一次不等式组所表示的平面区域（阴影部分）即可行域．由z＝3x+4y得y＝﹣x+，平移直线y＝﹣x+，由图象可知当直线y＝﹣x+，经过点B时，直线y＝﹣x+的截距最大，此时z最大，解方程组，解得：，即B的坐标为x＝2，y＝3，∴z max＝3x+4y＝6+12＝18．则每天生产甲乙两种产品分别为2，3吨，能够产生最大的利润，最大的利润是18万元．20．在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2a sin A＝（2b+c）sin B+（2c+b）sin C．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）若sin B+sin C＝1，试判断△ABC的形状．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边，求得a，b和c关系式，代入余弦定理中求得cos A的值，进而求得A．（Ⅱ）把（Ⅰ）中a，b和c关系式利用正弦定理转化成角的正弦，与sin B+sin C＝1联立求得sin B和sin C的值，进而根据C，B的范围推断出B＝C，可知△ABC是等腰的钝角三角形．解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得2a2＝（2b+c）b+（2c+b）c即a2＝b2+c2+bc由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A故，∵A∈（0，π）∴A＝120°（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin2A＝sin2B+sin2C+sin B sin C．变形得＝（sin B+sin C）2﹣sin B sin C又sin B+sin C＝1，得sin B sin C＝上述两式联立得因为0°＜B＜60°，0°＜C＜60°，故B＝C＝30°所以△ABC是等腰的钝角三角形．21．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且b＝c，∠A的平分线为AD，若•＝m•．（1）当m＝2时，求cos A（2）当∈（1，）时，求实数m的取值范围．【分析】（1）由题意得，＝（+）；从而可得•（+）＝2•；从而可得cos A＝＝；（2）•＝||•||cos A＝，从而可得m＝＝+＝+；从而求取值范围．解：（1）由题意得，＝（+）；故•（+）＝2•；故2＝3•；故cos A＝＝；（2）•＝||•||cos A＝；故m＝＝+＝+＝+；∵，∴（）2∈（1，）；故1＜＜；在＜+＜2．22．已知点（1，）是函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）的图象上一点，等比数列{a n}的前n 项和为f（n）﹣c，数列{b n}（b n＞0）首项为c，且前n项和S n满足：S n﹣S n﹣1＝+（n≥2）．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）若数列{}的前n项和为T n．求满足T n＞的最小正整数n的值；（3）若c n＝﹣，求数列{c n}的前n项和P n．【分析】（1）直接利用函数的关系式求出数列的常数c的值，进一步利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法的应用求出数列的和，进一步求出n的最小值．（3）利用乘公比错位相减法的应用求出数列和．解：（1）点（1，）是函数f（x）＝a x（a＞0，a≠1）的图象上一点，解得a＝，即f（x）＝（）x，等比数列{a n}的前n项和为f（n）﹣c，所以当n≥2时，a n＝[f（n）﹣c]﹣[f（n﹣1）﹣c]＝，由于公比q＝，由于，解得c＝1．（2）数列{b n}（b n＞0）首项为1，且前n项和S n满足：S n﹣S n﹣1＝+（n≥2）．所以，所以{}是以1为首项、1为公差的等差数列．，整理得．所以，b n＝S n﹣S n﹣1＝2n﹣1，n≥2，上式对n＝1也成立，故b n＝2n﹣1，n∈N*；，故＝，由于，解得n．故n的最小值为91．（3）由（1）得c n＝﹣＝（2n﹣1）•3n，所以①3②，①﹣②得：，＝（2﹣2n）•3n+1﹣6．故．。

四川省乐山十校2018-2019学年高一下学期半期联考数学试题(解析版)

乐山十校高2021届第二学期半期联考数学试题
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
等比数列中，，且，，故选 A.
2.在中，若，则的大小是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用余弦定理表示出，将已知等式变形后代入求出值，由为三角形的内角，利用特殊角的三角
函数值即可求出角的度数。

【详解】已知等式变形得：，即，
由余弦定理得：，
角为三角形内角，
，
故答案选 C.
【点睛】此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是本题解题的关键。

3.设分别是的边上的点,,,若 (为实数),则
的值是 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
作出图形，根据向量的线性运算规则可得，再由分解的唯一性得出与的值即可求出的值。

【详解】由题意，如图：
,,
,
又(为实数)，
，，
，
故答案选A。

【点睛】本题考查向量基本定理及其意义，涉及向量的基本运算，分解唯一性是此类参数题建立方程的依
据，属于中档题。

4.设等差数列的前项和为，若，则等于( )
A. B. C. D.。

2019-2020学年四川省乐山市十校高二(下)期中数学试卷(文科)(含答案解析)

2019-2020学年四川省乐山市十校高二（下）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数的虚部是A. 2B. 2iC. 4D. 4i2.函数的导数是A. 2x sinxB.C. D.3.从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，则这名女生被选中的概率是A. B. C. D.4.阅读如图框图，运行相应的程序，若输入n的值为8，则输出n的值为A. 0B. 1C. 2D. 35.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D.6.我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米648石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得288粒内夹谷32粒，则这批米内夹谷约为注：石古代重量单位，1石千克A. 74石B. 72石C. 70石D. 68石7.某高校调查了100名学生每周的自习时间单位：小时，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是根据直方图，求出a的值是A. B. C. D.8.函数的极小值是A. 4B. 2C.D.9.如图，点M是正方体的棱CD的中点，则异面直线AM与所成角的余弦值是A.B.C.D.10.如图在中，，，在内作射线BD与边AC交于点D，则使得的概率是A. B. C. D.11.已知是定义在上的函数，其导函数是，且当时总有，则下列各项表述正确的是A. B. C. D.12.已知函数，，若存在正实数，，使成立，则的最大值是注：e是自然对数的底数A. B. C. D. e二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从60袋这种牛奶中抽取12袋进行检验．利用随机数表抽取样本时，先将60袋牛奶按00，01，，59进行编号，若从随机数表第8行第7列的数开始向右读，则第4袋牛奶的编号为______．下面摘取了随机数表第7行至第9行14.执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的S的是______．15.已知函数的导函数是，若的图象在点的处的切线过点，则______．16.已知函数是定义在上的单调函数，是的导函数，且对任意的都有，若函数的一个零点，则整数m的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知复数，记其共轭复数为．求的值；若复数，求复数w的模．18.鲜花店名称A B C D E销售额千元35679利润额千元23345用最小二乘法计算利润额y关于销售额x的回归直线方程；如果某家鲜花店的销售额为8千元时，利用的结论估计这家鲜花店的利润额是多少．参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计值公式分别为．19.已知函数．求函数的单调区间；若方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．20.如图，AB是圆O的直径，C是圆上的点，平面平面ABC，．求证：平面ABC；若，求点A到平面PBC的距离．21.2020年，我国继续实行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取50人调查专项附加扣除的享受情况．Ⅰ应从老、中、青员工中分别抽取多少人？Ⅱ抽取的50人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有5人，分别记为A，B，C，D，享受情况如表，其中“”表示享受，“”表示不享受．现从这5人中随机抽取2人接受采访．员工A B C D E项目子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除全都不相同”，求事件M发生的概率．22.已知函数．讨论函数的单调性：当时，记函数在上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：因为复数；故其虚部为：4；故选：C．先把复数整理，直接由复数的概念得答案．本题考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：D解析：解：．故选：D．根据基本初等函数和积的导数的求导公式进行求导即可．本题考查了基本初等函数和积的导数的求导公式，考查了计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：从3名男生和1名女生中选出2人去参加社会实践活动，基本事件总数，这名女生被选中包含的基本事件个数，这名女生被选中的概率．故选：B．基本事件总数，这名女生被选中包含的基本事件个数，由此能求出这名女生被选中的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.答案：C解析：解：当时，不能被3整除，故，不满足退出循环的条件；当时，不能被3整除，故，不满足退出循环的条件；当时，能被3整除，故，满足退出循环的条件；故输出的，故选：C．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5.答案：A解析：解：的导数为，可得曲线在点处的切线斜率为，则曲线在点处的切线方程为，化为，故选：A．求得的导数，将代入可得曲线的切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．6.答案：B解析：解：这批米内夹谷约占的比例为，故这批米内夹谷约为石，故选：B．先求出这批米内夹谷约占的比例，再用总的米数乘以此比例，即为所求．本题主要考查用样本数字特征估计总体数字特征，属于基础题．7.答案：C解析：解：由频率分布直方图可得：，解得：，故选：C．利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1即可求出a的值．本题主要考查了频率分布直方图的应用，是基础题．8.答案：D解析：解：函数定义域：R．，令，得或1，在，上，，单调递增，在上，，单调递减，所以，故选：D．求导，分析单调性，可得极小值．本题考查导数的应用，考查利用导数求函数单调性及极值，考查计算能力，属于基础题．9.答案：A解析：解：如图，连接，，，四边形为平行四边形，则，则为异面直线AM与所成角，连接设正方体的棱长为2，则，．．即异面直线AM与所成角的余弦值是．故选：A．连接，证得，可得为异面直线AM与所成角，连接，设正方体的棱长为2，求解三角形可得异面直线AM与所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的求法，考查数学转化思想方法，是基础题．10.答案：C解析：解：如图，由，，得，则，．在中，当D为AC的中点时，，此时为等边三角形，．要使，则，又，由测度比为角度比，可得使得的概率是．故选：C．由已知结合直角三角形的性质可知，当D为AC的中点时，，此时为等边三角形，要使，则，又，再由测度比是角度比得答案．本题考查几何概型，考查数形结合的解题思想方法，明确测度比是角度比是关键，属易错题．11.答案：D解析：解：设，则，，，，在为增函数，，即，故选：D．由已知当时，总有成立，可判断函数为增函数，得到，得到答案．本题关键是证明为增函数，然后把要求的不等式变形，利用函数的单调性解决问题．12.答案：B解析：解：由题意，，，则，由，得，可知当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增．作出函数的草图如下：由图可知，当时，有唯一解，故，，且．．设，，则．令，得到或．当时，，单调递增，当时，，单调递减，故，即的最大值是．故选：B．利用导数分析函数的单调性，可得在上单调递增，当时，有唯一解．由题意，，则，可得，且得到构造函数，，利用导数求其最大值．本题考查函数的最值及其意义，训练了利用导数求最值，考查数学转化思想方法，属难题．13.答案：10解析：解：找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是59，第二个数是16，第三个数是55，16重复，第四个数是10，故答案为：10．找到第8行第7列的数开始向右读，第一个符合条件的是59，第二个数是16，三个数是55，第四个数是10．本题主要考查抽样方法，随机数表的使用，考生不要忽略．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．14.答案：6解析：解：执行如图所示的程序框图知，输入，则，；所以输出的S是6．故答案为：6．模拟执行程序的运行过程，即可得出输入输出S的值．本题考查了程序框图的运行问题，是基础题．15.答案：1解析：解：因为，故，，故在点处的切线为．将代入该方程得，解得．故答案为：1．先求出在处的切线方程，然后将代入，即可解出a的值．本题考查利用求曲线的经过某点的切线方程的方法，一般是先设切点，表示出切线方程后，将切线经过的点代入即可，属于中档题．16.答案：2解析：解：由题意，可知是定值，不妨令，则又，整理得，解得所以有，，，则，令，解得：或，令，解得：，故F在递增，在递减，在递增，故F，，由，，故零点，故，故答案为：2．由题意，可知是定值令，得出，再由求出t 的值即可得出的表达式，求出函数的导数，确定m的值即可．本题考查导数运算法则，函数的零点，解题的关键是判断出是定值，本题考查了转化的思想，将方程的根转化为函数的零点来进行研究，降低了解题的难度17.答案：解：，，；由，得，．解析：由已知z求得，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简得答案；把z与代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．18.答案：解：设回归直线方程是．由题中的数据可知，．，，利润额y关于销售额x的回归直线方程为．由知，当时，，即当销售额为8千万元时，可以估计该鲜花店的利润额为千元．解析：求出样本中心，回归直线的斜率，求出截距，然后得到回归直线方程．把代入回归直线方程，求出观测值，即可得到结果．本题考查回归直线方程的求法与应用，是基本知识的考查．19.答案：解：分当时，，当时，；分即的单调递增区间是，单调递减区间是分由得，分将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，分由知函数在时有极大值，作出其大致图象，分实数a的取值范围是分解析：求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；问题转化为函数与的图象的交点问题，画出函数的图象，结合图象求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，数形结合思想，转化思想，是一道常规题．20.答案：证明：是圆O的直径，，又平面平面ABC且平面平面，平面PAC，，又，，平面ABC．由知，，令，，，，，设点A到平面PBC的距离为d，则由得：，，即A到平面PBC的距离为．解析：证明，通过平面PAC，证明，结合，证明平面ABC．设点A到平面PBC的距离为d，由，转化求解A到平面PBC的距离即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力．21.答案：解：老年员工应抽取人人，中年员工应抽取人，青年员工应抽取人．所有可能的抽取结果有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种．由题中表格可知，事件M包含的基本事件只有AC，BC，DE共3种，事件M发生的概率．解析：利用分层抽样能求出应从老、中、青员工中分别抽取多少人．利用列举法求出所有可能的抽取结果．由题中表格可知，事件M包含的基本事件只有3种，由此能求出事件M发生的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．22.答案：解：，当，即时，，单调递增，当，即时，在，上，，单调递增，在上，，单调递减．当，即时，在，上，，单调递增，在上，，单调递减．当时，，由知在上，单调递减，上，单调递增，所以，，，所以，所以，令，当时，单调递减，所以，即，当时，，，单调递减，所以，即，所以的取值范围．解析：，分三种情况当，当，当，讨论函数单调性．当时，，由知在上，单调递减，上，单调递增，所以，，，，进而，令，求分段函数值域，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，取值范围，属于中档题．。

2019-2020学年四川省乐山第一中学校高一下学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年四川省乐山第一中学校高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知()2,1a =r ，()3,1b =-r ，则a b -=r r （）A ．()5,0B ．()1,0-C ．()1,2-D ．()1,2【答案】C【解析】根据向量坐标的减法运算，即可求得a b -r r .【详解】Q ()2,1a =r，()3,1b =-r∴()()()2,113,,21a b ---=-=rr故选：C. 【点睛】本题主要考查了向量的坐标减法运算，解题关键是掌握向量坐标运算的基础知识，考查了计算能力，属于基础题.2．已知某单位有职工120人，其中男职工90人.现在采用分层抽样（按男女分层）抽取一个样本，若样本中有3名女职工，则样本容量为（）. A ．9 B ．12C ．10D ．15【答案】B【解析】利用分层抽样的性质,即可求得样本容量. 【详解】设样本容量为n ，由题意知：312012090n =- 解得12n =．故选：B. 【点睛】本题主要考查了求解样本容量，解题关键是掌握分层抽样的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.3．已知实数a ，b 满足0a b +>，0b <，则a ，b ，a -，b -的大小关系是（）A ．a b b a >->>-B ．a b b a >>->-C ．a b a b >->->D ．a b a b >>->-【答案】A【解析】方法一：特殊值法，令21a b ==-，代入检验即可．方法二：利用不等式的性质，及不等式的符号法则，先把正数的大小比较出来，再把负数的大小比较出来．【详解】方法一：Q A ､B ､C ､D 四个选项中，每个选项都是唯一确定的答案，∴可用特殊值法．令21a b ==-，，则有2(1)12>-->->-，即a b b a >->>-．方法二：0,0a b b +><Q 00a b a b ∴>->-<<，， 0a b b a ∴>->>>-，即a b b a >->>-．故选：A. 【点睛】本题解题关键是掌握不等式的基本性质，在比较大小关系时可使用特殊值法判断，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.4．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可求得答案. 【详解】运行相应的程序，有1,0a i ==，第1次：1,2i a ==，此时16a ≥不成立，第2次：2,5i a ==，此时16a ≥不成立，第3次：3,16i a ==，此时16a ≥成立，输出i 的值为3．故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据程序框图计算输出值，解题关键是掌握循环程序框图计算数值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5． ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 若c =b ，120B ︒=，则边a 等于（）A B CD ．2【答案】C【解析】根据三角形“大边对大角”，可得：120C B ︒∠<∠=，根据正弦定理：sin sin cC B b=，求得C ∠，结合已知，即可求得答案.【详解】Qc =b =，120B ︒∠=根据三角形“大边对大角” 可得：120C B ︒∠<∠= 根据正弦定理：sin sin c bC B=∴1sin s in 2cC B b===∴30C ︒∠=根据：180A B C ︒∠+∠+∠=30A ︒∴∠=故2a c ==故选：C. 【点睛】本题主要考查了根据正弦定理解三角形，解题关键是掌握正弦定理：sin sin sin a b cA B C==，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 6．数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥都有212n a a a n =L L ，则45a a ⋅=（）A ．35B ．53C ．925D ．259【答案】D【解析】直接由数列递推式结合首项依次求得2345,,,a a a a ，即可求得45a a ⋅的值. 【详解】由212n a a a n =L L ，且11a =，得2224a ==，由231439a ⋅⋅==，可得394a = 由249144164a ⋅⋅⋅==，可得4169a = 由5916142549a ⋅⋅⋅⋅=，可得52516a =45259a a ∴⋅=故选：D. 【点睛】本题解题关键是掌握根据数列的递推公式求数列中的项的方法，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.7．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，向量=(a ＋c ，a －b )，=(b ，a －c )，若∥，则∠C =( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】根据得到，再利用余弦定理求解.【详解】∵向量，，若，则，即，即，∴由余弦定理得∵,∴.故选B. 【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.8．已知数列{}n a 为等差数列，135102a a a ++=-，24699a a a ++=-，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最小值的n 是（） A ．37和38 B ．38C ．37D ．36和37【答案】D【解析】由等差数列的通项公式，结合条件求出首项和公差，写出前n 项和的公式，再配方求最值，但注意n 取正整数这一条件．【详解】设{}n a 的公差为d ，由题意得，135********a a a a a d a d ++=++++=-即1234a d +=-——①2461113599a a a a d a d a d ++=+++++=-即1333a d +=-——② 由①②联立得136,1a d =-=22(1)73173532936122228n n n n n S n n --⎛⎫∴=-+⨯==--⎪⎝⎭ 故当36n =或37时，n S 达到最小值666-．故选：D.【点睛】本题主要考查了求等差数列前n 项和最小值，解题关键是掌握等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 9．在ABC V 中，2AC BC AC =⋅u u u r u u u r u u u r ，()2,3BA =--u uu r ，(),1BC m =u u u r ，则m 的值等于（） A ．8 B ．8-C ．23D ．23-【答案】B【解析】先求向量AC u u u r，再分别求出a ，b ，c 的平方，运用向量的数量积的定义和余弦定理，化简2AC BC AC =⋅u u u r u u u r u u u r，得到222b a c =-，代入即可得到m 的值．【详解】Q ()2,3BA =--u u u r ，(),1BC m =u u u r则(2,4)AC BC BA m =-=+u u u r u u u r u u u r即有22222213,1,(2)16420c a m b m m m ==+=++=++由2||AC BC AC =⋅u u u r u u u r u u u r ，得()22221cos 2b ab C a bc ==+- ∴222b a c =-，即有22420113m m m ++=+- 解得432m =-，即8m =-．故选：B. 【点睛】本题解题关键是掌握向量的数量积的定义和余弦定理，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.10．已知不等式()()()()()2221nna b c a c a b b c t ---⋅≥--⋅+对任意a b c >>及n N ∈恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．(,2-∞+ B ．(,1⎤-∞⎦C ．)1,⎡+∞⎣D ．)2⎡++∞⎣【答案】A【解析】()()()()()2221nna b c a c a b b c t ---⋅≥--⋅+可化为(2)()(2)()()n a b c a c t a b b c ----≥+--，问题等价于(2)()()()a b c a c a b b c -----最小值大于等于()2nt -+的最大值，利用基本不等式可得最小值，由单调性可得最大值，然后解不等式可得t ．【详解】Q ()()()()()2221n n a b c a c a b b c t ---⋅≥--⋅+可化为(2)()(2)()()n a b c a c t a b b c ----≥+-- Q 不等式()()()()()2221n n a b c a c a b b c t ---⋅≥--⋅+对任意a b c >>及n N∈恒成立∴(2)()()()a b c a c a b b c -----最小值大于等于()2nt -+的最大值(2)()[()()]()()()()()a b c a c a b a c a c a b b c a b b c ----+--=----2()()()a c a cbc a b b c --=+--- 2()()[()()]()()a b b c a b b c b c a b b c -+--+-=+---332a b a b b c a b b c b c b c a b b c a b-----=+++=+⋅+-----33≥+=+ 当且仅当2()a b b cb c a b--=--2n t -+的最大值1t +31t ∴+≥+2t ∴≤+故选：A. 【点睛】本题主要考查了根据不等式恒成立求参数范围，解题关键是掌握均值不等式求最值的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.二、填空题11．在等比数列{}n a 中，32a =，614a =，则数列{}n a 的公比为______. 【答案】12【解析】利用等比数列的性质，即可求得答案. 【详解】Q 等比数列{}n a 中，32a =，614a =， 36311428a q a ∴===12q ∴=故答案为：12. 【点睛】本题主要考查了求等比数列的公比，解题关键是掌握等比数列定义，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.12．某样本中共有五个个体，其值分别为a ,0,1,2,3．若该样本的平均数为1,则样本方差为_______．【答案】2【解析】先由数据的平均数公式求得a ，再根据方差的公式计算．【详解】解：Q 由题可知样本的平均值为1，∴1(0123)15a ++++=，解得1a =-， ∴样本的方差为222221[(11)(01)(11)(21)(31)]25--+-+-+-+-=．故答案为2. 【点睛】本题考查一组数据的平均数公式、方差公式，属于基础题．13．若实数x ，y 满足不等式组330300x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数z x y =+的最大值为______. 【答案】3【解析】根据约束条件330300x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z x y =+过点(3,0)A 时，z 最大值即可．【详解】根据约束条件330300x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩画出可行域：平移直线z x y =+，当直线z x y =+过点(3,0)A 时，z 最大值为3. 故答案为：3. 【点睛】线性规划问题，关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数．在平面区域中，求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，从而确定目标函数在何处取得最优解．属于基础题.14．在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则·(OA OB OC +u u u r u u u r u u u r）的最小值是________．【答案】【解析】试题分析：因为M 为中点，所以,且与夹角为，设，则，()()2222224OA OB OC OA OM OA OM x x x x ⋅+=⋅=-=--=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r，因为，所以当时，其最小值为．【考点】1．向量的加法；2．向量的数量积；3．二次函数的最值；15．记n 项正项数列为1a ，2a ，⋯，n a ，其前n 项积为n T ，定义()12lg n T T T ⋅L 为“相对叠乘积”，如果有2013项的正项数列1a ，2a ，⋯，2013a 的“相对叠乘积”为2013，则有2014项的数列10，1a ，2a ，⋯，2013a 的“相对叠乘积”为______. 【答案】4027【解析】由题意得2014项的数列12201310,,,,a a a L 的“相对叠乘积”为：()()()()1232013lg 1010101010T T T T ⋯⎡⎤⎣⎦，利用对数的运算法则，即可求得答案.【详解】由题意得2014项的数列12201310,,,,a a a L 的“相对叠乘积”为：()()()()1232013lg 1010101010T T T T ⋯⎡⎤⎣⎦()2014122013lg10lg T T T =+⋅⋯20142013=+4027=故答案为：4027．【点睛】本题解题关键是掌握“相对叠乘积”这新概念的含义和对数运算的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.三、解答题16．已知单位向量a r ，b r满足()()2323a b a b -⋅+=r r r r .（1）求a b ⋅rr ；（2）求2a b -rr 的值.【答案】（1）12-；（2. 【解析】（1）利用单位向量的定义､数量积运算性质即可得出；（2）利用数量积运算性质,即可求得答案. 【详解】（1）由条件2242633a a b a b b +⋅-⋅-=r rrrr r ，即4433a b -⋅-=rr ，12a b ∴⋅=-rr（2）222124441472a b a a b b ⎛⎫-=-⋅+=+-⨯-= ⎪⎝⎭r r r r r r ，∴2a b -=rr【点睛】本题主要考查了求向量的数量积和向量模，解题关键是掌握向量的基础知识，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足642S =，5724a a +=. （1）求数列{}n a 的通项n a 及前n 项和n S ；（2）令()*2na nb n N -=∈，求数列{}n b 的前n 项和nT ．【答案】（1）2n a n =，2n S n n =+；（2）11134n⎛⎫-⎪⎝⎭. 【解析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出；（2）利用等比数列的前n 项和公式即可得出．【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，Q 642S =，5724a a +=，∴1165642221024a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得12a =，2d =∴2n a n =，()21222n n n S n n n -=+⨯=+；（2）2224na n n nb ---===，数列{}n b 是以11=4b ，公比14q = 根据等比数列前n 项和公式：()111n n b qT q -=-∴1111144113414n n nT ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-⎪⎝⎭- 【点睛】本题解题关键是掌握等差数列前n 项和公式：*1(1),2n n n S na d n N -=+∈和等比数列前n 项和公式：()111n n a q S q-=-，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.18．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2a =，向量(sin(),1),(1,sin sin )a A B b B C =-=-r r ，且a b ⊥r r.（1）求角A ；（2）求ABC V 面积的最大值. 【答案】（1）60A =︒；（2.【解析】（1）由两向量的坐标，利用两向量垂直时满足的条件列出关系式，整理后求出cos A 的值，即可确定出A 的度数；（2）利用余弦定理表示出cos A ，将cos A 的值代入，整理后利用基本不等式求出bc 的最大值，即可确定出三角形ABC 面积的最大值．【详解】（1）a b ⊥Q rr，()()sin 1sin sin 10A B B C ∴-⨯+-⨯=，化简得sin cos cos sin sin sin cos cos sin 0A B A B B A B A B -+--=，即sin 2cos sin B A B =，因sin 0B ≠，故1cos 2A =，又0180A <<︒︒，∴60A =︒（2）由余弦定理得2221cos 6022b c a bc +-︒==，22424b c bc bc ∴+-=≥-，故4bc ≤，当b c =时取等号；面积1sin 604244S bc =︒=≤=当b c =【点睛】本题解题关键是掌握向量数量积公式和余弦定理，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 19．已知函数()()22ax f x a R x -=∈- （1）若0a =，解不等式()1f x >；（2）解关于x 的不等式()1f x ≥- 【答案】（1）()()0,22,4U ；（2）见解析【解析】（1）当0a =时，2()2f x x -=-，，然后代入()1f x >，去绝对值后即可求出x 的取值范围；（2）()1f x ≥-，即解分式不等式，移项，通分，分别讨论10a +<、10a +=、10a +>三种情况，即可求得答案．【详解】（1）Q ()1f x >212x -∴>-，即212x >- ∴22x -<，且2x ≠，故：222x -<-<且2x ≠ 解得04x <<且2x ≠故解得原不等式的解集为()()0,22,4U ；（2）()1f x ≥-Q可得2102ax x -+≥- 即2202ax x x -+-≥- 整理可得：()1402a x x +-≥-∴()()1420a x x +--≥⎡⎤⎣⎦且2x ≠，（ⅰ）当10a +<，即1a <-时，可得()4201x x a ⎛⎫--≤ ⎪+⎝⎭且2x ≠，解得421x a ≤<+ （ⅱ）当10a +=，即1a =-时，可得20x -<，即2x <（ⅲ）当10a +>，即1a >-时，可得()4201x x a ⎛⎫--≥ ⎪+⎝⎭且2x ≠，①当11a -<<时，421a <+，解出：2x <或41x a ≥+； ②当1a =时，可得()220x -≥且2x ≠；解得：2x ≠③当1a >时，421a >+，解出2x >或41x a ≤+；综上：当1a <-时，原不等式的解集为421xx a ⎧⎫≤<⎨⎬+⎩⎭；当1a =-时，原不等式的解集为{}2x x <；当11a -<<时，原不等式的解集为1{4|x x a ≥+或2}x <；当1a =时，原不等式的解集为{}2x x ≠；当1a >时，原不等式的解集为4{|1x x a ≤+或2}x >. 【点睛】本题主要考查了求解绝对值不等式和含参数的分数不等式，解题关键是掌握带绝对值不等式的解法和讨论法求解含参数不等式的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.20．设数列{}n a 满足()*1111,2n n n a a a n N +=-=∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）()*1212n n a n N ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭；（2）21242n n n n -++-+. 【解析】（1）利用累加法即可求数列{}n a 的通项公式；（2）求出数列{}n b 的通项公式，利用错位相减法即可求出数列{}n b 的前n 项和n S ．【详解】（1）()*112n n n a a n N +-=∈Q 2132121111,,222n n n a a a a a a --∴-=-=⋯-=等式两边相加得：121111222n n a a --=++⋯+即：2111111121211222212nn n n a --⎛⎫=++++==- ⎪⎝⎭-L ，当1n =时，12112n a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，成立， ∴通项()*1212n n a n N ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭（2）122n n n nb na n -==-，则 ()1201211232122222n n n n S b b b n -⎛⎫=++⋯+=+++-++++ ⎪⎝⎭L L令01211232222n n nA -=++++L ——①，则123111*********n n n n nA --=+++++L ——②， ①-②得12311111111221212222222212n n n n n n n n n A --+=+++++-=-=--L 所以1242n n n A -+=-，则()211122244222n n n n n n n S n n --+++=⨯-+=+-+ 【点睛】本题主要考查了求数列的通项公式和数列的前n 项和，解题关键是掌握“错位相减”求和的方法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21．已知数列{}n a 满足：1120n n n n a a a a --+-=，()2,n n N ≥∈，11a =前n 项和为nS 的数列{}n b 满足：11b =，()1122,12n n n n n n a a a b n n N a a ---=≥∈-，又()12,n nnS c n n N b -=≥∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：()23111821112,3n n n N c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++<≥∈⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .【答案】（1）()*121n na n N =∈-；（2）证明见解析. 【解析】（1）由题意1120n n n n a a a a --+-=，变形可得112n n n n a a a a --=+，故111121n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即得数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，即可求得结论；（2）由题意可得3122312211111111n n n n n n n S S S S S S c c c S S S S S ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯⨯⨯⨯==⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ，故只需证823n S -≤<，故利用放缩法求得n S 的范围，即可得出结论．【详解】（1）Q 1120n n n n a a a a --+-=，112n n n n a a a a --∴=+，易知0n a ≠，两边同除以1n n a a -得，又Q11121n n a a -=⨯+，可得111121n n a a -⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭又Q1112a +=，故112n na += ∴()*121n na n N =∈-（2）Q ()11111112,n n n n n n n n b S b S n n N c S S S ----++=+==≥∈， ∴3122312211111111n n n n n n n S S S S S S c c c S S S S S ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⨯⨯⨯⨯==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ，故只需证823n S -≤<，由条件()()()()1111211232121212111212122121122121n n n n n n n n n n n n b -----⨯-----==<------⨯⨯-- ()()()1121122,21212121n n n n n n n N --⎛⎫<=-≥∈ ⎪----⎝⎭ 一方面：当2n =时2823S =<当3n ≥，n N ∈时，12n n S b b b =+++L2311111112221212121n n -⎛⎫⎛⎫≤++-++- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭L21823213n =+-<-另一方面：当2n ≥，n N ∈时，0n b >所以12112n n S b b b =+++≥+=L∴当2n ≥，n N ∈时，23111821113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤+++<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 【点睛】本题解题关键是掌握构造法求数列的通项的方法，在解决关于数列的范围问题时要灵活使用放缩法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.。

四川省乐山市十校2019-2020学年高二下学期期中联考数学(理)试题 Word版含解析

乐山十校高2021届第四学期半期联考数学（理科）试题本试卷共6页.满分150分. 考生注意：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求1. 已知复数2(1)(1)i z a a =-+-（i 为虚数单位，1a >），则z 在复平面内对应的点所在的象限为（） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】【分析】分别比较复数z 的实部、虚部与0的大小关系，可判断出z 在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】因为1a >时，所以10a -<，210a ->，所以复数z 在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B.【点睛】本题考查复数的几何意义，考查学生的计算求解能力，属于基础题.2. 某校为了了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三n 人中，抽取90人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为30人，那么高三被抽取的人数为（） A. 20 B. 25C. 30D. 35【答案】D 【解析】【分析】直接利用分层抽样的比例关系得到答案.【详解】根据分层抽样的比例关系：高二抽取人数为200030252400⨯=人，则高三抽取90302535--=人. 故选：D.【点睛】本题考查了分层抽样，属于简单题.3. 《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优，低者为差），则下面叙述不正确的是（）A. 甲的数据分析素养低于乙B. 乙的六大素养中逻辑推理最差C. 甲的数学建模素养差于逻辑推理素养D. 乙的六大素养整体平均水平优于甲【答案】B 【解析】【分析】根据雷达图依次判断每个选项得到答案. 【详解】甲的数据分析素养低于乙，故A 正确；乙的六大素养中数学建模、数学抽象和数学运算最差，故B 错误；甲的数学建模素养差于逻辑推理素养，C 正确；甲只有数学运算高于乙，其他均低于乙，故D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查了雷达图，意在考查学生的理解能力和读图能力. 4. 已知2()cos 2xf x x e =+，则'()f x =（）A. 22sin 22x x e -+B. 2sin 2x x e +C. 22sin 22x x e +D. 2sin 2x x e -+【答案】A 【解析】【分析】根据复合函数求导法则计算．【详解】由题意22()sin 2222sin 22x xf x x e x e '=-⋅+⋅=-+，故选：A ．【点睛】本题考查复合函数的求导法则，掌握复合函数求导法则是解题基础． 5. 下列说法正确的是（） A. 抛掷一枚硬币，正面朝上的概率是12，所以抛掷两次一定会出现一次正面朝上的情况 B. 某地气象局预报说，明天本地降水概率为80%，这说明明天本地有80%的区域下雨 C. 概率是客观存在的，与试验次数无关D. 若买彩票中奖的概率是万分之一，则买彩票一万次就有一次中奖【答案】C 【解析】【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概率，只是表示发生机会的大小，机会大也不一定发生. 【详解】解：对于A ，这是一个随机事件，抛掷一枚硬币，出现正面朝上或者反面朝上都有可能，事先无法预料，错误；对于B ，这是一个随机事件，明天本地降水概率为80%表示明天有80%的可能降雨，事先无法预料，错误；对于C ，正确；对于D ，这是一个随机事件，买彩票中奖或不中奖都有可能，事先无法预料，错误. 故选：C.【点睛】本题考查概率的意义，属于基础题. 6. 设()f x 是可导函数，且000(2)()lim 2x f x x f x x∆→-∆-=-∆，则'0()f x =（）A. 2B. 1-C. 1D. 2-【答案】C 【解析】【分析】由导数的定义计算．【详解】000000(2)()(2)()lim2lim 22x x f x x f x f x x f x x x∆→∆→-∆--∆-=-⨯=-∆-∆，∴000(2)()lim 12x f x x f x x∆→-∆-=-∆，∴0000000()()(2)()limli ()m 12x x f x x f x f x x f x x x xf ∆→∆→+∆--∆-==∆-∆'=．故选：C ．【点睛】本题考查导数的定义，注意定义中0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，分子分母都是x 的增量x ∆，两者一样．根据极限的性质000000()()()()limlim x x f x x f x f x m x f x x m x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆，（m 是常数且0m ≠）． 7. 洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数.如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数，则其和等于9的概率是（）A.15B.25C.310D.14【答案】A 【解析】【分析】这是一个古典概型，先算出从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数的基本事件的总数，再利用列举法求出其和等于9的基本事件数，代入公式求解.【详解】从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数的基本事件的总数4520n =⨯=个，其和等于9的基本事件有()()()()2,7,4,5,6,3,8,1共4个，所以其和等于9的概率是41205m p n ===. 故选：A【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8. 函数()cos xf x e x =在区间(0,)2π上（）A. 最大值为1，最小值为0B. 最大值为422e π，最小值为0C. 最大值为42e π，无最小值D. 最大值为1，无最小值【答案】C 【解析】【分析】根据函数()cos xf x e x =，求导，令()0f x '=，解得4x π=，再按照最值的求法求解.【详解】因为()cos xf x e x =，所以()()cos sin 2cos 4xx f x ex x e x π⎛⎫'=-=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '=，解得4x π=，当04x π<<时，()0f x '>，当42x ππ<<时，()0f x '<，所以当4x π=时，()f x 取得极大值即最大值422e π，无最小值.故选：C【点睛】本题主要考查导数与函数的最值，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 9. 执行下面的程序框图，则输出S 的值为（）A. 112-B.2360C.1120D.4360【答案】D 【解析】【分析】根据框图，模拟程序运行，即可求出答案. 【详解】运行程序，11,25s i =-=，1211,3552s i =+--=，123111,455523s i =++---=，12341111,55555234s i =+++----=，12341111,55555234s i =+++----=，1234511111,6555552345s i =++++-----=，结束循环，故输出1111113743=(12345)135********s ⎛⎫++++-++++=-= ⎪⎝⎭，故选：D .【点睛】本题主要考查了程序框图，循环结构，条件分支结构，属于中档题.10. 设a 为正实数，函数322()34f x x ax a =-+，若(,2)x a a ∀∈，()0f x <，则a 的取值范围是（） A. [2,)+∞ B. (2,)+∞C. (0,2]D. 2(0,)3【答案】A 【解析】【分析】对函数进行求导，利用导数的正负性判断函数()f x 在(,2)a a 上的单调性，根据函数()f x 在(,2)a a 上单调性结合已知进行求解即可.【详解】322'2()34()363(2)f x x ax a f x x ax x x a =-+==-⇒-，因为0a >，当(,2)x a a ∈时，所以有'()0f x <成立，因此函数()f x 在(,2)a a 上单调递减，因此当(,2)x a a ∀∈时，()0f x <恒成立，一定有()0f a ≤成立，即22320(2)340a a a a a a ⋅⇒--+≤≥，因为0a >，所以有2a ≥. 故选：A【点睛】本题考查了利用导数研究不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.11. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的各个面中，面积大于6的面的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据三视图，得到几何体是一个四棱锥，求得各面的面积比较即可. 【详解】如图所示：几何体是一个四棱锥，其中，面PCD ⊥面ABCD ，PCD ，PAB △是等腰三角形，PAD △，PBC 是直角三角形，ABCD 是正方形，所以12222S PCD =⨯⨯=，1222222S PAB =⨯⨯=122S PAD S PBC ==⨯=S 正方形ABCD 224=⨯=，的面的个数为2个。

四川省乐山十校2019-2020学年高一第二学期期中联考数学试题

机密★启用前【考试时间：2020年6月2日：8:00—10:00】乐山十校高2022届第二学期半期联考数学测试卷本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项： 1．选择题必须用B 2铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上. 2．第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知向量a →＝(－2，3)，b →＝(3，m )，且a →⊥b →，则m ＝( )A.29-B.2-C.2D.29 2. 已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则公比q ＝( ) A.－12B.2-C.2D.123. 设非零向量a →，b →满足|a →＋b →|＝|a →－b →|，则( )A. |a →|＝|b →|B.a →⊥b →C.a →⊥b →D.|a →|>|b →|4. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac ＝2，cos A ＝23，则b ＝( ) A. 31-B.3-C.3D.31 5. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，边a ，b ，c 依次成等比数列，且b ＝2，则S ⊥ABC ＝( )A.23 B.1 C. 2 D.36. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知C ＝60°，b ＝2，c ＝3，则A sin ＝( )A. 426+B.426-C. 22D.21 7. 数列{}n a 中，若1122,2nn n a a a a +==+，则7a ＝( ) A.81 B.71 C.72 D.41 8．⊥ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A b c a cos 223=+，则角B 的大小为（） A.6π B.3π C.32π D.65π 9.等比数列{a n }的各项均为正数，且66592=+a a a a ，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=( )A. 6B.5C.4D.5log 13+10．已知在△ABC 中，点M 在边BC 上，且2BC CM →→=-,点E 在边AC 上，且→→=EC AE 21，则向量EM →＝( )A.12AC →＋13AB → B.16AC →＋12AB →C.12AC →＋16AB →D.16AC →＋32AB →11.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯( ) A.64盏B.128盏C.192盏D.256盏12.数列{}n a 中，21=a 且)2(211≥+-=+--n a a na a n n n n ，则数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-211n a 的前2020项和为（） A.20214040B.10102019C.20212020D.20204039第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1．考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2．本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.已知平行四边形ABCD 的顶点A (－1，－2)， B (3，－1)， C (6，7)，则顶点D 的坐标为________.14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos b B c C =，则该三角形的形状是________.（不要使用“∆”符号表示三角形）15.已知数列{}n a 的前n 项和为122++=n n S n ，则数列{}n a 的通项公式n a ＝________.16．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为=α60°和=β45°，如果这时气球的高是=h 60米，则河流的宽度BC 为________米．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17．（本题满分10分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3(cos sin )3a c B B =+．（1）求角C 的大小；（2）若2=c ，且边BC 上的高为3，求ABC ∆的周长．18．（本题满分12分）设12,e e →→为两个不共线的向量，若12a e e λ→→→=+，122b e e →→→=-．（1）若()//a b b →→→+共线，求实数λ的值；（2）若12,e e →→是夹角为23π的单位向量，且a b →→⊥，求实数λ的值．第16题图19.（本题满分12分）已知数列{}n a 的前项和n S 和通项n a 满足12-=n n a S ，*∈N n .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 中,1113,3n n b a b b +==+，*∈N n ，求数列{}n n b a +的前n 项和n T .20.（本题满分12分）已知数列{}n a 为等差数列，其中：23528,3a a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12+=n n n a a b ，设{}n b 的前n 项和为n S . 求最小的正整数n ，使得20212020>n S .21.（本题满分12分）在⊥ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2a c BA BC cCB AC →→→→+=g g . （1）求角B 的大小；（2）若6=b ，求⊥ABC 面积的取值范围.22. （本题满分12分）已知{}n a 是递增的等差数列，2a 、4a 是方程0652=+-x x 的根.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n nn a a 2的前n 项和. 乐山十校高2022届第二学期半期联考数学试题评分细则1.C2.D3.B4.C5.D6.A7.C 8．D 9.B 10.B 11.C 12.A13.(2，6) 14.等腰三角形或直角三角形 15.a n ＝⎩⎨⎧≥+=2,121,4n n n 16．32060-17.解：（1）由正弦定理和差公式得：B C B C C B C B C B A sin sin 33cos sin sin cos cos sin )sin(sin +=+=+=.…………3分整理得：3tan =C .，即3π=C …………5分（2）由（1）易得2=b ，所以3cos 2222πab b a c -+=得2=a ，…………9分所以：周长6=∆ABC C …………10分18. 解:（1）由题意：→→→→-+=+21)1(3e e b a λ，…………1分令：,0a b b μμ→→→+=≠…………2分得：→→→→-=-+21212)1(3e e e e μμλ，…………4分由⎩⎨⎧-=-=μλμ123得：21-=λ…………6分（2）由题知：2121-=⋅→→e e …………7分0212)12(2)2()(2122212121=+--=⋅-+-=-⋅+=⋅∴→→→→→→→→→→λλλλλe e e e e e e e b a ……10分得：45=λ……12分 19.解:（1）当1=n 时，1211-=a a 得：11=a …………2分当2≥n 时，由⎩⎨⎧-=-=--121211n n n n a S a S 得：q a an n ==-21…………4分得：12-=n n a ，n =1时，111==S a …………5分所以：12-=n n a ，*∈N n …………6分（2）由（1）知：d b b b n n ==-=+3,311，所以：n n b n 33)1(3=⨯-+=…………7分nb ac n n n n 321+=+=-，………9分，所以：2)1(3122)1(321)21(1++-=+⨯+--⨯=n n n n T n n n ………12分20.解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意有⎩⎨⎧2a 1＋3d ＝8，a 1＋4d ＝3a 1＋3d ，得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，…………4分，从而a n ＝2n －1，n ⊥N *.…………6分(2)因为b n ＝2a n a n ＋1＝12n －1－12n ＋1，…………7分所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1，…………10分令1－12n ＋1>20212020，解得n >1010，故取n ＝1 011.…………12分 21.解：(1)由题意得()→→→→•=•+AC CB c BC BA c a 2.根据正弦定理得()c B B C A cos sin cos sin sin 2-=+，…………2分∴()C B B A +-=sin cos sin 2，即A B A sin cos sin 2-=，…………3分ΘA ⊥(0，π)，所以sin A >0，…………4分∴21cos -=B ，又B ⊥(0，π)，所以B ＝32π.…………6分 (2)因为b ＝6，所以R Bb222236sin ===，…………7分 23)62sin(3)2cos 1(232sin 23sin 3cos sin 3sin 21cos 23sin 32233sin 22sin 222123sin 2sin 221sin 212-+=--=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=•⎪⎭⎫ ⎝⎛-••=•••==ππA A A A A A A A A A A C R A R B ac S …………10分]121()62sin(6566230，，，，，∈+∴⎪⎭⎫⎝⎛∈+∴⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πππππA A A Θ∴S ⊥ABC 的取值范围为]230(，.…………12分22. 解：（1）方程2560x x -+=的两根为2,3,由题意得22a =，43a =，…………2分设数列{}n a 的公差为 d ,，则422a a d -=，故d=12，从而231=a ，…………3分所以{}n a 的通项公式为：12+=na n …………4分（2）由（1）知122221+++=++n n a a n n n n ，…………6分设数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,则：23413451222222n nn n n S +++=+++++L 34512134512222222n n n n n S ++++=+++++L …………8分两式相减得21214322)211(414322)212121(4321+-+++--+=+-+⋯+++=n n n n n n n S …………10分所以1422n n n S ++=-，设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n n a a 2的前n 项和为n T ，则4524221212321n n n n n S T n n n +++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+…………12分。

乐山十校2019-2020学年高一数学下学期期中联考试题(含解析)

乐山十校2019-2020学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.选择题必须用铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，且，则（）A. B. C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，，因为，可得，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.2.已知是等比数列，，则公比=（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.【详解】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.故选D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.3.设非零向量，满足，则（）A. B. C. // D.【答案】A【解析】【分析】根据与的几何意义可以判断.【详解】由的几何意义知，以向量，为邻边的平行四边形为矩形，所以.故选：A.【点睛】本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.4.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（）A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理解三角形即可．【详解】解：∵，，，∴由余弦定理，得，化简得，，即，解得，或（舍去），故选：C．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．5.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，边a，b，c依次成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由角A，B，C依次成等差数列结合三角形的内角和定理，可求出；又因为边a，b，c依次成等比数列，可求出，从而可求出三角形的面积.【详解】解：因为角A，B，C依次成等差数列，所以，解得；又因为边a，b，c依次成等比数列，所以，则.故选:D.【点睛】本题考查了等差中项，考查了等比中项，考查了三角形的面积公式.本题的关键是利用两个中项求出角和边长之积.6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】结合正弦定理可求出，结合三角形的内角和定理可求出，结合两角和的正弦公式即可求出的值.【详解】解：由正弦定理知，，即，因为，所以，则，，所以，故选:A.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了两角和的正弦公式.本题的关键是由正弦定理求出的值.本题的易错点是未能正确应用两角和的正弦公式.7.数列中，若，则＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件进行变形可得，结合等差数列的定义，从而可求出，进而可求的值.【详解】解：因为，所以，即，又，则是以为首项，为公差的等差数列，即，则，所以.故选:C.【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了数列通项的求解.本题的关键是对已知条件进行变形得出通项公式.8.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则角B的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理进行边角互化可得，结合三角形的内角和定理和两角和的正弦公式可求出，进而可求出角B的大小.【详解】解：由正弦定理可知，，因为，所以，即，解得，则.故选:D.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了两角和的正弦公式.本题的关键是进行边角互化.9.等比数列的各项均为正数，且，则（）A. 6B. 5C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质，求得，再由，结合对数的运算，即可求解.【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得，所以，又由.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算性质的综合应用，其中解答中熟记等比数列的性质，利用对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.10.已知在中，点M在边BC上，且，点E在边AC上，且，则向量（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的线性运算得，由此可求出答案．【详解】解：∵，，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．11.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的底层共有灯（）A. 盏B. 盏C. 盏D. 盏【答案】C【解析】【分析】设塔的顶层共有盏灯，第层的灯有盏，则数列是公比为的等比数列，利用等比数列的前项和公式可求得的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数.【详解】设塔的顶层共有盏灯，第层的灯有盏，则数列是公比为的等比数列，由题意可知，一座层塔所挂的灯的盏数为，解得.因此，塔的底层的灯的盏数为.故选：C.【点睛】本题考查等比数列及其前项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12.数列中，且，则数列的前2020项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先对已知条件进行化简得：，令即有，利用累加法可以求出，从而可得出，即可求出数列的前2020项和.【详解】因为，所以，化简可得，令即有，由累加法可得：，即，所以，所以数列的前2020项和故选：A【点睛】本题考查了利用累加法求数列的通项公式以及利用裂项求数列的和，考查了学生的计算能力，属于一般题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.已知平行四边形的顶点，，，则顶点D的坐标为________.【答案】【解析】【分析】由题意得，，再根据相等向量求得答案．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，设，∵，，，∴，，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则该三角形的形状是________.（不要使用“”符号表示三角形）【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】【分析】利用正弦定理和正弦的倍角公式，化简得，结合正弦函数的性质，求得或，即可求解.【详解】在中，因为，由正弦定理，可得，即，所以，又因为，则，可得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.【点睛】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中熟练应用正弦定理和正弦的倍角公式，以及正弦函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15.已知数列的前项和，则该数列的通项公式________．【答案】【解析】分析】当时，；当时，，得到答案.【详解】，当时，；当时，故故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式，合理利用公式是解题的关键.16.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为和，如果这时气球的高是米，则河流的宽度BC为________米.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可求得，再结合图象即可求出答案．【详解】解：如图，由题意得，，，，∴，，∴由正弦定理，得，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，且边BC上的高为，求的周长.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式化简即得；（2）解三角形求出再利用余弦定理求出即得解.【详解】解：（1）由题得,所以,所以，所以，因为，所以，.，因为,所以.（2）由（1）易得.所以，即所以.所以周长为6.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.设为两个不共线的向量，若，.（1）若共线，求实数的值；（2）若是夹角为的单位向量，且，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，根据向量的共线条件，列出方程组，即可求解.（2）由是夹角为的单位向量，求得，根据向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，向量，，可得，因为，则即，所以，解得.（2）由是夹角为的单位向量，所以，所以，解得.【点睛】本题主要考查了平面向量的共线、垂直的运算，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练平面向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19.已知数列的前项和和通项满足，.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列中，，，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由即可求出答案；（2）由题意可得数列等差数列，由此可求出其通项公式，再根据分组求和法即可求出答案．【详解】解：（1）当时，得：，当时，由，得，则，∴，检验得，也符合上式，∴，；（2）由（1）知：，，∴，，∴．【点睛】本题主要考查数列的递推公式的应用，考查分组法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．20.已知数列为等差数列，其中：.（1）求数列的通项公式；（2）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得.【答案】（1），；（2）正整数的最小值为.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件得出关于和的方程组，求出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求得，然后解不等式可求得满足该不等式的最小的正整数的值.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意有，得，从而，；（2）因为，所以，令，解得，因此，满足不等式的最小正整数的值为.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.21.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求角B的大小；（2）若，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积定义及正弦定理化简等式，再利用两角和的正弦公式进一步化简等式可得即可求得角B；（2）根据已知条件由正弦定理可求得2R，再次利用正弦定理将面积S 化简为关于A的函数，利用两角和的正弦公式及降幂公式进一步将S转化为正弦型函数，求出的范围，根据正弦函数的图象与性质即可求得面积的范围.【详解】（1）由题意得，因为，，所以根据正弦定理得，，即，，所以，，又，所以.（2）因为，所以，取值范围为.【点睛】本题考查向量的数量积、正弦定理、三角恒等变换化简求值、正弦函数的图象与性质、三角形面积公式，属于中档题.22.已知是递增的等差数列，、是方程的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出方程的根，根据数列的单调性求出、，求出、即可求得通项公式；（2）错位相减法求数列的和，直接写出等差数列的前n项和，两和相加即为所求.【详解】（1）因为方程的两根为2，3，且是递增的等差数列所以，，设数列的公差为 d，则，故，从而，所以的通项公式为：；（2）由（1）知，设数列的前项和为，则：，，两式相减得所以，设数列的前项和为，则.【点睛】本题考查等差数列通项公式的基本量求解、等差数列的前n项和公式、错位相减法求和，属于中档题.乐山十校2019-2020学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）本试题卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分.第一部分1至2页，第二部分3至4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷.草稿纸上答题无效.满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.选择题必须用铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上.2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知向量，，且，则（）A. B. C. 2 D.【答案】C【解析】【分析】根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量，，因为，可得，解得.故选：C.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力.2.已知是等比数列，，则公比=（）A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】由题意结合等差数列的性质得到关于q的方程，解方程即可确定公比的值.【详解】由等比数列的性质可得：，即：，解得：.故选D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.3.设非零向量，满足，则（）A. B. C. // D.【答案】A根据与的几何意义可以判断.【详解】由的几何意义知，以向量，为邻边的平行四边形为矩形，所以.故选：A.【点睛】本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.4.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（）A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理解三角形即可．【详解】解：∵，，，∴由余弦定理，得，化简得，，即，解得，或（舍去），故选：C．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．5.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，边a，b，c依次成等比数列，且，则（）A. B. C. D.【分析】由角A，B，C依次成等差数列结合三角形的内角和定理，可求出；又因为边a，b，c 依次成等比数列，可求出，从而可求出三角形的面积.【详解】解：因为角A，B，C依次成等差数列，所以，解得；又因为边a，b，c依次成等比数列，所以，则.故选:D.【点睛】本题考查了等差中项，考查了等比中项，考查了三角形的面积公式.本题的关键是利用两个中项求出角和边长之积.6.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】结合正弦定理可求出，结合三角形的内角和定理可求出，结合两角和的正弦公式即可求出的值.【详解】解：由正弦定理知，，即，因为，所以，则，，所以，故选:A.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了两角和的正弦公式.本题的关键是由正弦定理求出的值.本题的易错点是未能正确应用两角和的正弦公式.7.数列中，若，则＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件进行变形可得，结合等差数列的定义，从而可求出，进而可求的值.【详解】解：因为，所以，即，又，则是以为首项，为公差的等差数列，即，则，所以.故选:C.【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了数列通项的求解.本题的关键是对已知条件进行变形得出通项公式.8.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则角B的大小为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦定理进行边角互化可得，结合三角形的内角和定理和两角和的正弦公式可求出，进而可求出角B的大小.【详解】解：由正弦定理可知，，因为，所以，即，解得，则.故选:D.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了两角和的正弦公式.本题的关键是进行边角互化.9.等比数列的各项均为正数，且，则（）A. 6B. 5C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由等比数列的性质，求得，再由，结合对数的运算，即可求解.【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得，所以，又由.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算性质的综合应用，其中解答中熟记等比数列的性质，利用对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.10.已知在中，点M在边BC上，且，点E在边AC上，且，则向量（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平面向量的线性运算得，由此可求出答案．【详解】解：∵，，∴，，∴，故选：B．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．11.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座层塔共挂了盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的倍，则塔的底层共有灯（）A. 盏B. 盏C. 盏D. 盏【答案】C【解析】【分析】设塔的顶层共有盏灯，第层的灯有盏，则数列是公比为的等比数列，利用等比数列的前项和公式可求得的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数.【详解】设塔的顶层共有盏灯，第层的灯有盏，则数列是公比为的等比数列，由题意可知，一座层塔所挂的灯的盏数为，解得.因此，塔的底层的灯的盏数为.故选：C.【点睛】本题考查等比数列及其前项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12.数列中，且，则数列的前2020项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先对已知条件进行化简得：，令即有，利用累加法可以求出，从而可得出，即可求出数列的前2020项和.【详解】因为，所以，化简可得，令即有，由累加法可得：，即，所以，所以数列的前2020项和故选：A【点睛】本题考查了利用累加法求数列的通项公式以及利用裂项求数列的和，考查了学生的计算能力，属于一般题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：1.考生须用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答，作图题可先用铅笔画线，确认后用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效.2.本部分共10小题，共90分.二、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.已知平行四边形的顶点，，，则顶点D的坐标为________.【答案】【解析】【分析】由题意得，，再根据相等向量求得答案．【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，设，∵，，，∴，，∴，解得，故答案为：．【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．14.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则该三角形的形状是________.（不要使用“”符号表示三角形）【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】【分析】利用正弦定理和正弦的倍角公式，化简得，结合正弦函数的性质，求得或，即可求解.【详解】在中，因为，由正弦定理，可得，即，所以，又因为，则，可得或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形.故答案为：等腰三角形或直角三角形.【点睛】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中熟练应用正弦定理和正弦的倍角公式，以及正弦函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15.已知数列的前项和，则该数列的通项公式________．【答案】【解析】分析】当时，；当时，，得到答案.【详解】，当时，；当时，故故答案为：【点睛】本题考查了数列的通项公式，合理利用公式是解题的关键.16.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为和，如果这时气球的高是米，则河流的宽度BC为________米.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可求得，再结合图象即可求出答案．【详解】解：如图，由题意得，，，，∴，，∴由正弦定理，得，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.在中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）若，且边BC上的高为，求的周长.【答案】（1）（2）6【解析】【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式化简即得；（2）解三角形求出再利用余弦定理求出即得解.【详解】解：（1）由题得,所以,所以，所以，因为，所以，.，因为,所以.（2）由（1）易得.所以，即所以.所以周长为6.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.设为两个不共线的向量，若，.（1）若共线，求实数的值；（2）若是夹角为的单位向量，且，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，根据向量的共线条件，列出方程组，即可求解.（2）由是夹角为的单位向量，求得，根据向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，向量，，可得，因为，则即，所以，解得.（2）由是夹角为的单位向量，所以，所以，解得.【点睛】本题主要考查了平面向量的共线、垂直的运算，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练平面向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19.已知数列的前项和和通项满足，.（1）求数列的通项公式；（2）已知数列中，，，求数列的前项和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由即可求出答案；（2）由题意可得数列等差数列，由此可求出其通项公式，再根据分组求和法即可求出答案．【详解】解：（1）当时，得：，当时，由，得，则，∴，检验得，也符合上式，∴，；（2）由（1）知：，，∴，，∴．【点睛】本题主要考查数列的递推公式的应用，考查分组法求数列的和，考查计算能力，属于中档题．20.已知数列为等差数列，其中：.（1）求数列的通项公式；（2）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得.【答案】（1），；（2）正整数的最小值为.【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件得出关于和的方程组，求出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；（2）利用裂项相消法求得，然后解不等式可求得满足该不等式的最小的正整数的值.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意有，得，从而，；（2）因为，所以，令，解得，因此，满足不等式的最小正整数的值为.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.21.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.（1）求角B的大小；（2）若，求面积的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量数量积定义及正弦定理化简等式，再利用两角和的正弦公式进一步化简等式可得即可求得角B；（2）根据已知条件由正弦定理可求得2R，再次利用正弦定理将面积S化简为关于A的函数，利用两角和的正弦公式及降幂公式进一步将S转化为正弦型函数，求出的范围，根据正弦函数的图象与性质即可求得面积的范围.【详解】（1）由题意得，因为，，所以根据正弦定理得，，即，，所以，，又，所以.（2）因为，所以，取值范围为.【点睛】本题考查向量的数量积、正弦定理、三角恒等变换化简求值、正弦函数的图象与性质、三角形面积公式，属于中档题.22.已知是递增的等差数列，、是方程的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出方程的根，根据数列的单调性求出、，求出、即可求得通项公式；（2）错位相减法求数列的和，直接写出等差数列的前n项和，两和相加即为所求.【详解】（1）因为方程的两根为2，3，且是递增的等差数列所以，，设数列的公差为 d，则，故，从而，所以的通项公式为：；（2）由（1）知，设数列的前项和为，则：，，两式相减得所以，设数列的前项和为，则.【点睛】本题考查等差数列通项公式的基本量求解、等差数列的前n项和公式、错位相减法求和，属于中档题.。

2020年春乐山市十校高一数学下学期期中联考试卷附答案解析

2020年春乐山市十校高一数学下学期期中联考试卷一、单选题1．已知向量(2,3)a =-r ，(3,)b m =r ，且a b ⊥r r ，则m =（）A ．92- B ．2- C ．2 D ．922．已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则公比q =（） A ．12-B ．2-C ．2D ．123．设非零向量a r ，b r满足a b a b +=-r rr r ，则（）A ．a b r r ⊥B ．a b =r rC ．a r //brD ．a b >r r4．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，已知a =，2c =，2cos 3A =，则b =（） A ．13-B ．3-C ．3D ．135．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，边a ，b ，c 依次成等比数列，且2b =，则ABC S =V （）AB ．1C ．2 D6．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知60C =︒，b =c =，则sin A =（）A．4B．4C．2D ．127．数列{}n a 中，若1122,2nn n a a a a +==+，则7a ＝（）A ．18B ．17C ．27D ．148．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c22cos c b A +=，则角B 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且29566a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．6B ．5C ．4D ．31log 5+10．已知在ABC V 中，点M 在边BC 上，且2BC CM =-u u u r u u u u r ，点E 在边AC 上，且12AE EC =u u r u u u r ，则向量EM =u u u u r（）A ．1123AC AB +u u ur u u u rB ．1162AC AB +u u ur u u u rC ．1126AC AB +u u ur u u u rD ．1362AC AB +u u ur u u u r11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（） A ．64盏B ．128盏C ．192盏D ．256盏12．数列{}n a 中，12a =且112(2)n n n n n a a n a a --+=+≥-，则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前2020项和为（） A ．40402021B ．20191010C ．20202021D ．40392020二、填空题13．已知平行四边形ABCD 的顶点(1,2)A --，(3,1)B -，(6,7)C ，则顶点D 的坐标为________. 14．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos b B c C =，则该三角形的形状是________.（不要使用“∆”符号表示三角形） 15．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =++，则该数列的通项公式n a =________．16．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为60α=︒和45β=︒，如果这时气球的高是60h =米，则河流的宽度BC 为________米.三、解答题17．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3(cos sin )3a c B B =+. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，且边BC 3ABC V 的周长.18．设12,e e →→为两个不共线的向量，若12a e e λ→→→=+，122b e e →→→=-.（1）若()//a b b →→→+共线，求实数λ的值；（2）若12,e e →→是夹角为23π的单位向量，且a b →→⊥，求实数λ的值.19．已知数列{}n a 的前项和n S 和通项n a 满足21n n S a =-，n *∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 中，1113,3n n b a b b +==+，n *∈N ，求数列{}n n a b +的前n 项和nT.20．已知数列{}n a 为等差数列，其中：23528,3a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和为n S ，求最小的正整数n ，使得20202021n S >.21．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2a c BA BC cCB AC +=u u u r u u u r u u u r u u u rg g .（1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC V 面积的取值范围. 22．已知{}n a 是递增的等差数列，2a 、4a 是方程2560x x -+=的根.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n na a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和.解析2020年春乐山市十校高一数学下学期期中联考试卷一、单选题1．已知向量(2,3)a =-r ，(3,)b m =r ，且a b ⊥r r ，则m =（）A ．92- B ．2- C ．2 D ．92【答案】C【解析】根据向量的数量积的运算公式和向量的垂直条件，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量(2,3)a =-r，(3,)b m =r，因为ab ⊥r r，可得233630a b m m ⋅=-⨯+⨯=-+=r r ，解得2m =.故选：C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的坐标运算，以及向量的垂直条件的应用，其中解答中熟记向量的数量积的计算公式是解答的关键，着重考查计算能力. 2．已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则公比q =（） A ．12-B ．2-C ．2D ．12【答案】D【解析】由题意结合等差数列的性质得到关于q 的方程，解方程即可确定公比的值. 【详解】由等比数列的性质可得：352a a q =，即：3124q =⨯，解得：12q =.故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，等比数列基本量的求解，属于基础题.3．设非零向量a r ，b r满足a b a b +=-r rr r ，则（）A ．a b r r ⊥B ．a b =r rC ．a r //brD ．a b >r r【答案】A【解析】根据a b +rr与a b -rr的几何意义可以判断. 【详解】由a b a b +=-r r r r 的几何意义知，以向量a r ，b r 为邻边的平行四边形为矩形，所以a b r r ⊥.故选：A. 【点睛】本题考查向量的加减法的几何意义,同时，本题也可以两边平方，根据数量积的运算推出结论.4．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =，2c =，2cos 3A =，则b =（） A ．13-B ．3-C ．3D ．13【答案】C【解析】根据余弦定理解三角形即可．【详解】解：∵a =2c =，2cos 3A =， ∴由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得28543b b =+-，化简得，23830b b --=，即()()3130b b +-=，解得3b =，或13b =-（舍去），故选：C ．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，属于基础题．5．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，边a ，b ，c 依次成等比数列，且2b =，则ABC S =V （）A B ．1 C ．2 D 【答案】D【解析】由角A ，B ，C 依次成等差数列结合三角形的内角和定理，可求出3B π=；又因为边a ，b ，c 依次成等比数列，可求出4ac =，从而可求出三角形的面积. 【详解】解：因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以2B A C B π=+=-，解得3B π=；又因为边a ，b ，c 依次成等比数列，所以24ac b ==，则11sin 4sin 223ABC S ac B π==⨯=V 故选:D. 【点睛】本题考查了等差中项，考查了等比中项，考查了三角形的面积公式.本题的关键是利用两个中项求出角和边长之积.6．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 已知60C =︒，b =c =，则sin A =（）A ．4B ．4C ．2D ．12【答案】A【解析】结合正弦定理可求出45B =︒，结合三角形的内角和定理可求出75A =︒，结合两角和的正弦公式即可求出sin A 的值. 【详解】解：由正弦定理知，sin sin b c B C =，即sin sin b B C c ==︒=，因为b c <，所以B C <，则45B =︒，180180456075A B C =︒--=︒-︒-︒=︒，所以()sin sin 75sin 4530sin 45cos30cos45sin 30A =︒=︒+︒=︒︒+︒︒= 故选:A. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了两角和的正弦公式.本题的关键是由正弦定理求出A 的值.本题的易错点是未能正确应用两角和的正弦公式. 7．数列{}n a 中，若1122,2nn n a a a a +==+，则7a ＝（）A ．18B ．17 C ．27D ．14【答案】C【解析】由已知条件进行变形可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义，从而可求出2n a n=，进而可求7a 的值. 【详解】解：因为122nn n a a a +=+，所以11112n n a a +=+，即11112n n a a +-=，又1112=a ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项，12为公差的等差数列，即()1111222n n n a =+-=，则2n a n =，所以727a =. 故选:C. 【点睛】本题考查了等差数列的定义，考查了数列通项的求解.本题的关键是对已知条件进行变形得出通项公式. 8．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c22cos c b A +=，则角B 的大小为（）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】D【解析】2sin 2sin cos A C B A +=，结合三角形的内角和定理和两角和的正弦公式可求出cos B =，进而可求出角B 的大小. 【详解】2sin 2sin cos A C B A +=，因为()sin sinC A B =+，()2sin 2sin cos A A B B A ++=2sin cos 0A A B +=，解得cos B =，则56B π=. 故选:D. 【点睛】本题考查了正弦定理，考查了两角和的正弦公式.本题的关键是进行边角互化. 9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且29566a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋅⋅⋅+=（）A ．6B ．5C ．4D ．31log 5+【答案】B【解析】由等比数列的性质，求得563a a =，再由53132310356log log log log ()a a a a a ++⋅⋅⋅+=，结合对数的运算，即可求解. 【详解】由题意，根据等比数列的性质，可得2956a a a a =，所以563a a =，又由553132310312103563log log log log ()log ()log 35a a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅===. 故选：B.【点睛】本题主要考查了等比数列的性质，以及对数的运算性质的综合应用，其中解答中熟记等比数列的性质，利用对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.10．已知在ABC V 中，点M 在边BC 上，且2BC CM =-u u u r u u u u r ，点E 在边AC 上，且12AE EC =u u r u u u r ，则向量EM =u u u u r（）A ．1123AC AB +u u ur u u u rB ．1162AC AB +u u ur u u u rC ．1126AC AB +u u ur u u u rD ．1362AC AB +u u ur u u u r【答案】B【解析】根据平面向量的线性运算得EM EC CM =+u u u u r u u u r u u u u r，由此可求出答案．【详解】解：∵2BC CM =-u u u r u u u u r ，12AE EC =u u r u uu r ，∴()1122CM CB AB AC ==-u u u u r u u u r u u u r u u u r ，23EC AC =u u u r u u u r，∴1162EM EC CM AC AB =+=+u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r，故选：B ．【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（） A ．64盏B ．128盏C ．192盏D ．256盏【答案】C【解析】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，利用等比数列的前n 项和公式可求得1a 的值，进而可求得塔的底层的灯的盏数7a . 【详解】设塔的顶层共有1a 盏灯，第n 层的灯有n a 盏，则数列{}n a 是公比为2的等比数列，由题意可知，一座7层塔所挂的灯的盏数为()71711212738112a Sa -===-，解得13a =.因此，塔的底层的灯的盏数为6732192a =⨯=. 故选：C. 【点睛】本题考查等比数列及其前n 项和基本量的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．数列{}n a 中，12a =且112(2)n n n n n a a n a a --+=+≥-，则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前2020项和为（） A ．40402021B ．20191010C ．20202021D ．40392020【答案】A【解析】先对已知条件112(2)n n n n na a n a a --+=+≥-进行化简得：()()22111n n a a n --=-+，令()21n n b a =-即有1n n b b n -=+，利用累加法可以求出()()2112n n n n b a +=-=，从而可得出()()212112111n n n n n a ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭-，即可求出数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前2020项和. 【详解】因为112(2)n n n n na a n a a --+=+≥-，所以221122n n n n a a a a n ---=-+，化简可得()()22111n n a a n --=-+，令()21n n b a =-即有1n n b b n -=+，由累加法可得：()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+L ()()11212n n n n +=+-+++=L ，即()()2112n n n n b a +=-=，所以()()212112111n n n n n a ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭-，所以数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭的前2020项和2020111111404021212232020202120212021S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 故选：A 【点睛】本题考查了利用累加法求数列的通项公式以及利用裂项求数列的和，考查了学生的计算能力，属于一般题.二、填空题13．已知平行四边形ABCD 的顶点(1,2)A --，(3,1)B -，(6,7)C ，则顶点D 的坐标为________.【答案】()2,6【解析】由题意得，AB DC =u u u r u u u r，再根据相等向量求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB DC =u u u r u u u r ，设(),Dx y ，∵(1,2)A --，(3,1)B -，(6,7)C ，∴()4,1AB =u u u r，()6,7DC x y =--u u u r ， ∴6471x y -=⎧⎨-=⎩，解得26x y =⎧⎨=⎩，故答案为：()2,6．【点睛】本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．14．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos b B c C =，则该三角形的形状是________.（不要使用“∆”符号表示三角形）【答案】等腰三角形或直角三角形【解析】利用正弦定理和正弦的倍角公式，化简得sin 2sin 2B C =，结合正弦函数的性质，求得B C =或2B C π+=，即可求解.【详解】在ABC V 中，因为cos cos b B c C =，由正弦定理，可得sin cos sin cos B B C C =，即11sin 2sin 222B C =，所以sin 2sin 2B C =，又因为(0,),(0,)B C ππ∈∈，则2(0,2),2(0,2)B C ππ∈∈，可得22B C =或22B C π+=，即B C =或2B C π+=，所以ABC V 为等腰三角形或直角三角形. 故答案为：等腰三角形或直角三角形. 【点睛】本题主要考查了三角形形状的判定，其中解答中熟练应用正弦定理和正弦的倍角公式，以及正弦函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 15．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =++，则该数列的通项公式n a =________．【答案】41212n n n =⎧⎨+≥⎩【解析】当1n =时，114a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+，得到答案. 【详解】221n S n n =++，当1n =时，111214a S ==++=；当2n ≥时，()()()22121121121nn n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=+⎣⎦故4,121,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩故答案为：41212n n n =⎧⎨+≥⎩【点睛】本题考查了数列的通项公式，合理利用公式1nn n a S S -=-是解题的关键.16．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为60α=︒和45β=︒，如果这时气球的高是60h =米，则河流的宽度BC 为________米.【答案】60203-【解析】由正弦定理可求得sin sin AD BADDB ABD∠=∠，再结合图象即可求出答案．【详解】解：如图，由题意得，30BAD ∠=︒，45DAC ∠=︒，60AD h ==，∴60ABD ∠=︒，45ACD ∠=︒， ∴由正弦定理sin sin AD DB ABD BAD =∠∠，得sin 60sin 30203sin sin 60AD BAD DB ABD ∠︒===∠︒∴60203BC DC DB =-=-故答案为：603-．【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．三、解答题17．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(cos )a c B B =+. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，且边BC ABC V 的周长. 【答案】（1）3Cπ=（2）6【解析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式化简(cos )a c B B =+即得3C π=；（2）解三角形求出2,b =再利用余弦定理求出2a =即得解. 【详解】解：（1）由题得sin sin (cos )3A CB B =+,所以sin()sin cos sin 3B C C B C B +=+,所以sin cos cos sin sin cos sin B C B C C B C B +=，所以sin cos sin B C C B =，因为(0,)B π∈，sin 0B ≠所以cos C C =，tan C =，因为(0,)C π∈,所以3C π=.（2）由（1）易得sin23AC b π=∴==. 所以2222cos3ca b ab π=+-，即2144222a a =+-⨯⨯⨯所以2a =.所以ABC V 周长为6. 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查和角的正弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18．设12,e e →→为两个不共线的向量，若12a e e λ→→→=+，122b e e →→→=-.（1）若()//a b b →→→+共线，求实数λ的值；（2）若12,e e →→是夹角为23π的单位向量，且a b →→⊥，求实数λ的值. 【答案】（1）12λ=-（2）54λ= 【解析】（1）由()//a b b +r r r，根据向量的共线条件，列出方程组，即可求解.（2）由12e e ⋅u r u u r 是夹角为23π的单位向量，求得1212e e ⋅=-u r u u r ，根据向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】（1）由题意，向量12a e e λ=+r u r u u r ，122b e e =-r u r u u r ，可得123(1)a e b e λ+=+-r r u r u u r，因为()//a b b +r r r ，则,0a b b μμ+=≠r r r即12123(1)2e e e e λμμ+-=-u r u u r u r u u r ，所以321μλμ=⎧⎨-=-⎩，解得12λ=-.（2）由12e e ⋅u r u u r是夹角为23π的单位向量，所以12122s231co e e e e π⋅=⋅=-u r u u r u r u u r ，所以22121212121()(2)2(21)202a b e e e e e e e e λλλλλ⋅=+⋅-=-+-⋅=--+=u r u u r u r u u r u r u u r u r u u r r r ，解得54λ=. 【点睛】本题主要考查了平面向量的共线、垂直的运算，以及平面向量的数量积的运算，其中解答中熟练平面向量的垂直与共线的条件，以及数量积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 19．已知数列{}n a 的前项和n S 和通项n a 满足21n n S a =-，n *∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）已知数列{}n b 中，1113,3n n b a b b +==+，n *∈N ，求数列{}n n a b +的前n 项和nT.【答案】（1）12n n a -=，n *∈N （2）3(1)212nn n n T +=-+【解析】（1）由11,1,2nnn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩即可求出答案；（2）由题意可得数列{}n b 为等差数列，由此可求出其通项公式，再根据分组求和法即可求出答案．【详解】解：（1）当1n =时，1121a a =-得：11a =，当2n ≥时，由112121n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩，得122n n n a a a -=-，则12n n a a -=，∴12n n a -=，检验得，11a =也符合上式，∴12n n a -=，n *∈N ；（2）由（1）知：13b =，13n n b b +-=， ∴3(1)33n b n n =+-⨯=，123n n n n c a b n -=+=+，∴1(12)(1)3(1)3211222n n n n n n n T ⨯-++=+⨯=-+-．【点睛】本题主要考查数列的递推公式的应用，考查分组法求数列的和，考查计算能力，属于中档题． 20．已知数列{}n a 为等差数列，其中：23528,3a a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记12n n n b a a +=，设{}n b 的前n 项和为n S ，求最小的正整数n ，使得20202021n S >. 【答案】（1）21n a n =-，*n N ∈；（2）正整数n 的最小值为1011.【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据已知条件得出关于1a 和d 的方程组，求出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求得n S ，然后解不等式20202021n S >可求得满足该不等式的最小的正整数n 的值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意有111238433a d ad a d +=⎧⎨+=+⎩，得112a d =⎧⎨=⎩，从而()()1112121na a n d n n =+-=+-=-，*n N ∈；（2）因为()()1221121212121nn n b a a n n n n +===--+-+，所以111111111335212121nS n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=- ⎪ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令120201212021nS n =->+，解得1010n >，因此，满足不等式20202021n S >的最小正整数n 的值为1011. 【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.21．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()2a c BA BC cCB AC +=u u u r u u u r u u u r u u u rg g .（1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC V 面积的取值范围.【答案】（1）23B π=（2）(0 【解析】（1）根据向量数量积定义及正弦定理化简等式，再利用两角和的正弦公式进一步化简等式可得cos B 即可求得角B ；（2）根据已知条件由正弦定理可求得2R ，再次利用正弦定理将面积S 化简为关于A 的函数，利用两角和的正弦公式及降幂公式进一步将S 转化为正弦型函数，求出26A π+的范围，根据正弦函数的图象与性质即可求得面积的范围. 【详解】（1）由题意得()2a c BA BC cCB AC +⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，因为cos BA BC ac B ⋅=u u u r u u u r，cos()cos CB AC ab C ab C π⋅=-=-u u u r u u u r，所以根据正弦定理得()2sin sin cos sin cos A C B B C +=-，∴()2sin cos sin A B B C =-+，即2sin cos sin A B A =-，Q (0,)A π∈，所以sin 0A >， ∴1cos 2B =-，又(0,)B π∈，所以23B π=. （2）因为b，所以2sin b R B ===，111sin 2sin 2sin 2223S ac B R A R C A A π⎛⎫==⋅⋅=⋅⋅- ⎪⎝⎭21sin 3sin cos 22A A A A A A ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭3sin 2(1cos 2))2262A A A π=--=+- 5102sin(2)(1]366662A A A πππππ⎛⎫⎛⎫∈∴+∈∴+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，，，，， ∴ABC S V 的取值范围为(02，. 【点睛】本题考查向量的数量积、正弦定理、三角恒等变换化简求值、正弦函数的图象与性质、三角形面积公式，属于中档题.22．已知{}n a 是递增的等差数列，2a 、4a 是方程2560x x -+=的根.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】（1）12n n a =+（2）2145224n n n n +++-+【解析】（1）求出方程的根，根据数列的单调性求出2a 、4a ，求出1a 、d 即可求得通项公式；（2）错位相减法求数列{}2nn a 的和，直接写出等差数列{}n a 的前n 项和，两和相加即为所求.【详解】（1）因为方程2560x x -+=的两根为2，3，且{}n a 是递增的等差数列所以22a =，43a =，设数列{}n a 的公差为 d ，则422a a d -=，故12d =，从而1232a a d =-=，所以{}n a 的通项公式为：()*12n na n N =+∈；（2）由（1）知121222nn n n a n n a +++=++，设数列{}2nn a 的前n 项和为n S ，则：23413451222222n n n n n S +++=+++++L ，34512134512222222n n n n n S ++++=+++++L ，两式相减得11234221311123112()(1)1242222424242n n n n n n n nS n +-+++++=+++⋯+-=++--=- 所以1422n n n S ++=-，设数列2nn n a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则2131145222224n n n n n n n n T S +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭=+=-+.【点睛】本题考查等差数列通项公式的基本量求解、等差数列的前n 项和公式、错位相减法求和，属于中档题.。

2019-2020学年乐山市十校高二(下)期中数学试卷(理科)(含答案解析)

2019-2020学年乐山市十校高二(下)期中数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(−1+3i)z=10，则复数z在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取人数为()A. 6B. 7C. 8D. 93.设集合是的子集，如果点满足：，称为集合的聚点.则下列集合中以为聚点的有：；②；③；④()A. ①④B. ②③C. ①②D. ①②④4.若，则等于()A. B. C. D.5.某事件发生的概率为1，则下列说法不正确的是()4A. 无数次实验后，该事件发生的频率逐渐稳定在1左右4B. 无数次实验中，该事件平均每4次出现1次C. 每做4次实验，该事件就发生1次D. 逐渐增加实验次数，该事件发生的频率就和1逐渐接近46.曲线y=x3+x+1在点(1,3)处的切线方程是()A. 4x−y−1=0B. 4x+y−1=0C. 4x−y+1=0D. 4x+y+1=07.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则语文书不相邻的排法有A. 36种B. 48种C. 72种D. 144种8.设函数，则函数的各极小值之和为()A. B. C. D.9.执行如图所示的程序框图，若输出x=5，则输出结果为()A. 7B. 6C. 5D. 410.函数的定义域为R，数列{a n}是公差为d的等差数列，若a1007=−1，m=f(a1)+f(a2)+f(a3)+⋯+f(a2012)+f(a2013)，则()A. m恒为负数B. m恒为正数C. 当d>0时，m恒为正数；当d<0时，m恒为负数D. 当d>0时，m恒为负数；当d<0时，m恒为正数11.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图是等边三角形，若该几何体的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为()A. 9πB. 253π C. 10π D. 283π12.若不等式对一切正数，恒成立，则正数a的最小值为()A. 1B. 2C.D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.计算5(4+i)2i(2+i)=______．14.已知函数f(x)=x3−3x，这个函数的图象在x=2处的切线方程为______．15.在闭区间[−1,1]上任取两个实数，则它们的和不大于1的概率是。

2019-2020学年乐山市四校联考高一(下)期中数学试卷(含解析)

2019-2020学年乐山市四校联考高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5,−1)，则12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A. (−2,4) B. (1,2) C. (4,−1) D. (−1,−2)2. 在我国明代数学家“珠算之父”程大位(1533−1606)所著的《算法统宗》中，有许多用诗歌形式表达的数学问题，如八子分棉歌：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传．”则此问题(第八数)的答案为(单位：斤)( )A. 150B. 167C. 184D. 2013. 已知△ABC 中，若a b =b+√3ca，sinC =2√3sinB ，其中内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则tan2A =( )A. √3B. −√3C. √33 D. −√334. 在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是A. b = 10，A = 45°，B = 70°B. a = 60，c = 48，B = 100°C. a = 7，b = 5，A = 80°D. a = 14，b = 16，A = 45°5. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A 、∠B 、∠C 、的对边，若向量和平行，且，当△ABC 的面积为时，则b =( )A.B. 2C. 4D. 2+6. 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 7等于( )A. 4B. 6C. 8D. 107. 已知△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，角A ，B ，C 成等差数列，且ca =sinBsinA ，则该三角形的形状是( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形8. 在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16，sinC =cosAsinB ，S △ABC =6，P 为线段AC 上的点，且BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+y BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |BA|，则xy 的最大值为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 19. 5.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题：把100个面包分给5个人，使每个人的所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为A.B.C.D.10. 在ΔABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若c 2=a 2+b 2−ab ，ab =6，则ΔABC 的面积为( )A. 3B. 9√32 C. 3√32D. 3√311. 已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2−7n ，则a 3的值为( )A. −6B. −2C. 2D. 412. 已知A ，B 都是横轴上的点，A(3,0)，B(−2,0)，则3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为( ) A. 17 B. 1 C. −1 D. −17二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 若|a ⃗ |=2sin15°,|b ⃗ |=4cos15°，a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为30°，则a ⃗ ⋅b⃗ 的值为______． 14. 已知ΔABC 中，A 为锐角，AB =4，BC =2√3，D 为边AB 上靠近A 点的四等分点，ΔABC 的内接正三角形PMN 的顶点分别在ΔABC 的三边上，当∠BCD 的正切值最大时，正三角形PMN 的面积的最小值为________．15. 已知f(x)={x 2+3x +1,x ≥0−x 2+x +2,x <0，则不等式f(2x 2−|x|)≤5的解集为______．16. 数列{a n }满足a 1=1，a n+1√1an2+4=1，记S n =a 12+a 22+⋯+a n2，若S 2n+1−S n ≤m30对任意n ∈N ∗恒成立，则正整数m 的最小值是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 平面直角坐标系xOy 内有向量=(1,7)，=(5,1)，=(2,1)，点Q 为直线OP 上一动点． (1)当·取得最小值时，求坐标；(2)当点Q 满足(1)中条件时，求cos∠AQB 的值．18. 已知数列{a n }中，S n 为前n 项的和，2S n =3a n −1．(Ⅰ)求a n ；(Ⅱ)若数列{b n }满足b n =a n +(−1)n log 3a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．19. 已知△ABC 的外接圆是单位圆圆O ，且∠ABC =π6，记∠BAC =x ，f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求f(x)的解析式及值域； (2)求△ABC 的面积的最大值．20. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a =√3，b =√2，B =45°，(Ⅰ)求角A 、C ； (Ⅱ)求边c ．21. 已知等差数列{a n }前三项的和为−3，前三项的积为8．(1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }单调递增，求数列{a n }的前n 项和．22. 已知数列{a n }的首项为1，且na n+1=(n +1)a n ，数列{b n }满足b 1=12，b 2=14，对任意n ∈N ∗，都有b n+12=b n ×b n+2．(1)求数列{a n }、{b n }的通项公式；(2)令T n =a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n b n ，数列{a n }的前n 项和为S n .若对任意的n ∈N ∗，不等式λnT n +2b n S n >2(λn +3b n )恒成立，试求实数λ的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：解：OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,3)，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5,−1)， 12MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(−2,−4)=(−1,−2)，故选：D ．利用向量的减法和数乘向量求出即可．考查向量的加法和数乘运算，基础题．2.答案：C解析：本题考查等差数列的第8项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．设第一子分a 1斤棉，则{a n }是公差为17的等差数列，利用等差数列前n 项和公式求出a 1=65斤棉，由此能求出结果．解：设第一子分a 1斤棉，则{a n }是公差为17的等差数列，由题意得8a 1+8×72×17=996，解得a 1=65(斤棉)，∴a 8=65+7×17=184(斤棉)，故选：C ．3.答案：A解析：解：由ab=b+√3c a⇒a 2=b 2+√3bc ⇒a 2−b 2=√3bc ，sinC =2√3sinB ⇒c =2√3b ，由余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc=c 2−√3bc 2bc=2√3b−√3b2b=√32，∴A =30°∴tan2A =√3．故选：A ．由ab=b+√3c a，sinC =2√3sinB ，利用余弦定理求得cos A ，即可解出tan2A 的值．本题考查了余弦定理的应用，属于中档题．4.答案：D解析：试题分析：、由A和的度数，利用三角形内角和定理求出C度数，再由b的值，利用正弦定理求出a与c，得到此时三角形只有一解，不合题意；B、由a，c及cos B的值，利用余弦定理列出关系式，得到b2小于0，无解，此时三角形无解，不合题意；C、由a，b及sin A的值，利用正弦定理求出sin B的值，由a大于b得到A大于B，可得出此时B只有一解，不合题意；D、由a，b及sin A 的值，利用正弦定理求出sin B的值，由a小于b得到A小于B，可得出此时B有两解，符合题意．解：B、∵a=60，c=48，B=60°，∴由余弦定理得：b2=a2+c2−2accosB=3600+2304−2880=−3024<0，∴此时三角形无解，不合题意；C、∵a=7，b=5，A=80°，∴由正弦定理得：sinB=，又b<a，∴B<A=80°，∴B只有一解，不合题意；D、∵a=14，b=16，A=45°，∴由正弦定理得：，sinB=∵a<b，∴45°=A<B，∴B有两解，符合题意，故选D考点：正弦、余弦定理点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的边角关系，以及三角形的内角和定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键5.答案：B解析：本题考查向量共线的充要条件，三角形面积公式，余弦定理。