高二【数学(人教A版)】等比数列的概念(2)-课件
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4.3.2 等比数列的性质(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
aman a q
2
1
m n2
as a1q s 1
2 s t 2
at a1q t 1 as at a1 q
am an as at
等比数列常用的性质
等比数列的性质
设等比数列 an , 公比为 q.
在等比数列{an}中，由 p+q=s+t
ap.aq=as.at
特别地：①若p+q=2t，则ap.aq=(at)2
(1)由题意，得
a4＋a6＝5，
a4＝2，
解得
a6＝3
a4＝3，
或
a6＝2，
a6
3 a6
2
2
2
∴a ＝q ＝2或a ＝q ＝3.
4
4
a9
又a ＝q2，且 q>1，
7
a9
3
∴a 的值为2.
7
(4)∵{an}成等比数列，
a6a7a8 24
∴a3·
a4·
a5，a6·
a7·
a8，a9·
考点三：等比数列的应用
练习 已知{an}为等差数列，且 a1＋a3＝8，a2＋a4＝12.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记{an}的前 n 项和为 Sn, 若 a1，ak，Sk＋2 成等比数列，求正整数 k 的值。
解析：(1)设数列{an}的公差为 d，
2a1＋2d＝8，
由题意知
2a1＋4d＝12，
(2)利用等比数列的性质判断
.
n －1
q n＝1，∴1＝32×
4
3
又∵a
2
，解得
n＝6.
3 1
a7
3
3
高中数学第四章等比数列的性质及应用课件新人教A版选择性必修第二册
aman=apaq,反之则不一定,如{an}是常数列.故是充分不必要条件.
(2)将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列
a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是等比数列吗?其公比是什么?
提示 由于
+1
-1
的等比数列.
=
+1
2
*,所以{a a
2为公比
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等
比数列.( × )
2.(1)若{an}为等比数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是aman=apaq的充要条件
吗?如果不是,则是什么条件?
提示 不是.在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则一定有
又 a1+a3=21-a2=15,
∴a1,a3 是方程 x2-15x+36=0 的两根 3 和 12.
当 a1=3
2
时,q= =2,an=3·2n-1;
1
当 a1=12
1 -1
1
.
时,q=2,an=12· 2
(2)∵a4a8=a3q·a5q3=a3a5q4=18q4=72,
∴q4=4,∴q=±√2.
年底在原有基础上翻两番,则总产值年平均增长率为(
1
4
A.2 -1
1
5
B.2 -1
1
4
C.3 -1
)
1
5
D.3 -1
答案 A
解析 设2019年年底总产值为a,年平均增长率为x,则a(1+x)8=4a,得x=
故选A.
1
24-1,
(2)将公比为q的等比数列{an}依次取相邻两项的乘积组成新的数列
a1a2,a2a3,a3a4,…,则此数列是等比数列吗?其公比是什么?
提示 由于
+1
-1
的等比数列.
=
+1
2
*,所以{a a
2为公比
(4)若数列{an}的奇数项和偶数项分别成等比数列,且公比相同,则{an}是等
比数列.( × )
2.(1)若{an}为等比数列,则m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)是aman=apaq的充要条件
吗?如果不是,则是什么条件?
提示 不是.在等比数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则一定有
又 a1+a3=21-a2=15,
∴a1,a3 是方程 x2-15x+36=0 的两根 3 和 12.
当 a1=3
2
时,q= =2,an=3·2n-1;
1
当 a1=12
1 -1
1
.
时,q=2,an=12· 2
(2)∵a4a8=a3q·a5q3=a3a5q4=18q4=72,
∴q4=4,∴q=±√2.
年底在原有基础上翻两番,则总产值年平均增长率为(
1
4
A.2 -1
1
5
B.2 -1
1
4
C.3 -1
)
1
5
D.3 -1
答案 A
解析 设2019年年底总产值为a,年平均增长率为x,则a(1+x)8=4a,得x=
故选A.
1
24-1,
高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列(二)课件 新人教A版必修5
根据等比数列的性质 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log10.
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
名师点评
抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地 解决问题．
1234
4.an＝2n＋3n，判断数列{an}是不是等比数列？ 不是等比数列. ∵a1＝21＋31＝5，a2＝22＋32＝13，a3＝23＋33＝35， ∴a1a3≠a22， ∴数列{an}不是等比数列.
1234
课堂小结
1.解题时，应该首先考虑通式通法，而不是花费大量时间找简便方法. 2.所谓通式通法，指应用通项公式，前n项和公式，等差中项，等比中 项等列出方程(组)，求出根本量. 3.巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要.
探究点2 等比数列的性质
命题角度1 序号的数字特征 例2 {an}为等比数列． (1)假设an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a23＋2a3a5＋a25 ＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0， ∴a3＋a5>0， ∴a3＋a5＝5.
(2)假设an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
方法二 设这四个数依次为2qa－a，aq，a，aq(q≠0)，
2qa－a＋aq＝16， 由条件得aq＋a＝12，
解得aq＝＝82，
a＝3， 或q＝13.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0，4，8，16；
当 a＝3，q＝13时，所求的四个数为 15，9，3，1. 故所求的四个数为0，4，8，16或15，9，3，1.
2．等比数列项的运算性质 在等比数列{an}中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am·an＝ ap·aq . ①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝ a2k . ②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的 积 ，
人教A版高中数学高二必修5课件2.4等比数列(二)
(5)如果{an}，{bn}均为等比数列，且公比分别为q1，q2，那 么 别数为列q11，a1nq1，q2{，anqq·b21，n}，|q1|.bann，{|an|}仍 是 等 比 数 列，且 公 比 分
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
2.4 等比数列(二)
6
(6)等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项
“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·an＝
2.4 等比数列(二)
29
规律方法 (1)在等差数列与等比数列的综合问题中， 特别要注意它们的区别，避免用错公式.(2)方程思想的 应用往往是破题的关键.
2.4 等比数列(二)
30
跟踪演练4 已知{an}是首项为19，公差为－2的等差数列， Sn为{an}的前n项和. (1)求通项公式an及Sn； 解 因为{an}是首项为19，公差为－2的等差数列，所以an ＝19－2(n－1)＝－2n＋21，
的m的个数；若不存在，请说明理由.
解 若存在m，使b1，b4，bt成等差数列， 则2b4＝b1＋bt，
∴ 7 ×2＝ 1 ＋ 2t－1 ，
7＋m
1＋m 2t－1＋m
2.4 等比数列(二)
28
7m＋1 7m－5＋36
∴t＝
＝
＝7＋
36
，
m－5
m－5
m－5
由于m、t∈N*且t≥5. 令m－5＝36,18,9,6,4,3,2,1， 即m＝41,23,14,11,9,8,7,6时，t均为大于5的整数. ∴存在符合题意的m值，且共有8个.
2.4 等比数列(二)
26
(1)由 bn＝an＋an m(m∈N*)知 b1＝1＋1 m，b2＝3＋3 m，b8＝151＋5 m，
∵b1，b2，b8成等比数列，
高中数学4-3-1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用新人教A版选择性必修第二册
琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八
度有 13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最 初那个音频率的 2 倍，设第二个音的频率为 f2，第八个音的频率为 f8，则 ff82等于( A )
A． 2
B．3 2
C．4 2
D．6 2
[分析] 建立等比数列模型⇒运用等比数列的性质求解．
一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
( C) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年
B．2019年
C．2020年
D．2021年
[解析] (1)一年后的价格为：8 100×1－13＝5 400； 两年后的价格为：5 400×1－13＝3 600； 三年后的价格为：3 600×1－13＝2 400.
对点训练❸ 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是长、宽分 别为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为 (D)
A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且 公比相同
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项
的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·____a_n_－_1____＝ ak·_____a_n－__k＋_1______＝a2n＋1(n 为正奇数)．
2
3．等比数列的运算的性质
等比数列的判定与简单应用课件-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
4.3.1 等比数列的概念
第2课时
等比数列的判定与简单应用
学习目标
1.掌握等比数列的判断及证明方法.
2.由等比数列构造新的等比数列.
3. 掌握等比数列中项的设法.
问题1
上节课我们学习了等比数列的概念与通项公式，
你能利用已学知识，判断某个数列是否为等比数列吗？
例 1 数列{an}的首项 a1＝1，
和 a 中的 n 的范围不同.
n
an－1
【例 2】 已知数列的前 n 项和为 Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比
数列． [解] an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．
an＋1 2n
当 n≥2 时， a ＝ n 1＝2；
n
2－
an＋1 a2
2
当 n＝1 时， a ＝a ＝
a a
(2)四个符号相同的数成等比数列设为q3，q，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为
a a a
…，q5，q3，q，aq，aq3，aq5，…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为 a，aq，
aq2，aq3.
跟踪训练3
有四个数成等比数列，将这四个数分别减去
得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
Sn＋1
n＋1
Sn＋1
Sn
所以
＝2·n ，则 S ＝2.
n
n＋1
n
Sn
S1 a1
因为 1 ＝ 1 ＝1，所以数列 n 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.
二、由等比数列构造新的等比数列
1.在等比数列{an}中，取 k 的倍数项(k∈N*)，按原来的顺序排列，所得
第2课时
等比数列的判定与简单应用
学习目标
1.掌握等比数列的判断及证明方法.
2.由等比数列构造新的等比数列.
3. 掌握等比数列中项的设法.
问题1
上节课我们学习了等比数列的概念与通项公式，
你能利用已学知识，判断某个数列是否为等比数列吗？
例 1 数列{an}的首项 a1＝1，
和 a 中的 n 的范围不同.
n
an－1
【例 2】 已知数列的前 n 项和为 Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比
数列． [解] an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1(n≥2)．
an＋1 2n
当 n≥2 时， a ＝ n 1＝2；
n
2－
an＋1 a2
2
当 n＝1 时， a ＝a ＝
a a
(2)四个符号相同的数成等比数列设为q3，q，aq，aq3.
推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为
a a a
…，q5，q3，q，aq，aq3，aq5，…
(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为 a，aq，
aq2，aq3.
跟踪训练3
有四个数成等比数列，将这四个数分别减去
得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
Sn＋1
n＋1
Sn＋1
Sn
所以
＝2·n ，则 S ＝2.
n
n＋1
n
Sn
S1 a1
因为 1 ＝ 1 ＝1，所以数列 n 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列.
二、由等比数列构造新的等比数列
1.在等比数列{an}中，取 k 的倍数项(k∈N*)，按原来的顺序排列，所得
等比数列的概念(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第二册)
4 = 3 = 1 2 = 1 3 ,
由此可得
……
= 1 −1 ≥ 2 .
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
首项为1 ，公比为q 的等比数列{ }的通项公式为
= 1 −1
过关测试
1.判断正误
1 1 1
B．a，a2，a3，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2,
2
)
解析：A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符
合定义．
答案：B
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是
A．1 B．－1
(
C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
（2）当 1 > 0, 0 < < 1或 1 < 0, > 1 时，等比数列{ }为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{ }为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{ }为摆动数列.
典型例题
【典例1】 若等比数列{ }的第4项和第6项分别为48和12，求{ }的第5项.
分析：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方
法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算．
已知数列{an}是等比数列，公比q<1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.
(1)求{an}的通项公式．
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
数列①~⑥的公比依次是
由此可得
……
= 1 −1 ≥ 2 .
又1 = 1 0 = 1 1−1 ，这就是说，当n=1时上式也成立.
首项为1 ，公比为q 的等比数列{ }的通项公式为
= 1 −1
过关测试
1.判断正误
1 1 1
B．a，a2，a3，…
C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，…
D．0,0,0，…
2,
2
)
解析：A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符
合定义．
答案：B
3．2＋ 3和 2－ 3的等比中项是
A．1 B．－1
(
C．±1 D．2
答案：C
4．若数列x，x2，x3，x4，…为等比数列，则x应满足的条件是________．
（2）当 1 > 0, 0 < < 1或 1 < 0, > 1 时，等比数列{ }为递减数列；
（3）当ｑ＝１时，数列{ }为常数列；
（4）当ｑ＜０时，数列{ }为摆动数列.
典型例题
【典例1】 若等比数列{ }的第4项和第6项分别为48和12，求{ }的第5项.
分析：
(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方
法．
(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有
一定的技巧性，能简化运算．
已知数列{an}是等比数列，公比q<1，且a2＝2，a1＋a2＋a3＝7.
(1)求{an}的通项公式．
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
数列①~⑥的公比依次是
4.3.1等比数列的判定及性质(第二课时)高二数学教材教学课件(人教A版2019选择性)
解：依题意
a2 5
＝
a1a17，即(a1
＋4d)2＝
a1 ( a1＋16d)，
所以 a1d ＝ 2d2，
因为 d≠0，所以 a1＝2d，
数列{abn}的公比
q＝a5 a1
＝a1＋4d
a1
＝3，
a 所以 abn ＝ 1 3n－1，①
新知探究
又 abn＝a1＋(bn－1)d＝bn＋1 a1，②
2 由①②得 a1·3n－1＝bn＋1 ·a1.
新知探究
(2)由等比中项的性质，得 a62＋2a6a8＋a82＝49， 即(a6＋a8)2＝49， ∵an>0，∴a6＋a8＝7. (3)由等比数列的性质知 a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a10) ＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)] ＝log395＝10.
04
课堂小结
课堂小结
1
2
(3)若{an}是等比数列，公比为 q，则数列{λan}(λ≠0)，an
，{a }都是等比数列， n
且公比分别是_____q_,__q1_,__q_2____．
新知探究
例2.已知数列{an}为等差数列，公差d≠0，由{an}中的部分项组成的数列ab1，ab2，…， abn，…为等比数列，其中b1 ＝1，b2 ＝ 5，b3 ＝ 17.求数列{bn}的通项公式．
(3)等比中项法：若 a2n＋1 ＝anan＋2(n∈N*且 an≠0)，则数列{an}为等比数列． 说明：证明一个数列是等比数列，只能用定义法或等比中项法．
新知探究
l
新知探究
等比数列的概念(第二课时)课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
现出任意性.
知识梳理
知识梳理
判定与证明等比数列的方法
a
*且n≥2，q为不为0的常数)；
q
1.定义法： n ＝____(n∈N
an－1
*且n≥2)；
an－1an＋1
2.等比中项法：a2n＝________(n∈N
a1qn－1 a1·qn ＝A·qn(A≠0).
3.通项公式法：an＝_______＝
q
即
（
2 n 2),
则当n 2时，
2,
an 1 1
bn 1 an 1 1
an 1 1
an 1 1
∴ 数列{ + 1}是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）解：由（1）知等比数列{ + 1}的首项为2，公比为2，
∴ + 1＝2 × 2−1 ＝2，∴ ＝2 − 1.
n
是否一定是等比数列？ 如果数列{an }是各项均为正的等比数 列，
那么数列{log b an }是否一定是等差数列？
b an1
a n1 -a n
d
b
b
b an
➯
性质1：数列{an}是等差数列
⇔数列{b a n }是等比数列.
an1
logb a n1 logb an logb
logb q
1
又 S2＝3(a2－1)，
1
1
即 a1＋a2＝3(a2－1)，得 a2＝4.
典例分析
(2)求证：数列{an}是等比数列.
当n≥2时，
1
1
an＝Sn－Sn－1＝3(an－1)－3(an－1－1)，
1
1
4.3.1 等比数列的概念及通项公式(课件)高二数学课件(人教A版2019选择性必修第二册)
二、忽略等比数列中项的符号致错 ►数学运算
[典例 2] (1)在等比数列{an}中，a3a4a6a7＝81，则 a1a9 的值为( )
A．9
(3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a, a , a , a , … a 0 时,既是等差数列，又是等比数列;
a 0 时,只是等差数列，而不是等比数列.
题型一 等比数列的判定
[例1] (1)判断下列数列是否为等比数列．
①1,3,32,33，…，3n－1，…；
②－1,1,2,4,8，…；
探究1：等比数列的概念
思考：观察下列两个实例，比较两个实例中数列的共同 特征？
实例1：有一种细胞分裂时，由1个
分裂成2个，2个分裂成4个，4个分 裂成8个，···，那么细胞分裂而成的
个数依次是
实例2：“一尺之棰，日取其半，万 世不竭” 。如果将“一尺之棰”视 为一份，那么每日剩下的部分依次为
1， 2， 4， 8，….
探究4：等比数列的单调性
探究：类似于等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪
类函数建立相似的关系？
an a1qn1
an
a1 q
qn
q0 q 1
f (x) a1 qx (x R) q
等比数列{an} 的第n 项 an 是指数函数
f (x) a1 qx (x R) 当 x=nxn 时的函数值， q
当
n≥2
时an＋ an
1＝22n－n
1＝2；
当
n＝1
时，an＋ an
1＝aa21＝2＋2
a.
故当 a＝－1 时，数列{an}成等比数列，其首项为 1，公比为 2；
当 a≠－1 时，数列{an}不是等比数列．
2023新教材高中数学第4章数列等比数列的概念及通项公式课件新人教A版选择性必修第二册
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数
列为等比数列．
()
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．
()
(3)常数列一定为等比数列．
()
[答案] (1)× (2)× (3)×
[提示] (1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常 数时，该数列才是等比数列；(2)错误，当公比为零时，根据等比数 列的定义，数列中的项也为零；(3)错误，当常数列不为零数列时， 该数列才是等比数列．
(3)证明数列为等比数列，若在数列{an}(an≠0)中，anan＋2＝a
2 n＋1
⇔{an}为等比数列．
[跟进训练]
2．(1)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，
则{an}前10项的和为( )
A．10
B．8
C．6
D．－8
A 由题意可得a23＝a1a4，
即(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解之可得a1＝－8，
所以Sn＋1－Sn＝n＋n 2Sn，
所以n(Sn＋1－Sn)＝(n＋2)Sn，
所以nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
所以nS＋n＋11＝2Snn．
因为S11＝a1＝1≠0，所以Snn≠0(n∈N*)，
Sn＋1 所以n＋Sn 1＝2(常数)，
n
所以数列Snn是首项为1，公比为2的等比数列．
03
学习效果·课堂评估夯基础
01
必备知识·情境导学探新知
知识点1 知识点2 知识点3
传说，波斯国王第一次玩国际象棋就被深深地迷住了，他下令要奖 赏国际象棋的发明者，并让受奖者自己提出奖些什么．发明者指着国际 象棋的棋盘对国王说，令人满意的赏赐是在棋盘的第一格内放上1粒麦 子，在第二格内放2粒麦子，第三格内放4粒，第四格内放8粒……按这样 的规律放满64格棋盘格．国王反对说，这么一点点麦子算不上什么赏 赐，但发明者认为如此就足够了．结果弄得国王倾尽国家财力还不够支 付．同学们，这几粒麦子，怎能让国王赔上整个国家的财力？
等比数列的概念课件高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
或
d＝0， q＝1，
(舍去)．
例题解析
(2)由(1)知 an＝1＋(n－1)·5＝5n－4， bn＝b1qn－1＝6n－1.
假设存在常数 a，b，使得对任意 n∈N*，都有 an＝logabn＋b 成立，则 5n－4＝loga6n－1＋b，
即 5n－4＝nloga6＋b－loga6.
比较系数，得
loga6＝5， b－loga6＝－4，
选择性必修二第四章
4.3等比数列
4.3.1 等比数列的概念
知识梳理
一、等比数列的概念
(1)文字语言：一般地，如果一个数列从第___2_____项起，每一 项与它的前一项的__比______等于_同__一__个___常数，那么这个数列叫做 等比数列，这个常数叫做等比数列的 __公__比____，公比通常用字母 ___q_____(q≠0)表示．
又∵b1＝2，∴{bn}是首项为 2，公比为 3 的等比数列．
例题解析
例 7．已知数列{an}满足 a1＝2，an＋1＝3an＋2，则 a2 018＝( B ) A．32 018＋1 B．32 018－1 C．32 018－2 D．32 018＋2
∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)．∵a1＋1＝3，∴数列{an＋1}是首项，公比均为 3 的等比数列， ∴an＋1＝3n，即 an＝3n－1，∴a2 018＝32 018－1.故选 B
知识梳理
四、等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*) (2)若 p＋q＝s＋t(p、q、s、t∈N*)，则 ap·aq＝__a_s_·_a_t __.
知识梳理
注意 (1)在已知等比数列{an}中任一项 am 及公比 q 的前提下，可以利用 an＝amqn－
高中数学人教A版选择性必修第四章《等比数列的概念》教学PPT课件
共同特征：从 第2项起，每 一项与前一项 的比都等于同 一个常数。
2， 4， 8， 1， 6 3， 2 6， 4 ； ⑤ a(1 r)，a(1 r)2，a(1 r)3，a(1 r)4，a(1r)5. ⑥
新知生成 一、等比数列的定义
名
等差数列
等比数列
称
定义式：an1and(d为常) 数定义式：a n 1 q (q为非零常数）
不变
从图像上看，
表示等比数列{a n }中的各项的点
是指数型函数 f(x)a1qx (xR) 图象上一群孤立的点 q
20
新知生成
4、公比q>0的等比数列 {a n } 的单调性.
0<q<1 q>1 q=1
单调递增 单调递减 单调递减 单调递增
不变
典例解析
例1 若等比数列{a n的} 第4项和第6项分别是48和12，
n1 1
新知生成 三 等比数列的通项公式
3、等比数列的通项公式：
an a1qn1
小试牛刀2
2.已知等比数列前 3 项为1，－1， 1，则其通项公式 2 48
是________．
思考1：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
1 、 a n 由 a 1 q n 1 a q 1q n 可知 q 0 且 ， q 1 时 当 ， a 等 n 第 n 项 比 a n 是 数 指 列 数型函
（1） 1， ±3 ， 9
（2）-1， ±2 ， -4
（3）-12， ±6 ，-3
（4）-1， 无 ， 16
2.等比中项的定义
如果在 a与b中间插入一个数G，使a, G，b成等比数列，
那么G叫做a与b的等比中项. 此G 时 2a或 ， bG 者 a.b
等比数列的概念 课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
答案：由三个数 a ，G ，b 组成等比数列，那么 G 叫做与的等比中项.此时，
G2 = ab.
探究新知
问题2
你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
追问1 回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如
何推导通项公式？
答案： a2 = a1 q ， a3 = a2 q = a1 q q = a1 q2 ， a4 = a3 q = a1 q2 q = a1 q3 ，
⋯⋯
由此可得， an = a1 qn−1 n ≥ 2 .又 a1 = a1 q0 = a1 q1−1 ，
这就是说，当n = 1时上式也成立.
因此，首项为a1 ，公比为q的等比数列 an 的通项公式为an = a1 qn−1 .
探究新知
问题2
你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
追问2 除了归纳法以外，我们还可以用什么方法同样推导出等差数列的通
比都等于9.
探究新知
探究
9，92 ，93 ， ⋯ ，910 .
100，1002 ，1003 ， ⋯ ，10010 .
5，52 ，53 ， ⋯ ，510 .
1
2
1
1
1
1
， 4， 4 ， 4 ， 16 ，⋯.
2，4，8，16，32，64，⋯.
1 + ， 1 + 2 ， 1 + 3 ， 1 + 4 ， 1 + 5 .
的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？
下面请看几个问题中的数列.
1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列：
9，92 ，93 ， ⋯ ，910 ；
100，1002 ，1003 ， ⋯ ，10010 ；
等比数列的概念及通项公式课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
an+1的等比中项.
{an }为等比数列 an2 an 1an 1 (n 2)
an21 an an 2 (n N * )
a 42 a 3a5
探究新知
巩固：等比中项的定义
1
±4 .
3.等比数列{an }中, a1 , q 2, 则a4与a8的等比中项是____
①
2，___
4 ，8；
②
-1，____
2 ，- 4
若a, G, b成等比数列 , 则G叫做a与b的等比中项。
G
b
G 2 ab G ab
a
G
（ a 、 b 同号, G 有两个取值）
注：三个数a,b,c成等比数列
2
ac
b
探究新知
四.等比中项的定义
若a, G, b成等比数列, 则G叫做a与b的等比中项, 此时G ab.
.
a7
n4
n4
n 3
析 : q 3 8, q 2, an a4 q 2 2 2
a4
6
26 n .
③若a2 a5 18, a3 a6 9, ak 1, 则k _____,
an ____
a3 a6 a2 q a5 q
1
析:
an
*
课堂练习
1. 判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比.
（1）
3，9，15，21，27，33; 不是； (2)1, 1.1, 1.21, 1.331, 1.461;
不是；
(5) 0,1,2,4,8,… 不是；
(6) 2,0,2,0,2,… 不是；
{an }为等比数列 an2 an 1an 1 (n 2)
an21 an an 2 (n N * )
a 42 a 3a5
探究新知
巩固：等比中项的定义
1
±4 .
3.等比数列{an }中, a1 , q 2, 则a4与a8的等比中项是____
①
2，___
4 ，8；
②
-1，____
2 ，- 4
若a, G, b成等比数列 , 则G叫做a与b的等比中项。
G
b
G 2 ab G ab
a
G
（ a 、 b 同号, G 有两个取值）
注：三个数a,b,c成等比数列
2
ac
b
探究新知
四.等比中项的定义
若a, G, b成等比数列, 则G叫做a与b的等比中项, 此时G ab.
.
a7
n4
n4
n 3
析 : q 3 8, q 2, an a4 q 2 2 2
a4
6
26 n .
③若a2 a5 18, a3 a6 9, ak 1, 则k _____,
an ____
a3 a6 a2 q a5 q
1
析:
an
*
课堂练习
1. 判断下列数列是否是等比数列. 如果是，写出它的公比.
（1）
3，9，15，21，27，33; 不是； (2)1, 1.1, 1.21, 1.331, 1.461;
不是；
(5) 0,1,2,4,8,… 不是；
(6) 2,0,2,0,2,… 不是；
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